ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA"

Átírás

1 ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add tovább! 3.0 Uported Licec feltételeiek megfelelőe szabado felhaszálható.

2 . A Beroulli-egyelőtleség és a számtai és a mértai közepek közötti egyelőtleség. Beroulli-egyelőtleség: Legye N és h R Ekkor: ( + h) + h és = = h = 0 Teljes idukció(-re):. = -re h R-re ( + h) + h + h + h 2. Idukciós feltevés: Tfh. valamely -re igaz: ( + h) + h 3. Kell, hogy + -re is igaz legye: ( + h) + + ( + ) h Ugyais ( + h) + = ( + h) ( + h) +h 0 id.felt.miatt ( + h) ( + h) = + h + h + h 2 = = + ( + )h + h 2 + ( + )h N, -re igaz. h 2 0 Egyelőség esete: Ha h = 0 vagy =, akkor yilvá ( + h) = + h Tegyük fel, hogy ( + h) = + h valamilye N és h [, + ) eseté. Tegyük még fel azt is, hogy 2. Azt kell igazoluk, hogy ekkor h csak 0-val lehet egyelő. Mivel ( + h) = + h h(( + h) + ( + h) ) = h, ezért h > 0 em lehet, mert ekkor ( + h) + ( + h) >. Viszot h < 0 sem lehet, mert ebbe az esetebe 0 ( + h) + ( + h) <. Számtai és mértai közepek közötti egyelőtleség: Legye N 0 x... x R Ekkor x x 2...x ( x +x 2...+x ) és = x = x 2 =... = x Teljes idukció -re és Beroulli egyelőtleség:, = 0 x R : x ( x ) = x b, = 2 0 x, x 2 R kell: x x 2 ( x +x 2 ) 2 4x 2 x 2 x 2 + 2x x 2 + x x 2 2x x 2 + x (x x 2 ) 2 Sőt, itt = x x 2 = 0 x = x 2 2, Tegyük fel, hogy valamely N mellett x,..., x R eseté teljesül az egyelőtleség: x x 2...x ( x +x 2...+x ) Jelölés: P := x x 2... x, S = x +x 2 + +x Ekkor: P S Kell: + -re, azaz 0 x, x 2,..., x + számra: P + S+ + Bizoyítása: S+ + = ( x +x 2 + +x +x + ) + = ( S+x + ) + = ( S+S S+x + ) + = (S + x + S ) + = + ( + x + S S + ( + ( + ) x + S (+)S ) = S 0 S+ S + (+ x+ S ) = S + x + (+) S =h ) + Beroulli S = S x + id feltevés miatt x + 0 P + Kell még: Ha S = 0 x = x 2 = = x = 0 2 P x + = x x 2... x x + =

3 illetve h = x + S (+)S /( + S ) x + S S S x + + S 0 és ez igaz. = bizoyítása: Ha x = x 2 = = x akkor a két oldal egyelő ezért az állítása igaz. Tegyük most fel, hogy az x k számok em mid egyelőek egymással. Jelölje x a legkisebb, x 2 pedig a legyagyobb számot az x k számok között. Legye továbbá: S := x +x 2 + +x. Ekkor x < S < x 2. Írjuk most x helyébe S -et, x 2 helyébe pedig (x + x 2 S )-et. Az így kapott S, x + x 2 S, x 3, x 4,..., x számok számtai közepe yilvá S, és a mértai közepükre az miatt az S (x + x 2 S ) x x 2 = (S x )(x 2 S ) > 0 S (x + x 2 S )x 3 x 4... x > x x 2 x 3... x egyelőtleség teljesül. Ez azt jeleti, hogy a számtai közép változatla maradt, a mértai közép pedig övekedett. Ha a S, x + x 2 S, x 3, x 4,..., x alatti számok em mid egyelők egymással, akkor folytatjuk az elárást. Végül legfeljebb lépésbe midegyik száms lesz. A számtai közép em változott, a mértai midigg őtt, most egyelőség lett, tehár eredetileg a mértai közép kisebb volt, mit a számtai közép. 2. A teljes idukció elve és a szuprémum elv. Teljes idukció elve: Legye A egy állítás. N Tfh.: A 0 igaz Ha A igaz, akkor A + is igaz N Ekkor A igaz N-re Legye S = { N : A igaz } = S N S iduktív halmaz, hisze 0 S, mert A 0 igaz, ha S, akkor A() igaz A (+) igaz + S S iduktív N a legkisebb iduktív halmaz N S S = N A igaz N-re.. Szuprémum elv: H R felülről korlátos halmaz felső korlátai között va legkisebb. H = A, B := {k R : k felső korlátja A-ak} a A k B : a k A, B, mert felülről korlátos teljességi axióma alapjá ξ R a A, k B : a ξ k a ξ a A-ra ξ felső korlát, és ξ a legkisebb felső korlát, mert ha k felső korlát és ξ k ξ a legkisebb felső korlát. 3

