194 Műveletek II. MŰVELETEK A művelet fogalma

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma"

Átírás

1 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya, aztá a természetes számok szorzásával Erre épült késő az egész számok összeadása, kivoása, szorzása, majd ugyaezek a műveletek racioális, valós és komplex számokra Ugyacsak a műveletek körée sorolhatók a (pozitív) valós számok hatváyozása, a mátrixok összeadása, a mátrixok szorzása, függvéyek összetétele, halmazok egyesítése, metszete, vektorok összeadása, st Késő láti fogjuk, hogy műveletek értelmezhetők tetszőleges halmazo is, ilye érteleme műveletek tekithető például a fizikáa izoyos részecskék találkozásakor végemet fúzió, kémiáa izoyos reakciók, iológiáa a kereszteződések, st Vizsgáljuk meg, hogy mi a közös a fete felsorolt műveleteke Elsősora midig megadtuk, hogy milye halmazo értelmeztük a műveletet Például a természetes számok összeadása külöözik a racioális számok összeadásától, legfelje ayit modhatuk, hogy a egy részhalmazá, az halmazo az összeadás megegyezik a természetes számok összeadásával (lásd késő: idukált művelet) Tehát fotos az, hogy kikössük: milye halmazo értelmezzük a műveletet Az elő említett műveletek midegyike a kitütetett halmaz tetszőleges két eleméek egyértelműe megfeleltet egy harmadikat Például: a) Természetes számok összeadásakor, a 34, számok összege 3 4 = 7, modhatjuk, hogy a ( 34, ) számpárak megfeleltetük az összeadás műveletével egy számot az halmazól Általáa, a, -re az ( a, ) a megfeleltetés írható fel ) Valós számok kivoásakor is hasolóa járuk el, csak más a kitütetett halmaz és a megfeleltetési szaály Például, 8 eseté a (, 8) valós számpárak a kivoás műveletével megfeleltetjük a 8 = 3 valós számot c) Halmazok egyesítése Mivel ee az esete a művelet két halmazak feleltet meg egy harmadikat, a kitütetett halmaz egy halmazcsalád, általáa az X em üres halmaz részhalmazaiak a családja, vagyis a P ( X ) Tehát az M, N P ( X) halmazokra az ( MN, ) redezett halmazpárak megfeleltetjük az M N P ( X) halmazt: ( MN, ) M N P ( X) A megfeleltetés egyértelmű d) m -es mátrixok összeadása Ee az esete a kitütetett halmaz az ( ) Az AB M ( ) mátrixok eseté ( AB, )-ek megfeleltetjük az M m,, m, A B M m, ( ) mátrixot: ( AB, ) A B Mm, ( ) e) A H halmazo értelmezett, értékeit H -ól vevő függvéyek összetétele Most a kitütetett halmaz az f : H H típusú függvéyek halmaza Jelöljük ezt a halmazt H H -al Tehát, f H f g H eseté az (, ) H g H függvéyt Például, ha H, f g redezett párak megfeleltetjük az = f, g :, f ( x ) = x és

2 Műveletek 95 g( x) = x, x, akkor ( f, g ) f g és ee az esete ( f g) ( x) = g( x) = A megfeleltetés most is egyértelmű x A feti példákól kitűik, hogy a művelet tulajdoképpe egy függvéy, ϕ : M M M, ahol M a kitütetett halmaz Értelmezés Legye M egy em üres halmaz A tetszőleges ϕ : M M M függvéyt az M halmazo értelmezett első műveletek evezzük Az értelmezés alapjá a ϕ első művelet mide ( xy, ) M M redezett ϕ elempárak megfeleltet egyetle M -eli elemet: ( xy, ) ϕ ( xy, ) M Általáa ϕ helyett a,,, :,,,,, st jeleket szoktuk haszáli Ha a művelet additív, akkor a jelölést, ha multiplikatív, akkor a jelölést haszáljuk Az elői a) példa eseté a természetes számok halmazá értelmezett összeadás a :, ( xy, ) x y függvéy Hasolóa, az -e értelmezett összeadás a :, ( xy, ) x y függvéy Most már yilvávaló a külöség a természetes számok és a valós számok halmazá értelmezett összeadás között: két külööző függvéyről va szó, viszot a függvéy leszűkítése -re megegyezik a függvéyel Általáa helyett egyszerűe csak a jelt írjuk, ha em áll fe az összetéveszthetőség veszélye A c) példa eseté : P( X) P( X) P ( X), ( MN, ) M N Megjegyzések A első művelet általáosítja az eddig tault sajátos műveletek töségét, viszot például a mátrixok szorzását em Valóa, a XI osztálya taultak alapjá egy m -es mátrixot összeszorozhatuk egy k -s mátrixszal és eredméykét egy m k -s mátrixot kapuk, viszot két m -es mátrixot csak akkor tuduk összeszorozi, ha m = Ezek alapjá általáa a mátrixok szorzását em értelmezhetjük ϕ : M M M függvéykét Ezért a továiaka, ha a mátrixok szorzását tekitjük mit műveletet, akkor csak az -es mátrixok halmazá foguk dolgozi, ahol : "": M ( ) M ( ) M ( ), vagy "" : M ( ) M ( ) M ( ) Ez a hia feloldható, ha a műveletet még általáosaa értelmezzük: em ϕ : M M M típusú függvéykét, haem ϕ = ( M M, M, R) típusú relációkét, ahol R = {(( x, y), z) ( M M) M ( x, y) ϕ z } Az ( xy, ) és z elemek akkor vaak ϕ relációa, ha az x és y elemeke elvégezhető a művelet és aak eredméye z A mátrixok szorzását értelmezheték a következő módo Legye M az összes mátrixok halmaza, típusuktól függetleül A megszokott mátrixszorzást jelölje a művelet Két M -eli mátrixól alkotott ( AB), pár szorzatát csak akkor képezhetjük, ha A és B összeszorozhatók, ezért M -e a

