Hanka László. Fejezetek a matematikából

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Hanka László. Fejezetek a matematikából"

Átírás

1 Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304

2 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK)

3 Fiamak Boldizsárak

4

5 Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet elsősorba mérökhallgatókak szól. Kettős célt szolgál. Egyrészt biztosítai szereték a lehetőséget, hogy a BSc szak viszoylag csekély számú matematika órájá el em hagzott, de a műszaki tárgyak megértéséhez és feldolgozásához elegedhetetleül szükséges taayagot a hallgató öállóa, vagy egy választható kurzus keretei belül megtaulhassa. Ugyaakkor taköyvkét szolgálhat azo MSc szakos hallgatók számára is, akik a feldolgozott fejezetek közül valamelyiket taulmáyaik sorá hallgatják. A jegyzet elsősorba a gyakorlatra helyezi a hagsúlyt. Természetese cél az, hogy a hallgatók megismerjeek olya fejezeteket a matematikából, amely az alapképzésbe vagy esetleg a mesterképzés keretei közé sem fér be, de a méröki gyakorlat számára elegedhetetle. Szereték szélesítei a leedő mérökök látókörét további matematikai ismeretekkel, bemutati külöböző elméleteket és ezek módszereit, de elsősorba úgy, hogy az elmélet alkalmazását példáko keresztül illusztráljuk. A 0 részletese kidolgozott feladat és a 45 ábra segíti az elmélet megértését. Természetese a megfogalmazott állítások agy részét bebizoyítjuk, de em midegyiket. Nem matematikusok számára íródott ez a jegyzet, haem mérökök számára. Ezért azokat az állításokat igazoljuk, amelyek elősegítik a témakör logikájáak potosabb megértését és esetleg az alkalmazott ötletek segítséget yújthatak a gyakorlati problémák megoldásába. A túlzotta boyolult, szélsőségese elméleti fejtegetéseket mellőztük, egy érdeklődő hallgató igéy szerit ezekek utáa tud ézi a jegyzet végé közölt szakirodalomba. A feldolgozott témakörök a következők. Lieáris algebra és mátrixelmélet, differeciálegyeletek és differeciálegyelet redszerek elmélete, sorelmélet, Taylor-sorok és valós valamit komplex Fourier-sorok elmélete. Mideütt igyekeztük az alkalmazásokat agy hagsúllyal szerepelteti. Külö kiemeljük, hogy a másodredű differeciálegyeletek fejezetébe részletese tárgyaljuk a harmoikus, csillapított és gerjesztett rezgések elméletét, amelyek ismerete egy mérökember számára élkülözhetetle. Egy jól képzett mérök természetese álladóa képzi magát, ez a jegyzet természetese em egy kimerítő tárháza a szüksége ismeretekek, de úgy godoljuk, első lépések első lépéskét megfelelő, mert agyo reméljük, hogy midekibe felmerül az öképzés, továbbképzés igéye. Ebbe a jegyzetbe együtt godolkodásra ivitáljuk a tisztelt Olvasót, ezért a szöveg megfogalmazása émileg külöbözik a szokásos száraz matematikai fogalmazástól. Megpróbáltuk hagosa godolkodi, hogy az olvasó érezze, milye új kérdések fogalmazódak meg egy elmélet kifejtése sorá, és azokra hogya lehet válaszoli. A jegyzet feldolgozásához, a matematika felfedezéséhez sok örömöt és sikerélméyt kívá a Szerző Budapest, 03. május. 3. 5

6 6

7 . fejezet Mátrixelmélet, Lieáris algebra 7

8 8

9 . Lieáris algebra.. A lieáris tér. Alapfogalmak A lieáris algebra legfotosabb fogalmai közé tartozik a lieáris tér, vagy más éve a vektortér fogalma. Ez bizoyos tulajdoságokak, feltételekek eleget tevő elemek, objektumok halmaza. A lieáris tér legalapvetőbb fogalmai közé tartozak a bázis, a dimezió. A következőkbe a felsorolt fogalmak tisztázásával, majd a lieáris algebra apparátusáak alkalmazásával foglalkozuk. Céluk elsősorba az, hogy a későbbi fejezetekbe részletese tárgyalt differeciálegyelet redszerek valamit a Fourier-sorok elméletét megalapozzuk. A matematikába agyo gyakori műveletek az összeadás és a számmal való szorzás. A vektortér olya elemhalmaz, amelybe ez a két művelet értelmezve va, és amely műveletektől megköveteljük azokat a tulajdoságokat, amelyeket a matematika kokrét objektumaiak taulmáyozása sorá megismertük...defiíció: Legyeek az x, y, z, elemek (általáos értelembe vett vektorok ) egy bizoyos L halmaz elemei, α, β, γ, pedig legyeek valós számok. Ekkor az (L, R) párt valós lieáris térek, vagy valós vektortérek evezzük, ha teljesülek az alábbi axiómák. (A továbbiakba egyszerűe az L szimbólummal hivatkozuk egy vektortérre. ) A) Az L halmaz bármely két xl és yl eleméhez egyértelműe hozzá va redelve az L halmazak egy eleme, amelyet az x és y összegéek evezük és x+y-al jelölük, és erre a műveletre érvéyesek az alábbi tulajdoságok:. x+y = y+x, tehát az összeadás kommutatív. (x+y)+z = x+(y+z), tehát az összeadás asszociatív 3. létezik L-be úgyevezett ullelem (ullvektor), jele 0, amelyre igaz, hogy tetszőleges xl eseté x+0 = x 4. mide L-beli x-ek létezik elletettje, jele x melyre teljesül, hogy x + ( x) = 0. B) Az L halmaz bármely xl eleméhez és bármely αr valós számhoz egyértelműe hozzá va redelve az L halmazak egy eleme, amelyet az α valós szám és xl szorzatáak evezük és α x-szel jelölük, és erre a műveletre érvéyesek az alábbi tulajdoságok:. az R valós számak és az xl elemek a szorzata éppe x, mide L-beli x-re, azaz x = x. tetszőleges αr és βr valós számok és tetszőleges xl eseté a szorzás asszociatív, azaz α(βx) = (αβ)x 3. a szorzás az összeadásra ézve disztributív művelet, azaz tetszőleges α, β valós számok és tetszőleges x, yl elemek eseté(α+β)x = αx + βx, illetve α(x+y) = αx + αy. 9

10 A feti defiícióba, mit látható valóba azok a műveletek és műveleti azoosságok szerepelek, amelyeket a matematika külöböző területei, már megismertük, modhaták, em láttuk semmi újat. Nos a léyeg éppe ebbe va. A lieáris algebra alapvető fogalma a lieáris tér, éppe azokat a törvéyszerűségeket, szabályokat keressük a lieáris algebrába, amelyek a feti tulajdoságok érvéyesülése eseté biztosa teljesülek, függetleül attól, hogy mik is aak a misztikus L halmazak az elemei. Ebbe éppe a matematika léyege tükröződik, hogy tudiillik általáosít, általáos tételeket keres, miközbe elvoatkoztat a kokrétumoktól, csak azokkal a részletekkel törődik, amelyek valóba fotosak. Eek megfelelőe, ha lieáris térről vagy vektortérről beszélük, akkor az L halmaz elemeit általáos értelembe vett vektor -ak evezzük, még akkor is, ha az elemek em a klasszikus értelembe vett vektorok.a későbbiekbe, mit eddig is tettük, a vektorokat vastag betűvel írjuk, akkor is ha em a klasszikus értelembe vett vektorokról va szó. Az L halmaz elemeitől, tehát a vektoroktól való megkülöböztetésképpe, a valós számokat skalárokak evezzük...példa: Példák lieáris térre. A hagyomáyos, valós kompoesű vektorok halmaza, jele:r, a műveletek pedig a hagyomáyos vektorösszeadás, és vektor számmal való szorzása. A vektortér elevezés éppe ie származik.. Egy adott [a, b] itervallumo értelmezett valós értékű függvéyek halmaza a szokásos függvéyösszeadásra és számmal való szorzásra voatkozólag. Itt tehát a vektor egy függvéy. Ezzel a vektortérrel dolgozuk majd a Fourier-sorok elméletébe. 3. Az sorú és k oszlopú (tehát -szer k-as ) valós kompoesű mátrixok halmaza, jele R xk, a szokásos mátrixösszeadásra és számmal való szorzásra. Ez esetbe a vektor egy mátrix. A lieáris tér bizoyos részhalmazaiak kitütetett szerepe va. Ezek azok a részhalmazok, amelyek ömagukba is vektorterek, tehát amelyekre teljesül a vektortér defiíciójába szereplő hét axióma...defiíció: Az L lieáris tér L részhalmazát az L vektortér alteréek (lieáris altér) evezzük, ha az L halmaz ugyacsak vektortér az L-be értelmezett műveletekre, azaz teljesülek a vektortér axiómák. Egyszerűe megfogalmazható egy feltétel arra voatkozólag, hogy egy L részhalmaz altér legye...tétel: Az L lieáris tér L részhalmaza akkor és csak akkor altér, ha tetszőleges α és β skalárok, valamit tetszőleges x, yl eseté teljesül, hogy αx + βyl. Ez másképpe úgy fogalmazható, hogy egy L részhalmaz potosa akkor altér, ha a lieáris kombiáció képzése em vezet ki az L halmazból. Bizoyítás: A vektortér axiómák szerit elemek egy halmaza akkor vektortér, ha értelmezve va egy összeadás és egy skalárral való szorzás, amelyre teljesül a hét műveleti tulajdoság. Mivel L részhalmaza L-ek és L-be teljesülek ezek az axiómák, yilvá igaz, hogy L -be is teljesülek. Kizárólag azt kell megkövetelük, hogy 0

