Koczog András Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig

Átírás

1 Totál lp példák - képletek, tételek - segítség z lpfeldtokhoz Csk miimális mitpéldákt trtlmzó feldtsorhoz készült segéd, korátsem teljes z yg! Ez miimum szükséges, de korátsem elégséges elmélet, erőse lebutítv tyg Számelmélet, lgebr Oszthtósági szbályok: egy szám kkor oszthtó -vel, h 0; ; 4; 6; 8 -s számjegyek vlmelyikére végződik. 5-tel, h 0; 5 -ös számjegyek vlmelyikére végződik. 10-el, h 0-r végződik. -ml, h számjegyeiek összege oszthtó -ml. 9-cel, h számjegyeiek összege oszthtó 9-cel. 4-gyel, h z utolsó számjegye oszthtó 4-gyel. 8-cl, h z utolsó számjegye oszthtó 8-cl. Egyéb összetett számokkl, h z osztót felbotjuk szám szorztár, melyek egymás reltív prímjei, és ezekkel oszthtó szám. 6-l, h oszthtó -vel és -ml is. 10-el, h oszthtó -vel és 5-tel is. 1-vel, h oszthtó -ml és 4-gyel is. 15-tel, h oszthtó -ml és 5-tel is. Leggyobb közös osztó (LNKO) és legkisebb közös többszörös (LKKT) megdás: LNKO: LegNgyobb Közös Osztó - (; b) LKKT: LegKisebb Közös Többszörös - [; b] A vizsgáldó számokt felbotjuk prímtéyezőkre. LNKO számolás: vesszük közös prímtéyezőket leggyobb közös htváykitevőkö. pl.: 10 = 5 és 560 = közös téyezők és z 5 1 (10; 560) = 5 1 = 40 LKKT számolás: vesszük z összes prímtéyezőt leggyobb htváykitevőkö. pl.: 10 = 5 és 560 = téyezők leggyobb kitevőkö: 4, 1, 5 1 és 7 1 [10; 560] = = 1680 LNKO és LKKT közötti kpcsolt: (; b) [; b] = b 1

2 Rómi számok felírás: helyiértékekét csoportosítjuk számjegyeket. 1 I 6 VI 0 XX 70 LXX II 7 VII 0 XXX 80 LXXX III 8 VIII 40 XL 100 C 4 IV 9 IX 50 L 500 D 5 V 10 X 60 LX 1000 M A számokt helyiértékekét csoportosítv kell képezi, tehát ezresek + százsok + tizesek + egyesek Pl = = M + CM + XC + IX = MCMXCIX MIM Mértékváltás: Hossz: Terület: 1 km = m 1 km² = m² 1 m = 10 dm 1 m² = 100 dm² 1 dm = 10 cm 1 dm² = 100 cm² 1 cm = 10 mm 1 cm² = 100 mm² 1 km² = 100 h 1 h = m² Térfogt: 1 km³ = m³ 1 hl = 100 l 1 m³ = dm³ 1 l = 10 dl 1 dm³ = cm³ 1 dl = 10 cl 1 cm³ = mm³ 1 cl = 10 ml 1 dm³ = 1 l Tömeg: 1 t = kg 1 kg = 100 dkg 1 dkg = 10 g Szög: 1 t = 10 q 1 = 60' (fokperc) 1 q = 100 kg 1' = 60'' (fokmásodperc) Normállk: egy 1 és 10 között lévő szám, illetve 10 htváyák szorzt. Százlékszámítás: A legegyszerűbb módszer külöböző dtok kiszámításához, h megkeressük z 1% -ot. Alp (): 100%-os meyiség Százlékláb (p): z lp vlháy % - (x)%-os övelés eseté p = (100 + x)% (x)%-os csökketés eseté p = (100 x)% Érték (e): z lp százléklábbl változttott része Az dtokt írjuk fel helyese, mjd lklmzzuk képleteket: = e 100 p = e 100 e = p p 100

3 Műveletek törtekkel: Törtek összedás és kivoás: Közös evező, mjd evezők változtlul hgyás mellett számlálókt összedjuk / kivojuk. Közös evezőt legegyszerűbbe úgy kpuk, h evezőket összeszorozzuk; legszebb lkot pedig úgy, h evezők legkisebb közös többszörösét vesszük. Törtek szorzás: Összeszorozzuk számlálókt, illetve evezőket: Törtek osztás: Törteket úgy osztuk, hogy z osztó reciprokávl szorzuk: ± c = d±cb b d bd c = c b d bd : c = d = d b d b c bc vgy ± c = d ± cb b d bd bd Műveleti sorred: A külöböző kifejezések lkításkor midig figyelembe kell vei műveleti sorredet: 1) Zárójeleke belüli kifejezések ) Htváyozás és gyökvoás ) Szorzás és osztás 4) Összedás és kivoás Egyelő erősségű műveletek eseté blról jobbr hlduk! Egyeletek Másodfokú egyelet megoldás: Redezés és 0-r redukálás utá z áltláos lk: x + bx + c = 0 Megoldóképlet: x 1; = b± b 4c Másodfokú egyelőtleség megoldás: A megoldóképlettel megoldi példát, mjd kpott gyökök prbol (másodfokú függvéy) gyökei leszek. Eek segítségével ábrázolhtjuk és vizsgálhtjuk prbolát. Egyeletredszer megoldás: Kifejezzük z egyik egyeletből vlmelyik ismeretlet, mjd kpott kifejezést beírjuk másik egyeletbe z ismeretle helyére.

4 Htváy, gyök, log, exp Htváy (és expoeciál) defiíciók és zoosságok: 1 = 1 (b) = b = 1 m = +m m = m p q ( b ) = b ( ) m = m q = p ( + b) = + b + b ( b) = b + b ( + b) ( b) = b Gyök defiíciók: b = b b = k b = ( ) k p q q = p Log összefüggések és zoosságok: log b = c c = b log x = x log x = x x log y = y log x log (x y) = log x + log y log ( x y ) = log x log y log x = log x log ( ) x = 1 log x log b = log c b log c log x = log x 1 = 1 log x = log x Hlmzok A B A B A \ B A Logik Kojukció ~ Logiki és: Értéke potos kkor igz, h mid két operdusák igz logiki értéke. Jele: A B ('A és B') Diszjukció ~ Logiki megegedő vgy: Akkor hmis, h mid két operdusák hmis logiki értéke. Jele: A B ('A vgy B') Implikáció ~ Következtetés: Értéke csk kkor hmis, h igz értékből hmis következik. Jele: A B ('A implikáció B') Ekvivleci: Értéke csk kkor igz, h két operdusák logiki értéke megegyezik. Jele: A B ('A ekvivleci B') Negáció: Értéke kkor igz, h z ítélet hmis. Jele: A ('em A') 4

5 Függvéyek Lieáris függvéy y = m x ± b m - meredekség b - y tegelymetszet Másodfokú függvéy Abszolútérték fgv y = ± (x ± b) ± c y = ± x ± b ± c Gyökfüggvéy y = ± x ± b ± c Törtfüggvéy y = ± ± c = ± 1 ± c x±b x±b - eyivel yújtjuk meg függvéyt egtív eseté függvéyt tükrözzük x tegelyre h b pozitív kkor blr, h egtív, kkor jobbr toljuk függvéyt b-vel h c pozitív, kkor felfele, h egtív, kkor lefele toljuk függvéyt c-vel Jellemzés: ÉT; ÉK; zérushely; mootoitás; szélsőérték zh. kiszámolás: egyelővé tesszük függvéyegyeletet 0-vl, mjd megoldjuk x-re Gráfok Potokból és z ezeket összekötő élekből állk. Fotos tétel: A gráfokb pártl fokszámú potok szám midig páros. Soroztok Tgok: 1,,,, Számti sorozt: Differeci (d) - két szomszédos tg közti külöbség Bármely tg szomszédos tgok átlg (számti közepe) = 1 + ( 1)d S = ( 1 + ( 1)d) Mérti sorozt:. elem megdás első elem összege Quocies (q) - két szomszédos tg közti háydos = Bármely tg szomszédos tgok mérti közepe = ( 1 ) ( +1 ) = 1 q 1. elem megdás S = 1(q 1) q 1 (q 1) első elem összege S = 1 (q = 1) első elem összege 5

6 Kombitorik Permutáció: megdj, hogy háyféleképpe tehető sorb külöböző elem. Képlete:! Ismétléses permutáció: megdj, hogy háyféleképpe tehető sorb elem, h z elemek között v k; l; m; drb egyform is. Képlete:! k! l! m! Vriáció: megdj, hogy elemből k elemet háyféleképpe válszthtuk ki, h számít sorred. Képlete:! ( k)! Kombiáció: megdj, hogy elemből k elemet háyféleképpe válszthtuk ki, h em számít sorred. Képlete: ( k ) = ( k ) Vlszám Az értéke egy 0 (0% - lehetetle eseméy) és 1 (100% - biztos eseméy) között lévő szám. Klsszikus vlószíűség: kedvező esetek szám összes eset Egymástól függetle eseméyek együttes bekövetkeztéek esélye: z egyes eseméyek vlószíűségét össze kell szorozi. Mgyr kártypkli: 4 szí (piros, zöld, mkk, tök) és szíekét 8 lp (VII, VIII, IX, X, lsó, felső, király, ász) - összese 4 8 = lp. Sttisztik Átlg (számti közép) x = x 1+x +...+x Szórás: z átlgtól vló eltérések átlg σ = (x x 1) +(x x ) +(x x ) +...+(x x ) Módusz: leggykoribb érték vgy értékek mod Mediá: gyság szeriti redezés utá középső érték vgy középső érték átlg Terjedelem: leggyobb és legkisebb dt külöbsége 6

7 Síkgeo Sokszögek belső szögeiek összege: ( ) 180 Sokszögek külső szögeiek összege: 60 Egy csúcsból kiiduló átlók szám: ( ) Összes átlók szám: ( ) Sokszögek kerülete: htároló oldlk hosszák összege. Háromszögek területe: T = m = b m b = c m c T = r s r = beírhtó kör sugr s = K = +b+c T = bc 4R T = s(s )(s b)(s c) T szbályos = 4 R = köréírhtó kör sugr Pitgors-tétel: Derékszögű -be befogók égyzetéek összege egyelő z átfogó égyzetével. c = + b Szögfelező-tétel: Áltláos -ekbe szögfelező szemközti oldlt szomszédos oldlk ráyáb osztj. Befogó-tétel: Derékszögű -ekbe: b = qc = pc Mgsság-tétel: Derékszögű -ekbe: m = pq Nevezetes égyszögek területe: Trpéz: T = (+c) m Prlelogrmm: T = m = b m b Rombusz: T = m = e f Deltoid: T = e f Tégllp: T = b Négyzet: T = Kör területe, kerülete: T = r K = r Körcikk területe, kerülete: T = r ív = r K = ív + r 7

8 Térgeo Kock: V = A = 6 lpátló: testátló: Tégltest: V = bc A = b + c + bc Heger: V = T lp m = r π m A = T lp + P plást: P = rπ m Hsáb: V = T lp m Kúp: Gúl: V = T lp m = r π m A = T lp + P plást: P = K lp m A = T lp + P plást: P = rπ lkotó: = r + m V = T lp m A = T lp + P szbályos lpú gúl felszíe: A = T lp + K lp h h: plástot lkotó háromszögek mgsság Csokkúp: V = m π (R + Rr + r ) A = T 1 + T + P A = R π + r π + P A = π(r + r + (R + r)) Csokgúl: V = m (T 1 + T 1 T + T ) A = T 1 + T + P plást - P: htároló trpézok területösszege Gömb: V = 4 R π A = 4R π Hsábok, hegerek térfogt áltláos: Gúlák, kúpok térfogt áltláos: V = T lp m V = T lp m Beírhtó és köréírhtó gömbök, testek: eme problémák legegyszerűbb megoldás, h megfelelő ézetből egy síkr vetítjük z dott testeket, úgy pedig síkgeometrii tudássl kiszámíthtók z dtok. 8

9 Trigo Szögfüggvéyek derékszögű háromszögekbe: Sziusz (sius): Kosziusz (cosius): Tges (tges): Kotges (cotges): si = cos = tg = ctg = vl szemközti befogó = átfogó c vl szomszédos befogó = b átfogó c vl szemközti befogó = vl szomszédos befogó b vl szomszédos befogó = b vl szemközti befogó Összefüggések szögfüggvéyek között: tg = si cos = 1 ctg ctg = cos si = 1 tg si + cos = 1 1 si 1 1 cos 1 Cosius és Sius tételek: Cos-tétel: c = + b b cos Si-tétel: : b: c = si : si : si Korgeo Iráyvektor: Az helyvektor, mely párhuzmos z egyeessel. Normávektor: Az helyvektor, mely merőleges z egyeesre. Vektorok elforgtás 90 -l: Koordiátáikt felcseréli, mjd z elsőek z elletettjét vei. Két egyees párhuzmos, h meredekségeik megegyezek. Két egyees merőleges, h meredekségeik egymás egtív reciproki. Két pot áltl meghtározott egyees képletéek felírás: 1) hszáljuk függvéytáblbéli képletet, vgy ) meyibe leolvshtó egyértelműe z y tegely metszete, kkro képlet élkül két pot két tegelye mért külöbsége megdj meredekséget, így pedig felírhtó z egyees egyelete Egy szksz hosszák kiszámítás: derékszögű háromszöget illesztük rá úgy, hogy két befogó legye párhuzmos tegelyekkel, hiáyzó szksz pedig legye háromszög átfogój; mjd Pitgors-tétellel kiszámoljuk z átfogót, befogók hossz pedig leolvshtó. Két lkzt metszéspotj(i): z lkztok egyeleteit egyeletredszerkét kezeljük, mjd megoldjuk. Egyees egyelete: y = m x + b m: meredekség b: y tegely metszése Kör egyelete: (x u) + (y v) = r K(u; v): kör közepe r: kör sugr 9