90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények

Átírás

1 9 Folytoos függvéye IV Folytoos függvéye Az előző fejezetbe adott f : D függvéy viseledését a D halmaz torlódási potjáa öryezetébe vizsgáltu Az pot em feltétleül tartozott a D halmazhoz ( D ) Ebbe a fejezetbe a függvéy viseledését em csa az potba is ( D) ; összehasolítju a függvéy pot örül vizsgálju, haem az értéét az potba a függvéy öryezetébe felvett értéeivel Ezért a függvéye az potba is értelmezette ell leie, tehát D A feladatot így fogalmazzu meg: taulmáyozzu, hogy amior özeledi -hoz, f ( ) özeledi-e f ( ) -hoz Potosabba, egy tetszőleges sorozatot véve, ahol D, taulmáyozzu, hogy az ( f ( )) sorozat tart-e az f ( ) számhoz? Figyeljü meg, hogy ebbe az utolsó megfogalmazásba a feladata aor is va értelme, ha az értelmezési tartomáya em torlódási potja (de D-e eleme) Valóba, ha D, aor midig va olya sorozat, például az =, ha, amely tart az számhoz és amelyre D Ha em torlódási potja D-e, aor ez az egyetle sorozat, amely tart -hoz és D Az előbbi sorozat f = f, ha és lim f = f eseté ( ) ( ) 4 Folytoos függvéye értelmezései Értelmezés Legye f : D és D Az f függvéyt az potba folytoosa modju, ha mide, D sorozatra lim f ( ) = f ( ) Megjegyzés A feti értelmezésből övetezi, hogy az értelmezési tartomáy izolált potjaiba a függvéy midig folytoos A határérté értelmezése alapjá a övetező ritériumot haszálhatju: ε δ-s ritérium Az f : D f függvéyt az D potba folytoosa modju, ha bármely ε > számhoz létezi olya δ > szám, hogy ha < δ és D, aor f ( ) f ( ) < ε (ha izolált pot, aor találu olya δ -t, amelyre az pot δ -yi öryezetébe a D halmaza csa egy eleme va, az ) Példá 3 Folytoos-e az = potba az f :, f ( ) = függvéy? Az értelmezés alapjá vizsgálju először azt, hogy igaz-e hogy ha lim =, ( ) 3, aor az f = sorozatoa va határértéü és a határérté f () lim f = lim = lim = lim = 7 = f Tehát a függvéy folytoos a potba az értelmezés szerit

2 Folytoos függvéye 9 A értelmezés alapjá hasoló módo döthetjü el, hogy f folytoos-e a potba: Rögzítsü egy ε > számot ha f f = = = ( ) f f = 4 < 4 < ε, ε ε ε ε < < = = 4 mi 4 6 ( ) ( ) f ( ) ε Mivel mide ε > eseté létezi a δ = > valós szám, úgy, hogy 6 f f < ε ha < δ, a függvéy folytoos az = potba Az f :, ( ) si f = függvéy folytoos mide potba Valóba, f ( ) f ( ) = si si = si cos, tehát f f ε = si si < igaz, ha függvéy folytoos az potba, a értelmezés szerit 3 Előfordul az, hogy y a függvéy em folytoos valamilye potba Az értelmezés alapjá, az f függvéy az D potba potosa aor em folytoos, ha létezi olya ( ) D sorozat, lim f f amelyre ε δ δ ( ) ε < δ = ε Vagyis a ábra Ez lehetséges úgy is, hogy az ( f ( )) sorozata ics határértée, de úgy is, hogy a határértée em f ( ) A jobb és baloldali határértée figyelembe vételével még több eset lehetséges, mert előfordulhat, hogy a jobb és bal oldali határértée léteze, de em egyelő egymással vagy az f ( ) -val Azoat az D potoat, amelyebe az f : D függvéy em folytoos az f szaadási potjaia evezzü Az előbbie alapjá a szaadási pot fogalma az f függvéye több ülöböző viseledési módját türözi Eze özül az esete özül éháy fotos lesz a függvéye további taulmáyozásába, ezért ülö megevezéssel látju el őet Értelmezés Az D potot, amelybe az f : D függvéye létezi a jobb- és a baloldali határértée és eze végese, de a függvéy em folytoos elsőfajú szaadási pota evezzü Az összes többi szaadási potot másodfajú szaadási pota evezzü

3 9 Folytoos függvéye Vizsgálju meg a övetező függvéye folytoosságát, szaadási potjaia természetét:, ha > ;,ha ; a) f :, f ( ) = sg =, ha = ; b) f :, f ( ) =, ha =, ha < si, ha ;,ha > ; c) f3 :, f3 ( ) = d) f4 :, f4 ( ) =, ha =, ha Megoldás a) Az f függvéy az pot -t em tartalmazó öryezetébe ostas, tehát folytoos ebbe a potba Az = potba li m f( ) = és < lim f( ) =, tehát a függvéye ics határértée ebbe a potba Így az = > potba az f függvéy em folytoos Mivel a jobb- és baloldali határérté véges, ez a pot elsőfajú szaadási pot b) Az f függvéy az pot -t em tartalmazó öryezetébe elsőfoú, tehát folytoos Ha =, aor lim f ) = lim =, tehát a határérté létezi Ez a ( határérté azoba em egyelő a behelyettesítési értéel, tehát a függvéy em folytoos -ba Az = pot az f függvéy elsőfajú szaadási potja c) Mivel em létezi a limsi határérté (találu ét olya -hoz tartó sorozatot, amelyere a függvéyértée sorozata ülöböző határértéehez tart; ilyee például az = és y =, sorozato) a függvéy em folytoos -ba és az = pot másodfajú szaadási potja A -tól ülöböző potoba a függvéy folytoos a határértée tulajdoságai alapjá d) Mivel lim = és lim f4 ( ) = a függvéy em folytoos -ba és másodfajú szaadási potja va, mert a jobboldali határérté em véges 3 4 Az f ( ) =, f : függvéy folytoos az = potba, mert 3 3 ( ) ( ) = = <, ha f f ε ε ε ε ε 4 < < = = = ε mi ( ) ε f f < ε, ha <, tehát a függvéy folytoos az 3 potba A fetie alapjá =