3 96 Műveletek szorzást a ϕ = ( M, M, R) reláció jellemzi, amely szerit az ( AB, ) és A B típusú elemek lehetek csak relációa, és csak akkor, ha A B elvégezhető A következőke eltekitük ettől az észrevételtől és első művelet alatt midig egy ϕ : M M M függvéyt foguk értei Mivel a első művelet egy jól értelmezett függvéy, a művelet eredméye mide xy, M eseté egyértelmű Ha ϕ : M M M egy művelet, akkor a ϕ ( xy, ) = xϕy M elemet a művelet eredméyéek evezzük, mide x, y M-re 3 A első műveletet szokás iáris első műveletek is evezi (mivel két M -eli elemek feleltet meg egy M -eli elemet) 4 A első művelet két M -eli elemek feleltet meg egy M -eli elemet, tehát az eredméy is midig az M halmaza va Ie adódik a első jelző Értelmezhetük külső műveletet is, lásd például a Vektorterek paragrafust Addig viszot művelet alatt midig első műveletet foguk értei 5 A műveletet azért értelmezzük az M M Descartes szorzato, mert léyeges az elemek sorredje Legye például : a valós számok kivoása ( 35, ) 3 5= és ( 53, ) 5 3=, tehát a művelet eseté fotos, hogy milye sorrede írtuk a számokat: (a kivoás em kommutatív) Az eddigi példák már ismert műveletek voltak A következő példáka új műveleteket vezetük e a) Összeadás mod és szorzás mod R -e Jelöljük R = : R {0,,,, } Értelmezzük az összeadást és a szorzást R -e: : R R R, x y : = az ( x y) -ak -el való osztási maradéka, xy, R; -el az egész számok -el való osztási maradékaiak halmazát, ahol : R R R, x y : = az xy -ak -el való osztási maradéka, xy, R Vegyük észre, hogy az elői műveletek jól értelmezettek, mert két tetszőleges R -eli elem összege és szorzata mo d egyértelmű és R -e va Például, R -e az összeadást 5 és a szorzást az alái tálázatokkal jellemezhetjük (lásd késő: művelettála) ) Összeadás és szorzás -e Az I fejezete evezettük a faktorhalmazt Értelmezzük az összeadást és szorzást -e: : xy, x y : = x y,, ; :, x y : = x y, xy,

4 Műveletek 97 Általáa a és helyett a és jelöléseket haszáljuk, ha egyértelmű, hogy melyik műveletről va szó Így például az x y esetée a yilvá -eli összeadást jelet, míg az x y kifejezése az összeadás a szokásos összeadás - e Vizsgáljuk meg, hogy jól vaak-e értelmezve az elői műveletek: egyértelmű-e az eredméy és -ől va-e? Az eredméy -e va az értelmezés alapjá Vizsgáljuk az egyértelműséget Meg kell ézzük, hogy az x és y osztályok két külööző reprezetására, az x, x x és y, y y egész számokra teljesül-e az x y = x y egyelőség Mivel x, x x kl, úgy, hogy x = k x és x = l x és hasolóa a, úgy, hogy y = a y, y = y Így x y = k a x y, vagyis ( x y ) ( x y) = ( a k), ahol a k, tehát ( x y ) ( x y) és így x y Az x y(mod ) ekvivalecia relációk azo tulajdosága alapjá, hogy ha u ~ v, akkor u osztálya megegyezik v osztályával, írhatjuk, hogy x y = x y Hasolóa, x y = x y, tehát x y = x y, vagyis az összeadás -e egyértelmű Hasolóa igazolható, hogy a szorzás is egyértelmű Az elői jelöléseket haszálva, xy = ( k x)( a y) = ( ak ky ax) xy, tehát xy xy= ( ak ky ax), ahol ak ky ax, vagyis xy ( mod) Megjegyzés Ha elkészítjük a 5 xy művelettáláit, észrevesszük, hogy az összeadás művelettálája megegyezik az R -eli összeadás művelettálájával, ha em vesszük 5 figyeleme, hogy a -eli elemeket 0,,, 3, 4 -pal jelöltük Hasoló összefüggés 5 áll fe a szorzásra is c) Permutációk szorzása S -e H Legye H = { 3,,,, } és jelöljük S -el a H -ak azt a részhalmazát, amely { : ijektív} csak a ijektív függvéyeket tartalmazza: S = f H H f Legye σ S A σ függvéyt megadhatjuk egy kétsoros tálázat segítségével: 3 σ = σ() σ( ) σ( 3) σ( ) Mivel σ ijektív függvéy, ezért a σ(), σ( ),, σ( ) elemek párokét külöözek tehát az,,, számok egy permutációját alkotják Ez a permutáció jellemzi a σ függvéyt, ezért S elemeit -ed fokú vagy -ed redű permutációkak szoktuk evezi Az elői észrevétel alapjá S -ek! eleme va Mivel a ijektív függvéyek összetétele ijektív, és az összetétel egyértelmű, értelmezhetjük a S S S műveletet (a függvéyösszetétel S -e): :

5 98 Műveletek στ eseté ( σ τ)( k) : = σ τ( k), k =,, S ( ) Például, S elemei a következő permutációk: 3 3 σ = 3, σ 3, 3 =, 3 σ = σ = 4 3, 3 σ, σ 3 = 5 3 = 6 3 A függvéyösszetételt S -e a permutációk szorzásáak szokás evezi Megoldott feladatok Vizsgáljuk meg, hogy az alái megfeleltetések műveletek-e a megadott halmazo? x y a) xy,, ( xy, ) x y: = ; x y ) xy,, ( xy, ) x y: = ; c) xy,, ( xy, ) x y: = xy; d) xy,, ( xy, ) x y: = xy; e) z, z, ( ) z, z z z : = z z, ahol a és műveletek redre a megfelelő halmazo értelmezett összeadás és szorzás Megoldás Meg kell vizsgáluk, hogy a megfeleltetések ϕ : M M M típusú függvéyek-e? x y x y a) Mivel xy, eseté értelmezett, egyértelmű és, valóa művelet -e x y ) Létezik olya xy,, hogy, ezért a megfeleltetés em lesz x y 3 művelet -e Például x = és y = -re = c) x = és y = -re xy =, tehát em lesz művelet -e d) Mivel xy, eseté xy egyértelmű, a megfeleltetés valóa művelet lesz -o e) Ee az esete azért em lesz művelet, mert a megfeleltetés em egyértelmű (vagyis em lesz - értelmezett, értékeit -ől vevő függvéy, csak most más okól, mit az eddigi ellepéldáka: a felvett értékek -e maradak, csak éppe em leszek egyértelműek) Például x =, y = i -re x y = i = ± i

6 Műveletek 99 Az elői példák alapjá, ha egy megfeleltetésről azt kívájuk elleőrizi, hogy művelet-e, akkor meg kell vizsgáluk, hogy ϕ : M M M típusú függvéy-e, ahol M a kitütetett halmaz Ez általáa két lépése törtéik: ) Egyértelmű-e az eredméy? ) Az eredméy az M halmaza va-e? A halmaza értelmezzük az x y műveletet úgy, hogy xyzt,,, eseté teljesüljeek az alái feltételek: a) ( x y) ( z t) = ( x z) ( y t) ; ) x x = ; c) x = x Számítsuk ki mat Megoldás Ha a)-a y = x és t = értékeket helyettesítük, kapjuk, hogy x ( x x) z ( xz) = x, xz, Felhaszálva a ) és c) feltételeket, következik, hogy z = xz, x, z Az utói összefüggése x -et x x -szel z helyettesítve, kapjuk, hogy z x =, xz,, vagyis a művelet potosa a x 7 szokásos osztás a halmaza Tehát 7 43 = 43 Műveletekre ézve zárt részhalmazok Idukált művelet Vizsgáljuk a :, a : = a, a, műveletet Ha a és tetszőleges zérótól külööző természetes számok, akkor a = a = a a a, -szer tehát a, -ra a és azt modjuk, hogy az halmaz zárt (stail) részhalmaza -ak a műveletre ézve Hasolóa, a, eseté em áll fe az a összefüggés, mert például a =, = -ra = a, tehát em stail részhalmaza -ak a műveletre ézve A feti észrevételek alapjá a művelet leszűkítése az halmazra szité művelet lesz, jelöljük ezt a műveletet -gyel, :, x y = x y, x, y Azt modjuk, hogy a művelet a művelet -ra való leszűkítése, vagy a által idukált művelet -a Mivel em stail részhalmaza -ak -ra ézve, ezért em idukál műveletet -o Értelmezés Adott az M halmazo egy ϕ művelet Az M -ek egy H részhalmaza a ϕ műveletre ézve zárt (vagy stail) részhalmaza az M -ek, ha xy, H ϕ ( xy, ) H

7 00 Műveletek Ha H stail részhalmaza M -ek a ϕ műveletre ézve, akkor a H halmazo értelmezhetük egy ϕ műveletet a következőképpe: ϕ : H H H, ϕ ( xy, ) : = ϕ ( xy, ), xy, H A ϕ műveletet a ϕ művelet H -ra voatkozó leszűkítéséek, vagy a ϕ által H -a idukált műveletek evezzük Példák A :, ( a, ) a műveletre ézve,,,, stail részhalmazai -ek Az idukált műveletek potosa a megfelelő számhalmazo értelmezett összeadások leszek : Az ":":, ( a, ) a: műveletre ézve stail részhalmaza -ak, mert két zérótól külööző racioális szám háyadosa racioális Az idukált művelet a zérótól külööző racioális számok osztása A halmaz em stail részhalmaza -ak, mert -a az osztás em első művelet 3 A "" : műveletre ézve = z z páratla stail { } részhalmaza -ek, mert két páratla szám szorzata páratla, viszot például H = z z < 0 em stail részhalmaz { } 4 Az : műveletre ézve (függvéyek összetétele) az U = { f f ( 0) = 0} részhalmaz stail részhalmaza -ek, mert f, g U f ( 0) = 0, g( 0) = 0 ( f g) () 0 = f ( g() 0 ) = 0 f g U 3 Műveletek tulajdoságai Az,,,, számhalmazoka végzett és műveletek eseté megszoktuk, hogy izoyos tulajdoságok midig teljesülek Így em merül fel kérdés például akkor, amikor -e azt írjuk, hogy 3 5 = 0, holott visszatekitve a műveletek értelmezésére, a c-t em értelmeztük, csak a -t Tehát, ha a c-t akarjuk értelmezi, el kell döteük, hogy milye sorrede végezzük el a két műveletet: először elvégezzük az ( a ) -t és az eredméyhez hozzáadjuk a c -t, tehát a c = (a ) c, vagy máskét járuk el, a ( c)- hez adjuk alról az a -t: a c = a ( c) Valós számok összeadásáál ez midegy, mert az összeadás asszociatív: ( a ) c = a ( c), ac,, Viszot ha tekitjük a, a : = a műveletet, akkor a c-ek ics értelme, mert c c c c c a c = a c = a =a és a ( c) = a = a és általáa a a ( ) ( ) c : Hasolóa megszoktuk, hogy az a = egyelőség midkét oldalához hozzáadhatjuk ugyaazt a kifejezést, tehát a = a c = c, c és ugyaez feáll a szorzásra is Vajo tetszőleges művelet eseté, ha : M M M, a,, a, M úgy, hogy a = és a =, akkor feáll-e az a a = összefüggés?

8 Műveletek 0 A válasz igelő, a művelet értelmezése alapjá: mivel a művelet jól értelmezett aa, =, = = függvéy, ezért az ( ) egyelőségől (a és a a feltétel szerit) ( ) következik a ( aa, ) = (, ) összefüggés (mert a megfeleltetés egyértelmű), ami potosa az a a = összefüggést jeleti Ezt a tulajdoságot evezzük a helyettesítés törvéyéek, és eől következek azok a tulajdoságok, hogy egyelet midkét oldalához hozzáadhatjuk ugyaazt a számot, az egyeletet szorozhatjuk ugyaazzal a számmal, az egyelőség változása élkül Ugyaakkor láttuk, hogy valós számok eseté a szorzás kommutatív, vagyis a,, a = a, viszot ez a tulajdoság mátrixok szorzására, vagy függvéyek összetételére em érvéyes A következőke általáosa tárgyaljuk a műveletek éháy tulajdoságát 3 Asszociativitás Az elői példa alapjá adott M halmaza értelmezett : M M M művelet eseté az a,, c M elemekre a c -ek általáa ics értelme, mert em midegy, hogy milye sorrede végezzük el a műveleteket: általáa ( a ) c a ( c) Értelmezés A : M M M, ( xy, ) x yműveletet asszociatív műveletek evezzük, ha ( a ) c = a ( c), a,, c M eseté Asszociatív művelet eseté ármilye (, ac, ) M M M számhármasra elletmodásmetese eszélhetük az a c elemről, értelmezés szerit a c : = ( a ) c = a ( c), tehát a zárójeleket elhagyhatjuk Példák asszociatív és em asszociatív műveletre,,,, -e az összeadás és szorzás asszociatív műveletek Az X em üres halmaz eseté P ( X )-e az egyesítés, a metszet és a szimmetrikus külöség asszociatív műveletek (lásd az I fejezetet) 3 M ( ) -e az összeadás és a szorzás asszociatív műveletek, a XI osztálya taultak alapjá E 4 E -e a függvéyek összetétele asszociatív művelet Az utói tulajdoságot igazoljuk: legyeek f, gh, : E Etetszőleges függvéyek x E eseté (( f g) h)( x) = ( f g) ( h( x) ) = f [ g( h( x) )] = [( )( )] ( ( ))( ) = f g h x = f g h x, tehát ( f g) h = f ( g h) 5 R -e az összeadás mod és a szorzás mo d asszociatív műveletek Bizoyítás Mivel az összeg maradéka egyelő a maradékok összegéek maradékával, tetszőleges a,, c R eseté a ( c) = a ( c) osztási maradéka -el ; ( a ) c = ( a ) c osztási maradéka -el

9 0 Műveletek Viszot -e az összeadás asszociatív, tehát a ( c) = ( a ) c, ezért az - el való osztási maradékuk is megegyezik, tehát ( a ) c = a ( c) Hasolóa igazolható a szorzás asszociativitása is 6 -e az összeadás és szorzás asszociatív A izoyítást ugyaúgy végezzük el, mit R -e y 7 -e az x y : = x, xy, műveletre y y ( x y) z x z = z = x, xyz,, és y z y z x ( y z) = x = x, xyz,, 4 Tehát z 0 eseté ( x y) z x ( y z) és így a művelet em asszociatív Megoldott feladatok Igazoljuk, hogy az :, a : = a a, a, függvéy egy em asszociatív művelet -e Bizoyítás valóa művelet, mert a, eseté a a és a egyértelmű (vagyis a függvéy jól értelmezett) Igazoljuk, hogy em asszociatív Ha a,, c tetszőlegesek, akkor a ( c) = a ( c c) = a ( c c) a c c = = ac a ac a c c és ( a ) c = ( a a ) c = ac ac c a a c Az a ( c) = ( a ) c egyelőség csak akkor teljesül, ha ac a ac a c c = ac ac c a a c Ez ekvivales az ac = c egyelőséggel, ami em teljesül mide a,, c eseté (em áll fe például a = és c = eseté) Így a művelet em asszociatív Igazoljuk, hogy a :, a : = a a művelet asszociatív Megoldás Köye elleőrizhető, hogy valóa művelet Ha a,, c tetszőlegesek, akkor a ( c) = a ( c c) = a c c a ac ac = = a c ( a ac c) ac és ( a ) c = ( a a) c = a a c ac c ac = = a c ( a ac c) ac, tehát a ( c) = ( a ) c, ac,, 3 Az m valós paraméter mely értékeire lesz a :, a : = a a m, a, művelet asszociatív? Megoldás ac,, eseté a ( c) = a ( c c m) = ac a ac am a c 4 4c m m = = ac ( a ac c) ( m ) a 4 4c 3m ;

10 Műveletek 03 ( a ) c = ( a a m) c = = ac ( a ac c) 4a 4 ( m c ) 3m Az ( a ) c = a ( c) egyelőség csak akkor teljesülhet mide a,, c eseté, ha m = 4, tehát m = Mit láttuk, tetszőleges művelet eseté em áll móduka három elem szorzatáak az értelmezése És így ehéz haszálható elméletet kidolgozi a műveletről és a halmazról, amelye értelmezett a művelet Ahhoz, hogy három elemet össze tudjuk szorozi, szükségük va az asszociativitásra Viszot ha égy elem szorzatát kell kiszámoluk, akkor asszociatív művelet eseté is, ismét tö lehetőség va: a c d = a ( c d), vagy a c d = ( a c) d, vagy a c d = ( a ) ( c d)? Ezért az asszociativitás ismét keveset árula el a halmazo értelmezett műveletről, ha a c d em lee egyértelmű A következő tétel értelmée az asszociativitás elégséges feltétel ahhoz, hogy az a a a kifejezés egyértelmű legye, tetszőleges \{ 0,, } eseté Tétel Ha egy asszociatív művelet M -e, akkor az a a kifejezés egyértelműe meghatározott,, 3 és a, a,, a M eseté Bizoyítás A matematikai idukció módszerét alkalmazzuk = 3 -ra az a a kifejezés egyértelmű az asszociativitás miatt a 3 Ha elfogadjuk, hogy m eseté a a a egyértelmű, eseté, a M i ahol i =,, akkor az a a a kifejezés összes lehetséges kiszámolása az m ( a a a ) ( a am a ) j j m esetre vezetődik vissza, ahol j {,,, m} Az idukciós feltétel szerit midkét zárójel egyértelmű, így csak azt kell igazoli, hogy tetszőleges j, j {,,, m} -re ( a a a ) ( a a ) = ( a a ) ( a a ) () j j m j j m Feltételezhetjük, hogy j < j Ekkor az A= a a a, B = a a, j j j C = a a jelöléseket evezetve és felhaszálva, hogy az idukciós feltevés j m szerit A, B és C egyértelműek, () ekvivales az ( A B) C = A ( B C) összefüggéssel, ami teljesül az asszociativitás miatt, tehát a matematikai idukció elve alapjá, és a M, i =, eseté a a a egyértelmű 3 Kommutatív műveletek i Értelmezés Az M halmaza értelmezett műveletet kommutatívak evezzük, ha a, M eseté a = a Példák kommutatív és em kommutatív műveletre Az,,,, halmazoka a szorzás és összeadás kommutatív műveletek

11 04 Műveletek Az M ( ) halmaza a mátrixok összeadása kommutatív, viszot a mátrixok szorzása em kommutatív 3 Az -e értelmezett függvéyösszetétel em kommutatív Ezt egy ellepélda segítségével igazoljuk Legye f, g :, fx ( ) = 3x és gx ( ) = x ( f g) ( x) = 3x, valamit ( g f) ( x) = ( 3x) = 9x, tehát f g g f, vagyis az összetétel em kommutatív -e 4 R -e a és műveletek kommutatív műveletek 5 -e a és műveletek kommutatív műveletek 6,,, -e a kivoás em kommutatív művelet 7 Legye Ox y egy síkeli koordiátaredszer Értelmezzük a síkeli potok halmazáa a következő műveletet: :, eseté ( x, y ) ( x, y ): = ( x x,y y ) ( x, y ), ( x, y ) eseté ( x, y ) ( x, y ) ( x x, y y ) ( x x, y y ) ( x, y ) ( x, y ) kommutatív, írhatjuk, hogy x, y, x, y ( ) ( ) Mivel a valós számok összeadása = = =, tehát az így értelmezett összeadás a síkeli potok halmazáa kommutatív művelet Megjegyzések A 7 példáa értelmezett művelet megegyezik a síkeli szaad vektorok összeadásával, amivel már találkoztatok a IX osztálya Az asszociativitás és kommutativitás örökletes tulajdoságok, vagyis ha ϕ : M M M egy művelet és H stail részhalmaza M -ek a ϕ műveletre ézve, valamit ϕ a ϕ által H -a idukált művelet, akkor ϕ asszociativitásáól ϕ következik asszociativitása és ϕ kommutativitásáól következik ϕ kommutativitása A izoyítást csak a kommutativitásra végezzük el xy, H, ϕ ( xy) = ϕ( xy, ) (), Viszot ϕ kommutatív és xy, H xy, M, tehát írhatjuk, hogy ϕ( xy, ) = ϕ(y, x) H (), mert y, x H () és () alapjá ϕ(,) xy ϕ (, yx) ϕ (, yx), vagyis ϕ kommutatív művelet H -a = = Ez a megjegyzés a következőke sokat fog köyítei az egyes tételek izoyításá, illetve feladatok megoldásá, segítségével izoyos eseteke hivatkozhatuk az asszociativitás (kommutativitás) örökletességére és em kell azt izoyítauk 33 Semleges elem A : művelet eseté tudjuk, hogy létezik egy 0 -val jelölt elem -e, amelyre feáll, hogy m eseté 0 m = m 0 = m és ez az elem az egyedüli, amely ezzel a tulajdosággal redelkezik 0-t a semleges eleméek evezzük a műveletre voatkozóa Hasolóa, a : műveletre

12 Műveletek 05 voatkozóa semleges elem, mert m = m = m, m Ugyaezek a megállapítások érvéyesek az számhalmazokra is = 0 0 M ( ) -e a 0 = mátrix az összeadásra ézve és I a szorzásra ézve semleges elem: 0 A= A 0 = A, A M ( ) ; I A= A I = A, A M ( ) Eltekitve a kitütetett halmaztól és művelettől, láthatjuk, hogy a semleges elem ugyaazzal a tulajdosággal redelkezik, ezért kézefekvő a következő általáosítás: Értelmezés Az e M elemet semleges elemek evezzük a : M M M műveletre ézve, ha x M eseté e x = x e = x Vegyük észre, hogy az értelmezés megegedi, hogy M -e egy adott műveletre ézve tö semleges elem is legye Bár eddigi tapasztalataik sorá ez em fordult elő, vizsgáljuk meg általáa a kérdést Feltételezzük, hogy ee, M két külööző semleges elem M -e, a : M M M műveletre ézve Az értelmezés alapjá e e -re írhatjuk, hogy e e = e (e semleges elem), valamit e e = e (e semleges elem), ahoa következik, hogy e = e, ami elletmodás, tehát M -e ha létezik semleges elem, akkor az egyértelmű Tehát kijelethetjük a következő tételt: Tétel Ha az M halmaza értelmezett műveletre voatkozóa létezik semleges elem, akkor csak egy ilye va Megjegyzések Az utói tétel egyelemű M halmaz eseté triviális, mert ee az esete egy művelet értelmezhető és aak potosa egy semleges eleme va Additív művelet eseté a semleges elemet zéruselemek evezzük, és 0-val jelöljük Multiplikatív művelet eseté a semleges elemet egységelemek evezzük, és -gyel jelöljük Ezek a jelölések em kötelezők, majd késő, a kétműveletes algerai struktúrákál lesz szerepük Általáa tetszőleges művelet eseté az e jelölést haszáljuk 3 Kommutatív művelet eseté az a e = e a összefüggés fölösleges, tehát modhatjuk, hogy e semleges elem, ha a M eseté a e = a 4 Általáa tetszőleges : M M M műveletre, ha e M úgy, hogy a e = a, a M, akkor azt modjuk, hogy e jooldali semleges elem Hasolóa értelmezhető a aloldali semleges elem is: Legye : M M M egy művelet Ha létezik e M úgy, hogy e a = a, mide a M eseté, akkor e -t aloldali semleges elemek evezzük Nyilvávaló, hogy ha a : M M M műveletre ézve létezik al- és jooldali semleges elem, és ezek megegyezek, akkor ez az elem egye semleges elem is a műveletre ézve M -e 5 Fotos kihagsúlyozi, hogy a semleges elemet milye műveletre ézve és milye halmaza tekitjük A művelet kihagsúlyozásáak fotossága yilvávaló, hisze

13 06 Műveletek például a valós számok szorzása és összeadása két külööző semleges elemmel redelkezik A halmaz kijelöléséek fotosságát az alái példa szemlélteti: x 0 x Köye elleőrizhető, hogy az A= ( ) M x 3 x 0 x halmaz stail részhalmaza ( ) -ek a mátrixok szorzására ézve Míg M3 I 3 M3 ( ) -e a szorzásra ézve a semleges elem az I mátrix, addig az A halmazak em eleme, viszot létezik semleges eleme az idukált szorzásra ézve: E = = 0 0 Igazoljátok, hogy E A valóa semleges elem Példák -e az összetevésre ézve az f :, f ( x) = x, x függvéy semleges elem X eseté P ( X )-e írhatjuk, hogy A= A = A, A P ( X) és B = X B = B X, B P ( X), tehát semleges elem az egyesítésre ézve és X semleges elem a metszetre ézve 3 -e semleges elem (zéruselem) az összeadásra ézve és 0 semleges elem (egységelem) a szorzásra ézve 4 -a az összeadásra ézve ics semleges elem = z z stail részhalmaza -ek a szorzásra ézve, és a szorzás által a 5 { } halmaza idukált műveletek ics semleges eleme ( ) 6 S -e a permutációk szorzására ézve létezik semleges elem: 3 e = 3, vagyis az idetikus permutáció Megoldott feladatok Taulmáyozzuk a aloldali, jooldali semleges elem, illetve a semleges elem létezését a következő műveletek eseté a) :, a : = a a ; ) :, a : = a a ; c) :, a : = a a; a d) : (, ) (, ) (, ), a : = ; a e) vektorok összeadása a tére; f) vektorok szorzása (vektorszorzat) a tére; g) szimmetrikus külöség P ( X )-e 3

14 Műveletek 07 Megoldás a) A művelet kommutatív, tehát a aloldali, illetve jooldali semleges elem megegyezik a semleges elemmel, ha az utói létezik Általáa úgy határozzuk meg a semleges elemet, illetve aak létezését, hogy feltételezzük, hogy létezik és ehelyettesítve e -t a művelet értelmezésée, kiszámoljuk a kokrét értékét Ha köze elletmodáshoz jutuk, akkor az idirekt izoyítás, vagy lehetetlere való visszavezetés (reductio ad asurdum) módszere alapjá em létezik semleges elem, ha pedig em, akkor a kapott érték lesz a semleges elem Ee az esete csak az a e = a, a összefüggést kell vizsgáluk, mert a művelet kommutatív, tehát ae a e = a, a, ha létezik az e semleges elem Átalakítva az elői összefüggést, kapjuk, hogy e( a ) = 0, a és eek az összefüggések e = 0 midig megfelel, ezért, felhaszálva a semleges elem egyértelműségét is, a műveletre ézve -e a semleges elem a 0 ) Ee az esete a művelet em kommutatív, tehát az a e = e a = a, a összefüggés szerit ae a e = ea e a = a kell teljesüljö mide a értékre, vagyis a e = e a, a, ami lehetetle, tehát ics semleges elem Vizsgáljuk meg a aloldali, illetve jooldali semleges elemek létezését Ha létezik jooldali semleges elem (e ), akkor az eleget tesz az a e j j összefüggések, mide a eseté, tehát ae a e = a, a, vagyis e = 0 jooldali semleges elem Baloldali semleges elem em létezik, mert az j ea e a= a, a e ( a ) = a, a összefüggést egyetle valós szám sem elégíti ki mide a eseté (Például a = -re, ics olya e valós szám amelyre 0 = e 0 = ) c) Hasoló a ) pothoz, tehát em létezik semleges elem -e a műveletre ézve, viszot e = 0 aloldali semleges elem és em létezik jooldali semleges elem d) Elő vizsgáljuk meg, hogy jól értelmezett-e a művelet Az egyértelműség yilvávaló, tehát csak azt kell elleőrizi, hogy tetszőleges a, (, ) eseté az a (, ) összefüggés teljesül-e Mivel ( a )( ) > 0, mide a, eseté, írhatjuk, hogy a a > 0, tehát a > ( a) A jo oldalo szereplő zárójel szigorúa pozitív, ha a, ( ), Tehát oszthatjuk az egyelőtleséget ( a) -vel, a és az >, a, ( ), összefüggést kapjuk a Hasolóa, az ( a) ( ) > 0, a, (, ) összefüggést felhaszálva, a kapjuk, hogy <, a, (, ) a A feti észrevételek alapjá jól értelmezett első művelet a ( ), itervallumo A művelet kommutatív, tehát elégséges a jooldali semleges elem létezését j j

15 08 Műveletek vizsgáli Feltételezzük, hogy e (, ) úgy, hogy a e = a, a (, ), a e vagyis = a, a (, ) Átalakítva az elői összefüggést, írhatjuk, hogy ae a e = a a e, a (, ) ea ( )= 0, a (, ), ahoa az e = 0 eredméyt kapjuk Tehát a (, ) halmaza a műveletre ézve a semleges elem a 0 e) A ullvektor yilvá semleges elem az összeadásra ézve, tehát e = ( 000,, ) = 0 f) Nem létezik semleges elem a vektorszorzatra ézve a tére (mert a szorzat midig merőleges a téyezőkre és így em lehet egyik téyezővel sem egyelő) g) Az üres halmaz semleges elem a szimmetrikus külöségre ézve P ( X )-e Határozzuk meg az m, paramétereket úgy, hogy az alái műveletre ézve legye -e semleges elem: :, a : = a a m m, a, Megoldás Ha létezik az e semleges elem, akkor kell teljesüljö az a e = e a = a összefüggés mide a eseté, tehát ae a me m = ea e ma m = a, a, ahoa az (m ) e = ( m ) a, a és () ea ( ) = a( m) m, a () összefüggéseket kapjuk ()-ől következik, hogy m =, tehát a () összefüggés szerit ea ( ) = a( ), a eseté Átalakítva ezt az összefüggést, az ae ( ) e= 0, a összefüggést kapjuk, ami csak akkor e = 0 teljesülhet, ha e = 0, tehát = 0 és e =, vagy = és e = Összefoglalva, a műveletre ézve -e csak akkor va semleges elem, ha = m és {, 0 } 34 Ivertálható elemek (szimmetrizálható elemek) Értelmezés Legye : M M M egy olya asszociatív művelet, amelyre ézve létezik M -e az e semleges elem Azt modjuk, hogy az a M elem ivertálható M -e a műveletre ézve, ha a M úgy, hogy a a = a a = e Ha létezik ilye a, akkor azt az a M szimmetrikusáak vagy iverzéek evezzük Tapasztalataik alapjá, ha egy adott asszociatív, semleges elemmel redelkező műveletre ézve az a M elemek va iverze, akkor az egyértelmű Például -e az összeadásra ézve iverze, mert ( )= ( ) = 0, általáa pedig a ( a) = ( a) a = 0, a A szorzásra egyedül a 0 elemek ics a = a = a iverze és általáa a eseté a Mide a, illetve a eseté a ( a) és elemek egyértelműe meghatározottak Feltehetjük a kérdést, a hogy általáa, ha : M M M egy asszociatív, semleges elemmel redelkező

16 Műveletek 09 művelet és x M egy ivertálható elem M -ől, akkor létezhet-e x -ek két külööző iverze A választ a következő tétel adja meg: Tétel Ha az x M elemek x M szimmetrikusa a : M M M asszociatív, semleges elemmel redelkező műveletre ézve, akkor x egyértelmű Bizoyítás Feltételezzük, hogy x M úgy, hogy x x = x x = x x = x x = e Írhatjuk, hogy x = x e = x ( x x ) = (x x) x = e x = x, vagyis x az x egyedüli iverze Megjegyzések Az asszociativitás az egyértelműség izoyításához szükséges Adjatok példát olya em asszociatív, semleges elemmel redelkező műveletre, amelyre ézve va olya x elem, amelyek tö iverze va! Additív művelet eseté az a M elem szimmetrikusát az a elletettjéek evezzük és általáa ( a) -val jelöljük Multiplikatív művelet eseté az a M szimmetrikusát a iverzéek evezzük és a -el jelöljük Tehát x ( x ) = ( x) x = 0 és x x = x x = 3 Az egységelem midig ivertálható, iverze ömaga 4 Kommutatív művelet eseté elégséges az x x = e feltétel 5 Ha x az x M szimmetrikusa a műveletre ézve, akkor x is ivertálható és ( x ) = x Példák, feladatok -e az összeadásra ézve egyedüli ivertálható elem a semleges elem, hasolóa a szorzásra ézve is -e az összeadásra ézve mide elem ivertálható: a ( a ), a ( a ) = ( a) a = 0 A szorzásra ézve csak a és ivertálhatók, midkettőek ömaga az iverze 3 -a az összeadásra ézve mide elem ivertálható, a szorzásra ézve pedig egyedül a 0 em ivertálható 4 M ( ) -e -ra ézve mide elem, -ra ézve pedig csak azok az A mátrixok ivertálhatók, amelyekre feáll a deta 0 összefüggés 5 X halmaz eseté P ( X )-e az egyesítésre ézve egyedül az ivertálható A metszetre ézve az egyedüli ivertálható elem ismét csak a semleges elem: az X 6 -e a függvéyösszetételre ézve csak a ijektív függvéyek ivertálhatóak 7 S -e mide permutáció ivertálható, mert ijektív függvéy és iverze is per- mutáció Megoldott feladatok Legye : M M M egy asszociatív, egységelemes művelet és x, y M két ivertálható elem, az x és y iverzekkel Igazoljuk, hogy ( x y) is ivertálható és ( x y ) = y x

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

2.5. A lineáris kongruencia egyenlet.

2.5. A lineáris kongruencia egyenlet. 2.5. A lieáris kogruecia egyelet. Defiíció: Kogruecia Az a és b egész számokat kogruesek modjuk az modulus szerit, ha az szeriti osztás utái maradékaik megegyezek, vagy ami ugyaaz: ha. Jelölésbe: a bmod.

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére. Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

IV. A matematikai logika elemei

IV. A matematikai logika elemei 4 A matematikai logika elemei IV A matematikai logika elemei IV Gyakorlatok és feladatok (87 oldal) Készítsd el az alábbi kijeletések logikai értéktáblázatát: a) ( p) ; b) p q ; c) p q ; d) p ( p q) ;

Részletesebben

Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar

Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Algoritmizálás Horváth Gyula Szegedi Tudomáyegyetem Természettudomáyi és Iformatikai Kar horvath@if.u-szeged.hu. Mohó algoritmusok A mohó stratégia elemi 1. Fogalmazzuk meg az optimalizációs feladatot

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Vektorok által generált altér, lineáris összefüggőség, függetlenség, generátorrendszer, bázis, dimenzió

Vektorok által generált altér, lineáris összefüggőség, függetlenség, generátorrendszer, bázis, dimenzió Vektorok által geerált altér lieáris összefüggőség függetleség geerátorredszer ázis dimezió Ee a része általáosítjuk a téreli ektorokra már megismert haszos fogalmakat. A legfotosa hogy ármely ektortére

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Lineáris algebra (10A103)

Lineáris algebra (10A103) Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek 5. Matematikai logika, bizoyítási módszerek I. Elméleti összefoglaló Logikai műveletek A matematikai logika állításokkal foglalkozik. Az állítás (vagy kijeletés) olya kijelető modat, amelyről egyértelműe

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Megoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA

Megoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA Megoldott eladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA. Az : R R üggvény teljesíti az ( + y) = ( a y) + ( y) ( a ) összeüggést bármely,y R esetén (a egy rögzített valós szám). Bizonyítsd

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben