MAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA
|
|
- Gabi Bogdán
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 1 MAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA Tuzso Zoltá Akár a régebbi, akár az alteratív XI. osztályos algebra taköyveket lapozva, akár példatárakba vagy matematikai verseyeke gyakra találkozuk egyél magasabb fokú mátrixegyeletekkel is, amelyek megoldása em éppe egyszerű. A továbbiakba kiváltképpe ilye típusú mátrixegyeletek megoldásáak módszereiről íruk: Oldjuk meg az X a b c d, X Μ 2 (C) egyeletet, ha a, b, c, d adottak. Noha a legtöbb taköyvbe a megoldáshoz szükséges fogalmak elszórta megtalálhatók, túl kevés fotosság jut ezekek, hisze egyes szükséges fogalmak a mártixok, mások a determiások, megit mások a sorozatok fejezetekbe találhatók, és a taayag tatervi kötöttségei, ezekek az ötvözését csak késő teszi lehetővé, így legtöbbször ez elmaradhat. x y Másfelől, pl. =2 esetbe a legtöbbször az X z u ismeretle mátrix választással, az X 2 elvégzése utá az x 2 +yz=a, y(x+u)=b, z(x+u)=c, zy+u 2 =d egyeletredszer megoldásához jutuk, ami eléggé hosszas számolásokat igéyel, (kivéve a agyo sajátos a, b, c, d értékeket). Természetese az >2 hatváykitevő eseté ez a módszer már agyo ritká haszálható. Éppe ezért olya általáos jellegű tippeket, trükköket és eljárásokat mutatuk be, amelyek segítségével köyűszerrel és elegása megoldhatuk ilye, és eél általáosabb típusú feladatokat. A továbbiakba feleleveítjük azokat az elméleti fogalmakat és fotosabb eredméyeket, amelyeket haszáli foguk (em bizoyítjuk, hisze a szakirodalomba is szereplő taköyvekbe megtalálhatók), és ezek utá jól válogatott megoldott feladatok segítségével mutatjuk be a módszereik hatékoyságát. Egy mátrix yoma a, A Μ (C) mátrix yomát Tr(A)-val jelöljük. Ez az elevezés a fracia, Egy A= ( ) ij i, j 1, agol szóhaszálat trace = yom alapjá alakult ki. Értelmezés szerit Tr(A)= a 11 + a a. Eze értelmezés, és a detemiás értelmezése és tulajdoságai alapjá, ha A, B Μ (C) és k R érvéyesek a következő tulajdoságok: (1) Tr(A+B) = Tr(A)+ Tr(B) (2) Tr(k A) = k Tr(A) (3) Tr(A B) = Tr(B A) Egy mátrix karakterisztikus egyelete a, A Μ (C) mátrix eseté P(x)= det(a-x I 2 ) a mátrix karakterisztikus Egy A= ( ) ij i, j 1, det(a-x I 2 )= 0 pedig a karakterisztikus egyelete. A továbbiakba csak a másodredű a b égyzetes mártix karakterisztikus egyeletével foglalkozuk! Ameyibe A c d, ekkor a feti karakterisztikus egyelet a következő formákba is felírható: a x b = 0 vagy x 2 -(a+d) x +(ad-bc)= 0 c d x Behelyettesítéssel elleőrizhető, hogy feáll az úgyevezett Cayley-Hamilto egyelőség: A 2 -(a+d) A +(ad-bc) I 2 = 0 2 vagy A 2 -Tr(A) A + det(a) I 2 = 0 2
2 2 Természetese -ed redű mártix eseté is létezik a Cayley-Hamilto egyelőség (természetese boyolultabb formába), azomba esetükbe erre em lesz szükség. Három fotos képlet A taköyvekbe bizoyítottak a következő, számukra agyo haszos képletek: Ha A, B, X Μ (C), akkor 1) Ha A = B, akkor det(a)= det(b) 2) det(a B)= det(a) det(b), amiek sajátos esete a következő 3) det(x )= (detx), mide pozitív egész számra. A feleleveített fogalmak és tulajdoságok segítségével kövessük a következő megoldott példákat! A következőkbe a másodredű égyzetes ismeretle mártixot X-el jelöljük, továbbá vezessük be a t= Tr(X) és d= det(x) jelöléseket, amiket midvégig haszáli foguk. 1. Feladat: Oldjuk meg az X , X Μ 2 (C) egyeletet. (V.ö. [3], 39. old.) x y Megoldás: 1. Módszer. Jelöljük X z u, és kiszámolva az X 2 mátrixot, a megfelelő elemek egyelőségéből az x 2 + y z =7 (1), y (x+ u) = -5 (2), z (x+ u) = -15 (3), z y+ u 2 = 12 (4) egyeletredszer adódik. Az (1) és (4) külöbségéből x 2 - u 2 = -5 (5) továbbá az (5) és (2) aráyából x- u= y, vagyis u= x- y (6). A (3) és (2) aráyából z = 3 y (7). A (6) és (7) adta u és z értékeket visszahelyettesítve az (1) és (2) egyeletekbe, az x y 2 = 7 és 2 x. y- y 2 = -5 homogé egyeletredszer adódik ahol bevezetve az y = k x 5 1 változócserét, a homogé egyeletredszerek megoldási módszere alapjá k = és k = 4 2 adódik. Az első esetbe megoldva az x y 2 = 7 és 4 y = -5 x egyeletredszert, X= ± , a második esetbe megoldva az x2 + 3 y 2 = 7 és 2 y = - x 2 1 egyeletredszert X 3 3 és X= adódik. Megjegyzés: Ha az adott mátrixegyeletbe a 7, -5, -15, 12 számok helyett tetszőleges valós számok szerepelek, az előbbiekbe alkalmazott lépések érvéybe maradak, és midig másodfokú kétismeretlees homogé egyeletredszerhez juthatuk, kivéve azt az esetet, amikor a mellékátló -5 illetve -15 elemek valamelyike (vagy midkettő) 0, ugyais ekkor az (1)-(4) egyeletekből álló egyeletredszer megoldása jóval rövidebb. 2. Módszer. Vegyük midkét oldal determiását, ekkor felírható, hogy: d 2 = (detx) 2 = =det(x 2 )= 9, ahoa d= ± 3. Az X mártix karakterisztikus egyelete: X 2 -t X + d I 2 = 0 2 esetükbe X 2 -t X ± 3 I 2 = 0 2, vagyis t X = X 2 ± 3 I 2. Válasszuk szét a két esetet.ekkor a t X = X I egyelőség a két oldaláak yoma alapjá t2 = t Tr(X)= =Tr(X )=10+15=25. Ezért t= ± 5, így ± 5 X alapjá X 3 3 és 2 1 X 3 3. A második esetbe t X = 4 5 X2-3 I , és ismét a yomokra térve, az előzőekhez hasolóa t 2 = 13 adódik, ahoa t= ± 13, és eek megfelelőe ± 13 X= ahoa még két megoldás az X= ±
3 3 2. Feladat: Oldjuk meg az X , X Μ 2 (R) egyeletet. (V.ö. [1]) Megoldás: Előbb megoldjuk az Y Y Μ 2 (R) egyeletet. Vegyük midkét oldal determiását, ekkor felírható, hogy: d 2 = (dety) 2 = det(y 2 )= 49, ahoa d= ± 7. Az Y mártix karakterisztikus egyelete: Y 2 -t Y + d I 2 = 0 2 esetükbe Y 2 -t Y ± 7 I 2 = 0 2, vagyis t Y = Y 2 ± 7 I 2. Válasszuk szét a két esetet.ekkor felírható: t Y = Y I ahoa a két oldal yoma alapjá t 2 = t Tr(Y)= Tr(Y 2 )= 8+ 8= 16. Ezért t= ± 4, így 8 12 ± 4 Y 4 8 alapjá Y= ± 2 3. A d= -7 esetbe, az előbbiekhez hasolóa t 2 = -12, de ekkor Y Μ 2 (R) em lehetséges. A megoldadó egyelet eseté vezessük be az X 2 = Y jelölést, így az Y egyelet valós megoldásai az előbbiek alapjá Y= ± 2 3, vagyis X 2 =± 2 3. Az előbbiekhez hasolóa, midkét oldal determiását véve d 2 = (detx) 2 = det(x 2 )= ±1, és mivel X Μ 2 (R), ezért csak a d 2 = 1 felel meg, ahoa d= ± 1. Eek alapjá a karakterisztikus egyelet X 2 -t X ± I 2 = 0 2, vagyis t X = X 2 ± I 2. Ezúttal is külöválasztva a két esetet, és a yomokra térve redre kapjuk, hogy: t X = X I 2 1 3, tehát t 2 = t Tr(X)= Tr(X 2 )=3+3=6, így t= ± 6 és ezért X= ± A második esetbe t X = X I 2 1 1, t2 = t Tr(X)= Tr(X 2 )=1+1=2, így t= ± 2, ahoa az X= ± megoldásokat kapjuk. 3. Feladat: Oldjuk meg az X X, X Μ 2 (R) egyeletet. Megoldás: A másodfokú valós függvéy mitájára, az f(x)= a X 2 + b X+ c I 2 másodfokú mátrixfüggvéy is hasolóa kaóikus alakra hozható (figyelem, a mártixok szorzása em b kommutatív!) vagyis f(x)= a (X+ I2 2 a ) 2 + I 2 ami azt jeleti, hogy változócserével az 4 a a X 2 + b X+ c I 2 = 0 2 mártixegyelet olya mártixegyeletté traszformálható, amelybe a változó mátrix csak egyetle helye szerepel, tehát megoldható az előbbiekbe bemutatott módszerrel. Esetükbe, a törtegyütthatók elkerülése végett szorozzuk be az adott egyelet midkét oldalát 4-gyel, majd midkét oldalhoz adjuk hozzá I 2 -t, így a következő egyeletet kapjuk: (2 X+ I 2 ) Bevezetve az Y= 2 X+ I 2 változócserét, az Y mátrixegyeletet kell megoldauk. Tehát d 2 = (dety) 2 = det(y 2 )= ± 1 ahoa a valós megoldások d= ± 1. Eek alapjá a karakterisztikus egyelet Y 2 -t Y ± I 2 =
4 4 =0 2, vagyis t Y = Y ± I 2. Az előbbiekhez hasolóa a yomokra térve a t Y egyeletbe, t= ±2 adódik, ahoa Y 2 5 illetve Y 2 5. Továbbá a d= esetbe t Y 4 8, ahoa t= 0 adódik, a karakterisztikus egyelet alapjá Y2 = 0 2 elletmodás adódik. A kapott két Y megoldás alapjá 2 X+ I 2 = X= 2 4, és a 2 X+ I 2= alapjá X= ahoa 4. Feladat: Oldjuk meg az X 3 0 1, X Μ 2 (R) egyeletet Megoldás: A két oldal determiását véve d 3 = 1 adódik, így a karakterisztikus egyelet X 2 -t X + I 2 = 0 2, vagyis X 2 = t X - I 2, ezért X 3 = t X 2 - I 2 X X 3 = t (t X - I 2 )- t I 2 ahoa (t 2 t 0-1) X + 0 t = X A két oldal yomát véve (t2-1) t - 2 t = -2 vagyis t 3-3t+ 2=0 (t- 1) 2 (t+ 2)= 0 adódik. A t= 1 eseté az előbbi egyelőség a 0 1 = absurdumot adja, míg t= -2 eseté a 3 X 0 3 adódik, ahoa 2 1 X 3 adódik, és elleőrizhető, hogy valóba teljesíti az adott egyeletet Feladat: Oldjuk meg az X 3-4 X X 5 10, X Μ 2 (R) egyeletet. (Matematikai versey 1998, v. ö. [2] 34. old.) Megoldás: Az egyelet így is felírható X (X-(2-i) I 2 ) (X-(2+i) I 2 ) A két oldal determiásából det(x (X-(2-i) I 2 ) (X-(2+i) I 2 )= 0 adódik, ahoa det(x)= 0 (1), vagy det((x-(2-i) I 2 )= 0 (2), vagy det((x-(2-i) I 2 )= 0 (3). Az X mátrix karakterisztikus poliomja P(x)= det(x- x I 2 ) alakú, hisze X Μ 2 (R). A (2) és (3) külö-külö em állhat fe, mert akkor a karakterisztikus poliom komplex együtthatójú lee, és ez elletmod az X Μ 2 (R) feltételek. A (2) és (3) egyidőbe szité em teljesülhet, mert ekkor a P(2-i)= P(2+i)= 0 alapjá P(x)= x 2-4 x + 5 adóda, és mivel a karakterisztikus egyelet másodfokú kell legye, ezért X 2-4 X + 5 I 2 = 0 2, így X (X 2-4 X + 5 I 2 ) =0 2 ami aburdum. Tehát csak az (1) állhat fe, így a karakterisztikus egyelet X 2 -t X= 0 2 vagyis X 2 =t X, ahoa X 3 =t X 2 = t 2 X és midkettőt visszaírva az eredeti egyeletbe kapjuk, hogy (t t+5) X 5 10 (4) ahol a két oldal yomát véve (t 2-4 t+5) t= 20 vagyis t 3-4 t 2 +5 t -20= 0, vagy (t-4) (t 2 +5)= 0
5 adódik, és egyetle valós zérushely csak t= 4. Ezért a (4) alapjá 5 X 5 10, vagyis 2 4 X megoldás adódik. 6. Feladat: Igazoljuk, hogy az alábbi esetek egyikébe sem létezik olya X Μ 2 (R) mátrix, amelyre: (a) X 8 0 1, (b) X , (d) X Megoldás: (a) d 8 = (detx) 8 = det(x 8 )= -1 ami X Μ 2 (R) eseté absurdum. (b) d 5 = (detx) 5 = =det(x 5 )= 0, így a karakterisztikus egyelet X 2 - t X= 0 2, ahoa X 2 = t X, így redre X 3 = t X 2 = t 2 X, X 4 = t 2 X 3 = t 3 X, X 5 = t 3 X 4 = t 4 X. Tehát t 4 X= X 5 és a két oldal yomát véve, t 5 = t 4 Tr(X) = Tr(t 4 X)= Tr(X 5 )= 0 ahoa t= 0, így X 5 = 0 2 absudrum adódik. (c) Bevezetve az X 3 = Y jelölést, Y alapjá d 2 = (dety) 2 = =det(y 2 )= 0, a karakterisztikus egyelet Y 2 = t Y ahoa a yomok alapjá t 2 = -1 adódik, ami Y Μ 2 (R) eseté lehetetle, és mivel em létezik ilye Y, ezért X Μ 2 (R) sem létezik. 7. Feladat : Oldjuk meg az X , X Μ 2 (R) egyeletet. Megoldás: A két oldal determiását véve, d 2007 = (detx) 2007 = det(x 2007 )= 0, ezért a karakterisztikus egyelet X 2 - t X= 0 2 ahoa X 2 = t X, így redre X 3 = t X 2 = t 2 X, X 4 = t 2 X 3 = t 3 X, és így tovább, X 2007 = t 2006 X ahol a két oldal yoma alapjá t 2007 = t 2006 Tr(X) = =Tr(t 2006 X)= Tr(X 2007 )= 8, vagyis t = 8, ahoa t= 8 = 2. Így 2 X 4 6, ahoa X= Természetese 2007 helyett tetszőleges N eseté is ugyaígy járuk el. 8. Feladat: Oldjuk meg az X , X Μ 2 (R) egyeletet. 1 3 Megoldás: Az X X 1001 = X 1002 = X 1001 X kommutativitási tulajdoságot alkalmazzuk. Legye 1001 a b X c d, így X 1001 = X X 1000 a ( a + b) 3 a 1001 illetve X 1001 = X 1001 X= c ( c + d) 3 c a + c (3 1) b + d (3 1) és az előző összefüggés alapjá, a megfelelő helye levő c 3 d 3 elemek egyelők, így c= 0, és számolások utá ( ) (a+ b d)= 0, ahoa d= a+ b a b a b adódik, így X 0 a + b. Iduktív módo köye igazolgató, hogy 0 a + b = a ( a + b) (v.ö. [3], 225. old.). és a megfelelő elemek egyelősége alapjá 0 ( a + b) a = 1 és ( a + b) -1 = 3 1, ahoa a=1 és a+ b= 3, ezért b= 2, tehát X 0 3. Természetese 1001 helyett tetszőleges N eseté is ugyaígy járuk el. 1001
6 6 9. Feladat: Oldjuk meg az X , X Μ 2 (R) egyeletet. Megoldás: Az X X 100 = X 101 = X 100 X kommutativitási tulajdoságot alkalmazzuk. a b Legye X c d, így X 101 = X X 100 b a d c illetve X 101 = X 100 c d X a b és az előző összefüggés alapjá, a megfelelő helye levő elemek egyelők, így d= a és c= -b a b adódik, ezért X b a, így a megoldadó egyeletbe a két oldal determiását véve kapjuk, hogy d 100 = (detx) 100 = =det(x 100 )= 1, ahoa d= ± 1, ellebe a, b R miatt a 2 +b 2 = 1. Az a= cos x és b= si x jelöléssel, ahol x= arctg b a igazolható, hogy X 100 = cos x si x si x cos x 100 = cos100x si100x cos100x si100x a megoldadó egyeletük si100x cos100x = π si 100x= 1, ezért 100x= + 2 kπ, ahoa x = 2. Iduktív módo köye si100x cos100x (v.ö. [3], 231. old.). Így 0 1, ahoa cos 100x= 0 és (4k + 1) π és k Z, és a megoldás 200 cos x si x b X si x cos x, valamit x= arctg a = (4k + 1) π (4k + 1) π b= a tg szerit a b X b a alakba is visszaírhatuk. Természetese 100 helyett tetszőleges N eseté is ugyaígy járuk el. Az utóbbi két feladat eseté láthattuk, hogy szükségük lehet, az X kiszámolására. Ameyibe iduktív módo em sejtjük meg az X mátrix alakját, úgy másképpe kell ezt meghatározuk. Mátrixok hatváyáak kiszámolása a karakterisztikus egyelet segítségével A több lehetséges eljárás közül kettőt mutatuk be. A [3]-be bemutatott módszer alapjá, x y ismert, hogy az X z u mátrix teljesíti a már említett Cayley-Hamilto összefüggést, miszerit: X 2 -(x+y) X +(xu-yz) I 2 = 0 2 vagyis X 2 -t X +d I 2 = 0 2 ahol t=tr(x) és d=det(x). Az X = t X -d I 2 alapjá, mide 1 természetes szám eseté X = t X d X. Tehát, ha X x y x+ 2 y+ 2 x+ 1 y+ 1 x y z u 1 eseté, akkor z+ 2 u = t + 2 z+ 1 u -d + 1 z u. Ie azoal adódik, hogy az ( x), 1 ( y), 1 ( z), 1 ( u) 1 sorozatok ugyaazt a másodredű lieáris rekurziót teljesítik, éspedig egy a 2 t a 1 + d a = 0 alakú rekurziót, + + és csupá csak a kezdőértékek külöbözek: x 1 = x, x 2 = x t-d, y 1 = y, y 2 = y t-d, z 1 = z, z 2 =zc t-d, u 1 = u, u 2 = u t-d. Az ilye másodredű homogé lieáris rekurzióval értelmezett sorozat 2 karakterisztikus egyelete λ t λ + d = 0 (a mátrixhoz redelt karakterisztikus egyelethez hasoló). A karakterisztikus egyelet gyökeiek a természetes szerit (v.ö. [3] 19. és 229. oldal) az általáos tag képlete a következő lehet:
7 7 1) ha >0 és λ1 λ2 a két valós gyök, akkor a = k1 λ1 + k2 λ2, 2) ha = 0 és λ1 = λ2 a két egybeeső gyök, akkor a = ( k1 + k2) λ, ha < 0 és λ 1,2 = r (cost + i si t) a két komplex gyök, akkor a = r ( k1 cos t + k2 cos t), ahol mideesetbe a k 1, k 2 álladókat a kezdőértékekből határozzuk meg. A [2]-be ( old) a következő érdekes módszert találjuk: Igazoli fogjuk, hogy az előző X mátrix eseté létezek olya ( x), 1 ( y) 1 sorozatok, amelyekre X = x X + y I2, 1 természetes szám eseté. Ezt a legköyebbe a teljes matematikai idukció módszerével lehet bizoyítai. Az =1 esetbe x 1 =1 és y 1 =0 értékekre az állítás igaz. Továbbá, mivel a karakterisztikus egyelet alapjá X 2 = t X -d I 2 ezért x 2 =t és k y 2 =-d értékekre az állítás igaz. Feltételezve, hogy X = xk X + yk I2 felírható, hogy: k 1 k 2 X + = X X = ( x X + y I ) X = x X + y X = x ( t X d I ) + y X = k k 2 k k k 2 k = ( t xk + yk ) X + ( d xk ) I2 = xk + 1 X + yk + 1 I2 ahol x k+1 = t xk + yk és y k+1 = d xk. Ezúttal egy rekurecia egyeletredszert kaptuk, ahoa y k = d xk 1, így x k+1 = t xk d xk 1 továbbá az y k+1 = d xk segítségével y k+1 = t yk d yk 1 vagyis midkét sorozat ugyaazt az a+ 2 t a+ 1 + d a = 0 rekurziót teljesítik, az x 1 =1, x 2 =t, y 1 =0, y 2 =-d kezdetértéki feltételekkel. Ie már alkalmazhatók az előbbiekbe leírt általáos tag meghatározási eljárások. Befejezésül megjegyezzük, hogy a [2] és [3]- ba számos megoldott feladat is található, ellebe a mátrixegyeletek megoldása céljából, az érdeklődő Olvasóak összegyűjtöttük éháy feladatot. Gyakorló feladatok Az Μ 2 (R) halmazo redre oldjuk meg a következő mátrixegyeleteket: (1) X , ( v.ö. [1] ), (2) X 2 0 1, Y (v.ö. [5], 94. old), (3) X X 1 1, (v.ö. [2], 16. old.), (4) X , (5) X (v.ö. [2], 30. old.), (6) X 2 = = , Y , Z (v.ö. [2], 33. old.), (7) X 2 0 1, Y 2 = I 2, Z 2 = 0 2, T (v.ö. [3], 223. old.), (8) X (MatLap 7/2006, L: 1278, 261. old), (9) X , (10) X 2 + X = 1 4 I 2 (v.ö. [6], 14. old), (11) X , (12) X , (13) X , (v.ö. [6], 24. old.). (14) X a Z 5 -be, Y 2 6 1, illetve Z Z a Z 7 -be (v.ö. [6], 25. old.)
8 8 Szakirodalom [1] C. Nastasescu, C. Nita, I. Stacescu: Matematika, A felsőbb algebra elemei, Taköyv a XI. osztály számára, EDP Bukarest 1990, oldalak. [2] Costel Chites, Daiel Petriceau, Adrei Verescu: maual petru clasa a XI-A, Editura GIL, 2006 [3] Adrás Szilárd, Balázs Vilmos, Csapó Hajalka, Szilágyi Jutka: Matematika, A XI. osztály számára, Státus kiadó, Csíkszereda 2002 [4] N. Dociu, D. Flodor: Algebra si aaliza matematica I., culegere de probleme, EDP, Bucuresti, 1978 [5] C. Nastasescu, C. Nita, M. Bradiburu, D. Joita: Exercitii si probleme de algebra petru clasele IX-XII, EDP, Bucuresti, 1981 [6] Io Petrica, Io Lazar: probleme de algebra petru liceu, vol. III (clasele XI-XII), Editura Petrio, Bucuresti
EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a x + b y c 5. Az egyeletredszer megoldása a Z halmazo (3. rész) a x + b y c A hivatkozások köyítése
RészletesebbenA Cauchy függvényegyenlet és néhány rokon probléma
A Cauchy függvéyegyelet és éháy roko probléma Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A függvéyegyeletek egyik alapegyelete a Cauchy függvéyegyelet, amely a következő: Melyek azok az f : R R folytoos függvéyek,
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe
RészletesebbenA figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenVariációk egy egyenlőtlenség kapcsán
Variációk egy egyelőtleség kapcsá Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely Mit a régebbi, mit az újabb alteratív taköyvekbe valamit számos feladatgyűjteméybe, a matematikai idukció taítása fejezetbe megtalálható
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenINJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK
Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy
Részletesebben= λ valós megoldása van.
Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenBevezetés az algebrába komplex számok
Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II.forduló -10. osztály
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február 11
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenKitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK
Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 69 1. KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k
RészletesebbenII. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK
Itegrálási módszerek 5 II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A parciális itegrálás módszere Ha az f, g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo, akkor tudjuk, hogy a szorzatuk
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
Részletesebben8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.
8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
Részletesebben2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
Részletesebben1. Sajátérték és sajátvektor
1. Sajátérték és sajátvektor Leképezés diagoális mátrixa. Kérdés Mely bázisba lesz egy traszformáció mátrixa diagoális? A Hom(V) és b 1,...,b ilye bázis. Ha [A] b,b főátlójába λ 1,...,λ áll, akkor A(b
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
RészletesebbenÁltalános taggal megadott sorozatok összegzési képletei
Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
RészletesebbenFeladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)
Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
Részletesebben(2) Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: x sin y dx dy, ahol T : 0 x 1, 2 y 3.
. feladatsor () Határozzuk meg a következő területi itegrálokat a megadott téglalapoko: ( (x + y) dx dy, ahol T : x, y 3. ( T T x si y dx dy, ahol T : x, 2 y 3. (2) Határozzuk meg a következő területi
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)
Részletesebben2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása
59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,
Részletesebben3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.
3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
RészletesebbenGyors fejszámolási tippek, trükkök és ötletek (II. rész)
Gyors fejszámolási tippek, trükkök és ötletek (II. rész) Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Az előző részben bemutatott trükkök után, most következzenek sajátos alakú kétjegyű számok szorzása, és hatványozása:
Részletesebbendr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár
dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
RészletesebbenA Venn-Euler- diagram és a logikai szita
A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak
RészletesebbenI. Koordinátarendszerek a síkban és a térben, mátrixok
Koordiátaredszerek mátrixok 0 I Koordiátaredszerek a síkba és a térbe mátrixok Koordiátaredszerek A korábbi taulmáyaitok sorá megismerkedhettetek a sík aalitikus geometriájáak éháy alapfogalmával (koordiátaredszerek
RészletesebbenFüggvények határértéke 69. III. Függvények határértéke
Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú
RészletesebbenHatárértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12
Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma
RészletesebbenLINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ
16..8. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ (MÁTRIX) SAJÁTÉRTÉKE, SAJÁTVEKTORA BSc. Maemaika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ Egy A: R R függvéy lieáris raszformációak evezük, ha eljesülek az alábbi
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenA teveszabály és alkalmazásai
A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is
RészletesebbenA figurális számokról (II.)
A figurális számokról (II.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A figurális számok jelölése em egységes, ugyais mide yelve más-más féle képpe jelölik, legtöbb esetbe a megevez szó els betjével. A továbbiakba
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenAlgebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest
Magas szitű matematikai tehetséggodozás Algebrai egyelőtleségek verseyeke Dr Kiss Géza, Budapest Néháy helyettesítési módszer és a Cauchy-Schwarz-egyelőtleség speciális esetéek alkalmazása bizoyítási feladatokba
RészletesebbenIngatlanfinanszírozás és befektetés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:
RészletesebbenA primitív függvény és a határozatlan integrál 7
A primitív függvéy és a határozatla itegrál 7 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Korábbi taulmáyaitok sorá láthattátok, hogy sok műveletek, függvéyek va fordított művelete, iverz függvéye
RészletesebbenSorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
Részletesebben3 1, ( ) sorozat általános tagjának képletét, ha
Gyakolatok és feladatok. Hatáozd eg a kvetkező, ekuzíva ételezett soozatok általáos tagját: a), = = " ³, ; (felvételi feladat,99., Teesvá), b),, =, = " ³ ; (felvételi feladat, 99., Teesvá) c) =, = 4 =
RészletesebbenMagasabbfokú egyenletek
86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
Részletesebben3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló
. Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
RészletesebbenA primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,
6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos
RészletesebbenTuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása
Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta
Részletesebben9. HAMILTON-FÉLE MECHANIKA
9. HAMILTON-FÉLE MECHANIKA 9.. Legedre-éle traszormáció x x h x, p= p x x Milye x-él maximális? pl.= x alulról kovex h x =0: d p= dx x=x p a példába: p=x ; h= p x x Mekkora a maximuma? g p= p x p x p g=
RészletesebbenI. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.
I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.
RészletesebbenKalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok
Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális
RészletesebbenA felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u
Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február osztály -- I. forduló
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Részletesebben194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma
94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,
RészletesebbenA matematikai statisztika elemei
A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
RészletesebbenHanka László. Fejezetek a matematikából
Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..
RészletesebbenI. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenRudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai
RészletesebbenEgyenletek és egyenletrendszerek megoldása a Z n halmazon Az a x = b egyenlet megoldása a Z n halmazon
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! Egyeletek és egyeletreszerek megolása a Z halmazo Az a x = b egyelet megolása a Z halmazo Az utóbbi iőbe mit a XII. osztályos alteratív taköyvekbe, mit
RészletesebbenI. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?
Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os
Részletesebbenképzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal
5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő
SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p
RészletesebbenIrodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0
Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon
RészletesebbenII. Lineáris egyenletrendszerek megoldása
Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenTrigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda
Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
Részletesebben