Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)
|
|
- Lídia Hajduné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február
2 Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla itegrálok A deíciók egyszer következméyei Primitív függvéyek meghatározására voatkozó módszerek Alapitegrálok Alapitegrálokra vezet típusok Itegrálás ügyese Parciális itegrálás Itegrálás helyettesítéssel Racioális függvéyek itegrálása Racioális függvéyek itegrálására vezet helyettesítések A határozott itegrál A határozott itegrál értelmezése A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása A határozott itegrál alkalmazásai Improprius itegrálok Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz... 4 II. Megoldások 7. Primitív függvéyek határozatla itegrálok A deíciók egyszer következméyei Primitív függvéyek meghatározására voatkozó módszerek Alapitegrálok Alapitegrálokra vezet típusok Itegrálás ügyese Parciális itegrálás
3 Tartalomjegyzék..5. Itegrálás helyettesítéssel Racioális függvéyek itegrálása Racioális függvéyek itegrálására vezet helyettesítések A határozott itegrál A határozott itegrál értelmezése A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása A határozott itegrál alkalmazásai Improprius itegrálok Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz... 7
4 4 Tartalomjegyzék
5 I. rész Feladatok 5
6
7 . Primitív függvéyekhatározatla itegrálok 7. Primitív függvéyek határozatla itegrálok.. A deíciók egyszer következméyei F. Határozza meg az alábbi függvéyek összes primitív függvéyét: a f :, + ; b f :, ; c f :, π ; d f : si + R. F. Határozza meg az f : I R függvéy I potba elt primitív függvéyét, ha a f : cos R, : π 4 ; b f : R +, : 8. F. Keresse meg azt a f függvéyt, amelyre a f R+, f4 ; b f >, f ; + c f R, f, f ; d f R +, f, f ; e f e + 5 si R, f, f ; f f si, R, f, f, f. F4. Igazolja, hogy a sig függvéyek ics primitív függvéye. F5. a Bizoyítsa be, hogy ha az I R itervallumo értelmezett f : I R függvéyek az F, F : I R primitív függvéyei, akkor c R, hogy F F c I.
8 8. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok b Mutassa meg, hogy az el z állításba az a feltétel, hogy D f itervallum legye, léyeges: Adjo meg olya emüres H R yílt halmazt, olya F, F : H R diereciálható függvéyeket, amelyre F F teljesül mide H eseté, ugyaakkor F és F em kostasba külöbözek egymástól... Primitív függvéyek meghatározására voatkozó módszerek... Alapitegrálok F6. Számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat az adott I itervallumoko: 6 a 8 + d, I : R; b + d, I : R + ; c + d, I : R + ; d d, I : R + ; 5 e + d, I :,. f f... Alapitegrálokra vezet típusok alakú itegrálok F7. Mutassa meg, hogy ha f : I R pozitív és diereciálható az I itervallumo, akkor f f d l f + c I. F8. Az el z feladat segítségével számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat az adott I itervallumoko: a d, I : R; + b d, I : R; c tg d, I : π, π e ; d d, I : R; e + 5 d e, I :, ; l f d, I :, + ; l
9 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 9 f α f alakú itegrálok F9. Tegyük fel, hogy az f : I R függvéy pozitív és diereciálható az I itervallumo és α valós szám. Mutassa meg, hogy f α f d f α+ α + + c I. F. Az el z feladat eredméyéek felhaszálásával számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat az adott I itervallumoko: a +4 4 d, I : R; b d, I : R + ; c e e d, I : R; d si cos d, I : R; l 5 arsh e d, I : R+ ; f + d, I : R+ ; g d, I : 5, + ; 5 h 4 cos tg d, I :, π ; fa + b d alakú itegrálok F. Legye I R egy itervallum és F : I R a f : I R függvéyek egy primitív függvéye. Mutassa meg, hogy ekkor bármely a R \ {}, b R eseté F a + b fa + b d + c I. a F. Az el z feladat eredméyéek felhaszálásával számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat: a d > ; b d < ;
10 . Primitív függvéyekhatározatla itegrálok c + d R; d d > ; e d < ; f d >. F. Számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat: d a + R; b d d c R; + + d d 5 < < f g g d alakú itegrálok F4. Tegyük fel a következ ket: i a g : I R függvéy deriválható az I itervallumo, ii J R egy itervallum és R g J, iii az f : J R függvéyek létezik primitív függvéye. Ekkor az f g g függvéyek is létezik primitív függvéye és f g g d F g + c J, R; ahol F a f egy primitív függvéye. Godolja meg, hogy ez az állítás speciális esetkét tartalmazza az F7., F9. és F. feladatok eredméyeit! F5. Az el z feladat segítségével számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat az adott I itervallumoko: a si d, I : R; b c 6 + si + d, I : R; d + l d, I : R+ ; sh d, I : R + ;
11 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek e cos + tg d, I : π, π ; e tg f cos d, I : π, π.... Itegrálás ügyese F6. Az itegradus alkalmas átalakítása utá számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat a megadott I itervallumoko: a + + d, I : R; b d, I :, + ; c 4 + d, I : R; d + d, I : R; 4 e tg d, I : π, π ; f tg d, I : π, π ; g si d, I : R; h cos d, I : R; i si cos 7 d, I : R; j cos cos d, I : R; k si d, I :, π; cos l 5 + cos d, I : π, π; m si d, I :, π; cos d, I : π, π ; o si cos d, I : R; p si cos 4 d, I : R. q + tg tg d, I : π 4, π Parciális itegrálás Parciális itegrálás: Tegyük fel, hogy az f és a g függvéyek deriválhatók az I itervallumo és f g-ek va primitív függvéye. Ekkor az fg függvéyek is va
12 . Primitív függvéyekhatározatla itegrálok primitív függvéye az I itervallumo és fg d fg f g d I. F7. A parciális itegrálás szabályát alkalmazva számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat a megadott I itervallumoko: a e d, I : R; b si d, I : R; c e si d, I : R; d e ch d, I : R; e l d, I : R + ; f arctg d, I : R; g l d, I : R + ; h 5 e d, I : R. F8. Számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat a megadott I itervallumoko: a cos + e + d, I : R; b d, I : R; c 4 + arcsi d, I :, ; d cosl d, I : R + ; e l d, I : R + ; f cos lsi d, I :, π; l g d, I : R+ ; h l d, I : R +. F9. Legye N, és tegyük fel, hogy az f, g : a, b R függvéyek -szer deriválhatók és f, g folytoosak. Mutassa meg, hogy fg fg f g + + f g.
13 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek F. Igazolja, hogy tetsz leges,,... eseté si d cos si + cos d si cos Itegrálás helyettesítéssel si d cos d. A második helyettesítési szabály: Tegyük fel a következ ket: i I és J R-beli itervallumok, ii g : I J egy bijekció tehát g-ek va iverze és g DI, iii f : J R és az f g g függvéyek létezik primitív függvéye az I itervallumo. Ekkor az f függvéyek is létezik primitív függvéye a J itervallumo és f d f gt g t dt tg J. Ilyekor azt modjuk, hogy az gt helyettesítést alkalmazzuk. F. Állítsa el helyettesítéses itegrálással a következ határozatla itegrálokat: a d, ; b + d R; c d > ; d d < ; e + d R; f + 5 d R; a g + b + c d a, b, c R...6. Racioális függvéyek itegrálása Racioális függvéyek evezzük két poliom háyadosát, azaz az R : P Q
14 4. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok alakú függvéyeket, ahol P és Q poliomok. A három alaptípus itegrálása El ször azt jegyezzék meg, hogy az alábbi három típusú racioális függvéy primitív függvéyét hogya lehet meghatározi.. alaptípus: α d α, +, ahol α R és N adott számok. Ez egy alapitegrál: { α d l α + c, ha α + + c, ha,, alaptípus: a + b a + b + c d I, ahol I egy olya itervallum, amelye a + b + c >, azaz a számlálóba a evez deriváltja szerepel; az itegradus tehát f f Eek is tudjuk már a primitív függvéyét: a + b a + b + c d la + b + c + C I. alakú.. alaptípus: A + B a + b + c d, ahol b 4ac < és R. A evez be lev másodfokú poliomak ics valós gyöke, ezért az itegradus az egész R-e értelmezve va. A számláló tehát egy tetsz leges els fokú poliom, a evez pedig olya másodfokú poliom, amiek ics valós gyöke. Ez már ehezebb!!!. A midig alkalmazható eljárást a d feladatba mutatjuk be.
15 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 5 F. Számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat a megadott itervallumoko: a d, > ; b d, < ; + c + + d, I : R; d + d, I : R; + + e + + d, I : R; f + 5 d, I : R; g + 7 d, I : R; h d, I : R. + F. Igazolja, hogy tetsz leges,,... eseté d d. Határozza meg az f : R függvéy primitív függvéyét. + Parciális törtekre botás módszere Tetsz leges R P racioális függvéy primitív függvéyéek meghatározását az a fotos észrevétel teszi lehet vé, hogy mide ilye tört egyszer alakú Q törtek az ú. parciális törtek összegére botható. Eek az eljárásak az egyes lépései a következ k:. lépés: A P törtet egy poliomak és egy olya racioális törtek az összegekét Q írjuk fel, amelybe a számláló fokszáma már kisebb, mit a evez fokszáma: P Q T + P Q, ahol T és P poliomok, de P fokszáma kisebb, mit Q fokszáma. Ezt sok esetbe egyszer átalakításokkal, az általáos esetbe pedig poliomosztással végezhetjük el. Például: ; az alapjá
16 6. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok. lépés: Itt már feltesszük, hogy a P törtbe a P fokszáma kisebb, mit Q Q fokszáma. A evez be lev poliomot ameddig csak tudjuk szorzatra alakítjuk. Emlékezzeek a korábba megismert techikákra!!! Például: Q ; Q + + ; Q ; Q ; Q Figyeljük meg, hogy a felbotásba els fokú téyez k, illetve olya másodfokú téyez k szerepelek, amelyekek icseek valós gyökei. Általába is bizoyítható, hogy mide Q valós együtthatós poliomot fel lehet íri valós együtthatós els - és másodfokú téyez k szorzatakét, ahol a másodfokú téyez kek már icseek valós gyökeik. Adott Q poliom eseté egy ilye felbotás meghatározása em midig egyszer feladat!!!. lépés: a parciális törtekre botás. A evez t l függ e keressük az egyszer alakú törteket mégpedig határozatla együtthatókkal. Például: 4 A + A 4 ; A + B + C + + ; A + A + B + C + B + C + +. Itt vegyék észre, hogy az els fokú téyez k eseté a számlálóba egy álladót, a másodfokú téyez k eseté pedig a számlálóba egy els fokú poliomot kell vei. Általába:
17 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 7 Ha a evez be szerepl Q poliomba az r els fokú téyez az m-edik hatváyo szerepel, akkor ehhez a téyez höz A r + A r + + A m r m alakú törtek tartozak. Ha a evez be szerepl Q poliomba a + p + q másodfokú téyez ez tehát már egy olya poliom, amiek ics valós gyöke, mert a p 4q diszkrimiása egatív az -edik hatváyo szerepel, akkor ehhez a téyez höz B + C + p + q + B + C + p + q + + B + C + p + q alakú törtek tartozak. Az R P racioális tört az ilye parciális törtek összege. Q Az A i, B i, C i együtthatók meghatározására egy természetes módszer kíálkozik: a jobb oldalo hozzuk közös evez re, majd a számlálót hatváyai szerit redezzük. Az így adódó tört számlálója egyel a bal oldalo lev tört számlálójával. Tudjuk már azt, hogy két poliom akkor és csak akkor egyel, ha a megfelel együtthatói megegyezek. A két oldal számlálójába az együtthatók egyel ségéb l a határozatla együtthatókra egy egyeletreszert kapuk. Eek megoldásai a keresett A i, B i, C i együtthatók. F4. Parciális törtekre botással számítsa ki a következ határozatla itegrálokat a megadott itervallumoko: a d, I :, 4; 4 b d e f d, I :, + ; c 6 + d, d, + 4 d, I : R+ ; I :, + ; I :, + ; d, I :, ;
18 8. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok g + d, I :, + ; h 4 5 d, I :, 5 ; 4 i 8 + d, I :, ; 4 j 8 d, I :, + ; + k d, I : R. + 4 R,..7. Racioális függvéyek itegrálására vezet helyettesítések a+b c+d d alakú itegrálok, ahol Ru, v kétváltozós poliomok háyadosa. Ezekbe a gyökös kifejezést egy új változóval helyettesítve racioális törtfüggvéy itegrálására jutuk. Potosabba: legye t : a + b c + d. A gt helyettesít függvéyt úgy kapjuk meg, hogy ebb l az -et kifejezzük, majd a második helyettesítési szabályt alkalmazzuk. F5. Alkalmas helyettesítéssel vezesse vissza az alábbi itegrálokat racioális függvéyek itegráljára: a + d > ; b + d > ; c d > ; d d > ; + e d < ; f d < < ; g d > ; h d < ;
19 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 9 i d < <. + R si, cos d alakú itegrálok, ahol Ru, v kétváltozós poliomok háyadosa. Ebbe az esetbe a t tg helyettesítést, azaz az arctg t : gt helyettesít függvéyt alkalmazzuk, és felhaszáljuk az alábbi azoosságokat: si si cos si + cos cos cos si si + cos tg + tg tg + tg t + t, t + t. Mivel g t t R, + t ezért a g függvéy szigorúa mooto öveked, ezért va iverze és az a t g tg π, π függvéy. F6. Alkalmas helyettesítéssel számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat úgy, hogy visszavezeti racioális függvéyek itegráljára: a d < < π; si b cos d π < < π; + si c d < < π; cos cos d d π < < π; + cos e + tg d < < π. F7. Oldja meg az el z feladatot ügyese is. Alkalmazza a következ azoosságokat: a...
20 . Primitív függvéyekhatározatla itegrálok b... c + si cos cos + si cos si + si cos ; cos d + cos + cos cos ; e + tg cos cos + si si + cos +. 5 cos + si A végeredméyeket hasolítsa össze az el z feladatba kapott végeredméyekkel. F8. Számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat: a + si + cos d π < < π; b + si + cos d π < < π; c + 5 cos d < < π; d L-Sch 64. oldal 8. feladat. S e d alakú itegrálok, ahol Su egyváltozós poliomok háyadosa. Ebbe az esetbe a t e helyettesítést, azaz az l t : gt helyettesít függvéyt alkalmazzuk. Mivel g t >, ha t >, ezért g szigorúa öveked, ezért va iverze, és az a t t e g > függvéy. F9. Alkalmas helyettesítéssel számítsa ki az alábbi határozatla itegrálokat úgy, hogy visszavezeti racioális függvéyek itegráljára: 4 a d > l ; e 4 b e d R; e + e c + 4 d R; e + 4e +
21 . A határozott itegrál. A határozott itegrál.. A határozott itegrál értelmezése F. Mutassa meg, hogy a Dirichlet-függvéy em Riema-itegrálható a [, ] itervallumo. F. Adjo meg olya f : [a, b] R függvéyt, amelyik em Riema-itegrálható [a, b]-, de f már Riema-itegrálható [a, b]-. F. A deíció alapjá számítsa ki a következ határozott itegrálokat: a d, b d. F. Mutassa meg, hogy az f : [a, b] R korlátos függvéy akkor és csak akkor Riema-itegrálható a kompakt [a, b] itervallumo, és az itegrál értéke az I valós szám, ha az [a, b] itervallumak va olya felosztássorozata, amelyhez tartozó alsó- és fels közelít összegek sorozata koverges, és midkett ek az I szám a határértéke. Jelekkel: f R[a, b] és b a f I { ha [a, b]-ek τ felosztássorozata, amelyre F4. Az el z feladat állítását felhaszálva igazolja, hogy a b b a b a b e d e b e a α d bα+ a α+ α + a < b; lim sf, τ lim Sf, τ I. + + < a < b, α valós szám; c d l b l a a < b. a F5. Mutassa meg, hogy ha f akkor és csak akkor Riema-itegrálható a kompakt [a, b] itervallumo és az itegrál értéke I, ha bármely mide határo túl omodó τ felosztássorozat eseté lim s f, τ lim S f, τ I. + +
22 . A határozott itegrál F6. Bizoyítsa be, hogy l. F7. Lássa be, hogy az, ha R \ Q f : q, ha p Q \ {}, p, q q, ha Riema-függvéy Riema-itegrálható [, ]-e és f... A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása F8. Adjo meg olya Riema-itegrálható függvéyt, amelyikek ics primitív függvéye. F9. Mutassa meg, hogy ha f folytoos az [a, b] itervallumo és itt f, akkor b a f f az [a, b]-. F4. A NewtoLeibiz-tétel felhaszálásával számítsa ki az alábbi határozott itegrálokat: a c e g 5 4 π 5 d ; d + ; e si d; e b sil d; d d ; f e d + + ; h l l d; e d.
23 .. A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása F4. Alkalmasa megválasztott függvéyek határozott itegráljáak felhaszálásával számítsa ki az alábbi határértékeket: a lim + k + k ; b k 9 ; c d e lim + lim + lim + k α + α + + α lim α >. + α+ ; + ; F4. CauchyBuyakovszkijSchwarz-egyel tleség: Tetsz leges f, g R[a, b] függvéyek eseté F4. Számítsa ki az b a b b fg d f d g d. I : a d,,,... itegrálokat. Keresse I -re rekurziós formulát. F44. Bizoyítsa be, hogy ha f folytoos a [, ] itervallumo, akkor f d a f d. F45. Lássa be, hogy m d m d m, N.
24 4. A határozott itegrál F46. Bizoyítsa be, hogy Bm, : m d m!! m + +! m, N. F47. Igazolja, hogy ha f : [, ] R egy folytoos függvéy, akkor fu u du u ft dt du. F48. Bizoyítsa be az alábbi egyel tleségeket: a b c e π d 4, e r si d π r e r, si + d, 7, d π π 4 si d 6. F49. Határozza meg az alábbi miimumokat: a mi { c d : c R } ; b mi { π/ π/ si a b d : a.b R }. ahol r > valós szám, + 4 d 6 5, F5. Keresse meg azokat az a < b valós számokat, amelyekre az b a + d itegrál értéke maimális. F5. Igazolja, hogy f D[, ], f > eseté { mi } f c : c R f f.
25 .. A határozott itegrál alkalmazásai 5 F5. Keresse meg a következ határértékeket: +h a lim + t dt, h h b lim si t t dt. F5. Mutassa meg, hogy az f : sit dt R függvéy deriválható, és számítsa ki a deriváltfüggvéyt. F54. Tegyük fel, hogy f : R R olya folytoos függvéy, amelyre si π teljesül. Meyi az f értéke a 4 potba? F55. Bizoyítsa be a következ állításokat: a Ha f mooto öveked, akkor f d k f k ft dt R f f N. b Ha f diereciálható és f korlátos a [, ] itervallumo, akkor va olya -t l függetle c > valós szám, amellyel az f d k f c k egyel tleség mide N számra teljesül... A határozott itegrál alkalmazásai Síkidom terülte A Ha a korlátos f : [a, b] R függvéy Riema-itegrálható az [a, b] itervallumo és f [a, b], akkor az f grakoja alatti A : {, y R a b, y f}
26 6. A határozott itegrál síkidom területét így értelmezzük: ta : b a f d. Ha f az [a, b] itervallumo, akkor a B : {, y R a b, f y } síkidom területe: B Legye tb : b a f d. ϕ t y ϕ t t [α, β], t [α, β] a sima elemi Γ R görbe egy paraméteres el állítása. Tegyük még fel azt is, hogy ϕ szigorúa mooto öv és ϕ t t [α, β]. Ekkor a C : {, y R ϕ t, y ϕ t, t [α, β]} síkidom területe: C Az tc r ϱϕ, β α ϕ tϕ t dt. α ϕ β polárkoordiátás alakba megadott görbe által meghatározott E : {, y R r cos ϕ, y r si ϕ; r ϱϕ, α ϕ β} szektorszer tartomáy területe, ha ϱ itegrálható: T E β α ϱ ϕ dϕ. F56. Számolja ki az y egyelet egyees és a az y + 6 egyelet parabola által közrezárt síkidom területét.
27 .. A határozott itegrál alkalmazásai 7 F57. Határozza meg az y 4 és az y 4 görbék által meghatározott síkidom területét. F58. Határozza meg az y 4 és az y görbék által meghatározott síkidom területét. F59. Számítsa ki az alábbi síkbeli halmazok területét: a {, y R 4, y 4 4 }, b {, y R a e, y l }, c {, y R + y, a, b > }. a b F6. Határozza meg az f ás a g függvéyek grakoja által határolt síkrész területét: a f : p >, g : p R, p > ; b f : R, g : 4 R. F6. Szemléltesse az alábbi paraméteres alakba megadott síkbeli görbéket: a ϕ t : cos t t [, π, y ϕ t : si t t [, π asztrois; b ϕ t : cos t cos t t [, π, y ϕ t : si t si t t [, π kardiodid; Számítsa ki a görbék által meghatározott síkidomok területét. F6. Szemléltesse az alábbi polárkoordiátákba megadott síkbeli görbéket: a r ϱϕ : cos ϕ ϕ [ π, π ] kör; b r ϱϕ : cos ϕ ϕ [ π 4, π 4 ] lemiszkáta. Számítsa ki a görbék által meghatározott síkidomok területét. Síkbeli görbe ívhossza B Legye Γ R egy sima elemi görbe és ϕ ϕ, ϕ : [α, β] R a Γ egy paraméterezése. Ekkor a Γ görbe rektikálható, és Γ ívhossza: lγ β α [ϕ t ] + [ ϕ t ] dt.
28 8. A határozott itegrál A Legye Γ az f : [a, b] R folytoosa diereciálható függvéy grakoja. Ekkor a Γ görbe rektikálható, és ívhossza: lγ b a + [ f t ] dt. C Ha ϱ : [α, β] R folytoosa diereciálható, akkor az r ϱϕ α ϕ β polárkoordiátás alakba megadott Γ görbe rektikálható és az ívhossza: lγ β α ϱ ϕ + [ ϱ ϕ ] dϕ. F6. Határozza meg az alábbi függvéyek grakojáak a hosszát: a f 4, b f lcos π, c f, d f / 5, e f l 8 4, f f 6 +. F64. Számítsa ki az alábbi paraméteres alakba megadott görbék ívhosszát: a ϕ t : e t si t, y ϕ t : e t cos t t [, π/; b ϕ t : cos t, y ϕ t : si t t [, π/. F65. Határozza meg az alábbi polárkoordiátás alakba megadott görbék ívhosszát: a r ϱϕ : si ϕ ϕ [, π]; b r ϱϕ : ϕ [π/, π]. ϕ
29 .. A határozott itegrál alkalmazásai 9 Forgástest térfogata Legye f : [a, b] R folytoos függvéy és tegyük fel, hogy f az [a, b] itervallumo. Az f grakojáak az -tegely körüli forgatásával adódó forgástest térfogata: H : {, y, z R a b, y + z f} V H : π b a f d. F66. Határozza meg az f : [a, b] R függvéy grakojáak az -tegely körüli megforgatásával adódó forgástest térfogatát: a f : [, ]; 4 Forgástest felszíe b f : si [, π]; c f : e [, ]. Legye f : [a, b] R egy folytoosa diereciálható függvéy és tegyük fel, hogy f az [a, b] itervallumo. Az f grakojáak az -tegely körüli forgatásával adódó H : {, y, z R a b, y + z f} forgásfelület felszíe: F H : π b a f + [ f ] d. F67. Határozza meg az f : [a, b] R függvéy grakojáak az -tegely körüli megforgatásával adódó forgástest felszíét: a f : [, ]; b f : si [, π]; c f : [, 4].
30 . A határozott itegrál.4. Improprius itegrálok D. Tegyük fel, hogy az f függvéy Riema-itegrálható a tetsz leges a, b R itervallum a lehet és b lehet + is mide kompakt [α, β] a, b részitervallumá, és legye c a, b egy tetsz leges, de rögzített pot. Az f függvéyt impropriusa itegrálhatóak evezzük az a, b itervallumo vagy azt modjuk, hogy f improprius itegrálja koverges a, b-, ha létezek és végesek az alábbi határértékek: lim t a+ c t f d és lim s b s és f improprius itegráljá ezek összegét értjük: b a f d : lim t a+ c t f d + lim s b c f d, s c f d. T. Ha f impropriusa itegrálható az a, b itervallumo, akkor az improprius itegráljáak az értéke függetle a deíciójába szerepl c a, b pot megválasztásától. T. Tegyük fel, hogy a korlátos f függvéy Riema-itegrálható a kompakt [a, b] R itervallumo. Ekkor f impropriusa is itegrálható a, b- és eze az itervallumo az improprius itegrálja megegyezik az f függvéy [a, b]- vett Riema-itegráljával. F68. Vizsgálja meg az alábbi improprius itegrálok kovergeciáját. Ha koverges, akkor határozza meg az értékét: a c e + + d α R, b α + d α R, d α d, f d α R, α + d, d. F69. Dötse el, hogy az alábbi improprius itegrálok közül melyek a kovergesek. A kovergesek eseté számolja ki az itegrál értékét.
31 .4. Improprius itegrálok a c e e d, l, d, l d, b d f e d, l d, l p d p R. T. Az összehasolító kritérium: Legye a, b R ahol lehet a és lehet b +, és tegyük fel, hogy f is és g is Riema-itegrálható a, b-ek mide kompakt részitervallumá, továbbá f g a, b. Ha az b g d improprius itegrál koverges, akkor az b f d improprius itegrál is koverges majoráskritérium. a a Ha az b f d improprius itegrál diverges, akkor az b g d improprius itegrál is diverges mioráskritérium. a a F7. Dötse el, hogy az alábbi improprius itegrálok kovergesek-e: a c e + e d , b cos + + d, d d, f + d , + d, 5 + d. D. Akkor modjuk, hogy az b f d improprius itegrál abszolút kover- ges, ha az b T4. Ha az b a a a f d improprius itegrál koverges. f d improprius itegrál abszolút koverges, akkor koverges is. F7. Mutassa meg, hogy az alábbi improprius itegrálok kovergesek: a cos d, b + si d.
32 . A határozott itegrál F7. Bizoyítsa be, hogy + si + a d koverges, b si d diverges. T5. Tegyük fel, hogy az f : [, + R + függvéy folytoos, mooto csökke. Mutassa meg, hogy a f számsor koverges vagy diverges aszerit, hogy az + f d improprius itegrál koverges vagy diverges. A tétel érvéybe marad abba az esetbe is, amikor f a feti tulajdoságokkal a [k, + itervallumo k N redelkezik. Ebbe az esetbe f, illetve + f d helyébe f, illetve + f d érted. k k F7. Az el z tétel felhaszálásával vizsgálja meg kovergecia szempotjából az alábbi számsorokat: a α R; b α l. F74. Mutassa meg, hogy + + d 4 5. F75. Mutassa meg, hogy a b lim d határérték létezik és véges, de a b + b d improprius itegrál diverges. Emlékeztet ül: a + fd improprius itegrált akkor modjuk kovergesek, ha a fd és + fd improprius itegrálok midegyike koverges, és ebbe az esetbe + fd : fd + + fd.
33 .4. Improprius itegrálok F76. A valószí ségszámításba a λ > paraméter epoeciális eloszlás s r ségfüggvéye így va deiálva: f λ : λe λ [, +. Néháy λ > paraméter eseté szemléltesse az f λ függvéyt, és mutassa meg, hogy az f grakoja alatti terület a [, + itervallumo mide λ > eseté -gyel egyel, azaz + f λ d F77. Számítsa ki a következ itegrálokat: a b + + λe λ d; mide λ > számra. /λ λe λ d λ > paraméter. F78. Milye a, b R eseté lesz + fd, ha a f : e a R; { e b a b, ha [, + f :, ha,. F79. Mutassa meg, hogy + e a mide a, + paraméterre. F8. A statisztikába és a valószí ségszámításba fotos szerepet játszó Gaussféle haraggörbét így deiálják: f : e R. Ez a függvéy az ú. stadard ormális eloszlás s r ségfüggvéye. Szemléltesse a függvéy grakoját. Mutassa meg, hogy a + / e d improprius itegrál koverges. Jegyezze meg, hogy + e d π.
34 4. A határozott itegrál A Φ : π e t dt R függvéyt valószí ségitegrálak, illetve Gauss-hibaitegrálak evezik. F8. Legye µ tetsz leges valós és σ pozitív valós paraméter, és tekitse az f : σ µ π e σ R, függvéyt. Mutassa meg, hogy a + b + c + fd haszálja fel, hogy + fd µ; fd σ + µ. e d π; F8. a Bizoyítsa be, hogy mide > valós számra az + t e t dt improprius itegrál koverges. A Γ : + függvéyt gammafüggvéyek evezzük. t e t dt R + b Igazolja, hogy i Γ + Γ R +, ii ha,,,..., akkor Γ +!..5. Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz F8. A biomiális sor. Tetsz leges α R eseté az α k : αα α k + k! k,,,...
35 .5. Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz 5 biomiális együtthatókkal képzett k α k k hatváysor ezt evezzük biomiális sorak mide < eseté koverges, és az összegfüggvéye az + α, függvéy: + k F84. A Wallis-formula: F85. A Stirlig-formula: α k + α,. k lim π. lim +! e π, azaz! közelítésére az alábbi formula érvéyes:!, π ha +. e F86. Mutassa meg, hogy π irracioális szám.
36 6. A határozott itegrál
37 II. rész Megoldások 7
38
39 . Primitív függvéyekhatározatla itegrálok 9 M. a b c d M. a b M. a f. Primitív függvéyek határozatla itegrálok.. A deíciók egyszer következméyei d l + c, + ; d l + c, ; si d ctg + c; d arctg + c. + cos d si + c és si π + c c ; 4 cos d si. 4 π d + c. d f + c és f4 4 + c + c c, azaz f. + d f l + + c és f + l + + c + c c, azaz f l + +. d f + c és f + c c és f + + d f + + c és f c c és f +. 6 b f c f
40 4. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok d f d f + c és f + c c és f + + d f l + + c és f l + + c c és f l +. e f e + 5 si e + 5 si d f e 5 cos + c és f e 5 cos + c c 4 és f e 5 cos + 4 e 5 cos + 4 d f e 5 si c és f e 5 si c c és f e 5 si + 4. si d f cos + c és f cos + c c és f cos + cos d f f si f si + c és f si + c c és f si + si + d f + cos + + c és f + cos + + c c és f + cos +... Primitív függvéyek meghatározására voatkozó módszerek... Alapitegrálok M6. a d c, b + d c, 4 c d 7 8 d c, 8
41 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 4 + d d + + d c, 5 f f e + 5 d d+5 d +5 arcsi +c.... Alapitegrálokra vezet típusok alakú itegrálok M7. Az f függvéy egy primitív függvéye l f, mert l f f. Mivel f f f f itervallumo értelmezett, ezért mide primitív függvéye l f-t l egy kostasba külöbözik. M8. a + d + d l + + c, b d d l 6 + 7, si si c tg d cos d d lcos + c, cos d e f e e + 5 d d l d l f α f alakú itegrálok c e e + 5 d le c, d l l + c, l d l l + c. l M9. M7-hez hasolóa. M. a d 6 b d 8 e e d, c, d e e d e 4 + c, 4 + c,
42 4. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok d si cos d si cos d si4 + c, 4 l e 5 d l5 d l6 + c, 6 arsh f + d, arsh arsh d + + c arsh + c, d d g h c, cos tg d fa + b d alakú itegrálok M. M7-hez hasolóa. M. a d b c d d + d arctg + c, d arth + + cos tg d + c d c, + d d tg + c. + c, +c 4 4 +c, d + d
43 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 4 e d d arcsi +c, f M. a d d arctg 5 + d 5 + c, 5 d b [ + 4 ] + c d d [ + 8 ] + d [ ] 5 f g g d alakú itegrálok d arch + c. 6 + d [ 5 ] d + 5 d d arctg + + c, d d d d arsh c, + 5 d d arcsi 5 + c. M4. M7-hez hasolóa. M5. a si d si cos d + c,
44 44. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok sh b d sh d ch + c, c 6 + si + d cos + + c, d + l d d arctgl + c, + l e d arshtg + c, cos + tg f M6. a b c d e f g e tg cos d cos etg d e tg + c.... Itegrálás ügyese + d + d d arctg+c, d d + 7 d d + 7 d + 7 l + c, 4 + d arctg + c, + d [ + ] + d + + d + d + 4 d + d c, si si tg d cos d d l cos + c, cos si tg cos d cos d d cos cos d tg + c, cos cos si d d d d si +c, 4
45 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 45 h cos d cos cos d cos si d cos d cos si d si si + c, siα + β + siα β i a si α cos β azoosság alapjá si + si 4 si cos 7 d d si si4 d si d si 4 d cos cos 4 + c, 4 cosα + β + cosα β j most a cos α cos β azoosságot alkalmazzuk: cos cos d [cos + + cos ] d 5 si si 6 + c, k si d si cos d cos + si si cos d si cos d si { cos cos si, ha π d 4 si cos, ha π π ; { 4 si + cos, ha az π 4 f : cos si +, ha π π 4 függvéy egy primitív függvéy. cos l 5 + cos d cos 5 cos + si + cos si d cos 5 cos d cos cos d 5 cos d 5 tg + c, m si d si cos d d cos tg d ltg + c. si cos cos
46 46. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok M7. a b c d..4. Parciális itegrálás e d f f, g e g e e e e d 4 e + c. si d f f, g si g cos + cos d f f, g cos g cos + [ si ] si d cos + 9 si + cos + c. 9 e si d cos si f e f e, g si g cos e cos + e cos d f e f e, g cos g si e cos + e si e si d; redezés utá kapjuk, hogy e si d e cos + e si + c. e ch d parciális itegrálással is meghatározható, de egyszer bb a következ : e ch d e5 e + c; e e + e e 5 d + e d
47 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 47 e l d l d g, g ; f l, f l d l + c; f arctg d arctg d g, g, f arctg, f + arctg + d arctg d arctg l c; g l d g, g ; f l, f l d l 9 + c; h 5 e d e d g e, g e ; f, f e d e e d e + c. M8. a cos + e + d f e +, f e + ; g si + cos +, g e+ si + e + si + d f e +, f e + ; g cos + si +, g + si + e [ e + cos + e + cos + d ] + si + e + 4 e+ cos + 9 e + cos + d, 4
48 48. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok redezés utá azt kapjuk, hogy cos + e + d e+ si + + e + cos + + c; b + 4 4, c arcsi d arcsi d g, g ; f arcsi, f arcsi d arcsi + d arcsi + + c; d cosl d cosl d g cosl, g sil ; f, f sil sil d sil + sil d g sil, g cosl ; f, f sil + cosl cosl d cosl d sil + cosl + c; e l d l d l d l +c F 7/e; f cos lsi d g cos, g si ; f lsi, f cos si si lsi si cos d si lsi cos d si si lsi si + c; g l d l d l + c;
49 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 49 h l d g, g ; f l, f l l l d l l d g, g ; f l, f l l d l l c...5. Itegrálás helyettesítéssel M. Az elkövetkez feladatok megoldásához az alábbi összefüggés yújt segítséget: f d fgtg t dt tg Itt f egy I itervallumo adott pl. folytoos függvéy, g : J I pedig egy szigorúa mooto öveked vagy csökke diereciálható függvéy a J itervallumo. Ilyekor azt modjuk, hogy az gt helyettesítést alkalmazzuk. Figyeljük majd a g helyettesít függvéy szigorú mootoitásáak az elle rzésére! a Most az si t : gt helyettesítést alkalmazzuk. Mivel, ezért, ha g-t a π, π itervallumo tekitjük, akkor itt g szigorúa mooto öveked, ezért a feti képlet alkalmazható: d si t cos t dt cos t tarcsi tarcsi t si t 4 + c arci siarcsi cosarcsi + c tarcsi arcsi b Itt az + c sh t : gt t R; g, g t ch t t R helyetesítést alkalmazzuk:
50 5. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok ch + d + sh t ch t dt t ch t dt tarsh tarsh M. a ch t + dt sh t tarsh 4 + t ch t sh t +c + t tarsh +c tarsh ch arsh + arsh + c + + arsh + c; d > itegrál kiszámításához alkalmazza az c Az ch t : gt t > helyettesítést. f Alkalmazhatjuk az sh : gt t R helyettesítést. A feladatot megoldhatjuk az 5 4 [ ] azoosság felhaszálásával is. b c d e f..6. Racioális függvéyek itegrálása d l + c, ha, +, d l + c, ha,, d d l c, d d + + l d l [ + ] + d l arctg + + c, + + d + + d 4 [ ] d [ arctg + ] + c, d [ d d + 5 d] [l + 5 +
51 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek d] [l [ 9 ] + d] l arcta[ 9 9 ] + c, 6 + g + 7 d + 7 d [ + 7 d d] [l [ 6 ] + d M.... l arcta[ 6 ] + c. M4. a Az itegradus felbotása kis próbálkozással is meghatározható: , 4 de a biztos módszert is alkalmazhatjuk: az 4 A + B A 4 + B 4 4 A + B 4A + B 4 alapjá A + B, 4A + B adódik, amib l A, B következik. Ezért 4 d d + 4 d l + l4 + c, ha < < 4.
52 5. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok b d A + d + B + + d + d + l + l + + c + l + c, ha,. d + d c Az l függvéy értelmezési tartomáyára kell gyeli! A számolások az el z feladathoz hasolók; a változások: d 6 + d d d + d + + d + d l + l + + c + l + c, ha, +. + d d A + + B d 5 l + + l + c ha, +. e d + d A d A + d l c ha, +. +
53 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 5 f Az itegradus így botható fel: Ezt a felbotást a biztos módszerükkel így határozhatjuk meg: az + 4 A + B + C + 4 A B + C + 4 A + B + C + 4A + 4 alapjá A + B, C, 4A, azaz A, B. Ezért d 4 d d g Az + d + 4 l 8 l c, ha >. + d + + d l d A + + d + 4 B + C d + a. alaptípusak megfelel törtfüggvéy. A primitív függvéye: + d + d d + 4 l + + [ ] d l + arctg + c l + arctg + c ha, +.
54 54. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok Ezért + d l + arctg + c ha, +. j Az itegradus felbotása: A + A + B + C + + B + C +. Közös evez re hozás, majd a számlálóba a változó együtthatóiak összehasolítása utá egy 6 ismeretlees egyeletredszert kapuk az A i, B i, C i ismeretleekre. A szóba forgó felbotást azoba így is meghatározhatjuk: [ ] Az egyes tagok primitív függvéyei ie már a szokásos módo határozhatók meg. k El ször a evez t kell felbotai tovább már em botható valós téyez k szorzatára. A felbotásba els fokú téyez k yilvá em leszek az + 4 egyeletek ui. ics valós gyöke, ezért + 4 összeget két másodfokú téyez szorzatára kell felbotauk. Ezt émi ügyeskedéssel így tehetjük meg:
55 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 55 Így amib l a szokásos módszerrel adódik. Ezért + d 4 + A + B C + D + +, A, B, C, D + + d d d + d 4 l d+ + 4 l d 4 l d d 4 l arctg + arctg + + c...7. Racioális függvéyek itegrálására vezet helyettesítések M5. a Legye t. A helyettesít függvéy t : gt t >.
56 56. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok Mivel g t t >, ha t >, ezért g szigorúa mooto öveked, következésképpe a második helyettesítési szabály alkalmazható: + d + t + t t dt dt t + t t dt + t t t l + t + c t l + + c, ha >. b t, > ; t : gt t > és g t t t > miatt g szigorúa mooto öveked. Így t + d t t t + t t dt t + + dt t t + t [ t + t + ] dt t [ t ] t + lt + + c t l + + c, > c d d t : 6 ; t 6 : gt t > ; g t 6t 5 t >, g t t + t 6t5 dt 6 t 6 + t dt t 6 t + 6 dt t + t 6 t t + dt 6 t + t 6 6 t 6 t + 6t 6 l + t + c t l c;
57 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 57 d + 4 d d t : 4 ; t 4 : gt t > ; g t 4t t > ; g t t + t 4t dt + t 4 t dt 4 t + t 4 4 t + t dt t 4 t t dt 4 t + t 4 4 t 4 t t + dt 4 t 4 t 4 lt + + c t l c g Tudjuk, hogy a t helyettesítés racioális törtfüggvéy itegrálására vezet. Ha >, akkor yilvá < t <, ami azt jeleti, hogy az t : gt t, helyettesít függvéyt alkalmazzuk. Mivel g t 6t t > t,, ezért g szigorúa mooto öveked, így a határozatla itegrálokra voatkozó második helyettesítési szabályuk valóba alkalmazható: t 6t d t t dt t. Mivel t 6t t t dt t + 4 t t dt + + dt t + l t + t 4 t dt + t + t + c, t
58 58. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok ezért d + + l + c >. M6. a si d t +t + t dt ttg t dt ttg l t + c ttg l tg + c, ha < < π. b... c + si cos d + Most az t+t t +t +t t t ttg + + t dt ttg t + t dt ttg törtet parciális törtekre botjuk: t + t A t + Bt + C + t alapjá C, A, B, tehát Ezért t + t t t + t. t + t t + + t t + t dt ttg A + Bt + Ct + A t + t t ttg + t t + l t l + t + c ttg ctg + l tg l + tg +
59 .. Primitív függvéyek meghatározására voatkozómódszerek 59 M7. M8. a + si + cos d dt + t + t +t +t ttg + t + t + t dt ttg + t dt ttg lt + + c ttg l tg + + c, ha π, π. M9. a 4 e 4 d 4 t 4 t dt te A 4 t + B t + 4 C dt t + te tt t + dt te t t + 8 dt t + te l t + lt + lt + + c te + l e 4 + c, ha > l. b e e + d e + e + 4 le + + c R
60 6. Primitív függvéyekhatározatla itegrálok c e + 4 e + 4e + d t + 4 t + 4t + t dt te t + 4 tt + t + dt te 4 t + t t + dt te 4 l e + 6 l e + + c R
61 . A határozott itegrál 6. A határozott itegrál.. A határozott itegrál értelmezése M.... M. Legye f, ha [a, b] Q és f, ha [a, b] Q. M. A feladat a részébe tekitse az [, ] itervallum egyeletes felosztásait. A b részbe mide N eseté vegye az [, ] itervallumak azt a felosztását, amelyet az i i,,,..., potok határozak meg. b megoldása: Legye f : [, ], q :, és tekitsük az [, ] itervallum τ : { i : q i i,,..., } felosztását. Az ehhez tartozó alsó közelít összeg: sf, τ q q i f i i i i q i q i, Hasolóa a τ felosztáshoz tartozó fels közelít összeg: Mivel Sf, τ q i f i i i i i q i q i q i ha +. q i q i q i i q q, ha +. lim sf, τ I f I f lim Sf, τ + +, ezért I f I f. Az f függvéy tehát itegrálható az [, ] itervallumo, és f.
62 6. A határozott itegrál M. Ha f R[a, b] és b a f I, akkor I f I f I, ezért mide N számhoz létezik [a, b]-ek olya τ felosztása, amelyre I sf, τ I f I f Sf, τ I +. A τ felosztássorozatra tehát lim sf, τ lim Sf, τ I teljesül. + + Ha [a, b]-ek va olya τ felosztássorozata, amelyre teljesül, akkor az lim sf, τ lim Sf, τ I + + I lim sf, τ I f I f lim Sf, τ I + + egyel tleségekb l következik, hogy I f I f I, azaz f Riemaitegrálható az [a, b] itervallumo és b f I. a M4. A feladat a részébe tekitse az [a, b] itervallum egyeletes felosztásait. A b és c részbe mide N eseté vegye az [a, b] itervallumak azt a felosztását, amelyet az b i a i,,,..., potok határozak meg. c megoldása: Legye f : [a, b], q : b, és tekitsük az [a, b] a itervallum τ : { i : q i i,,..., } felosztását. Az ehhez tartozó alsó közelít összeg: sf, τ f i i i i i q i q i a. q i q b A sorozat határértékéek a meghatározásához vegyük észre, hogy a b a b, és eek határértéke a g : a b R epoeciális függvéy potbeli deriváltjával hozható kapcsolatba. Mivel g D{} és g l a b, ezért a lim sf, τ lim g l a + + b b l b a.
63 .. A határozott itegrál értelmezése 6 A τ felosztáshoz tartozó fels közelít összeg: Sf, τ f i i i i i q i q i q b q i a. Mivel a h : b a R függvéy deriválható, és h l b, ezért a a lim Sf, τ lim b / lim a h l b + + b + / a. Azt kaptuk tehát, hogy az [a, b] itervallumak va olya felosztássorozata, a- melyhez tartozó alsó- és fels közelít összegek sorozata ugyaahhoz a számhoz tart. Alkalmazzuk most az el z feladat állítását. M5.... M6. A sor Leibiz-típusú sor, tehát koverges. Itt a hagsúly az összeg meghatározásá va. Ehhez tekitse a következ cseles átalakításokat: Ez utóbbi az R+ függvéyek az [, ] itervallum egyel részre való felosztásával vett alsó közelít összege. Az F4. feladat c része alapjá ez a függvéy itegrálható, és d l. Az el z feladat állítását felhaszálva kapjuk a bizoyítadó egyel séget. M7. Mivel mide itervallumba va irracioális szám és így olya, ahol f értéke, ezért a [, ] itervallum tetsz leges τ felosztása eseté sf, τ, tehát I f sup{sf, τ τ F[a, b]}. Azt kell megmutati, hogy is igaz. I f azt jeleti, hogy I f if{sf, τ τ F[a, b]} ε > -hoz τ F[, ] : Sf, τ < ε..
64 64. A határozott itegrál Adott ε > számhoz egy ilye τ felosztást a következ képpe adhatuk meg. Vegyük egy olya N számot, amelyre < ε teljesül. Vegyük észre, hogy a függvéy -él agyobb értéket -él kevesebb helye veszi fel. Ugyais, ha f, akkor p és q kell, hogy legye, márpedig q mide q -hez -él kevesebb p va, amelyre < p < és p, q. q Ezért tekitsük [, ]-ek az egyel részre való τ felosztását. Mutassa meg, hogy Sf, τ <... A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása M8.... M9.... M4. a d d arcsi + c, 9 d [ arcsi ] arcsi arcsi π. b sil d cosl + c, e sil d cos. c Mivel + d ezért 4 d d l + c, ha >, [ + d l ] 4 l l l 4. d Mivel d d arctg + + c, ha R, + +
65 .. A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása 65 ezért [ ] d arctg + arctg arctg π. e Parciális itegrálással e si d adódik, ezért π [ si cos ] π e si d e eπ +. si cos e + c R si π cos π e π f Parciális itegrálással l d l + c > adódik, ezért e l d si cos e [ ] e l e l e e l. g El ször az itegradus primitív függvéyeit határozzuk meg. Alkalmazzuk a t +, 5, t 4 helyettesítést, azaz tekitsük az t : gt t 4 helyettesít függvéyt. A g függvéy szigorúa mooto öveked az [, 4] itervallumo, deriválható és g t t t [, 4], ezért a határozatla itegrálokra voatkozó második helyettesítési szabályt alkalmazhatjuk: d + + t + t t dt. t +
66 66. A határozott itegrál Mivel ezért t + t t dt t t + t dt [ A t + B t + t dt ] dt t t t + dt t + dt 5 lt + 4 lt + + C, 5 d + + d 5 l l C. A NewtoLeibiz-tétel alapjá tehát 5 d + + d [l l + + ] 5 5 h El ször az itegradus primitív függvéyeit határozzuk meg. Most a t e, l, t helyettesítéssel próbálkozuk, azaz vesszük az l + t : gt t l. 5 helyettesít függvéyt. A g függvéy deriválható és g t t t [, ], g +t tehát szigorúa mooto öveked. A határozatla itegrálokra voatkozó második helyettesítési szabály tehát alkalmazható: e t d t + t dt dt t e + t t e t arctg t t e arctg e + C. e A NewtoLeibiz-tétel alapjá tehát l e d [ e arctg ] l e π.
67 .. A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása 67 M4. a megoldása: Mivel , ezért ezt az összeget felfoghatjuk úgy is, mit az f : + > függvéyek a [, ] itervallum egyeletes felosztásához tartozó közelít összege. S t ez f mooto csökkeése miatt egy alsó közelít összeg. Az f függvéy folytoos, tehát itegrálható, és + d. Az F5. feladat állítását felhaszálva kapjuk, hogy a kérdezett sorozat határértéke. e megoldása: Mivel ezért a : α + α + + α α+ lim a + i α, i α d + α. Megjegyzés. Ez az eredméy azt jeleti, hogy mide ε > valós számhoz létezik olya N ide, hogy mide természetes számra feállak az ε α+ α + α + α + + α + ε α+ α + egyel tleségek. Nagy -ekre tehát az α + α + + α összeg az α+ α+ számmal jól közelíthet. Ezt úgy is ki szoktuk fejezi, hogy α + α + + α aszimptotikusa egyel α+ α+ -gyel, ha +, és ezt rövide így szokás jelöli: α + α + + α α + α+ +.
68 68. A határozott itegrál Vagy azt modjuk, hogy az α + α + + α összeg α+ agyságred. Figyelje meg, hogy ha α, vagy, akkor a szóba forgó összegeket zárt alakba is fel tudjuk íri, és ebb l kaphatuk iformációt arról, hogy az összeg agy -ekre mekkora. Más α-kra pl. α zárt alak vagy ics vagy pedig eheze adható meg. A feladatba mutatott egyszer eszközökkel tehát mide α > valós szám eseté a zárt alak ismerete élkül kaptuk iformációt az összeg agy -ekre való viselkedésér l. M4. Ha b a f b a g, akkor az fg f + g [a, b] egyel tleségb l b b fg d fg d [ b f d+ a a a b a ] g d következik, tehát ekkor igaz az állítás. Tegyük fel, hogy b f és b a a g közül legalább az egyik -tól külöböz, például b f >. Mide λ valós paraméter eseté az F : λf + g a függvéy itegrálható [a, b]-, és az itegrálja emegatív, azaz b a b λf + g λ f + λ a b a fg + b g a λ R. A jobb oldal λ-ak egy másodfokú poliomja, és ez a poliom mide λ R eseté emegatív, ami csak úgy lehetséges, ha a diszkrimiása, azaz b b b fg 4 f g, amib l már következik az állítás. M4. I d. Ha, akkor I I + a d I I + [ ] a a d d d I I,
69 .. A határozott itegrál tulajdoságai és kiszámítása 69 azaz Ezért I I + I,,.... +,,.... M44. Végezze el az t gt t [, ] helyettesítést. M M46. Parciálisa itegrálva azt kapjuk, hogy [ m+ m + Ezért Bm, ] Bm, + m + Bm +, m +! m + m + M47. Itegráljo parciálisa. M48. a d + 6 m d m+ d d 4. b Mivel si [, π ], ezért π π e r si d π d er si π Bm +,. m + m + m + Bm +, m + m+!m! d m + +!. e r π d π r [ ] e r π π π r e r. c Az itegrálszámítás középértéktétele szerit létezik olya ξ [, ], amellyel si d si ξ + + d si ξ[ arctg ] π 4 si ξ π si <, 7. 4
70 7. A határozott itegrál d A CauchyBuyakovszkij-Schwarz-egyel tleség alapjá d + 4 d d 5. e Legye f : si, π. Mivel f cos tg, π és tg mide, π potba a tg függvéy ui. kove, π/- e és a grakojáak az érit je a potba az y egyees, ezért f mooto csökke, π/-e, ezért 8 f π π π 4 π π 4 si M5. a Az itegradus folytoos, ezért az F : d f π π 4 π 4 + t dt R 6. itegrálfüggvéye mide R potba diereciálható és F + R, következésképpe F lim h F + h F h h lim h h +h + t dt. M55. b Jelölje M az f egy fels korlátját: f M [, ]. Legye egy rögzített természetes szám, és tekitsük a [, ] itervallum k k,,,..., osztópotokkal vett egyeletes felosztását. Ekkor ezért : f d k k k [ k f d f k k k f f k ] d k k k k k f d, f d k k k k k f f k f k d d.
71 .. A határozott itegrál alkalmazásai 7 Alkalmazzuk most az f függvéyre a [ k, k ] itervallumo a Lagrage-féle középértéktételt: va olya ξ [ k, k ], amelyre Az f korlátossága miatt f f k f ξ k. Ezért a k k k f f d M k k M M egyel tleség mide N eseté teljesül. k t dt M... A határozott itegrál alkalmazásai M6. a Az ívhossz kiszámolásához szükségük va a deriváltra: Ezért l 4 f. + [ f ] 4 d d [ 8 7 b Mivel f si tg, ezért cos l π π + [ f ] d π cos + si d cos ] 4 + tg d π cos d.
72 7. A határozott itegrál Az cos, π függvéy primitív függvéyét a már ismert t tg -es helyettesítéssel számítjuk ki: Ezért cos d l π t +t + t dt ttg t dt ttg t + + t dt ttg [ cos d l + tg tg t + t dt ttg ] π l M66. b A si 4 R függvéy primitív függvéye: l + t si 4 d si cos d si d cos d si d 4 si cos 4 d 4 4 si si c, 8 4 ezért a keresett térfogat: π π f d [ si Improprius itegrálok t + c ttg +. si 4 ] π 8 π. si cos d.5. Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz M8. Ha α emegatív egész szám, akkor a tagok bizoyos idet l kezdve -val egyel k, így a sor koverges. Ha α em ilye, akkor egyik együttható sem.
73 .5. Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz 7, ezért a D'Alembert-féle háyadoskritérium és α α k α k + k + k alapjá α k+ α k k+ k α α k k α kk+ α k k +, ha k +, ezért a sor valóba koverges mide, eseté. Jelöljük f-fel a sor összegét: f : + k α k,. k Megmutatjuk, hogy f hasoló deriválási szabály érvéyes, mit az + α < függvéyre. Erre a függvéyre ugyais + α α + α, azaz + + α α + α teljesül mide, potba. Ehhez hasolóa feáll az + f αf, egyel ség. Ez a hatváysor deriválására voatkozó állítás és felhaszálásával így igazolható: + α + α + f + k k k k k k k + [ α α ] k + + k k α k + k k + k + α k + k k k α k αf. k k Ebb l most már az f + α egyel ség köye bizoyítható. Legye ugyais g : f,. + α
74 74. A határozott itegrál A g függvéy deriválható és miatt g f + α fα + α + α + f αf + α, ezért g álladó, -e. Az potba g, ezért valóba feáll az f + α, egyel ség. M84. Az állítást az I : π si d,,,... itegrálok kiszámításá keresztül látjuk be. Világos, hogy I π d π és I π si d ha >, akkor parciálisa itegrálva azt kapjuk, hogy I amib l adódik. π cos si d I [ si ] π I cos π π [ ] π cos. cos si cos d si si d I I, I I,,... I I I π, I + + I I. Mivel mide természetes számra ezért si + si + si I + I + I, π/, N,
75 .5. Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz 75 azaz + + π + π. Ebb l + + π 4 + π M85. Az alapötlet az, hogy az l d itegrált, azaz az l függvéy [, ] itervallumo vett grakoja alatti területet a beírt trapézok területéek összegével közelítjük. A szóba forgó itegrál köye meghatározható: l d [ l ] l + l l e +l e l e. e Tekitsük most az l kokáv! függvéy grakojába beírt azo töröttvoalat, amelyek szögpotjai a görbe,,..., abszcisszákhoz tartozó potjai. Az e töröttvoal alatti síkidom területe egy háromszögek és trapézak a területéb l tev dik össze, és az értéke: l + l + l + + l + l l + l + + l l l!, ezért a területek külöbsége: : l e! e e l l > N. e! azért pozitív, mert az l függvéy kokáv az egész R + -o. A geometriai tartalomból yilvávaló, hogy a sorozat mooto öveked. Egy szellemes geometriai megfotolásból az is következik, hogy a sorozat felülr l korlátos és l mide N eseté. Ezért a sorozat koverges. Az ep függvéy szigorúa mooto öveked, ezért az e e e!
76 76. A határozott itegrál sorozat is koverges, és a határértéke pozitív. A sorozat reciproka, tehát az a :! e N sorozat is koverges. Feladatuk a határértékéek a kiszámolása. Ehhez két észrevételt érdemes megjegyezi: egyrészt azt, hogy ami az a a a a a másik észrevétel az, hogy a a < lima lim a a, és lima lima yilvávaló következméye. A a Wallis-formulával hozható kapcsolatba: a a [ 4 6 ] [ ]! e! e [! ]! A Wallis-formula alapjá ezért lim + lim lima lim π +,! e lim a + a + π π, ami azt jeleti, hogy lim +! e π.
77 .5. Kiegészítések a diereciálszámításhoz és az itegrálszámításhoz 77 M86. Elég igazoli azt, hogy π irracioális. Ezt idirekt módo látjuk be. Ha π racioális lee, akkor létezéek olya p, q N számok, amelyre π p q teljesüle. Vegyük most egy olya N számot, amelyre ilye va, miért?, és tekitsük az πp <! f :! R függvéyt. Az iderekt feltételt felhaszálva parciális itegrálással mutassa meg, hogy A : πp f si π d egy egész szám. Ez viszot elletmodás, mert < A πp! d πp! <.
Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
Részletesebben(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.
PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /
RészletesebbenSzili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány
Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........
Részletesebbenmegoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások
RészletesebbenKalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév
Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok
RészletesebbenTaylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenSOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok
SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
Részletesebben2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenKalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok
Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenI. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
Részletesebben1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1
. feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter
Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
RészletesebbenII. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK
Itegrálási módszerek 5 II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A parciális itegrálás módszere Ha az f, g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo, akkor tudjuk, hogy a szorzatuk
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
RészletesebbenAnalízis feladatgy jtemény II.
Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................
RészletesebbenA primitív függvény és a határozatlan integrál 7
A primitív függvéy és a határozatla itegrál 7 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Korábbi taulmáyaitok sorá láthattátok, hogy sok műveletek, függvéyek va fordított művelete, iverz függvéye
RészletesebbenDebreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenAnalízis I. gyakorlat
Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
RészletesebbenA primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,
6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos
RészletesebbenANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
Részletesebben1. Primitív függvények (határozatlan integrálok)
. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok 7. Primitív függvéyek htároztl itegrálok.. A defiíciók egyszerű következméyei F. Htározz meg z lábbi függvéyek összes primitív függvéyét: f :, + ; b f :, ; c f :,
RészletesebbenANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add
RészletesebbenFELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
Részletesebben1. gyakorlat - Végtelen sorok
. gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenLajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár
Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
Részletesebben1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?
1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai
RészletesebbenAndai Attila: november 13.
Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenDraft version. Use at your own risk!
BME Matematika Itézet Aalízis Taszék Adai Attila Bevezető aalízispéldák példatár éháy BSc-s órához 8 Tartalomjegyzék. Halmazalgebra. Teljes idukció 3. Relációk, függvéyek 3 4. Számosságok 6 5. A valós
Részletesebben18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható
8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.
RészletesebbenSorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán
Sorok és hatváysorok vizsgálata Abel yomá Szakdolgozat Készítette: Vákovics Mária Matematika BSc, Matematikai elemz szakiráy Témavezet : Pfeil Tamás adjuktus Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai
RészletesebbenA1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014
A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz:
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
Részletesebben1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény
Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,
RészletesebbenFüggvények határértéke 69. III. Függvények határértéke
Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Itegrálszámítás Gykorló feldtok Progrmtervező mtemtikus szkos hllgtókk z Alízis. című tárgyhoz Összeállított Bese Atl, Csillg Dávid, Kiss Blázs, Mátyás Gergely, Szili László 4. október Trtlomjegyzék I.
RészletesebbenHatárértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.
Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
Részletesebben3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.
3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága
RészletesebbenNumerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
Részletesebben= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.
. Határozatlan integrál megoldások.. 5. 7 5 5. t + t 5t. 8 = 7 8 = 8 5 8 5 6. e + 5 ln + tg + 7. = 8. + 5 = 5 ln + 5 9. = + 5 + 5 5 + 5 + 5 = /5 = 5 6 6/5 + 5 5 = + ln = 5 + 5 = + ln + 0.. a +a arctg a.
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
RészletesebbenBevezetés az algebrába komplex számok
Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenBSc Analízis I. előadásjegyzet
BSc Aalízis I. előadásjegyzet 2009/200. őszi félév Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék 200. április 30. ii Tartalomjegyzék Előszó v. Bevezetés.. Logikai állítások,
RészletesebbenSorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
RészletesebbenFeladatok matematikából 3. rész
Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
Részletesebben2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása
59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,
RészletesebbenFeladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal
Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy
Részletesebben1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
Részletesebben(2) Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: x sin y dx dy, ahol T : 0 x 1, 2 y 3.
. feladatsor () Határozzuk meg a következő területi itegrálokat a megadott téglalapoko: ( (x + y) dx dy, ahol T : x, y 3. ( T T x si y dx dy, ahol T : x, 2 y 3. (2) Határozzuk meg a következő területi
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorokkal kapcsolatos tételek és ellepéldák Szakdolgozat Készítette: Csala Mátyás Matematika Bsc Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Gémes Margit
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
RészletesebbenA + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )
Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és
RészletesebbenAZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I
BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu
RészletesebbenMeghökkentő és hihetetlen barangolás a matematikai végtelen birodalmában (Végtelen sorokról) július 6.
Meghökkető és hihetetle baragolás a matematikai végtele birodalmába (Végtele sorokról) 59. Rátz László vádorgyűlés (spec.mat. szekció) Gödöllő 09. július 6. Dr. Németh József c. egyetemi taár SZTE TTIK
Részletesebben