2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t."

Átírás

1 Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is a teljes Q? Q a acioális száok halaza. A válasz: e. Megaduk olya, a feltételekek egfelelő f és g függvéyeket, aelyeke fg e veszi fel a 0-t. Legye f. z yilvá szigoúa ooto ő, és étékkészlete a teljes Q. Legye 3, ha g, ha < < 3, ha A g függvéy a -,],, és [, itevalluokba külö-külö szigoúa ooto ő, e háo itevallua egszoítva étékkészlete a -,-], -,-, illetve [-, itevalluok acioális eleeiből áll. zét igaz, hogy g szigoúa ooto ő, és étékkészlete a teljes Q. Tegyük fel, hogy létezik olya Q, aelye fg0. a vagy, akko fg-3, ai csak 3 eseté lee 0, de ez a szá e szeepel a egadott itevalluokba. a <<, akko f g 0 z pedig e lehetséges, et ilye acioális szá ics. Tehát f g e veszi fel a 0-t.. Az a, b, c egész száok legagyobb közös osztója. Az a,b,c száháast ás száháasoka cseélhetjük úgy, hogy ide lépésbe az egyik száot öveljük vagy csökketjük a száháas egy ásik eleéek valailye többszöösével. Igaz-e, hogy az a, b, c száok egválasztásától függetleül, legfeljebb 0 lépésbe eljuthatuk az,0,0 száháashoz? Megutatjuk, hogy legfeljebb 5 lépésbe idig eljuthatuk az,0,0 száháashoz. lőszö abba az esetbe oldjuk eg a feladatot, ha például b és c elatív píek. kko báilye szá, így az is előállítható abyc alakba, alkalas és y egész száokkal. zét két lépésbe eljuthatuk az,b,c szához úgy, hogy a- hoz előbb b -szeesét, ajd c y-szoosát adjuk hozzá. zutá további két tiviális lépésbe eljuthatuk az,0,0 száháashoz. Abba az esetbe tehát, ha b és c elatív píek, 4 lépés biztosa elegedő. Most bebizoyítjuk, hogy egyetle lépésbe eléhető, hogy a száháas két elee elatív pí legye. a b vagy c ulla, akko a ásik két szá elatív pí. a b és c egyike se 0, akko legye d a c azo pítéyezőiek szozata, aelyek e osztják b-t. a ilye píosztó ics, akko legye d. Azt állítjuk, hogy az egy lépésbe előálló a,bda,c száháas egfelelő, azaz bda és c elatív píek. Tekitsük c egy tetszőleges p píosztóját; azt kell igazoluk, hogy ez e osztója a bda száak. /

2 Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008 a p osztója b-ek, akko d defiíciója szeit p e osztója d-ek. Azt is tudjuk, hogy a, b és c elatív píek, tehát p az a-ak se lehet osztója. bbe az esetbe tehát a bda összeg első tagja osztható p-vel, a ásodik tagja e. a p e osztója b-ek, akko d defiíciója szeit p osztója d-ek. Tehát a bda összeg első tagja e osztható p-vel, a ásodik tagja viszot osztható vele Midkét esetbe azt kaptuk, hogy p e osztója a bda száak. Összefoglalva: egy lépésbe eléhetjük, hogy a ásodik és a haadik szá elatív pí legye, ie pedig további égy lépésbe eljuthatuk az,0,0 száháashoz. 3. Jelöljük tetszőleges pozitív egész száa S-el az jegyeiek összegét tízes száedszebe. Igazoljuk, hogy li S Legye k ögzített pozitív egész. Tetszőleges -e jelölje tízes száedszebeli felíásába c az utolsó k szájegy által alkotott egészt, b az előtte levő 3k jegy által alkotott száot, végül a az összes ezek előtt álló szájegyből alkotott száot. 4k k 0 a 0 b c ahol 0 b<0 3k és 0<c<0 k. A c e lehet 0, et például utolsó jegye se 0. a 4k, akko a 0 k bc -0 4k a szá osztható 4k -al, a c szá viszot e, et 0<c<0 k < 4k. iatt b e lehet 0. Legye ost 4, és tekitsük utolsó 4 jegyét. Az előbbi eggodolást k4 0, 4,..., 4 - -e egisételve ki tuduk jelöli összese daab olya páokét diszjukt szájegyhalazt, aelyek idegyikébe szeepel legalább egy 0-tól külöböző szájegy. zét 4 eseté S >. A hatááték tehát tetszőleges valós száál agyobb:. 4. gy R sugaú keek asztalo elhelyeztük daab sugaú pézéét úgy, hogy ide ée egy teljes lapjával az asztalo fekszik. Az asztala újabb ée á e helyezhető el. Mutassuk eg, hogy R R. Mivel ide ée egy teljes lapjával az asztalo fekszik, azét az éék lapjáak összteülete legfeljebb akkoa, it az asztallap teülete, azaz π R π. bből edezéssel kapjuk a R egyelőtleséget. Rajzoljuk az éék középpotjai köül sugaú kööket, az asztal középpotja köül pedig egy R- sugaú k köt. a eek a k köek lee egy olya P potja, ait a sugaú köök egyike se tatalaz, akko a P középpotú sugaú kö egyik éét se etszeé, és teljes egészébe az asztalo vola lásd az ábát. agyis egy újabb éét helyezheték az asztala úgy, hogy középpotja egybeese P-vel. A feladat feltételei szeit ez e lehetséges, ezét a sugaú köök teljes egészébe lefedik k-t. iatt a teületük legalább akkoa, it k teülete: R- π π. zt átedezve éppe a bizoyítadó /

3 Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008 egyelőtleséget kapjuk. R 5. atáozzuk eg idazokat a p és q píszáokat, aelyeke alkalas > eseté 3 p q p q A jobb oldalo egyszeűsítve és idkét oldalból -et kivova, p q q p p p p q q p p p p q q A bal oldalo valaelyik téyező osztható a jobb oldalo szeeplő q píszáal; ez a téyező legalább q. Mivel a legagyobb téyező a p, p q ide esetbe teljesül. zt a becslést alkalazzuk jobb oldalá: p p p p p p p p p p 3 p 3p a p vagy legalább 3, akko p p - p 3p, vagyis 3 e teljesülhet. Tehát csak p lehetséges. zt behelyettesítve -be qq30, azaz q5. A feladat egyetle egoldása tehát p, q5 és. 6. Adottak f, g N N bijektív függvéyek úgy hogy ide N szá eseté. Bizoyítsuk be, hogy f g a két függvéy azoos. Mivel f: N N szüjektív függvéy ezét létezik úgy hogy. De a feladat feltétele alapjá így. Mivel a g függvéy teészetes száot vesz fel ezét. asolóa létezik úgy hogy, és ivel f ijektív, ezét. Így. Mivel g is ijektív, vagyis csak lehetséges. Ietől teljes idukcióval az összes előző esetet felhaszálva bizoyítjuk -e, hogy. zt így folytatva idukcióval bizoyítottuk a feladat állítását. 7. Legyeek az és a k adott poztív egész száok, az S pedig olya -eleű síkbeli pothalaz, aelyek seelyik háo potja ics egy egyeese; az S halaz ide potjához található legalább k daab S beli pot, aelyek id egyelő távolsága vaak a P pottól. 3/

4 Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008 Bizóyítsuk be, hogy Redezés utá égyzeteeelve a következőt kapjuk: Mivel a bal oldalo az első tag egész ezét elegedő igazoli, hogy: A baloldalo éppe a kele közül kiválasztahtó páok száa va. Az S pothalaz ide potjához tekitsük a tőle egyelő távolsága lévő lévő k potból képezhető páokat. zek száa: a egy A, B potpát szába vettükegy P potál akko P ajta va AB felezőeőlegesé. Mivel S-be ics háo pot egy egyeese, így a feti száolás utá ide potpát a -sze kaphattuk eg, azaz: ahoa -el osztva éppe a bizoyítadó állítást kapjuk. 8. Az kifejezésbe száítsuk ki az -es tag együtthatóját. Ahhoz hogy a feti kifejezés -es tagjáak eggyütthatóját egkapjuk, ki kell száítauk az kifejezés -ös tagjáak együtthatóját. Legye. A bioiális tétel szeit a köbös tag együtthatója. Így az -es tag együtthatója. 9. Az egyeletű ellipszis síkjába levő P poto áthaladó d egyees az ellipszist az M és M potokba etszi. Szekesszük P át egy olya f d- től külöböző egyeest, hogy aak az ellipszissel való etszéspotjai, valait az M és M potok egy köö legyeek. A feladatot tekitsük egoldottak. Jelöljük M3 és M4-gyel az f egyees, valait az ellipszis etszéspotját, 0,y0-val a P pot koodiátáit, α-val és β-val a d és f egyees tegellyel alkotott szögeit. Továbbá legye PM, PM, PM33, PM44 és 4/

5 Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008 Az M, M, M3, M4 potok paaetikus koodiátái: Az M, M, M3, M4 potok az ellipszise vaak, tehát: Mivel M, M, M3, M4 egy köö vaak, ezét felíható az alábbi egyelőség: azaz 34 3 Az és összefüggések alapjá: A 4 és 5 összefüggéseket figyelebevéve a 3 összefüggés a következő lesz: Az előbbi összefüggés akko igaz, ha αβπ, vagy α-β0 aely esetbe df. a αβπ, akko PPP háoszög egyelő száú. Az f egyees egszekesztése: Meghúzzuk a P középpotú PP sugaú köt, aely az tegelyt ásodszo P potba etszi. A keesett f egyees a PP egyees lesz. 0. Legye a, b és c háo külöböző egész szá, és P egy egész együtthatós polio, Mutassuk ki, hogy e állhat fe egyidejűleg a következő háo egyelőség: Idiekte bizoyítjuk. Tegyük fel, hogy egyidejűleg feálhatak a feti egyelőségek. a αz, akko: P-αQPα, ahol Q szité egész együtthatós polio. Az előbbi alapjá felíhatjuk a következőt: b-cpa-pba-bqa, c-apb-pcb-cqb, a-bpc-pac-aq3c, ahoa következik, hogy a-b b-c, b-c c-a, c-a a-b, ai csak úgy lehetséges, ha az abszolútétékek egegyezek. Feltehetjük, hogy a>b>c, tehát az abszolútétékeke felít egyelőség a következőképpe íható: a-bb-ca-c, vagyis abc, ai elletodás.. Legye p egy pí és legye G, egy gáf, aiek több it dp- csúcsa va. kko bizoyítsuk be, hogy G csúcsaiak va egy e ües U 5/

6 Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008 észhalaza úgy, hogy azokak a d csúcsú klikkekek a száa, aelyekek va közös észük U-val, legye osztható p-el. Bizoyítás: G ide I észhalazáa KI jelölje azokak a d csúcsú klikkekek a száát, aelyek tatalazzák I-t. Most G ide v csúcsához edeljük hozzá egy v, és képezzük azt a polioot odulo p fölött, hogy: F i ii I,,..., v K I v 0 I p KI yilvá 0, hogyha I több, it d eleű, tehát az F polio foka, ivel a ásodik záójeles tag foka legfeljebb dp-, ai kisebb, it. zekívül a polioba v együtthatója e 0, így a kobiatoikus ullstellesatz tételt v felhaszálva létezek olya v { 0,} száok, aelyeke F v v e 0 odulo p. Tudjuk, hogy ekko e ide v 0, hisze akko a polio 0-t ada étékül. Így va olya v, ai. kko azoba az első záójeles tag eltűik és a kis-feat tétel iatt A ásodik záójelbe levő tagak 0-ak kell lei odulo p, tehát: 0 I I K I ii i 0 od p együk észe azoba, hogy a bal oldalo éppe azokak a d-klikkekek a száa áll, aelyekek va közös észe az U { v v }. z a szitaódsze alapjá látható. Így valóba találtuk egy e ües U halazt, aelye teljesül a feladat feltétele. zzel az állítást igazoltuk.. gy kofeeciáa két oszágból, A-ból és B-ből ékezik egy azoos létszáú küldöttség, tagjaik közül éháya á égebből iseték egyást. Bizoyítsuk be, hogy az A oszágbeli tagok közül kiválasztható éháy legalább úgy, hogy teljesüljö az alábbi lehetőségek egyike: a kiválasztottak közül a B oszágbeli tagok idegyikéek páos sok iseőse va. a kiválasztottak közül a B oszágbeli tagok idegyikéek páatla sok iseőse va. Bizoyítás: Az A oszágbeli tagok közöl - db féléképpe választhatuk ki éháyat. 6/

7 Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008 Mide ilye kiválasztáshoz edelük egy hosszú, 0 soozatot, égpedig úgy, hogyha a B-beli i-edik tag páos sokat ise a kiválasztottak közül, akko a soozat i-edik tagja 0, egyébkét. A feladat állítása úgy is fogalazható, hogy ekko lesz -hosszú, vagy -hosszú 0 soozat. Ilye hosszú,0 soozatokból daab va. Most két esetet külöböztetük eg:. eset: A soozatok között ics két ugyaolya. kko - soozatuk va a ből, tehát csak egy hiáyzik, így lesz egy hosszú, vagy egy hosszú 0 soozat. Így ezzel az esettel késze vagyuk.. eset: A soozatok közt va két egegyező. kko az A oszágba az egyik soozathoz tatozó észhalaz legye U, a ásik. kko beláto, hogy az U U e ües észhalaz egfelel az a feltételek. Ugyais a B oszágból egy tetszőleges ebe az U és a halazból is páosat vagy idkettőből páatla sokat ise, tehát összeadva a két étéket páos száot kapuk, viszot ebből le kell voi az U -be levő iseősei szááak a kétszeesét, így ideképpe páos szához jutuk. zzel a ásodik esettel is végeztük, tehát a feladat állítását igazoltuk. 3. Jelöljük az y egyelet egoldásszáát -el. Bizoyítsuk be, hogy létezik olya c pozitív álladó, hogy tetszőleges N teészetes száa: N π N < c Bizoyítás: Tekitsük ide olya, y egész száokból álló szápát, hogy y e N szápáok száa yilvávalóa. együk fel ost a síkba egy deékszögű koodiátaedszet, és képezzük ide ilye, y szápáa azt az M,y égyzetet, ely az s, yt potokból áll, ahol 0 s <, 0 t <. Jelöljük e N égyzetek egyesítését -vel. Nyilvávaló, hogy az tatoáy teülete. Jelöljük továbbá az oigó középpotú sugaú köleezt K-el. Köye látható, hogy: K K 7/

8 Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008 8/ bből pedig következik, hogy teülete a K, ill. K köök teülete közé esik, ahoa adódik az állítás odjuk π c -e. 4. gy uifo hipegáfak éle va, báely kettőek a etszete legfeljebb k potot tatalaz. Bizoyítsuk be, hogy legalább k potja va. Bizoyítás: Jelölje d az fokát -ba. kko tetszőleges -a: { } k F F d F F Összegezzük ezt ide éle, akko d d d d Ie: k, tehát k 5. Bizoyítsuk be, hogy az y egyeletek, ahol -él e kisebb egész száot jelöl, ics olya pozitív egész egoldása -be és y-ba, aelyél és elatív píek Bizoyítás: A feladat állításával elletétbe tegyük fel, hogy -ek létezik olya pozitív egész egoldása, aelyeke és elatív píek. Íjuk fel i-et... y y y y Megutatjuk, hogy ebbe az esetbe y- és y y - y is elatív píek. Tegyük fel ugyais, hogy idkette oszthatók egy p píszáal, ekko is osztható p-el. y aadékot ad p-el osztva, tehát y y - y aadékot ad, tehát osztható p-el, de ez e lehet, hisze és elatív píek. Így beláttuk, hogy y- és y y - y is elatív píek.

9 Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008 kko azoba -ből y- és y y - y is -edik hatváyszá, azoba y y - y agyobb, it y, de kisebb, it y, ai elletodás. Így az idiekt állításból elletodása jutottuk, tehát a feladat állítását igazoltuk. 6. Adott egy változós polio. Tudjuk, hogy ha idegyik változója helyébe vagy -et, vagy --et helyettesítük, étéke pozitív lesz, aeyibe a --ek száa páos és egatív, ha a --ek száa páatla. Igazoljuk, hogy a polio legalább -ed fokú. löszö egyszeüsítjük a szóba jövö poliookat. lég olya poliooka szoítkozi, aelyekbe ide változó legfeljebb elsö hatváyo szeepel. a ugyais ide páos hatváyo szeeplö változót -gyel, a páatla hatváyo szeeplöket pedig a változó elsö hatváyával helyettesítjük, ezzel a polio foka e övekszik, a feladatba egadott tulajdosága pedig yilvávalóa egaad, és eze az se változtat, ha a ódosítás utá összevoható tagokat összevojuk. a pedig a ódosított polio legalább -edfokú, akko az eedeti is. A továbbiakba a polioo idig a odott ódo egyszeüsített polioot étük. Az állítást teljes idukcióval bizoyítjuk. gy egyváltozós polio ab alakú. Feltétel szeit ab > 0, ab < 0, azaz ab > 0, tehát a > 0, a > 0. A polio tehát elsöfokú. Az eedeti polio legalább elsöfokú. Tegyük fel, hogy a legfeljebb változós poliooka igaz a feladat állítása. gy változós polio f,..., f,..., alakba íható, ahol f és f legfeljebb -változós polio. Legye c,..., c egy -ekböl és --ekböl álló soozat. a a ci -k közt páos száú - va, akko -ek egysze, egysze - étéket adva, a feltétel szeit f c,..., c f c,..., c > 0 f c,..., c f c,..., c < 0. Az utóbbit így íhatjuk: f c,..., c f c,..., c > 0 és így f c,..., c > 0; ha pedig a ci -k között a --ek száa páatla, akko f c,..., c f c,..., c < 0, f c,..., c f c,..., c > 0, tehát f c,..., c f c,..., c < 0 és így f c,..., c < 0. Azt kaptuk, hogy f -ek is egva a tételbe egfogalazott tulajdosága, s így az idukciós feltétel szeit legalább -edfokú, az eedeti polio legalább -edfokú. zzel beláttuk, hogy a tétel állítása ide -e igaz. 9/

10 Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo Jelölje egy paalelogaa két szoszédos oldaláak aáyát. atáozzuk eg, hogy hogya függ -től az átlók közti hegyesszög legagyobb lehetséges étéke.. egoldás Tekitsük egy ABCD paalelogaát, aelyikbe AB és BC hossza a, illetöleg λa λ >, az átlók etszéspotja és a BC oldal felezöpotja, illetöleg F. kko egybe az átlók közös felezöpotja is, így F az AB-vel páhuzaos középvoal fele, hossza /. a. A szóba jövö potok tehát az F középpotú, /. a sugaú k kö potjai, kivéve a BC egyeessel való két etszéspotot, aelyek a kö átellees potjai. Szietia okokból elég a BC egyees egyik oldalá levö félköt vizsgáli. ába. Figue : A kö átéöje a BC szakasz észe. Az átlók szöge a BC szakasz látószöge -böl, tehát topaszög hisze az átéö látószöge deékszög. ek az α szögek a lehetö legkisebb étékét kell tehát eghatáozuk. Belátjuk, hogy α étéke a félkö 0 felezöpotjáa a legkisebb. A BC0 háoszög köé ít k0 köt belülöl éiti k, et idkét kö középpotja a BC-e F-be eelt eölegese va, és k átéöje a BC szakasz észe. A D és k0 etszéspotját G- vel jelölve CB CGBGC > CGB C0 B, ait állítottuk. A keesett legagyobb hegyesszög, 0 eek a szögek ellékszöge, és ivel a BC0 háoszög egyelö száú, az 0 BF kétszeesével egyelö, tehát például így fejezhetö ki λ-val a B0 F deékszögböl: λa azaz 0 acctgλ, 0 BF ahol az akusz-függvéy 0 és 90 közé esö ctg λ, étékét kell vei. 0 F Megjegyzés: A feladat szövege feltételezte a ugya, de eggodolásaik soá bizoyítást is yet, hogy ezt a aiális étéket fel is veszi az átlók szöge, és azt is beláttuk, hogy a téglalapba a legagyobb ez a szög. 8. Bizoyítsuk be, hogy egy szabályos dodekaéde csúcsaiak a P pottól való távolságösszege akko iiális, ha P a dodekaéde középpotja. 0/

11 Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008 A bizoyításhoz azt a leát haszáljuk fel, hogy a tébe egy pottól ét távolság, it függvéy, kove. gy vektotée ételezett valós f függvéyt koveek evezük, ha ide A, B vektoa és α, β > 0 száa, ahol αβ, igaz, hogy fαa βb αfa βfb. a az egyelőtleség egy A, B vektopáa ide egfelelő α, β-a szigoúa feáll, azt odjuk, hogy a függvéy szigoúa kove az A, B vektook között. Két kove függvéy összege is kove: fαa βb gαa βb αfa βfb αga βgb. Igaz továbbá az is, hogy két kove függvéy összege potosa azo potpáok között lesz szigoúa kove, aelyek között legalább az egyik függvéy szigoúa kove. gy szigoúa kove függvéyek legfeljebb egy iiuhelye lehet. Tegyük fel ugyais, hogy va két iiuhelye. kko a két iiuhely között báelyik potba az étéke kisebb lee, it a iiuhelyekbe. Legye egy O pot távolságfüggvéye az a té potjai ételezett függvéy, ai egadja a O pottól ét távolságot. z kove, és ide A, B-e, ai e esik egy egyeese O-val, szigoúa kove: a egy egyeese esek O-val, akko az abszolút éték függvéy koveitásáól va szó. a e esek egy egyeese O-val, akko az ába szeit éjük fel OB-t az OA egyeese, így kapjuk a B potot. A C pot az AB szakasz tetszőleges belső potja. A BB szakasszal páhuzaosa vetítsük le a C potot az OB egyeese, ez lesz a C pot. Így az OC a két függvéyéték, OA és OB, egfelelő lieáis kobiációja. Az OBB, BB O és CC O szögek egegyezek. Az OBB háoszögbe az O-ál levő szög agyobb, it az OCC háoszögbe, et C az A és B között va. élfogva az OCC szög agyobb, it az OBB szög, tehát az OC Cél is. Mivel egy háoszögbe agyobb szöggel szebe agyobb oldal va, OC agyobb, it OC, vagyis a függvéyétékek lieáis kobiációja agyobb, it lieáis kobiációba a függvéyéték. együk a dodekaéde ide egyes csúcsáak a távolságfüggvéyét, és adjuk össze őket. Az így kapott függvéy kove, valait ide potpáa szigoúa kove, ivel ide potpához va olya csúcs, aellyel e esik egy egyeesbe. Tehát csak egy iiuhelye lehet. Tegyük fel, hogy ez e a középpot. Fogassuk 7 -kal el az egyik csúcs és a középpot által eghatáozott tegely köül, olya köül, aelyike ics ajta. Az így kapott pot az ába szietiája iatt szité iiuhely lee. Tehát csak a középpotba lehet a iiu. A függvéyek va alsó kolátja 0, úgyhogy va legagyobb alsó kolátja, vagyis iiua, és ivel folytoos, és ide iáyba végtelehez tat, fel is veszi a iiuát. Tehát a középpotba iiális. 9. gy 3 3-as égyzetács sakoko lévő égyzeteiek belsejébe kijelölük egyegy potot. Bizoyítsuk be, hogy az így kapott kove égyszög a sakoko lévő égyzetekből összese kisebb teületet etsz ki, it az oldalako lévő égyzetekből összese. /

12 Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008 A kiválasztott égy pot idegyikét kössük össze a középső égyzet hozzá legközelebbi csúcsával. Így a sakokba lévő égyzetekből kietszett teületeket két-két háoszöge botottuk. Botsuk az oldalsó égyzetekből teületeket két-két háoszöge egy tetszőleges átlójuk behúzásával. Most tekitsük azokat a szoszédos háoszögeket, elyek közül az egyik egy sako lévő, ásik egy oldalsó égyzetbe va. Mide ilye pá egyik oldala közös. a ezt tekitjük alapak, akko az oldalsó égyzetekbe lévő háoszögek agassága égyzetoldalyi, a ásik háoszögé eél kisebb. Így ide ilye pába az oldalsó égyzetbe lévő háoszög teülete kisebb. Tehát összese is kisebb a sakokba lévő teületek összege. 0. gy ABCD tetaéde ABC lapjáak D súlypotját összekötjük a D csúccsal. A DD -vel páhuzaosokat húzuk az A, B, C csúcsoko keesztül és eletsszük velük az egyes csúcsokkal szeközti lapok síkját az A, B, C potokba. Bizoyítsuk be, hogy az eedeti tetaéde téfogata haada az A B C D tetaédeéek. A feladat állítása a tetaéde affiitásától e változik. Affiítsuk tehát a tetaédet szabályossá. Az A, B, C potok így az ába szietiája iatt ugyaolya távol leszek az ABC síktól, és, ivel DD eőleges az ABC síka, és AA, BB, CC páhuzaos vele, az A B C háoszög az ABC háoszög eőleges eltoltja lesz. DD -t AA -be a BC él felezőpotjából lehet agyítai, és ivel D a súlypot, 3-szoosáa kell agyítai, hogy D az A-ba keüljö. Tehát AA háoszoosa DD -ek, vagyis az A B C D tetaéde agassága az ABCD-éek háoszoosa. Így a téfogatuk aáya is eyi. /

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET FZKA BSc,. évfolya /. félév, Optika tárgy TERFERECA - ÓRA JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 8. AJÁLOTT SZAKRODALOM: ALAPFOGALMAK Klei-Furtak, Optics Richter, Bevezetés a oder optikába Bor-Wolf, Priciples of

Részletesebben

FAIPARI ALAPISMERETEK

FAIPARI ALAPISMERETEK Faipari alapiseretek középszit 1211 ÉRETTSÉGI VIZSGA 213. ájus 23. FAIPARI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIMA Fotos tudivalók

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

A kurzus teljesítésének feltételei. Az I404 kódú kurzus teljesítéséhez meg kell oldani egy otthoni feladatot, határidő április 30.

A kurzus teljesítésének feltételei. Az I404 kódú kurzus teljesítéséhez meg kell oldani egy otthoni feladatot, határidő április 30. Évközi teljesítés A kurzus teljesítéséek feltételei Két gyakorlato egírt ZH, az elérhető 00 potból 50 potot kell eléri. Aki e teljesíti a feltételt a vizsgaidőszak első hetébe a vizsgára egedésért írhat

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

A szállítócsigák néhány elméleti kérdése

A szállítócsigák néhány elméleti kérdése A szállítócsigák néhány eléleti kédése DR BEKŐJÁOS GATE Géptani Intézet Bevezetés A szállítócsigák néhány eléleti kédése A tanulány tágya az egyik legégebben alkalazott folyaatos üzeűanyagozgató gép a

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Acélcsövek szilárdsági számítása (írta: Bokros István)

Acélcsövek szilárdsági számítása (írta: Bokros István) célcsöe sziládsági száíása (ía: oos Isán). eezeés. Véonyfalú egyenes cs éeezése els úlnyoása. Csíe éeezése els úlnyoása 4. Hfeszülsége éonyfalú csöeen 5. Vasagfalú cs iszán ugalas állaoa 6. Vasagfalú cs

Részletesebben

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorgaizmusok számáak meghatározása telepszámlálásos módszerrel A telepszámlálásos módszerek esetébe a teyésztést szilárd táptalajo végezzük, így - szembe

Részletesebben

A fény diszperziója. Spektroszkóp, spektrum

A fény diszperziója. Spektroszkóp, spektrum A éy diszpeziója. Speoszóp, speum Iodalom [3]: 5, 69 Newo, 666 Tiszább, élesebb szíépe ad a öveező eledezés A speum szíe ovább má em boaó. A speum szíee úja egyesíve eé éy apu. Sziváváy Newo Woolsope-i

Részletesebben

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 2016 Fazekas, Berzsenyi Budapest Berzsenyi Dániel Gimnázium Fazekas Mihály Gimnázium Budapest 2. javított kiadás 2016. március 1115. Technikai el készítés, tördelés:

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger. feladat Állítsunk merőlegeseket egy húrnégyszög csúcsaiból a csúcsokon át nem menő átlókra. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjai

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

IFFK 2013 Budapest, 2013. augusztus 28-30. Stróbl András*, Péter Tamás**

IFFK 2013 Budapest, 2013. augusztus 28-30. Stróbl András*, Péter Tamás** IFFK 03 Budapest 03. augusztus 8-30. Tartoáyi szitű stabilitásizsgálat alkalazásáak lehetőségei Győr árosába Stróbl Adrás* Péter Taás** Budapest Uiersity of Techology ad Ecooics Hugary (e-ail*:strobl.ad@gail.co

Részletesebben

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK F3 Bev. az elektroikába E, Kísérleti Fizika Taszék ANALÓG-IGITÁLIS ÉS IGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK Az A és A átalakítók feladata az aalóg és digitális áramkörök közötti kapcsolat megvalósítása. A folytoos

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Volumetrikus elven működő gépek, hidraulikus hajtások (17. és 18. fejezet)

Volumetrikus elven működő gépek, hidraulikus hajtások (17. és 18. fejezet) oluetriku elve űködő gépek hidrauliku hajtáok (17 é 18 fejezet) 1 Függőlege tegelyű ukaheger dugattyúja 700 kg töegű terhet tart aelyet legfeljebb 6 / ebeéggel zabad üllyeztei A heger belő átérője 50 a

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

MEGOLDÁSOK ÉS PONTOZÁSI ÚTMUTATÓ

MEGOLDÁSOK ÉS PONTOZÁSI ÚTMUTATÓ MEGOLDÁSOK ÉS PONTOZÁSI ÚTMUTATÓ. Egy kerékpáro zakazonként egyene vonalú egyenlete ozgát végez. Megtett útjának elő k hatodát 6 nagyágú ebeéggel, útjának további kétötödét 6 nagyágú ebeéggel, az h útjának

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját.

Részletesebben

Kontingencia táblák. Khi-négyzet teszt. A nullhipotézis felállítása. Kapcsolatvizsgálat kategorikus változók között.

Kontingencia táblák. Khi-négyzet teszt. A nullhipotézis felállítása. Kapcsolatvizsgálat kategorikus változók között. Kotigecia táblák. Khi-égyzet tet 1. Függetleségvizsgálat. Illekedésvizsgálat 3. Homogeitásvizsgálat Példa 1 em ő 8 75 13 Ismétlés: változók, mérési skálák típusai 48 49 97 76 14 jeles (5) jó (4) közepes

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

HŐTAN Oktatási segédanyag

HŐTAN Oktatási segédanyag Eergeikai Géek és Redszerek aszék HŐAN Okaási segédayag Kézira Szerkeszee: dr. Zsebik Albi Faluskai Norber Budaes, 003. jauár Hoa_.do.do Eergeikai Géek és Redszerek aszék aralojegyzék. Alafogalak.....

Részletesebben

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A =

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A = Mátrixok 25. február 23.. Feladat: Legyen A ( 3 2 B ( 3 4 Határozzuk meg A + B, A B, 2A, 3B, 2A 3B,A T és (B T T mátrixokat. A deníciók alapján ( + 3 + 3 + A + B 2 + 4 + + ( 4 2 6 2 ( ( 3 3 2 4 A B 2 4

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK 6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK A techikai fejlettég mai zívoalá az azikro motor a legelterjedtebb villamo gép, amely a villamo eergiából mechaikai eergiát (forgó mozgát) állít elő. Térhódítáát a háromfáziú váltakozó

Részletesebben

Kártyajátékok és bűvésztrükkök

Kártyajátékok és bűvésztrükkök Szalkai Balázs, Szalkai István : Kártyajátékok és bűvésztrükkök Közismert, hogy nagyon sok bűvésztrükk matematikai alapokon nyugszik, a kártyaés egyéb játékok matematikai elemzéséről nem is szólva. Nem

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

/CSAK ISKOLAI HASZNÁLATRA!/ GÉPELEM FELADATOK. II. rész KÉSZÍTETTE: SZEKERES GYÖRGY

/CSAK ISKOLAI HASZNÁLATRA!/ GÉPELEM FELADATOK. II. rész KÉSZÍTETTE: SZEKERES GYÖRGY /CSAK ISKOLAI HASZNÁLATRA!/ GÉPELEM ELAATOK II. ré KÉSZÍTETTE: SZEKERES GYÖRGY . elaa: árcá egelykapcoló Tegelykapcolók A ábrá lévı árcá egelykapcolóval yoaéko áraauk á. A egao aaokkal, haárouk eg a cavarok

Részletesebben

Szűrési gyakorlat keretes szűrőpréssel.

Szűrési gyakorlat keretes szűrőpréssel. Szűrési gyakora kerees szűrőrésse. 1. Eéei bevezeés szűrés nyoáskünbség, in hajóerő haására végbeenő hiroinaikai eváaszási űvee. Céja a foyaék-sziár renszerek (szuszenziók) vagy gáz-sziár renszerek (oros

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

CompLex Hatályos Jogszabályok Gyűjteménye

CompLex Hatályos Jogszabályok Gyűjteménye 1 / 8 211.8.29. 12:4 Ingyenes, egbízható jogszabály szolgáltatás Magyarország egyik legnagyobb jogi A jogszabály ai napon (211.VIII.29) hatályos állapota tartaloszolgáltatójától A jel a legutoljára egváltozott

Részletesebben

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I.

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I. NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM aipari Mérnöki Kar Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet Dr Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I Sopron 9 javított kiadás TARTALOMJEGYZÉK I Bevezetés a mőszaki mechanika

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

ÉVES BESZÁMOLÓ 2013.

ÉVES BESZÁMOLÓ 2013. Hévíz és Vidéke TAKARÉKSZÖVETKEZET 8380 Hévíz, Széchenyi u. 66. Internet: www.heviztakarek.hu Cg.: 20-02-050059 ÉVES BESZÁMOLÓ 2013. Mérleg Eredmény-kimutatás Kiegészítő melléklet Könyvvizsgálói jelentés...

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30.

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. 1. Határozzuk meg, hány egybevágósága van egy négyzetnek! Melyek azonos jellegűek ezek között? Ez egy általános bevezető feladat tud

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99

Városok Viadala JUNIOR, 1990-91. sz, második forduló ... 99 JUNIOR, 990-9. sz, els forduló. Adott két pozitív valós szám. Bizonyítsuk be, hogy ha az összegük kisebb, mint a szorzatuk, akkor az összegük nagyobb 4-nél. (N. Vasziljev, 4 pont) 2. Egy szabályos háromszög

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Kisfeszültség villamosenergia-elosztó rendszer vezetékeinek méretezése (szükséges keresztmetszet meghatározása)

Kisfeszültség villamosenergia-elosztó rendszer vezetékeinek méretezése (szükséges keresztmetszet meghatározása) Kisfszütség viamosrgia-osztó rdszr vztéi mértzés (szüségs rsztmtszt mghatározása) vzté mértzés iiduásaor ismrt ftétzzü: a btápáás fszütségét (), az áti ívát fogyasztó áramfvétét (), a fogyasztóra jmz fázistéyzt

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

8. előadás EGYÉNI KERESLET

8. előadás EGYÉNI KERESLET 8. előadás EGYÉNI KERESLET Kertesi Gábor Varian 6. fejezete, enyhe változtatásokkal 8. Bevezető megjegyzések Az elmúlt héten az optimális egyéni döntést elemeztük grafikus és algebrai eszközökkel: a preferenciatérkép

Részletesebben

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése 3.1.1. Rugalmas elektroszórás 45 3.1.1. Rugalmas elektroszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése Aray, ikkel, szilícium és grafit mitákról rugalmasa visszaszórt elektrook eergiaeloszlását mértem

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Alulírott, mint a.., támogatást igénylő szervezet képviseletére jogosult személy a támogatást igénylő szervezet nevében az alábbiakról nyilatkozom:

Alulírott, mint a.., támogatást igénylő szervezet képviseletére jogosult személy a támogatást igénylő szervezet nevében az alábbiakról nyilatkozom: A támogatást igénylő adatai: név: székhely: képviselő neve: nyilvántartási szám: nyilvántartást vezető szerv neve: adószám: Az egyedi támogatás igénylőjének (jogi személy vagy jogi személyiséggel nem rendelkező

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

Települési vízgazdálkodás 1. 1. Évközi feladat. Vízszerzés aknakútból

Települési vízgazdálkodás 1. 1. Évközi feladat. Vízszerzés aknakútból Eötös József Főiskola Műszaki és Közgazdaságtudoányi Kar Vízellátási és Környezetérnöki Intézet Vízellátás-Csatornázás Szakcsoport Salaon Endre Környezetérnöki szak Vízgazdálkodás szakirány XJFQJA XIII.

Részletesebben

Tárgyév adata 2013. december 31. Tárgyév adata 2014. december 31. A tétel megnevezése

Tárgyév adata 2013. december 31. Tárgyév adata 2014. december 31. A tétel megnevezése A tétel megnevezése Tárgyév adata 2013. december 31. Tárgyév adata 2014. december 31. 1. Pénzeszközök 19 798 163 488 2. Állampapírok 411 306 73 476 a) forgatási célú 411 325 73 408 b) befektetési célú

Részletesebben

Dobos Imre. Készletgazdálkodás és visszutas logisztika

Dobos Imre. Készletgazdálkodás és visszutas logisztika Dobo Ie Kézletgazálkoá é vizta logiztika Bapeti ovi Egyete Lektoálta: D. eei Józef Dobo Ie ISBN 978-963-503-5-0 (olie) Kiaó: Bapeti ovi Egyete Bapeti ovi Egyete Gazálkoátoáyi Ka Kézletgazálkoá é vizta

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

1.3.1. Önismeretet támogató módszerek

1.3.1. Önismeretet támogató módszerek TÁMOP.1. -08/1/B-009-000 PÁLYÁZAT 1. SZ. ALPROJEKT 1..1. Öniseretet táogató ódszerek - Pályaoritációs ódszertani eszköztár - - vitaanyag- Készítette: Dr. Dávid Mária Dr. Hatvani Andrea Dr. Taskó Tünde

Részletesebben

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.

Részletesebben