ANALÍZIS II. Bártfai Pál

Átírás

1 ANALÍZIS II. Bártfi Pál. Kétváltozós függvéyek.. Deriválás A z = f(x, y) kétváltozós függvéyél z függő változó értékét z x és z y függetle változók értékéől számoljuk ki. A függvéyt háromdimeziós koordiátredszere tudjuk árázoli, hol függvéy értelmezési trtomáy z x, y-koordiátsíko helyezkedik el, és z összetrtozó (x, y, z) értékekhez redelt potok z értelmezési trtomáy felett elhelyezkedő felületet képezik. D. Az (, ) pot δ sugrú S köryezetét zok z (x, y) potok lkotják, melyekek z (, )- től mért távolság δ-ál kise, képlete S = {(x, y): (x - ) + (y - ) < δ }. Az f(x, y) függvéyt z (, ) pot folytoosk evezzük, h ε > -hoz z (, ) potk v oly S köryezete, hogy f(x, y) - f(, ) < ε, h (x, y) S. A kétváltozós differeciálhtóság defiíciójához elő foglmzzuk át z egyváltozós defiíciót. f( differeciálhtó z pot, h megváltozás f( + h) - f() = Ah + r(h)h lk írhtó fel, hol r(h), h h. Az A értéket függvéy poteli deriváltják eveztük. Korá ezt defiíciót h-vl elosztott lk hszáltuk. D. Az f(x, y) függvéy z (, ) pot differeciálhtó, h megváltozás f( + h, + k) - f(, ) = Ah + Bk + r (h, k)h + r (h, k)k lk írhtó fel, hol r (h, k) és r (h, k), h két pot távolság h + k. Az A és B számok z f(x, y) prciális deriváltji z (, ) pot. A prciális deriváltk df f f jelölése: f x (, ) = A, ill. f y (, ) = B. (Hszáltos még -ek megfelelő, ill. dx x y jelölés is.) A feti defiíció k = helyettesítéssel f( + h, ) - f(, ) = Ah + r (h, k)h, zz f ( + h, ) f (, ) A f x (, ) h = dódik, vgyis z x szeriti prciális derivált z y érték rögzítésével kpott egy változós függvéy deriváltj. Hsoló z x érték rögzítése mellett végezve el differeciálást, z y szeriti prciális deriváltt kpjuk. H z y értékét rögzítjük, legye y =, kkor felület y = áltl meghtározott metszetéről v szó. Az x szeriti prciális derivált tehát felület x-tegellyel párhuzmos metszetgöréjéek deriváltj (metszetgörét itt és következőke - h mást em moduk - midig z tegellyel páthuzmos síkkl képezzük). A prciális deriváltk létezhetek ( metszetgörék differeciálhtók lehetek) élkül, hogy kétváltozós függvéy differeciálhtó lee.

2 .. Összetett függvéy deriváltj T. H z u(t) és v(t) függvéyek differeciálhtók t = pot, és f(x, y) is differeciálhtó z (u(), v()) pot, kkor ( f ( u( t), v( t))) = f x ( u( t), v( t)) u ( t) + f y ( u( t), v( t)) v ( t). B. Írjuk fel z összetett függvéy differeciálhtóságár votkozó képletet, és hszáljuk ee u = u( + h) - u(), v = v( + h) - v() rövide jelöléseket: f ( u( h), v( + h)) f ( u( ), v( )) = f ( u( ), v( )) u + f ( u( ), v( )) v + r u + r v, + x y hol r i = r i ( u, v), h ( u) + ( v) (i =,). Osszuk el h-vl midkét oldlt, és végezzük el h htárátmeetet. A loldl f(u(t), v(t)) t = poteli deriváltj lesz, míg u v jo oldlo u () és v (), mi izoyítdó állítást dj. h h.3. Iráymeti derivált A prciális deriváltk z x- ill. z y-tegelyekkel párhuzmos metszetgörék iráytgesét dják meg. Érdekes lehet zo más iráyú metszetek iráytgese is. Például, h felület egy táj domorztát szemlélteti, kkor kérdezhetjük z ÉK-i iráy hldó ösvéy meredekségét, vízszitese hldó ösvéy iráyát, ld legurulásák z iráyát. Ezek feldtok z iráymeti derivált kiszámításávl oldhtók meg. Tegyük fel fejezete, hogy kétváltozós függvéyük differeciálhtó. Az (, ) pot π π djuk meg egy iráyt, mely α szöget zár e z x-tegellyel ( < α ). Írjuk fel z x- tegellyel α szöget ezáró síkkl képezett metszetgöre egyeletét vigyázv rr, hogy léptékhelyes mrdjo. Az (, ) pottól t távolságr és α iráy lévő pot koordiátái ( + tcos α, + tsi α), vgyis metszetgöre egyelete f( + tcos α, + tsi α). Eek t szeriti deriváltj z összetett függvéy deriválási szály szerit: d dt f ( + t cosα, + t siα) = f ( + t cosα, + t siα) cosα + f ( + t cosα, t siα) siα x y + mi t = helyettesítéssel dj metszetgöre deriváltját z (, ) pot. D. A kétváltozós f(x, y) függvéy (, ) poteli, α iráyú iráymeti deriváltják evezzük függvéy dott iráyú megváltozásávl képezett külöségi háydos htárértékét. T. Az f(x, y) függvéy (, ) poteli, α iráyú iráymeti deriváltj z f x (, ) cosα + f y (, ) siα képlettel számolhtó ki prciális deriváltk segítségével..4. Mgsredű prciális deriváltk D. Az f(x, y) függvéyt kétszer differeciálhtók evezzük z (, ) pot, h prciális deriváltji pot köryezetée létezek és z (, ) pot differeciálhtó függvéyek.

3 Az f(x, y) függvéyek összese égy másodredű prciális deriváltj v: differeciálhtok kétszer x szerit, vgy először x szerit, mjd y szerit, vgy ugyezt tehetem, csk fordított sorrede, végül kétszer y szerit. Az egyes prciális deriváltk jelölése: f xx, fxy, f yx, f yy. T (Youg tétele). H f(x, y) z (, ) pot vlmely S köryezetée kétszer differeciálhtó, és ott prciális deriváltk folytoosk, kkor ott f = f. M. Youg eredeti tétele z f(x, y) z (, ) pot vló kétszeri differeciálhtóság eseté izoyítj ugyezt z állítást. B. Képezzük D(h) = f( + h, + h) - f( + h, ) - f(, + h) + f(, ) kifejezést. (Ezt z f függvéy megváltozásák is evezik szó forgó csúcspotokkl megdott tégllpo.) H evezetjük z u( = f(x, + h) - f(x, ) függvéyt,és lklmzzuk kétszer Lgrge-féle középérték tételt, kkor D( h) = u( + h) u( ) = u ( ξ ) h = ( f x ( ξ, + h) f x ( ξ, )) h = f xy ( ξ, η) h, miől D( h) lim = f (, ) h xy. h Hsoló v( = f( + h, y) - f(, y) jelöléssel D( h) = v( + h) v( ) = v ( η ) h = ( f y ( + h, η) f y (, η)) h = f yx ( ξ, η) h, miől D( h) lim = f (, ) h yx, h mi tétel állítását jeleti..5. Kétváltozós lokális szélsőérték D. Az f(x, y) függvéyek z (, ) pot lokális mximum (miimum) v, h (, )-ek v oly köryezete, melye f(, ) mximális (miimális) függvéyérték. A lokális mximum és lokális miimum közös eve: lokális szélsőérték. ST. H > és < c, kkor z g( = cos x + six cosx + c si x függvéy mide helyettesítési értéke pozitív. B. Teljes égyzetté törtéő kiegészítéssel c f ( = cos x + si x + si x, és ull csk kkor lehete, h midkét emegtív tg ull, második zo csk six = eseté válik ullává, de ekkor z első tg em ull. M. Itt és következő tétele z c - kifejezés megdott másodfokú kifejezés diszkrimiás (potos 4-gyel elosztv), mi z > feltétellel párosítv másodfokú kifejezés pozitivitását iztosítj. xy yx

4 T. Az f(x, y) függvéyről tételezzük fel, hogy z (, ) pot vlmely S köryezetée kétszer differeciálhtó, és ott másodredű prciális deriváltk folytoosk. H fx (, ) = f y (, ) =, és ( f (, )) fxx (, ) f yy (, ) > xy, kkor függvéyek lokális szélsőértéke v z (, ) pot. H f xx (, ) >, kkor szélsőérték lokális miimum, h f xx (, ) <, kkor lokális mximum. B. Feltehetjük, hogy (, ) = (, ), ugyis függvéy eltolhtó úgy, hogy z (, ) potk z origó felelje meg. Ez trszformáció deriváltk értékét és lokális szélsőérték meglétét em változttj meg. Vezessük e g(t) = f(tcosα, tsiα) jelölést, és fejtsük Tylor-sor két tgig Lgrge-féle mrdéktggl ellátv: g ( t) g( t) = g() + g () t + t. hol t < t. g'() z iráymeti derivált, és mivel z első prciális deriváltk ullák, g'() =, így t g ( t) g() = [( g ( t ) g ()) + g ()]. ξ = t cosα, η = t siα jelöléssel élve g ( t) = f xx ( ξ, η) cos α + f xy ( ξ, η) cosα siα + f yy ( ξ, η) si α, eől siα és cosα egyelőtleségeket és második deriváltk folytoosságát felhszálv g ( t ) g () f xx ( ξ, η) f xx (,) + f xy ( ξ, η) f xy (,) + f yy ( ξ, η) f yy (,) < 4ε, h t < δ. Másrészt ( xx xy yy g ) = f (,) cos α + f (,) cosα siα + f (,) si α α-k folytoos függvéye, ezért felveszi [, π]-e z m-mel jelölt miimumát, de segédtétel mitt m >. H 4ε-t kisere válsztjuk, mit m, és δ-t ehhez z ε-hoz válsztjuk, kkor t < δ eseté g(t) - g() = f(x, y) - f(, ) >, vgyis z origó δ-sugrú köryezetée miimum v f(x, y)-k. M. H differeciálhtósági és folytoossági feltételek teljesülek, továá f (, ) = f y (, ) = f xx (, ) f yy (, ) < f xy (, ), kkor függvéyek ics szélső értéke. H z utói egyelőtlesége egyelőség áll fe, kkor kritérium em döti el kérdést. x és ( ).6. Feltételes szélsőérték H z f(x, y) szélsőértékét zokr z (x, y) potokr keressük, melyekre ϕ(x, y) = feltétel teljesül, kkor z f feltételes szélsőértékéről eszélük. A feltételes szélsőérték is - értelemszerűe - lehet gloális és lokális szélsőérték. H z f felületet földrjzi domorztk képzeljük el, és ϕ(x, y) = térképe (x, y-síkr vett vetülete) egy ösvéyt htároz meg, kkor gloális mximum z ösvéy legmgs potj, lokális mximum pot megfelelő köryezetét tekitve z ösvéy legmgs potj.

5 A feltételes szélsőérték visszvezethető feltétel élkülivé, h ϕ(x, y) = -ól vlmelyik változót kifejezve z f(x, y)- eírjuk és kpott egyváltozós függvéyek számítjuk ki - feltétel élküli - szélsőértékét. A változó kifejezése zo ehézséget okozht, ezért közvetle megoldást keresük. T (Lgrge multiplikátor módszer). Képezzük z L(x, y; λ) = f(x, y) - λϕ(x, y) kifejezést. H vlmely x, y ; λ számhármsr ϕ(x, y ) =, és λ rögzített értéke mellett z L(x, y; λ) kétváltozós függvéyek lokális szélsőértéke v z (x, y ) pot, kkor ee pot z f(x, y)-k lokális feltételes szélsőértéke v ϕ(x, y) = feltétel mellett. B. Azok z (x, y) potok, melyekre feltétel teljesül, L(x, y; λ) = f(x, y). Így, h L-ek szélsőértéke v egy pot pot vlmely köryezetét tekitve, kkor feltételt kielégítő potok is igz ugyez, de itt L = f, tehát f-ek is szélsőértéke v köryezete feltételt kielégítő potokt tekitve. A megoldás meete következő: képezzük Lgrge-féle L kifejezést, megoldjuk z L' x =, L' y =, ϕ(x, y) = egyeletredszert (három egyelet, három ismeretle) és elleőrizzük L szélsőértékéek létezését kpott pot vgy potok. M. H z egyeletredszert kielégítő pot L-ek ics szélsőértéke, kkor feltételes feldtk még lehet, csk ezzel módszerrel em döthető el kérdés. Itt z eldötési kritérium eléggé gyege, elletéte feltétel élküli feldttl.. Htározott itegrál.. A htározott itegrál defiíciój Legye f( korlátos függvéy z (, ) véges itervllumo. A htározott itegrálll z f( göre és z x-tegely (, ) itervllum áltl közrefogott területet számoljuk ki ( tegely lá eső területrészt egtív előjellel véve). A terület kiszámításák módj tégllpokkl vló közelítés, mjd htárérték képzése. Készítsük el terület lsó és felső közelítését következőképpe. Legye x = < x < x <... < x - < x = z (, ) itervllum tetszőleges felosztás. Jelölje M i z f függvéy szuprémumát, m i z f ifimumát z (x i -, x i ) itervllumo. D. Az itegrál felső közelítő összegéek z S = Mi ( xi xi), lsó közelítő összegéek z s = mi ( xi xi) összeget evezzük.

6 H göre ltti T terület létezik, kkor yilvá s T S. A felosztás fiomságát leghossz részitervllum hosszávl jellemezzük, vgyis felosztás fiomság δ = mx(x i - x i - ). D. H S -ek és s -ek közös htárértéke v, h δ, kkor z f z (, ) itervllumo itegrálhtó és htárérték z f htározott itegrálj (, )-. Jelölése: lim s = lim S = f ( dx. δ δ A defiíció kissé potos is elmodhtó: H ε > -hoz δ és I, hogy S - I < ε és s - I < ε, h felosztás δ-ál fiom, kkor I z f htározott itegrálj z (, )-. H ics közös htárérték, kkor zt modjuk, hogy f em itegrálhtó. (M. Az itegrál foglm töféleképpe is defiiálhtó, külööző itegrálfoglmk kissé eltérhetek egymástól. Ez defiíció Riem-tól szármzik, ezért Riem-itegrálk is evezik.) A következő két tétele z lái segédtételt felhszáljuk. ST. H z f függvéyre votkozó ε > -r S - s < ε, h felosztás δ-ál fiom, kkor f itegrálhtó. B. Képezzük z összes lehetséges felső összeg ifimumát, legye ez I, és z össze lehetséges lsó összeg szuprémumát, legye ez I. A tett feltétel szerit I - I < ε, hol ε tetszőleges, tehát I = I. Mivel s I S, közelítő összegek I -től vló eltérése is ε-ál kise lesz, mi z itegrálhtóságot jeleti. T. Az [, ]- folytoos függvéy midig itegrálhtó. B. Az [, ]- folytoos f függvéy egyeletese is folytoos, zz ε > δ, hogy f(x ) - f(x ) < ε, h x, x [, ] és x - x < δ. Legye felosztás fiomság δ, kkor Mi mi = sup f ( β ) f ( α) ε, α, β [, ] és eől S s = ( Mi mi )( xi xi) ε xi xi = ε ( ), miől láthtó, hogy két közelítés eltérése tetszőlegese kicsiyé tehető, h felosztás fiomságát elég kicsire válsztjuk. T. Mooto függvéy midig itegrálhtó. B. Legye függvéy pl. mooto övekedő. Az előzőhöz hsoló, h felosztás fiomság δ, S s = ( M i mi )( xi xi ) δ M i mi δ ( f ( ) f ( )).

7 A Riem-itegrál foglm em korlátos függvéyre, ill. em korlátos itervllumr em értelmezhető, mert közelítő összegek egyike végteleé válik. Az itegrál kiterjesztése ilye esetre más úto törtéik, ezzel késő fogllkozuk (lásd improprius itegrál). D. Az fdx itegrál > eseté is értelmezhető z fdx = - fdx kovecióvl. c T. H < c <, és f itegrálhtó (, )-, kkor f ( dx = f dx B. A felosztás c-t osztópotk válsztv yilvávló z állítás. ( + c f ( dx... Az itegrálfüggvéy D. H f( itegrálhtó (, )-, kkor x [, ] eseté z x F ( f ( u) du függvéyt itegrálfüggvéyek evezzük. d Az itegrálfüggvéy segítségével tetszőleges (c, d) (, )-re f ( dx = F( d) F( c). c T. H f( folytoos z x pot, kkor F( differeciálhtó x -, és F'(x ) = f(x ). = B. Az előző pot utolsó tétele mitt x + h F( x + h) F( = f ( u) du. x A külöségi háydos és htárérték eltérése egyetle itegrálll felírhtó, mert kosts f(x ) itegrálj tégllp módjár kiszámíthtó: x + h F( x + h) F( f ( = f ( u) f ( du, h h x eől x +h F( x + h) F( x ) f ( x ) f ( u) f ( x ) du ε, h h x h h elég kicsi, ugyis ekkor z f függvéy folytoosság mitt z itegrdus ε-ál kiseé válik. A külöségi háydos htárértéke tehát f(x ). A htározott itegrál kiszámításához tehát elég "kitláli", hogy melyik z z F függvéy melyek deriváltj f, ugyis ekkor ez tekithető itegrálfüggvéyek..3. Htároztl itegrál

8 D. H z f( függvéyhez tlálhtó oly F( függvéy, hogy F differeciálhtó (, )- és F'( = f( x (, ), kkor F-et z f htároztl itegrálják, vgy primitív függvéyéek evezzük. A htároztl itegrál jelölésére z f ( dx jelölést hszáljuk. Természetese f htároztl itegrálj, h egyáltlá létezik, em egyértelmű, hisze (F( + c)' = F' (, így F(-szel együtt F( + c is htároztl itegrálj f-ek. T. f két htároztl itegrálj csk kosts külöözhet. H megdjuk f htároztl itegrálját, kkor egy C álldót midig hozzá kell di feltütetve, hogy megdott függvéy em egyértelmű. B. Legye F és F két htároztl itegrál, és legye G( = F ( - F (, kkor G' ( = = f( - f( = x (, ). Legye x < x, x, x (, ) tetszőleges, kkor Lgrge-féle középértéktétel mitt G(x ) - G(x ) = G'(ξ)(x - x ) =, vgyis G(x ) = G(x ), tehát G( kosts függvéy. T. H f folytoos [, ]-, kkor v htároztl itegrálj. B. Előző pot utolsó tételéek állítás szerit yilvávló. M. Természetese előfordulht, hogy z itegrálfüggvéy létezik, de z em differeciálhtó, így htároztl itegrál már em létezik..4. Newto-Leiiz szály A primitív függvéy (vgyis htároztl itegrál) ismeretée htározott itegrál már kiszámíthtó. T (Newto-Leiiz szály). H f itegrálhtó (, )-e és primitív függvéye z [, ] itervllumo F, kkor f ( dx = F( ) F( ). B. Vegyük fel (, ) itervllumk egy tetszőleges felosztását: x = < x < x <... < x - < x =, és jelöljük M i -vel z f függvéy szuprémumát, m i -vel z f ifimumát z (x i -, x i ) itervllumo, kkor Lgrge-féle középértéktétel szerit I = F( ) F( ) = F( xi ) F( xi ) = f ( ξ i )( xi xi ). Eől kiidulv I-t két oldlról megecsülhetjük: s = mi ( xi xi ) I Mi ( xi xi) = S,

9 mivel f itegrálhtóságát feltételeztük, S és s közös htárértékhez, z felosztás fiomság trt ullához, ezért I = f ( dx..5. Alpitegrálok f ( dx trt, h A differeciálási tálázt mitájár elkészíthetjük z elemi függvéyek itegráljit. A tálázt egyszerűe deriválási tálázt megfordítás. f( F( Érvéyesség x α α + x x >, α - + C α + lx + C x > x e x e x + C x R six -cosx + C x R cosx six + C x R + x rctgx + C x R rcsix + C x [-, ] x shx chx + C x R chx shx + C x R Míg z elemi függvéyekől képezett képezett összegek, szorztok, háydosok és összetett függvéyek deriváltji kiszámolhtók, képlettel megdhtók, ddig z itegrálok kiszámításáál helyzet léyegese rossz. Itt is vk itegrálási szályok, de ezek sokkl korlátozott hszálhtók. 3. Az itegrálás techikáj 3.. Elemi szályok T. H f és f itegrálhtó függvéyek (, )-, kkor f + f is itegrálhtó és f + fdx = f dx + f dx. B. Vegyük fel (, ) itervllumk egy tetszőleges felosztását x = < x < x <... < x - < x =, és jelöljük M i -vel és m i -vel z f, M i -vel és m i -vel z f szuprémumát ill. ifimumát z i- edik itervllumo. Mivel x (x i -, x i ) eseté m i + m i f ( + f ( M i + M i, z

10 f + fdx felső összege kise, mit f dx felsőösszege meg f dx felső összege, de ezek htárértéke f dx + f dx. Ugyezt kell elvégezi z lsó összegekkel is, kkor z f + fdx itegrál lsó és felső összege ugyzo htárértékhez trt, tehát f + f itegrálhtó, és z itegrál értéke f dx + f dx. cfdx fdx. T. H f itegrálhtó (, )-, kkor cf is itegrálhtó és = c B. H c >, kkor cf felső (vgy lsó) közelítő összegéől c kiemelhető és másik téyező f felső (ill. lsó) közelítő összege lesz. Htárátmeettel dódik z eredméy. H c <, kkor is kiemelhető c cf felső (vgy lsó) közelítő összegéől, de másik téyező f lsó (ill. felső) közelítő összege lesz. Htárátmeettel ekkor is dódik z eredméy. A htároztl itegrálokr votkozó hsoló állítások deriválási szályokól közvetleül következek. 3.. Helyettesítéses itegrálás Az összetett függvéy deriválási szályák megfordított művelete. T. H g primitív függvéye G, és f differeciálhtó függvéy, kkor g(f() f' ( primitív függvéye G(f(). Más jelöléssel: g ( f ( ) f ( dx = G( f ( ) + C. B. Az összetett függvéy deriválási szály lpjá yilvávló. A tételt két formá lklmzhtjuk itegrálok kiszámításár. Az egyik lehetőség z, hogy észrevesszük, hogy z itegrdus egy összetett függvéy mgszorozv első függvéy deriváltjávl, ekkor, h külső függvéy htároztl itegrálját ismerjük, kkor z eredméy közvetleül felírhtó. P. Számítsuk ki z tg xdx itegrált. Mivel si x tg x =, és cosx deriváltj -six, z cos x cos x függvéy deriváltjávl. Az /x primitív függvéye lx, így z eredméy: összetett függvéy ( külső függvéy z /x, első cos szorozv v első tg xdx = -l cosx +C.

11 A másik lehetőség, mikor ezt közvetleül em ismerjük fel, de megkíséreljük z itegrál dy cosx-et új változóvl helyettesítei, zz legye y = cosx. Ekkor = si x, vgyis dx six dx helyére -dy kerül: si x tg xdx = dx = dy = y + C = x + C x l l cos. cos y A dx-szel törtéő "átszorzás" durv formlizmus, ömgá teljese értelmetle cselekedet, rr szolgál, hogy feti tétele szereplő eljárást mechikussá tegyük. A helyettesítéses techik másik változtát egy új példá muttjuk e, figyeljük meg külöséget. Eze példá zt is látjuk, hogy z eljárás megismételhető, ár kétszeri lklmzás egy lépése is elvégezhető, de em midig tlálhtó meg z optimális helyettesítés egy lépése. P. Számítsuk ki z + x dx itegrált. y = x helyettesítésél x =y dx, = y, zz dx dy helyére ydy írdó, tehát + x dx = + y ydy. Itt vesszük észre, hogy még z + y-tól is meg kell szduli, célszerű elvégezi z = + y helyettesítést. Mivel y = z -, dy = zdz, így = + = = = z z x dx y ydy z( z ) zdz 4 z z dz 4 + C, 5 3 hol z helyére vissz kell helyettesítei z = + x kifejezést. A helyettesítés elvégzése utá htároztl itegrálál midig visz kell téri z eredeti változór! H htározott itegrálról v szó, kkor kkor vissztérés em kötelező, de z itegrálás htárivl követi kell helyettesítést. H z x szeriti itegrálás z (, ) itervllumr votkozik, és z y = g( helyettesítést lklmzzuk, kkor z y szeriti itegrál htári g() és g(). P. Számítsuk ki z + x dx itegrált. Az eljárás ugyz, csk z első helyettesítés utá z + y ydy itegrál dódik ( htárok em változk, mert =, = ). A második helyettesítés utá z z z 4 = z z dz = eredméy dódik. A primitív függvéyél szögletes zárójele felül és lul tütettük fel htárokt, mi zt jeleti, hogy függvéy felső htárál vett helyettesítési értékéől le kell voi z lsó htárál kpott értéket (Newto-Leiiz szály).

12 .3. Prciális itegrálás A szorzt itegrálási szály is átlkíthtó úgy, hogy itegrálásál felhszálhtó legye. T. H z [, ] itervllum u( és v( differeciálhtó függvéyek és deriváltjuk folytoos, kkor u vdx = uv uv dx B. Mivel (uv)' folytoos függvéy ( uv) dx = uv + C. Írjuk fel szorzt deriválási szályát, (uv)' = u'v + uv', és itegráljuk midkét oldlt uv = ( uv) dx = u vdx + uv dx, C kostst em tütettük fel, mert htároztl itegrál jelölés ezt kostst mgá fogllj. P. Számítsuk ki z xe x dx itegrált. A "szereposztás" következő: u' = e - x, v = x. A prciális itegrálást kkor lklmzhtjuk, mikor z itegrdus egyik téyezője köye itegrálhtó, primitív függvéye em oyolult, másik pedig deriválássl egyszerűsödik. A prciális itegrálás elvégezhető: x x x x x xe dx = xe + e dx = xe e + C. T. Htározott itegrálr votkozó formul (z előző feltételek mellett): u vdx = [ uv] uv dx..4. Prciális törtekre otás Rcioális törtfüggvéyek itegrálásáál csk legegyszerű esetet vesszük, mikor z -edfokú evezőek külööző vlós gyöke v. A prciális törtek módszere más eseteke is htásos, de számolások ehézkeseek. Rcioális törtfüggvéy két poliom háydos. H számláló fokszám em kise, mit evezőé, kkor egy poliom leválsztásávl elérhető, hogy törtkifejezése számláló már lcsoy fokú legye. H számláló P (, evező Q m ( - ill. m-edfokú poliomok ( m), kkor P ( = A( Q m ( + B(, hol B( fokszám kise, mit m, így P ( B( = A( +, Qm ( Qm ( és z utói törte számláló már lcsoy fokszámú. Tegyük fel, hogy Q m (-ek m d. külööző vlós gyöke v, legyeek ezek,,..., m, kkor feltehető, hogy Q m ( = (x - )(x - )...(x - m ). T (prciális törtekre otás). H Q m ( = (x - )(x - )...(x - m ), hol z,,..., m számok külöözők és P ( m-él lcsoy fokszámú poliom, kkor lklms A, A,..., A m számokkl

13 P ( = Q ( m m k = Ak x k. B. A izoyítás teljes idukcióvl törtéik. m = -re z állítás triviális. Tegyük fel, hogy m - A fokszámú evező eseté is igz. Vojuk le loldli törtől m -et, kkor x m P ( Am P ( Am ( x )...( x m ) =. Qm ( x m ( x )( x )...( x m) Helyettesítsük számláló x = m -et, kkor z A m - mivel együtthtój em ull - megválszthtó úgy, hogy számláló értéke ull legye. A evező is ull helyettesítési értéket d, tehát tört egyszerűsíthető (x - m )-mel, egyszerűsítés utá evező fokszám m -, számláló fokszám eél kise lesz, tehát z idukciós feltétel lklmzhtó rá. Mivel z ilye lkú rcioális törtfüggvéyek prciális törtekre othtók, és z egyes törtek itegrálás köye elvégezhető, z egyetle kérdés z, hogy prciális törtekre otás mikét kivitelezhető. A evező gyökeiek ismeretét feltételezzük. Írjuk fel egyelőre ismeretle A, A,..., A m számokkl m P ( A = k Qm ( x k = k összefüggést, és szorozzuk meg midkét oldlt (x - k )-vl, mjd vegyük z x k htárátmeetet. A jo oldl folytoos, tehát helyettesíthetük x = k -t, itt mide tg ull lesz kivéve k-dikt, mi A k -t d. A l oldl htárértékét ki kell számoli, vgy egyszerűsítéssel, vgy L'Hospitl szállyl. Ezt mide k-r el kell végezi. 3. Improprius itegrál 3.. Az itegrálfoglom kiterjesztése A Riem-itegrál defiíciój csk véges itervllumo és csk korlátos függvéyekre értelmezhető, mert külöe közelítő összegek végteleé válk. Az improprius itegrál Riem-itegrál kiterjesztése em korlátos esetekre. (Az improprius lti eredetű szó jeletése "em vlódi".) Az eseteket célszerű külö válszti. D. Az f: (, + ) R függvéy legye z (, + ) mide véges részitervllumá itegrálhtó, kkor, h htárérték létezik, kkor létezik z lái improprius itegrál: f ( dx = lim f ( dx. P. Számítsuk ki z e x dx improprius itegrált. x x x e dx = lim e dx = lim [ e ] = lim ( e ) =.

14 D. H z f: (, ) R függvéy z (, ) mide zárt részitervllumá Riem szerit itegrálhtó (de z (, )- esetleg em korlátos), kkor, h htárérték létezik, d f ( dx = lim lim f ( dx. d c + c Midkét defiíció fogllt, htárértékkel értelmezett itegrált közös éve improprius itegrálk evezzük. Mivel z itegrált htárértékkel defiiáltuk, eszélhetük z itegrál létezésével zoos érteleme z itegrál kovergeciájáról is. H második defiíció f korlátos (, )-, kkor ez Riem itegrál egy folytoossági tuljdoság, tehát em mod ellet Riem itegrál defiícióják. Az itegrálás tult szályi improprius itegrálokr is érvéye mrdk. P. Számítsuk ki z dx improprius itegrált. x dx = lim dx = lim x c + x c + c 3.. Itegrálkritérium sorok kovergeciájár [ x ] = lim ( c) =. c c + Az improprius itegrálokkl megdhtó izoyos típusú sorok kovergeciáják szükséges és elégséges feltétele. T. Legye f(: [, ) R, mooto csökkeő és pozitív függvéy. A f ( ) kkor és csk = kkor koverges, h z f ( dx improprius itegrál koverges. + A sor S részletösszege felső közelítő összege z f ( dx itegrálk egész osztópotokt válsztv, így + f ( dx S S = lim S, vgyis z itegrálok sorozt mooto övekedő és korlátos, tehát koverges. Az f ( dx lsó közelítő összege egész osztópotokr votkozttv f ( k), tehát k= f ( k) f ( dx f ( dx, k= így részletösszegek sorozt mooto övekedő és korlátos, tehát koverges. P. A = l sor diverges. Meg kell ézi z improprius itegrált:

15 dx = x l x 4. Az itegrálszámítás lklmzási 4.. Területszámítás [ l l x] = l l l l + Mivel htározott itegrált úgy vezettük e, hogy jeletése göre ltti terület, kézefekvő, hogy z itegrálást területszámításr fel tudjuk hszáli. D. H z A R hlmzhoz megdhtó két, [, ] itervllumo értelmezett, itegrálhtó függvéy - jelölésük legye f és f, - úgy hogy f ( f (, és z A = {(x, y): x [, ], f ( y f (} lkú, kkor A-t ormáltrtomáyk evezzük. T. Az f és f függvéyekkel megdott ormáltrtomáy területe T = f ( f( dx. B. T felírhtó két itegrál külöségekét, mi átlkíthtó feti lk. Áltlá z A R tetszőleges pothlmzk területe em értelmezhető. A terület értelmezése Riem-itegrálll összhg úgy végezhető el, hogy defiiáljuk külső területet, és első területet, és h kettő egyelő, kkor létezik hlmz területe. D. Az A R korlátos hlmz külső területe hlmzt lefedő véges sok tégllp területösszegéek z ifimum. Az A R korlátos hlmz első területe z A részhlmzát képező, véges sok, egymás em yúló tégllpok összterületéek szuprémum. Az "egymás em yúló tégllpok" zt jeleti, hogy ics közös első potjuk. Az A hlmzk kkor létezik területe, h külső területe (mi korlátosság mitt véges) megegyezik első területtel. 4.. Forgástestek kötrtlm Az [, ] itervllumo értelmezett f( függvéy legye emegtív. H görét z x- tegely körül megforgtjuk, kkor forgásfelületet, h göre ltti trtomáyt forgtjuk meg, kkor forgástestet kpuk. Osszuk fel z [, ] itervllumot z x = < x < x <... < x - < x = számokkl részre, és jelölje M i z f függvéy szuprémumát, m i z f ifimumát z (x i -, x i ) itervllumo. A forgástest V kötrtlm következő két érték közé esik: mi π ( xi xi) V Mi π ( xi xi). A két érték z π f ( dx itegrál lsó és felső közelítő összege, h f itegrálhtó függvéy, kkor z egyetle szám, mi midig két közelítő összeg közé esik, z itegrál értéke, zz.

16 V = π f ( dx. 5. Kettős itegrál 5.. A kettős itegrál defiíciój Az A R pothlmzról (mit itt trtomáyk foguk evezi) feltételezzük, hogy létezik területe. Az A- értelmezett f(x, y) függvéy itegrálját z egyváltozós esethez hsoló fogjuk értelmezi. D. Az A trtomáyt osszuk fel véges sok részre, legyeek ezek részek A, A,..., A. Tételezzük fel, hogy A, A,..., A területe létezik, és midegyik átmérője kise δ-ál (zz A i ármely két potják távolság kise δ-ál). Ezt evezzük A δ-ál fiom felosztásák. Legye A i - f(x, y) szuprémum M i, ifimum m i és jelöljük A i területét t(a i )- vel, kkor z A f ( x, y) dxdy itegrál lsó közelítő összege mit( A i ), míg felső közelítő összege M it( A i ). H δ eseté felső összeg és z lsó összeg közös htárértékhez trt, kkor f(x, y) z A- itegrálhtó és itegrálj közös htárérték. Az f ( x, y) dxdy itegrál jeletése yilvá z f(x, y) felület ltti, de A fölé eső térrész A térfogt. 5.. A kettős itegrál kiszámítás Az lái tétel szerit, elég áltláos esete, kettős itegrál átlkíthtó kétszeres itegrálássá, mi tult techikávl töyire megoldhtó. A tételt először rr z esetre modjuk ki, mikor A tégllp. T. Legye A = {(x, y): < x <, c < y < d}, és f(x, y) z A- itegrálhtó függvéy. Tegyük fel továá, hogy mide rögzített y (c, d)-re g ( y) f ( x, y) dx itegrál létezik, kkor g(y) is itegrálhtó (c, d)-, és d f ( x, y) dxdy = g( y) dy. = A c B. Osszuk fel midkét itervllumot z x = < x < x <... < x m- < x m =, ill. y = c < y < < y <... < y - < y = d osztópotokkl. Az (x i -, x i ] és z (y j -, y j ] itervllumok áltl meghtározott tégllp legye f szuprémum M ij, ifimum m ij, kkor felírhtjuk, hogy g(y)-t előállító itegrál mide y * j (y j -, y j ] eseté

17 m m * * mij ( xi xi ) g( y j ) = f ( x, y j ) dx M ij ( xi xi ), mert z itegrál felső közelítő összegée szereplő sup f ( x, y) Mij, és hsoló állítás x ( xi, xi ] igz z lsó közelítő összegre is. Szorozzuk meg midkét oldlt (y j - y j - )-gyel és összegezzük j-re, kkor m m m * mij ( xi xi )( y j y j ) g( y j )( y j y j ) M ij ( xi xi )( y j y j ) j= j= j=. A l oldl kettős itegrál lsó, jo oldl felső közelítő összege, jelöljük ezeket s-sel és d S-sel, míg z g ( y) dy midkét közelítő összege is - z előző képletsor szerit - s és S közé c d esik. Mivel s és S egyrát kettős itegrál értékéhez trt, z g ( y) dy közelítő összegei is c ezt teszik, tehát két itegrál egyelő. A tétel állítás következő formá hszáltos: d f ( x, y) dxdy = f ( x, y) dx dy, A c hol zárójel természetese mellőzhető. Az itegrálások sorredje - h tétel feltételei teljesülek - felcserélhető. Legye most A ϕ ( és ϕ ( áltl meghtározott, z (, ) itervllumhoz trtozó ormáltrtomáy. Az f(x, y) legye z A- itegrálhtó. Fedjük le A-t koordiát tegelyekkel párhuzmos oldlú N tégllppl és vezessük e zt g(x, y) függvéyt, mely A- megegyezik f-fel, A- kívül pedig, kkor d ϕ ( fdxdy = gdxdy = gdxdy = g( x, y) dydx = f ( x, y) dydx. A A N c ϕ( Ez formul tekithető ormáltrtmáyokr votkozó kettős itegrálok kiszámítási formuláják. 6. Az -dimeziós euklideszi tér 6.. Vektorműveletek Az -dimeziós euklideszi tér potjit z (x, x,..., x ) vlós számokól álló redezett szám -esek lkotják. A tér potjit vektorokk is evezzük és x = (x, x,..., x ) formá jelöljük. -et tér dimezióják evezzük. Az -dimeziós euklideszi tér jelölése R. A vektorok között műveleteket defiiálhtuk. Két zoos dimeziójú vektor összedhtó és ármely vektor sklárrl (számml) megszorozhtó, h = (,,..., ) és = (,,..., ),

18 kkor + = ( +, +,..., + ) és c = (c, c,..., c ). A vektorok kivoásák művelete visszvezethető (-)-gyel vló szorzás és z összedás műveletére. Mivel műveletek koordiátákéti összedást ill. szorzást jeletik, vektorok összedás kommuttív és sszocitív művelet, sklárrl vló szorzásr ézve pedig disztriutív. D. H vlmely hlmz feti tuljdoságú műveletek elvégezhetők, hlmzt lieáris térek vgy vektortérek evezzük. Fotos, vektorok közötti művelet z u. sklárszorzás. Az elevezés rr utl, hogy szorzás eredméye szám, zz sklár meyiség. D. Az és vektorok sklárszorzt: = H egy árukészlete z egyes árukól x, x,..., x meyiségük v, más szóvl készletvektor x = (x, x,..., x ), és hozzátrtozó árk,,...,, vgy másképpe foglmzv z árvektor = (,,..., ), kkor készlet értéke x. Eől is láthtó foglom redkívüli fotosság közgzdságt. Köye igzolhtó sklárszorzás kommuttív, sklárrl vló szorzássl sszocitív, z összdássl disztriutív tuljdoságokkl redelkező művelet. Képlete: =, c() = (c), c( + ) = c + c, (c + d) = c + d, c( + ) = c + c. M. Két vektor vektoriális szorzt csk háromdimeziós tére defiiálhtó, ezzel most em fogllkozuk. 6.. Az -dimeziós tér geometriáj D. Az vektor ormáj - jelölése - z kifejezéssel értelmezhető. = Az =, és 3 eseté természetese z vektor hossz, így orm vektor hosszák z áltláosítás, ezért orm szó helyett hosszúságot is hszálhtjuk. Az kifejezhető sklárszorzttl: =. T (Cuchy-Schwrz egyelőtleség). Tetszőleges és vektorokr. B. Számítsuk ki z + λ kifejezést és hszáljuk fel, hogy kifejezés egyetle λ értékre sem lehet egtív. + λ = ( + λ)( + λ) = + λ + λ, és egy másodfokú függvéy (mi most λ-k függvéye) csk úgy lehet mide λ-r emegtív, h diszkrimiás egtív, vgy ull, zz 4() - 4,

19 mi z állítássl ekvivles. T (Háromszög egyelőtleség) B. A Cuchy-Schwrz egyelőtleséget felhszálv + = ( + )( + ) = =( + ), mi z állítássl ekvivles. H és egy háromszög két oldlvektor, kkor - hrmdik oldl vektor. Számítsuk ki z előiekhez hsoló - -t: c = - = + -, mit háromszögre votkozó kosziusz-tétellel összehsolítv ( = és 3 eseté) cos γ =, így ezzel képlettel mgs dimezió eseté is értelmezhető és kiszámíthtó két vektor szöge. A képletől láthtó, hogy γ = 9 o kkor és csk kkor, h =. D. Két vektor, és, ortogoális (merőleges), h =. D. R lteréek evezzük ármely oly em üres részhlmzát, mely mg is lieáris tér. P. Például R 3 ltere mide oly sík, mely z origó áthld (kétdimeziós ltér), vgy mide egyees, mely z origó áthld (egydimeziós ltér). Az origót elkerülő sík em ltér, mert midig eleme kell legye z ltérek Lieáris függetleség D. A v, v,..., v k vektorok lieáris függetleek, h c v + c v c k v k = egyelőség csk úgy teljesülhet, h c = c = =...= c k = ( z előző képlete ullvektort jelöli, melyek mide kompoese ). H v, v,..., v k vektorokr lieáris függetleség em teljesül, zz lieáris em függetleek, kkor v oly i, melyre c i, és ekkor c c c v k i = v v... vk, ci ci ci vgyis vlmelyik vektor töi lieáris komiációjávl előállíthtó, más szóvl vlmilye i-re v i ee v töi vektor áltl geerált ltére. M. Fotos tuljdoság lieáris függetle v, v,..., v k vektorokk, hogy h vlmely előállíthtó = c v + c v c k v k lk, kkor ez z előállítás egyértelmű. H ugyis = d v + d v d k v k lee, kkor (c - d )v + (c - d )v (c k - d k )v k = lieáris függetleség mitt csk úgy teljesülhete, hogy mide i-re c i = d i. D. Egy ltér dimeziój z ltére lévő lieáris függetle vektorok mximális szám. 7. Mátrixok 7.. Műveletek mátrixokkl

20 D. A tégllp formá redezett, vlós számokól álló hlmzokt mátrixk evezzük. Áltláos lkj: 3 K m 3 K m. M M M O M 3 K m A megdott mátrixk sor és m oszlop v, rövide m-es mátrixk evezzük. Az egyes soriól képezett vektorokt sorvektork, z oszlopokól képzetteket oszlopvektorokk evezzük. Az ij jelölésél z első idex midig soridex, második z oszlopidex. H m, kkor z,, 33,..., (m eseté z,, 33,..., mm ) elemek mátrix főátlóját lkotják. A mátrixokt vstgított gy etűvel jelöljük. D. Két mátrix egyelő, h méretük megegyezik (vgyis midkettő m-es mátri, és z zoos helyzetű elemek egyelők két mátrix. D. Mátrixok szorzás számml úgy törtéik, hogy mide elemét megszorozzuk. Összedi két mátrixot csk kkor lehet, h méretük megegyezik (vgyis midkettő m-es mátri, ekkor megfelelő elemeket kell összedi. Mivel midkét mátrix-művelet z egyes elemeke törtéő szokásos értelmű művelet, yilvá kommuttív, sszocitív és disztriutív: ()A =(A), A + B = B + A, (A + B) + C = = A + (B + C), ( + )A = A + A, (A + B) = A + B. A mátrixok szorzás eél jóvl oyolult, gykorlást igéylő művelet. D. Két mátrixot, A-t és B-t összeszorozi csk kkor lehet, h z első mátrix oszlopmérete megegyezik második sorméretével. Az AB mátrix i-edik sorák j-edik eleme A mátrix i- edik sorák és B-mátrix j-edik oszlopák sklárszorzt. (Jegyezzük meg: mátrixszorzás sor - oszlop szorzás!) Eől következik, hogy egy p-s és egy p m-es mátrix szorzt m-es mátrix lesz. A mátrix-szorzás em kommuttív, hisze áltlá ics is értelmezve fordított sorredű szorzás, mert méretre votkozó kikötést em fogj teljesítei. H égyzetes ( -es) mátrixokr ézzük, kkor értelmes lesz, de áltlá AB BA. Eek elleére sklárrl vló szorzásr ézve sszocitív, z összedásr ézve disztiutív: (AB) = (A)B, A(B + C) = = AB + AC és (B + C)A = BA + CA. (A disztriutív szály vektorokr votkozó szály következméye.) A mátrix szorzás sszocitív, de részletes izoyításr szorul. T. H z A, B, C mátrixok méretei z AB és BC szorzások elvégzését lehetővé teszik, kkor (AB)C = A(BC). B. Jelöljük z A mátrix elemeit ij -vel, B mátrix elemeit ij -vel és C mátrixét c ij -vel, mátrixok méreteit em tütetjük fel z összegzéseke. Az AB mátrix elemei legyeek α ij, BC mátrix elemei β ij, kkor és α ij kl = k = j ikkj kjc jl β.

21 Az (AB)C mátrix i-edik sorák l-edik eleme: αijc jl = ik kj c jl = j j k j k = ikkjc jl = ik k j k mi z A(BC) mátrix i-edik sorák l-edik eleme. j kjc jl = ikkjc jl = D. Mátrix trszpoáltj sorok és oszlopok felcserélésével (vgy másképpe, főátlór vló tükrözéssel) kpott mátrix. A trszpoáltják jelölése A *. T. (A + B) * = A * + B *, és (AB) * = B * A *. B. Az első állítás trszpoálás elvégzésével közvetleül láthtó. A másodikál rr kell godoli, hogy mátrix-szorzás sor-oszlop szorzás, de trszpoálás felcseréli sorokt és z oszlopokt. Az (AB) * mátrix i-edik sorák j-edik eleme megegyezik z AB mátrix j-edik sorák i-edik elemével, mit úgy kpok meg, hogy B i-edik oszlopát skláris szorzom A j-edik sorávl, vgyis B * i-edik sorát szorzom A * j-edik oszlopávl, mi B * A * i-edik sorák j- edik eleme. 7.. Lieáris trszformáció A mátrix műveletekél vektorokt célszerű oszlopvektorokk tekitei, zz -es mátrixk. H mégis sorvektork veék, kkor zt trszpoálássl jelezzük. Legye A = = ( ij ) m-es mátrix, és x x x = M x m m-dimeziós oszlopvektor, kkor z y = Ax kifejezés mátrixok szorzásávl kiszámíthtó és szorzás eredméye z y-l jelölt -dimeziós oszlopvektor. Ezt úgy is kifejezhetjük, hogy z y = Ax függvéykpcsoltot létesít és leképezi R m -et R -e. A leképezés liáris, hisze x + x -höz Ax + Ax -t, cx-hez cax-et redeli hozzá. Írjuk ki részletese hozzáredelés módját: y = x + x + 3 x m x m y = x + x + 3 x m x m... y = x + x + 3x m xm. Eől láthtó például, hogy eredeti tér koordiát egységvektorit, (,,...,,,,..., ) lkú vektorokt, melyekek csk z i-edik koordiátáj, töi, z i-edik oszlopvektor viszi át leképezés Mátrix rgj k ik β kl,

22 D. A mátrix rgj lieáris függetle oszlopvektorok szám (potos z oszlopvektorok közül kiválszthtó lieáris függetle vektorok mximális szám). Az A mátrix rgját rg(a)-vl jelöljük. T. H z,, 3,..., m vektorok között potos k dr lieáris függetle vektor v, kkor ugyeyi lieáris függetle vektor v (c -t feltételezve) c,, 3,..., m és z + j,, 3,..., m ( j m) vektorok között. B. Elég zt izoyíti, hogy lieáris függetle vektorok szám em csökke, ugyis, h őtt vol, kkor ugyilye lépéssel z eredeti vektorredszer helyreállíthtó, és eél lépésél lieáris függetle vektorok szám csökkee. Válsszuk ki k dr lieáris függetle vektort, feltehető, hogy ezek,, 3,..., k, ugyis, h em lee köztük, kkor ezek változtlul szerepeléek módosított vektorok között is, tehát leglá k lieáris függetle vektor v köztük. Az első esete köye láthtó, hogy c,, 3,..., k lieáris függetleek, ugyis vizsgáljuk meg c c + c + c c k k = egyelőséget. Mivel,, 3,..., k lieáris függetleek, c c =, c =,..., c k =, miől látszik, hogy z egyelőség csk úgy teljesülhet, h vlmeyi c i =, vgyis c,, 3,..., k lieáris függetleek. A második esete zt fogjuk izoyíti, hogy vgy z + j,, 3,..., k vektorok, vgy z, 3,..., k, j vektorok lieáris függetleek. Tegyük fel z ellekezőjét, vgyis zt, hogy midkét vektorredszer lieáris összefüggő. Így létezek oly c i számok (em mide c i = kikötéssel), hogy c ( + j ) + c + c c k k =, és c, mert z, 3,..., k vektorok lieáris függetleek. j tehát kifejezhető: j = ( c c k k ). c Hsoló, h, 3,..., k, j vektorok lieáris összefüggők, kkor j kifejezhető k j = dii = ( c c k k ), c és z összevetésől z látszik, hogy z,, 3,..., k vektorok lieáris összefüggők, hisze pl. együtthtój iztos em zérus, és ez elletmodás. A tétel gyo fotos eljárást d mátrixok rgják kiszámításához. H egy mátrix vlmely oszlopák c-szeresét hozzádjuk egy másik oszlophoz, kkor rgj em változik. Ugyez z eljárás sorokr is elvégezhető, mit következő tétele megmuttjuk. Az eljárássl - mit elemi sorműveletek evezük - sorr gyárthtók ullák mátrix rg megváltozás élkül, és végül rg leolvshtó. T. Legye i = ( i, i, i3,..., i ) és i = ( i + c i, i, i3,..., i ) (i =,,..., m). Az,, 3,..., m vektorok kkor és csk kkor lieáris függetleek, h,, 3,..., m vektorok is zok. B. Lieáris függőségre izoyítjuk z állítást. Legyeek z,, 3,..., m vektorok lieáris összefüggők, kkor λ + λ + λ λ m m = úgy, hogy em mide együtthtó. Ez z összefüggés mide koordiátá igz, vgyis λ i + λ i + λ 3 3i λ m mi =

23 mide i-re, eől következik, hogy λ + λ + λ λ m m = mide koordiátájá teljesül, vgyis,, 3,..., m is lieáris összefüggő. A fordított állításhoz -c-vel lklmzzuk izoyított részt. Nézzük meg egy példá keresztül. Számítsuk ki z A mátrix rgját! (Az egyes lépések mgyrázt képletsor utá tlálhtó. Az egyes átlkításokt ~ jellel kötjük össze, mi itt csk zt jeleti, hogy két mátrix rgj egyelő.) ~ ~ ~ ~ = A 7 ~ 7 ~ 7 4 ~. A második oszlop (-)-szeresét djuk hozzá hrmdikhoz és kétszeresét djuk hozzá egyedikhez.. Mivel második sor mide elem - egy kivételével - ull, eek z elemek z oszlopá töi elem ullázhtó (hozzádv második sor lklms töszörösét z első, mjd hrmdik és egyedik sorhoz). Mide más elem megmrd. 3. Adjuk hozzá egyedik sor (-)-szeresét z első sorhoz. 4. A egyedik sor töi eleme ullázhtó. 5. Adjuk hozzá hrmdik sor kétszeresét z elsőhöz. 6. Nullázzuk hrmdik sort. 7. Itt már mide sor és oszlop legfelje egy em ull elem v - z eljárás véget ért. A mátrix mide oly oszlop, melye v em ull elem, yilvá lieáris függetle egymástól, míg elemekől álló oszlopvektorok függeek töitől. A mátrix rgj tehát em ull elemek szám, zz 3. Mivel ez z eljárás midig elvégezhető éháy áltláos következtetést levohtuk.. Mide mátrix ugyyi lieáris függetle sorvektorok szám, mit lieáris függetle oszlopvektorok szám. Így trszpoált mátrix rgj egyelő z eredeti rgjávl: rg(a) = rg(a * ).. Az m-es A mátrix rgj em lehet tö, mit mi(, m). 3. H végállás kpott csup ull oszlopok helyé álló oszlopokkl oszlopműveletet em végeztük, kkor em ull oszlopokk megfelelő oszlopok z eredeti mátrix lieáris függetleek. Hsoló állítás igz sorokr is Lieáris egyeletredszer megoldhtóság H visszlpozuk lieáris trszformáció részletese felírt lkjár, kkor világos, hogy egy egyeletől álló m ismeretlees lieáris egyeletredszer áltláos lkj Ax =, hol, A m-es mátrix, x * = (x, x,..., x m ) z ismeretleekől képezett vektor (x * itt z x oszlopvektor trszpoáltját jelöli, helykímélés céljáól célszerű így íri) és * = (,,..., m ) z álldó tgokól képezett vektor.

24 T. Az Ax = lieáris egyeletredszer kkor és csk kkor oldhtó meg, h rg([a, ]) = = rg(a). ([A, ] itt oszlopvektorrl kiővített A mátrixot jeleti.) B. Jelöljük z A mátrix oszlopvektorit,,..., m -mel, és z oszlopvektorokól összetett mátrixr hszáljuk z A = (,,..., m ) jelölést. H z egyeletredszer megoldhtó, kkor vk oly x, x,..., x m számok, hogy m = i x i. A 7.3 fejezet első tétele lpjá rg(,,..., m ) = rg( x,,,..., m ) = rg( x + x,,,..., m ) =... = rg(,,,..., m ), és ezt krtuk izoyíti. H rg([a, ]) = rg(a) = k, kkor kiválszthtó A-ól k dr lieáris függetle oszlopvektor, legye ez pl.,,..., k, és [A, ]-ől k + már em válszthtó ki, vgyis,,..., m, már lieáris összefüggők. Ez zt jeleti, hogy c + c c k k + c k + = =, és em vlmeyi c i =. A c k + = em lehet, mert kkor z,,..., k vektorok lieáris összefüggők leéek. Eől c c ck =... k, ck + ck + ck + mi zt jeleti, hogy előállítottuk z egyeletredszer egy megoldását. 8. Determiások A determiás égyzetes ( -es) mátrixokhoz redelt számérték, ezért ee fejezete mide mátrixról feltételezzük, hogy égyzetes mátrix. 8.. A determiás defiíciój A determiás defiíciój meglehetőse oyolult, em fogjuk képletszerűe felíri. Késő mjd duk képletet is kiszámításár. D. Az -es A mátrixól válsszuk ki elemet úgy, hogy egy soról és egy oszlopól csk egy elem kerüljö kiválsztásr. A kiválsztott elemeket szorozzuk össze, és z összes lehetséges kiválsztásr ezeket szorztokt megfelelő előjellel ellátv djuk össze, így kpjuk mg z A determiásák z értékét. Ezeket szorztokt (előjelezését em eleértve) elemi szorztokk fogjuk evezi. Az előjelszály megállpításához rjzoljuk e mátrix kiválsztott elemek helyét: x x, x x kössük össze mide kiválsztott elemet mide másikkl, h jor felfelé hldó összekötések (z árá vstgítv) szám páros, kkor kiválsztott elemekhez trtozó előjel pozitív, h pártl, kkor egtív. A determiásák jelölése A Nézzük meg kise mátrixoko, hogy mit jelet defiíció. H -es mátrix, kkor A = -,

25 vgyis főátlóeli elemek szorzt míusz mellékátlóeli elemek szorzt. H 3 3-s mátrix, kkor A = , eek formulák megjegyzéséhez z u. Srrus-szály yújt segítséget (lásd gykorlto). Áltlá determiás közvetle kiszámítás em járhtó út, mert -es determiás kiszámításához! tgot kell előjelezi és kiszámíti. A defiícióól mégis közvetleül következik determiások éháy fotos tuljdoság. 8.. A determiások elemi tuljdosági T. A determiás értéke ull, h egy sor vgy egy oszlop csup ulláól áll. B. Mide elemi szorzt lesz egy -s téyező. T. A trszpoált mátrix determiás megegyezik z eredeti determiásávl. B. Ugyzokól z elemi szorztokól tevődik össze és trszpoálássl z előjelszállyl kpott előjel is ugyz lesz. T3. A mátrix két sorát (vgy oszlopát) felcserélve determiás előjelet vált. B. Elég szomszédos sorokr izoyíti, mert em szomszédos sorok cseréje pártl sok szomszédos cserével megoldhtó. A csere utá mide elemi szorzt jor felfelé hldó "összekötések" megmrdk jor felfelé trtók, kivéve két felcserélt sor elemeit összekötő volt, melyek iráy megváltozik. Így mide elemi szorzt előjelet vált. T4. A determiás értéke c-szeres lesz, h mátrix egy sorát (vgy oszlopát) c-vel megszorozzuk. B. Mide elemi szorzt egy téyező c-szeresére változik. T5. A determiás értéke ull, h egyik sor (vgy oszlop) másik c-szerese. Speciális, determiás értéke ull, h mátrix két sor (vgy oszlop) megegyezik. B. A második állítás T3 következméye. A második állításól z első már következik T4 felhszálásávl. T6. H két mátrix sori megegyezek, kivéve z első sort, kkor k mátrixk determiás, melyet z első sorok elemekéti összegzéséől és töi sorok változtl lemásolásáól kpuk, két eredeti mátrix determiásák z összege. Ugyezt elmodhtjuk mátrix ármely sorár vgy oszlopár votkozó is. B. Az első sor összedásávl kpott mátrix determiásák elemi szorzti eszorzássl felothtók két tgr, egyik z első, másik második determiás egy-egy elemi szorzt. Az előjelszály midhárom esete ugyzt z előjelet dj. T7. H egy mátrix vlmely sorához (oszlopához) másik sor (ill. oszlop) c-szeresét hozzádjuk, determiás értéke em változik. B. Az eredméyül kpott mátrix T6- szereplő összedási művelettel két mátrix "összegére" othtó, determiások összedódk, de z egyikek determiás ull. (Ez z "összedás" külöözik mátrixok szokásos összedási műveletétől!).

26 T8. Az -es determiás értéke kkor és csk kkor ull, h rgj -él kise. A determiás értéke ugyúgy számolhtó ki, hogy mátrixok rgját számoltuk: h eljutottuk od, hogy mide sor és mide oszlop csk egy ullától külööző elem v, kkor z elemi szorztok egy kivételével ullák, ez pedig köye kiszámíthtó. B. H rg -él kise, kkor z átlkításál mátrixk lesz csup ulláól álló sor, vgyis determiás ull lesz Kifejtési tétel D. Az A = ( ij ) mátrix dott ij eleméhez trtozó előjeles ldetermiás z i-edik sor és j- edik oszlop elhgyásávl kpott mátrix determiás szorozv (-) i + j -el. Az ij elemhez trtozó előjeles ldetermiást továik A ij -vel fogjuk jelöli. A feti előjelszályt rövide skktálszályk szoktuk említei, mivel mátrix megfelelő helyeire külööző előjeleket eírv + és - előjelek úgy váltkozk, mit skktálá fekete és fehér mezők. T (kifejtési tétel). Az A determiás értékét z i-edik sor szerit kifejtve A = ij A ij j= képlettel tudjuk visszvezeti eggyel lcsoyredű determiás kiszámításár. Hsoló tétel érvéyes z oszlop szeriti kifejtésre is. B. Elég z első sor szeriti kifejtésre izoyíti, hisze sorcserékkel z i-edik sor felhozhtó z első sor, mide sorcseréél deteriás értéke előjelet vált, de ezt skktálszály figyeleme veszi, mert z is iztosítj megfelelő előjel váltást. Az első sor szeriti kifejtés képlete: A = j A j j= Az A determiás elemi szorztok előjelezett összege. Mide elemi szorzt trtlmz első soreli elemet. Gyűjtsük össze zokt tgokt, melyek -et, mjd melyek -t,... trtlmzk és emeljük ki előlük z első soreli elemet, kkor z j szorzój z j -hez trtozó ldetermiás elemi szorztiól áll, csupá z előjelszályt kell elleőrizi. Az A mátrixól válsszuk ki egy elemi szorztot, és készítsük el hozzá z előjelszály eldötéséhez hszált, összekötéseket trtlmzó árát. H ez z elemi szorzt z elemet trtlmzz z első soról, kkor j - jor felfelé hldó összekötés fut e j -e. A töi jor felfelé hldó összekötés már z ldetermiás dj meg z elemi szorzt előjelszályát. Igy két előjel ( ) j + = ( ) j szorzó külöözik, mi megfelel skktálszályk. j 9. Lieáris egyeletredszerek megoldás 9.. Iverz mátrix

27 Jelöljük, mit ezt z előző fejezete tettük, A ij -vel z ij elemhez trtozó előjeles ldetermiást, és legye A A L A = A A L A B. M M O M A A L A Számoljuk ki z AB * mátrixot. Az eredméymátrix i-edik sorák j-edik eleme z A mátrix i-edik sorvektorák ás B mátrix j-edik sorvektorák sklárszorzt. H i = j, kkor sklárszorzt ik A ik, k= mi kifejtési tétel mitt A. H i j, kkor egy oly mátrix determiásár írtuk fel kifejtési tételt, melyek j-edik sorát z i-edikkel zoosr változtttuk meg, de z ilye mátrix determiás ull. Az eredméy tehát: A L * AB A L = = A I, M M O M L A hol I z egységmátrix, melyek mide főátlóeli eleme, töi eleme pedig. A B * A szorzt is ugyezt z eredméyt dj. D. Az A -es mátrix iverzéek evezzük zt z A - mátrixot, melyre AA - = A - A = I. T. H z A, kkor z A iverze létezik és * A = B. T. H A =, kkor z A - iverzmátrix em létezik. B. Tegyük fel, hogy z iverzmátrix létezik, kkor z Ax = lieáris egyeletredszer mide R -re megoldhtó, hisze joról eszorozv A - -gyel A - Ax = x = A -. Az egyeletredszer zo csk kkor oldhtó meg, h kiővített mátrix rgj megegyezik A rgjávl (ld, 7.4.). H A =, kkor rgj kise -él, így tlálhtó oly R, mely lieáris függetle A oszlopvektoritól, és ekkor kiővített mátrix rgj gyo, mit A rgj, mi elletmodást jelet. 9.. Crmer-szály Tekitsük z Ax = lieáris egyeletredszert, hol A -es mátrix, vgyis z egyeletredszerük egyeletől áll és ismeretlet trtlmz. Az előző pot láttuk, hogy A eseté z egyeletredszer egyértelműe megoldhtó és megoldás x = A -. Írjuk e z iverz mátrix kiszámítási formuláját ee képlete: * x = B, A A

28 és ézzük, hogy k-dik koordiátár, x k -r mit kpuk. A B * vektor k-dik eleme B mátrix k-dik oszlopák és -ek sklárszorzt: A ik i, mi kifejtési tétel szerit oly mátrix determiás, melyek mide eleme megegyezik A megfelelő elemével, de k-dik oszlopvektor. T (Crmer-szály). Legye A -es mátrix, és A, kkor z Ax = egyelet egyértelműe megoldhtó, és megoldás A x k k = (k =,,..., ), A hol z A k mátrixot úgy kpjuk, hogy z A k-dik oszlopát -re cseréljük. H z egyeletredszer A mátrix m-es és m > (tö ismeretle v, mit egyelet), és z A mátrix rgj, kkor válsszuk ki dr lieáris függetle oszlopvektort, töi oszlopot hozzátrtozó ismeretleekkel szorozv vigyük át jo oldlr és olvsszuk ele -e. A jo oldlr átkerülő ismeretleekek tetszőleges értéket dv z egyeletredszer Crmér-szállyl megoldhtó, de mivel mide értékdáshoz trtozik egy megoldás, z egyeletredszerek végtele sok megoldás lesz. Az áltláos megoldás úgy kphtó, hogy jooldli ismeretleeket prméterekek tekitve oldjuk meg feldtot. A szdo válszthtó prméterek szám m -. H z egyeletredszer A mátrix m-es, hol és m tetszőleges, és A rgj r, kkor válsszuk ki A-ól egy r r-es A részmátrixot, melyek rgj továr is r. H megoldhtóság 7.4.-e kimodott feltétele teljesül, kkor zok z egyeletek, melyek együtthtóit A - em válsztottuk e, elhgyhtók, kpott megoldások ezeket utomtikus ki fogják elégítei. A töi egyeletre z előző eljárás lklmzhtó.. Differeciálegyeletek.. Péld modell-lkotássl Készítsük modellt épesség lkulásár dott területe. N(t) jelölje épesség számát t időpot, kkor legegyszerű modell szerit épesség számák változás kis időitervllum ráyos meglévő épességgel és z időitervllum hosszávl, vgyis N(t + h) - N(t) = cn(t)h. h-vl elosztv z egyelet midkét oldlát N( t + h) N( t) = cn( t), h mjd h htárátmeetet véve z N'(t) = cn(t) egyeletet kpjuk. A megolddó feldt z, hogy meg kell htározi zt z N(t) függvéyt, melyik eek z egyeletek eleget tesz. Ezt z egyeletet differeciálegyeletek evezzük, mert z ismeretle függvéye kívül deriváltj is szerepel z egyelete. A megoldás zo - mit láti fogjuk - em lesz egyértelmű, hisze övekedés változásáól épesség számr em tudok következteti. Meg kell di kiiduló állpotot, pl. z N() = értéket.