4 3. Az arkhimédeszi tulajdoság. a R, a > 0 b R : N : b < a Idirekt: Tfh. a R, a > 0 : b R N : b a H = {a : N} H felülről korlátos, hisze a b N ξ = suph ξ a legkisebb felső korlát ξ a em felső korlát N : a > ξ a ( + )a > ξ hisze ( + )a ξ mert ξ felső korlátja a H halmazak.. 4. A Cator tulajdoság. Legye [a, b ] R korlátos zárt itervallum Ha [a +, b + ] [a, b ] N-re, akkor N [a, b ] Legye A := {a : N}, B := {b : N} Ekkor a b m, m N, hisze: - m : a a m b m - > m a b b m Teljességi axióma miatt ξ R : a ξ b m ξ [a, b ] N ξ [a, b ]. N, m N a ξ b N 5. Sorozat határértékéek egyértelműsége. Az (a ) sorozatak határértéke, ha A R, ε > 0, 0 N, 0 : a K ε (A) Az elöző A szám az (a ) sorozat határértéke, és ez a szám egyértelmű. Idirekt: Tegyük, fel, hogy A és A 2 is kielégití a defiíciót. Legye ε A A 2 2 K ε (A ) K ε (A 2 ) = lim a = A ε-hoz N, : a K ε (A ) lim a = A 2 ε-hoz 2 N, 2 : a K ε (A 2 ) Legye 0 = max{, 2 } ε-hoz 0 N, 0 : a K ε (A ) K ε (A 2 ) = 4

5 6. A redőrelv. (a ), (b ), (c ) sorozatok. Tegyük fel, hogy: N N, N a b c ha lim a = lim c, akkor lim b = lim a Legye A = lim a = lim c, A R ε > 0 N : a K ε (A) = (A ε, A + ε) A R ε > 0 2 N 2 : c K ε (A) = (A ε, A + ε) Legye 0 = max{, 2, N} ε > 0 0 N, 0 : A ε < a b c < A + ε ε > 0 0 N, 0 b K ε (A) lim b = A 2, A = P R N, a > P Legye 0 = max{, N} P R 0 N, 0 : b a > P lim b = 3, A = P R N, c < P Legye 0 = max{, N} P R 0 N, 0 : b c < P lim b =. 7. Mit lehet modai két sorozat tagjairól, ha az egyik határértéke agyobb mit a másiké? (a ), (b ) sorozatok, A = lim a, B = lim b A > B N, N : a > b a, A, B R Legye ε A B K 2 ε (B) K ε (A) = lim a = A ε > 0 N, : a K ε (A) lim b = B ε > 0 2 N, 2 : b K ε (B) Legye N = max{, 2 } N N, N : b < B + ε A ε < a b, A =, B R Tetszőleges ε > 0-hoz 0 N 0 : b K ε (B) P = B + ε-hoz N : : a > P N = max{ 0, }, N : b < B + ε = P < a c, A =, B = Tetszőleges P R:, : b < P 2, 2 : a > P N = max{, 2 }, N : b < P < a d, A R, B = Tetszőleges ε > 0-hoz 0 N 0 : a K ε (A) P = A ε-hoz N : : b < P N = max{ 0, }, N : b < A ε = P < a. 5

6 8. Műveletek ullasorozatokkal. Tegyük fel, hogy (a ), (b ) is ullsorozat. Ekkor i, (a + b ) is ullsorozat. ii, Ha (c ) korlátos, akkor (a c ) is ullsorozat. iii, (a b ) is ullsorozat. i, lim a = 0, lim b = 0 ε > 0, : a < ε 2 ε > 0 2, 2 : b < ε 2 ε > 0 0 = max{, 2 }, 0 : a + b a + b < ε lim(a + b ) = 0 ii, (c ) korlátos K R, N : c K lim a = 0 ε > 0 0, 0 a < ε/k ε > 0 0, 0 : a c < ε K K = ε lim(a c ) = 0 iii, (b ) ullsorozat (b ) korlátos. Lásd ii, potot!. 9. Mooto övő sorozat határértéke (véges és végtele eset). Ha (a ) mooto ő és felülről korlátos, akkor koverges is, és lim a = sup{a : N} Ha (a ) mooto ő és em felülről korlátos, akkor lim a = (a ) felülről korlátos ξ = sup{a : N} R N : a ξ és ε > 0, 0, N 0 : ξ ε < a 0 a ξ lim a = ξ. (a ) em felülről korlátos K R 0 N : a 0 > K K R, 0 N 0 : K < a 0 < a lim a =. 6

7 0. A geometriai sorozat határértéke. Az e szám bevezetése az ( + /) ( N) sorozattal. Geometria sorozat: 0, ha q < lim q, ha q = =, ha q >, ha q i, q > q = + h, ahol h > 0 q = ( + h) + h (Beroulli) lim q = ii, q = iii, q < Ha q = 0 Legye q <, q 0 Ekkor > = + h, h > 0 q q ( q ) = ( + h) + h > h 0 < q < 0 lim h redorelv q = 0 iv, q =, ( ) diverges v, q < q > lim q = lim q 2 = és lim q 2+ = lim q. Az e szám bevezetése: Az a = ( + ) sorozat korlátos, és mooto ő, ezért koverges és e := lim( + ) 2, 7 Az (a ) sorozat mooto övekedéséek bizoyításához felhaszáljuk a számtai és mértai közepek közötti egyelőtleséget: ( + ( + a = ( + ) = ( + )( + )... ( + ) ) ) + = ( + + szer + )+ = a + Az (a ) sorozat korlátosságáak bizoyításához felhaszáljuk a számtai és mértai közepek közötti egyelőtleséget: ( + 4 ) = ( ) ( 2 + ( + ) 2 ) +2 = + 2 Ebből következik, hogy a 4 ( N) ezért a sorozat felülről korlátos. A mooto övekedés miatt yilvá alulról is korlátos. 7

8 . Az ( a, N), (, N), ( k q, N), (a /!, N), (!/, N) sorozat határértéke. a, N: a > 0 eseté lim a = i, a > a > a = + h, h > 0 a = ( a) = ( + h ) + h a 0 Ber. h > 0 0 lim h = 0 lim( a ) = 0 lim a = ii, a = iii, 0 < a < a > lim a = lim a = lim a =., N: lim = = + h, h > 0 = ( ) = ( + h ) ( ) h 2 = ( ) h 2 h 2 > 0 0 lim h 2 = 0 lim h = 0 lim =. k q, N: k N q < rögzített: lim k q = 0 > = + h ( q q q ) = ( + h) ( ) k+ h k+ ( > k) =! = (k + )!( k + )! hk+ = hk+ ( k)... (k + )! 0 k q = (k + )! h k+ }{{} kostats (k + )! h k+ k ( k)( k + )... ( k k )(... ) }{{} (a /!, N: a R rögzített lim a = 0! Legye 0 a a = a a! 2... a a = (k + )! h k+ k+ ( k 0 lim k q = 0. }{{} 0 a a < a a 2... a }{{ 0 } =c a = c a k )( k )... = 0 lim a! = 8

9 !/, N: lim! = 0 0 <! = < 0 lim! = Nevezetes sorok: a geometria sor, a teleszkópikus sor, a sor, a harmoikus sor. 2 Geometriai sor: =0 q sor koverges q <. Ekkor =0 q = q q + s = q 0 + q +... q q q = + q = a + b + = (a b)(a + a b + + ab + b ) Legye a =, b = q. ( q + ) sorozat koverges q < Ekkor lim s = lim q+ q = q. Teleszkópikus sor: k= k(k+) k(k+) = k k+ = = sorozat koverges. s = (s ) koverges és lim s =. 2 = sor: (+) = ( 2 )+( 2 3 )+( 3 4 )+ +( + ) = + sor koverges és = 2 2 < ( > ) 2 ( ) s = < = + = 2 2 (s ( ) ) korlátos és szigorúa mooto övekvő (s ) koverges. 9

10 Harmoikus sor: = sor diverges és = = Legye 2 k < 2 k+ s = + + ( + ) + ( + + ) + + ( + + ) + ( + + ) > k + 2 k 2 k+ k lim s 2 =. 3. Sorokra voatkozó Cauchy-féle kovergeciakritérium. A kovergecia egy szükséges feltétele. Cauchy-féle kovergeciakritérium: a sor koverges ε > 0 0 N, m > 0 (, m N) : =0 a koverges (s ) koverges s m s < ε De s m s = a a m. Szükséges feltétel: Ha a koverges, akkor lim a = 0 a + + a a m < ε ε > 0 0, m > 0 (m, N) : cauchy a koverges ε > 0 0, N m > 0 : a a m < ε Legye m = + ε > 0 0, N 0 : a + < ε lim a = 0. 0

