2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása"

Átírás

1 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak, rövide sorozatokak evezzük. a a sorozat -edik eleme vagy tagja), amelyet szokás a sorozat általáos eleméek is evezi. Magát a sorozatot {a }-el jelöljük.... Sorozatok megadása A sorozatokak végtele sok eleme va és ezeket külöféle módo adhatjuk meg. I. A sorozatot megadhatjuk az általáos elem képletével, vagyis az változó függvéyekét felírt képlettel, formulával... Példa. a) Ha a az általáos elem, akkor a sorozat elemei,,, 4, 5,... és ez a természetes számok sorozata. b) Ameyibe a az általáos elem képlete, akkor a sorozat elemei, 4, 8, 6,,... és most a hatváyaiak sorozatát kapjuk. c) a eseté a sorozat elemei,,, 4,,... és ez a harmoikus sorozat, mely evét 5 arról kapta, hogy a második elemtől kezdve a sorozat mide eleme a két szomszédos elem harmoikus közepe, vagyis érvéyes, hogy a a + a + ),. II. A sorozatot megadhatjuk rekurzív módo. Ez azt jeleti, hogy éháy elemet megaduk, a további elemeket pedig az előttük lévők segítségével defiiáljuk... Példa. a) Legye a és a a, ha. Ekkor a a, a a 4, a 4 a 8, a 5 a 6, és így tovább. A sorozat elemei,, 4, 8, 6,.... b) Legye a 0 és a a +, ha. Ekkor a a +, a a +, a 4 a + 7, a 5 a 4 + 5, és így tovább. A sorozat elemei 0,,, 7, 5,.... c) Legye a 0, a és a a + a, ha. Ekkor a a + a, a 4 a + a, a 5 a 4 + a 5, és így tovább. A sorozat elemei ebbe az esetbe 0,,,, 5,....

2 60. SZÁMSOROZATOK Ilye módo kiszámítható a sorozat bármelyik eleme, de ahhoz, hogy meghatározzuk a rekurzív módo megadott sorozat 000. elemét, ki kell számítai mid a 999 előző elemet is. Bizoyos esetekbe a rekurzív képletekkel megadott sorozatok általáos eleme is meghatározható, de erről az eljárásról a későbbiekbe lesz szó. III. Számsorozatot megadhatuk utasítással, leírással is... Példa. a) Legye {a } a prímszámok sorozata, azaz,, 5, 7,,, 7,... és így tovább. Nem létezik sem explicit, sem rekurzív formula, amely megadá az. prímszámot, de a sorozat ezzel az utasítással mégis egyértelműe meghatározott. b) Legye {a } az a sorozatot, amelyek elemei sorba a végtele tizedestört alakú felírásáak egy-, két-, háromszámjegyű, stb. racioális közelítései. A sorozat elemei,.4,.4,.44,.44,.... Ha az ezredik számjegyet kérdezék, tudjuk, hogy az egyértelműe meg va határozva, de megadása sok mukát igéyele. Megjegyzés: A számsorozatokat szokás megadi az első éháy elem felsorolásával is, de ez a defiiálás em midig egyértelmű, ezért ha lehet kerüljük ezt a megadási módot..4. Példa. Tekitsük az, 6, 8, 56,... számsorozatot, amelyet az első égy elem segítségével írtuk fel. A felsorolt elemek alapjá a sorozat általáos eleme egyrészt lehete a 4, de ugyaakkor b is. A megfelelő sorozatok ötödik, hatodik elemei viszot már em egyezek meg.... Sorozatok ábrázolása a b Az {a } sorozatot ábrázolhatjuk a számegyeese a sorozat elemeihez redelt potokkal: a, a, a,..., vagy mit olya függvéyt a valós számsíkba, melyek értelmezési tartomáyát a természetes számok alkotják, grafikoja pedig az, a ),, a ),, a ),... diszkrét potok halmaza. a a 4.5. Példa. Az a számsorozat számegyeese való ábrázolása és síkba való ábrázolása is jó képet ad a számsorozatak megfelelő potok elhelyezkedéséről. 4 5

3 .. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 6 a 0 5 a 5.6. Példa. Az a 0, a kezdeti elemekkel és az a a + a rekurzív képlettel megadott számsorozat esetébe a a, és ez a számegyeese azt jeleti, hogy az -be két pot va egymás tetejé, de ezt em tudjuk érzékeli. A számsíko való ábrázolás kiküszöböli ezt a problémát, hisze ott két külöböző potkét jeleik meg, a ) és, a ) a a.7. Példa. Az a, a 0 kezdeti elemekkel és az a a a rekurzív formulával megadott számsorozat esetébe sem derül ki a számegyeese, hogy a a 4, hacsak em írjuk oda mide pothoz, hogy a számsorozat melyik eleméek felel meg. A számegyeese való ábrázolás azt sem teszi lehetővé, hogy képet kapjuk arról, hogy melyik pot felel meg az első elemek, melyik a másodikak, és így tovább. Mit látjuk, a síkba való ábrázolás megoldja ezeket a problémákat. 4 5 FELADATOK. Határozzuk meg az {a } sorozat első k elemét.. a, k 8 a, a 0, a 6, a , a , a 6 6 6, a , a ,...

4 6. SZÁMSOROZATOK. a 5 +, k 6 a 5 +, a 5 + 5, a 5 +, a , a , a ,.... a + ) +, k 6 a + ) 5, a + ), a + ) 4, a 4 + ) , a 5 + ) 6 5 5, a 6 + ) 7 6, a + ), k 4! a + ) 0 0!, a + )! a + )! 5. a cos + ) π, k 8, a 4 + ) 4!, 9 8,... a cos π, a cos π 0, a cos π, a 4 cos 5π 0, a 5 cos π, a 6 cos 7π 0, a 7 cos 4π, a 8 cos 9π 0, a si π, k 8 a si π, a si π 0, a si π, a 4 si π 0, a 5 si 5π, a 6 si π 0, a 7 si 7π, a 8 si 4π 0,... {, páratla; 7. a, páros., k 8 a, a, a, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8 4,...

5 .. Korlátos és mooto sorozatok 6 8. a { + l e, páratla; e l, páros., k 8 a, a, a, a 4, a 5, a 6, a 7 4, a 8 4, a , k 4 a, a +, a + + 6, a , a , k a + + 4, a , a ,.... a, a + 5 4a, k 5 a, a, a, a 4, a 5,.... a 4, a + a + 5, k 5 6 a 4, a 7, a 8, a 4 8 8, a ,.... a 0, a + a + ), k 5 a 0, a, a, a 4 8, a 5 7 6, a, a, a + a + + 5a, k 5 a, a, a, a 4 7, a 5 9, a, a, a + ) a+ + a, k 5 a, a, a, a 4 4, a 5 5 8,..... Korlátos és mooto sorozatok Mivel a sorozatok is függvéyek, ezért természetes, hogy vizsgáljuk a függvéyekre jellemző tulajdoságokat. Két ilye fotos tulajdoság a korlátosság és mootoitás... Defiíció. Az {a } sorozatot felülről alulról) korlátosak evezzük, ha megadható olya K k) szám, amelyél a sorozatak ics agyobb kisebb) eleme, azaz a K,,,... a k,,,...). A sorozatot korlátosak modjuk, ha felülről és alulról is korlátos, azaz ha mide -re k a K. Az ilye k számot alsó korlátak, a K számot pedig felső korlátak evezzük.

