Draft version. Use at your own risk!

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Draft version. Use at your own risk!"

Átírás

1 BME Matematika Itézet Aalízis Taszék Adai Attila Bevezető aalízispéldák példatár éháy BSc-s órához 8

2

3 Tartalomjegyzék. Halmazalgebra. Teljes idukció 3. Relációk, függvéyek 3 4. Számosságok 6 5. A valós és a komplex számok elemi tulajdoságai 7 6. Sorozatok 7. Sorok Kovergeciakritériumok Hatváysorok Cesáro-összegzés Határérték és folytoosság 9 9. Differeciálhatóság. Határozatla itegrál 6. Határozott itegrál 8. Metrikus terek Normált terek Függvéysorozatok, függvéysorok Kovergeciatartomáy Egyeletes kovergecia Függvéysorozat deriválása és itegrálása Taylor-sorfejtés Approximáció Vektorterek Mátrixszámítás 5 8. Egyeletredszerek Fourier-sorfejtés 59. Többváltozós függvéy határértéke és folytoossága 6. Többváltozós függvéy deriválása 63. Többváltozós függvéyek itegrálása 7 3. Vektoraalízis Komplex függvéyta Differeciálegyeletek 94

4 Előszó A feladatok a Matematika A, -A, -A3; Iformatikusok aalízis, -; Matematikusok aalízis és órákhoz tartozó gyakorlatokról származak agyrészt. A haladóbb szitű példákat H, a fizikai alkalmazáshoz kapcsolódó példákat F, a matematikai tételek bizoyítását tartalmazó példákat pedig E jelzi. Külö köszööm Dr. Tóth Jáosak a példatár godos átézést, így jele formájába kevesebb hibát és elírást tartalmaz. Örömmel fogadom a példatárral kapcsolatos megjegyzéseket az címre.

5

6 . Halmazalgebra I. Legye A, B és C tetszőleges halmaz. Bizoyítsuk be az alábbi azoosságokat.. A B \ C) = A B) \ A C). A \ B) B = A B 3. A B) \ B = A \ B 4. A \ B) \ C = A \ C) \ B \ C) 5. A \ B C) = A \ B) A \ C) 6. A B) C = A C) B C) 7. A B) C = A C) B C) 8. A \ B) C = A C) \ B C) 9. A B) C D) = A B \ D) ) A \ C) B D) ) C D) II. Legye A, B és C halmaz. Az alább defiiáladó X és Y halmazra teljesül-e az X Y vagy az Y X tartalmazás?. X = A B) \ C, Y = A \ C) B \ C). X = A \ C, Y = A \ B) B \ C) 3. X = A \ B \ C), Y = A \ B) A B C) III. Bizoyítsuk a halmazredszerekre voatkozó alábbi összefüggéseket. ) ). A i B j = A i Bj ) i I j J i I j J ) ). A i B j = A i Bj ) i I j J i I j J ) 3. A \ A i = i IA \ A i ) i I ) 4. A \ A i = i IA \ A i ) i I IV. Mide N eseté legye A halmaz.. Mutassuk meg, hogy a A k halmazak potosa azok az elemei, amelyek legfeljebb véges N k= számú kivétellel mide N eseté az A halmazhoz tartozak.. Mutassuk meg, hogy a A k halmazak potosa azok az elemei, amelyek végtele sok N k= N eseté az A halmazhoz tartozak.. Teljes idukció I. Bizoyítsuk be az alábbi egyelőségeket.. 4. k = k= + ). k ) = 5. k= k = k= + ) + ) 6 k ) = 4 ) 3 k= k= k= k 3 = + ) 4 kk + ) = + ) + ) 3

7 7. k= kk + ) = + II. Teljes idukcióval igazoljuk az alábbiakat.. Legye a, d R és tekitsük az a = a + )d képlettel megadott számtai sorozatot. Bizoyítsuk be, hogy mide N számra k= a k = a + a ) = a + )d ) teljesül.. Legye a R, q R\{, }, és tekitsük az a = a q képlettel megadott mértai sorozatot. Bizoyítsuk be, hogy mide N számra a + a + a a = a q a q = a q ). q 3. Igazoljuk, hogy mide p N és N \ {} természetes számra teljesül. k p = k= p i ) ) + p i + p + ) j i j) p i j i= j= III. Bizoyítsuk be az alábbi egyelőtleségeket.. Ha x > valós szám, és x valamit N \ {, }, akkor + x) > + x teljesül.. Ha N \ {, }, akkor > Ha N \ {, }, akkor )!!) > Legye a, a,..., a pozitív valós szám, ahol. Igazoljuk a harmoikus, mértai és számtai közép közötti egyelőtleséget. mi a k k 5. Mide < N eseté k= a k k= k <. ) a k IV. Biomiális kifejtés.. Legye, k N, ahol k <. Igazoljuk, hogy ekkor ) ) ) + + =. k k + k + k= k= a k max k a k

8 . Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges a, b valós és természetes számra a + b) = i= ) a i b i. i 3. Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges a, b, c valós és természetes számra a + b + c) = k ) ) k a k b k c k k. k = k = 4. Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges a, b, c, d valós számra és természetes számra a + b + c + d) = k k k k = k = k 3= k k ) ) k k k 5. Igazoljuk, hogy mide N \ {} eseté teljesülek az alábbiak.. 3. k k ) = k. ) ) k = k 4. k= k= 3. Relációk, függvéyek I. Legye R X X reláció. Bizoyítsuk be a következőket.. Az R reláció potosa akkor reflexív, ha id X R.. Az R reláció potosa akkor trazitív, ha R R R. 3. Az R reláció potosa akkor szimmetrikus, ha R = R. 4. Az R reláció potosa akkor atiszimmetrikus, ha R R id X. 5. Potosa akkor teljesül, hogy R R =, ha R =. k 3 ) a k b k c k3 d k k k3. ) k = k ) ) k = k II. Az alábbi relációk közül melyik reflexív, trazitív, atiszimmetrikus, szimmetrikus, redezés, illetve ekvivaleciareláció? Az ekvivaleciarelációkál adjuk meg az ekvivaleciaosztályokat és a faktorhalmazokat. {. x, y) R R x + y }. {x, y) R R xy = } { 3. x, y ), x, y )) R R c Rx x = c) y y = 3c)) } III. Bizoyítsuk be az alábbiakat.. Ha A halmaz, és {x, y} A, akkor x, y A.. Ha A halmaz, és x, y) A, akkor x, y A. 3. Ha f függvéy, akkor Ra f, Dom f P f). 4. Ha f : A B függvéy, akkor f P P P A B))). k= k= IV. Legye f függvéy. Igazoljuk, hogy f potosa akkor ijektív, ha f függvéy. 3

9 V. Legye A, B és C tetszőleges halmaz. Mutassuk meg a Descartes-szorzat defiíciója alapjá, hogy A B C) = A B) C em mide esetbe teljesül. VI. Mutassuk meg, hogy a relációk kompozíciója asszociatív művelet. Vagyis mide R X Y, R Y Z és R 3 Z V relációra teljesül. R 3 R ) R = R 3 R R ) VII. Mutassuk meg, hogy a kiválasztási axióma ekvivales azzal, hogy mide függvéyek létezik jobbiverze. Azaz mide f függvéyhez létezik olya g : Ra f Dom f függvéy, hogy f g = id Ra f. VIII. Legye A i ) I olya halmazredszer, melyek mide A i halmaza egyelemű. Vagyis i I xx A i )) x, y x A i y A i ) x = y))). A kiválasztási axiómára való hivatkozás élkül mutassuk meg, hogy i I A i. IX. Legye A és B tetszőleges halmaz, és legye H FA, B) olya részhalmaza az A halmazból B halmazba képező függvéyek halmazáak, melyre teljesül, hogy mide h, h H eseté h h vagy h h.. Mutassuk meg, hogy f = H függvéy.. Mutassuk meg, hogy ha mide h H függvéy ijektív, akkor az f = H függvéy is ijektív. X. Legye E tetszőleges halmaz, és A, B E. Mutassuk meg, hogy mide x E elemre. χ E\A x) = χ A x);. χ A B x) = χ A x)χ B x); 3. χ A B x) + χ A B x) = χ A x) + χ B x) teljesül, ahol tetszőleges Z E halmaz eseté {, ha x / Z, χ Z : E {, } x, ha x Z. XI. Mutassuk meg, hogy mide N természetes számhoz létezik egyetle olya j, k) N N, kk + ) melyre = + j és j k teljesül. Eek a segítségével adjuk meg egy N N N bijekciót. XII. H Legye E, F, G és H tetszőleges halmaz, valamit f : E F, g : F G és h : G H tetszőleges függvéy. Mutassuk meg, hogy ha g f és h g bijekció, akkor f, g és h is bijekció. XIII. H Legye S = FN, R), vagyis S az N R függvéyek halmaza. Defiiáljuk az alábbi függvéyeket. ) ) C : S S s sk) k T : S S k= s ) s)) 4

10 . Mutassuk meg, hogy C T C T = id S teljesül.. Igazoljuk, hogy C T bijekció. 3. Mutassuk meg, hogy C is bijekció, és C = T C T. XIV. H Mide, k N eseté jelölje N, k) azt a számot aháy módo lehet egy elemű halmaz elemeit k darab osztályba soroli. Mutassuk meg, hogy. S, k) megegyezik az {,..., } {,..., k} szürjektív függvéyek számával;. S, ) =, továbbá < eseté S, ) =, S, ) =, S, ) = ; 3. a k > esetbe S, k) = ; 4. a < k esetbe S, k) = ks, k) + S, k ); 5. a < k esetbe S, k) = k! j= k ) k ) j k j) j teljesül. Az S, k) számokat másodfajú Stirlig-számokak evezzük. XV. H Mutassuk meg, hogy egy háromelemű halmazo. a relációk száma 5;. a reflexív relációk száma 64; 3. a szimmetrikus relációk száma 64; 4. az atiszimmetrikus relációk száma 6; 5. a trazitív relációk száma 7; 6. a reflexív és szimmetrikus relációk száma 8; 7. a reflexív és atiszimmetrikus relációk száma 7; 8. a reflexív és trazitív relációk száma 9; 9. a szimmetrikus és atiszimmetrikus relációk száma 8;. a szimmetrikus és trazitív relációk száma 5;. az atiszimmetrikus és trazitív relációk száma 5;. a reflexív, szimmetrikus és atiszimmetrikus relációk száma ; 3. a reflexív, szimmetrikus és trazitív relációk száma 5; 4. a reflexív, atiszimmetrikus és trazitív relációk száma 9; 5. a szimmetrikus, atiszimmetriukus és trazitív relációk száma 8; 6. a reflexív, szimmetrikus, atiszimmetrikus és trazitív relációk száma. XVI. H Legye N \ {}. Mutassuk meg, hogy egy elemű halmazo. a relációk száma ) ;. a reflexív relációk száma ) ; 3. a szimmetrikus relációk száma +) ; 4. az atiszimmetrikus relációk száma 3 ) ; 5. a trazitív relációk száma a szerző ismerete szerit még megoldatla probléma; 5

11 6. a reflexív és szimmetrikus relációk száma ) ; 7. a reflexív és atiszimmetrikus relációk száma 3 ) ; 8. a reflexív és trazitív relációk száma a szerző ismerete szerit még megoldatla probléma; 9. a szimmetrikus és atiszimmetrikus relációk száma ;. a szimmetrikus és trazitív relációk száma ) θ) = T k), k k= ahol T k) a 3. alfeladatba va defiiálva;. az atiszimmetrikus és trazitív relációk száma a szerző ismerete szerit még megoldatla probléma;. a reflexív, szimmetrikus és atiszimmetrikus relációk száma ; 3. a reflexív, szimmetrikus és trazitív relációk száma T, ahol az T sorozatot a T =, T = kezdeti értékekkel és eseté a ) T = T k k k= rekurzióval defiiálhatjuk; 4. a reflexív, atiszimmetrikus és trazitív relációk száma a szerző ismerete szerit még megoldatla probléma; 5. a szimmetrikus, atiszimmetriukus és trazitív relációk száma ; 6. a reflexív, szimmetrikus, atiszimmetrikus és trazitív relációk száma. 4. Számosságok I. Legye A és B olya véges halmaz, melyre A = és B = m teljesül. Igazoljuk az alábbiakat.. Bármely X A halmazra X.. A B = m 3. A B = m + A B 4. PA) = 5. FA, B) = m II. Mutassuk meg, hogy bármely végtele A halmazra és bármely legfeljebb megszámlálható számosságú B halmazra A B = A teljesül. III. H Legye A végtele halmaz, és legye B A olya részhalmaza, melyre B < A és B = B B. Mutassuk meg, hogy B < A \ B. IV. Igazoljuk, hogy kotiuum sok, kotiuum számosságú halmaz egyesítése kotiuum számosságú. Haszáljuk fel, hogy R = R R.) V. H Legye E végtele halmaz. Igazoljuk, hogy E véges részhalmazaiak a halmaza azoos számosságú az E halmazzal, azaz { A E A < N } = E teljesül. Haszáljuk fel, hogy E = E E.) 6

12 VI. H Legye E végtele halmaz. Igazoljuk, hogy az E halaz E-vel ekvipotes azoos számosságú) részhalmazaiak a halmaza ekvipotes E hatváyhalmazával, azaz { A E A = E } = PE) teljesül. Haszáljuk fel, hogy E = E E.) VII. H Igazoljuk, hogy az E halmaz potosa akkor végtele, ha mide f : E E függvéyhez létezik em triviális A, A E) A E ivariás fa) A) halmaz! 5. A valós és a komplex számok elemi tulajdoságai I. Defiiáljuk az alábbi függvéyeket. Re : C R a + b i a Im : C R a + b i b : C C a + b i a b i : C R a + b i a + b Igazoljuk a következőket.. Mide z C számra z + z = Re z és z z = i Im z.. Mide z, z C számra Rez + z ) = Re z + Re z és Imz + z ) = Im z + Im z. 3. Mide z C számra z z = z. 4. Mide z C \ {} számra ) Re z z z Im z z i =. 5. Mide z C számra z = potosa akkor teljesül, ha z =. 6. Mide z, z C számra z z = z z. 7. Mide z, z C számra z + z z + z. 8. Mide z, z C számra z z z z. 9. Mide z, z C számra z + z + z z = z + z.. Mide z C számhoz létezik olya v C szám, melyre z = v teljesül.. Mide z C számra z Re z + Im z. II. Milye görbéket határozak meg a komplex számsíko az alábbi egyeletek?. z + i) = 3. z + z = z z 3. z + z + = 4 III. Legye z C, N és w C\ N). Teljes idukció segítségével igazoljuk a következőket!. z) z k = z k=. z) + z k) ) = z ) 3. k= k= w + k )w + k) = ww + ) 7

13 IV. A komplex számtest felett oldjuk meg az egyeleteket.. z 3 = z. z 5 + i)z + 3 i = 3. z 6 9z = 4. z 8 7z = 5. Ha z egyik égyzetgyöke és z egyik ötödik gyöke egyelő, akkor z milye értékeket vehet fel? 6. Ha z egyik köbgyöke és z egyik hetedik gyöke egyelő, akkor z milye értékeket vehet fel? V. E Mutassuk meg, hogy em létezik olya redezés a komplex számok halmazá, mellyel C redezett test lee. VI. E Beroulli-egyelőtleség.) Igazoljuk, hogy mide N\{} és x,... x ], [ számra, ha tetszőleges i, j {,..., } eseté x i x j, akkor + x i i= + x i ), teljesül, speciálisa mide N és x R számra x eseté VII. E Legye N és < x R.. Mutassuk meg, hogy az i= + x + x). H = {z R z, z x} halmaz em üres és felülről korlátos.. Legye y = sup H. Mutassuk meg, hogy az y R számra y = x teljesül. 3. Igazoljuk, hogy ha z R, < z és z y, akkor z x. VIII. E Legye A K. Mutassuk meg, hogy It X = {x K r R + : B r x) X} X = {x K r R + : B r x) X }. IX. E Igazoljuk, hogy az R vagy a C halmaz egy részhalmaza potosa akkor zárt, ha tartalmazza az összes torlódási potját. X. E Igazoljuk, hogy a Q + i Q halmaz sűrű a C halmazba. XI. E Igazoljuk, hogy mide r R + és x K eseté teljesül. {z K x z < r} = {z K x z r} XII. E Bizoyítsuk be, hogy ha az A R halmaz alulról korlátos, akkor if A A, illetve, ha felülről korlátos, akkor sup A A. 8

14 XIII. H Jelölje P a prímszámok halmazát. Haszáljuk fel azt a számelméleti tételt, mely szerit mide x Q\{} számhoz létezik egyetle olya egész értékű µ p x)) p P sorozat és olya e {, } elem, hogy a {p P µ p x) } halmaz véges, és x = e p P p µpx) teljesül. Legye p N tetszőleges prímszám, és defiiáljuk az p : Q R x függvéyt. Igazoljuk, hogy p abszolútérték-függvéy. { p µ px), ha x ;, ha x = XIV. H Legye G zárt, valódi részcsoportja az R, +, ) csoportak. Igazoljuk, hogy ekkor létezik olya a R + szám, melyre G = {a Z}. XV. H Másodredű lieáris rekurzió. Legyeek a, b, x, x R paraméterek, és mide N számra legye x + = ax + bx +.. Igazoljuk, hogy ha b + 4a >, akkor mide N számra x = x + x ) bx b + b + 4a ) b + 4a + + x x ) bx b b + 4a ) b + 4a + teljesül.. Igazoljuk, hogy ha b + 4a = és b, akkor mide N számra x = x ) + ) b x ) b teljesül. 3. Igazoljuk, hogy ha b + 4a < és b, akkor mide N számra x = a) sgb) x cosϕ) + x ) bx b 4a siϕ) b 4a teljesül, ahol ϕ = arctg. b XVI. Elemi számítások.. Számoljuk ki az alábbi meyiségeket. i i + i) 3+4 i l i. Oldjuk meg az alábbi egyeleteket. si z = cos z = 3 i ch z = i z = + i 9

15 6. Sorozatok I. Mutassuk meg a defiíció alapjá, hogy az alábbi sorozatok határértéke végtele.. a =. a = a = a = II. Legye a : N C tetszőleges sorozat. Mutassuk meg, hogy az a sorozat potosa akkor koverges, ha a Re a és az Im a sorozat koverges. Továbbá ekkor lim a = lim Re a + i lim Im a. III. Legye a : N R tetszőleges koverges sorozat. Igazoljuk, hogy mide ε > eseté. a { N a lim a < ε} halmaz végtele;. a { N a lim a > ε} halmaz véges. IV. Legye a, b : N R olya koverges sorozat, melyre mide N eseté a b teljesül. Bizoyítsuk be, hogy ekkor lim a lim b. V. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét. VI. a 3. lim ) 4. lim 3) 5. lim lim ) 6. lim + )! 3. lim!5 + ) Legye k, l N és legye a i ) i k+ és b j ) j l+ valós számok egy-egy redszere. Keressük meg határértéket. a k k + a k k + + a + a lim b k l + b l l + + b + b VII. Keressük meg az alábbi gyökös kifejezések határértékét.. lim + 5 ). lim ) 3. lim a + ) a R) 3 4. lim ) VIII. Mutassuk meg, hogy adott q R eseté ha q >, lim q = ha q =, ha < q <, és q eseté a q sorozat diverges. IX. Igazoljuk, az alábbi határértékeket.

16 . Mide q R + számra lim. lim = 3. lim! = 4. Mide q C eseté lim q q =.! =. X. Igazoljuk, hogy mide N természetes számra teljesül. XI. XII.! Határozzuk meg a következő határértékeket! és 33)! 3 3!) 3 )!!). lim. lim 3. lim 4. lim 5. lim lim 8. lim 4 +. lim 3. lim lim + 8 ) lim lim 4 5 Igazoljuk az alábbi összefüggéseket. 6. lim + 9. lim lim lim. lim + ) =. lim + ) = 3. lim 5. lim 7. lim + ) + = e 4. lim ) = 5 e 6. lim ) = 8. lim + 3 ) +3 = 3 e ) = ) + = e 9. lim e ) =. lim e ) ) = XIII. Határozzuk meg az alábbi rekurzióval defiiált sorozatok határértékét!. a + = 7, a = 4 a. a + = a + 3, a = és a = 5 3. a + = a +, a =

17 XIV. Határozzuk meg a következő a sorozatok eseté lim sup a és lim if a értékét!. a = cos π ) ) 3. a = a = ) ) a = XV. Mutassuk meg, hogy mide a : N R sorozatra teljesülek az alábbiak.. Az x R számra potosa akkor teljesül, hogy lim sup a = x, ha mide c < x eseté az { N c < a } halmaz végtele, és mide c > x eseté az { N c < a } halmaz véges.. Az x R számra potosa akkor teljesül, hogy lim if a = x, ha mide c < x eseté az { N c > a } halmaz véges, és mide c > x eseté az { N c > a } halmaz végtele. XVI. Mutassuk meg, hogy mide a : N R sorozatra teljesülek az alábbiak.. Ha lim a R, akkor lim if a = lim sup a = lim a.. Ha lim if a, lim sup a R és lim if a = lim sup a, akkor lim a = lim if a. XVII. Legye a : N R + olya sorozat, melyre mide m, N eseté a m+ a m a teljesül. Igazoljuk, hogy ekkor az a ) N sorozat koverges, és lim a = if N a. XVIII. Gyök-kritérium sorozatokra.) Mutassuk meg, hogy ha az a : N C sorozatra a < teljesül, akkor lim a =. lim XIX. Háyados-kritérium sorozatokra.) Mutassuk meg, hogy ha az a : N C \ {} sorozatra lim a + a < teljesül, akkor lim a =. XX. Mutassuk meg, hogy ha az a : N R \ {} sorozatra lim lim a = c. XXI. Igazoljuk a határértéket, ahol { } a törtrész függvéyt jelöli! lim { + 3) } = XXII. Igazoljuk az alábbi határértékeket. ). lim = 4 3 ). lim = 7 4 k ) 3 k k. lim = k ) k k N \ {} a + a = c teljesül, akkor XXIII. Legye < x y tetszőleges valós számpár. Defiiáljuk az x + = x + y y + = x y

18 rekurzióval az x ) N és y ) N sorozatokat. Igazoljuk, hogy ezek koverges sorozatok, valamit hogy lim x = lim y teljesül! XXIV. Igazoljuk, hogy 7. Sorok Legye x, c R +. Adjuk meg az x ) N sorozatot az alábbi iterációval. 7.. Kovergeciakritériumok x k+ = 3 x k + 3 lim x k = 3 c. k I. Igazoljuk a sorokra voatkozó alábbi összefüggéseket! II. III = = = = ) 3 = = = 8. = c x k 4 + = 3 3. arctg arctg + ) = π 4 = = 4 = ) = = + + ) =. Igazoljuk az alábbi egyelőségeket! = 4 3 = )4 + ) = = 5 + ) = 5. log ) = log = = + = = = Kovergesek-e az alábbi sorok és ha ige, mi a határértékük? = 5) = = IV. Kovergeciakritériumok.. A majorás, illetve miorás kritérium segítségével dötsük el, hogy az alábbi sorok közül melyek kovergesek, illetve melyek divergesek.. 4. = + cos. tg = 5. = = l + ) = x = = th 3

19 7.. = = = sh. = = ). A gyökkritérium segítségével dötsük el, hogy az alábbi sorok közül melyek kovergesek illetve melyek divergesek !) ) 5. ) + 8. = = = = l 4. =!) ) = ) = = =4 ) = ). = + ) 9 ) ) A háyadoskritérium segítségével dötsük el, hogy az alábbi sorok közül melyek kovergesek illetve melyek divergesek.! )..! 3. ) = = = )! 3)! )!!) ! + )! + )! = = = + ) )! ) = = 4. A Leibiz-kritérium segítségével vizsgáljuk meg, hogy az alábbi sorok kovergesek, abszolút kovergesek illetve feltételese kovergesek-e. si π.. ) 3. ) + = = = 4. ) + ) 5. ) arctg 6. ) + log = = = 7. ) log 8. ) + ) 9. ). log = V. Legye a : N R + mooto csökkeő zérussorozat lim a = ), és legye s : N R ) k a k. = k= = = = = 4

20 . Mutassuk meg, hogy az s sorozat mooto övő és felülről korlátos; ezért koverges is.. Legye S = lim s. Mutassuk meg, hogy az s + sorozat is koverges, és szité S a határértéke. 3. Igazoljuk, hogy mide N számra S ) k a k a + k= teljesül. A feti alakú sorokat Leibiz-sorokak evezzük.) VI. Becsüljük meg, hogy háyadik részletösszeg eseté lesz a sor összegére kapott becslés hibája 4 -él kisebb! 3 + ) )! + 3 VII. VIII. IX. = = Igazoljuk, hogy a következő sorok kovergesek!. ) + =. 3 ) = 3. = = ) = 6. 6 = = = π 4 ; 5. Leibiz ) = π 6 ; 748. Euler ) ) = π ; 94. Ramauja ) 4)! !) = ) π ; 94. Ramauja = π4 9 ; 974. Comtet ) ) ) = π; 996. Bailey Kovergecia-kritériumok segítségével dötsük el, hogy kovergesek-e az alábbi sorok ) + )! + = = ) ) 3 + = = 3 ) Abszolút vagy feltételese kovergesek-e az alábbi sorok? 3) 4 + = X. Igazoljuk, hogy a = ) 4 3) = = = = 4 ) cos π 3 + ) + sor koverges, de ömagával vett Cauchy-szorzata már diverges. ) 5

21 XI. Legye a : N \ {} R koverges sorozat. Mutassuk meg, hogy ekkor teljesül. XII. lim a k = lim a k= Legye a : N \ {} R + olya sorozat melyre k= lim a <. Igazoljuk, hogy ekkor = ka k =. k= XIII. Legye x C x <, és tekitsük az a : N C, a k = x k sorozatot. Mutassuk meg a k sorozat ömagával vett Cauchy-szorzatáak a segítségével, hogy mide N + eseté. kx k = x+ x xx ) x ), valamit kx k x = x ) ; k= k=. k x k = x+ x x+ x ) + x + x)x ) x ) 3, valamit x xx + ) = x ) 3 ; 3. k= = teljesül. XIV.. 4. k 3 x k = x+ x 3 3x+ x ) + 3x+ x + ) x + ) 3 xx + 4x + )x ) x ) 4, valamit 3 x = xx + 4x + ) x) 4 = Igazoljuk az alábbi végtele szorzatokra voatkozó egyelőségeket. k= k= + ) = k. + ) k = 5. ) = 3. k k= 4k ) = 6 k=3 6. ) + )k = k ) k = + k Hatváysorok I. Legye a : N C \ {}. Mutassuk meg, hogy ha létezik a lim a + a határérték, akkor létezik a lim a határérték is, és lim a = lim a +. II. Legye a : N C és z C.. Mutassuk meg, hogy ha z lim sup a <, akkor a N a z sor abszolút koverges. a k= k= a k. Mutassuk meg, hogy ha z lim sup a >, akkor a N a z sor diverges. 6

22 A N a z alakú sorokat hatváysorokak evezzük. Ha bevezetjük az lim sup ha lim sup a >, a R a = ha lim sup a =, ha lim sup a = kovergeciasugárak evezett meyiséget, akkor z < R eseté a hatváysor abszolút koverges, z > R eseté pedig diverges.) III. Számítsuk ki a következő hatváysorok kovergeciasugarát és adjuk meg a kovergeciatartomáyát! x. = = = = + )3 x 5. ) + ) x + 7) 8. )! + ) + 6) + x Cesáro-összegzés I. Cesáro-összegzés.. Igazoljuk, hogy C = x 3. = x )! x ) 9. + ) x!. = = = ) =, valamit. Mutassuk meg, hogy mide x ], π[ eseté s k) = s k) = k silx) = si x cos x l= k coslx) = l= C = ) + = x = = = =!) 3 3)! x + + x + x ) 9 ) si x sik + )x) + cosk + )x) cos x cosk + )x) + + cos x ) sik + )x) si x Defiíció: Azt modjuk, hogy az a : N + R sorozatból képzett a sor C k Cesáro-) összegezhető, valamely k N + eseté, ha az s) = a k részletösszeg sorozatból képzett k= σ k) : N + R σ k) = s i, ha k =, i= σ k ) i, ha k > Ck sorozatak létezik véges határértéke, és ekkor a a = lim σk) jelölést haszáljuk. = i= 7

23 σ ) = σ ) = s k) = k= s k) = k= teljesül. Ezek alapjá igazoljuk, hogy C = + ) si x si + )x) cos x) cos + )x) + ) cos x + cos x ) cosx) = és C = six) = si x cos x). 3. Legye z C \ {} olya szám, melyre z =. Mutassuk meg, hogy az a = z sorozatra s = a k = z+ z z k= σ ) = s k = z z + z z ) z ) teljesül, valamit, hogy k= lim σ) = z z. Tehát x ], π[ eseté a z = e i x helyettesítéssel C = cosx) = és C = C = z = six) = z. Mutassuk meg, hogy z si x cos x) adódik. 4. Legye z C \ {} olya szám, melyre z =. Mutassuk meg, hogy az a = z sorozatra s = a k = z+ z zz ) z ) σ ) σ ) = = teljesül, valamit, hogy k= k= k= s k = z+ + z z ) + z z ) z ) 3 σ ) k = lim σ) = z z ) + z3 z ) z ) 3 + z z ) 3 z z ). Tehát hogy x ], π[ eseté a z = e i x helyettesítéssel adódik. C = cosx) = cos x ) és C = C z = 5. Legye z C \ {} olya szám, melyre z =. Igazoljuk, hogy teljesül, valamit, hogy az x ], π[ esetbe C3 = cosx) = és C3 = = z k k= k z. Mutassuk meg, z ) six) = C3 = si x six) = cos x). z zz + ) = z ) 3 8

24 6. Legye z C \ {} olya szám, melyre z =. Igazoljuk, hogy teljesül, valamit, hogy az x ], π[ esetbe C4 = 3 cosx) = 8. Határérték és folytoosság I. Igazoljuk az alábbi határértékeket! II. III. + cos x cos x) és C4 = C4 = 3 six) =.. lim x 4 x + = 3. lim x x + 3x ) = 3 3. lim x x 3 5. lim x 3 4. lim x ± x 3 x + = x + = x + = x + 3) 6. lim x 4x3 ) = Keressük meg az alábbi határértékeket! + x. lim x Z). lim x x 9 + x 3 3 z = zz + 4z + ) z ) 4 3. lim x x + 3x x 4) 4. lim x x x + x + 3) 5. lim x ± 7x9 x 4 + 3x + ) 6. lim x 3 7. lim x x 3x + x 8. lim x x 3 + x 5x + 3 x 3 + 9x + 7x + 7 x + 3x x 4) Bizoyítsuk be, hogy mide páratla fokszámú poliomak va zérushelye. IV. Bizoyítsuk be, hogy ha f : [a, b] R folytoos, és Ra f = [a, b], akkor létezik olya x [a, b], amelyre fx ) = x. V. Vizsgáljuk mootoitás, paritás, korlátosság, periodicitás és folytoosság szempotjából az alábbi függvéyeket { } a törtrészfüggvéy). x. + x 4. + x 7. x k) k=. x + x 5. si x 8. si x VI. 3. a x + a x a R + ) 6. log x + x x x Számoljuk ki az alábbi határértékeket! x m tg x. lim x x 4. lim x x cos x + 5x 3x. lim x x 5. lim x x + x si3x) 3. lim x + + x 6. lim x x e 4x 9. {5πx} + tg x x x 7. lim x x e x 8. lim x x 9. lim x x shx) ch3x) 9

25 VII. Mutassuk meg, hogy mide f : K K függvéyre az alábbi állítások ekvivalesek.. Az f függvéy folytoos.. Mide A K yílt halmazra f A) yílt a Dom f halmazba. 3. Mide A K zárt halmazra f A) zárt a Dom f halmazba. Legye B A K. A B halmaz yílt az A halmazba, ha létezik X K yílt halmaz, melyre B = A X. A B halmaz zárt az A halmazba, ha létezik X K zárt halmaz, melyre B = A X.) VIII. Határozzuk meg az alábbi függvéyek szakadási helyeit és aak típusait.. fx) = sg x. fx) = [x ] 3. fx) = [x] + [ x] 4. fx) = x ha x ha x = 5. fx) = [ ] x x 6. fx) = x4 3x 3 x 6x 7. fx) = 4 x +, ha x ; 4 x x 8. fx) = x x x +, ha x <. x + x 8)x + 4) x + 3x x + 5x + 4)x + ) IX. H Adott x Q \ {} eseté legyeek p x Z és q x N \ {} azo egyértelműe meghatározott számok, melyekre x = p x, valamit p x és q x relatív prímek. Az q x f : R R x, ha x / Q \ {},, q x ha x Q \ {} függvéyt Dirichlet-függvéyek evezzük. Igazoljuk, hogy a Dirichlet-függvéyek. mide potba létezik jobb- illetve bal oldali határértéke;. a helye és mide irracioális potba folytoos; 3. mide a Q \ {} potba szakadása va, bár lim f = lim f. a+ a X. Mutassuk meg, hogy ha az f : ], [ R függvéy folytoos a potba, és mide x ], [ eseté fx) = fx ), akkor az f függvéy folytoos. XI. XII. Igazoljuk, hogy az id R χ Q függvéy csak a potba folytoos. Bizoyítsuk be, hogy a si és a cos függvéy egyeletese folytoos az R halmazo, és az és a si függvéy em egyeletese folytoos a ], [ itervallumo. id R [ XIII. Mutassuk meg, hogy létezik olya x, π ], melyre x si x = π 4. XIV. Legye N \ {}, I R itervallum, x i ) i=,..., I és f CI, R). Igazoljuk, hogy létezik olya x I pot, melyre fx ) = fx i ) teljesül. i= id R

26 XV. Legye f C[, ], R). Mutassuk meg, hogy létezik olya u, v [, ], melyre XVI. v u = és fv) fu) = f) f). Legye a R és f C[a, [, R) olya függvéy, melyre lim f R. Igazoljuk, hogy ekkor f egyeletese folytoos az egész [a, [ halmazo. XVII. Legye A = [, ] ], [ Q ) {3, 4, 5} és legye ha x < és x / Q, x ha x < és x Q, f : A R x 5 ha x = 3, 8 ha x = 4 vagy x = 5. Mely potokba folytoos az f függvéy? 9. Differeciálhatóság I. A deriválás defiíciója alapjá, valamit a hatváysor deriválására voatkozó ismeretek alapjá is igazoljuk az alábbi formulákat ahol N \ {}) II. III. teljesül. IV. id R) = id R si = cos cos = si exp = exp sh = ch ch = sh Keressük meg az f = id R χ Q függvéy deriváltját. Mutassuk meg, hogy ha N, f, g C R, R) akkor fg C R, R) valamit fg) ) = ) f k) g k) k k= Számoljuk ki az alábbi függvéyek deriváltját. 5 si x cos x tg x fx) = x e x gx) = x3 si x e x cos x x 4 + x + hx) = e x shx) cosx) ctg x V. Legye f, g : R R és a It Domf g). Igazoljuk, hogy ha g differeciálható az a potba és f differeciálható a ga) potba, akkor f g differeciálható az a potba, és VI. f g) a) = f ga)) g a). Deriváljuk a következő függvéyeket és hozzuk egyszerűbb alakra a deriváltakat!. fx) = e x + x ). fx) = si x x + cos x 3. fx) = + cos x 4. fx) = l + cos x si x 5. fx) = si x + x 6. fx) = x tg x 7. fx) = cos x) si x si cos x 8. fx) = e

27 VII. Tekitsük az arctg + x ha x, fx) = x ha x = függvéyt. Számoljuk ki az f ) értéket és a lim x f x) határértéket! VIII. teljesül. IX. Igazoljuk, hogy tetszőleges < a < b < π számra b a b a cos < tg b tg a < a cos b Számoljuk ki a következő határértékeket! 5x 3. lim x e x 7. lim x x ) x si x l cos x. lim 8. lim + x x x si x + x ) x x ) tg x lx ) 3. lim x π 4 arctg 9. lim x + x x 4. lim e si x ) ctg πx sh x. lim + arcsi x) x x + 5. lim si x x x) + cos x. lim ch 3x) x x arcsi 6. lim x + x3 l x 5. lim x + ch x) si x) π X. Legye I R yílt itervallum, és legye f : I R olya differeciálható függvéy, melyek a deriváltja korlátos. Igazoljuk, hogy ekkor f egyeletese folytoos az egész I itervallumo. XI. H Feladatok a határérték és deriválás kapcsolatáról.. Legye f : R R olya páratla függvéy, melyre Domf ) teljesül, és legye a, b R. Mutassuk meg, hogy ekkor fat) lim t at 3 fbt) ) bt 3 = a b f ). 6. Legye f : R R háromszor differeciálható függvéy, és legye u Domf ) tetszőleges pot. Mutassuk meg, hogy ekkor fu + t) fu t) tf u) lim t t 3 XII. Elemi egyelőtleségek.. Igazoljuk, hogy mide x [ π 6, ] π számra si x 3 x π ) + 6. x 3 = f u). 3

28 . Igazoljuk, hogy mide x ], [ eseté si x > x x Igazoljuk, hogy mide x, y R + számra y < x eseté log x log y < < x x y y. 4. Igazoljuk, hogy mide x, y, a, b R + számra x ) y ) ) x + y x log + y log x + y) log. a b a + b 5. Bizoyítsuk be, hogy mide x, y R számra x > eseté teljesül. xy x log x + e y XIII. H Függvéyek kovexitása.. Legye a, b R, a < b és legye f : [a, b] R kovex függvéy. Mutassuk meg, hogy ha létezik olya c ]a, b[ szám melyre fa) = fc) = fb), akkor az f függvéy álladó.. Legye a, b R, a < b és f : ]a, b[ R kovex függvéy. Igazoljuk, hogy f folytoos. 3. Legye a, b R, a < b. Adjuk példát olya f : [a, b] R kovex függvéyre, mely em folytoos. 4. Legye I R itervallum és f : I R folytoos függvéy. Igazoljuk, hogy az f függvéy potosa akkor kovex, ha mide x, x I számra ) x + x f fx ) + fx ) teljesül. 5. Igazoljuk, hogy ha f : R R midehol értelmezett szigorúa kovex függvéy, akkor lim f = vagy lim f =. 6. Legye f, g : R R olya kovex függvéy, melyre g mooto övő és Domg f) itervallum. Mutassuk meg, hogy ekkor a g f függvéy is kovex. ) 7. Legye f : R + R kétszer differeciálható f ggvéy, továbbá legye g : R + R, gx) = f. x Bizoyítsuk be, hogy az id R + f függvéy potosa akkor kovex, ha a g függvéy kovex. Igaz marad-e az állítás, ha f em kétszer differeciálható?) 8. Legye I R itervallum és f : I R + kétszer differeciálható függvéy. Mutassuk meg, hogy a log f függvéy potosa akkor kovex, ha f f f ). XIV. Adjuk meg az alábbi f függvéyek x potbeli éritőjéek az egyeletét.. fx) = x x = 4 4. fx) = arcsi x x =. fx) = x + π x = 5. fx) = si x x = x 3. fx) = si x x = π 4 3

29 XV. H Legye I R yílt itervallum, f C I, R) és legye x I olya pot, melyre f x ). Igazoljuk, hogy ekkor az f függvéyt az x potba legjobba közelítő kör egyelete ahol y : [x c R, x c + R] R x y c sgf x )) R x x c ), + f x ) ) 3 R = f, x c = x f x ) + f x ) x ) f x ) és y c = fx ) + + f x ) f. x ) XVI. H Legye f C R +, R) olya függvéy, melyre f és f korlátos. Igazoljuk, hogy ekkor f is korlátos valamit ha k {,, } eseté M k = sup f k) x), akkor M 4M M teljesül. x R + XVII. H Legye f : R + R olya korlátos függvéy, mely kétszer differeciálható, a második deriváltja is korlátos, és lim f =. Igazoljuk, hogy ekkor lim f =. XVIII. H Legye f aalitikus az a R potba. Igazoljuk, hogy ekkor létezik olya r > szám, hogy az f függvéy aalitikus mide x G r a) potba. XIX. Tekitsük az alábbi függvéyt. f : R R x { x + x si x ha x ha x = Igazoljuk, hogy f ). Szigorúa mooto-e az f függvéy a egy köryezeté? XX. Végezzük teljes függvéyvizsgálatot az fx) = x 3 e x és a gx) = x arctg x + x függvéye. Teljes függvéyvizsgálatál válaszoljuk az alábbi kérdésekre: hol va értelmezve a függvéy, mi a határértéke a plusz- és míusz végtelebe, illetve a Dom f halmaz határpotjaiba, mi a lieáris aszimptotája a plusz- és míusz végtelebe, hol mooto övő illetve csökkeő a függvéy, hol va lokális szélsőértéke, és a milye jellegű szélsőérték maximum, miimum), hol kovex illetve kokáv a függvéy, hol va iflexiós potja, hol va globális miimuma illetve maximuma a függvéyek, mi a függvéy értékkészlete. XXI. XXII. Hol va lokális maximuma illetve miimuma a px) = 3x 5 5x 4 +5x 3 5x +4 poliomak? Háy valós megoldása va az x 4 8x+9 = egyeletek, és mi lesz a valós gyökök előjele? XXIII. Va-e miimuma illetve maximuma az fx) = x e 3x függvéyek a [, ] itervallumo, ha ige, határozzuk meg a szélsőértékeket. XXIV. Írjuk fel az x cos y x) + yx) + yx) = x x + implicit módo megadott y függvéy, ) potbeli éritő egyeeséek az egyeletét! XXV. Milye lokális tulajdosága va az x si yx) + yx) + si x = π ) implicit módo adott y függvéyek a, potba? 4

30 Határozzuk meg az alábbi függvéyek körüli Taylor-sorát és aak kovergeciatartomá- XXVI. yát. fx) = 4x + ) e 3x gx) = si 3x) hx) = 7 5x x 3x + XXVII. A biomiális sorfejtés segítségével írjuk fel az arctg, arcsi, 3 + id R, + id R függvéy körüli 9-ed redű Taylor-poliomját. XXVIII. XXIX. XXX. teljesül. XXXI. Határozzuk meg 3 értékét, potossággal. Igazoljuk az alábbi sorösszegeket k= k= k= l k k =. cos x ) < x R) 4. k k si ) < k Legye a, b R + és α R. Mutassuk meg, hogy ax + b x Legye x lim x + f : R R. Határozzuk meg az f függvéyt.. Vizsgáljuk a lim f határértéket. XXXII. l k) l k < k k= k= = = + x) α ab és lim = α x x x { x si x ha x, ha x =. ) = Igazoljuk a trigoometrikus függvéyekre és iverzükre voatkozó alábbi összefüggéseket.. si x = sgcos x) tg x + tg x x R. cos x = sgcos x) + tg x x R 3. arcsi x + arccos x = π x [, ] 4. arctg x + arctg x = π sg x x R \ {} x x 5. arctg x = arcsi x R 6. arcsi x = arctg x ], [ + x x { 3x x3 7. tg3 arctg x) = 3x x R \ ± } 3 XXXIII. H Raabe-féle kovergeciakritérium.) Legye a : N K tetszőleges sorozat. Igazoljuk, hogy )) a. ha lim if a + >, akkor a a sor abszolút koverges; 5

31 a. ha lim sup XXXIV. H a + Mutassuk meg, hogy a )) <, akkor a a sor em abszolút koverges. j : CR, R) FQ, R) leképezés ijektív. Ezek alapjá igazoljuk az alábbiakat. f f Q R CR, R) FQ, R) = FN, R) = FN, PN)) = = FN, FN, {, })) = FN N, {, }) = R Vagyis a folytoos függvéyek halmaza kotiuum számosságú.) XXXV. H Legye f : R R reguláris függvéy azaz Dom f yílt halmaz, és mide a Dom f potra létezik a lim f és a lim f határérték). Defiiáljuk az a+ a ω : Dom f R x max { fx) lim x f, fx) lim x+ f függvéyt. Igazoljuk az alábbiakat.. Az f függvéy potosa akkor folytoos az x Dom f potba, ha ωx) =.. Mide a Dom f potra lim a ω =. 3. Mide K Dom f korlátos zárt halmazra és ε > számra a {x K ωx) ε} halmaz véges. 4. Mutassuk meg, hogy létezik korlátos zárt halmazokak olya K ) N redszere, melyre mide N eseté K Dom f és N K = Dom f. 5. Az f függvéy szakadási helyeiek a halmaza megszámlálható. 6. Mide yílt halmazo értelmezett mooto függvéy reguláris.. Határozatla itegrál I. Számítsuk ki a következő itegrálokat. + x. d x. x x x + d x 5. si 8. ch. } x d x 3. + e x d x d x 6. + x x d x cos 9. sh sh. ch II. A parciális itegrálás segítségével határozzuk meg az alábbi itegrálokat, ahol a, b R \ {}.. x e ax d x. x e ax d x 3. x si x d x 6

32 e ax si bx d x 5. + x d x 8. arctg x d x. e x cos x d x 6. x d x 9. x arctg ax d x. x d x arcsi x d x x 3 l x d x III. A következőkbe a racioális törtfüggvéyekre voatkozó itegrálási szabályt alkalmazzuk.. x d x. x x 3 d x 3. x 3 + d x x 4. x + ) 3 d x 5. x + x + 6 d x 6. x 4 x )x 3)x 4) d x 6x + 4x x 3 x 4 7. x 4 d x x + ) d x x 3 d x. x + x + ) d x. x x + x + ) d x. x + x + ) d x IV. A következő itegrálok kiszámításához alkalmazzuk megfelelő helyettesítést k N). x 3. x + ) 4 d x. + x + + x) 3 d x 3. x 4 x d x e 4x ex x 4. + e x d x 5. d x 6. e x d x 7. x d x 8. si k x cos x d x 9. cos k x si x d x. ctg x d x. tg x d x. tg x d x 3. tg 4 x d x 4. e 3x e x d x 5. x + x d x V. A t = tg x helyettesítéssel racioális törtfüggvéyekre vezessük vissza a következő itegrálokat és így számoljuk ki az értéküket.. tg x d x. si x + si x d x + tg x 3. tg x d x cos x d x VI. A következő itegrálok kiszámításához godoljuk az elemi függvéyek si, tg, exp, arctg, arcsi,... ) deriváltjára és a deriválásál megismert lácszabályra. 3 x. x e x d x. + 9 x d x 3. e x d x e x e x cos l x e x d x 5. cos x d x 6. x + si x d x VII. Trigoometrikus azoosságok segítségével számoljuk ki az alábbi határozatla itegrálokat.. cos x cos 5x d x. cos 5 x si x d x 3. cos 5 x d x 4. cos 5 x si 3 x d x 5. si 4 x d x 6. cos 5 x si 5 x d x 7

33 . Határozott itegrál I. Igazoljuk az alábbi egyelőségeket. II. III x d x = x. d x = l 5. x 5 4x d x = 6 8. π π si x d x = 3. cos x + si x) d x = + e x d x = + l + e Az itegrálok kiszámítása élkül igazoljuk az egyelőtleségeket. Tekitsük az x + x d x l + x) d x π 4 tg x d x π 4 e : [, π] R x π e k : [, π] R x π coskx) k N f k : [, π] R x π sikx) k N vektorokat a C[, π], R) vektortérbe, melybe a skaláris szorzást a 3 π π, : C[, π], R) C[, π], R) R f, g) fg + x d x = π 3 x) 9 d x = + si x d x = ) x + x3 d x 3 képlet defiiálja. Mutassuk meg, hogy az {e k } k N, {f k } k N vektorok ortoormált redszer alkotak. IV. Határozzuk meg az f, g : [, ] R vektorok által bezárt szöget a C[, ], R),, ) skalárszorzatos térbe, ahol az f, g C[, ], R) vektorok skaláris szorzatát a f, g = defiíálja.. fx) = x, gx) =. fx) = 4x 3, gx) = x V. Határozzuk meg a következő függvéyek deriváltját! VI.. Ex) = 3. Gx) = 4x 4x Mutassuk meg, hogy az egyelet teljesül! d du w u + t 8 d t. F x) = x 3 x 3 d t 4. Hx) = + t 4 si x d x + d dw w u si x d x = v u x cos x d x + t 4 d t + t 4 d t fg képlet 8

34 VII. Határozzuk meg az F x) = x t e 4t d t képlettel értelmezett függvéy miimumát és maximumát a [, ] itervallumo! VIII. Tekitsük az F x) = x t 7 + t + 6 d t függvéyt.. Az F függvéyek va-e lokális szélsőértéke a ], 3[ itervallumba?. Hol veszi fel F a miimumát illetve maximumát a [, 3] itervallumba? 3. Va-e iflexiós potja az F függvéyek a ], 3[ itervallumba? IX. Határozzuk meg az alábbi határértékeket!. lim x 3. lim x x x 5. lim x + l + t) d t x. lim x + + t 4 d t x 3 4. lim x x cos t t x d t X. Keressük hibát az alábbi számításba. x log x d x = log x log x XI. teljesül. XII. = log x Legye f R[, π], R) és mutassuk meg, hogy ekkor Számoljuk ki az itegrálok értékét. XIII. π log si x d x, π 6. lim x fsi x) cos x d x = π si x tg x tg t d t si t d t x arctg 3t d t x x arctg t) d t x + log x x d x = + x log x d x log si x d x, Igazoljuk, hogy mide a R + paraméter eseté lim k= π + ak ) = + a)+ a e log cos x d x teljesül. 9

35 XIV. H Legye f R[, ], R) olya függvéy, melyhez létezik olya c R + szám, hogy mide x [, ] eseté fx) c teljesül. Keressük meg a lim ) k f határértéket. XV. H XVI. H Bizoyítsuk be, hogy lim k=! = e teljesül. Mutassuk meg, hogy mide f C[a, b], R + ) függvéyre b f = sup fx). lim XVII. E Mide N eseté legye I = a π si.. Számoljuk ki mide N számra I értékét.. Igazoljuk, hogy mide N eseté I I Mutassuk meg, hogy mide N eseté I I I + = x [a,b] π + ) I Mutassuk meg, hogy mide N eseté π I π Igazoljuk a Wallis-formulát. XVIII. E Defiiáljuk az lim a : N R 4 ) 3 ) = π k log sorozatot.. Mutassuk meg, hogy mide, m N számra + m) m + ) +.. Igazoljuk, hogy az a sorozat mooto fogyó. 3. Igazoljuk, hogy mide N eseté teljesül. log = k= k+ k k= x d x k= k + ) k + 3

36 4. Mutassuk meg, hogy az a sorozat alulról korlátos. A ) γ = lim k log k= számot Euler-Mascheroi-álladóak evezzük, γ Ismeretle, hogy γ Q teljesül-e.) XIX. E Legye P a prímszámok halmaza. Igazoljuk, hogy mide x ], [ számra log log x) p p P p x teljesül, az alábbi részfeladatok segítségével.. Mide N \ {, } és p P eseté létezik egyértelműe olya a p ) N szám, melyre teljesül.. Mide N \ {, } eseté legye p ap) < p ap) A = p P Igazoljuk, hogy mide N \ {, } eseté log < k= p a p) i= p i. k < A < p P p p 3. A Taylor-sorfejtés segítségével igazoljuk, hogy mide x ], ] eseté log továbbá, hogy mide k N \ {} eseté Ezek alapjá i= i <. x < x + x, k i= i k. 4. Az előző potok alapjá igazoljuk, hogy mide N \ {, } eseté log log < p + ) p < + p. p P p P p p XX. Igazoljuk, hogy mide x ], [ számra k= x k x) log x) = + kk + ) x.. 3

37 XXI. XXII. határértéket. XXIII. XXIV. Számoljuk ki a következő improprius itegrálokat, ahol a, b R +, a < b paraméter e x d x 5. + x 4 d x 6. e ax cosbx) d x 7. x d x 8. Igazoljuk az alábbi sorösszegeket, ahol a ], [.. lim 3. lim a k= b a k =. lim k a = a k= Kovergesek-e az alábbi itegrálok? log x x d x x + x + d x x a)b x) d x log x d x k= 4. lim si x d x. si x d x 4. e x cos x d x 6. k= 3 3 x4 d x 8. x) 3 d x. x cos x 5 + 3) x 4 + 3x + 5 d x. Adjuk becslést a hibára, ha a = = = sh + ch + l + ) 3 sorokat az első tag összegével becsüljük! k k) = π + k = π 4 3 x si x d x x 3 x si x d x x + si x d x ) arctg +x d x x + x 3 si ) + x d x x + x) 3 si x x e 3 3. = cos ) si ) 6. l 9. = = d x = = = ) si cos ) 3

38 XXV. H a határértéket. Legye f CR, R) olya függvéy, melyre lim f = a és lim f = b teljesül. Számoljuk ki lim z XXVI. H Legye f C[, [, R + ). z z fx + ) fx)) d x. Igazoljuk, hogy ha f mooto csökkeő és f <, akkor lim xfx) =. x x. Mutassuk meg, hogy ha lim fx) ], [, akkor f <. x XXVII. H Legye f R[, [, R + ).. Igazoljuk, hogy ha és fg <.. Igazoljuk, hogy ha és fg =. f <, akkor létezik olya g : [, [ R + függvéy, melyre lim g = f =, akkor létezik olya g : [, [ R + függvéy, melyre lim g = XXVIII. Ívhosszszámítás.. Az fx) = x egyeletű görbéek mekkora az [, 5] itervallumhoz tartozó hossza?. Számítsuk ki az fx) = e x függvéy görbéjéek a [, l 3] itervallumhoz tartozó ívhosszúságát! [ π 3. Mekkora az fx) = l si x függvéy görbéjéek a hossza a 4, π ] itervallum fölött? 4. Mekkora az fx) = x függvéy ívhossza a [, ] itervallum fölött? 5. Legye fx) = ch x. Mekkora a függvéy [, ] itervallum fölötti részéek a hossza? 6. Számoljuk ki az fx) = x függvéy [, 4] szakasz fölötti képéek a hosszát! XXIX. Térfogatszámítás.. Az y = x egyeletű parabola [, ] itervallum fölötti ívét forgassuk meg az első tegely körül. Mekkora a kapott forgástest térfogata?. Forgassuk meg az y = x egyeletű görbe [, 4] itervallum fölötti ívét az első tegely körül. Mekkora a kapott forgástest térfogata? 3. Legye R és fx) = x. Forgassuk meg az f függvéyt az első tegely körül. Mekkora a kapott forgástest [a, b] itervallumhoz tartozó térfogata, ahol a, b [, [, a < b? 4. Az fx) = e x függvéy [a, b] itervallumhoz tartozó részét forgassuk meg az első tegely körül, ahol a, b R, a < b. Mekkora az így kapott test térfogata? 5. Mekkora térfogatú testet kapuk, ha az fx) = si x függvéyt két szomszédos ullpotja között az első tegely körül megforgatuk? XXX. Felszíszámítás.. Az fx) = x egyeletű parabola [, ] itervallum fölötti részét forgassuk meg az első tegely körül. Mekkora a kapott test térfogata?. Az fx) = e x görbét az első tegely körül megforgatva egy forgástestet kapuk. Mekkor a test [, ] szakaszhoz tartozó felszíe? 33

39 3. Az fx) = ch x függvéy [, l ] itervallum fölötti szakaszát az első tegely körül forgassuk meg. Mekkora a kapott forgástest felszíe? 4. Az fx) = si x függvéyt két szomszédos zérushelye között forgassuk meg az első tegely körül. Mekkora a kapott test felszíe?. Metrikus terek I. H Legye T = R és T = { } {R} {[a, [ a R} {]a, [ a R}.. Mutassuk meg, hogy T, T) topologikus tér.. Igazoljuk, hogy a T, T) tér T tér, de em T tér. 3. Adjuk meg az összes olya z R elemet melyre lim II. H Legye T = Z és legye = z teljesül. T = {U Z a Z \ U halmaz véges} { }.. Mutassuk meg, hogy T, T) topologikus tér.. Mutassuk meg, hogy T, T) T, de em T tér. 3. Tekitsük az s : N Z sorozatot. Mutassuk meg, hogy mide z Z számra lim s = z teljesül. III. H Mutassuk meg, hogy a T, T) topologikus tér potosa akkor T tér, ha mide x T eseté a {x} halmaz zárt. IV. H Legye T, T) topologikus tér és legye E,..., E T. Mutassuk meg, hogy ekkor ) It E k = k= It E k k= és E k = k= E k. V. H Legye T, T) topologikus tér és legye E i ) i I a T részhalmazaiak tetszőleges redszere. Bizoyítsuk be a ) következőket.. It E i It E i i I i I ). It E i It E i i I i I 3. E i i I i I 4. i I E i i I E i E i k= 34

40 VI. Defiiáljuk az alábbi leképezéseket. d : R R R x, y) arctg x arctg y d : R R R x, y) e x e y Mutassuk meg, hogy R, d ) és R, d ) em teljes metrikus terek. VII. Legye M em üres halmaz, és d : M M R + olya leképezés, melyre. mide x, y M elemre dx, y) = potosa akkor teljesül, ha x = y;. mide x, y, z M eseté dx, y) dx, z) + dy, z). Igazoljuk, hogy M, d) metrikus tér. VIII. Legye M, d) metrikus tér. Igazoljuk, hogy az alábbi d i : M M R + i =,, 3, 4) függvéyek is metrikát határozak meg. dx, y) d x, y) = midx, y), ) d x, y) = + dx, y) d 3 x, y) = logdx, y) + ) d 4 x, y) = dx, y) IX. Legye M, d) metrikus tér és legye f : R + R + olya függvéy, melyre. f) = és mide x > eseté fx) > ;. f mooto övő; 3. mide x, y R eseté fx + y) fx) + fy). Mutassuk meg, hogy ekkor M, f d) is metrikus tér. X. Defiiáljuk a d : N N R +, m) { + ha m ; + m ha m = függvéyt.. Bizoyítsuk be, hogy N, d) metrikus tér.. Adjuk példát olya N halmazba haladó k ) k N sorozatra és az R + halmazba haladó r k ) k N szigorúa mooto fogyó sorozatra, melyre mide k N eseté r k >, B rk+ k+ ) B rk k ), de k N B rk k ) =. XI. Legye M, d) olya metrikus tér, melybe M korlátos halmaz. Jelölje F M) az M tér em üres zárt részhalmazaiak a halmazát. Defiiáljuk az alábbi függvéyeket. ) ρ : F M) F M) R + A, B) sup if dx, y) x A y B d : F M) F M) R + A, B) maxρa, B), ρb, A)) Mutassuk meg, hogy F M), d ) metrikus tér. XII. Defiiáljuk az alábbi függvéyeket. α : FN, N) FN, N) R + d : FN, N) FN, N) R + f, g) mi { N f) g)} + αf, g) ha f g; f, g) + αf, g) ha f = g. Igazoljuk, hogy FN, N), d) metrikus tér. 35

41 XIII. H Legye M, d) metrikus tér és tetszőleges A M halmaz eseté legye It A = { x M r R + \ {} : B r x) A }, Ext A = { x M r R + \ {} : B r x) A = }, Fr A = { x M r R + \ {} : B r x) A B r x) \ A }.. Mutassuk meg, hogy mide A M eseté teljesülek az alábbiak. Ext Ext Ext Ext A = Ext Ext A Ext Ext It Fr A = It Fr A Fr Ext Ext It A = Fr Ext It A Fr Ext It Fr A = Fr It Fr A Ext Ext Ext It A = Ext It A Ext Ext Fr A = It Fr A Fr Ext Ext Ext A = Fr Ext Ext A. Legye A M tetszőleges halmaz. Mutassuk meg, hogy ha véges sokszor alkalmazzuk egymás utá az It, az Ext és a Fr halmazműveleteket az A halmazra, akkor azokat midig le lehet rövidítei égy halmazműveletre. 3. Legye A M tetszőleges halmaz. Mutassuk meg, hogy ha véges sokszor alkalmazzuk egymás utá az It, az Ext és a Fr halmazműveleteket az A halmazra, akkor legfeljebb 5 külöböző halmazt kaphatuk. XIV. Legye M, d) metrikus tér, és x, y M két külöböző pot. Igazoljuk, hogy ekkor létezek olya U, V M yílt halmazok, melyekre x U, y V és U V = teljesül. XV. Legye M, d) metrikus tér, x M és A M zárt halmaz, melyre x / A. Igazoljuk, hogy ekkor az {x} halmaz zárt, valamit, hogy létezek olya U, V M yílt halmazok, melyekre x U, A V és U V = teljesül. XVI. Legye M, d) metrikus tér és A, B M zárt halmaz, melyre A B =. Igazoljuk, hogy ekkor létezek olya U, V M yílt halmazok, melyekre A U, B V és U V = teljesül. XVII. Igazoljuk, hogy metrikus térbe mide yílt halmaz előállítható megszámlálhatóa sok zárt halmaz uiójakét, és mide zárt halmaz előállítható megszámlálhatóa sok yílt halmaz metszetekét. XVIII. Mutassuk meg, hogy az M = [, ] Q halmaz em kompakt, ha a teret a megszokott euklidészi metrikával látjuk el. XIX. Tekitsük az M = Q teret a megszokott euklidészi metrikával. Azt modjuk, hogy az x M potak az U M halmaz egy köryezete, ha létezik olya ε >, melyre G ε x) U teljesül. Mutassuk meg, hogy az M térbe egyetle potak sics kompakt köryezete. XX. Példák lokális kompakt és em lokálisa kompakt terekre.. Legye M = Q és mide p, q Q eseté legye dp, q) = p q. Mutassuk meg, hogy az M, d) tér em lokálisa kompakt.. Legye N. Mutassuk meg, hogy az R, p ) tér lokálisa kompakt mide p [, [ eseté. 3. Legye M = { x, y) R x = y = ) x > ) } és legye d az euklideszi metrika megszorítása az M halmazra. Mutassuk meg, hogy az M, d) tér em lokálisa kompakt. 36

42 4. Legye M = { x, y) R x = y = ) x > y = si )} x és legye d az euklidészi metrika megszorítása az M halmazra. Mutassuk meg, hogy az M, d) tér em lokálisa kompakt. XXI. Legye M, d) metrikus tér és legye x M.. Mutassuk meg, hogy az {x} halmaz potosa akkor sehol sem sűrű, ha x em izolált potja az M térek.. Mutassuk meg, hogy ha M em üres, teljes metrikus tér, melyek ics izolált potja, akkor az M halmaz em megszámlálhatóa végtele. 3. Normált terek I. Legye V vektortér, valamit legye és orma a V tére. Mutassuk meg, hogy és ormák potosa akkor ekvivalesek, ha létezek olya K, K R + számok, hogy mide x V vektorra x K x és x K x teljesül. II. Legye N és p, q [, [. Mutassuk meg, hogy az R tére. mide p [, [ eseté a p és a ormák ekvivalesek;. bármely p, q [, [ szám eseté a p és a q ormák ekvivalesek. III. Legye V, ) ormált tér. Potosa akkor létezik a V vektortére olya skaláris szorzás mellyel V prehilbert-tér, ha mide x, y V vektorra teljesül. x + y + x y = x + y IV. Mutassuk meg, hogy ormált térbe mide yílt és zárt gömb kovex halmaz. Vagyis mide a V és r R + eseté teljesül.) x, y B r a) t [, ] : tx + t)y B r a) x, y B r a) t [, ] : tx + t)y B r a) V. H Legye V, ) ormált tér és legye X V kovex halmaz. Azt modjuk, hogy az a X pot az X halmaz extremális potja, ha x, y X t [, ] : tx + t)y = a t {, }.. Mide p [, [ eseté adjuk meg a B ) halmaz extremális potjait az R, p ) térbe.. Adjuk meg a B ) halmaz extremális potjait az R, ) térbe. 3. Jelölje C R, R) a folytoos, végtelebe eltüő függvéyek halmazát, vagyis C R, R) = { f CR, R) : ε R + K R kompakt halmaz x R \ K : fx) < ε }. Mutassuk meg, hogy a C R, R), ) térbe a B ) gömbek icse extremális potja. Egy A M halmazt akkor evezük sehol sem sűrűek, ha It A =. 37

43 VI. H. Mutassuk meg, hogy a C b R, K), sup) térbe C R, K) megegyezik a végtelebe eltűő folytoos R K függvéyek halmazával. 4. Függvéysorozatok, függvéysorok 4.. Kovergeciatartomáy I. Határozzuk meg az alábbi függvéysorozatok kovergeciatartomáyát és határfüggvéyét. II.. f x) = l x. f x) = si x ) 3. f x) = x + x 4. f x) = x 5. f x) = x ) + ) 6. f x) = N x 4 x Határozzuk meg az alábbi függvéysorok kovergeciatartomáyát. ) x x l x.. x + + x ) 3. x + )x + + ) N N cos x 4 + x 5. x arctg x + 8. ) [ ] x. ) ) x! e 4. = = 4.. Egyeletes kovergecia I. Legye mide N eseté N N N k= = = + x 6. k x) 9. )!! + )!! x. e x l f : R R x x. 5. N ) N N = x x ) x k = k= k + x Határozzuk meg az f = lim f függvéyt. Igaz-e, hogy az f ) N függvéysorozat egyeletese kovergál az f függvéyhez? II. Vizsgáljuk meg, hogy az alábbi függvéysorozatok egyeletese kovergesek-e az adott itervallumo.. f x) = e x I = [, [ I = [, [. f x) = x e x I = [, [ 3. f x) = x x + I = [, [ 4. x f x) = + x + I = [, [ C R, K) = {f CR, K) supp f kompakt halmaz}, ahol supp f = {x R fx) }. Az f : R K függvéy végtelebe eltűő, ha mide ε R + eseté létezik olya K R kompakt halmaz, hogy mide x R \ K) elemre fx) < ε. 38

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

Andai Attila: november 13.

Andai Attila: november 13. Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2 ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1. PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel? 1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1. Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok . gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt

Részletesebben

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat! megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások

Részletesebben

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819. 3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy

Részletesebben

Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára

Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be, 6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014 A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz:

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Bevezető analízis II. példatár

Bevezető analízis II. példatár Bevezető aalízis II. példatár Gémes Margit, Szetmiklóssy Zoltá Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Matematikai Itézet 06. ovember 3. Tartalomjegyzék. Bizoyítási módszerek, valós számok 3..

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

1. gyakorlat - Végtelen sorok

1. gyakorlat - Végtelen sorok . gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

Fourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Fourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! Fourier sorok FO Trigoometrikus Fourier sorok FO Trigoometrikus redszer Defiíció: trigoometrikus redszer Az {, cos x, si x, cos x, si x, cos 3x, si 3x, } függvéyekből álló (végtele sok függvéyt tartalmazó)

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

I. rész. Valós számok

I. rész. Valós számok I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

BSc Analízis I. előadásjegyzet

BSc Analízis I. előadásjegyzet BSc Aalízis I. előadásjegyzet 2009/200. őszi félév Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék 200. április 30. ii Tartalomjegyzék Előszó v. Bevezetés.. Logikai állítások,

Részletesebben

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1 . feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Metrikus terek. továbbra is.

Metrikus terek. továbbra is. Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke

Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú

Részletesebben

Kitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK

Kitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 69 1. KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit! Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk

Részletesebben

Függvényhatárérték-számítás

Függvényhatárérték-számítás Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Kalkulus II., második házi feladat

Kalkulus II., második házi feladat Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

Meghökkentő és hihetetlen barangolás a matematikai végtelen birodalmában (Végtelen sorokról) július 6.

Meghökkentő és hihetetlen barangolás a matematikai végtelen birodalmában (Végtelen sorokról) július 6. Meghökkető és hihetetle baragolás a matematikai végtele birodalmába (Végtele sorokról) 59. Rátz László vádorgyűlés (spec.mat. szekció) Gödöllő 09. július 6. Dr. Németh József c. egyetemi taár SZTE TTIK

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk: Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat . Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben

Részletesebben

A2 Vektorfüggvények minimumkérdések szóbelire 2015

A2 Vektorfüggvények minimumkérdések szóbelire 2015 A2 Vektorfüggvéyek miimumkérdések szóbelire 215 Lieáris algebra I. 1. Csoport, gyűrű, test félcsoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak (pl. természetes számok eseté az összeadás)

Részletesebben

A primitív függvény és a határozatlan integrál 7

A primitív függvény és a határozatlan integrál 7 A primitív függvéy és a határozatla itegrál 7 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Korábbi taulmáyaitok sorá láthattátok, hogy sok műveletek, függvéyek va fordított művelete, iverz függvéye

Részletesebben

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21. Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!! 4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe

Részletesebben

GRUBER TIBOR. ANALÍZIS III. Folytonosság

GRUBER TIBOR. ANALÍZIS III. Folytonosság GRUBER TIBOR ANALÍZIS III. Folytoosság 3 Tartalom A. A RENDEZETT SZÁM N-ESEK TERE I. K N TOPOLÓGIÁJÁNAK ALAPJAI 1. K N struktúrája........................ 7 2. Nyílt halmazok és zárt halmazok...............

Részletesebben

Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz. 2 dx = 1, cos nx dx = 2 π. sin nx dx = 2 π

Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz. 2 dx = 1, cos nx dx = 2 π. sin nx dx = 2 π Matematika Ac gyakorlat Vegyzméröki, Bioméröki, Köryezetméröki szakok, 7/8 ősz 4. feladatsor: Fourier-sorok megoldás. Legye fx = ha x, ], fx = ha x, π]. Írjuk fel f Fourier-sorát. Mely potokba állítja

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

(2) Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: x sin y dx dy, ahol T : 0 x 1, 2 y 3.

(2) Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: x sin y dx dy, ahol T : 0 x 1, 2 y 3. . feladatsor () Határozzuk meg a következő területi itegrálokat a megadott téglalapoko: ( (x + y) dx dy, ahol T : x, y 3. ( T T x si y dx dy, ahol T : x, 2 y 3. (2) Határozzuk meg a következő területi

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

Sorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán

Sorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán Sorok és hatváysorok vizsgálata Abel yomá Szakdolgozat Készítette: Vákovics Mária Matematika BSc, Matematikai elemz szakiráy Témavezet : Pfeil Tamás adjuktus Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai

Részletesebben

Matematika szigorlat (A1-A2-A3)

Matematika szigorlat (A1-A2-A3) Matematika szigorlat (A1-A2-A3) szóbeli kérdések kidolgozás ikkel, 2014-2016 Felhaszált források: 1. Szilágyi Brigitta előadásai készült saját jegyzet 2. Obádovics J. Gyula, Szarka Zoltá Felsőbb matematika

Részletesebben

GRUBER TIBOR. ANALÍZIS VIII. Funkcionálanaĺızis

GRUBER TIBOR. ANALÍZIS VIII. Funkcionálanaĺızis GRUBER TIBOR ANALÍZIS VIII. Fukcioálaaĺızis 3 Tartalom I. BEVEZETÉS 1. Alapvető tudivalók...................... 5 2. Sűrű lieáris alterek..................... 11 II. A FUNKCIONÁLANALÍZIS ALAPTÉTELEI 3.

Részletesebben