194 Műveletek II. MŰVELETEK A művelet fogalma

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma"

Átírás

1 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya, aztá a természetes számok szorzásával Erre épült késő az egész számok összeadása, kivoása, szorzása, majd ugyaezek a műveletek racioális, valós és komplex számokra Ugyacsak a műveletek körée sorolhatók a (pozitív) valós számok hatváyozása, a mátrixok összeadása, a mátrixok szorzása, függvéyek összetétele, halmazok egyesítése, metszete, vektorok összeadása, st Késő láti fogjuk, hogy műveletek értelmezhetők tetszőleges halmazo is, ilye érteleme műveletek tekithető például a fizikáa izoyos részecskék találkozásakor végemet fúzió, kémiáa izoyos reakciók, iológiáa a kereszteződések, st Vizsgáljuk meg, hogy mi a közös a fete felsorolt műveleteke Elsősora midig megadtuk, hogy milye halmazo értelmeztük a műveletet Például a természetes számok összeadása külöözik a racioális számok összeadásától, legfelje ayit modhatuk, hogy a egy részhalmazá, az halmazo az összeadás megegyezik a természetes számok összeadásával (lásd késő: idukált művelet) Tehát fotos az, hogy kikössük: milye halmazo értelmezzük a műveletet Az elő említett műveletek midegyike a kitütetett halmaz tetszőleges két eleméek egyértelműe megfeleltet egy harmadikat Például: a) Természetes számok összeadásakor, a 34, számok összege 3 4 = 7, modhatjuk, hogy a ( 34, ) számpárak megfeleltetük az összeadás műveletével egy számot az halmazól Általáa, a, -re az ( a, ) a megfeleltetés írható fel ) Valós számok kivoásakor is hasolóa járuk el, csak más a kitütetett halmaz és a megfeleltetési szaály Például, 8 eseté a (, 8) valós számpárak a kivoás műveletével megfeleltetjük a 8 = 3 valós számot c) Halmazok egyesítése Mivel ee az esete a művelet két halmazak feleltet meg egy harmadikat, a kitütetett halmaz egy halmazcsalád, általáa az X em üres halmaz részhalmazaiak a családja, vagyis a P ( X ) Tehát az M, N P ( X) halmazokra az ( MN, ) redezett halmazpárak megfeleltetjük az M N P ( X) halmazt: ( MN, ) M N P ( X) A megfeleltetés egyértelmű d) m -es mátrixok összeadása Ee az esete a kitütetett halmaz az ( ) Az AB M ( ) mátrixok eseté ( AB, )-ek megfeleltetjük az M m,, m, A B M m, ( ) mátrixot: ( AB, ) A B Mm, ( ) e) A H halmazo értelmezett, értékeit H -ól vevő függvéyek összetétele Most a kitütetett halmaz az f : H H típusú függvéyek halmaza Jelöljük ezt a halmazt H H -al Tehát, f H f g H eseté az (, ) H g H függvéyt Például, ha H, f g redezett párak megfeleltetjük az = f, g :, f ( x ) = x és

2 Műveletek 95 g( x) = x, x, akkor ( f, g ) f g és ee az esete ( f g) ( x) = g( x) = A megfeleltetés most is egyértelmű x A feti példákól kitűik, hogy a művelet tulajdoképpe egy függvéy, ϕ : M M M, ahol M a kitütetett halmaz Értelmezés Legye M egy em üres halmaz A tetszőleges ϕ : M M M függvéyt az M halmazo értelmezett első műveletek evezzük Az értelmezés alapjá a ϕ első művelet mide ( xy, ) M M redezett ϕ elempárak megfeleltet egyetle M -eli elemet: ( xy, ) ϕ ( xy, ) M Általáa ϕ helyett a,,, :,,,,, st jeleket szoktuk haszáli Ha a művelet additív, akkor a jelölést, ha multiplikatív, akkor a jelölést haszáljuk Az elői a) példa eseté a természetes számok halmazá értelmezett összeadás a :, ( xy, ) x y függvéy Hasolóa, az -e értelmezett összeadás a :, ( xy, ) x y függvéy Most már yilvávaló a külöség a természetes számok és a valós számok halmazá értelmezett összeadás között: két külööző függvéyről va szó, viszot a függvéy leszűkítése -re megegyezik a függvéyel Általáa helyett egyszerűe csak a jelt írjuk, ha em áll fe az összetéveszthetőség veszélye A c) példa eseté : P( X) P( X) P ( X), ( MN, ) M N Megjegyzések A első művelet általáosítja az eddig tault sajátos műveletek töségét, viszot például a mátrixok szorzását em Valóa, a XI osztálya taultak alapjá egy m -es mátrixot összeszorozhatuk egy k -s mátrixszal és eredméykét egy m k -s mátrixot kapuk, viszot két m -es mátrixot csak akkor tuduk összeszorozi, ha m = Ezek alapjá általáa a mátrixok szorzását em értelmezhetjük ϕ : M M M függvéykét Ezért a továiaka, ha a mátrixok szorzását tekitjük mit műveletet, akkor csak az -es mátrixok halmazá foguk dolgozi, ahol : "": M ( ) M ( ) M ( ), vagy "" : M ( ) M ( ) M ( ) Ez a hia feloldható, ha a műveletet még általáosaa értelmezzük: em ϕ : M M M típusú függvéykét, haem ϕ = ( M M, M, R) típusú relációkét, ahol R = {(( x, y), z) ( M M) M ( x, y) ϕ z } Az ( xy, ) és z elemek akkor vaak ϕ relációa, ha az x és y elemeke elvégezhető a művelet és aak eredméye z A mátrixok szorzását értelmezheték a következő módo Legye M az összes mátrixok halmaza, típusuktól függetleül A megszokott mátrixszorzást jelölje a művelet Két M -eli mátrixól alkotott ( AB), pár szorzatát csak akkor képezhetjük, ha A és B összeszorozhatók, ezért M -e a

3 96 Műveletek szorzást a ϕ = ( M, M, R) reláció jellemzi, amely szerit az ( AB, ) és A B típusú elemek lehetek csak relációa, és csak akkor, ha A B elvégezhető A következőke eltekitük ettől az észrevételtől és első művelet alatt midig egy ϕ : M M M függvéyt foguk értei Mivel a első művelet egy jól értelmezett függvéy, a művelet eredméye mide xy, M eseté egyértelmű Ha ϕ : M M M egy művelet, akkor a ϕ ( xy, ) = xϕy M elemet a művelet eredméyéek evezzük, mide x, y M-re 3 A első műveletet szokás iáris első műveletek is evezi (mivel két M -eli elemek feleltet meg egy M -eli elemet) 4 A első művelet két M -eli elemek feleltet meg egy M -eli elemet, tehát az eredméy is midig az M halmaza va Ie adódik a első jelző Értelmezhetük külső műveletet is, lásd például a Vektorterek paragrafust Addig viszot művelet alatt midig első műveletet foguk értei 5 A műveletet azért értelmezzük az M M Descartes szorzato, mert léyeges az elemek sorredje Legye például : a valós számok kivoása ( 35, ) 3 5= és ( 53, ) 5 3=, tehát a művelet eseté fotos, hogy milye sorrede írtuk a számokat: (a kivoás em kommutatív) Az eddigi példák már ismert műveletek voltak A következő példáka új műveleteket vezetük e a) Összeadás mod és szorzás mod R -e Jelöljük R = : R {0,,,, } Értelmezzük az összeadást és a szorzást R -e: : R R R, x y : = az ( x y) -ak -el való osztási maradéka, xy, R; -el az egész számok -el való osztási maradékaiak halmazát, ahol : R R R, x y : = az xy -ak -el való osztási maradéka, xy, R Vegyük észre, hogy az elői műveletek jól értelmezettek, mert két tetszőleges R -eli elem összege és szorzata mo d egyértelmű és R -e va Például, R -e az összeadást 5 és a szorzást az alái tálázatokkal jellemezhetjük (lásd késő: művelettála) ) Összeadás és szorzás -e Az I fejezete evezettük a faktorhalmazt Értelmezzük az összeadást és szorzást -e: : xy, x y : = x y,, ; :, x y : = x y, xy,

4 Műveletek 97 Általáa a és helyett a és jelöléseket haszáljuk, ha egyértelmű, hogy melyik műveletről va szó Így például az x y esetée a yilvá -eli összeadást jelet, míg az x y kifejezése az összeadás a szokásos összeadás - e Vizsgáljuk meg, hogy jól vaak-e értelmezve az elői műveletek: egyértelmű-e az eredméy és -ől va-e? Az eredméy -e va az értelmezés alapjá Vizsgáljuk az egyértelműséget Meg kell ézzük, hogy az x és y osztályok két külööző reprezetására, az x, x x és y, y y egész számokra teljesül-e az x y = x y egyelőség Mivel x, x x kl, úgy, hogy x = k x és x = l x és hasolóa a, úgy, hogy y = a y, y = y Így x y = k a x y, vagyis ( x y ) ( x y) = ( a k), ahol a k, tehát ( x y ) ( x y) és így x y Az x y(mod ) ekvivalecia relációk azo tulajdosága alapjá, hogy ha u ~ v, akkor u osztálya megegyezik v osztályával, írhatjuk, hogy x y = x y Hasolóa, x y = x y, tehát x y = x y, vagyis az összeadás -e egyértelmű Hasolóa igazolható, hogy a szorzás is egyértelmű Az elői jelöléseket haszálva, xy = ( k x)( a y) = ( ak ky ax) xy, tehát xy xy= ( ak ky ax), ahol ak ky ax, vagyis xy ( mod) Megjegyzés Ha elkészítjük a 5 xy művelettáláit, észrevesszük, hogy az összeadás művelettálája megegyezik az R -eli összeadás művelettálájával, ha em vesszük 5 figyeleme, hogy a -eli elemeket 0,,, 3, 4 -pal jelöltük Hasoló összefüggés 5 áll fe a szorzásra is c) Permutációk szorzása S -e H Legye H = { 3,,,, } és jelöljük S -el a H -ak azt a részhalmazát, amely { : ijektív} csak a ijektív függvéyeket tartalmazza: S = f H H f Legye σ S A σ függvéyt megadhatjuk egy kétsoros tálázat segítségével: 3 σ = σ() σ( ) σ( 3) σ( ) Mivel σ ijektív függvéy, ezért a σ(), σ( ),, σ( ) elemek párokét külöözek tehát az,,, számok egy permutációját alkotják Ez a permutáció jellemzi a σ függvéyt, ezért S elemeit -ed fokú vagy -ed redű permutációkak szoktuk evezi Az elői észrevétel alapjá S -ek! eleme va Mivel a ijektív függvéyek összetétele ijektív, és az összetétel egyértelmű, értelmezhetjük a S S S műveletet (a függvéyösszetétel S -e): :

5 98 Műveletek στ eseté ( σ τ)( k) : = σ τ( k), k =,, S ( ) Például, S elemei a következő permutációk: 3 3 σ = 3, σ 3, 3 =, 3 σ = σ = 4 3, 3 σ, σ 3 = 5 3 = 6 3 A függvéyösszetételt S -e a permutációk szorzásáak szokás evezi Megoldott feladatok Vizsgáljuk meg, hogy az alái megfeleltetések műveletek-e a megadott halmazo? x y a) xy,, ( xy, ) x y: = ; x y ) xy,, ( xy, ) x y: = ; c) xy,, ( xy, ) x y: = xy; d) xy,, ( xy, ) x y: = xy; e) z, z, ( ) z, z z z : = z z, ahol a és műveletek redre a megfelelő halmazo értelmezett összeadás és szorzás Megoldás Meg kell vizsgáluk, hogy a megfeleltetések ϕ : M M M típusú függvéyek-e? x y x y a) Mivel xy, eseté értelmezett, egyértelmű és, valóa művelet -e x y ) Létezik olya xy,, hogy, ezért a megfeleltetés em lesz x y 3 művelet -e Például x = és y = -re = c) x = és y = -re xy =, tehát em lesz művelet -e d) Mivel xy, eseté xy egyértelmű, a megfeleltetés valóa művelet lesz -o e) Ee az esete azért em lesz művelet, mert a megfeleltetés em egyértelmű (vagyis em lesz - értelmezett, értékeit -ől vevő függvéy, csak most más okól, mit az eddigi ellepéldáka: a felvett értékek -e maradak, csak éppe em leszek egyértelműek) Például x =, y = i -re x y = i = ± i

