Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Átírás

1 Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk meg a + a el jelét. Ha (a) (b) (c) (d) a + a > 0 mide -re, akkor a szigorúa mooto övekv. a + a 0 mide -re, akkor a mooto övekv. a + a < 0 mide -re, akkor a szigorúa mooto csökke. a + a 0 mide -re, akkor a mooto csökke. a + a ( + )(5 ) ( + )(5 + ) 5 (5 + )(5 ) 2 (5 + )(5 ) + + < 0 Tehát a szigorúa mooto csökke. Ha a szigorúa mooto csökke, akkor a > a 2 > > a >, azaz a a mide -re, így a felülr l korlátos és K a.

2 Mivel a szigorúa mooto csökke és agyo agy -re 5-höz közeli értékeket vesz fel, így az a sejtés, hogy az alsó korlát k 5. Bizoyítsuk be, hogy + 5 > 5 mide N + -re. Szorozzuk meg az egyel tleség midkét oldalát 5(5 ) > 0-val. 5( + > (5 ) 5 > Mivel 5 > igaz, az ekvivales átalakítások miatt az eredeti állítás is igaz, így a valóba alulról korlátos és k Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! b ha ; 2; 5 Vizsgáljuk el ször a mootoitást: a + a 2 ( )(5 ) ( )( 2) 5 ( 2)(5 ) ( 2)(5 ) + > 0 Tehát a szigorúa mooto övekv. Mootoitást felhaszálva felírhatjuk, hogy a < a 2 < < a < azaz a a mide ; 2; eseté, tehát a sorozat alulról korlátos és az alsó korlát k a 0, 5. Mivel a szigorúa mooto övekv és agyo agy -re -höz közeli értékeket vesz fel, így az a sejtés, hogy a fels korlát K. Bizoyítsuk be, hogy 5 <, mide -re Szorozzuk meg az egyel tleség midkét oldalát (5 )-el.de vegyük gyelembe, hogy ha ; 2;, akkor 5 < 0. Egy egyel tleség midkét oldalát egatív számmal szorozva, az egyel tleség iráya megváltozik. ( ) > (5 ) 2 > 20 Mivel 2 > 20 igaz, az ekvivales átalakítások miatt az eredeti állítás is igaz, azaz a felülr l korlátos és K 2

3 . Zh feladat: Koverges-e az alábbi sorozat? Ha ige, adja meg azt az N küszöbszámot, amelyt l kezdve a sorozat elemei a határérték ɛ 0 sugarú köryezeté belül esek! a + + El ször vizsgáljuk meg, hogy koverges-e a sorozat. + + ( + ) ( + ) + + Mivel a határértéke véges, a sorozat koverges. Határozzuk meg az ɛ 0 tartozó köszöbszámot, azaz oldjuk meg az alábbi egyel tleséget: + + < 000 ( + ) ( + )) ( + ) < 000 ( + ) < 000 Próbáljuk meg elhagyi az abszolútértéket. Ehhez azt kell megvizsgáli, hogy milye az el jele a kapott törtek. Mivel a számláló egatív, a evez pedig ; 2; eseté pozitív, a tört egatív. Egy egatív szám abszolútértéke pedig ömagáak -szeresével egyel. Tehát az abszolútértéket elhagyhatjuk, ha a törtet szorzom -gyel. Egyszer bbe: ( ) ( + ) < 000 ( + ) < 000 Szorozzuk meg az egyel tleség midkét oldalát 000( + )-tel. Mivel + > 0, az egyel tleség iráy em változik , 5 2 < + < Tehát az ɛ 0 tartozó köszöbszám N 060. Ez azt jeleti, hogy a sorozat els 060 tagja kívül esik a határérték ɛ 0 sugarú köryezeté, de az összes további, azaz végtele sok elem már belül lesz.

4 . Zh feladat: Koverges-e az alábbi sorozat? Ha ige, adja meg azt az N küszöbszámot, amelyt l kezdve a sorozat elemei a határérték ɛ 0 sugarú köryezeté belül esek! a Számítsuk ki a sorozat határértékét: ( 8 + 0) ( 2 5) Mivel a határértéke véges, a sorozat koverges. Határozzuk meg az ɛ 0 -hez tartozó köszöbszámot. Ehhez oldjuk meg az alábbi egyel tleséget: < (2 5)) 2 5 < < 0000 Mivel a számláló pozitív, a evez pedig egatív, a tört maga egatív. Egy egatív szám abszolútértéke pedig ömagáak -szere. Így az abszolútértékjel elhagyható, ha a törtet szorozzuk --gyel < 0000 Szorozzuk meg az egyel tleség midkét oldalát 0000(2 5) -val. Fotos, hogy egatív számmal való szorzás miatt az egyel tleség iráy megváltozik > > 5 Osszuk el az egyel tleség midkét oldalát -5-tel. Az egyel tleség iráy újra megváltozik. 2000, < Tehát az ɛ 0 tartozó köszöbszám N Ez azt jeleti, hogy a sorozat végtele sok tagja esik a határérték ɛ 0 sugarú köryezetébe és potosa az els 2000 tagja esik kívül.

5 5. Zh feladat: 6. Zh feladat:. Zh feladat: ( ( + ) + 8. Zh feladat: ( ( + 8 ) 00 ( ( + 8 ) 00 ( ( + ) + ( ) ) 8 ( ) ) 8 00 ( ) ) 2 ( ) ) (( + ) ) + 2 e + 2 ( ( + 5 ) ) ( ( + 5 ) ) ( ( ) ) ( ) e 5 +0 e 5 Poliom vizsgálatáál keressük meg a legmagasabb fokszámú kifejezést és emeljük ki: ( + 5 ( 2 ) 5 + ) 9. Zh feladat: ( ) Keressük meg a legmagasabb fokszámú kifejezést és emeljük ki: ( ) 6 ( + ) 5 5 ( 5) 5

6 0. Zh feladat: (5 ) Egyél agyobb alapú expoeciális függvéyek eseté keressük meg a agyobb alapút és emeljük ki: ) ). Zh feladat: (5 ) 5 ( ( 5 (0 2 ) Az alapok egyél agyobbak, de a kitev k külöböz ek. Hatváyozás azoosságait felhaszálva érjük el, hogy a kitev midkét kifejezésbe legye. Majd keressük meg a agyobb alapot és emeljük ki: (0 2 ) (0 ( 2 ) ) (0 6 ) 6 2. Zh feladat: (( 0 6 ( 5 ) ) ) ( ) Az alapok egyél agyobbak, de a második tagba a kitev egatív. Így 5 0. ( 5 ) ( ( ) ) 0 5. Zh feladat: Vizsgáljuk meg külö a számláló és a evez határértékét Ez egy kritikus eset, ebb l az alakból még em tudjuk leolvasi a határértéket Mid a számlálóba mid a evez be a legmagasabb fokszám 2, ezért emeljük ki 2 -t: ( + 5 ) 2 2 (6 + 5 ) 6 2 6

7 . Zh feladat: Vizsgáljuk meg külö a számláló és a evez határértékét Ez egy kritikus eset, további vizsgálatra va szükségük. Mid a számlálóba mid a evez be a legmagasabb fokszám, ezért emeljük ki -t: ( 2 + ) ( ) 5. Zh feladat: ( 2 + )(2 + ) ( ) 2 El ször végezzük el a szorzás m veletét a számlálóba és a evez be is: ( 2 + )(2 + ) ) ( ) 2 ( ) Most már két poliom háyadosát kell vizsgáli, keressük meg a kegmagasabb fokszámú kifejezést és emeljük ki: ( ) 2 ( ) Zh feladat: ( 2 )( + ) 5 ( + ) 2 ( 2 )( + ) ( + ) 2 5 ( ) ( + ) ( ) 5 2

8 . Zh feladat: ( + ) + 2 ( + ) 2 ( + ) Zh feladat: 9. Zh feladat: ( + ) 2 (6 + 2 ) (6 + ) Zh feladat: ( ) ( ) ( ) ( 2) 9 ( )

9 2. Zh feladat: ( ) 9 ( 2) ( 2) 22. Zh feladat: ( 5 9) ( ) Zh feladat: 2. Zh feladat: ( + + ) 6 2 (2 + 2 ) (2 + 2 ) ( + ) 25. Zh feladat: ( + + ) 5 ( + )

10 (2 + ) (2 + ) + 2 ( + ) 2 (2 + ( ) ) Zh feladat: Emeljük ki a legmagasabb fokszámú kifejezést a számlálóba és a evez be. A evez be is 2 -t kell kiemeli. Ehhez emeljük ki els re a gyök alatt -t ( ) (2 + 5 ) ( + ) 2 ( + 2 (2 + 5 ) 2 + ) 2 2. Zh feladat: Emeljük ki a -t ( + ) ( 5 2 )

11 28. Zh feladat: 5 (( ) 5 ) ( ) 5 + ( ) 5 ( ) Zh feladat: Ahhoz, hogy eldötsük, hogy melyik a leger sebb kifejezés, alakítsuk át az expoeciális kifejezéseket úgy, hogy a kitev be legye ( 2 ) (2 ) 9 8 Most már látszik, hogy 9 -t kell kiemeli a számlálóba, a evez be pedig 8 -t. 9 ( + 5 ) ( ) ( 9 8 ) + 5 ( ) ( ) ( ) 8 0. Zh feladat:. Zh feladat: (2 2 ) Végezzük el a kiemelést a számlálóba és a evez be. ( + 0 ) 5 ( ) ( )

12 2. Zh feladat: Ahhoz, hogy össze tudjuk hasolítai az expoeciális kifejezéseket, alakítsük át ket, úgy, hogy a kitev legye. 0 ( ) ( 2 ) Most már látszik, hogy a számlálóba 6 a leger sebb, a evez be pedig 9. Emeljük ki ket ( 6 9 ) ( 0 ) ( ). Zh feladat: (( (( ) ) + e ) + ) (( + ) + ) e +0 e. Vizsgafeladat:Vizsgálja meg mootoitás és korlátosság és kovergecis szempotjából az alábbi sorozatot! Ha koverges, adja meg azt az N küszöbszámot, amelyt l kezdve a sorozat elemei a határérték ɛ 0 sugarú köryezeté belül esek! a 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk meg a + a el jelét. a + a 2 5 ( )( ) ( 5)( 2) ( 2)( ) ( 2)( ) Tehát a szigorúa mooto csökke. < 0 Ha a szigorúa mooto csökke, akkor a > a 2 > > a > mide -re, így a felülr l korlátos és K a 2. 2

13 Mivel a szigorúa mooto csökke és agyo agy -re -höz közeli értékeket vesz fel, így az a sejtés, hogy az alsó korlát k. Bizoyítsuk be, hogy 5 > mide N + -re. Szorozzuk meg az egyel tleség midkét oldalát ( ) el. De vegyük gyelembe, hogy < 0, ha ; 2;. Tehát a szorzás eredméyekét az egyel tleség iráya megváltozik. ( 5) < ( ) 5 < Mivel 5 < igaz, az ekvivales átalakítások miatt az eredeti állítás is igaz, így a valóba alulról korlátos és k. Vizsgáljuk meg, hogy létezik-e véges határértéke a sorozatak. 5 ( 5 ) 5 ( ) Tehát a sorozat koverges, adjuk küszöbszámot ɛ 0 -hez. 5 + < 0000 ( 5) + ( ) < 0000 ( ) < 0000 Most a számláló és a evez is egatív, azaz a tört pozitív, ha ; 2;. Az abszlútérték elhagyható. ( ) < > 0000 > 5555, ( 0000 Tehát a küszöbszám: N ) <

14 5. Vizsgafeladat: 6. Vizsgafeladat:. Vizsgafeladat: ) ) 6 ( ( 6 6 ( 2 ( 6 ) 6 ) ( ) ( ) ( 5 ) 62 ( ( ) + 5 ) ( 9 ( ) ) 6 6 (( ) ) ( 6) ) 2 2 ( Feladat: Ahhoz, hogy eldötsük, hogy melyik a leger sebb kifejezés, alakítsuk át az expoeciális kifejezéseket úgy, hogy a kitev legye ( 2 ) (2 ) Most már látszik, hogy 9 a leger sebb kifejezés mid a számlálóba, mid a evez be. Emeljük ki. 9 ( ) ( + ( ) 5 ) ( )

15 9. Vizsgafeladat: ( + ) 0 A határérték típusú, így alkalmazzuk a következ b vítést: A B ( A B) A + B A + B ( + ) ( + ) + ( ) Vizsgafeladat: A B A + B ( ) 0 A határérték típusú, így alkalmazzuk a következ b vítést: A B ( A B) A + B A + B A B A + B ( ) ( ) (5 2 + ) Vizsgafeladat: ( + 5 ) + 0 A határérték típusú, de az elöz feladatoktól eltér e, együtthatói em egyel ek, így ebbe az esetbe emeljük ki legmagasabb fokszámú kifejezését, most -t: ( + ( 5 ) + ) 5 ( 5) 2. Vizsgafeladat: ( + 2 5) A határérték típusú, de együtthatói em egyel ek, így emeljük ki legmagasabb fokszámú kifejezését, most -t: ( + ( 2 5) + ) 2 5 ( ) 5

16 . Vizsgafeladat: ( ) A határérték típusú, de együtthatói és fokszámai em egyel ek, így emeljük ki legmagasabb fokszámú kifejezését, most 2 -t: ) ( ( ). Vizsgafeladat: ( ) 2 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5. Vizsgafeladat: ( ) ( 2 + 2)

17 6. Vizsgafeladat: Feladat: ( ) A határérték típusú, de együtthatói és fokszámai em egyel ek, így emeljük ki legmagasabb fokszámú kifejezését, most 2 -t: ( + 5 ) + 2 ( ) 8. Vizsgafeladat: ( ) A határérték típusú, de együtthatói és fokszámai em egyel ek, így emeljük ki legmagasabb fokszámú kifejezését, most 2 -t: 2 9. Vizsgafeladat: ( ) ( ) ( ) e 9 e e (0 ) ( 0) Mivel ( ) alkalmazzuk a következ evezetes határértékre voatkozó tételt: ) r() e a ahol a R és r() Így ( + a r() ( ) [ 6+2 ( + ) ] ( e ) 6 e 9

18 50. Vizsgafeladat: ( ) + + e e 2 ( ) + + ( ) ( + 5 ) [ + ( + 5 ) ] Vizsgafeladat: ( e 5) e e 2 ( 2 2 ) e 8 ( 2 2 ) Felhaszálva, hogy 52. Vizsgafeladat: [ ( + ) ] ( ( e 2) e (8 + ) 2 2 (2 ) ) ( 2 ) ( [ ( + Felhaszálva, hogy ) 2+ ) ] (2 + ) 2 ( + ) ( 2 ) ( e )

19 5. Vizsgafeladat: Felhaszálva, hogy 5. Vizsgafeladat: Mivel ( ) ( ) [ ( + ) ] ( ) 2 (9 ) ( 9 9 ) + ( e ) ( e ) 0 ( ) ( ) ( ) 5 alkalmazzuk a következ evezetes határértékre voatkozó tételt: Így 55. Vizsgafeladat: Mivel q 0 ha q < ( ) ( ) 0 5 ( ) ( ) alkalmazzuk a következ tételt: Így ( ) q ha q > ( ) ( ) 9