megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
|
|
- Emma Orsós
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások tagadását! a Mide alma érett. b N k Z, 0] : > k. c Mide p pozitív számhoz létezik K > 0, hogy mide > K eseté p + > 0. a Va olya alma, amely éretle. b Az állítás igaz, például 7 olya természetes szám, amely mide empozitív egészél agyobb. A tagadás: N k Z, 0] : k. c Az állítás igaz, mert a megadott függvéy grakoja p-t l függetleül egy felfelé álló parabola, vagyis ha em metszi az -tegelyt, akkor bármilye K jó lesz, ha pedig metszi, akkor a agyobbik gyöke ami függ persze p-t l megfelel K lesz. Az állítás tagadása: va olya p pozitív szám, hogy mide K > 0-hoz létezik > K, hogy p Legye A, B X két halmaz. Bizoyítsuk be, hogy A B c A c B c és A B c A c B c. A B c / A B / A és / B A c és B c A c B c. A másik állítás bizoyítása teljese hasoló. 4. Igazak-e az alábbi halmazegyel ségek? Ha ige, bizoyítsuk be, ha em, akkor adjuk meg kokrét halmazokat, amelyekre em teljesül az egyel ség. a A B \ A B; b A B \ C A B \ C; c A B \ A B A \ B B \ A. a Nem igaz, legye A {}, B {, }. Ekkor A B \ A {} B. b Nem igaz, legye A {, }, B {}, C {}. Ekkor A B \ C {}, de A B \ C {, }. c Igaz. Ha A B \ A B A B és / A B vagy A, vagy B vagy A \ B, vagy B \ A A \ B B \ A. 5. Ha A C B C és A \ C B \ C, következik-e, hogy A B? Nem következik. Legyeek a halmazok olyaok, hogy emüresek, A, B C és A B. Ekkor midkét feltétel teljesül, de A B. Például A {}, B {} és C {, }. Fizika BSc I/,. feladatsor. Legyeek f, g : R R a következ függvéyek: f + 3, g. Határozzuk meg az f g és a g f függvéyeket. f g : R R, f g + 3. g f : R R, g f + 3.
2 . Írjuk be a hiáyzó függvéyeket: a f g + f g + b f 4 g + 4 f g c f g f g 3. Mely függvéyek ijektívek, illetve szürjektívek? Amelyek bijektívek is, azokak adjuk meg az iverzét! a f : [0, ] R, f ; b f : R R, f 3 ; c f : R + R, f /; d f : R \ {0} R \ {0}, f. a Ha y, akkor y y, amib l következik, hogy y hisze csak a [0, ]-e vagyuk. Tehát f ijektív. Viszot Rf [0, ], így em szürjektív. Viszot ha f-et, mit f : [0, ] [0, ] függvéykét tekitjük, akkor már szürjektív is az y f egyelet mide y Rf-re megoldható, az ijektivitás miatt egyértelm e, így va iverz. Az y egyeletb l y, azaz f : [0, ] [0, ], f. A függvéy iverze ömaga. b A függvéy ijektív 3 y 3 y és szürjektív is mide y R-re létezik, hogy 3 y, evezetese : 3 y, azaz va az egész számegyeese értelmezett iverze. A y 3 -b l és y szerepét felcserélve, majd y-t kifejezve kapjuk, hogy f 3. c A függvéy ijektív, tegyük fel ugyais, hogy f fy, azaz / y /y y y yy+. Ez az f értelmezési tartomáyá csak úgy lehet, hogy y. f szürjektív is, mert mide y R eseté az y f egyelet megoldható, hisze y / y 0. Ebb l, y ± y + 4, vagyis midig két gyök va és itt potosa az egyik gyök az értelmezési tartomáy eleme is. Az iverz itt is az fy egyeletb l számolható, y-t kifejezve: f : R R +, f d A függvéy ijektív, ugyais y -ból y következik. Szürjektív is, ugyais mide a R \ {0}-hoz va olya R \ {0}, hogy a, éspedig a. Az y egyeletb l -et kifejezve: y, vagyis f iverze ömaga. 4. Legye f : R R, f. Határozzuk meg az f [4, 9], f [, 0], f [, ] halmazokat! f [4, 9] [ 3, ] [, 3], f [, 0] {0}, f [, ]. f si eseté: f [4, 9], f [, 0] k Z [π + kπ, π + kπ], f [, ] { 3π + kπ k Z}. 5. Legyeek f, g : R R függvéyek. Igaz-e, hogy ha midkett ijektív szürjektív, akkor f + g is ijektív szürjektív? Egyik sem igaz. Legye f, g. Midkett ijektív és szürjektív is, de f + g 0, ami se em ijektív, se em szürjektív. 6. Legye f : X Y függvéy, A X, B Y. Bizoyítsuk be, hogy a fa B fa fb; b fa B fa fb; c f A B f A f B; d f A B f A f B;
3 a y fa B létezik A B, hogy f y létezik, hogy A vagy B, amire f y y fa vagy y fb y fa fb. b y fa B létezik A B, hogy f y y fa és y fb y fa fb. c f A B f A B f A vagy f B f A vagy f B f A f B. d f A B f A B f A és f B f A f B. Fizika BSc I/, 3. feladatsor. Va-e az alábbi A R halmazokak maimuma, miimuma, imuma, supremuma? Ha ige, határozzuk meg ket! a 0, b 0, ] c {,, 3, 4 },... d, 3 Q e { : N} f { a b + b } : a, b R+ a a Maimum és miimum ics, if A 0, sup A, ugyais az yílvá fels korlát és az ε < semmilye ε > 0-ra sem fels korlát, mert az ε, itervallumba va racioális és irracioális szám is. Hasolóa idokolható, hogy if A 0. b Az el z höz hasolóa idokolható, hogy if A 0, sup A, miimum ics, ma A. c ma A, miimum ics, sup A, if A 0, mert a 0 alsó korlát és bármely ε > 0-hoz va olya N, melyre / < ε, azaz ε em alsó korlát. d Maimum és miimum ics, míg sup A 3, if A. Nyílvá 3 egy fels korlát és ics ála kisebb, ugyais az 3 ε, 3 itervallumba va A-beli racioális szám, azaz 3 ε em lehet fels korlát semmilye ε > 0-ra sem. Az imum idoklása hasoló. e if A mi A, ma A sup A. f Az ismert c + /c, ha c > 0 egyel tleség szerit mi A if A a b választással a miimum felvétetik, míg a halmaz felülr l em korlátos, hisze mide K > 0-hoz a K, b választással a K+ K > K eleme A-ak. Azaz maimum ics és a supremum ameyibe emkorlátos halmazra is értelmeztük a supremum fogalmát +.. Bizoyítsuk be az alábbi egyel tleségeket: a Mide, y R-re y y. b Mide a, b, c 0, + -re a b + b c + c a 3. c Mide a R + -ra és mide N-re a + a. d Mide N-re +. e Mide N-re + 4. a Tetsz leges, y R-re y y + y + a háromszög-egyel tleség miatt, azaz y y. és y szerepéek felcserélésével adódik az y y egyel tleség. A kett együtt pedig éppe a bizoyítadó y y egyel tleséget adja. b A számtai-mértai egyel tleséget alkalmazva az a b, b c, c a számokra, adódik, hogy a b + b c + c a 3 3.
4 c Alkalmazzuk a számtai-mértai közepek között feálló egyel tleséget : a,... szereposztással: a + a a + a. d Hasolóa a b feladathoz, e Ismét a számtai-mértai közép egyel tleséggel , ahoa + -ik hatváyra emelve és 4-gyel beszorozva a kívát egyel tleséget kapjuk. 3. Legyeek A B R emüres, korlátos halmazok. Mutassuk meg, hogy ekkor sup A sup B. Mivel B mide fels korlátja speciálisa a legkisebb is egybe A-ak is fels korlátja, így sup A sup B. 4. Ábrázold a következ halmazokat a síko! a {, y R + y < }, b {, y R + y < 4}, c {, y R + y < 4, + y < },. Végezzük el az alábbi m veleteket: a + i3 i? b /i? c + i/3 i? Fizika BSc I/, 4. feladatsor a + i3 i 3 i + 3i i, b i i i i i i, c + i 3 i + i 3 i 3 + i 3 + i + 5i 3.. Határozzuk meg azokat a c + di számokat, melyek égyzete 0i. A c + di c d + icd 0i egyel ség akkor áll fe, ha a valós és képzetes részek megegyezek, azaz c d és cd 0. Az ezekb l kapott másodfokú egyeletet megoldva c, d 5, illetve c, d 5 megoldásokat kapjuk. 3. Írjuk fel az alábbi számokat trigoometrikus alakba: a + i, b i, c 3 + i, d 3i.
5 a + i cos π 4 + i si π 4, b i cos 7π 4 + i si 7π 4, c 3 + i cos π 6 + i si π 6, d 3i cos 7π 6 + i si 7π Oldjuk meg az 3, 4 4 és az 6 egyeleteket! a 3 3 cos π + i si π cos kπ 3 + i si kπ 3, k 0,,, azaz cos 0 + i si 0, cos π 3 + i si π i, 3 cos 4π 3 + i si 4π 3 3 i. b cos π + i si π cos π+kπ 4 + i si π+kπ 4 k 0,,, 3. c 6 6 cos 0 + i si 0 cos 0+kπ 6 + i si 0+kπ 6 k 0,,, 3, 4, Mutassuk meg, hogy zw z w mide z, w C-re. Legye z a + bi, w c + di. Ekkor zw a + bic + di ac bd + iad + bc ac bd iad + bc a bic di z w. 6. Fejezzük ki cos 3ϕ-t si ϕ és cos ϕ segítségével. Tekitsük a cos ϕ + i si ϕ komple számot és emeljük köbre kétféleképpe: cos 3ϕ + i si 3ϕ cos ϕ+i si ϕ 3 cos 3 ϕ+3 cos ϕi si ϕ+3 cos ϕi si ϕ+i 3 si 3 ϕ cos 3 ϕ 3 cos ϕ si ϕ+ i3 cos ϕ si ϕ si 3 ϕ. Összehasolítva a valós és képzetes részt, cos 3ϕ cos 3 ϕ 3 cos ϕ si ϕ. 7. Számítsuk ki i -t, ahol N. i i, i, i 3 i, i 4 és iet l kezdve ismétl dik, azaz 4k i i 4k + 4k + i 4k + 3 Fizika BSc I/, 5. feladatsor. Mi a határértéke az alábbi a sorozatokak? Deíció alapjá adott ε > 0-hoz adjuk meg 0 N küszöbideet is. a a ; b a a A sorozat határértéke a 0. Legye ugyais ε > 0 adott. Ekkor a a 0 < ε > /ε > /ε. Tehát az 0 : [ /ε ] + küszöbide-választás jó lesz. b Eek a sorozatak a határértéke 6/. Legye ε > 0 adott. Ekkor < ε > ε, azaz a 6/ < ε teljesül, ha agyobb, mit a jobb oldalo álló ε-tól függ szám.
6 . Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét! a b c d e a d b c , 8 +5 e ! , 8+5! ! , 8 5 0, ! 5!! Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét! a + ; b ; a A -típusú kifejezést az alábbi módo alakíthatjuk át: b Bizoyítsuk be, hogy mide koverges sorozat korlátos. Igaz-e a megfordítás? Ha a koverges, akkor létezik olya a R, hogy mide ε > 0-hoz létezik 0 N, hogy mide 0 -ra a a < ε. Rögzítsük egy tetsz leges ε > 0-t. Ekkor tartozik hozzá egy 0 küszöbszám, hogy a sorozatak a ála agyobb ide elemei az a ε, a + ε itervallumba vaak, azaz eze az itervallumo kívül legfeljebb véges sok tagja lehet a sorozatak az a, a,..., a 0 lehet kívül. Ha M-mel jelöljük az els 0 tag maimumát, m-mel a miimumát, akkor a sorozatak fels korlátja lesz a ma{a + ε, M} szám, alsó korlátja pedig a mi{a ε, m}. A megfordítás em igaz, az a sorozat korlátos, de ics határértéke.
7 5. Legye emegatív számokból álló sorozat, melyre. Mutassuk meg, hogy és. Mivel koverges, ezért korlátos is, azaz létezik K > 0, hogy < K. Legye ε > 0 adott. Az sorozat koverges, ezért ε : ε K+ -hez létezik 0 N, hogy 0 eseté < ε. Ekkor + < ε + ha 0. ε K + + ε K + + < ε, A feladat második részéhez vegyük észre, hogy a emegatív tagú sorozat határértéke em lehet egatív miért is?, ezért -ek va értelme. Két esetet külöböztetük meg, ha 0, illetve ha pozitív. Az els esetbe tehát 0. Ekkor ε -hez létezik 0 N, hogy mide 0 eseté < ε. Ez viszot azt jeleti, hogy 0 < ε, ha 0, azaz 0. A második esetbe és vele együtt pozitív. Mivel, ezért ε -hez létezik N, hogy mide -re < ε. Ekkor -re + < ε + ε. Fizika BSc I/, 6. feladatsor. Mutassuk meg, hogy az alábbi sorok kovergesek és határozzuk is meg az összegüket. a q q <, b 0 +, c A sor kovergeciájához azt kell megmutati, hogy a részletösszegek sorozata koverges. A sor összegét akkor tudjuk megmodai, ha a részletösszeg-sorozat határértéke ismert. a S vagyis a sor koverges és összege b S k0 q k q+ q q. k q kk + + ha, ha a 3/ feladat miatt ott már meghatároztuk az s összeget. A sor összege tehát. c 3 S 3k 3k + 3 3k 3k + k k ha, azaz a sor koverges és összege / ,
8 . Állapítsuk meg az összehasolító kritériumok alapjá, hogy kovergesek-e az alábbi sorok. a + b + + c + + d e + a Mivel + +, ezért az eredeti sor is diverges. b , továbbá a + ahol az /4 helyére valójába /e-t is írhattuk vola. Itt 4 diverges. c továbbá + + 4, , diverges, így az eredeti sor is diverges. + + diverges, így diverges, így az eredeti sor is d, ha 4, azaz az els három tag kivételével a sort felülr l lehet becsüli a koverges sorral, tehát az eredeti sor is koverges. 4 e Mivel mide N-re +, ezért a sor em koverges, hisze a sor tagjaiból álló sorozat em tart a zérushoz. 3. Állapítsuk meg gyök- vagy háyadoskritériummal, hogy kovergesek-e az alábbi sorok? a 000, b!!!, c! a a sor koverges. b d tehát a sor koverges. c! e 3! f 0 k0 a a +!! <, k k + a + +!! a +!! <, a + a tehát a sor koverges. +! + +! + + 0, 37 <, e
9 d a sor koverges. e a sor tehát diverges. c a sor tehát koverges. a + + +! a + +! + 0, 74 <, e a ! a + + 3! 3 + 3, >, e a + a + k0 k k k k k <, Megjegyzés. Noha a gyökkritérium er sebb, mégis érdemesebb a háyadoskritériummal kezdei, mert szerecsés esetbe sokat lehet egyszer sítei. Az itt szerepl feladatok gyökkritériummal is kijöek, ám ehhez tudi kell bizoyos sorozatok határértékeit. Például az a feladatra a gyökkritériummal oda juták, hogy a! sorozat határértékét kellee tuduk +, a c, d és e feladatokál pedig az! sorozat határértéke jö el, amir l belátható, hogy /e-vel egyel. Fizika BSc I/, 7. feladatsor. Milye értéket kell adi A-ak, hogy f folytoos legye az potba is? f 4 ha A ha. A megadott függvéy amely az egész R-e értelmezett akkor lesz folytoos az -be, ha az ottai határértéke megegyezik a helyettesítési értékkel. Mivel 4 ezért f folytoos lesz az -be, ha A / ,. A határértékek kiszámításakor jó ötletek t het, hogy egyszer e megpróbáluk behelyettesítei, de ez általába em hoz sikert, pl. mert 0/0 típusú erdedméyt kapuk. Ilyekor egy ügyes átalakítás segíthet algebrai, vagy trigoometrikus azoosságok. 0 +, + + / / 3.
10 cos cos cos + cos cos si 0 + cos 0 si 0 si 5 si 0 5 si cos. Fizika BSc I/, 8. feladatsor
11 . +, a 5 + 5a 3 5 0a 3 5 4, a b b + a a b, + 4 +,, + +, , , , cos si si cos, si α + cos α cos α si α si α cos α si α + cos α si α + cos α si α + cos α, si si cos si si cos si si e e, l l l l l l,. Legye f 3 4. Mi lesz f 0? Mivel külö-külö midegyik téyez deriválja, a szorzatfüggvéyre voatkozó deriválási szabály szerit a derivált egy öttagú összeg lesz, mide tagból potosa az egyik téyez hiáyzik amikor t deriváljuk, a többihez pedig em yúluk. Az öt tag midegyikébe fog szerepeli az -es szorzó, kivéve egyet. Emiatt f Mivel az, illetve a tg függvéyek deriváltját már tudjuk, az iverzfüggvéy deriválási szabálya szerit b b b. b arc tg b tg a aarc tg b aarc tg b + tg a aarc tg b + b. cos a 4. Meyi az f si + függvéy iverzéek deriváltja az + π potba? Ha f ivertálható, diereciálható az a potba és f a 0, akkor f diereciálható a b fa potba és f b f a f f. Ezt alkalmazva b f + π f π/ + cos. π/
12 . Végezzük teljes függvéyvizsgálatot! Fizika BSc I/, 9. feladatsor a A függvéy egész R-e értelmezett, zérushelye va a 3, 0, 3 potokba. f, f. f 3 3, f 6, f 6. A derivált zérushelyei lehetséges lokális széls értékhelyek:,, a második derivált zérushelyei lehetséges ieiós potok: 0. Mivel f poliom, ezért midehol folytoos. Az alábbi táblázat segít eldötei f alaki tulajdoságait:,, 0 0 0,, f f f lokális ieiós lokális kove miimum kove pot kokáv maimum kokáv A derivált midkét zérushelyé lokális széls érték va, mert ott a második derivált em ulla. Az 0-ba ieiós pot va, mert a harmadik derivált ott em ulla illetve a 0-ba a függvéy koveb l kokávba vált át. A rajzhoz még számoljuk ki a függvéyértékeket az ±-be, azaz a lokális miimum és maimum értékeit: f, f. A függvéy értékkészlete az egész R. b A g függvéy midehol értelmezett, ics zérushelye, g g 0. Rövid számolásal adódik, hogy g +, g 3 +. Eek megfelel e a derivált zérushelye az 0, 3 a második derivált zérushelyei az / 3, / 3 potok., / 3 / 3 / 3, 0 0 0, / 3 / 3 / 3, f f f ieiós lokális ieiós kove pot kokáv maimum kokáv pot kove Valóba ieiós potokról va szó, mert a függvéy koveb l kokávba vált azokba a potokba. A függvéy értékei az ieiós potokba, illetve a lokális széls értékhelye: f0, f±/ 3 3/4. A függvéy egy racioális törtfüggvéy, amely midehol értelmezett, így midehol folytoos. Mivel zérushely ics, a végtelebeli eszekb l és a széls értékhelye felvett értékb l a folytosság miatt következik, hogy g értékkészlete a 0, ] itervallum. c A h függvéy midehol értelmezett, kivéve az 0 potot. Ett l a pottól eltekitve midehol máshol folytoos. Zérushelye ics. h, h, 0 h, 0+ h. Az els és második deriváltak: h, h 3. A derivált zérushelyei: és, a második deriváltak ics zérushelye.,, 0 0 0,, f f f lokális ics lokális kokáv maimum kokáv értelmezve kove miimum kove h, h. A végtelebeli és a szakadási potbeli határértékeket gyelembevéve, a függvéy értékkészlete a, ] [, halmaz.. Határozzuk meg az alábbi függvéyek lokális és globális széls értékhelyeit! a f 4, b g e si.
13 a f 4 3, eek a zérushelye az 0 / 3. Tehát ebbe a potba lehet lokális széls értékhely. Mivel f 0 < 0, ezért 0 -ba lokális maimum va, a maimum értéke f 0, 9. Ez egybe globális maimum is, mert a függvéy esze a ± -be. b f e si + cos, f e cos. Ott lehet lokális széls értékhely, ahol f 0, azaz az 3π 4 + kπ potokba k Z. A második derivált el jele ezekbe a potokba páros k-ra egatív, páratla k-ra pozitív. Ebb l következ e f-ek lokális maimuma va az 3π 4 + lπ helyeke és lokális miimuma va az 3π 4 + l + π potokba l Z. A függvéyek azoba ics globális maimuma, illetve miimuma, mert f értékei a lokális maimumhelyeke végtelehez tartaak, a miimumhelyeke felvett értékei pedig -hez. Például a maimumhelyeke f l ma e 3π 4 +lπ, ha l. 3. a Egy f : [, ] R függvéyre f 0 0. Igaz-e, hogy a 0-ba lokális széls értéke va? b Egy f : [, ] R függvéyre f 0 0. Igaz-e, hogy a 0-ba ieiós potja va? Egyik sem igaz. Az els esetbe az f 3 függvéy szigorúa mooto öv, így yílvá ics lokális széls értéke az 0-ba, bár ott a deriváltja 0. A második részhez az f 4 függvéyre f 0 0, de sehol sics ieiós potja, hisze végig kove. 4. Írjuk fel az f cos + függvéy érit jéek egyeletét az 0 potba. Az érit egyelete az 0 potba: y f f 0. Mivel f si 4 3 és f cos + /, ezért a keresett érit egyelete y si + + cos e l e l l + l +, l si cos ctg, si log e l e l l, l e + + e e + e + + e + e e, arc tg Fizika BSc I/, 0. feladatsor. Írjuk fel az alábbi függvéyek -edfokú 0 körüli T,0 Taylor-poliomját. a f e, T 0,0? b g +, T,0?
14 c h, T,? T f, 0, 0 T h,, 0 0 f 0! T g,, ! + +! + 3 3! ! ; g 0 +! 8 ; h +!! +!.. Becsüljük meg, hogy legfeljebb mekkora hibát követük el az alábbi közelít formulával: si 3 6, ha [, ]. Haszáljuk a Taylor-formula Lagrage-maradéktagos alakját. Eszerit ha f legalább + -szer diereciálható az a pot egy köryezetébe, akkor f T f,, a + f + ξ +! a+, ahol ξ egy a és közötti érték. Az f si függvéy akárháyszor diereciálható és a megadott közelít formula éppe T f, 3, 0, s t, mivel a függvéy egyedik deriváltja a 0-ba si 0 0, ezért valójába 3 6 T f, 4, 0 is igaz. Mivel /, ezért si 3 f T f, 4, 0 6 f 5 ξ 5 5 5! 5! 5! Számoljuk ki e értékét legalább 4 tizedesjegy potossággal csak a égy alapm velet felhaszálásával! Az e - már kiszámolt - Taylor-sorát haszálva e T, 0 e ξ +! + 3 +! < 0 4 +! > Tehát e egy jó közelít értéke: ê T, 0 7 k0 k! , , 5040 ami a potosabb e, értékkel összehasolítva az els 4 tizedesjegybe valóba megegyezik. 4. Számítsuk ki az alábbi határértékeket L'Hospital-szabállyal. 0 0 si a 0 ch cos e + e 3 si b 0 a cos a b cos b a b ; sh + si ch + cos ; 0 0 e e + e e 6 6 ;
15 Mivel l l / / 0+ / 0, 0+ és az epoeciális függvéy folytoos, ezért 0+ e l e 0 ; 0 l cos a 0 l cos b 0 cos a b cos b si aa si bb 0 a tg a b tg b a cos a 0 b cos b a cos b 0 b cos a a b. Fizika BSc I/,. feladatsor. Az alapitegrálok felhaszálásával számoljuk ki a primitív függvéyeket. 3 d /3 d 5/3 5/3 + C C; 4 5 3/0 6 d d /5 d 7/5 /6 7/5 + C C; 6 si + 5 cos d 6 si d + 5 cos d 6 cos + 5 si + C; si tg cos d cos d cos d cos d d tg + C; 5 cos cos si + cos d 5 si cos + si d 5 cos si d 5si + cos + C; 5 + d 5 + d 5 arc tg + C. Az fa + b d af a + b + C formulát haszálva számítsuk ki a primitív függvéyeket. d l + a + C; + a 3 0 d 3 + C 5 + d 3 + C; 3/5 /5 d + C 5 /5 /5 + C 3. Számoljuk ki az alábbi f f és f f alakú itegradusok primitív függvéyét.
16 3 + 4 d d C C; 6 6 si cos d si + C; 4 si 5 cos + 4 d 4 5 si 5 5 cos + 4 d 4 l 5 cos C; 5 / l d d l l + C. l 4. Primitív függvéy kiszámítása parciális itegrálással. e d e + e d e e + C; cos d si si d si + cos + C; l d l d l d l + C; arc tg d arc tg d arc tg + d arc tg arc tg l + + C; e sh4 d e sh4 e ch4 d e sh4 e ch4 + 4 e sh4 d. e sh4 ch4 + e sh4 d A kapott egyeletet átredezve kapjuk, hogy e sh4 d e 3 sh4 ch4 + C. Fizika BSc I/,. feladatsor. Számítsuk ki az alábbi itegrálokat alkalmas helyettesítéssel. A t helyettesítéssel t d t dt, így e d e t t dt te t e t dt e t t + C e + C; A t /3 helyettesítéssel 3/t d 3/ dt, így d d 3 6 3/ t dt 4 arc si t + C 4 arc si 3 + C;
17 A t helyettesítéssel t d t dt, így + d t + t dt + t dt t l + t + C l + + C; A t /5 helyettesítéssel 5t d 5 dt, így 5 + d 5 d A t e helyettesítéssel l t d dt t, így e + e d t + t t dt 5 + t dt 5 arc tg t + C 5 arc tg + C; 5 + t dt t l + t + C e le + + C; A t arc si helyettesítéssel si t d cos t dt, így d si t cos t dt cos t dt + cos t dt si t t + + C arc si + + C; A t l helyettesítéssel e t d e t dt, így sil d e t si t dt e t si t e t cos t dt e t si t e t si t cos t e t si t dt; e t cos t + e t si t dt amib l átredezéssel kapjuk, hogy e t si t dt et si t cos t + C, amib l adódik az eredeti feladat megoldása: sil d et si t cos t + C sil cosl + C; A t helyettesítéssel t d t dt, így si d t 3 si t dt t 3 cos t + 3 t cos t dt t 3 cos t + 6 t si t t si t dt t 3 cos t + 6t si t t cos t + cos t dt t 3 cos t + 6t si t + t cos t si t + C cos si 6 + C; Legye k π < < k + π, ekkor a t tg helyettesítéssel arc tg t d + t dt, így + cos d + t +t + t dt dt t + C tg + C;
18 A t helyettesítéssel 3 t 3 d t 3 /3 t dt, így d t 3 /3 t t t 3 /3 dt t 3 dt t4 4 + C + 3 4/3 + C; 4 A t helyettesítéssel t + d dt, így 3 t + 3 d t 3 + 3t + 3t + t 00 dt t 00 dt t t t A ch sh és az sh sh ch t 99 + C dt t dt t dt t C; th azoosságokból kapjuk, hogy sh t th t helyettesítéssel ar th d dt, sh t t, így t sh d t t dt dt t l t + C l th + C; th dt t 00. A
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenI. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenSOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok
SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenTaylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
Részletesebben(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.
PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /
RészletesebbenKalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév
Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenA primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,
6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter
Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
Részletesebben1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?
1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai
Részletesebben2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
RészletesebbenDebreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
Részletesebben3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.
3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága
RészletesebbenA primitív függvény és a határozatlan integrál 7
A primitív függvéy és a határozatla itegrál 7 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Korábbi taulmáyaitok sorá láthattátok, hogy sok műveletek, függvéyek va fordított művelete, iverz függvéye
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
RészletesebbenANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add
RészletesebbenAnalízis I. gyakorlat
Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
RészletesebbenHatárértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.
Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos
RészletesebbenFüggvények határértéke 69. III. Függvények határértéke
Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
RészletesebbenAnalízis feladatgy jtemény II.
Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................
RészletesebbenII. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK
Itegrálási módszerek 5 II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A parciális itegrálás módszere Ha az f, g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo, akkor tudjuk, hogy a szorzatuk
RészletesebbenKalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok
Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenLajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár
Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus
RészletesebbenFELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenFeladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)
Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek
RészletesebbenKitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK
Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 69 1. KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
RészletesebbenBevezető analízis II. példatár
Bevezető aalízis II. példatár Gémes Margit, Szetmiklóssy Zoltá Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Matematikai Itézet 06. ovember 3. Tartalomjegyzék. Bizoyítási módszerek, valós számok 3..
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
RészletesebbenVegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz. 2 dx = 1, cos nx dx = 2 π. sin nx dx = 2 π
Matematika Ac gyakorlat Vegyzméröki, Bioméröki, Köryezetméröki szakok, 7/8 ősz 4. feladatsor: Fourier-sorok megoldás. Legye fx = ha x, ], fx = ha x, π]. Írjuk fel f Fourier-sorát. Mely potokba állítja
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
Részletesebben1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény
Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenBevezetés az algebrába komplex számok
Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.
RészletesebbenA1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014
A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz:
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
Részletesebben1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1
. feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000
Részletesebben1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!
Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós
RészletesebbenDraft version. Use at your own risk!
BME Matematika Itézet Aalízis Taszék Adai Attila Bevezető aalízispéldák példatár éháy BSc-s órához 8 Tartalomjegyzék. Halmazalgebra. Teljes idukció 3. Relációk, függvéyek 3 4. Számosságok 6 5. A valós
RészletesebbenA + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )
Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és
Részletesebben1. gyakorlat - Végtelen sorok
. gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
Részletesebben2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)
(11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)
RészletesebbenAndai Attila: november 13.
Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.
RészletesebbenINJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK
Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS
SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY
RészletesebbenObudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},
RészletesebbenBSc Analízis I. előadásjegyzet
BSc Aalízis I. előadásjegyzet 2009/200. őszi félév Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék 200. április 30. ii Tartalomjegyzék Előszó v. Bevezetés.. Logikai állítások,
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebben1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása
Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
Részletesebben18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható
8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
RészletesebbenMinta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ
JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorokkal kapcsolatos tételek és ellepéldák Szakdolgozat Készítette: Csala Mátyás Matematika Bsc Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Gémes Margit
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás
RészletesebbenAlgebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok
Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok 1. a) Z(G), mert az egységelem yilvá felcserélhet mide G-beli elemmel. Továbbá Z(G) zárt a szorzásra, mert ha a, b Z(G), akkor tetsz leges g G-re (ab)g
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenMatematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei
Matematika A1 9. feladatsor A derivált alkalmazásai Függvény széls értékei 1. Keressük meg a függvények abszolút maximumát és minimumát a megadott intervallumon. Ezután rajzoljuk fel a függvény grakonját.
RészletesebbenSorozatok. [a sorozat szigorúan monoton nő] (b) a n = n+3. [a sorozat szigorúan monoton csökken] (c) B a n = n+7
Bodó Beáta 1 Sorozatok 1. Írja fel az a = 1 +4 sorozat 10. és ( + 1)-edik elemét! [a 10 = 4 14, a +1 = 4 +. Írja fel az a = +4 1 sorozat ( + 1)-edik és ( )-edik tagját! [a +1 = +7 +4, a = 11. Vizsgálja
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenGyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz
Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F
Részletesebben