PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1

Átírás

1 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik = DETERMINÁNSOK = 13 = Bércesé Novák Áges 1

2 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik DETERMINÁNSOK Defiíció: z sorb és m oszlopb elredezett x m (vlós vgy képzetes) számokt trtlmzó tábláztot mátrixk evezzük. Defiíció (ld. Freud R.: Lieáris lgebr): Az x es mátrixhoz számot redelhetük. H hozzáredelt szám z lábbikb ismertetett szbály szerit törtéik, kkor ezt számot z x - es mátrix determiásák evezzük. Ezt számot következőképpe képezzük: mátrix mide sorából és oszlopából potos egy elemet válsztuk, és ezeket összeszorozzuk. Ezt mide lehetséges módo elvégezzük, igy! db szorztot kpuk. E szorztokt + vgy előjellel látjuk el szerit, hogy soridexek természetes sorredjét követő felírásb z oszlopidexek permutációj páros, vgy pártl. Az előjellel ellátott szorztokt összegezve kpjuk determiás értékét. Képletbe: I ( σ ) det(a):= ( 1) 1σ (1) 2σ (2) 3σ (3) σ ( ) Az lábbi bizoyításokál feltesszük, hogy determiás elemei vlós számok. Bércesé Novák Áges 2

3 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik A determiás defiíciój képletbe: I ( σ ) det(a)= ( 1) 1σ (1) 2σ (2) 3σ (3) σ ( ) A jeleti z x -es mátrixot, det(a) hozzáredelt számot, I(σ) jeleti σ permutációb szereplő iverziók számát, σ(1), σ(2), σ(3) σ() z 1, 2, 3, számok egy permutációját. Például: σ: 1, 3, 2, 5, 4, 6; σ(1)=1, σ(2)=3, σ(3)=2, σ(4)=5, σ(5)=4, σ(6)=6 Bércesé Novák Áges 3

4 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik Megjegyzések:.) Szokás determiás értékéről beszéli. Ekkor mgát hozzáredelést értjük determiás szó ltt, és mit függvéyek is v függvéyértéke, úgy determiásk is beszélhetük (függvéy)értékéről. b.) Egy permutáció páros/pártl, h z iverziók szám páros/pártl. c.) Lemm: Két elem cseréjével permutációk szám párosról pártlr, pártlról párosr változik. Biz.: Szomszédos elemek cseréjekor ez yilvávló. Két tetszőleges elem, x,y cseréjekor, h k elem állt köztük, k db szomszédos elem cserével y z x jobboldli szomszédj, 1 db cserével y z x helyére kerül, mjd z x k db szomszédos elem cserével y helyére vihető. Ez összese 2k+1 db szomszédos elem cseréje. Mivel mide lklomml páros permutációból pártl, pártlból páros keletkezik, ezért z eredméyül kpott sorredbe permutáció pritás megváltozik. Bércesé Novák Áges 4

5 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik Lemm: I ( σ ) ( 1) 1σ (1) 2σ (2) 3σ (3) σ ( ) = I( σ') + I( π) ( 1) σ'(1) π(1) σ'(2) π(2) σ'(3) π(3) σ'( ) π( ) Bizoyítás: Az első sorredből elemcserékkel bármilye más sorred előállíthtó. Így téyezők ugyzok. Mivel két elem cseréjével midkét idexbe z iverziók szám pártl számml változik, z I( σ ') + I( π ) szám pritás ugyz, mit z I ( σ ) számé, így z előjel is ugyz lesz. Tehát determiás e második, sorok oszlopok szempotjából szimmetrikus formulávl is defiiálhtó. Bércesé Novák Áges 5

6 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik A determiás tuljdosági 1. A determiás értéke em változik, h főátlór tükrözzük z elemeit. Következméy : A sorokr kimodott tételek oszlopokr is igzk. 2. H determiás főátlój fölött (ltt) csup áll, kkor determiás értéke főátlób álló elemek szorzt. 3. H determiás egy sor (egy sorák mide eleme), kkor értéke is. 4. H determiás egy sorát egy vlós számml megszorozzuk, értéke is e számszoros lesz. 5. H determiás két sorát felcseréljük, z értéke ( 1)-szeresére változik. 6. H determiás két sor egyelő, kkor determiás értéke. Bércesé Novák Áges 6

7 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik 7. H determiás k. sor kéttgú összegekből áll, kkor determiást két determiás összegekét kphtjuk. Az egyik determiás k. sor z eredeti k. soráb álló összegekből z első tgokt, másik z eredeti determiás k. soráb álló összegekből második tgokt trtlmzz. 8. A determiás értéke em változik, h egyik sorához hozzádjuk vlmely másik sor számszorosát. Bércesé Novák Áges 7

8 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik 9. Kifejtési tétel: determiás értékét kpjuk, h vlmely sorák elemeit megszorozzuk hozzájuk trtozó előjeles ldetermiásokkl, és ezeket szorztokt összedjuk. Ezt determiás i. sor szeriti kifejtéséek evezzük. Az ik elemhez trtozó A ik miormátrix z eredeti A mátrix i. sorák és k. oszlopák elhgyásávl keletkezik. Az A ik miormátrixhoz trtozó determiást z ik elem ldetermiásák evezzük. Ezt előjellel látjuk el, (-1) i+k. Az ldetermiás jele D ik. A kifejtési tétel képletbe: z i. sor szeriti kifejtés: i k det( A) = ( 1) + ik det( Aik) = ikdik A k. oszlop szeriti kifejtés hsoló: k = 1 k = 1 Tehát D ik = (-1) i+k det(a ik ). 1. Ferde kifejtés i + k ik ik ik ik i= 1 i= 1 det( A) = ( 1) det( A ) = D i+ k ik Ajk ikdjk k= 1 k= 1 = ( 1) det( ) = Bércesé Novák Áges 8

9 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik A determiás tuljdosági 1. A determiás értéke em változik, h főátlór tükrözzük z elemeit. Következméy : A sorokr kimodott tételek oszlopokr is igzk. Bizoyítás: I ( σ ) det(a):= ( 1) 1σ (1) 2σ (2) 3σ (3) σ ( ) A főátlór tükrözött mátrix determiás: det(a*):= ( 1) = ( 1) I( σ) + I( π) I( σ) + I( π) σ(1)1 σ(2)2 σ(3)3 σ( ) σ(1) π(1) σ(2) π(2) σ(3) π(3) σ( ) π( ) Mibe külöbözek szorztok? Csk z idexek változtk, de z egyes téyezők értékei változtlok! A determiás sor/oszopr szimmetrikus defiíciójából z előjelek zoosság dódik. Bércesé Novák Áges 9

10 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik 2. H determiás főátlój fölött (ltt) csup áll, kkor determiás értéke főátlób álló elemek szorzt. Bizoyítás: mide sorból és oszlopból kell midegyik szorztb szerepelie egy-egy elemek. Csk kkor lesz szorzt -tól külöböző, h z első sorból z első elemet válsztjuk. De kkor második sorból csk válszthtó (h em ezt z elemet válsztjuk szorzt ), és így tovább: 1 2 = Bércesé Novák Áges 1

11 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik 2. H determiás egy sor (egy sorák mide eleme), kkor értéke is. Bizoyítás: Tfh. hogy k. sor mide eleme. Az lábbi defiíciób mely elem lesz? I ( σ ) det(a):= ( 1) 1σ (1) 2σ (2) kσ ( k ) σ ( ). 1 2 = 1 2 Bércesé Novák Áges

12 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik H determiás egy sorát egy vlós számml megszorozzuk, értéke is e számszoros lesz. Bizoyítás: Tfh. hogy k. sort szorozzuk λ vlós számml. Ekkor I ( σ ) det(a):= ( 1) 1σ (1) 2σ (2) kσ ( k ) σ ( ), és beszorzott sorrl I( σ ) I( σ) det(a λ )= ( 1) 1 σ(1) 2σ(2) ( λ kσ(k) ) σ() = λ( ( 1) 1 σ(1) 2σ(2) kσ(k) σ() ) = λ det(a) Megjegyzés: Az előző tétel eek speciális esete λ=-r. Bércesé Novák Áges

13 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik H determiás két sorát felcseréljük, z értéke ( 1)-szeresére változik. Bizoyítás: I ( σ ) det(a):= ( 1) 1σ (1) 2σ (2) iσ ( i) kσ ( k ) σ ( ) Cseréljük fel z i. sort k. sorrl: I ( σ ') det(a ):= ( 1) 1σ '(1) 2σ '(2) kσ '( k ) iσ '( i) σ '( ) A tgok ugyzok, de szorztokb soridexek szeriti elredezésbe z oszlopok σ permutációj σ lett. Mi külöbség σ és σ között? Két elem cseréjével mikét változik z iverziók szám? Az zoos szorztok előjeléről mit tuduk tehát? Bércesé Novák Áges 13

14 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik Mi külöbség σ és σ között? Mide szorztb z i. és k. téyező felcserélődött. Ezért z oszlopidexek sorredjébe is e két elem fel v cserélve. Két elem cseréjével mikét változik z iverziók szám? Páros számúról pártl számúr, illetve pártl számúról páros számúr változik z iverziók szám. Az zoos szorztok előjeléről mit tuduk tehát? A szorztok előjelét z iverzók szám htározz meg, páros permutációkt + pártlokt előjellel vesszük. Ezek szerit tehát mide egyes szorzt előjele ( 1)- szeresére változik, de szorzt bszolút értéke változtl mrd, hisze két téyező felcserélése szorzt értékét em változttj meg. Ez zt jeleti, hogy determiás értéke (-1)szeresére változik. Bércesé Novák Áges 14

15 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik 6. H determiás két sor egyelő, kkor determiás értéke. Bizoyítás: Legye det(a)=d. Cseréljük fel z A mátrix két egyelő sorát. Változik-e z A mátrix? Változht-e hozzá trtozó determiás értéke? De z előző tétel mitt sorcserével (-1) szeresére kell determiás értékéek változi, vgyis D= - D. Hogy lehetséges ez? Bércesé Novák Áges 15

16 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik Változik-e z A mátrix? Nem, hisze zoos sorokt cseréltük. Változht-e hozzá trtozó determiás értéke? Nem, mert elemei em változtk. De z előző tétel mitt sorcserével (-1) szeresére kell determiás értékéek változi, vgyis D= - D. Hogy lehetséges ez? Cskis úgy, hogy determiás értéke. Bércesé Novák Áges 16

17 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik 7. H determiás k. sor kéttgú összegekből áll, kkor determiást két determiás összegekét kphtjuk. Az egyik determiás k. sor z eredeti k. soráb álló összegekből z első tgokt, másik z eredeti determiás k. soráb álló összegekből második tgokt trtlmzz. Bizoyítás: Legye k. sor z, melyik kéttgú összeget trtlmzz. z összegzés tuljdosági mitt: det( A ) = ( 1 ) I ( σ ) 1σ (1 ) 2 σ ( 2 ) ( b k σ ( k ) + c k σ ( k ) ) σ ( ) = ( 1 ) I ( σ ) 1σ ( 1 ) 2 σ ( 2 ) b k σ ( k ) σ ( ) + ( 1 ) I ( σ ) 1σ (1 ) 2 σ ( 2 ) c k σ ( k ) σ ( ) b + c b + c b + c = b 1 1 b b + c 1 1 c c Bércesé Novák Áges 17

18 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik 8. A determiás értéke em változik, h egyik sorához hozzádjuk vlmely másik sor számszorosát. (lább z i.sorhoz djuk k.sor λ-szorosát) det( A) = l1 = det( A) + k1 + λ 1 k1 l 2 k 2 + λ 2 k 2 l λ k k = k1 l1 1 k 2 l k l + k1 λ k1 1 k 2 λ k k λ k = det( A) + λ k1 k1 1 k 2 k k k = Bércesé Novák Áges 18

19 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik 9. Kifejtési tétel: determiás értékét kpjuk, h vlmely sorák elemeit megszorozzuk hozzájuk trtozó előjeles ldetermiásokkl, és ezeket szorztokt összedjuk. Ezt determiás i. sor szeriti kifejtéséek evezzük. Az ik elemhez trtozó A ik miormátrix z eredeti A mátrix i. sorák és k. oszlopák elhgyásávl keletkezik. Az A ik miormátrixhoz trtozó determiást z ik elem ldetermiásák evezzük. Ezt előjellel látjuk el, (-1) i+k. Az ldetermiás jele D ik. A kifejtési tétel képletbe: z i. sor szeriti kifejtés: i k det( A) = ( 1) + ik det( Aik) = ikdik A k. oszlop szeriti kifejtés hsoló: k = 1 k = 1 Tehát D ik = (-1) i+k det(a ik ). 1. Ferde kifejtés i + k ik ik ik ik i= 1 i= 1 det( A) = ( 1) det( A ) = D i+ k ik Ajk ikdjk k= 1 k= 1 = ( 1) det( ) = Bércesé Novák Áges 19

20 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik A kifejtési tétel bizoyítás:.) Első sor z első elem kivételével : k1 l1 1 k2 l2 2 2 k l = k2 l2 2 2 k l = D b.) H z i.sor k. elem kivételével em ull, kkor háy szomszédos sor ill. oszlop cseréjével vihető z i. sor z első sor helyére, és k. elem helyére? Pl. 2. sor első eleme em ull, többi ull, hogy számíthtó ki determiás értéke? Bércesé Novák Áges 2

21 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik b.) H z i.sor k. elem kivételével em ull, kkor háy szomszédos sor ill. oszlop cseréjével vihető z i. sor z első sor helyére, és k. elem helyére? Pl. 2. sor első eleme em ull, többi ull, hogy számíthtó ki determiás értéke? Az ik elemet k-1 drb szomszédos oszlopcserével és i-1 drb szomszédos sorcserével vihető helyére, így z előző eset áll fe. (Nem egyszerűe felcseréljük z 1. és i.sort, mert kkor em z ldetermiást kpák!!!) 1 1( k 1) 1( k+ )1 1 2 ( i 1)1 ( i 1)2 i+ k ( i 1) ik = ( 1) ik = ik ( i+ 1)1 ( i+ 1)2 ( i+ 1) l1 l2 l D ik Bércesé Novák Áges

22 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik c.) H icse oly sor, melyek elemei egy elem kivételével ullák, kkor bármelyik sor felírhtó mit z eredeti elem és -1 db ull öszege. A determiás pedig felbothtó db oly determiás összegére, melybe v egy elem kivételével csup ull sor = = i 1 i 2 ik i i i ik i l1 l2 l l1 l2 l = i 1 i2 ik. i l1 l2 l l1 l2 l l1 l2 l l1 l2 l 1 2 Bércesé Novák Áges

23 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik = = i1 i2 ik i i1 i2 ik i l1 l2 l l1 l2 l = i 1 i2 ik. i l1 l2 l l1 l2 l l1 l2 l l1 l2 l 1 2 = i+ k ( 1) ik det( Aik) ikd i k k = 1 k = 1 = = Bércesé Novák Áges

24 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik Ferde kifejtés H determiás kifejtésére votkozó képletbe z ik sor elemei helyett pl. z lk sor elemeit szorozzuk meg redre D ik ldetermiásokkl, kkor z így kpott szám ull. Helyes kifejtés: det(a)= D + D D 1 Ferde kifejtés: = D + D D 1 Bizoyítás(Hf. ált.): 13 = = + Bércesé Novák Áges 24

25 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik H z egyelőség jobb oldlá álló kifejezésből iduluk ki, z ott álló elemeket következő, két egyelő sorrl, tehát értékkel redelkező determiásb lehet elredezi: = 13 = + Bércesé Novák Áges 25