Divergens sorok. Szakdolgozat

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Divergens sorok. Szakdolgozat"

Átírás

1 Diverges soro Szadolgozat Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Készítette: Szabó Szilárd Matematia Bsc., taári szairáy Témavezető: Gémes Margit Műszai gazdasági taár Aalízis taszé Budapest, 05

2 Tartalomjegyzé. Bevezetés.. Előszó Koverges soro Diverges soro 5.. Szummábilitás Feladato A szummábilitás általáosításai A Hölder-szummáció A Cesaro-szummáció Feladato

3 . fejezet Bevezetés.. Előszó A lassziusa elfogadott defiíció szerit, ha egy végtele sor részletösszegeiből épzett sorozat a végtelehez tart, vagy több torlódási potja va, aor a sor diverges, ics véges összege. Szadolgozatomba ilye soroal (főleg ez utóbbi esettel) foglalozom. Mi törtéi aor, ha megegedjü, hogy a diverges soroa is legye egy jól defiiált összege, szummája? Elöljáróba átteitem a végtele soro overgeciájáa feltételeit, majd a diverges soro szummázásáa egy alapvető módszerét. Végezetül ee ét általáosításával foglalozom... Koverges soro... Defiíció. [] A 0 a végtele sor részletösszegei az s a + + a (,,... ) számoat értjü. Ha a részletösszegeből épzett (s ) sorozat overges és a határértée A R; azaz, ha (a a ) A, aor azt modju, hogy a 0 a végtele sor overges, és az összege A. Ezt úgy jelöljü hogy 0 a A.... Példa. Legye q R. A 0 q mértai sor aor és csa aor overges, ha q <, és eor 0 q q. Legye s + q + q + + q. Mivel qs s q +, így q eseté Ha q <, aor q + 0 és s q s q+ q. ( )...3. Tétel. [] Ha a 0 a sor overges, aor a 0.

4 Bizoyítás. Legye a sor összege A. Mivel a (a a ) (a a ) s s ezért a A A 0. A feti tételbe a a 0 feltétel szüséges de em elégséges feltétele a sor overgeciájáa. Számos olya diverges sor létezi, melye tagjai ullához tartaa. Ilye például a harmoius sor...4. Tétel. [] Egy emegatív tagú sor aor és csa aor overges, ha a részletösszegeie sorozata (felülről) orlátos. Ha egy emegatív tagú sor diverges, aor az összege végtele. Bizoyítás. Abból a feltételből, hogy a sor tagjai emegatíva, övetezi, hogy a sor részletösszegeie sorozata mooto övő. Ha ez a sorozat felülről orlátos, aor overges is, egy a sorozatora voatozó tétel szerit. Eor a végtele sor is overges. Ha a részletösszege sorozata em orlátos felülről, aor belátható, hogy végtelehez tart, és így a szóba forgó végtele sor diverges és az összege végtele. A övetező végtele soroal apcsolatos tétele alapjául a végtele számsorozatora voatozó Cauchy-ritérium szolgál. Itt övetezi, bizoyítás élül...5. Tétel (Cauchy-ritérium sorozatora). [] Az (a ) sorozat aor és csa aor overges, ha mide ε > 0 -hoz létezi olya N, hogy mide, m N -re. a a m < ε Eze utá a végtele soro overgeciájáa potos feltétele imodható...6. Tétel (Cauchy-ritérium sorora). [] A 0 a végtele sor aor és csa aor overges, ha mide ε > 0-hoz létezi egy N idex úgy, hogy mide N < m-re a + + a a m < ε. Bizoyítás. Mivel a + + a a m s m s, ezért az..5 tételt s sorozatra alalmazva, az állítás övetezi. Alteráló soro eseté, a overgecia elégséges feltétele a övetező:..7. Tétel (Leibiz-ritérium). [] Ha az (a ) sorozat mooto csöeő és ullához tart, aor a 0 ( ) a sor overges. 3

5 Bizoyítás. Legye a sor -edi részletösszege s. A feltételből övetezi, hogy mide -re s s 4 s s s 3 s 3 s. Így az (s ) sorozat mooto övő és felülről orlátos, az (s ) sorozat pedig mooto csöeő és alulról orlátos, tehát midét sorozat overges. Mivel s s a 0, ezért s s. Ebből övetezi, hogy az (s ) sorozat overges, és éppe ezt ellett belátu. 4

6 . fejezet Diverges soro.. Szummábilitás... Defiíció. [3] Azt modju, hogy a 0 a végtele sor szummábilis és a szummája A, ha az s a i részletösszegere teljesül, hogy s s A. A övetező ét tétel a továbbiaba haszosa fog bizoyuli.... Tétel. [3] Legye adott az (a ) sorozathoz tartozó s a a özepe sorozata. Ha a a, aor s a. számtai Bizoyítás. A sorozato határértéée defiíciója alapjá, adott ε > 0-hoz va olya N, hogy N eseté a a < ε. Legye a 0 a + + a N a K. Ha N, aor s a (a 0 a) + + (a a) a 0 a + + a N a + + a a K + ()ε < ε, ha > K ε...3. Tétel. [3] Ha a 0 a sor overges, aor a 0 + a + + ()a Bizoyítás. Legye s A, ahol s a sor -edi részletösszege. Mivel a 0 + a + + ()a (a a ) + (a + + a ) + + (a ) 0 s + (s s 0 ) + + (s s ) ()s (s s ), 5

7 ezért a 0 + a + + ()a Mivel s A, ezért a.. miatt s s A. Így eseté s s Tehát a (.) jobb oldala ullához tart. s0 + + s s s s. (.) A A..4. Tétel. [3] Ha a 0 a végtele sor overges, és az összege A, aor a sor szummábilis, és a szummája szité A. Bizoyítás. A.. miatt ha egy (s ) sorozat A-hoz tart, aor az (s s )/() sorozat is A-hoz tart...5. Tétel. [3] Ha a 0 a végtele sor szummábilis, aor s /() 0 és a /() 0. Bizoyítás. A 3. feladatba...6. Tétel (Tauber). [3] A 0 a sor aor és csa aor overges, ha szummábilis és a 0 + a + + ()a 0. (.) Bizoyítás. Ha a sor overges, aor a..4 szerit szummábilis, a. pedig a..3 tételből övetezi. Most tegyü fel, hogy 0 a szummábilis, és a szummája A. Ha s jelöli a sor -edi részletösszegét, aor eseté Mivel s s a 0 + a + + ()a s0 + + s A A s + (s s 0 ) + + (s s ) s s s, A (.) miatt eseté a bal oldal ullához tart. Így s A. Tehát a sor overges, és az összege A. Ee a tétele egy övetezméye a övetező:..7. Tétel. [3] Ha a 0 a szummábilis, és () a 0, aor a sor overges. Bizoyítás. Ha () a 0,aor a (.) teljesül a.. tétel miatt.tehát alalmazhatju a..6 tételt. 6

8 ..8. Tétel. [3] Ha x π ( Z), aor és mide,, re. si x + + si x cos x + + cos x si(x/) si(x/) Bizoyítás. A és si x ( si jx cos jx x ) ( cos jx + x ) si x ( cos jx si jx + x ) ( si jx x ) azoosságoat j,..., -re összeadva apju: si x (si x + + si x) cos x cos 3x + cos 3x ( cos x + x ) si x (cos x + + cos x) si 3x si x + si 5x si 3x ( + si x + x ) Ie: Ie a feti állítás öye övetezi. si x + + si x cos x cos ( x + x si x cos x + + cos x si ( ) x + x si x si x ) (.3) (.4)..9. Tétel. [3] A si x sor mide x R-re szummábilis, és a szummája x π ( Z) eseté ulla, x π ( Z) eseté pedig ctg x A cos x sor mide x π( Z) eseté szummábilis, és a szummája. Bizoyítás. Ha x π, aor a si x sor mide tagja ulla, tehát mide részletösszege, és így a szummája is ulla. Feltehetjü tehát, hogy x π ( Z). Vezessü be az s s (x) j si jx és c c (x) j cos jx jelöléseet. A (.3) és (.4) egyelőségeet icsit átalaítva, azt apju hogy si x + + si x cos x cos x cos x + si x si x si x Így: cos x + + cos x si x cos x + si x cos x si x si x s (x) ctg x ctg x cos x + si x 7

9 Ahoa: c (x) + ctg x si x + cos x s + + s ctg x ctg x c(x) + s(x) és c + + c + ctg x s(x) + c(x). Mivel az (s ) és (c ) sorozato orlátosa a..8 tétel miatt, így eseté: és s + + s c + + c ctg x... Feladato. Feladat. Szummábilis-e (a feti értelembe) az sor? Megoldás. s 0 + s + + s s (+) + (+) + Mivel páros eseté is -hez tart a részletösszege számtai özepe: ezért mide -re igaz hogy: s 0 + s + + s + Tehát a sor szummábilis, és szummája. s 0 + s + + s. Feladat. [3] Szummábilis-e (a feti értelembe) az sor? Megoldás. s s 0 + s + s + + s (+) Ahol egy feladat megoldásáál em hivatozo, az öálló mua. 8

10 Így s 0 + s + + s + és s 0 + s + + s 0 A részletösszege számtai özepéből álló sora ét torlódási potja va, így a sor em szummábilis. 3. Feladat. [3] Bizoyítsu be, hogy ha a 0 a sor szummábilis, aor eseté s /() 0 és a /() 0. Megoldás. A sor szummábilis, tehát: Eor: Így: s 0 + s + + s s 0 + s + + s A s 0 + s + + s A (.5) s s 0 + s + + s s 0 + s + + s A bal oldalt ifejtve írható: Ie az előzőehez hasolóa: a 0 + a + + a a 0 + a + + a 0 0 a a 0 + a + + a a 0 + a + + a A A Feladat. [3] Bizoyítsu be, hogy ha egy emegatív tagú sor szummábilis, aor overges. Megoldás. s a 0 + a + + a, a 0 N re, m s 0 + s + + s A sor szummábilis, tehát: m A s + s + a + s tehát az s sorozat mooto övevő. Így az..4 tétel miatt, elég azt igazoli, hogy az s sorozat (felülről) orlátos. Idiret tegyü fel, hogy s felülről em orlátos. Eor egy rögzített K > A pozitív valós szám eseté létezi N (K) természetes szám, amelyre s > K ha > N (K). m s s N(K) + s (N(K) +) + + s 9 s (N (K) +) + + s

11 ( N (K) )K Egy a sorozatora voatozó tétel szerit ha a b véges so ivételével és a a és b b aor a b. Ez alapjá: m N (K) A K K > A amiből A > A övetezi, ami elletmodás. 5. Feladat. [3] Bizoyítsu be, hogy ha a 0 a... 0 aor az a 0 a + a 3 a 4... sor szummábilis. Megoldás. Legye s a 0 a + a + ( ) a Vizsgálju az (s ) sorozatot: s 0, s, s, s 3, s 4,... s, s, s Eor: illetve: s + s a + + a + s s +3 s + + a + a +3 s + s + s + + a + s + s + s a + s Az első ét egyelőtleségből látszi, hogy (s ) páros idexű részsorozata mooto csöeő, a páratla idexű részsorozata mooto övevő. Utóbbi ettő egyelőtleségből látszi, hogy az (s ) sorozat elemei özött egy adott páratla idexűél midét szomszédos páros idexű agyobb egyelő. A feltétel szerit feáll még: s 0 N re. Tehát (s + )-a egy felső orlátja az (s ) egy tetszőleges tagja. Igaz az is, hogy (s )-a alsó orlátja (s + ) egy tetszőleges tagja, de fotosabb, hogy felső orlátja is va: s 0. A fetieből és az..4 tételből övetezi, hogy (s ) és (s + ) is overges. Legye s A és s + B. Eor m s 0 + s + + s + s + s s s0 + s + + s + + s + s s + + (A + B) Az utolsó egyelőségél felhaszáltam a.. tételt. Hasolóa: m s 0 + s + + s + s + s s + 0

12 s 0 + s + + s s + s s + (A + B) Így m (A + B) tehát az a 0 a + a... sor szummábilis. 6. Feladat. [3] Bizoyítsu be, hogy x, y [0,π], x y és x + y π eseté a si x si y sor szummábilis, és a szummája ulla. Megoldás. [3] Alalmazzu a azoosságot! si x si y (cos(x y) cos(x + y)) si jx si jy j (cos j(x y) cos j(x + y)) j Ha x + y π aor a cos (x y) és a cos (x + y) sor is szummábilis a..9 tétel alapjá és szummája midettőe. Eor a ülöbségü is szummábilis, és a ülöbség szummája ( ) 0. (Ez a ésőbb bizoyításra erülő 3..4 tétel övetezméye.) Így a feti állítást beláttu. Viszot ha x + y π aor a..9 tételt alalmazva a cos (x y) sorra, ez továbbra is szummábilis, és a szummája. A cos (x + y) sor esetébe: cos j(x + y) cos jπ j -re. Így ez a sor em szummábilis. Eor az eredeti (cos j(x y) cos j(x + y)) sor sem az. j 7. Feladat. [3] a) Bizoyítsu be, hogy a si x sor aor és csa aor overges, ha x π ( Z). b) Bizoyítsu be, hogy a cos x sor mide x-re diverges. c) Bizoyítsu be, hogy a si x sor aor és csa aor overges, ha x π ( Z). Megoldás. [3] b): Tegyü fel, hogy a cos x sor overges. Ee szüséges feltétele, hogy cos x 0 (ha ). Ee részsorozata cos x, ezért tart ullához. Másrészt, cos x cos x, ami elletmodás. a): Tegyü fel, hogy a si x sor overges. Eor si x 0 ( ), amiből cos x si x si (()x) si x cos x (.6) Ötlet a szairodalomba, megoldás idolgozása öálló mua.

13 Itt a jobb oldal ullához tart, így a bal is. Mivel cos x em tart ullához, ezért si x 0 azaz x π. Eor a si x si π sor overges, mert mide tagja 0. c):tegyü fel hogy a sor overges. Így a si x 0, és eor a.6 éplethez hasolóa írható: cos x si (()x) si (() x) si ( x) cos (()x) (.7) A cos (()x) orlátos. Így a.7 jobb oldala tart a ullához. Mivel cos x si x ezért a.7 bal oldala aor és csa aor tart ullához, ha si (()x) 0. Felírható a övetező: si(x) cos x si (()x) + si (( )x) Itt a jobb oldal ullához tart. Ezért a bal oldalo vagy si(x) 0, vagy cos x 0. Itt cos x 0 aor és csa aor teljesül, ha x π + π ( Z); si(x) 0 aor és csa aor ha x π ( Z), és ez magába foglalja cos x 0 megoldásait is. Ha x π ( Z) és páratla, aor si x ± mide páratla re ami lehetetle. Így páros és x π, vagyis x π. Ezzel ezt az iráyt beláttu. Másrészt ha x π aor a si x sor mide tagja ulla, így a sor overges. Végezetül, a..7 tétel imodható egy evésbé szigorú feltétellel: 8. Feladat. [3] Bizoyítsu be, hogy ha a 0 a sor szummábilis, és az (()a ) sorozat alulról vagy felülről orlátos, aor a sor overges. Megoldás. [3] Legye s 0 a. A feltétel szerit az m s 0 + s + + s sorozat overges. Tegyü fel, hogy A-hoz overgál, és cseréljü i a sor első tagját a 0 -t a 0 A-ra! Így elértü, hogy m ullához tart. Feltehetjü, hogy ((+)a ) alulról orlátos, mert ülöbe áttérü a 0 ( a ) sorra. (+)a b mide N-re, ahol b pozitív egész. Szorozzu meg -vel a sor mide b tagját, az új sorra teljesül hogy a és a ét sor egyszerre overges (illetve diverges). Azt ell tehát belátu, hogy ha a mide -re és eseté m 0 aor s 0. Legye 0 < ε < adott és tegyü fel, hogy s ε végtele so -re. Ha s ε és ε () aor s + s + a a + ε

14 ε + Ebből azt apju, hogy ε ε() + ε + ε + > ε s s (+[ε(+)]) (s s ) s s (+[ε(+)]) > [ε()] ε > Ie: s s (+[ε(+)]) > (ε )ε ε ami elég agy -re lehetetle, mert s s (s s ) 0 és > ε s s (+[ε(+)]) + [ε()] + + [ε()] + 0. Most tegyü fel, hogy s ε végtele so -re. Ha s ε és < ε, aor s s a a ( +) ε ε + ε + ε + ( + ε) < ε + ε + ε ( + ε) ε ε + ε + ε + ε ε ε + ε(ε ) ε < ε Az hogy az utolsó összegél ε szigorúa agyobb, a 0 < ε < feltételből övetezi. Ebből: [ ε ] s s (s s ( [ ε ]) ) < + ε < Ie: s s ( ε ) < ε ε (s s ( [ ε ]) ) Ami elég agy -re lehetetle, mert s s (s s ( [ ε ]) ) [ ε ] + [ ε ] + < ε 0 és 0. Ezzel beláttu, hogy s < ε mide elég agy -re, tehát s 0. 3

15 3. fejezet A szummábilitás általáosításai 3.. A Hölder-szummáció A éyelmesebb jelölés edvéért az -edi részletösszeget ezetúl s helyett A -el jelölöm. Így ha 0 a szummábilis és szummája A aor 0 a A ifejtése: A 0 + A + + A A (3.) Hölder evéhez fűződi az egyi legézefevőbb általáosítás. Egymás utá elvégzett szummáció egy sorozatát defiiálta a övetező módo: Legye a (H,) módszer evivales a már orábba megismert szummációval (3.), és legye ee az -edi részletösszege H. H A 0 + A + + A Ha most ismételte elvégezzü a (H ) sorra a (3.) szummációt, megapju az eredeti 0 a sor (H,)-szummáját: H H 0 + H + + H A ( ) A módszer hasolóa értelmezhető bármely pozitív -ra: 3... Defiíció. [] Legye 0,,,... emegatív egész szám. Eor H jeletse 0-ra: H 0 A, egyébét: H + H 0 + H + + H (3.) Ha eseté H A, aor azt modju hogy 0 a (H, )-szummábilis és a (H, )-szummája A: a 0 + a + a + A(H, ). A (H,0)-szummábilitás alatt a overgeciát értjü Tétel. [] Legye > 0 és >. Ha a A(H, ), aor a A(H, ). 4

16 Bizoyítás. A tétel szerit tehát a (H ) sorozat overgál A-hoz. Eor a (..) tétel szerit ( eseté) az ehhez a sorozathoz tartozó számtai özepe sorozata is A-hoz tart: H + H 0 + H + + H A ( ) Teljes iducióval belátható, hogy eor mide > -ra: H A ( ) Tétel. [] Ha a (H, )-szummábilis, aor A / 0 és a / 0. Bizoyítás. Írju fel H -et a övetezőéppe: H H (H0 + + H ) (H0 + + H ) () H H H H H () H H (3.3) A övetezőhöz haszálom a is ordó jelölést: Legye f() o(g()) aor és csa aor, ha eseté f()/g() 0 teljesül. Például, g() -re: f() o() f() 0 ( ). Eor, mivel a sor (H, )-szummábilis, ezért:h A és H A tehát: H A + o() illetve H A + o(). Ezt a (3.3) épletbe beírva: H () (A + o()) (A + o()) Az o() jobbról is és balról is tarthat a ullához, ezért: Ie: Hasolóa: H És így tovább. Végül: azaz H H A + () o() () H A bizoyítás részletezése saját mua. H 0 o(), (H o()) H () o() H o() H o( ) H 0 A o( ) A / 0 ( ) 5

17 illetve: azaz ( a A A ) 0 a / 0 ( ) Tétel. [] A Hölder-szummáció tulajdoságai: a) C a C a, b) (a + b ) a + b, c) a 0 + a + a + a 0 + (a + a +... ), d) a 0 + (a + a +... ) a 0 + a + a +... Itt midegyi egyelőség úgy értedő, hogy ha a jobboldal (H, )-szummábilis, aor a baloldal is és a ét érté megegyezi. Így például d) azt jeleti, hogy ha a 0 + a +... (H, )-szummája A, aor a + a +... (H, )-szummája A a 0. Bizoyítás. A övetező alfejezetbe bizoyításra erülő evivalecia tétel (3..5) alapjá elegedő lesz a 3..4 tételbe szereplő tulajdoságoat a Hölder- és Cesaro-szummáció özül csa az egyire bizoyítai. A c) és d) állításoat a Cesaro-szummációra bizoyítom. a) Legye b C a A a 0 + a + + a így: Eor: B Ca 0 + Ca + + Ca C(a 0 + a + + a ) C A. H (B) B 0 + B + + B CA 0 + CA + + CA C A 0 + A + + A C H (A) Most szeriti teljes iducióval: Tegyü fel hogy, H(B) C H(A) Eor: b) H + (B) H 0 (B) + H (B) + + H(B) C H 0 (A) + H (A) + + H (A) CH 0 (A) + CH (A) + + CH (A) C H + (A) A + B a 0 + a + + a + b 0 + b + + b (a 0 + b 0 ) + (a + b ) +... (a + b ) H (A) + H (B) A A A bizoyítás saját mua. (A + B) + B B (A 0 + B 0 ) + + (A + B ) 6

18 Tegyü fel hogy: Eor: H + (A) + H + H (A + B) H (A) + H (B) H (A + B). (B) H 0 (A) +... H (A) + H 0 (B) + + H (B) H 0 (A + B) + + H (A + B) H + (A + B) 3.. A Cesaro-szummáció A Hölder-szummációtól eltérőe, a most övetező módszerbe darab összegzést övet egyetle osztás Defiíció. [] Legye A 0 A a 0 + a + + a, A A 0 + A + + A és E legye egyelő A -a azo speciális értéével, amior a 0 és a 0 mide > 0-ra, azaz ha A mide -re. Ha C (A) A E A eseté, aor azt modju hogy a a sor (C, )-szummábilis és (C, )-szummája A, azaz: a 0 + a + a + A(C, ) Megjegyzés. [] 3 Az A -t i lehet fejezi az A illetve az a sorozat tagjaival. Teitsü a övetező azoosságot: 4 ( x) p ( ) p ( ) x ( ) + p x (3.4) p Itt felhaszáltu, hogy: Mivel és ( ) ( p ) ( ) ( p)( p )... ( p )! (p + )(p + )... (p + )p(p )!! (p )! (p + )!! (p )! A j A j 0 + A j + + A j + A j A j A j 0 + A j + + A j ( ) + p p 3 A levezetés részletezése öálló mua. 4 A továbbiaba, ha azt em jelölöm ülö, az összegzést 0-tól végteleig végzem. 7

19 ezért Igaz továbbá a övetező: A j A j A j (3.5) A x ( x) A x (3.6) Mivel átírható a övetező alaba: A x x A x A x Ez az egyelőség aor és csa aor áll fe, ha a bal oldali poliomba adott foú tag együtthatója megegyezi a jobb oldali poliomba ugyaazo foú tag együtthatójával. Az x m tag együtthatójára: A m A m A m Ez éppe a (3.5), így (3.6) teljesül. Hasoló módo folytatva: A x ( x) A x ( x) A x... ( x) A x ( x) a x (3.7) Ie, felhaszálva a (3.4) azoosságot: A x ( x) A x ( ) + x A x (3.8) A bal oldali poliomba az x együtthatója A, így a jobb oldaliba is az. A jobb oldalo az -ed foú tag így adódi: ( ) v + x v A v x v Tehát: A v0 ( ) v + A v v0 ( ) v + A v. Ha most a (3.7) egyelőségből az utolsó lépést haszálom fel, és ifejtem (3.8) mitájára: A x ( x) (+) a x ( ) + x A x. (3.9) Így az előző godolatmeethez hasolóa az -ed foú tag együtthatójára: ( ) v + ( ) v + A a v a v. v0 Ha a 0 és a többi a 0, aor A ( ) +. Így: ( ) + E ( + )( + )... ( + ). (3.0)! 8 v0 v0

20 Midazoáltal: ( ) + ha rögzített, és. ()( + )... ( + )!! Így a Cesaro-szummábilitás úgy is defiiálható hogy ha! A A feáll ( eseté), aor a sor (C, )-szummábilis és (C, )-szummája A Tétel. [] 5 A Cesaro-szummábilitásra is teljesüle a 3..4 tételbe foglalta. Bizoyítás. Az a) és b) állításo a 3..4 és a 3..5 tételeből öveteze. A c) és a d) állításo bizoyításához azt ell megmutatu, hogy ha b a +, (3.) aor a a A(C, ) illetve b (A a 0 )(C, ) állításo egyiéből övetezi a mási, vagy fordítva. Eor a (3.) és a (3.7) összefüggése felhaszálásával: A x ( x) a x ( x) (a 0 + x b x ) A x ( x) a 0 + ( x) x b x Az a 0 -t tartalmazó tagra felhaszálva a (3.4) összefüggést, a mási tagot pedig a (3.7) szerit átírva: A x ( ) + x a 0 + x B x A x ( ) + x a 0 + B x. Az egyelőség ét oldalá álló poliomo -ed foú tagjaia együtthatóját vizsgálva mide > 0-ra: ( ) + A a 0 + B. Felhaszálva a (3.0) összefüggést: A E a 0 + B Ezt ellett belátu. A a 0 + B 5 A bizoyítás részletezése öálló mua. 9

21 Meg lehet mutati, hogy a Hölder- és Cesaro-szummáció bizoyos értelembe evivalese egymással, ehhez azoba szüség lesz a övetező tételre Tétel. [] 6 Ha aor a állításo evivalese. m s 0 + s + + s, (3.) s s(c, ), illetve m s(c, ) Bizoyítás. Defiiálju a s -t hasoló módo mit ahogy A volt defiiálva a 3.. defiícióba. Eor a defiíciót és a (3.0) összefüggést felhaszálva: ( ) + s C (s). (3.3) Az m és C (m) hasolóa defiiálható. Legye u v u 0 + u + + u v, u v u 0 + u + + u v. Eor: (v + p)u v (0 + p)u 0 + ( + p)u + + ( + p)u v0 p u + u u 0 ( ) u u p u + u u v (+p)u +u 0 +u +u + +u [u 0 +(u 0 +u )+(u 0 +u +u )+ +(u 0 +u + +u )] Tehát: (v + p)u v ( + p + )u u (3.4) v0 teljesül mide p és 0 egészre. Ie, mivel a (3.) alapjá s ()m : v0 s s v v0 (v + )m v ( + )m m v0 Hasolóa: s 3 s v v0 (v + )m v m v v0 v0 -ra voatozó teljes iduciót haszálva: 6 A bizoyítás részletezése öálló mua. ( + 3)m m 3 m 3 s ( + )m ( )m (3.5) 0

22 Eor: s + s v v0 A (3.4) összefüggést alalmazva: v0 (v + )m v ( )m v v0 s + ( + + )m m + ( )m + ( + + )m m + Tehát az eredeti (3.5) feltevésü igaz. Előbb a (3.3) majd a (3.5) egyelőséget alalmazva: C (s) s ( + ) ( + )m (+)!!! ( )m ) m ( + (+ )! ( )!! ( )C (m) Tehát: m ( + ) ( )C(m) C (m) ( )C(m) C (s) C (m) ( )C (m) (3.6) [Abból hogy C (m) s övetezi hogy C(m) s][] 7, így a (3.6) alapjá C(s) s. Ezzel az eredeti feltevés egyi iráya bizoyítva va. Másrészről, tegyü fel hogy C(s) s. Az m defiíciójából övetezi, hogy: m Eor a (3.5) összefüggés így írható át: m m. s ( + )m ( )m ( + )(m m ) ( )m Ezt a (3.3) egyelőség alapjá átírva: ()m ( + )m C (s) s ( + ( + ( + ) ()m ) ( + )m ) Ie: ()C (m) m (+ )!!( )! ()C (m) C (m) (3.7) C 0 (s) + C (s) + + C (s) (C 0 (m) 0)+(C (m) C 0 (m))+(3c (m) C (m))+ +(+)C (m) C (m) C 0 (s) + C (s) + + C (s) ()C (m) (3.8) A.. tétel alapjá az (3.8) állításból és a ezdeti feltevésből övetezi hogy C (m) s, ebből és (3.6) egyelőségből pedig hogy C (m) s. 7 Az állítás bizoyítása a szairodalomba megtalálható.

23 3..5. Tétel (Evivalecia tétel). [] A (C, )- és a (H, )-szummáció evivalese: ha 0 szummázható (C, ) szerit és (C, )-szummája A, aor szummázható (H, ) szerit is és a ét módszerrel apott szumma megegyezi. Bizoyítás. A 3..4 tétel segítségével a bizoyítás öye adódi. Ha ezt a tételt -szor alalmazzu, látható hogy a C(A) A, C H (A)} A,..., CH (A)} A, H(A) A állításo mid evivalese. Ezt ellett belátu. Így a szummáció tulajdoságaival foglalozó tétele (a 3..4 és a 3..3) is teljes bizoyítást yere. Ami az egyibe bizoyítva volt, az evivalecia miatt igaz a másiba is Feladato 9. Feladat. [3] Az sor (H,)-szummábilis-e? Megoldás. 8 Legye s 0 + s + + s t s + s + + s 0 + (+) (Ahogy azt a. feladatba láttu.) Kezdődjee a soro az -es idexszel: 0 + ( + ) Legye mide -re. Így: u t + t + + t és u u (3.9) (3.0) és 0 < < < dx l( ) x 0 < < < dx l() x 8 Ahol egy feladat megoldásáál em hivatozo, az öálló mua.

24 Továbbá l 0 ha, így (3.9) -ből és (3.0)-ból övetezi, hogy u 4, u + 4 Ahoa u 4 Tehát a sor (H,)-szummábilis, és H 4 0. Feladat. [3] Mutassu meg, hogy az ( ) i (i + ) +... sor (H,3)-szummábilis és határozzu meg a (H,3)-szummáját! Megoldás. H 0 A ( ) i (i + ) ( ) ()( + ) Ezt -re voatozó teljes iducióval bizoyíthatju: 0-ra: A 0 ( ) 0 (0 + ) (( )0 (0 + )(0 + )) Tegyü fel, hogy 0 és A (( ) ()( + )) Eor 0,,... (3.) A + A + ( ) + ( + ) (( ) ()( + )) + ( ) + ( + ) Legye ( )+ ( + )( + 4 ) ( )+ ( + )( + 3). H A i () ( ) i (i + )(i + ) ( ) i (i + ) + b c Folytassu az eljárást ülö a b illetve a c sorozatra! (3.)-ből és (3.)-ből: b A ( ) ( + ) adódi. d i ( ) i (i + ) ( ) i (i + ) (3.) ( ) i (i + ) (3.3) b i 3 ( ) i (i + )

25 Mivel így Mivel ( ) i (i + ) + d c d i c ( ) i c ( + ) () ( ) i d + 4 ( + 3) + ( + 3) + + ( + 3 ) 3 + 4() ( + 3) + + ( + 3 ) 4() 0 < < és + l() Hasolóa: e c i 0 ezért + 3( ( ) 3 i + i < + dx + l() x d i 0 (3.4) + + c ( + ) + ( + ) + + ( + ) 3 + () ( + ) + + ( + ) () Ebből c i 0. Így a 3.. szerit: e i 0 (3.5) H b c így (3.4)-ből és (3.5)-ből övetezi, hogy az eredeti sor (H,3)- szummábilis és (H,3)-szummája 0. 4

26 . Feladat. Vizsgálju meg az ( )i (i + ) +... sort szummábilitás szempotjából. Megoldás. A a i Ez teljes iducióval bizoyítható: A :,, 4, 6, 9,, 6, 0... ( + A ) (+)(+3) 4 (3.6) ( : A 0 ( + )( + 3) : A 4 Tegyü fel hogy és (3.6) teljesül. Ha aor: ) A + A + a + ( + )( + ) ( ) i (i + ) ( + )( + ) 4 Ha aor: + ( + )( + 3) + ( ) + ( + )( + 4) ( + 6) 4 4 ()( + 3) + A + A + a + + ( ) i (i + ) 4 ()( + 3) + ( + )( + 3) + ( ) ( + 4 ) 4 Szité teljes iducióval bizoyítható hogy: ()( + 3) 4 ( + 3 ) + ( + 4)( + 3) 4 A i ( + )( + 4) 8 ()( + 3) (3.7) 8 Ugyais: ( ) : A 0, : A 0 + A, 0 A i (0 + )(0 + 4) 8 ( + )( + 3) A i 8 5

27 Tegyü fel hogy és (3.7) teljesül. Ha aor: + A i A i + A + ( + )( + 4) ( + )( + 4) 8 4 ( + )( + 4) 8 Ha aor: + A i A i + A + ( + 3) ()( + 3) ( + 3)( + + 6) ( + 3)( + 5) 8 Így tehát: H A i 8 (+)(+4) + ( + 3) ( + 3) (3.8) A 3 elhagyható mert eseté tart a ullához, így ee a része a (H,)-, (H,)-, (H,3)-szummája is 0.(A 3.. és a 3..4 tétele alapjá.) Ha aor: Teljes iducióval: b b i + 5 ( + 3) () (3.9) 0 : b , 0 b i : b 0 + b 5 ( + 3), b i ( + ) Tegyü fel hogy és (3.9) teljesül. Ha : + b i b i + b ( + 4) ( + ) Ha : + b i b i + b + () () 6

28 Így: b i A 7 is elhagyható mert eseté tart a ullához, így ee a része a (H,)- és (H,3)-szummája is ulla. Legye tehát 3 c Ie c i belátható, mivel 0-ra, -re teljesül, azoívül: c i c i 3 + Végül: + c i + (+) Így ami azt jeleti, hogy az eredeti c i sor (H,3)-szummábilis és (H,3)-szummája 8. ( Az -os szorzó a (3.8) és a (3.9) egyelőségeből 8 adódi.). Feladat. [3] Bizoyítsu be, hogy ha egy em egatív tagú sor (H, )-szummábilis, aor overges. Megoldás. A a + + a, a i 0 i,,... H 0 A, H r+ Hr + + H r, H A, ha. A A + a A Ebből övetezi hogy A mooto övevő sorozat, így a a overgeciájához elegedő igazoli, hogy A felülről orlátos. Idiret módo tegyü fel, hogy A felülről em orlátos, de mooto övevő ezért L > A pozitív valós számhoz létezi N(L) természetes szám, hogy > N(L) eseté A > L, ( Z + rögzített, a sorról tudju hogy 7

29 (H, )-szummábilis). Eor: Hasolóa: Ezt folytatva: ( N(L))L H H0 + + H 0 A + + A ( N(L) ) L > L, ha > N(L). H H + + H ( N(L)) L ( N(L) ) L L, ha > N(L). H H + + H ( ) N(L) ( N(L)) L L L, ha > N(L). Mivel H A ha ezért A L > A elletmodásra jutu. Tehát az eredeti állítás igaz volt. 3. Feladat. A sora adju meg egy általáosítását, és határozzu meg a Hölder-szummáját. Megoldás. Legye az a sorozat periodius, úgy hogy egy perióduso belül a sorozat tagjaia értée egyszer, egyszer, egyébét 0, a övetező módo: a,r : 0,0,...,,0,0,...,,0,0,...,0,0,..., Itt a periódus hossza legye m, így az első periódus végét jelető tag az a m, a perióduso belül az helye egy rögzített 0 r m idex, a r. Így: m + r a,r m + m 0 ülöbe A m+s r s m 0 0 s r vagy s m Hm+s A 0 + A + + A m+s m + s + (A A m ) + A m + + A m+s m + s + (m r) m+s+ 0 s r (m r)+s+ r m+s+ r s m (m r)+(m )+ r m+s+ s m 8

30 Ie: H m+s m r m Mivel m + s az összes természetes számo végigfut, ezért: H m r. (3.30) m Tehát a feti a (H,)-szummábilis és (H,)-szummája m r. m Látható, hogy az m, r 0 helyettesítés éppe a sort adja, (H,)- szummájára pedig visszaapom az. feladatba iszámolt -et. Most legye b : a 0, a, (a 0 + a ), a 0, a, (a 0 + a ),... b : a 0 (, 0,, 0,,... ) + a (0,,, 0,,,... ) Itt az a 0 -hoz tartozó periodius sorra m 3, r 0, az a -hez tartozóra m 3, r. Ha a b sorozat (H,)-szummája H (B) aor a (3.30) épletet felhaszálva: Általáosabba, ha H (B) a 0 + a 3 3 a 0 + a 3 c : a 0, a,..., a m, (a 0 + a + + a m ), a 0, a,... a m, (a a m )... a s m + s, 0 s m c (a a m ) m + m c m r0 a r a,r A (3.30) -ból és a ből övetezi hogy c (H,)-szummábilis és (H,)-szummája: m r0 Speciálisa, ha a 0 a m aor: a r m r. m m r0 m r m m(m ) m m. 4. Feladat. Vizsgálju meg az sort szummábilitás szempotjából. 9

31 Megoldás. A :, 0,,, 0,,, 3, 0,... Egyértelműe létezi m, s N, m, 0 s m, hogy m + s Ha s aor: A i (m ) + (m ) + + (m ) + s i i Ha s 0, aor m (m i)i + i m (m ) s i m i m i i m i (m )m(m ) 6 i + + s i i s(s + ) A i A i + A A i (m )(m )m 6 + (m )m (m )m(m + ). 6 Ie: H A i m j j + s + (m )m(m+) + s(s+) 6 (m )m(m + ) + 3s(s + ) ( ) 6 (m+)(m ) + s + 0 s m, 0 3s(s + ) 3(m )m, továbbá aor és csa aor, ha m, így (m )m(m + ) + 3s(s + ) H. 3(m + )(m ) + 6s Tehát a em (H,)-szummábilis. 30

32 Irodalomjegyzé [] G. H. Hardy: Diverget Series, Claredo Press, Oxford, 949 [] Laczovich Milós-T. Sós Vera: Valós Aalízis I., Typotex, Budapest, 0 [3] Laczovich Milós-T. Sós Vera: Valós Aalízis II., Typotex, Budapest, 03 3

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged Magas szitű matematiai tehetséggodozás Számelméleti érdeessége dr. Kosztoláyi József, Szeged A számelmélet bőveledi olya érdésebe, problémába, összefüggésebe, amelye elemi módszereel megözelíthető. Bizoyos

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények 9 Folytoos függvéye IV Folytoos függvéye Az előző fejezetbe adott f : D függvéy viseledését a D halmaz torlódási potjáa öryezetébe vizsgáltu Az pot em feltétleül tartozott a D halmazhoz ( D ) Ebbe a fejezetbe

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

A fogótétel alkalmazása sorozatok határértékének kiszámolására

A fogótétel alkalmazása sorozatok határértékének kiszámolására A fogótétel alalmazása sorozato határértéée iszámolására Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Mide izoyal ics más olya matematiai tétel amelye olya so megevezése lee, mit az úgyevezett fogótétele, amelye gyaori

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Numerikus sorok, Taylor-sorok, Fourier-sorok Kidolgozott feladatok

Numerikus sorok, Taylor-sorok, Fourier-sorok Kidolgozott feladatok Numerius soro, Taylor-soro, Fourier-soro Kidolgozott feladato.példa: Vizsgálju meg a átalaításoal apju, hogy 5 umerius sor overgeciáját. Azoos 5 5 4 4 5 5 5 5 ; 4 4 A sor tehát szétbotható ét mértai sor

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 + . Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről,

Részletesebben

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 0. tétel zámsorozto orozt: Oly függvéy, melye értelmezési trtomáy pozitív egész számo hlmz. zámsorozt éphlmz vlós számo hlmz. f : N R f () jelöli sorozt -ei tgját.

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

m,p) binomiális eloszlás.

m,p) binomiális eloszlás. A Valószíűségszámítás I. előadássorozat hatodi témája. Néháy fotos diszrét eloszlás. Ismertetem éháy fotos diszrét eloszlás defiicióját, és tárgyalom eze legfotosabb tulajdoságait. Az eloszláso bevezetés

Részletesebben

A gyors Fourier-transzformáció (FFT)

A gyors Fourier-transzformáció (FFT) A gyors Fourier-transzformáció (FFT) Egy analóg jel spetrumát az esete döntő többségében számítástechniai eszözöel határozzu meg. A jelet mintavételezzü és elvégezzü a mintasorozat diszrét Fouriertranszformációját.

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) A Fibonacci-sorozat általános tagjára vontozó éplet máséppen is levezethető A 149 Feladatbeli eljárás alalmas az x n+1 ax n + bx, n 1 másodrendű állandó együtthatós lineáris reurzióal adott sorozato n-edi

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Végtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8

Végtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8 Végtele sorok (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. március 25. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. A sor fogalma 3 3. Mértai és teleszkopikus sorok 8 4. Abszolút és feltételese koverges sorok 4 5. Sorok

Részletesebben

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek 5. Matematiai logia, bizoyítási módszere I. Elméleti összefoglaló Logiai művelete A matematiai logia állításoal foglalozi. Az állítás (vagy ijeletés) olya ijelető modat, amelyről egyértelműe eldöthető,

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl.

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl. 2. tétel Számhalmazo (a valós számo halmaza és részhalmazai), oszthatósággal apcsolatos problémá, számredszere. SZÁMHALMAZOK Halmazábrá ábrázolom a valós számo halmazát és részhalmazait (éháy példával).

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

XL. Felvidéki Magyar Matematikaverseny Oláh György Emlékverseny Galánta 2016 Megoldások 1. évfolyam. + x = x x 12

XL. Felvidéki Magyar Matematikaverseny Oláh György Emlékverseny Galánta 2016 Megoldások 1. évfolyam. + x = x x 12 XL. Felvidéi Magyar Matematiaverseny Oláh György Emléverseny Galánta 016 Megoldáso 1. évfolyam 1. Oldju meg az egész számo halmazán az egyenletet. x 005 11 + x 004 1 = x 11 005 + x 1 004 Az egyenlet mindét

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

Legfontosabb bizonyítandó tételek

Legfontosabb bizonyítandó tételek Legfontosabb bizonyítandó tétele 1. A binomiális tétel Tetszőleges éttagú ifejezés (binom) bármely nem negatív itevőj ű hatványa polinommá alaítható a övetez ő módon: Az nem más, mint egy olyan n tényezős

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

A feladatok megoldása

A feladatok megoldása A feladato megoldása A hivatozáso C jelölései a i egyenleteire utalna.. feladat A beérezési léps felszíne fölött M magasságban indul a mozgás, esési ideje t = M/g. Ezalatt a labda vízszintesen ut utat,

Részletesebben

Járatszerkesztési feladatok

Járatszerkesztési feladatok Járatszeresztési feladato 1 Járatszeresztési feladato DR. BENKŐJÁNOS Agrártudomáyi Egyetem GödöllőMezőgazdasági Géptai Itézet A járat alatt a logisztiába általába a járműve meghatározott több állomást

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok Soozato 5 I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK I.. Soozato A legtöbb embe szóicsébe szeepel a soozat szó. Ez azt jeleti, hog edelezi valamile soozatfogalommal. Megéti, ha a miet sújtó

Részletesebben

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként.

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként. A szta formula és alalmazása. Gyaran találozun az alább érdéssel, soszor egy összetett feladat részfeladataént. Tentsün bzonyos A 1,...,A n eseményeet, és számítsu anna a valószínűségét, hogy legalább

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3 Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

A természetes számok halmaza (N)

A természetes számok halmaza (N) A természetes számo halmaza (N) A természetes számoat étféleéppe vezethetjü be: ) A Peao-féle axiómaredszerrel ) Evivalecia osztályo segítségével ) A természetes számo axiomatius értelmezése. A Peao-axiómá

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

24. tétel Kombinatorika. Gráfok.

24. tétel Kombinatorika. Gráfok. Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 4. tétel Komitori. Gráfo. Komitori: A mtemti zo elméleti területe, mely egy véges hlmz elemeie csoportosításávl, iválsztásávl vgy sorrederásávl fogllozi. Permutáció

Részletesebben

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika Távözlő hálózato és szolgáltatáso Kapcsolástechia émeth Krisztiá BME TMIT 015. ot. 1-8. A tárgy felépítése 1. Bevezetés. IP hálózato elérése távözlő és ábel-tv hálózatoo 3. VoIP, beszédódoló 4. Kapcsolástechia

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

V. Oszthatóság a természetes számok halmazában

V. Oszthatóság a természetes számok halmazában V Oszthatóság a természetes számo halmazába V Általáos fogalma az oszthatósággal apcsolatba A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelműe léteze q és r természetes

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 4. Kis rezgése 4.. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan r pontoat nevezzü valamely oordináta-rendszerben, ahol a vizsgált tömegpont gyorsulása

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben