Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Átírás

1 VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa 004. szeptember Szerkesztette: Győri Sádor

2 . Numerikus sorok kovergeciája A a k k módo: végtele összeghez hozzáredelük egy s számsorozatot a következő s : a k : k +a a k a }{{} +a s } {{ } } s {{ } } s 3 {{ } s k -edik részletösszeg E számsorozat határértékéek segítségével defiiáljuk a sor összegét az alábbiakak megfelelőe. D A a k umerikus sor koverges és összege s, ha létezik a k lim s lim a k s R k véges határérték. A részletösszegek s sorozatáak viselkedése szerit az alábbi esetek lehetségesek: s R, az összeg koverges +, a k lim a k lim s, az összeg diverges. k k, eseté s k k lim s Diverges a sor. k k + diverges, mert k c Kóya I. Fritz Jé Győri S. v.4

3 s k+ s k 0 0 } s -ek torlódási potja va, a sor diverges. k lim k } {{ } s } {{ } s, tehát a sor koverges. k k +, mert k lim k lim k k + lim + + lim k k + + k , koverges a sor. + k k harmoikus sor diverges Ugyais s k k k k + k lim s k k k Ugyais s s k, h > k miatt lim s. k k k c Kóya I. Fritz Jé Győri S. v.4

4 T Geometriai sor + q + q +, ha q < q q k, ha q diverges, ha q k B s k q k + q + q + + q Ha q : s, ezért lim s. Ha q : s q q. Mivel q 0, ha q <, ezért lim q, ha q <. q Mivel q, ha q > s, ha q >. Ha q : q -ek két torlódási potja va, mégpedig t, t. s -ek is torlódási potja va: 0 és, tehát diverges. Ha q < : q -ek két torlódási potja va, mégpedig t, t. s -ek is torlódási potja va: és, tehát diverges. k3 q k q 3 + q 4 + q 5 + q3 q, ha q <. A részletösszegek a tételbe szereplő részletösszegek q 3 -szeresei, így a határérték a sor összege is q 3 -el szorzódik. a q k k0 k a q k a q, ha q < Most a részletösszegek a tételbe szereplő részletösszegek a -szorosai, így a határérték is a -szoros lesz. első tag A képletet úgy érdemes megjegyezi, hogy s kvócies. M Ha a sorba véges sok tagot elhagyuk vagy megváltoztatuk, akkor a kovergecia téye em változik, koverges sorból koverges sort, diverges sorból diverges sort kapuk. A sorösszeg értéke természetese megváltozik. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 3 v.4

5 M c a k és a k c 0 egyszerre koverges illetve diverges. k Ugyais s a k és s c a k egyidejűleg koverges illetve diverges. k k k 3 k+ 3 k+ k k q , q < teljesül. k k + 3 k+ 4 k+? s s 6 k 3k+ + 4k+ 4 k+ k k k + 3 k k k k k Milye x-re koverges a k0 log x k sor? q log x, log x < < log x <, < x <, azaz x,. A kovergecia szükséges és elégséges feltétele Cauchy kritérium: T a k akkor és csak akkor koverges, ha ε > 0-hoz Mε: k k < ε, h > Mε és k N + B Triviálisa igaz, hisze a számsorozatok kovergeciájára tault szükséges és c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 4 v.4

6 elégséges tétel alkalmazható. s akkor és csak akkor koverges, ha ε > 0 -hoz Mε, hogy, m > Mε eseté s m s < ε. Legye m > és m + k! Mivel Ezért s a + a + +, s m s +k a + a k. h > Mε és k N + tetszőleges. s m s k < ε, koverges Ugyais s +k s k k+ + k k + k } {{ } } {{ } } {{ } >0 >0 + +, ha k páros k } {{ } } {{ } >0 >0 + + } {{ } Vagyis > k + k } {{ } } {{ } + >0 >0 >0 + + k k, ha k páratla + k } {{ } } {{ } >0 >0 s +k s < + < ε, h > [ ] Nε ε ε Későbbiekbe köye elleőrizhetjük, hogy ez egy úgyevezett Leibiz sor. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 5 v.4

7 .. A kovergecia szükséges feltétele T a k koverges k lim a k 0 k B A Cauchy kritériumból k választással: s + s + < ε, h > Nε 0 Vagy egy másik bizoyítás s s + s s s s 0 M A feltétel em elégséges. Például a k k sor a feltételt teljesíti, mégis diverges.. Váltakozó előjelű alteráló sorok c c + c c + + c, c > 0 Leibiz kritérium: T Ha az alteráló sor tagjaiak abszolút értékeiből képzett sorozat fet c mooto fogyóa tart 0 -hoz jelbe c 0, akkor a sor koverges. Az ilye alteráló sor eve: Leibiz sor. B Belátjuk, hogy sk és felülről korlátos: Másrészt s k+ s k + c k+ c } {{ k+ s } k s k 0 0 s } {{ k+ c } c c 3 c } {{ } 4 c 5 c } {{ } k+ c } {{ } az előzőből látható c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 6 v.4

8 Tehát s k mooto övő és felülről korlátos s k koverges, legye s lim k s k. Megmutatjuk, hogy s k+ s szité, és így a sor koverges. s k+ s k + c k+ s + 0 s M Az is megmutatható, hogy az s k+ részsorozat mooto csökkeőe tart s -hez. 0 s k+ c c + c 3 c c k c k + c k+ c c + c 3 c c } {{ k c } k c k+ } {{ } s k 0 s k Hibabecslés Leibiz típusú sorokál Tehát a Leibiz típusú sorokál a páros idexű részletösszegek s -él kisebbek vagy egyelők: s k s. A páratla idexű elemek mooto csökkeve tartaak s -hez, ezért s s k+. Mivel s s k s k+ s k c k+ és s k+ s s k+ s k+ c k+, ezért H s s c +, N c A sor Leibiz típusú és így koverges, mivel c } {{ } + c + c < c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 7 v.4

9 lim c lim 0, tehát em teljesül a kovergecia szükséges feltétele, így a sor diverges c + c A mooto csökkeés most em triviálisa igaz, hisze övelésével a számláló és a evező is ő. Várható, hogy a c sorozat mooto csökkeő, mert evező gyorsabba ő. De ezt ilyekor be kell bizoyítauk! Tehát igaz-e, hogy c +? c 0? + +? Tehát a sor Leibiz típusú és így koverges.? + 3 Ez pedig igaz, mide -re... Feladatok a váltakozó előjelű sorokhoz Vizsgálja meg kovergecia szempotjából az alábbi sorokat! cos kπ. lg k k k k + c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 8 v.4

10 3. Sorok abszolút és feltételes kovergeciája D ak sor abszolút koverges, ha k abszolút koverges. k ak koverges. Koverges geometriai sorokról va szó, ahol a kvócies illetve. k+ k k em abszolút koverges, de koverges. D Feltételese koverges sor: a koverges, de em abszolút koverges sor k+ Ilye pl. a sor. k k Ugyais beláttuk, hogy ez a sor koverges, de a k+ k k k k sor diverges. T ak koverges ak koverges Tehát az abszolút kovergeciából következik a kovergecia. B Ha ak koverges, akkor teljesül rá a Cauchy kritérium, továbbá miatt k k k k < ε, h > Mε, k N + } {{ } Cauchy kritérium ak -ra Így ak -ra is teljesül a szükséges és elégséges tétel Cauchy kritérium, tehát koverges. Ez a tétel azt mutatja, hogy az abszolút kovergecia vizsgálata ige haszos lehet. A ak sor elemei em egatívak, sőt pozitívak tekithetők, mivel ulla elemeket yilvá em kell figyelembe veük. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 9 v.4

11 4. Pozitív tagú sorok T i Egy pozitív tagú sor részletösszegei mooto övekedőek. B ii Egy pozitív tagú sor akkor és csak akkor koverges, ha részletösszegeiek sorozata korlátos. i Ha 0, N, akkor s + s + + s -re. ii a Ha a sor koverges, akkor s koverges s korlátos b Ha s korlátos, akkor s miatt s koverges. M Pozitív tagú sor vagy koverges, vagy -el egyelő. Ez em igaz általáosságba egy váltakozó előjelű sorra, ahol a részletösszegek sorozatáak lehet több torlódási potja pl. k. k0 T a k > 0; a k a k+ feltételek mellett a a k sor akkor és csak akkor koverges, ha k a l l l is koverges B B A bizoyítás léyege, hogy az első sor részletösszegei a második sor megfelelő részletösszegeivel alulról és felülről is becsülhetőek. A becslés igazolásához fotos feltei, hogy az a k sorozat mooto csökke. A részletes bizoyítás megtekithető Walter Rudi: A matematikai aalízis alapjai című köyvébe. Példák a tétel alkalmazására: koverges, ha α >. α Egyébkét diverges. Ha α 0 : α α 0 A kovergecia szükséges feltétele em teljesül diverges a sor. Ha α > 0 :, így alkalmazható az előző tétel: α c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 0 v.4

12 Vagyis l l α l és α l α l egyidejűleg koverges, illetve diverges. l l αl l l lα l l α l Geometriai sort kaptuk, mely csak akkor koverges, ha α q <. α l l l q l Tehát a kovergecia csak akkor teljesül, ha α > 0, vagyis α >. Vigyázat! A tételbe szereplő két sor összege em azoos, tehát em tudtuk megállapítai a sor összegét, csak a kovergecia téyét tudtuk megállapítai α > -re. α Ilyekor a megfelelő s részletösszeggel tudjuk közelítei a sor összegét az esetleg előírt potossággal lásd hibabecslések. log Ugyais: diverges l log ll l l l ll diverges. log p p > koverges, egyébkét diverges p > 0 eseté alkalmazható az előző tétel: l log ll l p l 0 < p : div.; < p : kov. l p ll p 0 esete HF. miorás kritériummal lásd később megmutatható. log log log diverges c Kóya I. Fritz Jé Győri S. v.4

13 A tétel alkalmazható. l log ll l log log l l l log ll l ez pedig diverges 5. Pozitív tagú sorok kovergeciájával kapcsolatos elégséges kritériumok majorás kritérium csak kovergecia eldötésére miorás kritérium csak divergecia eldötésére háyados kritérium gyökkritérium itegrál kritérium Ezeket a kritériumokat kizárólag pozitív tagú sorokra alkalmazhatjuk. Így a szóbaforgó kritériumok haszosak lehetek az abszolút kovergecia eldötésére amiből következik az eredeti em feltétleül pozitív tagú sor kovergeciája is. 5.. Majorás kritérium T Ha 0 < c -re és c koverges koverges B A megfelelő részletösszegek sorozatára a feltétel miatt feáll, hogy s s c. Továbbá c kovergeciája miatt s c K s korlátos és pozitív tagú a sor kov. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. v.4

14 5.. Miorás kritérium T Ha 0 d -re és d diverges diverges B s a s d s spec. redőrelv M Midkét esetbe elegedő, ha a feltétel helyett N 0 -ra teljesül. és egyidejűleg koverges ill. diverges, hisze az első szumma részletösszegei c N 0 kostassal agyobbak, mit a második szumma N 0 részletösszegei. + A harmoikus sorból végtele sok tagot elhagytuk. Vajo koverges-e az új sor? A miorás kritériummal belátjuk, hogy még ez a sor is diverges. Ugyais > + 3, 3 3 diverges diverges < 5 5/, koverges α 5 5/ > koverges c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 3 v.4

15 A sor diverges, mivel a redőrelvvel megmutatható, hogy lim, tehát em tart ullához, így em teljesül a kovergecia szükséges feltétele. Részletezve: 5 5 } {{ } < }{{} < , 3 koverges α 3 > koverges re a sor pozitív tagú. A miorás kritériummal megmutatjuk, hogy diverges. Ugyais, h 6, akkor > 3 és ezért > , 9 9 diverges diverges < koverges geometriai sor q 34 4, q < koverges c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 4 v.4

16 Feladatok Vizsgálja meg kovergecia szempotjából az alábbi sorokat! log log Háyados kritérium T B. > 0,. > 0, a+ a+ q <, q, koverges. diverges.. Mivel + q q q 3 q a,, ezért c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 5 v.4

17 -ek q a koverges majorása geometriai sor, 0 < q < koverges.. Mivel + q q q a,, ezért -ek q a diverges miorása geometriai sor, q diverges. M és N 0 egyidejűleg koverges ill. diverges, ezért elég, ha a T feltételei N 0 -ra teljesülek. Természetese, ha kovergesek, akkor az első sor összege a + a + + a N0 -gyel több, mit a második sor összege. M T -él em elég megmutati, hogy + <, q -t is kell találi. diverges, pedig, koverges. miatt És most is <. + <. De 0 < q < + T -él viszot q megtalálásem fotos. A tétel így is kimodható. Ekkor ugyais: > 0 a+, N 0 div. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 6 v.4

18 0 < +, tehát és > 0 0 em teljesül a szükséges feltétel diverges A háyados kritérium egy kéyelmesebbe haszálható formába is kimodható: T +. > 0, lim c < kov > 0, lim c > vagy lim div. B. Legye ε c, így q c + ε <. A határérték tulajdosága miatt + < q <, > Nε. Ezért T -ből adódik, hogy és így vele együtt is koverges. Nε. Legye ε c, így q c ε >. Ekkor Nε, hogy + > q >, > Nε. Így T -ből adódik az állítás. T + állítása c eseté is igaz. Ugyais, ha lim megfelelő q. q is választható. M4, akkor is található + M3 Ha lim, akkor em tudtuk meg semmit a kovergeciáról. Lehet a sor koverges és diverges is. + diverges, és a koverges sorok eseté egyarát lim. A feti tétel tovább fiomítható. Bebizoyíthatók az alábbi állítások is: Ha > 0, és lim + < koverges. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 7 v.4

19 lim + Ha > 0, és lim + > a kovergeciáról em mod semmit. diverges. Koverges-e az alábbi sor? + 3 +! A feladatot a T lim + lim tétellel háyadoskritériummal oldjuk meg ! lim +! lim < a koverges Feladatok Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából!. +! 4.! ! !! 6. k!, k N+ c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 8 v.4

20 5.4. Gyökkritérium T Ha N -re > 0 és. q < kov.. div. B. 0 < q és q koverges N kritérium miatt.. 0 div. N N N koverges a majorás N M5 elég, ha végtele sok -re igaz. Nem kell, hogy > N-re teljesüljö. Ekkor már r 0 részsorozat. Ez a tétel is kimodható limeszes alakba: T Ha lim c és c < a koverges. c > vagy c a diverges. B Hasoló a háyados kritériumál látotthoz. M6 c, tehát lim eseté em haszálható a gyökkritérium. Az alábbi két példa igazolja állításuk helyességét. diverges és lim a lim lim koverges és c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 9 v.4

21 lim a lim lim Bebizoyítható az alábbi állítás is: Ha > 0, > N és lim < Ha > 0, > N és lim > a kov. a div. M6 A második állítás köye bizoyítható, hisze lim > -ből következik a divergecia, mivel végtele sok -re: a > > ; tehát r 0 részsorozat. Koverges-e az alábbi sor? A feladatot a T tétellel gyökkritériummal oldjuk meg. lim a lim lim e e 5 e 3 < koverges Feladatok Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 0 v.4

22 További kidolgozott példák Ezt a feladatot legegyszerűbbe a majorás kritérimmal oldhatjuk meg. < 8 4 8, 4 4 koverges α 4 > A háyados kritérium, illetve a gyökkritérium is haszálható lee. koverges Eek a feladatak a megoldása már a majorás kritérummal elég ehézkes lee. A háyados kritérim alkalmazható, de itt a gyökkritérium alkalmazása a legjobb választás. lim a lim < koverges c Kóya I. Fritz Jé Győri S. v.4

23 Most viszot a háyados kritérium alkalmazása a legcélszerűbb. A gyökkritérium alkalmazásáál a redőrelvre is szükségük lee az + sorozat határértékéek bizoyításához. lim + lim lim lim < a koverges. +! 3 +! 9 Itt is a háyados kritériumot alkalmazzuk: lim + lim +! +! lim 9 + > a diverges. Abszolút vagy feltételese koverges-e sor? Nem abszolút koverges, mert és 8 diverges, tehát diverges a miorás kritérium miatt. Viszot koverges, mert Leibiz típusú. Ugyais , mert }{{} c Kóya I. Fritz Jé Győri S. v.4

24 És < < < < , h Vagyis a sor feltételese koverges. Majd folytatjuk Itegrálkritérium T Legye f pozitív értékű mooto csökkeő függvéy [, -e és fk a k > 0. Ha fx dx koverges a k koverges k. Ha fx dx diverges a k k diverges M állítás is igaz, tehát a sor és az improprius itegrál egyidejűleg koverges, illetve diverges. B. Mivel a + a fx dx } {{ } mooto övő függvéye -ek lim fx dx fx dx R, a k > 0 és a k korlátos a k koverges a k koverges c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 3 v.4

25 . fx dx a + a + + s Mivel lim fx dx lim s, tehát a sor diverges Hibabecslés pozitív tagú sorösszegek közelítése eseté. Ha a sor kovergeciája itegrálkritériummal állapítható meg, akkor az s sorösszeg s részletösszeggel való közelítéséek hibáját is egy itegrállal becsülhetjük. T Ha az itegrálkritérium. állításáak feltételei teljesülek, akkor az s s közelítésél elkövetett hiba 0 < H r a k fx dx B Mivel a m ezért H r lim m m k+ m fx dx, a k lim m m fx dx k+ fx dx.. Ha a sor kovergeciájára háyados vagy gyökkritériummal következtettük, akkor a sorhoz található koverges majoráló geometriai sor. A majoráló sor r maradékösszegével becsülhetjük az eredeti sor r maradékösszegét. L. előadás és gyakorlat! c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 4 v.4

26 6. Műveletek koverges sorokkal T Ha a k S a és b k S b, S a, S b R k k a k + b k S a + S b és c a k c S a. k k B Sa lim s lim a k k S b lim sb lim b k k S a+b lim sa+b lim a k + b k lim a k + b k k k k lim a k + lim b k S a + S b k k Másrészt S c a lim sc a lim k c a k c lim k a k c S a 6.. Végtele sorok természetes szorzata a + a + a 3 + a a k + b b a + b a + b a 3 + b a b a k + + b b a + b a + b a 3 + b a b a k + + b 3 b 3 a + b 3 a + b 3 a 3 + b 3 a b 3 a k + + b 4 b 4 a + b 4 a + b 4 a 3 + b 4 a b 4 a k b k b k a + b k a + b k a 3 + b k a b k a k A természetes szorzat elemei: c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 5 v.4

27 t b a, t b a + b a + b a, t 3 b 3 a + b 3 a + b 3 a 3 + b a 3 + b a 3,... A természetes szorzat: t k, ahol t k a k k k k k b k. T Ha a k S a és b k S b, akkor a k k természetes szorzata koverges, és k a k és k b k sorok t k a k b k S a S b. k k k Bizoyítás az előzőek alapjá yilvávaló. 6.. Végetele sorok Cauchy-szorzata a + a + a 3 + a a k + b b a b a b a 3 b a 4 b a k + b b a b a b a 3 b a 4 b a k + b 3 b 3 a b 3 a b 3 a 3 b 3 a 4 b 3 a k + b 4 b 4 a b 4 a b 4 a 3 b 4 a 4 b 4 a k b k b k a b k a b k a 3 b k a 4 b k a k +.. A Cauchy-szorzat elemei: c b a, c b a + b a, c 3 b a 3 + b a + b 3 a,, c b + b + b b a idexek összege +. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 6 v.4

28 A Cauchy-szorzat: c, ahol c b k k+. k T Ha k akkor a a k k és a k k és b k k abszolút koverges sorok és a k S a, b k S b, b k k k Cauchy-szorzata is abszolút koverges, és c S a S b, ahol c k b k k+. B k0 k0 x k + x + x + + x k +, ha x <. x k x k x + x + + k x k +, ha x <. + x Írjuk fel a feti két sor Cauchy-szorzatát! + x + x + x x k + x x x 3 x k + x x x x 3 x 4 x k+ + x x x 3 x 4 x 5 x k+ + x 3 x 3 x 4 x 5 x 6 x k k x k +.. Cauchy-szorzat: +0+x +0+x 4 +0+x 6 + +x +x 4 +x 6 + +x k + x x + x, ha x <. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 7 v.4

29 Házi feladat: x k Határozzuk meg a k! ex és k0 k0 Megjegyzés: e x e y e x+y x + y k k! k0 y k k! ey sorok Cauchy-szorzatát! eredméyt kell kapi Zárójelek elhelyezése illetve elhagyása végtele sor eseté a + a + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + A feti sor részletösszegei: s a, s a +a, s 3 a +a +a 3, s 4 a +a +a 3 +a 4, s 5 a +a +a 3 +a 4 +a 5,... stb. Az a + a + a 3 + a 4 + a } {{ } 5 + a 6 + a 3 bezárójelezett új sor részletösszegei s a, s a + a, s 3 a + a + a 3 + a 4 + a 5, s 4 a + a + a 3 + a 4 + a 5 + a 6,... Zárójelek elhelyezése eseté a részletösszegek sorozata szűkül. Ha a sor koverges volt, akkor zárójelek behelyezése eseté is koverges marad. Előfordulhat, hogy diverges sorból zárójelek elhelyezése utá koverges sor lesz Véges sok zárójel elhelyezése em befolyásolja a kovergeciát! Zárójelek elhagyása utá a részletösszegek sorozata bővül. Ha a sor diverges volt, akkor zárójelek elhagyása eseté is diverges marad. Előfordulhat, hogy koverges sorból zárójelek elhagyása utá diverges sor lesz. Véges sok zárójel elhagyásem befolyásolja a kovergeciát! 6.4. Végtele sor elemeiek felcserélése átredezése a + a + a 3 + a 4 + a a k + a + a 3 + a + a 00 + a 5 + a a 99 + a 4 + a 0 + Véges sok elem felcserélése em változtatja meg a kovergecia vagy divergecia téyét, em változik meg a sorösszeg sem. Végtele sok elemcsere megváltoztathatja a sorösszeget, feltételese koverges sor átredezhető akár divergessé is. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 8 v.4

30 T Ha a k k koverges és a k diverges, akkor k k a k átredezhető úgy, hogy diverges legye, és átredezhető úgy is, hogy egy előre tetszőlegese megadott szám legye az összege. Nem bizoyítjuk. T Ha a k abszolút koverges, akkor tetszőleges átredezése is abszolút koverges, k az átredezés em változtatja meg a sorösszeget. Nem bizoyítjuk. 7. Feladatok sorokhoz. a b c 3 k+ + k+ 5 k? +? ?. Kovergesek-e az alábbi sorok? a b c d e f ! g h i j k l l ! c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 9 v.4

31 m o p q r s t u v w x y z 0! ! Határozzuk meg az alábbi sorok értékét 0 3 -ál kisebb hibával! a + b c d e f!! + 5!! 3! Mekkora hibát követük el, ha a sorösszeget 0. részletösszegével közelítjük? s s 0 ; H r 0 a k ; H? k c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 30 v.4

32 a b c d e f! !! Abszolút illetve feltételese koverges-e az alábbi sor? a b c log d e f +! + 3! + 3! + g h c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 3 v.4

33 8. Számsorozatok agyságredje D a Ob agy ordó b, ha c : c b, > N legfeljebb véges sok kivétellel D a Ωb omega b, ha b O. Vagyis b c > N c. Ekkor: c b c b, vagyis most alulról becsülhető b segítségével. D a Θb teta b, ha Ob és Ωb. Az előzőből következik: T Θb c b c b + 3. O, mert + 3, h 3. Persze O 3 is igaz, sőt általáosságba: O +α, α 0.. Ω, mert + 3. Sőt Ω α, α Tehát Θ. 8.. Műveletek Θ-val T, b, c, d > 0 Θc b Θd }. b Θc d. c Θ b d 3. + b Θc + d Külöbségre em igaz! Megj.: Akkor va értelme haszáli ezt, ha c és d sokkal egyszerűbb sorozatok. B 0 < α c α c, mert Θc 0 < β d b β d, mert b Θd c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 3 v.4

34 . Azoos értelmű egyelőtleségek összeszorozhatók: α β c d b α β c d b Θc d. 3. tehát b Θ 0 < α c α α c 0 < β d b β c d d α β c d b α β c d, αc + d α c + β d + b α c + β d βc + d + b Θc + d α mi{α, β }, β max{α, β } Θ Θ + Θ Θ Θ + Θ Θ Θ Θ Θ Θ + Θ b D a aszimptotikusa egyelő b -el, jelbe b, ha lim b si si, mert lim! π Stirlig formula B e c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 33 v.4

35 T, b, c, d > 0. + b c + d c b d }. b c d c b d c Megit ics külöbség! B c : 0 < ε < < + ε, > N c c b d : Legye > max{n, N } N b d 0 < ε < b d < + ε, > N. ε εc + εd c + d < + b c + d < + εc + + εd c + d + ε, h > N. B 3. c c c 4. Az előző kettőből következik: c c ; másrészt b d b d c arctg π kost 3 c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 34 v.4

36 !! π e π e π 4 0 Az előző példa felhaszálásával:! 4 4 Θ!! π M b b +, de + e Persze b eseté a k b k, k N + már igaz k f. k valós is lehet k a b b És igaz a következő tétel is: T, b > 0 b b B a b 0 < ε < < + ε, b b > Nε ε < a b < + ε a b Határozza meg A és α értékét úgy, hogy cos Aα teljesüljö! c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 35 v.4

37 . megoldás: lim cos A α lim cos α A 0 α 0-ra A 0 lee α > 0-ra 0 0 A lee } α < 0 u : lim u cos u } u{{ α } alakú α>0 L H lim u +0 si u lim αu α u +0 si u u α α α A ha α α, A. Tehát cos. megoldás: cos x si x cos azoosság segítségével: A α A α A, α si A α, ha Feladat: Határozza meg A és α értékét úgy, hogy si Aα feálljo! T > 0, b > 0 b a és b egyidejűleg koverges, illetve diverges Jelbe: a b B a b ε < < + ε. Legye ε <. b b Tehát c b < < c b c ε > 0, c + ε Ha Ha a koverges, akkor b < miatt c a diverges, akkor < b miatt c b is koverges majorás kritérium b is diverges miorás kritérium c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 36 v.4

38 Ha Ha b koverges, akkor < c b miatt b diverges, akkor c b < miatt a is koverges majorás kritérium a is diverges miorás kritérium a 3 b és a 7 b és arctg a b koverges b diverges a koverges a diverges b és b diverges a diverges cos a si 4 b és b koverges a koverges Feladatok: Kovergesek-e az alábbi sorok?. arctg. ch cos c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 37 v.4

39 D a ob kis ordó b, ha c > 0-ra c b > N-re Más jelölés is haszálatos: b, ha ob Nagyságredileg kisebb vagy léyegese kisebb. A defiíció következméye, hogy b 0 eseté b c, > N c > 0-ra. Ebből persze már következik, hogy ekkor ε > 0-hoz N 0 ε, hogy < ε, h > N 0ε. b Nyilvávalóa igaz az alábbi állítás is: T ob, b 0 lim 0 b Mit jelet o? Mivel c > 0-ra c, h > N, ezért lim 0 M A következő állítás is köye bizoyítható lee: b b + o.! o!, mert lim 0. megoldás:. megoldás: 0 <! <! e π + redőrelv π e 0 Vége! c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 38 v.4