4 Folytoos függvéye 93 Megjegyzés Gyara találozu olya függvéyeel, amelye bizoyos pottól jobbra és balra ülöböző törvéyel értelmezette Az ilye függvéye folytoosságáa taulmáyozására a határérté jobb- és baloldali határértée segítségével adott jellemzését haszálju Eszerit igaz a övetező állítás: Az f :[ a, b] függvéy potosa aor folytoos az (,) a b potba, ha 4 Gyaorlato lim f ( ) = lim f( ) = f ( ) < > Vizsgáld meg a övetező függvéye folytoosságát az adott potoba: 3 f :[,], f ( ) =, =,, 4 f :[ 3, 4], f ( ) =, =,, - f ( ) { } [ ] 3 f :, jelöli, { } pedig a szám törtrészét = =, 4 Milye potoba folytoos a tg függvéy? 5 ( ),ha f =, =,, -, ha =, ha egész szám 6 f ( ) =, =,,, ha em egész szám 3 f ( ) 7 f :, =, =, 3 =,,, ahol [ ] az szám egészrészét 8 f :, f ( ) = si cos, =,, 3 9 f :[, ], f ( ) =, =, Adott az f :, f ( ) = függvéy Igazolju, hogy a, \ függvéy egyetle potba sem folytoos Legye f : egy folytoos függvéy, amelyre f r = f ( r ) mide r racioális számra és mide -ra Határozzu meg az összes ilye függvéyt!

5 94 Folytoos függvéye 43 A Cauchy-féle függvéyegyelet Feladat Határozd meg az eseté Az ( ) -es egyeletből eseté az f : folytoos függvéyt, ha mide, y f ( y) = f ( ) f ( y) ( ) = y= f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( egyelőséghez jutu, tehát f ( ) = = y eseté ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( ) f f f f f Teljes iducióval igazolju, hogy ha, Tételezzü fel, hogy aor f = f -re igaz és mutassu meg -re is teljesül = = = ) Valóba f (( ) ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) Továbbá = = = = ( ) ( ( )) = f = f = f f, tehát, f ( ) = f ( ) Ha aor f (( ) ) f ( ) f ( ) f ( ) Ezért mide és Ha m, m,, Ez azt jeleti, hogy ha Ez alapjá = = = eseté f = f >, aor m m m f = f m = f = f m m f = f ( ) és f r = r f r aor r eseté f ( r) = r f() A továbbiaba igazolju, hogy az előbbi egyelőség irracioális racioális számoból álló olya ( ) folytoosságát felhaszálva r eseté is igaz Ha α, aor válasszu r sorozatot, hogy lim r = α Eor az f ( α) () α () f = lim f r = lim r f = lim r f = f Tehát f ( α) = α f () mide α eseté Így ( ) () f = m, ahol m= f Megjegyzés Az () egyeletet Cauchy-féle függvéyegyelete evezzü A özépisolába taulmáyozott fotosabb függvéye (poliomo, epoeciális, logaritmus, trigoometrius) függvéye értelmezhető, mit valamilye függvéyegyelet folytoos megoldásai Általába ezee a függvéyegyeletee a megoldása visszavezethető a Cauchy-féle függvéyegyeletre Kimutatható, hogy az egyelete végtele so olya megoldása is va, amelye em folytoosa (eze egy potba sem folytoosa), a bizoyítás meghaladja a taöyv ereteit,

6 Folytoos függvéye Művelete folytoos függvéyeel Amior valamely függvéy folytoosságát vizsgálju, előfordulhat, hogy egyszerűbb függvéye folytoosságát ismerve, a tárgyalt függvéye folytoosságára öveteztethetü Például az f ( ) = si cos függvéy folytoos-e? Már tudju, hogy a si és cos függvéy mide potba folytoos, övetezi-e ebből, hogy az összegü is folytoos? Feladat Vizsgálju meg, hogy ha az f és g függvéy az potba folytoos, aor az f g függvéy folytoos-e az -ba! Megoldás Meg ell vizsgálu, hogy ha, aor övetezi-e, hogy ( f g)( ) = f ( ) g( ) f ( ) g( ) Az f és a g az potba folytoos, tehát ha lim = aor lim ( ) = ( ) f f és lim g ( ) = g( ) sorozatoál láttu, hogy a ét overges sorozat összege is overges és lim f ( ) g( ) lim f ( ) lim g( ) f ( ) g( ) ( f g)( ) = = = Tehát lim ( f g)( ) = lim f ( ) lim g( ) = f ( ) g( ) = ( f g)( ), vagyis az f g függvéy is folytoos Hasoló godolatmeet alapjá belátható, hogy ét folytoos függvéy szorzata, háyadosa (ha a evező em ) és összetett függvéye is folytoos A függvéyhatárértéeél megoldott feladato alapjá azt is állíthatju, hogy egy bijetív és folytoos függvéy iverze is folytoos (lásd a 76 oldalo levő megoldott feladatot) Ezeet a tulajdoságoat a övetező tétel foglalja össze Tétel Legye f, g : D ét függvéy és D a) Ha az f és a g függvéye folytoosa az potba, aor az f g függvéy is folytoos az potba b) Ha az f és a g függvéye folytoosa az potba, aor az f g függvéy is folytoos az potba c) Ha az f és a g függvéye folytoosa az potba és g( ), aor az f g függvéy is folytoos az potba d) Ha az f : D E függvéy folytoos az D potba és a g: E függvéy folytoos az y = f ( ), y E potba ( D és E ), aor a g f összetett függvéy folytoos az potba e) Ha az f : D és a g: D függvéye folytoosa az potba, aor az u: D u ( )= [ ( ) g függvéy is folytoos az potba Sajátos esete Ha az f : D E függvéy folytoos az D potba, aor a övetező függvéye is folytoosa az D potba: f ] ( ) A

7 96 Folytoos függvéye a) g : D, g( ) = a f ( ), ahol és a > a b) h: D, h( ) = log a f( ), ahol f( ) >, > és a >, a c) : D, ( ) = si f( ) A sziusz függvéy helyett tetszőleges trigoometrius alapfüggvéyre is igaz a tulajdoság ( cos,tg,ctg,arcsi,arccos,arctg,arcctg ) Megjegyzés A Függvéye határértée című fejezetbe láttu, hogy a poliomfüggvéye, az epoeciális, logaritmus és trigoometrius függvéye valamit eze iverzei mid folytoosa (lásd a megoldott feladatoat) A továbbiaba ezere a függvéyere és az ezeből összeadás, szorzás, osztás, hatváyozás, összetevés útjá előállítható függvéyere elemi függvéyét hivatozu az előbbie alapjá az elemi függvéye folytoosa az értelmezési tartomáyuo Gyaorlato és feladato Mely potoba folytoos az f :, f ( ) =, függvéy? Folytoos-e az f ( ) = si cos függvéy az = és az = potoba? f ( ) 3 a) Igazold, hogy ha az f függvéy az potba folytoos és az f függvéy is folytoos az potba b) Igazold, hogy ha f és g függvéy folytoos az aor a f g függvéy folytoos az potba potba és ( ), aor g, 4 Hol folytoosa a övetező függvéye? a) f : \ { }, f ( ) = ; b) f :, f ( ) = ; si c) f : \ {,}, f ( ) = ; d) f :, f ( ) = ma ( si, cos ) ; 5 Bizoyítsd be, hogy ha az f függvéy az potba folytoos aor f is folytoos az potba! 6 Igaz-e az előbbi állítás fordítottja? 7 Taulmáyozd a övetező függvéye folytoosságát:, ha a) f ( ) = ; b) f :, f ( ) = ( ) 3 ;, ha <, ha c) f ( ) = cos cos ; d) f ( ) =, ha < ; 3,ha <

8 Folytoos függvéye 97,ha =, ha = e) ( ) ( ) f ; f) ( ), g) f( ) = ; h) 3, \ 8 Igazold, hogy az f :, [ ), ( ) tartomáy mide potjába 9 Határozd meg az ( ) ( ) <, ha f =, ha = ; 4 > ( ), ha, f( ) = 3, \ f = függvéy folytoos az értelmezési f = összefüggéssel értelmezett függvéy maimális értelmezési tartomáyát és igazold, hogy az értelmezési tartomáy mide potjába folytoos Határozd meg a övetező függvéye szaadási potjait: a) f :, f ( ) = lim ; b) f :, f ( ) = lim ; e c) f :, f ( ) = lim ; d) f :, f ( ) = ma (, ) e Hol folytoosa a övetező függvéye? a) f :, f az valós szám egészrésze b) f :, ( ) = [ ], ahol [ ] f ( ) = { } = [ ], ahol { } az valós szám törtrésze Határozd meg azoat az f :, az = potba folytoos függvéyeet, amelyere ( ) ( ) f f =, mide eseté 3 Határozd meg az f : függvéyeet, ha f ( y) y f ( ) = ( y) f ( ) f ( y) igaz mide, y eseté Háy folytoos függvéy va a megoldáso özött? 4 Az f, g: periodius függvéyere lim f g = f = g Bizoyítsd be, hogy a ét függvéy egyelő ( ) 5 Határozd meg az összes f : (, ) f = f, mide = (, ) eseté folytoos függvéyeet, amelyere 6 Határozd meg az f :(,) folytoos függvéyeet, amelyere y f ( ) f ( y) = f y, mide, y (, ) eseté

9 98 Folytoos függvéye 45 Itervallumo folytoos függvéye Értelmezés Az f függvéyt folytoosa evezzü az I itervallumo, ha az I mide potjába folytoos A függvéyről azt modju, hogy folytoos, ha az értelmezési tartomáyáa mide potjába folytoos Megjegyzés Az előbbi paragrafus tételéből övetezi az alábbi tétel: Tétel a) Ha az f : D és g: D függvéye folytoosa, aor az f g: D, ( f g)( ) = f( ) g( ), D függvéy is folytoos b) Ha az f : D és g: D függvéye folytoosa, aor az f g: D, ( f g)( ) = f( ) g( ), D függvéy is folytoos c) Ha az f : D és g: D függvéye folytoosa és f f( ) g( ), D, aor az ( ) =, D függvéy is folytoos g g( ) d) Ha az f : D E és a g: E függvéy folytoos ( D és E ), aor a g f : D összetett függvéy is folytoos e) Ha az f : D E függvéy folytoos és bijetív ( D, E itervallumo), aor az f : E D iverz függvéy is folytoos f) Ha az f : D és a g: D függvéye folytoosa, aor az ( ) u: D u = f( ) g ( ) függvéy is folytoos Sajátos esete Ha az f : D E függvéy folytoos, aor a övetező függvéye is folytoosa: f ( ) a) g : D, g( ) = a, ahol a > és a b) h: D, h( ) = log a f( ), ahol f( ) >, > és a >, a c) : D, ( ) = si f( ) f [ ] f ( ) =, az [, ] 3 P f :,4 [ ], f ( ) =, az I = [, 4] ; Példá P :,, I = ; P3 f :, [ ], f ( ) =, az I = [, ] ; P4 f :(,), f ( ) =, az I = (, ) Az általu tárgyalt függvéye dötő többsége egy-egy itervallumo vagy azo egyesítésé va értelmezve és folytoos Ha megfigyeljü, e függvéye grafiojait, aor éháy özös tulajdoságot veszü észre Az [ a, b zárt itervallumo ahol a, b értelmezett függvéy orlátosa látszi A grafioo folytoos voala; úgy tűi, hogy ha folytoos egy függvéy és felvesz ét ülöböző f < f értéet, aor mide özbülső értéet is felvesz Természetese a grafioból az ilye tulajdoságoat csa sejtei lehet A szemléletből vett öveteztetéseet midig alaposa meg ell vizsgáli ]

10 Folytoos függvéye Bolzao tétele és a Darbou-féle tulajdoság BERNARD BOLZANO (78-848) a solasztius filozófiába járatos atolius pap volt Egyie volt a legelsőe, ai a szigorúság moder fogalmát bevezette a matematiai aalízisbe Felismerte, hogy a folytoos függvéyere voatozó számos, látszólag yilvávaló állítást igazoli ell, ha azt aarju, hogy teljes általáosságba érvéyes legye Ilye például a övetező három tulajdoság: Folytoos függvéy mide itervallumot itervallumba épez Ez potosabba a övetezőéppe fogalmazható meg: Ha az f :[ a, b] függvéy folytoos,, [ ab, ], < ét tetszőleges érté és f ( ) = y, f ( ) = y, aor bármely y [ y, y ] eseté létezi olya [, amelyre f ( ) = y [ ] (vagy y y, y ), ] f a b [,] ab -be pozitív és [ ab, ]-be Ha az :[, ] folytoos függvéy egatív értééeet vesz fel, aor létezi olya c [, ], amelyre f() c = 3 Zárt itervallumo értelmezett folytoos függvéy épe zárt itervallum A másodi tulajdoság az első sajátos esete A továbbiaba láti fogju, hogy az első tulajdoság is övetezi a másodiból Azt is láti fogju, hogy az tulajdoság em a folytoos függvéye jellemző tulajdosága (léteze olya függvéye, amelye em folytoosa és mégis redeleze az tulajdosággal) Azoat a függvéyeet, amelye teljesíti az tulajdoságot Darbou tulajdoságú függvéyee evezzü A termiológia rögzítése céljából a övetező értelmezést adju: Értelmezés Az f :[ a, b] függvéyt Darbou tulajdoságúa evezzü ha, [ ab, ], < és bármely y ( y, y ) (vagy y ( y, y ) f ( ) = y és f ( ) = y, létezi olya (, ), amelyre f ( ) y bármely ) eseté, ahol = Megjegyzés Ez az értelmezés evivales azzal, hogy az f függvéy az [ ab, ] értelmezési tartomáy mide részitervallumát itervallumba épezi Példa Bizoyítsu be, hogy az f :, f( ) = függvéy Darbou tulajdoságú Ha és y,, aor az y, itervallumba, ( ) = az ( ) va, tehát f Darbou tulajdoságú Először a tulajdoságot igazolju A potosság edvéért tételét is ijeletjü Tétel Ha az :, függvéy folytoos a< b és f ( a) f ( b) <, aor f [ a b] ( ) va olya c ( a, ) pot, amelyre b ( ) f c = Bizoyítás Feltételezhetjü, hogy ( ) f a < Teitjü a H = { [ a, b] f( ) < } halmazt Ez a halmaz orlátos, mert része az [ ab, ] itervalluma és em üres, mert a H A felső határ aiómája szerit létezi s = sup H Bizoyítju, hogy f( s ) = és a< s< b A feltétele alapjá létezi olya ε > szám, amelyre

