ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

Save this PDF as:
Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA"

Átírás

1 ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add tovább! 3.0 Uported Licec feltételeiek megfelelőe szabado felhaszálható.

2 . A Beroulli-egyelőtleség és a számtai és a mértai közepek közötti egyelőtleség. Beroulli-egyelőtleség: Legye N és h R Ekkor: ( + h) + h és = = h = 0 Teljes idukció(-re):. = -re h R-re ( + h) + h + h + h 2. Idukciós feltevés: Tfh. valamely -re igaz: ( + h) + h 3. Kell, hogy + -re is igaz legye: ( + h) + + ( + ) h Ugyais ( + h) + = ( + h) ( + h) +h 0 id.felt.miatt ( + h) ( + h) = + h + h + h 2 = = + ( + )h + h 2 + ( + )h N, -re igaz. h 2 0 Egyelőség esete: Ha h = 0 vagy =, akkor yilvá ( + h) = + h Tegyük fel, hogy ( + h) = + h valamilye N és h [, + ) eseté. Tegyük még fel azt is, hogy 2. Azt kell igazoluk, hogy ekkor h csak 0-val lehet egyelő. Mivel ( + h) = + h h(( + h) + ( + h) ) = h, ezért h > 0 em lehet, mert ekkor ( + h) + ( + h) >. Viszot h < 0 sem lehet, mert ebbe az esetebe 0 ( + h) + ( + h) <. Számtai és mértai közepek közötti egyelőtleség: Legye N 0 x... x R Ekkor x x 2...x ( x +x 2...+x ) és = x = x 2 =... = x Teljes idukció -re és Beroulli egyelőtleség:, = 0 x R : x ( x ) = x b, = 2 0 x, x 2 R kell: x x 2 ( x +x 2 ) 2 4x 2 x 2 x 2 + 2x x 2 + x x 2 2x x 2 + x (x x 2 ) 2 Sőt, itt = x x 2 = 0 x = x 2 2, Tegyük fel, hogy valamely N mellett x,..., x R eseté teljesül az egyelőtleség: x x 2...x ( x +x 2...+x ) Jelölés: P := x x 2... x, S = x +x 2 + +x Ekkor: P S Kell: + -re, azaz 0 x, x 2,..., x + számra: P + S+ + Bizoyítása: S+ + = ( x +x 2 + +x +x + ) + = ( S+x + ) + = ( S+S S+x + ) + = (S + x + S ) + = + ( + x + S S + ( + ( + ) x + S (+)S ) = S 0 S+ S + (+ x+ S ) = S + x + (+) S =h ) + Beroulli S = S x + id feltevés miatt x + 0 P + Kell még: Ha S = 0 x = x 2 = = x = 0 2 P x + = x x 2... x x + =

3 illetve h = x + S (+)S /( + S ) x + S S S x + + S 0 és ez igaz. = bizoyítása: Ha x = x 2 = = x akkor a két oldal egyelő ezért az állítása igaz. Tegyük most fel, hogy az x k számok em mid egyelőek egymással. Jelölje x a legkisebb, x 2 pedig a legyagyobb számot az x k számok között. Legye továbbá: S := x +x 2 + +x. Ekkor x < S < x 2. Írjuk most x helyébe S -et, x 2 helyébe pedig (x + x 2 S )-et. Az így kapott S, x + x 2 S, x 3, x 4,..., x számok számtai közepe yilvá S, és a mértai közepükre az miatt az S (x + x 2 S ) x x 2 = (S x )(x 2 S ) > 0 S (x + x 2 S )x 3 x 4... x > x x 2 x 3... x egyelőtleség teljesül. Ez azt jeleti, hogy a számtai közép változatla maradt, a mértai közép pedig övekedett. Ha a S, x + x 2 S, x 3, x 4,..., x alatti számok em mid egyelők egymással, akkor folytatjuk az elárást. Végül legfeljebb lépésbe midegyik száms lesz. A számtai közép em változott, a mértai midigg őtt, most egyelőség lett, tehár eredetileg a mértai közép kisebb volt, mit a számtai közép. 2. A teljes idukció elve és a szuprémum elv. Teljes idukció elve: Legye A egy állítás. N Tfh.: A 0 igaz Ha A igaz, akkor A + is igaz N Ekkor A igaz N-re Legye S = { N : A igaz } = S N S iduktív halmaz, hisze 0 S, mert A 0 igaz, ha S, akkor A() igaz A (+) igaz + S S iduktív N a legkisebb iduktív halmaz N S S = N A igaz N-re.. Szuprémum elv: H R felülről korlátos halmaz felső korlátai között va legkisebb. H = A, B := {k R : k felső korlátja A-ak} a A k B : a k A, B, mert felülről korlátos teljességi axióma alapjá ξ R a A, k B : a ξ k a ξ a A-ra ξ felső korlát, és ξ a legkisebb felső korlát, mert ha k felső korlát és ξ k ξ a legkisebb felső korlát. 3

4 3. Az arkhimédeszi tulajdoság. a R, a > 0 b R : N : b < a Idirekt: Tfh. a R, a > 0 : b R N : b a H = {a : N} H felülről korlátos, hisze a b N ξ = suph ξ a legkisebb felső korlát ξ a em felső korlát N : a > ξ a ( + )a > ξ hisze ( + )a ξ mert ξ felső korlátja a H halmazak.. 4. A Cator tulajdoság. Legye [a, b ] R korlátos zárt itervallum Ha [a +, b + ] [a, b ] N-re, akkor N [a, b ] Legye A := {a : N}, B := {b : N} Ekkor a b m, m N, hisze: - m : a a m b m - > m a b b m Teljességi axióma miatt ξ R : a ξ b m ξ [a, b ] N ξ [a, b ]. N, m N a ξ b N 5. Sorozat határértékéek egyértelműsége. Az (a ) sorozatak határértéke, ha A R, ε > 0, 0 N, 0 : a K ε (A) Az elöző A szám az (a ) sorozat határértéke, és ez a szám egyértelmű. Idirekt: Tegyük, fel, hogy A és A 2 is kielégití a defiíciót. Legye ε A A 2 2 K ε (A ) K ε (A 2 ) = lim a = A ε-hoz N, : a K ε (A ) lim a = A 2 ε-hoz 2 N, 2 : a K ε (A 2 ) Legye 0 = max{, 2 } ε-hoz 0 N, 0 : a K ε (A ) K ε (A 2 ) = 4

5 6. A redőrelv. (a ), (b ), (c ) sorozatok. Tegyük fel, hogy: N N, N a b c ha lim a = lim c, akkor lim b = lim a Legye A = lim a = lim c, A R ε > 0 N : a K ε (A) = (A ε, A + ε) A R ε > 0 2 N 2 : c K ε (A) = (A ε, A + ε) Legye 0 = max{, 2, N} ε > 0 0 N, 0 : A ε < a b c < A + ε ε > 0 0 N, 0 b K ε (A) lim b = A 2, A = P R N, a > P Legye 0 = max{, N} P R 0 N, 0 : b a > P lim b = 3, A = P R N, c < P Legye 0 = max{, N} P R 0 N, 0 : b c < P lim b =. 7. Mit lehet modai két sorozat tagjairól, ha az egyik határértéke agyobb mit a másiké? (a ), (b ) sorozatok, A = lim a, B = lim b A > B N, N : a > b a, A, B R Legye ε A B K 2 ε (B) K ε (A) = lim a = A ε > 0 N, : a K ε (A) lim b = B ε > 0 2 N, 2 : b K ε (B) Legye N = max{, 2 } N N, N : b < B + ε A ε < a b, A =, B R Tetszőleges ε > 0-hoz 0 N 0 : b K ε (B) P = B + ε-hoz N : : a > P N = max{ 0, }, N : b < B + ε = P < a c, A =, B = Tetszőleges P R:, : b < P 2, 2 : a > P N = max{, 2 }, N : b < P < a d, A R, B = Tetszőleges ε > 0-hoz 0 N 0 : a K ε (A) P = A ε-hoz N : : b < P N = max{ 0, }, N : b < A ε = P < a. 5

6 8. Műveletek ullasorozatokkal. Tegyük fel, hogy (a ), (b ) is ullsorozat. Ekkor i, (a + b ) is ullsorozat. ii, Ha (c ) korlátos, akkor (a c ) is ullsorozat. iii, (a b ) is ullsorozat. i, lim a = 0, lim b = 0 ε > 0, : a < ε 2 ε > 0 2, 2 : b < ε 2 ε > 0 0 = max{, 2 }, 0 : a + b a + b < ε lim(a + b ) = 0 ii, (c ) korlátos K R, N : c K lim a = 0 ε > 0 0, 0 a < ε/k ε > 0 0, 0 : a c < ε K K = ε lim(a c ) = 0 iii, (b ) ullsorozat (b ) korlátos. Lásd ii, potot!. 9. Mooto övő sorozat határértéke (véges és végtele eset). Ha (a ) mooto ő és felülről korlátos, akkor koverges is, és lim a = sup{a : N} Ha (a ) mooto ő és em felülről korlátos, akkor lim a = (a ) felülről korlátos ξ = sup{a : N} R N : a ξ és ε > 0, 0, N 0 : ξ ε < a 0 a ξ lim a = ξ. (a ) em felülről korlátos K R 0 N : a 0 > K K R, 0 N 0 : K < a 0 < a lim a =. 6

7 0. A geometriai sorozat határértéke. Az e szám bevezetése az ( + /) ( N) sorozattal. Geometria sorozat: 0, ha q < lim q, ha q = =, ha q >, ha q i, q > q = + h, ahol h > 0 q = ( + h) + h (Beroulli) lim q = ii, q = iii, q < Ha q = 0 Legye q <, q 0 Ekkor > = + h, h > 0 q q ( q ) = ( + h) + h > h 0 < q < 0 lim h redorelv q = 0 iv, q =, ( ) diverges v, q < q > lim q = lim q 2 = és lim q 2+ = lim q. Az e szám bevezetése: Az a = ( + ) sorozat korlátos, és mooto ő, ezért koverges és e := lim( + ) 2, 7 Az (a ) sorozat mooto övekedéséek bizoyításához felhaszáljuk a számtai és mértai közepek közötti egyelőtleséget: ( + ( + a = ( + ) = ( + )( + )... ( + ) ) ) + = ( + + szer + )+ = a + Az (a ) sorozat korlátosságáak bizoyításához felhaszáljuk a számtai és mértai közepek közötti egyelőtleséget: ( + 4 ) = ( ) ( 2 + ( + ) 2 ) +2 = + 2 Ebből következik, hogy a 4 ( N) ezért a sorozat felülről korlátos. A mooto övekedés miatt yilvá alulról is korlátos. 7

8 . Az ( a, N), (, N), ( k q, N), (a /!, N), (!/, N) sorozat határértéke. a, N: a > 0 eseté lim a = i, a > a > a = + h, h > 0 a = ( a) = ( + h ) + h a 0 Ber. h > 0 0 lim h = 0 lim( a ) = 0 lim a = ii, a = iii, 0 < a < a > lim a = lim a = lim a =., N: lim = = + h, h > 0 = ( ) = ( + h ) ( ) h 2 = ( ) h 2 h 2 > 0 0 lim h 2 = 0 lim h = 0 lim =. k q, N: k N q < rögzített: lim k q = 0 > = + h ( q q q ) = ( + h) ( ) k+ h k+ ( > k) =! = (k + )!( k + )! hk+ = hk+ ( k)... (k + )! 0 k q = (k + )! h k+ }{{} kostats (k + )! h k+ k ( k)( k + )... ( k k )(... ) }{{} (a /!, N: a R rögzített lim a = 0! Legye 0 a a = a a! 2... a a = (k + )! h k+ k+ ( k 0 lim k q = 0. }{{} 0 a a < a a 2... a }{{ 0 } =c a = c a k )( k )... = 0 lim a! = 8

9 !/, N: lim! = 0 0 <! = < 0 lim! = Nevezetes sorok: a geometria sor, a teleszkópikus sor, a sor, a harmoikus sor. 2 Geometriai sor: =0 q sor koverges q <. Ekkor =0 q = q q + s = q 0 + q +... q q q = + q = a + b + = (a b)(a + a b + + ab + b ) Legye a =, b = q. ( q + ) sorozat koverges q < Ekkor lim s = lim q+ q = q. Teleszkópikus sor: k= k(k+) k(k+) = k k+ = = sorozat koverges. s = (s ) koverges és lim s =. 2 = sor: (+) = ( 2 )+( 2 3 )+( 3 4 )+ +( + ) = + sor koverges és = 2 2 < ( > ) 2 ( ) s = < = + = 2 2 (s ( ) ) korlátos és szigorúa mooto övekvő (s ) koverges. 9

10 Harmoikus sor: = sor diverges és = = Legye 2 k < 2 k+ s = + + ( + ) + ( + + ) + + ( + + ) + ( + + ) > k + 2 k 2 k+ k lim s 2 =. 3. Sorokra voatkozó Cauchy-féle kovergeciakritérium. A kovergecia egy szükséges feltétele. Cauchy-féle kovergeciakritérium: a sor koverges ε > 0 0 N, m > 0 (, m N) : =0 a koverges (s ) koverges s m s < ε De s m s = a a m. Szükséges feltétel: Ha a koverges, akkor lim a = 0 a + + a a m < ε ε > 0 0, m > 0 (m, N) : cauchy a koverges ε > 0 0, N m > 0 : a a m < ε Legye m = + ε > 0 0, N 0 : a + < ε lim a = 0. 0

11 4. Az e-re voatkozó e = Az e-re voatkozó: e = előállítás k! = = e k! 0!! 2!! s : k! ( N), elég beláti, hogy: k! előállítás. Az e irracioális szám. 2, 6 < e < 2, 8. s koverges, és lim(s ) = e s + = + = s k! (+)! + > s (+)! (s ) ; Elég beláti, hogy felső korlát: x := ( + ) ( ) : lim x = e Fejtsük ki biomiálisa az ( + ) -t! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) = k + + k ( ) itt: k =! k k!( k)! = ( k)!( k + )!( k + 2)!... ( k + k)! = k k! ( k)! k = k + k k + k = ( k ) ( k 2 ) (... 0 ) = k! k! ( k! ) ( 2 ) (... k ) < k! ( Tehát: + ) = +! + ( ) + ( ) ( 2 ) + + 2! 3! }{{}}{{} < < + k! ( ) (... k ) < +! + 2! + 3! + + k! + +! = s + + ( ) (... ) <! }{{} ( ) Tehát : ( + ) < s Felső becslés s -re: Legye k N, és vegyük k természetes számokat! Ekkor ( + ) + + ( ) + + ( k )... ( )! 2! k! }{{} itt a ( )-beli pozitívszámokkal több va k fix, és lim ( + ) k N : = s! 2! k!! 2! k! k e Tehát N : ( + ) < s e (s ) koverges, és korl,mo lim( + ) lim(s ) e lim(s ) = e. kozr.fog Az e irracioális szám: e / Q Idirekt: Tegyük fel, hogy e Q p, q N, q 0 és lko(p, q) = e = p Q q A q N-hez θ q (0, ) e s q = θ q qq! θ q = q q! ( p q q ) k! θ q = pq! q q q! k! (k q)

12 θ q (0,) = pq! q q (k + )(k + 2)... q Z (0, ) itervallumba ics egész szám e / Q. 2

13 5. Pozitív tagú sorokra voatkozó összehasolító kritérium. Tekitsük a a és b pozitív tagú sorokat és tfh.: N N, N : 0 a b Ekkor: i, Ha b koverges, akkor a is koverges ii, Ha a diverges, akkor b is diverges. i, Tegyük fel, hogy b koverges Jelölés: =N b koverges. S := b N + b N+ + + b ( N) s := a N + a N+ + + a b koverges S () korlátos, de s S ( N) (s ) korlátos =N a koverges a koverges. =N =0 ii, Tegyük fel, hogy a diverges a diverges (s ) felülről em korlátos, =N de S s N (S ) felülről em korlátos b diverges =N b diverges. =0 6. A gyökkritérium. Tekitsük a a sort és tegyük fel, hogy lim a = A határérték. Ekkor: i, Ha 0 A <, akkor a abszolút koverges ii, Ha A >, akkor a diverges iii, Ha A =, akkor a lehet koverges vagy diverges is. i, Legye A < q <, lim a = A < q 0 N 0 : a < q 0 N 0 : a < q q geometriai sor koverges, mert q < a is koverges a abszolút koverges. ii, Legye < q < A, lim a = A 0 N 0 : a > q a > q > a diverges, hisze külöbe lim a = 0 iii, Pl. A = koverges. 2 a = = 2 ( = A ) 2 diverges, és = = A. 3

14 7. A háyadoskritérium. Tekitsük a a sort, a 0, ( N). Tegyük fel, hogy lim a + a = A határérték. Ekkor: i, Ha 0 A <, akkor a abszolút koverges ii, Ha A >, akkor a diverges iii, Ha A =, akkor a lehet koverges vagy diverges is. i, Legye A < q <, lim a + a = A 0 N 0 : a + a < q 0 : a + < q a a < q a < q 2 a 2 < q 3 a 3 < < q 0 a 0 = = q 0 a 0 q ( 0 ) a < K q ( 0 ) }{{} =K Kq koverges geometriai sor, hisze 0 < q < a sor a abszolút koverges. ii, Legye < q < A, lim a + a = A 0 N 0 : a + a > q a > q a > > q 0 a 0 = Kq > K > 0 lim a 0 a diverges. iii, diverges, de + = + = A ( ) 2 kovergs, de = A. 2 + (+) 2 2 = 8. A tizedes törtektre voatkozó két tétel. Tfh (a ) : N {0,,..., 9} Ekkor = a 9 a = a koverges és α = sor koverges, hisze 0 = = = a [0, ] 0 9 = 9 0 = = (geometriai sor). = Ha α [0, ], akkor (a ) : N {0,,..., 9}, hogy α = = = = a 0 = 0 k A [0, ] itervallumot 0 egyelő itervallumra osztjuk. I = [ a, a + ], α I 0 0 I -et osztjuk 0 egyelő itervallumra. I 2 = [ a + a 2, a + a 2+ ], α I I = [ a + a a, a a a+ ], α I ahol a, a 2,... a {0,,..., 9} Jel: s = a + a a α I s α s + 0 α s 0 0 lim s 0 = α a = α. 0 = 4

15 9. Sorok tégláyszorzatáak defiíciója. Két koverges sor tégláyszorzatáról szóló tétel. Defiíció: a és b két sor. =0 =0 Ekkor a t sort tégláyszorzatak evezzük, ahol t := a i b j max(i,j)= Ha a és b koverges, akkor a t tégláyszorzat is koverges, és t = ( a )( b ) =0 =0 N t = N =0 =0 =0 max(i,j)= t koverges és a i b j = =0 max(i,j) N t = ( =0 a i b j = ( N =0 a )( )b ). =0 a )( N =0 b ) ( =0 a )( =0 b ) 20. Torlódási pot fogalma. Függvéy határértéke egyértelmű. Defiíció: Az a R pot a H R halmaz torlódási potja, ha ε > 0-ra H K ε (a) végtele halmaz. A függvéy határértékéek egyértelműsége: Az f R R függvéyek az a D f potba va határértéke, ha A R, ε > 0 δ > 0, x D f (K δ (a) \ {a}) : f(x) K ε (A) és a határérték egyértelmű. lim a f = A. Idirekt: Tegyük fel, hogy A A 2 határértékei az f függvéyek az a D f-be ε > 0 δ > 0, x D f (K δ (a) \ {a}) : f(x) K ε (A ) ε > 0 δ 2 > 0, x D f (K δ2 (a) \ {a}) : f(x) K ε (A 2 ) ε > 0 : K ε (A ) K ε (A 2 ) = Legye δ = mi(δ, δ 2 ) ε-hoz δ > 0, x D f K δ (a) \ {a} : f(x) K ε (A ) x D f K δ (a) \ {a} : f(x) K ε (A 2 ) K ε (A ) K ε (A 2 ) =. 2. Az átviteli elv. f R R, a D f Ekkor lim f = A (x ) : N D f \ {a}, lim x = a : lim f(x ) = A a lim f = A ε > 0 δ > 0, x D f (K δ (a) \ {a}) : f(x) K ε (A) a Legye x : N D f \ {a} és lim x = a δ > 0 0 N, 0 : x K δ (a), x a ε > 0 0 N, 0 : f(x ) K ε (A) lim f(x ) = A Tegyük fel, hogy a jobb oldal tejlesül. Idirekt: Tegyük fel, hogy a bal oldal teljesülése mellett lim a f A. ε > 0 δ > 0, x D f (K δ (a) \ {a}) : f(x) / K ε (A) Legye δ = x D f (K lim x = a, x a lim f(x ) = A f(x ) / K ε (A), N. (a) \ {a}) : f(x) / K ε (A). De ekkor x K (a) 5

16 22. A közrefogási elv. A műveletek és a határérték kapcsolata(bizoyítással) Közrefogási elv: f, g, h R R a (D f D g D h ) Tegyük fel, hogy K(a) : f(x) g(x) h(x) x D f D g D h (K (a) \ {a}) Ha lim a f = lim a h, akkor lim a g = lim a f felhaszáljuk: átviteli elv + sorozatok (x ) : N D f \ {a}, lim x = a lim f(x ) = lim h(x ) lim g(x ) = lim f(x ) = lim a f atv.elv lim a g = lim a f. Műveletek és határérték kapcsolata f, g R R, a (D f D g ), lim a f, lim a g. Ekkor: i, lim a (f + g) = lim a f + lim a g, ha ez utóbbi ii, lim a (fg) = (lim a f)(lim a g), ha ez utóbbi iii, lim a ( f g ) = lim a lim a f g, ha ez utóbbi Csak az első állítást bizoyítjuk, a többi már adódik. Legye (x ) : N H \ {a} sorozat, melyre lim x = a. Ekkor lim a f = A atv.elv lim(f(x )) = A lim a g = B atv.elv lim(g(x )) = B Most va két sorozatuk, melyekre alkalmazzuk a műveletek tulajdoságait és az átviteli elvet: lim(f(x ) + g(x )) = A + B 23. A hatváyfüggvéy határértéke. lim x a x = a (a R) lim atv.elv a (f + g) = A + B. x a = x a x + x 2 a + + xa 2 + a x a c δc < ε c Hisze feltehető: x K (a), azaz x (a, a + ) x a + ε > 0 δ = mi( ε, ), x R (K c δ(a) \ {a}) : x K ε (a ) lim x = a. x a 6

17 24. Mooto függvéyek határértéke. Legye = (α, β) R korlátos, vagy em korlátos itervallum. f : (α, β) R mooto függvéy. Ekkor lim f és lim f, a (α, β) : a+0 a 0 i, Ha f mooto ő, akkor: lim f = if{f(x) x < a, x (α, β)} a+0 lim f = sup{f(x) a 0 x < a, x (α, β)} ii, Ha f mooto fogy, akkor: lim f = if{f(x) x > a, x (α, β)} a+0 lim f = sup{f(x) a 0 x > a, x (α, β)} Elég csak egy esetet beláti, a többi állítás a sup és if tulajdoságaiból, és az első állíítás bizoyításából értelemszerűe adódik. Legye M = sup{f(x) x < a} f(x) M x < a, x (α, β) ε > 0 x < a : M ε < f(x ) M x < x < a : M ε < f(x) < M Legye δ : a x ε > 0 δ = a x, x (α, β), x < a, 0 < a x < δ : f(x) M < ε lim a 0 f = M. Felhaszált irodalom - ELTE IK programtervezői iformatikus szak 202 tavaszi féléves Aalízis I. előadás alapjá írt órai jegyzetem - Szili László: Aalízis Feladatokba I. - Wikipédia - Szátó Ádám: Aalízis 7

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel? 1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1. Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

I. rész. Valós számok

I. rész. Valós számok I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =

Részletesebben

1. gyakorlat - Végtelen sorok

1. gyakorlat - Végtelen sorok . gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1 . feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000

Részletesebben

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2 ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Metrikus terek. továbbra is.

Metrikus terek. továbbra is. Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Bevezető analízis II. példatár

Bevezető analízis II. példatár Bevezető aalízis II. példatár Gémes Margit, Szetmiklóssy Zoltá Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Matematikai Itézet 06. ovember 3. Tartalomjegyzék. Bizoyítási módszerek, valós számok 3..

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok . gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................

Részletesebben

ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

BSc Analízis I. előadásjegyzet

BSc Analízis I. előadásjegyzet BSc Aalízis I. előadásjegyzet 2009/200. őszi félév Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék 200. április 30. ii Tartalomjegyzék Előszó v. Bevezetés.. Logikai állítások,

Részletesebben

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be, 6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014 A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz:

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke

Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú

Részletesebben

Sorozatok. [a sorozat szigorúan monoton nő] (b) a n = n+3. [a sorozat szigorúan monoton csökken] (c) B a n = n+7

Sorozatok. [a sorozat szigorúan monoton nő] (b) a n = n+3. [a sorozat szigorúan monoton csökken] (c) B a n = n+7 Bodó Beáta 1 Sorozatok 1. Írja fel az a = 1 +4 sorozat 10. és ( + 1)-edik elemét! [a 10 = 4 14, a +1 = 4 +. Írja fel az a = +4 1 sorozat ( + 1)-edik és ( )-edik tagját! [a +1 = +7 +4, a = 11. Vizsgálja

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Kalkulus II., második házi feladat

Kalkulus II., második házi feladat Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

Végtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8

Végtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8 Végtele sorok (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. március 25. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. A sor fogalma 3 3. Mértai és teleszkopikus sorok 8 4. Abszolút és feltételese koverges sorok 4 5. Sorok

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat! megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Függvényhatárérték-számítás

Függvényhatárérték-számítás Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Végtelen sorok konvergencia kritériumai

Végtelen sorok konvergencia kritériumai Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorok kovergecia kritériumai BSc Szakdolgozat Készítette: Gyebár Tüde Matematika BSc, Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Bátkai Adrás Alkalmazott

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Draft version. Use at your own risk!

Draft version. Use at your own risk! BME Matematika Itézet Aalízis Taszék Adai Attila Bevezető aalízispéldák példatár éháy BSc-s órához 8 Tartalomjegyzék. Halmazalgebra. Teljes idukció 3. Relációk, függvéyek 3 4. Számosságok 6 5. A valós

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára

Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra

Részletesebben

Határértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12

Határértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12 Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma

Részletesebben

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás

Részletesebben

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit! Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk

Részletesebben

Sorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán

Sorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán Sorok és hatváysorok vizsgálata Abel yomá Szakdolgozat Készítette: Vákovics Mária Matematika BSc, Matematikai elemz szakiráy Témavezet : Pfeil Tamás adjuktus Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorokkal kapcsolatos tételek és ellepéldák Szakdolgozat Készítette: Csala Mátyás Matematika Bsc Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Gémes Margit

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

Andai Attila: november 13.

Andai Attila: november 13. Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk: Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!! 4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe

Részletesebben

6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai

6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai 6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

1. Halmazok, relációk és függvények.

1. Halmazok, relációk és függvények. . Hlmzok, relációk és függvéyek. - redezett pár (,b) = { {}, {,b} } hlmzelméleti defiíció; Tuljdoság: (,b) = (c,d) =c és b=d - hlmzok Descrtes-szorztt A x B := {(,b) A, b B} - r hlmzok közötti reláció

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10.

Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10. Alízis I. Kidolgozt: Ábrhám Róbert Dr. Szili László elődási lpjá 200. július 0. Trtlomjegyzék. A vlós számok struktúráj 3.. Az R Dedekid-féle xiómredszere (872:................................ 3.2. R részhlmzi:................................................

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II.forduló -10. osztály

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II.forduló -10. osztály Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február 11

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben