19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer"

Átírás

1 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát. OSSZEFESULO-RENDEZES(A, bl, jobb); Begi If bl < jobb The Begi kozep:=(bl+jobb) div 2; OSSZEFESULO-RENDEZES(A, bl, kozep); OSSZEFESULO-RENDEZES(A, kozep, jobb); OSSZEFESUL(A, bl,kozep, jobb); Ed Ed;{Osszefesulo-redezes} Oszd-meg-és-urlkodj elvű lgoritmusok elemzése Jelölje T () z -méretű bemeetre futási időt. Tegyük fel, hogy egy oszd-meg-és-urlkodj elvű lgoritmus kimeetet közvetleül kiszámítj, h < c v.m. c kostsr, egyébkét bemeetet drb részre osztj, melyek midegyikéek mérete /b és ezeket részfeldtokt rekurzív oldj meg. H D() idő kell részekre osztáshoz, és egy (-méretű) bemeetre z részproblémák megoldásiból C() időbe tudj összerki kiidulási feldt megoldását, kkor futási időre z lábbi rekurzív egyelőséget kpjuk. { Θ(1) h c, T () = T (/b) + D() +C() egyébkét. Az összefésülő redezés eseté = 2 és D() = Θ(1), továbbá z összefésülés elvégezhető lieáris időbe, így C() = Θ() tehát { Θ(1) h = 1, T () = (1) 2T (/2) + Θ() h > 1. Írjuk át z (1) egyeletet következő lkr. { c h = 1, T () = 2T (/2) + c h > 1. (2) A következő ábrá láthtó rekurziós f lpjá zt kpjuk, hogy T () = Θ(lg) Helyettesítő módszer Rekurzív egyelet megoldásák helyettesítő módszere két lépésből áll: 1. Sejtsük meg megoldást. 2. Teljes idukcióvl htározzuk meg kostsokt és igzoljuk megoldás helyességét. Példkét htározzuk meg T () = 2T ( /2 ) + (3) egyelet egy felső korlátját. Sejtésük z, hogy T () = O( lg ). Megmuttjuk, hogy lklms c > 0 kostsr T () c lg. Tegyük fel, hogy /2 -re teljesül bizoyítdó, vgyis T ( /2 ) c /2 lg( /2 ). Ezt behelyettesítve rekurzív egyeletbe kpjuk, hogy hol z utolsó lépés kkor igz, h c 1. T () 2(c /2 lg( /2 )) + clg(/2) + = clg clg2 + = clg c + clg, 1

2 T() c c T(/2) T(/2) c/2 c/2 T(/) T(/) T(/) T(/) () (b) (c) c c c/2 c/2 c lg c/ c/ c/ c/ c c c c c c c c c (d) Totl: c lg + c 1. ábr. Az összefésülő redezés rekurziós fáj. 2

3 19.3. A rekurziós f módszer A rekurziós f oly f, melyek mide potj egy eljáráshívást jelet dott ktuális prméterekre, úgy, hogy pot fii megfelelek zokk z eljáráshívásokk, melyek végrehjtódk z ktuális prméterek eseté. Szitekét összegezzük potok költségét, mjd sziteket összedv kpjuk teljes költséget. Példkét rekurziós f lklmzásávl oldjuk meg T () = 3T ( / ) + Θ( 2 ) rekurziós egyeletet. Mivel részproblémák T() c 2 c () (b) (c) c 2 c c2 log 2 c ( ) c ( 2 ) 2 2 c ( ) c ( 2 ) 2 2 c ( ) c ( 2 ) 2 ( 3 ) 2 c 2 T(1) T(1) T(1) T(1) T(1) T(1) T(1) T(1) T(1) T(1) T(1) T(1) T(1) Θ( log 3 ) log 3 (d) O( 2 ) 2. ábr. Rekurziós f mérete egyre csökke, hogy egyre távolbb kerülük gyökértől, előbb-utóbb részproblém mérete oly kicsi lesz, hogy rá em rekurziós képlet votkozik, hem kezdeti feltétel. Milye messze leszük ekkor gyökértől? Az i-edik szite lévő részproblém mérete / i, így részproblém mérete kkor lesz 1, h / i = 1, zz h i = log. Tehát fák log + 1 szitje v, (0,1,2,...,log ). Ezutá meghtározzuk f mide szitjéek költségét. Mide szite háromszor yi pot v, mit felette lévő szite, ezért z i-edik szite 3 i pot v. A részproblémák mérete szitekét egyedére csökke, ezért mide szite i = 0,1,2,...,log 1-re költség c(/ i ) 2. Ezeket összegezve z összes potr zt kpjuk, hogy z i-edik szite lévő potok költsége i = 0,1,2,...,log 1-re 3 i c(/ i ) 2 = (3/) i c 2. Az utolsó log -edik szite 3 log = log 3 pot v, midegyik 3

4 T (1) költségű, tehát z utolsó szit költsége log 3 T (1), mi Θ( log 3 ). A teljes fár összegezve: T () = c ( 3 c2 + = log 1( 3 i=0 ) 2 ( ) 3 log 1 c c 2 + Θ( log 3 ) ) i c 2 + Θ( log 3 ) = (3/)log 1 c 2 + Θ( log 3 ). (3/) 1 T () = < = log 1 i=0 i=0 ( 3 ( ) 3 i c 2 + Θ( log 3 ) ) i c 2 + Θ( log 3 ) 1 1 (3/) c2 + Θ( log 3 ) = 13 c2 + Θ( log 3 ) = O( 2 ). Tehát T () = O( 2 ) sejtést kptuk T () = 3T ( / ) + Θ( 2 ) rekurzív egyeletre. H O( 2 ) felső korlát, kkor erős felső korlát is egybe, mert z első rekurzív hívás költsége rögtö Θ( 2 ), így T () = Θ( 2 ). A T () = O( 2 ) sejtés helyességéek igzolás helyettesítő módszerrel. Meg kell mutti, hogy T () d 2 vlmely d > 0 kostsr. Az utolsó egyelőtleség d (/13)c eseté teljesül. T () 3T ( / ) + c 2 3d / 2 + c 2 3d(/) 2 + c 2 = 3 d2 + c 2 d A mester módszer A mester módszer T () = T (/b) + f () () típusú rekurzív egyeletek megoldásár d receptet, hol 1 és b > 1 kostsok, továbbá f () szimptotikus pozitív függvéy. A () képlet oly rekurzív lgoritmus futási idejét dj meg, mely méretű feldtot drb részproblémár bot, midegyik mérete /b, vlmely d b pozitív kostsokr és z drb részproblémát rekurzív oldj meg, midegyiket T (/b) időbe. A részproblémákr botás és részproblémák megoldásiból kiidulási problém megoldásák összerkásák idejét f () függvéy dj meg. (Tehát korábbi f () = D() +C().) például, OSSZEFESULO-RENDEZES lgoritmus eseté = 2, b = 2, és f () = Θ(). A mester tétel tétel. (mester tétel.) Legyeek 1 és b > 1 kostsok, f () függvéy, T () pedig emegtív egészeke T () = T (/b) + f () rekurzív egyelettel defiiált függvéy, hol /b jeletheti kár z /b, kár /b értéket. Ekkor T ()-re következő szimptotikus korlátok dhtók.

5 1. H f () = O( log b ε ) vlmely ε > 0 kostsr, kkor T () = Θ( log b ). 2. H f () = Θ( log b ), kkor T () = Θ( log b lg). 3. H f () = Ω( log b +ε ) vlmely ε > 0 kostsr, és h f (/b) c f () vlmely c < 1 kostsr és eléggé gy -re, kkor T () = Θ( f ()). Példák mester módszer hszáltár. Első példkét tekitsük T () = 9T (/3) + rekurzív egyeletet. Ebbe z esetbe = 9, b = 3, f () =, tehát log b = log 3 9 = Θ( 2 ). Mivel f () = O( log 3 9 ε ), hol ε = 1, ezért mester tétel 1. esetét lklmzhtjuk, és kpjuk T () = Θ( 2 ) megoldást. Másik példkét tekitsük T () = T (2/3) + 1 egyeletet, hol = 1, b = 3/2, f () = 1. log b = log 3/2 1 = 0 = 1. A 2. esetet lklmzhtjuk, mivel f () = Θ( log b ) = Θ(1), tehát megoldás T () = Θ(lg). Hrmdik példák T () = 3T (/) + lg rekurzív egyelet, hol = 3, b =, f () = lg, és log b = log 3 = O( ). Mivel f () = Ω( log 3+ε ), hol ε 0.2, 3. esetet lklmzhtjuk, feltéve, hogy f ()-re teljesül, hogy szimptotikus pozitív. Eléggé gy -re f (/b) = 3(/) lg(/) (3/)lg = c f () hol c = 3/, tehát T () = Θ(lg). A mester tétel bizoyítás A mester tétel bizoyítás egész kitevős htváyokr lemm. Legyeek 1 és b > 1 kostsok, f () pedig legye b egész kitevős htváyi értelmezett emegtív függvéy. A T () függvéyt defiiáljuk b egész kitevős htváyi következő rekurzív egyelettel. { Θ(1) h = 1, T () = T (/b) + f () h = b i, hol i pozitív egész. Ekkor log b 1 T () = Θ( log b ) + j f (/b j ). (5) Bizoyítás. A következő ábrá láthtó rekurziós fát hszáljuk bizoyítás sorá. A f gyökeréek költsége f () és fi v, egyekét f (/b) költséggel. Mide fiúk v fi, egyekét f (/b 2 ) költséggel, tehát potos 2 pot v gyökértől 2 távolságr. Áltláos, potos j pot v gyökértől j távolságr, midegyik költsége f (/b j ). A levelek költsége egyekét T (1) = Θ(1) és midegyik levél log b szite v, mivel /b log b = 1. A fák összese log b = log b levele v. H összegezzük szitek költségét, kkor z (5) egyelethez jutuk. A j-edik szite lévő potok költsége j f (/b j ), így belső potok összköltsége log b 1 j f (/b j ) A levelek összköltsége pedig Θ( log b ) gyságredű, mert eyi drb részproblém v lemm. Legyeek 1 és b > 1 kostsok, f () pedig b egész kitevős htváyi értelmezett emegtív függvéy. A g() függvéyt defiiáljuk b egész kitevős htváyir következő rekurzív képlettel: log b 1 g() = Erre függvéyre b egész kitevői eseté következő szimptotikus korlátok érvéyesek. 1. H f () = O( log b ε ) vlmely ε > 0 kostsr, kkor g() = O( log b ). j f (/b j ) (6) 5

6 f() f() f(/b) f(/b) f(/b) f(/b) log b f(/b 2 ) f(/b 2 ) f(/b 2 ) f(/b 2 ) f(/b 2 ) f(/b 2 ) f(/b 2 ) f(/b 2 ) f(/b 2 ) 2 f(/b 2 ) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ( log b ) log b log b 1 Θ( log b )+ j f(/b j ) 3. ábr. Rekurziós f mester tétel bizoyításához. 6

7 2. H f () = Θ( log b ), kkor g() = Θ( log b lg). 3. H f (/b) c f () vlmely c < 1 kostsr és mide b eseté, kkor g() = Θ( f ()). Bizoyítás. Az 1. esetbe f () = O( log b ε ). Ebből következik, hogy f (/b j ) = O((/b j ) log b ε ). Ezt (6) egyelőségbe helyettesítve zt kpjuk, hogy ( logb 1 g() = O ( ) j ) logb ε b j. (7) Az O jelölése belüli összegre úgy duk korlátot, hogy bizoyos tgokt kiemelük, illetve egyszerűsítük, így végül egy övekvő mérti sorozthoz jutuk. log b 1 ( j ) logb ε b j log b 1( ) = log b b ε ε j b log b log b 1 = log b ε (b ε ) j ( = log b b ε εlog b ) 1 b ε 1 ( = log b ε ε ) 1 b ε. 1 Mivel b és ε álldók, ezért z utóbbi kifejezés egyszerűsíthető úgy, hogy log b ε O( ε ) = O( log b ). Ezt (7) összefüggésbe helyettesítve kpjuk, hogy g() = O( log b ), és ezzel z 1. esetet bebizoyítottuk. A 2. esetbe f () = Θ( log b ) feltétel mellett zt kpjuk, hogy f (/b j ) = Θ((/b j ) log b ). A (6) egyelőségbe helyettesítve rr jutuk, hogy ( logb 1 g() = Θ ( ) j ) logb b j. (8) A Θ- belüli összegekre z 1. esethez hsoló duk korlátot, de ekkor em kpuk mérti sort. Vegyük zob észre, hogy mide tg ugyz. log b 1 ( j ) logb b j log b 1( = log b ) j b log b log b 1 = log b 1 = log b log b. Ezt helyettesítve (8)-b kpjuk, hogy g() = Θ( log b log b ) = Θ( log b lg), és ezzel 2. esetet is bebizoyítottuk. A 3. esetet is hsoló bizoyítjuk. Mivel f () előfordul g() defiíciójáb és g() mide tgj emegtív, rr jutuk, hogy g() = Ω( f ()) b mide egész kitevős htváyár. Feltételezésük szerit f (/b) c f () v.m. c < 1-re mide b eseté, tehát f (/b) (c/) f (). j-szer ismételve kpjuk, hogy f (/b j ) (c/) j f (), vgy mi ezzel ekvivles, j f (/b j ) 7

8 c j f (). Ezt behelyettesítve és egyszerűsítve most egy csökkeő mérti sort kpuk, mivel c kosts. g() = log b 1 j f (/b j ) log b 1 c j f () f () = f () c j = O( f ()) ( 1 1 c Tehát g() = Θ( f ()) b mide egész kitevős htváyir. Ezzel 3. esetet is beláttuk. Most már bebizoyíthtjuk mester tételt rr z esetre, mikor egész kitevős htváy b-ek lemm. Legyeek 1 és b > 1 kostsok, f () pedig legye b egész kitevős htváyi értelmezett emegtív függvéy. A T () függvéyt defiiáljuk b egész kitevős htváyir következő rekurzív képlettel: { Θ(1) h = 1, T () = T (/b) + f () h = b i, hol i pozitív egész. Ekkor T ()-re b egész kitevői eseté következő szimptotikus korlátok dhtók. 1. H f () = O( log b ε ) vlmely ε > 0 kostsr, kkor T () = Θ( log b ). 2. H f () = Θ( log b ), kkor T () = Θ( log b lg). 3. H f () = Ω( log b +ε ) vlmely ε > 0 kostsr és f (/b) c f () vlmely c < 1 kostsr és elég gy -re, kkor T () = Θ( f ()). Bizoyítás. A bizoyításhoz (18.3) lemm korlátit hszáljuk. Az 1. esetbe 2. esetbe és 3. esetbe ) T () = Θ( log b ) + O( log b ) = Θ( log b ), T () = Θ( log b ) + Θ( log b lg) = Θ( log b lg), T () = Θ( log b ) + Θ( f ()) = Θ( f ()), mivel f () = Ω( log b +ε ) Alsó és felső egész részek A mester tétel bizoyításák teljessé tételéhez elemzésüket ki kell terjesztei zokr z esetekre is, mikor mester egyeletbe lsó és felső egész részek is szerepelek, zért, hogy rekurzív egyeletet mide egész számr defiiáljuk, e csk b egész kitevőire. Egyszerűe dhtuk lsó korlát T () = T ( /b ) + f () (9) egyeletre, és felső korlátot T () = T ( /b ) + f () (10) 8

9 egyeletre, mivel z 1. esetbe /b /b egyelőtleséget, 2. esetbe pedig /b /b egyelőtleséget hszálhtjuk ki. A két eset hsoló bizoyíthtó, ezért csk z utóbbit fogjuk megmutti. Módosítsuk korábbi rekurziós fát úgy, hogy z rgumetumok felső egész részei szerepeljeek bee. Ahogy lefelé hlduk rekurziós fáb, következő sorozt szeriti rgumetumokr törtéik hívás., /b, /b /b, /b /b /b,. 9

10 f() f() f( 1 ) f( 1 ) f( 1 ) f( 1 ) log b f( 2 ) f( 2 ) f( 2 ) f( 2 ) f( 2 ) f( 2 ) f( 2 ) f( 2 ) f( 2 ) 2 f( 2 ) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ(1) Θ( log b ) Θ( log b ) log b 1 Θ( log b )+ j f( j ). ábr. Módosított rekurziós f mester tétel bizoyításához. 10

11 Jelölje j sorozt j-edik elemét, hol { h j = 0, j = j 1 /b h j > 0. (11) Először htározzuk meg zt k mélységet, melyre már k kosts. A x x + 1 egyelőtleséget felhszálv zt kpjuk, hogy 0, 1 b + 1, 2 b b + 1, 3 b b b + 1,. és így j = log b eseté j j 1 b j + 1 i=0 b i < b j + 1 i=0 b i = b j + b. logb < tehát log b mélységbe részproblémák mérete kosts. Az ábr lpjá zt kpjuk, hogy = b log b + b b log b 1 + b /b + = b + b = O(1), b log b 1 T () = Θ( log b ) + j f ( j ), (12) mi gyo hsoló mester egyelethez, kivéve, hogy tetszőleges egész és em csk b egész kitevős htváy. Most már kiszámíthtjuk z összeget, mi log b 1 g() = j f ( j ) (13) A 3. esettel kezdve, legye f ( /b ) c f () h > b + b/(), hol c < 1 kosts, tehát j f ( j ) c j f (). Így (13) egyeletbe lévő összeg ugyúgy számíthtó ki, mit lemmáb. A 2. esetbe f () = Θ( log b ) teljesül. H meg tudjuk mutti, hogy f ( j ) = O( log b / j ) = O((/b j ) log b ), kkor 18.3 lemm 2. esetre votkozó bizoyítás lklmzhtó. Vegyük észre, hogy j log b mitt b j / 1. Az f () = O( log b ) korlát mg utá voj oly c > 0 kosts létezését, hogy elég 11

12 gy j -re ( f ( j ) c b j + b ( = c (1 b j + b j ( log b = c j ( log b c j ) logb )( 1 + ( ) log b = O, j b ( b j )( 1 + b )) logb b ) logb )) logb mivel c(1 + b/()) log b kosts. Ezzel 2. esetet bebizoyítottuk. Az 1. eset bizoyítás ezzel szite zoos. A bizoyítás kulcs z, hogy egy boyolultbb számítást igéylő, de 2. eset megfelelő bizoyításához hsoló módo igzoljuk f ( j ) = O( log b ε ) korlátot. Ezzel mester tételbe szereplő felső korlátokt mide egész -re igzoltuk. Az lsó korlátok hsoló bizoyíthtók. 12

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

x + 3 sorozat első hat tagját, ha

x + 3 sorozat első hat tagját, ha Soroztok, soroztok megdás rekurzív módo.. Az ( ) soroztot rekurzív módo dtuk meg 7 -, sorozt első két tgj ( < ) egybe gyökei következő egyeletek: sorozt első öt tgját. y.adott ( ). Írd fel ( ) x 0 x. Htározd

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0 www.esymths.hu mtek ilágos oll Mosózi Arás LINEÁISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOOK esymths.hu DEFINÍCIÓ: A... ektorok lieáris összefüggők, h... úgy is teljesül, hogy oly i Nézzük ezekre péákt!

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Az alakváltozással vezérelt kisciklusú fáradás törvényszerûségei Lehofer Kornél

Az alakváltozással vezérelt kisciklusú fáradás törvényszerûségei Lehofer Kornél Kisciklusú fársztás VIZSGÁLAI MÓDSZEREK Az lkváltozássl vezérelt kisciklusú fárdás törvéyszerûségei Lehofer Korél Abstrct Lws of the low cycle ftigue cotrolled by stri. hese lws re preseted kept i view

Részletesebben

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1 III. Évfolym. szám - 008. úius Gyrmti József Zríyi iklós Nemzetvédelmi Egyetem gyrmti.ozsef@zme.hu SRT, TÖBBSZEPONTÚ DÖNTÉSI PROBÉ EGY EGYSZERŰ EGODÁS bsztrkt cikk egy többszempotú dötési módszert mutt

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi

Részletesebben

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése Sűrűségérés. Szilárd test sűrűségének érése A sűrűség,, definíciój hoogén test esetén: test töege osztv test V térfogtávl: V A sűrűség SI értékegysége kg/, hsználtos ég kg/d, kg/l és g/c Ne hoogén testnél

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée DR BENKŐJÁNO gátudoáy Egyete Gödöllő Mg Gépt Itézet gyoozgáú gépzeezete tevezéée foto lépée z egyelete, ezgéete üzeet bztoító

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

- 27 - (11,05 Miskolczi Ferenc megérkezett, a létszám: 21 fő)

- 27 - (11,05 Miskolczi Ferenc megérkezett, a létszám: 21 fő) 27 A ház hét minden npján progrmokkl telített. Kb. 900 fitl fordul meg hetente z állndó progrmokon. A próbák, z összejövetelek hosszú évek ót ugynzon helyen, ugynzon időpontbn vnnk. A megszokottság egyegy

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy

Részletesebben

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK Prof.Dr. Zobory István Budpest 04 Trtlomegyzék. Bevezetés... 3. A vsúti árművek teherviselő részeiről... 3. Alvázs (nem önhordó) kocsik... 3.. Kéttengelyes kocsik... 4..

Részletesebben

Jobbra és balraforgatás

Jobbra és balraforgatás Def A P F pont (mgsság-)egyensúly: AVL f Egy(P) = h(jo(p)) h(bl(p)) Def Az F inf AVL-f, h ( P F)( Egy(P) ) tétel H F AVL-f, kkor h(f).44 lg(n + ), hol n z F f pontjink számát jelöli. Biz Legyen N m z m

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ Társdlmi Megújulás Opertív Progrm keretében Munkhelyi képzések támogtás mikro- és kisválllkozások számár címmel meghirdetett pályázti felhívásához Kódszám: TÁMOP-2.1.3/07/1 v 1.2 A projektek

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

MAGICAR 441 E TÍPUSÚ AUTÓRIASZTÓ-RENDSZER

MAGICAR 441 E TÍPUSÚ AUTÓRIASZTÓ-RENDSZER MAGICAR 441 E TÍPUSÚ AUTÓRIASZTÓ-RENDSZER 1. TULAJDONSÁGOK, FŐ FUNKCIÓK 1. A risztóberendezéshez 2 db ugrókódos (progrmozhtó) távirányító trtozik. 2. Fontos funkciój z utomtikus inditásgátlás, mely egy

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

Szoldatics József, Dunakeszi

Szoldatics József, Dunakeszi Kstérség tehetséggodozás Rekurzív soroztok Szoldtcs József, Dukesz Npjkb egyre több verseye jelek meg rekurzív sorozt. Ezek megoldásához d ötleteket ez z elődás, A feldtok csoportosítv vk megoldás módszerek

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

Raiyuzeinek. szabbő bányászati iparág különleges sajátosságának következtében viszonylag hoszsuti. tanulajbányászati.

Raiyuzeinek. szabbő bányászati iparág különleges sajátosságának következtében viszonylag hoszsuti. tanulajbányászati. ldelg KÜLÖNLEGES, FŐLEG CENTRALIZACIÓS ÉS IPARI LÉTESÍTMÉNYEK TELEPÍTÉSI HELYENEK MÜSZAKIGAZDASÁGI ANALITIKUS VIZSGÁLATA És REKONSTRUKCIÖS BÁNYÁSZATI Kivot FORRAI SÁNDOR* okl báymémökek Tudomáyos Miősítő

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv Mátrx-vektor feldtok Összeállított dr. Slánk József egyetem djunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálnt Gusztáv 1. feldt Adottk z n elemű, b vektorok. Képezn kell c vektort, hol c = b / Σ( ), ( = 0,1,,

Részletesebben

A Szolgáltatás minőségével kapcsolatos viták

A Szolgáltatás minőségével kapcsolatos viták I. A Szolgálttó neve, címe DITEL 2000 Kereskedelmi és Szolgálttó Korlátolt Felelősségű Társság 1051. Budpest, Nádor u 26. Adószám:11905648-2- 41cégjegyzékszám: 01-09-682492 Ügyfélszolgált: Cím: 1163 Budpest,

Részletesebben

A vezeték legmélyebb pontjának meghatározása

A vezeték legmélyebb pontjának meghatározása A ezeték legméle pontjánk megtározás Elődó: Htiois Alen E 58. Vándorgűlés Szeged,. szeptemer 5. Vízszintes és ferde felfüggesztés - ezeték legméle pontj m / > < B Trtlom. Lángöre és prol függének A C m

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése VB-EC01 progrm rövid szkmi ismertetése A VB-EC01 progrmcsomg hrdver- és szoftverigénye: o Windows XP vgy újbb Windows operációs rendszer o Min. Gb memóri és 100 Mb üres lemezterület o Leglább 104*768-s

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

Kerületi Közoktatási Esélyegyenlőségi Program Felülvizsgálata Budapest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzata 2011.

Kerületi Közoktatási Esélyegyenlőségi Program Felülvizsgálata Budapest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzata 2011. Kerületi Közokttási Esélyegyenlőségi Progrm Felülvizsgált Budpest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzt 2011. A felülvizsgált 2010-ben z OKM esélyegyenlőségi szkértője áltl ellenjegyzett és z önkormányzt

Részletesebben

A Szakács Jenő Megyei Fizika Verseny I. forduló feladatainak megoldása 1

A Szakács Jenő Megyei Fizika Verseny I. forduló feladatainak megoldása 1 A Szkác Jenő Megyei Fizik Vereny I. forduló feldtink egoldá. 0, c 0,7 /, /, 0, /. c )? d? ) Az elő ut ebeége: c +,7 /. pont A áodik ut ebeége: c 0, /. 3 pont Az elő ut ozgáánk ideje: 0 t 30. pont,7 A áodik

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz Szemléletes lieáis lgeb - összefoglló I. méöhllgtó Segédyg z NGB_SZ_, N_SZ5 és N_SZ tágyhoz összeállított: D. Szöéyi Milós főis. doces 8. Ttlom:. Lieáis té. Tájéozódás lieáis tébe Lieáis ombiáció Lieáis

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

Kriptográfiai algoritmus implementációk időalapú támadása Endrődi Csilla, Csorba Kristóf BME MIT

Kriptográfiai algoritmus implementációk időalapú támadása Endrődi Csilla, Csorba Kristóf BME MIT NetworkShop 2004 2004.. április 7. Kriptográfiai algoritmus implementációk időalapú támadása Endrődi Csilla, Csorba Kristóf BME MIT Bevezetés Ma használt algoritmusok matematikailag alaposan teszteltek

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK we-lap : www.hild.gyor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STTIK 47. RÁCSOS TRTÓK rácsos tartók két végükön csuklókkal összekötött merev testekől állnak. z így

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

ÉT: x R ÉK: y R ZH: x = 0 SZÉ: - SZMN páratlan fv. n a

ÉT: x R ÉK: y R ZH: x = 0 SZÉ: - SZMN páratlan fv. n a A htváyozás iverz műveletei. (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté De.: :... Oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. : htváyl : kitevő : htváyérték A htváyozás zoossági egész

Részletesebben

3-4.elıadás: Optimális választás; A fogyasztó kereslete

3-4.elıadás: Optimális választás; A fogyasztó kereslete (C) htt://kgt.e.hu/ / 3-4.elıdás: Otiális válsztás; A fogysztó kereslete A fogysztó válsztási roléáj A fogysztó száár elérhetı (egfizethetı) jószágkosrk közül neki legjot válsztj A fogysztó költségvetési

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

ACTA CAROLUS ROBERTUS

ACTA CAROLUS ROBERTUS ACTA CAROLUS ROBERTUS Károly Róbert Főiskol tudomáyos közleméyei Alpítv: 3 ( ACTA CAROLUS ROBERTUS 3 ( Mtemtik szekció KOMPLETTEN POZITÍV LEKÉPEZÉSEK ÉS R V KADISON EGY SEJTÉSE Összefogllás KOVÁCS ISTVÁN

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

ALGEBRA. 1. Hatványozás

ALGEBRA. 1. Hatványozás ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

SZOLGALTATASI. amely alulirott napon és helyen létrej Ott egyreszrol:

SZOLGALTATASI. amely alulirott napon és helyen létrej Ott egyreszrol: ScbEYO csk SZOLGALTATASI mely lulirott npon és helyen létrej Ott egyreszrol: Csömör Ngyközség Onkormányzt Székhely: 2141 Csömör, Szbdság u. 5. Telefon: 0628/544048 Fx: 0628/544040 Képviseletében: Fábri

Részletesebben

MAGYAR NYELVI FELADATLAP

MAGYAR NYELVI FELADATLAP MAGYAR NYELVI FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 10:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Ügyelj küllkr! A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg. A megoldásr

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus) A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:

Részletesebben

Bevezetés. Mi a koleszterin?

Bevezetés. Mi a koleszterin? Bevezet betegklub feldt tgji számár betegségükkel kpcsoltos szkszerű információkt megdni. Ebben füzetben koleszterin htásiról cukorbetegségről gyűjtöttünk össze hsznos információkt. Mi koleszterin? koleszterin

Részletesebben

FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL

FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL SZAKDOLGOZAT Készítette: Kovács Blázs Mtet BSc, tár szrá Tévezető: dr Wtsche Gergel, djutus ELTE TTK, Mtettítás és Módszert Közot Eötvös Lorád Tudoáegete Terészettudoá

Részletesebben

13. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár) Rácsos tartók

13. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár) Rácsos tartók SZÉHYI ISTVÁ YTM LKLMZOTT MHIK TSZÉK. MHIK-STTIK YKORLT (kidolgozt: Triesz Péter, eg. ts.; Trni ábor, mérnöktnár).. Péld Rácsos trtók dott: z ábrán láthtó rácsos trtó méretei és terhelése. = k, = k. eldt:

Részletesebben

A táblázat a, b, c és d oszlopai a válaszlehetőségeket jelölik, a n oszlop pedig azt, hányan nem válaszoltak az adott kérdésre.

A táblázat a, b, c és d oszlopai a válaszlehetőségeket jelölik, a n oszlop pedig azt, hányan nem válaszoltak az adott kérdésre. Kiértékelés Közvéleméy kuttás élj: A Gudel Károly TISZK közvéleméy kuttásák élj, hogy következő, gykorlti képző helyekkel kpsoltos kérdésekre válszt kpjo: meyire tájékozottk z egyes gykorlti képző helyek

Részletesebben

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet. Bohák András (szerk.

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet. Bohák András (szerk. BUDAPESTI ŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOÁNYI EGYETE Gzdság- és Tásdlomtudomáy K Üzlet Tudomáyok Itézet Bohák Adás szek. BEFEKTETÉSEK okttás segédyg Íták: Ado Gyögy I. fejezet Bohák Adás VI-VII. fejezet Edős Péte

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha Vegyük észre, hogy egy mérhet f függvény pontosn kkor integrálhtó, h f dµ =. lim N Ez indokolj következ deníciót. { f α >N}. Deníció. Egy X, A, µ téren értelmezett mérhet függvényekb l álló vlmely f α

Részletesebben

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról. rész Bevezetés Az idő múlik, kívánlmk és lehetőségek változnk. Tegnp még logrléccel számoltunk, m már elektronikus számoló - és számítógéppel. Sok teendőnk

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

24. tétel Kombinatorika. Gráfok.

24. tétel Kombinatorika. Gráfok. Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 4. tétel Komitori. Gráfo. Komitori: A mtemti zo elméleti területe, mely egy véges hlmz elemeie csoportosításávl, iválsztásávl vgy sorrederásávl fogllozi. Permutáció

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2012. jnuár 26. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

DEBRECEN Megyei Jogú Város Önkormányzatának

DEBRECEN Megyei Jogú Város Önkormányzatának DBRC Megyei Jgú Várs Önkrmányztánk K Ö Z L Ö Y 2006. évi 20. szám 2006. nvember 22. T A R T A L M J G Y Z É K Szám Tárgy ldl A KÖZGYŰLÉS HATÁRZATAI 234/2006. (X. 26.) Ö.h. A Debreceni Vgynkezelő Zrt. részvényének

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

A bizonytalanság és az információ közgazdaságtana

A bizonytalanság és az információ közgazdaságtana (C) hp://kg.be.h/ /4 A bizonylnság és z inforáció közgzdságn Mjor Iván A közgzdságn fıárlánk lpelvei A neoklssziks közgzdságn lpji: közgzdságn, in ársdli fizik (Jevons, Menger, Böh-Bwerk és z oszrák iskol)

Részletesebben

E5CN Alkalmazási segédlet

E5CN Alkalmazási segédlet PNSPO! E5N Alklmzási segédlet 2 TARTALOMJEGYZÉK Bekötések...4 Beállítások...6 Egyszerű ON-OFF szbályozás beállítás...6 Egyszerű ON-OFF szbályozás beállítás (risztási funkcióvl)...6 PID szbályozás beállítás...7

Részletesebben