90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények"

Átírás

1 9 Folytoos függvéye IV Folytoos függvéye Az előző fejezetbe adott f : D függvéy viseledését a D halmaz torlódási potjáa öryezetébe vizsgáltu Az pot em feltétleül tartozott a D halmazhoz ( D ) Ebbe a fejezetbe a függvéy viseledését em csa az potba is ( D) ; összehasolítju a függvéy pot örül vizsgálju, haem az értéét az potba a függvéy öryezetébe felvett értéeivel Ezért a függvéye az potba is értelmezette ell leie, tehát D A feladatot így fogalmazzu meg: taulmáyozzu, hogy amior özeledi -hoz, f ( ) özeledi-e f ( ) -hoz Potosabba, egy tetszőleges sorozatot véve, ahol D, taulmáyozzu, hogy az ( f ( )) sorozat tart-e az f ( ) számhoz? Figyeljü meg, hogy ebbe az utolsó megfogalmazásba a feladata aor is va értelme, ha az értelmezési tartomáya em torlódási potja (de D-e eleme) Valóba, ha D, aor midig va olya sorozat, például az =, ha, amely tart az számhoz és amelyre D Ha em torlódási potja D-e, aor ez az egyetle sorozat, amely tart -hoz és D Az előbbi sorozat f = f, ha és lim f = f eseté ( ) ( ) 4 Folytoos függvéye értelmezései Értelmezés Legye f : D és D Az f függvéyt az potba folytoosa modju, ha mide, D sorozatra lim f ( ) = f ( ) Megjegyzés A feti értelmezésből övetezi, hogy az értelmezési tartomáy izolált potjaiba a függvéy midig folytoos A határérté értelmezése alapjá a övetező ritériumot haszálhatju: ε δ-s ritérium Az f : D f függvéyt az D potba folytoosa modju, ha bármely ε > számhoz létezi olya δ > szám, hogy ha < δ és D, aor f ( ) f ( ) < ε (ha izolált pot, aor találu olya δ -t, amelyre az pot δ -yi öryezetébe a D halmaza csa egy eleme va, az ) Példá 3 Folytoos-e az = potba az f :, f ( ) = függvéy? Az értelmezés alapjá vizsgálju először azt, hogy igaz-e hogy ha lim =, ( ) 3, aor az f = sorozatoa va határértéü és a határérté f () lim f = lim = lim = lim = 7 = f Tehát a függvéy folytoos a potba az értelmezés szerit

2 Folytoos függvéye 9 A értelmezés alapjá hasoló módo döthetjü el, hogy f folytoos-e a potba: Rögzítsü egy ε > számot ha f f = = = ( ) f f = 4 < 4 < ε, ε ε ε ε < < = = 4 mi 4 6 ( ) ( ) f ( ) ε Mivel mide ε > eseté létezi a δ = > valós szám, úgy, hogy 6 f f < ε ha < δ, a függvéy folytoos az = potba Az f :, ( ) si f = függvéy folytoos mide potba Valóba, f ( ) f ( ) = si si = si cos, tehát f f ε = si si < igaz, ha függvéy folytoos az potba, a értelmezés szerit 3 Előfordul az, hogy y a függvéy em folytoos valamilye potba Az értelmezés alapjá, az f függvéy az D potba potosa aor em folytoos, ha létezi olya ( ) D sorozat, lim f f amelyre ε δ δ ( ) ε < δ = ε Vagyis a ábra Ez lehetséges úgy is, hogy az ( f ( )) sorozata ics határértée, de úgy is, hogy a határértée em f ( ) A jobb és baloldali határértée figyelembe vételével még több eset lehetséges, mert előfordulhat, hogy a jobb és bal oldali határértée léteze, de em egyelő egymással vagy az f ( ) -val Azoat az D potoat, amelyebe az f : D függvéy em folytoos az f szaadási potjaia evezzü Az előbbie alapjá a szaadási pot fogalma az f függvéye több ülöböző viseledési módját türözi Eze özül az esete özül éháy fotos lesz a függvéye további taulmáyozásába, ezért ülö megevezéssel látju el őet Értelmezés Az D potot, amelybe az f : D függvéye létezi a jobb- és a baloldali határértée és eze végese, de a függvéy em folytoos elsőfajú szaadási pota evezzü Az összes többi szaadási potot másodfajú szaadási pota evezzü

3 9 Folytoos függvéye Vizsgálju meg a övetező függvéye folytoosságát, szaadási potjaia természetét:, ha > ;,ha ; a) f :, f ( ) = sg =, ha = ; b) f :, f ( ) =, ha =, ha < si, ha ;,ha > ; c) f3 :, f3 ( ) = d) f4 :, f4 ( ) =, ha =, ha Megoldás a) Az f függvéy az pot -t em tartalmazó öryezetébe ostas, tehát folytoos ebbe a potba Az = potba li m f( ) = és < lim f( ) =, tehát a függvéye ics határértée ebbe a potba Így az = > potba az f függvéy em folytoos Mivel a jobb- és baloldali határérté véges, ez a pot elsőfajú szaadási pot b) Az f függvéy az pot -t em tartalmazó öryezetébe elsőfoú, tehát folytoos Ha =, aor lim f ) = lim =, tehát a határérté létezi Ez a ( határérté azoba em egyelő a behelyettesítési értéel, tehát a függvéy em folytoos -ba Az = pot az f függvéy elsőfajú szaadási potja c) Mivel em létezi a limsi határérté (találu ét olya -hoz tartó sorozatot, amelyere a függvéyértée sorozata ülöböző határértéehez tart; ilyee például az = és y =, sorozato) a függvéy em folytoos -ba és az = pot másodfajú szaadási potja A -tól ülöböző potoba a függvéy folytoos a határértée tulajdoságai alapjá d) Mivel lim = és lim f4 ( ) = a függvéy em folytoos -ba és másodfajú szaadási potja va, mert a jobboldali határérté em véges 3 4 Az f ( ) =, f : függvéy folytoos az = potba, mert 3 3 ( ) ( ) = = <, ha f f ε ε ε ε ε 4 < < = = = ε mi ( ) ε f f < ε, ha <, tehát a függvéy folytoos az 3 potba A fetie alapjá =

