Kétváltozós függvények
|
|
- János Veres
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Kétváltozós üggvéek Tartalomjegzék Többváltozós üggvéek... Kétváltozós üggvéek... Nevezetes elületek... 3 Forgáselületek... 3 Kétváltozós üggvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós üggvéek... 6 A parciális deriváltak... 7 A parciális deriváltak geometriai jeletése... 7 Parciális derivált üggvé... 8 Kétváltozós üggvé deriváltja (gradies vektor)... 8 A gradies vektor létezéséek elégséges eltétele... A diereciálhatóság geometriai jeletése... Kétváltozós üggvé irámeti deriváltja... Veges másodredű parciális deriváltak egelősége... A kétváltozós üggvé lokális szélsőértéke... 3 A szélsőérték létezéséek szükséges eltétele... 3 A szélsőérték létezéséek elégséges eltétele... 3 A szélsőérték jellege... 4 A kétváltozós üggvé tartomái szélsőértéke... 7
2 Többváltozós üggvéek Lege D eg dimeziós pothalmaz, és egértelmű hozzáredelés, mel mide D dimeziós pothoz eg valós u számot redel.,,... Jelölése: u,,..., a üggvé az értelmezési tartomáa D. Ha D kétdimeziós, akkor kétváltozós, a szokásos jelölés z,, ha D három dimeziós akkor három változós, a szokásos jelölés u,, z Ezekkel a speciális esetekkel oglalkozuk. Kétváltozós üggvéek Geometriai iterpretáció A z, üggvé geometriai iterpretációját, hasolóa az egváltozós üggvéek graikojához, a háromdimeziós Descartes koordiátaredszerbe úg kapjuk, hog az, síkba az (,) koordiátájú potokhoz az által hozzáredelt z értéket mérjük el merőlegese. Az,, (, ) megelelője. Ha (, ) oltoos (lásd később) akkor ezt elületek modjuk. potok által meghatározott alakzat a üggvé geometriai Szitvoalak Sokszor a elületet ehéz elképzeli. Ebbe segíteek a koordiáta síkokkal való metszetgörbék és a szitvoalak. Deiíció: A z C, síkkal párhuzamos síkak és a elületek a egeletű, metszésvoalát szitvoalak evezzük. Segíteek a üggvét elképzeli. Ha a szitvoalakat az, síkra vetítjük, akkor két dimezióba is ábrázolhatjuk a elületet mit a domborzati térképe szokás.
3 Nevezetes elületek Forgásparaboloid, az z, és a z, koordiátasíkkal való metszetei parabolák, szitvoalai kocetrikus körök, Egelete: Hiperbolikus paraboloid, Ha az Egelete: egeletű, z koordiátasíkkal metszük el a elületet, akkor a metszetgörbe egelete z, ha az z, koordiátasíkkal egeletű metszük el a elületet, akkor a metszetgörbe egelete z, Ha az Ha z egeletű síkkel metszük el a elületet, akkor a metszetgörbe egelete z, síkkal párhuzamos egeletű hiperbola Forgáselületek Ha az síkbeli z ( u) orgáselület egelete z Nevezetes orgáselületek egeletű görbét a z-tegel körül megorgatjuk, a kapott Félgömb Egelete: z R Forgási hiperboloid (két köpeű) Egelete: z Forgási hiperboloid (eg köpeű) Egelete: Kúp Egelete: z z 3
4 Ábrázoljuk a z z elületet és határozzuk meg a 75 síkkal való metszésvoalát. (szitvoal) Határozzuk meg az, értelmezési tartomáát : Az (, ) értelmezési tartomáa az a tartomá, ahol Kétváltozós üggvé határértéke Az egváltozós üggvéek határértékére voatkozó lehetséges deiíciók közül a következőt általáosítjuk: lim A, akkor és csak akkor, ha mide potsorozatra Általáosítva: (, ) (, ) lim,, A A, akkor és csak akkor, ha mide (, ) (, ) A potsorozatra A deiíció közvetle következméei Függvéek kostas-szorosáak, összegéek, szorzatáak, háadosáak (ha a evező em ulla), racioális kitevős hatvááak a határértéke a határértékek kostas-szorosa, összege, szorzata, háadosa, racioális kitevős hatváa. 4
5 Létezik-e a következő üggvé határértéke a (-,3) potba és ha ige mei? 3 (, ) 45,ahol a evező em ulla, ott a létezik határértéke és 3 ( ) 33 5 lim 4 5 4( ) (, ) (,3). Létezik-e ugaeek a üggvéek a határértéke a (,) potba, és ha ige mei? 3 Az 45 üggvéek ics határértéke (,) potba, mert létezik két külöböző potsorozat (rövide út), mel meté közelítve az origóba külöböző határértéket kapuk. Pl. az - tegele közelítve az origóba, azaz (,) (,) 3 eseté 4 5 az - tegele közelítve az origóba, azaz (, ) (,) 3 eseté , Létezik-e határértéke az origóba az üggvéek Nem létezik, mert az tegel meté a határértéke, hisze lim lim, egees meté lim lim (,) (,) (,) (,) de az (, ) (,) (, ) (,) 3. Létezik-e határértéke az origóba az, Láthatjuk, hog mid a tegelek meté, mid az üggvéek azt sejtjük, hog va határértéke. Ezt a következőképpe láthatjuk be: egees meté a határértéke, 5
6 Eg tetszőleges segítségével: melek a Azaz, hoz tartó, potsorozatot elírható polár-koordiáták r cos, és r si, -hoz tartásához elegedő az r eltétel a sorozattól üggetleül. 3 r cos r si r cos si r (, ) (,) cos si r r r r r r lim lim lim lim cos si Jó taács: ha ugaezt a módszert megpróbáljuk alkalmazi az előző példáál, akkor r cos r si r cos r si r cos si (, ) (,) r r r r lim lim lim lim cos si mert a határérték, ha 4 cos si si, akkor pedig, stb ügg a sorozattól. Ha akkor a limes Foltoos kétváltozós üggvéek Ha a z, potba és a kettő egelő, akkor ott a üggvé oltoos,, üggvéek létezik helettesítési értéke és határértéke eg azaz ha lim,, (, ) (, ). Foltoos-e a következő üggvé:, ha (, ) (,) ha (, ) (,) potba. : Nem oltoos, hisze ics határértéke az origóba (lásd:5. oldal. példa) Foltoos-e a következő üggvé:, ha (, ) (,) ha (, ) (,) : Ige, oltoos, mert a üggvéek va határértéke (lásd:5. oldal 3. példa) és az megegezik a helettesítési értékével. 6
7 A parciális deriváltak Az szeriti parciális derivált deiíciója: Az szeriti parciális derivált deiíciója:,, h, (, ) lim, h h,, h, lim h h (, ) Vagis a kétváltozós üggvé egik változóját kostasak tekitve a másik változója szerit deriváljuk. A parciális deriváltak geometriai jeletése Az, üggvé, geometriai jeletése a z, ( z, potbeli változó szeriti parciális deriváltjáak a elület és az egeletű sík metszésvoala görbe) éritőjéek a meredeksége. Az, üggvé, geometriai jeletése a z, ( z, potbeli változó szeriti parciális deriváltjáak a elület és az egeletű sík metszésvoala görbe) éritőjéek a meredeksége. 7
8 Parciális derivált üggvé Ha tetszőleges (, ) potba képezzük a z, változó szeriti parciális deriváltját, akkor az változó szeriti parciális derivált üggvét kapjuk (ahol létezik) ( h, ),, lim, szokásos jelölés még h h Ha tetszőleges (, ) potba képezzük a z z, vag z, változó szeriti parciális deriváltját, akkor az változó szeriti a parciális derivált üggvét kapjuk (ahol létezik) (, h),, lim, szokásos jelölés még h h, z vag z Határozzuk meg a z si, z si üggvé és szeriti parciális derivált üggvéeit! z cos Határozzuk meg a z si üggvé és szeriti parciális derivált üggvéeit! z cos, z cos Határozzuk meg a z üggvé és szeriti parciális derivált üggvéeit! z l, mert szerit hatváüggvé, z, mert szerit epoeciális üggvé Határozzuk meg a z cos ( si( )) z cos üggvé és szeriti parciális derivált üggvéeit!, mert szerit szorzatüggvé, z ( si( )), mert szerit em szorzat üggvé, hisze kostas. Kétváltozós üggvé deriváltja (gradies vektor) Deiíció: 8
9 A üggvé z, koordiátákból alkotott vektor: grad Deiíció: gradiese eg adott potba a parciális deriváltakból, mit (, ), (, ) Az, kétváltozós üggvé diereciálható az, létezik a gradies vektora. Azaz,, ( ),( ) grad, potba (totálisa), ha a közelítőleg egelő itt azt jeleti, hog a két oldal eltérése a megváltozás hosszával osztva ullához tart. Tétel Ha eg kétváltozós üggvé diereciálható eg potba, akkor ott oltoos. Bizoítás vázlat,, ( ),( ), mert ( ),( ), grad, a jobboldal ullához tart ha (, ) (, ) amiből azoal következik a oltoosság. Megjegzés, miatt a baloldal is tart ullához, Abból, hog eg üggvéek létezek a parciális deriváltjai, em következik, hog diereciálható. Például, a következő üggvéek az origóba létezik mid mid szerit a parciális deriváltja és midkettő, de em diereciálható, hisze még csak határértéke sics az origóba. Ez a üggvé léegébe z, vagis az, meté em, haem a üggvé értéke. sík csak az -tegel és az -tegel 9
10 A gradies vektor létezéséek elégséges eltétele Tétel (bizoítás élkül): A gradies vektor létezéséek elégséges eltétele, ha az adott potba a parciális derivált üggvéek oltoosak. A diereciálhatóság geometriai jeletése Ha az, kétváltozós üggvé diereciálható az, a z, elületek létezik éritő síkja, melek egelete zz (, )( ) (, )( ) Tehát: Az, üggvé P,,, (, ), (, ), Bizoítás vázlat potba (totálisa), akkor potbeli éritősíkjáak a ormál vektora Ha a üggvé diereciálható, akkor a üggvé megváltozása közel lieáris, azaz,, ( ),( ) grad, másképpe írva z z (, )( ) (, )( ), ahol az éritősík egelete: zz (, )( ) (, )( ) Adjuk meg az, 9 egeletét! üggvé, potjába az éritősík Az éritősík ormálvektora: (, ), (, ),,,, 4, eg potja P, (,),,, (,,4), tehát az éritősík egelete:
11 z 4 4, azaz 4 z 4 Kétváltozós üggvé irámeti deriváltja Deiíció: Az, üggvé e irába vett irámeti deriváltjáak evezzük a következő határértéket: Azaz az ( eh, eh),, lim h h e potból eg előre rögzített egségvektor e e, e, ézzük a üggvéérték megváltozását és íg képezzük a ( e ) iráába ( e h, e h), külöbségi háadost, majd eek vesszük a határértékét midő a megváltozás ullához tart. h Szokásos jelölés még: e Tétel Ha létezik a üggvé gradiese, akkor az irámeti derivált a gardies vektor és a megadott irába mutató egségvektor skaláris szorzata:, Határozzuk meg az deriváltját a P, potba! e = grad e üggvé v ( 3,4) iráába eső irámeti Az irámeti deriválthoz szükséges a gradies vektor az adott potba és eg egség hosszú vektor mel a keresett irába mutat. grad,, grad 4,4 (,) Tekitve, hog v ( 3) 4 ) 5, az iráába mutató egségvektor 3 4 e, 5 5 Tehát grad e e ,4, e , azaz
12 Határozzuk meg az, irámeti deriváltját a 5, 3 P potba! üggvé 3 5 egees iráába eső Az irámeti deriválthoz szükséges a gradies (ha létezik) az adott potba és eg egség hosszú vektor mel a keresett irába mutat (,) 4 5, Az egees egeletéek átalakításával, (,) látható, 3 3, grad 4,8 3 hog az egees meredeksége m= és az egees iráába mutató vektor v ( 3,), 3 a szükséges egségvektor az irámeti derivált tehát : v 3 e, v, grad e 4,8, e Tétel A gradies a üggvé legagobb övekedéséek iráába mutat. Ez azt jeleti, hog az irámeti derivált a gardies vektor iráába a legagobb! Ekkor az irámeti derivált értéke a gardies vektor hosszával egelő. Bizoítás grad e e, grad e grad e cos, ahol a vektorok szöge. A skaláris szorzat akkor a legagobb, ha a két vektor által bezárt szög, hisze ekkor a szög kosziusza. Ekkor tehát grad e grad e grad Veges másodredű parciális deriváltak egelősége
13 Tétel: (Youg tétele) : Ha a z, üggvéei az A a, b pot A totálisa diereciálhatók, akkor a, b a b kétváltozós üggvé elsőredű parciális derivált I körezetébe létezek és a üggvé az A potba., Megjegzés. A parciális deriváltak oltoossága elégséges eltétele a üggvé totális diereciálhatóságáak. Tehát az is igaz, hog ha a másodredű parciális derivált üggvéek oltoosak, akkor a veges másodredű deriváltak egelők, azaz értékük em ügg a deriválás sorredjétől, vagis (, ), A kétváltozós üggvé lokális szélsőértéke Deiíció A z, üggvéek az, potak ola körezete, melbe az z,, potba lokális maimuma va, ha létezik az A z, üggvéek az, potak ola körezete, melbe az z,, a legagobb érték, potba lokális miimuma va, ha létezik az a legkisebb érték, A szélsőérték létezéséek szükséges eltétele A lokális szélsőérték (maimum vag miimum) létezéséek szükséges eltétele: (, ), (, ), grad Idoklás Ha a üggvéek lokális szélsőértéke va,, A parciális deriváltak geometriai jeletéséből következik, hog ha a üggvé diereciálható, azaz létezik ott az éritősíkja, akkor abba a potba (, ), (, ), -ba, akkor mide elületi görbéek is. grad, azaz az éritősík vízszites, ormálvektora párhuzamos a z-tegellel, mivel (, ), (, ), () Mide potba a gradies merőleges a poto áthaladó szitvoalra. A szélsőérték létezéséek elégséges eltétele A lokális szélsőérték (maimum vag miimum) létezéséek elégséges eltétele:,,,, 3
14 Ha em teljesül, akkor ics szélső értéke a üggvéek, akkor eregpotja va. Bizoítás élkül A szélsőérték jellege A szélsőérték jellegét (maimum vag miimum) az, állapíthatjuk meg. ( determiás D>) és előjele alapjá előjele midig megegezik abba a potba ahol eti Ha, akkor a üggvéek miimuma va, ha maimuma va. Megjegzés:,, hisze akkor D lee., akkor Hol va lokális szélsőértéke a következő üggvéek? (, ) 4 e 8 4 e e e 8 8 e e e e e, e , vag, e 4 4, vag A megoldásokra:.. 3. és, és 4 4 4,, és 4 4, 4
15 A megoldások:,,,,,,,,, Tehát sorra kell vei ezeket a potokat és ki kell számoli D determiás értékét. Megézi, hog D= teljesül-e. Ha em, akkor ics szélső értéke a üggvéek, akkor eregpotja va. e e e e 8 4 e e e e e e e e e e e ( ) ( ) e e e e e e Az deriváltat már eleslegese számoltuk ki, mert a Youg tétele szerit megegezik -vel. Vizsgáljuk meg a D értékét azokba a potokba ahol a parciális deriváltak ullák.. (,) 4, (,) e , (,) e ,, e 6 4 Tehát D= üggvéek.. (,),,,, 8 6,, vagis va lokális szélsőértéke a 5
16 (,) e 8 4 e 8 4 6e 4, (, ) e e 8 6e 4, 3 3,, e 6 4 Tehát D=,,,, 6e 6e,, vagis va lokális szélsőértéke a üggvéek az (,) potba. Tekitettel arra, hog (,), ezért itt a üggvéek lokális maimuma va. 3. (,) (,) e 4 6e (,) e 4 4e,, Tehát D=,,,, 6e 4e üggvéek az (,) potba., vagis ics lokális szélsőértéke a 4. (,) (,) e 8 4 6e (,) 6 e Tehát D=,,,,,, 6e 6e, vagis va lokális szélsőértéke a üggvéek az (-,) potba. Tekitettel arra, hog (,), ezért itt a üggvéek lokális maimuma va. 5. (, ) (, ) e 4 6e (, ) 4 e 6
17 Tehát D=,,,,, potba.,,, 6e 4e, vagis ics lokális szélsőértéke a üggvéek a Azt kaptuk, hog a és az, potokba va lokális maimum, a, potba pedig lokális miimum. A maimum értéket megkapjuk, ha behelettesítük a üggvébe. (,) 4 e,4764 (,) 4 (,) e,4764 A kétváltozós üggvé tartomái szélsőértéke Deiíció A z, üggvéek az, z, potba tartomái maimuma va, ha a legagobb érték az egész tartomába, A z, üggvéek az, z, potba tartomái maimuma va, ha a legkisebb érték az egész tartomába. A tartomái szélsőértéket a üggvé vag a tartomá belsejébe vag a határá veszi el. Ha a tartomá belsejébe veszi el, akkor ott lokális szélsőértéke is va. Határozzuk meg a következő üggvé tartomábeli legagobb és legkisebb értékét (másképpe tartomái vag globális szélsőértékeit) a T= égzete. (, ) 4 e 7
18 Két eset lehetséges:. A szélsőértéket a tartomá belsejébe veszi el.. A szélsőértéket a tartomá határá veszi el. Ha a globális szélsőértéke a tartomá belsejébe va, akkor ott lokális szélsőértéke is va a üggvéek. Praktikus megjegzés: Azt azoba em kell vizsgáli, hog télegese va-e ott szélsőértéke, mert ha ics akkor aál kisebb vag agobb értéket a határo vesz el.. Vagis meg kell ézi a üggvé értékét azoko a heleke ahol = és. Ezeket az értékeket kell összehasolítai a határo elvett értékekkel. Ezek közül a legagobb a globális maimum, a legkisebb a globális miimum. A parciális deriváltak ullák a,,,,,,,,, potokba. (,) (,) 4e,4764, (,) Ezek közül a legkisebb a és a legagobb a a legagobb és a legkisebb értéket. A tartomá határai., (,) (, ) e, =. 4e. A tartomá határá is meghatározzuk egees. Eze a üggvé (, ) 6 hog eek hol va a maimuma és a miimuma a,, - határozzuk meg az egváltozós üggvé szélsőértékét (, ) e 6 e e 5 Ahol ez a derivált ulla, ott lehet szélsőértéke. tartomába a Hasolóa az 4 e 4, pot esik. Itt a üggvé értéke (, ) 6 e egees meté a lehetséges szélsőérték 4 6 (, ) 6 e, e 4 egeese (,) 4 4e, Az kérdés, zárt itervallumo. Először vag 5. Ezek közül a 6, e (,) 8 e e 4 4 8e 8 e Ez csak a, potba ulla, a üggvé értéke itt Az egeese (, ) értéke itt (, ) 4 4 e 8 4 e,746 4 Végül meg kell ézi a égzet csúcspotjaiba (, ) e, mel csak a, 8 (, ) (, ) (, ) (, ) 6 4e, e 4 e 4 e,746 4 potba ulla, a üggvé az íg kapott üggvéértékek közül kell kiválasztai a legkisebbet és a legagobbat. A legagobb üggvéérték a, és, potokba va 4e,4764, a legkisebb az origóba va. 8
Kétváltozós függvények
Kétváltozós függvéek Tartalomjegzék Többváltozós függvéek... Kétváltozós függvéek... Nevezetes felületek... 3 Forgásfelületek... 3 Kétváltozós függvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós függvéek... 6
Részletesebbenforgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden
Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg
RészletesebbenGEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET
ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenKalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév
Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenBodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak
ábra: Ábra Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak III. modul: Többváltozós üggvének 5. lecke: Többváltozós üggvének, parciális deriválás Tanulási cél: Megismerkedni a többváltozós üggvének
RészletesebbenKétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által
Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az
RészletesebbenPélda: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0
Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,
Részletesebben3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)
3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát
RészletesebbenNÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8.
. feladat: Eg 5 fős osztálba va fiú és 4 lá. z iskolai bálo (fiú-lá) pár fog tácoli. Háféleképpe tehetik ezt meg? párok sorredje em számít, viszot az, hog ki kivel tácol, az már ige. (0 pot) Válasszuk
RészletesebbenTöbbváltozós analízis gyakorlat, megoldások
Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenIII. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK
Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
RészletesebbenLengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenAlkalmazzuk az egyváltozós esetben a legkisebb négyzetek módszerét. Legyen a mérések száma n, y (n 0). n 2
. elődás 5 Alklmzzuk z egváltozós esetbe legksebb égzetek módszerét. Lege mérések szám ( ). F ( ( ) )! ( ( ) )!?? A két krtérum ekvvles egmássl hsze h z F üggvéek z prmétervektor hele mmum v kkor hele
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonossága. pontban van határértéke és ez A, ha bármely 0 küszöbszám, hogy ha. lim
Függvének határértéke és oltonossága Deiníció: Az -hoz megadható olan üggvénnek az A. pontban van határértéke és ez A ha bármel küszöbszám hog ha A akkor. Jele: a) Függvén határértékének ogalma visszavezethető
RészletesebbenEmlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854): " ' #$ * $ ( ' $* " ' #µ
Emlékeztető: az -dimeziós sokaság görbültségét kifejező meyiség a Riema-tezor (Riema, 1854: ' ( ' $ ' #µ $ µ# ahol a ú. koexiós koefficiesek (vagy Christoffel-szimbólumok a metrikus tezor g # x $ kompoeseiből
RészletesebbenKoordinátageometria összefoglalás. d x x y y
Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,
Részletesebben1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!
Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg
Részletesebben7. Kétváltozós függvények
Matematika segédanag 7. Kétváltozós függvének 7.. Alapfogalmak Az A és B halmazok A B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melnek elemei mindazon a, b) rendezett párok, amelekre a A és
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenA hatványozás első inverz művelete, az n-edik gyökvonás.
Ismétlés: Htváozás egész kitevő eseté A htváozás iverz műveletei. (Htvá, gök, logritmus) De.: :... Ol téezős szorzt, melek mide téezője. : htvál : kitevő : htváérték A htváozás zoossági egész kitevő eseté:
RészletesebbenHatárérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
RészletesebbenEgyváltozós függvények differenciálszámítása II.
Egváltozós függvének differenciálszámítása II.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok:
RészletesebbenTartalomjegyzék Feltétel nélküli szélsőérték számítás
Dr. Vincze Szilvia Példa Egy adott talajtípuson az átlagosnak megelelő időjárási viszonyok között a búza hozamát hektáronként a elhasznált nitrogén és oszor hatóanyag erősen beolyásolja. A hektáronként
Részletesebben10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET
.. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenMásodik zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.
Részletesebben13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai
Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk
RészletesebbenÍrja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6
Építész Kar Gakorló feladatok gakorlat Számítsa ki az alábbi komple számok összegét, különbségét, szorzatát, hánadosát: a/ z = i z = i b/ z = i z = - 7i c/ z = i z = i d/ z = i z = i e/ z = i z = i Írja
Részletesebbenl.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA
l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.
Részletesebben10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása
. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A dierenciálszámítás alkalmazása FÜGGVÉNY De: A üggvény egyértelmű hozzárendelés két halmaz elemei között. A halmaz minden eleméhez B halmaz legeljebb
Részletesebbenmegoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások
RészletesebbenTeljes függvényvizsgálat példafeladatok
Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss
RészletesebbenGEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET
FIZIKA BSc, III. évolam /. élév, Optika tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 8.) AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek hullámegelet: E( r, t) E ( r, t) µ µ rε ε
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebben8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.
8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),
Részletesebben(arcsin x) (arccos x) ( x
ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c
RészletesebbenFelületek differenciálgeometriai vizsgálata
Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai értelemben Felület: Olyan alakzat, amely előállítható az (u,v) sík egy összefüggő tartományán értelmezett r(u,v) kétparaméteres
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenAz f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.
Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...
RészletesebbenTuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása
Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenMinta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ
JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenKalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok
Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális
RészletesebbenA primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,
6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
RészletesebbenMatematikai analízis II.
Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenLíneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük.
Líneáris függvének Definíció: Az f() = m + b alakú függvéneket, ahol m, m, b R elsfokú függvéneknek nevezzük. Az f() = m + b képletben - a b megmutatja, hog a függvén hol metszi az tengelt, majd - az m
RészletesebbenFigyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
Részletesebben823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.
Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebben9. HAMILTON-FÉLE MECHANIKA
9. HAMILTON-FÉLE MECHANIKA 9.. Legedre-éle traszormáció x x h x, p= p x x Milye x-él maximális? pl.= x alulról kovex h x =0: d p= dx x=x p a példába: p=x ; h= p x x Mekkora a maximuma? g p= p x p x p g=
RészletesebbenKalkulus II., harmadik házi feladat
Név: Neptun: Web: http://mawell.sze.hu/~ungert Kalkulus II., harmadik házi feladat.,5 pont) Határozzuk meg a következ határértékeket: ahol a) A =, ), b) A =, ), c) A =, ).,) A Az egszer bb kezelhet ség
RészletesebbenSorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
Részletesebben1. Lineáris transzformáció
Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható
RészletesebbenA differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz.
Differenciálegenletek Bevezetés Differenciálegenletnek olan egenletet nevezünk, amelben az ismeretlen eg függvén és az egenlet tartalmazza az ismeretlen függvén (valahánad rendű) deriváltját. Például:
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
Részletesebben1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.
1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenSOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok
SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
Részletesebben1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény
Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Riemann integrálja
Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Az integrál konstrukciója tetszőleges változószám esetén Deiníció: n dimenziós
RészletesebbenMatematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére
Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f()
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
Részletesebben1. Sajátérték és sajátvektor
1. Sajátérték és sajátvektor Leképezés diagoális mátrixa. Kérdés Mely bázisba lesz egy traszformáció mátrixa diagoális? A Hom(V) és b 1,...,b ilye bázis. Ha [A] b,b főátlójába λ 1,...,λ áll, akkor A(b
Részletesebben2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
RészletesebbenKétváltozós függvény szélsőértéke
Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű
RészletesebbenIntegrálás sokaságokon
Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,
Részletesebben