5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?"

Átírás

1 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra vagy lefelé törtéhet? P A P R I K A J F E L A D A T M A T E M A A P R I K A J A E L A D A T A T E M A T P R I K A J A N L A D A T T E M A T I R I K A J A N C A D A T E M A T I K I K A J A N C S D A T M A T I K A S Z A K K K A J A N C S I A T S Z A K K Ö T Z A K K Ö R 2. Háy olya legfeljebb ötjegyű szám va, amelyek mide jegye külöböző, és a számjegyei balról jobbra csökkeő sorredbe követik egymást? 3. Egy cukrászdába 5-féle süteméy kapható, midegyikből kellőe sok. Szereték 0 db süteméyt vei úgy, hogy e legye mid csupa külöböző. Háyféleképpe tehetjük ezt meg? 4. Háyféleképpe írhatjuk fel a 205-öt éháy (egy vagy több) pozitív egész szám összegekét, ha az összeadadók sorredje is számít? 5. Háy téglatest található egy ös kockarácsba? 6. Egy zsákba 0 külöböző pár cipő található. Háyféleképpe vihetük magukkal a zsákból 6 darab cipőt úgy, hogy legye közöttük összetartozó pár? 7. Egy macska egy 0 szites lépcső legfelső szitjéről szerete lejuti a talajra éháy ugrással. Háyféleképpe teheti ezt meg, ha a) egyszerre bármekkorát tud ugrai, de midig csak letebbi szitre? b) egyszerre midig csak, 2 vagy 3 szitet ugorhat lefelé? c) egyszerre midig csak vagy 2 szitet ugorhat lefelé, de em ugorhat rá az alulról 4. lépcsőre? 8. Legfeljebb háy pozitív egész számot adhatuk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és külöbsége se legye osztható 205-tel? 9. Háy olya hatjegyű szám va, amelybe a számjegyek szorzata páros? 0. Felvettük három párhuzamos síko redre 8, 9 és 0 potot. Legfeljebb háy tetraédert határozhatak meg ezek a potok?. Háy olya ötjegyű szám va, amely 6-ra végződik és 3-mal osztható? 2. Egy 52 lapos fraciakártya-csomagot szétosztuk 4 játékos között. Háy olya leosztás va, amelybe mide játékosak jut legalább egy treff? (A fracia kártyába 4-féle szíű lap található, amely szíek egyike a treff, és mide szíből 3 lap fordul elő.)

2 3. 0 ember szíházba met, ahol midegyikük leadta a kabátját a ruhatárba (a kabátok mid külöbözőek). A szórakozott ruhatáros összecserélte a kiadott sorszámokat, és az előadás végé úgy adta vissza a kabátokat (mide emberek egyet-egyet), hogy seki sem a saját kabátját kapta vissza. Háyféle külöböző módo kaphatták vissza a kabátokat? (A visszaadás sorredje em számít.) 4. Nyolc ember sorba áll a mozi jegypéztárába. A jegy 000 Ft-ba kerül, a kasszába kezdetbe icse váltópéz. Négy ember 000 Ft-ossal, égy ember 2000 Ft-ossal fizet ez utóbbiakak csak akkor tud a péztáros visszaadi, ha kellő számú 000 Ft-ossal fizettek már. Háyféle sorredbe vehetek jegyet az emberek úgy, hogy mideki tudjo fizeti? (Az embereket em külöböztetjük meg.) 5. a) Háyféle sorredbe számíthatjuk ki a szorzat értékét, ha egy lépésbe midig csak két szomszédos számot szorozhatuk össze? (Egy lehetséges sorred például, aláhúzással jelölve a lépéseket: = = = =20 42 =5040.) b) Háyféle sorredbe számíthatjuk ki a szorzat értékét, ha egy lépésbe midig két tetszőleges számot szorozhatuk össze? (Egy lehetséges sorred például, aláhúzással jelölve a lépéseket: = = = =80 28 =5040.) c) Háyféleképpe helyezhetük el 5 zárójelpárt a szorzatba úgy, hogy a műveletek elvégzésekor midig egy zárójele belüli két téyezőt kell összeszorozuk? (Az a) feladatba szereplő = = = =20 42 =5040 műveletsort például a zárójelezéssel írhatjuk le.) 6. Háyféleképpe lehet egy kovex hatszöget egymást em metsző átlóival háromszögekre botai? 7. Esetleges zárójelek elhelyezésével háyféle eredméye lehet a kifejezések? 8. Határozzuk meg értékét zárt alakba. 9. Az ; 2; 3; 4;...; 205 halmazból szereték kiválasztai Aáak egy A és Beáak egy B em üres részhalmazt úgy, hogy ezekek e legye közös eleme. Háyféleképpe tehetjük ezt meg? matematikataár 30 érettségi dolgozatot szerete elosztai javításra egymás között úgy, hogy midegyikük legalább egyet kijavítso. Háyféleképpe tehetik ezt meg? 2. Háyféleképpe lehet úgy sorozatba redezi az, 2, 3,, 0 számokat, hogy a kapott sorozat az elsőtől valaháyadik eleméig mooto övekedő, oatól pedig mooto csökkeő legye? (A két részsorozat határa akár a sorozat első vagy utolsó eleme is lehet.) 22. Határozzuk meg azo 4 4-es, emegatív egész számokat tartalmazó táblázatok számát, amelyekre teljesül, hogy mide sorba és mide oszlopba legfeljebb két em ulla szám található, továbbá mide sorba és mide oszlopba az ott található számok összege 3. Náboj Nemzetközi Matematika Csapatversey 204/205. 2

3 23. Egy 5 3-as rács bal felső sarkába ül egy egér (E), aki el akar juti a jobb alsó sarokba található sajthoz (S). Emellett a rács bal alsó sarkába ül egy rák (R), aki pedig a jobb felső sarokba található algalevelet (A) szemlélte ki magáak. A két állat egyszerre mozog a rácso: mide másodpercbe az egér egy rácsyit halad jobbra vagy lefelé, a rák pedig egy rácsyit halad jobbra vagy felfelé. Háyféleképpe érhetik el a céljukat úgy, hogy útközbe semelyik mező se találkozzaak? E A R S Náboj Nemzetközi Matematika Csapatversey 204/ Háy olya égyjegyű pozitív egész szám va, amelyek éháy számjegyét a szám elejéről (ugyaolya sorredbe) a szám végére helyezve visszakapható az eredeti szám? (Például az 234 em ilye, mert a 234, 342, 423 mid külöbözek tőle.) Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 204/205; kezdők, I-II. kategória,. forduló 25. Háy olya legfeljebb égyjegyű természetes szám va, amelyek számjegyei között több 2-es szerepel, mit -es? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 204/205; haladók, I. kategória,. forduló 26. Háyféle módo lehet felmei egy 25 lépcsőfokból álló lépcső, ha midig csak 2-t vagy 3-at léphetük felfelé? (Két feljutás külöböző, ha va legalább egy olya lépcsőfok, amelyre az egyik feljutásba rálépük, de a másikba em.) Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 204/205; haladók, II. kategória,. forduló 27. Felvettük 30 külöböző potot a síko úgy, hogy semelyik három em esik egy egyeesre. Mide potot összekötöttük mide másikkal, és a keletkező élek midegyikét pirosra vagy kékre szíeztük. Tudjuk, hogy így mide potból potosa 2 kék szíű él idul ki. Nevezzük egyszíűek azokat a háromszögeket, amelyekek midhárom csúcsa a 30 pot közül való, és midhárom oldala ugyaolya szíű. Összese háy egyszíű háromszög va az ábrá? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 20/202; haladók, III. kategória,. forduló 28. Megrajzoltuk egy kovex yolcszög összes átlójáak egyeesét, majd eze egyeesek összes metszéspotját. Legfeljebb háy metszéspot eshet a yolcszögö kívülre? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 204/205; haladók, III. kategória,. forduló 29. Háy olya pozitív egész szám va, amelybe a számjegyek összege és szorzata egyarát 24? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 20/202; haladók, I. kategória, 2. forduló 30. Háy olya sorredje va a 2007, 2008, 2009, 200, 20, 202, 203 számokak, amelybe bármely égy egymást követő szám összege osztható 3-mal? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 202/203; kezdők, II. kategória, dötő 3. Háy olya tízjegyű természetes szám va, amelybe az, 2, 3 számjegyek midegyike legalább kétszer szerepel, és ezeke a számjegyeke kívül más számjegy ics a számba? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 203/204; kezdők, II. kategória, dötő 3

4 32. Va 202 darab (em feltétleül külöböző) pozitív számuk: a, a 2,, a 202, amelyek összege 2S. A k természetes számot felezőek evezzük, ha az a i számok közül kiválasztható k darab, amelyek összege éppe S. Legfeljebb háy külöböző k természetes szám lehet egyszerre felező? Aray Dáiel Matematikai Taulóversey 20/202; haladók, III. kategória, dötő 33. Háyféleképpe olvasható ki az ábrából a BUDAPEST szó, ha csak jobbra és lefelé haladhatuk, és kettőél többször em léphetük egymás utá ugyaabba az iráyba? B U D A P E S T U D A P E S T D A P E S T A P E S T P E S T E S T S T T Zríyi Iloa Matematikaversey 20. évi feladata alapjá 34. Háyféleképpe juthatuk el a koordiátaredszer origójából a 4; 2 potba, ha 0 lépést teszük, mide lépésük egységyi hosszú és párhuzamos a tegelyek valamelyikével? OKTV 202/203; II. kategória,. forduló 35. Háy olya ötjegyű tízes számredszerbeli pozitív egész szám va, amelybe a számjegyek szorzata 50-re végződik? OKTV 203/204; II. kategória,. forduló 36. Tekitsük azokat az ötjegyű számokat, amelyek csak az 5, 6, 7, 8 számjegyeket tartalmazzák, de midegyiket legalább egyszer. Meyi ezekek az ötjegyű számokak az összege? OKTV 204/205; II. kategória,. forduló 37. Háy olya 50-jegyű tízes számredszerbeli pozitív egész szám va, amelyek mide számjegye páratla, és bármely két szomszédos jegy eltérése 2? OKTV 203/204; II. kategória, 2. forduló 38. Jelölje r az ; 2;...; halmaz azo részhalmazaiak számát, amelyek em tartalmazak szomszédos számokat, ahol az -et és az -et is szomszédosak tekitjük. Határozzuk meg r 6 értékét. x függvéy értelmezési tartomáya A, és mi- 39. Legye A ; 2; 3; 4; 5 és B ; 2; 3. Az f de A-beli x eseté f x A. Háy f x függvéyre teljesül, hogy OKTV 200/20; II. kategória, dötő f f x xa B? OKTV 20/202; II. kategória, dötő 4

5 II. Megoldások. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra vagy lefelé törtéhet? P A P R I K A J F E L A D A T M A T E M A A P R I K A J A E L A D A T A T E M A T P R I K A J A N L A D A T T E M A T I R I K A J A N C A D A T E M A T I K I K A J A N C S D A T M A T I K A S Z A K K K A J A N C S I A T S Z A K K Ö T Z A K K Ö R. megoldás: Írjuk be mide egyes mezőbe, hogy odáig háyféleképpe juthatuk el a bal felső sarokból. Ekkor az első sor és az első oszlop mide mezőjébe kerül, mide további mezőbe pedig a tőle közvetleül balra és a tőle közvetleül felfelé lévő szám összege (ha e két mező valamelyike üres, akkor azt 0-ak tekithetjük). A végeredméyt a szavak utolsó betűjéek megfelelő szám (illetve a második szó esetébe eze számok összege) adja Tehát a PAPRIKAJANCSI szót 792-féleképpe, a FELADAT szót féleképpe olvashatjuk ki Tehát a MATEMATIKASZAKKÖR szót 2646-féleképpe olvashatjuk ki. 2. megoldás: A PAPRIKAJANCSI szó esetébe mide lehetséges kiolvasási útvoalo összese 7-szer lépük jobbra, 5-ször pedig lefelé. Ez megfordítva is igaz: ha 7 jobbra és 5 lefelé lépést tetszőleges sorredbe egymás utá íruk, akkor biztosa egy-egy jó kiolvasást kapuk. Elegedő tehát a 7 jobbra és 5 lefelé lépésből álló sorozatok számát meghatározi. Ha a jobbra lépést J-vel, a lefelé lépést L-lel jelöljük, a feladatuk a 7 db J és 5 db L betűből alkotható szavak számáak meghatározása. Ez pedig az ismétléses permutáció képletével 2! ! 5! 5 5

6 A FELADAT szó esetébe az F, E, L, A, D, A betűk bármelyiké állva 2-felé léphetük tovább (jobbra vagy lefelé), így a lehetséges lépéssorozatok száma A MATEMATIKASZAKKÖR szó esetébe az S betű előtti A betű csak egy példáyba fordul elő, eze a mező tehát mideképpe áthaladuk, amely két részre tagolja az útvoalat. E két részbe a lehetőségek számát először külö-külö határozzuk meg. A PAPRIKAJANCSI szóál látottakat alkalmazva a MATEMATIKA kiolvasásához 5 jobbra és 4 lefelé lépés szükséges, ezt 9 tehát 26 -féleképpe tehetjük meg, az ASZAKKÖR kiolvasásához pedig 5 jobbra és 2 lefe- 4 7 lé lépés szükséges, ere 2-féle lehetőségük va. Mivel az első téglalap bármelyik útvoalát 2 a második téglalap bármelyik útvoalával folytathatjuk, így a lehetőségek száma összese Háy olya legfeljebb ötjegyű szám va, amelyek mide jegye külöböző, és a számjegyei balról jobbra csökkeő sorredbe követik egymást? Ha meghatározzuk, hogy mely számjegyek szerepeljeek egy ilye számba, azokat már csak egyféle sorredbe (csökkeő sorredbe) írhatjuk egymás mellé. Elég tehát azt megézük, háyféleképpe választhatjuk ki a keresett számokba szereplő számjegyeket. 0 Ha a keresett szám ötjegyű, akkor a 0 számjegyből -féleképpe választhatuk ki 5-öt, így 5 eyi ötjegyű szám felel meg a feltételek (0-val em kezdődhet szám, de a kiválasztott 5 számjegy legagyobbika biztosa em 0). Hasolóképpe a keresett égyjegyű számokból 0 4, a há- 0 romjegyűekből 3, a kétjegyűekből pedig 0 darabot találuk. Az egyjegyű számok esetébe 2 9 már figyelük kell arra, hogy a 0-t em választhatjuk, így ott lehetőséget kapuk. Vagyis összese a feltételekek szám felel meg 3. Egy cukrászdába 5-féle süteméy kapható, midegyikből kellőe sok. Szereték 0 db süteméyt vei úgy, hogy e legye mid csupa külöböző. Háyféleképpe tehetjük ezt meg? Hagyjuk először figyelme kívül azt a feltételt, hogy em lehet mid a 0 süteméy külöböző. Ekkor 5 süteméyből kell k 0 darabot veük úgy, hogy az ismétlődés megegedett, és em számít a süteméyek kiválasztásáak sorredje. Ezt az ismétléses kombiáció képlete alapjá k féleképpe tehetjük meg. k 0 0 6

7 Ebből le kell vouk a rossz eseteket, amikor 0 külöböző süteméyt vettük, ezt 24 5 módo tehettük meg. Tehát a lehetőségek száma féle 0 4. Háyféleképpe írhatjuk fel a 205-öt éháy (egy vagy több) pozitív egész szám összegekét, ha az összeadadók sorredje is számít?. megoldás: Próbálkozzuk először a 205 helyett kisebb számokkal. Az -et -féleképpe írhatjuk fel (), a 2-t 2-féleképpe ( 2 ), a 3-at 4-féleképpe ( ). Ie megsejthetjük, hogy az pozitív egész szám lehetséges felírásaiak száma 2. Sejtésüket teljes idukcióval igazoljuk. Az állítás a fet látott módo igaz, 2, 3-ra. Tegyük fel most, hogy az állítás igaz valamilye rögzített k-ra, majd lássuk be k -re. Tudjuk tehát, hogy a k pozitív egész számot 2 k -féle összegkét írhatjuk fel, és eek segítségével be szereték láti, hogy a k számot 2 k -féleképpe (vagyis kétszer ayi módo) írhatjuk fel. Tekitsük a k szám összegkét törtéő felírásait. Mide ilye felírásból képezhetjük a k szám két külöböző felírását: az egyiket úgy, hogy az utolsó összeadadót -gyel öveljük, a másikat pedig úgy, hogy még egy tagot az összeg végére íruk. (Például k 2 eseté a 2-ből kapjuk így a 3 és a 2 felírásokat, míg az -ből az 2 és az felírásokat.) Így a k szám 2 k k k külöböző felírásából a k szám 22 2 db felírását kaptuk. Ezek mid külöbözőek, továbbá a k szám tetszőleges felírása előáll így, hisze az eljárás visszafelé is egyértelmű (a k szám egy adott felírásából megkaphatjuk a k szám egy felírását úgy, hogy ha az utolsó öszszeadadó, akkor ezt elhagyjuk, ellekező esetbe pedig -gyel csökketjük). Tehát a k számra 2 k Vagyis a 205-öt 2. megoldás: lehetséges felírást kaptuk, ezzel az idukciós lépést beláttuk féleképpe írhatjuk fel éháy pozitív egész összegekét. Tekitsük egy 205 cm hosszú szalagot, amely egész cetiméterekét be va jelölve. A 205 egy tetszőleges összegfelbotását megkaphatjuk úgy, hogy ezt a szalagot bizoyos bejelölésekél elvágjuk, és a keletkező darabokat sorba megfeleltetjük az egyes összeadadókak. (Például a felbotást úgy kapjuk, ha a szalagot balról számítva 5 cm-él és 95 cm-él elvágjuk.) Mivel 204 jelölés va a szakaszo (-től 204-ig az egész cetiméterekél), ezért 204 helye döthetük egymástól függetleül arról, hogy elvágjuk-e a szalagot. Ez mideütt 2 lehetőséget jelet, így összese féleképpe írhatjuk fel a 205-öt a vizsgált módo Háy téglatest található egy ös kockarácsba? Helyezzük el a kockarácsot egy térbeli koordiátaredszerbe úgy, hogy a rácsegyeesek párhuzamosak legyeek a tegelyekkel, és a rács két átellees sarka a 0; 0; 0, illetve a 3; 4; 5 pot legye.

8 Ha a keresett téglatestek bármelyikét levetítjük az x, y, z tegelyekre, akkor midhárom esetbe egy-egy olya szakaszt kapuk, amelyek végpotjai egész számok, mégpedig az x tegelye 0 és 3 közötti, az y tegelye 0 és 4 közötti, a z tegelye 0 és 5 közötti értékek. Megfordítva, ha midhárom tegelye felveszük egy-egy ilye szakaszt, akkor ezek egyértelműe kijelölek egy megfelelő téglatestet, amelyek vetületei éppe az adott szakaszok. (Ha a szakaszok végpotjaiba merőleges síkokat állítuk a koordiátategelyekre, akkor e 6 sík éppe a megfelelő téglatestet határolja.) Elegedő tehát azt meghatározuk, hogy háyféleképpe választhatjuk ki ezt a három szakaszt az egyes koordiátategelyeke. Az x tegelye a 0,, 2, 3 számok közül kell kiválasztauk a szakasz két végpotját, ezt féleképpe tehetjük meg. Az y tegelye a 0,, 2, 3, 4 számok közül tegelye a 0,, 2, 3, 4, 5 számok közül féleképpe, míg a z 2 6 -féleképpe választhatuk. A választások egymástól függetleek, így összese téglatestet találuk a kockarácsba Egy zsákba 0 külöböző pár cipő található. Háyféleképpe vihetük magukkal a zsákból 6 darab cipőt úgy, hogy legye közöttük összetartozó pár? A jó esetek számát megkaphatjuk úgy, ha az összes eset számából kivojuk a rossz esetek számát 20 (ezt összes rossz módszerek is evezik). A zsákba lévő 20 cipő közül 6-ot összese 6 - féleképpe vehetük ki. Ezek közül rossz esetek számít, ha icse összetartozó pár a kivett ci- 0 6 pők között, vagyis mid a 6 cipő külöböző párból való. Erre 2 lehetőségük va, hisze ki 6 kell választauk a 0 párból 6-ot, majd mide ilye párból a bal vagy a jobb cipőt. Tehát a kedvező esetek száma Megjegyzés: a rossz esetek számát a képlettel is megkaphatjuk (az első kiválasztott cipő 20-féle lehet, a második már csak a femaradó 9 párból valamelyik, azaz 8-féle 6! stb., majd leosztuk a lehetséges sorredek számával, hisze a magukkal vitel sorá em számít a 6 cipő kiválasztásáak sorredje). 8

9 7. Egy macska egy 0 szites lépcső legfelső szitjéről szerete lejuti a talajra éháy ugrással. Háyféleképpe teheti ezt meg, ha a) egyszerre bármekkorát tud ugrai, de midig csak letebbi szitre? b) egyszerre midig csak, 2 vagy 3 szitet ugorhat lefelé? c) egyszerre midig csak vagy 2 szitet ugorhat lefelé, de em ugorhat rá az alulról 4. lépcsőre? a) A macska az alsó 9 szit midegyikéről egymástól függetleül eldötheti, hogy ráugrik-e vagy -féle választási lehetőséget je- sem. Ez szitekét 2-féle választást, összese pedig let Megjegyzés: a feladat úgy is átfogalmazható, hogy a 0-et szereték éháy (egy vagy több) pozitív egész szám összegekét felíri, ahol az összeadadók sorredje is számít. Ekkor az összeadadók az egyes ugrások hosszát jelölik, például a felbotás azt jeleti, hogy először 3-at, utáa 6-ot, végül pedig -et ugrik a macska. A korábba látott feladat alapjá ezt féleképpe lehet megtei. b) Oldjuk meg a feladatot először kisebb esetekre. Jelöljük a -el azt az értéket, aháyféleképpe az alulról -edik lépcsőről lejuthat a talajra a macska ( 0, egész szám). Nyilvá a, hisze az. lépcsőről út vezet a talajra. Továbbá a2 2 (vagy az. lépcső át jut le a macska, vagy rögtö a talajra ugrik), illetve a3 4 (az. és a 2. lépcső midegyikére vagy ráugrik, vagy em). Idáig a lehetőségek megegyezek az a) feladatrészbe látottakkal. Azoba a 4. lépcsőről már em ugorhat közvetle a talajra, ietől tehát változik a megoldás. Ha a 4. lépcsőfoko áll, akkor három lehetőségből választhat: a 3., a 2., vagy az. lépcsőre ugorhat. Ezeket redre a 3, a 2, illetve a -féleképpe fejezheti be, azaz a4 a3 a2 a Ez az összefüggés a következő értékekre is teljesül, azaz mide 4 eseté a a a a. Így a , a , a , 2 3 a , a és a Tehát összese 274-féleképpe juthat le a macska. Megjegyzés: Ha bevezetjük az a0 és a 0 értékeket, akkor a megadott rekurzió már 2 eseté teljesül. c) Ha a b) rész mitájára b -el jelöljük az -edik lépcsőről való lejutások számát, akkor b, b2 2, továbbá 3 eseté b b b 2, de b4 0, hisze a 4. lépcsőfokot em érithetjük. Ezek alapjá b3 2 3, b4 0, b és b ( b 3 b 5 b 6 azért is yilvávaló, mert az 5. lépcsőfokról csak a 3. lépcsőfokra, míg a 6. lépcsőfokról csak az 5. lépcsőfokra ugorhatuk.) Folytatva a sorozatot, b , b , b és b Tehát összese 24-féleképpe juthat le a macska. Másképpe: ha a 4. lépcsőfok kihagyására voatkozó feltételtől eltekiteék, akkor éppe a Fiboacci-sorozat tagjait kapák:, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89. Így összese 89 útvoal lee, amelyekből ki kell vouk a rossz tehát a 4. lépcsőfokot éritő utak számát. A 0. lépcsőfokról a 4. lépcsőfokig 6 lépcsőt kell megtei, tehát itt éppe ayi út vezet, mit ameyi a 6. lépcsőfokról a talajra vezete, vagyis az előbbi sorozat 6. tagja, ami a 3. A 4. lépcsőfokról a talajig 5 út vezet, így a 4. lépcsőfokot éritő útvoalak száma Vagyis a jó útvoalak száma

10 8. Legfeljebb háy pozitív egész számot adhatuk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és külöbsége se legye osztható 205-tel? Két szám külöbsége potosa akkor osztható 205-tel, ha ugyaayi a 205-ös maradékuk. Két szám összege pedig potosa akkor osztható 205-tel, ha vagy midkét szám osztható 205-tel, vagy az egyik 205-ös maradéka, a másiké 205 (ahol 204 ). Készítsük 008 db skatulyát a 205-ös maradékok alapjá a következőképpe: egy skatulyába kerüljeek a 0 maradékot adó számok, a következőbe az vagy 204 maradékot adók, a következőbe a 2 vagy 203 maradékot adók, és így tovább általába az és a 205 maradékot adó számok kerülek azoos skatulyába, végül az utolsóba az 007 vagy 008 maradékot adók. Ekkor potosa abba az esetbe lesz két szám összege vagy külöbsége 205-tel osztható, ha ezek ugyaabba a skatulyába kerülek. Az eddigiek alapjá 008-ál több számot biztosa em tuduk megadi, hisze ekkor a skatulyaelv miatt valamelyik skatulyába egyél több szám kerüle. 008 számot viszot meg tuduk adi úgy, hogy midegyik külöböző skatulyába kerüljö, például az, 2, 3,, 007, 205 számok teljesítik ezt a feltételt. Tehát legfeljebb 008 számot adhatuk meg a kívát módo. 9. Háy olya hatjegyű szám va, amelybe a számjegyek szorzata páros? A számjegyek szorzata akkor páros, ha szerepel a számba páros számjegy. Egyszerűbb a rossz eseteket összeszámoluk: a számjegyek szorzata akkor páratla, ha mide számjegy páratla. Mivel 5 páratla számjegy va, ezért 6 5 ilye hatjegyű szám képezhető. A hatjegyű számok száma , így az összes rossz módszert alkalmazva olya hatjegyű szám va, amelybe páros a számjegyek szorzata. 0. Felvettük három párhuzamos síko redre 8, 9 és 0 potot. Legfeljebb háy tetraédert határozhatak meg ezek a potok? A tér égy külöböző potja midig tetraédert határoz meg, kivéve ha mid a égy pot egy síkba esik, vagy ha valamelyik három pot egy egyeesre esik. A lehető legtöbb tetraédert tehát akkor kapjuk, ha semelyik három pot em esik egy egyeesre, és a megadott három párhuzamos síko kívül ics másik olya sík, amelyre háromál több ese a potok közül. (A potok megfelelő kiválasztásával ezek a feltételek elérhetők.) 27 A megadott pot közül -féleképpe választhatuk ki égyet. Ezek közül biztosa rosszak azok a választások, amikor mid a égy pot ugyaarra a síkra (az eredetileg 4 meg adott három párhuzamos sík valamelyikére) esik, ez lehetőség tetraédert Tehát a potok legfeljebb 0

11 határozhatak meg.. Háy olya ötjegyű szám va, amely 6-ra végződik és 3-mal osztható? Keressük a kérdéses számokat abc 6 alakba, ahol a, b és c egyjegyű számok, továbbá a em lehet 0. A 3-mal oszthatóság feltétele, hogy a b c 6 osztható legye 3-mal. Válasszuk meg b és c értékét tetszőlegese (ez ) lehetőség, majd mide ilye esetbe vizsgáljuk meg a b c 6 összeg 3-as maradékát. Ha ez 0, akkor a értéke 3, 6 vagy 9 lehet. Ha a maradék, akkor a értéke 2, 5 vagy 8 lehet. Ha pedig a maradék 2, akkor a értéke, 4 vagy 7 lehet. Tehát mide esetbe 3-féle értéket vehet fel a, így összese megfelelő ötjegyű szám létezik. 2. Egy 52 lapos fraciakártya-csomagot szétosztuk 4 játékos között. Háy olya leosztás va, amelybe mide játékosak jut legalább egy treff? (A fracia kártyába 4-féle szíű lap található, amely szíek egyike a treff, és mide szíből 3 lap fordul elő.) Álljo a H alaphalmaz a kártyacsomag 4 játékos közötti összes lehetséges szétosztásából, továbbá legyeek eek A, A2, A3, A 4 részhalmazai azo szétosztások, amelyekbe az., 2., 3., illetve 4. játékosak em jut treff. Feladatuk ekkor H \ A A A A szita-módszert fogjuk alkalmazi. Tudjuk, hogy adhatjuk. Azt is tudjuk, hogy meghatározása, amelyre a H 4, hisze mid az 52 lapot egymástól függetleül a 4 játékos bármelyikéek A A2 A3 A , mert eze szétosztások esetébe a 3 treffet midig csak 3 játékos valamelyike kaphatja (például A esetébe csak a 2., 3. vagy 4. játékos), a femaradó 39 lapot pedig a 4 játékos bármelyike. A A2 A A3 A A4 A2 A3 A2 A4 A3 A , hisze ekkor a 3 treffet csak 2 játékos valamelyike kaphatja (például A A2 esetébe csak a 3. vagy 4. játékos), a femaradó 39 lapot pedig továbbra is bárki. A A2 A3 A A2 A4 A A3 A4 A2 A3 A , hisze ekkor a 3 treffet midig csak egy játékos kaphatja (például A A2 A3 esetébe csak a 4. játékos), a femaradó 39 lapot pedig továbbra is bárki. Végül A A2 A3 A4 0, hisze ekkor egyik játékos sem kaphata treffet, ilye szétosztás pedig yilvávalóa em létezik. A szita-módszer szerit H \ A A A A H A A A A A A A A A A, ahol a redre az összes ugyaayi halmazból álló metszet felsorolását jeleti. A korábbi számításokat behelyettesítve a keresett meyiség , tehát eyi a megfelelő leosztások száma. (A végeredméy közelítő értéke 3,837 0.)

12 Megjegyzés: Egy jóak tűő, ámde hibás godolatmeet a következő: adjuk először mide játékosak egy-egy treffet (ezt féleképpe tehetjük meg), majd a femaradó lapokat osszuk szét tetszőlegese (erre lehetőségük va). A végeredméy tehát Ez 52 a megoldás yilvávalóa rossz, hisze a treffre voatkozó feltétel élkül is csak 4 -féleképpe oszthatók szét a lapok, ám a kapott végeredméy eél agyobb. (A hibát ott követtük el, hogy ha egy játékos több treffet is kap, ezeket az eseteket többször számoltuk meg aszerit, hogy melyik treffet kapta elsőek, és melyeket később.) 3. 0 ember szíházba met, ahol midegyikük leadta a kabátját a ruhatárba (a kabátok mid külöbözőek). A szórakozott ruhatáros összecserélte a kiadott sorszámokat, és az előadás végé úgy adta vissza a kabátokat (mide emberek egyet-egyet), hogy seki sem a saját kabátját kapta vissza. Háyféle külöböző módo kaphatták vissza a kabátokat? (A visszaadás sorredje em számít.) Álljo a H alaphalmaz a 0 kabát 0 ember közötti összes lehetséges szétosztásából, továbbá legyeek eek A, A2,..., A 0 részhalmazai azo szétosztások, amelyekbe az., 2.,, illetve 0. ember a saját kabátját kapja vissza. Feladatuk ekkor H \ A A... A amelyre az előző feladatba is látott szita-módszert fogjuk alkalmazi. meghatározása, 2 0 i Tudjuk, hogy H 0!, továbbá A 9! (ahol i 0 ), hisze ha az i-edik ember a saját kabátját kapja, akkor a femaradó 9 kabátot a többi 9 ember között 9!-féleképpe lehet kiosztai. Hasolóképpe A A 8! (ahol i, j 0 és i j), illetve bármely k részhalmaz metszetéek i j 0 elemszáma 0 k! (ahol k 0 ). Mivel k részhalmazt -féleképpe lehet kiválasztai, k így a szita-formulát felírva a keresett lehetőségek száma a következő: ! 0 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2!! 0! (ahol 0! alapjá az utolsó tag jelöli a 0 halmaz közös metszetét, vagyis azt az lehetőséget, amikor mideki a saját kabátját kapja vissza). Felhaszálva a k 0 0! 0! 0! 0! k k k! 0 k összefüggést, az előző eredméy fel-! k! írható 0! alakba is, amelyek potos értéke 0!! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 0! (A zárójelbe álló összeg értéke egyébkét azt mutatja meg, hogy a 0! összes esetek háyadrésze megfelelő számukra.) Tehát féleképpe kaphatták vissza a kabátokat. Megjegyzés: Felsőbb matematikai módszerekkel belátható, hogy ha értékét öveljük, akkor az... kifejezés értéke 0,369 0!! 2!! e -hez tart, tehát agy -ekre az összes lehetséges kiosztás kb. 36,9%-ába seki em a saját kabátját kapja vissza. 2

13 4. Nyolc ember sorba áll a mozi jegypéztárába. A jegy 000 Ft-ba kerül, a kasszába kezdetbe icse váltópéz. Négy ember 000 Ft-ossal, égy ember 2000 Ft-ossal fizet ez utóbbiakak csak akkor tud a péztáros visszaadi, ha kellő számú 000 Ft-ossal fizettek már. Háyféle sorredbe vehetek jegyet az emberek úgy, hogy mideki tudjo fizeti? (Az embereket em külöböztetjük meg.). megoldás: Jelöljük az 000 Ft-ossal fizető embereket -essel, a 2000 Ft-ossal fizetőket 2-essel. Ekkor mide jegyvásárlási sorred leírható az,,,, 2, 2, 2, 2 számok valamely sorredjével. Ezeket közvetleül egymás mellé fogjuk íri, például 2222 jelöli azt a yilvávalóa helyes sorredet, amikor először jöttek égye 000 Ft-ossal, majd utáuk égye 2000 Ft-ossal. Vegyük észre, hogy a péztáros potosa akkor em tud visszaadi egy 2000 Ft-osból, ha a sor elejétől ézve az éppe 2000 Ft-ossal fizető embert is beleszámítva többe fizettek 2000 Ftossal, mit 000 Ft-ossal. (Hisze mide 2000 Ft-ossal fizetőek vissza kell adi egy 000 Ftost.) Például az 2222 sorred eseté az aláhúzással jelölt helye em lehetséges a visszaadás, hisze amikor az illető 2000 Ft-ossal fizet, már ics 000 Ft-os a kasszába. Átfogalmazva, egy sorred potosa akkor helyes, ha bármelyik tagjáál megállva, odáig (vagyis egy kezdőszeletbe) legfeljebb ayi 2-es fordul elő, mit -es. (Ebből már az is következik, hogy a sor biztosa -essel kezdődik. Sőt, a sor biztosa 2-esre végződik, hisze ha -esre végződe, akkor az első hét tagja között három -es és égy 2-es lee, ami em helyes.) A helyes sorredeket meghatározhatjuk egyesével felírva, például övekvő csoportosítás szerit (vagyis úgy, hogy ha mide sorredet egy-egy yolcjegyű számkét tekitük, akkor ezek a számok övekvő sorba kövessék egymást). Ezek pedig a következők (a megoldásokat aszerit tagoltuk, hogy háy darab -es található a szám elejé): Összese 4 megfelelő számot találtuk, tehát 4-féle sorredbe vehetek jegyet az emberek. 2. megoldás: Helyezzük a feladatot a derékszögű koordiátaredszerbe, mégpedig a következőképpe: mide egyes sorred eseté iduljuk az origóból, továbbá 000 Ft-ossal fizető ember eseté lépjük egyet jobbra, 2000 Ft-ossal fizető ember eseté pedig lépjük egyet felfelé. Ekkor a sor végére a 4; 4 potba kell eljutuk, és amikor utuk sorá az ; x y potba járuk, ez azt jeleti, hogy az addigi sorba x ember fizetett 000 Ft-ossal, y ember pedig 2000 Ft-ossal. Az előző megoldásból tudjuk, hogy mide egyes pillaatba teljesülie kell az y x feltételek. Mivel a lépéseket csak rácspotokba vizsgáljuk, feladatukat így is megfogalmazhatjuk: a 0; 0 -ból el kell jutuk a 4; 4 -be egységyi jobbra és felfelé lépésekkel úgy, hogy közbe em érithetjük az yx egyeest (evezzük ezt tiltott egyeesek). A következő ábra az 2222 lépéssorozatak megfelelő útvoalat és a tiltott egyeest szemlélteti. 3

14 Háy ilye útvoal létezik? Ezt az összes rossz módszerrel számoljuk ki. Ha a tiltott egyeest em kellee figyelembe veük (vagyis a kasszába lee elegedő váltópéz), akkor tetszőlegese lépheték jobbra és felfelé (vagyis az emberek tetszőleges sorredbe érkezhetéek), így jobbra és 4 felfelé lépést összese 70 -féleképpe teheték meg. Ebből kell kivouk a rossz eseteket, vagyis az olya útvoalakat, amelyek sorá éritjük a tiltott egyeest 4 4 (evezzük ezeket rossz útvoalakak). Ezek összeszámlálására alkalmazhatjuk a következő ötletet: bármely rossz útvoal eseté tekitsük az első olya pillaatot, amikor rálépük a tiltott egyeesre. Az origótól idáig terjedő útszakaszt tükrözzük tegelyese a tiltott egyeesre (emiatt tükrözési elvek is hívják ezt a módszert), az út további részét pedig hagyjuk változatlaul. A következő ábrá a folytoos zöld voallal jelölt útszakaszt tükröztük, a tükörképet szaggatott zöld voallal jelöltük: Mivel az origó tükörképe a ; pot, így a tükrözött útvoal, valamit az eredeti útvoal folytatása együttese egy ; -ből 4; 4 -be vezető útvoalat ad. Ugyaígy mide origóból iduló rossz útvoalak megfeleltethető egy olya útvoal, amely a ; -ből a 4; 4 -be vezet. Megfordítva, mide ; -ből 4; 4 -be vezető útvoalak is megfeleltethető egy origóból iduló 4

15 rossz útvoal, hisze a ; -ből a 4; 4 -be csak úgy juthatuk el, hogy legalább egyszer éritjük a tiltott egyeest ha pedig az első éritési potig terjedő útszakaszt tükrözzük a tiltott egyeesre, akkor éppe az origóból iduló rossz útvoalat kapjuk. Így a rossz útvoalak kölcsööse egyértelműe megfeleltethetők a ; -ből 4; 4 -be vezető útvoalakak. Ez utóbbiakat pedig köye összeszámolhatjuk: összese 5-ször kell jobbra lép ük, 3-szor felfelé, így az útvoalak száma Mivel összese 70 útvoal va, amelyek közül 56 rossz, így a jó útvoalak vagyis a yolc ember helyes sorredjeiek száma Megjegyzés: Ez utóbbi megoldás köye általáosítható arra az esetre, ha ember fizet 000 Ftossal és ember 2000 Ft-ossal ( pozitív egész). Jelöljük a helyes sorredek számát a -el. Ekkor 2 az összes útvoal száma, a rossz útvoalaké pedig 2 hisze a ; -ből az ; potba haladva összese -szer kell jobbra lépi, felfelé pedig -szer, így a rossz utak száma 2. Vagyis a helyes sorredek száma 2 2 a. Algebrai át- alakítással ez az eredméy a 2 alakra is hozható. 5. a) Háyféle sorredbe számíthatjuk ki a szorzat értékét, ha egy lépésbe midig csak két szomszédos számot szorozhatuk össze? (Egy lehetséges sorred például, aláhúzással jelölve a lépéseket: = = = =20 42 =5040.) b) Háyféle sorredbe számíthatjuk ki a szorzat értékét, ha egy lépésbe midig két tetszőleges számot szorozhatuk össze? (Egy lehetséges sorred például, aláhúzással jelölve a lépéseket: = = = =80 28 =5040.) c) Háyféleképpe helyezhetük el 5 zárójelpárt a szorzatba úgy, hogy a műveletek elvégzésekor midig egy zárójele belüli két téyezőt kell összeszorozuk? (Az a) feladatba szereplő = = = =20 42 =5040 műveletsort például a zárójelezéssel írhatjuk le.) a) A szorzat kezdetbe hattéyezős, azaz 5 szorzásjel (vagyis 5 egymás melleti számpár) található bee. Ezek közül bármelyiket választhatjuk első lépésbe. Az első szorzás elvégzése utá öt téyező marad, 4 szorzásjellel, amelyek közül bármelyikkel folytathatjuk, és így tovább. A lehetőségek száma tehát 5! 20. b) A szorzat kezdetbe hattéyezős, azaz 6 szám közül választhatjuk ki azt a kettőt, amelyeket először összeszorzuk. Erre lehetőségük va. Az első szorzás elvégzése utá öt téyező marad, tehát 5 szám közül választhatjuk ki a két összeszorzadót, ezt 5 0 -féleképpe tehet- 2 5

16 jük meg. Ezt folytatva, a lehetőségek száma c) Először is vegyük észre, hogy ez a kérdés külöbözik az a)-ba szereplő kérdéstől. Ugyais bár az a) feladat mide egyes sorredje kijelöl egy zárójelezést, ezek em feltétleül mid külöbözők. (Megfordítva, ha adott egy zárójelezés, akkor lehet, hogy az alapjá akár többféle sorredbe is elvégezhető a szorzás.) Egy kisebb példá szemléltetve, a 2345 szorzat esetébe a = 64 5 = 6 20 =20 és a = = =20 sorred egyarát ugyaahhoz a zárójelezéshez vezet. Tehát a c) kérdésre adadó válasz kisebb, mit az a) kérdésbe szereplő 20 lehetőség. Vizsgáljuk meg a feladatot kisebb esetekre! Jelöljük b -el azt az értéket, aháyféleképpe egy - téyezős szorzatba zárójelpár elhelyezhető. Ekkor a feladatuk b 6 meghatározása. Egy -téyezős szorzat -féleképp zárójelezhető (úgy, hogy em teszük bele zárójelet), így b. Egy 2-téyezős szorzat is -féleképp zárójelezhető: 23, így b2. Egy 3-téyezős szorzat 2-féleképp zárójelezhető: és 2 3 4, így b3 2. Egy 4-téyezős szorzat 5-féleképp zárójelezhető: , , és , így b4 5., Megfigyelhetjük, hogy a legkülső zárójelpár midig a műveletsor legelejé és legvégé áll (hisze az utolsó szorzás elvégzésekor már csak két téyező szerepel, és ez a zárójelpár ezeket határolja). Próbáljuk meg a 4-téyezős szorzat zárójelezéseit visszavezeti a korábbi esetekre! Csoportosítsuk az eseteket aszerit, hogy melyik szorzást végezzük el legutoljára! A következőkbe vastagítással jelöljük az utoljára elvégzett szorzás jelét, és eek helye szerit tagoljuk oszlopokra az eseteket: Vegyük észre, hogy ha az utolsó szorzásjel a 2 és a 3 közötti, akkor eek elvégzése előtt egy - téyezős (2) és egy 3-téyezős ( 345 ) szorzatot kell egymástól függetleül zárójelezük. Ha az utolsó szorzásjel a 3 és a 4 közötti, akkor eek elvégzése előtt egy 2-téyezős ( 23 ) és egy másik 2-téyezős ( 45 ) szorzatot kell egymástól függetleül zárójelezük. Ha pedig az utolsó szorzásjel a 4 és az 5 közötti, akkor eek elvégzése előtt egy 3-téyezős ( 234 ) és egy -téyezős (5) szorzatot kell egymástól függetleül zárójelezük. Így a b4 b b3 b2 b2 b3 b összefüggést kapjuk, vagyis Tehát a 4-téyezős szorzat zárójelezhetőségeiek száma megkapható úgy, ha a 4-et felbotjuk két pozitív egész szám összegére az összes lehetséges módo ( 3, 2 2, 3 ), majd az összegekbe szereplő sorszámú b értékeket párokét összeszorozzuk, és e szorzatokat összeadjuk. Ugyaez a godolatmeet továbbvihető a b sorozat következő éháy tagjáak meghatározására: b5 b b4 b2 b3 b3 b2 b4 b

17 b6 b b5 b2 b4 b3 b3 b4 b2 b5 b Tehát a feladatba szereplő 6-téyezős szorzatba 42-féleképpe helyezhetük el 5 zárójelpárt. Megjegyzés: Észrevehetjük, hogy például b5 4 megegyezik az előző feladatba szereplő a4 4 értékkel. Igazolható, hogy ( a 0 bevezetésével) mide természetes számra teljesül az a összefüggés, azaz egy -téyezős szorzatba ugyaayiféleképpe helyezhetük el b zárójelpárt, mit aháyféleképp 2 ember db 000 Ft-ossal és db 2000 Ft-ossal fizethet az előző feladat feltételeiek megfelelőe. Így a mostai feladatba rekurzív módo meghatározott b b b b2 b 2... b 2 b2 b b sorozatra is adható explicit képlet: b a, vagyis b. E sorozat tagjai (mid explicit, mid rekurzív formába megadva) az 2 úgyevezett Catala-számok (Eugée Charles Catala XIX. századi belga matematikusról elevezve). Az első éháy Catala-szám:,, 2, 5, 4, 42, 32, Háyféleképpe lehet egy kovex hatszöget egymást em metsző átlóival háromszögekre botai?. megoldás: A hatszög háromszögekre botásához 3 átlót kell behúzuk. Esetszétválasztással kapjuk, hogy ezek léyegébe háromféleképpe helyezkedhetek el: egy csúcsból kiiduló három átló: három egymáshoz csatlakozó átló: három átló, amelyek egy háromszöget alkotak: Ez összese eset, tehát 4-féleképpe botható háromszögekre egy hatszög. 2. megoldás: Vizsgáljuk meg a kérdést kisebb oldalszámú sokszögekre! Jelöljük c -el azt az értéket, aháyféleképpe egy kovex -szög ( 3 ) egymást em metsző átlóival háromszögekre botható. Nyilvá c3, hisze egy háromszöget em kell tovább botai, így az -féleképpe botható háromszögekre. 7

18 c4 2, hisze a égyszög 2-féleképpe botható háromszögekre: c5 5, hisze az ötszög 5-féleképpe botható háromszögekre: Az előző megoldásba már láttuk, hogy c6 4, ezt azoba a közvetle összeszámlálás helyett megpróbáljuk most a kisebb esetekre visszavezeti. Rögzítsük a hatszög egy tetszőleges oldalát (az ábráko vastagítással jelöljük), és alkalmazzuk esetszétválasztást aszerit, hogy ez az oldal melyik háromszögek lesz része: Az első esetbe a berajzolt háromszög mellett még egy ötszöget kell háromszögekre botauk, ezt tehát c5 -féleképpe tudjuk folytati. A második esetbe egy háromszöget és egy égyszöget kell egymástól függetleül háromszögekre botauk, itt tehát c3 c4 a lehetséges folytatások száma. A harmadik esetbe hasolóa egy égyszöget és egy háromszöget kapuk, a folytatások száma c4 c3. Végül a egyedik esetbe újra egy ötszöget kapuk, amelyet c5 -féleképpe tuduk befejezi. A középső két esetbe a behúzott háromszög két oldalá egy-egy sokszög (háromszög és égyszög) keletkezett. Az első és az utolsó esetet is átfogalmazhatjuk így: ekkor a háromszög egyik oldalá ugya em keletkezett sokszög, azoba ha ezt a részt egy elfajuló sokszögek (kétszögek) tekiteék, és bevezeték a c2 jelölést (vagyis esetek tekiteék e kétszög felbotását is), akkor a korábbról már ismerős c6 c2 c5 c3 c4 c4 c3 c5 c2 összefüggést kapák, ahoa c adódik. Megjegyzés: A most rekurzíva defiiált c c2 c c3 c2... c2 c3 c c2 sorozatról belátható, hogy az megegyezik az előző két feladatba megjeleő Catala-számokkal, mégpedig c b a2 (például 4 c6 b5 a4 ). 7. Esetleges zárójelek elhelyezésével háyféle eredméye lehet a kifejezések? Először megmutatjuk hogy az esetlegese elhelyezett zárójelek felbotásával (és elhagyásával) a kifejezés alakúra hozható, sőt, mide ilye alakú műveletsor előállítható az eredeti kifejezésből megfelelő zárójelezéssel. Ehhez elég azt megfigyelük, hogy tetszőleges zárójel elhagyásakor a zárójel előtti előjel megfordítja a zárójelbe szereplő előjele- 8

19 ket, például vagy Tehát ha kívülről befelé haladva egyesével elhagyjuk a zárójeleket, akkor mide ilye esetbe felcserélődek a + és előjelek a zárójeles részbe. Mivel az első zárójelet leghamarabb a 9-es elé tehetjük ki (a 0 elé em érdemes, hisze ez em változtat a végeredméye), ezért a 9 előjele biztosa egatív marad, leghamarabb a 8 előjelét, legkésőbb pedig az előjelét tudjuk megváltoztati. Most megmutatjuk, hogy a kifejezésbe bárhogya is választjuk meg az előjeleket, az így kapott műveletsor előállítható az eredetiből megfelelő zárójelezéssel. Eek egyik lehetséges módja, hogy balról jobbra megvizsgáljuk az előjeleket, és ahol előjelváltás törtéik (+ utá következik vagy fordítva), ott elkezdük egy zárójelet (az előjelváltás előtt), amelyet a következő előjelváltás előtt bezáruk. Például a esetet a zárójelezéssel kaphatjuk. (Ugyaezt más zárójelezéssel is előállíthaták.) Tehát feladatuk a lehetséges eredméyeiek vizsgálatára egyszerűsödött. A kifejezés értékéek miimuma , maximuma Vegyük észre, hogy a kifejezés értékéek paritása álladó (jele esetbe midig páratla), hisze ha egy tetszőleges a helyett a -t íruk, akkor az összeg 2a -val, azaz páros számmal csökket (a fordított esetbe pedig ugyaeyyivel őtt). Megmutatjuk, hogy a kifejezés mide 35 és 37 közötti páratla értéket felvehet. Ezt úgy igazoljuk, hogy a kifejezésbe éháy előjelet +-ra cserélük úgy, hogy ezáltal 2-vel, 4-gyel, 6-tal,, 72-vel öveljük a végeredméyt. Ha 2 -el szereték öveli a végeredméyt, akkor ehhez összese -et kell adi azo ( és 8 közötti) számok összegéek, amelyek előjelét módosítottuk (ahol 36 ). Az és 36 közötti egész számok pedig mid előállíthatók az, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 számok közül éháy összegekét, például úgy, hogy a kívát összegből midig levojuk a lehetséges legagyobb számot, amelyik még redelkezésükre áll (a 9 esetébe például 9 8, 7 4 és 4 4 0, tehát ). Mivel , ezért összese 37 páratla szám található 35 és 37 között (a határokat is beleértve). Vagyis összese 37-féle eredméye lehet a kérdéses kifejezések. 8. Határozzuk meg értékét zárt alakba. Az k k összefüggést felhaszálva a kifejezés a következő alakra hozható: Tekitsük egy zsákba piros és kék golyót (az azoos szíű golyókat megkülöböztetjük egymástól). Ha szereték e 2 golyóból összese darabot kiválasztai, ezt egyrészt yilvá 2 -féle módo tehetjük meg. Másrészt a választásokat csoportosíthatjuk aszerit is, hogy melyik szíű golyóból háy darabot választottuk. Ha pirosból 0, kékből darabot választottuk, ezt 9

20 -féleképpe tehettük meg. Ha pirosból, kékből darabot választottuk, akkor erre 0 lehetőségük volt, és így tovább, i piros és i kék golyó eseté a lehetséges választások száma éppe, ahol 0 i. Ezek éppe a vizsgált összegbe szereplő tagok. i i Mivel ugyaazt a meyiséget kétféleképpe is meghatároztuk (a módszert kettős leszámlálásak 2 is evezik), ezért a két eredméy szükségképpe egyelő, így a kérdéses kifejezés értéke. 9. Az ; 2; 3; 4;...; 205 halmazból szereték kiválasztai Aáak egy A és Beáak egy B em üres részhalmazt úgy, hogy ezekek e legye közös eleme. Háyféleképpe tehetjük ezt meg?. megoldás: Ha Aáak egy -elemű részhalmazt választuk (ahol 204 ), akkor Bea részhalmazába a femaradó 205 szám közül választhatuk. Mivel 205 elem közül -et 205 -féleképpe választhatuk, továbbá egy k-elemű halmazak 2 k em üres részhalmaza va, ezért a lehetőségek száma felírható a következőképpe: i i Ebből átalakítás utá kapjuk a következő kifejezést: Tudjuk, hogy... 2 (az egyelőség midkét oldalá egy elemű halmaz részhalmazait számoljuk össze, a bal oldalo elemszám szeriti botásba). Azt is tudjuk, hogy a biomiális tétel alapjá: E két összefüggést felhaszálva a vizsgált kifejezés a következő alakra hozható: Tehát a lehetséges kiválasztások száma

21 2. megoldás: Az alaphalmaz mid a 205 elemét 3 külöböző helyre tehetjük: az A részhalmazba, a B részhal- 205 mazba, illetve egyikbe sem. Ez 3 -féle szétosztást jelet, azoba ezek közül ki kell vouk azokat az eseteket, amikor A vagy B valamelyike (esetleg midkettő) üres. Ha az A részhalmaz üres, akkor mid a 205 elemet két helyre tehetjük: a B részhalmazba, illetve egyikbe sem, ez 2 lehetőség. Ugyaígy 2 azo lehetőségek száma is, amikor a B részhalmaz üres. De ha A és B egyszerre üres, ezt az egy esetet midkét alkalommal megszámoltuk. Tehát a rossz esetek száma , így a jó esetek száma matematikataár 30 érettségi dolgozatot szerete elosztai javításra egymás között úgy, hogy midegyikük legalább egyet kijavítso. Háyféleképpe tehetik ezt meg? Álljo a H alaphalmaz a 30 érettségi dolgozat 5 taár közötti összes lehetséges szétosztásából, továbbá legyeek eek A, A2, A3, A4, A 5 részhalmazai azo szétosztások, amelyekbe az., 2., 3., 4., illetve 5. taárak em jut dolgozat. Feladatuk ekkor H \ A A A A A meghatározása, amelyre a szita-módszert fogjuk alkalmazi. Tudjuk, hogy 30 H 5, hisze a 30 dolgozat midegyikét az 5 taár bármelyikéek adhatjuk. Továbbá Ai 4 (ahol i 5 ), hisze ha az i-edik taárak em jut dolgozat, akkor mide dolgozatot 4 taár valamelyikéek adhatuk. Hasolóképpe A 30 i Aj 3 (ahol i, j 5 és i j), illetve bármely k részhalmaz metszetéek elemszáma 5 k 30 (ahol k 5). Mivel k részhalmazt 5 -féleképpe lehet kiválasztai, így a szita-formulát felírva a keresett lehetőségek k száma (ahol az utolsó tag jelöli az 5 halmaz metszetét, amely yilvávalóa üres, hisze ekkor egyik taár se kaphata dolgozatot). A lehetséges szétosztások száma tehát értéke 20 9,256 0.) (A végeredméy közelítő 2. Háyféleképpe lehet úgy sorozatba redezi az, 2, 3,, 0 számokat, hogy a kapott sorozat az elsőtől valaháyadik eleméig mooto övekedő, oatól pedig mooto csökkeő legye? (A két részsorozat határa akár a sorozat első vagy utolsó eleme is lehet.) Nyilvávaló, hogy a övekedő és a csökkeő részsorozatot elválasztó elem csak a 0 lehet, hisze eél agyobb elem ics a megadott számok között. Így a sorozatba a 0 előtti elemekek övekvő, a 0 utái elemekek csökkeő sorredbe kell következiük. Ezért mide ilye sorozatot egyértelműe meghatároz a 0 előtti elemek halmaza (ezeket az elemeket övekvő sorredbe kell felsoroluk, majd a 0 utá a maradék elemeket csökkeő sorredbe). Mivel az, 2, 3,, 9 számok midegyikéről egymástól függetleül eldöthetjük, hogy a 0 előtt vagy utá álljo, ezért a 0 előtti elemek halmaza féle lehet. Ez az érték egyébkét meg- 2

22 egyezik az ; 2; 3;...; 9 halmaz részhalmazaiak számával. Vagyis 52-féle lehetséges sorozatba redezés létezik. 22. Határozzuk meg azo 4 4-es, emegatív egész számokat tartalmazó táblázatok számát, amelyekre teljesül, hogy mide sorba és mide oszlopba legfeljebb két em ulla szám található, továbbá mide sorba és mide oszlopba az ott található számok összege 3. Náboj Nemzetközi Matematika Csapatversey 204/205. Bármely sorba, illetve oszlopba a megadott feltételek mellett csak kétféleképpe lehet 3 az öszszeg: vagy egy -es és egy 2-es szerepel bee (és két 0), vagy egy 3-as (és három 0). Ez utóbbit az előző lehetőség speciális esetekét is értelmezhetjük: ha ugyaazo mezőbe került egy -es és egy 2-es. Így (a 0-kat figyelme kívül hagyva) biztosa állíthatjuk, hogy mide sor/oszlop potosa egy -est és potosa egy 2-est tartalmaz (esetleg ugyaabba a mezőbe). Ez azt is jeleti (mivel két 2-es em állhat ugyaazo sorba/oszlopba), hogy mide ilye táblázat felbomlik két olya 4 4-es táblázat elemekéti összegére, amelyek közül az egyik mide sorába és oszlopába potosa egy 2-est tartalmaz, a másik pedig mide sorába és oszlopába potosa egy -est. Megfordítva pedig, két ilye táblázat összege yilvá mide esetbe teljesíti a feladat feltételeit. Elegedő tehát az ilye táblázatpárok darabszámát meghatározuk. Mivel egy 4 4-es táblázat 4!-féleképpe tölthető ki (például 2-essel) úgy, hogy mide sorba és mide oszlopba potosa egy mezőbe kerüljö szám, ezért a vizsgált lehetőségek száma 2 2 4! Egy 5 3-as rács bal felső sarkába ül egy egér (E), aki el akar juti a jobb alsó sarokba található sajthoz (S). Emellett a rács bal alsó sarkába ül egy rák (R), aki pedig a jobb felső sarokba található algalevelet (A) szemlélte ki magáak. A két állat egyszerre mozog a rácso: mide másodpercbe az egér egy rácsyit halad jobbra vagy lefelé, a rák pedig egy rácsyit halad jobbra vagy felfelé. Háyféleképpe érhetik el a céljukat úgy, hogy útközbe semelyik mező se találkozzaak? E A R S Náboj Nemzetközi Matematika Csapatversey 204/205. A két állat csak a középső sorba tud összetalálkozi (hisze ha például a felső sorba találkozáak, akkor az egér eddig a pillaatig csak jobbra mozoghata, de a rákak ugyaeyi jobbra lépés mellett még felfelé is kellee haladia, ami több időbe tele). Ha ismerjük midkét állat esetébe, hogy a középső sorba mely (szomszédos) mezőkö haladt át, ebből már a teljes útvoalukat meg tudjuk határozi. Mivel a középső sor bármely mezőjére midkét állat potosa ugyaayi idő alatt tud csak eljuti (balról jobbra redre, 2, 3, 4, illetve 5 másodperc alatt), ezért akkor és csak akkor em találkozak, ha a középső sorba megtett útvoalrészleteik em metszik egymást. Vagyis azt kell megszámoluk, hogy a középső sorból háyféleképpe választhatuk ki két diszjukt szakaszt (szakasz alatt most egy vagy több szomszédos égyzetet értük). 22

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

23. Kombinatorika, gráfok

23. Kombinatorika, gráfok I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő?

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő? Észforgató középiskolásoknak 1.Egy tálba egymás után felütünk tíz darab tojást. A tojások közül kettő romlott, de ez csak a feltöréskor derül ki. A záptojások az összes előttük feltört tojást használhatatlanná

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2012 13-as tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a javító

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 016. január 16. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egyszerűsítse a következő kifejezést: Válaszát

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Országos döntő, 1. nap - 015. május 9. ÖTÖDIK OSZTÁLY - ok 1. Egy háromjegyű szám középső számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk. A két szám összege

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS, KIVONÁS. A MŰVELETI SORREND SZÁMÍTÁSOKBAN ÉS SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA SORÁN. 9. modul

ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS, KIVONÁS. A MŰVELETI SORREND SZÁMÍTÁSOKBAN ÉS SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA SORÁN. 9. modul Matematika A 4. évfolyam ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS, KIVONÁS. A MŰVELETI SORREND SZÁMÍTÁSOKBAN ÉS SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA SORÁN 9. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 4. ÉVFOLYAM 9. modul ÍRÁSBELI

Részletesebben

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.)

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) 22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) A) A PERMUTÁCIÓK CIKLIKUS SZERKEZETE 1. feladat: Egy húsztagú társaság ül az asztal körül. Néhányat közülük (esetleg az összeset) párba állítunk, és a párok

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés

Részletesebben

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt?

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? skombinatorika 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot írhatunk föl 2 db 1-es, 1 db 2-es és 1 db 3-as

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. október 18. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. október 18. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. október 8. EMELT SZINT I. ) Kinga 0. születésnapja óta kap havi zsebpénzt a szüleitől. Az első összeget a 0. születésnapján adták a szülők, és minden hónapban 50 Fttal többet adnak,

Részletesebben

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok

Hraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik 1991. évi verseny, 1. nap 1. Számold össze, hány pozitív osztója van 16 200-nak! 2. Bontsd fel a 60-at két szám összegére úgy, hogy az egyik szám hetede egyenlő legyen a másik szám nyolcadával! 3. Van

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged

Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged A kombinatorika másfajta gondolkodást és így a tanár részéről a többi témakörtől eltérő óravezetést igényel. Sok esetben tapasztalhatjuk, hogy

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

a legjobb kezekben K&H Csoport

a legjobb kezekben K&H Csoport a legjobb kezekbe A K&H Biztosító 1992 óta működik Magyarországo, és közel félmillió ügyfelet szolgál ki. A K&H Biztosító a magyar piac sajátosságait figyelembe véve alakította ki szolgáltatási palettáját,

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

KOMBINATORIKA Permutáció

KOMBINATORIKA Permutáció Permutáció 1) Három tanuló, András, Gábor és Miklós együtt megy iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a lehetséges sorrendeket! 2) Hány különböző négyjegyű számot alkothatunk

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

ü ű ö Á ö Ü Ú Ö Á Á ö ő ö ö ö ű ű ö ő ő ö ő ü Ú ú ü ö ö ő Ö ö ő ö ő ő ö ú ö ő ő ö ö ú ö ő ö ö ő ö ö ő ö ő ö Ö ö ö ö ő ö ő ö ö ö ü ű ö ö ő ö ö ű ö ő ö ö ű ö ü ö ö ö ő ö ö ő ű ö ö ü ű ö ö ő ö ö ü ő ő ő ő

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT Matematika RÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK RÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT dottak a 0; ; ; ; ; ; 5; 7; 7; 8 számjegyek. a Hány darab tízjegyű, 5-tel osztható szám készíthető az adott számjegyekből

Részletesebben

A sorozatok az egyetemen és a középiskolákban

A sorozatok az egyetemen és a középiskolákban A sorozatok az egyetemen és a középiskolákban Szakdolgozat Készítette: Piliszky András Matematika BSc, Matematika tanári szakirány Témavezető: Munkácsy Katalin, főiskolai docens ELTE TTK, Matematikatanítási

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné MATEMATIKA 1. A FELMÉRŐ FELADATSOROK ÉRTÉKELÉSE

Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné MATEMATIKA 1. A FELMÉRŐ FELADATSOROK ÉRTÉKELÉSE Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné MATEMATIKA 1. A FELMÉRŐ FELADATSOROK ÉRTÉKELÉSE A felmérő feladatsorok értékelése A felmérő feladatsorokat úgy állítottuk össze, hogy azok

Részletesebben

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorgaizmusok számáak meghatározása telepszámlálásos módszerrel A telepszámlálásos módszerek esetébe a teyésztést szilárd táptalajo végezzük, így - szembe

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Egy asztal körül 24-en ülnek, mindannyian mindig igazat mondanak. Minden lány azt mondja, hogy a közvetlen szomszédjaim közül pontosan az egyik fiú, és minden fiú azt mondja, hogy mindkét közvetlen

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.

Részletesebben

Tanmenetjavaslat. az NT-11580 raktári számú Matematika 5. tankönyvhöz. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, Budapest

Tanmenetjavaslat. az NT-11580 raktári számú Matematika 5. tankönyvhöz. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, Budapest Tameetjavaslat az NT-11580 ratári sú Matematia 5. taöyvhöz Otatásutató és Fejlesztő Itézet, Budapest A tameetjavaslat 144 órára lebotva dolgozza fel a taayagot. Ameyibe eél több idő áll a redelezésüre,

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Alfa tanár úr 5 tanulót vizsgáztatott matematikából. Az elért pontszámokat véletlen sorrendben írta

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Halmazelmélet. Halmazok megadása

Halmazelmélet. Halmazok megadása Halmazok megadása Halmazelmélet 145. Amikor a halmazt körülírással vagy valamilyen tulajdonságával adjuk meg, bármilyen elemrôl egyértelmûen el kell tudnunk dönteni, hogy beletartozik a halmazba vagy sem.

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 2. MA3-2 modul. Eseményalgebra

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 2. MA3-2 modul. Eseményalgebra Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 2. MA3-2 modul Eseményalgebra SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Sorbanállási modellek

Sorbanállási modellek VIII. előadás Sorbaállási modellek Sorbaállás: A sorbaállás, a várakozás általáos probléma közlekedés, vásárlás, takolás, étterem, javításra várás, stb. Eze feladatok elmélete és gyakorlata a matematikai

Részletesebben

Szakközépiskola 9. évfolyam. I/1 gyakorló feladatsor

Szakközépiskola 9. évfolyam. I/1 gyakorló feladatsor Szakközépiskola 9. évfolyam I/1 gyakorló feladatsor 1. Adott az A={1,,3,4,5,6} és a B={1,3,5,7,9} halmaz. Adjuk meg elemeinek felsorolásával az AUB és az A\B halmazokat!. Számítsuk ki a 40 és 560 legnagyobb

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu

Részletesebben