Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy."

Átírás

1 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Elemi lgebr. A.. Mcedói, 00, 9. év. I. ord. Htározzuk meg y y értékét, h, y pozitív vlós számok és y = 6y. A.. Horvátország, 00, regioális versey, 0. év. /4. Htározzuk meg zo vlós számokt, melyekre z lábbi egyelet mide megoldás vlós szám: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( 4) ( 4)( 5) =. A.. Görögország, Mtemtiki Olimpi, 00. ebruár (juiorok) /4. A Hellé Mtemtiki Társság mtemtikverseyé résztvevő iúkt és láyokt két csoportb osztották: kezdők (dott korosztályig) és hldók. A verseye résztvevő iúk ráy 55%, kezdő iúk és hldó iúk számák ráy megegyezik z összes kezdő és hldó verseyző számák ráyávl. Htározzuk meg kezdő iúk és láyok számák ráyát. A.4. Litvái, 997 Htározzuk meg z, b vlós számokt, h e b = e b mide -re teljesül. A.5. Pá-Ariki Mtemtiki Olimpi 00,. p (idő: 4.5 ór) /. ( i ) i Legye egész szám és > 0 vlós szám. Htározzuk meg ( ) i= = egyelet (,,, ) megoldásik számát, h i [0, ], mide i =,,, eseté. Elemi lgebr. A.. Ausztri, Mtemtiki Olimpi 00. április, területi versey /. Oldjuk meg z lábbi egyeletet vlós számok körébe: ( ) 00 ( ) 000 ( ) ( ) 999 ( ) ( ) ( ) 999 ( )( ) 000 ( ) 00 = 0. A.. Mcedói, 00, II. ord. 9. év. /4. Mtemtik Okttási Portál, /

2 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek y z Legye, y, z oly vlós szám, melyre =. Bizoyítsuk be, hogy y z z y y z ekkor = 0. y z z y A.. Horvátország, városi versey, 00, 0. év. /4. Oldjuk meg z = egyeletet, h, b ullától külöböző vlós számok. b b A.4. Spyolország, Mtemtiki Olimpi 999,. helyi orduló,. p /. Legyeek, b, c 0 vlós számok (és b c 0), melyekre =. b c b c Bizoyítsuk be, hogy ekkor = b c b c A.5. Albái, Mtemtiki Olimpi, 00. március,. év. /5. * Htározzuk meg z lábbi összeg értékét, h () =, R : Egészrész, törtrész. ([] és {} z egész részét, illetve törtrészét jeleti) A.. Litvái, 00. október Oldjuk meg z = 4 [] egyeletet! A.. Észtország, 00. október, őszi yílt versey, juiorok, /5. Htározzuk meg zo (, y, z) vlós számhármsokt, melyek eleget teszek z lábbi eltételekek: [y] {z} = 00,; {} y [z] = 00,; [] {y} z = 00,0. A.. Albái, Mtemtiki Olimpi, 00. március, 0. év. /5. ) Bizoyítsuk be, hogy h = m m, m N, kkor [ ] = m. b) Htározzuk meg z összes természetes számot, melyre [ ] osztj -et. Mtemtik Okttási Portál, /

3 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek A.4. Belorusszi, 997, válogtóversey Htározzuk meg z összeget. A.5. (Ary Dáiel-versey speciális mtemtik osztályok számár, hldók, második (dötő) orduló, 979. május.) Htározzuk meg következő összeg értékét: Egészrész, törtrész ([] és {} z egész részét, illetve törtrészét jeleti) A4.. Ausztri, Mtemtiki Olimpi, 00. júius, kezdők Bizoyítsuk be, hogy z 9 [ = egyeletek ics pozitív rcioális megoldás. ] A4.. Litvái, 997 Oldjuk meg [ 7 4] = [ si] egyeletet. A4.. Pá-Ariki Mtemtiki Olimpi, 00. július,. p (idő: 4.5 ór) /. Számítsuk ki [ ] [ ]... [ 00] értékét. A4.4. Kd, 996, olimpii előkészítő (levelező) Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges emegtív egész számr ( ) ( ) = (9 8). A4.5. Írország, Mtemtiki Olimpi, 00. május,. orduló (idő: ór) 4/5. H α =, bizoyítsuk be, hogy α [α ] = α, mide = 0,,, eseté. Mgsbbokú egyeletek. A5.. Horvátország, 00, országos versey, 0. év. /4. Mtemtik Okttási Portál, /

4 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Htározzuk meg z lábbi egyelet összes vlós megoldását: ( 4) ( 5 ) = ( ). A5.. Jpá, 990, IMO válogtóversey,. orduló Htározzuk meg z 5 5 = 5 80 egyelet vlós gyökeiek szorztát. A5.. Spyolország, Mtemtiki Olimpi, 00,. orduló /8. Htározzuk meg z p p 0 = 0 egyelet gyökeit, h tudjuk, hogy számti soroztot lkotk (p vlós prméter). A5.4. Olszország, Mtemtiki Olimpi, 00. május, 4/6. Htározzuk meg zo értékeket, melyekre z = 0 egyelet gyökei egész számok! A5.5. Brit Mtemtiki Olimpi, 998 ) Oldjuk meg z lábbi egyeletredszert, h, y, z pozitív számok: y yz z =, yz = y z. b) Mutssuk meg, hogy v oly megoldás is, hol, y, z külöböző, em szükségképpe pozitív számok. Mgsbbokú egyeletek. A6.. Vietám, Mtemtiki Olimpi, 00. március,. p /. Oldjuk meg z 4 0 = egyeletet. A6.. Bulgári, 00. ebruár Htározzuk meg z prméter midzo értékeit, melyekre z log( ) = 4 egyeletek potos egy megoldás v. A6.. Horvátország, 00, városi versey,. év. 4/4. Htározzuk meg derékszögű háromszög α és β szögét, h tgα tgβ tg α tg β tg α tg β = 70. (Elég tgα és tgβ értékét meghtározi.) A6.4. Litvái, 997 Htározzuk meg z prméter értékét, h z 8 4 = 0 egyelet égy gyöke számti soroztot lkot. Mtemtik Okttási Portál, 4 /

5 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek A6.5. Jpá, Mtemtiki Olimpi, 99,. orduló Az y-síkbeli E görbe egyelete y = A (, 9) és (4, 5) potoko átmeő egyees egy további P potb metszi görbét. Htározzuk meg P -koordiátáját. Algebri egyeletredszerek. A7.. Ausztri, Mtemtiki Olimpi, 00. április, selejtező versey /4. Oldjuk meg z lábbi egyeletredszert vlós számok hlmzá: = = = = 5 5 =, 7, 4,, 4 4. A7.. Görögország, 00, IMO válogtóversey /4. Htározzuk meg z prméter lehetséges értékeit, h z, y, vlós számokr y = y = 5 y 5 =. A7.. Csehország és Szlováki, Mtemtiki Olimpi, 00. december,. orduló Htározzuk meg p vlós prméter értékét úgy, hogy z lábbi egyeletredszerek potos egy megoldás legye: = (p ) py z, y = (p )y pz, z = (p )z p y. A7.4. Horvátország, 00, városi versey, 0. év. /4. Bizoyítsuk be, hogy h = by = cz és by cz = b c. =, kkor y z A7.5. Irá, Mtemtiki Olimpi, 995 Legyeek, b, c pozitív vlós számok, s htározzuk meg zo, y, z vlós számokt, melyekre y z = b c, 4yz ( b y c z) = bc. Algebri egyeletredszerek. Mtemtik Okttási Portál, 5 /

6 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek A8.. Írország, Mtemtiki Olimpi, 999,. p (idő: ór) /5. Oldjuk meg z lábbi egyeletredszert: y = ( 8)( ), y (8 4)y (6 6 5 ) = 0. A8.. Horvátország, 00, városi versey, 4. év. /4. Htározzuk meg z lábbi egyeletredszer vlós megoldásit: 00 = 00, = 00. A8.. Görögország, 00. április (juior válogtóversey, dötő) /4. Htározzuk meg z prméter lehetséges értékeit, h z, y, vlós számokr y = y = y =. A8.4. Albái, Mtemtiki Olimpi, 00. március, 9. év. /5. Az és b vlós számok kielégítik z lábbi egyeleteket: b = 40, b b = 40. Htározzuk meg b értékét. A8.5. Belorusszi, Miszk, 995,. o. Oldjuk meg vlós számok hlmzá z lábbi egyeletredszert: y ( 4) 4y = 4. (y ) = 5, Algebri egyelőtleségek. A9.. Litvái, 00. október Htározzuk meg z 5( b c ) (b 6c bc c) kiejezés miimumát, h, b, c vlós számok. A9.. Észtország, tvszi yílt versey, 00. ebruár, szeiorok, /5. b Legyeek, b vlós számok, b. Bizoyítsuk be, hogy. b b Mtemtik Okttási Portál, 6 /

7 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek A9.. Albái, Mtemtiki Olimpi, 00. március, 0. év. /5. Az, y, z, t pozitív számokr y z t =. y z t ) Bizoyítsuk be, hogy ekkor y y z z t t b) Mikor áll e egyelőség?. A9.4. Brzíli, Mtemtiki Olimpi, 00,. p /. Bizoyítsuk be, hogy pozitív vlós, b, c számokr ( b)( c) bc( b c). A9.5. Ausztráli, Mtemtiki Olimpi, 986, 6. eldt Adottk z, b,,,, vlós számok, b 0. Az... b b = 0 egyelet mide gyöke pozitív szám. Bizoyítsuk be, hogy gyökök egyelők. Algebri egyelőtleségek. A0.. Horvátország, 00, városi versey, 9. év. 4/4. Legye oly vlós szám, melyre 5 =. Bizoyítsuk be, hogy < 6 < 4, A0.. Görögország, Mtemtiki Olimpi, 00. ebruár, /4. c Az, b, c vlós számokr bc 0 és 0. Bizoyítsuk be, hogy ekkor bc 0( b c bc ) b 5c. A0.. Litvái, 997 Az, b és c pozitív számokr b c = 4 7. Bizoyítsuk be, hogy A0.4. Új-Zéld, 990 <. b c bc Bizoyítsuk be, hogy pozitív, b, c számokr h b c és b c, kkor b 5c. A0.5. Ázsii Mtemtiki Olimpi, 000. március, 4/5. Legyeek és k dott pozitív egész számok, > k. Bizoyítsuk be, hogy Mtemtik Okttási Portál, 7 /

8 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek k k ( k) k! < < k!( k)! k k ( k) k. Algebri egyelőtleségek. A.. Írország, Mtemtiki Olimpi, 999,. p (idő: ór) /5. Htározzuk meg z vlós számokt, h ( ) < 8. ( ) A.. Kd, 00. ebruár, Mitob versey Bizoyítsuk be, hogy h, y, z pozitív vlós számok, kkor ( y z)( y) z( z)(y z) 0. A.. Ukrj, Mtemtiki Olimpi, 998. április,. év. Bizoyítsuk be, hogy h, y, z (0; ], kkor y z y z z y yz. y z A.4. Litvái, 00. október Tegyük el, hogy z vlós-vlós üggvéyre ebből, hogy ( ) ( ) ( )? ( ) ( ). Következik-e A.5. Görögország, 00, IMO válogtóversey 4/4. Bizoyítsuk be, hogy h z, b, c em-egtív vlós számokr b c =, kkor b c ( b b c c ). Mikor áll e egyelőség? b c 4 Algebri egyelőtleségek 4. A.. Litvái, 997 Htározzuk meg 5 y miimumát, h és y egész számok és 4 5y = 7. A.. Írország, Mtemtiki Olimpi, 998,. p (idő: ór) / Mutssuk meg, hogy h 0 vlós szám, kkor 0 4 A.. Mcedói, 00,. orduló 0. év. /4. Mtemtik Okttási Portál, 8 /

9 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek A p(t) = t bt c poliom együtthtói emegtív vlós számok. Bizoyítsuk be, hogy (p(y)) p( )p(y ). A.4. Blká Mtemtiki Olimpi, 00, juiorok, 4/4. Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges, b, c pozitív vlós számokr 7. b( b) c(b c) ( c) ( b c) A.5. Vietám, Mtemtiki Olimpi, 00. március,. p /. Az, b, c oly vlós számok, melyekre P() = b c poliomk három vlós (em szükségképpe külöböző) gyöke v. Bizoyítsuk be, hogy ( b). b 7c 6 0 Mikor teljesül z egyelőség? Algebri egyelőtleségek 5. A.. Dél-Arik, Potchestroom-versey, 00. július,. versey (idő: 4.5 ór) /4. Az 0, y 0 vlós számokr y =. Bizoyítsuk be, hogy y ( y ). A.. Litvái, Mtemtiki Olimpi, 998 b c d Az, b, c, d külöböző vlós számokr = 4 és c = bd. Legeljebb mekkor b c d b c d értéket vehet el? c d b A.. Jpá, 990, IMO válogtóversey,. orduló Legye > egész szám. Htározzuk meg K mimumát és G miimumát, h bármely,,, pozitív vlós számokr K <... < G. A.4. Írország, Mtemtiki Olimpi, 999,. p, (Idő: ór) /5. b c d Az, b, c, d pozitív számok összege. Bizoyítsuk be, hogy b b c c d d, s z egyelőség potos kkor teljesül, h = b = c = d =. 4 A.5. Ázsii Mtemtiki Olimpi, 996 Bizoyítsuk be, hogy háromszög oldli. b c b c c b b c, h, b, c egy Mtemtik Okttási Portál, 9 /

10 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Htváyközepek. A4.. Görögország, Mtemtiki Olimpi, 00. ebruár, juiorok, 4/ Bizoyítsuk be, hogy <. A4.. Brit Mtemtiki Olimpi, 000,. orduló, y, z pozitív vlós számok, yz =. Htározzuk meg 4y 4y z miimumát! A4.. Horvátország, 00, országos versey, 9. év. /4. Bizoyítsuk be, hogy mide, b, c > 0 és p 0 vlós számr teljesül z p b p c p p bc b p c c p b egyelőtleség. A4.4. Albái, Mtemtiki Olimpi, 00. március,. év. /5. Bizoyítsuk be, hogy z, b, c pozitív számokr ( b c ) ( b c) b c. b c Mikor áll e egyelőség? A4.5. Észtország, 998, selejtező versey Legyeek,,, és y, y,, y oly vlós számok, melyekre > 0 és y, yy,, yy y. Bizoyítsuk be, hogy ekkor y y y. Htváyközepek. A5.. Albái, Mtemtiki Olimpi, 00. március, 9. év. 5/5., b, c emegtív számok, melyekre b c =. Bizoyítsuk be, hogy ekkor 7(b bc c) 9bc. Mikor áll e egyelőség? A5.. Horvátország, 00, országos versey, 0. év. /4. Bizoyítsuk be, hogy h, b, c -él gyobb vlós számok, kkor b c log b c logb c b logc bc c b bc. A5.. Görögország, Mtemtiki Olimpi, 000, /4. Mtemtik Okttási Portál, 0 /

11 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Htározzuk meg zt leggyobb k számot, melyre mide pozitív, y számr. ( y y )( y ) k teljesül A5.4. Ausztri, Mtemtiki Olimpi, 00. május, országos versey,. p /. Htározzuk meg z összes oly (, y, z) pozitív számokból álló számhármst, melyek kielégítik z lábbi egyeleteket: 4 y z = 6 és =. y z yz A5.5. Írország, Mtemtiki Olimpi, 00. május,. orduló (Idő: ór) 4/5. Bizoyítsuk be, hogy h 0 <, b, c <, kkor egyelőség? b c bc b c bc. Mikor áll e Htváyközepek. A6.. Jpá, Mtemtiki Olimpi, 998,. orduló y z Htározzuk meg z y z kiejezés mimumát, h, y, z pozitív számok. A6.. Írország, Mtemtiki Olimpi, 998,. p (Idő: ór) /5. Bizoyítsuk be, hogy h, b, c pozitív számok, kkor 9 ) ; b c b b c c b). b b c c b c A6.. Ausztri, Mtemtiki Olimpi, 00. április, selejtező, 4/4. Tekitsük z 0,,,, 00 vlós számokt. ) Bizoyítsuk be, hogy z k( 00-k), 0 k 00 számok legkisebbike em gyobb, mit 4. b) Kphtuk-e egyelőséget z előző esetbe, h 0 k 00? c) Bizoyítsuk be, hogy z ) állítás kkor is igz, h z 0,,,, 00 számok mid pozitívk. A6.4. Albái, Mtemtiki Olimpi, 00. március,. év. 5/5. Bizoyítsuk be, hogy h, b pozitív számok, melyekre < b és b =, kkor Mtemtik Okttási Portál, /

12 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek ) ( ) b < ; b) < b b. b A6.5. Kd, 996, olimpii előkészítő (levelező) Bizoyítsuk be, hogy h,,, pozitív vlós számok, kkor... ( ). Htváyközepek 4. A7.. Ausztri, Mtemtiki Olimpi, 00. május, dötő,. p /4. Htározzuk meg leggyobb C vlós számot, melyre h y =, kkor mide vlós, y (( y) 6)(( y) 8) számr ( y) C. Milye (, y) értékekre lép el egyelőség? ( y) A7.. Jpá, 990, NMO válogtóversey Az, y, z pozitív vlós számokr y z =. Htározzuk meg 4 9 miimumát. y z A7.. Kd, 996, yílt versey 6 pozitív szám összege 00, égyzetösszege 000. Bizoyítsuk be, hogy egyik szám sem gyobb, mit 5. A7.4. Ukrj, Mtemtiki Olimpi, 998. április, 9. év. Bizoyítsuk be, hogy h z, b, c pozitív vlós számokr bc =, kkor b bc c. b c A7.5. Törökország, Mtemtiki Olimpi, 998. december,. p (Idő: 4.5 ór) /. Bizoyítsuk be, hogy ( b)(b 4c)(c ) 60bc mide 0 b c vlós számr. Számti soroztok A8.. Spyolország, Mtemtiki Olimpi, 999,. helyi orduló,. p /. Htározzuk meg kezdőtgját k számti soroztk, melyre z lábbik teljesülek: ) A sorozt mide tgj pozitív. ) A diereci 0 és közé esik. Mtemtik Okttási Portál, /

13 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek ) Az első 999 tg összege 000. A8.. Oroszország, Mtemtiki Olimpi, 00, 4. (körzeti) orduló, 0. év. /8. Legeljebb háy pozitív egész számból állht z,,, számti sorozt, h diereciáj, és mide k =,,, -re k prímszám? A8.. Mcedói, 00,. orduló. év. Az,,, számok számti soroztot lkotk. Bizoyítsuk be, hogy... =.... A8.4. Észtország, 00. október, őszi yílt versey, szeiorok, /5. Egy háromszög oldlik hosszi és beírt köréek átmérője ebbe sorredbe számti soroztot lkot. Bizoyítsuk be, hogy háromszög derékszögű. A8.5. Új-Zéld, 99 Mutssuk meg, hogy z, 4, 7, 40, számti soroztb végtele sok lkú természetes szám v. Soroztok A9.. Új-Zéld, Mtemtiki Olimpi, 998,. ktegóri /5. Egy sorozt első tgj 7. Ezutá mide lépésbe kiszámoljuk z előző tg égyzetét, mjd z így kpott szám számjegyeiek összegét -gyel megövelve kpjuk z új tgot. Pl.: 7 = 49, 4 9 = 4 második tg; 4 = 96, 9 6 = 7 következő stb. Mi lesz sorozt 999. tgj? A9.. Brzíli, Mtemtiki Olimpi, 00,. ord.. év. 6/6. Legye () =. Htározzuk meg z Mtemtik Okttási Portál, /

14 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Mtemtik Okttási Portál, 4 / összeget, h pozitív egész szám. A9.. Jpá, Mtemtiki Olimpi, 998,. ord. Kiválsztuk 0 (egyorm) követ, melyek midegyike ehér vgy ekete, és sorb redezzük őket úgy, hogy két ekete em kerül egymás mellé. (Midkét szíű kőből elegedő meyiségű áll redelkezésükre.) Háyéle sorred készíthető? A9.4. Horvátország, 00, országos versey,. év. 4/4. Legye (), N pozitív egész számok egy övekvő sorozt. Azt modjuk, hogy sorozt k tgj jó, h elírhtó sorozt éháy másik (em szükségképpe külöböző) tgják összegekét. Bizoyítsuk be, hogy véges sok kivétellel sorozt mide tgj jó. A9.5. Ázsii Mtemtiki Olimpi, 000. március, /5. Htározzuk meg z = = 0 0 i i i i S összeget, hol 0 i i =. Rekurziók. A0.. Észtország, tvszi yílt versey, 00. ebruár, juiorok, 4/5. Az,,, soroztr = 0, =, = 5, h >. Mely értékekre oszthtó ) 5-tel, b) 5-tel? A0.. Brit Mtemtiki Olimpi, 000,. ord. Az () soroztot 0 =, = k ( ) -, módo deiiáljuk, hol k, pozitív egész. Htározzuk meg k zo értékeit, melyekre 000 tgj soroztk. A0.. Kd, 996, olimpii előkészítő (levelező) Az {u} soroztot u0 = 0, u =, u = 995u u ( ) rekurzióvl deiiáljuk. Htározzuk meg zo > értékeket, melyekre u prím.

15 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek A0.4. Írország, Mtemtiki Olimpi, 00. május,. orduló (Idő : ór ) 4/5. Az,,, soroztot =, =, =, = módo deiiáljuk. Bizoyítsuk be, hogy pozitív egész szám, h. A0.5. Blká Mtemtiki Olimpi, 00. április, /4. Az,,,, sorozt rekurzív lkj = 0, = 0, =, h >. Htározzuk meg zo pozitív egész értékeket, melyekre 5 égyzetszám. Rekurziók. A.. Írország, Mtemtiki Olimpi, 998,. p (Idő : ór ) 4/5. Az számsoroztr 0, tetszőleges pozitív vlós számok, Htározzuk meg 998 értékét. A.. Jpá, 990, NMO válogtóversey,. ord. =, h = 0,,, Az {} soroztr = és =, h. Htározzuk meg [00] értékét. A.. Brit Mtemtiki Olimpi, 998,. ord. 4/5. Mutssuk meg, hogy z egész számok hlmzá csk egyetle sorozt v, mely kielégíti következő eltételeket: =, =, 4 = és - = ±, h =,, 4, A.4. Észtország, 998, selejtező Legye k dott pozitív egész szám, s deiiáljuk z (E) soroztot következőképpe: E = k, E = E ke k ( ). Bizoyítsuk be, hogy (E) elemei párokét reltív prímek. A.5. Kd, 996, olimpii előkészítő (levelező) Legye pozitív egész szám. Bizoyítsuk be, hogy v oly k pozitív egész szám, melyre ( ) = k k. Rekurziók. A.. Jpá, Mtemtiki Olimpi, 99,. ord. Meyi z 0 =, = és = () módo deiiált {} sorozt 99 tgják 7-tel vett osztási mrdék? Mtemtik Okttási Portál, 5 /

16 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek A.. Belorusszi, 995,. év. Az soroztr 0 = = és = ( ) ( ), h 0. Htározzuk meg 995 értékét. A.. Németország, 999, országos versey,. ord. Az,,, és b, b, b, soroztokt = b = és = b, b = b módo deiiáljuk, h =,,, Bizoyítsuk be, hogy z sorozt bármely két eleme reltív prím. A.4. Bulgári, 00. ebruár Az,,,, soroztot következő módo deiiáljuk: = k, = 5k és =,, hol k vlós szám. Bizoyítsuk be, hogy h k =, kkor 7 8 =, h. ([] z egész részét jelöli.) A.5. Brit Mtemtiki Olimpi, 00. ebruár,. ord. (Idő :.5 ór ) /4. Bizoyítsuk be, hogy z y0 =, egész szám. y = y 5y 4, ( 0) sorozt mide tgj Poliomok A.. Mcedói, 00,. ord.. év. Alkítsuk szorzttá P() = poliomot! A.. Litvái, 00. október Htározzuk meg z összes p() poliomot, melyre p()p( ) = 8( ) mide vlós -re teljesül. A.. Cseh és szlovák, 00. október Htározzuk meg vlós együtthtós P() poliomot, h mide vlós -re ( )P( ) ( )P( ) = P(). A.4. Szlovéi, Mtemtiki Olimpi, 998, dötő,. év. /4. Htározzuk meg zo p() vlós együtthtós poliomokt, melyekre igz, hogy mide vlós -re ( 8)p() = 8( )p(). A.5. Kd, 996, olimpii előkészítő (levelező) Mtemtik Okttási Portál, 6 /

17 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Legye p pártl prím és ( ) p = p p. Mutssuk meg, hogy z,, 4,, p (p ), p (p ) számok p többszörösei. Rcioális számok A4.. Albái, Mtemtiki Olimpi, 00. március, 0. év. 4/5. ) Bizoyítsuk be, hogy log irrcioális szám. b) Vk-e oly, y irrcioális számok, melyekre y rcioális szám? A4.. Szlovéi, Mtemtiki Olimpi, 998,. orduló,. év. /4. Legye tetszőleges számjegy ( {0,,, 9}). Ezutá mide N eseté jeletse 9 98 szám tízes számredszerbeli lkjáb z utolsó számjegyet. Bizoyítsuk be, hogy 0, rcioális szám. A4.. Észtország, 998, dötő Legye oly vlós szám, melyre = [], hol [] z szám egészrészét jeleti. Bizoyítsuk be, hogy em rcioális szám. A4.4. Ausztri, Mtemtiki Olimpi, 00. május, országos versey,. p /. Htározzuk meg z összes oly m egész számot, melyre m = 0 egyelet gyökei rcioális számok. A4.5. Litvái, 00. október Bizoyítsuk be, hogy z origó középpotú egységsugrú kör kerületé végtele sok oly pot v, melyek midkét koordiátáj rcioális szám. Algebri trigoometri A5.. Mcedói, 00,. ord.. év. Htározzuk meg z lábbi kiejezés értékét: si si6 si cos cos6 cos si si si cos cos cos A5.. Litvái, 997 Bizoyítsuk be, hogy mide vlós -re és pozitív egész számr cos cos cos4 cos >. Mtemtik Okttási Portál, 7 /

18 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek A5.. Cseh és szlovák Mtemtiki Olimpi, 00. juár,. ord. Mutssuk meg, hogy tetszőleges Mikor áll e egyelőség? π α, β 0, eseté t α tβ. cosα cosβ A5.4. Albái, Mtemtiki Olimpi, 00. március, 0. év. 5/5. Bizoyítsuk be, hogy bármely háromszögbe teljesül z lábbi egyelőség és egyelőtleség (s háromszög élkerülete, r és R beírt, ill. körülírt kör sugr): α β γ ) r cos bcos ccos = s ; R α β γ b) r cos b cos c cos s. R A5.5. Észtország, 00, NMO válogtóversey,. p /. Legye 0 < α < π és,,, oly vlós számok, melyekre si si si siα. Bizoyítsuk be, hogy si( α) si( α) si( α) 0. Függvéyek, üggvéyegyeletek. A6.. Albái, Mtemtiki Olimpi, 00. március,. év. /5. Htározzuk meg z : R * R üggvéyt, h () * =, R. A6.. Észtország, Mtemtiki Olimpi, 999, dötő,. év. /5. Htározzuk meg z 000 kiejezés értékét, h () = A6.. Dél-Arik, Rhodes-versey, 00. április,. orduló (Idő : 4.5 ór ) /. Az : Z Z üggvéyre teljesül, hogy () =, () = () és ( ) = () mide pozitív egész számr. ) Htározzuk meg () mimumát, h N, 00! b) Htározzuk meg zo N, 00 értékeket, melyekre () elveszi mimumát! A6.4. Thiöld, Mtemtiki Olimpi, 00 Mtemtik Okttási Portál, 8 /

19 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek A természetes számok hlmzá értelmezett () üggvéyre (0) = () = és ( ) ( ) () =, h. Bizoyítsuk be, hogy mide -re () = és! ( )! ( ) =. ( )! A6.5. Brzíli, Mtemtiki Olimpi, 00,. orduló,. év. /6. Htározzuk meg z : R R üggvéyt, h () = ( ) és ( y) = () (y) 8y 5 mide vlós, y-r. Függvéyek, üggvéyegyeletek. A7.. Brzíli, Mtemtiki Olimpi, 00,. orduló,. év. Tekitsük z () = 4 üggvéyt. Háy megoldás v z (( (()))) = egyeletek, hol z üggvéyt 00-szer lklmzzuk? A7.. Szlovéi, Mtemtiki Olimpi, 998, dötő,. év. /4. Htározzuk meg zo : R R üggvéyeket, melyekre () ( ) = mide R eseté. A7.. Thiöld, Mtemtiki Olimpi, 00 Legye z () = 4 b c üggvéyre [( )] [( )] = 7 (, b, c vlós számok). Htározzuk meg () segítségével p() poliomot, h = ( 4 ) p(), hol p() csk -től ügg. A7.4. Észtország, 996 Htározzuk meg zo : R R üggvéyeket, melyek mide vlós számr eleget teszek z lábbi eltételekek: ) () = ( ); b) ( ) = () ; c) = (), i 0. A7.5. Belorusszi, 997, válogtóversey Htározzuk meg z összes () üggvéyt, melyre : R R, ( y) ()(y) = (y) () (y) teljesül. Függvéyek, üggvéyegyeletek. Mtemtik Okttási Portál, 9 /

20 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek A8.. Litvái, 997 Periodikus z () = si cos( ) üggvéy? A8.. Irá, Mtemtiki Olimpi, 995 V-e oly : R R üggvéy, mely eleget tesz z lábbi eltételekek: ) () =, b) v oly M > 0 vlós szám, melyre M < () < M, c) h 0, kkor ()? = A8.. Írország, Mtemtiki Olimpi, 999,. p (Idő : ór ) /5. Az : N N üggvéyre (hol N pozitív egész számok hlmz) teljesül, hogy ) (b) = ()(b), h és b reltív prímek; b) (p q) = (p) (q), h p és q prímek. Bizoyítsuk be, hogy () =, () = és (999) = 999. A8.4. Jpá, Mtemtiki Olimpi, 00,. orduló A rcioális számok hlmzát jelöljük Q-vl. Tekitsük zokt z : Q Q üggvéyeket, melyek eleget teszek z lábbi eltételekek: ) (0) =, () = ; ) ( ) () = (( ) ()), mide rcioális -re és egész -re; ) mide emzérus rcioális -re () =. Htározzuk meg z () = 00 egyeletek eleget tevő rcioális számokt. A8.5. Romái, 997, NMO válogtóversey Htározzuk meg zo : R [0, ) üggvéyeket, melyekre mide vlós, y eseté ( y ) = ( y ) (y). Alízis A9.. Horvátország, 00, országos versey,. év. /4. Htározzuk meg z s = 4 9 összeg értékét, h <. A9.. Új-Zéld, 99 Az u és v soroztokt =,, eseté u = 0, u = (u v); v =, v = 4 (u v) módo deiiáljuk. Mtemtik Okttási Portál, 0 /

21 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek ) Htározzuk meg soroztok első égy tgját. b) Mutssuk meg, hogy u -hoz trt, h közelít végtelehez. c) Meyi v htárértéke? A9.. Bulgári, 00. ebruár Az,,,, soroztot következő módo deiiáljuk: = k, = 5k és =,, hol k vlós szám. sorozt koverges. Htározuk meg zo k értékeket, melyekre z { } = A9.4. Jpá, Mtemtiki Olimpi, 00,. orduló Htározzuk meg z lábbi kiejezés miimumát: y (, y > 0). y y A9.5. Észtország, Mtemtiki Olimpi, 999, dötő,. év. /5. Htározzuk meg ( ) l d értékét. Mtemtik Okttási Portál, /

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

Szoldatics József, Dunakeszi

Szoldatics József, Dunakeszi Kstérség tehetséggodozás Rekurzív soroztok Szoldtcs József, Dukesz Npjkb egyre több verseye jelek meg rekurzív sorozt. Ezek megoldásához d ötleteket ez z elődás, A feldtok csoportosítv vk megoldás módszerek

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

2. Egy csökkenő mértani sorozat második tagja 192, negyedik tagja 48. Számítsd ki az első 5 tag összegét! (10 pont)

2. Egy csökkenő mértani sorozat második tagja 192, negyedik tagja 48. Számítsd ki az első 5 tag összegét! (10 pont) Mtemtik A. évfolym I. egyedév témzáró A csoport. Egy utci futóversey eredméyhirdetésé összese 60 csokoládét osztk ki z első 0 helyezett között, úgy, hogy kiosztott csokoládék szám helyezettről-helyezettre

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

ALGEBRA. 1. Hatványozás

ALGEBRA. 1. Hatványozás ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET MATEMATIKA FELADATSOR 9. évolym Elézést tegezésért! I. HALMAZOK Számegyeesek, itervllumok. Töltsd ki táláztot! Mide sor egy-egy itervllum hároméle megdás szerepelje!. Add meg következő itervllumokt! A

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus) A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

x + 3 sorozat első hat tagját, ha

x + 3 sorozat első hat tagját, ha Soroztok, soroztok megdás rekurzív módo.. Az ( ) soroztot rekurzív módo dtuk meg 7 -, sorozt első két tgj ( < ) egybe gyökei következő egyeletek: sorozt első öt tgját. y.adott ( ). Írd fel ( ) x 0 x. Htározd

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k

SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k A sorozt megdás. ) ; ; ; b) ; ; ; c) 0; -; -; -8 d) ; ; 8; 89 e) ; ; 8; 0 f) ; ; 0; 90 g) ; ; 0 ; 0 90 h) em létezik, hisze eseté kifejezés ics értelmezve. A további elemek: ; 8 ; 0 899 i) 0; ; 999 ; j)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva

Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva Mtemtik A évfolym modul Soroztok Készítette: Lövey Év Mtemtik A évfolym modul: SOROZATOK Tári útmuttó A modul célj Időkeret Ajálott korosztály Modulkpcsolódási potok A soroztok foglmák elmélyítése Gykorlti

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL MŰSZAKI ISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGA ADA, 06jnuár 0/06-ös iskolév, júniusi vizsgidőszk A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL Munkterület: GÉPÉSZET, ELEKTROTECHNIKA, ÉPITÉSZET Tntárg: MATEMATIKA

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Győry Ákos: A Titu-lemma. A Titu-lemma. Győry Ákos Földes Ferenc Gimnázium, Miskolc

Győry Ákos: A Titu-lemma. A Titu-lemma. Győry Ákos Földes Ferenc Gimnázium, Miskolc A Titu-lemm Győry Ákos Földes Feren Gimnázium, Miskol Az lái feldtsort jórészt z 5. Rátz László Vándorgyűlésen elhngzott nygól állítottm össze, néhány feldttl kiegészítettem, néhol pedig új izonyításokkl

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gykorló feldtok Progrmtervező mtemtikus szkos hllgtókk z Alízis. című tárgyhoz Összeállított Bese Atl, Csillg Dávid, Kiss Blázs, Mátyás Gergely, Szili László 4. október Trtlomjegyzék I.

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke B teszt 87 B teszt A világot csak hat szám vezérli. (Marti Rees) Ezt a köyvet öt betű.. Az = + +,, = sorozat határértéke ( + ) a) ; b) ; c) d) ; e) em létezik.. A lim{ e } határérték ({ } az törtrésze)

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

Oszthatóság. Maradékos osztás

Oszthatóság. Maradékos osztás 1. Számelméleti lismeretek, számelmélet ltétele. A rímszámelmélet elemei. A kongruenci foglm, mrdékosztályok, Euler Fermt-tétel. Lineáris és mgsbb fokú lgebri kongruenciák. Binom kongruenciák, kvdrtikus

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2008. jnuár 26. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2008. jnuár 26. 11:00 ór M 1 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

Differenciálgeometria feladatok

Differenciálgeometria feladatok Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről,

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

n természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti

n természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti osztály Igzolju, hogy 3 < ármely természetes szám eseté Kovács Bél, Sztmárémeti Az összeg egy tetszőleges tgj: Ezt ővítjü és lítju úgy, hogy felothssu ét tört összegére ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) )( (

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1 III. Évfolym. szám - 008. úius Gyrmti József Zríyi iklós Nemzetvédelmi Egyetem gyrmti.ozsef@zme.hu SRT, TÖBBSZEPONTÚ DÖNTÉSI PROBÉ EGY EGYSZERŰ EGODÁS bsztrkt cikk egy többszempotú dötési módszert mutt

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny onyhá, 011. március 11 15. 11. osztály 1. felt: Igzoljuk, hogy ármely n 1 természetes szám esetén. Megolás: Az összeg tgji k k 1+ k = = 1+ + n +... < 1+ 1+ n 3 1+ k

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Nevezetes egyenlőtlenségek

Nevezetes egyenlőtlenségek Nevezetes egyelőtleségek Szkdolgozt Készítette: Molár Aikó Témvezető: Beseyei Ádám egyetemi társegéd Alklmzott Alízis és Számításmtemtiki Tszék Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Vektorok (folytatás)

Vektorok (folytatás) Vektorok (folyttás) Vektor szorzás számml (sklárrl) Vektor szorzás számml b 1 c 2b c 2 ( 1 ) 2 Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 0. tétel zámsorozto orozt: Oly függvéy, melye értelmezési trtomáy pozitív egész számo hlmz. zámsorozt éphlmz vlós számo hlmz. f : N R f () jelöli sorozt -ei tgját.

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben