Komplex számok (el adásvázlat, február 12.) Maróti Miklós
|
|
- Edit Nagyné
- 9 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik. Az el adáshoz ajálott jegyzet: Klukovits Lajos: Klasszikus és lieáris algebra, Polygo Kiadó, Szeged, Szedrei Áges: Diszkrét matematika, Polygo Kiadó, Szeged, Deíció. A valós számokból álló számpárokat komplex számokak evezzük. A komplex számok halmazát C jelöli, azaz C = R R.. Deíció. Az a, b és c, d komplex számok összege és szorzata: a, b + c, d = a + c, b + d a, b c, d = ac bd, ad + bc.. Példa. Az 1, és, 4 komplex számok összege és szorzata: 4. Tétel. C; +, test. 1, +, 4 = 1 +, + 4 = 4, 6, és 1,, 4 = 1 4, = 8, = 5, 10. Bizoyításvázlat. Mide köye leelle rizhet, ha az additív egységek a 0, 0, míg a multiplikatív egységek az 1, 0 komplex számokat választjuk. Az egyetle érdekes kérdés a multiplikatív iverz létezése: tetsz leges, az additív egységt l külöböz a, b C iverze mivel a a, b a + b, a, b 1 = a a + b, b a a + b = a + b b a + b b a + b, ab a + b + ab a + b = 1, Példa. 1,, 4 = 1,, 4 1 = 1, 5, 4 8 =, = , Kérdések. A következ állítások közül melyek igazak tetsz leges a, b, c, d R eseté: 1 a, b c, d = a c, b d, a, 0 c, 0 = a c, 0, 0, b 0, d = 0, b d? 7. Tétel. Mide a, b R eseté a, 0 + b, 0 = a + b, 0, a, 0 = a, 0, a, 0 b, 0 = a b, 0, a, 0 1 = a 1, Deíció. Tetsz leges a R eseté az a, 0 komplex szám helyett egyszer e a-t íruk, és em is külöböztetjük meg az a valós számtól. Úgy tekitjük, hogy R C. Továbbá a 0, 1 komplex számot i-vel jelöljük. 9. Tétel. Tetsz leges a, b R eseté a, b = a + bi, azaz mide komplex szám egyértelm módo el áll a + bi alakba. Továbbá i = 1.
2 10. Deíció. A z C komplex szám a + bi alakba való felírását z kaoikus alakjáak evezzük. Az a R számot z valós részéek, míg a b R számot z képzetes részéek hívjuk, és a = Re z, illetve b = Im z-vel jelöljük. Az i komplex szám eve képzetes egység. 11. Példa. A következ számolásba csak azt haszáltuk ki, hogy C test azaz érvéyesek a szokásos számolási szabályok és i = 1: a + bi c + di = ac + adi + bci + bdi = ac bd + ad + bci Vessük össze a kapott eredméyt a komplex számok szorzásáak deíciójával! A multiplikatív iverz kiszámolásáál azt a jól ismert azoosságot alkalmazzuk, hogy a + ba b = a b : a + bi 1 = 1 a + bi = 1 a + bi a bi a bi = a bi a bi = a bi a + b = a a + b + b a + b i. 1. Deíció. Legye adott a síkba egy Descartes-féle derékszög koordiátaredszer, és feleltessük meg az a + bi komplex számak az a, b koordiátájú potot. Így kapjuk a komplex számsíkot, más éve a Gauss-féle számsíkot. Az els tegelyt abszcissza valós tegelyek, a második tegelyt ordiáta pedig képzetes tegelyek hívjuk. A valós tegelye találhatók a valós számok, a képzetes tegelye pedig a tiszta képzetes számok. 1. Deíció. A z = a + bi komplex szám kojugáltjá a z = a bi komplex számot, és abszolút értéké a z = a + b valós számot értjük. 14. Megjegyzés. A komplex számsíko a kojugálás em más, mit a valós tegelyre való tükrözés, az abszolút érték az origótól ullától mért távolság, a komplex számok összeadása pedig helyvektorok összeadása. 15. Tétel. Tetsz leges u, v C számra 1 u = u, u + v = u + v, u v = u v, 4 u v = u v 5 u/v = u/v, ha v 0, 6 u = u u R, 7 u + u = Re u, 8 u u = u. 16. Tétel. Tetsz leges u, v C számra 1 u = 0 u = 0, u v = u v, u/v = u / v, ha v 0, 4 u + v u + v, 5 u = u. 17. Tétel. Legyeek z 1, z,..., z komplex számok úgy, hogy a komplex számsíko az általuk meghatározott poligo kovex, és a z 1,..., z csúcsok az óramutató járásával elletétes iráyba helyezkedek el. Ekkor a poligo területe a következ képlettel számolható: 1 Imz 1z + z z + + z 1 z + z z Deíció. Egy emulla z komplex szám argumetuma az a szög, amivel a valós tegely pozitív felét el kell forgati az origó körül, hogy átmeje a z-ek megfelel poto, amit arg z-vel jelöljük. A ulla számak icse argumetuma. 19. Kérdések. Az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek hamisak? 1 Mide emulla valós szám argumetuma ulla. Mide π argumetumú komplex szám valós.
3 Az i komplex szám argumetuma π/. 4 Az 1 i komplex szám argumetuma π/4. 5 Az 1 i komplex szám argumetuma π/. 6 Mide emulla z C számra arg z = arg z. 7 Mide emulla z C számra arg z = arg z + π. 8 Mide emulla z C számra arg z = arg z. 0. Tétel. Tetsz leges 0 z C, r R + és ϕ R számok eseté z = rcos ϕ + i si ϕ r = z és ϕ arg z 1. Deíció. A emulla komplex számok z = rcos ϕ + i si ϕ mod π. alakba való felírását trigoometrikus alakak evezzük. A ulla komplex számak icse trigoometrikus alakja.. Megjegyzés. A ullától külöböz komplex számok argumetuma csak modulo π, azaz π egész számú többszöröseit l eltekitve meghatározott. Ezért a komplex számok trigoometrikus alakja sem egyértelm : például mid cos π +i si π π π, mid a cos +i si az i komplex szám trigoometrikus alakja. Viszot ha egy kokrét komplex szám trigoometrikus alakját kell meghatározuk, akkor az argumetumot midig a [0, π[ itervallumba adjuk meg.. Tétel. Tetsz leges ullától külöböz u = rcos ϕ + i si ϕ és v = scos ψ + i si ψ komplex számokra 1 ū = rcos ϕ + i si ϕ, u v = rscosϕ + ψ + i siϕ + ψ, u 1 = r 1 cos ϕ + i si ϕ, 4 u/v = r/s cosϕ ψ + i siϕ ψ, 4. Megjegyzés. A komplex számok kaoikus alakját felhaszálva látható, hogy rögzített v C komplex szám eseté a z z + v leképezés em más, mit a v-hez tartozó vektorral való eltolás a komplex számsíko. A komplex számok trigoometrikus alakját felhaszálva pedig látható, hogy rögzített v = cos ψ + i si ψ eseté a z z v leképezés em más, mit az origó körüli ψ szög forgatás a komplex számsíko. 5. Példa. Az ismert sziusz és kosziusz összegzési képleteket köye megkaphatjuk komplex számok segítségével. Tekitsük a u = cos ϕ + i si ϕ, v = cos ψ + i si ψ komplex számokat. A trigoometrikus alakokkal számolva a szorzatuk u v = cosϕ + ψ + i siϕ + ψ. De ha a kaoikus alakot haszáljuk a szorzat kiszámolására, akkor u v = cos ϕ + i si ϕ cos ψ + i si ψ = cos ϕ cos ψ + cos ϕ i si ψ + i si ϕ cos ψ + i si ϕ i si ψ = cos ϕ cos ψ si ϕ si ψ + icos ϕ si ψ + si ϕ cos ψ. Mivel az u v komplex szám egyértelm e írható fel kaoikus alakba, ezért cosϕ + ψ = cos ϕ cos ψ si ϕ si ψ, és siϕ + ψ = cos ϕ si ψ + si ϕ cos ψ. Hasolóa számítható ki a cosϕ ψ és siϕ ψ képlete is, de ekkor az u és v komplex számok háyadosát kell veük.
4 6. Tétel Moivre-képlet. Bármely em zéró z = rcos ϕ+i si ϕ komplex szám és Z eseté 7. Kérdések. z = r cosϕ + i siϕ. 1 Miért em lehet az el z tétel képletét haszáli például a i értékéek deiálásához? Igaz-e, hogy i 1 = i? Igaz-e mide 0 z C és N eseté, hogy z = z? 4 Igaz-e mide 0 z C és N eseté, hogy z = z? 5 Milye voalo helyezkedek el a z C \ R valódi komplex szám egész hatváyai? 6 Melyek azok a z komplex számok, amelyekre arg z = argz? 7 Melyek azok a z komplex számok, amelyekre arg z = argz? 8 Melyek azok a z komplex számok, amelyekre arg z = argz 1? 9 Melyek azok a z komplex számok, amelyekre z = z? 8. Példa. Tudjuk, hogy cos α = cos α si α és si α = si α cos α. Megmutatjuk, hogy cos α és si α hogya számítható ki egyszer e. Vegyük a z = cos α+i si α komplex számot és számoljuk ki a harmadik hatváyát a trigoometrikus alakja z = cos α + i si α, és a kaoikus alakjai segítségével felhaszálva azt, hogy a + b = a + a b + ab + b Tehát azt kaptuk, hogy z = cos α + i si α = cos α + i cos α si α cos α si α i si α = cos α cos α si α + i cos α si α si α. cos α = cos α cos α si α, és si α = cos α si α si α. 9. Deíció. Tetsz leges pozitív egész szám és z C eseté azt modjuk, hogy az u komplex szám -edik gyöke z-ek, ha u = z. 0. Tétel. Mide emulla z = rcos ϕ + i si ϕ komplex számak potosa külöböz -edik gyöke va, mégpedig z = r cos ϕ + kπ + i si ϕ + kπ k = 0,..., Példa. Számítsuk ki az 1 komplex számak a tizekettedik gyökeit, és adjuk meg ket kaoikus alakba. Az 1 trigoometrikus alakja természetese az 1 cos 0 + i si 0. Felhaszálva a evezetes szögek sziuszát és kosziuszát azt kapjuk, hogy az 1 tizekét gyöke: u 0 = 1 cos i si 0 = 1, 1 u 1 = 1 cos π π + i si = i, 4
5 u = 1 cos 4π 4π + i si = i u = 1 cos 6π 6π + i si = i, 1 1 u 4 = 1 cos 8π 8π + i si = i u 5 = 1 cos 10π 10π + i si = i, u 6 = 1 cos 1π 1π + i si = 1, 1 1 u 7 = 1 cos 14π 14π + i si = i, u 8 = 1 cos 16π 16π + i si = i u 9 = 1 cos 18π 18π + i si = i, 1 1 u 10 = 1 cos 0π 0π + i si = i u 11 = 1 cos π π + i si = i,. Deíció. Az ε komplex számot -edik egységgyökek evezzük N +, ha ε = 1. Az ε komplex szám egységgyök, ha -edik egységgyök valamely N + -re.. Tétel. Az -edik egységgyökök a következ k: ε k = cos kπ Ezzel a jelöléssel ε 0 = 1 és ε k = ε k 1 kπ + i si k = 0,..., 1. mide k = 0,..., 1 eseté. 4. Megjegyzés. Az -edik egységgyökök egy szabályos -szöget alkotak a komplex számsíko, amelyek a körülírt köre az origó középpotú egységkör, és egyik csúcsa 1. Ez a két iformáció egyértelm e meg is határozza az -szöget. 5. Példa. Az els egységgyökök halmaza a A második egységgyökök halmaza a A harmadik egységgyökök halmaza a { z C : z = 1 } = A egyedik egységgyökök halmaza a A hatodik egységgyökök halmaza a { { z C : z 6 = 1 } = { z C : z 1 = 1 } = {1}. { z C : z = 1 } = {1, 1}. { 1, 1 + i, 1 { z C : z 4 = 1 } = {1, i, 1, i}. 1, 1 + i, } i. i, 1, 1 i, 1 } i.
6 6. Tétel. Egy emulla komplex szám összes -edik gyökét megkaphatjuk, ha egy rögzített -edik gyökét megszorozzuk sorra az -edik egységgyökökkel. Tehát ha u = z 0, akkor a z komplex szám -edik gyökei: u ε k ahol k = 0,..., Példa. Számoljuk ki a 8i értékeit. A 8i trigoometrikus alakja 8i = 8 cos π + i si π, tehát midhárom köbgyökéek az abszolút értéke 8 =, és a gyökök π π cos + i si = cos π 6 + i si π = i = + i, π cos + π π + i si + π = cos 5π 6 + i si 5π = i = + i, π cos + 4π π + i si + 4π = cos 9π 6 + i si 9π = i. 6 Köye leelle rizhet, hogy i gyök, mivel i = 8i = 8i. Tehát ha alkalmazzuk az el z tételt, és tudjuk a harmadik egységgyököket, akkor megkapjuk a három gyököt: i 1 = i, i 1 + i = + i, i 1 i = + i. 8. Deíció. Azt modjuk, hogy a ε komplex szám primitív -edik egységgyök, ha -edik egységgyök, de em m-edik egységgyök semmilye 0 < m < egészre. 9. Példa. Az 1 primitív els egységgyök. A 1 primitív második egységgyök. A 1 + i és 1 i primitív harmadik egységgyökök. Az i és i primitív egyedik egységgyökök. Az 1 + i és 1 i primitív hatodik egységgyökök. 40. Tétel. Az ε k = cos kπ kπ + i si egységgyök akkor és csak akkor primitív -edik egységgyök, ha k relatív prím -hez. 41. Tétel. A primitív -edik egységgyökök száma ϕ, ahol ϕ az Euler-féle függvéy. 4. Kérdések. 1 Háy primitív ötödik egységgyök va? Háy primitív tizedik egységgyök va? Igaz-e, hogy mide egységgyök primitív -edik egységgyök valamely egészre? 4 Igaz-e, hogy mide olya z komplex szám, amelyre z = 1, egységgyök? 5 Létezik-e olya komplex szám, amely 17-edik és 7-madik egységgyök is? 6 Létezik-e olya komplex szám, amely 17-edik és 7-madik primitív egységgyök is? 4. Tétel Az algebra alaptétele. Ha p = a x + a 1 x a 1 x + a 0 komplex együtthatós a,..., a 0 C emkostas 1, a 0 poliom, akkor multiplicitással számolva potosa darab komplex gyöke va. 44. Tétel. Tetsz leges z = a + bi komplex számra e z = 1 + z + z + z! + z4 4! + = ea cos b + i si b. 45. Példa Euler-formula. e iπ + 1 = 0. 6
SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
Részletesebbenx = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2
Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését
RészletesebbenValós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok
Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
Részletesebben1. A komplex számok definíciója
1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)
2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta
RészletesebbenVÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK
VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések
1 Diszkrét matematika II., 1. el adás Lineáris leképezések Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. február 6 Gyakorlati célok Ezen el adáson,
RészletesebbenKomplex számok algebrai alakja
Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z
Részletesebbenfogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és
A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,
Részletesebben25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek
5. Matematikai logika, bizoyítási módszerek I. Elméleti összefoglaló Logikai műveletek A matematikai logika állításokkal foglalkozik. Az állítás (vagy kijeletés) olya kijelető modat, amelyről egyértelműe
RészletesebbenMATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A
MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy KHF/438-3/008. egedélyszámo 008..0. időpottól taköyvi egedélyt kapott Educatio Kht. Kompeteciafejlesztő oktatási program kerettaterv
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
Részletesebben1. Komplex szám rendje
1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
Részletesebben10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...
1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek
Részletesebben4. Számelmélet, számrendszerek
I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész
RészletesebbenNumerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa
Részletesebbenhogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek
Wieer folyamatok A következő két feladat azt mutatja, hogy az az eseméy, hogy egy sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriájú-e vagy sem em határozható meg a folyamat véges dimeziós eloszlásai segítségével,
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
Részletesebben5. Lineáris rendszerek
66 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 5 Lineáris rendszerek 5 Lineáris algebrai előismeretek Tekintsük az a x + a 2 x 2 = b 5 a 2 x + a 22 x 2 = b 2 52 lineáris egyenletrendszert Az egyenletben szereplő
RészletesebbenA Venn-Euler- diagram és a logikai szita
A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak
RészletesebbenSkatulya-elv. Sava Grozdev
Skatulya-elv Sava Grozdev Egy alapvető szabály, azaz elv azt állítja, hogy: ha m testet szétosztunk n csoportba és m > n, akkor legalább két test azonos csoportba fog kerülni. Ezt az elvet különböző országokban
RészletesebbenA természetes számok halmaza (N)
A természetes számo halmaza (N) A természetes számoat étféleéppe vezethetjü be: ) A Peao-féle axiómaredszerrel ) Evivalecia osztályo segítségével ) A természetes számo axiomatius értelmezése. A Peao-axiómá
Részletesebben10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok
10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest
RészletesebbenLÁNG CSABÁNÉ TELJES INDUKCIÓ, LOGIKA, HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK. Példák és feladatok
LÁNG CSABÁNÉ TELJES INDUKCIÓ, LOGIKA, HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Példák és feladatok Lektorálta: Czirbusz Sándor c Láng Csabáné, 2010 ELTE IK Budapest 20101020 1. kiadás Tartalomjegyzék 1. Bevezetés...............................
RészletesebbenJelöljük az egyes területrészeket A-val, B-vel és C-vel, ahogy az ábrán látható.
1. feladat. 013 pontosan egyféleképpen írható fel két prím összegeként. Mennyi ennek a két prímnek a szorzata? 40 Megoldás: Mivel az összeg páratlan, ezért az egyik prímnek párosnak kell lennie, tehát
Részletesebben