6 64. SZÁMSOROZATOK A defiícióból következik, hogy ha létezik egy felső alsó) korlát, akkor végtele sok felső alsó) korlát is va. A valós számok teljességi axiómájából következik, hogy a felső korlátok között va legkisebb és az alsó korlátok között va legagyobb... Defiíció. Felülről korlátos sorozat legkisebb felső korlátját a sorozat felső határáak vagy szuprémumáak; alulról korlátos sorozat legagyobb alsó korlátját a sorozat alsó határáak vagy ifimumáak evezzük. Jelölésük: sup{a }, illetve if{a }. A fetiek szerit felülről alulról) korlátos sorozatak va felső alsó) határa. Korlátos sorozatak va felső és alsó határa is. A sorozat felső alsó) határa em feltétleül eleme a sorozatak. a.8. Példa. Az a sorozat alulról korlátos, mert, így egy alsó korlátja k. Felülről em korlátos a sorozat, mert bármely K számot is vesszük, va a sorozatak olya eleme, mely K-ál agyobb, ugyais a > K, ha > K +. A grafiko szempotjából ez azt jeleti, hogy a számsorozat potjai vagy az y egyeese vaak vagy pedig az y egyees felett. 4 5 y a.9. Példa. Az a ) + sorozat korlátos, mert a + ) a 5 4 y + + +, tehát a mide -re, vagyis a sorozat egy alsó korlátja k, egy felső korlátja pedig K. A számsorozat potjai az y és az y egyeesek között helyezkedek el, legfeljebb maguko az egyeeseke vaak rajta a ) + y.0. Példa. Az a ) sorozat sem alulról, sem felülről em korlátos, mert a > K, ha > K. Ez egy oszcillálló sorozat, amelyél övekedésével a megfelelő a értékek abszolút értékbe mid agyobbak és agyobbak, s így a ekik megfelelő potok mid távolabb és távolabb vaak az x-tegelytől.

7 .. Korlátos és mooto sorozatok 65 a a ).4. Defiíció. Az {a } sorozat szigorúa mooto övekvő csökkeő), ha a < a + a > a + ) mide N eseté. Az {a } sorozat mooto emcsökkeő emövekvő), ha a a + a a + ) mide N eseté. Eze tulajdoságok valamelyikével redelkező sorozatot mooto sorozatak evezzük... Példa. Az a a a + sorozat szigorúa mooto övekvő, mivel + + ) azaz a < a + mide természetes szám eseté. ) + ) + ) + ) < 0,

8 66. SZÁMSOROZATOK Az a sorozat első éháy eleme 0.5 a 0,,, 4, 4 5, a.. Példa. Az a pozitív elemű) sorozat szigorúa mooto csökkeő, mivel a a azaz a > a + mide természetes szám eseté. + >, a Az a sorozat első éháy eleme,,, 4, 0.5 5, a.. Példa. Az a ) sorozat em mooto sorozat, hisze az a a + ) ) + ) + ) ) kifejezés em álladó előjelű. Mivel a sorozat elemei váltakozva egatívak és pozitívak, ezért azt modjuk rá, hogy oszcilláló, első éháy eleme pedig,,,,,.... a 4 5 a ) Vegyük észre, hogy ha az a ) számsorozatot számegyeese ábrázoltuk vola, akkor csak két pot lee a grafikoo, a -él és az -él. Midkettő esetébe viszot végtele sok pot lee egymás tetejé, csak az egyeese ezt em lehet érzékelteti.

9 .. Korlátos és mooto sorozatok 67 FELADATOK. Vizsgáljuk ki a következő sorozatok mootoitását és korlátosságát.. a + Vizsgáljuk ki a sorozat mootoitását. E célból két szomszédos elem külöbségéek előjelét kell meghatározi. a + a ) + + ) + ) < 0. Mivel a + a < 0 mide N eseté, ezért a + < a érvéyes mide N eseté, vagyis a sorozat szigorúa mooto csökkeő. Mivel a sorozat szigorúa mooto csökkeő, ezért az első elem a egybe a sorozat legkisebb felső korlátja is, azaz K eseté a K mide N eseté. Mivel > 0 mide N eseté, ezért a + > mide N eseté, ezért a sorozat egy alsó korlátja lehet k. A sorozat tehát korlátos és mide természetes számra < a.. a A mootoitási tulajdoság meghatározásához vizsgáljuk most ki az a + a külöbség előjelét. Mivel a + a + ) ) + < 0, ezért a + < a mide természetes számra, tehát a sorozat szigorúa mooto csökkeő. Így a sorozat felülről korlátos, egy felső korlátja K a. Ha k alsó korlátja lee, akkor erre k < kellee, hogy teljesüljö, viszot ez csak < k idexekre lee igaz, em pedig mide természetes számra. Most ugyais miél agyobb, aál kisebb a, tehát a sorozat alulról em korlátos.. a + A mootoitást az a + a külöbség előjeléből állapítjuk meg. Mivel a + a + ) + + ) + + > 0 mide természetes számra, így a + > a mide természetes számra, tehát a sorozat szigorúa mooto övekvő. A sorozat első eleme egybe a sorozat egy alsó korlátja is, tehát k a. Ha léteze olya K szám, amelyre + < K, akkor ez a tulajdoság csak az < K + idexű elemekre lee igaz, tehát a sorozat felülről em korlátos. Valóba, ez egy olya sorozat, hogy egyre agyobb természetes számok eseté a + még gyorsabba ő. A sorozat tehát szigorúa mooto övekvő és alulról korlátos.

10 68. SZÁMSOROZATOK 4. a Vizsgáljuk ki az a + a külöbséget. a + a + + ) + ) ) ) ) + ) + ) + ) > 0, ezért a + > a mide természetes számra, tehát a sorozat szigorúa mooto övekvő. A sorozat első eleme egybe a sorozat egy alsó korlátja is, tehát k a, illetve k. Mivel > 0 mide N eseté, ezért < 0 és < mide N eseté, ezért a sorozat egy felső korlátja lehet k, hisze mide N-re a <. A sorozat tehát korlátos és mide természetes számra a. 5. a + + Vizsgáljuk most is az a + a külöbséget. a + a + ) + + ) ) + ) + ) + + ) + + ) + ) ) + ) + ) + + ) + ) < 0, mide természetes számra, így a + < a mide természetes számra, tehát a sorozat szigorúa mooto csökkeő. A sorozat első eleme egybe a sorozat egy felső korlátja is, tehát K a. Vegyük észre, hogy a Mivel > 0, ezért >, tehát k a sorozat egy alsó korlátja. A sorozat tehát korlátos és mide természetes számra < a.

11 .. Rekurzív sorozatok 69.. Rekurzív sorozatok A rekurzív sorozatok közül éháy sorozat gyakorlati alkalmazása, felhaszálhatósága miatt ayira jeletős, hogy érdemes velük külö foglalkozi. Ezekből éháyat defiiáluk, megmutatjuk jellegzetes tulajdoságaikat és érdekes alkalmazásaikat.... Számtai aritmetikai) sorozat.5. Defiíció. Azt a számsorozatot, amelybe mide elemet tagot) az őt megelőzőből egy d álladó hozzádásával kapuk, számtai vagy aritmetikai) sorozatak evezzük. A d szám a sorozat külöbsége vagy differeciája). A defiíció alapjá felírhatjuk a számtai sorozat rekurzív képzési szabályát: Ebből adódik, hogy a a + d, illetve a a d,. a) ha d > 0, a számtai sorozat mooto övekvő és alulról korlátos, b) ha d < 0, a számtai sorozat mooto csökkeő és felülről korlátos, c) d 0 eseté is beszélhetük számtai sorozatról, amely emövekvő, emcsökkeő és korlátos sorozat. Elemei: a, a, a,...,a,... Az ilye sorozatot álladó vagy kostas) sorozatak evezzük. A számtai sorozat megadásához elég két adat. Legegyszerűbb meghatározó adatai a és d. Az egyszerű képzési szabályból adódik, hogy a és d ismeretébe a számtai sorozat bármelyik elemét felírhatjuk a következőképpe: a a + d, a a + d, a 4 a + d, Ezt az eljárást folytatva és általáosítva kimodható a következő tétel:... Tétel. Ha az {a } számtai sorozat első eleme a és külöbsége d, akkor mide természetes számra érvéyes, hogy a a + )d. Bizoyítás. A bizoyítás a matematikai idukció módszerével törtéik. o eseté a a + )d a + 0 d a. o Tegyük fel, hogy az állítás igaz k-ra, vagyis, hogy a k a + k )d. o Igazoljuk az állítás helyességét k + -re. Ekkor a k+ a k + d a + k )d + d a + k + )d a + kd.

12 70. SZÁMSOROZATOK.4. Példa. Ha az 5,,, 4, 7,... számtai sorozat huszadik elemét kell meghatározi, akkor megállapíthatjuk, hogy a 5 és d, tehát a 0 a + 9 d ) Példa. Ha egy olya számtai sorozat differeciáját kell kiszámítai, melyek első tagja és tizedik tagja, akkor az a 0 a + 9d összefüggésből azt kapjuk, hogy + 9d, ahoa d. Mivel a + a + a d + a + d a a, ezért érvéyes, hogy a számtai sorozatba bármely három szomszédos elem közül a középső a két mellette levő elem számtai közepe. Erről a tulajdoságról kapta e sorozat a számtai megevezést. Hasolóa érvéyes a következő összefüggés is: a k + a +k a, k <. Az összeg kiszámításáak legegyszerűbb alapgodolata ma is az, amelyet Gauss ) 9 éves korába alkalmazott, amikor taítója azt a feladatot adta az osztályáak, hogy adják össze -től 40-ig az egész számokat. Gauss egy pillaato belül felírta az összeget: 80. Taítója kérésére el is magyarázta a godolatmeetét. Elképzelte egy sorba felírva a 40 tagú összeget, majd ugyaezt a 40 tagot fordított sorredbe aláírva. Az egymás alá került két szám összege mideütt ilye pár va, ezért 4-et 40-el kellee szorozi, de a két sor miatt mide szám kétszer szerepel az összegbe, ezért a 40 helyett csak 0-szal szorozta az összeget. Ez a szorzat adja a potos összeget, a 80-at. Ugyaezzel a godolatmeettel lehet kiszámítai a számtai sorozat első eleméek S összegét. Kimodható a következő tétel:.. Tétel. Ha az {a } számtai sorozat első eleme a és külöbsége d, akkor az első eleméek összege S a + a a a + a ) a + )d). Bizoyítás. Győződjük meg először arról, hogy mide k eseté, amelyre k érvéyes, hogy a k + a k+ a + a. Valóba, a k a + k )d, a k+ a + k)d és a a + )d, tehát Mivel a k + a k+ a + k )d + a + k)d a + a + )d a + a. és ugyaakkor így összeadva a két egyeletet adódik, hogy S a + a + + a + a S a + a + + a + a, S a + a ) + a + a ) + + a + a ) + a + a ) a + a ).

13 .. Rekurzív sorozatok 7 Ie következik az S a + a ) összefüggés, amelybe behelyettesítve az a a + )d kifejezést adódik, hogy S a + )d). A tétel gyakorlati alkalmazását mutatja az alábbi példa..6. Példa. Egy útszakasz javításához homokbáyából teherautóval homokot szállítaak. Az első forduló terhét a kocsi az út elejé rakja le, ez a homokbáyától 8000 m-es távolságra va. Mide további forduló terhét 5 m-rel távolabbra kell viie. A 5. fordulóál mekkora távolságra megy a kocsi, és a 5 forduló megtétele közbe háy km utat tesz meg teher alatt? a 8000, d 5, tehát 5 esetbe a )5 8850, vagyis a 5. fordulóál a kocsi 8850 m távolságra megy. Mivel a 5 forduló alatt teherrel megtett távolságok összege S 5 a + a a 5 5 a + a 5 ) ) m, így megállapíthatjuk, hogy a 5. forduló megtétele utá a kocsi teherrel összese 94,875 km utat tett meg. FELADATOK.. Egy számtai sorozat első és ötödik tagjáak összege 6, második és egyedik tagjáak szorzata 60. Számítsuk ki első hat tagjáak összegét. A feltételek lapjá felírhatjuk, hogy a + a 5 6 és a a Mivel a feti összefüggésekbe szereplő tagok a -ra szimmetrikusak, fejezzük ki a megadott feltételeket a segítségével. Ekkor az összegre voatkozó feltételből következik, hogy a d + a + d 6, illetve a. Ha a feltételbe szereplő szorzat téyezőit is felírjuk a segítségével, akkor az a d)a + d) 60, illetve d 60 összefüggést kapjuk, ahoa d 9, azaz d vagy d. Ha d, akkor az a a + d összefüggésből a 7 következik, a keresett számtai sorozat pedig 7, 0,, 6, 9,... Ameyibe d, az a a + d összefüggésből a 9-et kapuk, s akkor a keresett számtai sorozat 9, 6,, 0, 7,...

14 7. SZÁMSOROZATOK. Határozzuk meg az összes olya kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul -et adak. Az első olya kétjegyű szám, amely 4-gyel osztva maradékul -et ad, a. Ez lehet tehát egy sorozat első eleme a ). A 4-gyel való osztás maradékosztályába az elemek sorba 4-gyel övekszeek, tehát egy olya számtai sorozatot alkotak, amelyek külöbsége d 4. Az utolsó kétjegyű szám ebbe a sorozatba a 97. A kérdés most az, hogy a 97 hayadik eleme eek a sorozatak. Mivel a a + )d, így 97 + ) 4, és ebből. A keresett összeg kiszámítható a számtai sorozat első eleméek S összegképletéből, s így S + 97) Egy erdőtelepítésél párhuzamos sorokba összese 660 fát ültettek el. Az első sorba 8, mide következő sorba pedig -mal több fa került, mit az előzőbe. Háy fa jutott az utolsó sorba? A külöböző sorokba ültetett fák száma olya számtai sorozatot alkot, amelybe a 8 és d. Ha sorba összese 660 fát ültettek, akkor S 660, és egyrészt ki kell számoli meyi az, másrészt pedig, hogy meyi az a. Mivel ahoa S a + )d), így )), ), illetve Ebből 40 és, ahol a egatív tört megoldásak ics értelme, mivel ez em lehet a sorozat tagjáak idexe. Ezek szerit 40 sor fát ültettek el és az utolsó sorba a 40 a + 9d fa jutott. 4. Határozzuk meg a számtai sorozatba az első 9 tag összegét, ha tudjuk, hogy a 4 + a 8 + a + a 6 4. Mivel a 4 és a 6, valamit a 8 és a az a 0 elemre ézve szimmetrikusak, ezért írjuk fel a megadott feltételt a 0 és d segítségével. Ekkor a 0 6d) + a 0 d) + a 0 + d) + a 0 + 6d) 4, ahoa a Az első 9 tag összege felírható a 0 segítségével, mit S 9 9 a + a 9 ) 9 a 0 9d + a 0 + 9d) 9 a Lehetek-e az 5 és a 5 egy olya számtai sorozat elemei, amelyek első tagja? Ha va ilye sorozat, akkor felírható, hogy 5 + )d és 5 + m )d, ahol és m külöböző természetes számok. Ekkor 5 )d és 5 m )d,

15 .. Rekurzív sorozatok 7 ezek háyadosa pedig 5 5 m )d )d m. Ie 5 m +, ami lehetetle, mert 5 irracioális szám, a m + kifejezés pedig racioális, tehát em lehetek egyelők. Megállapíthatjuk tehát, hogy az 5 és a 5 számok em lehetek egy olya számtai sorozat tagjai, amelyek első tagja.... Mértai geometriai) sorozat.6. Defiíció. Azt a számsorozatot, amelybe mide elemet tagot) az őt megelőzőből egy q 0 számmal való szorzással kapuk, mértai vagy geometriai) sorozatak evezzük. A q szám a sorozat háyadosa vagy kvociese). A defiícióból következik a mértai sorozat rekurzív képzési szabálya: a a q, illetve a a q,. Ebből látjuk, hogy q > 0 eseté a sorozat elemei azoos előjelűek. Ha q >, akkor a > 0 eseté a mértai sorozat szigorúa mooto övekvő, a < 0 eseté pedig szigorúa mooto csökkeő. Ha 0 < q < és a > 0, akkor a sorozat szigorúa mooto csökkeő, a < 0 eseté pedig szigorúa mooto övekvő. q -re álladó sorozatot kapuk. Ha q < 0, akkor az elemek előjele váltakozó. A defiícióból következik, hogy adott a és q eseté a mértai sorozat tagjai felírhatók a a q, a a q, a 4 a q, alakba, illetve ezt az eljárást folytatva és általáosítva kimodható a következő tétel:... Tétel. Ha a mértai sorozat első eleme a és háyadosa q, akkor mide természetes szám eseté a a q. Bizoyítás. A bizoyítást matematikai idukcióval végezzük. o eseté a a q ) a q 0 a. o Tegyük fel, hogy az állítás igaz k-ra, vagyis, hogy a k a q k. o Igazoljuk az állítás helyességét k + -re. Ekkor a k+ a k q a q k q a q k a q k+.

16 74. SZÁMSOROZATOK.7. Példa. Ha az a feladatuk, hogy az a mértai sorozatba meghatározzuk az első elemet és a háyadost, akkor az első elem az a. A kvociest kiszámíthatjuk bármelyik két szomszédos tag háyadosakét, például q a a..8. Példa. Állapítsuk meg, hogy a mértai sorozat háyadik tagja a 8, ha első eleme, háyadosa pedig. Mivel a a q, ezért 8, ahoa 4, illetve 5. Ezért a sorozat ötödik eleme 8. A mértai sorozatba bármely három egymást követő elemre érvéyes az a a a + összefüggés, amelyből pozitív tagú sorozat eseté felírható az a a a + képlet is. Ez azt jeleti, hogy a mértai sorozat három szomszédos eleme közül a középső a két mellette levőek mértai közepe és ebből származik a megevezésbe a mértai jelző. Hasolóa érvéyes k < eseté, hogy a a k a +k..4. Tétel. Ha az {a } mértai sorozat első eleme a és háyadosa q, akkor az első eleméek összege Ha q, akkor S a. Bizoyítás. Ha akkor S a + a a a q q a q q, q. S a + a a S q a q + a q a q a + a a +. Ha a második egyeletből kivojuk az elsőt, akkor vagyis S q S a + a a + a + a a ) a + a a q a, S q ) a q ), ahoa S a q q. Ha q, akkor a mértai sorozat mide tagja egyelő, így S a.

17 .. Rekurzív sorozatok Példa. Ha az S x + x y + x y + + xy + y összegbe x 0 és y 0, akkor S egy olya mértai sorozat első tagjáak összege, amelybe a x és q y x. Ezért ahoa S x ) y x y x x y)s x y, x y x y, vagyis ily módo levezettük az ismert összefüggést, mely szerit x y x y)x + x y + x y + + xy + y ). A mértai sorozat -edik eleméek kiszámítása a kamatos kamatszámításba agyo fotos. Godoljuk a következő problémára..0. Példa. Valaki jauár -é 7000 diárt évi 5%-os kamatláb mellett betesz a bakba. Kamatosa kamatozva 6 év alatt mekkorára övekszik meg az összeg? A kamatos kamatozás azt jeleti, hogy az évi kamatot évekét automatikusa hozzácsatolják a lekötött pézösszeghez, és a következő évekbe már ez a megövekedett összeg kamatozik.) Általáosa fogalmazva: A T 0 összeg évi p%-os kamatlábbal kamatozva év alatt mekkorára övekszik fel? A p%-os kamattal övelt összeg év alatt az eredeti + p -szorosára övekszik. Ezért 00 p%-kal kamatosa kamatozva év alatt a T 0 összegből lesz T T 0 + p ). 00 Esetükbe ez T 6 T 0 + p ) ) , , 67 di FELADATOK.. Egy övekvő mértai sorozat első és harmadik tagjáak összege 0, első három tagjáak összege pedig 6. Melyik ez a sorozat? Mivel a + a 0 és a + a + a 6, ebből yilvávaló, hogy a 6, ahoa a q 6, illetve a 6 q. Mivel a + a q 0, így a + q ) 0, illetve 6 q + q ) 0.

18 76. SZÁMSOROZATOK Ebből a q 0q+ 0 másodfokú egyeletet kapjuk, amelyek megoldásai q és q. Mivel a keresett sorozat övekvő kell legye, így a háyados em lehet. Ezért q és a. A feladatba megdott feltételekt kielégítő övekvő mértai sorozat tehát:, 6, 8, 54,.... Egy mértai sorozat egyedik tagja 4-gyel agyobb, mit a második tag, második és harmadik tagjáak összege pedig 6. Határozzuk meg ezt a sorozatot. A megadott feltételekből felírhatjuk, hogy a 4 a + 4 és a + a 6, a q a q 4 és a q + a q 6, illetve a q q) 4 és a q + q ) 6. Osszuk el a két egyelet megfelelő oldalait: Ekkor q q q + q 4 6. qq ) 4qq + ), ha q + q 0, ebből pedig következik, hogy q 4, ahoa q 5. Most 0 a 6, ie pedig a. Ekkor a keresett mértai sorozat 5,, 5, 5, 5,... 5 Nézzük meg ad-e további megoldást a q + q 0 eset. A mértai sorozat defiíciója szerit q 0. Ha q, akkor a második feltételből a 0 6, ami elletmodást jelet, tehát ezek az értékek em adak megoldást.. Egy pozitív tagú mértai sorozat első és ötödik tagjáak külöbsége 5, első és harmadik tagjáak összege pedig 0. Határozzuk meg a sorozat első öt tagjáak összegét. Ahhoz, hogy a mértai sorozat mide tagja pozitív legye, a és q is pozitív kell legye. A feltételek szerit a a 5 5 és a + a 0 igaz, amelyek felírhatók a és q segítségével, mit a q 4 ) 5 és a + q ) 0. Elosztva a két egyelet megfelelő oldalait kapjuk, hogy q 4 + q 4. Mivel q 4 q ) + q ) és + q 0, ezért a baloldalo egyszerűsíthetük + q -tel, s ebből az q 4, illetve q 4

19 .. Rekurzív sorozatok 77 egyeletet kapjuk, ahoa q vagy q. Mivel a feltételek szerit a háyados em lehet egatív, ezért q az egyetle megoldás. Ekkor a 6, a keresett mértai sorozat pedig 6, 8, 4,,,, Egy háromszög oldalaiak mérőszáma egy mértai sorozat három egymást követő eleme. Milye határok között változhat a sorozat háyadosa? Legyeek a háromszög oldalai a, b és c. Tegyük fel, hogy a a háromszög legrövidebb, c pedig a leghosszabb oldala. Mivel ezek a számok mértai sorozatot alkotak, így b aq és c aq, eami szerit q. A háromszög oldalaira voatkozó egyelőtleség szerit a + b > c, ahoa a + aq > aq. Mivel a a háromszög oldala, ezért pozitív szám, így a feti egyelőtleség osztható a-val. Ekkor q q < 0 egyelőtleséget kapjuk, ahoa q 5, + 5 ). Mivel 5 szám, ezért a q feltétel miatt a háyados határai és + 5, azaz q < + 5. egatív 5. A és 4 közé iktassuk 9 számot úgy, hogy a két megadott számmal együtt mértai sorozatot alkossaak. A -vel és a 4-gyel együtt a keresett 9 szám a sorozat elemét adja meg, vagyis a és a 4. Mivel a a q 0, így 4 q 0, ahoa q 0 következik, ugyais eek a sorozatak övekvőek kell leie, és ez csak q > eseté törtéhet meg. Így a sorozat elemei, 0, 0, 0, 0 4, 0 5, 0 6, 0 7, 0 8, 0 9, 0 0, illetve émi redezés utá, 0, 5, 0 8, 5 4, 0, 5 8, 0 8, 5 6, 0 5, Egy számtai és egy mértai sorozat első eleme 5 és harmadik elemük is egyelő. A számtai sorozat második eleme 0-zel agyobb a mértai sorozat második eleméél. Írjuk fel ezeket a sorozatokat. Jelölje a, a, a a számtai sorozat, b, b, b pedig a mértai sorozat első három elemét. Ekkor a b 5, a b, és a b + 0.

20 78. SZÁMSOROZATOK Mivel a 5 + d és a 5 + d, valamit b 5q és b 5q, így következik, hogy 5 + d 5q és 5 + d 5q + 0. A második egyeletből d 5q +5, majd ezt az elsőbe helyettesítve következik, hogy 5 + 0q + 0 5q, vagyis q q 0, amelyek megoldásai q és q. Ha q, akkor d 0, a keresett sorozatok pedig az 5, 5, 5,... számtai és az 5, 5, 5,... mértai sorozat. Ha q, akkor d 0, a keresett sorozatok pedig az 5, 5, 45,... számtai és az 5, 5, 45,... mértai sorozat. Ezért tehát két sorozatpár létezik a feladatba megadott feltételekkel, mégpedig az valamit az sorozatpár. 5, 5, 5,... és 5, 5, 5,... 5, 5, 45,... és 5, 5, 45, Négy szám egy mértai sorozat égy egymást követő elemét alkotja. Ha a második számhoz 6-ot, a harmadikhoz -at aduk, a egyedikből 6-ot elveszük, akkor az így kapott égy szám egy számtai sorozat egymást követő tagjai leszek. Melyik ez a égy szám? Legyeek a, b, c és d a égy szám, amelyek mértai sorozatot alkotak. Ekkor a feltételek szerit a, b + 6, c + és d 6 számtai sorozatot alkotak. Ezért érvéyes, hogy b ac c bd b + 6) a + c + c + ) b d 6 A harmadik egyeletből a b c + 9, a egyedikből pedig d c b + 6. helyettesítsük be ezeket a kifejezéseket az első két egyeletbe. Ekkor a b cb c + 9) c bc b + 6) egyeletredszert kapjuk. Redezzük a két egyeletet b + c bc 9c b + c bc 6d alakúra, majd vojuk ki egymásból a két egyeletet. Ekkor c 4d adódik, majd ezt behelyettesítve az a b c + 9 és d c b + 6 egyeletekbe adódak az a 9 b és d 7b + 6 összefüggések. A b ac egyeletbe helyettesítve a b 9 b) 4b egyeletet kapjuk, ahoa b 0 vagy b 4. Ha b 0, akkor c 0, a 9 és d 6, amiből a 9, 0, 0, 6 sorozatot kapák, de ez em mértai sorozat. Ha b 4, akkor c 6, a és d 64, amiből az, 4, 6, 64 mértai sorozatot kapjuk, a megfelelő számtai sorozat pedig az, 0, 9, 8. A keresett égy szám tehát, 4, 6, 64.

21 .. Rekurzív sorozatok Három szám, melyek összege 76, mértai sorozatot alkot. Ezt a három számot tekithetjük egy számtai sorozat első, egyedik és hatodik tagjáak is. Melyik ez a három szám? Legyeek a, b és c a keresett számok. Mivel ezek a számok mértai sorozatot alkotak, így b aq és c aq. A számok összege a + b + c 76, illetve a + aq + aq 76. A másik feltétel szerit b a + d, illetve c a + 5d és mivel mértai sorozat elemeiről va szó, ezért felírható, hogy aq a + d, illetve aq a + 5d. ha a két egyeletet kivojuk egymásból, akkor a d aqq ) feltételt kapjuk. Az aq ) d és a aqq ) d feltételből adódik továbbá, hogy ahoa aq ) aqq ), aq ) aqq ) azaz aq ) q) 0. Ie a 0 vagy q vagy q a lehetséges megoldások. a 0 eseté b 0 és c 0 lee, ezek összege pedig em 76. Ha q, akkor a 76, b 76 és c 76. Ez a három szám kielégíti a megadott feltételeket. ha q, akkor a ) 76, ahoa a 6, b 4 és c 6 adódik. 9 Mivel ez a három szám is kielégíti a megadott feltételeket a megfelelő számtai sorozatba d 4), ezért két olya számhármas létezik, amely eleget tesz a feladatba kitűzött feltételekek, ezek pedig a 76, 76, 76 és a 6, 4, Lakásvásárlásra jauárba euró kölcsöt kaptuk a baktól évi 5%-os kamatos kamatra. Mide év végé 6000 eurót kell törleszteük. Háy év múlva fizetjük vissza az adósságukat? A kölcsö összege kezdetkor T euró. Ha erre az összegre az év végé 5%-os kamatot fizetük és törlesztük x 6000 eurót, akkor az első év végé az adósságuk ahol q + T T 0 + p ) x T 0 q x, 00 p. A második év végé az adósságuk 00 ) T T + p 00 x T 0 q x) q x T 0 q xq + ). A harmadik év végé ez T T + p ) x T 0 q xq + )) q x T 0 q xq + q + ). 00 Folytatva ezt az eljárást azt kapjuk, hogy az. év végé adósságuk T T 0 q xq + q + + q + ) T 0 q x q q.

22 80. SZÁMSOROZATOK Ha adósságukat az. évbe teljese vissza akarjuk fizeti, akkor T 0 kell legye. Az a kérdés, hogy ez hayadik évbe törtéik, azaz meyi az értéke. Mivel így a keresett értéket a q + egyeletből számítjuk ki. Ie p , , 05, illetve Midkét oldal logaritmálásával azt kapjuk, hogy log.05 log 7, ahoa.04, ez pedig azt jeleti, hogy az adósságot körülbelül év alatt fizetjük vissza. 0. Számítsuk ki az S } 99 {{ 9} összeget. Először vegyük észre, hogy az összeadadók midegyike a 0 valamelyik hatváyától -gyel kisebb szám. Ezt az észrevételt felhaszálva felírhatjuk, hogy Ie az S 0 ) + 0 ) + 0 ) ). S , képletet kapjuk, amelybe felhaszálva a mértai sorozat első eleméek összegképletét adódik, hogy S ).... A Fiboacci-féle sorozat Leoardo Pisao 70-50) olasz kereskedő-matematikust Fiboacciak Boaccio fia) is evezték. Sokat utazott és utazásai sorá sokat foglalkozott az arab matematikával. Két köyvet írt, melyekbe több saját eredméye is va. Az 8-ba kiadott köyvébe található az azóta híressé vált következő példa... Példa. Vizsgáljuk meg, meyire szaporodik egy pár maszületett yúl egy év alatt, ha mide yúlpár mide hóap végé egy párral szaporodik, a yulak pedig kéthóapos korukba ivarérettek. Ez azt jeleti, hogy akkor hozak első ízbe utódokat.) Mide hóap végé csak azok a yulak szaporodak, amelyek legalább kéthóaposak, és így az első hóap végé, illetve második hóap kezdeté ics szaporulat, marad az egy

23 .4. Differeciaegyeletek 8 pár yúl. A második hóap végé, azaz harmadik hóap kezdeté már va szaporulat, és így két pár a yulak száma. A harmadik hóap végé, illetve egyedik hóap kezdeté is csak az eredeti egy pár yúlak va ivadéka és így három pár yúl lesz. A következő, a egyedik hóap végé, vagyis ötödik hóap kezdeté már két pár yúl lesz kéthóapos, ezért a szaporulat két pár stb. Ha a jeleti a yulak számát az -edik hóap kezdeté és a a yulak számát a teyésztés kezdeté, akkor Az így kapott a, a, a + a + a,,,...,,,, 5, 8,,, 4, 55,... sorozatot Fiboacci sorozatak szokás evezi, amelyek általáos eleme: [ ) a ) ],,, Differeciaegyeletek Az előző fejezetekbe találkoztuk két érdekes rekurzív sorozattal. Az egyik egy mértai sorozat, a, a + a,,,..., amely általáos tagjáak képlete a, a másik a Fiboacci-sorozat amely általáos tagjáak képlete [ a a, a, a + a + a,,,...,.) ) ) ] 5,,,..., két mértai sorozat külöbsége. Most megmutatjuk azt az eljárást, amelyből a Fiboaccisorozat képletét yertük. Tegyük fel, hogy va olya {t } t 0) mértai sorozat, amely a.) rekurziós formulát kielégíti. Ekkor t + t + t,,,..., és így t t 0..) Ha t a.) egyeletek a megoldása, akkor {t } kielégíti a.) rekurziós formulát. Mivel a.) egyelet két gyöke t + 5) és t 5), ezért az { + ) } { 5 ) } 5 és.) geometriai sorozat midegyike megoldása a.) rekurziós formuláak. A feti két sorozat egyike sem teljesíti azoba az a a kezdeti feltételeket. Köye elleőrizhető, hogy bármely C és C álladó mellett a.) sorozatok C és C

24 8. SZÁMSOROZATOK álladókkal való beszorzásával kapott sorozat is kielégíti a.) rekurziós formulát, és a két sorozat összege, az + ) 5 ) 5 a C + C is. Most a C és C értékeket, a mértai sorozat kezdőértékeit úgy fogjuk megválasztai, hogy a a legye. Ez a következő egyelőségek teljesülését jeleti: + ) 5 ) 5 C + C, C + ) 5 ) 5 + C, amiből C 5 és C 5. Ezt az eljárást alkalmazi lehet a Fiboacci-sorozatál általáosabb rekurzív sorozatokra is..4.. Véges differeciák.7. Defiíció. Egy {a } valós számsorozat véges differeciájá a külöbséget értjük. a a + a,,,... Az a leképezés, amely az {a } sorozathoz hozzáredeli a { a } sorozatot, a következő tulajdosággal redelkezik: és ha λ valós szám, akkor a + b ) a + b, λa ) λ a, vagyis a az összeadással és a λ-val való szorzással felcserélhető. Ezt a tulajdoságot úgy fejezzük ki rövide, hogy lieáris. A magasabb differeciákat a következőképpe értelmezzük: a második differecia a a ) a + a + + a..4.. Álladó együtthatós lieáris differeciaegyeletek.8. Defiíció. Az ismeretle {a } számsorozat és első differeciája között feálló A a + A 0 a 0,.4) alakú lieáris összefüggést, ahol A, A 0 együtthatók adott valós számok és A 0, álladó együtthatós elsőredű lieáris differeciaegyeletek evezzük.

25 .4. Differeciaegyeletek 8 Behelyettesítve a véges differecia alakját, a.4) egyeletet a alakba is felírhatjuk... Példa. Tekitsük a a + qa a k alakú differeciaegyelet, ahol k álladó. A véges differecia defiícióját behelyettesítve a feti egyelet a + a k alakba írható fel. Az általáos megoldás yilvávalóa a k + C. Ez azt jeleti, hogy az a értékek olya számtai sorozatot alkotak, amelyek differeciája k... Példa. Tekitsük most a a + ba 0 differeciaegyeletet. A véges differecia defiícióját behelyettesítve ez az egyelet alakba írható, ahoa a + a + ba 0 a + a b egyelet adódik. Ebbe az esetbe tehát az a értékek mértai sorozatot alkotak. a A kezdeti érték eseté az a + qa elsőredű lieáris differeciaegyelet általáos megoldása a Aq. A megoldáshoz a következő módszerrel juthatuk: keressük a megoldást a Ct alakba, ahol C meghatározatla álladó, maga a megoldás pedig egy tetszőlegese választott kezdeti értéktől függ. Behelyettesítés utá adódik, hogy t + qt, ie pedig a t q 0 karakterisztikus egyelet megoldásakét a t q értéket kapjuk. A kezdeti érték felhaszálásával kiszámítható, hogy C A, ami a fet megadott megoldáshoz q vezet..9. Defiíció. Az ismeretle {a } számsorozat és első két differeciája között feálló A a + A a + A 0 a 0.5) alakú lieáris összefüggést, ahol A, A, A 0 együtthatók adott valós számok és A 0, álladó együtthatós másodredű lieáris differeciaegyeletek evezzük.

26 84. SZÁMSOROZATOK Behelyettesítve a véges differeciák megfelelő alakjait, a.5) egyeletet az a + pa + + qa.6) alakba is felírhatjuk. Iduljuk ki most a.6) egyeletből, amely az a, a + és a + ismeretleeket tartalmazza. Ha az a és a + értékeket tetszőlegese választjuk, akkor az egyelet meghatározza az a + értéket. Írjuk fel most azt az egyeletet, amelyet úgy kapuk, hogy mide idex értékét eggyel megöveljük. Az ebbe az egyeletbe előforduló ismeretleek a következők leszek: a +, a + és a +. Mivel a + és a + értéke már ismert, ezért meg tudjuk határozi a + értékét. Folytatva ezt az eljárást, belátható, hogy a és a + tetszőlegese megválasztott két kezdeti értéke a megoldást teljese meghatározza. A megoldás tehát két tetszőlegese választható kezdeti értéktől függ. Tegyük fel, hogy f és g az a + pa + + qa.7) álladó együtthatós lieáris differeciaegyelet két lieárisa függetle megoldása és midkettő egy speciálisa megválasztott kezdeti értékredszerek felel meg. Ekkor, az egyeletek lieáris jellege miatt az általáos megoldást a C f + C g alakba írhatjuk fel, ahol C és C tetszőleges álladó. A feti összefüggés megadja a.7) differeciaegyelet általáos megoldását, ha az f és g megoldások lieárisa függetleek. A.7) másodredű lieáris differeciaegyelet általáos megoldásáak előállítása végett keressük a megoldást a t t 0) alakba, ahol t egyelőre határozatla álladó. Behelyettesítve a következő.7) differeciaegyeletbe, t ismeretlees egyeletet kapjuk: amiből a t + pt + + qt,,,,...,.8) t pt + q, másodfokú algebrai egyelet adódik, a.7) karakterisztikus egyelete, amelyek t a gyöke. Fordítva, ha t a karakterisztikus egyeletek a megoldása, akkor.8) is érvéyes, vagyis t kielégíti a.7) differeciaegyeletet. Két esetet foguk tárgyali: amikor a karakterisztikus egyeletek két külöböző valós gyöke va és amikor a karakterisztikus egyeletek egy kettős valós gyöke va. I. Vegyük először a két külöböző valós gyök esetét, amikor t és t a karakterisztikus egyelet valós megoldásai, ahol t t. Ekkor, f t és g t a lieárisa függetle megoldások, s éppúgy, mit a Fiboacci-sorozat esetébe, tetszőleges C, C mellett az a C t + C t.9) sorozat általáos megoldása a differeciaegyeletek, amiből az a A, a B kezdeti értéket kielégítő megoldást úgy kapjuk, hogy a C t + C t A, C t + C t B egyeletredszert kielégítő C, C értékeket helyettesítjük a.9) képletbe.

27 .4. Differeciaegyeletek Példa. Oldjuk meg az differeciaegyeletet. a + 5a + 6a,,,... a, a A karakterisztikus egyelet t 5t + 6 0, amelyek gyökei t és t. Így az egyelet általáos megoldása: a C + C,,,... A C, C értékpárra C + C, 9C + 4C, amiből C 4 és C 7. II. Kettős valós gyök eseté, amikor t t valós szám, f t és g t a lieárisa függetle megoldások, s tetszőleges C, C mellett az a C t + C t.0) sorozat általáos megoldása a differeciaegyeletek, amiből az a A, a B kezdeti értéket kielégítő megoldást úgy kapjuk, hogy a C t + C t A, C t + C t B egyeletredszert kielégítő C, C értékeket helyettesítjük a.0) képletbe..5. Példa. Határozzuk meg az a 0, a a + 4a + 4a,,,... rekurzív módo megadott számsorozat általáos elemét. A karakterisztikus egyelet t 4t + 4 0, amelyek gyökei t t. Így az egyelet általáos megoldása: a C + C,,,... A C, C értékpárra C + C 0, 4C + 8C, amiből C 4 és C. Eek alapjá az általáos elem 4 a ).

28 86. SZÁMSOROZATOK FELADATOK.. Oldjuk meg az a + a 0 differeciaegyeletet, ha a. Keressük a megoldást a t alakba, ahol t 0. Ekkor az egyeletbe helyettesítve kapjuk, hogy t + t 0, illetve a t 0 karakterisztikus egyeletet, amelyek megoldása t. Ekkor az általáos megoldás a C alakba írható fel, ahol C tetszőleges valós szám. Mivel a kell, hogy teljesüljö, ezért behelyettesítve az általáos megoldás képletébe kapjuk, hogy C, ahoa C, a kért feltételekek eleget tevő megoldás pedig a, azaz a.. Írjuk fel az a, a + 0 a rekurzív módo megadott számsorozat általáos elemét. A megoldást a t alakba keressük, ahol t 0. Ekkor az egyeletbe helyettesítve kapjuk, hogy t + 0 t, ahoa t 0 a karakterisztikus egyeletet megoldása. Ekkor a rekurzív egyeletet kielégíti az a C ) általáos megoldás, ahol C tetszőleges valós szám. Mivel a 0 kell, hogy teljesüljö, ezért behelyettesítve az általáos megoldás képletébe kapjuk, hogy C, ahoa C 0 következik, a sorozat. eleméek képlete pedig 0 a 0 ) 0, azaz a ) 0.. Oldjuk meg az a + 5a + 6a differeciaegyeletet, ha a, a. A megoldást most is a t alakba keressük, ahol t 0. Ekkor az egyeletbe helyettesítve kapjuk, hogy t + 5t + 6t, ahoa t 5t a karakterisztikus egyeletet, megoldásai pedig t és t. Ekkor a differeciaegyeletet kielégíti mide a C + C alakú megoldás, amelyet általáos megoldásak evezük, ahol C és C tetszőleges egymástól függetle valós számok. Mivel a és a kell, hogy teljesüljö, ezért behelyettesítve az általáos megoldás képletébe kapjuk az C + C és 4C + 9C, egyeletredszert, ahoa C és C, a feladat feltételeit kielégítő megoldás pedig a.

29 .4. Differeciaegyeletek Írjuk fel az a, a, a + a + + 4a rekurzív módo megadott számsorozat általáos elemét. Keressük az általáos elemet a t alakba, ahol t 0. Ekkor az egyeletbe helyettesítve adódik, hogy t + t + + 4t, ahoa t t 4 0 a karakterisztikus egyeletet, melyek megoldásai t és t 4. Ekkor a rekurzív egyeletet kielégíti mide olya a C ) + C 4 alakú megoldás, ahol C és C tetszőleges egymástól függetle valós számok. Mivel a és a kell, hogy teljesüljö, ezért behelyettesítve az általáos megoldás képletébe kapjuk az C + 4C és C + 6C, egyeletredszert, ahoa C és C 0, a sorozat általáos eleméek képlete pedig a ), vagyis a ) Oldjuk meg az a + a + a differeciaegyeletet, ha a 0, a. A megoldást a t alakba keressük, ahol t 0. Az egyeletbe behelyettesítve azt kapjuk, hogy t + t + t, ahoa t + t + 0 a karakterisztikus egyeletet, melyek megoldásai t t. Ekkor a differeciaegyeletet kielégíti mide a C ) + C ) alakú megoldás, amelyet általáos megoldásak evezük, ahol C és C tetszőleges egymástól függetle valós számok. Mivel a 0 és a kell, hogy teljesüljö, ezért behelyettesítve az általáos megoldás képletébe kapjuk az 0 C C és C + C, egyeletredszert, ahoa C és C, a feladat feltételeit kielégítő megoldás pedig a ) ), vagyis a ) ).

30 88. SZÁMSOROZATOK.5. Koverges sorozatok.5.. Sorozatok határértéke Tekitsük az a, b, c + ), d ) sorozatokat. számsíkba. Írjuk fel e sorozatok első éháy elemét és rajzoljuk fel grafikojaikat a a eseté a a, a, a, 0.5 a 4 4, a 5 5,... y b eseté b 0, b, b, b 4 4, b 5 4 5, a 4 5 y c + ) eseté c 0, c +, c, a y c 4 + 4, c 5 5, a d ) eseté d, d, d, d 4, d 5, E sorozatokat vizsgálva észrevehető, hogy az {a }, {b }, {c } sorozatok esetébe redre va egy-egy olya szám, amelyet a sorozat elemei tetszőlegese megközelíteek valamilye módo. Az {a } sorozat elemei a 0-t, a {b } és a {c } sorozat elemei az -et. A {d } sorozat esetébe ics ilye szám.

31 .5. Koverges sorozatok 89 A sorozatok e tulajdoságáak potos meghatározása adja a kovergecia, illetve a határérték fogalmát. A következőkbe két egymással ekvivales defiíciót aduk meg..0. Defiíció. Az {a } sorozat koverges, ha létezik olya A szám, hogy bármely ε > 0 számhoz megadható olya N N küszöbszám vagy küszöbidex) N függ ε-tól), hogy ha N, akkor a sorozat elemeiek A számtól való eltérése kisebb mit ε, azaz a A < ε. a A ε A A ε y A ε y A y A ε Defiíció. Az {a } sorozat koverges, ha létezik olya A szám, hogy A bármely köryezetébe a sorozatak véges sok elem kivételével mide eleme beletartozik. 0 A ε A A ε a Az A számot az {a } sorozat határértékéek vagy eszéek evezzük jelölése pedig a A illetve a A olvasd: esz a egyelő A, illetve a tart A-hoz, vagy a kovergál A-hoz)..6. Példa. Vaak olya sorozatok, amelyekek ics határértéke, mit például a a ) +, b, c ), d )... Defiíció. Az olya sorozatokat, amelyekek ics határértékük, diverges sorozatokak evezzük. A következő tétel a határérték egyértelműségét vagy uicitását) modja ki..5. Tétel. Koverges sorozatak csak egy határértéke va. Bizoyítás. A tételt idirekt módo bizoyítjuk, azaz feltesszük, hogy legalább két határértéke va a sorozatak, például A és A A A ). Mivel A A, ezért A A ρ > 0. ρ Tekitsük az A és A sugarú köryezetét. Ezekek a köryezetekek - a sugár alkalmas 4 választása miatt - ics közös része. A határérték.. Defiíciója alapjá, ha A határértéke a sorozatak, akkor bármely, így ρ sugarú köryezetébe is, a sorozatak végtele sok 4

32 90. SZÁMSOROZATOK ρ eleme esik, és ebből csak véges sok marad ki. Ez azt jeleti, hogy A sugarú köryezetébe 4 csak véges sok eleme eshet a sorozatak, tehát A -ek va olya köryezete, amelyből végtele sok eleme marad ki a sorozatak, így A em lehet a sorozat határértéke. Ezzel elletmodásba kerültük a feltételezésükkel, hogy A is határértéke a sorozatak. Az alábbi tételek a koverges sorozatokak két fotos tulajdoságát modják ki..6. Tétel. Ha egy sorozat koverges, akkor korlátos is. Bizoyítás. Ha a A, akkor ε -hez is va olya N Z +, hogy N -re a A <, azaz A < a < A +. Ha vesszük az A + számot és a sorozat ála agyobb elemeit ilye csak véges sok lehet, legfeljebb N ), és ezek közül kiválasztjuk a legagyobbikat, akkor ez yilvávalóa felső korlátja lesz a sorozatak. Hasolóa adhatuk egy alsó korlátot is a sorozathoz. Vagyis, ha K max{a +, a, a,..., a N }, k mi{a, a, a,..., a N }, akkor mide -re teljesül, azaz a sorozat valóba korlátos. k a K Az állítás em fordítható meg, azaz a korlátosságból em következik a kovergecia..7. Példa. a) Az a sorozat koverges, tehát korlátos is. b) A b sorozat em korlátos, tehát em is koverges. c) A c ) sorozat korlátos, de em koverges. Ha egy sorozatból végtele sok elemet választuk ki abba a sorredbe, ahogy ezek az eredeti sorozatba szerepeltek, a sorozatuk egy részsorozatát kapjuk..8. Példa. Tekitsük az a sorozatot. Válasszuk ki eek összes páratla idexű elemét, ezzel egy új b sorozat áll elő:,, 5, Tétel. Koverges sorozat mide részsorozata koverges, és határértéke megegyezik az eredeti sorozat határértékével. A sorozatok egy másik, a határértékhez közelálló, de azzal em azoos jellemzője a torlódási pot. Az alábbiakba ezzel ismerkedük meg... Defiíció. Az a számot az {a } sorozat torlódási potjáak evezzük, ha a bármely köryezete a sorozat végtele sok elemét tartalmazza. A torlódási pot fogalmát másképpe is lehet defiiáli, s a két defiíció természetese egymással ekvivales..4. Defiíció. Az {a } sorozatak az a szám torlódási potja, ha kiválasztható az {a } sorozatból egy a-hoz kovergáló {b } részsorozat.

33 .5. Koverges sorozatok 9 Nyilvávaló, hogy a határérték midig torlódási pot, de ez az állítás fordítva általába em igaz..9. Példa. Vizsgáljuk meg az a ) + sorozat elemeit, felrajzolva azokat a számsíkba és a számegyeese. Ez a sorozat em koverges, mert két torlódási potja va, és. Az {a } sorozat koverges részsorozatai b + és c +, ahol b és c a a y y Tudjuk, hogy egy sorozat korlátosságából em következik a sorozat kovergeciája, igaz viszot a következő tétel..8. Tétel. Bolzao-Weierstrass). Korlátos sorozatak va legalább egy torlódási potja. Megjegyezzük, hogy a Bolzao-Weierstrass tétel egy más megfogalmazása a következő: Korlátos sorozatból kiválasztható legalább egy koverges részsorozat..0. Példa. Az a ) sorozatból a páros idexű elemeket kiválasztva, -hez kovergáló részsorozatot kapuk. A Bolzao-Weierstrass tétel következméye az alábbi állítás..9. Tétel. Ha egy korlátos sorozatak csak egy torlódási potja va, akkor a sorozat koverges... Példa. a) Az a ) koverges. sorozat korlátos és csak egy torlódási potja va, tehát b) A jól ismert b ) sorozat ugya korlátos, de két torlódási potja va, és, ezért em koverges.

34 9. SZÁMSOROZATOK c) A c + ) sorozatak csak egy torlódási potja va, a 0, de em korlátos, ezért em koverges. Az előzőekbe beláttuk, hogy egy koverges sorozat midig korlátos, de az állítás megfordítása em igaz. Ha azoba a korlátos sorozat egybe mooto is, akkor már bizoyosa koverges..0. Tétel. Ha egy sorozat korlátos és mooto, akkor koverges. Ha a sorozat övekvő, akkor a felső határhoz, ha csökkeő, akkor az alsó határhoz kovergál. Bizoyítás. Legye például az {a } korlátos sorozat övekvő. Ekkor a a + mide -re teljesül. A sorozat korlátos, így va felső határa, jelöljük ezt H-val. Ekkor, egyrészt a H mide -re, másrészt tetszőleges pozitív ε számhoz megadható a sorozatak olya a eleme, amely H ε-ál agyobb, amelyre tehát H ε < a < H. Mivel a sorozat övekvő, a feti egyelőtleség a sorozat mide, az a -ot követő elemére igaz. Így a H bármely köryezetéből a sorozatak legfeljebb véges számú eleme marad ki, hisze H ε < a a < H teljesül mide -ál agyobb -re. Ez pedig éppe azt jeleti, hogy az {a } sorozat koverges, és határértéke H. Csökkeő sorozatra - a sorozat alsó határáak létezését kihaszálva - a bizoyítás hasolóa végezhető el... Példa. a) Az a + sorozat mooto csökkeő és korlátos, ezért koverges. + b) A b + sorozat mooto övekvő és korlátos, ezért koverges..5.. Nullához és végtelehez tartó sorozatok A techikai és a gyakorlati alkalmazás szempotjából redkívül fotosak azok a sorozatok, amelyek mide határo túl övekedek, illetve csökkeek. Most megadjuk eze heurisztikus fogalmak potos defiícióját..5. Defiíció. Azt modjuk, hogy az {a } sorozat plusz végtelehez tart, ha mide K valós számhoz létezik olya N N küszöbszám, hogy N eseté a > K. Ezt a téyt a következő módo jelöljük: a + vagy a Defiíció. Ha az {a } sorozat olya, hogy a ) +, akkor azt modjuk, hogy az {a } sorozat miusz végtelehez tart, és ezt a téyt a következő módo jelöljük: a vagy a.

35 .5. Koverges sorozatok 9 Ameyibe az {a } sorozat valamelyik végtelehez divergál, szokás azt modai, hogy tágabb értelembe koverges vagy valódi diverges sorozat. Ilye szóhaszálat eseté a + és a is tekithető valamely sorozat határértékéek, bár egyik sem szám... Példa. a) A természetes számok,,,...,,... sorozata + -be divergál. b) A egatív egész számok { } sorozata -be divergál,. c) A, 4, 8,...,,... sorozat + -be divergál,. d) A, 8,,...,,... sorozat -be divergál,. Az a sorozat a b sorozatak, a c sorozat a d sorozatak részsorozata, így a feti példák azt mutatják, hogy a valódi diverges sorozatok bizoyos tekitetbe hasolóa viselkedek, mit a koverges sorozatok. Érvéyes a következő állítás:.. Tétel. Ha {a } valódi diverges sorozat, akkor mide részsorozata is az..4. Példa. Az a sorozat 0-hoz kovergál. A b sorozat végtelebe divergál. Általáosa igaz a következő tétel... Tétel. Ha a 0 a > 0), akkor a. Ha a, akkor a 0. Bizoyítás. Tegyük fel, hogy a 0, és legye K tetszőleges adott szám. Azt kell megmutatuk, hogy elég agy -re a > K. Feltehetjük, hogy K > 0, mert ha a sorozat tagjai valahoa kezdve pozitív K-ál agyobbak, akkor ez egatív K-ra még ikább igaz. Legye tehát K > 0. Ekkor K is pozitív, és > K akkor és csak akkor áll fe, ha a < teljesül, ez utóbbi viszot az a K a 0 feltétel miatt elég agy -ekre igaz. A tétel második részéek bizoyításához iduljuk ki abból, hogy a, és legye ε tetszőlegese megadott pozitív szám. Ekkor 0 a < ε a teljesül, ha a > ε, ez pedig az a feltétel miatt elég agy -ekre teljesül, tehát a 0. Ezzel a tételt bebizoyítottuk... Tétel. Ha a és c > 0, akkor ca, míg ha c < 0, akkor ca. Bizoyítás. Először tegyük fel, hogy c > 0, és K tetszőleges szám. Ekkor ca > K mide olya -re feáll, amelyre a > K c, ez pedig elég agy -ekre az a feltevés miatt igaz. Ezzel bebizoyítottuk, hogy ca.

36 94. SZÁMSOROZATOK Legye most c < 0, és k tetszőleges adott szám. Ekkor a ca < k mide olya - re teljesül, amelyre a > k c, ami a miatt elég agy -ekre igaz. Ezzel a tétel bizoyítást yert. A végtelehez tartó sorozatok esetébe em fogalmazhatuk meg a határértékre voatkozó olya tételeket, amilyeeket az előzőekbe kimodtuk a végeshez kovergáló sorozatok esetébe. Így em modhatuk semmi biztosat a, 0, típusú határértékekről. Hasolóa kritikusak a, 0, 0 0 és 0 0 típusú határértékek is..5.. Műveletek koverges sorozatokkal A következő fejezetbe láti fogjuk, hogy még viszoylag egyszerű sorozat kovergeciájáak bizoyítása sem triviális. Ezért is va jeletősége a koverges sorozatok és az alapműveletek kapcsolatáak, ugyais éháy egyszerű sorozat határértékéek ismeretébe boyolultabb sorozatok határértéke is meghatározható. Most éháy olya szabályt mutatuk meg, amelyek a sorozatok határértékéek gyors kiszámítását teszik lehetővé..4. Tétel. Ha az {a } és {b } sorozatok kovergesek, akkor az {a + b } és az {a b } sorozatok is kovergesek, mégpedig úgy, hogy a + b ) a + b, a b ) a b..5. Tétel. Ha az {a } és {b } sorozatok kovergesek, akkor az {a b } sorozat is koverges, mégpedig úgy, hogy a b ) a b..6. Tétel. Ha az {a } és {b } sorozatok kovergesek, valamit b 0, akkor az { } a sorozat is koverges, mégpedig úgy, hogy b a b a b.7. Tétel. Ha az {a } sorozat koverges, akkor érvéyesek az alábbi egyelőségek:. a) C a ) C a, C kostas, b) a ) k a ) k, k N. c) k a k a, k N. d) log a a log a e) e a e a. a ), a > 0, a.

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3 Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Végtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8

Végtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8 Végtele sorok (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. március 25. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. A sor fogalma 3 3. Mértai és teleszkopikus sorok 8 4. Abszolút és feltételese koverges sorok 4 5. Sorok

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A BELVÁROSI ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS GIMNÁZIUM BÉKÉSCSABA EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A KOMBINATORIKÁBAN 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 3 3 0 4 9 8 6 0 5 44 45 0 0 0 6 65 64 35 40 5 0 7 854 855 94 35 70 0 8 4833 483 740 464

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy a Nemzeti Fejlesztési Terv Humáerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3... közpoti program (Pedagógusok és oktatási szakértők

Részletesebben

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák 1. oldal, összesen: 8 oldal Sorozatok - kidolgozott típuspéldák Elmélet: Számtani sorozat: a 1 a sorozat első tagja, d a különbsége a sorozat bármelyik tagját kifejezhetjük a 1 és d segítségével: a n =

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy KHF/438-3/008. egedélyszámo 008..0. időpottól taköyvi egedélyt kapott Educatio Kht. Kompeteciafejlesztő oktatási program kerettaterv

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 8 MATEMATIA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben