Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar
|
|
- Zsolt Nemes
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorokkal kapcsolatos tételek és ellepéldák Szakdolgozat Készítette: Csala Mátyás Matematika Bsc Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Gémes Margit Műszaki gazdasági taár Aalízis Taszék Budapest 06
2 . Bevezetés Szakdolgozatom a végtele sorok elméletével kapcsolatos. Ez a téma már agyo régóta foglalkoztatja a tudósokat, godolkodókat, matematikusokat, hisze tudjuk, hogy Zéó paradoxojai közt is találuk olya feladatokat, melyek a végtele sorok elméletére vezethet k vissza. Mivel a téma redkívül szerteágazó, s regeteg ismeret áll redelkezésre, ezért aak csak egy kisebb szeletével foglalkozom. El ször is áttekitem azokat a tételeket, deíciókat, melyeket a kés bbiekbe vizsgáli fogok. Ezek szemléltetésére általába több példát igyekeztem megoldai. A kés bbiekbe pedig érdekesebb, ehezebb problémák és feladatok megoldásával foglalkozom, természetese a korábbbi tételekhez szorosa kapcsolódva. F két e tételek feltételeit vizsgálom, hogy mit jelethet azok teljesülése, vagy egyegy feltétel elhagyása.
3 . Alapvet deíciók, tételek.. Deíció. [] A a végtele sor részletösszegei az s = = i= a i ( =,,... ) számokat értjük. Ha a részletösszegekb l képzett (s ) sorozat koverges és a határértéke A, akkor azt modjuk, hogy a a végtele sor koverges és az összege A. Ha a részletösszegekb l képzett (s ) sorozat diverges, akkor azt modjuk, hogy a a végtele sor diverges. = = Ha s = (illetve ), akkor azt modjuk, hogy a sor összege (illetve ). Ezt úgy jelöljük, hogy.. Deíció. [] A a a végtele = a = (illetve ). = a végtele sort abszolút kovergesek evezzük, ha = a sor koverges. =.3. Deíció. [] A a végtele sort feltételese kovergesek evezzük, = ha a sor koverges, viszot em abszolút koverges..4. Tétel. (Cauchy-kritérium) [] A a végtele sor akkor és csak akkor koverges, ha mide ε > 0-hoz létezik egy N idex úgy, hogy mide N < m-re a + + a a m < ε..5. Tétel. [] Ha a a = = végtele sor koverges és az összege A, akkor mide c R-re a c a sor is koverges, és az összege c A. = Ha a a és b végtele sorok kovergesek és összegük A, illetve B, = = akkor a (a + b ) is koverges, és az összeg pedig A + B. =
4 3. Tételek, kovergeciakritériumok 3.. Majorás és miorás elv 3.. Tétel. (Majorizációs elv). [] Tegyük fel, hogy a és végtele sorok tagjaira mide elég agy a = eseté feáll a b. Ha a koverges. b = = b sor koverges, akkor = a abszolút 3.. Példa. = ( ) Oldjuk meg a feladatot majorizációs elv segítségével. Ehhez elle rizük kell, hogy teljesülek-e a tételbe megfogalmazott feltételek. Most legye a = ( ) és b =. Tudjuk, hogy sor koverges. Most már csak azt = kell tuduk, hogy feáll-e mide elég agy -re a következ : ( ). Kevesebb a dolguk, ha a reciprokát tekitjük, valamit az abszolútérték jelet is elhagyhatjuk, mivel emegatív egész: ()!! ( )! ( )... ( + )! =.!! Ha egyszer sítük!-sal és -vel, akkor a következ becsléssel közelebb juthatuk a megoldáshoz: ( ) ( )... ( + ) 3... ( ) > ( )... >. Ez teljesül mide elég agy -re, hisze ez igaz, ha > : > > A tétel feltételei tehát teljesülek, ebb l következik, hogy a = ( ) végtele sor abszolút koverges. A majorás kritérium elvezet beüket egy újabb kritériumhoz, amelyek segítségével végtele sorok divergeciáját tudjuk beláti. LaczkovichT.Sós Aalízis II /e feladat 3
5 3.3. Tétel. (Miorás-kritérium). [] Tegyük fel, hogy a a és a b emegatív végtele sorok tagjaira mide = = elég agy eseté feáll a b. Ha a a sor diverges, akkor a b sor is diverges. = = 3.4. Példa. = ( + ) El ször a tételbe meghatározott feltételeket kell megteremteük. Mivel ezúttal az az el zetes várakozásuk, hogy a sor diverges lesz, megpróbáluk egy diverges alsó becslést találi a b = végtele sorra. Ehhez el ször (+) a következ átalakítást itézzük: = ( + ) + Tudjuk, hogy 3 mide elég agy -re, ezért érvéyes lesz a következ becslés: =, hi- = sze Azt látjuk, hogy a = = = = végtele sor diverges, mert = végtele sor diverges. Midezekb l már következik, hogy a végtele sor is diverges a miorás kritérium miatt. 3.. Gyökkritérium és háyadoskritérium 3.5. Tétel. (Gyökkritérium). [] = (+) (i) Ha va olya q < szám, amelyre a < q teljesül mide elég agy eseté, akkor a a sor abszolút koverges. = (ii) Ha a <, akkor a a sor abszolút koverges. = (iii) Ha a a >, akkor a mide elég agy -re az a >. LaczkovichT.Sós Aalízis II. 7.4./b feladat a = diverges. Ugyais ekkor 4
6 3.6. Példa. 3 = 0 3 A példa megoldásához a gyökkritérium (ii) részét fogjuk haszáli: 0 3 = 0 3 Tudjuk, hogy 0 = és 3 = 3 = 3. Mivel köye és többféleképpe belátható, hogy a 3 > mide elég agy -re, a fetiek szerit számíthatjuk a határértéket. Az alábbiakba az egyik legegyszer bb módo bizoyítjuk is. Ehhez a sorozatokra voatkozó csed relvet haszáljuk a megfelel becslések megtalálása utá ( ) = 3 3 = 3 Ezt felhaszálva már ics ehéz dolguk: 0 3 = 0 = 3 0 = 3 3 <. Így teljesül a gyökkritérium (ii) feltétele, ezért a koverges. Tekitsük egy boyolultabbak t példát is: 3.7. Példa. = ( + ) ( ) = 0 3 sor abszolút Ha felismerjük, hogy a gyökkritériumot kell haszáluk, akkor valójába ics is ehéz dolguk: Így a = ( + ) = (+ ) sor abszolút koverges lesz. = ( + ) ( + ) = < A gyökkritériumot haszálhatjuk végtele sorok divergeciájáak igazolására is. Lássuk erre egy példát: 3 LaczkovichT.Sós Aalízis II. 7.4./a feladat 5
7 3.8. Példa. = Ezzel beláttuk, hogy a = = = = > végtele sor diverges Tétel. (Háyadoskritérium). [] Tegyük fel, hogy a 0, ha elég agy. (i) Ha va olya q < szám, amelyre a+ a < q teljesül mide elég agy eseté, akkor a a sor abszolút koverges. = a (ii) Ha + a <, akkor a a sor abszolút koverges. = a (iii) Ha + a >, akkor a a sor diverges, mert a + > a = mide elég agy -re, és így a Példa. 4 (+) = 0 0 Nézzük meg, mit jelet most a háyadoskritérium feltétele: = ( + ) A egyszer sítés utá a következ ket kapjuk: ( + ) 0 (+) 0 0 = = 0 < A feti godolatmeethez hozzátartozik, hogy belássuk (+) 0 0 =. Szerecsére ezt köye megtehetjük: ( + ) 0 0 = ( + A tétel (ii) részét haszálhatjuk, amib l következik, hogy a ) 0 ( = + 0 = ) 0 0 sor ab- szolút koverges. Nézzük meg egy érdekesebb példát a háyadoskritérium alkalmazására. 4 LaczkovichT.Sós Aalízis II /d feladat = 6
8 3.. Példa. 5 = (!) Ismét a tétel (ii) részét haszáljuk: = (+)! (+) (!) ( + )! ( + )!!! Elvégezve az egyszer sítéseket, már csak egy jóval köyebb határértékszámítás marad: ( + ) = 0 <. (!) Ezzel teljesül is a tétel (ii) feltétele, így beláttuk, hogy abszolút = koverges. A háyadoskritérium, akárcsak a gyökritérium, szité haszos lehet, ha egy végtele sorról be szereték láti, hogy diverges. Nézzük meg egy példát erre az esetre is: 3.. Példa. 6 = (3)!! ( + )! ( + )! (3+3)! (+)! (+)! (+3)! (3)!! (+)! (+)! = (3 + 3)!! ( + )! ( + )! (3)! ( + )! ( + )! ( + 3)! Egyszer síthetük, hisze az ( + )! és az ( + )! szerepel a evez be és a számlálóba is: (3 + 3)!! ( + 3)! (3)! = (3 + 3) (3 + ) (3 + ) (3)!! ( + 3) ( + ) ( + )! (3)! Ezúttal is egyszer síthetük a kifejezése, méghozzá (3)!-sal és!-sal. 3( + ) (3 + ) (3 + ) ( + 3) ( + ) ( + ) = 3 ( ) LaczkovichT.Sós Aalízis II /b feladat 6 Thomas-féle Kalkulus Feladatok/38. feladat 7
9 Láthatjuk, hogy az a leggyorsabba övekv tag, ameyibe, ezért célszer ezzel elosztai a számlálót és a evez t is a hatérték kiszámításához A fetiekb l következik, hogy a = = 7 >. (3)!! (+)! (+)! végtele sor diverges. Haszosak bizoyult a háyadoskritérium, hisze más módszerekkel jóval ehezebb beláti a feti sor divergeciáját. A gyökkritérium er sebb, mit a háyadoskritérium, mert ha egy sorra teljesül a háyadoskritérium feltétele, akkor a sor a gyökkritérium feltételét is automatikusa kielégíti. Bizoyos esetekbe azoba köyebb számoli a háyadoskritériummal. Most ézzük példát, ahol a gyökkritérium alkalmazható, de a háyadoskritérium em Példa. Tekitsük a következ végtele sort! A kérdés persze a a = { 5, ha páratla, 5, ha páros. a sor kovergeciatulajdoságaira voatkozik. El ször = a háyadoskritériummal próbáljuk meg igazoli a sor kovergeciáját: a + a = 5 + = 5 (+) 5 + 5, ha páratla, = (+) 5 5, ha páros. Rögtö látszik, hogy az (+) 5 határértéke végtele, ha az, és ebb l a persze következik, hogy a + a < feltétele em lesz igaz a háyadoskritériumak, azaz em tudjuk alkalmazi a tételt. Másodjára próbálkozzuk meg a gyökkritériumot haszáli: a = 5 = = 5 5 <, ha páratla, 5 = = 5 5 <, ha páros. Teljesül a gyökkritérium feltétele, mivel a <. Megállapíthatjuk tehát, hogy a sor koverges. 8
10 3.3. Itegrálkritérium 3.4. Tétel. (Itegrálkritérium). [] Legye a N +, és legye f mooto csökke és emegatív függvéy az [a, ) félegyeese. A f() végtele sor akkor és csak akkor koverges, ha az a 3.5. Példa. =a f(x)dx improprius itegrál koverges. / c = A következ kbe tehát / c dx improprius itegrált vizsgáljuk meg. Láthatjuk, hogy ez akkor és csak akkor koverges, ha c >, potosabba: Valóba, a c eseté: /x c dx = y y Azt pedig tudjuk hogy: A c = esetbe is igaz: /xdx = y y /c = { c, ha c >, ha c. [ ] y [ /x c dx = y c x c = y c + ] c y c x x c = y { 0, ha c >, ha c <. /xdx = y [log x]y = y log y = Ezzel beláttuk, hogy a = /c sor koverges, ha c > Példa. 7 Legye p pozitív álladó. Igazoljuk, hogy x (l x) p dx potosa akkor koverges, ha a p >! Eek ismeretébe mit modhatuk a (l ) p sorról? = 7 Thomas-féle Kalkulus Feladatok/39. feladat 9
11 El ször ézzük meg, hogya éz ki a feti improprius itegrál, ha p. y [ ] y dx = dx = (l x) p x (l x) p y x (l x) p y p Helyettesítsük be és számítsuk ki a határértéket: [ y = y ] y p (l y) p (l ) p p [ p (l y) p + (l ) p p Természetese p (l ) p egy kostas mide p rögzített számra. Így a következ hatáérték érdekes számukra: y { p (l 0, ha p > y) p =, ha p <. = ] Összegezve tehát ez lesz a határérték: [ y p (l y) p + ] { p (l ) p = (l ) p, ha p > p, ha p <. Ez egyúttal azt is jeleti, hogy az improprius itegrál koverges, ha p >, és diverges, ha a p <. Így már csak egy eset maradt, amikor a p =. Nézzük meg ezt is. y dx = x (l x) y x (l x) = [l l y x]y = y [l l x l l ] = tehát az itegrál diverges lesz p = esetbe is. Tekitsük most a végtele sort. Láthatjuk, hogy erre a sorra = (l ) p teljesülek az itegrálkritérium feltételei, így a tétel szerit potosa akkor lesz koverges, amikor a feti improprius itegrál. A végtele sor tehát diverges, ha p és koverges, ha p >. = (l ) p 0