6 Műveletek 99 Az elői példák alapjá, ha egy megfeleltetésről azt kívájuk elleőrizi, hogy művelet-e, akkor meg kell vizsgáluk, hogy ϕ : M M M típusú függvéy-e, ahol M a kitütetett halmaz Ez általáa két lépése törtéik: ) Egyértelmű-e az eredméy? ) Az eredméy az M halmaza va-e? A halmaza értelmezzük az x y műveletet úgy, hogy xyzt,,, eseté teljesüljeek az alái feltételek: a) ( x y) ( z t) = ( x z) ( y t) ; ) x x = ; c) x = x Számítsuk ki mat Megoldás Ha a)-a y = x és t = értékeket helyettesítük, kapjuk, hogy x ( x x) z ( xz) = x, xz, Felhaszálva a ) és c) feltételeket, következik, hogy z = xz, x, z Az utói összefüggése x -et x x -szel z helyettesítve, kapjuk, hogy z x =, xz,, vagyis a művelet potosa a x 7 szokásos osztás a halmaza Tehát 7 43 = 43 Műveletekre ézve zárt részhalmazok Idukált művelet Vizsgáljuk a :, a : = a, a, műveletet Ha a és tetszőleges zérótól külööző természetes számok, akkor a = a = a a a, -szer tehát a, -ra a és azt modjuk, hogy az halmaz zárt (stail) részhalmaza -ak a műveletre ézve Hasolóa, a, eseté em áll fe az a összefüggés, mert például a =, = -ra = a, tehát em stail részhalmaza -ak a műveletre ézve A feti észrevételek alapjá a művelet leszűkítése az halmazra szité művelet lesz, jelöljük ezt a műveletet -gyel, :, x y = x y, x, y Azt modjuk, hogy a művelet a művelet -ra való leszűkítése, vagy a által idukált művelet -a Mivel em stail részhalmaza -ak -ra ézve, ezért em idukál műveletet -o Értelmezés Adott az M halmazo egy ϕ művelet Az M -ek egy H részhalmaza a ϕ műveletre ézve zárt (vagy stail) részhalmaza az M -ek, ha xy, H ϕ ( xy, ) H

7 00 Műveletek Ha H stail részhalmaza M -ek a ϕ műveletre ézve, akkor a H halmazo értelmezhetük egy ϕ műveletet a következőképpe: ϕ : H H H, ϕ ( xy, ) : = ϕ ( xy, ), xy, H A ϕ műveletet a ϕ művelet H -ra voatkozó leszűkítéséek, vagy a ϕ által H -a idukált műveletek evezzük Példák A :, ( a, ) a műveletre ézve,,,, stail részhalmazai -ek Az idukált műveletek potosa a megfelelő számhalmazo értelmezett összeadások leszek : Az ":":, ( a, ) a: műveletre ézve stail részhalmaza -ak, mert két zérótól külööző racioális szám háyadosa racioális Az idukált művelet a zérótól külööző racioális számok osztása A halmaz em stail részhalmaza -ak, mert -a az osztás em első művelet 3 A "" : műveletre ézve = z z páratla stail { } részhalmaza -ek, mert két páratla szám szorzata páratla, viszot például H = z z < 0 em stail részhalmaz { } 4 Az : műveletre ézve (függvéyek összetétele) az U = { f f ( 0) = 0} részhalmaz stail részhalmaza -ek, mert f, g U f ( 0) = 0, g( 0) = 0 ( f g) () 0 = f ( g() 0 ) = 0 f g U 3 Műveletek tulajdoságai Az,,,, számhalmazoka végzett és műveletek eseté megszoktuk, hogy izoyos tulajdoságok midig teljesülek Így em merül fel kérdés például akkor, amikor -e azt írjuk, hogy 3 5 = 0, holott visszatekitve a műveletek értelmezésére, a c-t em értelmeztük, csak a -t Tehát, ha a c-t akarjuk értelmezi, el kell döteük, hogy milye sorrede végezzük el a két műveletet: először elvégezzük az ( a ) -t és az eredméyhez hozzáadjuk a c -t, tehát a c = (a ) c, vagy máskét járuk el, a ( c)- hez adjuk alról az a -t: a c = a ( c) Valós számok összeadásáál ez midegy, mert az összeadás asszociatív: ( a ) c = a ( c), ac,, Viszot ha tekitjük a, a : = a műveletet, akkor a c-ek ics értelme, mert c c c c c a c = a c = a =a és a ( c) = a = a és általáa a a ( ) ( ) c : Hasolóa megszoktuk, hogy az a = egyelőség midkét oldalához hozzáadhatjuk ugyaazt a kifejezést, tehát a = a c = c, c és ugyaez feáll a szorzásra is Vajo tetszőleges művelet eseté, ha : M M M, a,, a, M úgy, hogy a = és a =, akkor feáll-e az a a = összefüggés?

8 Műveletek 0 A válasz igelő, a művelet értelmezése alapjá: mivel a művelet jól értelmezett aa, =, = = függvéy, ezért az ( ) egyelőségől (a és a a feltétel szerit) ( ) következik a ( aa, ) = (, ) összefüggés (mert a megfeleltetés egyértelmű), ami potosa az a a = összefüggést jeleti Ezt a tulajdoságot evezzük a helyettesítés törvéyéek, és eől következek azok a tulajdoságok, hogy egyelet midkét oldalához hozzáadhatjuk ugyaazt a számot, az egyeletet szorozhatjuk ugyaazzal a számmal, az egyelőség változása élkül Ugyaakkor láttuk, hogy valós számok eseté a szorzás kommutatív, vagyis a,, a = a, viszot ez a tulajdoság mátrixok szorzására, vagy függvéyek összetételére em érvéyes A következőke általáosa tárgyaljuk a műveletek éháy tulajdoságát 3 Asszociativitás Az elői példa alapjá adott M halmaza értelmezett : M M M művelet eseté az a,, c M elemekre a c -ek általáa ics értelme, mert em midegy, hogy milye sorrede végezzük el a műveleteket: általáa ( a ) c a ( c) Értelmezés A : M M M, ( xy, ) x yműveletet asszociatív műveletek evezzük, ha ( a ) c = a ( c), a,, c M eseté Asszociatív művelet eseté ármilye (, ac, ) M M M számhármasra elletmodásmetese eszélhetük az a c elemről, értelmezés szerit a c : = ( a ) c = a ( c), tehát a zárójeleket elhagyhatjuk Példák asszociatív és em asszociatív műveletre,,,, -e az összeadás és szorzás asszociatív műveletek Az X em üres halmaz eseté P ( X )-e az egyesítés, a metszet és a szimmetrikus külöség asszociatív műveletek (lásd az I fejezetet) 3 M ( ) -e az összeadás és a szorzás asszociatív műveletek, a XI osztálya taultak alapjá E 4 E -e a függvéyek összetétele asszociatív művelet Az utói tulajdoságot igazoljuk: legyeek f, gh, : E Etetszőleges függvéyek x E eseté (( f g) h)( x) = ( f g) ( h( x) ) = f [ g( h( x) )] = [( )( )] ( ( ))( ) = f g h x = f g h x, tehát ( f g) h = f ( g h) 5 R -e az összeadás mod és a szorzás mo d asszociatív műveletek Bizoyítás Mivel az összeg maradéka egyelő a maradékok összegéek maradékával, tetszőleges a,, c R eseté a ( c) = a ( c) osztási maradéka -el ; ( a ) c = ( a ) c osztási maradéka -el

9 0 Műveletek Viszot -e az összeadás asszociatív, tehát a ( c) = ( a ) c, ezért az - el való osztási maradékuk is megegyezik, tehát ( a ) c = a ( c) Hasolóa igazolható a szorzás asszociativitása is 6 -e az összeadás és szorzás asszociatív A izoyítást ugyaúgy végezzük el, mit R -e y 7 -e az x y : = x, xy, műveletre y y ( x y) z x z = z = x, xyz,, és y z y z x ( y z) = x = x, xyz,, 4 Tehát z 0 eseté ( x y) z x ( y z) és így a művelet em asszociatív Megoldott feladatok Igazoljuk, hogy az :, a : = a a, a, függvéy egy em asszociatív művelet -e Bizoyítás valóa művelet, mert a, eseté a a és a egyértelmű (vagyis a függvéy jól értelmezett) Igazoljuk, hogy em asszociatív Ha a,, c tetszőlegesek, akkor a ( c) = a ( c c) = a ( c c) a c c = = ac a ac a c c és ( a ) c = ( a a ) c = ac ac c a a c Az a ( c) = ( a ) c egyelőség csak akkor teljesül, ha ac a ac a c c = ac ac c a a c Ez ekvivales az ac = c egyelőséggel, ami em teljesül mide a,, c eseté (em áll fe például a = és c = eseté) Így a művelet em asszociatív Igazoljuk, hogy a :, a : = a a művelet asszociatív Megoldás Köye elleőrizhető, hogy valóa művelet Ha a,, c tetszőlegesek, akkor a ( c) = a ( c c) = a c c a ac ac = = a c ( a ac c) ac és ( a ) c = ( a a) c = a a c ac c ac = = a c ( a ac c) ac, tehát a ( c) = ( a ) c, ac,, 3 Az m valós paraméter mely értékeire lesz a :, a : = a a m, a, művelet asszociatív? Megoldás ac,, eseté a ( c) = a ( c c m) = ac a ac am a c 4 4c m m = = ac ( a ac c) ( m ) a 4 4c 3m ;

10 Műveletek 03 ( a ) c = ( a a m) c = = ac ( a ac c) 4a 4 ( m c ) 3m Az ( a ) c = a ( c) egyelőség csak akkor teljesülhet mide a,, c eseté, ha m = 4, tehát m = Mit láttuk, tetszőleges művelet eseté em áll móduka három elem szorzatáak az értelmezése És így ehéz haszálható elméletet kidolgozi a műveletről és a halmazról, amelye értelmezett a művelet Ahhoz, hogy három elemet össze tudjuk szorozi, szükségük va az asszociativitásra Viszot ha égy elem szorzatát kell kiszámoluk, akkor asszociatív művelet eseté is, ismét tö lehetőség va: a c d = a ( c d), vagy a c d = ( a c) d, vagy a c d = ( a ) ( c d)? Ezért az asszociativitás ismét keveset árula el a halmazo értelmezett műveletről, ha a c d em lee egyértelmű A következő tétel értelmée az asszociativitás elégséges feltétel ahhoz, hogy az a a a kifejezés egyértelmű legye, tetszőleges \{ 0,, } eseté Tétel Ha egy asszociatív művelet M -e, akkor az a a kifejezés egyértelműe meghatározott,, 3 és a, a,, a M eseté Bizoyítás A matematikai idukció módszerét alkalmazzuk = 3 -ra az a a kifejezés egyértelmű az asszociativitás miatt a 3 Ha elfogadjuk, hogy m eseté a a a egyértelmű, eseté, a M i ahol i =,, akkor az a a a kifejezés összes lehetséges kiszámolása az m ( a a a ) ( a am a ) j j m esetre vezetődik vissza, ahol j {,,, m} Az idukciós feltétel szerit midkét zárójel egyértelmű, így csak azt kell igazoli, hogy tetszőleges j, j {,,, m} -re ( a a a ) ( a a ) = ( a a ) ( a a ) () j j m j j m Feltételezhetjük, hogy j < j Ekkor az A= a a a, B = a a, j j j C = a a jelöléseket evezetve és felhaszálva, hogy az idukciós feltevés j m szerit A, B és C egyértelműek, () ekvivales az ( A B) C = A ( B C) összefüggéssel, ami teljesül az asszociativitás miatt, tehát a matematikai idukció elve alapjá, és a M, i =, eseté a a a egyértelmű 3 Kommutatív műveletek i Értelmezés Az M halmaza értelmezett műveletet kommutatívak evezzük, ha a, M eseté a = a Példák kommutatív és em kommutatív műveletre Az,,,, halmazoka a szorzás és összeadás kommutatív műveletek

11 04 Műveletek Az M ( ) halmaza a mátrixok összeadása kommutatív, viszot a mátrixok szorzása em kommutatív 3 Az -e értelmezett függvéyösszetétel em kommutatív Ezt egy ellepélda segítségével igazoljuk Legye f, g :, fx ( ) = 3x és gx ( ) = x ( f g) ( x) = 3x, valamit ( g f) ( x) = ( 3x) = 9x, tehát f g g f, vagyis az összetétel em kommutatív -e 4 R -e a és műveletek kommutatív műveletek 5 -e a és műveletek kommutatív műveletek 6,,, -e a kivoás em kommutatív művelet 7 Legye Ox y egy síkeli koordiátaredszer Értelmezzük a síkeli potok halmazáa a következő műveletet: :, eseté ( x, y ) ( x, y ): = ( x x,y y ) ( x, y ), ( x, y ) eseté ( x, y ) ( x, y ) ( x x, y y ) ( x x, y y ) ( x, y ) ( x, y ) kommutatív, írhatjuk, hogy x, y, x, y ( ) ( ) Mivel a valós számok összeadása = = =, tehát az így értelmezett összeadás a síkeli potok halmazáa kommutatív művelet Megjegyzések A 7 példáa értelmezett művelet megegyezik a síkeli szaad vektorok összeadásával, amivel már találkoztatok a IX osztálya Az asszociativitás és kommutativitás örökletes tulajdoságok, vagyis ha ϕ : M M M egy művelet és H stail részhalmaza M -ek a ϕ műveletre ézve, valamit ϕ a ϕ által H -a idukált művelet, akkor ϕ asszociativitásáól ϕ következik asszociativitása és ϕ kommutativitásáól következik ϕ kommutativitása A izoyítást csak a kommutativitásra végezzük el xy, H, ϕ ( xy) = ϕ( xy, ) (), Viszot ϕ kommutatív és xy, H xy, M, tehát írhatjuk, hogy ϕ( xy, ) = ϕ(y, x) H (), mert y, x H () és () alapjá ϕ(,) xy ϕ (, yx) ϕ (, yx), vagyis ϕ kommutatív művelet H -a = = Ez a megjegyzés a következőke sokat fog köyítei az egyes tételek izoyításá, illetve feladatok megoldásá, segítségével izoyos eseteke hivatkozhatuk az asszociativitás (kommutativitás) örökletességére és em kell azt izoyítauk 33 Semleges elem A : művelet eseté tudjuk, hogy létezik egy 0 -val jelölt elem -e, amelyre feáll, hogy m eseté 0 m = m 0 = m és ez az elem az egyedüli, amely ezzel a tulajdosággal redelkezik 0-t a semleges eleméek evezzük a műveletre voatkozóa Hasolóa, a : műveletre

12 Műveletek 05 voatkozóa semleges elem, mert m = m = m, m Ugyaezek a megállapítások érvéyesek az számhalmazokra is = 0 0 M ( ) -e a 0 = mátrix az összeadásra ézve és I a szorzásra ézve semleges elem: 0 A= A 0 = A, A M ( ) ; I A= A I = A, A M ( ) Eltekitve a kitütetett halmaztól és művelettől, láthatjuk, hogy a semleges elem ugyaazzal a tulajdosággal redelkezik, ezért kézefekvő a következő általáosítás: Értelmezés Az e M elemet semleges elemek evezzük a : M M M műveletre ézve, ha x M eseté e x = x e = x Vegyük észre, hogy az értelmezés megegedi, hogy M -e egy adott műveletre ézve tö semleges elem is legye Bár eddigi tapasztalataik sorá ez em fordult elő, vizsgáljuk meg általáa a kérdést Feltételezzük, hogy ee, M két külööző semleges elem M -e, a : M M M műveletre ézve Az értelmezés alapjá e e -re írhatjuk, hogy e e = e (e semleges elem), valamit e e = e (e semleges elem), ahoa következik, hogy e = e, ami elletmodás, tehát M -e ha létezik semleges elem, akkor az egyértelmű Tehát kijelethetjük a következő tételt: Tétel Ha az M halmaza értelmezett műveletre voatkozóa létezik semleges elem, akkor csak egy ilye va Megjegyzések Az utói tétel egyelemű M halmaz eseté triviális, mert ee az esete egy művelet értelmezhető és aak potosa egy semleges eleme va Additív művelet eseté a semleges elemet zéruselemek evezzük, és 0-val jelöljük Multiplikatív művelet eseté a semleges elemet egységelemek evezzük, és -gyel jelöljük Ezek a jelölések em kötelezők, majd késő, a kétműveletes algerai struktúrákál lesz szerepük Általáa tetszőleges művelet eseté az e jelölést haszáljuk 3 Kommutatív művelet eseté az a e = e a összefüggés fölösleges, tehát modhatjuk, hogy e semleges elem, ha a M eseté a e = a 4 Általáa tetszőleges : M M M műveletre, ha e M úgy, hogy a e = a, a M, akkor azt modjuk, hogy e jooldali semleges elem Hasolóa értelmezhető a aloldali semleges elem is: Legye : M M M egy művelet Ha létezik e M úgy, hogy e a = a, mide a M eseté, akkor e -t aloldali semleges elemek evezzük Nyilvávaló, hogy ha a : M M M műveletre ézve létezik al- és jooldali semleges elem, és ezek megegyezek, akkor ez az elem egye semleges elem is a műveletre ézve M -e 5 Fotos kihagsúlyozi, hogy a semleges elemet milye műveletre ézve és milye halmaza tekitjük A művelet kihagsúlyozásáak fotossága yilvávaló, hisze

13 06 Műveletek például a valós számok szorzása és összeadása két külööző semleges elemmel redelkezik A halmaz kijelöléséek fotosságát az alái példa szemlélteti: x 0 x Köye elleőrizhető, hogy az A= ( ) M x 3 x 0 x halmaz stail részhalmaza ( ) -ek a mátrixok szorzására ézve Míg M3 I 3 M3 ( ) -e a szorzásra ézve a semleges elem az I mátrix, addig az A halmazak em eleme, viszot létezik semleges eleme az idukált szorzásra ézve: E = = 0 0 Igazoljátok, hogy E A valóa semleges elem Példák -e az összetevésre ézve az f :, f ( x) = x, x függvéy semleges elem X eseté P ( X )-e írhatjuk, hogy A= A = A, A P ( X) és B = X B = B X, B P ( X), tehát semleges elem az egyesítésre ézve és X semleges elem a metszetre ézve 3 -e semleges elem (zéruselem) az összeadásra ézve és 0 semleges elem (egységelem) a szorzásra ézve 4 -a az összeadásra ézve ics semleges elem = z z stail részhalmaza -ek a szorzásra ézve, és a szorzás által a 5 { } halmaza idukált műveletek ics semleges eleme ( ) 6 S -e a permutációk szorzására ézve létezik semleges elem: 3 e = 3, vagyis az idetikus permutáció Megoldott feladatok Taulmáyozzuk a aloldali, jooldali semleges elem, illetve a semleges elem létezését a következő műveletek eseté a) :, a : = a a ; ) :, a : = a a ; c) :, a : = a a; a d) : (, ) (, ) (, ), a : = ; a e) vektorok összeadása a tére; f) vektorok szorzása (vektorszorzat) a tére; g) szimmetrikus külöség P ( X )-e 3

14 Műveletek 07 Megoldás a) A művelet kommutatív, tehát a aloldali, illetve jooldali semleges elem megegyezik a semleges elemmel, ha az utói létezik Általáa úgy határozzuk meg a semleges elemet, illetve aak létezését, hogy feltételezzük, hogy létezik és ehelyettesítve e -t a művelet értelmezésée, kiszámoljuk a kokrét értékét Ha köze elletmodáshoz jutuk, akkor az idirekt izoyítás, vagy lehetetlere való visszavezetés (reductio ad asurdum) módszere alapjá em létezik semleges elem, ha pedig em, akkor a kapott érték lesz a semleges elem Ee az esete csak az a e = a, a összefüggést kell vizsgáluk, mert a művelet kommutatív, tehát ae a e = a, a, ha létezik az e semleges elem Átalakítva az elői összefüggést, kapjuk, hogy e( a ) = 0, a és eek az összefüggések e = 0 midig megfelel, ezért, felhaszálva a semleges elem egyértelműségét is, a műveletre ézve -e a semleges elem a 0 ) Ee az esete a művelet em kommutatív, tehát az a e = e a = a, a összefüggés szerit ae a e = ea e a = a kell teljesüljö mide a értékre, vagyis a e = e a, a, ami lehetetle, tehát ics semleges elem Vizsgáljuk meg a aloldali, illetve jooldali semleges elemek létezését Ha létezik jooldali semleges elem (e ), akkor az eleget tesz az a e j j összefüggések, mide a eseté, tehát ae a e = a, a, vagyis e = 0 jooldali semleges elem Baloldali semleges elem em létezik, mert az j ea e a= a, a e ( a ) = a, a összefüggést egyetle valós szám sem elégíti ki mide a eseté (Például a = -re, ics olya e valós szám amelyre 0 = e 0 = ) c) Hasoló a ) pothoz, tehát em létezik semleges elem -e a műveletre ézve, viszot e = 0 aloldali semleges elem és em létezik jooldali semleges elem d) Elő vizsgáljuk meg, hogy jól értelmezett-e a művelet Az egyértelműség yilvávaló, tehát csak azt kell elleőrizi, hogy tetszőleges a, (, ) eseté az a (, ) összefüggés teljesül-e Mivel ( a )( ) > 0, mide a, eseté, írhatjuk, hogy a a > 0, tehát a > ( a) A jo oldalo szereplő zárójel szigorúa pozitív, ha a, ( ), Tehát oszthatjuk az egyelőtleséget ( a) -vel, a és az >, a, ( ), összefüggést kapjuk a Hasolóa, az ( a) ( ) > 0, a, (, ) összefüggést felhaszálva, a kapjuk, hogy <, a, (, ) a A feti észrevételek alapjá jól értelmezett első művelet a ( ), itervallumo A művelet kommutatív, tehát elégséges a jooldali semleges elem létezését j j

15 08 Műveletek vizsgáli Feltételezzük, hogy e (, ) úgy, hogy a e = a, a (, ), a e vagyis = a, a (, ) Átalakítva az elői összefüggést, írhatjuk, hogy ae a e = a a e, a (, ) ea ( )= 0, a (, ), ahoa az e = 0 eredméyt kapjuk Tehát a (, ) halmaza a műveletre ézve a semleges elem a 0 e) A ullvektor yilvá semleges elem az összeadásra ézve, tehát e = ( 000,, ) = 0 f) Nem létezik semleges elem a vektorszorzatra ézve a tére (mert a szorzat midig merőleges a téyezőkre és így em lehet egyik téyezővel sem egyelő) g) Az üres halmaz semleges elem a szimmetrikus külöségre ézve P ( X )-e Határozzuk meg az m, paramétereket úgy, hogy az alái műveletre ézve legye -e semleges elem: :, a : = a a m m, a, Megoldás Ha létezik az e semleges elem, akkor kell teljesüljö az a e = e a = a összefüggés mide a eseté, tehát ae a me m = ea e ma m = a, a, ahoa az (m ) e = ( m ) a, a és () ea ( ) = a( m) m, a () összefüggéseket kapjuk ()-ől következik, hogy m =, tehát a () összefüggés szerit ea ( ) = a( ), a eseté Átalakítva ezt az összefüggést, az ae ( ) e= 0, a összefüggést kapjuk, ami csak akkor e = 0 teljesülhet, ha e = 0, tehát = 0 és e =, vagy = és e = Összefoglalva, a műveletre ézve -e csak akkor va semleges elem, ha = m és {, 0 } 34 Ivertálható elemek (szimmetrizálható elemek) Értelmezés Legye : M M M egy olya asszociatív művelet, amelyre ézve létezik M -e az e semleges elem Azt modjuk, hogy az a M elem ivertálható M -e a műveletre ézve, ha a M úgy, hogy a a = a a = e Ha létezik ilye a, akkor azt az a M szimmetrikusáak vagy iverzéek evezzük Tapasztalataik alapjá, ha egy adott asszociatív, semleges elemmel redelkező műveletre ézve az a M elemek va iverze, akkor az egyértelmű Például -e az összeadásra ézve iverze, mert ( )= ( ) = 0, általáa pedig a ( a) = ( a) a = 0, a A szorzásra egyedül a 0 elemek ics a = a = a iverze és általáa a eseté a Mide a, illetve a eseté a ( a) és elemek egyértelműe meghatározottak Feltehetjük a kérdést, a hogy általáa, ha : M M M egy asszociatív, semleges elemmel redelkező

16 Műveletek 09 művelet és x M egy ivertálható elem M -ől, akkor létezhet-e x -ek két külööző iverze A választ a következő tétel adja meg: Tétel Ha az x M elemek x M szimmetrikusa a : M M M asszociatív, semleges elemmel redelkező műveletre ézve, akkor x egyértelmű Bizoyítás Feltételezzük, hogy x M úgy, hogy x x = x x = x x = x x = e Írhatjuk, hogy x = x e = x ( x x ) = (x x) x = e x = x, vagyis x az x egyedüli iverze Megjegyzések Az asszociativitás az egyértelműség izoyításához szükséges Adjatok példát olya em asszociatív, semleges elemmel redelkező műveletre, amelyre ézve va olya x elem, amelyek tö iverze va! Additív művelet eseté az a M elem szimmetrikusát az a elletettjéek evezzük és általáa ( a) -val jelöljük Multiplikatív művelet eseté az a M szimmetrikusát a iverzéek evezzük és a -el jelöljük Tehát x ( x ) = ( x) x = 0 és x x = x x = 3 Az egységelem midig ivertálható, iverze ömaga 4 Kommutatív művelet eseté elégséges az x x = e feltétel 5 Ha x az x M szimmetrikusa a műveletre ézve, akkor x is ivertálható és ( x ) = x Példák, feladatok -e az összeadásra ézve egyedüli ivertálható elem a semleges elem, hasolóa a szorzásra ézve is -e az összeadásra ézve mide elem ivertálható: a ( a ), a ( a ) = ( a) a = 0 A szorzásra ézve csak a és ivertálhatók, midkettőek ömaga az iverze 3 -a az összeadásra ézve mide elem ivertálható, a szorzásra ézve pedig egyedül a 0 em ivertálható 4 M ( ) -e -ra ézve mide elem, -ra ézve pedig csak azok az A mátrixok ivertálhatók, amelyekre feáll a deta 0 összefüggés 5 X halmaz eseté P ( X )-e az egyesítésre ézve egyedül az ivertálható A metszetre ézve az egyedüli ivertálható elem ismét csak a semleges elem: az X 6 -e a függvéyösszetételre ézve csak a ijektív függvéyek ivertálhatóak 7 S -e mide permutáció ivertálható, mert ijektív függvéy és iverze is per- mutáció Megoldott feladatok Legye : M M M egy asszociatív, egységelemes művelet és x, y M két ivertálható elem, az x és y iverzekkel Igazoljuk, hogy ( x y) is ivertálható és ( x y ) = y x

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek 5. Matematikai logika, bizoyítási módszerek I. Elméleti összefoglaló Logikai műveletek A matematikai logika állításokkal foglalkozik. Az állítás (vagy kijeletés) olya kijelető modat, amelyről egyértelműe

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek Wieer folyamatok A következő két feladat azt mutatja, hogy az az eseméy, hogy egy sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriájú-e vagy sem em határozható meg a folyamat véges dimeziós eloszlásai segítségével,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL 1.Példa: Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert: 1. Paramétert nem tartalmazó eset x 1 + 3x 2-2x 3 = 2-2x 1-5x 2 + 4x 3 = 0 3x 1

Részletesebben

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu Polinomgy r k Dr. Vattamány Szabolcs 1. Bevezet Ezen jegyzet célja, hogy megismertesse az olvasót az egész, a racionális, a valós és a komplex számok halmaza fölötti polinomokkal. A szokásos jelölést használjuk:

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

MATEMATIKA I. FEKETE MÁRIA. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MATEMATIKA TANSZÉK feketemt@witch.pmmf.hu

MATEMATIKA I. FEKETE MÁRIA. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MATEMATIKA TANSZÉK feketemt@witch.pmmf.hu MATEMATIKA I. FEKETE MÁRIA PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MATEMATIKA TANSZÉK feketemt@witch.pmmf.hu 007 PMMANB3 Matematika I. RÉSZLETES TANTÁRGYPROGRAM Hét Ea/Gyak./Lab.. 3 óra előadás

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók 5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 A kiterjesztési elv 2 Nyelvi változók A kiterjesztési elv 237 A KITERJESZTÉSI ELV A

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges.

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges. ERMODINMIK I. FÉELE els eergia: megmaraó meyiség egy izolált reszerbe (eergiamegmaraás törvéye) mikroszkóikus kifejezését láttuk Izolált reszer falai: sem mukavégzés sem a reszer állaotáak mukavégzés élküli

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

A természetes számok halmaza (N)

A természetes számok halmaza (N) A természetes számo halmaza (N) A természetes számoat étféleéppe vezethetjü be: ) A Peao-féle axiómaredszerrel ) Evivalecia osztályo segítségével ) A természetes számo axiomatius értelmezése. A Peao-axiómá

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

iíiíi Algoritmus poligonok lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógépes adatelőkészítés pattern generátor vezérléséhez)

iíiíi Algoritmus poligonok lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógépes adatelőkészítés pattern generátor vezérléséhez) iíiíi á HlftADÁSfCCHNIKAI TUOOHANfOS EGYíSBLIT (APJA KULCSÁR GÁBOR Híradástechikai Ipari Kutató Itézet Algoritmus poligook lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógép adatelőkészítés patter

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 1 Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések A matematikában alapfogalmaknak tekintjük azokat a fogalmakat, amelyeket nem határozunk meg, nem definiálunk más fogalmak segítségével

Részletesebben

Általánosított mintavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására

Általánosított mintavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására Általáosított mitavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására Dr. Földvári Rudolf BME Híradástechikai Elektroika Itézet ÖSSZEFOGLALÁS Az általáosított mitavétel külöböző esteiek bemutatása

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

festményeken és nem utolsó sorban az emberi test különböz arányaiban. A következ képek magukért beszélnek:

festményeken és nem utolsó sorban az emberi test különböz arányaiban. A következ képek magukért beszélnek: Az araymetszés és a Fiboacci számok mideütt Tuzso Zoltá Araymetszésrl beszélük, amikor egy meyiséget, illetve egy adott szakaszt úgy osztuk két részre, hogy a kisebbik rész úgy aráylik a agyobbikhoz, mit

Részletesebben

Kontra József A pedagógiai kutatások módszertana

Kontra József A pedagógiai kutatások módszertana Kotra József A pedagógiai kutatások módszertaa egyetemi jegyzet A kiadváyt A kompetecia-alapú pedagógusképzés regioális szervezeti, tartalmi és módszertai fejlesztése (TÁMOP - 4.1..-08/1/B-009-0003) című

Részletesebben

A + B = B + A, A + ( B + C ) = ( A + B ) + C.

A + B = B + A, A + ( B + C ) = ( A + B ) + C. 6. LOGIKAI ÁRAMKÖRÖK Számítógépekben, műszerekben, vezérlő automatákban alapvető szerep jut az olyan áramköröknek, melyek valamilyen logikai összefüggést fejeznek ki. Ezeknek a logikai áramköröknek az

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy a Nemzeti Fejlesztési Terv Humáerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3... közpoti program (Pedagógusok és oktatási szakértők

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy KHF/438-3/008. egedélyszámo 008..0. időpottól taköyvi egedélyt kapott Educatio Kht. Kompeteciafejlesztő oktatási program kerettaterv

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben

Módszertani kísérlet az életpálya fogalmának formalizálására Előtanulmány a fiatal biológusok életpályakutatását célzó támogatott projekthez

Módszertani kísérlet az életpálya fogalmának formalizálására Előtanulmány a fiatal biológusok életpályakutatását célzó támogatott projekthez [ξ ] Módszertai kísérlet az életpálya fogalmáak formalizálására Előtaulmáy a fiatal biológusok életpályakutatását célzó támogatott projekthez Soós Sádor ssoos@colbud.hu; 2009/9 http://www.mtakszi.hu/kszi_aktak/

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

é ö é Ö é ü é é ö ö ö ü é é ö ú ö é é é Ő ö é ü é ö é é ü é é ü é é é ű é ö é é é é é é é ö ö í é ü é ö ü ö ö é í é é é ö ü é é é é ü ö é é é é é é é é é é é é é é é ö é Í ö í ö é Í í ö é Í é í é é é é

Részletesebben

Csernicskó István Hires Kornélia A kárpátaljai magyarok lokális, regionális és nemzeti identitásáról

Csernicskó István Hires Kornélia A kárpátaljai magyarok lokális, regionális és nemzeti identitásáról 8 Sztakó Péter 00 Eticitás Körösszakálo. Szakdolgozat. DENIA (Debrecei Néprajzi Itézet Adattára) Vermeule, Has Govers, Cora (ed.) 99 The Atropology of Ethicity. Beyod Ethic Groups ad Boudaries. Amsterdam:

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

1. előadás Matematikai és nyelvi alapok, Szintaktikai vizsgálat

1. előadás Matematikai és nyelvi alapok, Szintaktikai vizsgálat 1. előadás Matematikai és nyelvi alapok, Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Matematikai alapfogalmak Halmazok Relációk Függvények Homomorfizmusok Nyelvi alapfogalmak Ábécé, szavak, nyelvek Műveletek

Részletesebben

27.B 27.B. Alapfogalmak, logikai függvények és leírásmódjaik

27.B 27.B. Alapfogalmak, logikai függvények és leírásmódjaik 7.B 7.B 7.B Digitális alapáramkörök Logikai alapfogalmak Mutassa be a logikai függvéyek leírási módjait: a szövegeset, az igazság táblázatosat, a logikai vázlatosat és az algebrai alakkal törtéı leírást!

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az irányát.

Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az irányát. 1. Vektorok 1.1. Alapfogalmak, alapműveletek 1.1.1. Elméleti összefoglaló Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az

Részletesebben

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK a FIZIKA kétszitű érettségire felkészítő tafolyamhoz A fizika mukaközösségi foglalkozásoko és a kétszitű érettségi való vizsgáztatásra felkészítő tafolyamoko 004-009-be elhagzottak

Részletesebben

Napjainkban többféle álláspont támasztja alá, vagy vonja kétségbe a kvalitatív

Napjainkban többféle álláspont támasztja alá, vagy vonja kétségbe a kvalitatív Iskolakultúra 202/3 Sátha Kálmá Kodoláyi Jáos Főiskola Neveléstudomáyi Taszék Numerikus problémák a kvalitatív megbízhatósági mutatók meghatározásáál A taulmáy a kvalitatív vizsgálatok megbízhatósági problémáiak

Részletesebben

Folyadékkal mûködõ áramlástechnikai gépek

Folyadékkal mûködõ áramlástechnikai gépek 3. ÖRVÉNYSZIVATTYÚK A folyadékkal működő gépeket több szempot szerit lehet csoportokba osztai. Az egyik fő csoportjuk a folyadékba rejlő mukavégző képességet haszálja fel, és alakítja át a folyadék eergiáját,

Részletesebben

2. modul Gazdasági matematika

2. modul Gazdasági matematika Matematika A. évfolyam. modul Gazdasági matematika Készítette: Lövey Éva Matematika A. évfolyam. modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA Taári útmutató A modul célja Időkeret Ajálott korosztály Modulkapcsolódási potok

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +

Részletesebben

CIVIL VERDIKT. ELMÉLETILEGnn. Elõzmények. CIVIL SZEMLE n 2007/1 n n n n n n n19. Márkus Eszter. Az egyesületek nyilvántartásba vétele

CIVIL VERDIKT. ELMÉLETILEGnn. Elõzmények. CIVIL SZEMLE n 2007/1 n n n n n n n19. Márkus Eszter. Az egyesületek nyilvántartásba vétele csz10 elm 2 birosag.qxd 2007. 02. 25. 17:56 Page 19 ELMÉLETILEG CIVIL VERDIKT Az egyesületek yilvátartásba vétele Márkus Eszter Ilye eddig még em volt. A megyei bíróságok, ítélõtáblák és fõügyészségek

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,

Részletesebben

Δ x Δ px 2. V elektromos. nukleáris. neutron proton

Δ x Δ px 2. V elektromos. nukleáris. neutron proton Nukleáris kölcsöhatás: az atommagba számú proto, és N = számú eutro va, és stabil képződméy Mi tartja össze az atommagot? Heiseberg-féle határozatlasági reláció alapjá egy ukleo becsült kietikus eergiája

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Ü Á Á ó Ü É É Ó Á É ó ó á ó á É á é é ö é é ó é é á á á úé í ú é ö é ó á á á í é ö í á á Ö é é á é ó é é é é ó é ü í í á á á ö é á é é é é é ó é Ü ő á é í ó ó ö ü í á á í ü á á ó á íí ó á ó ő á é é ö ö

Részletesebben

Alkalmazott tudományok Irodalom - Nyelvtudomány. Lektorálták: Dr. Fehér Zsuzsanna (PEME) Prof. Dr. M. H. Tewolde (Edutus)

Alkalmazott tudományok Irodalom - Nyelvtudomány. Lektorálták: Dr. Fehér Zsuzsanna (PEME) Prof. Dr. M. H. Tewolde (Edutus) Alkalmazott tudomáyok Irodalom - Nyelvtudomáy Lektorálták: Dr. Fehér Zsuzsaa (PEME) Prof. Dr. M. H. Tewolde (Edutus) Tartalom Fekete Imre: Ekvivales Lax-stabilitási fogalom és alkalmazása a traszport egyeletre

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

A rekurzív módszer Erdős Gábor, Nagykanizsa

A rekurzív módszer Erdős Gábor, Nagykanizsa Maga zitű matematikai tehetéggodozá A rekurzív módzer Erdő Gábor, Nagykaiza Gyakra találkozuk olya feladatokkal, amelyekbe agy zámok zerepelek: pot, zámkártya, tb. Az ilye eetekbe kézefekvő ötlet, hogy

Részletesebben

Molnár Györgynének, aki korrekt szigorúságával a középiskolában alapozta

Molnár Györgynének, aki korrekt szigorúságával a középiskolában alapozta Ajánlom ezt a könyvet illetve sorozatot mind közül is legkedvesebb tanáraimnak, Molnár Györgynének, aki korrekt szigorúságával a középiskolában alapozta meg szeretetemet a matematika iránt, és Pósa Lajosnak,

Részletesebben

I. Vektor fogalma, tulajdonságai

I. Vektor fogalma, tulajdonságai 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató I. Vektor fogalma, tulajdonságai Módszertani megjegyzés: Az 1. és. fejezet az eddig tanultak rendszerezett és kibővített átismétlése. Bevezetőként kereshetünk

Részletesebben

Programozási Módszertan definíciók, stb.

Programozási Módszertan definíciók, stb. Programozási Módszertan definíciók, stb. 1. Bevezetés Egy adat típusát az adat által felvehető lehetséges értékek halmaza (típusérték halmaz, TÉH), és az ezen értelmezett műveletek (típusműveletek) együttesen

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Matematika (alsó tagozat)

Matematika (alsó tagozat) Matematika (alsó tagozat) Az értékelés elvei és eszközei A tanév során az értékelés alapja a tanulók állandó megfigyelése. Folyamatos fejlesztő célzatú szóbeli értékelés visszajelzést ad a tanuló számára

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben