Hanka László. Fejezetek a matematikából

Átírás

1 Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304

2 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK)

3 Fiamak Boldizsárak

4

5 Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet elsősorba mérökhallgatókak szól. Kettős célt szolgál. Egyrészt biztosítai szereték a lehetőséget, hogy a BSc szak viszoylag csekély számú matematika órájá el em hagzott, de a műszaki tárgyak megértéséhez és feldolgozásához elegedhetetleül szükséges taayagot a hallgató öállóa, vagy egy választható kurzus keretei belül megtaulhassa. Ugyaakkor taköyvkét szolgálhat azo MSc szakos hallgatók számára is, akik a feldolgozott fejezetek közül valamelyiket taulmáyaik sorá hallgatják. A jegyzet elsősorba a gyakorlatra helyezi a hagsúlyt. Természetese cél az, hogy a hallgatók megismerjeek olya fejezeteket a matematikából, amely az alapképzésbe vagy esetleg a mesterképzés keretei közé sem fér be, de a méröki gyakorlat számára elegedhetetle. Szereték szélesítei a leedő mérökök látókörét további matematikai ismeretekkel, bemutati külöböző elméleteket és ezek módszereit, de elsősorba úgy, hogy az elmélet alkalmazását példáko keresztül illusztráljuk. A 0 részletese kidolgozott feladat és a 45 ábra segíti az elmélet megértését. Természetese a megfogalmazott állítások agy részét bebizoyítjuk, de em midegyiket. Nem matematikusok számára íródott ez a jegyzet, haem mérökök számára. Ezért azokat az állításokat igazoljuk, amelyek elősegítik a témakör logikájáak potosabb megértését és esetleg az alkalmazott ötletek segítséget yújthatak a gyakorlati problémák megoldásába. A túlzotta boyolult, szélsőségese elméleti fejtegetéseket mellőztük, egy érdeklődő hallgató igéy szerit ezekek utáa tud ézi a jegyzet végé közölt szakirodalomba. A feldolgozott témakörök a következők. Lieáris algebra és mátrixelmélet, differeciálegyeletek és differeciálegyelet redszerek elmélete, sorelmélet, Taylor-sorok és valós valamit komplex Fourier-sorok elmélete. Mideütt igyekeztük az alkalmazásokat agy hagsúllyal szerepelteti. Külö kiemeljük, hogy a másodredű differeciálegyeletek fejezetébe részletese tárgyaljuk a harmoikus, csillapított és gerjesztett rezgések elméletét, amelyek ismerete egy mérökember számára élkülözhetetle. Egy jól képzett mérök természetese álladóa képzi magát, ez a jegyzet természetese em egy kimerítő tárháza a szüksége ismeretekek, de úgy godoljuk, első lépések első lépéskét megfelelő, mert agyo reméljük, hogy midekibe felmerül az öképzés, továbbképzés igéye. Ebbe a jegyzetbe együtt godolkodásra ivitáljuk a tisztelt Olvasót, ezért a szöveg megfogalmazása émileg külöbözik a szokásos száraz matematikai fogalmazástól. Megpróbáltuk hagosa godolkodi, hogy az olvasó érezze, milye új kérdések fogalmazódak meg egy elmélet kifejtése sorá, és azokra hogya lehet válaszoli. A jegyzet feldolgozásához, a matematika felfedezéséhez sok örömöt és sikerélméyt kívá a Szerző Budapest, 03. május. 3. 5

6 6

7 . fejezet Mátrixelmélet, Lieáris algebra 7

8 8

9 . Lieáris algebra.. A lieáris tér. Alapfogalmak A lieáris algebra legfotosabb fogalmai közé tartozik a lieáris tér, vagy más éve a vektortér fogalma. Ez bizoyos tulajdoságokak, feltételekek eleget tevő elemek, objektumok halmaza. A lieáris tér legalapvetőbb fogalmai közé tartozak a bázis, a dimezió. A következőkbe a felsorolt fogalmak tisztázásával, majd a lieáris algebra apparátusáak alkalmazásával foglalkozuk. Céluk elsősorba az, hogy a későbbi fejezetekbe részletese tárgyalt differeciálegyelet redszerek valamit a Fourier-sorok elméletét megalapozzuk. A matematikába agyo gyakori műveletek az összeadás és a számmal való szorzás. A vektortér olya elemhalmaz, amelybe ez a két művelet értelmezve va, és amely műveletektől megköveteljük azokat a tulajdoságokat, amelyeket a matematika kokrét objektumaiak taulmáyozása sorá megismertük...defiíció: Legyeek az x, y, z, elemek (általáos értelembe vett vektorok ) egy bizoyos L halmaz elemei, α, β, γ, pedig legyeek valós számok. Ekkor az (L, R) párt valós lieáris térek, vagy valós vektortérek evezzük, ha teljesülek az alábbi axiómák. (A továbbiakba egyszerűe az L szimbólummal hivatkozuk egy vektortérre. ) A) Az L halmaz bármely két xl és yl eleméhez egyértelműe hozzá va redelve az L halmazak egy eleme, amelyet az x és y összegéek evezük és x+y-al jelölük, és erre a műveletre érvéyesek az alábbi tulajdoságok:. x+y = y+x, tehát az összeadás kommutatív. (x+y)+z = x+(y+z), tehát az összeadás asszociatív 3. létezik L-be úgyevezett ullelem (ullvektor), jele 0, amelyre igaz, hogy tetszőleges xl eseté x+0 = x 4. mide L-beli x-ek létezik elletettje, jele x melyre teljesül, hogy x + ( x) = 0. B) Az L halmaz bármely xl eleméhez és bármely αr valós számhoz egyértelműe hozzá va redelve az L halmazak egy eleme, amelyet az α valós szám és xl szorzatáak evezük és α x-szel jelölük, és erre a műveletre érvéyesek az alábbi tulajdoságok:. az R valós számak és az xl elemek a szorzata éppe x, mide L-beli x-re, azaz x = x. tetszőleges αr és βr valós számok és tetszőleges xl eseté a szorzás asszociatív, azaz α(βx) = (αβ)x 3. a szorzás az összeadásra ézve disztributív művelet, azaz tetszőleges α, β valós számok és tetszőleges x, yl elemek eseté(α+β)x = αx + βx, illetve α(x+y) = αx + αy. 9

