Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag"

Átírás

1 VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa 004. szeptember Szerkesztette: Győri Sádor

2 . Numerikus sorok kovergeciája A a k k módo: végtele összeghez hozzáredelük egy s számsorozatot a következő s : a k : k +a a k a }{{} +a s } {{ } } s {{ } } s 3 {{ } s k -edik részletösszeg E számsorozat határértékéek segítségével defiiáljuk a sor összegét az alábbiakak megfelelőe. D A a k umerikus sor koverges és összege s, ha létezik a k lim s lim a k s R k véges határérték. A részletösszegek s sorozatáak viselkedése szerit az alábbi esetek lehetségesek: s R, az összeg koverges +, a k lim a k lim s, az összeg diverges. k k, eseté s k k lim s Diverges a sor. k k + diverges, mert k c Kóya I. Fritz Jé Győri S. v.4

3 s k+ s k 0 0 } s -ek torlódási potja va, a sor diverges. k lim k } {{ } s } {{ } s, tehát a sor koverges. k k +, mert k lim k lim k k + lim + + lim k k + + k , koverges a sor. + k k harmoikus sor diverges Ugyais s k k k k + k lim s k k k Ugyais s s k, h > k miatt lim s. k k k c Kóya I. Fritz Jé Győri S. v.4

4 T Geometriai sor + q + q +, ha q < q q k, ha q diverges, ha q k B s k q k + q + q + + q Ha q : s, ezért lim s. Ha q : s q q. Mivel q 0, ha q <, ezért lim q, ha q <. q Mivel q, ha q > s, ha q >. Ha q : q -ek két torlódási potja va, mégpedig t, t. s -ek is torlódási potja va: 0 és, tehát diverges. Ha q < : q -ek két torlódási potja va, mégpedig t, t. s -ek is torlódási potja va: és, tehát diverges. k3 q k q 3 + q 4 + q 5 + q3 q, ha q <. A részletösszegek a tételbe szereplő részletösszegek q 3 -szeresei, így a határérték a sor összege is q 3 -el szorzódik. a q k k0 k a q k a q, ha q < Most a részletösszegek a tételbe szereplő részletösszegek a -szorosai, így a határérték is a -szoros lesz. első tag A képletet úgy érdemes megjegyezi, hogy s kvócies. M Ha a sorba véges sok tagot elhagyuk vagy megváltoztatuk, akkor a kovergecia téye em változik, koverges sorból koverges sort, diverges sorból diverges sort kapuk. A sorösszeg értéke természetese megváltozik. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 3 v.4

5 M c a k és a k c 0 egyszerre koverges illetve diverges. k Ugyais s a k és s c a k egyidejűleg koverges illetve diverges. k k k 3 k+ 3 k+ k k q , q < teljesül. k k + 3 k+ 4 k+? s s 6 k 3k+ + 4k+ 4 k+ k k k + 3 k k k k k Milye x-re koverges a k0 log x k sor? q log x, log x < < log x <, < x <, azaz x,. A kovergecia szükséges és elégséges feltétele Cauchy kritérium: T a k akkor és csak akkor koverges, ha ε > 0-hoz Mε: k k < ε, h > Mε és k N + B Triviálisa igaz, hisze a számsorozatok kovergeciájára tault szükséges és c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 4 v.4

6 elégséges tétel alkalmazható. s akkor és csak akkor koverges, ha ε > 0 -hoz Mε, hogy, m > Mε eseté s m s < ε. Legye m > és m + k! Mivel Ezért s a + a + +, s m s +k a + a k. h > Mε és k N + tetszőleges. s m s k < ε, koverges Ugyais s +k s k k+ + k k + k } {{ } } {{ } } {{ } >0 >0 + +, ha k páros k } {{ } } {{ } >0 >0 + + } {{ } Vagyis > k + k } {{ } } {{ } + >0 >0 >0 + + k k, ha k páratla + k } {{ } } {{ } >0 >0 s +k s < + < ε, h > [ ] Nε ε ε Későbbiekbe köye elleőrizhetjük, hogy ez egy úgyevezett Leibiz sor. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 5 v.4

7 .. A kovergecia szükséges feltétele T a k koverges k lim a k 0 k B A Cauchy kritériumból k választással: s + s + < ε, h > Nε 0 Vagy egy másik bizoyítás s s + s s s s 0 M A feltétel em elégséges. Például a k k sor a feltételt teljesíti, mégis diverges.. Váltakozó előjelű alteráló sorok c c + c c + + c, c > 0 Leibiz kritérium: T Ha az alteráló sor tagjaiak abszolút értékeiből képzett sorozat fet c mooto fogyóa tart 0 -hoz jelbe c 0, akkor a sor koverges. Az ilye alteráló sor eve: Leibiz sor. B Belátjuk, hogy sk és felülről korlátos: Másrészt s k+ s k + c k+ c } {{ k+ s } k s k 0 0 s } {{ k+ c } c c 3 c } {{ } 4 c 5 c } {{ } k+ c } {{ } az előzőből látható c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 6 v.4

8 Tehát s k mooto övő és felülről korlátos s k koverges, legye s lim k s k. Megmutatjuk, hogy s k+ s szité, és így a sor koverges. s k+ s k + c k+ s + 0 s M Az is megmutatható, hogy az s k+ részsorozat mooto csökkeőe tart s -hez. 0 s k+ c c + c 3 c c k c k + c k+ c c + c 3 c c } {{ k c } k c k+ } {{ } s k 0 s k Hibabecslés Leibiz típusú sorokál Tehát a Leibiz típusú sorokál a páros idexű részletösszegek s -él kisebbek vagy egyelők: s k s. A páratla idexű elemek mooto csökkeve tartaak s -hez, ezért s s k+. Mivel s s k s k+ s k c k+ és s k+ s s k+ s k+ c k+, ezért H s s c +, N c A sor Leibiz típusú és így koverges, mivel c } {{ } + c + c < c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 7 v.4

9 lim c lim 0, tehát em teljesül a kovergecia szükséges feltétele, így a sor diverges c + c A mooto csökkeés most em triviálisa igaz, hisze övelésével a számláló és a evező is ő. Várható, hogy a c sorozat mooto csökkeő, mert evező gyorsabba ő. De ezt ilyekor be kell bizoyítauk! Tehát igaz-e, hogy c +? c 0? + +? Tehát a sor Leibiz típusú és így koverges.? + 3 Ez pedig igaz, mide -re... Feladatok a váltakozó előjelű sorokhoz Vizsgálja meg kovergecia szempotjából az alábbi sorokat! cos kπ. lg k k k k + c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 8 v.4

10 3. Sorok abszolút és feltételes kovergeciája D ak sor abszolút koverges, ha k abszolút koverges. k ak koverges. Koverges geometriai sorokról va szó, ahol a kvócies illetve. k+ k k em abszolút koverges, de koverges. D Feltételese koverges sor: a koverges, de em abszolút koverges sor k+ Ilye pl. a sor. k k Ugyais beláttuk, hogy ez a sor koverges, de a k+ k k k k sor diverges. T ak koverges ak koverges Tehát az abszolút kovergeciából következik a kovergecia. B Ha ak koverges, akkor teljesül rá a Cauchy kritérium, továbbá miatt k k k k < ε, h > Mε, k N + } {{ } Cauchy kritérium ak -ra Így ak -ra is teljesül a szükséges és elégséges tétel Cauchy kritérium, tehát koverges. Ez a tétel azt mutatja, hogy az abszolút kovergecia vizsgálata ige haszos lehet. A ak sor elemei em egatívak, sőt pozitívak tekithetők, mivel ulla elemeket yilvá em kell figyelembe veük. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 9 v.4

11 4. Pozitív tagú sorok T i Egy pozitív tagú sor részletösszegei mooto övekedőek. B ii Egy pozitív tagú sor akkor és csak akkor koverges, ha részletösszegeiek sorozata korlátos. i Ha 0, N, akkor s + s + + s -re. ii a Ha a sor koverges, akkor s koverges s korlátos b Ha s korlátos, akkor s miatt s koverges. M Pozitív tagú sor vagy koverges, vagy -el egyelő. Ez em igaz általáosságba egy váltakozó előjelű sorra, ahol a részletösszegek sorozatáak lehet több torlódási potja pl. k. k0 T a k > 0; a k a k+ feltételek mellett a a k sor akkor és csak akkor koverges, ha k a l l l is koverges B B A bizoyítás léyege, hogy az első sor részletösszegei a második sor megfelelő részletösszegeivel alulról és felülről is becsülhetőek. A becslés igazolásához fotos feltei, hogy az a k sorozat mooto csökke. A részletes bizoyítás megtekithető Walter Rudi: A matematikai aalízis alapjai című köyvébe. Példák a tétel alkalmazására: koverges, ha α >. α Egyébkét diverges. Ha α 0 : α α 0 A kovergecia szükséges feltétele em teljesül diverges a sor. Ha α > 0 :, így alkalmazható az előző tétel: α c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 0 v.4

12 Vagyis l l α l és α l α l egyidejűleg koverges, illetve diverges. l l αl l l lα l l α l Geometriai sort kaptuk, mely csak akkor koverges, ha α q <. α l l l q l Tehát a kovergecia csak akkor teljesül, ha α > 0, vagyis α >. Vigyázat! A tételbe szereplő két sor összege em azoos, tehát em tudtuk megállapítai a sor összegét, csak a kovergecia téyét tudtuk megállapítai α > -re. α Ilyekor a megfelelő s részletösszeggel tudjuk közelítei a sor összegét az esetleg előírt potossággal lásd hibabecslések. log Ugyais: diverges l log ll l l l ll diverges. log p p > koverges, egyébkét diverges p > 0 eseté alkalmazható az előző tétel: l log ll l p l 0 < p : div.; < p : kov. l p ll p 0 esete HF. miorás kritériummal lásd később megmutatható. log log log diverges c Kóya I. Fritz Jé Győri S. v.4

13 A tétel alkalmazható. l log ll l log log l l l log ll l ez pedig diverges 5. Pozitív tagú sorok kovergeciájával kapcsolatos elégséges kritériumok majorás kritérium csak kovergecia eldötésére miorás kritérium csak divergecia eldötésére háyados kritérium gyökkritérium itegrál kritérium Ezeket a kritériumokat kizárólag pozitív tagú sorokra alkalmazhatjuk. Így a szóbaforgó kritériumok haszosak lehetek az abszolút kovergecia eldötésére amiből következik az eredeti em feltétleül pozitív tagú sor kovergeciája is. 5.. Majorás kritérium T Ha 0 < c -re és c koverges koverges B A megfelelő részletösszegek sorozatára a feltétel miatt feáll, hogy s s c. Továbbá c kovergeciája miatt s c K s korlátos és pozitív tagú a sor kov. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. v.4

14 5.. Miorás kritérium T Ha 0 d -re és d diverges diverges B s a s d s spec. redőrelv M Midkét esetbe elegedő, ha a feltétel helyett N 0 -ra teljesül. és egyidejűleg koverges ill. diverges, hisze az első szumma részletösszegei c N 0 kostassal agyobbak, mit a második szumma N 0 részletösszegei. + A harmoikus sorból végtele sok tagot elhagytuk. Vajo koverges-e az új sor? A miorás kritériummal belátjuk, hogy még ez a sor is diverges. Ugyais > + 3, 3 3 diverges diverges < 5 5/, koverges α 5 5/ > koverges c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 3 v.4

15 A sor diverges, mivel a redőrelvvel megmutatható, hogy lim, tehát em tart ullához, így em teljesül a kovergecia szükséges feltétele. Részletezve: 5 5 } {{ } < }{{} < , 3 koverges α 3 > koverges re a sor pozitív tagú. A miorás kritériummal megmutatjuk, hogy diverges. Ugyais, h 6, akkor > 3 és ezért > , 9 9 diverges diverges < koverges geometriai sor q 34 4, q < koverges c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 4 v.4

16 Feladatok Vizsgálja meg kovergecia szempotjából az alábbi sorokat! log log Háyados kritérium T B. > 0,. > 0, a+ a+ q <, q, koverges. diverges.. Mivel + q q q 3 q a,, ezért c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 5 v.4

17 -ek q a koverges majorása geometriai sor, 0 < q < koverges.. Mivel + q q q a,, ezért -ek q a diverges miorása geometriai sor, q diverges. M és N 0 egyidejűleg koverges ill. diverges, ezért elég, ha a T feltételei N 0 -ra teljesülek. Természetese, ha kovergesek, akkor az első sor összege a + a + + a N0 -gyel több, mit a második sor összege. M T -él em elég megmutati, hogy + <, q -t is kell találi. diverges, pedig, koverges. miatt És most is <. + <. De 0 < q < + T -él viszot q megtalálásem fotos. A tétel így is kimodható. Ekkor ugyais: > 0 a+, N 0 div. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 6 v.4

18 0 < +, tehát és > 0 0 em teljesül a szükséges feltétel diverges A háyados kritérium egy kéyelmesebbe haszálható formába is kimodható: T +. > 0, lim c < kov > 0, lim c > vagy lim div. B. Legye ε c, így q c + ε <. A határérték tulajdosága miatt + < q <, > Nε. Ezért T -ből adódik, hogy és így vele együtt is koverges. Nε. Legye ε c, így q c ε >. Ekkor Nε, hogy + > q >, > Nε. Így T -ből adódik az állítás. T + állítása c eseté is igaz. Ugyais, ha lim megfelelő q. q is választható. M4, akkor is található + M3 Ha lim, akkor em tudtuk meg semmit a kovergeciáról. Lehet a sor koverges és diverges is. + diverges, és a koverges sorok eseté egyarát lim. A feti tétel tovább fiomítható. Bebizoyíthatók az alábbi állítások is: Ha > 0, és lim + < koverges. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 7 v.4

19 lim + Ha > 0, és lim + > a kovergeciáról em mod semmit. diverges. Koverges-e az alábbi sor? + 3 +! A feladatot a T lim + lim tétellel háyadoskritériummal oldjuk meg ! lim +! lim < a koverges Feladatok Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából!. +! 4.! ! !! 6. k!, k N+ c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 8 v.4

20 5.4. Gyökkritérium T Ha N -re > 0 és. q < kov.. div. B. 0 < q és q koverges N kritérium miatt.. 0 div. N N N koverges a majorás N M5 elég, ha végtele sok -re igaz. Nem kell, hogy > N-re teljesüljö. Ekkor már r 0 részsorozat. Ez a tétel is kimodható limeszes alakba: T Ha lim c és c < a koverges. c > vagy c a diverges. B Hasoló a háyados kritériumál látotthoz. M6 c, tehát lim eseté em haszálható a gyökkritérium. Az alábbi két példa igazolja állításuk helyességét. diverges és lim a lim lim koverges és c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 9 v.4

21 lim a lim lim Bebizoyítható az alábbi állítás is: Ha > 0, > N és lim < Ha > 0, > N és lim > a kov. a div. M6 A második állítás köye bizoyítható, hisze lim > -ből következik a divergecia, mivel végtele sok -re: a > > ; tehát r 0 részsorozat. Koverges-e az alábbi sor? A feladatot a T tétellel gyökkritériummal oldjuk meg. lim a lim lim e e 5 e 3 < koverges Feladatok Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 0 v.4

22 További kidolgozott példák Ezt a feladatot legegyszerűbbe a majorás kritérimmal oldhatjuk meg. < 8 4 8, 4 4 koverges α 4 > A háyados kritérium, illetve a gyökkritérium is haszálható lee. koverges Eek a feladatak a megoldása már a majorás kritérummal elég ehézkes lee. A háyados kritérim alkalmazható, de itt a gyökkritérium alkalmazása a legjobb választás. lim a lim < koverges c Kóya I. Fritz Jé Győri S. v.4

23 Most viszot a háyados kritérium alkalmazása a legcélszerűbb. A gyökkritérium alkalmazásáál a redőrelvre is szükségük lee az + sorozat határértékéek bizoyításához. lim + lim lim lim < a koverges. +! 3 +! 9 Itt is a háyados kritériumot alkalmazzuk: lim + lim +! +! lim 9 + > a diverges. Abszolút vagy feltételese koverges-e sor? Nem abszolút koverges, mert és 8 diverges, tehát diverges a miorás kritérium miatt. Viszot koverges, mert Leibiz típusú. Ugyais , mert }{{} c Kóya I. Fritz Jé Győri S. v.4

24 És < < < < , h Vagyis a sor feltételese koverges. Majd folytatjuk Itegrálkritérium T Legye f pozitív értékű mooto csökkeő függvéy [, -e és fk a k > 0. Ha fx dx koverges a k koverges k. Ha fx dx diverges a k k diverges M állítás is igaz, tehát a sor és az improprius itegrál egyidejűleg koverges, illetve diverges. B. Mivel a + a fx dx } {{ } mooto övő függvéye -ek lim fx dx fx dx R, a k > 0 és a k korlátos a k koverges a k koverges c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 3 v.4

25 . fx dx a + a + + s Mivel lim fx dx lim s, tehát a sor diverges Hibabecslés pozitív tagú sorösszegek közelítése eseté. Ha a sor kovergeciája itegrálkritériummal állapítható meg, akkor az s sorösszeg s részletösszeggel való közelítéséek hibáját is egy itegrállal becsülhetjük. T Ha az itegrálkritérium. állításáak feltételei teljesülek, akkor az s s közelítésél elkövetett hiba 0 < H r a k fx dx B Mivel a m ezért H r lim m m k+ m fx dx, a k lim m m fx dx k+ fx dx.. Ha a sor kovergeciájára háyados vagy gyökkritériummal következtettük, akkor a sorhoz található koverges majoráló geometriai sor. A majoráló sor r maradékösszegével becsülhetjük az eredeti sor r maradékösszegét. L. előadás és gyakorlat! c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 4 v.4

26 6. Műveletek koverges sorokkal T Ha a k S a és b k S b, S a, S b R k k a k + b k S a + S b és c a k c S a. k k B Sa lim s lim a k k S b lim sb lim b k k S a+b lim sa+b lim a k + b k lim a k + b k k k k lim a k + lim b k S a + S b k k Másrészt S c a lim sc a lim k c a k c lim k a k c S a 6.. Végtele sorok természetes szorzata a + a + a 3 + a a k + b b a + b a + b a 3 + b a b a k + + b b a + b a + b a 3 + b a b a k + + b 3 b 3 a + b 3 a + b 3 a 3 + b 3 a b 3 a k + + b 4 b 4 a + b 4 a + b 4 a 3 + b 4 a b 4 a k b k b k a + b k a + b k a 3 + b k a b k a k A természetes szorzat elemei: c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 5 v.4

27 t b a, t b a + b a + b a, t 3 b 3 a + b 3 a + b 3 a 3 + b a 3 + b a 3,... A természetes szorzat: t k, ahol t k a k k k k k b k. T Ha a k S a és b k S b, akkor a k k természetes szorzata koverges, és k a k és k b k sorok t k a k b k S a S b. k k k Bizoyítás az előzőek alapjá yilvávaló. 6.. Végetele sorok Cauchy-szorzata a + a + a 3 + a a k + b b a b a b a 3 b a 4 b a k + b b a b a b a 3 b a 4 b a k + b 3 b 3 a b 3 a b 3 a 3 b 3 a 4 b 3 a k + b 4 b 4 a b 4 a b 4 a 3 b 4 a 4 b 4 a k b k b k a b k a b k a 3 b k a 4 b k a k +.. A Cauchy-szorzat elemei: c b a, c b a + b a, c 3 b a 3 + b a + b 3 a,, c b + b + b b a idexek összege +. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 6 v.4

28 A Cauchy-szorzat: c, ahol c b k k+. k T Ha k akkor a a k k és a k k és b k k abszolút koverges sorok és a k S a, b k S b, b k k k Cauchy-szorzata is abszolút koverges, és c S a S b, ahol c k b k k+. B k0 k0 x k + x + x + + x k +, ha x <. x k x k x + x + + k x k +, ha x <. + x Írjuk fel a feti két sor Cauchy-szorzatát! + x + x + x x k + x x x 3 x k + x x x x 3 x 4 x k+ + x x x 3 x 4 x 5 x k+ + x 3 x 3 x 4 x 5 x 6 x k k x k +.. Cauchy-szorzat: +0+x +0+x 4 +0+x 6 + +x +x 4 +x 6 + +x k + x x + x, ha x <. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 7 v.4

29 Házi feladat: x k Határozzuk meg a k! ex és k0 k0 Megjegyzés: e x e y e x+y x + y k k! k0 y k k! ey sorok Cauchy-szorzatát! eredméyt kell kapi Zárójelek elhelyezése illetve elhagyása végtele sor eseté a + a + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + A feti sor részletösszegei: s a, s a +a, s 3 a +a +a 3, s 4 a +a +a 3 +a 4, s 5 a +a +a 3 +a 4 +a 5,... stb. Az a + a + a 3 + a 4 + a } {{ } 5 + a 6 + a 3 bezárójelezett új sor részletösszegei s a, s a + a, s 3 a + a + a 3 + a 4 + a 5, s 4 a + a + a 3 + a 4 + a 5 + a 6,... Zárójelek elhelyezése eseté a részletösszegek sorozata szűkül. Ha a sor koverges volt, akkor zárójelek behelyezése eseté is koverges marad. Előfordulhat, hogy diverges sorból zárójelek elhelyezése utá koverges sor lesz Véges sok zárójel elhelyezése em befolyásolja a kovergeciát! Zárójelek elhagyása utá a részletösszegek sorozata bővül. Ha a sor diverges volt, akkor zárójelek elhagyása eseté is diverges marad. Előfordulhat, hogy koverges sorból zárójelek elhagyása utá diverges sor lesz. Véges sok zárójel elhagyásem befolyásolja a kovergeciát! 6.4. Végtele sor elemeiek felcserélése átredezése a + a + a 3 + a 4 + a a k + a + a 3 + a + a 00 + a 5 + a a 99 + a 4 + a 0 + Véges sok elem felcserélése em változtatja meg a kovergecia vagy divergecia téyét, em változik meg a sorösszeg sem. Végtele sok elemcsere megváltoztathatja a sorösszeget, feltételese koverges sor átredezhető akár divergessé is. c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 8 v.4

30 T Ha a k k koverges és a k diverges, akkor k k a k átredezhető úgy, hogy diverges legye, és átredezhető úgy is, hogy egy előre tetszőlegese megadott szám legye az összege. Nem bizoyítjuk. T Ha a k abszolút koverges, akkor tetszőleges átredezése is abszolút koverges, k az átredezés em változtatja meg a sorösszeget. Nem bizoyítjuk. 7. Feladatok sorokhoz. a b c 3 k+ + k+ 5 k? +? ?. Kovergesek-e az alábbi sorok? a b c d e f ! g h i j k l l ! c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 9 v.4

31 m o p q r s t u v w x y z 0! ! Határozzuk meg az alábbi sorok értékét 0 3 -ál kisebb hibával! a + b c d e f!! + 5!! 3! Mekkora hibát követük el, ha a sorösszeget 0. részletösszegével közelítjük? s s 0 ; H r 0 a k ; H? k c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 30 v.4

32 a b c d e f! !! Abszolút illetve feltételese koverges-e az alábbi sor? a b c log d e f +! + 3! + 3! + g h c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 3 v.4

33 8. Számsorozatok agyságredje D a Ob agy ordó b, ha c : c b, > N legfeljebb véges sok kivétellel D a Ωb omega b, ha b O. Vagyis b c > N c. Ekkor: c b c b, vagyis most alulról becsülhető b segítségével. D a Θb teta b, ha Ob és Ωb. Az előzőből következik: T Θb c b c b + 3. O, mert + 3, h 3. Persze O 3 is igaz, sőt általáosságba: O +α, α 0.. Ω, mert + 3. Sőt Ω α, α Tehát Θ. 8.. Műveletek Θ-val T, b, c, d > 0 Θc b Θd }. b Θc d. c Θ b d 3. + b Θc + d Külöbségre em igaz! Megj.: Akkor va értelme haszáli ezt, ha c és d sokkal egyszerűbb sorozatok. B 0 < α c α c, mert Θc 0 < β d b β d, mert b Θd c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 3 v.4

34 . Azoos értelmű egyelőtleségek összeszorozhatók: α β c d b α β c d b Θc d. 3. tehát b Θ 0 < α c α α c 0 < β d b β c d d α β c d b α β c d, αc + d α c + β d + b α c + β d βc + d + b Θc + d α mi{α, β }, β max{α, β } Θ Θ + Θ Θ Θ + Θ Θ Θ Θ Θ Θ + Θ b D a aszimptotikusa egyelő b -el, jelbe b, ha lim b si si, mert lim! π Stirlig formula B e c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 33 v.4

35 T, b, c, d > 0. + b c + d c b d }. b c d c b d c Megit ics külöbség! B c : 0 < ε < < + ε, > N c c b d : Legye > max{n, N } N b d 0 < ε < b d < + ε, > N. ε εc + εd c + d < + b c + d < + εc + + εd c + d + ε, h > N. B 3. c c c 4. Az előző kettőből következik: c c ; másrészt b d b d c arctg π kost 3 c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 34 v.4

36 !! π e π e π 4 0 Az előző példa felhaszálásával:! 4 4 Θ!! π M b b +, de + e Persze b eseté a k b k, k N + már igaz k f. k valós is lehet k a b b És igaz a következő tétel is: T, b > 0 b b B a b 0 < ε < < + ε, b b > Nε ε < a b < + ε a b Határozza meg A és α értékét úgy, hogy cos Aα teljesüljö! c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 35 v.4

37 . megoldás: lim cos A α lim cos α A 0 α 0-ra A 0 lee α > 0-ra 0 0 A lee } α < 0 u : lim u cos u } u{{ α } alakú α>0 L H lim u +0 si u lim αu α u +0 si u u α α α A ha α α, A. Tehát cos. megoldás: cos x si x cos azoosság segítségével: A α A α A, α si A α, ha Feladat: Határozza meg A és α értékét úgy, hogy si Aα feálljo! T > 0, b > 0 b a és b egyidejűleg koverges, illetve diverges Jelbe: a b B a b ε < < + ε. Legye ε <. b b Tehát c b < < c b c ε > 0, c + ε Ha Ha a koverges, akkor b < miatt c a diverges, akkor < b miatt c b is koverges majorás kritérium b is diverges miorás kritérium c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 36 v.4

38 Ha Ha b koverges, akkor < c b miatt b diverges, akkor c b < miatt a is koverges majorás kritérium a is diverges miorás kritérium a 3 b és a 7 b és arctg a b koverges b diverges a koverges a diverges b és b diverges a diverges cos a si 4 b és b koverges a koverges Feladatok: Kovergesek-e az alábbi sorok?. arctg. ch cos c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 37 v.4

39 D a ob kis ordó b, ha c > 0-ra c b > N-re Más jelölés is haszálatos: b, ha ob Nagyságredileg kisebb vagy léyegese kisebb. A defiíció következméye, hogy b 0 eseté b c, > N c > 0-ra. Ebből persze már következik, hogy ekkor ε > 0-hoz N 0 ε, hogy < ε, h > N 0ε. b Nyilvávalóa igaz az alábbi állítás is: T ob, b 0 lim 0 b Mit jelet o? Mivel c > 0-ra c, h > N, ezért lim 0 M A következő állítás is köye bizoyítható lee: b b + o.! o!, mert lim 0. megoldás:. megoldás: 0 <! <! e π + redőrelv π e 0 Vége! c Kóya I. Fritz Jé Győri S. 38 v.4

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3 Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika. elektronikus

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére. Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév KÖZGAZDÁSZ SZAK Módszertai szigorlat követelméye, 2014. tavaszi félév A módszertai szigorlat a B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tatárgyak ayagát öleli fel. Szigorlatot az tehet, akiek a Matematika

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben