Kitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK"

Átírás

1 Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k Z, k, amelyre f ( k) = k.. Az f, g:n N függvéyek teljesítik az f ( ) = g( ) egyelőséget mide N eseté. Bizoyítsd be, hogy ha f bijektív, akkor g() = 1, N 3. Határozd meg az összes f:r + R + bijektív függvéyt, amelyre 1 1 ab ( af ( a) + bf ( b)), a, b R+ 4. Határozd meg az összes olya elsőfokú f: R R függvéyt, amelyre f f... f = f 5. Határozd meg azokat a másodfokú f: R R függvéyeket, amelyekre f ( x + 1) = f (, R 6. Ha a R egy rögzített valós szám, bizoyítsd be, hogy az 1+ f ( x + a) = 1 egyeletet mide x R -re teljesítő függvéyek periodikusak Adjál példát ilye függvéyre 7. Adjál példát olya f:r R függvéyre, amely teljesíti az p f ( x + T ) = + p f ( egyelőséget mide x R eseté Bizoyítsd be, hogy mide ilye függvéy periodikus 8. Határozd meg az összes olya bijektív f: N N függvéyt, amelyre a g:n R x g ( = függvéy övekvő 9. Határozd meg az össze mooto és bijektív f:r R függvéyt, amelyre f x + f 1 ( ) ( = x, R 10. Legye P egy valós együtthatójú poliom. Határozd meg az összes olya f:r R függvéyt, amelyre f ( x + t) = P(, R ( t R rögzített) Bizoyítsd be, hogy em létezik olya f : R + R +, + + f ( x + y) = y, x y R Bizoyítsd be, hogy em létezik olya P R[ x] bijekció, amelyre, poliom, amelyre P ( x + ) + P( = P( x + 1), x R ( P 0)

2 70 Kitűzött feladatok. Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 13. Bizoyítsd be, hogy ha az f:r R függvéy teljesíti az f ( x + y) + f ( x y) = f ( y) egyeletet, mide x R eseté, akkor , x R vagy f( 1, x R Határozd meg az összes f:r R mooto függvéyt, amelyre f f f = 1R. A g : Z Z függvéy teljesíti a g ( x + y) g( + g( y), x, y Z, g ( 1) = g( 1) = 1 valamit g ( 0) = 0 összefüggéseket. Bizoyítsd be, hogy g( ) = (Helyi olimpia, 1985., Valeti Matroseco) 16. Szerkesszél olya f: R R függvéyt, amelyre f( f( )= 9x és az f grafikoja egyetle valódi szakaszt sem tartalmaz (Helyi olimpia, 1986., Ştefa Alexe) 17. Határozd meg azokat az f, g : N N függvéyeket, amelyek teljesítik az f ( g( ) = g( ) = x + 1 összefüggést mide x N eseté (Helyi olimpia, 1989., Arad megye, I. Crişa) 18. Létezek-e olya függvéyek, amelyek teljesítik az f ( y + ) = x + yf ( x + y) összefüggést bármely x, y R eseté? (Helyi olimpia, 1989., Dolj megye, Marcela Popescu) 19. Határozd meg az összes olya g : R R függvéyt, amelyre ( f g)( x ) f ( g( ), R, ha f:r R egy szigorúa mooto (rögzített) függvéy (D.M. Bătieţu) 0. Az f: R R ijektív függvéy teljesíti a következő feltételeket: o 1 f ( r) = r, r Q \ 1 ; o { } f ( x + y) = + f ( y),, y R ; o 3 f ( xy) = f ( y),, y R. a) Bizoyítsd be, hogy > 0, x R+, és hogy f szigorúa övekvő b) Határozd meg az összes ilye függvéyt (Helyi olimpia, 1985., Galaţi, C. Ursu) 1. Határozd meg az összes f: R R függvéyt, amelyre f f f = 1R és a g: R R, g ( = x + + f ( ) függvéy ijektív. a) Határozd meg az összes f:r R ijektív függvéyt, amelyre f ( ) =, R b) Határozd meg az összes g: R R szürjektív függvéyt, amelyre g g = g 3. Legye A P(E) egy rögzített halmaz és f ( X ) = A X, X P(E). Bizoyítsd be, hogy f bijektív és határozd meg az iverzét 4. Az f,g, h: R R függvéyek teljesítik a következő feltételeket: 1) g bijektív; ) 1 f ( g( + f ( g ( ) 6x + = 0, R ; 3) + f ( g( ) 6g( + 5 = 0 ; 4) h f = f h.

3 Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 71 a) Határozd meg f-et és g-t b) Bizoyítsd be, hogy létezik olya x 0 R, amelyre h ( h( x0 )) = x0 5. Határozd meg az összes olya f: R R ijektív függvéyt, amelyre ( f f... f )( + ( f f... f )( =, x R, m+ 1 ahol m N rögzített. (Helyi olimpia, Bukarest, 1990., D.M. Bătieţu) 6. Létezik-e olya f:r R ijektív függvéy, amelyre f ( x ( x x + 1)) f ( x ( x x + 1)) + 4, R? 7. m Bizoyítsd be, hogy potosa akkor létezik olya f:r R függvéy, amelyre a f (( a + 1) af ( x + a ) + 1 0, R,, ha a { 11} 8. Bizoyítsd be, hogy az f ( x + y) = max(, y) + mi( f ( y),, egyeletet teljesítő f:r R függvéyre x, y R = x, x R (Megyei olimpia 1990.) 9. Bizoyítsd be, hogy ha f, g:r R és g f = f g valamit g-ek egy vagy két fix potja va, akkor f f -ek va legalább egy fix potja 30. Bizoyítsd be, hogy em létezik olya f: N N szürjektív függvéy, amelyre f ( ) a, N, ha a > 0 (Jeică Crâgau) 31. Bizoyítsd be, hogy végtele sok olya f: N N bijektív függvéy létezik, amelyre ( f f... f )( x mide x N és N eseté (Io Savu) 3. Bizoyítsd be, hogy em létezik olya f: R R bijektív függvéy, amelyre Q vagy f ( x ) Q mide x R eseté (Jeică Crâgau) 33. Legye k N egy rögzített szám. Bizoyítsd be, hogy ha az f: R R függvéyre teljesül az ( f P)( = ( P f )( összefüggés mide x R eseté és mide k-ad fokú P poliom függvéyre, akkor = x, R (Sori Dăscălescu) 34. Határozd meg az összes olya övekvő f : R [ 0, függvéyt, amelyre a h : R [ 0,, h ( = függvéy övekvő mide g : R [ 0, övekvő g( függvéyre (M. Piticari) 35. Az f:n N bijektív függvéy teljesíti az f ( + 1) = f () + 1 összefüggést mide N -re. Bizoyítsd be, hogy f ( ) + páros mide N -re (Ali Pop) 36. Bizoyítsd be, hogy mide f : Z ( 0, függvéyre létezek olya g( g, h : Z ( 0, övekvő függvéyek, amelyekre f ( x ) =, x Z h( 37. Határozd meg az összes olya f: N N mooto függvéyt, amely teljesíti a következő feltételt: N m N úgy, hogy ( f f... f )( = x (D.M. Bătieţu, Ali Pop)

4 7 Kitűzött feladatok. Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 38. Határozd meg az összes szigorúa mooto f: R R függvéyt, amelyre f ( x + f ( y)) = f ( x + y) + 1,, y R (Megyei olimpia, 1993., Hargita megye) 39. Az f:n N övekvő függvéyre létezik olya x N, hogy f( < x. Bizoyítsd be, hogy va olya y N, amelyre f ( y) = y Adjál példát ilye függvéyre (Megyei olimpia, 1994., Szebe, M. Gârjoabă) 40. Bizoyítsd be, hogy ha az f, g: R R szigorúa mooto függvéyekre f f = g és g g = f, akkor f = g (Megyei olimpia, Călăraşi, 1993.) 41. Az f : [ 1, R szigorúa övekvő függvéy teljesíti az egyelőséget mide [ 1, ( f f f )( = x x + x -re. Számítsd ki f () 1 -et (Gh. Lazăr emlékversey, 199., Szász Róbert) 4. Az : N N függvéyekkel ( i = 1, k ) szerkesztett h f i 1 ( = max{ f i ( i = 1, k} és ( = mi{ f i ( i = 1, k} hogy h1 szürjektív és h ijektív. Bizoyítsd be, hogy f1 = f =... = f k (Matlap verseye, Kovács Lajos és Adrás Szilárd) 43. Határozd meg az összes olya f és g függvéyt (f, g: Z Z ), amelyekre f ( g( + y) = g( f ( y) +,, y Z és g bijektív 44. Határozd meg az összes f :{ x1, x,..., x } { x1, x,..., x } ijektív függvéyt, amelyre f( x ) x = f( x ) x =... = f( x ) x, ha 3 páratla és 1 1 h függvéyekről tudjuk, x i R, i =1, (Országos olimpia, 199., Botoşai, Ilie Romeo) 45. Bizoyítsd be, hogy ha az f: R R függvéy teljesíti az f ( x 3 ) és 3 3 f ( x ) 3 f ( x ) összefüggéseket mide x R eseté, akkor f em ijektív 46. Létezik-e olya em kostas függvéy, amelyek mide irracioális szám periódusa? Hát olya, amelyek mide racioális szám periódusa? 47. Bizoyítsd be, hogy ha f( x+ 1) f( + f( x+ 1) + 1 = f(, x R, akkor f periodikus 48. Az f: R R periodikus függvéyek T>0 egy periódusa. Bizoyítsd be, hogy ha az f (N) halmaz végtele, akkor T Q 49. Bizoyítsd be, hogy em létezik egyetle bijektív függvéy sem (f: N N ), amelyre f ( m) = f ( m) + f ( ) + 3 f ( m) f ( ), m, 1 (Balká olimpia 1991.) 50. Határozd meg az f: R R függvéyt, amely teljesíti a 4f ( + f ( + + f( + + 1= 4f( ( 1+ f( + ) egyeletet x R eseté (Bolyai Jáos emlékversey, 1993., Becze Mihály)

5 Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok Határozd meg az összes f: N N ijektív függvéyt, amelyre ( f( + 1) f( )) 1, N Ezek közül melyek bijektívek? (Laureţiu Duica emlékversey, 1997., Romeo Ilie) 5. Az f: R R függvéy teljesíti az ( f f )( = x egyelőséget mide x R - re. Ha f ( 0) = 0 számítsd ki f (1) -et (G.M /1997., Cristiel Mortici) 53. Adjál példát olya bijektív f: N N függvéyre, amely teljesíti az f( 3m+ m+ ) = 4f( m) f( ) + f( m) + f( ) egyelőséget mide m, N -re és em idetikusa ulla (Nemzetközi olimpiára javasolt feladat, 1996.) 54. Az f: R R övekvő függvéyre f ( ) = si x, π 0,. Bizoyítsd be, π hogy létezik a 0,, amelyre f ( a) > 1 (G.M. 6/1997., Lucia Dragomir) 55. Az f: R R, f ( x + a + b) + = f ( x + a) + f ( x + b) egyelőséget mide a x R -re teljesítő függvéy korlátos. Bizoyítsd be, hogy ha Q, akkor f b periodikus (Nemzetközi olimpiára javasolt feladat, 1997.) 56. Legye A N egy halmaz és f:a A egy függvéy, amely külöbözik az idetikus függvéytől. Bizoyítsd be, hogy ha f ( m) f ( ) = m, m, A, akkor A végtele halmaz (G.M. 9/1996., Mircea Becheau) 57. Létezek-e olya f: R R ijektív függvéyek, amelyekre abf ( x a f (x ) b, R, ha a 0? (RMT 1/1997., Ştefa Alexe) 58. Legye m és két azoos paritású rögzített természetes szám és f: R R egy szigorúa mooto függvéy. Bizoyítsd be, hogy ha ( m) ( ) + = 3x, x R, akkor f = 1 R vagy f f = 1R (Avram Iacu emlékversey, 1996., Doria Popa) 59. Határozd meg az összes f: A A csökkeő függvéyt, amelyre f ( x + y) = + f ( y), y 0, és A = ( 0, ] (RMT 1/1997., Răzva Tudora) 60. Határozd meg az összes f: R R ijektív függvéyt, amelyre ( f f )( = a, R ( a R -rögzített) (Gh. Vrâceau emlékversey, 1988.) 61. Határozd meg az összes f: Q Q függvéyt, amelyre f ( xy + f ( y)) = y + f ( xy),, y Q.

6 74 Kitűzött feladatok. Ijektivitás és egyéb tulajdoságok (Gh. Vrâceau emlékversey, 1994.) 6. Az f: R R függvéy teljesíti az f ( ) = x összefüggést mide x R -re. Számítsd ki f (0) -t majd bizoyítsd be, hogy ha 0, R, akkor f ijektív (Spiru Haret Gh. Vrâceau emlékversey, 1995.) 63. f, g : 0, 0, ijektív függvéyt, amelyre Határozd meg az összes ( ) ( ) f ( xf ( y)) = f ( y), 1, y ( 0, és g ( xg( y)) =, g( yg( ), y ( 0, (Helyi olimpia, 1991., Kostaca, Gh. Adrei) 64. Szerkessz olya f: N N függvéyt, amely mide N -re az értéket - szer veszi fel (Grigore Moisil emlékversey, 199.) 65. Legye g : R R egy szürjektív függvéy. Határozd meg az összes f: R R függvéyt, amelyre f g = g (Grigore Moisil emlékversey, 1997.) 66. Határozd meg az összes f:q Q függvéyt, amelyre f ( P( ) = P( ), Q és mide egész együtthatós P poliomra (Traia Lalescu emlékversey, 1985., M. Diacoescu) 67. Bizoyítsd be, hogy em létezek olya f: R R ijektív függvéyek, 1 1 f + f + 1 x x amelyekre f ( ax + b), R, 3 ha a, b R, a 0 és b > 4a (Megyei olimpia, Argeş, 1997., Cristiel Mortici) 68. Határozd meg azokat a szigorúa mooto f: R R függvéyeket, amelyekre f ( x + f ( y)) = f ( x + y) + 1,, y R (Megyei olimpia, Bacău, 1997.) 69. Az f ( x ax + b) = a + b egyelőséget teljesítő f: R R függvéy lehet-e ijektív, ha a, b R és f ( x a) + a, x R? (Megyei olimpia, Brassó, 1997., Sori Cocoroadă) 70. Bizoyítsd be, hogy az f ( ) = x egyelőséget mide x R -re teljesítő f: R R függvéy bijektív (Megyei olimpia, Brăila, 1997.) 71. Bizoyítsd be, hogy ha a h: R R h ( = f ( g( )) függvéy bijektív, akkor f és g (f, g: R R ) is azok (Megyei olimpia, Buzău, 1997.) 7. Ha f: R R és ( f f f )( = x 9x + 5, számítsd ki f (5) -t (Megyei olimpia, Călăraşi, 1997., F. Cojocaru) 73. Határozd meg az f : R [ 1,1 ] függvéyt, ha f ( f ( + = si x( + cos, R. (Megyei olimpia, Dolj, 1997., Euge Radu)

7 Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok Legye f: R R egy olya ijektív függvéy, amelyre létezik a, b R úgy, hogy f (1 = f ( ax + b), R. Lehet-e f szürjektív? (Megyei olimpia, Iaşi, 1997.) 75. Az f, g: R R függvéyek teljesítik az f ( ) = g( egyelőséget mide x R -re. a) Bizoyítsd be, hogy ha g szürjektív, akkor f ( 0) = 0. b) Igazold, hogy ha g ijektív, akkor igaz a következő kijeletés: f potosa akkor ijektív, ha f( 0, x R \ { 0}. (Megyei olimpia, Suceava, 1997., Da Popescu) 76. a) Bizoyítsd be, hogy létezik két (f és g ) poliom függvéy úgy, hogy x (3x + 1) = g (, R b) Igazold, hogy f és g együtthatói em lehetek mid racioálisak (Maria Elea Paaitopol) 77. Bizoyítsd be, hogy mide függvéy felírható egy páros és egy páratla függvéy összegekét Egyértelmű-e ez a felírás? 78. Bizoyítsd be, hogy bármely f, g : [ 0,1] R függvéyekre létezik x, y 1 úgy, hogy + g( y) xy Határozd meg az f, g, h: R R függvéyeket úgy, hogy teljesüljö a ( h g f )( x + y + z) + ( g f )( y + z) + f ( z) = x + y + 3z egyelőség mide x, y, z R eseté (G.M. 5/1983., Viorel Bădilă) 80. Bizoyítsd be, hogy ha a, b R+ és az f : R [ 0, b] függvéy teljesíti az f ( x a) + f ( x + a) = b egyelőséget mide x R eseté, akkor f periodikus Adjál példát ilye függvéyre (Gheorghe Adrei) 81. Az f :R 01, függvéy teljesíti az [ ] + f ( x+ a) + f ( x+ 3a) + f ( x+ 5a) =1 egyelőséget mide x R -re. ( a R -rögzített). a) b) c) Bizoyítsd be, hogy a g ( = f Igazold, hogy f periodikus Adjál példát ilye függvéyre ( + f ( x + a) függvéy periodikus 8. Bizoyítsd be, hogy az f: R R f ( x + 1) + f ( x 1) = egyelőséget mide valós x-re teljesítő f függvéy periodikus 83. Va-e az ( f f )( = x, R függvéyegyeletek em bijektív megoldása? Hát szigorúa mooto megoldása? Számítsd ki f ( 0) -t f, = ax + bx + c ( a, b, c R, a 0) függvéy. a) Bizoyítsd be, hogy a és a + c Adott az : [ 1,1 ] [ 1,1 ] [ 0,1]

8 76 Kitűzött feladatok. Ijektivitás és egyéb tulajdoságok b) Határozd meg a legagyobb a-t, amelyre f ijektív c) Ha a = 1 határozd meg b -t és c -t úgy, hogy f szürjektív legye d) Bizoyítsd be, hogy a + b + c 4 e) Igazold, hogy a + b + c 5 f : 0,, f( xy) = f( + f( y) egyeletet 85. Bizoyítsd be, hogy az ( ) R teljesítő függvéy ijektív, ha 0, ( 0, \ { 1} Adjál példát ilye függvéyre 86. Létezek-e olya f és g függvéyek, amelyekre ( f g)( = x és ( g f )( = x, x R? (Aurel Ee) 87. Határozd meg az f ( + y) = f ( x + y) + f (0) egyelőséget mide 88. x, y R -re teljesítő ijektív függvéyeket (f:r R) Va-e olya : ( 0, ) ( 0, f bijektív függvéy, amelyre ( 0 + f ( x + y) = y,, y,? 89. Bizoyítsd be, hogy bármely f: R R függvéy felírható két ( f1, f : R R ) szürjektív függvéy összegekét 90. Az f: R R függvéy teljesíti az f ( ) = x + 1 egyeletet mide x R eseté. Bizoyítsd be, hogy a g( = x függvéy em ijektív Határozd meg az összes : R [ 1, f szürjektív függvéyt, amelyre f ( x + f ( y)) = + xf ( y) + f ( y),, y R. Bizoyítsd be, hogy em létezik olya f: R R ijektív függvéy, amelyre f (1, R. Határozd meg az összes olya f: R R szigorúa övekvő függvéyt, amelyre f ( x + f ( y)) = f ( x + y) + 1,, y R. 94. a) Szerkesszél olya szürjektív függvéyt [ 1,1 ] -ről [ 11], -re, amely mide értékét végtele sokszor veszi fel b) Szerkessz olya f: N N szürjektív függvéyt, amely mide értékét végtele sok külöböző helye veszi fel és igazold, hogy mide ilye f-re létezik g: N N, amely szité redelkezik ezzel a tulajdosággal és a h: N N N, h ( = (, g( ) függvéy bijektív (Gh. Ţiţeica emlékversey, 1988.) f : 0,1 0, ] függvéy mide x, y [ 0, 1] és + y [ 0, 1] -re teljesíti az f ( + y = + f ( y) egyelőséget Bizoyítsd be, hogy 95. Az [ ] [ 1 f ( ) =, [ 0,1] Adjál példát ilye függvéyre 96. Az f: R R függvéy teljesíti az f( 0) = 1, f( 1) = és f ( + 1) f ( 1) = f ( ) + ( 1), N összefüggéseket. Bizoyítsd be, hogy f szigorúa övekvő és f ( + 1) f ( 1) = f ( ) m, N

9 Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 77 (Titu Adreescu) 97. Legye α egy irracioális szám. Bizoyítsd be, hogy az f : N [ 0,1) f ( ) = { α} függvéy ijektív 98. Bizoyítsd be, hogy az : R [ 0,1) f, ( { x } f = függvéy em ijektív ( N -rögzített páratla szám) 99. Határozd meg az összes olya f: N N szürjektív függvéyt, amelyre f ( ) + ( 1), N 100. Lehet-e egy másodfokú függvéy R \ Q -ra való leszűkítése ijektív? Hát a Q- ra való leszűkítése? 101. Határozd meg az f és g (f, g: R R) bijektív függvéyeket, amelyekre 1 + f ( g( ) g( = 3, x R és f ( g( ) + f ( g ( ) x = 4, x R { } x 3 1 (1989) a) Ha =, R \ 3,0, számítsd ki -et x ( ) b) Ha = x + számítsd ki -et x Határozd meg az összes olya f: N N függvéy, amelyre f ( 0) = 0 és f ( x y ) = f ( y), > y eseté Az f: N N függvéy teljesíti az f( xy) = f( f( y) egyelőséget mide x, y N -ra. Meyi lehet f(05), ha f ( 154) < 601 és f szigorúa övekvő? 105. Jelöljük A-val azokak a bijektív f { 1,,..., } { 1,,..., } : függvéyekek a f (1) f () f ( ) halmazát, amelyekre.... Bizoyítsd be, hogy ha 1 f1, f A -ra f 1 f A, akkor A-ba legtöbb két elem va 106. Határozd meg az összes f: Z Z függvéyt, amelyre f ( x + y) = + f ( y),, y Z Ezek közül melyek bijektívek? Mi törtéik, ha f:q Q alakú függvéyeket keresük? 107. Bizoyítsd be, hogy em létezik f:r Q bijektív függvéy úgy, hogy f ( xy) = f ( y),, y R 108. a) b) c) d) e) f) g) Legye A és B két véges halmaz és A = m, B =. f : A B ijektív m ; f : A B szürjektív m ; f : A B bijektív m= ; Háy ijektív függvéy létezik? ( f : A B ) Háy bijektív függvéy létezik? ( f : A B ) Háy szürjektív függvéy létezik? ( f : A B ) Háy szigorúa övekvő függvéy létezik? ( f : A B )

10 78 Kitűzött feladatok. Ijektivitás és egyéb tulajdoságok h) 109. Háy övekvő függvéy létezik? Határozd meg az összes olya egész együtthatójú bijektív poliomiális függvéyt, amelyre = f ( x ) + a, R (G.M. 10/1996.) 110. Határozd meg az összes olya f: R R függvéyt, amelyre f( A1) + f( A) f( A ) = 0, ha A 1, A,..., A egy szabályos oldalú sokszög csúcsaiak koordiátái ( rögzített) (Válogatóversey, 1996., Gefry Barad) 111. Az f1, f,..., f : R R additív függvéyekre f1 ( f (... f ( = ax, R. Bizoyítsd be, hogy létezik R i 1,,..., úgy, hogy f i ( = bx bármely b és { } x R -re (Válogatóversey, 1996., Mihai Piticari, Sori Rădulescu) 11. Legye α egy sík és f :α α egy függvéy, amely megőrzi a háromszögek kerületét (mide A B, C α K( f ( A) f ( B) f ( C) ) K( ABC ) ha (A,B,C em kollieárisak). Bizoyítsd be, hogy Szerkesszél olya, = f : Q + Q + f ( A) f ( B) = AB, A, B α (Országos olimpia, 199.) függvéyt, amelyre f ( xf ( y)) =, x, y Q+ y (Nemzetközi olimpiára javasolt feladat, 1990.) Határozd meg az összes olya f: R R függvéyt, amelyre f ( x + f ( y)) = y + ( ),, y R (Nemzetközi olimpiára javasolt feladat, 199.) Létezik-e olya f: N N függvéy, amely teljesíti az alábbi összefüggéseket: a) f ( 1) = ; b) f ( f ( )) = f ( ) + ; c) f ( ) < f ( + 1), N? (Nemzetközi olimpiára javasolt feladat, 1993.) 116. Létezik-e olya f: N N függvéy, amelyre f ( + 1) > f ( f ( )) + 1, N? (Octogo 1/1998., Tuzso Zoltá) 117. Határozd meg az összes olya f: R R függvéyt, amelyre f ( x + f ( y) + z) = y + + xf ( z),, y, z R (Octogo 1/1997., Becze Mihály, Flori Popovici)

11 Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 79 π π 118. Határozd meg az összes olya f :, R+ függvéyt, amelyre π π π π f ( x + y) f ( y) mide olya x, y,, amelyekre x + y, π valamit π cos x, x, (Octogo 1/1999., Becze Mihály, Flori Popovici) 119. Határozzuk meg azokat az f ( poliomokat, amelyekhez található olya P ( poliom, amely kielégíti az f x ) = P( ) azoosságot (Kömal 5/1997.) 10. Határozd meg az összes olya f: N N függvéyt, amelyre f ( m + f ( )) = f ( f ( m)) + f ( ) (Nemzetközi olimpia, 1996.) 11. Határozd meg az összes olya f: R R függvéyt, amely mide valós x és y eseté kielégíti az f (( x y) ) = ( ) xf ( y) + y függvéyegyeletet (Kömal 5/1996.) 1. Igazold, hogy ics olya f: R R függvéy, amely mide valós x eseté kielégíti az f ( 1 + ) = 1 x, és f ( ) = x feltételeket ( 13. Legye f 1, f,..., f a valós számoko értelmezett valós értékű függvéyek egy tetszőleges (végtele) sorozata. Bizoyítsátok be, hogy létezek olya ϕ 1, ϕ,..., ϕ1994 függvéyek, amelyekkel bármelyik f előállítható úgy, hogy éháyukat valamilye sorredbe egymás utá alkalmazzuk (Kömal 4/1995.) 14. Írd fel az = si x, f:r R függvéyt két szigorúa övekvő függvéy külöbségekét 15. Határozd meg az összes P:R R poliom függvéyt, amelyre ( P( ) ( P( y)) = P( x + y) P( x y), x, y R Adjál példát olya f, g:c C függvéyekre, hogy f 1, f g, g 1 C C Adott az = 4x x, f :[ 0,1] [ 0,1] x 0 [ 0,1] függvéy és az f f = g, g g = f és x = f ( x + 1 sorozat, ahol. Bizoyítsd be, hogy végtele sok x 0 -ra az ( x ) N sorozat periodikus 18. a) Szerkessz olya P egész együtthatós poliomot, amelyek gyöke + 3 b) Szerkessz olya egész együtthatós P poliomot, amelyek gyöke Létezik-e olya P Z[] x poliom, amelyre P( 7 ) = 5 és P ( 15) = 9? 130. Határozd meg az összes olya egész együtthatós P poliomot, amelyre 16P( x ) = ( P(), R 131. Határozd meg az f ( x + y) + f ( xy) = cos y egyeletet mide x, y R eseté teljesítő f függvéyeket )

12 80 Kitűzött feladatok. Ijektivitás és egyéb tulajdoságok Határozd meg az f ( x + y) + f ( x y) = + 6xy3 f ( y) + x egyelőséget mide x, y R eseté teljesítő függvéyeket 133. Az f: N R függvéyt az f ( + 1) = f ( ) + 3 f ( ) 3 összefüggésekkel értelmeztük. Bizoyítsd be, hogy és f ( 1) = f ( ) N mide N -ra 134. Bizoyítsd be, hogy ha az f: R R additív függvéy korlátos valamely valódi itervallumo, akkor f lieáris

KITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA

KITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA Kitűzött feladatok a X. osztály számára 7 KITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA. Legye A egy véges halmaz, amelyre A. Határozd meg az A elemeiek számát úgy, hogy létezze f : A A P(A) bijektiv függvéy.

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be, 6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

KITŰZÖTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA

KITŰZÖTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA Kitűzött eladatok 15 KITŰZÖTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA 1. Bizonyítsd be, hogy nem létezik olyan : R R üggvény, amely teljesítené az alábbi egyenlőségek valamelyikét: a) ( x 1) + (1 x) x, x R; b)

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke

Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk: Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke B teszt 87 B teszt A világot csak hat szám vezérli. (Marti Rees) Ezt a köyvet öt betű.. Az = + +,, = sorozat határértéke ( + ) a) ; b) ; c) d) ; e) em létezik.. A lim{ e } határérték ({ } az törtrésze)

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

I. rész. Valós számok

I. rész. Valós számok I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =

Részletesebben

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819. 3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!! 4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat! megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások

Részletesebben

II. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK

II. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK Itegrálási módszerek 5 II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A parciális itegrálás módszere Ha az f, g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo, akkor tudjuk, hogy a szorzatuk

Részletesebben

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel? 1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai

Részletesebben

A primitív függvény és a határozatlan integrál 7

A primitív függvény és a határozatlan integrál 7 A primitív függvéy és a határozatla itegrál 7 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Korábbi taulmáyaitok sorá láthattátok, hogy sok műveletek, függvéyek va fordított művelete, iverz függvéye

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2 ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i

Részletesebben

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1. Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos

Részletesebben

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit! Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Bevezető analízis II. példatár

Bevezető analízis II. példatár Bevezető aalízis II. példatár Gémes Margit, Szetmiklóssy Zoltá Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Matematikai Itézet 06. ovember 3. Tartalomjegyzék. Bizoyítási módszerek, valós számok 3..

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Függvényhatárérték-számítás

Függvényhatárérték-számítás Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről

Részletesebben

Megoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA

Megoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA Megoldott eladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA. Az : R R üggvény teljesíti az ( + y) = ( a y) + ( y) ( a ) összeüggést bármely,y R esetén (a egy rögzített valós szám). Bizonyítsd

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Bevezetés az algebrába komplex számok

Bevezetés az algebrába komplex számok Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

BSc Analízis I. előadásjegyzet

BSc Analízis I. előadásjegyzet BSc Aalízis I. előadásjegyzet 2009/200. őszi félév Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék 200. április 30. ii Tartalomjegyzék Előszó v. Bevezetés.. Logikai állítások,

Részletesebben

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

Határértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12

Határértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12 Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Draft version. Use at your own risk!

Draft version. Use at your own risk! BME Matematika Itézet Aalízis Taszék Adai Attila Bevezető aalízispéldák példatár éháy BSc-s órához 8 Tartalomjegyzék. Halmazalgebra. Teljes idukció 3. Relációk, függvéyek 3 4. Számosságok 6 5. A valós

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

A1 teszt 7. kifejezés értéke (x,

A1 teszt 7. kifejezés értéke (x, A teszt 7 A teszt (Algebra IX. osztály) Szeretük és ápoluk kell a tévedést, mert ő a megismerés ayaöle. (Nietzsche). Az E y y = + + y + y kifejezés értéke (, y ) a), y, ; b) függ -től és y -tól; c) csak

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f

Részletesebben

Andai Attila: november 13.

Andai Attila: november 13. Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................

Részletesebben

1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!

1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat! Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY I. FÉLÉVÉHEZ

FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY I. FÉLÉVÉHEZ FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY I. FÉLÉVÉHEZ ÖSSZEÁLLÍTOTTA LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest 2007-07-25 A Halmazok és a Relációk témakörbe megoldott, letölthet példák találhatók Bruder

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21. Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy

Részletesebben

= λ valós megoldása van.

= λ valós megoldása van. Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

3 1, ( ) sorozat általános tagjának képletét, ha

3 1, ( ) sorozat általános tagjának képletét, ha Gyakolatok és feladatok. Hatáozd eg a kvetkező, ekuzíva ételezett soozatok általáos tagját: a), = = " ³, ; (felvételi feladat,99., Teesvá), b),, =, = " ³ ; (felvételi feladat, 99., Teesvá) c) =, = 4 =

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

N - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

N - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Brósch Zoltá (Debrecei Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimáziuma) N - edik gyökvoás DEFINÍCIÓ: (Négyzetgyökvoás) Egy em egatív x valós szám égyzetgyöké azt a em egatív valós számot értjük, amelyek égyzete

Részletesebben

6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai

6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai 6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.

Részletesebben

( ) ; VI. FEJEZET. Polinomok és algebrai egyenletek. Polinomok és algebrai egyenletek 215. VI.2.7. Gyakorlatok és feladatok (241.

( ) ; VI. FEJEZET. Polinomok és algebrai egyenletek. Polinomok és algebrai egyenletek 215. VI.2.7. Gyakorlatok és feladatok (241. Poliomo és algebrai egyelete 5 VI FEJEZET Poliomo és algebrai egyelete VI7 Gyaorlato és feladato ( oldal) A övetező ifejezése özül melye moomo? Háy változósa, háyad foúa és meyi az együtthatóju? 7 XX X,,

Részletesebben

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k. 8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {

Részletesebben

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1. PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /

Részletesebben

Komplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat:

Komplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat: 6 fejezet Komplex számo A omplex szám algebrai alaja D 61 Komplex száma evezü mide olya a+bi alaú ifejezést amelybe a és b valós szám i pedig az összes valós számtól ülöböz épzetes egysége evezett szimbólum

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

Matematika B4 I. gyakorlat

Matematika B4 I. gyakorlat Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok . gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 05. május 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazá az alábbi egyeleteket! a) si x cos x (6 pot) b) x x x (7 pot) a) cos x si x helyettesítése. Nullára redezve: si x si

Részletesebben