forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden

Átírás

1 Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg köpeű) z + kúp z f ( u) görbe z-tegel körüli forgatásával keletkező felület: z f ( + ) Határérték: Defiíció (): Az f (, ) függvéek az (, ) potba a atárértéke, a ide A ε > száoz találató δ > szá úg, og ( ) ( ) eseté f (, ) A <ε < + < δ Defiíció (): Az f (, ) függvéek az (, ) potba a atárértéke A, a ide P(, ) potoz kovergáló P potsorozat eseté a függvéérték sorozat A-oz kovergál Jelölés li f (, ) A (, ) Megjegzés: A defiíció ()-be ( ) ( ) (, ) z f (, ) < + < δ egelőtleség elett < + < δ vag < a(, ) < δ egelőtleség is írató étel: Defiíció () és defiíció () ekvivales Példák: () li e létezik, ert külöböző irából egközelítve az origót (, ) + külöböző atárértékeket kapuk: Pl: egees fölött a függvé értéke + + () li 4 e létezik, aak elleére, og bárel egees eté (, ) + egközelítve az origót a függvéértékek -oz tartaak: ( ) li 4 li 4 Azoba görbe fölött egközelítve az origót + ( ) + a atárérték li ( ) + ( ) 4 li +

2 (3) li (, ) + < + < δ eseté Ezért +, ert tetszőleges ε > száoz találató δ > szá úg, og + < ε Ugais <ε, a + < ε + ert + Határértékre voatkozó tételek (uga úg, it eg változós fv eseté) Ha létezik li f (, ) és li f (, ) A valait létezik a) létezik b) létezik (, ) (, ) li g (, ) és (, ) (, ) li [ f (, ) + g (, )] és (, ) li [ f (, ) g (, )] és (, ) li g (, ) B, akkor li [ f (, ) + g (, )] A+ B (, ) li [ f (, ) g (, )] A B (, ) f c) továbbá B eseté létezik li (, ) f és li (, ) A (, ) g (, ) (, ) g (, ) B Defiíció: Az f (, ) függvé foltoos az (, ) potba, a a) létezik li f (, ) (, ) b) létezik f (, ) és c) li f (, ) f (, ) (, ) Foltoosságra voatkozó tételek: Ha f (, ) és g(, ) foltoosak az (, ) potba, akkor az f (, )+ g(, ), az f (, ) g(, ) függvéek is, valait a g (, ), akkor az f (, ) függvé is foltoos az potba g (, ) (, ) Defiíció: A síko eg P pot δ sugarú körezete azo P potok összessége, aelekek távolsága P -tól kisebb, it δ Defiíció: Eg P potot a H alaz belső potjáak evezük, a a P potak va ola körezete, aelek ide potja a H alazoz tartozik Defiíció: Eg P potot a H alaz külső potjáak evezük, a a P potak va ola körezete, aelek egetle potja se tartozik a H alazoz Defiíció: Eg P potot a H alaz atárpotjáak evezük, a e belső pot és e külső pot Defiíció: Eg P potot a H alaz torlódási potjáak evezük, a a P pot tetszőleges körezetéek va a H alazoz tartozó potja Defiíció: Eg potalaz e összefüggő, a felosztató két ola diszjukt részre, og egik se tartalazza a ásikak torlódási potját Ellekező esetbe összefüggő Eg összefüggő potalazt tartoáak is evezük

3 Defiíció: Eg tartoá zárt, a tartalazza ide atárpotját Defiíció: Eg tartoá ílt, a ide potja belső pot étel: Ha az f (, ) függvé foltoos eg zárt tartoá ide potjába, akkor a függvé korlátos is eze a tartoáo étel: Ha az f (, ) függvé foltoos eg zárt tartoá ide potjába, akkor a függvé felveszi a legagobb és legkisebb értékét is eze a tartoáo Differeciálszáítás: Parciális deriváltak: f (, ) f ( +, ) f (, ) f (, ) li f (, ) f (, + ) f (, ) f (, ) li Iráeti derivált: v(cos α,si α ) vektor iráába f ( + cos α, + si α ) f (, ) f (, ) li α étel: Ha az (, ) potba ide irába va iráeti derivált, akkor f ( + cos α, + si α ) f (, ) f (, ) li α α f (, ) cos + f (, ) siα Speciálisa, a α, akkor az iráeti derivált egegezik az szeriti parciális deriválttal Ha α π, akkor az iráeti derivált egegezik az szeriti parciális deriválttal Az és szeriti parciális deriváltak létezése e biztosítja az iráeti deriváltak létezését: a + Pl az f (, ) + függvé parciális deriváltjai az origóba a + létezek, de seile ás irába ics iráeti deriváltja Megjegzés: A feti függvé parciális deriváltjai létezek az origóba aak elleére, og a függvé itt e foltoos étel: Ha f (, ) és f (, ) létezik az (a,b) pot eg δ sugarú körezetébe és az (a,b) potba idkettő foltoos, akkor f ( a, b) f ( a, b) A z f (, ) felület orálisa az ( f, f, ) vektor A z f (, ) felület éritősíkjáak egelete az (, ) pot fölött: ( ) ( ) ( ) f (, ) + f (, ) z f (, )

4 Defiíció: A z f (, ) függvé gradiese a parciális deriváltakból, it koordiátákból alkotott vektor: grad f (, ) ( f (, ), f (, ) ) A gradies legfotosabb tulajdoságai: () Mide potba a gradies erőleges a poto átaladó szitvoalra () A gradies a függvé legagobb övekedéséek iráába utat Kétváltozós (differeciálató) függvé szélsőértéke: A szélsőérték létezéséek szükséges feltétele: f (, ) f (, ) A szélsőérték létezéséek elégséges feltétele: f (, ) Ha f (, ) és f (, ) f (, ) [ f (, ) ] >, akkor az f (, ) függvéek szélsőértéke va az (, ) potba Mégpedig f (, ) > eseté iiua va, f (, ) < eseté aiua va a függvéek f (, ) Ha f (, ) és f (, ) f (, ) [ f (, ) ] <, akkor ics szélsőérték Ekkor eregpotja va a felületek Példa ola felületre, aelet bárel z-tegelre illeszkedő síkkal eletszve a etszetgörbéek iiua va az origóba, de a felületek ics iiua: z ( )( ) Feltételes szélsőérték: Keressük z f (, ) szélsőértékét g(, ) feltétel ellett Vizsgáljuk eg az F(,, λ) f (, ) λ g(, ) szélsőértékét! Kettősitegrál Lege eg téglalap alakú tartoá a koordiátategelekkel páruzaos oldalakkal: {(, ) a b, c d} Defiíció: f (, ) d

5 Lege a,,, b az [ ab itervallu és c itervallu eg felosztása A f (~, ~ ) j i i j i j K, ],,, d K a [ cd, ] összeget itegrál közelítő összegek evezzük, aol i i i, j j j, és aol i ~ i i, j ~ j j Lege if f (~, ~ ) a ~, ~ Az ij i j i i i j j j s, ij i j j i összeget az itegrál alsó közelítő összegéek evezzük Lege M sup f (~, ~ ) a ~, ~ Az ij i j i i i j j j S M, ij i j j i Világos, og s f (~, ~ ) S összeget az itegrál felső közelítő összegéek evezzük, i j i j, j i Uga úg, aog egváltozós esetbe, ost is belátató, og új osztópotok felvételével az alsó közelítő összeg ooto ő (e csökke), a felső közelítő összeg ooto csökke (e ő), valait tetszőleges felosztások eseté bárel alsó közelítő összeg kisebb vag egelő, it eg felső közelítő összeg Következé: sup s if S Ha sup < if S, akkor az f (, ) függvé e itegrálató a téglalap fölött s,,,, Ha sup s if S I, akkor az f (, ) függvé itegrálató a téglalap fölött és,, f (, ) d I Kettősitegrál kiszáítása kétszeres itegrálással b d d b f (, ) d f (, ) d d f (, ) d d a c Itegrálás orál tartoáo Ha (, ) a b, g ( ) g ( ) { } b g ( ) f (, ) d f (, ) d d a g ( ) Ha pedig {(, ) ( ) ( ), c d}, akkor c a d ( ) f (, ) d f (, ) d d c ( ) Itegrálás elettesítéssel, akkor

6 ξ( u, v) Ha az u v leképezés a Θ tartoát a tartoába képezi, akkor η(, ) ξu( uv, ) ξv( uv, ) f (, ) d f ( ξ( u, v), η( u, v) ) η ( uv, ) η ( uv, ) d Θ Θ u uv v uv J ξ (, ) ξ (, ) ηu( uv, ) ηv( uv, ) az úgevezett Jacobi deteriás Speciális eset: Áttérés polár koordiátákra ρcosϕ ρsiϕ, ekkor a Jacobi deteriás: cosϕ ρsiϕ J siϕ ρcosϕ ρ Néá alkalazás: érfogat száítás öegközéppot Másodredű (iercia) oaték u v