4 Folytoos függvéye 93 Megjegyzés Gyara találozu olya függvéyeel, amelye bizoyos pottól jobbra és balra ülöböző törvéyel értelmezette Az ilye függvéye folytoosságáa taulmáyozására a határérté jobb- és baloldali határértée segítségével adott jellemzését haszálju Eszerit igaz a övetező állítás: Az f :[ a, b] függvéy potosa aor folytoos az (,) a b potba, ha 4 Gyaorlato lim f ( ) = lim f( ) = f ( ) < > Vizsgáld meg a övetező függvéye folytoosságát az adott potoba: 3 f :[,], f ( ) =, =,, 4 f :[ 3, 4], f ( ) =, =,, - f ( ) { } [ ] 3 f :, jelöli, { } pedig a szám törtrészét = =, 4 Milye potoba folytoos a tg függvéy? 5 ( ),ha f =, =,, -, ha =, ha egész szám 6 f ( ) =, =,,, ha em egész szám 3 f ( ) 7 f :, =, =, 3 =,,, ahol [ ] az szám egészrészét 8 f :, f ( ) = si cos, =,, 3 9 f :[, ], f ( ) =, =, Adott az f :, f ( ) = függvéy Igazolju, hogy a, \ függvéy egyetle potba sem folytoos Legye f : egy folytoos függvéy, amelyre f r = f ( r ) mide r racioális számra és mide -ra Határozzu meg az összes ilye függvéyt!

5 94 Folytoos függvéye 43 A Cauchy-féle függvéyegyelet Feladat Határozd meg az eseté Az ( ) -es egyeletből eseté az f : folytoos függvéyt, ha mide, y f ( y) = f ( ) f ( y) ( ) = y= f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( egyelőséghez jutu, tehát f ( ) = = y eseté ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( ) f f f f f Teljes iducióval igazolju, hogy ha, Tételezzü fel, hogy aor f = f -re igaz és mutassu meg -re is teljesül = = = ) Valóba f (( ) ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) Továbbá = = = = ( ) ( ( )) = f = f = f f, tehát, f ( ) = f ( ) Ha aor f (( ) ) f ( ) f ( ) f ( ) Ezért mide és Ha m, m,, Ez azt jeleti, hogy ha Ez alapjá = = = eseté f = f >, aor m m m f = f m = f = f m m f = f ( ) és f r = r f r aor r eseté f ( r) = r f() A továbbiaba igazolju, hogy az előbbi egyelőség irracioális racioális számoból álló olya ( ) folytoosságát felhaszálva r eseté is igaz Ha α, aor válasszu r sorozatot, hogy lim r = α Eor az f ( α) () α () f = lim f r = lim r f = lim r f = f Tehát f ( α) = α f () mide α eseté Így ( ) () f = m, ahol m= f Megjegyzés Az () egyeletet Cauchy-féle függvéyegyelete evezzü A özépisolába taulmáyozott fotosabb függvéye (poliomo, epoeciális, logaritmus, trigoometrius) függvéye értelmezhető, mit valamilye függvéyegyelet folytoos megoldásai Általába ezee a függvéyegyeletee a megoldása visszavezethető a Cauchy-féle függvéyegyeletre Kimutatható, hogy az egyelete végtele so olya megoldása is va, amelye em folytoosa (eze egy potba sem folytoosa), a bizoyítás meghaladja a taöyv ereteit,

6 Folytoos függvéye Művelete folytoos függvéyeel Amior valamely függvéy folytoosságát vizsgálju, előfordulhat, hogy egyszerűbb függvéye folytoosságát ismerve, a tárgyalt függvéye folytoosságára öveteztethetü Például az f ( ) = si cos függvéy folytoos-e? Már tudju, hogy a si és cos függvéy mide potba folytoos, övetezi-e ebből, hogy az összegü is folytoos? Feladat Vizsgálju meg, hogy ha az f és g függvéy az potba folytoos, aor az f g függvéy folytoos-e az -ba! Megoldás Meg ell vizsgálu, hogy ha, aor övetezi-e, hogy ( f g)( ) = f ( ) g( ) f ( ) g( ) Az f és a g az potba folytoos, tehát ha lim = aor lim ( ) = ( ) f f és lim g ( ) = g( ) sorozatoál láttu, hogy a ét overges sorozat összege is overges és lim f ( ) g( ) lim f ( ) lim g( ) f ( ) g( ) ( f g)( ) = = = Tehát lim ( f g)( ) = lim f ( ) lim g( ) = f ( ) g( ) = ( f g)( ), vagyis az f g függvéy is folytoos Hasoló godolatmeet alapjá belátható, hogy ét folytoos függvéy szorzata, háyadosa (ha a evező em ) és összetett függvéye is folytoos A függvéyhatárértéeél megoldott feladato alapjá azt is állíthatju, hogy egy bijetív és folytoos függvéy iverze is folytoos (lásd a 76 oldalo levő megoldott feladatot) Ezeet a tulajdoságoat a övetező tétel foglalja össze Tétel Legye f, g : D ét függvéy és D a) Ha az f és a g függvéye folytoosa az potba, aor az f g függvéy is folytoos az potba b) Ha az f és a g függvéye folytoosa az potba, aor az f g függvéy is folytoos az potba c) Ha az f és a g függvéye folytoosa az potba és g( ), aor az f g függvéy is folytoos az potba d) Ha az f : D E függvéy folytoos az D potba és a g: E függvéy folytoos az y = f ( ), y E potba ( D és E ), aor a g f összetett függvéy folytoos az potba e) Ha az f : D és a g: D függvéye folytoosa az potba, aor az u: D u ( )= [ ( ) g függvéy is folytoos az potba Sajátos esete Ha az f : D E függvéy folytoos az D potba, aor a övetező függvéye is folytoosa az D potba: f ] ( ) A

7 96 Folytoos függvéye a) g : D, g( ) = a f ( ), ahol és a > a b) h: D, h( ) = log a f( ), ahol f( ) >, > és a >, a c) : D, ( ) = si f( ) A sziusz függvéy helyett tetszőleges trigoometrius alapfüggvéyre is igaz a tulajdoság ( cos,tg,ctg,arcsi,arccos,arctg,arcctg ) Megjegyzés A Függvéye határértée című fejezetbe láttu, hogy a poliomfüggvéye, az epoeciális, logaritmus és trigoometrius függvéye valamit eze iverzei mid folytoosa (lásd a megoldott feladatoat) A továbbiaba ezere a függvéyere és az ezeből összeadás, szorzás, osztás, hatváyozás, összetevés útjá előállítható függvéyere elemi függvéyét hivatozu az előbbie alapjá az elemi függvéye folytoosa az értelmezési tartomáyuo Gyaorlato és feladato Mely potoba folytoos az f :, f ( ) =, függvéy? Folytoos-e az f ( ) = si cos függvéy az = és az = potoba? f ( ) 3 a) Igazold, hogy ha az f függvéy az potba folytoos és az f függvéy is folytoos az potba b) Igazold, hogy ha f és g függvéy folytoos az aor a f g függvéy folytoos az potba potba és ( ), aor g, 4 Hol folytoosa a övetező függvéye? a) f : \ { }, f ( ) = ; b) f :, f ( ) = ; si c) f : \ {,}, f ( ) = ; d) f :, f ( ) = ma ( si, cos ) ; 5 Bizoyítsd be, hogy ha az f függvéy az potba folytoos aor f is folytoos az potba! 6 Igaz-e az előbbi állítás fordítottja? 7 Taulmáyozd a övetező függvéye folytoosságát:, ha a) f ( ) = ; b) f :, f ( ) = ( ) 3 ;, ha <, ha c) f ( ) = cos cos ; d) f ( ) =, ha < ; 3,ha <

8 Folytoos függvéye 97,ha =, ha = e) ( ) ( ) f ; f) ( ), g) f( ) = ; h) 3, \ 8 Igazold, hogy az f :, [ ), ( ) tartomáy mide potjába 9 Határozd meg az ( ) ( ) <, ha f =, ha = ; 4 > ( ), ha, f( ) = 3, \ f = függvéy folytoos az értelmezési f = összefüggéssel értelmezett függvéy maimális értelmezési tartomáyát és igazold, hogy az értelmezési tartomáy mide potjába folytoos Határozd meg a övetező függvéye szaadási potjait: a) f :, f ( ) = lim ; b) f :, f ( ) = lim ; e c) f :, f ( ) = lim ; d) f :, f ( ) = ma (, ) e Hol folytoosa a övetező függvéye? a) f :, f az valós szám egészrésze b) f :, ( ) = [ ], ahol [ ] f ( ) = { } = [ ], ahol { } az valós szám törtrésze Határozd meg azoat az f :, az = potba folytoos függvéyeet, amelyere ( ) ( ) f f =, mide eseté 3 Határozd meg az f : függvéyeet, ha f ( y) y f ( ) = ( y) f ( ) f ( y) igaz mide, y eseté Háy folytoos függvéy va a megoldáso özött? 4 Az f, g: periodius függvéyere lim f g = f = g Bizoyítsd be, hogy a ét függvéy egyelő ( ) 5 Határozd meg az összes f : (, ) f = f, mide = (, ) eseté folytoos függvéyeet, amelyere 6 Határozd meg az f :(,) folytoos függvéyeet, amelyere y f ( ) f ( y) = f y, mide, y (, ) eseté

9 98 Folytoos függvéye 45 Itervallumo folytoos függvéye Értelmezés Az f függvéyt folytoosa evezzü az I itervallumo, ha az I mide potjába folytoos A függvéyről azt modju, hogy folytoos, ha az értelmezési tartomáyáa mide potjába folytoos Megjegyzés Az előbbi paragrafus tételéből övetezi az alábbi tétel: Tétel a) Ha az f : D és g: D függvéye folytoosa, aor az f g: D, ( f g)( ) = f( ) g( ), D függvéy is folytoos b) Ha az f : D és g: D függvéye folytoosa, aor az f g: D, ( f g)( ) = f( ) g( ), D függvéy is folytoos c) Ha az f : D és g: D függvéye folytoosa és f f( ) g( ), D, aor az ( ) =, D függvéy is folytoos g g( ) d) Ha az f : D E és a g: E függvéy folytoos ( D és E ), aor a g f : D összetett függvéy is folytoos e) Ha az f : D E függvéy folytoos és bijetív ( D, E itervallumo), aor az f : E D iverz függvéy is folytoos f) Ha az f : D és a g: D függvéye folytoosa, aor az ( ) u: D u = f( ) g ( ) függvéy is folytoos Sajátos esete Ha az f : D E függvéy folytoos, aor a övetező függvéye is folytoosa: f ( ) a) g : D, g( ) = a, ahol a > és a b) h: D, h( ) = log a f( ), ahol f( ) >, > és a >, a c) : D, ( ) = si f( ) f [ ] f ( ) =, az [, ] 3 P f :,4 [ ], f ( ) =, az I = [, 4] ; Példá P :,, I = ; P3 f :, [ ], f ( ) =, az I = [, ] ; P4 f :(,), f ( ) =, az I = (, ) Az általu tárgyalt függvéye dötő többsége egy-egy itervallumo vagy azo egyesítésé va értelmezve és folytoos Ha megfigyeljü, e függvéye grafiojait, aor éháy özös tulajdoságot veszü észre Az [ a, b zárt itervallumo ahol a, b értelmezett függvéy orlátosa látszi A grafioo folytoos voala; úgy tűi, hogy ha folytoos egy függvéy és felvesz ét ülöböző f < f értéet, aor mide özbülső értéet is felvesz Természetese a grafioból az ilye tulajdoságoat csa sejtei lehet A szemléletből vett öveteztetéseet midig alaposa meg ell vizsgáli ]

10 Folytoos függvéye Bolzao tétele és a Darbou-féle tulajdoság BERNARD BOLZANO (78-848) a solasztius filozófiába járatos atolius pap volt Egyie volt a legelsőe, ai a szigorúság moder fogalmát bevezette a matematiai aalízisbe Felismerte, hogy a folytoos függvéyere voatozó számos, látszólag yilvávaló állítást igazoli ell, ha azt aarju, hogy teljes általáosságba érvéyes legye Ilye például a övetező három tulajdoság: Folytoos függvéy mide itervallumot itervallumba épez Ez potosabba a övetezőéppe fogalmazható meg: Ha az f :[ a, b] függvéy folytoos,, [ ab, ], < ét tetszőleges érté és f ( ) = y, f ( ) = y, aor bármely y [ y, y ] eseté létezi olya [, amelyre f ( ) = y [ ] (vagy y y, y ), ] f a b [,] ab -be pozitív és [ ab, ]-be Ha az :[, ] folytoos függvéy egatív értééeet vesz fel, aor létezi olya c [, ], amelyre f() c = 3 Zárt itervallumo értelmezett folytoos függvéy épe zárt itervallum A másodi tulajdoság az első sajátos esete A továbbiaba láti fogju, hogy az első tulajdoság is övetezi a másodiból Azt is láti fogju, hogy az tulajdoság em a folytoos függvéye jellemző tulajdosága (léteze olya függvéye, amelye em folytoosa és mégis redeleze az tulajdosággal) Azoat a függvéyeet, amelye teljesíti az tulajdoságot Darbou tulajdoságú függvéyee evezzü A termiológia rögzítése céljából a övetező értelmezést adju: Értelmezés Az f :[ a, b] függvéyt Darbou tulajdoságúa evezzü ha, [ ab, ], < és bármely y ( y, y ) (vagy y ( y, y ) f ( ) = y és f ( ) = y, létezi olya (, ), amelyre f ( ) y bármely ) eseté, ahol = Megjegyzés Ez az értelmezés evivales azzal, hogy az f függvéy az [ ab, ] értelmezési tartomáy mide részitervallumát itervallumba épezi Példa Bizoyítsu be, hogy az f :, f( ) = függvéy Darbou tulajdoságú Ha és y,, aor az y, itervallumba, ( ) = az ( ) va, tehát f Darbou tulajdoságú Először a tulajdoságot igazolju A potosság edvéért tételét is ijeletjü Tétel Ha az :, függvéy folytoos a< b és f ( a) f ( b) <, aor f [ a b] ( ) va olya c ( a, ) pot, amelyre b ( ) f c = Bizoyítás Feltételezhetjü, hogy ( ) f a < Teitjü a H = { [ a, b] f( ) < } halmazt Ez a halmaz orlátos, mert része az [ ab, ] itervalluma és em üres, mert a H A felső határ aiómája szerit létezi s = sup H Bizoyítju, hogy f( s ) = és a< s< b A feltétele alapjá létezi olya ε > szám, amelyre

11 Folytoos függvéye f( a) ε < < f( b) ε Az f folytoossága alapjá lim f ( ) = f ( a ) és a lim f ( ) = f ( b ), tehát a határérté értelmezése alapjá létezi olya δ ( ε ) > valós b szám, hogy f ( ) < f( a) ε < < f( b) ε < f( y), ha a< < a δ ( ε ) és b δ ( ε) < y< b Ez biztosítja, hogy a< s< b Teitsü az f ( s ) számot Ha f() s <, aor az f függvéy s -beli folytoossága alapjá létezi δ > úgy, hogy ( δ δ ) f( ) <, s, s és így H -ba va s -él agyobb elem is Ez elletmodás, tehát f( s) Másrészt, ha f( s ) >, aor szité az s -beli folytoossága alapjá létezi f függvéy δ > úgy, hogy f( ), ( s δ, s δ ) > Ez viszot azt jeleteé, hogy H -a va s -él isebb felső orlátja is Mivel ez is elletmod s megválasztásáa, az egyetle lehetőség az, hogy f( s ) = Ebből a tételből levezethetjü az tulajdoságot Ezt is megfogalmazzu tétel formájába: Tétel Ha az [ ] Bizoyítás Rögzített, [ ab, ] és y f, f eseté teitjü a g:[ a, b], g ( ) = f( ) y folytoos függvéyt g( ) = f ( ) y < és g( ) = f ( ) y >, tehát az előbbi tétel alapjá létezi olya (, ) érté, ( ) ( amelyre g = f ) y = Ebből övetezi, hogy f Darbou tulajdoságú si, Példa Bizoyítsu be, hogy az f : [,], f( ) = függvéy a, = a [,] < < < < f, itervallumo folytoos, tehát az itervallum épe itervallum Ha < vagy <, aor a z, =±, és z, = ±, sorozatoba megválaszthatju az előjeleet úgy, hogy a ét sorozat tagjai (, ) -től ezdődőe a vizsgált itervallumba legyee Így, f, f z, =,,, ] f : a, b függvéy folytoos, aor Darbou tulajdoságú Darbou tulajdoságú bármely eseté Bizoyítás Ha vagy aor az függvéy az [ ] [ ] ([ ] ) ([ z ]) [ ] tehát az [ itervallum épe a [,] itervallum ( a -tól függetleül) Mivel más eset em lehetséges a függvéy mide itervallumot itervallumba traszformál és így Darbou tulajdoságú

12 Folytoos függvéye Megjegyzése A tétel grafius értelmezése a övetező: Az Aa (, f( a )) tegely alatti potot összeötő folytoos voal a (, ( )) O B b f b tegely feletti pottal, legalább egy helye ( c pot) metszi az O tegelyt (lásd a 3 ábrát) A 4 ábrá látható, szaadásos függvéy esetébe az előbbi tétele em igaza, ha > Az f :, f ( ) = függvéy em redelezi egyi tétel által, ha biztosított tulajdosággal sem y fb ( )> Bb (, fb ( )) y O O fa ( )< A( a, f( a)) 3 ábra 4 ábra 45 Weierstrass tétele a szélsőértée létezéséről Az előbbi paragrafusba említett 3 tulajdoság KARL WEIERSTRASS (85-897) evét viseli Tétel Ha az :, függvéy folytoos az I = a, b zárt itervallumo ( a b) f [ a b] [ ] <, aor létezi az I itervallumba legalább egy c pot, ahol az f függvéy a legagyobb M értéét, és egy mási ( ) = = ma ( ) ; ( ) f c M f [ a, b] c pot, ahol a legisebb m értéét veszi fel [ a, b] ( ) f c = m= mi f Megjegyzés A tulajdoságot a övetezőéppe fogalmazhatju meg: Zárt itervallumo értelmezett folytoos függvéy eléri határait Bizoyítás Igazolju, hogy a függvéy épe orlátos halmaz Ha em vola az, aor léteze olya y f sorozat, amelye a határértée vagy Erre a sorozatra létezi egy Mivel az ( ) ( ) Im ( ) [ ab, ] sorozat úgy, hogy f ( ), y sorozat orlátos, létezi ( ) ee a határértéét l -el Az f függvéy folytoossága alapjá lim ( ) = overges részsorozata Jelöljü f = f( l)

13 Folytoos függvéye ( ) Ez viszot elletmodás, mert az f ( ) sorozat az ( ) y sorozat egy részsorozata és így a határértée em véges Mivel a függvéy épe em lehet üres halmaz az alsó és felső határ aiómája alapjá létezi a M = sup Im f és a m= if Im f valós szám Bizoyítju, hogy M, m Im f A szuprémum értelmezéséből övetezi, hogy létezi olya ( ) [ ab, ] sorozat, amelyre lim f ( ) = M Mivel az ( ) [ ab, ] sorozat orlátos, ezért létezi overges részsorozata és így M eze részsorozat határértéée f -beli épe Hasolóéppe látható be az is, hogy m Im f 46 Megoldott feladato [ ] [ ] ( ) = ϕ :, [ ] Bizoyítsd be, hogy ha az f :,, függvéy folytoos, aor létezi [ ] olya,, amelyre f ( -t evezzü a függvéy fipotjáa) Bizoyítás Értelmezzü a, ϕ = f segédfüggvéyt A folytoos függvéyeel végezhető művelete tulajdoságai alapjá ez a függvéy is folytoos a [, itervallumo Ha, aor vagyis és találu ] ϕ ( ) = f ( ) = f ( ) = ϕ ( ) f ( ) f ( ) ( ) = ϕ ( ), ϕ ( ) > ϕ ( ) < (, ) ϕ ( ) = ( ) = f ( ) egy fipotot (éppe ) Ha, aor az -re tett feltevés miatt ϕ = > ϕ, aor f, az fipot; ha aor ϕ = f < = Összegezve a ϕ a [ ] itervallumo folytoos függvéy,,, ezért Ha ( ) = a Bolzao-tétel szerit va a és özött olya, hogy, ami azt jeleti, hogy f vagy, tehát fipotja a függvéye = y M(, ) 5 ábra O Igazolju, hogy mide páratla foú valós polioma (egyelete) va f ( ) legalább egy valós gyöe, tehát az = a a a = egyelete va valós gyöe Valóba, mivel Továbbá lim f lim f ( ) ( Bolzao-tétel alapjá létezi ( ) = ( ) ) = =, ezért a függvéy felvesz pozitív értéeet is A =, a függvéy felvesz egatív értéeet is ( ) úgy, hogy f = vagyis az egyelet gyöe

14 Folytoos függvéye 3 f [ ] f ( ) = si függvéy folytoos a [, ] 3 Az :,, itervallumo Határozzu meg a függvéy épét Mivel si, itervallumo, ezért si és hozzáadva - a [ ] et si 3 vagyis f ( ) 3, ezért ma f ( ) = 3 = f [, ] és mi f = = f = f Mivel f folytoos a miimuma és a maimuma özött [, ] ( ) mide értéet felvesz Így a függvéy épe Im f = f ([, ]) = [, 3] 4 Bizoyítsu be, hogy ha az f :[ a, b] függvéy folytoos, f ( a) = f ( b) és ( a, b) eseté f ( ) f ( a), aor tetszőleges < l < b a szám eseté va a függvéy grafiojáa l hosszúságú, O tegellyel párhuzamos húrja Legye l b a a, b l itervallumo értelmezzü a h függvéyt a övetező módo: < < Az [ ] h( ) = f ( l) f ( ) A feltevése szerit h( a) = f ( l a) f ( a) és hb ( l) f( b) f( b l) = Ha a ét egyelőtleség özül valamelyibe egyelőség va aor észe h a > és hb l < ) vagyu; ha ics egyelőség aor a Bolzao-tétel szerit ( ( ) va olya ( ab l), hogy h( ) =, azaz f ( l) f ( ), jeleti, hogy a függvéy grafius épée va egy párhuzamos húrja y ( ) = Ez pedig azt l hosszúságú, O tegellyel Aa (, fa ( )) Bb (, fb ( )) l a O b 6 ábra 5 Az f : függvéy eleget tesz az alábbi ét feltétele: ( ) mide, y eseté f ( ) f ( y) ( y) ( ) az f függvéy folytoos az halmazo Igazolju, hogy f bijetív függvéy, ahol > ;

15 4 Folytoos függvéye I így f ( ) f ( ) hogy f ( ) f ( ) < eseté f ( ) f ( ) ( ) < Ha < Tehát bármilye ami azt jeleti, hogy az f függvéy ijetív <, tehát f ( ) f ( ) > aor f ( ) f ( ) ( ) eseté (, ) f ( ) f ( ) < és <, ami azt jeleti, II Az ( ) -es feltétel alapjá f ( ) y f ( y) eseté lim f ( ) =, mert lim ( y f ( y) ) = Az ( ) -es feltétel alapjá f ( y) y f ( ) feltétel alapjá létezi lim f ( y) =, mert lim ( y f ( ) ) y, Rögzített y és Rögzített eseté az előbbi y = Az előbbi tulajdoság és a másodi feltétel alapjá f ( ) a és özött mide értéet felvesz, tehát a függvéy szürjetív 6 A folytoos függvéy előjelée taulmáyozása Ha az f függvéy folytoos az I itervallumo és f ( ), bármilye I eseté, aor f ( ) álladó előjelű (előjeltartó) az I itervallumo ( ) f ( c ) = Valóba, ha feltételezzü, hogy em előjeltartó aor létezi a, b I úgy, hogy f a < és f ( b ) >, amiből adódi, hogy létezi c az a és b özött úgy, hogy, ami elletmod a feltevése Ezt a tulajdoságot alalmazzu a függvéy előjelée a taulmáyozására Potosabba, legye f : I folytoos függvéy, amelye az I itervallumo véges so gyöe va Jelöljü ezeet,,,,,, -el (övevő sorredbe) Mivel az I = (, ) itervallumo az ( ) gyöe, az - f ( ) = f = egyelete ics I f előjeltartó Hasolóa -től balra és -től jobbra is igaz, hogy az egyelete ics gyöe, tehát itt is előjeltartó (álladó előjelű) Ahhoz, hogy megtudju az előjelet állapítai, iszámítju egy helye a függvéyértéet 3 Taulmáyozzu az f :, f ( ) = 6 6 függvéy előjelét Mivel f ( ) = ( )( )( 3) mide eseté, az ( ) gyöei =, =, 3 = 3 Így a függvéy előjeltartó az (,) I = ( 3) ; I = ( ) itervallumoo 3, 4 3, f = egyelet ( ) I = ; I =, ; 3 f ( ) lim f ( ) =, f 3 39 = 8 >, f 5 3 = 8 <, lim f ( ) =

16 Folytoos függvéye 5 7 Határozzu meg azoat az f : függvéyeet, amelyere teljesüle a övetező feltétele: ( ) f f ( y) = y f mide, y eseté; ( ) f ( ), ha Megoldás Az ( ) (XXIV Nemzetözi Matematiai Olimpia feladata) összefüggésből y = eseté apju, hogy f ( f ( ) ) = f ( ) = f ( ) f ( b) Ez azt jeleti, hogy b a függvéy fipotja, vagyis = b Legye a az f függvéy egy tetszőleges fipotja Igazolju, hogy a = Ha eseté elfogadju, hogy f ( a ) = a aor ( ( )) ( ) f a = f a a = f a f a = a f a = a a=a a ( ) ( a) f ( a) ( f ( a) ) = f ( ) ; mivel a az a a f ( ) Ezért az összes számo szité fipoto Továbbá a= f = = = f a = egyelőségből övetezi, hogy f () = Másrészt a f = f f ( a ) = f a = f () =, ahoa a a a f = Végül, hasoló godolatmeet alapjá apju, hogy f = Így az a a a a összes a alaú szám fipotja a függvéye A -es feltételből ( ) ( ) övetezi, hogy a =, mert elleező esetbe szeresztheté olya = a ± sorozatot, amely a végtelehez tart és amelyre a behelyettesítési értée sorozata is végtelehez tart Ezért mide eseté apju, hogy f ( ) =, ahoa 8 Bizoyítsu be, hogy az f ( ) =, > itervallumo potosa egy valós gyöe va Ha =, egyelete az [, ] α -el jelöljü ezt a gyööt, igazolju, hogy az ( α ) sorozat overges és számítsu i a határértéét! Megoldás Teitsü az f :, [ ], f ( ) f ( ) = < és f ( ) > vagyis f ( ) > Az f ( ) [, ] itervallumo Több gyö ics, mivel az és ez a gyö α = t, ( < α < ), ahol >t Eor = ( t ) ( t ) = ( t ) [ t ] = t ( t ) = függvéyt folytoos, tehát va gyö az f szigorúa övevő Legye > Alalmazva a Beroulli egyelőtleséget, apju, hogy

17 6 Folytoos függvéye redezés utá t alapjá övetezi, hogy = t t t t, ( ) t t 4 3 t < = Mivel lim =, a fogó tétel ( redőrelv ) alapjá limt = Azt aptu tehát, hogy ( α ) sorozat overges és limα = 9 Va-e olya folytoos függvéy, amely ivertálható és amelye az iverze em folytoos? Megoldás Adu példát ilye függvéyre Teitsü egy E halmazt, amely em itervallum: például E = (, ) { } (, ) és f : E függvéyt, amelyet így értelmezzü:, ha < f ( ) =, ha =, ha > Ez a függvéy szigorúa övevő és folytoos (az = pot izolált pot és ezért itt folytoos) Köyű beláti, hogy ivertálható és az f : E függvéy: Ez a függvéy az, ha < f ( ) =, ha =, ha > = potba em folytoos 47 Gyaorlato és feladato Taulmáyozd a övetező függvéye folytoosságát: 3, a) f :, f( ) = ; (Érettségi, 989) 3, = b) f :(, ), c) f :,, ( ] e l,, f( ) = ;, > 3 si f( ) =, ;, =

18 Folytoos függvéye 7, d) f :, f( ) = ;, = 3, e) f :, f( ) = ; 4 3, \ cos e f) f :, f( ) = lim ; (Felvételi, 99 Galaţi) e ( 5) g) f :, f( ) = lim ( 5) Határozd meg az a valós paraméter értéét úgy, hogy az alábbi függvéye folytoosa legyee (ülö-ülö): a) f :, ( ) ( ) si f = e, ; a, = b) 3 a, (, a] f :, f( ) = ; 3 a, ( a, ) c) e a( ) e f :, f( ) = lim ; e e (Felvételi, 977 Galaţi) 3 e, [,] d) f :, [ ], f() = si ( ) (Felvételi, 996 Buarest) a, (, ] Igazold, hogy a övetező függvéye redeleze a Darbou tulajdosággal: si, ha si, ha a) f ( ) = ; b) f ( ) =, ha =, ha = 4 Igazold, hogy a övetező függvéye em Darbou tulajdoságúa:, ha > e,ha< a) f ( ) = ; b) f ( ) =, ha =, ha, ha < 5 Bizoyítsd be, hogy az f :, 3, f( ) =, \ függvéy em Darbou tulajdoságú és határozd meg az összes olya itervallumot, amelye épe is itervallum! 6 Igazold, hogy az = egyelete va pozitív gyöe 7 Bizoyítsd be, hogy az = cos egyelete va gyöe 8 Va-e valós megoldása a 4 3 = 5 8 egyelete? 9 Taulmáyozd az alábbi függvéye előjelét:

19 8 Folytoos függvéye f ( ) f ( ) ( 5 6) l( ) a) :,, b) f : (, ), f ( ) c) :,, = ; = ; f [ ] f ( ) = si cos 3 f : f ( ) = 3 d), ; e) f :, f e = ; Igazold, hogy az f : (, ), f ( ) iverze f :(,) folytoos függvéy ; = függvéy ivertálható és az Határozd meg az összes f :, [ ] folytoos függvéyt, amelyre f ( f ( ) ) = f ( ) mide [, ] eseté Bizoyítsd be, hogy ha az f : I függvéy Darbou tulajdoságú, aor ics elsőfajú szaadási potja 3 Bizoyítsd be, hogy ha az f : I függvéy ijetív és folytoos, aor szigorúa mooto 4 Bizoyítsd be, hogy ha f : I mooto és az Im f = f ( I) halmaz itervallum, aor az f folytoos 5 Bizoyítsd be, hogy ha az f :[ ab, ] [ ab, ] függvéy Darbou tulajdoságú és véges so szaadási potja va, aor va legalább egy fipotja 6 Határozd meg az f :(, ) folytoos függvéyeet ha f ( y) = f ( ) f ( y), y, > f : ab, ab, függvéy folytoos, aor 7 Bizoyítsd be, hogy ha az [ ] ( ) bármely 3 természetes szám eseté létezi olya haladváy, amelyre f ( c ) = = = c c = a b számtai,, (Megyei olimpia, Da Ştefa Mariescu) 8 Az f :, folytoos függvéyre igaz a övetező állítás: Tetszőleges ( ) valós számsorozat potosa aor overges, ha az f ( ) sorozat is overges Bizoyítsd be, hogy az f függvéy em orlátos (Megyei olimpia) ( ) 9 Bizoyítsd be, hogy az = l egyelete egyetle pozitív gyöe va Ha -el jelöljü ezt a gyööt, számítsd i a lim határértéet! (Megyei olimpia, Cristiel Mortici) f :,, folytoos függvéyt, amelyre Határozd meg az összes [ ) [ ) f( f( )) f( ) =, [, ) (Dorel Miheţ)

20 Folytoos függvéye 9 48 Egyeletes folytoosság Értelmezés Az : f D ( ) D függvéy egyeletese folytoos a D halmazo, ha bármilye ε > -ra létezi δ ( ε ) > úgy, hogy bármilye, D, δ ( ε) f f < ε egyelőtleség Megfigyelhetjü, hogy ha az f függvéy a D halmazo egyeletese folytoos aor eze a halmazo folytoos is Léteze függvéye, amelye folytoosa, de em egyeletese folytoosa Példá Mutassu meg, hogy az f ( ) = függvéy folytoos a (, ) itervallumo, de em egyeletese folytoos A folytoosság a (, ) itervallumo világos Nem egyeletese folytoos, < eseté feáll az mert ha és isebbe mit ε, ahol ε > és elég icsi, aor agyobba mit ε ( agyo agy szám ) és ezért ( ), tehát a folytoossága em egyeletes Az f :, ( ) és f f = > ε, f = si az -e folytoos, de em egyeletese folytoos Valóba, ha = ( ), = ( ) aor = ( ) ( ) és az f ( ) f ( ) = si( ) si ( ) =, tehát em lehet tetszőlegese icsi szám, ami azt jeleti, hogy az f függvéy em egyeletese folytoos az -e 3 Mutassu meg, hogy az f :, f ( ) = si függvéy bár em orlátos, egyeletese folytoos az egész számtegelye f ( ) f ( ) = ( ) si cos = si si = cos cos = < ε, ( )

21 Folytoos függvéye ε ha < = δ ( ε ) Tehát az f függvéy egyeletese folytoos Tétel (Cator tétele, Heie-tétel éve is emlegeti) Zárt itervallumo folytoos függvéy egyeletese folytoos eze az itervallumo a, b Bizoyítás A tételt idiret úto igazolju Tegyü fel, hogy f az [ ] itervallumo em egyeletese folytoos Ez azt jeleti, hogy létezi olya ε szám, hogy mide δ eseté találju olya s, t [ a, b] számoat, amelyere ( 3 ) s t < δ és tehát A jelöljü olya f s f t ε δ szám tetszőlegese megválasztható, bármely -e Az száma a ( ) eseté vehetjü 3 feltétel alapjá megfelelő s, illetve t értéet -el, illetve -el Így azt apju, hogy bármely eseté létezi, [, ] y y a b, amelyere Mivel [ a, b ] részsorozata Legye f f c ε l y < és f ( ) f ( y) ε sorozat orlátos Ezért va overges, az ( ) l c= lim, ahol c [ a, b] Ezért <, mivel ( ) ( lim ) l l lim f = f = f ( c) elletmod az ( ) ( l ) folytoos l c, l és l (mivel f folytoos), de ez f l f y ε egyelőtlesége, tehát f egyeletese Gyaorlato Igazolju, hogy az alábbi függvéye egyeletese folytoosa: a) f :, = ; f ( ) = si cos; b) f :(,), f ( ) si f [ ] ( ) c) :,, f = e ; d) f :, f = si ; ( ) e) f :(, ), f ( ) = ; f) f :, ( ), f ( ) = Bizoyítsd be, hogy ét egyeletese folytoos függvéy összege és szorzata is egyeletese folytoos f :, függvéy folytoos és periodius (a 3 Bizoyítsd be, hogy ha az [ ) főperiódusa T > ), aor f egyeletese folytoos a [ ), itervallumo

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

Divergens sorok. Szakdolgozat

Divergens sorok. Szakdolgozat Diverges soro Szadolgozat Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Készítette: Szabó Szilárd Matematia Bsc., taári szairáy Témavezető: Gémes Margit Műszai gazdasági taár Aalízis taszé Budapest,

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged Magas szitű matematiai tehetséggodozás Számelméleti érdeessége dr. Kosztoláyi József, Szeged A számelmélet bőveledi olya érdésebe, problémába, összefüggésebe, amelye elemi módszereel megözelíthető. Bizoyos

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

A fogótétel alkalmazása sorozatok határértékének kiszámolására

A fogótétel alkalmazása sorozatok határértékének kiszámolására A fogótétel alalmazása sorozato határértéée iszámolására Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Mide izoyal ics más olya matematiai tétel amelye olya so megevezése lee, mit az úgyevezett fogótétele, amelye gyaori

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Numerikus sorok, Taylor-sorok, Fourier-sorok Kidolgozott feladatok

Numerikus sorok, Taylor-sorok, Fourier-sorok Kidolgozott feladatok Numerius soro, Taylor-soro, Fourier-soro Kidolgozott feladato.példa: Vizsgálju meg a átalaításoal apju, hogy 5 umerius sor overgeciáját. Azoos 5 5 4 4 5 5 5 5 ; 4 4 A sor tehát szétbotható ét mértai sor

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

V. Oszthatóság a természetes számok halmazában

V. Oszthatóság a természetes számok halmazában V Oszthatóság a természetes számo halmazába V Általáos fogalma az oszthatósággal apcsolatba A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelműe léteze q és r természetes

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) A Fibonacci-sorozat általános tagjára vontozó éplet máséppen is levezethető A 149 Feladatbeli eljárás alalmas az x n+1 ax n + bx, n 1 másodrendű állandó együtthatós lineáris reurzióal adott sorozato n-edi

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke B teszt 87 B teszt A világot csak hat szám vezérli. (Marti Rees) Ezt a köyvet öt betű.. Az = + +,, = sorozat határértéke ( + ) a) ; b) ; c) d) ; e) em létezik.. A lim{ e } határérték ({ } az törtrésze)

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 + . Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint

Részletesebben

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek 5. Matematiai logia, bizoyítási módszere I. Elméleti összefoglaló Logiai művelete A matematiai logia állításoal foglalozi. Az állítás (vagy ijeletés) olya ijelető modat, amelyről egyértelműe eldöthető,

Részletesebben

A természetes számok halmaza (N)

A természetes számok halmaza (N) A természetes számo halmaza (N) A természetes számoat étféleéppe vezethetjü be: ) A Peao-féle axiómaredszerrel ) Evivalecia osztályo segítségével ) A természetes számo axiomatius értelmezése. A Peao-axiómá

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről,

Részletesebben

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f

Részletesebben

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl.

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl. 2. tétel Számhalmazo (a valós számo halmaza és részhalmazai), oszthatósággal apcsolatos problémá, számredszere. SZÁMHALMAZOK Halmazábrá ábrázolom a valós számo halmazát és részhalmazait (éháy példával).

Részletesebben

3. Valószínűségszámítás

3. Valószínűségszámítás Biometria az orvosi gyaorlatba 3. Valószíűségszámítás 3. Valószíűségszámítás 3.. Bevezetés 3.. Kombiatoria 3... Permutáció 3... Variáció 3..3. Kombiáció 3 3.3. Biomiális együttható tulajdoságai 3 3.4.

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 0. tétel zámsorozto orozt: Oly függvéy, melye értelmezési trtomáy pozitív egész számo hlmz. zámsorozt éphlmz vlós számo hlmz. f : N R f () jelöli sorozt -ei tgját.

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

VEKTORGEOMETRIA. Mit nevezünk null vektornak? Olyan vektort, amelynek a nagysága (abszolút értéke) 0 és az iránya tetszőleges.

VEKTORGEOMETRIA. Mit nevezünk null vektornak? Olyan vektort, amelynek a nagysága (abszolút értéke) 0 és az iránya tetszőleges. VEKTORGEOMETRIA Mt evezü vetora? Olya meységet, amelye ráya és agysága va. Mt evezü egységvetora? Olya vetort, amelye a agysága (abszolút értée). Mt evezü ull vetora? Olya vetort, amelye a agysága (abszolút

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

I. fejezet A matematikai indukció, mint alapvető bizonyítási módszer

I. fejezet A matematikai indukció, mint alapvető bizonyítási módszer I ejezet A matemata ducó, mt alapvető bzoyítás módszer A matemata ducó a matematába haszált egy legotosabb bzoyítás és emcsa bzoyítás, haem például deálás módszer s A özépsola taayagba természetese jele

Részletesebben

N - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

N - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Brósch Zoltá (Debrecei Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimáziuma) N - edik gyökvoás DEFINÍCIÓ: (Négyzetgyökvoás) Egy em egatív x valós szám égyzetgyöké azt a em egatív valós számot értjük, amelyek égyzete

Részletesebben

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok Soozato 5 I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK I.. Soozato A legtöbb embe szóicsébe szeepel a soozat szó. Ez azt jeleti, hog edelezi valamile soozatfogalommal. Megéti, ha a miet sújtó

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

Tanmenetjavaslat. az NT-11580 raktári számú Matematika 5. tankönyvhöz. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, Budapest

Tanmenetjavaslat. az NT-11580 raktári számú Matematika 5. tankönyvhöz. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, Budapest Tameetjavaslat az NT-11580 ratári sú Matematia 5. taöyvhöz Otatásutató és Fejlesztő Itézet, Budapest A tameetjavaslat 144 órára lebotva dolgozza fel a taayagot. Ameyibe eél több idő áll a redelezésüre,

Részletesebben

Valószínûség számítás

Valószínûség számítás Valószíûség számítás Adrea Glashütter Feller Diáa Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba I. Bevezetés a pézügyi számításoba A péz időértéével apcsolatos számításo A péz időértéée számítása:

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika Távözlő hálózato és szolgáltatáso Kapcsolástechia émeth Krisztiá BME TMIT 015. ot. 1-8. A tárgy felépítése 1. Bevezetés. IP hálózato elérése távözlő és ábel-tv hálózatoo 3. VoIP, beszédódoló 4. Kapcsolástechia

Részletesebben

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 4. Kis rezgése 4.. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan r pontoat nevezzü valamely oordináta-rendszerben, ahol a vizsgált tömegpont gyorsulása

Részletesebben