2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása"

Átírás

1 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak, rövide sorozatokak evezzük. a a sorozat -edik eleme vagy tagja), amelyet szokás a sorozat általáos eleméek is evezi. Magát a sorozatot {a }-el jelöljük.... Sorozatok megadása A sorozatokak végtele sok eleme va és ezeket külöféle módo adhatjuk meg. I. A sorozatot megadhatjuk az általáos elem képletével, vagyis az változó függvéyekét felírt képlettel, formulával... Példa. a) Ha a az általáos elem, akkor a sorozat elemei,,, 4, 5,... és ez a természetes számok sorozata. b) Ameyibe a az általáos elem képlete, akkor a sorozat elemei, 4, 8, 6,,... és most a hatváyaiak sorozatát kapjuk. c) a eseté a sorozat elemei,,, 4,,... és ez a harmoikus sorozat, mely evét 5 arról kapta, hogy a második elemtől kezdve a sorozat mide eleme a két szomszédos elem harmoikus közepe, vagyis érvéyes, hogy a a + a + ),. II. A sorozatot megadhatjuk rekurzív módo. Ez azt jeleti, hogy éháy elemet megaduk, a további elemeket pedig az előttük lévők segítségével defiiáljuk... Példa. a) Legye a és a a, ha. Ekkor a a, a a 4, a 4 a 8, a 5 a 6, és így tovább. A sorozat elemei,, 4, 8, 6,.... b) Legye a 0 és a a +, ha. Ekkor a a +, a a +, a 4 a + 7, a 5 a 4 + 5, és így tovább. A sorozat elemei 0,,, 7, 5,.... c) Legye a 0, a és a a + a, ha. Ekkor a a + a, a 4 a + a, a 5 a 4 + a 5, és így tovább. A sorozat elemei ebbe az esetbe 0,,,, 5,....

2 60. SZÁMSOROZATOK Ilye módo kiszámítható a sorozat bármelyik eleme, de ahhoz, hogy meghatározzuk a rekurzív módo megadott sorozat 000. elemét, ki kell számítai mid a 999 előző elemet is. Bizoyos esetekbe a rekurzív képletekkel megadott sorozatok általáos eleme is meghatározható, de erről az eljárásról a későbbiekbe lesz szó. III. Számsorozatot megadhatuk utasítással, leírással is... Példa. a) Legye {a } a prímszámok sorozata, azaz,, 5, 7,,, 7,... és így tovább. Nem létezik sem explicit, sem rekurzív formula, amely megadá az. prímszámot, de a sorozat ezzel az utasítással mégis egyértelműe meghatározott. b) Legye {a } az a sorozatot, amelyek elemei sorba a végtele tizedestört alakú felírásáak egy-, két-, háromszámjegyű, stb. racioális közelítései. A sorozat elemei,.4,.4,.44,.44,.... Ha az ezredik számjegyet kérdezék, tudjuk, hogy az egyértelműe meg va határozva, de megadása sok mukát igéyele. Megjegyzés: A számsorozatokat szokás megadi az első éháy elem felsorolásával is, de ez a defiiálás em midig egyértelmű, ezért ha lehet kerüljük ezt a megadási módot..4. Példa. Tekitsük az, 6, 8, 56,... számsorozatot, amelyet az első égy elem segítségével írtuk fel. A felsorolt elemek alapjá a sorozat általáos eleme egyrészt lehete a 4, de ugyaakkor b is. A megfelelő sorozatok ötödik, hatodik elemei viszot már em egyezek meg.... Sorozatok ábrázolása a b Az {a } sorozatot ábrázolhatjuk a számegyeese a sorozat elemeihez redelt potokkal: a, a, a,..., vagy mit olya függvéyt a valós számsíkba, melyek értelmezési tartomáyát a természetes számok alkotják, grafikoja pedig az, a ),, a ),, a ),... diszkrét potok halmaza. a a 4.5. Példa. Az a számsorozat számegyeese való ábrázolása és síkba való ábrázolása is jó képet ad a számsorozatak megfelelő potok elhelyezkedéséről. 4 5

3 .. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 6 a 0 5 a 5.6. Példa. Az a 0, a kezdeti elemekkel és az a a + a rekurzív képlettel megadott számsorozat esetébe a a, és ez a számegyeese azt jeleti, hogy az -be két pot va egymás tetejé, de ezt em tudjuk érzékeli. A számsíko való ábrázolás kiküszöböli ezt a problémát, hisze ott két külöböző potkét jeleik meg, a ) és, a ) a a.7. Példa. Az a, a 0 kezdeti elemekkel és az a a a rekurzív formulával megadott számsorozat esetébe sem derül ki a számegyeese, hogy a a 4, hacsak em írjuk oda mide pothoz, hogy a számsorozat melyik eleméek felel meg. A számegyeese való ábrázolás azt sem teszi lehetővé, hogy képet kapjuk arról, hogy melyik pot felel meg az első elemek, melyik a másodikak, és így tovább. Mit látjuk, a síkba való ábrázolás megoldja ezeket a problémákat. 4 5 FELADATOK. Határozzuk meg az {a } sorozat első k elemét.. a, k 8 a, a 0, a 6, a , a , a 6 6 6, a , a ,...

4 6. SZÁMSOROZATOK. a 5 +, k 6 a 5 +, a 5 + 5, a 5 +, a , a , a ,.... a + ) +, k 6 a + ) 5, a + ), a + ) 4, a 4 + ) , a 5 + ) 6 5 5, a 6 + ) 7 6, a + ), k 4! a + ) 0 0!, a + )! a + )! 5. a cos + ) π, k 8, a 4 + ) 4!, 9 8,... a cos π, a cos π 0, a cos π, a 4 cos 5π 0, a 5 cos π, a 6 cos 7π 0, a 7 cos 4π, a 8 cos 9π 0, a si π, k 8 a si π, a si π 0, a si π, a 4 si π 0, a 5 si 5π, a 6 si π 0, a 7 si 7π, a 8 si 4π 0,... {, páratla; 7. a, páros., k 8 a, a, a, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8 4,...

5 .. Korlátos és mooto sorozatok 6 8. a { + l e, páratla; e l, páros., k 8 a, a, a, a 4, a 5, a 6, a 7 4, a 8 4, a , k 4 a, a +, a + + 6, a , a , k a + + 4, a , a ,.... a, a + 5 4a, k 5 a, a, a, a 4, a 5,.... a 4, a + a + 5, k 5 6 a 4, a 7, a 8, a 4 8 8, a ,.... a 0, a + a + ), k 5 a 0, a, a, a 4 8, a 5 7 6, a, a, a + a + + 5a, k 5 a, a, a, a 4 7, a 5 9, a, a, a + ) a+ + a, k 5 a, a, a, a 4 4, a 5 5 8,..... Korlátos és mooto sorozatok Mivel a sorozatok is függvéyek, ezért természetes, hogy vizsgáljuk a függvéyekre jellemző tulajdoságokat. Két ilye fotos tulajdoság a korlátosság és mootoitás... Defiíció. Az {a } sorozatot felülről alulról) korlátosak evezzük, ha megadható olya K k) szám, amelyél a sorozatak ics agyobb kisebb) eleme, azaz a K,,,... a k,,,...). A sorozatot korlátosak modjuk, ha felülről és alulról is korlátos, azaz ha mide -re k a K. Az ilye k számot alsó korlátak, a K számot pedig felső korlátak evezzük.

6 64. SZÁMSOROZATOK A defiícióból következik, hogy ha létezik egy felső alsó) korlát, akkor végtele sok felső alsó) korlát is va. A valós számok teljességi axiómájából következik, hogy a felső korlátok között va legkisebb és az alsó korlátok között va legagyobb... Defiíció. Felülről korlátos sorozat legkisebb felső korlátját a sorozat felső határáak vagy szuprémumáak; alulról korlátos sorozat legagyobb alsó korlátját a sorozat alsó határáak vagy ifimumáak evezzük. Jelölésük: sup{a }, illetve if{a }. A fetiek szerit felülről alulról) korlátos sorozatak va felső alsó) határa. Korlátos sorozatak va felső és alsó határa is. A sorozat felső alsó) határa em feltétleül eleme a sorozatak. a.8. Példa. Az a sorozat alulról korlátos, mert, így egy alsó korlátja k. Felülről em korlátos a sorozat, mert bármely K számot is vesszük, va a sorozatak olya eleme, mely K-ál agyobb, ugyais a > K, ha > K +. A grafiko szempotjából ez azt jeleti, hogy a számsorozat potjai vagy az y egyeese vaak vagy pedig az y egyees felett. 4 5 y a.9. Példa. Az a ) + sorozat korlátos, mert a + ) a 5 4 y + + +, tehát a mide -re, vagyis a sorozat egy alsó korlátja k, egy felső korlátja pedig K. A számsorozat potjai az y és az y egyeesek között helyezkedek el, legfeljebb maguko az egyeeseke vaak rajta a ) + y.0. Példa. Az a ) sorozat sem alulról, sem felülről em korlátos, mert a > K, ha > K. Ez egy oszcillálló sorozat, amelyél övekedésével a megfelelő a értékek abszolút értékbe mid agyobbak és agyobbak, s így a ekik megfelelő potok mid távolabb és távolabb vaak az x-tegelytől.

7 .. Korlátos és mooto sorozatok 65 a a ).4. Defiíció. Az {a } sorozat szigorúa mooto övekvő csökkeő), ha a < a + a > a + ) mide N eseté. Az {a } sorozat mooto emcsökkeő emövekvő), ha a a + a a + ) mide N eseté. Eze tulajdoságok valamelyikével redelkező sorozatot mooto sorozatak evezzük... Példa. Az a a a + sorozat szigorúa mooto övekvő, mivel + + ) azaz a < a + mide természetes szám eseté. ) + ) + ) + ) < 0,

8 66. SZÁMSOROZATOK Az a sorozat első éháy eleme 0.5 a 0,,, 4, 4 5, a.. Példa. Az a pozitív elemű) sorozat szigorúa mooto csökkeő, mivel a a azaz a > a + mide természetes szám eseté. + >, a Az a sorozat első éháy eleme,,, 4, 0.5 5, a.. Példa. Az a ) sorozat em mooto sorozat, hisze az a a + ) ) + ) + ) ) kifejezés em álladó előjelű. Mivel a sorozat elemei váltakozva egatívak és pozitívak, ezért azt modjuk rá, hogy oszcilláló, első éháy eleme pedig,,,,,.... a 4 5 a ) Vegyük észre, hogy ha az a ) számsorozatot számegyeese ábrázoltuk vola, akkor csak két pot lee a grafikoo, a -él és az -él. Midkettő esetébe viszot végtele sok pot lee egymás tetejé, csak az egyeese ezt em lehet érzékelteti.

9 .. Korlátos és mooto sorozatok 67 FELADATOK. Vizsgáljuk ki a következő sorozatok mootoitását és korlátosságát.. a + Vizsgáljuk ki a sorozat mootoitását. E célból két szomszédos elem külöbségéek előjelét kell meghatározi. a + a ) + + ) + ) < 0. Mivel a + a < 0 mide N eseté, ezért a + < a érvéyes mide N eseté, vagyis a sorozat szigorúa mooto csökkeő. Mivel a sorozat szigorúa mooto csökkeő, ezért az első elem a egybe a sorozat legkisebb felső korlátja is, azaz K eseté a K mide N eseté. Mivel > 0 mide N eseté, ezért a + > mide N eseté, ezért a sorozat egy alsó korlátja lehet k. A sorozat tehát korlátos és mide természetes számra < a.. a A mootoitási tulajdoság meghatározásához vizsgáljuk most ki az a + a külöbség előjelét. Mivel a + a + ) ) + < 0, ezért a + < a mide természetes számra, tehát a sorozat szigorúa mooto csökkeő. Így a sorozat felülről korlátos, egy felső korlátja K a. Ha k alsó korlátja lee, akkor erre k < kellee, hogy teljesüljö, viszot ez csak < k idexekre lee igaz, em pedig mide természetes számra. Most ugyais miél agyobb, aál kisebb a, tehát a sorozat alulról em korlátos.. a + A mootoitást az a + a külöbség előjeléből állapítjuk meg. Mivel a + a + ) + + ) + + > 0 mide természetes számra, így a + > a mide természetes számra, tehát a sorozat szigorúa mooto övekvő. A sorozat első eleme egybe a sorozat egy alsó korlátja is, tehát k a. Ha léteze olya K szám, amelyre + < K, akkor ez a tulajdoság csak az < K + idexű elemekre lee igaz, tehát a sorozat felülről em korlátos. Valóba, ez egy olya sorozat, hogy egyre agyobb természetes számok eseté a + még gyorsabba ő. A sorozat tehát szigorúa mooto övekvő és alulról korlátos.

10 68. SZÁMSOROZATOK 4. a Vizsgáljuk ki az a + a külöbséget. a + a + + ) + ) ) ) ) + ) + ) + ) > 0, ezért a + > a mide természetes számra, tehát a sorozat szigorúa mooto övekvő. A sorozat első eleme egybe a sorozat egy alsó korlátja is, tehát k a, illetve k. Mivel > 0 mide N eseté, ezért < 0 és < mide N eseté, ezért a sorozat egy felső korlátja lehet k, hisze mide N-re a <. A sorozat tehát korlátos és mide természetes számra a. 5. a + + Vizsgáljuk most is az a + a külöbséget. a + a + ) + + ) ) + ) + ) + + ) + + ) + ) ) + ) + ) + + ) + ) < 0, mide természetes számra, így a + < a mide természetes számra, tehát a sorozat szigorúa mooto csökkeő. A sorozat első eleme egybe a sorozat egy felső korlátja is, tehát K a. Vegyük észre, hogy a Mivel > 0, ezért >, tehát k a sorozat egy alsó korlátja. A sorozat tehát korlátos és mide természetes számra < a.

11 .. Rekurzív sorozatok 69.. Rekurzív sorozatok A rekurzív sorozatok közül éháy sorozat gyakorlati alkalmazása, felhaszálhatósága miatt ayira jeletős, hogy érdemes velük külö foglalkozi. Ezekből éháyat defiiáluk, megmutatjuk jellegzetes tulajdoságaikat és érdekes alkalmazásaikat.... Számtai aritmetikai) sorozat.5. Defiíció. Azt a számsorozatot, amelybe mide elemet tagot) az őt megelőzőből egy d álladó hozzádásával kapuk, számtai vagy aritmetikai) sorozatak evezzük. A d szám a sorozat külöbsége vagy differeciája). A defiíció alapjá felírhatjuk a számtai sorozat rekurzív képzési szabályát: Ebből adódik, hogy a a + d, illetve a a d,. a) ha d > 0, a számtai sorozat mooto övekvő és alulról korlátos, b) ha d < 0, a számtai sorozat mooto csökkeő és felülről korlátos, c) d 0 eseté is beszélhetük számtai sorozatról, amely emövekvő, emcsökkeő és korlátos sorozat. Elemei: a, a, a,...,a,... Az ilye sorozatot álladó vagy kostas) sorozatak evezzük. A számtai sorozat megadásához elég két adat. Legegyszerűbb meghatározó adatai a és d. Az egyszerű képzési szabályból adódik, hogy a és d ismeretébe a számtai sorozat bármelyik elemét felírhatjuk a következőképpe: a a + d, a a + d, a 4 a + d, Ezt az eljárást folytatva és általáosítva kimodható a következő tétel:... Tétel. Ha az {a } számtai sorozat első eleme a és külöbsége d, akkor mide természetes számra érvéyes, hogy a a + )d. Bizoyítás. A bizoyítás a matematikai idukció módszerével törtéik. o eseté a a + )d a + 0 d a. o Tegyük fel, hogy az állítás igaz k-ra, vagyis, hogy a k a + k )d. o Igazoljuk az állítás helyességét k + -re. Ekkor a k+ a k + d a + k )d + d a + k + )d a + kd.

12 70. SZÁMSOROZATOK.4. Példa. Ha az 5,,, 4, 7,... számtai sorozat huszadik elemét kell meghatározi, akkor megállapíthatjuk, hogy a 5 és d, tehát a 0 a + 9 d ) Példa. Ha egy olya számtai sorozat differeciáját kell kiszámítai, melyek első tagja és tizedik tagja, akkor az a 0 a + 9d összefüggésből azt kapjuk, hogy + 9d, ahoa d. Mivel a + a + a d + a + d a a, ezért érvéyes, hogy a számtai sorozatba bármely három szomszédos elem közül a középső a két mellette levő elem számtai közepe. Erről a tulajdoságról kapta e sorozat a számtai megevezést. Hasolóa érvéyes a következő összefüggés is: a k + a +k a, k <. Az összeg kiszámításáak legegyszerűbb alapgodolata ma is az, amelyet Gauss ) 9 éves korába alkalmazott, amikor taítója azt a feladatot adta az osztályáak, hogy adják össze -től 40-ig az egész számokat. Gauss egy pillaato belül felírta az összeget: 80. Taítója kérésére el is magyarázta a godolatmeetét. Elképzelte egy sorba felírva a 40 tagú összeget, majd ugyaezt a 40 tagot fordított sorredbe aláírva. Az egymás alá került két szám összege mideütt ilye pár va, ezért 4-et 40-el kellee szorozi, de a két sor miatt mide szám kétszer szerepel az összegbe, ezért a 40 helyett csak 0-szal szorozta az összeget. Ez a szorzat adja a potos összeget, a 80-at. Ugyaezzel a godolatmeettel lehet kiszámítai a számtai sorozat első eleméek S összegét. Kimodható a következő tétel:.. Tétel. Ha az {a } számtai sorozat első eleme a és külöbsége d, akkor az első eleméek összege S a + a a a + a ) a + )d). Bizoyítás. Győződjük meg először arról, hogy mide k eseté, amelyre k érvéyes, hogy a k + a k+ a + a. Valóba, a k a + k )d, a k+ a + k)d és a a + )d, tehát Mivel a k + a k+ a + k )d + a + k)d a + a + )d a + a. és ugyaakkor így összeadva a két egyeletet adódik, hogy S a + a + + a + a S a + a + + a + a, S a + a ) + a + a ) + + a + a ) + a + a ) a + a ).

13 .. Rekurzív sorozatok 7 Ie következik az S a + a ) összefüggés, amelybe behelyettesítve az a a + )d kifejezést adódik, hogy S a + )d). A tétel gyakorlati alkalmazását mutatja az alábbi példa..6. Példa. Egy útszakasz javításához homokbáyából teherautóval homokot szállítaak. Az első forduló terhét a kocsi az út elejé rakja le, ez a homokbáyától 8000 m-es távolságra va. Mide további forduló terhét 5 m-rel távolabbra kell viie. A 5. fordulóál mekkora távolságra megy a kocsi, és a 5 forduló megtétele közbe háy km utat tesz meg teher alatt? a 8000, d 5, tehát 5 esetbe a )5 8850, vagyis a 5. fordulóál a kocsi 8850 m távolságra megy. Mivel a 5 forduló alatt teherrel megtett távolságok összege S 5 a + a a 5 5 a + a 5 ) ) m, így megállapíthatjuk, hogy a 5. forduló megtétele utá a kocsi teherrel összese 94,875 km utat tett meg. FELADATOK.. Egy számtai sorozat első és ötödik tagjáak összege 6, második és egyedik tagjáak szorzata 60. Számítsuk ki első hat tagjáak összegét. A feltételek lapjá felírhatjuk, hogy a + a 5 6 és a a Mivel a feti összefüggésekbe szereplő tagok a -ra szimmetrikusak, fejezzük ki a megadott feltételeket a segítségével. Ekkor az összegre voatkozó feltételből következik, hogy a d + a + d 6, illetve a. Ha a feltételbe szereplő szorzat téyezőit is felírjuk a segítségével, akkor az a d)a + d) 60, illetve d 60 összefüggést kapjuk, ahoa d 9, azaz d vagy d. Ha d, akkor az a a + d összefüggésből a 7 következik, a keresett számtai sorozat pedig 7, 0,, 6, 9,... Ameyibe d, az a a + d összefüggésből a 9-et kapuk, s akkor a keresett számtai sorozat 9, 6,, 0, 7,...

14 7. SZÁMSOROZATOK. Határozzuk meg az összes olya kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul -et adak. Az első olya kétjegyű szám, amely 4-gyel osztva maradékul -et ad, a. Ez lehet tehát egy sorozat első eleme a ). A 4-gyel való osztás maradékosztályába az elemek sorba 4-gyel övekszeek, tehát egy olya számtai sorozatot alkotak, amelyek külöbsége d 4. Az utolsó kétjegyű szám ebbe a sorozatba a 97. A kérdés most az, hogy a 97 hayadik eleme eek a sorozatak. Mivel a a + )d, így 97 + ) 4, és ebből. A keresett összeg kiszámítható a számtai sorozat első eleméek S összegképletéből, s így S + 97) Egy erdőtelepítésél párhuzamos sorokba összese 660 fát ültettek el. Az első sorba 8, mide következő sorba pedig -mal több fa került, mit az előzőbe. Háy fa jutott az utolsó sorba? A külöböző sorokba ültetett fák száma olya számtai sorozatot alkot, amelybe a 8 és d. Ha sorba összese 660 fát ültettek, akkor S 660, és egyrészt ki kell számoli meyi az, másrészt pedig, hogy meyi az a. Mivel ahoa S a + )d), így )), ), illetve Ebből 40 és, ahol a egatív tört megoldásak ics értelme, mivel ez em lehet a sorozat tagjáak idexe. Ezek szerit 40 sor fát ültettek el és az utolsó sorba a 40 a + 9d fa jutott. 4. Határozzuk meg a számtai sorozatba az első 9 tag összegét, ha tudjuk, hogy a 4 + a 8 + a + a 6 4. Mivel a 4 és a 6, valamit a 8 és a az a 0 elemre ézve szimmetrikusak, ezért írjuk fel a megadott feltételt a 0 és d segítségével. Ekkor a 0 6d) + a 0 d) + a 0 + d) + a 0 + 6d) 4, ahoa a Az első 9 tag összege felírható a 0 segítségével, mit S 9 9 a + a 9 ) 9 a 0 9d + a 0 + 9d) 9 a Lehetek-e az 5 és a 5 egy olya számtai sorozat elemei, amelyek első tagja? Ha va ilye sorozat, akkor felírható, hogy 5 + )d és 5 + m )d, ahol és m külöböző természetes számok. Ekkor 5 )d és 5 m )d,

15 .. Rekurzív sorozatok 7 ezek háyadosa pedig 5 5 m )d )d m. Ie 5 m +, ami lehetetle, mert 5 irracioális szám, a m + kifejezés pedig racioális, tehát em lehetek egyelők. Megállapíthatjuk tehát, hogy az 5 és a 5 számok em lehetek egy olya számtai sorozat tagjai, amelyek első tagja.... Mértai geometriai) sorozat.6. Defiíció. Azt a számsorozatot, amelybe mide elemet tagot) az őt megelőzőből egy q 0 számmal való szorzással kapuk, mértai vagy geometriai) sorozatak evezzük. A q szám a sorozat háyadosa vagy kvociese). A defiícióból következik a mértai sorozat rekurzív képzési szabálya: a a q, illetve a a q,. Ebből látjuk, hogy q > 0 eseté a sorozat elemei azoos előjelűek. Ha q >, akkor a > 0 eseté a mértai sorozat szigorúa mooto övekvő, a < 0 eseté pedig szigorúa mooto csökkeő. Ha 0 < q < és a > 0, akkor a sorozat szigorúa mooto csökkeő, a < 0 eseté pedig szigorúa mooto övekvő. q -re álladó sorozatot kapuk. Ha q < 0, akkor az elemek előjele váltakozó. A defiícióból következik, hogy adott a és q eseté a mértai sorozat tagjai felírhatók a a q, a a q, a 4 a q, alakba, illetve ezt az eljárást folytatva és általáosítva kimodható a következő tétel:... Tétel. Ha a mértai sorozat első eleme a és háyadosa q, akkor mide természetes szám eseté a a q. Bizoyítás. A bizoyítást matematikai idukcióval végezzük. o eseté a a q ) a q 0 a. o Tegyük fel, hogy az állítás igaz k-ra, vagyis, hogy a k a q k. o Igazoljuk az állítás helyességét k + -re. Ekkor a k+ a k q a q k q a q k a q k+.

16 74. SZÁMSOROZATOK.7. Példa. Ha az a feladatuk, hogy az a mértai sorozatba meghatározzuk az első elemet és a háyadost, akkor az első elem az a. A kvociest kiszámíthatjuk bármelyik két szomszédos tag háyadosakét, például q a a..8. Példa. Állapítsuk meg, hogy a mértai sorozat háyadik tagja a 8, ha első eleme, háyadosa pedig. Mivel a a q, ezért 8, ahoa 4, illetve 5. Ezért a sorozat ötödik eleme 8. A mértai sorozatba bármely három egymást követő elemre érvéyes az a a a + összefüggés, amelyből pozitív tagú sorozat eseté felírható az a a a + képlet is. Ez azt jeleti, hogy a mértai sorozat három szomszédos eleme közül a középső a két mellette levőek mértai közepe és ebből származik a megevezésbe a mértai jelző. Hasolóa érvéyes k < eseté, hogy a a k a +k..4. Tétel. Ha az {a } mértai sorozat első eleme a és háyadosa q, akkor az első eleméek összege Ha q, akkor S a. Bizoyítás. Ha akkor S a + a a a q q a q q, q. S a + a a S q a q + a q a q a + a a +. Ha a második egyeletből kivojuk az elsőt, akkor vagyis S q S a + a a + a + a a ) a + a a q a, S q ) a q ), ahoa S a q q. Ha q, akkor a mértai sorozat mide tagja egyelő, így S a.

17 .. Rekurzív sorozatok Példa. Ha az S x + x y + x y + + xy + y összegbe x 0 és y 0, akkor S egy olya mértai sorozat első tagjáak összege, amelybe a x és q y x. Ezért ahoa S x ) y x y x x y)s x y, x y x y, vagyis ily módo levezettük az ismert összefüggést, mely szerit x y x y)x + x y + x y + + xy + y ). A mértai sorozat -edik eleméek kiszámítása a kamatos kamatszámításba agyo fotos. Godoljuk a következő problémára..0. Példa. Valaki jauár -é 7000 diárt évi 5%-os kamatláb mellett betesz a bakba. Kamatosa kamatozva 6 év alatt mekkorára övekszik meg az összeg? A kamatos kamatozás azt jeleti, hogy az évi kamatot évekét automatikusa hozzácsatolják a lekötött pézösszeghez, és a következő évekbe már ez a megövekedett összeg kamatozik.) Általáosa fogalmazva: A T 0 összeg évi p%-os kamatlábbal kamatozva év alatt mekkorára övekszik fel? A p%-os kamattal övelt összeg év alatt az eredeti + p -szorosára övekszik. Ezért 00 p%-kal kamatosa kamatozva év alatt a T 0 összegből lesz T T 0 + p ). 00 Esetükbe ez T 6 T 0 + p ) ) , , 67 di FELADATOK.. Egy övekvő mértai sorozat első és harmadik tagjáak összege 0, első három tagjáak összege pedig 6. Melyik ez a sorozat? Mivel a + a 0 és a + a + a 6, ebből yilvávaló, hogy a 6, ahoa a q 6, illetve a 6 q. Mivel a + a q 0, így a + q ) 0, illetve 6 q + q ) 0.

18 76. SZÁMSOROZATOK Ebből a q 0q+ 0 másodfokú egyeletet kapjuk, amelyek megoldásai q és q. Mivel a keresett sorozat övekvő kell legye, így a háyados em lehet. Ezért q és a. A feladatba megdott feltételekt kielégítő övekvő mértai sorozat tehát:, 6, 8, 54,.... Egy mértai sorozat egyedik tagja 4-gyel agyobb, mit a második tag, második és harmadik tagjáak összege pedig 6. Határozzuk meg ezt a sorozatot. A megadott feltételekből felírhatjuk, hogy a 4 a + 4 és a + a 6, a q a q 4 és a q + a q 6, illetve a q q) 4 és a q + q ) 6. Osszuk el a két egyelet megfelelő oldalait: Ekkor q q q + q 4 6. qq ) 4qq + ), ha q + q 0, ebből pedig következik, hogy q 4, ahoa q 5. Most 0 a 6, ie pedig a. Ekkor a keresett mértai sorozat 5,, 5, 5, 5,... 5 Nézzük meg ad-e további megoldást a q + q 0 eset. A mértai sorozat defiíciója szerit q 0. Ha q, akkor a második feltételből a 0 6, ami elletmodást jelet, tehát ezek az értékek em adak megoldást.. Egy pozitív tagú mértai sorozat első és ötödik tagjáak külöbsége 5, első és harmadik tagjáak összege pedig 0. Határozzuk meg a sorozat első öt tagjáak összegét. Ahhoz, hogy a mértai sorozat mide tagja pozitív legye, a és q is pozitív kell legye. A feltételek szerit a a 5 5 és a + a 0 igaz, amelyek felírhatók a és q segítségével, mit a q 4 ) 5 és a + q ) 0. Elosztva a két egyelet megfelelő oldalait kapjuk, hogy q 4 + q 4. Mivel q 4 q ) + q ) és + q 0, ezért a baloldalo egyszerűsíthetük + q -tel, s ebből az q 4, illetve q 4

19 .. Rekurzív sorozatok 77 egyeletet kapjuk, ahoa q vagy q. Mivel a feltételek szerit a háyados em lehet egatív, ezért q az egyetle megoldás. Ekkor a 6, a keresett mértai sorozat pedig 6, 8, 4,,,, Egy háromszög oldalaiak mérőszáma egy mértai sorozat három egymást követő eleme. Milye határok között változhat a sorozat háyadosa? Legyeek a háromszög oldalai a, b és c. Tegyük fel, hogy a a háromszög legrövidebb, c pedig a leghosszabb oldala. Mivel ezek a számok mértai sorozatot alkotak, így b aq és c aq, eami szerit q. A háromszög oldalaira voatkozó egyelőtleség szerit a + b > c, ahoa a + aq > aq. Mivel a a háromszög oldala, ezért pozitív szám, így a feti egyelőtleség osztható a-val. Ekkor q q < 0 egyelőtleséget kapjuk, ahoa q 5, + 5 ). Mivel 5 szám, ezért a q feltétel miatt a háyados határai és + 5, azaz q < + 5. egatív 5. A és 4 közé iktassuk 9 számot úgy, hogy a két megadott számmal együtt mértai sorozatot alkossaak. A -vel és a 4-gyel együtt a keresett 9 szám a sorozat elemét adja meg, vagyis a és a 4. Mivel a a q 0, így 4 q 0, ahoa q 0 következik, ugyais eek a sorozatak övekvőek kell leie, és ez csak q > eseté törtéhet meg. Így a sorozat elemei, 0, 0, 0, 0 4, 0 5, 0 6, 0 7, 0 8, 0 9, 0 0, illetve émi redezés utá, 0, 5, 0 8, 5 4, 0, 5 8, 0 8, 5 6, 0 5, Egy számtai és egy mértai sorozat első eleme 5 és harmadik elemük is egyelő. A számtai sorozat második eleme 0-zel agyobb a mértai sorozat második eleméél. Írjuk fel ezeket a sorozatokat. Jelölje a, a, a a számtai sorozat, b, b, b pedig a mértai sorozat első három elemét. Ekkor a b 5, a b, és a b + 0.

20 78. SZÁMSOROZATOK Mivel a 5 + d és a 5 + d, valamit b 5q és b 5q, így következik, hogy 5 + d 5q és 5 + d 5q + 0. A második egyeletből d 5q +5, majd ezt az elsőbe helyettesítve következik, hogy 5 + 0q + 0 5q, vagyis q q 0, amelyek megoldásai q és q. Ha q, akkor d 0, a keresett sorozatok pedig az 5, 5, 5,... számtai és az 5, 5, 5,... mértai sorozat. Ha q, akkor d 0, a keresett sorozatok pedig az 5, 5, 45,... számtai és az 5, 5, 45,... mértai sorozat. Ezért tehát két sorozatpár létezik a feladatba megadott feltételekkel, mégpedig az valamit az sorozatpár. 5, 5, 5,... és 5, 5, 5,... 5, 5, 45,... és 5, 5, 45, Négy szám egy mértai sorozat égy egymást követő elemét alkotja. Ha a második számhoz 6-ot, a harmadikhoz -at aduk, a egyedikből 6-ot elveszük, akkor az így kapott égy szám egy számtai sorozat egymást követő tagjai leszek. Melyik ez a égy szám? Legyeek a, b, c és d a égy szám, amelyek mértai sorozatot alkotak. Ekkor a feltételek szerit a, b + 6, c + és d 6 számtai sorozatot alkotak. Ezért érvéyes, hogy b ac c bd b + 6) a + c + c + ) b d 6 A harmadik egyeletből a b c + 9, a egyedikből pedig d c b + 6. helyettesítsük be ezeket a kifejezéseket az első két egyeletbe. Ekkor a b cb c + 9) c bc b + 6) egyeletredszert kapjuk. Redezzük a két egyeletet b + c bc 9c b + c bc 6d alakúra, majd vojuk ki egymásból a két egyeletet. Ekkor c 4d adódik, majd ezt behelyettesítve az a b c + 9 és d c b + 6 egyeletekbe adódak az a 9 b és d 7b + 6 összefüggések. A b ac egyeletbe helyettesítve a b 9 b) 4b egyeletet kapjuk, ahoa b 0 vagy b 4. Ha b 0, akkor c 0, a 9 és d 6, amiből a 9, 0, 0, 6 sorozatot kapák, de ez em mértai sorozat. Ha b 4, akkor c 6, a és d 64, amiből az, 4, 6, 64 mértai sorozatot kapjuk, a megfelelő számtai sorozat pedig az, 0, 9, 8. A keresett égy szám tehát, 4, 6, 64.

21 .. Rekurzív sorozatok Három szám, melyek összege 76, mértai sorozatot alkot. Ezt a három számot tekithetjük egy számtai sorozat első, egyedik és hatodik tagjáak is. Melyik ez a három szám? Legyeek a, b és c a keresett számok. Mivel ezek a számok mértai sorozatot alkotak, így b aq és c aq. A számok összege a + b + c 76, illetve a + aq + aq 76. A másik feltétel szerit b a + d, illetve c a + 5d és mivel mértai sorozat elemeiről va szó, ezért felírható, hogy aq a + d, illetve aq a + 5d. ha a két egyeletet kivojuk egymásból, akkor a d aqq ) feltételt kapjuk. Az aq ) d és a aqq ) d feltételből adódik továbbá, hogy ahoa aq ) aqq ), aq ) aqq ) azaz aq ) q) 0. Ie a 0 vagy q vagy q a lehetséges megoldások. a 0 eseté b 0 és c 0 lee, ezek összege pedig em 76. Ha q, akkor a 76, b 76 és c 76. Ez a három szám kielégíti a megadott feltételeket. ha q, akkor a ) 76, ahoa a 6, b 4 és c 6 adódik. 9 Mivel ez a három szám is kielégíti a megadott feltételeket a megfelelő számtai sorozatba d 4), ezért két olya számhármas létezik, amely eleget tesz a feladatba kitűzött feltételekek, ezek pedig a 76, 76, 76 és a 6, 4, Lakásvásárlásra jauárba euró kölcsöt kaptuk a baktól évi 5%-os kamatos kamatra. Mide év végé 6000 eurót kell törleszteük. Háy év múlva fizetjük vissza az adósságukat? A kölcsö összege kezdetkor T euró. Ha erre az összegre az év végé 5%-os kamatot fizetük és törlesztük x 6000 eurót, akkor az első év végé az adósságuk ahol q + T T 0 + p ) x T 0 q x, 00 p. A második év végé az adósságuk 00 ) T T + p 00 x T 0 q x) q x T 0 q xq + ). A harmadik év végé ez T T + p ) x T 0 q xq + )) q x T 0 q xq + q + ). 00 Folytatva ezt az eljárást azt kapjuk, hogy az. év végé adósságuk T T 0 q xq + q + + q + ) T 0 q x q q.

22 80. SZÁMSOROZATOK Ha adósságukat az. évbe teljese vissza akarjuk fizeti, akkor T 0 kell legye. Az a kérdés, hogy ez hayadik évbe törtéik, azaz meyi az értéke. Mivel így a keresett értéket a q + egyeletből számítjuk ki. Ie p , , 05, illetve Midkét oldal logaritmálásával azt kapjuk, hogy log.05 log 7, ahoa.04, ez pedig azt jeleti, hogy az adósságot körülbelül év alatt fizetjük vissza. 0. Számítsuk ki az S } 99 {{ 9} összeget. Először vegyük észre, hogy az összeadadók midegyike a 0 valamelyik hatváyától -gyel kisebb szám. Ezt az észrevételt felhaszálva felírhatjuk, hogy Ie az S 0 ) + 0 ) + 0 ) ). S , képletet kapjuk, amelybe felhaszálva a mértai sorozat első eleméek összegképletét adódik, hogy S ).... A Fiboacci-féle sorozat Leoardo Pisao 70-50) olasz kereskedő-matematikust Fiboacciak Boaccio fia) is evezték. Sokat utazott és utazásai sorá sokat foglalkozott az arab matematikával. Két köyvet írt, melyekbe több saját eredméye is va. Az 8-ba kiadott köyvébe található az azóta híressé vált következő példa... Példa. Vizsgáljuk meg, meyire szaporodik egy pár maszületett yúl egy év alatt, ha mide yúlpár mide hóap végé egy párral szaporodik, a yulak pedig kéthóapos korukba ivarérettek. Ez azt jeleti, hogy akkor hozak első ízbe utódokat.) Mide hóap végé csak azok a yulak szaporodak, amelyek legalább kéthóaposak, és így az első hóap végé, illetve második hóap kezdeté ics szaporulat, marad az egy

23 .4. Differeciaegyeletek 8 pár yúl. A második hóap végé, azaz harmadik hóap kezdeté már va szaporulat, és így két pár a yulak száma. A harmadik hóap végé, illetve egyedik hóap kezdeté is csak az eredeti egy pár yúlak va ivadéka és így három pár yúl lesz. A következő, a egyedik hóap végé, vagyis ötödik hóap kezdeté már két pár yúl lesz kéthóapos, ezért a szaporulat két pár stb. Ha a jeleti a yulak számát az -edik hóap kezdeté és a a yulak számát a teyésztés kezdeté, akkor Az így kapott a, a, a + a + a,,,...,,,, 5, 8,,, 4, 55,... sorozatot Fiboacci sorozatak szokás evezi, amelyek általáos eleme: [ ) a ) ],,, Differeciaegyeletek Az előző fejezetekbe találkoztuk két érdekes rekurzív sorozattal. Az egyik egy mértai sorozat, a, a + a,,,..., amely általáos tagjáak képlete a, a másik a Fiboacci-sorozat amely általáos tagjáak képlete [ a a, a, a + a + a,,,...,.) ) ) ] 5,,,..., két mértai sorozat külöbsége. Most megmutatjuk azt az eljárást, amelyből a Fiboaccisorozat képletét yertük. Tegyük fel, hogy va olya {t } t 0) mértai sorozat, amely a.) rekurziós formulát kielégíti. Ekkor t + t + t,,,..., és így t t 0..) Ha t a.) egyeletek a megoldása, akkor {t } kielégíti a.) rekurziós formulát. Mivel a.) egyelet két gyöke t + 5) és t 5), ezért az { + ) } { 5 ) } 5 és.) geometriai sorozat midegyike megoldása a.) rekurziós formuláak. A feti két sorozat egyike sem teljesíti azoba az a a kezdeti feltételeket. Köye elleőrizhető, hogy bármely C és C álladó mellett a.) sorozatok C és C

24 8. SZÁMSOROZATOK álladókkal való beszorzásával kapott sorozat is kielégíti a.) rekurziós formulát, és a két sorozat összege, az + ) 5 ) 5 a C + C is. Most a C és C értékeket, a mértai sorozat kezdőértékeit úgy fogjuk megválasztai, hogy a a legye. Ez a következő egyelőségek teljesülését jeleti: + ) 5 ) 5 C + C, C + ) 5 ) 5 + C, amiből C 5 és C 5. Ezt az eljárást alkalmazi lehet a Fiboacci-sorozatál általáosabb rekurzív sorozatokra is..4.. Véges differeciák.7. Defiíció. Egy {a } valós számsorozat véges differeciájá a külöbséget értjük. a a + a,,,... Az a leképezés, amely az {a } sorozathoz hozzáredeli a { a } sorozatot, a következő tulajdosággal redelkezik: és ha λ valós szám, akkor a + b ) a + b, λa ) λ a, vagyis a az összeadással és a λ-val való szorzással felcserélhető. Ezt a tulajdoságot úgy fejezzük ki rövide, hogy lieáris. A magasabb differeciákat a következőképpe értelmezzük: a második differecia a a ) a + a + + a..4.. Álladó együtthatós lieáris differeciaegyeletek.8. Defiíció. Az ismeretle {a } számsorozat és első differeciája között feálló A a + A 0 a 0,.4) alakú lieáris összefüggést, ahol A, A 0 együtthatók adott valós számok és A 0, álladó együtthatós elsőredű lieáris differeciaegyeletek evezzük.

25 .4. Differeciaegyeletek 8 Behelyettesítve a véges differecia alakját, a.4) egyeletet a alakba is felírhatjuk... Példa. Tekitsük a a + qa a k alakú differeciaegyelet, ahol k álladó. A véges differecia defiícióját behelyettesítve a feti egyelet a + a k alakba írható fel. Az általáos megoldás yilvávalóa a k + C. Ez azt jeleti, hogy az a értékek olya számtai sorozatot alkotak, amelyek differeciája k... Példa. Tekitsük most a a + ba 0 differeciaegyeletet. A véges differecia defiícióját behelyettesítve ez az egyelet alakba írható, ahoa a + a + ba 0 a + a b egyelet adódik. Ebbe az esetbe tehát az a értékek mértai sorozatot alkotak. a A kezdeti érték eseté az a + qa elsőredű lieáris differeciaegyelet általáos megoldása a Aq. A megoldáshoz a következő módszerrel juthatuk: keressük a megoldást a Ct alakba, ahol C meghatározatla álladó, maga a megoldás pedig egy tetszőlegese választott kezdeti értéktől függ. Behelyettesítés utá adódik, hogy t + qt, ie pedig a t q 0 karakterisztikus egyelet megoldásakét a t q értéket kapjuk. A kezdeti érték felhaszálásával kiszámítható, hogy C A, ami a fet megadott megoldáshoz q vezet..9. Defiíció. Az ismeretle {a } számsorozat és első két differeciája között feálló A a + A a + A 0 a 0.5) alakú lieáris összefüggést, ahol A, A, A 0 együtthatók adott valós számok és A 0, álladó együtthatós másodredű lieáris differeciaegyeletek evezzük.

26 84. SZÁMSOROZATOK Behelyettesítve a véges differeciák megfelelő alakjait, a.5) egyeletet az a + pa + + qa.6) alakba is felírhatjuk. Iduljuk ki most a.6) egyeletből, amely az a, a + és a + ismeretleeket tartalmazza. Ha az a és a + értékeket tetszőlegese választjuk, akkor az egyelet meghatározza az a + értéket. Írjuk fel most azt az egyeletet, amelyet úgy kapuk, hogy mide idex értékét eggyel megöveljük. Az ebbe az egyeletbe előforduló ismeretleek a következők leszek: a +, a + és a +. Mivel a + és a + értéke már ismert, ezért meg tudjuk határozi a + értékét. Folytatva ezt az eljárást, belátható, hogy a és a + tetszőlegese megválasztott két kezdeti értéke a megoldást teljese meghatározza. A megoldás tehát két tetszőlegese választható kezdeti értéktől függ. Tegyük fel, hogy f és g az a + pa + + qa.7) álladó együtthatós lieáris differeciaegyelet két lieárisa függetle megoldása és midkettő egy speciálisa megválasztott kezdeti értékredszerek felel meg. Ekkor, az egyeletek lieáris jellege miatt az általáos megoldást a C f + C g alakba írhatjuk fel, ahol C és C tetszőleges álladó. A feti összefüggés megadja a.7) differeciaegyelet általáos megoldását, ha az f és g megoldások lieárisa függetleek. A.7) másodredű lieáris differeciaegyelet általáos megoldásáak előállítása végett keressük a megoldást a t t 0) alakba, ahol t egyelőre határozatla álladó. Behelyettesítve a következő.7) differeciaegyeletbe, t ismeretlees egyeletet kapjuk: amiből a t + pt + + qt,,,,...,.8) t pt + q, másodfokú algebrai egyelet adódik, a.7) karakterisztikus egyelete, amelyek t a gyöke. Fordítva, ha t a karakterisztikus egyeletek a megoldása, akkor.8) is érvéyes, vagyis t kielégíti a.7) differeciaegyeletet. Két esetet foguk tárgyali: amikor a karakterisztikus egyeletek két külöböző valós gyöke va és amikor a karakterisztikus egyeletek egy kettős valós gyöke va. I. Vegyük először a két külöböző valós gyök esetét, amikor t és t a karakterisztikus egyelet valós megoldásai, ahol t t. Ekkor, f t és g t a lieárisa függetle megoldások, s éppúgy, mit a Fiboacci-sorozat esetébe, tetszőleges C, C mellett az a C t + C t.9) sorozat általáos megoldása a differeciaegyeletek, amiből az a A, a B kezdeti értéket kielégítő megoldást úgy kapjuk, hogy a C t + C t A, C t + C t B egyeletredszert kielégítő C, C értékeket helyettesítjük a.9) képletbe.

27 .4. Differeciaegyeletek Példa. Oldjuk meg az differeciaegyeletet. a + 5a + 6a,,,... a, a A karakterisztikus egyelet t 5t + 6 0, amelyek gyökei t és t. Így az egyelet általáos megoldása: a C + C,,,... A C, C értékpárra C + C, 9C + 4C, amiből C 4 és C 7. II. Kettős valós gyök eseté, amikor t t valós szám, f t és g t a lieárisa függetle megoldások, s tetszőleges C, C mellett az a C t + C t.0) sorozat általáos megoldása a differeciaegyeletek, amiből az a A, a B kezdeti értéket kielégítő megoldást úgy kapjuk, hogy a C t + C t A, C t + C t B egyeletredszert kielégítő C, C értékeket helyettesítjük a.0) képletbe..5. Példa. Határozzuk meg az a 0, a a + 4a + 4a,,,... rekurzív módo megadott számsorozat általáos elemét. A karakterisztikus egyelet t 4t + 4 0, amelyek gyökei t t. Így az egyelet általáos megoldása: a C + C,,,... A C, C értékpárra C + C 0, 4C + 8C, amiből C 4 és C. Eek alapjá az általáos elem 4 a ).

28 86. SZÁMSOROZATOK FELADATOK.. Oldjuk meg az a + a 0 differeciaegyeletet, ha a. Keressük a megoldást a t alakba, ahol t 0. Ekkor az egyeletbe helyettesítve kapjuk, hogy t + t 0, illetve a t 0 karakterisztikus egyeletet, amelyek megoldása t. Ekkor az általáos megoldás a C alakba írható fel, ahol C tetszőleges valós szám. Mivel a kell, hogy teljesüljö, ezért behelyettesítve az általáos megoldás képletébe kapjuk, hogy C, ahoa C, a kért feltételekek eleget tevő megoldás pedig a, azaz a.. Írjuk fel az a, a + 0 a rekurzív módo megadott számsorozat általáos elemét. A megoldást a t alakba keressük, ahol t 0. Ekkor az egyeletbe helyettesítve kapjuk, hogy t + 0 t, ahoa t 0 a karakterisztikus egyeletet megoldása. Ekkor a rekurzív egyeletet kielégíti az a C ) általáos megoldás, ahol C tetszőleges valós szám. Mivel a 0 kell, hogy teljesüljö, ezért behelyettesítve az általáos megoldás képletébe kapjuk, hogy C, ahoa C 0 következik, a sorozat. eleméek képlete pedig 0 a 0 ) 0, azaz a ) 0.. Oldjuk meg az a + 5a + 6a differeciaegyeletet, ha a, a. A megoldást most is a t alakba keressük, ahol t 0. Ekkor az egyeletbe helyettesítve kapjuk, hogy t + 5t + 6t, ahoa t 5t a karakterisztikus egyeletet, megoldásai pedig t és t. Ekkor a differeciaegyeletet kielégíti mide a C + C alakú megoldás, amelyet általáos megoldásak evezük, ahol C és C tetszőleges egymástól függetle valós számok. Mivel a és a kell, hogy teljesüljö, ezért behelyettesítve az általáos megoldás képletébe kapjuk az C + C és 4C + 9C, egyeletredszert, ahoa C és C, a feladat feltételeit kielégítő megoldás pedig a.

29 .4. Differeciaegyeletek Írjuk fel az a, a, a + a + + 4a rekurzív módo megadott számsorozat általáos elemét. Keressük az általáos elemet a t alakba, ahol t 0. Ekkor az egyeletbe helyettesítve adódik, hogy t + t + + 4t, ahoa t t 4 0 a karakterisztikus egyeletet, melyek megoldásai t és t 4. Ekkor a rekurzív egyeletet kielégíti mide olya a C ) + C 4 alakú megoldás, ahol C és C tetszőleges egymástól függetle valós számok. Mivel a és a kell, hogy teljesüljö, ezért behelyettesítve az általáos megoldás képletébe kapjuk az C + 4C és C + 6C, egyeletredszert, ahoa C és C 0, a sorozat általáos eleméek képlete pedig a ), vagyis a ) Oldjuk meg az a + a + a differeciaegyeletet, ha a 0, a. A megoldást a t alakba keressük, ahol t 0. Az egyeletbe behelyettesítve azt kapjuk, hogy t + t + t, ahoa t + t + 0 a karakterisztikus egyeletet, melyek megoldásai t t. Ekkor a differeciaegyeletet kielégíti mide a C ) + C ) alakú megoldás, amelyet általáos megoldásak evezük, ahol C és C tetszőleges egymástól függetle valós számok. Mivel a 0 és a kell, hogy teljesüljö, ezért behelyettesítve az általáos megoldás képletébe kapjuk az 0 C C és C + C, egyeletredszert, ahoa C és C, a feladat feltételeit kielégítő megoldás pedig a ) ), vagyis a ) ).

30 88. SZÁMSOROZATOK.5. Koverges sorozatok.5.. Sorozatok határértéke Tekitsük az a, b, c + ), d ) sorozatokat. számsíkba. Írjuk fel e sorozatok első éháy elemét és rajzoljuk fel grafikojaikat a a eseté a a, a, a, 0.5 a 4 4, a 5 5,... y b eseté b 0, b, b, b 4 4, b 5 4 5, a 4 5 y c + ) eseté c 0, c +, c, a y c 4 + 4, c 5 5, a d ) eseté d, d, d, d 4, d 5, E sorozatokat vizsgálva észrevehető, hogy az {a }, {b }, {c } sorozatok esetébe redre va egy-egy olya szám, amelyet a sorozat elemei tetszőlegese megközelíteek valamilye módo. Az {a } sorozat elemei a 0-t, a {b } és a {c } sorozat elemei az -et. A {d } sorozat esetébe ics ilye szám.

31 .5. Koverges sorozatok 89 A sorozatok e tulajdoságáak potos meghatározása adja a kovergecia, illetve a határérték fogalmát. A következőkbe két egymással ekvivales defiíciót aduk meg..0. Defiíció. Az {a } sorozat koverges, ha létezik olya A szám, hogy bármely ε > 0 számhoz megadható olya N N küszöbszám vagy küszöbidex) N függ ε-tól), hogy ha N, akkor a sorozat elemeiek A számtól való eltérése kisebb mit ε, azaz a A < ε. a A ε A A ε y A ε y A y A ε Defiíció. Az {a } sorozat koverges, ha létezik olya A szám, hogy A bármely köryezetébe a sorozatak véges sok elem kivételével mide eleme beletartozik. 0 A ε A A ε a Az A számot az {a } sorozat határértékéek vagy eszéek evezzük jelölése pedig a A illetve a A olvasd: esz a egyelő A, illetve a tart A-hoz, vagy a kovergál A-hoz)..6. Példa. Vaak olya sorozatok, amelyekek ics határértéke, mit például a a ) +, b, c ), d )... Defiíció. Az olya sorozatokat, amelyekek ics határértékük, diverges sorozatokak evezzük. A következő tétel a határérték egyértelműségét vagy uicitását) modja ki..5. Tétel. Koverges sorozatak csak egy határértéke va. Bizoyítás. A tételt idirekt módo bizoyítjuk, azaz feltesszük, hogy legalább két határértéke va a sorozatak, például A és A A A ). Mivel A A, ezért A A ρ > 0. ρ Tekitsük az A és A sugarú köryezetét. Ezekek a köryezetekek - a sugár alkalmas 4 választása miatt - ics közös része. A határérték.. Defiíciója alapjá, ha A határértéke a sorozatak, akkor bármely, így ρ sugarú köryezetébe is, a sorozatak végtele sok 4

32 90. SZÁMSOROZATOK ρ eleme esik, és ebből csak véges sok marad ki. Ez azt jeleti, hogy A sugarú köryezetébe 4 csak véges sok eleme eshet a sorozatak, tehát A -ek va olya köryezete, amelyből végtele sok eleme marad ki a sorozatak, így A em lehet a sorozat határértéke. Ezzel elletmodásba kerültük a feltételezésükkel, hogy A is határértéke a sorozatak. Az alábbi tételek a koverges sorozatokak két fotos tulajdoságát modják ki..6. Tétel. Ha egy sorozat koverges, akkor korlátos is. Bizoyítás. Ha a A, akkor ε -hez is va olya N Z +, hogy N -re a A <, azaz A < a < A +. Ha vesszük az A + számot és a sorozat ála agyobb elemeit ilye csak véges sok lehet, legfeljebb N ), és ezek közül kiválasztjuk a legagyobbikat, akkor ez yilvávalóa felső korlátja lesz a sorozatak. Hasolóa adhatuk egy alsó korlátot is a sorozathoz. Vagyis, ha K max{a +, a, a,..., a N }, k mi{a, a, a,..., a N }, akkor mide -re teljesül, azaz a sorozat valóba korlátos. k a K Az állítás em fordítható meg, azaz a korlátosságból em következik a kovergecia..7. Példa. a) Az a sorozat koverges, tehát korlátos is. b) A b sorozat em korlátos, tehát em is koverges. c) A c ) sorozat korlátos, de em koverges. Ha egy sorozatból végtele sok elemet választuk ki abba a sorredbe, ahogy ezek az eredeti sorozatba szerepeltek, a sorozatuk egy részsorozatát kapjuk..8. Példa. Tekitsük az a sorozatot. Válasszuk ki eek összes páratla idexű elemét, ezzel egy új b sorozat áll elő:,, 5, Tétel. Koverges sorozat mide részsorozata koverges, és határértéke megegyezik az eredeti sorozat határértékével. A sorozatok egy másik, a határértékhez közelálló, de azzal em azoos jellemzője a torlódási pot. Az alábbiakba ezzel ismerkedük meg... Defiíció. Az a számot az {a } sorozat torlódási potjáak evezzük, ha a bármely köryezete a sorozat végtele sok elemét tartalmazza. A torlódási pot fogalmát másképpe is lehet defiiáli, s a két defiíció természetese egymással ekvivales..4. Defiíció. Az {a } sorozatak az a szám torlódási potja, ha kiválasztható az {a } sorozatból egy a-hoz kovergáló {b } részsorozat.

33 .5. Koverges sorozatok 9 Nyilvávaló, hogy a határérték midig torlódási pot, de ez az állítás fordítva általába em igaz..9. Példa. Vizsgáljuk meg az a ) + sorozat elemeit, felrajzolva azokat a számsíkba és a számegyeese. Ez a sorozat em koverges, mert két torlódási potja va, és. Az {a } sorozat koverges részsorozatai b + és c +, ahol b és c a a y y Tudjuk, hogy egy sorozat korlátosságából em következik a sorozat kovergeciája, igaz viszot a következő tétel..8. Tétel. Bolzao-Weierstrass). Korlátos sorozatak va legalább egy torlódási potja. Megjegyezzük, hogy a Bolzao-Weierstrass tétel egy más megfogalmazása a következő: Korlátos sorozatból kiválasztható legalább egy koverges részsorozat..0. Példa. Az a ) sorozatból a páros idexű elemeket kiválasztva, -hez kovergáló részsorozatot kapuk. A Bolzao-Weierstrass tétel következméye az alábbi állítás..9. Tétel. Ha egy korlátos sorozatak csak egy torlódási potja va, akkor a sorozat koverges... Példa. a) Az a ) koverges. sorozat korlátos és csak egy torlódási potja va, tehát b) A jól ismert b ) sorozat ugya korlátos, de két torlódási potja va, és, ezért em koverges.

34 9. SZÁMSOROZATOK c) A c + ) sorozatak csak egy torlódási potja va, a 0, de em korlátos, ezért em koverges. Az előzőekbe beláttuk, hogy egy koverges sorozat midig korlátos, de az állítás megfordítása em igaz. Ha azoba a korlátos sorozat egybe mooto is, akkor már bizoyosa koverges..0. Tétel. Ha egy sorozat korlátos és mooto, akkor koverges. Ha a sorozat övekvő, akkor a felső határhoz, ha csökkeő, akkor az alsó határhoz kovergál. Bizoyítás. Legye például az {a } korlátos sorozat övekvő. Ekkor a a + mide -re teljesül. A sorozat korlátos, így va felső határa, jelöljük ezt H-val. Ekkor, egyrészt a H mide -re, másrészt tetszőleges pozitív ε számhoz megadható a sorozatak olya a eleme, amely H ε-ál agyobb, amelyre tehát H ε < a < H. Mivel a sorozat övekvő, a feti egyelőtleség a sorozat mide, az a -ot követő elemére igaz. Így a H bármely köryezetéből a sorozatak legfeljebb véges számú eleme marad ki, hisze H ε < a a < H teljesül mide -ál agyobb -re. Ez pedig éppe azt jeleti, hogy az {a } sorozat koverges, és határértéke H. Csökkeő sorozatra - a sorozat alsó határáak létezését kihaszálva - a bizoyítás hasolóa végezhető el... Példa. a) Az a + sorozat mooto csökkeő és korlátos, ezért koverges. + b) A b + sorozat mooto övekvő és korlátos, ezért koverges..5.. Nullához és végtelehez tartó sorozatok A techikai és a gyakorlati alkalmazás szempotjából redkívül fotosak azok a sorozatok, amelyek mide határo túl övekedek, illetve csökkeek. Most megadjuk eze heurisztikus fogalmak potos defiícióját..5. Defiíció. Azt modjuk, hogy az {a } sorozat plusz végtelehez tart, ha mide K valós számhoz létezik olya N N küszöbszám, hogy N eseté a > K. Ezt a téyt a következő módo jelöljük: a + vagy a Defiíció. Ha az {a } sorozat olya, hogy a ) +, akkor azt modjuk, hogy az {a } sorozat miusz végtelehez tart, és ezt a téyt a következő módo jelöljük: a vagy a.

35 .5. Koverges sorozatok 9 Ameyibe az {a } sorozat valamelyik végtelehez divergál, szokás azt modai, hogy tágabb értelembe koverges vagy valódi diverges sorozat. Ilye szóhaszálat eseté a + és a is tekithető valamely sorozat határértékéek, bár egyik sem szám... Példa. a) A természetes számok,,,...,,... sorozata + -be divergál. b) A egatív egész számok { } sorozata -be divergál,. c) A, 4, 8,...,,... sorozat + -be divergál,. d) A, 8,,...,,... sorozat -be divergál,. Az a sorozat a b sorozatak, a c sorozat a d sorozatak részsorozata, így a feti példák azt mutatják, hogy a valódi diverges sorozatok bizoyos tekitetbe hasolóa viselkedek, mit a koverges sorozatok. Érvéyes a következő állítás:.. Tétel. Ha {a } valódi diverges sorozat, akkor mide részsorozata is az..4. Példa. Az a sorozat 0-hoz kovergál. A b sorozat végtelebe divergál. Általáosa igaz a következő tétel... Tétel. Ha a 0 a > 0), akkor a. Ha a, akkor a 0. Bizoyítás. Tegyük fel, hogy a 0, és legye K tetszőleges adott szám. Azt kell megmutatuk, hogy elég agy -re a > K. Feltehetjük, hogy K > 0, mert ha a sorozat tagjai valahoa kezdve pozitív K-ál agyobbak, akkor ez egatív K-ra még ikább igaz. Legye tehát K > 0. Ekkor K is pozitív, és > K akkor és csak akkor áll fe, ha a < teljesül, ez utóbbi viszot az a K a 0 feltétel miatt elég agy -ekre igaz. A tétel második részéek bizoyításához iduljuk ki abból, hogy a, és legye ε tetszőlegese megadott pozitív szám. Ekkor 0 a < ε a teljesül, ha a > ε, ez pedig az a feltétel miatt elég agy -ekre teljesül, tehát a 0. Ezzel a tételt bebizoyítottuk... Tétel. Ha a és c > 0, akkor ca, míg ha c < 0, akkor ca. Bizoyítás. Először tegyük fel, hogy c > 0, és K tetszőleges szám. Ekkor ca > K mide olya -re feáll, amelyre a > K c, ez pedig elég agy -ekre az a feltevés miatt igaz. Ezzel bebizoyítottuk, hogy ca.

36 94. SZÁMSOROZATOK Legye most c < 0, és k tetszőleges adott szám. Ekkor a ca < k mide olya - re teljesül, amelyre a > k c, ami a miatt elég agy -ekre igaz. Ezzel a tétel bizoyítást yert. A végtelehez tartó sorozatok esetébe em fogalmazhatuk meg a határértékre voatkozó olya tételeket, amilyeeket az előzőekbe kimodtuk a végeshez kovergáló sorozatok esetébe. Így em modhatuk semmi biztosat a, 0, típusú határértékekről. Hasolóa kritikusak a, 0, 0 0 és 0 0 típusú határértékek is..5.. Műveletek koverges sorozatokkal A következő fejezetbe láti fogjuk, hogy még viszoylag egyszerű sorozat kovergeciájáak bizoyítása sem triviális. Ezért is va jeletősége a koverges sorozatok és az alapműveletek kapcsolatáak, ugyais éháy egyszerű sorozat határértékéek ismeretébe boyolultabb sorozatok határértéke is meghatározható. Most éháy olya szabályt mutatuk meg, amelyek a sorozatok határértékéek gyors kiszámítását teszik lehetővé..4. Tétel. Ha az {a } és {b } sorozatok kovergesek, akkor az {a + b } és az {a b } sorozatok is kovergesek, mégpedig úgy, hogy a + b ) a + b, a b ) a b..5. Tétel. Ha az {a } és {b } sorozatok kovergesek, akkor az {a b } sorozat is koverges, mégpedig úgy, hogy a b ) a b..6. Tétel. Ha az {a } és {b } sorozatok kovergesek, valamit b 0, akkor az { } a sorozat is koverges, mégpedig úgy, hogy b a b a b.7. Tétel. Ha az {a } sorozat koverges, akkor érvéyesek az alábbi egyelőségek:. a) C a ) C a, C kostas, b) a ) k a ) k, k N. c) k a k a, k N. d) log a a log a e) e a e a. a ), a > 0, a.

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A BELVÁROSI ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS GIMNÁZIUM BÉKÉSCSABA EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A KOMBINATORIKÁBAN 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 3 3 0 4 9 8 6 0 5 44 45 0 0 0 6 65 64 35 40 5 0 7 854 855 94 35 70 0 8 4833 483 740 464

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák 1. oldal, összesen: 8 oldal Sorozatok - kidolgozott típuspéldák Elmélet: Számtani sorozat: a 1 a sorozat első tagja, d a különbsége a sorozat bármelyik tagját kifejezhetjük a 1 és d segítségével: a n =

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy a Nemzeti Fejlesztési Terv Humáerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3... közpoti program (Pedagógusok és oktatási szakértők

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy KHF/438-3/008. egedélyszámo 008..0. időpottól taköyvi egedélyt kapott Educatio Kht. Kompeteciafejlesztő oktatási program kerettaterv

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek 5. Matematikai logika, bizoyítási módszerek I. Elméleti összefoglaló Logikai műveletek A matematikai logika állításokkal foglalkozik. Az állítás (vagy kijeletés) olya kijelető modat, amelyről egyértelműe

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak

Részletesebben

festményeken és nem utolsó sorban az emberi test különböz arányaiban. A következ képek magukért beszélnek:

festményeken és nem utolsó sorban az emberi test különböz arányaiban. A következ képek magukért beszélnek: Az araymetszés és a Fiboacci számok mideütt Tuzso Zoltá Araymetszésrl beszélük, amikor egy meyiséget, illetve egy adott szakaszt úgy osztuk két részre, hogy a kisebbik rész úgy aráylik a agyobbikhoz, mit

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban: SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma 16. Sorozatok I. Elméleti összefoglaló A sorozat fogalma Sorozatnak nevezzük az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Számsorozat olyan sorozat, amelynek értékkészlete

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

iíiíi Algoritmus poligonok lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógépes adatelőkészítés pattern generátor vezérléséhez)

iíiíi Algoritmus poligonok lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógépes adatelőkészítés pattern generátor vezérléséhez) iíiíi á HlftADÁSfCCHNIKAI TUOOHANfOS EGYíSBLIT (APJA KULCSÁR GÁBOR Híradástechikai Ipari Kutató Itézet Algoritmus poligook lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógép adatelőkészítés patter

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

Szemmegoszlási jellemzők

Szemmegoszlási jellemzők Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges.

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges. ERMODINMIK I. FÉELE els eergia: megmaraó meyiség egy izolált reszerbe (eergiamegmaraás törvéye) mikroszkóikus kifejezését láttuk Izolált reszer falai: sem mukavégzés sem a reszer állaotáak mukavégzés élküli

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Rádiókommunikációs hálózatok

Rádiókommunikációs hálózatok Rádiókommuikációs hálózatok Készült az NJSZT Számítógéphálózat modellek Tavaszi Iskola elöadás-sorozataihoz. 977-980. Gyarmati Péter IBM Research, USA; Budapest Föváros Taácsa. I this paper we show a somewhat

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

Sok sikert és jó tanulást kívánok! Előszó

Sok sikert és jó tanulást kívánok! Előszó Előszó A Pézügyi számítások I. a Miskolci Egyetem közgazdász appali, kiegészítő levelező és posztgraduális kurzusai oktatott pézügyi tárgyak feladatgyűjteméyéek az első darabja. Tematikája elsősorba a

Részletesebben

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek Wieer folyamatok A következő két feladat azt mutatja, hogy az az eseméy, hogy egy sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriájú-e vagy sem em határozható meg a folyamat véges dimeziós eloszlásai segítségével,

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség: defiíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás sorá Péter László Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség fogalomköre és az érdesség

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

FOLYADÉKSZÁLLÍTÓ RENDSZER LINEÁRIS PARAMÉTER-ÉRZÉKENYSÉG ELEMZÉSE 2 1. BEVEZETÉS

FOLYADÉKSZÁLLÍTÓ RENDSZER LINEÁRIS PARAMÉTER-ÉRZÉKENYSÉG ELEMZÉSE 2 1. BEVEZETÉS Pokorádi László Szoloki Tudomáyos Közleméyek XVII. Szolok, 3 FOLYADÉKSZÁLLÍTÓ RENDSZER LINEÁRIS PARAMÉTER-ÉRZÉKENYSÉG ELEMZÉSE Techikai redszerek matematikai modellvizsgálata sorá figyelembe kell veük,

Részletesebben

ALGORITMUSOK A MATEMATIKAOKTATÁSBAN

ALGORITMUSOK A MATEMATIKAOKTATÁSBAN Eötvös Lorád Tudomáyegyetem, Természettudomáyi Kar Matematikataítási és Módszertai Közpot ALGORITMUSOK A MATEMATIKAOKTATÁSBAN Készítette: Varga Viktória Matematika Bsc taári szakiráy Témavezető: Fried

Részletesebben

Általánosított mintavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására

Általánosított mintavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására Általáosított mitavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására Dr. Földvári Rudolf BME Híradástechikai Elektroika Itézet ÖSSZEFOGLALÁS Az általáosított mitavétel külöböző esteiek bemutatása

Részletesebben

A JUST IN TIME KÖLTSÉGEK ELEMZÉSE

A JUST IN TIME KÖLTSÉGEK ELEMZÉSE DR. BENKŐ JÁNOS * A JUST IN TIME KÖLTSÉGEK ELEMZÉSE ÁTTEKINTÉS Az ayag- és készletgazdálkodás fotos feladata a termelés üteméek megfelelő ayagszükséglet folyamatos kielégítése. A termelési program és az

Részletesebben

Érettségi feladatok: Sorozatok

Érettségi feladatok: Sorozatok Érettségi feladatok: Sorozatok 2005. május 10. 8. Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 2. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 14. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy

Részletesebben

RÁBAKÖZI TAKARÉKSZÖVETKEZET

RÁBAKÖZI TAKARÉKSZÖVETKEZET Vállalkozások és egyéi vállalkozók részére vezetett pézforgalmi számlák kamatairól, valamit a voatkozó betétbiztosítási feltételekről Érvéyes: 2013. szeptember 11-től I. KAMATMÉRTÉKEK Éves kamatláb EBKM

Részletesebben

MATEMATIKA I. FEKETE MÁRIA. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MATEMATIKA TANSZÉK feketemt@witch.pmmf.hu

MATEMATIKA I. FEKETE MÁRIA. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MATEMATIKA TANSZÉK feketemt@witch.pmmf.hu MATEMATIKA I. FEKETE MÁRIA PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MATEMATIKA TANSZÉK feketemt@witch.pmmf.hu 007 PMMANB3 Matematika I. RÉSZLETES TANTÁRGYPROGRAM Hét Ea/Gyak./Lab.. 3 óra előadás

Részletesebben

2. modul Gazdasági matematika

2. modul Gazdasági matematika Matematika A. évfolyam. modul Gazdasági matematika Készítette: Lövey Éva Matematika A. évfolyam. modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA Taári útmutató A modul célja Időkeret Ajálott korosztály Modulkapcsolódási potok

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL 36 MIXCONTROL AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL Subert Istvá deformáció-elleálló keverékvázat lehet létrehozi. Kiidulási feltétel az alkalmazás helyéek

Részletesebben

kiértékelésének technikája

kiértékelésének technikája 1 H NMR titrálások felvételéek és kiértékeléséek techikája Midazokak, akik elıször próbálkozak NMR titrálásokkal. Készítette: Dr. Lázár Istvá DE Szervetle és Aalitikai Kémiai Taszék Debrece, 2006. jauár

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben