V. Deriválható függvények

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "V. Deriválható függvények"

Átírás

1 Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája egyees és az egyelő időközökbe megtett utak egymással egyelők (a megtett út aráyos az idővel A mozgás v sebességét megkapjuk, ha megmérjük bizoyos számú t időegység alatt megtett út s hosszát, és ezt elosztjuk az s út megtételéhez szükséges s t idővel: v t Mivel a mozgó pot sebessége mide időszakba egyelő v -vel, azt modjuk, hogy e mozgás sebessége bármely időpillaatba éppe v -vel egyelő Tegyük fel most, hogy az M pot adott iráyba egyees voalú, de em egyeletes mozgást végez vagyis, hogy az egyelő időközökbe megtett utak általába em egyelők egymással (a megtett út em aráyos az idővel Mit értük tehát ebbe az esetbe a mozgó pot sebességé egy adott időpotba (a t időpillaatba? Ha s( t -vel jelöljük a t idő alatt megtett utat, akkor a t és t időpotok között megtett út hossza s s( t s( t Ezt az utat a test t t t idő alatt teszi meg Tehát eze az útszakaszo az átlagos közepes sebesség s s( t s( t vk t t t Ha eek a kifejezések va határértéke, amikor t t, akkor azt modjuk, hogy ez a határérték a test sebessége a t időpotba Ezt a sebességet vt ( -val jelöljük Tehát s s( t s( t vt (, t t t t t t ha ez a határérték létezik Megjegyzés Bármilye meyiség változási sebességét ehhez hasolóa értelmezzük Ha f : D egy M meyiség időbeli változását leíró függvéy (a változója a t -idő, akkor az M változásáak sebessége a t időpillaatba a f f ( t f ( t vm ( t t t t t t t határérték, ha ez létezik Az éritő probléma Tekitsük az f :[, ], f ( si függvéyt Jelöljük m( -szel az M, és potoko áthaladó egyees iráytéyezőjét M (,si

2 Deriválható függvéyek Va-e a α függvéyek határértéke, ha? Az MM húr iráytagesét vizsgáljuk: si si m ( Tehát meg kell vizsgáluk, hogy létezik-e az M (, si M α 7 ábra si si m m( határérték Alakítsuk át a kifejezést: + si si si cos + si cos si si + si Tehát a határérték: cos sit cos cos, ahol t és t, ha t t Mivel a húrok egyre jobba közeledek az M,si poto áthaladó m iráytéyezőjű egyeeshez azt modjuk, hogy ez az egyees az f grafikus képéhez húzott éritő az M potba Tehát az éritő egyelete y Általába, ha f : D egy függvéy és D egy torlódási potja D -ek, akkor az f ( f( poto áthaladó húrok iráytéyezői m ( alakúak, tehát ha f ( f( létezik a határérték, akkor azt modjuk, hogy a függvéy grafikus képéek va éritője abszcisszájú potba és az éritő iráytéyezője az előbbi határérték

3 Deriválható függvéyek Megjegyzés A kör eseté az éritőt úgy értelmeztük, mit egy egyees, amely potosa egy potba metszi a kört Ez az értelmezés általába em haszálható Például az f :, f ( függvéy grafikus képét az origó áthaladó összes egyees egy potba metszi, mégsem modaák azt, hogy ezek éritik a grafikus képet (lásd a 8 ábrát y 8 ábra O 5 A derivált értelmezése f ( f( Az előbbi problémák midegyikébe alakú határértékekehez juttuk Ez motiválja a következő fogalom bevezetését Értelmezés Legye D a D halmaz egy torlódási potja Azt modjuk, hogy az f : D függvéyek az potba va deriváltja, ha létezik a f ( f ( határérték Ezt a határértéket evezzük a függvéy potbeli deriváltjáak (vagy differeciálháyadosáak és így jelöljük: f ( f ( f f ( y M M(, f( f( f( 9 ábra α O Értelmezés Az f : D függvéyt deriválhatóak evezzük az f ( f ( az f ( határérték létezik és véges helye, ha

4 Deriválható függvéyek Megjegyzés Ha létezik az f ( véges szám akkor mide ε > számhoz va olya δ >, hogy ha < < δ akkor ( f ( f f ( f ( f ( ( Ezt a alakba is írhatjuk f ( < ε Értelmezés Ha az f függvéy az E D halmaz mide potjába deriválható, akkor azt modjuk, hogy az f függvéy az E halmazo deriválható függvéy Azt az f : E függvéyt, amely mide E eseté f ( -val egyelő az f függvéy derivált függvéyéek evezzük (vagy rövide deriváltjáak és f -tal vagy df -el jelöljük (Leibiz jelölése d A derivált geometriai jeletése A bevezető problémák alapjá azt modjuki, hogy az f függvéy grafikus képéek az M(, f ( potjába létezik éritője, ha létezik az f függvéyek az potjába a deriváltja (differeciálháyadosa Az éritő iráytagese f ( m, tehát az éritő egyelete y f ( f ( ( Példák Vizsgáljuk az f :, f ( függvéy deriválhatóságát Megoldás Rögzítsük egy potot és tekitsük az -ba a következő határértéket: f ( f ( ( ( + ( + Tehát az f függvéy az potba deriválható és f ( Az pot semmilye külöleges tulajdoságát em haszáltuk fel, ezért a függvéy mide potba deriválható és a derivált függvéy f :, f ( Az eredméy szemléletese azt jeleti, hogy az y paraboláak mide potjába ( va éritője Az M, potbeli éritő egyelete y ( vagy y Taulmáyozzuk az f :, f (, ahol függvéy deriválhatóságát Megoldás Rögzítsük egy potot ( f f ( k k, k

5 Deriválható függvéyek 5 mert k k, ha k {,,,, } és az összegek tagja va Tehát a függvéy mide potba deriválható és f ( Így a vizsgált függvéy derivált függvéye (vagy egyszerűe a deriváltja: f :, f (, Következméy Az f :, f ( függvéy deriváltja mide potba f ( c, ahol c, egy adott álladó Taulmáyozzuk az f :, f ( függvéy deriválhatóságát! Megoldás Rögzítsük először egy > számot Ha < akkor is f ( f ( pozitív ( > és így Tehát f (, ha > Ha < akkor az előzőkhöz hasolóa f ( f (, tehát f ( ha f ( f (, ha > < Ha akkor Ebből leolvasható,, h a < * hogy az potba em létezik az f deriváltja Tehát az f függvéy az halmazo deriválható 5 Deriválható függvéyek folytoossága Tétel Ha az f : D függvéy deriválható az D potba, akkor ez a függvéy folytoos az potba Bizoyítás Az értelmezés alapjá torlódási potja D -ek és f ( f ( f ( ( + α, ahol α (, tehát f ( f ( f ( ( α és így f ( f ( ( ( ( + f α ( Ebből kapjuk, hogy f ( f (, ami azt jeleti, hogy f folytoos az D potba 5 Jobb- és baloldali derivált A jobb- és baloldali határértékhez hasolóa értelmezhetjük egy függvéy jobbilletve baloldali deriváltját is

6 6 Deriválható függvéyek Értelmezés Ha D torlódási potja a (, D halmazak és létezik a f ( f ( < határérték, akkor ezt az f függvéy baloldali deriváltjáak evezzük az potba és f b ( -val vagy f ( -val jelöljük Tehát f ( f ( f b ( f ( Ha D torlódási potja a ( + D halmazak és létezik a f ( f ( >, < határérték, akkor ezt az f függvéy jobboldali deriváltjáak evezzük potba és f j ( -val vagy f ( + -val jelöljük Tehát f ( f ( f j ( f ( + Megjegyzés Ha torlódási potja a (, D és (, halmazokak, az f ( f ( b j f : > + D D függvéy potosa akkor deriválható az potba, ha Gyakorlatok Deriválhatók-e az alábbi függvéyek a megadott potokba? a f (, az potba; b f ( l, az és potokba; c f ( ( ( +, az és potokba; si d f ( e + + az és potokba;, ha e f ( az és potokba;, ha > f f ( arccos( az potba; l( +, g f ( az potba; 7 + 5, < +, h f ( + az potba;, <

7 Deriválható függvéyek 7, i f ( az potba si, < a Határozd meg az a, b paraméterek értékét úgy, hogy az f :(,, ( l,, e f ( függvéy deriválható legye e -be a + b + c, > e b Határozd meg az a, b paraméterek értékét úgy, hogy az f :[,], si,, f ( függvéy deriválható legye -ba, majd bizoyítsd + a + b,, be, hogy az így meghatározott a, b értékekre f (, [, ] 55 A gyökfüggvéy deriváltja ( Tekitsük az f :, +, ( f, * függvéyt > eseté ( ( ( ( Az f tehát mide > potba deriválható és ( Gyakorlatok Határozd meg a következő függvéyek maimális deriválhatósági tartomáyát és számítsd ki a deriváltját: ( 5 f ; f ( ; f ( ; f ( ( + ( Az epoeciális függvéy deriváltja Vizsgáljuk meg az f :, f ( a, a >, a függvéy deriválhatóságát t a a a a a a a la t t Tehát ( a a l a Sajátos esetbe ( e e

8 8 Deriválható függvéyek 57 A logaritmus függvéy deriváltja ( Legye f :, +, f ( l és > l + l l l( + t f (, t t tehát ( l, l > Ebből és a log a egyelőségből következik, la hogy ( loga la 58 A sziusz és a kosziusz függvéy deriváltja Számítsuk ki az f :, f ( si függvéy deriváltját! Rögzített eseté + si cos si si si + cos si + cos cos cos, mert a kosziusz függvéy mide potba folytoos Tehát a sziusz függvéy mide potba deriválható és ( si cos Számítsuk ki az f :, f ( cos függvéy deriváltját! Rögzített eseté: + si si cos cos si + si si, tehát ( cos si 59 Műveletek deriválható függvéyekkel Éppe úgy, mit a folytoosság vizsgálata eseté, azt várjuk, hogy a számolás szempotjából haszos megállapítai, mit modhatuk az összeg, szorzat, stb differeciálhatóságáról (deriválhatóságról

9 Deriválható függvéyek 9 Az összeg deriváltja Tegyük fel, hogy az f, g : D függvéyek deriválhatók a D tartomáy D torlódási potjába Deriválható-e az f + g függvéy az potba és ha ige, akkor hogya számíthatjuk ki deriváltját? A feltevés szerit létezik f ( f ( g( g( f ( és g ( Az ( f + g -hez tartozó ( f + g( ( f + g( ( ( f + g f ( g( háyados f ( f ( ( g g( +, és ebből ( f + g( ( f + g( f ( + g (, azaz f + g deriválható és a deriváltja az f és g deriváltjaiak összegével egyelő Rövid jelölés: ( f + g f +g Gyakorlatok Számítsd ki a következő függvéyek deriváltját: a ; b ; c ( Számítsd ki a következő függvéyek deriváltját és állapítsd meg a deriválhatósági tartomáyt: a f ( si+ cos; b f ( cos tg; c f ( ctg+ 5 ; d f ( log ; e 5 f ( + ; f f ( e + Ha az,,,, f f f f függvéyek ( * deriválható-e az k az potba deriválhatók, akkor f + f + f + + f f függvéy az potba? Ha ige, mi a deriváltja? Bizoyítsd be, hogy ha f és deriválható az -ba akkor f g is az, és g ( f g ( f ( g ( 5 Ha f és g egyike sem deriválható az -ba, következik-e ebből, hogy f + g sem deriválható az -ba? Szorzat deriváltja Tegyük fel, hogy az f, g : D függvéyek deriválhatók a D tartomáy D torlódási potjába Deriválható-e az f g függvéy az potba? k

10 Deriválható függvéyek A feltevés szerit létezik a g( g( g ( határérték Az f ( f ( f ( f ( g( f ( ( ( ( ( ( ( ( g f g f g + f g f ( g( f ( f ( ( f f ( g( + f (, egyelőség alapjá ( fg( ( fg( f ( g( + f ( g ( Tehát ha az f és függvéy az potba deriválható akkor az f g függvéy is g deriválható ebbe a potba és a deriváltja ( fg ( f ( g( + f ( g ( Rövid jelöléssel ( f g f g + f g Következméy Ha az f : D függvéy deriválható a D tartomáy D torlódási potjába, akkor a ( c f : D függvéy (c -álladó is deriválható az D potba és ( c f ( c f ( Gyakorlatok és feladatok Deriválhatók-e a következő -e értelmezett függvéyek? Ha ige számítsd ki a deriváltjukat is a f + + ; b ( f ; ( ( ( c f ( ( + ( + 5 ; d ( f + Számítsd ki a következő függvéyek deriváltját és állapítsd meg a deriválhatósági tartomáyt! a f ( l; b f ( e ; c f ( si ; d f ( ; e f ( 5 cos; f f ( l ( lg ; 5 g f ( l + tg ; h f ( ctg+ l 7 Ha az f, f, f függvéyek az potba deriválhatók, akkor az fff szorzat deriválható-e az potba? Ha ige, mi a deriváltja? Ha f, f,, f függvéyek deriválható függvéyek az potba, akkor és

11 Deriválható függvéyek f f f f deriválható függvéy-e és meyi a deriváltja? k k 5 Számítsd ki a következő függvéyek deriváltját: a f ( l e ; b f ( 7 si tg; c f ( log cos 5 6 a Bizoyítsd be, hogy ha a P [ X] poliom gyökei az,,, párokét külöböző valós számok, akkor { } \,,, b Számítsd ki az + + P ( +, P( PX ( X X+ poliom gyökei 7 Ha az f és g em deriválható az potba következik-e ebből, hogy f g sem deriválható az potba? Háyados deriváltja Vizsgáljuk meg az f, g : D f g összeget, ha,,, a függvéy deriválhatóságát az potba ha deriválhatók az D potba és g ( ( torlódási potja a D -ek! f Az f miatt elegedő az deriválhatóságát vizsgáli ha g deriválható g g g az potba és g( g( g( ( g g( ( g, g( g( g ( Tehát az g is deriválható és ( g ( Így az g g ( f g f egyelőség g alapjá az f g függvéy is deriválható az potba és f ( f ( f ( + f ( ( g g g( g f ( g ( f ( g( f ( g ( f ( g( g ( g (

12 Deriválható függvéyek f fg fg Érvéyes tehát a következő deriválási szabály: g g Példák Az f, g :, f ( és g( + függvéyek deriválhatók mide potba és g( >, Ezért f g mide potba deriválható és 6 ( 6 ( + ( ( Az f { k} ( ( si : \ +, f ( tg függvéy az értelmezési cos tartomáy mide potjába deriválható és egyelő -val ugyais cos si cos cos si ( si ( tg cos cos cos, + k ( k Hasolóa az f ( ctg függvéy eseté, ahol k ( k Gyakorlatok cos si si cos cos ( ctg si si si Számítsd ki az alábbi függvéyek deriváltját (a megadott potba, határozd meg a függvéy maimális értelmezési tartomáyát és maimális deriválhatósági tartomáyát: a f (, ; b f (, *, ; + + c f (, ; d f (, ± ; e f (, ; f f ( ; g f ( ; + l + h f ( ; i f ( + l ; j si f ( cos + ; e tg + si log k f ( ; l f ( ; m f ( e + cos + log

13 Deriválható függvéyek Összetett függvéy deriváltja A si vagy si függvéyek összetett függvéyek Az f ( si ( vagy f ( ( si si függvéy összetevői (kompoesei külö deriválhatók Általába hogya számolhatjuk ki az ( f g( f [ g( ] függvéy deriváltját (az potba az f és g deriváltjáak segítségével? f ( g( f ( g( ( ( f g f ( g( g( g( ( g g( f ( u f ( u ( g g(, u u u u ahol u g (, u g ( Ha akkor u u g(, tehát f ( g( f ( g( f ( g( g ( Rövide: ( f g ( f ( g( g ( Példák Az ( f függvéy az és ( és, tehát ( f Általába, ha m, * akkor Ha f ( + +, akkor m m m + f ( ( ( 5 9 Ha f ( si, akkor f ( 5 si cos összetevéséből származik + + Ha f ( cos ( +, akkor ( cos ( + ( cos( + cos ( + si( + ( + ( + cos ( + si( f 5 Ha f ( ( si si, akkor f ( si cos 6 Ha f ( si, akkor f ( cos ( ( ( ( ( 7 Ha f 5 6, akkor f + 8 Ha ( ( f a a, akkor

14 Deriválható függvéyek f ( ( a (, ha ( a, a a 9 Ha f ( si 5, akkor f ( si 5 5cos5 5si 5 cos5 Gyakorlatok I Határozd meg a következő függvéyek deriválási tartomáyát és számítsd ki a deriváltjukat: cos f ( e si ; f ( si + e cos ; f ( ; e si f ( e ( f l ; 6 f ( e l ; 7 f ( ; 8 f ( cos + si ; 9 f ( si ; l si + cos f ( si cos ; f ( + ; tg f ( ; si + cos f ( ( + ; f ( si + cos ; 5 ( f + 5 ; 6 f ( e ; 7 f ( l( ; 8 f ( tg ; si f 5 ; f ( log (, 8 9 ( ; f ( cos( ; f ( cos ; f ( lg( ; f ( tg ; 5 ( f si a ; 6 f ( cos si ; 7 f ( ; 8 f ( cos ; 9 f ( ( ; f ( + ; f ( l si ; f ( 5 l ( ; ( f ( tg + ; II + f ( e ; 5 f ( ( + + log Bizoyítsd be, hogy az f ( c +, függvéyre igaz az f ( f ( egyelőség + ( Vezess le egy deriválási szabályt a ( ( g * h f függvéyre, ahol f : D + és g : D deriválható függvéyek Eek a segítségével számítsd ki a következő függvéyek deriváltját: a f ( ; b f ( + ; c f ( ( si

15 Deriválható függvéyek 5 Bizoyítsd be, hogy ha az f : D függvéyek deriválhatók ij,,, akkor a ij f ( f ( f ( ( f ( f ( f (, D f ( f ( f ( függvéy is deriválható és f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( ( f ( f ( f ( + f ( f ( f ( + f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( Számítsd ki a következő függvéyek deriváltját: + a f ( ; b ( f + ; c f ( e + ; d f ( l l ; e f ( ( + si ( + ; f f ( e + ; g f ( l i f ( e l ; j f ( ; h ( ( f + e ; si ; k f e + ; l f ( e cos ; m; f ( ( si + cos 6 f ( f p ( + l + ; o f ( ; + e l cos e ; q f si + 7 ; ( ( 7 r f ( si si si ; s f + f (, > ( ( ( ( α 5 Számítsd ki az függvéy deriváltját, ha α irracioális szám! 6 Határozd meg a következő függvéyek grafikus képéhez a megadott potba húzott éritő egyeletét: a f ( + +, M (, ; b f ( cos, M (, ; c f ( l, (, l ; d M f ( e, M ; (, 7 f ( 6 Írd fel az éritő egyeletét a grafikus kép abszcisszájú potjába 8 f ( Mi az éritő egyelete az potba? 9 f ( ( ( + ( + Mi az -be húzott éritő egyelete? f ( ( ( + Mi az éritő egyelete az potba? A továbbiakba, ha félreértésre em ad okot, egyszerűe az potba húzott éritőről beszélük

16 6 Deriválható függvéyek f ( ( 7, az potba írd fel az éritő egyeletét! f ( 5 +, az y ordiátájú potokba írd fel az éritők egyeletét! Az f ( + függvéy grafikus képé határozzuk meg azt a potot, amelybe a grafikus képhez húzott éritő párhuzamos az y + egyeessel Az f ( ( ( + függvéy grafikus képéek melyik potjába húzott éritő halad át a (, poto? 5 Va-e az f ( és g( függvéyek grafikojáak egy közös éritője? 6 Határozd meg aak az egyeesek az egyeletét, amely az f ( + + függvéy grafikoját két helye ériti a + : \, f ( függvéy Határozd meg az a paraméter értékét úgy, hogy az potba a grafikus képhez húzott éritő az Oy tegellyel 5 -os szöget zárjo be 8 Határozd meg az m és az paraméter értékét úgy, hogy az f ( és + g ( m + + függvéyek abszcisszájú potba éritsék egymást 7 Adott az f { } 5 Az iverz függvéy deriváltja A folytoos függvéyek tulajdoságai alapjá ha I itervallum és az f : I függvéy folytoos, akkor f ( I is itervallum Az f : I f ( I függvéy szürjektív, tehát ha az f függvéy ijektív is, akkor létezik az f : J I iverz függvéy, ahol J f ( I A folytoos függvéyek tulajdoságaiból az is következik, hogy az iverz függvéy folytoos A következő tétel az iverz függvéy deriválhatóságát biztosítja, ha f deriválható és a deriváltja sehol sem Tétel Ha I és J itervallumok és f : I J bijektív, valamit f deriválható az potba és f (, akkor f deriválható az y f ( potba és igaz az alábbi egyelőség: ( f ( f ( f ( Bizoyítás f ( y f ( y, ahol az y y y y f ( f ( y f ( f ( y változócserét hajtottuk végre a határértékbe Ebből következik, hogy f deriválható y f ( -ba és igaz a tételbe szereplő egyelőség

17 Deriválható függvéyek 7 Következméy Ha f deriválható I - és f (, I, akkor f deriválható J f ( I - és ( ( ( ( is megkaphatjuk, ha az ( eredméyt előre is megmodhatjuk f f, I Ezt az összefüggést úgy f f f f( f ( ( egyelőséget deriváljuk Így az Példák Az f :,,, f ( si függvéy szigorúa övekvő a, itervallumo, tehát va iverze f :,, f ( arcsi Az iverz függvéy deriválási szabályát alkalmazva: ( arcsi cos( arcsi si ( arcsi, ha (, Az f :[, ] [, ], f ( cos függvéy szigorúa csökkeő és iverze f arccos : [, ] [, ], tehát si arccos cos arccos ( f ( ( arccos ha (, ( ( Az f :,, f ( tg függvéy szigorúa övekvő, iverze f :, (, f arctg, tehát ( arctg cos ( arctg + tg ( arctg + cos ( arctg Gyakorlatok Számítsd ki a következő függvéyek deriváltját és határozd meg a deriválhatósági tartomáyt: 5 a f ( ; b f ( arctg + arctg ; + c f ( arcsi ; d f ( arccos + ; e f ( 5arcsi; f arccos ( + ;,

18 8 Deriválható függvéyek + g f ( arctg i f ( arcsi( cos ; h f ( ( + arctg ; 5 A függvéy differeciálja Értelmezés Az f : D függvéyt differeciálhatóak evezzük az D potba, ha létezik olya m szám, amelyre f ( f ( m( A df ( :, df ( ( h m h függvéyt az f differeciáljáak evezzük az f potba Tehát az f függvéy akkor és csakis akkor differeciálható az potba, ha deriválható -ba és a függvéy differeciálja az -ba a df lieáris függvéy: df ( ( t f ( t ( 5 Magasabb redű deriváltak Értelmezés Az f : D függvéyt az D potba kétszer deriválhatóak evezzük, ha f deriválható az egy V köryezeté és az f : V D függvéy is deriválható az ( f ( f ( -val jelöljük D potba Az f másodredű deriváltját az potba Ha f deriválható a D halmazo akkor azt modjuk, hogy f kétszer deriválható a D - és a másodredű deriváltját ( f f -vel jelöljük Az f : D függvéyt másodredű deriváltak (második deriváltak evezzük és f -vel is jelöljük Értelmezés Azt modjuk, hogy az f : D függvéy -szer deriválható ( az D -szer deriválható az pot egy V D köryezeté és az ( -ed redű derivált deriválható az D potba Az potba, ha f ( ( ( f ( ( f ( deriváltjáak evezzük az deriválható D -, akkor az jelölést alkalmazzuk és ezt az f -ed redű potba Ha az f : D függvéy -szer ( f : D, ( ( ( ( f ( f ( függvéyt az f -ed redű deriváltjáak evezzük * Ha mide, eseté az f függvéy -szer deriválható egy potba (vagy egy halmazo akkor azt modjuk, hogy f végteleszer deriválható (az illető potba vagy halmazo ( Megegyezés szerit, a ulladredű derivált f f éppe a függvéyel egyelő

19 Deriválható függvéyek 9 Példák Az f :, k f ( ( k végteleszer deriválható és ( f k ( k!, Az f : \ { }, f ( ( ( (! f, ahol, + Az f ( e függvéy esetébe természetes kitevőjű hatváyfüggvéy ( f (, ha > k függvéy végteleszer deriválható és ( ( f e ( si si +,, ( 5 cos cos +,, 6 ( ( ( ( l ( 7 ( a a l a, ( a >! *,,, Gyakorlatok Az u: D és v: D függvéyek -szer deriválhatók Igazold, hogy a ( ( ( ( u+ v u + v ; b ( ( k ( k ( k u v C u v (A Leibiz-formula k Határozd meg f ( tartomáyo: -et az alábbi függvéyek esetébe (a maimális a f ( + ; b f ( l ; c ( d f ( ( + arctg Számítsd ki -t, -t és f e ; si f ( f ( f ( -t, ha f ( e cos( si Bizoyítsd be, hogy az alábbi függvéyek kétszer deriválhatók a megadott potokba: arctg, a f :, f (, ; +, < si, b f :, f (, ;, > 5 c f :, f ( 6,

20 Deriválható függvéyek 5 Határozd meg az a,, bc paraméterek értékeit úgy, hogy az f :, a + b, f (, ; függvéy kétszer deriválható c + + l ( +, < legye az -e 6 Határozd meg az a paraméter értékeit úgy, hogy az f :, a f ( e függvéy teljesítse az f ( f ( 8 f ( + f( összefüggést mide eseté 7 Bizoyítsd be, hogy az f :, f ( ( e függvéy -edik ( * deriváltja f ( ( +a + b e alakú, bármely eseté, ahol a, b valós számok Határozd meg az a és b valós számokat az függvéyébe! f f ( 8 Számítsd ki az :(,, 9 Adott az f ( c cos + c l függvéy -ed redű deriváltját! si függvéy, ahol c, c álladók Bizoyítsd be, hogy f ( + f ( Számítsd ki a következő függvéyek -ed redű deriváltját: a f :, f ( e ; b f :, f ( e ; c f :(,, f( l ; d :(,, f f ( l( ; e f : \{,}, f ( ( ; f f : \{,}, f ( + ; g : f, f ( ( cos ; h f :, f ( e Azt modjuk, hogy az f : D és g : D függvéyek grafikus képei ( k ( k az potba -ed redbe éritik egymást, ha f ( g (, k, és ( + ( ( + f g ( Vizsgáljuk meg, hogy háyad redbe éritik egymást az alábbi függvéypárok grafikus képei: a f ( és g ( + ; b f ( e és g ( + + Számítsd ki a következő görbék által bezárt szög mértékét: a f ( ( és g( ; b f ( siés g ( cos e,, Bizoyítsd be, hogy az f :, f ( P (, \, függvéy, ahol P [ X], potosa akkor végteleszer deriválható, ha P idetikusa ulla (Felvételi feladat, Kolozsvár ( (

21 Deriválható függvéyek A köyebb memorálás érdekébe összefoglaltuk a fotosabb deriválási képleteket és szabályokat f f deriválhatósági tart, m, * m m \{} a, a \ a a (, e e a, a, a a l a l (, log a, a >, a la (, si cos cos si tg tg \ (k + cos k ctg ctg si \ { k k } arcsi (, arccos (, arctg + arcctg + ( + { } ( f + g f +g ( f g f g + f g f f g f g g g ( f ( g ( f ( g ( g ( k k k ( ( ( f g C ( f g k f g f f + f f g g ( g ( g ( ( ( ( ( ( l ( (

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke B teszt 87 B teszt A világot csak hat szám vezérli. (Marti Rees) Ezt a köyvet öt betű.. Az = + +,, = sorozat határértéke ( + ) a) ; b) ; c) d) ; e) em létezik.. A lim{ e } határérték ({ } az törtrésze)

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja) Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények 9 Folytoos függvéye IV Folytoos függvéye Az előző fejezetbe adott f : D függvéy viseledését a D halmaz torlódási potjáa öryezetébe vizsgáltu Az pot em feltétleül tartozott a D halmazhoz ( D ) Ebbe a fejezetbe

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK Matematika emelt szit Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október. Fotos tudivalók

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3 Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév KÖZGAZDÁSZ SZAK Módszertai szigorlat követelméye, 2014. tavaszi félév A módszertai szigorlat a B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tatárgyak ayagát öleli fel. Szigorlatot az tehet, akiek a Matematika

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Matematika szigorlat (A1-A2-A3)

Matematika szigorlat (A1-A2-A3) Matematika szigorlat (A1-A2-A3) szóbeli kérdések kidolgozás ikkel, 2014-2016 Felhaszált források: 1. Szilágyi Brigitta előadásai készült saját jegyzet 2. Obádovics J. Gyula, Szarka Zoltá Felsőbb matematika

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag

Részletesebben

LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ

LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ 16..8. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ (MÁTRIX) SAJÁTÉRTÉKE, SAJÁTVEKTORA BSc. Maemaika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ Egy A: R R függvéy lieáris raszformációak evezük, ha eljesülek az alábbi

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 05. május 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazá az alábbi egyeleteket! a) si x cos x (6 pot) b) x x x (7 pot) a) cos x si x helyettesítése. Nullára redezve: si x si

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1 Stabilitás 2008.03.4. Stabilitás egyszerűsített szemlélet példa zavarás utá a magára hagyott redszer visszatér a yugalmi állapotába kvázistacioárius állapotba kerül végtelebe tart alapjelváltás Stabilitás/2

Részletesebben