9. HAMILTON-FÉLE MECHANIKA

Átírás

1 9. HAMILTON-FÉLE MECHANIKA 9.. Legedre-éle traszormáció x x h x, p= p x x Milye x-él maximális? pl.= x alulról kovex h x =0: d p= dx x=x p a példába: p=x ; h= p x x Mekkora a maximuma? g p= p x p x p g= p p p = p Az ily módo deiiált p g p üggvéyt az üggvéy Legedretraszormációjáak evezzük. L g A Legedre-traszormált Legedre-traszormáltja az eredeti üggvéy. 9.. Hamilto-üggvéy A Lagrage-üggvéy sebességek szeriti Legedre-éle traszormáltja az ú. Hamiltoüggvéy L q,, q, q,, q, t Általáos impulzusok: p = q q,, q, q,, q, t p = q q,, q, q,, q, t q = q q,, q, p,, p, t q = q q,, q, p,, p, t H q,, q, p,, p, t= q p L = Megjegyzés: a q-okat ki kell küszöböli!

2 9... Példák. Szabad részecske: koordiáta: x sebesség: ẋ x, ẋ, t L= m ẋ p= ẋ =m ẋ ẋ= p m H x, p, t=ẋ p L= p m p p m m = p m. Lieáris harmoikus oszcillátor: x, ẋ, t L= m ẋ D x T p= ẋ =m ẋ ẋ= p m U H x, p, t= ẋ p L= p m p m D x = p m D x 3. -testprobléma: r,, r,, t L= i= H = i= m i r i U r,, r m i r i U r,, r p = =m r r = p r m H = i= p i m i U r,, r

3 9.3. A Hamilto-üggvéy jeletése A leggyakoribb esetekbe a Hamilto-üggvéy a redszer eergiája. Tétel: Legye L=T U, ahol T homogé másodokú q-okba, és U em ügg a sebességtől. Ekkor a Hamilto-üggvéy az eergia: H q, p, t =T U Bizoyítás: H = = Tétel: q p T U = q = Ha L em ügg explicit módo (explicite) az időtől t =0, T U = q q T = T U =T U q T akkor: h q,, q, q,, q = de. q L mozgásálladó (ú. eergia). = q Másképp: ha a Lagrage-üggvéy időeltolás ivariás, akkor a mechaikai redszer eergiája álladó a mozgás olyamá. Ha a sebességeket az impulzusokkal kiküszöböljük, akkor hq,, q, q,, q éppe a Hamilto-üggvéy. Bizoyítás: dh = [ q q = q d ] q [ q = q q q t ] = = q = q q q d q q t =0 =0 Euler Lagrage = Kaoikus egyeletek Mechaikai redszer: q,, q q, p,, p p, t -dimeziós tér, kibővített ázistér. Adott a Hamilto-üggvéy: H q, p, t Milyeek a mozgások? q,, q, p,, p, t q dq,, q dq, p dp,, p dp, t dh = H q dq H q dq H p dp H p dp H t = =d = = = d q p L = = d q p dl= q p q dp dq q dq q d q q d q q t 3

4 A megjelölt tagok az általáos impulzusok deiíciója alapjá kiejtik egymást. H = ; q q q = H p ; H t = t Egy mozgás meté Összeoglalva: = d q H q q p ṗ =,, A mozgások kielégítik a q = H p ṗ = H q =,, db első redű egyeletet; redű közöséges diereciálegyelet redszert (ODE). Ezek az ú. kaoikus, vagy Hamiltoi mozgásegyeletek, a mozgásegyeletek a hamiltoi mechaikába. Mozgásegyeletek: Newtoi: m r= F r, r, t Lagrage-éle másodajú: d =0 q q =,, Hamiltoi: q = H q ; ṗ = H q =,, Variációs elv: S =0 Példa: lieáris harmoikus oszcillátor: H = p m D x x, p, t ẋ= H p = p m = p m ṗ= H x = D x ẋ= p m ṗ= D x A kaoikus egyeletekből köye visszakaphatjuk a Newto-éle mozgásegyeletet: ẍ= ṗ m ṗ=m ẍ m ẍ= D x visszakaptuk a Newto-éle mozgásegyeletet. 4

