Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet"

Átírás

1 Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak tekitjük a ehezebb feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legye A = { 3 4} B = { 5 6} C = {5 6 } D = {6}. (a) Melyik igaz az alábbi állítások közül: 4 C A B D C B = C A = B. (b) Határozzuk meg az A B A B A \ B (A B) \ (A B) A B C halmazokat! () (a) A költők között a legagyobb festő és a festők között a legagyobb költő vajo ugyaaz a személy-e? (b) A költők között a legöregebb festő és a festők között a legöregebb költő vajo egy és ugyaaz a személy? (3) Legye X a DE hallgatóiak összessége L a hallgatóláyok halmaza K a közgazdászhallgatók halmaza C az egyetemi kórus tagjaiak halmaza B a biológia tárgyat felvett hallgatók halmaza T pedig a teiszezőké. Fogalmazzuk meg az alábbi állításokat a halmazelmélet yelvé: (a) Mide biológiát tauló hallgató közgazdász. (b) Az egyetem kórusába va biológiát felvett hallgató. (c) Azo hallgatóláyok akik se em teiszezek se em éekkarosok mid taulak biológiát. (4) Egy társaságba végzett felmérés szerit a társaságból ötvee kávézak és egyvee teázak. Harmicöt olya személy va aki kávézi és teázi is szokott valamit tíz olya személy va aki egyiket sem. Háy tagú a társaság? (5) Legye A B := (A \ B) (B \ A) az A és B halmazok szimmetrikus differeciája. Igazoljuk hogy bármely két halmaz eseté A B = B A A B = (A B) \ (A B). (6) Az alábbi halmazazooságok közül az egyik em igaz. Melyik? (A B) C = A (B C) (A C) B = (A B) (C B) A A =. (7) Igazoljuk hogy ha A \ B = B \ A akkor A = B. (8) Állapítsuk meg hogy a következő összefüggések közül melyek igazak tetszőleges A B és C halmazokra. (a) A (B \ C) = (A B) \ C (b) (c) A B C = A B (B C) [ ( A \ A \ B)] B = A B. (9) Legye A = { N páros} B = { N < 4} C = { N > }. Állapítsuk meg mik leszek az X = [A \ (B C)] [(A \ B) \ C] halmaz elemei. () Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: (a) (b) (c) (A B) (A B) (A B) (B C) (A B) (B Ā) (A B).

2 () Vizsgáljuk meg hogy milye kapcsolat áll fe az A és B halmazok között ha teljesül az A B = A egyelőség. () Állapítsuk meg milye esetbe állhat fe az A B = Ā egyelőség. (3) Vizsgáljuk meg hogy milye kapcsolat áll fe az A és B halmazok között ha teljesül az A B = A egyelőség. (4) Vizsgáljuk meg milye A és B kapcsolata ha A B = A B teljesül. (5) Milye kapcsolat áll fe az A és B halmazok között ha az A (B Ā) = B igaz? (6) Vizsgáljuk meg hogy milye esetbe teljesül az (A B) \ B = A egyelőség. (7) Mutassuk meg hogy tetszőleges A és B eseté [A \ (A B)] B = A B. (8) Legye A = { } B = { 3}. Írjuk fel az halmazok elemeit. (A B) (B A) és az (A B) \ (B A) (9) Legye A = {( y) R R y = a + b} és B = {( y) R R y = c + d}. Mit modhatuk az a b c és d paraméterekről ha tudjuk hogy (a) A \ B = A (b) A B = {( )} (c) A \ B = (d) {( ) ( )} A B. () Ábrázoljuk a Z R és R Z halmazokat a koordiátasíko. () Lássuk be hogy tetszőleges A B és C halmazokra (a) (b) (c) (d) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C). () Igazoljuk hogy tetszőleges A és B B... B halmazokra A (B B B ) = A (B B B ) = B i = i= B i = i= (A B i ) i= (A B i ) i= B i B i. i= i= (3) Legye A egy elemű halmaz. Igazoljuk hogy az A részhalmazaiak száma. (4) Legye m N eseté m O ha m osztható 7-tel. Igazolja hogy O ekvivalecia reláció N-e. Mik leszek az ekvivalecia osztályok? (5) Legye a D reláció N-e az alábbi Igazolja hogy D féligredezés N-e. ( m N)(m D ha m osztója -ek.

3 3 (6) Tekitsük a következő leképezéseket: F : N N F () = ( N) G : Q Q G() = ( Q) H : R R H() = ( R) L : N N L() = ( N). Állapítsuk meg közülük melyik ijektív szürjektív ill. bijektív. (7) Legye A és B véges halmaz. Mit modhatuk A és B elemeiek a számáról ha tudjuk hogy létezik olya F : A B leképzés amely: (a) ijektív (b) szürjektív (c) bijektív. Idukció (8) Bizoyítsuk be teljes idukcióval hogy mide N re vagy a megadott ekre ( + ) (a) = (b) ( + )( + ) = 6 [ ] ( + ) (c) = ( + )( + ) (d) ( + ) = 3 (e)! +! + +! = ( + )! (f) ( + ) = + (g) ( ) ( + ) = + (h) = ( ) (i) j (j) j= j= j ( + ) (k) 4 +4 > ( + 4) 4 (l) + j > 3 ( ) 4 j= (m) 3 < + ( > 8) () (o) ( + )! > +3 ( 5) (p) egész szám (q) osztható 9-cel (r) osztható 3-mal.

4 4 (9) Mutassuk meg hogy ahol ( )! = k k!( k)!. ( ) + = k + ( ) ( ) + k k + (3) Bizoyítsuk be a biomiális tételt: ( ) ( ) (a + b) = a + a b + + ( ) ab + ( ) b ahol tetszőleges természetes szám a b tetszőleges valós számok. A feti egyelőség tömörebb formája: ( ) (a + b) = a k b k. k k= (3) Bizoyítsuk be hogy mide természetes szám és szám eseté teljesül a Beroulli egyelőtleség: ( + ) + és itt egyelőség akkor és csakis akkor teljesül ha = vagy =. (3) Bizoyítsuk be hogy ha... ( ) emegatív valós számok akkor teljesül a számtai és mértai közép közötti egyelőtleség: Egyelőség potosa akkor teljesül ha = = =. Valós számok (33) Bizoyítsuk be következő egyelőtleségeket (a > b > ): (a) ab a+b ab a (b) +b a+b (c) a. b + b a (34) Mutassuk meg hogy < <. (35) A valós számok (test)aiómáit felhaszálva igazolja hogy bármely y z R eseté továbbá ha + y = + z akkor y = z ha y = z akkor y = z ha + y = akkor y = ha y = akkor y = ha + y = akkor y = ha y = akkor y = ( ) = ha akkor ( ) = = y y ( )y = (y) = ( y) ( )( y) = y. (36) A valós számok (redezett test) aiómáit felhaszálva igazolja hogy bármely y z R eseté akkor és csakis akkor ha ha y z akkor y yz ha y z akkor y yz ha akkor > speciálisa > ha < y akkor < y és y. (37) Bizoyítsuk be hogy ha r Q R Q akkor r + és ha r akkor r R \ Q.

5 5 (38) Bizoyítsuk be hogy irracioális ha a) = b) = 6 c) 3 = 5. (39) Mivel egyelő if H sup H mi H ma H ha H = ( {( ) ) } { 3 : N! { m + 4 } m : m N (Utóbbi két feladatál helyettesítsük r = m -et!) (4) Legye } : N E = [ ] { 3} F = { r : r Q r < } G = { } + m : m N Z. [ Határozzuk meg e halmazok belső izolált torlódási és határpotjait! Sorozatok = + (4) Állapítsuk meg hogy az alábbi sorozatok közül melyek kovergesek melyek divergesek. a = ( ) b = c = log ( + ) d = 8 si(7 ) e = si(π ) f = ( N). (4) Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat mootoitás és korlátosság szempotjából. Határozzuk meg a sorozatok határértékét is. (a) a = ( + )( + ) (b) a = ] (c) a = 5+.! (43) Vizsgáljuk meg hogy háyadik tagtól kezdve esek a sorozat elemei a határérték ε > sugarú köryezetébe: (a) a = (b) a = ( ). (44) Határozzuk meg az alábbi a ( N) sorozatok határértékét ameyibe az létezik (a) a = + (b) a = + (c) a = (d) a = 5 + (e) a = ( ) 5 3 (f) a = 5 ( ) + +5 (g) a = + 3 (h) a = ( + ) ( + ) ( + 3 (i) a = (j) a = )... ( + )

6 6 (k) a = (l) a = log (m) a = a + 3 () a = log 3( + + ) log 3 (o) a = log ( + 3) log ( + ) (p) a = + 3. ( ) (a R adott) (45) Tudjuk hogy lim (log ( + + 4)) = +. Tetszőleges K > számhoz határozzuk meg egy olya N természetes számot hogy log( + + 4) > K ha > N. (46) Tegyük fel hogy a + b. Lehetséges-e hogy a b a b 3 a b a b? (47) Tegyük fel hogy a /. Képezzük a b = a b = a a b 3 = a a a 3 b 4 = a a a 3 a 4... sorozatot. Bizoyítsuk be hogy b. (48) Bizoyítsuk be hogy ha a a és a > bármely N-re akkor a a. (49) Tegyük fel hogy a +. Bizoyítsuk be hogy log a +. (5) Tegyük fel hogy a 3. Bizoyítsuk be hogy lim (a + a ) =. (5) Tegyük fel hogy egy sorozatak végtele sok pozitív és végtele sok egatív eleme va. Lehet-e ez a sorozat koverges? (5) Legye a = a = koverges. + 3 a 3 = Bizoyítsuk be hogy az a sorozat (53) Legye a = a = + a 3 = Bizoyítsuk be hogy az a sorozat koverges. (54) Számítsuk ki a lim s határértéket ahol (a) s = ( )( + ) (b) s = ( + ). (55) Tegyük fel hogy az a sorozat koverges. Mutassuk meg hogy tetszőleges ε > -hoz létezik olya N hogy a a m < ε ha > N és m > N. (56) Igazoljuk az előző állítás megfordítását! Tegyük fel hogy tetszőleges ε > -hoz létezik olya N hogy a a m < ε ha > N. Bizoyítsuk be hogy a koverges.

7 7 Sorok (57) Határozzuk meg hogy az alábbiak közül melyik geometriai sor és a kovergesekek számítsuk ki az összegét! (a) (b) (c) (e) p + p + p (d) ( + ) (f) (58) Határozzuk meg a sor összegét. k= ( b + p ) k (59) 97-be a világ teljes vasfelhaszálása kb. 794 millió toa volt. Ha a világ teljes vas-készlete 49 milliárd toa és a felhaszálás évi 5%-kal ő akkor meyi ideig lesz elég a készlet? (6) Számítsuk ki a következő végtele sorok összegét: (a) 5 + (b) + ( ) = = (c) = ( + ) (d) ( + ). = (6) Mutassuk meg hogy az alábbi sorok divergesek! (a) + (b) ( ) (c) = = ( ) +. = (6) Kovergesek-e a következő sorok: (alkalmazzuk a majorás háyados vagy gyök tesztet) (a) (b) (c) + 3 = = = (d) k= l k (e) k= k (f) k! = ()! (g) p= p (h) ( ) = (i) k= k + k(k + ) (j) = 3 + (k) s= (s)! s s (l) = ( ) +. 3 (63) Számítsuk ki a következő hatváysorok kovergeciasugarát: (a) (b) 3 + (c) = = k= k (k)!.

8 8 Függvéyek határértéke és folytoossága (64) Az f() = 5 függvéy az = helye ics értelmezve. Közelítsük meg a -t először az = + + sorozattal majd az y = + ( N) sorozattal és határozzuk meg a megfelelő függvéyértékek sorozatáak határértékét. Értelmezzük az eredméyt. (65) Határozzuk meg a következő határértékeket: 3 (a) lim 3 (b) lim (c) (e) (g) lim 3 + (d) lim + ( lim 3 ) 3 (f) lim + lim + 4 [ ( (h) lim a + a )] (i) ( lim + 5 ) (j) lim + (k) lim (l) lim (m) lim ( ) + + () lim (66) Igazoljuk hogy feállak a következő összefüggések: ( ) (a) (c) lim( + y) y = e (b) lim + 3 = e 3 y log lim a ( + ) = log a e (a > a ) (d) lim ( + a) = e a (a > N). (67) Dötsük el mootook-e a következő függvéyek: (a) f() = ( < ) (b) f() = + ( ) (c) f() = 4 ( < < ) (d) f() = ( > ). (68) Lehetséges-e hogy em folytoos függvéyek összege illetve szorzata folytoos? (69) Bizoyítsuk be hogy mide páratla fokú valós együtthatós egyeletek va valós gyöke. (7) Vizsgáljuk meg hogy viselkedek a következő függvéyek szakadási helyeik köryezetébe és a végtelebe:

9 9 (a) f() = 3 ha f() = (b) f() = ( ) (c) f() = 3 + ha f( ) = (d) f() = ha ha (e) f() = (f) f() = ( ) ha < ha > 4 ha >. (7) Állapítsuk meg hogy vaak-e olya potok melybe az 4 ha racioális f() = 4 + ha irracioális függvéy folytoos. (7) Hol vaak értelmezve és hol folytoosak a következő függvéyek? (a) f() = (b) f() = (c) f() = (d) f() = + (e) f() = + (f) f() = + ( + ) 3/. (73) Legye f() := ( ] ]) g() := ( [ [). Igazoljuk hogy midkét függvéy folytoos (mideütt ahol értelmezve va) de f em korlátos g em veszi fel a függvéyértékek potos alsó korlátját. (74) Melyek azok a függvéyek amelyek valósziűleg az időek folytoos függvéyei? (a) Egy ucia aray ára a zürichi aray piaco. (b) Egy övekedő gyermek magassága. (c) Egy repülőgép föld feletti magassága. (d) Egy autó által megtett út.

10 Differeciálszámítás Deriváltak kiszámítása (75) Számítsuk ki az f() = / függvéy deriváltját = -be a defiíció segítségével azaz / / határozzuk meg a lim határértéket. (76) Bizoyítsuk be hogy az f() = függvéy em differeciálható = -ba. Ez pl. igazolható egy olya sorozat megadásával melyre az = sorozat em koverges. (77) Ábrázoljuk az ha < ha < f() = és a g() = ha ha függvéyeket. Differeciálható-e f és g az = -ba? (78) Deriváljuk a következő függvéyeket: f() = ; g() = ; h() = + ; i() = si ; j() = si cos ; k() = si 3 ; l() = si(cos ); m() = l(si ); () = ; o() = tg ; p() = ( tg + cos ) 3 ; q() = tg / cos. (79) Adjuk meg a következő függvéyek deriváltját: ( ) + cos si() f() = l ; g() = l si 3 + (3 ) ; h() = cos ; i() = + (si ) si ; j() = (l ) 3 ; k() = (3 ) 3 4 ; (( ) ) 3 4 l() = lg{ si 7 ( )}; m() = ( 4) 6. (8) Hol em differeciálhatók az alábbi függvéyek? Számítsuk ki a differeciálháyadosukat ott ahol differeciálhatók! f() = 3 ; g() = l ; h() = l 3 ; i() = 3. (8) Létezik-e a deriváltja az ha f() = e ha > függvéyek az = potba? (8) Határozzuk meg a következő függvéyek magasabbredű deriváltjait: (a) f() = f (5) () = (b) f() = e f () () = (c) f() = e cos f (3) () = (d) f() = l f () () = (e) f() = arc tg f (3) () =

11 Középértéktételek Taylor tétel (83) Legye f() =. Lagrage tétele szerit létezik egy olya ξ ( ) szám hogy = 3 = f (ξ). Keressük meg ξ-t. (84) Határozzuk meg az y = cos függvéy Maclauri-sorát valamit az = π körül a Taylor sorát. (85) Legye g() = Írjuk fel a függvéy = körüli Taylor-formuláját azaz alakítsuk át a függvéyt úgy hogy bee csak az ( ) hatváyai szerepeljeek. (86) Határozzuk meg az y = e függvéy Taylor-sorát az = pot körül. Függvéyvizsgálat mootoitás koveitás szélsőérték (87) Vizsgáljuk meg a következő függvéyeket. (Határozzuk meg a zérushelyeket határértékeket azokat az itervallumokat ahol mooto övekvő illetve csökkeő kove illetve kokáv végül ábrázoljuk a függvéyt.) (a) f () = 8( 3 9); (b) f () = ( ) ( + 3) ; (c) f 3 () = + ; (e) f 5 () = (g) f 7 () = si cos (d) f 4() = + 3 ; ( )e ; (f) f 6() = si + cos ; < < π. (88) Határozzuk meg a következő függvéyek lokális szélsőértékeit és azokat az itervallumokat amelyekbe a függvéy mooto kove/kokáv. (a) f() = 4 ; (b) f() = ; (c) f() = ; (d) f() = si + cos ; + (e) f() = ; (f) f() = l. (89) A következő függvéyekél vizsgáljuk meg hogy a függvéy görbéje mely itervallumba kove illetve kokáv. Határozzuk meg a függvéy ifleiós helyeit is. (a) f() = ; (b) g() = ( ) 5; (c) h() = 4 ; (d) i() = + + (e) j() = + l ; (f) k() = arc tg ; ( ) + ; (g) l() = (e e ); (h) m() = (l ) ; (k) () = 3 + ; o() = 5 5. (9) Ha f differeciálható az belső potba és f-ek ott helyi szélső értéke va akkor f ( ) =. Adjuk meg egy olya kokrét függvéyt hogy f ( ) = de f-ek ics helyi szélsőértéke -ba.

12 (9) L Hospital szabály alkalmazásával határozzuk meg az alábbi határértékeket: cos k (a) lim ; (b) lim cos m (d) lim π (g) lim (j) l tg si ( ) ; (e) lim ; (h) lim l( + ) l a l ; (f) lim π e ; (c) lim si ; tg tg 5 ; arc tg 7 5 ; (i) lim + ; lim l ; (k) lim + + si ; (l) lim ctg 3; (m) lim + (si ) ; () lim e (p) (s) si lim ; (q) lim lim ; (t) lim 5 / (9) Bizoyítsuk be az alábbi egyelőtleségeket ( ) e si tg tg 5 ; 3 ; (o) lim 5 4 ; ; (r) lim (u) lim (a) log a < ( ) log a e ha > a > ; (b) l( + ) > + ha > ; (c) (a + )e a < ha a > > ; / ; 7 3 cos. (d) + > e ha < <. (93) A K = cm kerületű téglalapok közül melyikek a legagyobb a területe? (94) Az m területű téglalapok közül melyikek a legagyobb a kerülete? (95) Az r = m sugarú körbe írható téglalapok közül melyikek a legagyobb a területe? És a kerülete? (96) Határozza meg az f() = + függvéy ifimumát és szuprémumát a ] [ itervallumo! + 4 (97) Egy d átmérőjű kör alakú fatörzsből geredát faragak melyek keresztmetszete b alapú és h magasságú téglalap. Mikor lesz a gereda (bh -tel aráyos) szilárdsága a maimális? (98) Az R sugarú gömbbe írjuk maimális térfogatú hegert! (99) Határozzuk meg azt a legagyobb térfogatú kúpot amelyek alkotója adott l hosszúságú! () Egymással ϑ szöget bezáró egyeesek meté egy-egy hajó halad álladó u ill. v sebességgel. Határozzuk meg a hajók közti legrövidebb távolságot ha egy adott időpillaatba a hajók távolsága az egyeesek metszéspotjától számítva a ill. b! () Egy személy Ft bruttó jövedelme utái A() Ft adóját az A() = a(b + c) p + k képlettel számolhatjuk ahol a b c pozitív álladók p > k R. Milye jövedelem mellett lesz az átlagos adóháyad Ā() = A() miimális? () Adott darab szám a a... a. Keressük meg azt az számot amely ezeket legjobba közelíti abba az értelembe hogy a d() := ( a ) + ( a ) + + ( a )

13 3 a lehető legkisebb legye! (3) Keressük meg az f() = függvéy (globális) maimumát és miimumát a [ ] itervallumo. (4) Egy cég egyféle terméket gyárt. Egy adott időszakba termelt és eladott meyiségű termékből B() bevétele va míg költségei K()-t teszek ki (valamilye pézegységbe). Az meyiségű termék eladásából származó P () profit P () = B() K(). Techikai korlátok miatt a cég egy adott időszakba legfeljebb meyiségű terméket tud előállítai így [ ]. Milye [ 5] mellett lesz a profit maimális ha (a) B() = 84 K() = (b) B() = 4 K() = (c) B() = 84 K() = (5) Az előző feladatba legye K() = a 3 + b + c + d ahol a > b c d > adott kostasok. Igazolja hogy az A() := K() átlagos költségfüggvéyek va miimuma a ] [ itervallumba. Keressük meg ezt a miimumhelyet ha b =. (6) Legye most K() = a b + c ahol a > b > c >. Igazolja hogy az átlagos költségfüggvéyek va miimuma a ] [ itervallumba és keresse is meg ezt a miimumhelyet! (elég az első deriváltat kiszámoli!) Határozatla itegrál (7) Az alapitegrálok elemi átalakítások és lieáris helyettesítések segítségével számítsuk ki a következő itegrálokat! a) d b) + d + c) d d) ( + e )d e) ( ) d f) ( ) d g) ( )( ) d h) ( ) d i) d /3 + j) d k) (t + 6t 5)dt l) d ( m) e ) cos d ) + 5 d o) ( 3) d p) 3 3 d q) d 5 r) 5 + d s) + 3 d t) d 3 (8) Az f α f = f α+ α + (α ) és f = l f f

14 4 formulák segítségével határozzuk meg a következő itegrálokat! a) b) c) d) e) f) + + d ( 4) d l d tg d si + si d d g) h) i) j) k) l) e + e + d + 3 d 5 d d d d (9) Számítsuk ki (parciális itegrálással) a következő határozatla itegrálokat! a) e d e) e cos d b) 3 e d f) e cos d c) si d g) e si d d) l d h) l d i) ( )e d m) 7 l d j) ( + ) cos d ) arc tg d k) ( 3 3 7) si d o) arc tg d l) ( + ) l d p) arcsi d () Alkalmas helyettesítésekkel határozzuk meg a következő határozatla itegrálokat! a) e d 3 b) ( + 3 ) 3 d c) ( + ) d d) d (8 + 7) 3 e) d f) si 3 cos d 3 + g) d 5 si h) cos3 d arc tg 3 i) + d tg j) cos d () Itegráljuk a következő racioális törtfüggvéyeket!

15 5 () Botsa fel a 3 a) + d b) 3 d c) d + 3 d) + 3 d e) f) g) h) 5 ( )( + 5) d + 3 ( )( + 5) d 3 d d 3 ( + ) ( + ) 5 ( ) 3 ( + ) ( + + ) racioális törteket parciális törtekre és az együtthatók kiszámolása élkül (határozatla együtthatókkal) határozza meg e függvéyek itegrálját! (3) Alkalmas helyettesítéssel számítsuk ki az alábbi határozatla itegrálokat! a) + cos d (t = tg 3 i) ( + ) 4 d b) d d k) + + ( + ) 3 + si e 4 c) + e d d l) + cos e l d) d (e = t ) m) + l d e) tg 3 d d (t = tg ) ) cos e f) d d o) cos g) d ( = si t) p) si(l ) d h) + d Határozott itegrál (4) Számítsuk ki a következő határozott itegrálokat! 3 d ; π si d ; cos d ; π d ; d. (5) Legye ha < f() = 3 ha = ha > ; g() = { ha < ha >. Meyi a következő itegrálok értéke? 3 5 f() d ; g() d.

16 6 (6) Számítsuk ki a következő itegrálokat! 3 e d ; ( ) 7 d ; π/ π/3 ctg () d. (7) Számítsuk ki a következő határozott itegrálokat! 3 e d ; 4 d ; e e 4 + e d ; 4 3 d. Improprius itegrálok (8) Létezek-e a következő improprius itegrálok? Ha ige számítsuk ki őket! l d ; e l d ; l d ; d ; d ; e d ; + e d ; d ; d ; 3 d ; 3 d d +. (9) Létezek-e az alábbi improprius itegrálok? Ha ige számítsuk ki őket! d 3 ; d ( ) ; 4 e d ; d ; + 6 e /3 d ; 3 d ; d ; + d. Az itegrál alkalmazásai () Egy mukás bére egy adott év -edik apjá b() = forit. Meyit keres így egy év alatt? Helyes-e az itegrálszámítást haszáli a feladat megoldásához? () Egy üzem raktárába r egység ayagmeyiség va és ezt T ap alatt dolgozzák fel. A redelkezésre álló adatok szerit a raktárkészlet fogyásáak grafikoja jól közelíthető egy y = a( b) parabolával a [ T ] itervallumo. Számítsuk ki a -t és b -t majd határozzuk meg a T apra fizetedő raktározási költségeket ha egy egység raktározása R foritba kerül apokét. () Legye A = {( y) y } és B = {( y) y + }. Meyi A B területe? (3) Meyi az a + y = ellipszis területe? b (4) Meyi az f() = 4 függvéy görbéjéek a hossza = 5 és = között?

17 7 (5) Ha egy [a b]- értelmezett f() függvéy görbéjét megforgatjuk az -tegely körül akkor az általa határolt forgástest térfogata V = b a f () π d. Ezt felhaszálva számítsuk ki egy gömb és egy kúp térfogatát! (6) Forgassuk meg az y tegely körül az y = 8 egyeletű paraboláak az első síkegyedbe eső részét! Mekkora térfogatú test keletkezik? Kettős itegrál (7) Számítsuk ki a következő itegrálokat: y d dy ; e +y dy d ; b d y d dy a c (8) Itegrálja a következő függvéyeket a megadott A tartomáyo! ( + y ) d dy A = {( y) y } A (a + by + c) d dy A = {( y) ( ) + (y ) } A cos( + y) d dy A = {( y) y + y π} A ( + y + ) d dy A = {( y) + y y} ( > adott). A (9) Határozza meg a ddy kettős itegrál értéket ahol A A = { ( y) y y }! (3) Határozza meg a ddy kettős itegrál értéket ahol A az y = 3 és az y = + 4 A parabolák által közrezárt tartomáy! (3) Határozza meg a ( + y) ddy kettős itegrál értéket ahol A az = y = és az A A + y = egyeletű egyeesek által határolt háromszög! (3) Határozza meg a e y ddy kettős itegrál értéket ahol A az = y = és az y = egyeletű görbék által határolt síkrész!

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

x + 3 sorozat első hat tagját, ha

x + 3 sorozat első hat tagját, ha Soroztok, soroztok megdás rekurzív módo.. Az ( ) soroztot rekurzív módo dtuk meg 7 -, sorozt első két tgj ( < ) egybe gyökei következő egyeletek: sorozt első öt tgját. y.adott ( ). Írd fel ( ) x 0 x. Htározd

Részletesebben

Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16).

Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16). FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS Definíció Definíció Az f ( ) függvény pontban értelmezett deriváltja a f ( + ) f ( ) lim határértékkel egyenlő amennyiben az létezik ( lásd Fig 6) df A deriváltat

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

Rajzolja fel a helyettesítő vázlatot és határozza meg az elemek értékét, ha minden mennyiséget az N2 menetszámú, szekunder oldalra redukálunk.

Rajzolja fel a helyettesítő vázlatot és határozza meg az elemek értékét, ha minden mennyiséget az N2 menetszámú, szekunder oldalra redukálunk. Villams Gépek Gyakrlat 1. 1.S = 100 kva évleges teljesítméyű egyfázisú, köpey típusú traszfrmátr (1. ábra) feszültsége U 1 /U = 5000 / 400 V. A meetfeszültség effektív értéke U M =4,6 V, a frekvecia f=50hz.

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke B teszt 87 B teszt A világot csak hat szám vezérli. (Marti Rees) Ezt a köyvet öt betű.. Az = + +,, = sorozat határértéke ( + ) a) ; b) ; c) d) ; e) em létezik.. A lim{ e } határérték ({ } az törtrésze)

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

Többváltozós függvények Riemann integrálja

Többváltozós függvények Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Az integrál konstrukciója tetszőleges változószám esetén Deiníció: n dimenziós

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Sorozatok begyakorló feladatok

Sorozatok begyakorló feladatok Sorozatok begyakorló feladatok I. Sorozatok elemeinek meghatározása 1. Írjuk fel a következő sorozatok első öt elemét és ábrázoljuk az elemeket n függvényében! a n = 4n 5 b n = 5 n 2 c n = 0,5 n 2 d n

Részletesebben

Tanmenetjavaslat. az NT-11580 raktári számú Matematika 5. tankönyvhöz. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, Budapest

Tanmenetjavaslat. az NT-11580 raktári számú Matematika 5. tankönyvhöz. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, Budapest Tameetjavaslat az NT-11580 ratári sú Matematia 5. taöyvhöz Otatásutató és Fejlesztő Itézet, Budapest A tameetjavaslat 144 órára lebotva dolgozza fel a taayagot. Ameyibe eél több idő áll a redelezésüre,

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat

Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat 1. Egy borfajta alkoholtartalmának meghatározására méréseket végzünk. Az egyes mérések eredményei egymástól független valószínûségi változók, melyek normális eloszlásúak,

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.)

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) 22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) A) A PERMUTÁCIÓK CIKLIKUS SZERKEZETE 1. feladat: Egy húsztagú társaság ül az asztal körül. Néhányat közülük (esetleg az összeset) párba állítunk, és a párok

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor

Részletesebben

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +

Részletesebben

Miskolci Egyetem, Gyártástudományi Intézet, Prof. Dr. Dudás Illés

Miskolci Egyetem, Gyártástudományi Intézet, Prof. Dr. Dudás Illés 6. MENETMEGMUNKÁLÁSOK A csavarfelületek egyrészt gépelemek összekapcsolására (kötő menetek), másrészt mechanizmusokban mozgás átadásra (kinematikai menetek) szolgálnak. 6.1. Gyártási eljárások a) Öntés

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Mikrohullámok vizsgálata. x o

Mikrohullámok vizsgálata. x o Mikrohullámok vizsgálata Elméleti alapok: Hullámjelenségen valamilyen rezgésállapot (zavar) térbeli tovaterjedését értjük. A hullám c terjedési sebességét a hullámhossz és a T rezgésido, illetve az f frekvencia

Részletesebben

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából

A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei fizikából és matematikából A továbbhaladás feltételei a 9. szakközépiskolai osztályban fizikából 2 Minimum követelmények 2 A továbbhaladás feltételei a 10. szakközépiskolai osztályban

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket!

4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! ) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! 4 c) d) e) f) 9k + 6k l + l = ay + 7ay + 54a = 4 k l = b 6bc + 9c 4 + 4y + y 4 4b 9a évfolyam javítóvizsgára ) Végezd el az alábbi műveleteket és hozd a

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert) GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 2008 április 11 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti keretbe írja!

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. október 25. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2007. október 25. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A:= { a csoport tanulói b) B:= { Magyarország városai ma c) C:=

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben