Komplex számok (el adásvázlat, február 12.) Maróti Miklós

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós"

Átírás

1 Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik. Az el adáshoz ajálott jegyzet: Klukovits Lajos: Klasszikus és lieáris algebra, Polygo Kiadó, Szeged, Szedrei Áges: Diszkrét matematika, Polygo Kiadó, Szeged, Deíció. A valós számokból álló számpárokat komplex számokak evezzük. A komplex számok halmazát C jelöli, azaz C = R R.. Deíció. Az a, b és c, d komplex számok összege és szorzata: a, b + c, d = a + c, b + d a, b c, d = ac bd, ad + bc.. Példa. Az 1, és, 4 komplex számok összege és szorzata: 4. Tétel. C; +, test. 1, +, 4 = 1 +, + 4 = 4, 6, és 1,, 4 = 1 4, = 8, = 5, 10. Bizoyításvázlat. Mide köye leelle rizhet, ha az additív egységek a 0, 0, míg a multiplikatív egységek az 1, 0 komplex számokat választjuk. Az egyetle érdekes kérdés a multiplikatív iverz létezése: tetsz leges, az additív egységt l külöböz a, b C iverze mivel a a, b a + b, a, b 1 = a a + b, b a a + b = a + b b a + b b a + b, ab a + b + ab a + b = 1, Példa. 1,, 4 = 1,, 4 1 = 1, 5, 4 8 =, = , Kérdések. A következ állítások közül melyek igazak tetsz leges a, b, c, d R eseté: 1 a, b c, d = a c, b d, a, 0 c, 0 = a c, 0, 0, b 0, d = 0, b d? 7. Tétel. Mide a, b R eseté a, 0 + b, 0 = a + b, 0, a, 0 = a, 0, a, 0 b, 0 = a b, 0, a, 0 1 = a 1, Deíció. Tetsz leges a R eseté az a, 0 komplex szám helyett egyszer e a-t íruk, és em is külöböztetjük meg az a valós számtól. Úgy tekitjük, hogy R C. Továbbá a 0, 1 komplex számot i-vel jelöljük. 9. Tétel. Tetsz leges a, b R eseté a, b = a + bi, azaz mide komplex szám egyértelm módo el áll a + bi alakba. Továbbá i = 1.

2 10. Deíció. A z C komplex szám a + bi alakba való felírását z kaoikus alakjáak evezzük. Az a R számot z valós részéek, míg a b R számot z képzetes részéek hívjuk, és a = Re z, illetve b = Im z-vel jelöljük. Az i komplex szám eve képzetes egység. 11. Példa. A következ számolásba csak azt haszáltuk ki, hogy C test azaz érvéyesek a szokásos számolási szabályok és i = 1: a + bi c + di = ac + adi + bci + bdi = ac bd + ad + bci Vessük össze a kapott eredméyt a komplex számok szorzásáak deíciójával! A multiplikatív iverz kiszámolásáál azt a jól ismert azoosságot alkalmazzuk, hogy a + ba b = a b : a + bi 1 = 1 a + bi = 1 a + bi a bi a bi = a bi a bi = a bi a + b = a a + b + b a + b i. 1. Deíció. Legye adott a síkba egy Descartes-féle derékszög koordiátaredszer, és feleltessük meg az a + bi komplex számak az a, b koordiátájú potot. Így kapjuk a komplex számsíkot, más éve a Gauss-féle számsíkot. Az els tegelyt abszcissza valós tegelyek, a második tegelyt ordiáta pedig képzetes tegelyek hívjuk. A valós tegelye találhatók a valós számok, a képzetes tegelye pedig a tiszta képzetes számok. 1. Deíció. A z = a + bi komplex szám kojugáltjá a z = a bi komplex számot, és abszolút értéké a z = a + b valós számot értjük. 14. Megjegyzés. A komplex számsíko a kojugálás em más, mit a valós tegelyre való tükrözés, az abszolút érték az origótól ullától mért távolság, a komplex számok összeadása pedig helyvektorok összeadása. 15. Tétel. Tetsz leges u, v C számra 1 u = u, u + v = u + v, u v = u v, 4 u v = u v 5 u/v = u/v, ha v 0, 6 u = u u R, 7 u + u = Re u, 8 u u = u. 16. Tétel. Tetsz leges u, v C számra 1 u = 0 u = 0, u v = u v, u/v = u / v, ha v 0, 4 u + v u + v, 5 u = u. 17. Tétel. Legyeek z 1, z,..., z komplex számok úgy, hogy a komplex számsíko az általuk meghatározott poligo kovex, és a z 1,..., z csúcsok az óramutató járásával elletétes iráyba helyezkedek el. Ekkor a poligo területe a következ képlettel számolható: 1 Imz 1z + z z + + z 1 z + z z Deíció. Egy emulla z komplex szám argumetuma az a szög, amivel a valós tegely pozitív felét el kell forgati az origó körül, hogy átmeje a z-ek megfelel poto, amit arg z-vel jelöljük. A ulla számak icse argumetuma. 19. Kérdések. Az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek hamisak? 1 Mide emulla valós szám argumetuma ulla. Mide π argumetumú komplex szám valós.

3 Az i komplex szám argumetuma π/. 4 Az 1 i komplex szám argumetuma π/4. 5 Az 1 i komplex szám argumetuma π/. 6 Mide emulla z C számra arg z = arg z. 7 Mide emulla z C számra arg z = arg z + π. 8 Mide emulla z C számra arg z = arg z. 0. Tétel. Tetsz leges 0 z C, r R + és ϕ R számok eseté z = rcos ϕ + i si ϕ r = z és ϕ arg z 1. Deíció. A emulla komplex számok z = rcos ϕ + i si ϕ mod π. alakba való felírását trigoometrikus alakak evezzük. A ulla komplex számak icse trigoometrikus alakja.. Megjegyzés. A ullától külöböz komplex számok argumetuma csak modulo π, azaz π egész számú többszöröseit l eltekitve meghatározott. Ezért a komplex számok trigoometrikus alakja sem egyértelm : például mid cos π +i si π π π, mid a cos +i si az i komplex szám trigoometrikus alakja. Viszot ha egy kokrét komplex szám trigoometrikus alakját kell meghatározuk, akkor az argumetumot midig a [0, π[ itervallumba adjuk meg.. Tétel. Tetsz leges ullától külöböz u = rcos ϕ + i si ϕ és v = scos ψ + i si ψ komplex számokra 1 ū = rcos ϕ + i si ϕ, u v = rscosϕ + ψ + i siϕ + ψ, u 1 = r 1 cos ϕ + i si ϕ, 4 u/v = r/s cosϕ ψ + i siϕ ψ, 4. Megjegyzés. A komplex számok kaoikus alakját felhaszálva látható, hogy rögzített v C komplex szám eseté a z z + v leképezés em más, mit a v-hez tartozó vektorral való eltolás a komplex számsíko. A komplex számok trigoometrikus alakját felhaszálva pedig látható, hogy rögzített v = cos ψ + i si ψ eseté a z z v leképezés em más, mit az origó körüli ψ szög forgatás a komplex számsíko. 5. Példa. Az ismert sziusz és kosziusz összegzési képleteket köye megkaphatjuk komplex számok segítségével. Tekitsük a u = cos ϕ + i si ϕ, v = cos ψ + i si ψ komplex számokat. A trigoometrikus alakokkal számolva a szorzatuk u v = cosϕ + ψ + i siϕ + ψ. De ha a kaoikus alakot haszáljuk a szorzat kiszámolására, akkor u v = cos ϕ + i si ϕ cos ψ + i si ψ = cos ϕ cos ψ + cos ϕ i si ψ + i si ϕ cos ψ + i si ϕ i si ψ = cos ϕ cos ψ si ϕ si ψ + icos ϕ si ψ + si ϕ cos ψ. Mivel az u v komplex szám egyértelm e írható fel kaoikus alakba, ezért cosϕ + ψ = cos ϕ cos ψ si ϕ si ψ, és siϕ + ψ = cos ϕ si ψ + si ϕ cos ψ. Hasolóa számítható ki a cosϕ ψ és siϕ ψ képlete is, de ekkor az u és v komplex számok háyadosát kell veük.

4 6. Tétel Moivre-képlet. Bármely em zéró z = rcos ϕ+i si ϕ komplex szám és Z eseté 7. Kérdések. z = r cosϕ + i siϕ. 1 Miért em lehet az el z tétel képletét haszáli például a i értékéek deiálásához? Igaz-e, hogy i 1 = i? Igaz-e mide 0 z C és N eseté, hogy z = z? 4 Igaz-e mide 0 z C és N eseté, hogy z = z? 5 Milye voalo helyezkedek el a z C \ R valódi komplex szám egész hatváyai? 6 Melyek azok a z komplex számok, amelyekre arg z = argz? 7 Melyek azok a z komplex számok, amelyekre arg z = argz? 8 Melyek azok a z komplex számok, amelyekre arg z = argz 1? 9 Melyek azok a z komplex számok, amelyekre z = z? 8. Példa. Tudjuk, hogy cos α = cos α si α és si α = si α cos α. Megmutatjuk, hogy cos α és si α hogya számítható ki egyszer e. Vegyük a z = cos α+i si α komplex számot és számoljuk ki a harmadik hatváyát a trigoometrikus alakja z = cos α + i si α, és a kaoikus alakjai segítségével felhaszálva azt, hogy a + b = a + a b + ab + b Tehát azt kaptuk, hogy z = cos α + i si α = cos α + i cos α si α cos α si α i si α = cos α cos α si α + i cos α si α si α. cos α = cos α cos α si α, és si α = cos α si α si α. 9. Deíció. Tetsz leges pozitív egész szám és z C eseté azt modjuk, hogy az u komplex szám -edik gyöke z-ek, ha u = z. 0. Tétel. Mide emulla z = rcos ϕ + i si ϕ komplex számak potosa külöböz -edik gyöke va, mégpedig z = r cos ϕ + kπ + i si ϕ + kπ k = 0,..., Példa. Számítsuk ki az 1 komplex számak a tizekettedik gyökeit, és adjuk meg ket kaoikus alakba. Az 1 trigoometrikus alakja természetese az 1 cos 0 + i si 0. Felhaszálva a evezetes szögek sziuszát és kosziuszát azt kapjuk, hogy az 1 tizekét gyöke: u 0 = 1 cos i si 0 = 1, 1 u 1 = 1 cos π π + i si = i, 4

5 u = 1 cos 4π 4π + i si = i u = 1 cos 6π 6π + i si = i, 1 1 u 4 = 1 cos 8π 8π + i si = i u 5 = 1 cos 10π 10π + i si = i, u 6 = 1 cos 1π 1π + i si = 1, 1 1 u 7 = 1 cos 14π 14π + i si = i, u 8 = 1 cos 16π 16π + i si = i u 9 = 1 cos 18π 18π + i si = i, 1 1 u 10 = 1 cos 0π 0π + i si = i u 11 = 1 cos π π + i si = i,. Deíció. Az ε komplex számot -edik egységgyökek evezzük N +, ha ε = 1. Az ε komplex szám egységgyök, ha -edik egységgyök valamely N + -re.. Tétel. Az -edik egységgyökök a következ k: ε k = cos kπ Ezzel a jelöléssel ε 0 = 1 és ε k = ε k 1 kπ + i si k = 0,..., 1. mide k = 0,..., 1 eseté. 4. Megjegyzés. Az -edik egységgyökök egy szabályos -szöget alkotak a komplex számsíko, amelyek a körülírt köre az origó középpotú egységkör, és egyik csúcsa 1. Ez a két iformáció egyértelm e meg is határozza az -szöget. 5. Példa. Az els egységgyökök halmaza a A második egységgyökök halmaza a A harmadik egységgyökök halmaza a { z C : z = 1 } = A egyedik egységgyökök halmaza a A hatodik egységgyökök halmaza a { { z C : z 6 = 1 } = { z C : z 1 = 1 } = {1}. { z C : z = 1 } = {1, 1}. { 1, 1 + i, 1 { z C : z 4 = 1 } = {1, i, 1, i}. 1, 1 + i, } i. i, 1, 1 i, 1 } i.

6 6. Tétel. Egy emulla komplex szám összes -edik gyökét megkaphatjuk, ha egy rögzített -edik gyökét megszorozzuk sorra az -edik egységgyökökkel. Tehát ha u = z 0, akkor a z komplex szám -edik gyökei: u ε k ahol k = 0,..., Példa. Számoljuk ki a 8i értékeit. A 8i trigoometrikus alakja 8i = 8 cos π + i si π, tehát midhárom köbgyökéek az abszolút értéke 8 =, és a gyökök π π cos + i si = cos π 6 + i si π = i = + i, π cos + π π + i si + π = cos 5π 6 + i si 5π = i = + i, π cos + 4π π + i si + 4π = cos 9π 6 + i si 9π = i. 6 Köye leelle rizhet, hogy i gyök, mivel i = 8i = 8i. Tehát ha alkalmazzuk az el z tételt, és tudjuk a harmadik egységgyököket, akkor megkapjuk a három gyököt: i 1 = i, i 1 + i = + i, i 1 i = + i. 8. Deíció. Azt modjuk, hogy a ε komplex szám primitív -edik egységgyök, ha -edik egységgyök, de em m-edik egységgyök semmilye 0 < m < egészre. 9. Példa. Az 1 primitív els egységgyök. A 1 primitív második egységgyök. A 1 + i és 1 i primitív harmadik egységgyökök. Az i és i primitív egyedik egységgyökök. Az 1 + i és 1 i primitív hatodik egységgyökök. 40. Tétel. Az ε k = cos kπ kπ + i si egységgyök akkor és csak akkor primitív -edik egységgyök, ha k relatív prím -hez. 41. Tétel. A primitív -edik egységgyökök száma ϕ, ahol ϕ az Euler-féle függvéy. 4. Kérdések. 1 Háy primitív ötödik egységgyök va? Háy primitív tizedik egységgyök va? Igaz-e, hogy mide egységgyök primitív -edik egységgyök valamely egészre? 4 Igaz-e, hogy mide olya z komplex szám, amelyre z = 1, egységgyök? 5 Létezik-e olya komplex szám, amely 17-edik és 7-madik egységgyök is? 6 Létezik-e olya komplex szám, amely 17-edik és 7-madik primitív egységgyök is? 4. Tétel Az algebra alaptétele. Ha p = a x + a 1 x a 1 x + a 0 komplex együtthatós a,..., a 0 C emkostas 1, a 0 poliom, akkor multiplicitással számolva potosa darab komplex gyöke va. 44. Tétel. Tetsz leges z = a + bi komplex számra e z = 1 + z + z + z! + z4 4! + = ea cos b + i si b. 45. Példa Euler-formula. e iπ + 1 = 0. 6

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések 1 Diszkrét matematika II., 1. el adás Lineáris leképezések Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. február 6 Gyakorlati célok Ezen el adáson,

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek 5. Matematikai logika, bizoyítási módszerek I. Elméleti összefoglaló Logikai műveletek A matematikai logika állításokkal foglalkozik. Az állítás (vagy kijeletés) olya kijelető modat, amelyről egyértelműe

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy KHF/438-3/008. egedélyszámo 008..0. időpottól taköyvi egedélyt kapott Educatio Kht. Kompeteciafejlesztő oktatási program kerettaterv

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:... 1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek Wieer folyamatok A következő két feladat azt mutatja, hogy az az eseméy, hogy egy sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriájú-e vagy sem em határozható meg a folyamat véges dimeziós eloszlásai segítségével,

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

5. Lineáris rendszerek

5. Lineáris rendszerek 66 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 5 Lineáris rendszerek 5 Lineáris algebrai előismeretek Tekintsük az a x + a 2 x 2 = b 5 a 2 x + a 22 x 2 = b 2 52 lineáris egyenletrendszert Az egyenletben szereplő

Részletesebben

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak

Részletesebben

Skatulya-elv. Sava Grozdev

Skatulya-elv. Sava Grozdev Skatulya-elv Sava Grozdev Egy alapvető szabály, azaz elv azt állítja, hogy: ha m testet szétosztunk n csoportba és m > n, akkor legalább két test azonos csoportba fog kerülni. Ezt az elvet különböző országokban

Részletesebben

A természetes számok halmaza (N)

A természetes számok halmaza (N) A természetes számo halmaza (N) A természetes számoat étféleéppe vezethetjü be: ) A Peao-féle axiómaredszerrel ) Evivalecia osztályo segítségével ) A természetes számo axiomatius értelmezése. A Peao-axiómá

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ TELJES INDUKCIÓ, LOGIKA, HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK. Példák és feladatok

LÁNG CSABÁNÉ TELJES INDUKCIÓ, LOGIKA, HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK. Példák és feladatok LÁNG CSABÁNÉ TELJES INDUKCIÓ, LOGIKA, HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK Példák és feladatok Lektorálta: Czirbusz Sándor c Láng Csabáné, 2010 ELTE IK Budapest 20101020 1. kiadás Tartalomjegyzék 1. Bevezetés...............................

Részletesebben

Jelöljük az egyes területrészeket A-val, B-vel és C-vel, ahogy az ábrán látható.

Jelöljük az egyes területrészeket A-val, B-vel és C-vel, ahogy az ábrán látható. 1. feladat. 013 pontosan egyféleképpen írható fel két prím összegeként. Mennyi ennek a két prímnek a szorzata? 40 Megoldás: Mivel az összeg páratlan, ezért az egyik prímnek párosnak kell lennie, tehát

Részletesebben