5 Fetebb láttuk, hogy ha a Lagrage-üggvéy em ügg explicit módo az időtől, akkor az eergia mozgásálladó. Eek megelelője a Hamiltoi mechaikába az alábbi Tétel: Ha H q, p em ügg explicite az időtől, akkor H q, p a mozgásegyeletek első itegrálja (azaz mozgásálladó). Bizoyítás: dh = H q q H p ṗ= H q H p H p H q = A Lagrage-üggvéy mértéktraszormációja Az dm q, t L '= Lq, q, t M q, t tetszőleges, megelelőe direciálható üggvéy L ' a Lagrage-üggvéy mértéktraszormáltja. Lagrage-üggvéy ugyaaz a mechaikai redszer, mit L Tétel: a mozgások mértékivariásak. Bizoyítás: t S = L q t, qt, t ; mozgások: S=0 t 0 t S ' = t 0 t L ' = t 0 S '=SM M 0 ; S '= S =0 álladó L qt, q t, t M q, t M q 0,t 0 Vagyis az L ' redszer mozgásai azoosak az L redszer mozgásaival: a mechaikai redszer azoos A töltött részecske Lagrage-üggvéyéek mértéktraszormációja Fotos példa a mértékivariaciára az elektromágeses Loretz-erő hatása alatt mozgó töltött tömegpot esete: ( q töltésű, m tömegű részecske egy E r, t, Br, t változó elektromágeses mezőbe) Maxwell: div B=0 B=rot A rot E= B t = rot A t rot E A t =0 E= grad A t 6 mező helyett 4 mező segítségével elírható az elektromágeses mező: a skalárpoteciál, A a vektorpoteciál. Ezek azoba em egyértelműek. 5

6 A, A '=Agrad '= t másodajú mértéktraszormáció B '=rot A'=rot A=B E '= grad ' A' t = grad t A t t grad = E Vagyis az elektromágeses mező (és így a Loretz-erő is) ivariás a másodajú mértéktraszormációval szembe. Írjuk el a Lagrage-üggvéyt! m, q, r, v= r, E, B A, L r, v, t= m v q v Ar, t q r, t relativisztikus relativisztikusa : c m v c m r =q Eq v B Loretz-erő Bizoyítás: v =m vq A x-kompoesre: ẋ =m ẋq A x ; x =q v x A x x v y A y x v z A z x x d ẋ =m ẍq A x x ẋ A x y ẏ A x z ż A x t = x m ẍ=q x A x t E x q [v y A y x A x v z A z x A x B m ẍ=q E x q v rot A x y rot A z z rot A y ] A elírt Lagrage-üggvéy valóba a töltött részecske mozgásegyeletét állítja elő emrelativisztikus esetbe. 6

7 Hajtsuk végre egy másodajú mértéktraszormációt: {A } '=A r '= t E, B em változik L '= m v q v A ' q '= m v q v A = Lq v r t = Lq d d = r r t r q t = Az elektromágeses mező másodajú mértéktraszormációja a Lagrage-üggvéy mértéktraszormációját eredméyezi, de mithogy az elektromágeses mező sem, így a mozgások sem változak. Írjuk el a Hamilto-üggvéyt! H = q p L ; p= q p= v =m vq A v= p q A m H = p q A m p p q A q m m A A q p q = = p q A m [ p q A ] m p q A q H = p q A q em relativisztikus esetbe. m 7

8 9.7. Feladatok Írja el az alábbi redszerek Hamilto-üggvéyét és a kaoikus mozgásegyeleteket a) szabad tömegpot (haszáljuk polárkoordiátákat) b) ehézségi erőtérbe mozgó tömegpot c) lieáris harmoikus oszcillátor d) térbeli harmoikus oszcillátor (izotrop és aizotrop esetbe is) e) homogé erőtérbe mozgó ayagi pot ) szigorúa cetrális erőtérbe mozgó ayagi pot (haszáljuk polárkoordiátákat) g) egymás gravitációs erőterébe mozgó két tömegpot (vezessük be súlypoti és relatív koordiátákat) h) az m ẍk x =F t mozgásegyeletű kéyszerrezgést végző ayagi pot i) síkiga, gömbi iga Útmutató: lásd a eladatot Felhaszálva, hogy a csillapított lieáris harmoikus oszcillátor Lagrage-üggvéye [ elírható L= e m t ẋ m x ẋ m m x] k alakba, írja el az általáos impulzust és a Hamilto-üggvéyt! Legye xt egy tetszőleges partikuláris megoldása az m ẍc ẋk x=f t mozgásegyeletek. (Gerjesztett csillapított harmoikus oszcillátor.) Tegyük el, hogy c 4 m k (ú. valódi csillapított rezgés). Hajtsuk végre az Y =e m x x koordiáta traszormációt! Mutassuk meg, hogy m Ÿ k Y =0 az új mozgásegyelet, ahol c k=k! Írjuk el az új 4 m Lagrage- és Hamilto-üggvéyt! Mutassuk meg, hogy x= c t m R{ e m i t} t c i e i mega t e m F e i d m ħ z0 e általáos megoldása 0 az eredeti mozgásegyeletek, ahol z0 egy tetszőleges komplex szám és = k m. c t 8