11 . Az L halmaz bármely két xl és yl eleméhez egyértelműe hozzá va redelve az L halmazak egy eleme, amelyet az x és y összegéek evezük és x+ y-al jelölük.. Az L halmaz bármely xl eleméhez és bármely α R valós számhoz egyértelműe hozzá va redelve az L halmazak egy eleme, amelyet az α valós szám és xl szorzatáak evezük és α x-szel jelölük. Mivel megköveteltük, hogy a lieáris kombiáció e vezesse ki az L -ből ez a két feltétel yilvávalóa teljesül. A tétel úgy is fogalmazható, hogy az L lieáris tér egy L részhalmaza potosa akkor altér, ha tetszőleges elemeiek összes lieáris kombiációját is tartalmazza..3.defiíció: Azt a legszűkebb L lieáris teret, amely az x, x, x 3, x L-beli vektorokat tartalmazza az x, x, x 3, x vektorok által geerált altérek (vektorok által kifeszített altérek) evezzük. Nyilvávaló az alábbi állítás...tétel: Az x, x, x 3, x L-beli vektorok által geerált L altér em más, mit az x, x, x 3, x vektorok összes lieáris kombiációiak halmaza. Tehát L' x x... x,,..., R Bizoyítás: Egyrészt azt kell bizoyítai, hogy a lieáris kombiáció em vezet ki az L -ből. Ez yilvávaló, mert defiíció szerit az összes lieáris kombiációt tartalmazza. Másrészt azt kell igazoli, hogy ez a legszűkebb ilye vektortér, de ez is yilvávaló, hisze ha eél szűkebb lee, már em tartalmazhatá valameyi lieáris kombiációt, így a lieáris kombiáció kivezete L -ből...példa: Példák lieáris altérre. Vektorterek lieáris altereire hozuk példákat. A fetiek szerit egy részhalmaz akkor altér, ha zárt a lieáris kombiáció képzésére. Ilye halmazokat említük.. Az R -be, tehát a síkba, altér mide olya egyees, amely az origóra illeszkedik, azaz ha végiggodoljuk ez az altér az L' x xr, R alakú elemek halmaza. Ez igaz általába R -be is, csak > 3 eseté az egyees -ek már ics szemléletes tartalma, viszot éppe a feti formulával értelmezhető. Ha az egyees em illeszkedik az origóra, akkor em altér, mert egy vektortérek midig eleme a ullvektor.. Az R 3 -ba, tehát a térbe, altér mide olya sík, amely az origóra illeszkedik, tehát az 3 L' x x x, x R, R

12 alakú elemek halmaza. Ez igaz általába R -be is, csak > 3 eseté a sík -ak már ics szemléletes tartalma, viszot éppe a feti formulával értelmezhető. Ha a sík em illeszkedik az origóra, akkor em altér, mert egy vektortérek midig eleme a ullvektor. 3. Egy adott [a, b] itervallumo értelmezett valós értékű folytoos/differeciálható/itegrálható függvéyek halmaza a szokásos függvéyösszeadásra és számmal való szorzásra voatkozólag. Ezek a bevezetőbe említett. példabeli vektortér alterei. 4. Az sorú és k oszlopú (tehát -szer k-as ) valós kompoesű mátrixok R xk vektorterébe azo mátrixok, amelyekre igaz, hogy i>j eseté a ij = 0. Ez szemléletese azt jeleti, hogy a bal felső sarokból iduló átló alatt mide kompoes zérus. stb.

13 ..Vektorredszerek és tulajdoságaik.4.defiíció: Legyeek x, x, x 3, x L-beli vektorok, α, α, α 3, α pedig legyeek valós számok. Ekkor az α x + α x + α 3 x 3 + +α x összeget az x, x, x 3, x vektorok lieáris kombiációjáak evezzük. A lieáris tér defiíciója szerit ez az összeg is eleme az L halmazak! Miért alapvető ez a fogalom? Azért, mert mit a vektortér defiíciójába láttuk összese két művelet va értelmezve egy lieáris térbe, így ha adva va egy { x, x, x 3, x } vektorredszer, akkor a feti kifejezés a lehető legáltaláosabb műveletet adja meg, amit ezzel a vektorredszerrel el lehet végezi. Tisztázzuk miért is fotos ez. Vektortereket akaruk leíri, vizsgáli. A legtöbb gyakorlatba fotos vektortérek végtele sok eleme va. De felmerül a kérdés. Ha meg akaruk adi egy vektorteret, akkor ismerük kell a vektortér összes elemét? A válasz yilvávalóa em. Azért, mert kezükbe va a lieáris kombiáció fogalma, segítségével egy vektorredszer felhaszálásával újabb L-beli vektorokat állíthatuk elő. Nyilvávaló, hogy ha ismertek tekitjük vektorok egy x, x, x 3, x redszerét, akkor a belőlük lieáris kombiáció útjá előállítható összes vektort is ismertek tekithetjük! A kérdés most már az, hogy milye tulajdoságú, és háy elemű kell, hogy legyea vektorredszer, hogy azt modhassuk, lieáris kombiációikkal az összes L-beli vektort meg tudjuk adi. Eek a kérdéskörek a tisztázásához va szükség az alábbi fogalmakra..5.defiíció:az L lieáris tér x, x, x 3, x vektorredszerét a lieáris tér geerátorredszeréek evezzük, ha eze vektorok lieáris kombiációjakét az összes L-beli vektor előállítható, azaz ha yl tetszőleges, akkor létezek olya α, α, α 3, α R valós számok, hogy teljesül az α x + α x + α 3 x 3 + +α x = yegyelőség. Világos, hogy egy vektortér megadásához ezek szerit elég a tér egy geerátorredszerét megadi!.3.példa: Példák geerátorredszerre.. A sík, azaz R megadásához például elegedő megadi két em párhuzamos, ullvektortól külöböző vektort. Az elemi vektorgeometriából ugyais ismert a paralelogramma szabály a vektorok összeadására, és eek fordítottja a vektorfelbotás módszere. Eszerit, ha adva va két em párhuzamos vektor a síkba, akkor tetszőleges síkbeli vektor felbotható a megadott két vektorral párhuzamos összetevőkre. Tehát R -ek geerátorredszere két em párhuzamos vektor. Természetese kettőél több vektor is geerátorredszer, ha va közöttük kettő em párhuzamos!. A 3-dimeziós tér, azaz R 3 geerátorredszere az előző godolatmeet mitájára: bármely olya vektorredszer, amely tartalmaz legalább 3 olya vektort, amelyek icseek egy síkba. 3

14 .6.Defiíció: Az L lieáris tér x, x, x 3, x vektorredszerét lieárisa függetleek evezzük, ha az α x + α x + α 3 x 3 + +α x = 0 (0L) összefüggés csak α = α = α 3 = =α =0 (0R) eseté áll fe.ezt a lieáris kombiációt triviális lieáris kombiációak evezzük..7.defiíció: Az L lieáris tér x, x, x 3, x vektorredszerét lieárisa összefüggő-ek evezzük,ha az α x + α x + α 3 x 3 + +α x = 0 (0L) összefüggés úgy teljesül, hogy legalább egy j idexre α j 0. Ez utóbbi defiíciót fogalmazhattuk vola úgy is, hogy az x, x, x 3, x vektor-redszer lieárisa összefüggő, ha em függetle, hisze yilvávaló, hogy két egymást kölcsööse kiegészítő tulajdoságról va szó! Próbáljuk meg, ameyire lehet, szemléletessé tei ezt a két fogalmat.. Mit jelet két vektor lieáris összefüggősége. Ha α x + α x = 0 eseté példáulα 0 akkor ebből az egyeletből x kifejezhető az alábbi módo: x x, tehát az egyik vektor a másik vektorak valós számszorosa, más szóval skalárszorosa, ami potosa ayit jelet, hogy az egyik vektor párhuzamos a másik vektorral. Két vektor esetébe a lieáris összefüggőség egyeértékű a párhuzamossággal. Azaz, ha két vektor lieárisa függetle, akkor azok em párhuzamosak!. Mit jelet három vektor lieáris összefüggősége? Ha α x + α x + α 3 x 3 = 0eseté például α 0 akkor ebből az egyeletből x kifejezhető az alábbi módo x x x 3 3 tehát az egyik vektor a másik két vektor skalárszorosaiak összege, tehát lieáris kombiációja. Az elemi vektorgeometriából tudjuk, ez potosa ayit jelet, hogy az x vektor bee fekszik az x ésx 3 vektorok által kifeszített síkba. Három vektor esetébe a lieáris összefüggőség egyeértékű azzal, hogy a három vektor egy síkba va. Tehát, ha három vektor lieárisa függetle, akkor azok szükségképpe em egysíkúak. A lieáris összefüggőség léyegét tisztázza az alábbi tétel..3.tétel: Az L lieáris tér x, x, x 3, x vektorredszere akkor és csak akkor lieárisa összefüggő, ha létezik eze vektorok között legalább egy olya vektor, amely kifejezhető a többi vektorok lieáris kombiációjakét. 4

15 Bizoyítás: Tegyük fel elsőkét, hogy az egyik vektor, például x j kifejezhető a többi lieáris kombiációjakét x x... x x... x j j j j j ekkor ullára redukálva az egyeletet, azt kapjuk, hogy x... x x x... x 0 j j j j j és ebbe az előállításba az x j együtthatója em ulla, tehát előállítható a ullvektor a emtriviális lieáris kombiációval. Ez potosa azt jeleti, hogy a redszer lieárisa összefüggő. megfordítva, tegyük fel, hogy a redszer lieárisa összefüggő. Azaz teljesül, hogy x... x x x... x 0 j j j j j j és például α j 0. Ekkor az egyeletből az x j vektor kifejezhető a következő módo x x... x x... x, 0 j j j j j j j j j j Ez pedig potosa azt jeleti, hogy az egyik vektor kifejezhető a többi vektorok lieáris kombiációjakét. Ezt kellett igazoli. Térjük vissza ezek utá a geerátorredszer szerepéek vizsgálatára. A geerátorredszer vektoraiak lieáris kombiációjával a tér összes vektora előállítható. Tegyük fel, hogy a x, x, x 3,, x k, x geerátorredszer lieárisa összefüggő, például azx k vektor előállítható a többi db vektor lieáris kombiációjakét: β x + β x + + β k x k + β k+ x k+ + +β x = x k Ha ezek utá egy yl vektor előállításába az x k vektor szerepel α x + α x + +α k x k + +α x = y akkor x k -t helyettesíthetjük a feti összeggel, amely esetbe a következőt kapjuk α x + α x + +α k (β x + β x + + β k x k + β k+ x k+ +β x )+ +α x = y Ez az előállítás potosa azt jeleti, hogy az yl vektor azx k vektor elhagyásával megmaradó vektorredszer lieáris kombiációjakét is előáll. Ez másképpe is fogalmazható. Voltaképpe igazoltuk egy tételt..4.tétel: Ha egy lieárisa összefüggő geerátorredszerből egyekét elhagyjuk azokat a vektorokat, amelyek előállíthatók a redszer többi vektoráak lieáris kombiációjakét, akkor továbbra is geerátorredszert kapuk. 5

16 Ezzel a módszerrel redukálhatjuk egy geerátorredszer elemszámát.kérdés, hogy meddig lehet, illetve meddig érdemes ezt az eljárást folytati. Nyilvá addig, amíg egy lieárisa függetle geerátorredszerhez jutuk..8.defiíció: Az L lieáris tér b, b, b 3, b geerátorredszerét a lieáris tér bázisáak evezzük, ha ez a vektorredszer lieárisa függetle. A bázis legfotosabb tulajdoságára világít rá az alábbi tétel..5.tétel: Ha ab, b, b 3, b vektorredszer bázis az L lieáris térbe, akkor tetszőleges yl vektor egyértelműe felírható a bázisvektorok lieáris kombiációjakét. Tehát létezek olya α, α, α 3, α Regyütthatók, melyekre y = α b + α b + α 3 b 3 + +α b továbbá az α, α, α 3, α Regyütthatók egyértelműe meghatározottak. Bizoyítás: A α, α, α 3, α Regyütthatók létezése abból adódik, hogy a b, b, b 3, b vektorredszer geerátorredszer. Az egyértelműséget idirekt bizoyítjuk. tegyük fel, hogy létezik két külöböző előállítás, azaz egyrészt másrészt pedig y b... jb j... b y b... jb j... b Képezzük most a felírt két egyelőség külöbségét b... j j b j... b 0 Tekitettel arra, hogy defiíció szerit a bázis lieárisa függetle vektorok redszere, azt kaptuk, hogy a ullvektort előállítottuk egy lieárisa függetle redszer lieáris kombiációjával. Ez azoba csak a triviális lieáris kombiáció lehet, azaz j jmide j idexre, ami elletmod az idirekt feltevések, tehát az előállítás valóba egyértelmű. A tétel jeletősége a következőkbe áll. Ha rögzítük egy B = {b, b, b 3, b } bázist az L lieáris térbe, akkor bármely yl vektor egyértelműe meghatároz egy (α, α, α 3, α ) redezett szám -est. Fordítva yilvávaló, egy (α, α, α 3, α ) szám -es egyértelműe meghatároz egy yl vektort a feti lieáris kombiáció segítségével. Ez azt jeleti, hogy rögzített bázis eseté az L-beli vektorok azoosíthatók valós számokból álló redezett szám -esekkel, azaz klasszikus értelembe vett -kompoesű vektorokkal. Az egyértelműség miatt bevezethetük egy elevezést. 6

17 .9.Defiíció: Ha B = {b, b, b 3, b } rögzített bázis az L vektortérbe és y = α b + α b + α 3 b 3 + +α b akkor az α, α, α 3, α valós számokat az yl vektor B bázisra voatkozó koordiátáiak evezzük.a koordiáták felírására az alábbi jelölést alkalmazzuk: y.. Tehát ha egy L-beli vektort megaduk a koordiátáival, akkor megegyezés szerit a koordiátákat oszlopvektorba írjuk fel. A vektor melletti jobb alsó idex utal a Bbázisra! A bázis előállítása sorá elméletbe kiidultuk egy geerátorredszerből, és ezt a redszert redukáltuk úgy, hogy a végeredméy egy függetle geerátorredszer legye. De yilvá sokféleképpe találhatuk egy geerátorredszert, eek redukálása sorá egy másik bázishoz juthatuk. Felmerül a kérdés, hogy va-e valami közös az L tér külöböző bázisaiba. Erre ad választ az alábbi, bizoyítás élkül közölt tétel..6.tétel: Az L lieáris tér bármely két bázisáak elemszáma azoos. Eszerit akárhogya is állítuk elő egy bázist az midig ugyaayi elemű lesz. Ez feljogosít beüket az alábbi fogalom értelmezésére:.0.defiíció: Az L lieáris tér bázisáak elemszámát a vektortér dimeziójáak evezzük..4.példa: Lássuk éháy példát.. Az R vektortérbe amely azoosítható a síkkal egy jól ismert bázis a következő B 0 i 0 j ez a vektorredszer yilvá bázis, hisze lieárisa függetle (em párhuzamosak), és geerátorredszer is, hisze például az y R vektor tetszőleges α és β valós számok eseté yilvávalóa egyértelműe előállítható i és j vektorok segítségével az alábbi módo 7

18 0 y 0 Tehát a B 0 = {i, j} vektorpár bázis R -be, és az α, β valós számok az y vektor B 0 bázisra voatkozó koordiátái. A köyebb általáosítás kedvéért bevezetjük az e = iés az e = j jelöléseket és bevezetük egy elevezést. Az R vektortér B 0 = { e, e }bázisát stadard bázisak evezzük, és megállapoduk a következőbe, ha mást em említük, akkor báziso midig a stadard bázist értjük. Az előbbi defiíció szerit R tehát dimeziós vektortér.. Hasolóa godolható végig az R 3 vektortér esete az i, j és k vektorokra voatkozólag, azzal a külöbséggel, hogy i, j és kazért függetleek, mert icseek egy síkba. A stadard B 0 bázis elemei az e = i,e = j, e 3 = k vektorok, és így R 3 egy 3-dimeziós lieáris tér. 3.Az előző két godolatmeet köye általáosítható R -re...defiíció: Az e 0 e 0 e3... e vektorredszer bázis R -be, amely bázist az előzőekhez hasolóa R stadard bázisáak evezük, és amelyek a jele B 0. Ismét felhívjuk a figyelmet a megállapodásra, miszerit ha egyebet em moduk, báziso midig a stadard bázist értjük! A korábbiak szerit R tehát egy -dimeziós vektortér. A korábbiak szerit már köye látható, de a módszerek gyakorlásaképpe igazoljuk az alábbi alapvető állítást..7.tétel: A stadard bázis valóba bázisa R -ek, tehát egy lieárisa függetle geerátorredszer. Bizoyítás: Először megmutatjuk általáosa, hogy a vektorredszer lieárisa függetle. Állítsa tehát elő a ullvektort az alábbi lieáris kombiáció azaz koordiátákét írva e... je j... e 0 8

19 , , 0... j azaz j , Kaptuk tehát, hogy a ullvektort csak a triviális lieáris kombiáció állítja elő. Ez éppe a függetleséget igazolja. Legye ezek utá azyr tetszőleges vektor, koordiátákkal megadva y.. B0 Teljese világos, hogy ekkor teljesül az y j... 0 e... je j... e egyelőség, és az is hogy az együtthatók egyértelműe meghatározottak. Éppe ezt kellett igazoli. A bázis tehát egy agyo külöleges vektorredszer egy lieáris térbe, midemellett a legfotosabb vektorredszer. Nem árt ha több szempotból is megvilágítjuk ezt a fogalmat. Köyű átgodoli, hogy az alábbi állítások mid a bázist határozzák meg..8.tétel:. Egy vektortérbe a maximális elemszámú lieárisa függetle redszer bázis.. Egy vektortérbe a miimális elemszámú geerátorredszer bázis. 3. Egy -dimeziós vektortérbe bármely db lieárisa függetle redszer bázis. 4. Egy -dimeziós vektortérbe bármely elemű geerátorredszer bázist alkot. Ezt a tételt akkor célszerű alkalmazi, ha egy kokrét esetbe bázist keresük. Ha teljesül az előbbi égy állítás valamelyike, akkor biztosak lehetük afelől, hogy bázist találtuk. 9

20 .3. Elemi bázistraszformáció Iduljuk ki a következő problémából. Adott az R lieáris tér alábbi y vektora a stadard B 0 bázisba. 3 y B 0 Hogya változak meg az y koordiátái, ha a stadard bázis egyik vektorát kicseréljük egy másik vektorra, azaz áttrérük egy másik bázisra. Például cseréljük ki az e vektort az u vektorra, ahol az u koordiátái természetese B 0 -ba, az alábbi vektorral adottak u B 0 Felmerül a kérdés, va-e eek értelme. Mivel u em párhuzamos e -vel, így a B = {u, e }redszer továbbra is lieárisa függetle geerátorredszere, mivel = elemű, lieárisa függetle redszer, tehát bázisa R -ek. Megkérdezhetjük, hogy ebbe a bázisba mely valós számok az y vektor koordiátái. Ehhez csak arra kell válaszoli, hogy az y vektort az u és e vektorok mely lieáris kombiációja állítja elő. A számítás a következő:y = 3e + e, másrészt u = e +e = e + e ahoa e = u e. Ezt behelyettesítjük az y előállításába, kapjuk, hogyy = 3(u e ) + e = 3u e. Ami potosa azt jeleti, hogy megkaptuk az y vektor B = {u, e }bázisra voatkozó koordiátáit. Ezek a következők 3 y B Megváltoztak a koordiáták, de ez természetes, hisze megváltozott a bázis is. Jól jegyezzük meg tehát, hogy egy vektor koordiátái em abszolút értelembe létezek, haem midig függeek a bázistól. A feti kokrét példába követett godolatmeetet általáosítjuk...defiíció: Legye adott egy B = {b, b, b 3,, b k, b }bázis L-be, továbbá adott egy u-val jelölt vektor. Ha a B bázis egy vektorát, például a b k vektort kicseréljük az u vektorra, azaz áttérük a B = {b, b, b 3,,b k,u, b k+, b }bázisra, akkor ezt a traszformációt elemi bázistraszformációak evezzük. A kokrét példával elletétbe tehát az elemi bázistraszformáció em csak a stadard bázisról való áttérést jeleti, haem bármely bázisból kiidulhatuk és készíthetük új bázisokat. Mi a feladat, ha áttértük egy új bázisra. Midig az, hogy kiszámítjuk bizoyos egy adott probléma kapcsá felmerülő vektorok koordiátáit az új bázisba. Ez a módszer agyo hatékoy. A későbbiekbe láti fogjuk számos alkalmazását. Most csak címszavakba említjük meg mire haszálható: lieáris függetleség, lieáris összefüggőség vizsgálata, kompatibilitásvizsgálat, homogé és ihomogé lieáris egyeletredszerek megoldása, mátrixok ivertálása, stb. 0

21 Aak érdekébe, hogy a későbbiekbe ezeket a problémákat egységes alapoko meg tudjuk oldai, levezetjük a traszformációt általáosa. Legye adott egy B = {b, b, b 3,, b k, b }bázis L-betovábbá legye adott egy u-val jelölt vektor, melyek B-beli előállítása a következő u = β b + β b + + β k b k + +β b és tegyük fel, hogy például β k 0. Legye továbbá xl egy tetszőleges vektor, melyek előállítása a B bázisba x = α b + α b + + α k b k + +α b Cseréljük ki a B bázis b k vektorát u-ra ha lehet, vizsgáljuk meg, hogy a kapott vektorredszer bázist alkot-e L-be, és ha ige számítsuk ki x koordiátáit az új B = {b,, b k, u, b k+, b } bázisba. Mivel β k 0 ezért oszthatuk vele, tehát az u-t előállító egyeletből kifejezhető a b k vektor b b b... b u b... b k k k k k k k k k k k Ezt az összeget be tudjuk helyettesítei az x-et előállító egyeletbe a b k helyére x b... kb k k b b... u... b kb k... b k k k k redezzük most ezt az összeget. Az adódik, hogy x... k k k k k k k k k k... k b k b k u k b k b k Megkaptuk amit kerestük, az x vektor előállítását a B bázisba.válaszoljuk a felmerült problémákra is.. A B = {b,, b k, u, b k+, b } vektorredszer valóba bázis, hisze geerátorredszer, ugyais az x eze vektorok segítségével is előállítható. Továbbá db vektort tartalmaz a redszer, és egy dimeziós térbe mide elemű geerátorredszer bázis.. Felmerül a kérdés, hogy mi a csere feltétele. Az, hogy az u vektor kiidulási B bázisba törtéő előállításába, a b k vektor β k együtthatója 0-tól külöbözzö. A β k valós számot az elemi bázistraszformáció geeráló eleméek evezzük. A báziscsere abból állt tehát, hogy az eredeti B bázis b k vektorát kicseréltük az u vektorra, így előállítottuk egy új B bázist, és megkaptuk az x vektor B -beli koordiátáit. Az u vektor belépett a bázisba, a b k vektor pedig kilépett a bázisból. Vegyük észre, hogy mellékeredméykét még azt is megkaptuk, hogy a kilépő b k vektorak mik a koordiátái az új

22 bázisba. Eredméyeiket a köyebb áttekithetőség és egyszerűbb alkalmazhatóság kedvéért táblázatba foglaljuk, aál is ikább, mert az elemi bázistraszformációt alkalmazó számításokál is midig táblázatokkal dolgozuk majd. A táblázat szerkezete a következő. Az első oszlopba midig az aktuális bázisvektorok állak, a többi oszlopba pedig azo vektorok aktuális bázisra voatkozó koordiátái, amelyeket be akaruk vii a bázisba, illetve amelyekek keressük a koordiátáit az új bázisba. A fetiekbe egy vektort cseréltük, és egy x vektorak számítottuk a koordiátáit. A táblázat azoba em csak egy x haem még egy y vektor koordiátáiak traszformációját is mutatja azért, hogy jobba átlássuk a traszformáció mikétjét, ha egyszerre több vektort traszformáluk. B u x y b β α γ b β α γ b k k α k γ k b β α γ Táblázat. Az elemi bázistraszformáció iduló táblázata Ha feltesszük, hogy β k 0 akkor kicserélhetjük az u és b k vektorokat. β k a traszformáció geeráló eleme. A traszformáció eredméyét az alábbi táblázat tartalmazza: B b k x y b k b k k k k k k k k k u k k k k k b k k k k k Táblázat. Az elemi bázistraszformáció táblázata

23 Az egyes traszformációs lépéseket az alábbiakba fogalmazhatjuk meg:. A geeráló elem helyére a reciprokát írjuk.. A geeráló elem soráak többi elemét elosztjuk a geeráló elemmel. 3. A geeráló elem oszlopáak többi elemét elosztjuk a geeráló elem elletettjével. 4. A táblázat többi részé a számítás a következő: A geeráló elem oszlopába kiszemelük egygeeráló elemtől külöböző értéket. Ezt elosztjuk a geeráló elemmel, a kapott háyadossal megszorozzuk a geeráló elem soráak az elemeit, és ezeket a szorzatokat redre kivojuk a kiszemelt elem soráak elemeiből. A traszformációt tehát sorokét végezhetjük. 3

24 .4. Az elemi bázistraszformáció alkalmazásai Az elemi bázistraszformáció alkalmazása léyegébe az alábbi eljárás. Adott egy vektorredszer, amelyek ismertek a koordiátái valamilye bázisba, általába, ha mást em moduk a stadard bázisba, de ez em léyeges kitétel. A vektorredszer elemei közül aháyat csak lehet, beviszük a bázisba, persze egyesével, hisze elemi bázistraszformációk egymásutáját alkalmazzuk. Ezt az eljárást alkalmazzuk ameddig csak lehet, illetve ameddig szükséges. Az alkalmazások sorá szükségük lesz éháy fogalomra, ezeket értelmezzük a továbbiakba..3.defiíció: Azt modjuk, hogy az x, x, x 3, x vektorredszer ragja k, ha va a vektorredszerbe k db lieárisa függetle vektor, de bármely legalább k + elemű részredszer lieárisa összefüggő. Egyszerűe fogalmazva a rag a redszerből kiválasztható lieárisa függetle vektorok maximális száma. Kérdés, hogy hogya vizsgáljuk meg egy vektorredszer ragját elemi bázistraszformációval. Úgy, hogy a vektorredszer vektorai közül ayit viszük be a bázisba, ameyit csak lehet, ameddig még találuk β k 0 geeráló elemet. Mivel ezeket a vektorokat bevittük a bázisba, és a bázis lieárisa függetle redszer, a bevitt vektorok redszere lieárisa függetle. Eszerit a rag egyelő azo vektorok számával aháyat a bázisba vittük. Ezt a számítást a lieáris egyeletredszerek megoldása sorá fogjuk alkalmazi..5.példa: Határozzuk meg az a = [, 3, 0, ] T, a = [0,,, 0] T, a 3 = [,,, 3] T, a 4 = [,,, 3] T vektorokból álló vektorredszer ragját. Adjuk meg lieárisa függetle vektorokat, és ha a redszer lieárisa összefüggő, adjuk meg a köztük lévő lieáris kapcsolatot. Alkalmazzuk elemi bázistraszformációt. a a a a a a a a a a a a a A számítások eredméye a következő. A vektorredszer ragja 3, mert három lieárisa függetle vektor va a redszerbe, ez egyértelmű, függetle a geeráló elemek választásától. Ezek például az a, a és a 3 vektorok. Természetese ez függ attól, hogy mely oszlopokba választjuk a geeráló elemeket. Az a 4 vektorral együtt azoba már lieárisa összefüggő redszert alkotak. A lieáris kapcsolat a táblázat utolsó oszlopából olvasható le, amely szerit a 0a 3a a 4 3 4

25 Eek az egyelőségek a helyessége a vektorok koordiátái alapjá azoal látható..4.defiíció: Azt modjuk, hogy az yl vektor kompatibilis az x, x, x 3, x Lvektorredszerrel, ha y előállítható az x, x, x 3, x vektorok lieáris kombiációjakét. Ha em állítható elő, akkor ikompatibilisek evezzük. Kérdés, hogy hogya vizsgáluk kompatibilitást elemi bázistraszformációval. Úgy, hogy a vektorredszer elemeit és az y-t is szerepeltetjük egy traszformációs táblázatba. Elvégzük ayi elemi traszformációt, ameyit csak lehet vigyázva arra, hogy az y-t e vigyük a bázisba - amíg akad olya x i vektor, amit még be tuduk vii a bázisba, és ezek utá megézzük az y vektor koordiátáit. A koordiáták megadják, hogy az y-t mely lieáris kombiáció állítja elő. Ha ebbe csak az x i vektorok szerepelek, akkor y kompatibilis, ha viszot va az előállításba egy vektor az eredeti bázisból is akkor ikompatibilis..6.példa: Vizsgáljuk meg, hogy azy = [5, 8, 3, ] T, y = [5, 0, 0, 5] T vektorok kompatibilisek-e az x = [, 0, 0, ] T, x = [,, 0, 0] T,x 3 = [0,,, 0] T,x 4 = [3, 3,, ] T vektorokból álló vektorredszerrel. Alkalmazzuk elemi bázistraszformációt. x x x x y y x x x y y x x y y x y y x x 0 x e A számítások eredméye a következő. Az y vektor kompatibilis a vektorredszerrel, mert előállítható csak a redszerhez tartozó vektorok lieáris kombiációjakét. Az y vektor viszot em kompatibilis a vektorredszerrel, mert előállításához szükség va még az e 4 vektorra is. A táblázatból leolvasható, hogy az előállítások a következők. y x x 3 x y 5x 5 e 3 4 Mellesleg a számításból az is kiderül, hogy az { x, x,x 3,x 4 } vektorredszer ragja 3, például lieárisa függetle vektorok az x, x,x 3 vektorok, az x 4 ezektől lieárisa függ, a táblázat alapjá az x x x x 4 3 összefüggés szerit. Ha a redszerhez hozzávesszük az y vektort, a redszer ragja em övekszik, tehát az { x, x,x 3,x 4, y } vektorredszer ragja is 3, azoba ha a redszert az y vektorral bővítjük ki, akkor a rag övekszik, tehát az { x, x,x 3,x 4, y } vektorredszer ragja 4. 5

26 Fotosabb alkalmazásokat látuk majd a későbbiekbe lieáris egyeletredszerek megoldásáál és mátrixok iverzéek meghatározásáál. De mielőtt számításokat végzük, szükségük va a mátrix fogalmára. 6

27 .5. Mátrixok.5.Defiíció: Valós számokak az alábbi sémába való elredezését mátrixak evezzük. a a... ak a a... a k A a a... ak Az A mátrix a vektorhoz hasolóa vastago szedve a ij kompoese a mátrix i-edik soráak j- edik eleme, az idexek közül első tehát a soridex, a második pedig az oszlopidex. Eek a mátrixak sora és k oszlopa va, szokás ezt -szer k-as, jelöléssel k-as mátrixak evezi. Az k méretű valós kompoesű mátrixok halmazára haszáljuk az R k jelölést. A mátrixokat általába az "ABC" yomtatott, vastago szedett agybetűivel jelöljük. Sokszor haszos az alábbi általáos jelölés, amely utal arra, hogy hogya jelöljük a mátrix kompoeseit. Ha AR k akkor A a ij vagy egyszerűe csak A a ij i..., j... k Az alábbiakba éháy speciális mátrixot értelmezük..6.defiíció: Azt a mátrixot, amelyek egyetle oszlopa va oszlopvektorak evezzük. Ez a mátrix léyegébe megegyezik a hagyomáyos értelembe vett -kompoesű vektorokkal, tehát az R halmazt azoosítjuk az R halmazzal. a a a R R... a.7.defiíció: Azt a mátrixot, amelyek egyetle sora va sorvektorak evezzük. Ez a mátrix léyegébe megegyezik a hagyomáyos értelembe vett k-kompoesű vektorokkal, tehát az R k halmazt azoosíthatjuk az R k halmazzal. k b b b... b k R " " R Világos azoba, hogy a vektor kifejezés ezek utá félreértést okozhat, hisze az előbbiek szerit jelethet oszlopvektort is és sorvektort is. Ezt elkerüledő jegyezzük meg a következő megállapodást. A továbbiakba, ha vektor -t moduk, akkor az midig oszlopvektort jelet. A feti egyelőségjel azért idézőjeles, mert bár az azoosítás jogos, de az említett k 7

28 megegyezés szerit az imét megfogalmazott azoosítás alapjá értelmezzük a vektort és az R halmazt..8.defiíció: Kvadratikusak vagy égyzetesek evezük egy mátrixot, ha soraiak száma egyelő oszlopaiak számával, ha tehát = k. a a... a a a... a B R a a... a Egy kvadratikus mátrixak va egy külöleges részhalmaza, azo elemek, amelyekek sor- és oszlopidexe megegyezik. Ezt a részhalmazta mátrix főátlójáak evezzük. Az -es mátrixot szokás -edredű mátrixak evezi. A kvadratikus mátrix főátlójába levő kompoesek összegét a mátrix yomáak (trace) vagy idege szóval spurjáak evezzük. Ezt a fogalmat a sajátértékek elméletébe fogjuk haszáli. B... tr a a a.9.defiíció: Alsó illetve felső háromszögmátrixak evezzük azt a kvadratikus mátrixot, amelybe redre a főátló felett illetve a főátló alatt mide kompoes zérus. Ezek szokásos jelölése L (lower) és U (upper) a a a... a a a a... a L R U R a a... a a.0.defiíció: Diagoális mátrixak evezzük azt a kvadratikus mátrixot, melybe a főátló kívül mide elem zérus. a a... 0 D R a Ha egy ar vektorból képezük diagoális mátrixot, akkor az azt jeleti, hogy egy olya -ed redű mátrixot értelmezük, amelyek főátlójába állak az a vektor kompoesei. Az alkalmazott jelölések bevezetésével 8

29 a a a 0 a... 0 a R eseté diag a a R a a..defiíció: Nullmátrixak evezzük azt a mátrixot, amelyek mide kompoese 0 R. Azaz k 0 R A ullmátrixak em kell szükségképpe kvadratikusak lei. A ullmátrix defiiáló tulajdosága, hogy tetszőleges AR k eseté teljesül, hogy A + 0 = 0 + A = A. Az algebrába az ilye tulajdoságú objektumot evezzük ullelemek. A továbbiakba a mátrixok körébe végezhető műveletekkel foglalkozuk. 9

30 .6. Műveletek mátrixokkal A mátrixok halmazába is értelmezük műveleteket, az összeadást és a skalárral (tehát valós számmal) való szorzást és mátrixok szorzatát. Az első két említett művelet felhaszálásával mátrixok halmaza is egy vektortér. Az osztás művelete em értelmezhető közvetleül. Az osztás fogalmáak az általáosítása a mátrix iverzéek a fogalma. Ezeket a fogalmakat értelmezzük a következőkbe...defiíció: Az A aij R k mátrixak és az αr valós számak a szorzata a következő A a ij R Tehát egy mátrixot úgy szorzuk egy valós számmal, hogy a mátrix mide kompoesét megszorozzuk a valós számmal, továbbá egy k-as mátrix valós számszorosa is k-as mátrix..7.példa: Végezzük el az alábbi skalár-mátrix szorzást. k Defiíció: Az mátrix, melyre A aij R k és a ij B b R k mátrixok összege az az k méretű A B aij bij R Tehát összeadi csak azoos méretű mátrixokat lehet, és két mátrixot úgy aduk össze, hogy a megfelelő helye álló kompoeseit redre összeadjuk. Az eredméy természetese ugyaolya méretű mátrix, mit az összeg tagjai..8.példa: Végezzük el az alábbi összeadást. k Az összeadás és a szorzás műveleti tulajdoságaira igaz az alábbi állítás. 30

31 .9.Tétel: Mátrixok összeadása és skalárral való szorzása kommutatív és asszociatív művelet, valamit a skalárral való szorzás az összeadásra ézve disztributív, azaz a) b) A A A A : A c) A B B A A B C A B C : A B C Α A A A B A B Bizoyítás: Az állítások a defiíciók közvetle következméyei. Látható tehát, hogy a valós számmal való szorzás és az összeadás sorá k méretű mátrixokból iduluk ki, és az eredméy ugyailye típusú mátrix, ez a két művelet tehát em vezet ki az k-as mátrixok R k halmazából.világos, hogy a korábba értelmezett 0R k ullmátrixra tetszőleges AR k mátrix eseté teljesül, hogy A + 0 = 0 + A = A.A legutolsó tétel figyelembe vételével, ha még hozzátesszük a tételbeli műveleti tulajdoságokhoz a ullmátrix fogalmát, akkor látható, hogy az k-as mátrixok R k halmaza valós vektortér a most defiiált számmal való szorzásra és összeadásra voatkozólag. A kérdés, hogy mi eek a vektortérek egy bázisa és meyi a vektortér dimeziója. Köye elleőrizhető, hogy az B ij i,,3,..., j,,3,..., k mátrixredszer bázisa azr k vektortérek, ahol B ij az a mátrix, amely i-edik soráak j-edik kompoese a többi kompoes zérus, amiből következik, hogy ez a vektortér k dimeziós..4.defiíció: Az A aij R k mátrix traszpoáltja az az A teljesül, hogy T ' a ij R k mátrix, melyre ' aij aji. Vagyis az A T traszpoált mátrix i-edik soráak j-edik kompoese megegyezik az A mátrix j-edik soráak i-edik kompoesével. A traszpoálás tehát azt jeleti, hogy a mátrix sorai és oszlopai szerepet cserélek, tehát az Ai-edik sorából lesz az A T i-edik oszlopa és fordítva. Ha a mátrix em égyzetes, akkor a mátrix és traszpoáltja em azoos méretűek. Négyzetes mátrixok esetébe mátrix és traszpoáltja egyező méretűek, azaz ha AR akkor A T R. Ebbe az esetbe a traszpoálás egyeértékű a főátlóra törtéő tükrözéssel. A főátló kompoesei helybe maradak, a többi elem pedig a főátlóra tükröződik. 3

32 .9.Példa: Traszpoáljuk az alábbi mátrixokat T T A A 0 B B A traszpoálással kapcsolatosa alapvető a következő állítás..0.tétel:az A mátrix traszpoáltjáak traszpoáltja az A, tehát saját maga, összeget tagokét lehet traszpoáli, skalárszoros traszpoáltja pedig a traszpoált skalárszorosa, vagyis T T T T T T T A A A B A B A A Bizoyítás: Ezek az egyelőségek a defiíciók közvetle következméyei. A traszpoálás agyo haszos, ha vektorokról beszélük. Egy vektor, ami megegyezés szerit oszlopvektor, helytakarékosa írható, ha felhaszáljuk a traszpoálás műveletét. Világos, hogy az a a T T a a a a... a a a a... a... a jelölések ugyaazt az ar vektort jeletik. A továbbiakba mi is alkalmazzuk ezt a jelölést, ha oszlopvektorról va szó..5.defiíció: Az AR mátrixot szimmetrikusak evezzük, ha megegyezik a traszpoáltjával, azaz A szimmetrikus ha teljesül, hogy A T = A. Azt is modhatjuk, hogy egy szimmetrikus mátrix tükrös a főátlójára. Az AR mátrixot ferdé szimmetrikusak evezzük, ha traszpoáltja a Amátrix elletettje, azaz ha teljesül, hogy A T = A. Ebbe az esetbe, tekitettel arra, hogy a főátló kompoesei traszpoálás sorá a helyükö maradak, és csak a 0 az a valós szám, melyek elletettje saját maga, egy ferdé szimmetrikus mátrix főátlójába mide kompoes zérus..0.példa: Az A mátrix szimmetrikus, a B mátrix ferdé szimmetrikus A B

33 Szimmetrikus és ferdé szimmetrikus mátrixok fogalmával kapcsolatba alapvető a következő állítás...tétel: Mide AR mátrix felbotható egy szimmetrikus és egy ferdé szimmetrikus mátrix összegére. Bizoyítás: Világos az alábbi azoosság T A A A A A és köye elleőrizhető, hogy az összeg első tagja szimmetrikus, a második tagja pedig ferdé szimmetrikus, hisze T T T T T T T T T T T T T A A A A A A A A A A A A A A Ezzel az állítást igazoltuk...példa: Alkalmazzuk az előző tételt. Legye T T A 0 4 ekkor 6 8 A és yilvávaló, hogy az T T A A 3 6 A A mátrixok redelkezek a kívát tulajdosággal és összegük az A mátrix. Most rátérük mátrixok szorzásáak értelmezésére. Mátrixok szorzása egyszerűbbe defiiálható, ha felidézzük a vektorok klasszikusskaláris szorzatáak fogalmát..6.defiíció: Az a T = [a, a, a ] R és b T = [b, b, b ] R vektorok a T b-vel jelölt skaláris szorzata a következő valós szám a T b = a b + a b + + a b tehát a két kompoesű vektor megfelelő koordiátái szorzatáak összege. Világos, hogy csak akkor létezik a két vektor skaláris szorzata, ha a két vektor kompoeseiek száma egyelő. A jelölésbe is utaluk arra a léyeges mometumra, hogy egy sorvektort szorzuk 33

34 oszlopvektorral. Ez léyeges, mert ilye módo értelmezzük általáosa két mátrix szorzatát. Ezek utá defiiálhatjuk általáosa mátrixok szorzatát. A skaláris szorzatra bevezetük egy más, gyakra előyösebbe alkalmazható jelölést. Az a T = [a, a, a ] R és b T = [b, b, b ] R vektorok a T b skaláris szorzatát jelölje T a b a, b A skaláris szorzattal kapcsolatosa fotos lerögzíteük az alábbi műveleti tulajdoságokat...tétel: A skaláris szorzat tulajdoságai T a) szimmetrikus, azaz a b b T a, más jelöléssel a, b b, a b) homogé abba az értelembe, hogy a, b a, b, R c) disztributív, tehát a b, c a, c b, c d) pozitív defiit, azaz a, a 0 és potosa akkor a, a 0 ha a 0 Bizoyítás: Az a), b) és c) állítás a defiíció közvetle következméye, a d) állítást részletezzük csak, azoba ez is yilvávaló. Legyea T = [a, a, a ] R, ekkor aa aa aa ai i aa,... Ie az állítás következik, hisze db em egatív szám összege em lehet egatív, és egy égyzetösszeg potosa akkor zérus, ha mide tagja zérus. Ha a skaláris szorzás fogalmát általáosítai szereték komplex esetre, amely fogalmat mi elméletbe haszáluk majd a továbbiakba, akkor a következőképpe kell módosítauk a defiíciót..7.defiíció: Komplex skaláris szorzat fogalma. Az a T = [a, a, a ] C és b T = [b, b, b ] C komplex vektorok skaláris szorzata defiíció szerit T a, b : a b Ami a valós esethez képest ayi módosítást jelet, hogy a második téyező komplex kojugáltját kell vei, és az így kapott vektorral kell ugyaazt a műveletet elvégezi, tehát ab, a b a b... a b ahol a voás szokás szerit a komplex kojugáltat jelöli. Természetese, ha a vektorok valósak, ez a defiíció egybeesik a korábbival.komplex skaláris szorzásra az előzővel aalóg tétel fogalmazható meg, melyek bizoyítását az olvasóra bízzuk. 34

35 .3.Tétel: A komplex skaláris szorzat tulajdoságai a) szimmetrikus, azaz a, b b, a b) homogé abba az értelembe, hogy a, b a, b, C és a, b a, b, C c) disztributív, tehát a b, c a, c b, c d) pozitív defiit, azaz a, a 0 és potosa akkor a, a 0 ha a 0 A skaláris szorzással kapcsolatosa általáosítuk egy fogalmat és egy tételt, amely az aalitikus geometriába alapvető fotosságú. Ez a fogalom a merőlegesség, amelyet magasabb dimezióba és általáosabb körülméyek között ortogoalitásak evezük..8.defiíció: Az a T = [a, a, a ] R és b T = [b, b, b ] R vektorokat ortogoálisak evezzük, ha skaláris szorzatuk zérus, azaz ha teljesül, hogy T a b a, b 0..Példa: Az a T = [,, 3, 5] R 4 és b T = [3,, 7, 4 ] R 4 ortogoálisak, ugyais égydimeziós vektorok T a b a, b Egy további általáosítást fogalmazuk meg, amely ugyacsak az aalitikus geometriába tapasztalt összefüggés megfelelője. Mivel egy három dimeziós a T = [a, a, a 3 ] R 3 vektor hosszát az a 3 a a a összefüggéssel értelmezzük, ami em más, mit az -dimezióbeli aa aa aa ai i aa,... skaláris szorzat égyzetgyökéek speciális esete, ezért értelmezzük egy vektor hosszáak fogalmát..9.defiíció: Az a T = [a, a, a ] R vektor hosszát az aa aa aa ai i a a, a... formulával értelmezzük. Ha egye T = [e, e, e ] R vektorra e teljesül, akkor egységvektorak evezzük. 35

36 Ezek utá rátérhetük a mátrtixszorzás általáos defiíciójára..30.defiíció: Mátrixok sor-oszlop szorzása Az A aij R k és bjr c ir R m mátrix amely i-edik soráak r-edik eleme, tehát a c ir kompoes, az A mátrix i-edik soráak és a B mátrix r-edik oszlopáak skaláris szorzata, azaz B R k m mátrixok C = AB szorzata az a C k c a b a b... a b a b ir i r i r ik kr is sr s ahol i =,, j =,, m tetszőleges egész számok. Mivel az A mátrixak sora, a B-ek pedig m oszlopa va, összese m ilye skaláris szorzást kell elvégezük, ami azoal idokolja is, hogy a szorzatmátrix miért m típusú mátrix, azaz miért va sora és m oszlopa. Mivel a skaláris szorzás csak akkor értelmes, ha a két vektorak ugyaayi kompoese va, ezért világos, hogy két mátrix csak abba az esetbe szorozható össze, ha az első téyező soraiba ugyaayi elem va, mit a második téyező oszlopaiba. Másképpe fogalmazva ez azt jeleti, hogy az A mátrix oszlopaiak száma meg kell egyezze a B mátrix soraiak számával. Ezért az A k-as a B pedig k m-es mátrix. Célszerű megjegyezi a sor-oszlop szorzás kifejezést, mert ez utal a defiícióba foglaltakra. A szorzás végrehajtásáál célszerű haszáli a Falk-sémá -ak evezett elredezést, amely az alábbiakba látható ai ai... a ik A b r b... r B bkr c... ir AB Ha az AB szorzatot kívájuk kiszámítai, akkor a sémába a bal alsó sarokba írjuk az A mátrixot, a jobb felső sarokba pedig a B mátrixot, a szorzatmátrix pedig a jobb alsó sarokba kerül, mégpedig úgy, hogy az A mátrix i-edik soráak és a Bmátrixr-edik oszlopáak a kereszteződésébe írjuk a c ir skaláris szorzatot. Ez az elredezés megköyíti a szorzás elvégzését, persze ha va elég rutiuk, a sémát mellőzhetjük. A szorzás műveletéek tulajdoságait tisztázza az alábbi állítás. 36

37 .4.Tétel: Mátrixok szorzása asszociatív művelet, továbbá a szorzás az összeadásra ézve disztributiv, ugyaakkor a szorzás em kommutatív. Azaz a) (AB)C = A(BC) =:ABC b) A(B + C) = AB + AC c) AB BA Bizoyítás: Az asszociativitás és a disztributivitás a szorzás defiíciójáak következméye. A kommutativitással kapcsolatos állítás igazolására elég példát hozuk arra, hogy a művelet em kommutatív. Több példát is mutatuk.. Legye például AR 3, BR 3 4, ekkor AB értelmezett és ABR 4, a BA szorzat azoba em értelmezett.. Ha például AR 3, BR 3 akkor bár az AB és a BA szorzat is értelmezett, de mégsem egyelők, hisze ABR, BAR 3 3 és világos, hogy ha a mátrixok em azoos méretűek, akkor em is lehetek egyelők. 3. Felmerül a kérdés, hogy kvadratikus mátrixok eseté, ahol AB és BA egyarát értelmezett és midkettő azoos méretű, teljesül-e az egyelőség. Egy egyszerű példa meggyőz beüket, hogy ekkor sem teljesül a kommutativitás. Legye például A 0 0 B Ekkor: AB BA 4 tehát valóba em teljesül az egyelőség. Mátrixok szorzásával kapcsolatba felmerül még egy érdekes dolgog, amely például a valós számok halmazába em igaz. Egy példával illusztráljuk a modadókat..3.példa: Számítsuk ki az A és B mátrixok szorzatát ha A B Egyszerűszámolással adódik, például a Falk-séma alkalmazásával, hogy AB de A 0 és B Tehát mátrixok halmazába előfordulhat az a meglepő eredméy, hogy em ulla mátrixok szorzata a ullmátrix. Emlékezzük vissza a valós számok halmazára, ahol az ab = 0 egyeletből következik, hogy a = 0 vagy b = 0. Mátrixok körébe ez a következtetés tehát em igaz. 37

38 A szorzással kapcsolatosa igazoluk egy alapvető fotosságú, de egyszerű állítást..5.tétel: Ha AR k valamit BR k p, akkor teljesül, hogy T T T AB B A Bizoyítás: Megmutatjuk, hogy a két oldalo azoos méretű mátrixok szerepelek, és azt, hogy kompoesekét megegyezek. Mivel ABR p ezért (AB) T R p. Másrészt A T R k valamit B T R p k ahoa következik, hogy B T A T R p tehát a méreteik valóba megegyezek. Határozzuk meg az (AB) T mátrix i-edik soráak j-edik kompoesét. Ez megegyezik az AB mátrix j-edik soráak i-edik kompoesével, tehát ha az A mátrix j-edik sorát a T j jelöli, valamit a B mátrix i-edik oszlopát b i jelöli, akkor a kérdéses kompoes éppe az a T j b i skaláris szorzattal egyezik meg. A jobboldali szorzat i-edik soráak j-edik kompoes pedig a B T mátrix i-edik soráak és az A mátrix j-edik oszlopáak skaláris szorzata, azaz b T i a j mivel pedig a skaláris szorzás értelmezése szerit yilvávalóa a T j b i = b T i a j az állítást igazoltuk. A későbbiekbe haszukra lesz egy állítás, amely a szorzást a szimmetriával kapcsolja össze..6.tétel: Tetszőleges AR k mátrix eseté az AA T és az A T A mátrix szimmetrikus mátrix. Bizoyítás: Igazoljuk, hogy AA T szimmetrikus, a másik állítás hasolóa bizoyítható. Először megmutatjuk, hogy a szorzatak tetszőleges méretű, em feltétleül kvadratikus mátrix eseté va értelme. Ha AR k akkor A T R k, így az AA T szorzat értelmezve va, hisze az első téyezőek ugyaayi oszlopa va aháy sora a második téyezőek. Ebből az is következik, hogy AA T R, tehát a szorzat mide esetbe -ed redű kvadratikus mátrix. Már csak azt kell igazoluk, hogy a szorzat egybeesik a traszpoáltjával. Ez is teljesül, ugyais az előző tétel alapjá Ezt kellett igazoli. T T T T T T AA A A AA A továbbiakba a mátrixok szorzásáak speciális eseteit vizsgáljuk.. Vektorok skaláris szorzata.célszerű precízebbe megfogalmazi ezek utá a skaláris szorzás defiícióját, ugyais a skaláris szorzás egy külöleges mátrixszorzat. Miutá a mátrixok szorzását sor-oszlop szorzáskét defiiáltuk, világos, hogy a skaláris szorzásál az első téyező sorvektor, a második téyező pedig oszlopvektor kell, hogy legye. Ezt hagsúlyoztuk már a skaláris szorzás feti defiíciójába is. Ha felidézzük azt a megállapodásukat, miszerit a vektor midig oszlopvektort jelet, és adottak az ar és br vektorok, koordiátákkal felírva a T = [a, a, a ] R és b T = [b, b, b ] R. Ekkor a skaláris szorzatukak csak úgy va értelme, hogy ha az a vektorból először egy sorvektort készítük, azaz traszpoáljuk és az ar traszpoáltjáak és a b-ek írjuk fel a sor-oszlop szorzatát. Eszerit, ha ar és 38

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Vektorok által generált altér, lineáris összefüggőség, függetlenség, generátorrendszer, bázis, dimenzió

Vektorok által generált altér, lineáris összefüggőség, függetlenség, generátorrendszer, bázis, dimenzió Vektorok által geerált altér lieáris összefüggőség függetleség geerátorredszer ázis dimezió Ee a része általáosítjuk a téreli ektorokra már megismert haszos fogalmakat. A legfotosa hogy ármely ektortére

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Lineáris algebra (10A103)

Lineáris algebra (10A103) Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Számítógépi geometria. Kovács Zoltán

Számítógépi geometria. Kovács Zoltán Számítógépi geometria Kovács Zoltá Lektorálta: Dr. Verhóczki László (ELTE) A taayagfejlesztés az Európai Uió támogatásával és az Európai Szociális Alap társfiaszírozásával a TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0046

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS. Határozzuk meg a 1 értékét! Ez most is az egyetlen elemmel egyezik meg, tehát az értéke 1.

DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS. Határozzuk meg a 1 értékét! Ez most is az egyetlen elemmel egyezik meg, tehát az értéke 1. DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS A (nxn) kvadratikus (négyzetes) mátrixhoz egyértelműen hozzárendelhetünk egy D R számot, ami a mátrix determinánsa. Már most megjegyezzük, hogy a mátrix determinánsa, illetve a determináns

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

2.5. A lineáris kongruencia egyenlet.

2.5. A lineáris kongruencia egyenlet. 2.5. A lieáris kogruecia egyelet. Defiíció: Kogruecia Az a és b egész számokat kogruesek modjuk az modulus szerit, ha az szeriti osztás utái maradékaik megegyezek, vagy ami ugyaaz: ha. Jelölésbe: a bmod.

Részletesebben

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT KÍVÁNCSISÁGVEZÉRELT MATEMATIKA TANÍTÁS STÁTUS KIADÓ CSÍKSZEREDA, 010 c PRIMAS projekt c Adrás Szilárd Descrierea CIP a Bibliotecii

Részletesebben

A. függelék Laplace-transzformáció és alkalmazásai

A. függelék Laplace-transzformáció és alkalmazásai A. függelék Laplace-traszformáció és alkalmazásai Tételezzük fel hogy az f(t),t [, ) egy olya függvéy, amely az alábbi tulajdoságokkal redelkezik: f(t) dt

Részletesebben

ÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS

ÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS ÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS Összefüggésvizsgálat, paraméterbecslés A kísérletek sorá a redszer állapotát ellemző paraméterek kapcsolatát vizsgáluk. A yert adatok alapá felállítuk a redszer matematikai

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai

Bázistranszformáció és alkalmazásai Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer

Részletesebben

6 A teljesítményelektronikai kapcsolások modellezése

6 A teljesítményelektronikai kapcsolások modellezése 6 A teljesítméyelektroikai kapcsolások modellezése A teljesítméyelektroikai beredezések vagy már ömagukba egy bizoyos szabályzott redszert alkotak, vagy egy agyobb szabályozott redszer részét képezik.

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ

LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ 16..8. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ (MÁTRIX) SAJÁTÉRTÉKE, SAJÁTVEKTORA BSc. Maemaika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ Egy A: R R függvéy lieáris raszformációak evezük, ha eljesülek az alábbi

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

Elemek egy lehetséges sorbarendezése az elemek egy permutációja. n elem összes lehetséges sorbarendezéseinek

Elemek egy lehetséges sorbarendezése az elemek egy permutációja. n elem összes lehetséges sorbarendezéseinek Kombiatorika! = 1 3 1 ejtsd: faktoriális 0! = 1 1! = 1! = 1 = 5! = 1 3 4 5 = 10 stb! 3! = 1 3 4 1 3 4 1 Vigyázat! Pl: 3! 3! = 1 1 Ismétlés élküli permutáció Elemek egy lehetséges sorbaredezése az elemek

Részletesebben

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. : Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel

Részletesebben