11 Folytoos függvéye f( a) ε < < f( b) ε Az f folytoossága alapjá lim f ( ) = f ( a ) és a lim f ( ) = f ( b ), tehát a határérté értelmezése alapjá létezi olya δ ( ε ) > valós b szám, hogy f ( ) < f( a) ε < < f( b) ε < f( y), ha a< < a δ ( ε ) és b δ ( ε) < y< b Ez biztosítja, hogy a< s< b Teitsü az f ( s ) számot Ha f() s <, aor az f függvéy s -beli folytoossága alapjá létezi δ > úgy, hogy ( δ δ ) f( ) <, s, s és így H -ba va s -él agyobb elem is Ez elletmodás, tehát f( s) Másrészt, ha f( s ) >, aor szité az s -beli folytoossága alapjá létezi f függvéy δ > úgy, hogy f( ), ( s δ, s δ ) > Ez viszot azt jeleteé, hogy H -a va s -él isebb felső orlátja is Mivel ez is elletmod s megválasztásáa, az egyetle lehetőség az, hogy f( s ) = Ebből a tételből levezethetjü az tulajdoságot Ezt is megfogalmazzu tétel formájába: Tétel Ha az [ ] Bizoyítás Rögzített, [ ab, ] és y f, f eseté teitjü a g:[ a, b], g ( ) = f( ) y folytoos függvéyt g( ) = f ( ) y < és g( ) = f ( ) y >, tehát az előbbi tétel alapjá létezi olya (, ) érté, ( ) ( amelyre g = f ) y = Ebből övetezi, hogy f Darbou tulajdoságú si, Példa Bizoyítsu be, hogy az f : [,], f( ) = függvéy a, = a [,] < < < < f, itervallumo folytoos, tehát az itervallum épe itervallum Ha < vagy <, aor a z, =±, és z, = ±, sorozatoba megválaszthatju az előjeleet úgy, hogy a ét sorozat tagjai (, ) -től ezdődőe a vizsgált itervallumba legyee Így, f, f z, =,,, ] f : a, b függvéy folytoos, aor Darbou tulajdoságú Darbou tulajdoságú bármely eseté Bizoyítás Ha vagy aor az függvéy az [ ] [ ] ([ ] ) ([ z ]) [ ] tehát az [ itervallum épe a [,] itervallum ( a -tól függetleül) Mivel más eset em lehetséges a függvéy mide itervallumot itervallumba traszformál és így Darbou tulajdoságú

12 Folytoos függvéye Megjegyzése A tétel grafius értelmezése a övetező: Az Aa (, f( a )) tegely alatti potot összeötő folytoos voal a (, ( )) O B b f b tegely feletti pottal, legalább egy helye ( c pot) metszi az O tegelyt (lásd a 3 ábrát) A 4 ábrá látható, szaadásos függvéy esetébe az előbbi tétele em igaza, ha > Az f :, f ( ) = függvéy em redelezi egyi tétel által, ha biztosított tulajdosággal sem y fb ( )> Bb (, fb ( )) y O O fa ( )< A( a, f( a)) 3 ábra 4 ábra 45 Weierstrass tétele a szélsőértée létezéséről Az előbbi paragrafusba említett 3 tulajdoság KARL WEIERSTRASS (85-897) evét viseli Tétel Ha az :, függvéy folytoos az I = a, b zárt itervallumo ( a b) f [ a b] [ ] <, aor létezi az I itervallumba legalább egy c pot, ahol az f függvéy a legagyobb M értéét, és egy mási ( ) = = ma ( ) ; ( ) f c M f [ a, b] c pot, ahol a legisebb m értéét veszi fel [ a, b] ( ) f c = m= mi f Megjegyzés A tulajdoságot a övetezőéppe fogalmazhatju meg: Zárt itervallumo értelmezett folytoos függvéy eléri határait Bizoyítás Igazolju, hogy a függvéy épe orlátos halmaz Ha em vola az, aor léteze olya y f sorozat, amelye a határértée vagy Erre a sorozatra létezi egy Mivel az ( ) ( ) Im ( ) [ ab, ] sorozat úgy, hogy f ( ), y sorozat orlátos, létezi ( ) ee a határértéét l -el Az f függvéy folytoossága alapjá lim ( ) = overges részsorozata Jelöljü f = f( l)

13 Folytoos függvéye ( ) Ez viszot elletmodás, mert az f ( ) sorozat az ( ) y sorozat egy részsorozata és így a határértée em véges Mivel a függvéy épe em lehet üres halmaz az alsó és felső határ aiómája alapjá létezi a M = sup Im f és a m= if Im f valós szám Bizoyítju, hogy M, m Im f A szuprémum értelmezéséből övetezi, hogy létezi olya ( ) [ ab, ] sorozat, amelyre lim f ( ) = M Mivel az ( ) [ ab, ] sorozat orlátos, ezért létezi overges részsorozata és így M eze részsorozat határértéée f -beli épe Hasolóéppe látható be az is, hogy m Im f 46 Megoldott feladato [ ] [ ] ( ) = ϕ :, [ ] Bizoyítsd be, hogy ha az f :,, függvéy folytoos, aor létezi [ ] olya,, amelyre f ( -t evezzü a függvéy fipotjáa) Bizoyítás Értelmezzü a, ϕ = f segédfüggvéyt A folytoos függvéyeel végezhető művelete tulajdoságai alapjá ez a függvéy is folytoos a [, itervallumo Ha, aor vagyis és találu ] ϕ ( ) = f ( ) = f ( ) = ϕ ( ) f ( ) f ( ) ( ) = ϕ ( ), ϕ ( ) > ϕ ( ) < (, ) ϕ ( ) = ( ) = f ( ) egy fipotot (éppe ) Ha, aor az -re tett feltevés miatt ϕ = > ϕ, aor f, az fipot; ha aor ϕ = f < = Összegezve a ϕ a [ ] itervallumo folytoos függvéy,,, ezért Ha ( ) = a Bolzao-tétel szerit va a és özött olya, hogy, ami azt jeleti, hogy f vagy, tehát fipotja a függvéye = y M(, ) 5 ábra O Igazolju, hogy mide páratla foú valós polioma (egyelete) va f ( ) legalább egy valós gyöe, tehát az = a a a = egyelete va valós gyöe Valóba, mivel Továbbá lim f lim f ( ) ( Bolzao-tétel alapjá létezi ( ) = ( ) ) = =, ezért a függvéy felvesz pozitív értéeet is A =, a függvéy felvesz egatív értéeet is ( ) úgy, hogy f = vagyis az egyelet gyöe

14 Folytoos függvéye 3 f [ ] f ( ) = si függvéy folytoos a [, ] 3 Az :,, itervallumo Határozzu meg a függvéy épét Mivel si, itervallumo, ezért si és hozzáadva - a [ ] et si 3 vagyis f ( ) 3, ezért ma f ( ) = 3 = f [, ] és mi f = = f = f Mivel f folytoos a miimuma és a maimuma özött [, ] ( ) mide értéet felvesz Így a függvéy épe Im f = f ([, ]) = [, 3] 4 Bizoyítsu be, hogy ha az f :[ a, b] függvéy folytoos, f ( a) = f ( b) és ( a, b) eseté f ( ) f ( a), aor tetszőleges < l < b a szám eseté va a függvéy grafiojáa l hosszúságú, O tegellyel párhuzamos húrja Legye l b a a, b l itervallumo értelmezzü a h függvéyt a övetező módo: < < Az [ ] h( ) = f ( l) f ( ) A feltevése szerit h( a) = f ( l a) f ( a) és hb ( l) f( b) f( b l) = Ha a ét egyelőtleség özül valamelyibe egyelőség va aor észe h a > és hb l < ) vagyu; ha ics egyelőség aor a Bolzao-tétel szerit ( ( ) va olya ( ab l), hogy h( ) =, azaz f ( l) f ( ), jeleti, hogy a függvéy grafius épée va egy párhuzamos húrja y ( ) = Ez pedig azt l hosszúságú, O tegellyel Aa (, fa ( )) Bb (, fb ( )) l a O b 6 ábra 5 Az f : függvéy eleget tesz az alábbi ét feltétele: ( ) mide, y eseté f ( ) f ( y) ( y) ( ) az f függvéy folytoos az halmazo Igazolju, hogy f bijetív függvéy, ahol > ;

15 4 Folytoos függvéye I így f ( ) f ( ) hogy f ( ) f ( ) < eseté f ( ) f ( ) ( ) < Ha < Tehát bármilye ami azt jeleti, hogy az f függvéy ijetív <, tehát f ( ) f ( ) > aor f ( ) f ( ) ( ) eseté (, ) f ( ) f ( ) < és <, ami azt jeleti, II Az ( ) -es feltétel alapjá f ( ) y f ( y) eseté lim f ( ) =, mert lim ( y f ( y) ) = Az ( ) -es feltétel alapjá f ( y) y f ( ) feltétel alapjá létezi lim f ( y) =, mert lim ( y f ( ) ) y, Rögzített y és Rögzített eseté az előbbi y = Az előbbi tulajdoság és a másodi feltétel alapjá f ( ) a és özött mide értéet felvesz, tehát a függvéy szürjetív 6 A folytoos függvéy előjelée taulmáyozása Ha az f függvéy folytoos az I itervallumo és f ( ), bármilye I eseté, aor f ( ) álladó előjelű (előjeltartó) az I itervallumo ( ) f ( c ) = Valóba, ha feltételezzü, hogy em előjeltartó aor létezi a, b I úgy, hogy f a < és f ( b ) >, amiből adódi, hogy létezi c az a és b özött úgy, hogy, ami elletmod a feltevése Ezt a tulajdoságot alalmazzu a függvéy előjelée a taulmáyozására Potosabba, legye f : I folytoos függvéy, amelye az I itervallumo véges so gyöe va Jelöljü ezeet,,,,,, -el (övevő sorredbe) Mivel az I = (, ) itervallumo az ( ) gyöe, az - f ( ) = f = egyelete ics I f előjeltartó Hasolóa -től balra és -től jobbra is igaz, hogy az egyelete ics gyöe, tehát itt is előjeltartó (álladó előjelű) Ahhoz, hogy megtudju az előjelet állapítai, iszámítju egy helye a függvéyértéet 3 Taulmáyozzu az f :, f ( ) = 6 6 függvéy előjelét Mivel f ( ) = ( )( )( 3) mide eseté, az ( ) gyöei =, =, 3 = 3 Így a függvéy előjeltartó az (,) I = ( 3) ; I = ( ) itervallumoo 3, 4 3, f = egyelet ( ) I = ; I =, ; 3 f ( ) lim f ( ) =, f 3 39 = 8 >, f 5 3 = 8 <, lim f ( ) =

16 Folytoos függvéye 5 7 Határozzu meg azoat az f : függvéyeet, amelyere teljesüle a övetező feltétele: ( ) f f ( y) = y f mide, y eseté; ( ) f ( ), ha Megoldás Az ( ) (XXIV Nemzetözi Matematiai Olimpia feladata) összefüggésből y = eseté apju, hogy f ( f ( ) ) = f ( ) = f ( ) f ( b) Ez azt jeleti, hogy b a függvéy fipotja, vagyis = b Legye a az f függvéy egy tetszőleges fipotja Igazolju, hogy a = Ha eseté elfogadju, hogy f ( a ) = a aor ( ( )) ( ) f a = f a a = f a f a = a f a = a a=a a ( ) ( a) f ( a) ( f ( a) ) = f ( ) ; mivel a az a a f ( ) Ezért az összes számo szité fipoto Továbbá a= f = = = f a = egyelőségből övetezi, hogy f () = Másrészt a f = f f ( a ) = f a = f () =, ahoa a a a f = Végül, hasoló godolatmeet alapjá apju, hogy f = Így az a a a a összes a alaú szám fipotja a függvéye A -es feltételből ( ) ( ) övetezi, hogy a =, mert elleező esetbe szeresztheté olya = a ± sorozatot, amely a végtelehez tart és amelyre a behelyettesítési értée sorozata is végtelehez tart Ezért mide eseté apju, hogy f ( ) =, ahoa 8 Bizoyítsu be, hogy az f ( ) =, > itervallumo potosa egy valós gyöe va Ha =, egyelete az [, ] α -el jelöljü ezt a gyööt, igazolju, hogy az ( α ) sorozat overges és számítsu i a határértéét! Megoldás Teitsü az f :, [ ], f ( ) f ( ) = < és f ( ) > vagyis f ( ) > Az f ( ) [, ] itervallumo Több gyö ics, mivel az és ez a gyö α = t, ( < α < ), ahol >t Eor = ( t ) ( t ) = ( t ) [ t ] = t ( t ) = függvéyt folytoos, tehát va gyö az f szigorúa övevő Legye > Alalmazva a Beroulli egyelőtleséget, apju, hogy

17 6 Folytoos függvéye redezés utá t alapjá övetezi, hogy = t t t t, ( ) t t 4 3 t < = Mivel lim =, a fogó tétel ( redőrelv ) alapjá limt = Azt aptu tehát, hogy ( α ) sorozat overges és limα = 9 Va-e olya folytoos függvéy, amely ivertálható és amelye az iverze em folytoos? Megoldás Adu példát ilye függvéyre Teitsü egy E halmazt, amely em itervallum: például E = (, ) { } (, ) és f : E függvéyt, amelyet így értelmezzü:, ha < f ( ) =, ha =, ha > Ez a függvéy szigorúa övevő és folytoos (az = pot izolált pot és ezért itt folytoos) Köyű beláti, hogy ivertálható és az f : E függvéy: Ez a függvéy az, ha < f ( ) =, ha =, ha > = potba em folytoos 47 Gyaorlato és feladato Taulmáyozd a övetező függvéye folytoosságát: 3, a) f :, f( ) = ; (Érettségi, 989) 3, = b) f :(, ), c) f :,, ( ] e l,, f( ) = ;, > 3 si f( ) =, ;, =

18 Folytoos függvéye 7, d) f :, f( ) = ;, = 3, e) f :, f( ) = ; 4 3, \ cos e f) f :, f( ) = lim ; (Felvételi, 99 Galaţi) e ( 5) g) f :, f( ) = lim ( 5) Határozd meg az a valós paraméter értéét úgy, hogy az alábbi függvéye folytoosa legyee (ülö-ülö): a) f :, ( ) ( ) si f = e, ; a, = b) 3 a, (, a] f :, f( ) = ; 3 a, ( a, ) c) e a( ) e f :, f( ) = lim ; e e (Felvételi, 977 Galaţi) 3 e, [,] d) f :, [ ], f() = si ( ) (Felvételi, 996 Buarest) a, (, ] Igazold, hogy a övetező függvéye redeleze a Darbou tulajdosággal: si, ha si, ha a) f ( ) = ; b) f ( ) =, ha =, ha = 4 Igazold, hogy a övetező függvéye em Darbou tulajdoságúa:, ha > e,ha< a) f ( ) = ; b) f ( ) =, ha =, ha, ha < 5 Bizoyítsd be, hogy az f :, 3, f( ) =, \ függvéy em Darbou tulajdoságú és határozd meg az összes olya itervallumot, amelye épe is itervallum! 6 Igazold, hogy az = egyelete va pozitív gyöe 7 Bizoyítsd be, hogy az = cos egyelete va gyöe 8 Va-e valós megoldása a 4 3 = 5 8 egyelete? 9 Taulmáyozd az alábbi függvéye előjelét:

19 8 Folytoos függvéye f ( ) f ( ) ( 5 6) l( ) a) :,, b) f : (, ), f ( ) c) :,, = ; = ; f [ ] f ( ) = si cos 3 f : f ( ) = 3 d), ; e) f :, f e = ; Igazold, hogy az f : (, ), f ( ) iverze f :(,) folytoos függvéy ; = függvéy ivertálható és az Határozd meg az összes f :, [ ] folytoos függvéyt, amelyre f ( f ( ) ) = f ( ) mide [, ] eseté Bizoyítsd be, hogy ha az f : I függvéy Darbou tulajdoságú, aor ics elsőfajú szaadási potja 3 Bizoyítsd be, hogy ha az f : I függvéy ijetív és folytoos, aor szigorúa mooto 4 Bizoyítsd be, hogy ha f : I mooto és az Im f = f ( I) halmaz itervallum, aor az f folytoos 5 Bizoyítsd be, hogy ha az f :[ ab, ] [ ab, ] függvéy Darbou tulajdoságú és véges so szaadási potja va, aor va legalább egy fipotja 6 Határozd meg az f :(, ) folytoos függvéyeet ha f ( y) = f ( ) f ( y), y, > f : ab, ab, függvéy folytoos, aor 7 Bizoyítsd be, hogy ha az [ ] ( ) bármely 3 természetes szám eseté létezi olya haladváy, amelyre f ( c ) = = = c c = a b számtai,, (Megyei olimpia, Da Ştefa Mariescu) 8 Az f :, folytoos függvéyre igaz a övetező állítás: Tetszőleges ( ) valós számsorozat potosa aor overges, ha az f ( ) sorozat is overges Bizoyítsd be, hogy az f függvéy em orlátos (Megyei olimpia) ( ) 9 Bizoyítsd be, hogy az = l egyelete egyetle pozitív gyöe va Ha -el jelöljü ezt a gyööt, számítsd i a lim határértéet! (Megyei olimpia, Cristiel Mortici) f :,, folytoos függvéyt, amelyre Határozd meg az összes [ ) [ ) f( f( )) f( ) =, [, ) (Dorel Miheţ)

20 Folytoos függvéye 9 48 Egyeletes folytoosság Értelmezés Az : f D ( ) D függvéy egyeletese folytoos a D halmazo, ha bármilye ε > -ra létezi δ ( ε ) > úgy, hogy bármilye, D, δ ( ε) f f < ε egyelőtleség Megfigyelhetjü, hogy ha az f függvéy a D halmazo egyeletese folytoos aor eze a halmazo folytoos is Léteze függvéye, amelye folytoosa, de em egyeletese folytoosa Példá Mutassu meg, hogy az f ( ) = függvéy folytoos a (, ) itervallumo, de em egyeletese folytoos A folytoosság a (, ) itervallumo világos Nem egyeletese folytoos, < eseté feáll az mert ha és isebbe mit ε, ahol ε > és elég icsi, aor agyobba mit ε ( agyo agy szám ) és ezért ( ), tehát a folytoossága em egyeletes Az f :, ( ) és f f = > ε, f = si az -e folytoos, de em egyeletese folytoos Valóba, ha = ( ), = ( ) aor = ( ) ( ) és az f ( ) f ( ) = si( ) si ( ) =, tehát em lehet tetszőlegese icsi szám, ami azt jeleti, hogy az f függvéy em egyeletese folytoos az -e 3 Mutassu meg, hogy az f :, f ( ) = si függvéy bár em orlátos, egyeletese folytoos az egész számtegelye f ( ) f ( ) = ( ) si cos = si si = cos cos = < ε, ( )

21 Folytoos függvéye ε ha < = δ ( ε ) Tehát az f függvéy egyeletese folytoos Tétel (Cator tétele, Heie-tétel éve is emlegeti) Zárt itervallumo folytoos függvéy egyeletese folytoos eze az itervallumo a, b Bizoyítás A tételt idiret úto igazolju Tegyü fel, hogy f az [ ] itervallumo em egyeletese folytoos Ez azt jeleti, hogy létezi olya ε szám, hogy mide δ eseté találju olya s, t [ a, b] számoat, amelyere ( 3 ) s t < δ és tehát A jelöljü olya f s f t ε δ szám tetszőlegese megválasztható, bármely -e Az száma a ( ) eseté vehetjü 3 feltétel alapjá megfelelő s, illetve t értéet -el, illetve -el Így azt apju, hogy bármely eseté létezi, [, ] y y a b, amelyere Mivel [ a, b ] részsorozata Legye f f c ε l y < és f ( ) f ( y) ε sorozat orlátos Ezért va overges, az ( ) l c= lim, ahol c [ a, b] Ezért <, mivel ( ) ( lim ) l l lim f = f = f ( c) elletmod az ( ) ( l ) folytoos l c, l és l (mivel f folytoos), de ez f l f y ε egyelőtlesége, tehát f egyeletese Gyaorlato Igazolju, hogy az alábbi függvéye egyeletese folytoosa: a) f :, = ; f ( ) = si cos; b) f :(,), f ( ) si f [ ] ( ) c) :,, f = e ; d) f :, f = si ; ( ) e) f :(, ), f ( ) = ; f) f :, ( ), f ( ) = Bizoyítsd be, hogy ét egyeletese folytoos függvéy összege és szorzata is egyeletese folytoos f :, függvéy folytoos és periodius (a 3 Bizoyítsd be, hogy ha az [ ) főperiódusa T > ), aor f egyeletese folytoos a [ ), itervallumo