9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA"

Átírás

1 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját. Láttu hogy vége dmezó vetortérbe egy leár trazformácó mátra mdg a leírá alapjául zolgáló báztól függ őt megfgyeltü azt hogy ez a mátr hogya változ meg ha egy má bázra térü át. Foto feladat tehát egy olya báz válaztáa amelybe a vzgált leár trazformácó mátra egyzerű zerezetű lez. zt a érdét taulmáyozva előzör a leár algebra egy legfotoabb a termézettudomáyoba zámo helye felbuaó problémájával a ajátérté-feladattal foglalozu. Legye K egy tet V e tet felett egy vetortér é LdV a vetortér egy leár trazformácója. A V vetortér egy U alterét az L leár trazformácóra ézve vará altére rövde L-vará altére evezzü ha mde U vetorra LU teljeül azaz ha feáll az LUU özefüggé. 9.. Példa: A geometra í G vetorterébe az orgó áthaladó egyeere voatozó tegelye türözé olya leár trazformácó amelye vará altere a türözé tegelye továbbá e tegelyre merőlege é az orgó áthaladó egyee végül maga az orgó. A geometra tér G vetorterébe az orgó áthaladó egyee mt tegely örül adott ráyú é adott zögű elforgatá olya leár trazformácó amelye vará altere egyrézt a forgatá tegelye márézt e forgátegelyre merőlege é az orgó áthaladó í végül maga az orgó. 9.. Példa: A való zámo R tete felett redezett zám -ee R vetorterébe az L: zabállyal értelmezett leépezé olya leár trazformácó amelye vará altere a... alaú vetoro altere az... - alaú vetoro altere továbbá ez utóbb altér valamey altere. 6

2 9.. Példa: Ha K egy tet K[] e tet felett -határozatlaú polomo vetortere aor a polomo D:K[] K[] f f ' derváláa olya leár trazformácó amelye a legfeljebb -ed foú polomo K [] altere D-vará altér. Az vará altér értelmezééből ylvávalóa övetez hogy a V vetortér trvál altere tehát {} é V ömaga a vetortér bármely L leár trazformácójáa L-vará altere. A leár trazformácó elméletébe ülölege zerepü va az - dmezó vará alteree. Ha V a K tet felett egy vetortér é U a V vetortér -dmezó altere aor U egyetle vetorral geerálható vagy létez olya V vetor hogy =V Állítá: Ha LdV a K tet felett V vetortér egy leár trazformácója aor az U= aor é ca aor lez L-vará altér ha létez olya K alár amellyel érvéye az L= özefüggé. Bzoyítá: Ha U= egy L-vará altér aor L vagy létez olya K alár hogy L= teljeül. Megfordítva ha y aor va olya K alár hogy y=. or felhazálva az L= özefüggét Ly=L = L= = adód ezért Ly vagy az U= egy L-vará altér. Az mét bzoyított állítá ézítette elő a övetező fogalma bevezetéét. Legye V a K tet felett egy vetortér LdV e vetortér egy leár trazformácója. Ha az L= egyelete valamely K alár mellett létez V megoldáa aor K alárt az L leár trazformácó ajátértéée az egyeletet elégítő vetort pedg az L leár trazformácó ajátértééhez tartozó ajátvetoráa evezzü. A fet 9.4. állítá alapjá ylvávaló hogy ha valamely V vetor elégít az L= egyeletet tehát a ajátértéhez tartozó ajátvetor aor mde K mellett az vetor elégít az egyeletet. z azt jelet hogy a ajátértéhez tartozó ajátvetor ezért ezeet a továb- 7

3 baba em tetjü ülöböző ajátvetoroa. Láthatju tehát hogy az L leár trazformácó -dmezó L-vará alterée öze -tól ülöböző vetora az L ajátvetora Állítá: Legye V a K tet felett vége dmezó vetortér dmv= B={e...e } a V vetortér egy tetzőlege de rögzített báza é LdV egy leár trazformácó amelye a B bázra voatozó mátra A=a j MK. A K alár aor é ca aor ajátértée az L leár trazformácóa ha érvéye a deta- = özefüggé ahol MK jelöl az előző fejezeteel özhagba a K tet felett -ed redű egyégmátrot. Bzoyítá: Az LdV leár trazformácóa az értelmezéből adódóa aor é ca aor lez a K alár egy ajátértée ha létez olya V vetor amelyre feáll az L= özefüggé. Ha az vetor B bázra voatozó oordáta ormátra B = =... aor a fet egyeletből a 6.. állítá alalmazáával az... A=... özefüggét yerjü. or a jobb oldalo álló fejezé átalaítáával... =... =... adód amt a fet özefüggébe helyetteítve majd azt átredezve... A- =... övetez amt rézletee felírva apju az 8

4 ... a a a a a a a... alaot. Vegyü ézre hogy ez vzot egy homogé leár egyeletredzer az... meretleeel amelye a 8.7 állítá alapjá aor é ca aor létez em trvál megoldáa azaz létez vetor ha az együtthatóból épezett mátr determáa vagy ha zzel állítáuat bebzoyítottu. deta- =. A fet bzoyítába felbuaó A- fejezée foto zerepe va a leár trazformácó elméletébe ezért célzerű a övetező fogalmaat bevezet. Legye AMK a K tet felett egy tetzőlege -ed redű mátr é MK jelölje a K felett -ed redű egyégmátrot. or a K alár paraméterrel épezett A- MK mátrot az A mátrhoz tartozó araterztu mátra evezzü. A araterztu mátr D deta- determáát amely a K paraméter egy -ed foú polomja az A mátr araterztu polomjáa evezzü. Végül a araterztu polomból yert D=detA- = egyeletet pedg az A mátr araterztu egyeletée hívju. 9

5 A 9.5. állítá bzoyítáából látható hogy egy L leár trazformácó ajátértéet bármely bázra voatozó mátrából megaphatju hze a ajátértée éppe e mátr araterztu egyeletée a K alaptethez tartozó gyöe. Ha tehát például az R való zámtet felett vetortérről va zó aor az L leár trazformácó araterztu egyeletée omple em való gyöe em tethető ajátértée. Mvel pedg a leár trazformácó ajátértéet a báz megválaztáától függetleül értelmeztü így a leár trazformácóhoz tartozó mátr araterztu egyeletée gyöe zté függetlee a báz megválaztáától. él azoba több gaz a övetező állítába megmutatju hogy emca a gyöö haem maga a araterztu polom függetle a báz megválaztáától Állítá: Legye V a K tet felett vége dmezó vetortér legye dmv= B={e...e } é B'={e '...e '} a V vetortér ét tetzőlege báza é LdV egy leár trazformácó. Ha A=mat B L é A'=mat B' L a leár trazformácó B lletve B' bázra voatozó mátra aor deta'- =deta- tehát az L leár trazformácó araterztu polomja a báz trazformácójával zembe vará. Bzoyítá: Ha SGLK a B B' átmeet mátra aor az L leár trazformácó B lletve B' bázra voatozó mátra özött a 6.4. állítá értelmébe az A'=S A S - özefüggé léteít apcolatot. or a 7.. állítá a 7.. övetezméy az =S S - é a fet A'=S A S - özefüggé felhazáláával deta'- =dets A S - - S S - =dets A- S - = =dets deta- dets - =dets deta- dets - =deta- adód é ezzel az állítát bebzoyítottu. A 9.6. állítá alapjá a továbbaba bezélhetü az L leár trazformácó araterztu polomjáról mt valamely bázra voatozó mátráa araterztu polomjáról hze beláttu hogy az függetle a báz válaztáától.

6 Feldézve a 6.4. állítá apcá a mátro özött bevezetett haolóág fogalmát mét eredméyüet úgy fogalmazhatju meg hogy haoló vadratu mátro araterztu polomja ezért ajátértéee halmaza megegyez Állítá: Legye L a K tet felett V vetortér egy leár trazformácója é K az L egy rögzített ajátértée. or eze ajátértéhez tartozó ajátvetoro U {V L= } halmaza a V egy alterét alotja. Bzoyítá: Ha yu aor L+y=L+Ly=+y=+y ha pedg ak aor La=a L=a = a így +y au amből a.8. állítá alapjá övetez hogy U egy altér. A fet állítába zereplő U alteret az L leár trazformácó ajátértééhez tartozó ajátalterée evezzü. Köye belátható hogy ee a ajátaltére a dmezója egyelő a ajátértéhez tartozó leára függetle ajátvetoro zámával Állítá: Legye L a K tet felett V vetortér egy leár trazformácója. Ha... r K az L leár trazformácó ülöböző ajátértée aor a redre hozzáju tartozó... r ajátvetoro leára függetlee. Bzoyítá: Az állítát a ajátértée záma zert telje ducóval bzoyítju. Az r= eetbe az állítá gaz hze így ömagába leára függetle redzert alot. Tegyü mot fel hogy r- ülöböző ajátértéhez tartozó egy-egy ajátvetor leára függetle ebből öveteztetü arra hogy r ülöböző ajátértéhez tartozó egy-egy ajátvetorból álló redzer lye. Idret módo tegyü fel hogy az... r leára özefüggő vetorredzer vagy az a +a +...+a r r =

7 leár ombácóba legalább egy pl. a K együttható em. or =L=La +a +...+a r r =a L +a L +...+a r L r = =a +a +...+a r r r adód. Ha levoju az így apott özefüggéből a dulá leár ombácó özefüggé r -zereét aor a =- r = a +a +...+a r r r - r a +a +...+a r r = =a - r + a - r a r- r- - r r- özefüggéhez jutu amelybe a fete zert vetor a - r együtthatója em hze a é r. ze zert az... r- vetoro leára özefüggőe voláa hze belőlü a vetort az utolóét apott özefüggé úgy állítja elő hogy együtthatója em így elletmodára jutottu. zzel állítáuat gazoltu. A mot bzoyított állítából azoal adód a 9.9. Követezméy: Ha a K tet felett -dmezó V vetortér LdV leár trazformácójáa ülöböző ajátértée va aor létez a vetortére az L ajátvetoraból álló báza. 9.. Állítá: Legye L a K tet felett -dmezó V vetortér egy leár trazformácója é B={e...e } a vetortér egy báza. Az L leár trazformácó B bázra voatozó A=mat B L mátra aor é ca aor dagoál ha a B báz mde vetora az L leár trazformácó ajátvetora. Bzoyítá: Az LdV leár trazformácó B={e...e } bázra voatozó mátrára a 6.. állítá zert érvéye az L e L e L e A e e e

8 özefüggé. bbe az özefüggébe az AMK aor é ca aor dagoál azaz j a j = j ha Le =a e am pedg éppe azt jelet hogy a B báz vetora az L leár trazformácó ajátvetora. A mot bzoyított állítából látható hogy mért olya léyege érdé a ajátértée lletve a ajátvetoro vzgálata. Ha ugya az - dmezó V vetortére értelmezett L leár trazformácóa va leára függetle ajátvetora aor az L egy tetzőlege bázra voatozó mátra haoló egy dagoál mátrhoz vagy a báz egy alalma trazformácójával dagoalzálható. Hagúlyoz ell azoba hogy az ülöböző ajátérté így az leára függetle ajátvetorból álló báz létezée elégége de em züége feltétele aa hogy az L leár trazformácó dagoalzálható legye. Máét fogalmazva: ha az L leár trazformácó araterztu egyeletée zámú ülöböző gyöe va aor a leár trazformácó bármely bázra voatozó mátra bztoa dagoalzálható a báz alalma trazformácójával; ha vzot a araterztu egyelete zámú gyöe özött va többzörö gyö általába még em lehet tud hogy va-e az L leár trazformácóa leára függetle ajátvetora. A K tet felett -dmezó V vetortér egy LdV leár trazformácójáa leára függetle ajátvetorát ha lye létez az L egy telje ajátvetor-redzerée evezzü. Az olya leár trazformácóat pedg amelyee létez telje ajátvetor-redzerü dagoalzálható leár trazformácóa hívju. Megjegyezzü hogy egy tetzőlege K tet felett -dmezó V vetortérbe értelmezett L leár trazformácó -edfoú araterztu egyeletée K tet felett megoldhatóága lletve megoldáa újabb problémáat vet fel. Az -edfoú araterztu egyelete ugya legföljebb megoldáa va a K tetbe ca a K tet algebra zártága eeté modhatju azt hogy multplctáoal együtt zámolva potoa gyö létez. Mvel a omple zámo C tete az algebra alaptétele zert algebralag zárt így a C felett -dmezó V vetortér egy L leár trazformácója araterztu egyeletée multplctáoal zámolva potoa zámú omple gyöe va. zért érvéye a övetező

9 9.. Állítá: A C omple zámtet felett -dmezó V vetortér leár trazformácóa multplctáoal együtt potoa omple ajátértée va. A fete alapjá látható hogy a való zámo R tete felett vetorterebe lehetége hogy egy leár trazformácóa c való ajátértée így ajátvetora c. Vegyü ézre hogy a 9.5. állítá bzoyítáa ugyaúgy végezhető el aor ha az L leár trazformácót em az egéz V vetortére haem aa ca egy tetzőlege L-vará alterére lezűítve tetjü. zért a 9.5. é a 9.. állítából övetez az alább 9.. Állítá: A C omple zámtet felett -dmezó V vetortére értelmezett L leár trazformácó valamey em zéru L-vará alterébe így pecála magába a V vetortérbe létez legalább egy ajátvetora. zutá mét teljee általáoa egy tetzőlege K tet felett V vetortérbe vzgálódu. Azt a érdét vetjü fel hogy ha egy L leár trazformácóa em létez telje ajátvetor-redzere vagy ha em dagoalzálható aor mlye bázba lez bzoyo értelembe legegyzerűbb a mátra é mlye a leár trazformácó mátráa ez a legegyzerűbb alaja. Legye V a K tet felett egy vetortér é legye LdV e vetortér egy leár trazformácója. A V vetortér zéruvetort em tartalmazó {... m } vetorredzerét az L leár trazformácó K alárhoz tartozó m hozúágú orda lácáa evezzü ha L = + - m teljeül ahol. Megjegyezzü hogy ha m aor a K alár az L leár trazformácó egy ajátértée amely az ajátvetorhoz tartoz megfordítva az L mde ajátvetora a megfelelő ajátértéhez tartozó hozúágú orda láca tethető. Ha pedg = aor L = - m alapjá 4 L : L L... L

10 teljeül. Ha dv a V vetortér detu trazformácója aor az L leár trazformácó alárhoz tartozó orda láca egyúttal az L+m dv leár trazformácó +m alárhoz tartozó orda láca hze L+m =+m + - m egyeértéű az L = + - m özefüggéel. Specála az L leár trazformácó alárhoz tartozó orda láca azoo az L- dv leár trazformácó K alárhoz tartozó orda lácával. 9.. Állítá: Legye V a K tet felett egy vége dmezó vetortér é legye LdV e vetortér egy tetzőlege leár trazformácója. Tegyü fel hogy a V vetortér mde em zéró L-vará altere tartalmazza az L egy ajátvetorát. or a V vetortérbe létez olya báz amely az L orda lácaa dzjut egyeítée. Bzoyítá: Állítáuat a V vetortér =dmv dmezója zert telje ducóval bzoyítju. Ha dmv= aor a V vetortére létez {e} e egy vetorból álló báza vagy V=e. or a tetzőlege LdV leár trazformácóhoz Lee alapjá létez olya K alár hogy Le=e teljeül. A V vetortér tetzőlege vetora egyértelműe állítható elő =e alaba ezért L=Le= Le= e= e= = vagy mot a V vetortér mde leár trazformácója az detu trazformácó alárzoroa. e az e a ajátértéhez tartozó ajátvetora így az {e} báz az L= tetzőlege leár trazformácó alárhoz tartozó hozúágú orda láca. Az = eetbe tehát gaz az állítá. Tegyü fel ezutá hogy állítáu mde az =dmv dmezóál alacoyabb dmezójú K felett vetortérbe gaz ebből dulva mutatju meg hogy az állítá érvéye az -dmezó V vetortérbe. Ha az LdV leár trazformácó alaú ahol K egy rögzített alár pedg a V vetortér detu trazformácója aor L= = = érvéye mde V vetorra. zért mde V az L= leár trazformácó ajátértéhez tartozó ajátvetora vagy a V valamey báza az L ajátvetoraból áll amelye ülö-ülö az L leá- 5

11 r trazformácó alárhoz tartozó hozúágú orda láca. A V vetortér L= alaú leár trazformácóra tehát gaz az állítá. Legye ezutá LdV olya tetzőlege leár trazformácó amely em alárzoroa az dv detu trazformácóa. Feltevéü zert létez az L leár trazformácóa egy vv v ajátvetora tegyü fel hogy Lv= v tehát a v ajátvetor a K ajátértéhez tartoz. Tetü mot az M L- dv leár trazformácót amely a fete zert bztoa ülöböz az O:V V zéru leár trazformácótól. Legye U ImM é NdU az M leár trazformácó U altérre való lezűítée. Mvel vv az L trazformácó ajátértéhez tartozó ajátvetora ezért Mv=L- v=lv-v= vagy vkerm övetez. De v így dmkerm ezért az 5.7. állítá alapjá dmu=dmimm=dmv-dmerm - azaz m dmu< teljeül. Az U vetortér egy tetzőlege U' N-vará altere N értelmezée folytá a V vetortér M-vará altere egybe. Az L=M+ előállítá felhazáláával tetzőlege U' vetorra 6 L=M+=M+ adód mvel M U' így LU' teljeül. Láthatju tehát hogy az U' L-vará altér a V vetortérbe. Ha U' egy em zéru N-vará altér az U vetortérbe aor a fete zert U' em zéru L-vará altér a V vetortérbe így állítáu egy feltétele zert U' tartalmazza az L egy u ajátvetorát. Ha K az L trazformácó u ajátvetorához tartozó ajátérté aor Mu=L-u=Lu-u=u-u=- u így az u ajátvetora az M leár trazformácóa őt uu' folytá Nu=- u teljeül tehát u ajátvetora az N leár trazformácóa. zzel beláttu hogy az NdU olya leár trazformácó amely-

12 e mde em zéru N-vará altere tartalmazza az N egy ajátvetorát. Iducó feltevéü zert eor létez az U vetortérbe egy olya B báz amely az N orda lácaa dzjut egyeítée. Legyee B { e e... e } r a B bázba zereplő orda láco tegyü : m fel hogy B az N trazformácó K ajátértééhez tartoz r. Az általáoág megzorítáa élül feltehetjü hogy = ha d é ha >d. Köye belátható hogy B r az M orda láca egybe őt az L=M+ előállítát felhazálva Le j =M+ e j =Me j + e j = e j +e j- +e j = +e j +e j- r j m adód vagy B az L trazformácóa a + ajátértéhez tartozó orda lácáa tethető. Így a B az L leár trazformácó orda lácáa dzjut egyeítéeét felfogható. zutá az U vetortér B bázát egézítjü a V vetortér egy B bázág. Ha d aor e U ImM ezért va olya e V vetor amelyre m M e m e m teljeül. Márézt d eeté = ezért Me = e += tehát e KerM d teljeül. Mvel {e e...e d }B így egy leára függetle vetorredzer a KerM magtérbe ezért a 4.. állítá zert egézíthető az f f...f q vetoroal a KerM bázág. or q+d=dmkerm=dmv-dmimm=-dmu=-m vagy érvéye a q+d=-m özefüggé. elölje B V azt a vetorhalmazt amely tartalmazza a B báz valamey vetorát az e d vetoroat végül az f j j q vetoroat má m vetort pedg em. Látható hogy a B vetoraa záma m+d+q=m+d+ +-m-d= lez felhazálva az mét yert özefüggét. Megjegyezzü hogy B az M leár trazformácó r+q zámú orda lácáa dzjut egyeítée. ze a láco a B báz r zámú B láca d m 7

13 eeté egézítve az e m vetorral valamt Mf j = j q alapjá a q zámú {f j } hozúágú orda lác. Megmutatju hogy B a V vetortér egy báza amhez a fete alapjá elegedő belát a B =V egyelőéget. Legye W B. Mvel e f j W d j q ezért KerM= =e e...e d f f...f q W így KerM w =KerM teljeül ahol M w jelöl az MdV leár trazformácó WV altérre való lezűítéét. zutá belátju hogy ImM w =ImM teljeül. Valóba W altere a V vetortére így ImM w em lehet bővebb mt ImM tehát érvéye az ImM w ImM özefüggé. Megfordítva az ImM w ImM gazoláához előzör megmutatju hogy az U=ImM altér B bázáa valamey e j r j m vetorához létez olya a j W vetor hogy Ma j =M w a j =e j teljeül. Ha d aor a orább megállapítáa zert Me j+ = e j+ +e j =e j j m így a j e j+ W válaztáal elértü céluat. Ha >d aor j zert telje ducóval bzoyítju a megfelelő tulajdoágú a j W vetoro létezéét. Az >d eetbe é Me = e ezért M e e tehát az a e válaztáal a j= eetbe célhoz értü. Tegyü fel hogy egy j<m eeté va olya a j W hogy Ma j =e j gaz. or Me j+ = e j+ +e j özefüggéből dulva az ducó feltevé felhazáláával Me j+ -Ma j = e j+ adód amből alapjá övetez. Mot j e j+ = M e a a j a : e j j W j válaztáal állítáuat gazoltu. Ha ezutá a tetzőlege yu vetor a B bázba az y r m j y j e j alaba írható fel aor tetü a W altér 8

14 9 m j j j r y a vetorát. A fete zert eor y e a a m j m j j j r j j r m j j j r w y M y y M M M ezért mde yu=imm vetorhoz létez olya W hogy M w =y vagy ImM w ImM a már fet gazolt fordított ráyú tartalmazából együttee ImM w =ImM övetez. or az 5.7. állítá felhazáláával a már bzoyított KerM w =KerM é ImM w =ImM özefüggéeből dmv=dmkerm+dmimm= =dmkerm w +dmimm w =dmw övetez ám W a V altere így a 4.8. állítá alapjá W=V teljeül. A B vetorredzer tehát valóba a V vetortér egy báza az MdV leár trazformácó r+q zámú orda lácáa dzjut egyeítée. Az L=M+ özefüggéből végül a orda lác fogalma utá tett egy megjegyzé alapjá özvetleül adód hogy a B báz ugyaaor az LdV leár trazformácó r+q zámú orda láca dzjut egyeítéée tethető ezzel állítáuat maradétalaul gazoltu. Legye K egy tetzőlege tet K egy alár é mz egy poztív egéz zám. elölje a K tet zéruelemét pedg a K tet egyégelemét. or a : K m M m

15 alaú mátrot a alárhoz tartozó m-ed redű orda-féle bloa evezzü. Má zóval a orda-féle blo főátlójába végg ugyaaz a K alár áll; özvetleül a főátló alatt vele párhuzamoa cupa -e helyezed el; a mátr mde má eleme pedg. A orda-féle blooból felépülő K M r r r m m m r mátrot -ed redű orda-féle mátra evezzü. Itt a főátló meté a K tet bzoyo em züégéppe ülöböző elemehez tartozó é em feltétleül ülöböző redű m r orda-féle bloo álla a mátra a blooo ívül valamey tovább ompoee végül r é m +m +...+m r = teljeül. Megjegyezzü hogy értelmezééből adódóa mde orda-féle blo egybe orda-féle mátr. Vegyü ézre továbbá hogy az -ed redű mátr-

16 o ugyaaor orda-féle bloo ezért mde dagoál mátr olya orda-féle mátr amelybe valamey orda-féle blo -ed redű. A K tet felett vége dmezó V vetortér L leár trazformácójáról azt modju hogy orda-féle ormálalara hozható ha a V vetortérbe létez olya báz hogy az L trazformácóa e bázra voatozó mátra orda-féle mátr Állítá: Ha L a K tet felett vége dmezó V vetortér olya leár trazformácója hogy a V vetortér mde em zéró L-vará altere tartalmazza az L egy ajátvetorát aor az L orda-féle ormálalara hozható. Bzoyítá: Feltétele mellett a 9.. állítá zert létez a V vetortérbe egy olya B báz amely az L leár trazformácó orda lácaa dzjut egyeítée. Tegyü fel hogy dmv= legye B e e... e } r a B { m bázba zereplő r zámú orda lác továbbá B tartozzo az L leár trazformácó K ajátértééhez. or érvéyee az Le j = e j +e j- r j m é m +m +...+m r = özefüggée. e felhazáláával özvetleül adód hogy mat B L m m m r r M K lez az L leár trazformácó B bázra voatozó mátra amely a m M m K r alaú orda blooból áll.

17 9.5. Állítá: Ha L a K tet felett vége dmezó V vetortér olya leár trazformácója hogy a V mde em zéró L-vará altere tartalmazza az L egy ajátvetorát é AMK az L trazformácóa a V egy tetzőlege bázára voatozó mátra aor létez olya SGLK vertálható mátr hogy az S A S - MK egy orda-féle mátr. Bzoyítá: A 9.4. állítá felhazáláával feltételeből övetez hogy létez a V vetortérbe egy olya B báz amelybe az L leár trazformácó =mat B L mátra orda-féle mátr. Ha B' a V vetortér egy tetzőlege báza A=mat B L az L trazformácóa e B' bázra voatozó mátra é SGLK a B' B átmeet mátr aor a 6.4. állítá zert érvéye a =S A S - özefüggé. zzel állítáuat gazoltu. zutá egy olya eljárát mutatu be amelye egítégével meghatározhatju egy orda-féle ormálalara hozható leár trazformácó orda-féle mátrát. Legye V a K tet felett egy -dmezó vetortér LdV e vetortér egy leár trazformácója é AMK eze leár trazformácóa a vetortér egy tetzőlegee válaztott de rögzített bázára voatozó mátra. lő feladatu az hogy az A mátrból dulva a leár trazformácó varáat határozzu meg vagy olya fejezéeet amelye cupá magától az L trazformácótól függe. Má zóval az A mátr ompoeee olya függvéyet ereü amelye a báz trazformácójával zembe varáa tehát amelye haoló mátro eeté megegyeze. A 9.6. állítába megmutattu hogy az A mátr D=detA- araterztu polomja em változ ha az A mátrot egy hozzá haoló mátrzal helyetteítjü. Mot megalotju az varáo egy orozatát amely magába foglalja a araterztu polomot. z a orozat egy telje vará-redzer abba az értelembe hogy ha ét mátrra ez az vará-redzer megegyez aor a ét mátr haoló. Tudju hogy az AMK mátr K alár paraméterrel épezett A- MK araterztu mátráa -ed redű aldetermáa a paraméter polomja. Tetü valamely rögzített red eeté

18 A- öze lye -ed redű aldetermáát mt a polomját épezzü eze polomo legagyobb özö oztóját. A polomo elméletéből mert hogy ez a legagyobb özö oztó mdg létez é egy em K tetbe levő zorzótól eltetve egyértelműe meghatározott. elölje D eze özül azt amelye ezdő együtthatója. Ha pedg az -ed redű aldetermáo a relatív prím polomja aor legye D =. A D polomot az A mátr -ed determáoztójáa evezzü. Látható hogy D =D=detA- maga az A mátr araterztu polomja. A továbba orá megmutatju hogy valamey D a báz trazformácójával zembe vará. Már mot megjegyezzü hogy D - polom oztója a D poloma. Valóba D - értelmezée zert D valamey --ed redű aldetermáa oztható a D - polommal. Ha mot a D determát a 7.8. állítá felhazáláával valamely ora zert fejtjü aor olya tagú özeget yerü amelye mde tagja így az özeg oztható a D - polommal. Teljee haolóa látható be hogy D oztója a D + poloma Lemma: Ha CGLK é AMK aor az A- araterztu mátr a C A- mátr valamt az A- C mátr -ed redű aldetermáaa legagyobb özö oztó megegyeze. Bzoyítá: C A- mátr ora az A- oraból a C mátr ompoeevel mt a paramétertől függetle együtthatóal épezett leár ombácó. Valóba ha A- =a j C=c j é C A- = a j ' aor a ' c a j m m vagy a C A- mátr -ed oráa eleme az A- mátr oraa a c m együtthatóal épezett leár ombácó. Így a C A- mátr bármely aldetermáát felírhatju mt az A- mátr bzoyo alár együtthatóal ellátott aldetermáaa özegét. zért az A- mátr adott redű aldetermáaa bármely oztója ozta fogja a C A- mátr ugyalye redű aldetermáat. Mvel a C A- mátrból az A- mátrot a C - mátrzal balról zorozva mj

19 yerhetjü ezért fordítva gaz hogy a C A- mátr adott redű aldetermáaa mde oztója az A- mátr ugyalye redű aldetermáaa oztója. Tehát az A- é a C A- mátro adott redű aldetermáaa özö oztó megegyeze ezért a legagyobb özö oztó egyelőe. Az A- é az A- C mátrpárra az állítá teljee haolóa gazolható Lemma: Ha A é A'MK haoló mátro aor D determáoztó megegyeze. Bzoyítá: Ha A A' haoló mátro aor a 6.4. állítá zert létez olya CGLK mátr hogy A'=C A C - teljeül. A 9.6. lemma alapjá az A- é az C A- mátr -ed redű aldetermáaa legagyobb özö oztó megegyeze. Ugyaeze lemma zert megegyeze az A'- = C A C - -C C - =CA- C - é az A'- C=C A- C - C=C A- C - C=C A- mátr -ed redű aldetermáaa legagyobb özö oztó. Tehát az A é az A' mátrból épezett D polomo mde eeté ugyaazo. Mvel egy új bázra való áttéréél a leár trazformácó mátrát a 6.4. állítá zert egy hozzá haoló mátr váltja fel így a 9.7. lemmából azoal adód a 9.8. Állítá: Legye L a K tet felett -dmezó V vetortér egy leár trazformácója é AMK az L trazformácóa a V egy adott bázára voatozó mátra. Aor az A- MK araterztu mátr D determáoztó em függee a báz megválaztáától tehát a báz trazformácójával zembe varáa. 4

20 ze állítá alapjá a továbbaba bezélhetü az L leár trazformácó -ed determáoztójáról mt valamely bázra voatozó mátráa -ed determáoztójáról hze láttu hogy az függetle a báz megválaztáától. Számítu ezutá a orda-féle ormálalara hozható LdV leár trazformácóhoz tartozó D determáoztóat. A 9.8. állítá értelmébe eze meghatározááál a leár trazformácó bármely bázra voatozó mátrát alapul vehetjü. Ha tehát L olya leár trazformácó amely a 9.. állítá feltételee megfelel aor válazthatu olya bázt amelybe a trazformácó mátra orda-féle mátr lez. lőzör határozzu meg valamey D determáoztót egy - ed redű M K orda-féle blo eeté. Azoal látható hogy D = - ha töröljü elő orát é utoló ozlopát aor olya --ed redű mátrot apu amelybe a főátló meté -ee álla az átló alatt pedg mdeütt található. Így D - = ebből már övetez hogy D - =... = D = tehát a mátrra a D determáoztó orozata: -... alaú. zutá egy térővel megmutatju hogy ha B M K é B M K aor a 5

21 B B B M K alaú mátr zérutól ülöböző m-ed redű aldetermáa d d d alaúa ahol d a B mátr m -ed redű aldetermáa m m m m m d pedg a B mátr m -ed redű aldetermáa é m +m =m. Valóba ha válaztju az elő or özül azoat amelye a d m aldetermába zerepele é a 7.7. állítá felhazáláával felbotju e oro zert fejtve az aldetermát aor azoal láthatju hogy d m értée vagy vagy pedg előállítható d d alaba. m m Megjegyezzü hogy a B mátr valamely zérutól ülöböző -ed redű d aldetermáa állhat például ca B ompoeeből. Az lye aldetermát felírhatju a fet zorzat alaba: d =d d é d =. Köye belátható hogy a fetvel aalóg ézrevétel tehető aor ha a B mátr ettőél több B bloot tartalmaz. Máodzor határozzu meg e fet ézrevétel felhazáláával egy AMK orda-féle mátr determáoztót. Tegyü fel hogy az A mátr r zámú orda-féle bloból épül fel amely bloo a... K r ülöböző alárohoz tartoza. Tartozzé továbbá a K alárhoz p zámú orda-féle blo legye eze bloo redje em övevő orredbe... j p -. Vegyü ézre hogy eor érvéyee a j j p p r é j p j özefüggée. A fete zert tehát az A mátr legye 6

22 7 K M p p A zerezetű. or az A- araterztu mátr a főátlója meté elhelyezedő r zámú bloból épül fel amelye j j alaúa ahol K j M j az j -ed redű egyégmátr tehát A- = p p p p amelye egy bloja K M j j j

23 alaú. Fgyelembe véve a B mátrra tett fet ézrevételüet az -ed determáoztó lez. D det A det det... det p p... det p... p p p p p Számítu ezutá a D - --ed determáoztót! Mvel q q D - a D polom oztója ezért D... alaú ahol q... p teljeül. lőzör határozzu meg a q tevő értéét! Vegyü ézre hogy az A- mátr egy tetzőlege zérutól ülöböző --ed redű aldetermáa bzoyo 8 j j blooból válaztott alalma redű aldetermáo zorzata. Mthogy eze aldetermáo redjee özege - eze aldetermáo özül potoa egye va eggyel ebb redje mt a megfelelő blo redje vagy ca egy lye aldetermá yerhető az A- mátr megfelelő blojából egy ora é egy ozlopa a törléével. Korábba már láttu hogy egy ülöálló bloból alalma or é ozlop törléével olya aldetermát aphatu amelye értée. zért az -- ed redű aldetermát válazthatju úgy hogy az egy bloból válaztott aldetermá értée míg a többe a megfelelő bloo determáaval egyelő. e alapjá vlágo hogy ha olya aldetermát ereü amely a - téyezőt a lehető legalacoyabb hatváyo tartalmazza aor elegedő egy ort é egy ozlopot abból a bloból töröl amely a alárhoz tartoz é redje a legagyobb vagy. Így tehát az --ed redű aldetermáo legagyobb özö oztója vagy a D - --ed determáoztó a - téyezőt a q... p tevő tartalmazza. hhez haolóa az --ed redű aldetermáo özül a - téyezőt az az aldetermá tartalmazza a legalacoyabb hatváyo amelyet úgy a-

24 pu hogy törlü egy-egy ort é egy-egy ozlopot a alárhoz tartozó é redű blooból. Így tehát D - a - téyezőt az... -ed hatváyo tartalmazza é így tovább. Végül a 4 p p D p... D D determáoztó már egyáltalá em tartalmazzá a - téyezőt. Teljee haolóa határozható meg hogy mlye hatváyo tartalmazza a D - determáoztó a téyezőet. zzel bebzoyítottu hogy gaz a övetező 9.9. Állítá: Legye L egy orda-féle ormálalara hozható leár trazformácó a K tet felett -dmezó V vetortérbe. Ha AMK az L egy orda-féle mátra amely r zámú orda-féle bloból épül fel é eze a... K ülöböző alárohoz tartoza továbbá a alárhoz p zámú orda-féle blo tartoz végül e bloo redje em övevő orredbe... j p aor az A mátr determ- áoztó: p j j D D D p p p p... ahol D determáoztótól ezdve a - téyező valamely hatváya p helyett zerepel. bből az állítából özvetleül adód hogy abba a pecál eetbe ha =r p = r vagy ha az egye orda-féle bloohoz tartozó aláro md ülöböző aor az A mátr determáoztó: p p D... r é D D... D. r 9

25 Az L leár trazformácó determáoztót vzgálva már orábba láttu hogy a D oztója a D + poloma - özhagba a 9.9. állítába yert épleteel. or az D : D özefüggéeel értelmezett polomoat az L leár trazformácó lletve egy tetzőlege bázra voatozó A mátra vará fatoraa evezzü az -ed vará fatort pedg az L lletve az A mmálpolomjáa hívju. Az vará fatorora a 9.9. állítá alapjá érvéye a 9.. Állítá: Legye L egy orda-féle ormálalara hozható leár trazformácó a K tet felett -dmezó V vetortérbe. Ha az LdV D determáoztó a 9.9. állítába zereplő épleteel írható le aor e leár trazformácó vará fatora Láthatju hogy az -... vará fatoro a báz trazformácójával zembe varáa é megadáu a orda-féle ormálalara hozható leár trazformácó orda-féle mátrát teljee meghatározza. A aláro a mmálpolomból épezett = algebra egyelet gyöeét adóda az egyelet megoldhatóága eeté egy adott alárhoz tartozó bloo... p redje vzot azoal a hatváytevőel egyelő amelyee a - téyező az -... vará fatoroba előfordul. Megállapodu abba hogy ét azoo redű orda-féle mátrot em tetü ülöbözőe ha azo cupá a orda-féle blooa a főátló meté való elhelyezedée orredjébe tére el egymától. A fete alapjá már tudu rtérumot ad egy leár trazformácó dagoalzálhatóágára.

26 9.. Állítá: Ha L egy orda-féle ormálalara hozható leár trazformácó a K tet felett -dmezó V vetortérbe aor az L leár trazformácó dagoalzálhatóágáa züége é elégége feltétele az hogy az L vará fatoraa ca egyzere zéruhelye legyee. Bzoyítá: Valóba az L vará fatora... zéruhelyee multplctáa meghatározza az L orda-féle mátrába zereplő bloo redjet. Ha tehát az vará fatoroa ca egyzere zéruhelye vaa aor ez azt jelet hogy a bloo md elő redűe vagy az L orda-féle mátra dagoál lez má zóval az L egy dagoalzálható leár trazformácó. A fete brtoába rtérumot fogalmazhatu meg azoo redű mátro haolóágára. 9.. Állítá: Ha K egy tet é ABMK a ét olya -ed redű mátr hogy A haoló egy A MK é B haoló egy B MK orda-féle mátrhoz aor az A é B haolóágáa züége é elegedő feltétele az hogy vará fatora megegyezzee. Bzoyítá: A 9.7. lemmába bebzoyítottu hogy haoló mátro D determáoztó megegyeze. or azoba meg ell egyezü a determáoztó háyadoaét értelmezett vará fatoroa. Megfordítva ha A é B vará fatora megegyeze aor A = B hze az vará fatoro a orda-féle mátrot teljee meghatározzá. or tehát A é B ugyaahhoz a mátrhoz haoló így a haolóág traztív tulajdoága folytá A é B haoló mátro. Mot bebzoyítju hogy ha egy leár trazformácó orda-féle ormálalara hozható aor ez egyértelműe meghatározott. 9.. Állítá: Ha L a K tet felett -dmezó V vetortér egy orda-féle ormálalara hozható leár trazformácója aor az L orda-féle mátra egyértelműe meghatározott.

27 Bzoyítá: Az L leár trazformácó ülöböző bázohoz tartozó mátra a 6.4. állítá alapjá haoló. Mvel haoló mátro vará fatora megegyeze az vará fatoro pedg az L leár trazformácó ordaféle mátrát egyértelműe meghatározzá így állítáuat bebzoyítottu. A fejezet tárgyaláa orá láthattu hogy egy tetzőlege tet felett vége dmezó vetortér valamely leár trazformácója em feltétleül hozható orda-féle ormálalara. lért eredméye azoba bztoítjá hogy a omple zámtet mt algebralag zárt tet felett -dmezó vetortér valamey leár trazformácója orda-féle ormálalara hozható Állítá: A omple zámo C tete felett -dmezó V vetortér mde L leár trazformácója orda-féle ormálalara hozható amely ormálala egyértelműe meghatározott. Továbbá mde AMC omple ompoeű mátr haoló valamely MC orda-féle mátrhoz má zóval mde C felett -ed redű mátrhoz létez olya SGLC vertálható mátr hogy az S A S - MC egy orda-féle mátr. Bzoyítá: A 9.. állítába láttu hogy a C omple zámtet felett -dmezó V vetortére értelmezett mde L leár trazformácóa valamey em zéró L-vará alterébe található ajátvetora. or a 9.. állítá zert létez a V vetortérbe olya báz amely az L orda lácaa dzjut egyeítée. zért a 9.4. állítá alapjá L orda-féle ormálalara hozható amely pedg a 9.. állítá folytá egyérteműe meghatározott. A C tet felett mde AMC mátr felfogható úgy mt valamely LdV leár trazformácó alalma bázra voatozó mátra amely a 9.5. állítáa megfelelőe haoló egy MC orda-féle mátrhoz.

28 Végül egy züége é elégége feltételt említü meg amely azt bztoítja hogy egy K tet felett -dmezó V vetortér valamely L leár trazformácója mor hozható orda-féle ormálalara Állítá: A K tet felett vége dmezó V vetortér L leár trazformácója aor é ca aor hozható a K tet felett orda-féle ormálalara ha az L trazformácó araterztu egyeletée valamey gyöe a K tet eleme. Megjegyezzü hogy az L leár trazformácóa a K tet felett ordaféle ormálalara törtéő hozáa azt jelet hogy ha AMK az L trazformácóa a V egy tetzőlege bázára voatozó mátra aor létez olya a K tet ompoeeből felépülő SGLK átmeet mátr hogy a =S A S - MK egy orda-féle mátr. A leár trazformácó ormálalajával foglalozó fejezetüet ét dolgozott feladattal zárju. Az egy a ajátérté-feladattal a má pedg a orda-féle ormálalaal foglaloz Példa: Tetü a való redezett zámhármao R terét az e e e vetoroból álló B={e e e } tadard bázal. Határozzu meg aa az L:R R leár trazformácóa a ajátértéet é ajátvetorat amelye a B bázra voatozó mátra 4 A mat B L M R. Vzgálju meg az L leár trazformácó dagoalzálhatóágát. Az L leár trazformácó ajátértéet a 9.5. állítá felhazáláával a D det A 4

29 4 araterztu egyelet = =- é = gyöe zolgáltatjá. A = ajátértéhez tartozó ajátaltér az 4 T A egyeletredzer megoldáhalmazaét adód. A Gau-féle eljárát az egyeletredzer bővített mátrára alalmazva a 4 mátrot yerjü amből a redzer megoldáhalmazaét t t t t L Ker R adód. bből t= eeté yerjü az f =- ajátvetort amelyre KerL- = f teljeül. Teljee haoló eljáráal aphatju meg a =- ajátértéhez tartozó t t t t L Ker R ajátalteret amelye a t=- eeté adódó f =- ajátvetor egy geerátora végül a = ajátértéhez tartozó ajátaltér KerL- =

30 5 ={tt tr} ee t= eeté yerhető f = ajátvetor egy geerátora. Vegyü ézre hogy az {f f f } egy leára függetle vetorredzer. Valóba az f + f + f = előállítából adódó homogé leár egyeletredzer determáa 6 így a Cramer-zabály zert egyetle megoldáa az = = = trvál megoldá. A B'={f f f } vetorredzer tehát az R egy báza amelybe az L leár trazformácó A'=mat B' L mátra a 9.. állítá alapjá dagoál lez. Valóba az S:B B' SGLR átmeet mátr S amelye verze 6 6 S továbbá 4 ' S A S A 6 6 = láthatju hogy a főátlóba az L ajátértée jelee meg.

31 9.7. Példa: Tetü a redezett omple zámhármao C vetorterét egy B rögzített bázal. Határozzu meg aa az L:C C leár trazformácóa a orda-féle ormálalaját amelye a B bázra voatozó mátra A mat B L M C. gyzerű zámítáal belátható hogy az A mátr deta- araterztu polomja aráyoág téyezőtől eltetve D =-- amely egybe a. determáoztó. Képezve ezutá az A- mátr öze máodredű aldetermáát öyye látható hogy D = ezért D = teljeül. Így az vará fatoro orba =-- = ahoa már özvetleül adód hogy az A mátr vele együtt az L leár trazformácó orda-féle ormálalaja: L M C. Legye adott ezutá a redezett omple zámégyee C 4 vetortere egy B' rögzített bázal. Kereü meg aa az M:C 4 C 4 leár trazformácóa a orda-féle ormálalaját amelye B' bázra voatozó mátra A' mat B' M M 4 C. 4 6

32 Az előbb ooodá mtájára előzör az A' mátr deta'- 4 araterztu polomját határozzu meg amely aráyoág téyezőtől eltetve megadja a 4. determáoztót : D 4 =- 4. zutá épezzü az A'- 4 mátr valamey harmadredű aldetermááa legagyobb özö oztóját yerjü D =-. determáoztót majd a máodredű aldetermáo legagyobb özö oztójaét D =- adód végül azoal látható hogy D =. A determáoztóból orba meghatározhatju az vará fatoroat: 4 =- =- =- amelye felhazáláával már felírhatju az A' mátr vele együtt az M leár trazformácó orda-féle ormálalaját: M M 4 C. Fgyeljü meg hogy e példa mdét mátra már a Q racoál zámtet felett ormálalara hozható. Feladato:. Határozzu meg az R vetortére az alterére törtéő merőlege vetítéée mt leár trazformácóa ajátértéet é ajátalteret!. Kereü meg az R vetortér altérre való tegelye türözée mt leár trazformácóa ajátértéet é ajátalteret!. Legye {e e e } az R vetortér tadard báza. Határozzu meg aa az L:R R leár trazformácóa a ajátértéet é ajátvetorat amelye e bázra voatozó mátra a b c Vzgálju meg a dagoalzálhatóág érdéét! 7

33 8 4. Legye B a redezett omple zámhármao C vetorterée egy rögzített báza. Határozzu meg aa az M:C C leár trazformácóa a orda-féle ormálalaját amelye a B bázra voatozó mátra. 5 4 c b a 5. Bzoyítu be hogy a M a C é M C haoló mátro. 6. Hozzu orda-féle ormálalara a övetező omple ompoeű mátroat: 4 c b a.

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

Ftéstechnika I. Példatár

Ftéstechnika I. Példatár éecha I. Példaár 8 BME Épülegépéze azé éecha I. példaár aralojegyzé. Ha özeoglaló... 3.. Hvezeé...3.. Háadá....3. Hugárzá...6.. Háoáá....5. Szgeel axál hleadáához arozó ül áér....6. Bordázo vezeé.... Sugárzá...5.

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Jegyzet ELE, Iformata Kar Hegedős: Numerus Aalízs ARALOM Gép szám, hbá 3 Normá, egyelıtlesége 9 3 A umerus leárs algebra egyszerő traszformácó 6 4 Mátro LU-felbotása, Gauss-Jorda

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK 6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK A techikai fejlettég mai zívoalá az azikro motor a legelterjedtebb villamo gép, amely a villamo eergiából mechaikai eergiát (forgó mozgát) állít elő. Térhódítáát a háromfáziú váltakozó

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+

I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+ I ALAPFOGALMAK I BEVEZETİ Jelölése: K: véletle ísérlet, ω : elem eseméy, { : } Ω= ω : eseméytér, F Ω : eseméyalgebra, A F : eseméy, Ω F : bztos eseméy Mővelete eseméyeel: összegzés: A+B (halmazuó), szorzás:

Részletesebben

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée DR BENKŐJÁNO gátudoáy Egyete Gödöllő Mg Gépt Itézet gyoozgáú gépzeezete tevezéée foto lépée z egyelete, ezgéete üzeet bztoító

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

Kálmán-szűrés. Korszerű matematikai módszerek a geodéziában 2014.03.10.

Kálmán-szűrés. Korszerű matematikai módszerek a geodéziában 2014.03.10. Kálmánzűré Korzerű matemata módzere a geodézában 4.3.. A Kálmánzűré defnícója Olyan algortmu, amely valamely lneár dnamu rendzerben egzat övetezetét tez lehetővé, amely a rejtett Marovmodellhez haonló

Részletesebben

Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás és piaci erő. Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás. Modern piacelmélet

Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás és piaci erő. Termékdifferenciálás és piaci. Termékdifferenciálás. Modern piacelmélet Moder acelmélet Moder acelmélet Termékdfferecálá ELTE TáTK Közgazdaágtudomáy Tazék Sele Adre ELTE TáTK Közgazdaágtudomáy Tazék Kézítette: Hd Jáo A taayag a Gazdaág Vereyhvatal Vereykultúra Közota é a Tudá-Ökoóma

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

Numerikus módszerek 5. Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása

Numerikus módszerek 5. Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása Nmer módere 5. Köönége derencálegenlete nmer megoldáa Kedet é peremérté eladato A Eler-móder A Eler-móder avítáa Rnge-Ktta-módere Lneár tölépée módere Peremérté eladato máodrendű derencálegenletere Kedet

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

É Ü Ü ú ú Á Ú ű É ú Ö Ü É Ü Á ű Á Á ú ú ú É Á ú ű É Ö É Á Ú Á ú ú É É ű ű ű Á ű Á ú Á ű ű ű ú Á Á ű ú ú ú ű ű ú ű ú ű Á ÁÁ É Á Á Á ű ű ú Ü É ú ű ű ű ű ű ű Ú Ü ű ű ű ú ú ű ű É ú ű ű Á ú ű É ú Ü Ú Ú Ü Ű

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött

Részletesebben

A berendezkedés programja

A berendezkedés programja DÉLVIDÉK VISSZATÉRT A berendezkedés programja 1 9 4 1 k o r a t a v a s z á n H it le r t e r v e a S z o v j e t u n ió le r o h a - n á s á r a, a z is m e r t F a li B a r b a r o s s a e lő k é s z

Részletesebben

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat 2014. november 06. A közgazdaságtan játékelméleti megközelítései

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat 2014. november 06. A közgazdaságtan játékelméleti megközelítései Műzak folyamatok közgazdaág elemzée Előadávázlat 04. november 06. A közgazdaágtan átékelmélet megközelítée a Története: - Táraátékok elmélete (Zermelo - Neumann Jáno (mnmax-tétel, azaz mkor létezk megoldá

Részletesebben

Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny

Szakács Jenő Megyei Fizikaverseny Szaác Jenő Megyei Fiziavereny 05/06. tanév I. forduló 05. noveber 0. . Egy cillagdában a pihenő zobából a agaabban lévő távcőzobába cigalépcő vezet fel. A ét helyiég özött,75 éter a zintülönbég. A cigalépcő

Részletesebben

Ú Í Í í í ú Ő ü Ú É í í Ü ű ü ű í í í ű ü ú ü í ű ü ú ü ú ü ü ü ű ü Ú É í ú ü ü ü ú ü ü ú í ü ü ú ü í í ú ű í ú ű ü í í ü í Í í í ü í ú Ü Ú É í í í ü ü ü ú ú ü ü ú ü ü ú ú í í ű ü ü ü ű Á ü ú ű í í ü ü

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

É Ü É ÉÉ Ú ű ű É Á Á Á Á Á Á ű Á Á Á É Ú Ö ű ű É ű É ű Ú ű ű ű ű É Á ű ű Á ű ű ű Ü Ü Ú Ü ű ű ű Ú Ö Ó Ú ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú Ú Ö Á ű ű ű ű Ü ű Ü ű ű Ü ű ű Ü Ú Ú Ö ű Á Á ű ű ű Ú Ü Ü ű ű ű ű Ú Ú Ú ű Ü ű ű

Részletesebben

Független komponens analízis

Független komponens analízis Elektroiku verzió. Az eredeti cikk az ElektroNET (ISSN: 9-705X) 00 évf. 3 zám, 0 oldalá jelet meg. Függetle kompoe aalízi A függetle kompoe aalízi (Idepedet Compoet Aalyi, ICA) egy vizoylag új jelfeldolgozái

Részletesebben

ξ i = i-ik mérés valószínségi változója

ξ i = i-ik mérés valószínségi változója EGYENESILLESZTÉS: A LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERE Kíérleteket elvégeztük. Dolgozzuk fel az adatokat! Cél: mért változók (T, p, I, U ) között kapcolat felderítée. 1. zóródá dagram {x, y } ábra. kvattatív

Részletesebben

Ü ű Ú Ö Ü É É ű É Ö Ü É ű Á ű Ú Ú Ú Á Á ű Á É É Ú Á ű Ó Ó Á Ú Á ű Ü Á Ú Ú Á ű Ú Á Ú Á Á Ú Ú Á Á Á Á Á É Ú Ú ű Á Á Ú Á Ú Á É Á É É Á Ú Ú É Á Á Á É É Á Á É Á É Á É Ü Ú Ó Á Á É Á ű Ü Á Ú Á Ü Á É É ű ű Á Ú

Részletesebben

É Ó Í Ó Í ű Í Í Í Í É Í Ö Á ű Á Á Á Í Í É Á Á Á Ö Á Á Ö Ö Ö É É Ö Ó Í Í Í Ö Ü Í ű Ö Ö Í Í Í Í É Í Í Ú Ö Ö Í Ö É ű ű Á Á Á Í Á É Á Ú Í Í Ó Í ű Í Í Í ű Ó ű űű Í Í Ö Í Í Í Í Ü ű Ó Í Ó Í Í É Á ű Ó Í ű ű Í

Részletesebben

Varga Bal a mk. század os A TV2-117A TÍPUSÚ HELIKOPTERHAJTÖNO KOMPRESSZORÁNAK VIZSGÁLATA

Varga Bal a mk. század os A TV2-117A TÍPUSÚ HELIKOPTERHAJTÖNO KOMPRESSZORÁNAK VIZSGÁLATA Varga Bal a mk. zázad o TV2-117 TÍPUSÚ HELIKOPTERHJTÖNO KOMPRESSZORÁNK VIZSGÁLT Eb bon a cikkben zeretném f o l y t a t n i az 1001/1. zámban m e g je le n t, a h a jtó m ű -v iz g á la tr ó l z ó ld tanulmányom,

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsor Fizika. Első rész. 1. Melyik sebesség-idő grafikon alapján készült el az adott út-idő grafikon? v.

Középszintű érettségi feladatsor Fizika. Első rész. 1. Melyik sebesség-idő grafikon alapján készült el az adott út-idő grafikon? v. Középzinű éreégi feladaor Fizika Elő réz 1. Melyik ebeég-idő grafikon alapján kézül el az ado ú-idő grafikon? v v v v A B C D m 2. A gokar gyoruláa álló helyzeből12. Melyik állíá helye? m A) 1 ala12 a

Részletesebben

Í ő ő ő ö ü ű ö ö ö ö ő ő ő ö ö ő ü ő ő ő ú ő ő ü ö ő ő ö ö ö ő ü ö ö ő ő ü ő ü ő Ö ő ö ö ő ő ö ő ő ü ö ú ő ö ő ő ö ő ö ü ő ü ő ő ő ü ö ő ő ö ő ö ö ü ő ő ü ö ő ő ü ö ö ö ü Ö Ö ő ö ű ő ő ö Ö Ö Í ő ú ö ö

Részletesebben

ő ľü ó ľ ő ü ü ő ľ ő ü ő ó ő ö ÍÍö ü ó ü ő ő ó ü ő ű ź ź ö ö ó ú ü ö ę ő ő ó ö ö ö ő ľ ú ö ö ó ę ü ľ ó ľ ü ź ű ő ü ź ó Ö ő ľ ľ ö ľő ő ó ő ö ľ ź ó ő ú ő ú ü ü ľ ÍÍ ľ ő ó ľ ó ö ü Ő ľ ő Í ľ ľ ő ľ ľ ź ź ľ

Részletesebben

ü í ü í ő í ű ő í ö í í ő ő íí ő í ö ö ő ő ő ő í ö ö ö ő ü ö ő ü í ö ö ü ö ű ö ö ü ö ű ö Ü í í ö ü ő í ű ö í ü ü ö ü ü ö ü ü í íö ő ö ú ő ö ú ú ü ő ö ú ú ú ö ő ő ő ü ö ú Í ő ö ü ő ő ú ő ő ő ő ő í ő í ő

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

É É É É É É Ü Á Ö Ü ű É Á É É Ü Ú É É É ű ú É ú ű Á ú É Á Ö Ö Ö Á ű Á Á Á ú Á É Ü ú É Á Á ú ú Ö ú ű Ö ű ú ú ú ú ú ú ű Á Á ú ű ű ű ú ú ű ű ú ű Á ú Á Á Á ű Á Á ú ú ú ú ú É Ö ú ű ű Á ű ú ű ú ű ű É ú É Ó

Részletesebben

Á É Á Ó É É Á Á ű ő ű ő É Á Ü É ű Ú É ő ő Á ő ő Á É ő Á ű ű ő ő ő ő ő ő ő ű ű ű É Á É ű ű ű ő ű É Ú Á ű ő Á Á É É ő ő ő É Á ő É ő ő Á Ü É Á Á É Ü ÓÚ É Á Ú Ü Ó Ú ű ő ő ő ű ű ő É Á ű ű ű Á ő Á ő ő Á É Ü

Részletesebben

MISKOLCI EGYETEM GÉ PÉ SZMÉ RNÖ KI KAR Szerszámgépek Tanszéke FORGÁ CSOLÓ SZERSZÁ MGÉ PEK FOKOZATOS FŐ HAJTÓ MŰ VEI. Oktatá si segédlet

MISKOLCI EGYETEM GÉ PÉ SZMÉ RNÖ KI KAR Szerszámgépek Tanszéke FORGÁ CSOLÓ SZERSZÁ MGÉ PEK FOKOZATOS FŐ HAJTÓ MŰ VEI. Oktatá si segédlet MISKOLCI EGYETEM GÉ PÉ SZMÉ RNÖ KI KAR Sersámgépe Tasée FORGÁ CSOLÓ SZERSZÁ MGÉ PEK FOKOZATOS FŐ HAJTÓ MŰ VEI Otatá si segédlet Misolc, 00 PDF created with FiePrit pdffactory trial versio http://www.fieprit.com

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

ú ü ĺ ĺ Ż ü ĺ ú Ö ü ü Ö ü ü ü ý ö ł ŕ ĺź ĺ Ż ö ü ü ý ö ü ý ý ü ý ü ö ö ö ĺ Á Í ü ý ö ü ý ö ź ű ý ĺ ú ü ü ö ü ö ú ü ü Ż ö ü ö ö ö ü ú Ö ü ý ń ł ŕ ą ł ü ü ú ű ü ý ú ú ü ü ö ü ú ü ü ö ü ý ü ę ę Í ú ĺ Í ö

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Ü É Í Í ű ű ű ű ű ű É Í Á Á Á Á É Á Á Á Á Á Á É Á Á Í Á Á Á ű É É Á Á Á Á Á Á É Á Á Á Á Í ű ű ű Í ű ű ű Í ű Í ű ű ű Í ű Í ű ű ű ű ű É Í ű ű Í ű Á ű ű ű ű ű ű ű É Í Á Á Í Í ű É ű ű ű ű ű Í Í ű É ű ű Í Í

Részletesebben

Membránsebesség-visszacsatolásos mélysugárzó direkt digitális szabályozással

Membránsebesség-visszacsatolásos mélysugárzó direkt digitális szabályozással udapeti Műzaki é Gazdaágtudoányi Egyete Villaoérnöki é Inforatikai Kar TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOLGOZT Mebránebeég-vizacatoláo élyugárzó direkt digitáli zabályozáal Kézítetteték: aláz Géza V. Vill., greae@evtz.be.hu

Részletesebben

Í ű ű ű ű ű ű ű ű Í ű Í É Ó Á Á Á Á É Á Á Á Á É Á ű Á É Á Á É Í ű É É Á Á Á ű Á Á É ű Á Á Á Í Á É Í ű Í ű Í ű Í ű ű ű Í ű ű ű ű ű ű Í Í É Í ű ű Í ű ű ű Á ű Í ű Á Á Í ű É ű ű ű ű ű ű Í ű Í ű ű ű ű ű ű ű

Részletesebben

Í ű ű ű ű Í ű ű ű ű ű ű É Í Á Á É Á Á Á Á Á Á Á Ó Á Í Í ű Í Á ű Á Á Á Á Á Á Á É É Á Á Í Í Í ű ű Í Í ű Í ű ű ű Í ű Í Í ű ű ű ű ű ű ű É ű ű ű ű ű ű Á Á ű ű Í Í Í Í Í Í ű ű ű ű ű Í ű ű Í ű Í ű ű ű Í Í ű ű

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Laboratóriumi mérések

Laboratóriumi mérések Laboratórum mérések. Bevezetı Bármlye mérés ayt jelet, mt meghatároz, háyszor va meg a méredı meységbe egy másk, a méredıvel egyemő, ökéyese egységek választott meység. Egy mérés eredméyét tehát két adat

Részletesebben

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika Távözlő hálózato és szolgáltatáso Kapcsolástechia émeth Krisztiá BME TMIT 015. ot. 1-8. A tárgy felépítése 1. Bevezetés. IP hálózato elérése távözlő és ábel-tv hálózatoo 3. VoIP, beszédódoló 4. Kapcsolástechia

Részletesebben

É Í ű ű ű ű ű ű ű ű Ü ű É Í Á Á Á É Á Á Á Á Á Á Á É Á É Ó Ó ÁÁ Á ű É Á Á Á É Á É Í Á Á Á Á Ó ű ű Í Í ű ű Í ű ű ű Í ű ű ű ű Í ű ű Í ű ű Í ű ű ű ű Í Í ű Á Á É Á É Í ű ű É Ü ű Í É É ű ű ű ű ű ű Ő ű ű ű ű

Részletesebben

ő ü ó ü Ü Ü ő Ą Ő ü ü ü ő ő ű ő ö Ĺ ü ó ő ö ü ź ő ź ő ő ő ö ö ö ó ö ő ź ü ö ź ü ő ó ó ó ó ó ő ö ő ó ü ó ó ó ó ó ą ö ö ü ó ó ö ó ú ó ó ő ü ź ó ó ó ő ú ó ó ú ó ó ú ó ü ö ő ü ó ó ö ű ó ú ő ź ö ü źýź ź ö ü

Részletesebben

ű ű ú ű ű ú ú Í É ú ú ű ú ű ű ű ű Í ű ú Ü ű ű ú ú ú ú ú ű ű Á Í Ú ú Í ú ű ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ű ú ű Ú ú ú Í ú ú Ü ű ű ű ú ű Í ú ú ű ű ű ű ű Í ú ű ű ű Í ű ú ú ű Á ú ú ú ű ú ú ú ú ú ű Í ú ú ú ű ű ű ű

Részletesebben

7. számú mérés Kétcsatornás FFT analizátor alkalmazása

7. számú mérés Kétcsatornás FFT analizátor alkalmazása 7. zámú méré Kétcatorá FFT aalzátor alalmazáa Auzta redzere átvtel jellemzőe mérée lazu módzereel, M orozatoal, Kétcatorá Gyor Fourer aalzátorral aboratórum gyaorlat Mérö Fzuo zámára Özeállította: dr.

Részletesebben

Í Á É ő ő ő ú ú ő ő ő ő ő ő ő ő í ő ő ő ő ő ű í ő ű ő ú ő ű ő ő ő ő Á í í í ő ő ő ő í í ő í ü ő í ő í í í ő í ő í ő í ő ő í í ő ő ü ő í ő í ő ő ő ő í í í ő í ő ü í í ő ő ő ő ő í ü ű ő í í í ő í í ő ő ő

Részletesebben

NÖVÉNYTERMESZTÉSTAN. Az egyes növények termesztésének a részleteivel foglalkozik

NÖVÉNYTERMESZTÉSTAN. Az egyes növények termesztésének a részleteivel foglalkozik NÖVÉNYTERMESZTÉSTAN Az egyes növények termesztésének a részleteivel foglalkozik Növénytermesztés irányzatai: Hagyományos vagy konvencionális Integrált (fenntartható, környezetbarát) Ökológiai, biotermesztés

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

Dr. Balogh Albert: A statisztikai adatfeldolgozás néhány érdekessége

Dr. Balogh Albert: A statisztikai adatfeldolgozás néhány érdekessége Dr. Balogh Albert: A statszta adatfeldolgozás éháy érdeessége Kérdése:. Hogya becsüljü a tapasztalat eloszlásfüggvéyt? 2. M az a redezett mta? 3. M az a medá rag és mlye becslése vaa?. Hogya becsüljü a

Részletesebben

ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK LENGÉSTANBÓL: A rugóállandó a rugómerevség reciproka. (Egyik végén befogott tartóra: , a rugómerevség mértékegysége:

ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK LENGÉSTANBÓL: A rugóállandó a rugómerevség reciproka. (Egyik végén befogott tartóra: , a rugómerevség mértékegysége: ELLENŐRZŐ ÉRDÉSE LENGÉSNBÓL: Átaáno kérdéek: Mik a engőrendzer eemei?: engőrendzer eemei: a tömeg(ek), a rugó(k), ietve a ciapítá(ok). Mi a rugóáandó?: rugóáandó a rugó egyégnyi terheé aatti aakvátozáát

Részletesebben

D r.u J J A n d r i s ő r n a g y, f ő i s k o l a i a d ju n k t u s A G O N D O L A T T O L A M E G V A L Ó S U L A S IG, A V A G Y. I I I.

D r.u J J A n d r i s ő r n a g y, f ő i s k o l a i a d ju n k t u s A G O N D O L A T T O L A M E G V A L Ó S U L A S IG, A V A G Y. I I I. D r.u J J A n d r i s ő r n a g y, f ő i s k o l a i a d ju n k u s A G O N D O L A T T O L A M E G V A L Ó S U L A S IG, A V A G Y A S E M L E G E S S É G > d A L A K U L Á S Á N A K F O L Y A M A T A

Részletesebben

33. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2006. már ci us 27., hétfõ TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 3887, Ft

33. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2006. már ci us 27., hétfõ TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 3887, Ft A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2006. már ci us 27., hétfõ 33. szám Ára: 3887, Ft TARTALOMJEGYZÉK 62/2006. (III. 27.) Korm. r. Az egyes pénzbeli szociális ellátások elszámolásának szabályairól...

Részletesebben

Egy rendszerben a régiótól a telekig

Egy rendszerben a régiótól a telekig r. zaló Pétr trültfjlsztési és építésügyi szakállatitkár. z rszágos Trültfjlsztési Koncpciótól az opratív prograokig 2007. 05. 08.. Egy rndszrbn a régiótól a tlkig Trültfjlsztés Trültrndzés Tlpülésfjlsztés

Részletesebben

É Ő É é ö í é í é í í Ú é é é í í ő ö ö é É Ó É Á í é ő é í í í Í Í í í É É É í é é í Í é Íő é í é í é í í Í ú é é ű í í é í í Í ö ö ő é ö ö é é í Á ő é é é í é Í ö é é é é é é ö Í ö é é é í í é ö í í

Részletesebben

MAGYAR KÖZLÖNY. 141. szám. A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA 2011. november 30., szerda. Tartalomjegyzék. 27/2011. (XI. 30.

MAGYAR KÖZLÖNY. 141. szám. A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA 2011. november 30., szerda. Tartalomjegyzék. 27/2011. (XI. 30. MAGYAR KÖZLÖNY A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA 2011. november 30., szerda 141. szám Tartalomjegyzék 27/2011. (XI. 30.) PSZÁF rendelet 42/2011. (XI. 30.) BM rendelet 43/2011. (XI. 30.) BM rendelet

Részletesebben

Tárgyév adata 2013. december 31. Tárgyév adata 2014. december 31. A tétel megnevezése

Tárgyév adata 2013. december 31. Tárgyév adata 2014. december 31. A tétel megnevezése A tétel megnevezése Tárgyév adata 2013. december 31. Tárgyév adata 2014. december 31. 1. Pénzeszközök 19 798 163 488 2. Állampapírok 411 306 73 476 a) forgatási célú 411 325 73 408 b) befektetési célú

Részletesebben

ü Ü ö ö ö ö ő ö ö ő ö ö ü Á ö ő ű Ü ö ö Ü ö Á Ü Ü ö ü ü Ü ü ö ő ő ö Ü Ü ű ő ü ő ő ő ő ö Ü ü ö ő ő ö ü Ü ö ő ü ű Ü ö ö ő ú ö ő ő ő ő ő ú ö ű ű ő ö ő ű ű Ü ö ö ő ö Ü ő ő ű ő ö ő ö ő ü ö ű ő ö ő ü ö ü ű ű

Részletesebben

* 3 db bármilyen különálló Firefly, Etirel, vagy Magic M. márkájú bikinirész vásárlása esetén a legkedvezőbb árút ajándékba adjuk!

* 3 db bármilyen különálló Firefly, Etirel, vagy Magic M. márkájú bikinirész vásárlása esetén a legkedvezőbb árút ajándékba adjuk! A vn únu 8 V v dv n mőn üön bn* * 3 db bmn üön F E v M M mú bn v n dvőbb ú ndb du 3 P B üdőuő 538 BCun vő b nn ő B 53 3 BCu vő b nböő üdőuő BC 53 5 n üdőu 533 5 5 BCu üdőu 5333 n üdőu 53 3 m m An bn Pdd

Részletesebben

RUDABÁNYA VÁROS TELEPÜLÉSRENDEZÉSI TERVE TELEPÜLÉSSZERKEZETI TERV ÉS LEÍRÁSA

RUDABÁNYA VÁROS TELEPÜLÉSRENDEZÉSI TERVE TELEPÜLÉSSZERKEZETI TERV ÉS LEÍRÁSA LA-URBE ÉPÍTÉSZ IRODA KFT. 3525 Miskolc, Patak utca 10. sz. Telefon: 06-46-504-338 Fax: 06-46-504-339 mobil: 06-20-9692-361 E-mail: la.urbekft@chello.hu RUDABÁNYA VÁROS TELEPÜLÉSRENDEZÉSI TERVE TELEPÜLÉSSZERKEZETI

Részletesebben

ö Ö ő ü ő ö ü ö ő ü ö ö ö ó ü ő ü ö ő ő ő ő ő ő ő í ő ó ő ő ü ö ö ö ő í ö ó ő í ó ő ö í ő í ő ó ő ő ö ő í ő ó ö ö ö ö ő ő ő ö í ő í ő ő í ő í ő í ó ő ö ö ő ü ú ö Ö ő ö ö ö í ő ő ó ö ö Ö ő ü ö ö ó ó ő ó

Részletesebben

É É ú í ö É É í ú É Á Á Á ö í ö í ú í Ö ö ö í í Á ö ö ö í í ö í É í ö ö í í í ö í í í í ö í í ö ö í ö ö í ö í ű í ö ú ű í í ö Ö ö ö í ö ö í ö ö í í í ö É ö ö ú ö ö ö í ö ű í ú ö ú Í É ú ö ö ö É ö ö í Íí

Részletesebben

Kisfeszültségû. Rövidrezárt forgórészû motorok 56 450 méret 0,06 kw - 1000 kw teljesítmény

Kisfeszültségû. Rövidrezárt forgórészû motorok 56 450 méret 0,06 kw - 1000 kw teljesítmény M 11 Kivonato s Kisfeszültségû MOTOROK Rövidrezárt forgórészû motorok 56 450 méret 0,06 kw - 0 kw teljesítmény További Standard Hajtás katalógusok MICROMASTER DA 51.2 MICROMASTER 410/420/430/440 Frekvenciaváltók

Részletesebben

MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS SZERVEZETI EGYSÉGEKEN BELÜLI DÖNTÉSI FOLYAMATOK SZABÁLYOZÁSA

MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS SZERVEZETI EGYSÉGEKEN BELÜLI DÖNTÉSI FOLYAMATOK SZABÁLYOZÁSA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS SZERVEZETI EGYSÉGEKEN BELÜLI DÖNTÉSI FOLYAMATOK SZABÁLYOZÁSA ÁR-01 OLDAL: 1. 1. AZ ELJÁRÁS CÉLJA Szabályoz, hogy a szervezete belül kk, hol és mlye dötéseket hozak meg. Beazoosíta,

Részletesebben

Szerszámgépek 5. előadás 2007. Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/2007 2.félév

Szerszámgépek 5. előadás 2007. Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/2007 2.félév Sersámgépe 5. előadás. Márcis. Sersámg mgépe 5. előad adás Misolc - Egyetemváros /.félév Sersámgépe 5. előadás. Márcis. A sabályohatósági tartomáy övelésée módserei Előetes megfotoláso: S mi mi M S φ,

Részletesebben

É Á Á ű ű É ű ű Á ű Ó Ő Á Á Á Ő Á ű Á Í É Ö ű ű É Ö Ö Á Á Ö Á ű É Ö É Á Ö Á É É Á ű Ö É Í Á Á ű Á ű ű É Á Á Á ű ű É Ü Ő Á Á Á ű Á ű Á ű Ö ű ű Á Á Ö Ö Á ű Ö ű ű Í ű Á Á ű Á É Í Á Á Ó ű ű Á ű Á Á Á Á É Á

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. egy. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgyprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

9 7 0 0 Szombathely. Hajmási Milán Elnök. Hajmási Milán

9 7 0 0 Szombathely. Hajmási Milán Elnök. Hajmási Milán 1 Érkezett : 1. A KÉRELMEZŐ ADATAI A kérelmező zervezet telje neve: A kérelmező zervezet rövidített neve: 2 Gazdálkodái formakód: 521 3 Tagági azonoítózám 3248 Grundball Profi Foci Club Grundball PFC Áfa

Részletesebben

é é é ú Ü é é ü é é ú é ü é é ü é é é Á é é é é ú é é é ü é ú é é é ű í é é é é é é ü é í é ü é é é é é é é ú é é í ü é é ú í í é é é é ü í ü é é é é é é é í é é é é é ü é é é é é é í é é í ü é ú ü é é

Részletesebben

Kisfeszültség villamosenergia-elosztó rendszer vezetékeinek méretezése (szükséges keresztmetszet meghatározása)

Kisfeszültség villamosenergia-elosztó rendszer vezetékeinek méretezése (szükséges keresztmetszet meghatározása) Kisfszütség viamosrgia-osztó rdszr vztéi mértzés (szüségs rsztmtszt mghatározása) vzté mértzés iiduásaor ismrt ftétzzü: a btápáás fszütségét (), az áti ívát fogyasztó áramfvétét (), a fogyasztóra jmz fázistéyzt

Részletesebben

É ü É É ü Á Á Á ö É ú ő í á é ő á á á é é ü é é é é é ú é é ő ü ü é é í á é é é ő ő á é ü é é ü á é ú úá íő ű á ő é ü á á é é é é í üé á ő é é é ü Í é ő á í á é ú á á á é á ö ü Á á ő é é ü á é á á ö í

Részletesebben

Volumetrikus elven működő gépek, hidraulikus hajtások (17. és 18. fejezet)

Volumetrikus elven működő gépek, hidraulikus hajtások (17. és 18. fejezet) oluetriku elve űködő gépek hidrauliku hajtáok (17 é 18 fejezet) 1 Függőlege tegelyű ukaheger dugattyúja 700 kg töegű terhet tart aelyet legfeljebb 6 / ebeéggel zabad üllyeztei A heger belő átérője 50 a

Részletesebben

Í É ő ű Á ő ő ú ű ő ő ű ú ü ő ú ű ő ú ú ü ő ú ü ú ü ü ü ő ő őü Í ú ű ő É ű Í ű ű ű ü ő ő ű ő ű ű Á Á ú ú ú ú ú Í ő Í ő ü ú ü Ü ő Á ő ő ő Á ő ő ő ű Ü ú ü Á ő ű É ü ú ő ú ü Ö Í É Ü É Ü ú Ü ő ő Ő Á ű ü ő

Részletesebben

Ü É Á í í Á ü ű í ú í ű ü ü Ö í Ü É Í í ü ü ü ü í ú ü í ü ű í í ü ü í í ü Í ú ú ú ű ü É ü í ü í Í í í ű ú í ú Á í í Ü É í í ú ú ű í í í ü í ú Ö ü ü ü ú ű ü í í í ü ü ü ű ü ü ű í ű Ö í í í ü ú Ü É í ú ú

Részletesebben

ű É Í É Ö ű ü Ö É Ö Í É Ö Ö

ű É Í É Ö ű ü Ö É Ö Í É Ö Ö ú Ú Í Ú Ú ű É Í É Ö ű ü Ö É Ö Í É Ö Ö ü É Í ü Á É Ö Ő ú Ö ű Ő Ő Ő Í Ö ü Í Á Ö Ö Í ű Ő Í É É ü ü Í ü Í Í ű Í Ö É Ö ü É ű ű Ö ü Í Í ü Ö Í ű Ö É Ö ű Ö ü Ő Ő Á Í Í Í Ö Í É É Í ű ü ü ű É ü ű Ö Ö Ö ü Ö Í ü ű

Részletesebben

ú ú ü ű ü ü ú ú ü ű ü ü ú ú ü ü Í ű ű ü ü ü É ú ü ü ü ú ú ú ü ú ű ü ú ü ü Í ü ű ü ü ü Á ű ú ú ü ú Í ü ú Í ú ü ü Í ű Í ü ü É ü ü ü ú ü ü ü ü Í ú ü ű Á ü ü ú ú ü Í ü ű Í ú ú ü ü ü ú ü ű ú ú Á Í Í ú Í Í Í

Részletesebben

Ü Á Á ü É ü ü Í ú Í ú É ű ü ű ü ö ö Í ü ö ü ü ö Í ü ö ö ö ú Í ü ö ö ü ű ö ú ö ö ö ú ú ö ű ö ű ü ü Í ü ú ü ú ö ú ú ú ú Ő É É Ü É Á ü ü Í ü ü ö ö ú ö Á Á Ő ü ü ú ú Ö ü ö ö ö ö ú Í ö ú ö Í ö ö Í ú Í Í ü ú

Részletesebben

Ö ö ö í ö í ű ö ő ú ü í ú ő ő ő ú ő ú ő í ő í Á Ö ő ő í ö ö Ö í É Á Á ú Ú í í í í í ű ö í í í ő ö ü ü ö í í ú í í ö ő ü ú ő ö ö ő ú ú ö ű ú í ő Á ú ú ő ú ű ü í ú ü ü ü ö ő í ő Ö ú ö ö ö ő ü ü ö őí ö ö

Részletesebben

í ö ö ü ü í ü ö ü ö í ú ú Ö ö ö ü ü ö ö ű í ö ö ü ű ö í ű ö ö ü Á ö í ö í í í í ö ö ű ű í í í í í í ö í Ú í ü ü ö ű ö ö í ú ö ö ö ö ö ö Á í ö ú í ü í ú í ú Á í ú í ú ú Á ü ü í í í ö í í Á ú í ö ö í í ú

Részletesebben

PARANCSA. Budapest, 1 9 6 2. évi novem ber hó 29-én

PARANCSA. Budapest, 1 9 6 2. évi novem ber hó 29-én BELÜGYMIN IS ZT É R IU M SZIGORÚAN T I T K O S! 10 2 3 /2 2 /1 9 6 2. Sorszám : 10 A MAGYAR NÉPKÖZTÁRSASÁ G B E L Ü G Y M I N I S Z T E R H E L Y E T T E S É N E K ltin e ü g k rb y s -m é zh 0022. számú

Részletesebben

Á Á Á ö Á ű Á Á ű ő ö ö í É ő í ő ő í ő ö ö ö ü ö ő É Ö ő í ü ü ö ö ő ö ő ő í ő ö ú ü ö ő Á ő ö ö í ö ö ö ö ú ő ú ú ő Í ü ő ő ű ő í ö ú ú ő ő ö ü ő É ö ő ö ö ő ü ö ú ő í ű ö ű ü ö ő í ö ő ő ő ö ő í í ö

Részletesebben

VARÁZSLÓ TULAJ- DONSÁG- ÉRTÉK ERŐ ÜGY ÜGYESSÉG ÁLL INT INTELLIGENCIA BÖL KAR KARIZMA. Egyéb módosító ALAPTÁMADÁS

VARÁZSLÓ TULAJ- DONSÁG- ÉRTÉK ERŐ ÜGY ÜGYESSÉG ÁLL INT INTELLIGENCIA BÖL KAR KARIZMA. Egyéb módosító ALAPTÁMADÁS KASZTFÜGGÉS VARÁZSLÓ A KARAKTER NEVE: FAJ: _ SZINT: NEM: _ JELLEM: TULAJ- DONSÁG- TULAJ- DONSÁG- IDŐLEGES IDŐLEGES TERMET: KOR: _ SÚLY: MAGASSÁG: HAJ: _ SZEM: VALLÁS: SZAKÉRTELMEK MAX. SZINT / ERŐ ERŐ

Részletesebben

Á É ü Ö Á ö ö ö ö ü ö ö ö ü ö ű ö Í Ü ü ö ö ö Ü ö ö ö ö ü ö ö ú ö ö Í ű ö ű ü ö ú ü ü ű ö ö ö Ü ú ú ö ö ö ö ü ü ö ü ö ö ö ö ö ö ö ö ö ű Á ü ü ü ö ü ö ö ü ü Í ö ü ü É ű ű ö ö ö ö ö ö Á ö ö ö ü ö ö ö ö ü

Részletesebben

É Á í Ú É í ö í ő ú ö Í ö ü Ö ö ü ö Ö ö Á É őí ö ú ő í ő í ú ö í ő ő ö ú Ú ű ő ő Ú ü ö ú ü ö ö ü í Í ú ő í ü ü ő ö ö Ú ú Í Ú ü Ú ö ő ú ö ű ü í Ö Ö ö í ö ő ö ú ő Ú ú Ö í Ú ü í Á í É ő ö ő ö Á ű Ü í ü í

Részletesebben

ő ő Í ű ő ő ű ő ő ű ő ő É Á ű ő ű ő ő ő ü Á ü ő ű ő ő ő ü ü ő ű ő ő ü ő ú ő ő ő ű ü ő ü ő ü ő ü ő ü ü ő ű ő ü ő ü ő ő ő ő ű ü ű Í Í ő ü ő Í ü ő ü ő ü ü ü ő ü ű ő ü ü ü ü ü ü ü ő ú ü ő ű ő ő ü ü ü ő ő ő

Részletesebben