A2 Vektorfüggvények minimumkérdések szóbelire 2015

Átírás

1 A2 Vektorfüggvéyek miimumkérdések szóbelire 215 Lieáris algebra I. 1. Csoport, gyűrű, test félcsoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak (pl. természetes számok eseté az összeadás) csoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak, és létezik zérus (vagy egység-) elem, ill. iverz elem (összeadásak a kivoás, szorzásak az osztás az ivertálása) (pl. egész számok halmaza eseté az összeadás) Abel-csoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak, és kommutatívak is, ill. létezik a zérus elem és az iverz elem gyűrű: olya Abel-csoport, amelybe a kétváltozós műveletek már disztributívak is egymásra ézve (pl. az egész számok eseté az összeadásra ézve a szorzás) A gyűrűbe már két műveletet defiiáluk! Az új, második művelet is asszociatív (azaz tetszőlegese zárójelezhető). test: olya Abel-csoport, amelybe a kétváltozós műveletek disztributívak egymásra ézve (pl. racioális számokál az összeadásra ézve a szorzás disztributív) A testbe szité két műveletet defiiáluk! Az új, második művelet itt is asszociatív. Továbbá, létezik a második műveletre is az egység (e) és az iverz (a*) elem. 2. Euklideszi tér Valós euklideszi térbe értelmezhetőek: skaláris szorzat: < x, y >: = x 1 y 1 + x 2 y x y Tulajdoságai: szimmetrikus, homogé, additív, emegatív (vektorterek axiómái) vektor hossza: x < x, x > vektorok közbezárt szöge: cos (x, y) <x,y> x y Def.: Az olya lieáris teret (vektorteret), amelybe skaláris szorzat va értelmezve, euklideszi térek evezzük. Pl. a geometriai vektortér euklideszi tér. Cauchy-Buyakovszkij-Schwarz-egyelőtleség : < x, y > 2 < x, x > < y, y > Ahol < x, x > = x 2 2 illetve < y, y > = y (ld. vektor hossza) Következméye: valós euklideszi terekbe igaz a háromszög-egyelőtleség: x + y x + y Tétel: mide dimeziós euklideszi térbe létezik ortoormált (egységyi hosszúak az ortogoális, azaz egymásra merőleges bázisvektorok) bázis. 1

2 3. Vektortér Def.: Az elemek egy V halmazát a γ számtest (valós, egész, komplex számok stb.) felett vektortérek evezzük, ha értelmezve va 2 művelet: egy összeadás (+) a vektortér elemei között és egy szorzás ( ) a számtest és a vektortér elemei között, és érvéyesek az alábbiak: 1) ha a, b V, akkor a + b V 2) a + b = b + a a, b V kommutativitás (+) 3) a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c V asszociativitás (+) 4) létezik zéruselem, ahol a + = + a = a a V 5) létezik az iverz elem, amelyre a + ( a) = 6) ha a V, α γ, akkor α a V 7) α(a + b) = αa + αb disztributivitás (+) a ( )-ra 8) (α + β)a = αa + βa a V 9) α(βa) = (αβ)a asszociativitás ( ) a ( )-ra Általáosa: a, b V és α, β γ 1)-5) állítások az összeadásra, 6)-9) állítások a szorzásra voatkozak 4. Vektorok lieáris függősége és függetlesége Az {a 1, a 2,, a } vektorok lieárisa függetleek, ha csak a triviális, α i = megoldása va az α 1 a 1 + α 2 a α a = egyeletek. Ellekező esetbe bármely α em ulla lieárisa összefüggőek (azaz em függetleek) ezek a vektorok. Az α 1 a 1 + α 2 a α a vektor az a 1, a 2,, a vektorok lieáris kombiációja. 5. Lieáris egyeletredszer Def.: A véges sok elsőfokú egyeletet és véges sok ismeretlet tartalmazó egyeletredszert lieáris egyeletredszerek evezzük. Az egyeletredszer felírható az A x = b ú. mátrix alakba, ahol A az együttható mátrix, x az ismeretleek vektora és b az eredméyvektor. - homogé: ha az eredméyvektor ullvektor - ihomogé: ha az eredméyvektorba va akár csak egy darab -tól külöböző szám 6. Lieáris egyeletredszer megoldhatóságáak szükséges és elégséges feltétele A lieáris egyeletredszer akkor, és csak akkor oldható meg, ha együttható mátrixáak ragja megegyezik (az eredméyvektorral) bővített mátrixáak ragjával. Másképpe: az együttható mátrix ragja em ő, ha hozzávesszük a b-t. Tehát: rg (A) = rg(a b) - ics megoldás, ha rg (A) rg (A b) - 1 db megoldás va, ha rg (A) = rg (A b) = - végtele sok megoldás va, ha rg (A) = rg (A b) < ( az ismeretleek száma) Megoldási módszerek: A iverzével, Cramer-szabállyal, Gauss(-Jorda) elimiációval. 2

3 7. Mátrix determiás Az R tér a 1,, a vektoraihoz (vagyis az dimeziós tér db vektorához) hozzáredelük egy valós számot, amit determiásak evezük és det(a 1, a 2, a )-el jelölük. Axiomatikus felépítés a hozzáredeléshez szükséges axiómák: 1) Additív tulajdoság: ha az i-edik oszlopba vagy sorba csupa kéttagú összeg szerepel, akkor a determiás előállítható két olya determiás összegekét, melyekek az i-edik sorába vagy oszlopába csak a kéttagú összegek első, ill. második tagja szerepel. 2) Homogé tulajdoság: determiást számmal úgy szorzuk, hogy csupá egyik soráak vagy oszlopáak elemeit szorozzuk a számmal. Hasolóa, csak a determiás egyetle oszlopából vagy sorából kell kiemeli a λ számot a determiás elé, hogy e változzo az értéke. 3) Ha a determiás 2 oszlopát felcseréljük, akkor értéke ( 1)-szeresére változik. 4) Az egységmátrix determiása 1. Fotos, hogy csak kvadratikus, azaz égyzetes mátrixokak va determiása. 8. Mátrix iverz A égyzetes A mátrix iverzé olya A 1 -gyel jelölt x-es mátrixot értük, melyre A A 1 = A 1 A = E Csak akkor létezik, ha az A mátrix determiása em ulla, vagyis az A mátrix reguláris. (Vagyis em sziguláris.) Kiszámítási módszerek: adjugálttal vagy Gauss-elimiációval. 9. Mátrix rag Def.: A mátrix ragja egyelő a mátrix lieárisa függetle sorvektoraiak vagy oszlopvektoraiak számával. Másképpe: megegyezik a maximális, el em tűő aldetermiásáak redjével. (aldetermiás redje v. redszáma: háyszor háyas) Avagy: lieárisa függetle oszlopvektorok maximális száma = rag Egy mátrix ragja em változik meg, ha - tetszőleges sorát vagy oszlopát egy -tól külöböző számmal szorozzuk - tetszőleges sorát vagy oszlopát felcseréljük - tetszőleges sorához vagy oszlopához egy másik tetszőleges sorát vagy oszlopát adjuk Lieáris algebra II. 1. Lieáris leképezés fogalma Legye V 1 és V 2 ugyaazo test (R,C) feletti vektortér. A φ: V 1 V 2 lieáris leképezés, ha teljesül, hogy φ(λu 1 + v 1 ) = λφ(u 1 ) + φ(v 1 ) A liearitás tehát azt jeleti, hogy a leképezés az összegre tagokét hat, a skalár kiemelhető. Úgy is modhatjuk, hogy ez a lieáris leképezések additív és homogé tulajdosága. Megjegyzés: φ() = Fogalmak: lieáris traszformáció: ha V 1 = V 2 (pl. R 3 R 3 ) ijektív traszformáció: ha φ(u 1 ) = φ(v 1 ), akkor u 1 = v 1 Tehát két külöböző elemhez em redelhetjük ugyaazt, az ősképekek meg kell egyeziük! (kölcsööse egyértelmű, de V 2 em mide eleme képelem) szürjektív traszformáció: v 2 V 2 eseté v 1, hogy φ(v 1 ) = v 2 (V 2 mide eleme képelem, de em kölcsööse egyértelmű!) bijektív (kölcsööse egyértelmű) traszformáció: ha ijektív és szürjektív is 3

4 2. Ragullitás tétele Más éve: dimeziótétel dim Kerφ + dimimφ = dim V 1 azaz def φ + rgφ = dimv 1 ahol Kerφ a leképezés magtere, Imφ a képtere (V 2 részhalmaza), V 1 pedig a tárgytér. 3. Magtér, képtér - magtér: Kerφ = {v 1 V 1 φ(v 1 ) = } Megjegyzés: Kerφ altér V 1 -be. A magtér dimeziója a leképezés ú. defektusa. - képtér: Imφ = {v 2 V 2 v 1 V 1, φ(v 1 ) = v 2 } Megjegyzés: Imφ dimeziója a leképezés ragjával egyelő. 4. Sajátvektor, sajátérték Számos műszaki-gazdasági probléma az A x = λx alakú egyeletredszer megoldását igéyli, ahol λ valós vagy komplex paraméter. Akkor va az (A λe) x = homogé egyeletredszerek triviálistól külöböző megoldása (x ), ha a det (A λe) = ú. karakterisztikus egyelet ulla. Ha létezik zérustól külöböző megoldásvektora az első kettő egyeletek, akkor a λ számokat az A mátrix sajátértékeiek, a sajátértékekhez tartozó x megoldásvektorokat pedig sajátvektorokak evezzük. Def.: Legye v. Ekkor v-t a φ: V V lieáris leképezés sajátvektoráak hívjuk, ha φ(v) = λv. λ T, tehát azo T testbeli elem, amely felett V vektortér. λ-t a v sajátvektorhoz tartozó sajátértékek modjuk. Megjegyzések: - valós, szimmetrikus mátrix mide sajátértéke és sajátvektora valós és a sajátvektorok ortogoálisak (egymásra párokét merőlegesek) - külöböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lieárisa függetleek - az A mátrixra alkalmazott tetszőleges S 1 A S hasolósági traszformáció változatlaul hagyja az A mátrix sajátértékeit. - mide valós szimmetrikus mátrixhoz megadható egy olya ortogoális S mátrix (azaz olya, amiek a traszpoáltja megegyezik az iverzével), amelyre S 1 A S = A d Ekkor az A d diagoális mátrix főátlójába az A mátrix sajátértékei vaak. A diagoizálás is bázis traszformáció, azo alapul! - az A mátrix k-adik hatváyáak sajátértékei egyelők az A sajátértékeiek k-adik hatváyával - ha v sajátvektora φ-ek, akkor μv is sajátvektor, hisze a sajátvektor sosem egyértelmű; végtele sajátvektora va egy vektorak, miket csak az iráya érdekel, így a hossza em is számít (általába ezért adjuk meg egységhosszúra). 5. Bázis traszformáció Egy dimeziós vektorokból álló dimeziós lieáris térek végtele sok bázisa va. Az egyik bázisból át lehet téri a másikba. Amikor a bázisak csak az egyik vektorát cseréljük ki, akkor elemi bázistraszformációt hajtuk végre. Egy adott bázisból egy másik bázisba való áttérést bázistraszformációak evezzük. Az új bázist a bázistraszformáció mátrixáak iverzével kaphatjuk meg: A = S 1 A S 4

5 ahol A az új bázis, A az eredeti bázis, S pedig a bázis traszformáció mátrixa. Legye {b 1,, b } és {b 1,, b } bázisok V-be, ekkor az egyikről a másikra való áttérés S mátrixa: b 1 = s i1 b i ; b j = s ij b i ; b = s i b i i=1 i=1 i=1 6. Hasoló mátrixok Az A = S 1 A S s 11 s 1 S = [ ] s 1 s hasolósági traszformáció. - Az A és A mátrixokat hasoló mátrixokak evezzük, ha létezik olya S reguláris mátrix, amely kielégíti a feti egyeletet - Hasoló mátrixok determiása és ragja is megegyezik (az első állítás a determiások szorzattétele alapjá köye belátható.) 7. Ortogoális mátrix Egy mátrix ortogoális, ameyibe iverze megegyezik a traszpoáltjával, azaz A 1 = A T Ez azért előyös, mert ekkor A T A = A 1 A = E Megjegyzés: ortoormált egy bázis, ha az ortogoális bázis vektorai egységyi hosszúak. Függvéysorozatok, függvéysorok 1. Függvéysorozat A számsorozathoz úgy jutottuk, hogy a természetes számokhoz számokat redeltük. Redeljük most ezekhez függvéyeket. Def.: Ha a természetes számok midegyikéhez egy-egy függvéyt redelük, akkor függvéysorozatot kapuk. Legyeek e függvéysorozat elemei az f 1, f 2,, f, függvéyek, amelyek az I itervallumo értelmezettek. Rögzítsük egy x I helyet. Ekkor az f 1 (x), f 2 (x),, f (x), számsorozat lehet koverges vagy lehet diverges. Ha koverges, akkor létezik a lim f (x) = f(x) határérték. Ez azt jeleti, hogy akármilye kicsi ε > -hoz va olya ε tól és x-től függő N természetes szám, hogy > N eseté f (x) f(x) < ε. Az N szám a küszöbszám. - f az (f ) függvéysorozat határfüggvéye. - azok az x számok, melyekél a sorozat koverges: a függvéysorozat kovergeciatartomáyát alkotják. - Az így értelmezett kovergeciát potokéti kovergeciáak evezzük. Def.: Az f I R R, N sorozatot függvéysorozatak evezzük. 5

6 2. Függvéysor Def.: Legye f I R R függvéysorozat. Képezzük a következő részletösszegfüggvéyeket: s 1 (x) f 1 (x) s 2 (x) f 1 (x) + f 2 (x) Cauchy-féle kovergeciakritérium s (x) f i (x) i=1 Az így előálló (s ) függvéysorozatot az (f ) függvéysorozatból képzett függvéysorak evezzük és f -el jelöljük. - Az olya végtele sort, amelyek tagjai függvéyek, függvéysorak evezzük. - Itt em határfüggvéy va, haem összegfüggvéy: s(x) lim s (x) 3. Függvéysorozat, függvéysor kovergeciája, egyeletes kovergeciája - A függvéysorozat kovergeciáját a határfüggvéytől függetleül is értelmezhetjük: a) Az (f ) függvéysorozat akkor, és csak akkor koverges egy x H potba, ha mide ε > eseté N(ε) olya csak ε-tól függő N természetes szám, hogy, m > N(ε) eseté f (x ) f m (x ) < ε b) Az (f ) függvéysorozat akkor, és csak akkor koverges potokét a H I halmazo, ha mide ε > eseté N(ε, x) olya ε-tól és x-től függő N természetes szám, hogy, m > N(ε, x) eseté x H-ra f (x) f m (x) < ε c) Az (f ) függvéysorozat akkor, és csak akkor koverges egyeletese az E H halmazo, ha mide ε > eseté N(ε) olya csak ε-tól függő N természetes szám, hogy, m > N(ε) eseté x E-re f (x) f m (x) < ε Eze esetek közül a legléyegesebb az az eset, amikor N függetleíthető x-től, vagyis N mide x I eseté küszöbszám. Ilyekor a függvéysorozat egyeletese koverges, más szóval egyeletese tart a határfüggvéyéhez. Ez azért fotos, mert az egyeletese koverges függvéysorozatokál az elemek éháy jeletős tulajdosága öröklődik a határfüggvéyre (pl. differeciálhatóság, itegrálhatóság). - Függvéysorok kovergeciája: a) A f függvéysor koverges az x potba, ha az (s ) függvéysorozat koverges x -ba. b) A f függvéysor koverges a H I halmazo, ha az (s ) függvéysorozat koverges H -. c) A f függvéysor egyeletese koverges E H halmazo, ha az (s ) függvéysorozat egyeletese koverges E H halmazo. A f függvéysor egyeletese koverges az E H halmazo akkor, és csak akkor, ha bármely ε > hoz létezik csak ε-tól függő N szám, hogy s (x) s m (x) < ε, ha, m > N(ε), x E-re. 6

7 4. Weierstrass-tétel Az előbb leírt Cauchy-féle kovergecia kritériummal elég ehézkes vizsgáli az egyeletes kovergeciát, de erre való a Weierstrass-tétel is, ami a függvéysorok egyeletes kovergeciájáak elégséges feltétele: Legye f I R R a függvéysorozat és f a belőle képzett függvéysor; a pedig egy koverges umerikus sor. Ha bármely x J eseté teljesül, hogy f (x) a mide N-re, akkor a f függvéysor egyeletese koverges J-. Értelmezés: ha felülről tudjuk becsüli (majoráli) a függvéysorozatukat egy koverges umerikus sorozattal, akkor a függvéysorozatból képzett függvéysor is koverges, mégpedig egyeletese koverges lesz. (majorás kritérium). Megjegyzés: a Weierstrass-tételbeli kovergecia abszolút kovergecia is, azaz a f függvéysor is koverges. A függvéysorokál is az egyeletese kovergesek a külöleges jeletőségűek, mert például a sor tagjaiak folytoossága, differeciálhatósága, itegrálhatósága öröklődik az összegfüggvéyre. 5. Cauchy-Hadamard-tétel Legye r a a x hatváysor (ld. következő pot) kovergeciasugara a) ha r =, akkor a hatváysor csak az x = potba koverges (legrosszabb eset) b) ha r =, akkor a hatváysor bármely x R eseté koverges c) ha < r <, akkor a hatváysor i. abszolút koverges, ha x < r, vagyis r < x < r ii. diverges, ha x > r, vagyis x > r vagy x < r - r -be és r -be külö-külö ki kell értékeli, hogy koverges-e A c) eset a legfotosabb, eek a bizoyítása a következő: i. x < r feltétel eseté a gyöktesztet alkalmazva ii. limsup a x a gyökvoás azoossága miatt x limsup a = x 1 r ami a feltétel miatt kisebb, mit 1. Tehát létezik olya q < 1, hogy a x a gyökteszt miatt koverges (x tetszőleges volt, bármely x-re igaz ez, ha x < r). Ugyacsak a gyökteszt miatt, ha x > r, akkor a x hatváysor diverges, hisze q = x r > 1 ekkor. Megjegyzés: azt, hogy a függvéysor hol állítja elő az összegfüggvéyét, csak a hatváysorokál ilye egyszerű meghatározi: 1 r = limsup a = lim a (egyelők, ha a határérték létezik és felveszi függvéyértékkét). 7

8 6. Hatváysor Az alkalmazásokba legtöbbször a függvéysorok speciális osztályával, a hatváysorokkal találkozuk. Előyük, hogy e sorok tagjai egyszerű függvéyek, köye lehet őket deriváli, illetve itegráli. Def.: f (x) a (x a) kitütetett, speciális függvéysorozatból képezzük a hatváysort: a (x a) = a : a hatváysor. együtthatója a: a sorfejtés cetruma Defiíció szerit a hatváysor kovergeciasugaráak reciproka: 1 r = limsup a, r R b Tétel. Ha a a x (a = a cetrum és -tól összegzük) hatváysor koverges az x potba, akkor az x < x helyeke abszolút és egyeletese is koverges. 7. Taylor-poliom, Taylor-sor Def.: Ha az egyváltozós valós f függvéy az értelmezési tartomáyáak egy belső x potjába legalább -szer differeciálható, akkor a T f, (x) f(k) (x ) k (x x k! ) poliomot a függvéy x helyhez tartozó -edfokú Taylor-poliomjáak, az R (x) f(x) T (x) külöbséget pedig Lagrage-féle maradéktagak evezzük, ami k= R (x) = f(+1) (ξ) ( + 1)! x+1 Valamely akárháyszor differeciálható f függvéyek a Taylor-poliommal való közelítése akkor haszos, ha (a szumma felső határa) övelésével a közelítés hibája tetszőlegese kicsivé tehető, azaz a maradéktag a végtelebe -hoz tart. Tehát ha, akkor a Taylorpoliomból egy végtele sor, a Taylor-sor lesz: f(x) = f(k) (x ) k (x x k! ) k= Def.: Ha f akárháyszor differeciálható az x D f helye, akkor a feti végtele sort az f függvéy x helyhez tartozó Taylor-soráak, a sor előállítását pedig a függvéy sorbafejtéséek evezzük. Feltétel, hogy a maradéktag -hoz tartso, csak akkor állítja elő a függvéyt a Taylor-sor! Az x = helyhez tartozó Taylor-sort Maclauri-sorak evezzük. Ekkor f(x) = f() + f () 1! x + f () 2! x 2 + = f(k) () k! k= x k, x < r Megjegyzés: Hasolóképpe, az x = esetre felírt Taylor-formulát Maclauri-formuláak is evezzük. a = f() (), ha a hatváysor a! x alakú. (Vagyis a = a cetrum). 8

9 8. Kovergeciasugár, kovergeciatartomáy Mivel mid a Taylor-sor, mid a Maclauri-sor hatváysor, ezért e sorok kovergeciatartomáyát a kovergeciasugár kiszámításával határozzuk meg, a szokásos módo, legikább háyadosteszttel vagy gyökteszttel: 1 r = lim a k+1 k a k 9. Fourier-sor Trigoometrikus poliomak evezzük a következő alakú függvéyt: t k (x) a + a 1 cosx + b 1 six + a 2 cos2x + b 2 si2x + + a k coskx + b k sikx A Fourier-sor léyegébe a trigoometrikus poliomból képzett trigoometrikus sor. Így a Fourier-sor általáos képlete: f(x) = a + (a k coskx + b k sikx) k=1 A Fourier-sorfejtés csak (általába 2π szerit) periodikus függvéyekre alkalmazható. Ehhez az f függvéyek, amiek a Fourier-sorát akarjuk megállapítai, korlátosak és Riema szerit itegrálhatóak is kell leie. A feti képletbeli ú. Fourier-együtthatók a következők: Egyszerűsítések: 2π a = 1 2π f(x)dx ; b = 2π a k = 1 f(x) coskxdx π 2π b k = 1 f(x) sikxdx π - Ha a periodikus, korlátos, Riema-itegrálható függvéyük páratla, akkor csak sziuszos tagok szerepelek a Fourier-sorába, így a = a k = - Ha a periodikus, korlátos, Riema-itegrálható függvéyük páros, akkor csak kosziuszos tagok szerepelek a Fourier-sorába, így b k = Általáosa, 2l szerit periodikus függvéyek Fourier-sora: 2l a = 1 2l f(x)dx 2l a k = 1 kπx f(x) cos dx l l 2l b k = 1 kπx f(x) si dx l l 9

10 Többváltozós függvéyek 1. Primitív függvéy Def.: Legye D R yílt halmaz, f: D R. Ekkor az F: R R függvéyt az f függvéy primitív függvéyéek evezzük, ha F (x) = f(x) x D eseté. A primitív függvéy R R típusú, ezért a deriváltja egy vektor, ami éppe a parciális deriváltakból áll össze, s ez egyelő f(x) kompoes függvéyeivel: ( F(x) x 1, F(x) x 2,, F(x) ) = (f x 1 (x), f 2 (x),, f (x)) j {1,2,, } Vagyis pl. j F = f j (A primitív függvéy j-edik változó szeriti parciális deriváltja a j-edik kompoes függvéyt adja eredméyül; j megy 1-től -ig.) Tétel. Szükséges feltétel a primitív függvéy létezéséhez: Ha D R yílt halmaz, és F: R R az f primitív függvéye, akkor i f j = j f i Azaz f j-edik kompoes függvéyéek az i-edik változó szeriti parciális deriváltja megegyezik az i-edik kompoes függvéy j-edik változó szeriti parciális deriváltjával. Tétel. Elégséges feltétel a primitív függvéy létezéséhez: Legye D R kovex, yílt halmaz. Ha f: D R folytoosa differeciálható és i f j = j f i i, j {1,2,, } eseté, akkor az f-ek létezik primitív függvéye. 2. R R k leképezés differeciálhatósága Def.: Legye U R yílt halmaz, f: U R k leképezés. Azt modjuk, hogy f differeciálható az a D f potba, ha létezik A: R R k lieáris leképezés és ω: R R k leképezés, melyre ω() =, valamit létezik ω(h) lim h h =, hogy f(x) f(a) = A(x a) + ω(x a) Az A leképezések egy kx-es mátrix felel meg, hisze a deriválás egy (lieáris) leképezés! x a = h helyettesítéssel: f(a + h) f(a) = A(h) + ω(h) 3. Iráymeti derivált Egyváltozóba az adott potbeli derivált egyértelmű, de többváltozós függvéyek eseté az adott potba végtele sok éritője va a felületek, ezért kiválasztuk egy síkot, amivel elmetsszük ezt a felületet. Ez a görbe kimetsz a felületből egy egyeest, eek pedig már kokrét éritője va. Az iráymeti derivált az adott iráy által kimetszett függvéy deriváltja: f e = lim f(a + λe) f(a) =< e, gradf >, ahol e = 1 λ + λ Ha a feti határérték létezik és az egy valós szám, akkor ezt az f a potbeli, e iráyú iráymeti deriváltjáak evezzük. Jele: e f(a). Az a vektor által mutatott pothoz tehát em midegy, hogya, melyik iráyból közelítük. 1

11 4. Parciális derivált A koordiátategelyek iráyába eső iráymeti deriváltak kitütetett szerepe va, ez a parciális derivált. Ekkor az egyik koordiátategely iráyából tartuk az adott potba, a másik változót rögzítjük, kostasak tekitjük, és úgy deriváluk. A többváltozós függvéy valamely változója szeriti deriváltját parciális deriváltak evezzük: Jele: f x = f x vagy f y = f y 5. Gradies Def.: Legye f: R R típusú függvéy, ekkor f gradiesvektora az egyes változók szeriti parciális deriváltakból áll: f x 1 f grad f = f = x 2 f [ x ] - mide potba merőleges a poto áthaladó szimmetriavoalra - a függvéy legagyobb övekedéséek iráyába mutat 6. Jakobi mátrix Def.: Legye f: R R k típusú függvéy. Tudjuk, hogy a deriválás is egy lieáris leképezés, így megfeleltethető eki egy kx-es mátrix: f (a) A M kx A deriválás mátrix reprezetációja a legegyszerűbb esetbe: [ 2 ] 1 Jelölés: f (a) = Jf(a)= f 1 f 1 x 1 x gradf 1 (a) = gradf 2 (a) f k f k [ x 1 x ] kx [ gradf k (a)] Léyege: azoos oszlopba a külöböző függvéyekek ugyaazo változó szeriti parciális deriváltja kerül; azoos sorba pedig az adott függvéy egyes parciális deriváltjai, vagyis a gradiesek. 7. Szélsőérték Az f(x, y) kétváltozós függvéy lokális szélsőértéke létezéséek szükséges, de em elégséges feltétele: az első parciális deriváltak ullák legyeek az (x, y ) potba, azaz f x (x, y ) = f y (x, y ) = Az f(x, y) kétváltozós függvéy lokális szélsőértéke létezéséek elégséges feltétele: az ú. Hesse-mátrix determiása agyobb legye, mit, azaz f xx f xy = f f yx f xx f yy f 2 xy = D(x, y) > yy (A második parciális deriváltak folytoosak, így f xy = f yx ) 11

12 Tehát va lokális szélsőérték, ha D >. Eze belül: a függvéyek lokális miimuma va, ha S(x ) = f xx + f yy > lokális maximuma va, ha S(x ) = f xx + f yy < S(x ) a főátlóba lévő elemek összege, vagyis a Hesse-mátrix yoma (Spur, Trace). Nem döthető el, hogy va-e szélsőérték, ha D =. Nics szélsőérték, ha D <. 8. Kvadratikus formák defiitsége Def.: ψ: V V R szimmetrikus bilieáris forma és η(x) = ψ(x, x) kvadratikus forma. Az η: V R kvadratikus formát i. pozitív defiitek modjuk, ha η(x) > ii. egatív defiitek modjuk, ha η(x) < iii. pozitív szemi-defiitek modjuk, ha η(x) iv. egatív szemi-defiitek modjuk, ha η(x) x V eseté. Ha ezek egyike sem teljesül, akkor idefiit kvadratikus formáról beszélük. A kvadratikus formák defiitsége kapcsolatba hozható a lokális szélsőértékek létezésével: 1) Ha Q pozitív defiit, akkor f-ek az x potba lokális miimuma va. 2) Ha Q egatív defiit, akkor f-ek az x potba lokális maximuma va. 3) Ha Q idefiit, akkor f-ek az x potba ics szélsőértéke. 4) Ha Q szemi-defiit: em tudjuk megmodai, hogy va-e szélsőértéke. 9. Riema-itegrálhatóság (alsó-felső Darboux-itegrál) Legye f: I R R típusú korlátos függvéy. Ekkor az f függvéyt Riemaitegrálhatóak modjuk, ha S(f) = S(f) (alsó és felső Darboux-itegrál megegyezik). S(f): = su p{s(f, d) d beosztása I ek} alsó Darboux-itegrál S(f): = if{s(f, d) d beosztása I ek} ahol A d beosztáshoz tartozó alsó itegrálközelítő összeg: k S(f, d) if(f(i i )) Vol(I i ) i=1 A d beosztáshoz tartozó felső itegrálközelítő összeg: S(f, d) sup(f(i i )) Vol(I i ) ahol k i=1 felső Darboux-itegrál Vol(I i ) = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 ) (b k a k ) szorzat az i. itervallum térfogata. Ameyibe az alsó- és felső Darboux-itegrál megegyezik, akkor ezt a közös értéket f(x)dx -szel jelöljük és Riema-itegrálak evezzük. I 12