11 4. Az e-re voatkozó e = Az e-re voatkozó: e = előállítás k! = = e k! 0!! 2!! s : k! ( N), elég beláti, hogy: k! előállítás. Az e irracioális szám. 2, 6 < e < 2, 8. s koverges, és lim(s ) = e s + = + = s k! (+)! + > s (+)! (s ) ; Elég beláti, hogy felső korlát: x := ( + ) ( ) : lim x = e Fejtsük ki biomiálisa az ( + ) -t! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) = k + + k ( ) itt: k =! k k!( k)! = ( k)!( k + )!( k + 2)!... ( k + k)! = k k! ( k)! k = k + k k + k = ( k ) ( k 2 ) (... 0 ) = k! k! ( k! ) ( 2 ) (... k ) < k! ( Tehát: + ) = +! + ( ) + ( ) ( 2 ) + + 2! 3! }{{}}{{} < < + k! ( ) (... k ) < +! + 2! + 3! + + k! + +! = s + + ( ) (... ) <! }{{} ( ) Tehát : ( + ) < s Felső becslés s -re: Legye k N, és vegyük k természetes számokat! Ekkor ( + ) + + ( ) + + ( k )... ( )! 2! k! }{{} itt a ( )-beli pozitívszámokkal több va k fix, és lim ( + ) k N : = s! 2! k!! 2! k! k e Tehát N : ( + ) < s e (s ) koverges, és korl,mo lim( + ) lim(s ) e lim(s ) = e. kozr.fog Az e irracioális szám: e / Q Idirekt: Tegyük fel, hogy e Q p, q N, q 0 és lko(p, q) = e = p Q q A q N-hez θ q (0, ) e s q = θ q qq! θ q = q q! ( p q q ) k! θ q = pq! q q q! k! (k q)

12 θ q (0,) = pq! q q (k + )(k + 2)... q Z (0, ) itervallumba ics egész szám e / Q. 2

13 5. Pozitív tagú sorokra voatkozó összehasolító kritérium. Tekitsük a a és b pozitív tagú sorokat és tfh.: N N, N : 0 a b Ekkor: i, Ha b koverges, akkor a is koverges ii, Ha a diverges, akkor b is diverges. i, Tegyük fel, hogy b koverges Jelölés: =N b koverges. S := b N + b N+ + + b ( N) s := a N + a N+ + + a b koverges S () korlátos, de s S ( N) (s ) korlátos =N a koverges a koverges. =N =0 ii, Tegyük fel, hogy a diverges a diverges (s ) felülről em korlátos, =N de S s N (S ) felülről em korlátos b diverges =N b diverges. =0 6. A gyökkritérium. Tekitsük a a sort és tegyük fel, hogy lim a = A határérték. Ekkor: i, Ha 0 A <, akkor a abszolút koverges ii, Ha A >, akkor a diverges iii, Ha A =, akkor a lehet koverges vagy diverges is. i, Legye A < q <, lim a = A < q 0 N 0 : a < q 0 N 0 : a < q q geometriai sor koverges, mert q < a is koverges a abszolút koverges. ii, Legye < q < A, lim a = A 0 N 0 : a > q a > q > a diverges, hisze külöbe lim a = 0 iii, Pl. A = koverges. 2 a = = 2 ( = A ) 2 diverges, és = = A. 3

14 7. A háyadoskritérium. Tekitsük a a sort, a 0, ( N). Tegyük fel, hogy lim a + a = A határérték. Ekkor: i, Ha 0 A <, akkor a abszolút koverges ii, Ha A >, akkor a diverges iii, Ha A =, akkor a lehet koverges vagy diverges is. i, Legye A < q <, lim a + a = A 0 N 0 : a + a < q 0 : a + < q a a < q a < q 2 a 2 < q 3 a 3 < < q 0 a 0 = = q 0 a 0 q ( 0 ) a < K q ( 0 ) }{{} =K Kq koverges geometriai sor, hisze 0 < q < a sor a abszolút koverges. ii, Legye < q < A, lim a + a = A 0 N 0 : a + a > q a > q a > > q 0 a 0 = Kq > K > 0 lim a 0 a diverges. iii, diverges, de + = + = A ( ) 2 kovergs, de = A. 2 + (+) 2 2 = 8. A tizedes törtektre voatkozó két tétel. Tfh (a ) : N {0,,..., 9} Ekkor = a 9 a = a koverges és α = sor koverges, hisze 0 = = = a [0, ] 0 9 = 9 0 = = (geometriai sor). = Ha α [0, ], akkor (a ) : N {0,,..., 9}, hogy α = = = = a 0 = 0 k A [0, ] itervallumot 0 egyelő itervallumra osztjuk. I = [ a, a + ], α I 0 0 I -et osztjuk 0 egyelő itervallumra. I 2 = [ a + a 2, a + a 2+ ], α I I = [ a + a a, a a a+ ], α I ahol a, a 2,... a {0,,..., 9} Jel: s = a + a a α I s α s + 0 α s 0 0 lim s 0 = α a = α. 0 = 4

15 9. Sorok tégláyszorzatáak defiíciója. Két koverges sor tégláyszorzatáról szóló tétel. Defiíció: a és b két sor. =0 =0 Ekkor a t sort tégláyszorzatak evezzük, ahol t := a i b j max(i,j)= Ha a és b koverges, akkor a t tégláyszorzat is koverges, és t = ( a )( b ) =0 =0 N t = N =0 =0 =0 max(i,j)= t koverges és a i b j = =0 max(i,j) N t = ( =0 a i b j = ( N =0 a )( )b ). =0 a )( N =0 b ) ( =0 a )( =0 b ) 20. Torlódási pot fogalma. Függvéy határértéke egyértelmű. Defiíció: Az a R pot a H R halmaz torlódási potja, ha ε > 0-ra H K ε (a) végtele halmaz. A függvéy határértékéek egyértelműsége: Az f R R függvéyek az a D f potba va határértéke, ha A R, ε > 0 δ > 0, x D f (K δ (a) \ {a}) : f(x) K ε (A) és a határérték egyértelmű. lim a f = A. Idirekt: Tegyük fel, hogy A A 2 határértékei az f függvéyek az a D f-be ε > 0 δ > 0, x D f (K δ (a) \ {a}) : f(x) K ε (A ) ε > 0 δ 2 > 0, x D f (K δ2 (a) \ {a}) : f(x) K ε (A 2 ) ε > 0 : K ε (A ) K ε (A 2 ) = Legye δ = mi(δ, δ 2 ) ε-hoz δ > 0, x D f K δ (a) \ {a} : f(x) K ε (A ) x D f K δ (a) \ {a} : f(x) K ε (A 2 ) K ε (A ) K ε (A 2 ) =. 2. Az átviteli elv. f R R, a D f Ekkor lim f = A (x ) : N D f \ {a}, lim x = a : lim f(x ) = A a lim f = A ε > 0 δ > 0, x D f (K δ (a) \ {a}) : f(x) K ε (A) a Legye x : N D f \ {a} és lim x = a δ > 0 0 N, 0 : x K δ (a), x a ε > 0 0 N, 0 : f(x ) K ε (A) lim f(x ) = A Tegyük fel, hogy a jobb oldal tejlesül. Idirekt: Tegyük fel, hogy a bal oldal teljesülése mellett lim a f A. ε > 0 δ > 0, x D f (K δ (a) \ {a}) : f(x) / K ε (A) Legye δ = x D f (K lim x = a, x a lim f(x ) = A f(x ) / K ε (A), N. (a) \ {a}) : f(x) / K ε (A). De ekkor x K (a) 5

16 22. A közrefogási elv. A műveletek és a határérték kapcsolata(bizoyítással) Közrefogási elv: f, g, h R R a (D f D g D h ) Tegyük fel, hogy K(a) : f(x) g(x) h(x) x D f D g D h (K (a) \ {a}) Ha lim a f = lim a h, akkor lim a g = lim a f felhaszáljuk: átviteli elv + sorozatok (x ) : N D f \ {a}, lim x = a lim f(x ) = lim h(x ) lim g(x ) = lim f(x ) = lim a f atv.elv lim a g = lim a f. Műveletek és határérték kapcsolata f, g R R, a (D f D g ), lim a f, lim a g. Ekkor: i, lim a (f + g) = lim a f + lim a g, ha ez utóbbi ii, lim a (fg) = (lim a f)(lim a g), ha ez utóbbi iii, lim a ( f g ) = lim a lim a f g, ha ez utóbbi Csak az első állítást bizoyítjuk, a többi már adódik. Legye (x ) : N H \ {a} sorozat, melyre lim x = a. Ekkor lim a f = A atv.elv lim(f(x )) = A lim a g = B atv.elv lim(g(x )) = B Most va két sorozatuk, melyekre alkalmazzuk a műveletek tulajdoságait és az átviteli elvet: lim(f(x ) + g(x )) = A + B 23. A hatváyfüggvéy határértéke. lim x a x = a (a R) lim atv.elv a (f + g) = A + B. x a = x a x + x 2 a + + xa 2 + a x a c δc < ε c Hisze feltehető: x K (a), azaz x (a, a + ) x a + ε > 0 δ = mi( ε, ), x R (K c δ(a) \ {a}) : x K ε (a ) lim x = a. x a 6

17 24. Mooto függvéyek határértéke. Legye = (α, β) R korlátos, vagy em korlátos itervallum. f : (α, β) R mooto függvéy. Ekkor lim f és lim f, a (α, β) : a+0 a 0 i, Ha f mooto ő, akkor: lim f = if{f(x) x < a, x (α, β)} a+0 lim f = sup{f(x) a 0 x < a, x (α, β)} ii, Ha f mooto fogy, akkor: lim f = if{f(x) x > a, x (α, β)} a+0 lim f = sup{f(x) a 0 x > a, x (α, β)} Elég csak egy esetet beláti, a többi állítás a sup és if tulajdoságaiból, és az első állíítás bizoyításából értelemszerűe adódik. Legye M = sup{f(x) x < a} f(x) M x < a, x (α, β) ε > 0 x < a : M ε < f(x ) M x < x < a : M ε < f(x) < M Legye δ : a x ε > 0 δ = a x, x (α, β), x < a, 0 < a x < δ : f(x) M < ε lim a 0 f = M. Felhaszált irodalom - ELTE IK programtervezői iformatikus szak 202 tavaszi féléves Aalízis I. előadás alapjá írt órai jegyzetem - Szili László: Aalízis Feladatokba I. - Wikipédia - Szátó Ádám: Aalízis 7

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10.

Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10. Alízis I. Kidolgozt: Ábrhám Róbert Dr. Szili László elődási lpjá 200. július 0. Trtlomjegyzék. A vlós számok struktúráj 3.. Az R Dedekid-féle xiómredszere (872:................................ 3.2. R részhlmzi:................................................

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3 Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 0. tétel zámsorozto orozt: Oly függvéy, melye értelmezési trtomáy pozitív egész számo hlmz. zámsorozt éphlmz vlós számo hlmz. f : N R f () jelöli sorozt -ei tgját.

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév KÖZGAZDÁSZ SZAK Módszertai szigorlat követelméye, 2014. tavaszi félév A módszertai szigorlat a B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tatárgyak ayagát öleli fel. Szigorlatot az tehet, akiek a Matematika

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 014. január 19. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.: 6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú

Részletesebben

Határérték-tételek véletlen mezőkre

Határérték-tételek véletlen mezőkre Határérték-tételek véletle mezőkre Doktori (PhD) értekezés Szerző: Karácsoy Zsolt Témavezető: Dr. Fazekas Istvá Debrecei Egyetem Természettudomáyi Doktori Taács Matematika- és Számítástudomáyok Doktori

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 63 5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Egy f függvény folytonossága valamely u D(f) helyen els közelítésben azt jelenti, hogy az f(u) helyettesítési érték tetsz

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Programkonstrukciók A programkonstrukciók programfüggvényei Levezetési szabályok. 6. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 6.

Programkonstrukciók A programkonstrukciók programfüggvényei Levezetési szabályok. 6. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 6. Programkonstrukciók Definíció Legyen π feltétel és S program A-n. A DO A A relációt az S-ből a π feltétellel képezett ciklusnak nevezzük, és (π, S)-sel jelöljük, ha 1. a / [π] : DO (a) = { a }, 2. a [π]

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

SZTE TTIK Bolyai Intézet

SZTE TTIK Bolyai Intézet Néhány érdekes végtelen összegről Dr. Németh József SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj Háttéranyag: Németh József: Előadások a végtelen sorokról (Polygon, Szeged,

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

Matematika szigorlat (A1-A2-A3)

Matematika szigorlat (A1-A2-A3) Matematika szigorlat (A1-A2-A3) szóbeli kérdések kidolgozás ikkel, 2014-2016 Felhaszált források: 1. Szilágyi Brigitta előadásai készült saját jegyzet 2. Obádovics J. Gyula, Szarka Zoltá Felsőbb matematika

Részletesebben