12 3.4. Dirichlet, Abel és Leibiz kritériumai 3.7. Tétel. (Dirichlet-kritérium). [] Tegyük fel, hogy (i) az (a ) sorozat mooto csökke és 0-hoz tart, és (ii) a b sor részletösszegeiek sorozata korlátos. = Ekkor a a b sor koverges. = A Dirichlet-kritérium speciális esetkét tartalmazza a Leibiz-kritériumot (legye b = ( ) ). Bizoyítás. Legye a b sor -edik részletösszege s, és tegyük fel, hogy = s K mide -re. Legye ε > 0 adott. Mivel a 0, ezért választhatuk olya N idexet, hogy a < ε K teljesüljö mide N-re. A folytatáshoz a következ egyel tleséget is felhaszáljuk: 3.8. Tétel. (Abel-egyel tleség) [] Ha x x... x k 0 és z y y l Z mide l =,..., k-ra, akkor x z x y x y x Z. Folytatva a Diriclhet-kritérium bizoyítását: ha N m, akkor az Abelegyel tleség szerit: ε < ( K) a a b a m b m K a < ε, tehát a b a m b m < ε. Ezzel beláttuk, hogy Cauchy-kritériumot, azaz koverges. a b sor kielégíti a 3.9. Példa. Nézzük a következ végtele sort: ! Haszáljuk a Dirichlet-kritériumot a példa megoldására! Méghozzá úgy, hogy az a =. Ekkor a teljesül a tétel (i) feltétele, mert az sorozat mooto csökke, valamit 0, ameyibe. A b tagjai ekkor a következ képpe ézek ki:,,,,,,, =,,,.... Jelölje s a = = b sor -edik részletösszegét. Láthatjuk, hogy ez egy oszcillálva diverges sorozat lesz, hisze s lehet 0,, vagy is, éppe ezért 0 s, azaz a b részletösszegeiek sorozata korlátos. Így teljesül a = kritérium (ii) feltétele is, ezért a feti végtele sor koverges lesz.
13 3.0. Tétel. (Abel-kritérium). [] Tegyük fel, hogy (i) az (a ) sorozat mooto és korlátos, és (ii) a b sor koverges. = Ekkor a a b sor is koverges. = Bizoyítás. Feltehetjük, hogy az (a ) sorozat mooto csökke, mert külöbe áttérük a ( a ) sorozatra. Legye a = a, ekkor (a a) mooto csökkeve ullához tart. Mivel a b sor koverges, ezért a részletösszegeiek sorozata korlátos. Így a = (a a)b sor koverges a Dirichletkritérium szerit. Ha ehhez a sorhoz tagokét hozzáadjuk a koverges sor tagjait, akkor megkapjuk a tétel miatt. = a b = a b sort, amely koverges lesz a következ = 3.. Tétel. [] Ha a a és b végtele sorok kovergesek és összegük = = A, illetve B, akkor a (a + b ) sor is koverges, és az összege A + B. = Bizoyítás. Ha a szóba forgó sorok -edik részletösszegei s t, akkor a (a + b ) sor -edik részletösszege s + t. Így az állítás abból következik, = hogy (s + t ) = s + t = A + B. 3.. Példa. Most az a = = (+ ) ( ) + = = ( +. Ez a sorozat mooto, hisze a számtai-mértai közepek közti egyel tleség alkalmazásával a következ ket kapjuk: ( + + ) < + ( ) + = = + + Ezutá + -edik hatváyra emeljük midegyik oldalt: ( + ) ( = + ) + + Már csak az kell, hogy ez a sorozat korlátos legye felülr l. Ehhez azt mutatjuk meg, hogy mide és m pozitív egészre: )
14 ( + ) ( < + ) m+ m Megit a számtai-mértai közepek közötti egyel tleséget alkalmazzuk: +m ( + ) ( m < m) ( + + m ) ( ) + m m = + m + m =, így ( + ) ( m) m <. Mivel ( m) m reciproka ( ) m ( m = + ) m, m m Itt midkét oldalt osztva ( m) m-el, azt kapjuk, hogy ( + ) ( < + ) m. m Itt m+-et kell hellyettesíteük m helyébe, ezzel belátva, hogy az ( + m számok midegyike fels korlátja a sorozatak. Ezzel pedig teljesül a kritérium (i) része. A b = sorról tudjuk, hogy koverges. Ezzel teljesül a tétel (ii) = része is. = Midezekb l az Abel-kritérium szerit következik, hogy a sor koverges Tétel. (Leibiz-kritérium). [] Ha az (a ) sorozat mooto csökke és 0-hoz tart, akkor a ( ) a sor koverges. = 3.4. Példa. ( ) log = a b = Oldjuk meg a példát a Leibiz-kritériummal! Tudjuk, hogy az a = sorozat mooto csökke, ha > és ullához tart, ezért a ( ) sor koverges lesz a tétel szerit. = = = ) m (+ ) log log 3
15 3.5. Egyéb kritériumok 3.5. Tétel. (Kodezációs kritérium). [] Ha az (a ) sorozat emegatív és mooto csökke, akkor a = a végtlele sorok egyszerre divergesek, vagy kovergesek. = Bizoyítás. Jelöljük a a és = a és a sorok részletösszegeit s -el, = illetve S -el. Állapodjuk meg, hogy s 0 = S 0 = 0. Mivel az a a i mide i > -re, ezért mide -re, és így S = S S = a (S k S k ) k= Ebb l következik, hogy ha a + i= + a i = s + s (s k+ s k) = s + s. k= a részletösszegei korlátosak, akkor a = a sor részletösszegei is azok. Hasolóa, a a i mide i -re, ezért = S S = a mide -re,azaz S = = (S k S k ) k= i= + a i = (s s ) (s k s k ) = s s. k= Ha tehát a a sor részletösszegei korlátosak, akkor a a részletöszegei is azok. Egy emegatív tagú sor akkor és csak akkor koverges, ha részletösszegeiek sorozata (felülr l) korlátos. Ezt alkalmazva a tétel bizoyításáak végéhez értük. = 4
16 3.6. Példa. 8 = log Haszáljuk a kodezációs kritériumot. A (a ) = log A következ kbe azt látjuk be, hogy (a ) = log Ehhez tekitjük az f(x) = log x x f (x) = sorozat emegatív. sorozat mooto csökke. függvéyt és kiszámítjuk a deriváltját. x x x log x x 4 = x x log x x 4 Az x 4 >0, így eleged a továbbiakba a számlálót vizsgáli. Ha f (x) < 0 egy adott itervallumo, akkor ott az f(x) függvéy mooto csökke. x x log x < 0 x < x logx < log x < log x e < x Meg kell jegyezük, hogy a feti egyel tleség megoldásáál kihaszáltuk, hogy az x > 0. Mivel az f(x) függvéy mooto csökke, ha e < x, ezért x =, 3, 4,... potokat tekitve is mooto csökke, ezért a = log sorozat is mooto csökke lesz, ha =, 3, 4, 5... potokba tekitjük. A továbbiakba tehát a tétel szerit a a sort kell vizsgáluk. Ha ezt felírjuk, majd elvégezzük az egyszer sítéseket, akkor következ t kapjuk: = log ( ) = = = log = = log Az így kapott végtele sorra haszáljuk a korábba megismert háyadoskritériumot. (+) log + log = ( + ) log + log = = + = + = < Teljesül a háyadoskritérium, így a log ( ) végtele sor koverges lesz. = A tétel szerit az el bbi végtele sor és a egyszerre kovergesek, vagy divergesek. Így beláttuk, hogy a = log 8 LaczkovichT.Sós Aalízis II. 7.4./f feladat = log sor koverges. 5
17 3.7. Tétel. Legye a egy pozitív tagú sor, ahol a tagok mooto csökke = sorozatot alkotak. A j k sorozat pedig egy szigorúa mooto öv, természetes számokból álló sorozat. Ekkor a (j k+ j k )a jk sor koverges. k= = a sor koverges lesz, ameyibe a Bizoyítás. El ször egyszer e szorzással alakítsuk át a következ formulát: (j k+ j k )a jk = (a jk + a jk + a jk a jk ) (a jk a jk ) Értelemszer e az els zárójelbe j k+, míg a másodikba j k darab tag va. Ezutá kihaszáva azt, hogy az a mooto csökke és a j k szigorúa mooto öv, már fel tuduk íri egy kézefekv alsó becslést: (a jk +a jk +a jk +...+a jk ) (a jk +...+a jk ) a jk +a jk + +a jk a jk+ Ebb l pedig már látszik a következ összefüggés is: (j k+ j k )a jk k= j + Ebb l már láthatjuk, hogy a majorás-kritériumot alkalmazva, ha a (j k+ j k )a jk végtele sor koverges, akkor a a sor is az. k= 3.8. Példa. Bizoyítsuk be, hogy az el z kovergeciakritérium alkalmazható, ha j k = (j + ) k, illetve ha j k = j k+. El ször tekitsük a j k = (j + ) k esetet. Ahhoz, hogy a feti kritérium alkalmazható legye, meg kell ézük, mit jeleteek a feltételek, azaz kell, hogy a feti sorozat természetes számokból álló, mooto öv sorozat legye. Természetese a j k = (j + ) k sorozat szigorúa mooto öv, ha j egy rögzített pozitív egész, hisze ekkor a j k = (j + ) k < j k+ = (j + ) k+, vagyis alkalmazható a tétel. Nézzük most meg a feladat második részét, azaz a j k = j k+ esetet. Most is ezt a feltételt kell elle rizük, ami ismét teljesül, ha feltesszük, hogy j > természetes szám, hisze ekkor kapuk szigorúa mooto öv j k sorozatot. A feti kritérium m ködését megézhetjük kokrét sorokra is Példa. Koverges-e a = (log ) sor? Most legye a j k = k. Ez a sorozat természetes számokból áll és persze szigorúa mooto öv is, tehát haszálható a tétel szerit. Az a = k= a k = (log ). Az a sorozat mooto csöke mide elég agy idexre, hisze mide elég 6
18 agy -re teljesül, hogy (log ). Láthatjuk, hogy ez így va, mert az alábbiak igazak leszek, ha 4: (log ) (log ) (log ) = log 4 log 4... log 4 log log... log = (log ) Most, hogy láttuk, a tétel feltételei maradéktalaul teljesülek, próbáljuk meg alkalmazi azt: (j k+ j k )a jk = ( + ) a (log ) = = = = = Err l a végtele sorról pedig a gyökkritérium segítségével meg tudjuk modai, hogy koverges, mert = 4 = 0 < Mivel pedig ez a sor koverges, így a tétel alapjá tudjuk, hogy a sor is koverges. = (log ) 7
19 4. Feladatok, egyéb példák 4.. A divergecia igazolása Ahogy azt már korábba is láttuk, a feti kovergeciakritériumok éháy esetbe segíteek abba is, hogy egy végtele sorról bebizoyítsuk, hogy diverges. A következ tétel egy fotos szükséges feltételt fogalmaz meg. 4.. Tétel. [] Ha a a sor koverges, akkor a = 0. = A a = 0 tehát egy szükséges feltétel a kovergeciához, de em elégséges feltétel. A következ kbe tekitsük meg példáko, mit is mod ki ez a tétel. 4.. Példa. = + ) ( + Ha el zetese azt várjuk, hogy egy sor diverges lesz, érdemes a feti tétel szerit megézi, hogy meyi a a határérték. Ehhez el ször elvégzük egy apró átalakítást. = + ( ) + = ( + = Számítsuk ki a = (+ ) sorozat határértékét, ha az : ( + A ( =, az ) = + ( + ) ) = ( ) + = 0 ), mert ( + ) ( + ) ( ( = + ) ) = e =. A tétel alapjá tehát a = + (+ ) sor diverges. Vaak azoba olya végtele sorok, amelyekél a 0 feltétel teljesül, mégsem lesz koverges a sor. Erre is ézzük meg egy példát: 8
20 4.3. Példa. = Vizsgáljuk meg most az a = sorozatot! Ehhez számítsuk ki a következ határértékeket a csed r-elv alkalmazásával: A ( + ) 3 = 3, mert 3 ( ) 3 ( + ) 3 ( + ) 3 = ( + ) = 3 = 3 3 A (3 ) 3 3 = (3 = 3, mert ( 3 )) (3 ) (3 ) = Tehát a = 0, mert az el bbiek alapjá világos, hogy a = Mégis azt fogjuk láti, hogy a = sor diverges. Kiszámíthatjuk, hogy a , 36, így mide elég agy -re teljesül a következ alsó becslés: A = 0, 36 4 = 4 4 végtele sor pedig diverges. A miorás kritérium feltételei telje- sülek ebbe az esetbe, tehát a = 4.4. Példa. 9 Va-e olya x, amellyel a végtele sor koverges? Válaszukat idokoljuk! = x sor diverges. A példa megoldásához a.5 tételt fogjuk felhaszáli. Ugyais, ha a feladat alapjá feltesszük, hogy a x koverges, akkor kiemelhet bel le az x, = így x = x. A sorról pedig tudjuk, hogy diverges, tehát = = = elletmodásba ütközük. Éppe ezért ics ilye x szám Példa. 0 Igaz-e, hogy tetsz leges csupa pozitív tagú = a diverges sorhoz található olya, szité csupa pozitív tagból álló és diverges b = amelyre teljesül, hogy mide -re b < a? Létezik-e a diverges sorok legkisebbike? Válaszukat idokoljuk! 9 Thomas-féle Kalkulus Feladatok/34. feladat 0 Thomas-féle Kalkulus Feladatok/35. feladat sor, 9
21 A válasz: igaz lesz az el z feladat alapjá, ugyais az összes = x alakú sor diverges lesz, ayi változással, hogy mivel pozitív tagú sorokról beszélük, jele esetbe az x > 0. Így például a a = és a b = = = = = jó lesz. Ebb l már érezhet, hogy ics ezek között a sorok közt legkisebb, mivel mide valós számál tuduk modai agyobb valós számot, amit az x helyére írva újabb diverges sort kapuk. Persze tuduk érdekesebb példát is találi diverges sorra, amely kisebb a fetiekél. Ilye például a = log. Korábba beláttuk err l a sorról az itegrálkritérium segítségével, hogy diverges. A következ kbe a korábbi tételeket vizsgáljuk majd külöböz érdekes kérdések és feladatok formájába. Példákat, illetve ellepéldákat tekitük a tételek feltételeiek vizsgálata sorá. 4.. Példák, ellepéldák, érdekes állítások 4.6. Példa. Felmerül a kérdés, hogy igaz-e, hogy ha egy végtele sorból akárháy tagot elhagyuk, akkor a sor kovergeciatulajdoságai em változak meg. Láti fogjuk, hogy em igaz. = illetve = A feti ellepéldákkal köye cáfolható. Most a sorból tagokat elhagyva pot a = sort kapjuk. Az el bbir l tudjuk, hogy diverges, az utób- biról, hogy koverges. = = = tagjai:,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,... tagjai:, 4, 9, Példa. Va-e olya pozitív tagú sor, amelyiket a majorás és miorás kritériumokba egyarát alkalmazhatuk más sorok kovergeciájáak, illetve divergeciájáak a bizoyítására? Tegyük fel tehát, hogy 0 a, b, és mide elég agy eseté teljesül, hogy a b. Ekkor a majorás-kritérium azt modja ki, hogyha a b sor = 0
22 koverges, akkor a a sor is koverges, vagyis a fels becslésél olya b = sorozatot keresük, hogy a b sor koverges legye. = Tegyük fel ismét, hogy 0 a, b, és mide elég agy eseté teljesül, hogy b a. Ekkor a miorás-kritérium azt modja ki, hogyha a b sor diverges, akkor a = a sor is diverges, vagyis az alsó becslésél olya b = sorozatot keresük, hogy a b sor diverges legye. = Mivel azoba ics olya sor, ami egyszerre koverges és diverges, ezért a válasz az, hogy ics ilye sor Példa. Mutassuk példát olya és b sorokra, ahol a a = koverges, a b, és b diverges. = = a = Ez a feladat szité a majorás-kritériummal kapcsolatos. Sejthetjük tehát, hogy azért tuduk a feladatba meghatározott példát mutati, mert a majoráskritérium valamely feltétele em teljesül. Méghozzá az, hogy ics a példába megkötés a a és b sorok el jelét illet e. = = Ezek utá már em ehéz találi, egy példát: a = ( ) és b = + = = = = Tudjuk, hogy a sor koverges lesz a Leibiz-kritérium miatt, ( ) = azoba a + sor pedig diverges. Az pedig világos, hogy a ( ) = = = teljesül. + Most ézzük egy olya feladatot, ahol em feltétleül ellepéldákat kell keresük, mert az lesz a sejtésük, hogy valamelyik következtetés igaz lesz Példa. Tegyük fel, hogy mide -re az a 0. Ekkor az alábbi állítások közül melyikb l következik a másik? a koverges P: Q: = a koverges = Köyebb beláti, hogy a Q P. Ellepéldakét ismét a a = = = sorokat fogjuk ézi. Mivel = a = = diverges és koverges, ezért megváltozik a kovergeciatulajdoság, így Q P. = = és
23 A másik iráyál azt modja az ituíciók, hogy igaz lesz a következtetés, azaz P Q. A bizoyításhoz a következ deíciót fogjuk alkalmazi Deíció. Az a sorozat b-hez tart, ha mide ε > 0-hoz létezik olya (ε-tól függ ) 0 szám, amelyre teljesül, hogy Most tehát a feltételb l kiidulva: a b < ε mide > 0 idexre. a kovergeciája miatt az a 0. = A feti deíció azt modja ki, hogy mide ε > 0-hoz létezik olya 0 szám, amelyre teljesül, hogy a < ε mide > 0 idex eseté. Ez azt jeleti, hogy mide > 0 -ra (mide elég agy -re) az a tagjai agyo kicsik" és tetsz legese" közel kerülek a sorozat határértékéhez, azaz a 0-hoz. A fetiek miatt tekithetjük azokat a tagokat, amikor az a <, azaz az ε =, mert ε-ál agyobb távolságra csak véges sok tagja va az a sorozatak. Ekkor érvéyes a következ egyel tleség is: a < a. Így teljesülek a majorás-kritérium feltételei, hisze emegatív tagú sorokról va szó és a majorálja a végtele sort, éppe ezért utóbbi is koverges lesz. = 4.3. Leibiz feltételei a = 4.. Példa. Mutassuk példákat olya diverges sorokra, amelyek a Leibizkritérium 3 feltétele közül potosa -t elégíteek ki! A példákból láti fogjuk, hogy a feltételek semelyikét em lehet elhagyi. Az egyszer ség és az átláthatóság kedvéért most megszámozzuk a Leibiz-kritérium feltételeit:. a 0,. a sorozat abszolút értékbe mooto csökke, 3. a váltakozó el jel. Ezek közül kell potosa kett ek teljesüli. Nézzük meg el ször azt az esetet, amikor az. és a. feltétel teljesül, de a 3. em. Ilye például a = sor. Az (a ) = sorozat mooto csökke és tart 0-hoz, azoba tudjuk, hogy a sor diverges. = Most pedig tekitsük azt az esetet, amikor az. em teljesül, a többi feltétel pedig ige. Az ( ) jó példa erre, hisze a váltakozó el jel és = ( ) = + és. Midazoáltal az a sorozat oszcillálva diverges, hisze = és =. Emiatt persze a ( ) végtele sor sem lesz koverges. =
24 Végül jöjjö egy példa, amikor a. feltétel em igaz, de a. és 3. feltételek ige. Jó példa lesz a ( ) + + sor. Be kell látuk, hogy az a = = ( ) + + = sorozat 0-hoz kovergál: ( ) ( + ) + = ( + ) Válatakozó el jel lesz, hisze + + és + egymást az a sorozatba, és. + ( ) = 0. + alakú tagok váltják Azt is beláthatjuk, hogy az a sorozat em mooto csökke, mivel + + = (+) és + + = + (+) tagok váltják egymást. jóval gyorsabba" tart 0-hoz, mit. + (+) (+) Már csak azt kell megvizsgáluk, hogy koverges-e a sor, ehhez vizsgáljuk meg a részletösszegeket. Ha páratla, azaz a sor páratla tagjait tekitjük, N + akkor ez az összeg a következ : (+). Látható, hogy a részletösszegek = sorozata em lesz korlátos ebbe az esetbe, hisze yilvávalóa igaz, és = = = + ( + ) N = sor részletösszegeiek sorozata em korlátos. Ez azt is jeleti, hogy mide határo túl övekedi fog a sor összege, azaz végtele lesz. Ezzel elletétbe ha a sor páros tagjait tekitjük, akkor egy koverges sorozatot kapuk, melyek így va egy valós összege. Az = (+) sor részletösszegei korlátosak. A páros és páratla idex tagokat összegezve, azt modhatjuk tehát, hogy a ( ) sor részletösszegei em leszek korlátosak. Ebb l az = következik, hogy az + + ( ) = Példa. Koverges vagy diverges az alábbi sor? = cos π végtele sor diverges lesz. Nézzük meg, melyek azok a kritériumok, amik alkalmazhatók erre a sorra. Az Abel-kritérium, az itegrál-kritérium és a Dirichlet-kritérium feltételei közt találjuk, hogy mooto, illetve mooto csökke tagok alkossák a sort, ez pedig most em teljesül, ezeket tehát em tudjuk haszáli. A gyökkriétériumot akár ki is próbálhatjuk: 3
25 cos π = 3 A feti átalakítás az abszolútérték miatt lehetséges, valamit, hogy a cos(π) csak, illetve értéket vehet fel. Tovább számolva a határértéket: 3 = 3 A gyökkritérium tehát em segít, mert a tétel szerit ebbe az esetbe em tuduk semmit az adott sor kovergeciatulajdoságairól. Tudjuk, hogy a gyökkritérium egy er sebb kritérium, így a háyadoskritériummal sem járuk sikerrel. A legkézefekv bb a Leibiz-kritérium haszálata, mert alteráló sorrol va szó. Azt is tudjuk, hogy a sor tagjai abszolút értékbe mooto csökke soro- cos π zatot alkotak, hisze ez valójába ekkor a a = =. Ez a sorozat 3 3 = kovergál a 0-hoz, éppe ezért a tétel alkalmazható lesz, s emiatt a = cos π végtele sor koverges. Va azoba egy másik megoldás is, ez tulajdoképpe arról szól, hogy belátjuk, hogy a sor abszolút koverges és így koverges is. Az abszolút kovergecia köye látható, hisze ekkor a fetiek szerit: cos π = = 3 = 3 Ez pedig egy hiperharmoikus sor, azaz koverges Az itegrálkritérium vizsgálata 4.3. Példa. Mutassuk példát olya folytoos, emegatív függvéyre, amelyre f(x)dx koverges, de f() diverges! = Nyilvávalóa az itegrálkritériummal kapcsolatos ez a probléma, ezért aak feltételeit kell vizsgáli. A feladatba majdem mide szerepel az itegrálkritériumból, kivéve, hogy ics kikötve az f(x) függvéy mooto csökkeése. Kézefekv tehát egy mooto em csökke függvéyt keresi, amely ugyaakkor folytoos, emegatív és teljesül rá, hogy f(x)dx koverges, de a f() végtele sor diverges. = Legye mide N + -re f : [, ] R olya emegatív folytoos függvéy, amelyre f ( ) = f () = 0, max f és f(x)dx. Ilye az a függvéy, amelyre f (x) = 0, ha x a ε, f (a ) = és f lieáris az [a ε, a ] és [a, a + ε ] itervallumokba, ahol a = és ε =. Nézzük meg eek a függvéyek a képét, egy kisebb itervallumba, 4
26 hogy érzékeljük, miért illeszkedik a feladatba meghatározott feltételekhez. Az f ( ) = és a = alakú potok körüli lieáris részeket sem ehéz elképzeli, a többi helye pedig 0, így csak az itervallumok határait kell kiszámítai pár értékre és látszik, hogya is éz ki a függvéy. Legegyszer bbe ebb l a formulából számolható: x. a = x x + = 3 = 3 5 = Eze pár érték alapjá felvázolhatjuk a függvéyt egy, az ábrá látható kisebb itervallumba. Legye tehát f(x) = f (x), ha x [, ] és N +. Ekkor f folytoos. Mivel f emegatív, ezért az x x fdt függvéy mooto öv, és így a 0 x x 0 fdt határérték létezik. Másrészt 0 fdt < mide -re (hisze a = ), ezért a határérték véges és az fdt 0 =0 = improprius itegrál koverges. Eek elleére a f() diverges lesz, mert itt az érték midig, és =. = = Értelemszer e felmerül a következ kérdés is az el z feladatot látva Példa. Mutassuk példát olya folytoos, emegatív függvéyre, amelyre f(x)dx diverges, de f() koverges! = Ezt a problémát az el z feladat yomá már köyebb megoldai, ugyais az itervallumok maradak ugyaazok, csak a felvett értékeket változtatjuk 5
27 meg. Legye most ez a függvéy, amelyre f (x) =, ha x a ε, f (a ) = 0 és f lieáris az [a ε, a ] és [a, a + ε ] itervallumokba, ahol a = és ε =. Tehát a a = alakú potokba most 0 lesz a függvéyérték, ezért 0 = 0 koverges lesz. Ha viszot kívül vagyuk az [a ε, a ] = és [a, a + ε ] itervallumo, akkor a függvéy értéke midehol, tehát a dx itegrált kell kiszámoluk, ami. Természetese ebb l le kell vouk az y = és a függvéy [a ε, a ] és [a, a + ε ] itervallumoko vett lieáris részek által határolt kis háromszögek területét. Persze ezek területe éppe a sor összege, tudjuk, hogy koverges ez a sor, ebb l következik, = hogy a fdx diverges lesz, míg a f koverges. Az alábbiakba err l a függvéyr l is láthatuk egy ábrát. = 4.5. Sorösszegek példákba 4.5. Példa. Az. ábrá egy égyzetekb l álló sorozat els égy tagját taulmáyozhatjuk. A legküls égyzet területe 4 égyzetméter. Mide további égyzet csúcsai a t le kívülre elhelyezked égyzet oldalfelez potjaira illeszkedek. Határozzuk meg a sorozatba szerepl égyzetek területéek összegét!. ábra. A feladat rajza Thomas-féle Kalkulus 3... Feladatok/75. feladat 6
28 Az alábbi. ábrá jól látható, hogy a két piros szakasz égy egyel égyztre botja a égyzetet, s ezeke a kisebb égyzeteke a szürke és a fehér háromszögek ugyaiolya agyságúak. Vagyis egyegy lépésbe a égyzetek területe éppe felére csökke. Ezzel pedig meg is határoztuk a keresett végtlele mértai sorukat alkotó sorozat kvóciesét, ami q =. Eek a sorozatak a feladat szerit pedig 4 az els tagja. Az égyzetek összterületét így potosa akkor kapjuk meg, ha kiszámítjuk a következ mértai sor összegét: T = 4 = = Így tehát a égyzetek összterülete 8 lesz. ( ) = 4 = 8. ábra. Rajz a megoldáshoz 4.6. Példa. Helga vo Koch hópehelygörbéje: Helga vo Koch hópehelygörbéje egy véges területet határoló végtele görbe. Eek belátásához tegyük fel, hogy egy egységyi oldalú szabályos háromszögb l iduluk ki. Határozzuk meg az -edik görbe L hosszát, és mutassuk meg, hogy L =! Ezutá határozzuk meg az L görbe által határolt A terület agyságát, és adjuk meg a A határértéket! Íme az egyes lépések a görbe alakulásáról: 3 Thomas-féle Kalkulus 3... Feladatok/77. feladat 3 Az ábra forrása: Wikipédia 7
29 El ször határozzuk meg az L görbe hosszát az -edik iterációs lépés utá, melyhez a következ észrevételek lehetek haszosak: Mide lépésbe 4-szer ayi oldalél keletkezik, mit ameyi az el z lépésbe volt, mert egyegy élt felvált egy új kisebb háromszög két éle, illetve az iterációs lépés el tti oldalélb l is marad két él. A keletkez háromszögek oldalai mide egyes lépésbe az 3 -szorosára változik, hisze a kiidulási és a keletkezett háromszögek szabályosak, s ezek oldalait harmadoljuk a következ lépésbeli görbe kialakításához. A következ táblázat jól mutatja, hogya alakulak az egyes lépésekbe az adatok: L kerület ( 4 3 )0 3 = 3 ( 4 3 ) 3... ( 4 3 ) 3 a háromszögek oldalhosszai oldalélek száma = = Az -edik lépés utá tehát az L = 3 ( 4 3 ). Eek határértéke pedig: 3 ( 4 3 ) =, hisze a 4 3 >. Most folytassuk a feladat másik részével. Ehhez ismét tegyük egykét haszos észrevételt: Fotos megemlítei a kiidulási területet, azaz az egységoldalú szabályos 3 háromszög területét: A háromszög területe az oldalhossztól függ e égyzetese változik, ezért mide lépésbe 9 -szeresére változik a kis háromszögek területe, így ez lépés utá: 9. Az els lépésbe 3 új kisebb méret háromszög keletkezik, utáa pedig mide lépésbe 4-szer ayi lesz mit az el z be. Így tehát az -edik lépésbe 3 4 = = A fetiek alapjá tehát mide iterációs lépésbe eyivel fog b vüli a terület: = 3 4 ( 4 9 ) 3 4. = 3 4. Ezeket a területeket kell összegezi és ehhez még természetese hozzáadi a kiidulási területet, így megkaphatjuk az összterületet: ( A = k= 3 4 ( ) k = 4 + k= 3 4 ( ) ) k 4 9 Ezt a formulát egyszer e átalakíthatjuk egy idexelési trükkel, hogy egyszer bbe tudjuk összeget számoli. ( 3 A = ( ) ) k 4 4 = 9 k= ( 3 = ( k=0 ( ) ) k 4 9 k=0 ( 4 9 ) ) k 4 = 9 8
30 Nem maradt más dolguk, mit kiszámítai az A határértéket: ( 3 A = k=0 ( ) ) k ( 4 3 = ) 4 = Láthatjuk tehát, hogy a terület véges lesz, méghozzá a kiidulási terület -szerese lesz. 9
31 5. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék. Bevezetés. Alapvet deíciók, tételek 3. Tételek, kovergeciakritériumok Majorás és miorás elv Gyökkritérium és háyadoskritérium Itegrálkritérium Dirichlet, Abel és Leibiz kritériumai Egyéb kritériumok Feladatok, egyéb példák A divergecia igazolása Példák, ellepéldák, érdekes állítások Leibiz feltételei Az itegrálkritérium vizsgálata Sorösszegek példákba Tartalomjegyzék Hivatkozások 3 30
32 6. Hivatkozások Hivatkozások [] Laczkovich MiklósT. Sós Vera: Aalízis II. Nemzeti Taköyvkiadó. [] George B. Thomas: Thomas-féle Kalkulus 3. Typotex. 3
Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
RészletesebbenI. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
Részletesebben1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1
. feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
Részletesebben1. gyakorlat - Végtelen sorok
. gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )
RészletesebbenAnalízis I. gyakorlat
Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................
RészletesebbenHatárértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.
Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenVégtelen sorok konvergencia kritériumai
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorok kovergecia kritériumai BSc Szakdolgozat Készítette: Gyebár Tüde Matematika BSc, Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Bátkai Adrás Alkalmazott
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
RészletesebbenNumerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa
Részletesebben2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
RészletesebbenTaylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenAnalízis feladatgy jtemény II.
Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................
RészletesebbenANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add
RészletesebbenSorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán
Sorok és hatváysorok vizsgálata Abel yomá Szakdolgozat Készítette: Vákovics Mária Matematika BSc, Matematikai elemz szakiráy Témavezet : Pfeil Tamás adjuktus Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
Részletesebbenmegoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
RészletesebbenANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add
RészletesebbenBevezető analízis II. példatár
Bevezető aalízis II. példatár Gémes Margit, Szetmiklóssy Zoltá Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Matematikai Itézet 06. ovember 3. Tartalomjegyzék. Bizoyítási módszerek, valós számok 3..
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
RészletesebbenKalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév
Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok
RészletesebbenSOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok
SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
RészletesebbenFourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Fourier sorok FO Trigoometrikus Fourier sorok FO Trigoometrikus redszer Defiíció: trigoometrikus redszer Az {, cos x, si x, cos x, si x, cos 3x, si 3x, } függvéyekből álló (végtele sok függvéyt tartalmazó)
Részletesebben1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény
Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter
Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenVegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz. 2 dx = 1, cos nx dx = 2 π. sin nx dx = 2 π
Matematika Ac gyakorlat Vegyzméröki, Bioméröki, Köryezetméröki szakok, 7/8 ősz 4. feladatsor: Fourier-sorok megoldás. Legye fx = ha x, ], fx = ha x, π]. Írjuk fel f Fourier-sorát. Mely potokba állítja
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
RészletesebbenVégtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8
Végtele sorok (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. március 25. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. A sor fogalma 3 3. Mértai és teleszkopikus sorok 8 4. Abszolút és feltételese koverges sorok 4 5. Sorok
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
RészletesebbenFELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy
RészletesebbenI. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN
I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük
RészletesebbenÁltalános taggal megadott sorozatok összegzési képletei
Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
RészletesebbenA figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenRudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai
RészletesebbenDebreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
RészletesebbenLajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár
Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus
Részletesebben3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.
3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
Részletesebben(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.
PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /
Részletesebben1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?
1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai
Részletesebben18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható
8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.
RészletesebbenKalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok
Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális
RészletesebbenFeladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)
Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
Részletesebben6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai
6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.
RészletesebbenMeghökkentő és hihetetlen barangolás a matematikai végtelen birodalmában (Végtelen sorokról) július 6.
Meghökkető és hihetetle baragolás a matematikai végtele birodalmába (Végtele sorokról) 59. Rátz László vádorgyűlés (spec.mat. szekció) Gödöllő 09. július 6. Dr. Németh József c. egyetemi taár SZTE TTIK
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
RészletesebbenAndai Attila: november 13.
Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.
RészletesebbenSorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
RészletesebbenIngatlanfinanszírozás és befektetés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:
Részletesebben2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása
59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
RészletesebbenAlgebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest
Magas szitű matematikai tehetséggodozás Algebrai egyelőtleségek verseyeke Dr Kiss Géza, Budapest Néháy helyettesítési módszer és a Cauchy-Schwarz-egyelőtleség speciális esetéek alkalmazása bizoyítási feladatokba
RészletesebbenA logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai
Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz
Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.
RészletesebbenA primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,
6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos
RészletesebbenTartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13
Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Függvények közelítése
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Függvéyek közelítése Szakdolgozat Készítette: Bedeek Eszter Matematika BSc Matematikai elemz szakiráy Kozules: Mezei Istvá adjuktus Alkalmazott Aalízis
RészletesebbenVÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK
VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy
RészletesebbenI. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.
I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.
RészletesebbenFeladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal
Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy
RészletesebbenL'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.
L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
RészletesebbenBSc Analízis I. előadásjegyzet
BSc Aalízis I. előadásjegyzet 2009/200. őszi félév Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék 200. április 30. ii Tartalomjegyzék Előszó v. Bevezetés.. Logikai állítások,
Részletesebben1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
RészletesebbenSorozatok. [a sorozat szigorúan monoton nő] (b) a n = n+3. [a sorozat szigorúan monoton csökken] (c) B a n = n+7
Bodó Beáta 1 Sorozatok 1. Írja fel az a = 1 +4 sorozat 10. és ( + 1)-edik elemét! [a 10 = 4 14, a +1 = 4 +. Írja fel az a = +4 1 sorozat ( + 1)-edik és ( )-edik tagját! [a +1 = +7 +4, a = 11. Vizsgálja
RészletesebbenA1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014
A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz:
RészletesebbenHatárértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12
Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma
Részletesebben