10 A feti defiícióba, mit látható valóba azok a műveletek és műveleti azoosságok szerepelek, amelyeket a matematika külöböző területei, már megismertük, modhaták, em láttuk semmi újat. Nos a léyeg éppe ebbe va. A lieáris algebra alapvető fogalma a lieáris tér, éppe azokat a törvéyszerűségeket, szabályokat keressük a lieáris algebrába, amelyek a feti tulajdoságok érvéyesülése eseté biztosa teljesülek, függetleül attól, hogy mik is aak a misztikus L halmazak az elemei. Ebbe éppe a matematika léyege tükröződik, hogy tudiillik általáosít, általáos tételeket keres, miközbe elvoatkoztat a kokrétumoktól, csak azokkal a részletekkel törődik, amelyek valóba fotosak. Eek megfelelőe, ha lieáris térről vagy vektortérről beszélük, akkor az L halmaz elemeit általáos értelembe vett vektor -ak evezzük, még akkor is, ha az elemek em a klasszikus értelembe vett vektorok.a későbbiekbe, mit eddig is tettük, a vektorokat vastag betűvel írjuk, akkor is ha em a klasszikus értelembe vett vektorokról va szó. Az L halmaz elemeitől, tehát a vektoroktól való megkülöböztetésképpe, a valós számokat skalárokak evezzük...példa: Példák lieáris térre. A hagyomáyos, valós kompoesű vektorok halmaza, jele:r, a műveletek pedig a hagyomáyos vektorösszeadás, és vektor számmal való szorzása. A vektortér elevezés éppe ie származik.. Egy adott [a, b] itervallumo értelmezett valós értékű függvéyek halmaza a szokásos függvéyösszeadásra és számmal való szorzásra voatkozólag. Itt tehát a vektor egy függvéy. Ezzel a vektortérrel dolgozuk majd a Fourier-sorok elméletébe. 3. Az sorú és k oszlopú (tehát -szer k-as ) valós kompoesű mátrixok halmaza, jele R xk, a szokásos mátrixösszeadásra és számmal való szorzásra. Ez esetbe a vektor egy mátrix. A lieáris tér bizoyos részhalmazaiak kitütetett szerepe va. Ezek azok a részhalmazok, amelyek ömagukba is vektorterek, tehát amelyekre teljesül a vektortér defiíciójába szereplő hét axióma...defiíció: Az L lieáris tér L részhalmazát az L vektortér alteréek (lieáris altér) evezzük, ha az L halmaz ugyacsak vektortér az L-be értelmezett műveletekre, azaz teljesülek a vektortér axiómák. Egyszerűe megfogalmazható egy feltétel arra voatkozólag, hogy egy L részhalmaz altér legye...tétel: Az L lieáris tér L részhalmaza akkor és csak akkor altér, ha tetszőleges α és β skalárok, valamit tetszőleges x, yl eseté teljesül, hogy αx + βyl. Ez másképpe úgy fogalmazható, hogy egy L részhalmaz potosa akkor altér, ha a lieáris kombiáció képzése em vezet ki az L halmazból. Bizoyítás: A vektortér axiómák szerit elemek egy halmaza akkor vektortér, ha értelmezve va egy összeadás és egy skalárral való szorzás, amelyre teljesül a hét műveleti tulajdoság. Mivel L részhalmaza L-ek és L-be teljesülek ezek az axiómák, yilvá igaz, hogy L -be is teljesülek. Kizárólag azt kell megkövetelük, hogy 0

11 . Az L halmaz bármely két xl és yl eleméhez egyértelműe hozzá va redelve az L halmazak egy eleme, amelyet az x és y összegéek evezük és x+ y-al jelölük.. Az L halmaz bármely xl eleméhez és bármely α R valós számhoz egyértelműe hozzá va redelve az L halmazak egy eleme, amelyet az α valós szám és xl szorzatáak evezük és α x-szel jelölük. Mivel megköveteltük, hogy a lieáris kombiáció e vezesse ki az L -ből ez a két feltétel yilvávalóa teljesül. A tétel úgy is fogalmazható, hogy az L lieáris tér egy L részhalmaza potosa akkor altér, ha tetszőleges elemeiek összes lieáris kombiációját is tartalmazza..3.defiíció: Azt a legszűkebb L lieáris teret, amely az x, x, x 3, x L-beli vektorokat tartalmazza az x, x, x 3, x vektorok által geerált altérek (vektorok által kifeszített altérek) evezzük. Nyilvávaló az alábbi állítás...tétel: Az x, x, x 3, x L-beli vektorok által geerált L altér em más, mit az x, x, x 3, x vektorok összes lieáris kombiációiak halmaza. Tehát L' x x... x,,..., R Bizoyítás: Egyrészt azt kell bizoyítai, hogy a lieáris kombiáció em vezet ki az L -ből. Ez yilvávaló, mert defiíció szerit az összes lieáris kombiációt tartalmazza. Másrészt azt kell igazoli, hogy ez a legszűkebb ilye vektortér, de ez is yilvávaló, hisze ha eél szűkebb lee, már em tartalmazhatá valameyi lieáris kombiációt, így a lieáris kombiáció kivezete L -ből...példa: Példák lieáris altérre. Vektorterek lieáris altereire hozuk példákat. A fetiek szerit egy részhalmaz akkor altér, ha zárt a lieáris kombiáció képzésére. Ilye halmazokat említük.. Az R -be, tehát a síkba, altér mide olya egyees, amely az origóra illeszkedik, azaz ha végiggodoljuk ez az altér az L' x xr, R alakú elemek halmaza. Ez igaz általába R -be is, csak > 3 eseté az egyees -ek már ics szemléletes tartalma, viszot éppe a feti formulával értelmezhető. Ha az egyees em illeszkedik az origóra, akkor em altér, mert egy vektortérek midig eleme a ullvektor.. Az R 3 -ba, tehát a térbe, altér mide olya sík, amely az origóra illeszkedik, tehát az 3 L' x x x, x R, R

12 alakú elemek halmaza. Ez igaz általába R -be is, csak > 3 eseté a sík -ak már ics szemléletes tartalma, viszot éppe a feti formulával értelmezhető. Ha a sík em illeszkedik az origóra, akkor em altér, mert egy vektortérek midig eleme a ullvektor. 3. Egy adott [a, b] itervallumo értelmezett valós értékű folytoos/differeciálható/itegrálható függvéyek halmaza a szokásos függvéyösszeadásra és számmal való szorzásra voatkozólag. Ezek a bevezetőbe említett. példabeli vektortér alterei. 4. Az sorú és k oszlopú (tehát -szer k-as ) valós kompoesű mátrixok R xk vektorterébe azo mátrixok, amelyekre igaz, hogy i>j eseté a ij = 0. Ez szemléletese azt jeleti, hogy a bal felső sarokból iduló átló alatt mide kompoes zérus. stb.

13 ..Vektorredszerek és tulajdoságaik.4.defiíció: Legyeek x, x, x 3, x L-beli vektorok, α, α, α 3, α pedig legyeek valós számok. Ekkor az α x + α x + α 3 x 3 + +α x összeget az x, x, x 3, x vektorok lieáris kombiációjáak evezzük. A lieáris tér defiíciója szerit ez az összeg is eleme az L halmazak! Miért alapvető ez a fogalom? Azért, mert mit a vektortér defiíciójába láttuk összese két művelet va értelmezve egy lieáris térbe, így ha adva va egy { x, x, x 3, x } vektorredszer, akkor a feti kifejezés a lehető legáltaláosabb műveletet adja meg, amit ezzel a vektorredszerrel el lehet végezi. Tisztázzuk miért is fotos ez. Vektortereket akaruk leíri, vizsgáli. A legtöbb gyakorlatba fotos vektortérek végtele sok eleme va. De felmerül a kérdés. Ha meg akaruk adi egy vektorteret, akkor ismerük kell a vektortér összes elemét? A válasz yilvávalóa em. Azért, mert kezükbe va a lieáris kombiáció fogalma, segítségével egy vektorredszer felhaszálásával újabb L-beli vektorokat állíthatuk elő. Nyilvávaló, hogy ha ismertek tekitjük vektorok egy x, x, x 3, x redszerét, akkor a belőlük lieáris kombiáció útjá előállítható összes vektort is ismertek tekithetjük! A kérdés most már az, hogy milye tulajdoságú, és háy elemű kell, hogy legyea vektorredszer, hogy azt modhassuk, lieáris kombiációikkal az összes L-beli vektort meg tudjuk adi. Eek a kérdéskörek a tisztázásához va szükség az alábbi fogalmakra..5.defiíció:az L lieáris tér x, x, x 3, x vektorredszerét a lieáris tér geerátorredszeréek evezzük, ha eze vektorok lieáris kombiációjakét az összes L-beli vektor előállítható, azaz ha yl tetszőleges, akkor létezek olya α, α, α 3, α R valós számok, hogy teljesül az α x + α x + α 3 x 3 + +α x = yegyelőség. Világos, hogy egy vektortér megadásához ezek szerit elég a tér egy geerátorredszerét megadi!.3.példa: Példák geerátorredszerre.. A sík, azaz R megadásához például elegedő megadi két em párhuzamos, ullvektortól külöböző vektort. Az elemi vektorgeometriából ugyais ismert a paralelogramma szabály a vektorok összeadására, és eek fordítottja a vektorfelbotás módszere. Eszerit, ha adva va két em párhuzamos vektor a síkba, akkor tetszőleges síkbeli vektor felbotható a megadott két vektorral párhuzamos összetevőkre. Tehát R -ek geerátorredszere két em párhuzamos vektor. Természetese kettőél több vektor is geerátorredszer, ha va közöttük kettő em párhuzamos!. A 3-dimeziós tér, azaz R 3 geerátorredszere az előző godolatmeet mitájára: bármely olya vektorredszer, amely tartalmaz legalább 3 olya vektort, amelyek icseek egy síkba. 3

14 .6.Defiíció: Az L lieáris tér x, x, x 3, x vektorredszerét lieárisa függetleek evezzük, ha az α x + α x + α 3 x 3 + +α x = 0 (0L) összefüggés csak α = α = α 3 = =α =0 (0R) eseté áll fe.ezt a lieáris kombiációt triviális lieáris kombiációak evezzük..7.defiíció: Az L lieáris tér x, x, x 3, x vektorredszerét lieárisa összefüggő-ek evezzük,ha az α x + α x + α 3 x 3 + +α x = 0 (0L) összefüggés úgy teljesül, hogy legalább egy j idexre α j 0. Ez utóbbi defiíciót fogalmazhattuk vola úgy is, hogy az x, x, x 3, x vektor-redszer lieárisa összefüggő, ha em függetle, hisze yilvávaló, hogy két egymást kölcsööse kiegészítő tulajdoságról va szó! Próbáljuk meg, ameyire lehet, szemléletessé tei ezt a két fogalmat.. Mit jelet két vektor lieáris összefüggősége. Ha α x + α x = 0 eseté példáulα 0 akkor ebből az egyeletből x kifejezhető az alábbi módo: x x, tehát az egyik vektor a másik vektorak valós számszorosa, más szóval skalárszorosa, ami potosa ayit jelet, hogy az egyik vektor párhuzamos a másik vektorral. Két vektor esetébe a lieáris összefüggőség egyeértékű a párhuzamossággal. Azaz, ha két vektor lieárisa függetle, akkor azok em párhuzamosak!. Mit jelet három vektor lieáris összefüggősége? Ha α x + α x + α 3 x 3 = 0eseté például α 0 akkor ebből az egyeletből x kifejezhető az alábbi módo x x x 3 3 tehát az egyik vektor a másik két vektor skalárszorosaiak összege, tehát lieáris kombiációja. Az elemi vektorgeometriából tudjuk, ez potosa ayit jelet, hogy az x vektor bee fekszik az x ésx 3 vektorok által kifeszített síkba. Három vektor esetébe a lieáris összefüggőség egyeértékű azzal, hogy a három vektor egy síkba va. Tehát, ha három vektor lieárisa függetle, akkor azok szükségképpe em egysíkúak. A lieáris összefüggőség léyegét tisztázza az alábbi tétel..3.tétel: Az L lieáris tér x, x, x 3, x vektorredszere akkor és csak akkor lieárisa összefüggő, ha létezik eze vektorok között legalább egy olya vektor, amely kifejezhető a többi vektorok lieáris kombiációjakét. 4

15 Bizoyítás: Tegyük fel elsőkét, hogy az egyik vektor, például x j kifejezhető a többi lieáris kombiációjakét x x... x x... x j j j j j ekkor ullára redukálva az egyeletet, azt kapjuk, hogy x... x x x... x 0 j j j j j és ebbe az előállításba az x j együtthatója em ulla, tehát előállítható a ullvektor a emtriviális lieáris kombiációval. Ez potosa azt jeleti, hogy a redszer lieárisa összefüggő. megfordítva, tegyük fel, hogy a redszer lieárisa összefüggő. Azaz teljesül, hogy x... x x x... x 0 j j j j j j és például α j 0. Ekkor az egyeletből az x j vektor kifejezhető a következő módo x x... x x... x, 0 j j j j j j j j j j Ez pedig potosa azt jeleti, hogy az egyik vektor kifejezhető a többi vektorok lieáris kombiációjakét. Ezt kellett igazoli. Térjük vissza ezek utá a geerátorredszer szerepéek vizsgálatára. A geerátorredszer vektoraiak lieáris kombiációjával a tér összes vektora előállítható. Tegyük fel, hogy a x, x, x 3,, x k, x geerátorredszer lieárisa összefüggő, például azx k vektor előállítható a többi db vektor lieáris kombiációjakét: β x + β x + + β k x k + β k+ x k+ + +β x = x k Ha ezek utá egy yl vektor előállításába az x k vektor szerepel α x + α x + +α k x k + +α x = y akkor x k -t helyettesíthetjük a feti összeggel, amely esetbe a következőt kapjuk α x + α x + +α k (β x + β x + + β k x k + β k+ x k+ +β x )+ +α x = y Ez az előállítás potosa azt jeleti, hogy az yl vektor azx k vektor elhagyásával megmaradó vektorredszer lieáris kombiációjakét is előáll. Ez másképpe is fogalmazható. Voltaképpe igazoltuk egy tételt..4.tétel: Ha egy lieárisa összefüggő geerátorredszerből egyekét elhagyjuk azokat a vektorokat, amelyek előállíthatók a redszer többi vektoráak lieáris kombiációjakét, akkor továbbra is geerátorredszert kapuk. 5

16 Ezzel a módszerrel redukálhatjuk egy geerátorredszer elemszámát.kérdés, hogy meddig lehet, illetve meddig érdemes ezt az eljárást folytati. Nyilvá addig, amíg egy lieárisa függetle geerátorredszerhez jutuk..8.defiíció: Az L lieáris tér b, b, b 3, b geerátorredszerét a lieáris tér bázisáak evezzük, ha ez a vektorredszer lieárisa függetle. A bázis legfotosabb tulajdoságára világít rá az alábbi tétel..5.tétel: Ha ab, b, b 3, b vektorredszer bázis az L lieáris térbe, akkor tetszőleges yl vektor egyértelműe felírható a bázisvektorok lieáris kombiációjakét. Tehát létezek olya α, α, α 3, α Regyütthatók, melyekre y = α b + α b + α 3 b 3 + +α b továbbá az α, α, α 3, α Regyütthatók egyértelműe meghatározottak. Bizoyítás: A α, α, α 3, α Regyütthatók létezése abból adódik, hogy a b, b, b 3, b vektorredszer geerátorredszer. Az egyértelműséget idirekt bizoyítjuk. tegyük fel, hogy létezik két külöböző előállítás, azaz egyrészt másrészt pedig y b... jb j... b y b... jb j... b Képezzük most a felírt két egyelőség külöbségét b... j j b j... b 0 Tekitettel arra, hogy defiíció szerit a bázis lieárisa függetle vektorok redszere, azt kaptuk, hogy a ullvektort előállítottuk egy lieárisa függetle redszer lieáris kombiációjával. Ez azoba csak a triviális lieáris kombiáció lehet, azaz j jmide j idexre, ami elletmod az idirekt feltevések, tehát az előállítás valóba egyértelmű. A tétel jeletősége a következőkbe áll. Ha rögzítük egy B = {b, b, b 3, b } bázist az L lieáris térbe, akkor bármely yl vektor egyértelműe meghatároz egy (α, α, α 3, α ) redezett szám -est. Fordítva yilvávaló, egy (α, α, α 3, α ) szám -es egyértelműe meghatároz egy yl vektort a feti lieáris kombiáció segítségével. Ez azt jeleti, hogy rögzített bázis eseté az L-beli vektorok azoosíthatók valós számokból álló redezett szám -esekkel, azaz klasszikus értelembe vett -kompoesű vektorokkal. Az egyértelműség miatt bevezethetük egy elevezést. 6

17 .9.Defiíció: Ha B = {b, b, b 3, b } rögzített bázis az L vektortérbe és y = α b + α b + α 3 b 3 + +α b akkor az α, α, α 3, α valós számokat az yl vektor B bázisra voatkozó koordiátáiak evezzük.a koordiáták felírására az alábbi jelölést alkalmazzuk: y.. Tehát ha egy L-beli vektort megaduk a koordiátáival, akkor megegyezés szerit a koordiátákat oszlopvektorba írjuk fel. A vektor melletti jobb alsó idex utal a Bbázisra! A bázis előállítása sorá elméletbe kiidultuk egy geerátorredszerből, és ezt a redszert redukáltuk úgy, hogy a végeredméy egy függetle geerátorredszer legye. De yilvá sokféleképpe találhatuk egy geerátorredszert, eek redukálása sorá egy másik bázishoz juthatuk. Felmerül a kérdés, hogy va-e valami közös az L tér külöböző bázisaiba. Erre ad választ az alábbi, bizoyítás élkül közölt tétel..6.tétel: Az L lieáris tér bármely két bázisáak elemszáma azoos. Eszerit akárhogya is állítuk elő egy bázist az midig ugyaayi elemű lesz. Ez feljogosít beüket az alábbi fogalom értelmezésére:.0.defiíció: Az L lieáris tér bázisáak elemszámát a vektortér dimeziójáak evezzük..4.példa: Lássuk éháy példát.. Az R vektortérbe amely azoosítható a síkkal egy jól ismert bázis a következő B 0 i 0 j ez a vektorredszer yilvá bázis, hisze lieárisa függetle (em párhuzamosak), és geerátorredszer is, hisze például az y R vektor tetszőleges α és β valós számok eseté yilvávalóa egyértelműe előállítható i és j vektorok segítségével az alábbi módo 7

18 0 y 0 Tehát a B 0 = {i, j} vektorpár bázis R -be, és az α, β valós számok az y vektor B 0 bázisra voatkozó koordiátái. A köyebb általáosítás kedvéért bevezetjük az e = iés az e = j jelöléseket és bevezetük egy elevezést. Az R vektortér B 0 = { e, e }bázisát stadard bázisak evezzük, és megállapoduk a következőbe, ha mást em említük, akkor báziso midig a stadard bázist értjük. Az előbbi defiíció szerit R tehát dimeziós vektortér.. Hasolóa godolható végig az R 3 vektortér esete az i, j és k vektorokra voatkozólag, azzal a külöbséggel, hogy i, j és kazért függetleek, mert icseek egy síkba. A stadard B 0 bázis elemei az e = i,e = j, e 3 = k vektorok, és így R 3 egy 3-dimeziós lieáris tér. 3.Az előző két godolatmeet köye általáosítható R -re...defiíció: Az e 0 e 0 e3... e vektorredszer bázis R -be, amely bázist az előzőekhez hasolóa R stadard bázisáak evezük, és amelyek a jele B 0. Ismét felhívjuk a figyelmet a megállapodásra, miszerit ha egyebet em moduk, báziso midig a stadard bázist értjük! A korábbiak szerit R tehát egy -dimeziós vektortér. A korábbiak szerit már köye látható, de a módszerek gyakorlásaképpe igazoljuk az alábbi alapvető állítást..7.tétel: A stadard bázis valóba bázisa R -ek, tehát egy lieárisa függetle geerátorredszer. Bizoyítás: Először megmutatjuk általáosa, hogy a vektorredszer lieárisa függetle. Állítsa tehát elő a ullvektort az alábbi lieáris kombiáció azaz koordiátákét írva e... je j... e 0 8

19 , , 0... j azaz j , Kaptuk tehát, hogy a ullvektort csak a triviális lieáris kombiáció állítja elő. Ez éppe a függetleséget igazolja. Legye ezek utá azyr tetszőleges vektor, koordiátákkal megadva y.. B0 Teljese világos, hogy ekkor teljesül az y j... 0 e... je j... e egyelőség, és az is hogy az együtthatók egyértelműe meghatározottak. Éppe ezt kellett igazoli. A bázis tehát egy agyo külöleges vektorredszer egy lieáris térbe, midemellett a legfotosabb vektorredszer. Nem árt ha több szempotból is megvilágítjuk ezt a fogalmat. Köyű átgodoli, hogy az alábbi állítások mid a bázist határozzák meg..8.tétel:. Egy vektortérbe a maximális elemszámú lieárisa függetle redszer bázis.. Egy vektortérbe a miimális elemszámú geerátorredszer bázis. 3. Egy -dimeziós vektortérbe bármely db lieárisa függetle redszer bázis. 4. Egy -dimeziós vektortérbe bármely elemű geerátorredszer bázist alkot. Ezt a tételt akkor célszerű alkalmazi, ha egy kokrét esetbe bázist keresük. Ha teljesül az előbbi égy állítás valamelyike, akkor biztosak lehetük afelől, hogy bázist találtuk. 9

20 .3. Elemi bázistraszformáció Iduljuk ki a következő problémából. Adott az R lieáris tér alábbi y vektora a stadard B 0 bázisba. 3 y B 0 Hogya változak meg az y koordiátái, ha a stadard bázis egyik vektorát kicseréljük egy másik vektorra, azaz áttrérük egy másik bázisra. Például cseréljük ki az e vektort az u vektorra, ahol az u koordiátái természetese B 0 -ba, az alábbi vektorral adottak u B 0 Felmerül a kérdés, va-e eek értelme. Mivel u em párhuzamos e -vel, így a B = {u, e }redszer továbbra is lieárisa függetle geerátorredszere, mivel = elemű, lieárisa függetle redszer, tehát bázisa R -ek. Megkérdezhetjük, hogy ebbe a bázisba mely valós számok az y vektor koordiátái. Ehhez csak arra kell válaszoli, hogy az y vektort az u és e vektorok mely lieáris kombiációja állítja elő. A számítás a következő:y = 3e + e, másrészt u = e +e = e + e ahoa e = u e. Ezt behelyettesítjük az y előállításába, kapjuk, hogyy = 3(u e ) + e = 3u e. Ami potosa azt jeleti, hogy megkaptuk az y vektor B = {u, e }bázisra voatkozó koordiátáit. Ezek a következők 3 y B Megváltoztak a koordiáták, de ez természetes, hisze megváltozott a bázis is. Jól jegyezzük meg tehát, hogy egy vektor koordiátái em abszolút értelembe létezek, haem midig függeek a bázistól. A feti kokrét példába követett godolatmeetet általáosítjuk...defiíció: Legye adott egy B = {b, b, b 3,, b k, b }bázis L-be, továbbá adott egy u-val jelölt vektor. Ha a B bázis egy vektorát, például a b k vektort kicseréljük az u vektorra, azaz áttérük a B = {b, b, b 3,,b k,u, b k+, b }bázisra, akkor ezt a traszformációt elemi bázistraszformációak evezzük. A kokrét példával elletétbe tehát az elemi bázistraszformáció em csak a stadard bázisról való áttérést jeleti, haem bármely bázisból kiidulhatuk és készíthetük új bázisokat. Mi a feladat, ha áttértük egy új bázisra. Midig az, hogy kiszámítjuk bizoyos egy adott probléma kapcsá felmerülő vektorok koordiátáit az új bázisba. Ez a módszer agyo hatékoy. A későbbiekbe láti fogjuk számos alkalmazását. Most csak címszavakba említjük meg mire haszálható: lieáris függetleség, lieáris összefüggőség vizsgálata, kompatibilitásvizsgálat, homogé és ihomogé lieáris egyeletredszerek megoldása, mátrixok ivertálása, stb. 0

21 Aak érdekébe, hogy a későbbiekbe ezeket a problémákat egységes alapoko meg tudjuk oldai, levezetjük a traszformációt általáosa. Legye adott egy B = {b, b, b 3,, b k, b }bázis L-betovábbá legye adott egy u-val jelölt vektor, melyek B-beli előállítása a következő u = β b + β b + + β k b k + +β b és tegyük fel, hogy például β k 0. Legye továbbá xl egy tetszőleges vektor, melyek előállítása a B bázisba x = α b + α b + + α k b k + +α b Cseréljük ki a B bázis b k vektorát u-ra ha lehet, vizsgáljuk meg, hogy a kapott vektorredszer bázist alkot-e L-be, és ha ige számítsuk ki x koordiátáit az új B = {b,, b k, u, b k+, b } bázisba. Mivel β k 0 ezért oszthatuk vele, tehát az u-t előállító egyeletből kifejezhető a b k vektor b b b... b u b... b k k k k k k k k k k k Ezt az összeget be tudjuk helyettesítei az x-et előállító egyeletbe a b k helyére x b... kb k k b b... u... b kb k... b k k k k redezzük most ezt az összeget. Az adódik, hogy x... k k k k k k k k k k... k b k b k u k b k b k Megkaptuk amit kerestük, az x vektor előállítását a B bázisba.válaszoljuk a felmerült problémákra is.. A B = {b,, b k, u, b k+, b } vektorredszer valóba bázis, hisze geerátorredszer, ugyais az x eze vektorok segítségével is előállítható. Továbbá db vektort tartalmaz a redszer, és egy dimeziós térbe mide elemű geerátorredszer bázis.. Felmerül a kérdés, hogy mi a csere feltétele. Az, hogy az u vektor kiidulási B bázisba törtéő előállításába, a b k vektor β k együtthatója 0-tól külöbözzö. A β k valós számot az elemi bázistraszformáció geeráló eleméek evezzük. A báziscsere abból állt tehát, hogy az eredeti B bázis b k vektorát kicseréltük az u vektorra, így előállítottuk egy új B bázist, és megkaptuk az x vektor B -beli koordiátáit. Az u vektor belépett a bázisba, a b k vektor pedig kilépett a bázisból. Vegyük észre, hogy mellékeredméykét még azt is megkaptuk, hogy a kilépő b k vektorak mik a koordiátái az új

22 bázisba. Eredméyeiket a köyebb áttekithetőség és egyszerűbb alkalmazhatóság kedvéért táblázatba foglaljuk, aál is ikább, mert az elemi bázistraszformációt alkalmazó számításokál is midig táblázatokkal dolgozuk majd. A táblázat szerkezete a következő. Az első oszlopba midig az aktuális bázisvektorok állak, a többi oszlopba pedig azo vektorok aktuális bázisra voatkozó koordiátái, amelyeket be akaruk vii a bázisba, illetve amelyekek keressük a koordiátáit az új bázisba. A fetiekbe egy vektort cseréltük, és egy x vektorak számítottuk a koordiátáit. A táblázat azoba em csak egy x haem még egy y vektor koordiátáiak traszformációját is mutatja azért, hogy jobba átlássuk a traszformáció mikétjét, ha egyszerre több vektort traszformáluk. B u x y b β α γ b β α γ b k k α k γ k b β α γ Táblázat. Az elemi bázistraszformáció iduló táblázata Ha feltesszük, hogy β k 0 akkor kicserélhetjük az u és b k vektorokat. β k a traszformáció geeráló eleme. A traszformáció eredméyét az alábbi táblázat tartalmazza: B b k x y b k b k k k k k k k k k u k k k k k b k k k k k Táblázat. Az elemi bázistraszformáció táblázata

23 Az egyes traszformációs lépéseket az alábbiakba fogalmazhatjuk meg:. A geeráló elem helyére a reciprokát írjuk.. A geeráló elem soráak többi elemét elosztjuk a geeráló elemmel. 3. A geeráló elem oszlopáak többi elemét elosztjuk a geeráló elem elletettjével. 4. A táblázat többi részé a számítás a következő: A geeráló elem oszlopába kiszemelük egygeeráló elemtől külöböző értéket. Ezt elosztjuk a geeráló elemmel, a kapott háyadossal megszorozzuk a geeráló elem soráak az elemeit, és ezeket a szorzatokat redre kivojuk a kiszemelt elem soráak elemeiből. A traszformációt tehát sorokét végezhetjük. 3

24 .4. Az elemi bázistraszformáció alkalmazásai Az elemi bázistraszformáció alkalmazása léyegébe az alábbi eljárás. Adott egy vektorredszer, amelyek ismertek a koordiátái valamilye bázisba, általába, ha mást em moduk a stadard bázisba, de ez em léyeges kitétel. A vektorredszer elemei közül aháyat csak lehet, beviszük a bázisba, persze egyesével, hisze elemi bázistraszformációk egymásutáját alkalmazzuk. Ezt az eljárást alkalmazzuk ameddig csak lehet, illetve ameddig szükséges. Az alkalmazások sorá szükségük lesz éháy fogalomra, ezeket értelmezzük a továbbiakba..3.defiíció: Azt modjuk, hogy az x, x, x 3, x vektorredszer ragja k, ha va a vektorredszerbe k db lieárisa függetle vektor, de bármely legalább k + elemű részredszer lieárisa összefüggő. Egyszerűe fogalmazva a rag a redszerből kiválasztható lieárisa függetle vektorok maximális száma. Kérdés, hogy hogya vizsgáljuk meg egy vektorredszer ragját elemi bázistraszformációval. Úgy, hogy a vektorredszer vektorai közül ayit viszük be a bázisba, ameyit csak lehet, ameddig még találuk β k 0 geeráló elemet. Mivel ezeket a vektorokat bevittük a bázisba, és a bázis lieárisa függetle redszer, a bevitt vektorok redszere lieárisa függetle. Eszerit a rag egyelő azo vektorok számával aháyat a bázisba vittük. Ezt a számítást a lieáris egyeletredszerek megoldása sorá fogjuk alkalmazi..5.példa: Határozzuk meg az a = [, 3, 0, ] T, a = [0,,, 0] T, a 3 = [,,, 3] T, a 4 = [,,, 3] T vektorokból álló vektorredszer ragját. Adjuk meg lieárisa függetle vektorokat, és ha a redszer lieárisa összefüggő, adjuk meg a köztük lévő lieáris kapcsolatot. Alkalmazzuk elemi bázistraszformációt. a a a a a a a a a a a a a A számítások eredméye a következő. A vektorredszer ragja 3, mert három lieárisa függetle vektor va a redszerbe, ez egyértelmű, függetle a geeráló elemek választásától. Ezek például az a, a és a 3 vektorok. Természetese ez függ attól, hogy mely oszlopokba választjuk a geeráló elemeket. Az a 4 vektorral együtt azoba már lieárisa összefüggő redszert alkotak. A lieáris kapcsolat a táblázat utolsó oszlopából olvasható le, amely szerit a 0a 3a a 4 3 4

25 Eek az egyelőségek a helyessége a vektorok koordiátái alapjá azoal látható..4.defiíció: Azt modjuk, hogy az yl vektor kompatibilis az x, x, x 3, x Lvektorredszerrel, ha y előállítható az x, x, x 3, x vektorok lieáris kombiációjakét. Ha em állítható elő, akkor ikompatibilisek evezzük. Kérdés, hogy hogya vizsgáluk kompatibilitást elemi bázistraszformációval. Úgy, hogy a vektorredszer elemeit és az y-t is szerepeltetjük egy traszformációs táblázatba. Elvégzük ayi elemi traszformációt, ameyit csak lehet vigyázva arra, hogy az y-t e vigyük a bázisba - amíg akad olya x i vektor, amit még be tuduk vii a bázisba, és ezek utá megézzük az y vektor koordiátáit. A koordiáták megadják, hogy az y-t mely lieáris kombiáció állítja elő. Ha ebbe csak az x i vektorok szerepelek, akkor y kompatibilis, ha viszot va az előállításba egy vektor az eredeti bázisból is akkor ikompatibilis..6.példa: Vizsgáljuk meg, hogy azy = [5, 8, 3, ] T, y = [5, 0, 0, 5] T vektorok kompatibilisek-e az x = [, 0, 0, ] T, x = [,, 0, 0] T,x 3 = [0,,, 0] T,x 4 = [3, 3,, ] T vektorokból álló vektorredszerrel. Alkalmazzuk elemi bázistraszformációt. x x x x y y x x x y y x x y y x y y x x 0 x e A számítások eredméye a következő. Az y vektor kompatibilis a vektorredszerrel, mert előállítható csak a redszerhez tartozó vektorok lieáris kombiációjakét. Az y vektor viszot em kompatibilis a vektorredszerrel, mert előállításához szükség va még az e 4 vektorra is. A táblázatból leolvasható, hogy az előállítások a következők. y x x 3 x y 5x 5 e 3 4 Mellesleg a számításból az is kiderül, hogy az { x, x,x 3,x 4 } vektorredszer ragja 3, például lieárisa függetle vektorok az x, x,x 3 vektorok, az x 4 ezektől lieárisa függ, a táblázat alapjá az x x x x 4 3 összefüggés szerit. Ha a redszerhez hozzávesszük az y vektort, a redszer ragja em övekszik, tehát az { x, x,x 3,x 4, y } vektorredszer ragja is 3, azoba ha a redszert az y vektorral bővítjük ki, akkor a rag övekszik, tehát az { x, x,x 3,x 4, y } vektorredszer ragja 4. 5

26 Fotosabb alkalmazásokat látuk majd a későbbiekbe lieáris egyeletredszerek megoldásáál és mátrixok iverzéek meghatározásáál. De mielőtt számításokat végzük, szükségük va a mátrix fogalmára. 6

27 .5. Mátrixok.5.Defiíció: Valós számokak az alábbi sémába való elredezését mátrixak evezzük. a a... ak a a... a k A a a... ak Az A mátrix a vektorhoz hasolóa vastago szedve a ij kompoese a mátrix i-edik soráak j- edik eleme, az idexek közül első tehát a soridex, a második pedig az oszlopidex. Eek a mátrixak sora és k oszlopa va, szokás ezt -szer k-as, jelöléssel k-as mátrixak evezi. Az k méretű valós kompoesű mátrixok halmazára haszáljuk az R k jelölést. A mátrixokat általába az "ABC" yomtatott, vastago szedett agybetűivel jelöljük. Sokszor haszos az alábbi általáos jelölés, amely utal arra, hogy hogya jelöljük a mátrix kompoeseit. Ha AR k akkor A a ij vagy egyszerűe csak A a ij i..., j... k Az alábbiakba éháy speciális mátrixot értelmezük..6.defiíció: Azt a mátrixot, amelyek egyetle oszlopa va oszlopvektorak evezzük. Ez a mátrix léyegébe megegyezik a hagyomáyos értelembe vett -kompoesű vektorokkal, tehát az R halmazt azoosítjuk az R halmazzal. a a a R R... a.7.defiíció: Azt a mátrixot, amelyek egyetle sora va sorvektorak evezzük. Ez a mátrix léyegébe megegyezik a hagyomáyos értelembe vett k-kompoesű vektorokkal, tehát az R k halmazt azoosíthatjuk az R k halmazzal. k b b b... b k R " " R Világos azoba, hogy a vektor kifejezés ezek utá félreértést okozhat, hisze az előbbiek szerit jelethet oszlopvektort is és sorvektort is. Ezt elkerüledő jegyezzük meg a következő megállapodást. A továbbiakba, ha vektor -t moduk, akkor az midig oszlopvektort jelet. A feti egyelőségjel azért idézőjeles, mert bár az azoosítás jogos, de az említett k 7

28 megegyezés szerit az imét megfogalmazott azoosítás alapjá értelmezzük a vektort és az R halmazt..8.defiíció: Kvadratikusak vagy égyzetesek evezük egy mátrixot, ha soraiak száma egyelő oszlopaiak számával, ha tehát = k. a a... a a a... a B R a a... a Egy kvadratikus mátrixak va egy külöleges részhalmaza, azo elemek, amelyekek sor- és oszlopidexe megegyezik. Ezt a részhalmazta mátrix főátlójáak evezzük. Az -es mátrixot szokás -edredű mátrixak evezi. A kvadratikus mátrix főátlójába levő kompoesek összegét a mátrix yomáak (trace) vagy idege szóval spurjáak evezzük. Ezt a fogalmat a sajátértékek elméletébe fogjuk haszáli. B... tr a a a.9.defiíció: Alsó illetve felső háromszögmátrixak evezzük azt a kvadratikus mátrixot, amelybe redre a főátló felett illetve a főátló alatt mide kompoes zérus. Ezek szokásos jelölése L (lower) és U (upper) a a a... a a a a... a L R U R a a... a a.0.defiíció: Diagoális mátrixak evezzük azt a kvadratikus mátrixot, melybe a főátló kívül mide elem zérus. a a... 0 D R a Ha egy ar vektorból képezük diagoális mátrixot, akkor az azt jeleti, hogy egy olya -ed redű mátrixot értelmezük, amelyek főátlójába állak az a vektor kompoesei. Az alkalmazott jelölések bevezetésével 8

29 a a a 0 a... 0 a R eseté diag a a R a a..defiíció: Nullmátrixak evezzük azt a mátrixot, amelyek mide kompoese 0 R. Azaz k 0 R A ullmátrixak em kell szükségképpe kvadratikusak lei. A ullmátrix defiiáló tulajdosága, hogy tetszőleges AR k eseté teljesül, hogy A + 0 = 0 + A = A. Az algebrába az ilye tulajdoságú objektumot evezzük ullelemek. A továbbiakba a mátrixok körébe végezhető műveletekkel foglalkozuk. 9

30 .6. Műveletek mátrixokkal A mátrixok halmazába is értelmezük műveleteket, az összeadást és a skalárral (tehát valós számmal) való szorzást és mátrixok szorzatát. Az első két említett művelet felhaszálásával mátrixok halmaza is egy vektortér. Az osztás művelete em értelmezhető közvetleül. Az osztás fogalmáak az általáosítása a mátrix iverzéek a fogalma. Ezeket a fogalmakat értelmezzük a következőkbe...defiíció: Az A aij R k mátrixak és az αr valós számak a szorzata a következő A a ij R Tehát egy mátrixot úgy szorzuk egy valós számmal, hogy a mátrix mide kompoesét megszorozzuk a valós számmal, továbbá egy k-as mátrix valós számszorosa is k-as mátrix..7.példa: Végezzük el az alábbi skalár-mátrix szorzást. k Defiíció: Az mátrix, melyre A aij R k és a ij B b R k mátrixok összege az az k méretű A B aij bij R Tehát összeadi csak azoos méretű mátrixokat lehet, és két mátrixot úgy aduk össze, hogy a megfelelő helye álló kompoeseit redre összeadjuk. Az eredméy természetese ugyaolya méretű mátrix, mit az összeg tagjai..8.példa: Végezzük el az alábbi összeadást. k Az összeadás és a szorzás műveleti tulajdoságaira igaz az alábbi állítás. 30

31 .9.Tétel: Mátrixok összeadása és skalárral való szorzása kommutatív és asszociatív művelet, valamit a skalárral való szorzás az összeadásra ézve disztributív, azaz a) b) A A A A : A c) A B B A A B C A B C : A B C Α A A A B A B Bizoyítás: Az állítások a defiíciók közvetle következméyei. Látható tehát, hogy a valós számmal való szorzás és az összeadás sorá k méretű mátrixokból iduluk ki, és az eredméy ugyailye típusú mátrix, ez a két művelet tehát em vezet ki az k-as mátrixok R k halmazából.világos, hogy a korábba értelmezett 0R k ullmátrixra tetszőleges AR k mátrix eseté teljesül, hogy A + 0 = 0 + A = A.A legutolsó tétel figyelembe vételével, ha még hozzátesszük a tételbeli műveleti tulajdoságokhoz a ullmátrix fogalmát, akkor látható, hogy az k-as mátrixok R k halmaza valós vektortér a most defiiált számmal való szorzásra és összeadásra voatkozólag. A kérdés, hogy mi eek a vektortérek egy bázisa és meyi a vektortér dimeziója. Köye elleőrizhető, hogy az B ij i,,3,..., j,,3,..., k mátrixredszer bázisa azr k vektortérek, ahol B ij az a mátrix, amely i-edik soráak j-edik kompoese a többi kompoes zérus, amiből következik, hogy ez a vektortér k dimeziós..4.defiíció: Az A aij R k mátrix traszpoáltja az az A teljesül, hogy T ' a ij R k mátrix, melyre ' aij aji. Vagyis az A T traszpoált mátrix i-edik soráak j-edik kompoese megegyezik az A mátrix j-edik soráak i-edik kompoesével. A traszpoálás tehát azt jeleti, hogy a mátrix sorai és oszlopai szerepet cserélek, tehát az Ai-edik sorából lesz az A T i-edik oszlopa és fordítva. Ha a mátrix em égyzetes, akkor a mátrix és traszpoáltja em azoos méretűek. Négyzetes mátrixok esetébe mátrix és traszpoáltja egyező méretűek, azaz ha AR akkor A T R. Ebbe az esetbe a traszpoálás egyeértékű a főátlóra törtéő tükrözéssel. A főátló kompoesei helybe maradak, a többi elem pedig a főátlóra tükröződik. 3

32 .9.Példa: Traszpoáljuk az alábbi mátrixokat T T A A 0 B B A traszpoálással kapcsolatosa alapvető a következő állítás..0.tétel:az A mátrix traszpoáltjáak traszpoáltja az A, tehát saját maga, összeget tagokét lehet traszpoáli, skalárszoros traszpoáltja pedig a traszpoált skalárszorosa, vagyis T T T T T T T A A A B A B A A Bizoyítás: Ezek az egyelőségek a defiíciók közvetle következméyei. A traszpoálás agyo haszos, ha vektorokról beszélük. Egy vektor, ami megegyezés szerit oszlopvektor, helytakarékosa írható, ha felhaszáljuk a traszpoálás műveletét. Világos, hogy az a a T T a a a a... a a a a... a... a jelölések ugyaazt az ar vektort jeletik. A továbbiakba mi is alkalmazzuk ezt a jelölést, ha oszlopvektorról va szó..5.defiíció: Az AR mátrixot szimmetrikusak evezzük, ha megegyezik a traszpoáltjával, azaz A szimmetrikus ha teljesül, hogy A T = A. Azt is modhatjuk, hogy egy szimmetrikus mátrix tükrös a főátlójára. Az AR mátrixot ferdé szimmetrikusak evezzük, ha traszpoáltja a Amátrix elletettje, azaz ha teljesül, hogy A T = A. Ebbe az esetbe, tekitettel arra, hogy a főátló kompoesei traszpoálás sorá a helyükö maradak, és csak a 0 az a valós szám, melyek elletettje saját maga, egy ferdé szimmetrikus mátrix főátlójába mide kompoes zérus..0.példa: Az A mátrix szimmetrikus, a B mátrix ferdé szimmetrikus A B

33 Szimmetrikus és ferdé szimmetrikus mátrixok fogalmával kapcsolatba alapvető a következő állítás...tétel: Mide AR mátrix felbotható egy szimmetrikus és egy ferdé szimmetrikus mátrix összegére. Bizoyítás: Világos az alábbi azoosság T A A A A A és köye elleőrizhető, hogy az összeg első tagja szimmetrikus, a második tagja pedig ferdé szimmetrikus, hisze T T T T T T T T T T T T T A A A A A A A A A A A A A A Ezzel az állítást igazoltuk...példa: Alkalmazzuk az előző tételt. Legye T T A 0 4 ekkor 6 8 A és yilvávaló, hogy az T T A A 3 6 A A mátrixok redelkezek a kívát tulajdosággal és összegük az A mátrix. Most rátérük mátrixok szorzásáak értelmezésére. Mátrixok szorzása egyszerűbbe defiiálható, ha felidézzük a vektorok klasszikusskaláris szorzatáak fogalmát..6.defiíció: Az a T = [a, a, a ] R és b T = [b, b, b ] R vektorok a T b-vel jelölt skaláris szorzata a következő valós szám a T b = a b + a b + + a b tehát a két kompoesű vektor megfelelő koordiátái szorzatáak összege. Világos, hogy csak akkor létezik a két vektor skaláris szorzata, ha a két vektor kompoeseiek száma egyelő. A jelölésbe is utaluk arra a léyeges mometumra, hogy egy sorvektort szorzuk 33

34 oszlopvektorral. Ez léyeges, mert ilye módo értelmezzük általáosa két mátrix szorzatát. Ezek utá defiiálhatjuk általáosa mátrixok szorzatát. A skaláris szorzatra bevezetük egy más, gyakra előyösebbe alkalmazható jelölést. Az a T = [a, a, a ] R és b T = [b, b, b ] R vektorok a T b skaláris szorzatát jelölje T a b a, b A skaláris szorzattal kapcsolatosa fotos lerögzíteük az alábbi műveleti tulajdoságokat...tétel: A skaláris szorzat tulajdoságai T a) szimmetrikus, azaz a b b T a, más jelöléssel a, b b, a b) homogé abba az értelembe, hogy a, b a, b, R c) disztributív, tehát a b, c a, c b, c d) pozitív defiit, azaz a, a 0 és potosa akkor a, a 0 ha a 0 Bizoyítás: Az a), b) és c) állítás a defiíció közvetle következméye, a d) állítást részletezzük csak, azoba ez is yilvávaló. Legyea T = [a, a, a ] R, ekkor aa aa aa ai i aa,... Ie az állítás következik, hisze db em egatív szám összege em lehet egatív, és egy égyzetösszeg potosa akkor zérus, ha mide tagja zérus. Ha a skaláris szorzás fogalmát általáosítai szereték komplex esetre, amely fogalmat mi elméletbe haszáluk majd a továbbiakba, akkor a következőképpe kell módosítauk a defiíciót..7.defiíció: Komplex skaláris szorzat fogalma. Az a T = [a, a, a ] C és b T = [b, b, b ] C komplex vektorok skaláris szorzata defiíció szerit T a, b : a b Ami a valós esethez képest ayi módosítást jelet, hogy a második téyező komplex kojugáltját kell vei, és az így kapott vektorral kell ugyaazt a műveletet elvégezi, tehát ab, a b a b... a b ahol a voás szokás szerit a komplex kojugáltat jelöli. Természetese, ha a vektorok valósak, ez a defiíció egybeesik a korábbival.komplex skaláris szorzásra az előzővel aalóg tétel fogalmazható meg, melyek bizoyítását az olvasóra bízzuk. 34

35 .3.Tétel: A komplex skaláris szorzat tulajdoságai a) szimmetrikus, azaz a, b b, a b) homogé abba az értelembe, hogy a, b a, b, C és a, b a, b, C c) disztributív, tehát a b, c a, c b, c d) pozitív defiit, azaz a, a 0 és potosa akkor a, a 0 ha a 0 A skaláris szorzással kapcsolatosa általáosítuk egy fogalmat és egy tételt, amely az aalitikus geometriába alapvető fotosságú. Ez a fogalom a merőlegesség, amelyet magasabb dimezióba és általáosabb körülméyek között ortogoalitásak evezük..8.defiíció: Az a T = [a, a, a ] R és b T = [b, b, b ] R vektorokat ortogoálisak evezzük, ha skaláris szorzatuk zérus, azaz ha teljesül, hogy T a b a, b 0..Példa: Az a T = [,, 3, 5] R 4 és b T = [3,, 7, 4 ] R 4 ortogoálisak, ugyais égydimeziós vektorok T a b a, b Egy további általáosítást fogalmazuk meg, amely ugyacsak az aalitikus geometriába tapasztalt összefüggés megfelelője. Mivel egy három dimeziós a T = [a, a, a 3 ] R 3 vektor hosszát az a 3 a a a összefüggéssel értelmezzük, ami em más, mit az -dimezióbeli aa aa aa ai i aa,... skaláris szorzat égyzetgyökéek speciális esete, ezért értelmezzük egy vektor hosszáak fogalmát..9.defiíció: Az a T = [a, a, a ] R vektor hosszát az aa aa aa ai i a a, a... formulával értelmezzük. Ha egye T = [e, e, e ] R vektorra e teljesül, akkor egységvektorak evezzük. 35

36 Ezek utá rátérhetük a mátrtixszorzás általáos defiíciójára..30.defiíció: Mátrixok sor-oszlop szorzása Az A aij R k és bjr c ir R m mátrix amely i-edik soráak r-edik eleme, tehát a c ir kompoes, az A mátrix i-edik soráak és a B mátrix r-edik oszlopáak skaláris szorzata, azaz B R k m mátrixok C = AB szorzata az a C k c a b a b... a b a b ir i r i r ik kr is sr s ahol i =,, j =,, m tetszőleges egész számok. Mivel az A mátrixak sora, a B-ek pedig m oszlopa va, összese m ilye skaláris szorzást kell elvégezük, ami azoal idokolja is, hogy a szorzatmátrix miért m típusú mátrix, azaz miért va sora és m oszlopa. Mivel a skaláris szorzás csak akkor értelmes, ha a két vektorak ugyaayi kompoese va, ezért világos, hogy két mátrix csak abba az esetbe szorozható össze, ha az első téyező soraiba ugyaayi elem va, mit a második téyező oszlopaiba. Másképpe fogalmazva ez azt jeleti, hogy az A mátrix oszlopaiak száma meg kell egyezze a B mátrix soraiak számával. Ezért az A k-as a B pedig k m-es mátrix. Célszerű megjegyezi a sor-oszlop szorzás kifejezést, mert ez utal a defiícióba foglaltakra. A szorzás végrehajtásáál célszerű haszáli a Falk-sémá -ak evezett elredezést, amely az alábbiakba látható ai ai... a ik A b r b... r B bkr c... ir AB Ha az AB szorzatot kívájuk kiszámítai, akkor a sémába a bal alsó sarokba írjuk az A mátrixot, a jobb felső sarokba pedig a B mátrixot, a szorzatmátrix pedig a jobb alsó sarokba kerül, mégpedig úgy, hogy az A mátrix i-edik soráak és a Bmátrixr-edik oszlopáak a kereszteződésébe írjuk a c ir skaláris szorzatot. Ez az elredezés megköyíti a szorzás elvégzését, persze ha va elég rutiuk, a sémát mellőzhetjük. A szorzás műveletéek tulajdoságait tisztázza az alábbi állítás. 36

37 .4.Tétel: Mátrixok szorzása asszociatív művelet, továbbá a szorzás az összeadásra ézve disztributiv, ugyaakkor a szorzás em kommutatív. Azaz a) (AB)C = A(BC) =:ABC b) A(B + C) = AB + AC c) AB BA Bizoyítás: Az asszociativitás és a disztributivitás a szorzás defiíciójáak következméye. A kommutativitással kapcsolatos állítás igazolására elég példát hozuk arra, hogy a művelet em kommutatív. Több példát is mutatuk.. Legye például AR 3, BR 3 4, ekkor AB értelmezett és ABR 4, a BA szorzat azoba em értelmezett.. Ha például AR 3, BR 3 akkor bár az AB és a BA szorzat is értelmezett, de mégsem egyelők, hisze ABR, BAR 3 3 és világos, hogy ha a mátrixok em azoos méretűek, akkor em is lehetek egyelők. 3. Felmerül a kérdés, hogy kvadratikus mátrixok eseté, ahol AB és BA egyarát értelmezett és midkettő azoos méretű, teljesül-e az egyelőség. Egy egyszerű példa meggyőz beüket, hogy ekkor sem teljesül a kommutativitás. Legye például A 0 0 B Ekkor: AB BA 4 tehát valóba em teljesül az egyelőség. Mátrixok szorzásával kapcsolatba felmerül még egy érdekes dolgog, amely például a valós számok halmazába em igaz. Egy példával illusztráljuk a modadókat..3.példa: Számítsuk ki az A és B mátrixok szorzatát ha A B Egyszerűszámolással adódik, például a Falk-séma alkalmazásával, hogy AB de A 0 és B Tehát mátrixok halmazába előfordulhat az a meglepő eredméy, hogy em ulla mátrixok szorzata a ullmátrix. Emlékezzük vissza a valós számok halmazára, ahol az ab = 0 egyeletből következik, hogy a = 0 vagy b = 0. Mátrixok körébe ez a következtetés tehát em igaz. 37

38 A szorzással kapcsolatosa igazoluk egy alapvető fotosságú, de egyszerű állítást..5.tétel: Ha AR k valamit BR k p, akkor teljesül, hogy T T T AB B A Bizoyítás: Megmutatjuk, hogy a két oldalo azoos méretű mátrixok szerepelek, és azt, hogy kompoesekét megegyezek. Mivel ABR p ezért (AB) T R p. Másrészt A T R k valamit B T R p k ahoa következik, hogy B T A T R p tehát a méreteik valóba megegyezek. Határozzuk meg az (AB) T mátrix i-edik soráak j-edik kompoesét. Ez megegyezik az AB mátrix j-edik soráak i-edik kompoesével, tehát ha az A mátrix j-edik sorát a T j jelöli, valamit a B mátrix i-edik oszlopát b i jelöli, akkor a kérdéses kompoes éppe az a T j b i skaláris szorzattal egyezik meg. A jobboldali szorzat i-edik soráak j-edik kompoes pedig a B T mátrix i-edik soráak és az A mátrix j-edik oszlopáak skaláris szorzata, azaz b T i a j mivel pedig a skaláris szorzás értelmezése szerit yilvávalóa a T j b i = b T i a j az állítást igazoltuk. A későbbiekbe haszukra lesz egy állítás, amely a szorzást a szimmetriával kapcsolja össze..6.tétel: Tetszőleges AR k mátrix eseté az AA T és az A T A mátrix szimmetrikus mátrix. Bizoyítás: Igazoljuk, hogy AA T szimmetrikus, a másik állítás hasolóa bizoyítható. Először megmutatjuk, hogy a szorzatak tetszőleges méretű, em feltétleül kvadratikus mátrix eseté va értelme. Ha AR k akkor A T R k, így az AA T szorzat értelmezve va, hisze az első téyezőek ugyaayi oszlopa va aháy sora a második téyezőek. Ebből az is következik, hogy AA T R, tehát a szorzat mide esetbe -ed redű kvadratikus mátrix. Már csak azt kell igazoluk, hogy a szorzat egybeesik a traszpoáltjával. Ez is teljesül, ugyais az előző tétel alapjá Ezt kellett igazoli. T T T T T T AA A A AA A továbbiakba a mátrixok szorzásáak speciális eseteit vizsgáljuk.. Vektorok skaláris szorzata.célszerű precízebbe megfogalmazi ezek utá a skaláris szorzás defiícióját, ugyais a skaláris szorzás egy külöleges mátrixszorzat. Miutá a mátrixok szorzását sor-oszlop szorzáskét defiiáltuk, világos, hogy a skaláris szorzásál az első téyező sorvektor, a második téyező pedig oszlopvektor kell, hogy legye. Ezt hagsúlyoztuk már a skaláris szorzás feti defiíciójába is. Ha felidézzük azt a megállapodásukat, miszerit a vektor midig oszlopvektort jelet, és adottak az ar és br vektorok, koordiátákkal felírva a T = [a, a, a ] R és b T = [b, b, b ] R. Ekkor a skaláris szorzatukak csak úgy va értelme, hogy ha az a vektorból először egy sorvektort készítük, azaz traszpoáljuk és az ar traszpoáltjáak és a b-ek írjuk fel a sor-oszlop szorzatát. Eszerit, ha ar és 38