Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag"

Átírás

1 VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa 004. szeptember Szerkesztette: Győri Sádor

2 . Numerikus sorok kovergeciája A a k k módo: végtele összeghez hozzáredelük egy s számsorozatot a következő s : a k : k +a a k a }{{} +a s } {{ } } s {{ } } s 3 {{ } s k -edik részletösszeg E számsorozat határértékéek segítségével defiiáljuk a sor összegét az alábbiakak megfelelőe. D A a k umerikus sor koverges és összege s, ha létezik a k lim s lim a k s R k véges határérték. A részletösszegek s sorozatáak viselkedése szerit az alábbi esetek lehetségesek: s R, az összeg koverges +, a k lim a k lim s, az összeg diverges. k k, eseté s k k lim s Diverges a sor. k k + diverges, mert k c Kóya I. Fritz Jé Győri S. v.4

3 s k+ s k 0 0 } s -ek torlódási potja va, a sor diverges. k lim k } {{ } s } {{ } s, tehát a sor koverges. k k +, mert k lim k lim k k + lim + + lim k k + + k , koverges a sor. + k k harmoikus sor diverges Ugyais s k k k k + k lim s k k k Ugyais s s k, h > k miatt lim s. k k k c Kóya I. Fritz Jé Győri S. v.4

4 T Geometriai sor + q + q +, ha q < q q k, ha q diverges, ha q k B s k q k + q + q + + q Ha q : s, ezért lim s. Ha q : s q q. Mivel q 0, ha q <, ezért lim q, ha q <. q Mivel q, ha q > s, ha q >. Ha q : q -ek két torlódási potja va, mégpedig t, t. s -ek is torlódási potja va: 0 és, tehát diverges. Ha q < : q -ek két torlódási potja va, mégpedig t, t. s -ek is torlódási potja va: és, tehát diverges. k3 q k q 3 + q 4 + q 5 + q3 q, ha q <. A részletösszegek a tételbe szereplő részletösszegek q 3 -szeresei, így a határérték a sor összege is q 3 -el szorzódik. a q k k0 k a q k a q, ha q < Most a részletösszegek a tételbe szereplő részletösszegek a -szorosai, így a határérték is a -szoros lesz. első tag A képletet úgy érdemes megjegyezi, hogy s kvócies. M Ha a sorba véges sok tagot elhagyuk vagy megváltoztatuk, akkor a kovergecia téye em változik, koverges sorból koverges sort, diverges sorból diverges sort kapuk. A sorösszeg értéke természetese megváltozik. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 3 v.4

5 M c a k és a k c 0 egyszerre koverges illetve diverges. k Ugyais s a k és s c a k egyidejűleg koverges illetve diverges. k k k 3 k+ 3 k+ k k q , q < teljesül. k k + 3 k+ 4 k+? s s 6 k 3k+ + 4k+ 4 k+ k k k + 3 k k k k k Milye x-re koverges a k0 log x k sor? q log x, log x < < log x <, < x <, azaz x,. A kovergecia szükséges és elégséges feltétele Cauchy kritérium: T a k akkor és csak akkor koverges, ha ε > 0-hoz Mε: k k < ε, h > Mε és k N + B Triviálisa igaz, hisze a számsorozatok kovergeciájára tault szükséges és c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 4 v.4

6 elégséges tétel alkalmazható. s akkor és csak akkor koverges, ha ε > 0 -hoz Mε, hogy, m > Mε eseté s m s < ε. Legye m > és m + k! Mivel Ezért s a + a + +, s m s +k a + a k. h > Mε és k N + tetszőleges. s m s k < ε, koverges Ugyais s +k s k k+ + k k + k } {{ } } {{ } } {{ } >0 >0 + +, ha k páros k } {{ } } {{ } >0 >0 + + } {{ } Vagyis > k + k } {{ } } {{ } + >0 >0 >0 + + k k, ha k páratla + k } {{ } } {{ } >0 >0 s +k s < + < ε, h > [ ] Nε ε ε Későbbiekbe köye elleőrizhetjük, hogy ez egy úgyevezett Leibiz sor. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 5 v.4

7 .. A kovergecia szükséges feltétele T a k koverges k lim a k 0 k B A Cauchy kritériumból k választással: s + s + < ε, h > Nε 0 Vagy egy másik bizoyítás s s + s s s s 0 M A feltétel em elégséges. Például a k k sor a feltételt teljesíti, mégis diverges.. Váltakozó előjelű alteráló sorok c c + c c + + c, c > 0 Leibiz kritérium: T Ha az alteráló sor tagjaiak abszolút értékeiből képzett sorozat fet c mooto fogyóa tart 0 -hoz jelbe c 0, akkor a sor koverges. Az ilye alteráló sor eve: Leibiz sor. B Belátjuk, hogy sk és felülről korlátos: Másrészt s k+ s k + c k+ c } {{ k+ s } k s k 0 0 s } {{ k+ c } c c 3 c } {{ } 4 c 5 c } {{ } k+ c } {{ } az előzőből látható c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 6 v.4

8 Tehát s k mooto övő és felülről korlátos s k koverges, legye s lim k s k. Megmutatjuk, hogy s k+ s szité, és így a sor koverges. s k+ s k + c k+ s + 0 s M Az is megmutatható, hogy az s k+ részsorozat mooto csökkeőe tart s -hez. 0 s k+ c c + c 3 c c k c k + c k+ c c + c 3 c c } {{ k c } k c k+ } {{ } s k 0 s k Hibabecslés Leibiz típusú sorokál Tehát a Leibiz típusú sorokál a páros idexű részletösszegek s -él kisebbek vagy egyelők: s k s. A páratla idexű elemek mooto csökkeve tartaak s -hez, ezért s s k+. Mivel s s k s k+ s k c k+ és s k+ s s k+ s k+ c k+, ezért H s s c +, N c A sor Leibiz típusú és így koverges, mivel c } {{ } + c + c < c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 7 v.4

9 lim c lim 0, tehát em teljesül a kovergecia szükséges feltétele, így a sor diverges c + c A mooto csökkeés most em triviálisa igaz, hisze övelésével a számláló és a evező is ő. Várható, hogy a c sorozat mooto csökkeő, mert evező gyorsabba ő. De ezt ilyekor be kell bizoyítauk! Tehát igaz-e, hogy c +? c 0? + +? Tehát a sor Leibiz típusú és így koverges.? + 3 Ez pedig igaz, mide -re... Feladatok a váltakozó előjelű sorokhoz Vizsgálja meg kovergecia szempotjából az alábbi sorokat! cos kπ. lg k k k k + c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 8 v.4

10 3. Sorok abszolút és feltételes kovergeciája D ak sor abszolút koverges, ha k abszolút koverges. k ak koverges. Koverges geometriai sorokról va szó, ahol a kvócies illetve. k+ k k em abszolút koverges, de koverges. D Feltételese koverges sor: a koverges, de em abszolút koverges sor k+ Ilye pl. a sor. k k Ugyais beláttuk, hogy ez a sor koverges, de a k+ k k k k sor diverges. T ak koverges ak koverges Tehát az abszolút kovergeciából következik a kovergecia. B Ha ak koverges, akkor teljesül rá a Cauchy kritérium, továbbá miatt k k k k < ε, h > Mε, k N + } {{ } Cauchy kritérium ak -ra Így ak -ra is teljesül a szükséges és elégséges tétel Cauchy kritérium, tehát koverges. Ez a tétel azt mutatja, hogy az abszolút kovergecia vizsgálata ige haszos lehet. A ak sor elemei em egatívak, sőt pozitívak tekithetők, mivel ulla elemeket yilvá em kell figyelembe veük. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 9 v.4

11 4. Pozitív tagú sorok T i Egy pozitív tagú sor részletösszegei mooto övekedőek. B ii Egy pozitív tagú sor akkor és csak akkor koverges, ha részletösszegeiek sorozata korlátos. i Ha 0, N, akkor s + s + + s -re. ii a Ha a sor koverges, akkor s koverges s korlátos b Ha s korlátos, akkor s miatt s koverges. M Pozitív tagú sor vagy koverges, vagy -el egyelő. Ez em igaz általáosságba egy váltakozó előjelű sorra, ahol a részletösszegek sorozatáak lehet több torlódási potja pl. k. k0 T a k > 0; a k a k+ feltételek mellett a a k sor akkor és csak akkor koverges, ha k a l l l is koverges B B A bizoyítás léyege, hogy az első sor részletösszegei a második sor megfelelő részletösszegeivel alulról és felülről is becsülhetőek. A becslés igazolásához fotos feltei, hogy az a k sorozat mooto csökke. A részletes bizoyítás megtekithető Walter Rudi: A matematikai aalízis alapjai című köyvébe. Példák a tétel alkalmazására: koverges, ha α >. α Egyébkét diverges. Ha α 0 : α α 0 A kovergecia szükséges feltétele em teljesül diverges a sor. Ha α > 0 :, így alkalmazható az előző tétel: α c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 0 v.4

12 Vagyis l l α l és α l α l egyidejűleg koverges, illetve diverges. l l αl l l lα l l α l Geometriai sort kaptuk, mely csak akkor koverges, ha α q <. α l l l q l Tehát a kovergecia csak akkor teljesül, ha α > 0, vagyis α >. Vigyázat! A tételbe szereplő két sor összege em azoos, tehát em tudtuk megállapítai a sor összegét, csak a kovergecia téyét tudtuk megállapítai α > -re. α Ilyekor a megfelelő s részletösszeggel tudjuk közelítei a sor összegét az esetleg előírt potossággal lásd hibabecslések. log Ugyais: diverges l log ll l l l ll diverges. log p p > koverges, egyébkét diverges p > 0 eseté alkalmazható az előző tétel: l log ll l p l 0 < p : div.; < p : kov. l p ll p 0 esete HF. miorás kritériummal lásd később megmutatható. log log log diverges c Kóya I. Fritz Jé Győri S. v.4

13 A tétel alkalmazható. l log ll l log log l l l log ll l ez pedig diverges 5. Pozitív tagú sorok kovergeciájával kapcsolatos elégséges kritériumok majorás kritérium csak kovergecia eldötésére miorás kritérium csak divergecia eldötésére háyados kritérium gyökkritérium itegrál kritérium Ezeket a kritériumokat kizárólag pozitív tagú sorokra alkalmazhatjuk. Így a szóbaforgó kritériumok haszosak lehetek az abszolút kovergecia eldötésére amiből következik az eredeti em feltétleül pozitív tagú sor kovergeciája is. 5.. Majorás kritérium T Ha 0 < c -re és c koverges koverges B A megfelelő részletösszegek sorozatára a feltétel miatt feáll, hogy s s c. Továbbá c kovergeciája miatt s c K s korlátos és pozitív tagú a sor kov. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. v.4

14 5.. Miorás kritérium T Ha 0 d -re és d diverges diverges B s a s d s spec. redőrelv M Midkét esetbe elegedő, ha a feltétel helyett N 0 -ra teljesül. és egyidejűleg koverges ill. diverges, hisze az első szumma részletösszegei c N 0 kostassal agyobbak, mit a második szumma N 0 részletösszegei. + A harmoikus sorból végtele sok tagot elhagytuk. Vajo koverges-e az új sor? A miorás kritériummal belátjuk, hogy még ez a sor is diverges. Ugyais > + 3, 3 3 diverges diverges < 5 5/, koverges α 5 5/ > koverges c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 3 v.4

15 A sor diverges, mivel a redőrelvvel megmutatható, hogy lim, tehát em tart ullához, így em teljesül a kovergecia szükséges feltétele. Részletezve: 5 5 } {{ } < }{{} < , 3 koverges α 3 > koverges re a sor pozitív tagú. A miorás kritériummal megmutatjuk, hogy diverges. Ugyais, h 6, akkor > 3 és ezért > , 9 9 diverges diverges < koverges geometriai sor q 34 4, q < koverges c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 4 v.4

16 Feladatok Vizsgálja meg kovergecia szempotjából az alábbi sorokat! log log Háyados kritérium T B. > 0,. > 0, a+ a+ q <, q, koverges. diverges.. Mivel + q q q 3 q a,, ezért c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 5 v.4

17 -ek q a koverges majorása geometriai sor, 0 < q < koverges.. Mivel + q q q a,, ezért -ek q a diverges miorása geometriai sor, q diverges. M és N 0 egyidejűleg koverges ill. diverges, ezért elég, ha a T feltételei N 0 -ra teljesülek. Természetese, ha kovergesek, akkor az első sor összege a + a + + a N0 -gyel több, mit a második sor összege. M T -él em elég megmutati, hogy + <, q -t is kell találi. diverges, pedig, koverges. miatt És most is <. + <. De 0 < q < + T -él viszot q megtalálásem fotos. A tétel így is kimodható. Ekkor ugyais: > 0 a+, N 0 div. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 6 v.4

18 0 < +, tehát és > 0 0 em teljesül a szükséges feltétel diverges A háyados kritérium egy kéyelmesebbe haszálható formába is kimodható: T +. > 0, lim c < kov > 0, lim c > vagy lim div. B. Legye ε c, így q c + ε <. A határérték tulajdosága miatt + < q <, > Nε. Ezért T -ből adódik, hogy és így vele együtt is koverges. Nε. Legye ε c, így q c ε >. Ekkor Nε, hogy + > q >, > Nε. Így T -ből adódik az állítás. T + állítása c eseté is igaz. Ugyais, ha lim megfelelő q. q is választható. M4, akkor is található + M3 Ha lim, akkor em tudtuk meg semmit a kovergeciáról. Lehet a sor koverges és diverges is. + diverges, és a koverges sorok eseté egyarát lim. A feti tétel tovább fiomítható. Bebizoyíthatók az alábbi állítások is: Ha > 0, és lim + < koverges. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 7 v.4

19 lim + Ha > 0, és lim + > a kovergeciáról em mod semmit. diverges. Koverges-e az alábbi sor? + 3 +! A feladatot a T lim + lim tétellel háyadoskritériummal oldjuk meg ! lim +! lim < a koverges Feladatok Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából!. +! 4.! ! !! 6. k!, k N+ c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 8 v.4

20 5.4. Gyökkritérium T Ha N -re > 0 és. q < kov.. div. B. 0 < q és q koverges N kritérium miatt.. 0 div. N N N koverges a majorás N M5 elég, ha végtele sok -re igaz. Nem kell, hogy > N-re teljesüljö. Ekkor már r 0 részsorozat. Ez a tétel is kimodható limeszes alakba: T Ha lim c és c < a koverges. c > vagy c a diverges. B Hasoló a háyados kritériumál látotthoz. M6 c, tehát lim eseté em haszálható a gyökkritérium. Az alábbi két példa igazolja állításuk helyességét. diverges és lim a lim lim koverges és c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 9 v.4

21 lim a lim lim Bebizoyítható az alábbi állítás is: Ha > 0, > N és lim < Ha > 0, > N és lim > a kov. a div. M6 A második állítás köye bizoyítható, hisze lim > -ből következik a divergecia, mivel végtele sok -re: a > > ; tehát r 0 részsorozat. Koverges-e az alábbi sor? A feladatot a T tétellel gyökkritériummal oldjuk meg. lim a lim lim e e 5 e 3 < koverges Feladatok Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 0 v.4

22 További kidolgozott példák Ezt a feladatot legegyszerűbbe a majorás kritérimmal oldhatjuk meg. < 8 4 8, 4 4 koverges α 4 > A háyados kritérium, illetve a gyökkritérium is haszálható lee. koverges Eek a feladatak a megoldása már a majorás kritérummal elég ehézkes lee. A háyados kritérim alkalmazható, de itt a gyökkritérium alkalmazása a legjobb választás. lim a lim < koverges c Kóya I. Fritz Jé Győri S. v.4

23 Most viszot a háyados kritérium alkalmazása a legcélszerűbb. A gyökkritérium alkalmazásáál a redőrelvre is szükségük lee az + sorozat határértékéek bizoyításához. lim + lim lim lim < a koverges. +! 3 +! 9 Itt is a háyados kritériumot alkalmazzuk: lim + lim +! +! lim 9 + > a diverges. Abszolút vagy feltételese koverges-e sor? Nem abszolút koverges, mert és 8 diverges, tehát diverges a miorás kritérium miatt. Viszot koverges, mert Leibiz típusú. Ugyais , mert }{{} c Kóya I. Fritz Jé Győri S. v.4

24 És < < < < , h Vagyis a sor feltételese koverges. Majd folytatjuk Itegrálkritérium T Legye f pozitív értékű mooto csökkeő függvéy [, -e és fk a k > 0. Ha fx dx koverges a k koverges k. Ha fx dx diverges a k k diverges M állítás is igaz, tehát a sor és az improprius itegrál egyidejűleg koverges, illetve diverges. B. Mivel a + a fx dx } {{ } mooto övő függvéye -ek lim fx dx fx dx R, a k > 0 és a k korlátos a k koverges a k koverges c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 3 v.4

25 . fx dx a + a + + s Mivel lim fx dx lim s, tehát a sor diverges Hibabecslés pozitív tagú sorösszegek közelítése eseté. Ha a sor kovergeciája itegrálkritériummal állapítható meg, akkor az s sorösszeg s részletösszeggel való közelítéséek hibáját is egy itegrállal becsülhetjük. T Ha az itegrálkritérium. állításáak feltételei teljesülek, akkor az s s közelítésél elkövetett hiba 0 < H r a k fx dx B Mivel a m ezért H r lim m m k+ m fx dx, a k lim m m fx dx k+ fx dx.. Ha a sor kovergeciájára háyados vagy gyökkritériummal következtettük, akkor a sorhoz található koverges majoráló geometriai sor. A majoráló sor r maradékösszegével becsülhetjük az eredeti sor r maradékösszegét. L. előadás és gyakorlat! c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 4 v.4

26 6. Műveletek koverges sorokkal T Ha a k S a és b k S b, S a, S b R k k a k + b k S a + S b és c a k c S a. k k B Sa lim s lim a k k S b lim sb lim b k k S a+b lim sa+b lim a k + b k lim a k + b k k k k lim a k + lim b k S a + S b k k Másrészt S c a lim sc a lim k c a k c lim k a k c S a 6.. Végtele sorok természetes szorzata a + a + a 3 + a a k + b b a + b a + b a 3 + b a b a k + + b b a + b a + b a 3 + b a b a k + + b 3 b 3 a + b 3 a + b 3 a 3 + b 3 a b 3 a k + + b 4 b 4 a + b 4 a + b 4 a 3 + b 4 a b 4 a k b k b k a + b k a + b k a 3 + b k a b k a k A természetes szorzat elemei: c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 5 v.4

27 t b a, t b a + b a + b a, t 3 b 3 a + b 3 a + b 3 a 3 + b a 3 + b a 3,... A természetes szorzat: t k, ahol t k a k k k k k b k. T Ha a k S a és b k S b, akkor a k k természetes szorzata koverges, és k a k és k b k sorok t k a k b k S a S b. k k k Bizoyítás az előzőek alapjá yilvávaló. 6.. Végetele sorok Cauchy-szorzata a + a + a 3 + a a k + b b a b a b a 3 b a 4 b a k + b b a b a b a 3 b a 4 b a k + b 3 b 3 a b 3 a b 3 a 3 b 3 a 4 b 3 a k + b 4 b 4 a b 4 a b 4 a 3 b 4 a 4 b 4 a k b k b k a b k a b k a 3 b k a 4 b k a k +.. A Cauchy-szorzat elemei: c b a, c b a + b a, c 3 b a 3 + b a + b 3 a,, c b + b + b b a idexek összege +. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 6 v.4

28 A Cauchy-szorzat: c, ahol c b k k+. k T Ha k akkor a a k k és a k k és b k k abszolút koverges sorok és a k S a, b k S b, b k k k Cauchy-szorzata is abszolút koverges, és c S a S b, ahol c k b k k+. B k0 k0 x k + x + x + + x k +, ha x <. x k x k x + x + + k x k +, ha x <. + x Írjuk fel a feti két sor Cauchy-szorzatát! + x + x + x x k + x x x 3 x k + x x x x 3 x 4 x k+ + x x x 3 x 4 x 5 x k+ + x 3 x 3 x 4 x 5 x 6 x k k x k +.. Cauchy-szorzat: +0+x +0+x 4 +0+x 6 + +x +x 4 +x 6 + +x k + x x + x, ha x <. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 7 v.4

29 Házi feladat: x k Határozzuk meg a k! ex és k0 k0 Megjegyzés: e x e y e x+y x + y k k! k0 y k k! ey sorok Cauchy-szorzatát! eredméyt kell kapi Zárójelek elhelyezése illetve elhagyása végtele sor eseté a + a + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + A feti sor részletösszegei: s a, s a +a, s 3 a +a +a 3, s 4 a +a +a 3 +a 4, s 5 a +a +a 3 +a 4 +a 5,... stb. Az a + a + a 3 + a 4 + a } {{ } 5 + a 6 + a 3 bezárójelezett új sor részletösszegei s a, s a + a, s 3 a + a + a 3 + a 4 + a 5, s 4 a + a + a 3 + a 4 + a 5 + a 6,... Zárójelek elhelyezése eseté a részletösszegek sorozata szűkül. Ha a sor koverges volt, akkor zárójelek behelyezése eseté is koverges marad. Előfordulhat, hogy diverges sorból zárójelek elhelyezése utá koverges sor lesz Véges sok zárójel elhelyezése em befolyásolja a kovergeciát! Zárójelek elhagyása utá a részletösszegek sorozata bővül. Ha a sor diverges volt, akkor zárójelek elhagyása eseté is diverges marad. Előfordulhat, hogy koverges sorból zárójelek elhagyása utá diverges sor lesz. Véges sok zárójel elhagyásem befolyásolja a kovergeciát! 6.4. Végtele sor elemeiek felcserélése átredezése a + a + a 3 + a 4 + a a k + a + a 3 + a + a 00 + a 5 + a a 99 + a 4 + a 0 + Véges sok elem felcserélése em változtatja meg a kovergecia vagy divergecia téyét, em változik meg a sorösszeg sem. Végtele sok elemcsere megváltoztathatja a sorösszeget, feltételese koverges sor átredezhető akár divergessé is. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 8 v.4

30 T Ha a k k koverges és a k diverges, akkor k k a k átredezhető úgy, hogy diverges legye, és átredezhető úgy is, hogy egy előre tetszőlegese megadott szám legye az összege. Nem bizoyítjuk. T Ha a k abszolút koverges, akkor tetszőleges átredezése is abszolút koverges, k az átredezés em változtatja meg a sorösszeget. Nem bizoyítjuk. 7. Feladatok sorokhoz. a b c 3 k+ + k+ 5 k? +? ?. Kovergesek-e az alábbi sorok? a b c d e f ! g h i j k l l ! c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 9 v.4

31 m o p q r s t u v w x y z 0! ! Határozzuk meg az alábbi sorok értékét 0 3 -ál kisebb hibával! a + b c d e f!! + 5!! 3! Mekkora hibát követük el, ha a sorösszeget 0. részletösszegével közelítjük? s s 0 ; H r 0 a k ; H? k c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 30 v.4

32 a b c d e f! !! Abszolút illetve feltételese koverges-e az alábbi sor? a b c log d e f +! + 3! + 3! + g h c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 3 v.4

33 8. Számsorozatok agyságredje D a Ob agy ordó b, ha c : c b, > N legfeljebb véges sok kivétellel D a Ωb omega b, ha b O. Vagyis b c > N c. Ekkor: c b c b, vagyis most alulról becsülhető b segítségével. D a Θb teta b, ha Ob és Ωb. Az előzőből következik: T Θb c b c b + 3. O, mert + 3, h 3. Persze O 3 is igaz, sőt általáosságba: O +α, α 0.. Ω, mert + 3. Sőt Ω α, α Tehát Θ. 8.. Műveletek Θ-val T, b, c, d > 0 Θc b Θd }. b Θc d. c Θ b d 3. + b Θc + d Külöbségre em igaz! Megj.: Akkor va értelme haszáli ezt, ha c és d sokkal egyszerűbb sorozatok. B 0 < α c α c, mert Θc 0 < β d b β d, mert b Θd c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 3 v.4

34 . Azoos értelmű egyelőtleségek összeszorozhatók: α β c d b α β c d b Θc d. 3. tehát b Θ 0 < α c α α c 0 < β d b β c d d α β c d b α β c d, αc + d α c + β d + b α c + β d βc + d + b Θc + d α mi{α, β }, β max{α, β } Θ Θ + Θ Θ Θ + Θ Θ Θ Θ Θ Θ + Θ b D a aszimptotikusa egyelő b -el, jelbe b, ha lim b si si, mert lim! π Stirlig formula B e c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 33 v.4

35 T, b, c, d > 0. + b c + d c b d }. b c d c b d c Megit ics külöbség! B c : 0 < ε < < + ε, > N c c b d : Legye > max{n, N } N b d 0 < ε < b d < + ε, > N. ε εc + εd c + d < + b c + d < + εc + + εd c + d + ε, h > N. B 3. c c c 4. Az előző kettőből következik: c c ; másrészt b d b d c arctg π kost 3 c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 34 v.4

36 !! π e π e π 4 0 Az előző példa felhaszálásával:! 4 4 Θ!! π M b b +, de + e Persze b eseté a k b k, k N + már igaz k f. k valós is lehet k a b b És igaz a következő tétel is: T, b > 0 b b B a b 0 < ε < < + ε, b b > Nε ε < a b < + ε a b Határozza meg A és α értékét úgy, hogy cos Aα teljesüljö! c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 35 v.4

37 . megoldás: lim cos A α lim cos α A 0 α 0-ra A 0 lee α > 0-ra 0 0 A lee } α < 0 u : lim u cos u } u{{ α } alakú α>0 L H lim u +0 si u lim αu α u +0 si u u α α α A ha α α, A. Tehát cos. megoldás: cos x si x cos azoosság segítségével: A α A α A, α si A α, ha Feladat: Határozza meg A és α értékét úgy, hogy si Aα feálljo! T > 0, b > 0 b a és b egyidejűleg koverges, illetve diverges Jelbe: a b B a b ε < < + ε. Legye ε <. b b Tehát c b < < c b c ε > 0, c + ε Ha Ha a koverges, akkor b < miatt c a diverges, akkor < b miatt c b is koverges majorás kritérium b is diverges miorás kritérium c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 36 v.4

38 Ha Ha b koverges, akkor < c b miatt b diverges, akkor c b < miatt a is koverges majorás kritérium a is diverges miorás kritérium a 3 b és a 7 b és arctg a b koverges b diverges a koverges a diverges b és b diverges a diverges cos a si 4 b és b koverges a koverges Feladatok: Kovergesek-e az alábbi sorok?. arctg. ch cos c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 37 v.4

39 D a ob kis ordó b, ha c > 0-ra c b > N-re Más jelölés is haszálatos: b, ha ob Nagyságredileg kisebb vagy léyegese kisebb. A defiíció következméye, hogy b 0 eseté b c, > N c > 0-ra. Ebből persze már következik, hogy ekkor ε > 0-hoz N 0 ε, hogy < ε, h > N 0ε. b Nyilvávalóa igaz az alábbi állítás is: T ob, b 0 lim 0 b Mit jelet o? Mivel c > 0-ra c, h > N, ezért lim 0 M A következő állítás is köye bizoyítható lee: b b + o.! o!, mert lim 0. megoldás:. megoldás: 0 <! <! e π + redőrelv π e 0 Vége! c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 38 v.4

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika. elektronikus

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A BELVÁROSI ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS GIMNÁZIUM BÉKÉSCSABA EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A KOMBINATORIKÁBAN 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 3 3 0 4 9 8 6 0 5 44 45 0 0 0 6 65 64 35 40 5 0 7 854 855 94 35 70 0 8 4833 483 740 464

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

ALGORITMUSOK A MATEMATIKAOKTATÁSBAN

ALGORITMUSOK A MATEMATIKAOKTATÁSBAN Eötvös Lorád Tudomáyegyetem, Természettudomáyi Kar Matematikataítási és Módszertai Közpot ALGORITMUSOK A MATEMATIKAOKTATÁSBAN Készítette: Varga Viktória Matematika Bsc taári szakiráy Témavezető: Fried

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges.

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges. ERMODINMIK I. FÉELE els eergia: megmaraó meyiség egy izolált reszerbe (eergiamegmaraás törvéye) mikroszkóikus kifejezését láttuk Izolált reszer falai: sem mukavégzés sem a reszer állaotáak mukavégzés élküli

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása 1 Információk 2 A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin Elérhetőség mesko.katalin@tfk.kefo.hu Fogadóóra: szerda 9:50-10:35 Számonkérés időpontok Április 25. 9 00 Május 17. 9 00 Június

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek 5. Matematikai logika, bizoyítási módszerek I. Elméleti összefoglaló Logikai műveletek A matematikai logika állításokkal foglalkozik. Az állítás (vagy kijeletés) olya kijelető modat, amelyről egyértelműe

Részletesebben

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

PELTON TURBINA MÉRÉSE

PELTON TURBINA MÉRÉSE idrodiamikai Redszerek Taszék PELTON TURBINA MÉRÉSE 1. A mérés célja A mérés célja egy, a gyógyszer- és vegyiparba eergia visszayerés céljára haszálatos saválló jelleggörbéiek felvétele. A turbia jellemzői:

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Rádiókommunikációs hálózatok

Rádiókommunikációs hálózatok Rádiókommuikációs hálózatok Készült az NJSZT Számítógéphálózat modellek Tavaszi Iskola elöadás-sorozataihoz. 977-980. Gyarmati Péter IBM Research, USA; Budapest Föváros Taácsa. I this paper we show a somewhat

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu

Részletesebben