HALMAZOK HALMAZMŰVELETEK. Halmaz: bizonyos dolgok összessége. Halmaz megadása: Elemeinek felsorolásával

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "HALMAZOK HALMAZMŰVELETEK. Halmaz: bizonyos dolgok összessége. Halmaz megadása: Elemeinek felsorolásával"

Átírás

1 HALMAZOK Hlmz: bizoyos dolgok összessége. Hlmz megdás: Elemeiek felsorolásávl Tuljdoság megdásávl Hlmzok egyelősége: Két hlmz egyelő, h zoosk z elemei. Részhlmz: A hlmz részhlmz B -ek, h A mide eleme B hlmzk is eleme. Vlódi részhlmz: A hlmz vlódi részhlmz B -ek, h A részhlmz B -ek, de A hlmz em egyelő B hlmzzl. Üres hlmz: Egy hlmzt üresek evezük, h ics eleme. Jele: vgy { }. Véges hlmz: Egy hlmzt véges hlmzk evezük, h elemeiek szám véges. Végtele hlmz: Egy hlmzt végtele hlmzk evezük, h elemeiek szám végtele. HALMAZMŰVELETEK Alphlmz: Alphlmzk evezzük zt hlmzt, melye belül értelmezük külöféle hlmzokt. Uió: A és B hlmz uiój zo elemek hlmz, melyek két hlmz közül leglább z egyikbe bee vk. Jele: A B. Metszet: A és B hlmz metszete zo elemek hlmz, melyek midkét hlmzb bee vk. Jele: A B Külöbség: A és B hlmz külöbsége zo elemek hlmz, melyek z A hlmzb bee vk, de B -be icseek. Jele: A\B. Komplemeter (kiegészítő) hlmz: A hlmz komplemetere z hlmz, melyek elemei z lphlmzb bee vk, de A -b icseek. Jele: A. Véges hlmzok elemeiek szám (számosság): zt dj meg, hogy háy eleme v z dott hlmzk. Csk természetes szám lehet, vgy végtele. Jele: A.

2 ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET ALAPMŰVELETEK Alpműveletek: A számelmélet lpműveletei z összedás, kivoás, szorzás és z osztás. Elletett: Egy szám elletettje z szám, mellyel összedv 0-t kpuk. Egy szám elletettje. Reciprok: Egy szám reciprok z szám, mellyel összeszorozv -et kpuk. Egy szám reciprok. OSZTHATÓSÁG Osztó: Egy természetes szám osztój b egész számk, h v oly k természetes szám, melyre k=b. Jele b (ejtsd: osztój b -ek). Vlódi osztó: egy természetes számk z z osztój, mely em mg szám, és em is. Nem vlódi osztó: Mide természetes szám oszthtó ömgávl és -gyel, ezért ezeket em vlódi osztókk evezzük. Többszörös: H egy természetes szám osztój b természetes számk, kkor b-t z többszöröséek evezzük. Prímszám (prím, törzsszám): Azokt természetes számokt, melyekek potos két osztójuk v (mg szám és z ), prímszámokk evezzük. (; 3; 5; 7; ; 3; 7; 9; 3; 9; 3; 37...) Végtele sok prímszám v. A z egyetle páros prímszám. Összetett szám: Azokt természetes számokt, melyekek kettőél több osztójuk v, összetett számokk evezzük. Tehát z em prím és em is összetett szám, mert csk db osztój v: z. Prímtéyezős felbotás: H egy természetes számot oly szorzttá lkítuk, melybe mide téyező prím, kkor szám prímtéyezős felbotását hozzuk létre. A számelmélet lptétele: Mide, -él gyobb természetes szám, sorredtől eltekitve egyértelműe (zz potos egyféleképpe) bothtó fel prímszámok szorztkét. Leggyobb közös osztó: Két vgy több természetes szám leggyobb közös osztój z természetes szám, mely z dott számok midegyikéek osztój, és bármely más közös osztóál gyobb. Kiszámítás: számok prímtéyezős felbotásáb szereplő zoos prímtéyezőket, z előforduló legkisebb kitevőre emelve összeszorozzuk. Legkisebb közös többszörös: Két vgy több természetes szám legkisebb közös többszöröse z természetes szám, mely z dott számok midegyikéek többszöröse, és bármely más közös többszörösél kisebb. Kiszámítás: számok prímtéyezős felbotásáb szereplő mide prímtéyezőt, z előforduló leggyobb kitevőre emelve összeszorozzuk. Reltív prímek: két vgy több természetes számot reltív prímekek evezük, h leggyobb közös osztójuk z. A defiícióból következik, hogy reltív prímekek emcsk leggyobb, hem z egyetle közös osztójuk z. Úgy is foglmzhtuk, hogy reltív prímekek ics vlódi közös osztójuk.

3 OSZTHATÓSÁGI SZABÁLYOK Az osztó Mit kell vizsgáli A potos szbály I. ; 5; 0 Az utolsó számjegy II. 4; 5; 00 Az utolsó két számjegy III. 8; 5; 000 Az utolsó három számjegy IV. 3; 9 A számjegyek összege Egy egész szám potos kkor oszthtó -vel / 5-tel / 0-zel, h z utolsó számjegye oszthtó -vel / 5-tel / 0-zel. Egy egész szám potos kkor oszthtó 4-gyel / 5-tel / 00- zl, h z utolsó két számjegyéből álló szám oszthtó 4-gyel / 5-tel / 00-zl. Egy egész szám potos kkor oszthtó 8-cl / 5-tel / 000-rel, h z utolsó három számjegyéből álló szám oszthtó 8-cl / 5-tel / 000-rel. Egy egész szám potos kkor oszthtó 3-ml / 9-cel, h számjegyeiek összege oszthtó 3-ml / 9-cel. V. pl. 6= 3; =3 4; 5=3 5 stb. Szorzó szbály (z osztót reltív prímek szorztár botjuk) Egy egész szám potos kkor oszthtó reltív prímek szorztávl, h oszthtó eze reltív prímek midegyikével SZÁMHALMAZOK N={természetes számok}={0; ; ; 3; 4;...} Z={egész számok}={... ; -; -; 0; ; ; 3;...} Q={rcioális számok}={két egész szám háydoskét felírhtó számok, h z osztó em 0} Rcioális számok z egész számok, közöséges törtek, véges tizedestörtek és végtele szkszos tizedestörtek. Q*={irrcioális számok}=}={két egész szám háydoskét NEM felírhtó számok} Irrcioális számok végtele emszkszos tizedestörtek. Legismertebb irrcioális számok pl. π (pi), gyök. R={vlós számok}=quq* A vlós számok z egész számegyeest folytoos kitöltik. ABSZOLÚT ÉRTÉK Abszolút érték: Egy szám bszolút értéke szám számegyeese mért 0-tól vló távolságávl egyezik meg. Nemegtív szám bszolút értéke ömg, egtív szám bszolút értéke szám elletettje. Normállk: Egy szám ormállkját megkpjuk, h számot oly kéttéyezős szorzttá botjuk, melybe z egyik téyező egy -él emkisebb, 0-él kisebb szám, másik téyezője pedig 0-ek vlmely egész kitevőjű htváy.

4 HATVÁNYOZÁS Pozitív egész kitevőjű htváy: H bármilye vlós szám, pedig pozitív egész szám,, kkor ( z -edike) zt z -téyezős szorztot jelöli, melyek mide téyezője. Null kitevőjű htváy: Bármely (em ull) szám 0-dik htváy : 0 = Negtív kitevőjű htváy: k Törtkitevőjű htváy: = = k A HATVÁNYOZÁS AZONOSSÁGAI Azoos lpú htváyok, h. k + k = Azoos lpú htváyok úgy is szorozhtók, hogy z lpot kitevők összegére emeljük. k = k k k ( ) Azoos lpú htváyok úgy is eloszthtók, hogy z lpot kitevők külöbségére emeljük. = Htváyt úgy is htváyozhtuk, hogy z lpot kitevők szorztár emeljük. k k = Htváyból úgy is vohtuk gyököt, hogy z lpot rr htváyr emeljük, melyek kitevője z eredeti htváykitevő és gyökkitevő háydos. ( ) b Szorzt, háydos htváyozás b = Szorztot úgy is htváyozhtuk, hogy téyezőket közös kitevőre emelve összeszorozzuk. b = b Törtet úgy is htváyozhtuk, hogy számlálót és evezőt közös kitevőre emeljük, mjd e htváyokt elosztjuk egymássl. ( + b) = + b + b ( b) = b + b NEVEZETES SZORZATOK ( + b)( b) = b

5 GYÖKVONÁS Négyzetgyök: egy emegtív szám égyzetgyöke z emegtív szám, melyek égyzete -edik gyök (h páros): egy emegtív szám -edik gyöke z emegtív szám, melyek -edik htváy -edik gyök (h pártl): egy vlós szám -edik gyöke z vlós szám, melyek -edik htváy A GYÖKVONÁS AZONOSSÁGAI Szorzt gyöke: b = b Háydos gyöke: = b b Htváy gyöke: k = k Gyök gyöke: k = k Htváy gyöke, gyök htváy: = ( ) =

6 EGYENLETEK, EGYENLETRENDSZEREK, EGYENLŐTLENSÉGEK Egyelet: H két lgebri kifejezés közé egyelőségjelet teszük, egyeletet kpuk. Azokt számokt, melyeket z egyeletbe levő betűk helyébe írv z egyelőség teljesül, z egyelet megoldásik vgy gyökeiek evezzük. Alphlmz: Egy egyelet lphlmzák evezzük zt hlmzt, melybe z egyelet gyökeit (megoldásit) keressük. Megoldáshlmz: Egy egyelet gyökeiek hlmzát z egyelet megoldáshlmzák evezzük. EGYENLETMEGOLDÁSI MÓDSZEREK Mérlegelv: H egy egyelet midkét oldlához hozzádjuk ugyz számot vgy lgebri kifejezést, vgy midkét oldlából kivojuk ugyz számot vgy lgebri kifejezést, vgy midkét oldlát beszorozzuk ugyzzl em 0 számml vgy lgebri kifejezéssel, vgy midkét oldlát leosztjuk ugyzzl em 0 számml vgy lgebri kifejezéssel, kkor z egyelőség igz mrd. Grfikus módszer: Az egyelet két oldlá álló függvéyt zoos koordiát-redszerbe ábrázoljuk. Az egyelet megoldási két grfiko közös potjik x koordiátái. KÉTISMERETLENES EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSI MÓDSZEREI Behelyettesítő módszer: Az egyik egyeletből kifejezzük z egyik ismeretlet, mjd ezt behelyettesítjük másik egyeletbe. Így egy ismeretleük lesz, zt kiszámoljuk, mjd visszhelyettesítjük vlmelyik eredeti egyeletbe. Egyelő együtthtók módszere: Az egyeleteket úgy szorozzuk be vlmilye számml, hogy vlmelyik ismeretle együtthtói két egyeletbe megegyezzeek, vgy egymás elletettjei legyeek. Ezutá két egyeletet kivojuk egymásból, vgy összedjuk egymássl. Így egy ismeretleük lesz, zt kiszámoljuk, mjd visszhelyettesítjük vlmelyik eredeti egyeletbe. MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egyelet 0-r redukált áltláos lkj: x + bx + c = 0, 0 Megoldóképlet: x, b ± = b 4c Diszkrimiás: A másodfokú egyelet megoldóképletébe gyök ltti kifejezést diszkrimiásk evezzük. D = b 4c H D > 0 két külöböző vlós gyöke v másodfokú egyeletek H D = 0 két zoos (zz egy) vlós gyöke v másodfokú egyeletek H D < 0 ics vlós gyöke másodfokú egyeletek

7 Viète-formulák ( gyökök és együtthtók kpcsoltáról): b x + x = x x = A másodfokú egyelet gyöktéyezős lkj: x + bx + c = ( x x )( x x ) = 0 c KÖZÉPÉRTÉKEK Számti közép: Két szám számti közepe két szám összegéek fele. Mérti közép: Két szám mérti közepe két szám szorzták égyzetgyöke. Kpcsolt számti és mérti közép között: Két emegtív szám számti közepe midig leglább kkor, mit mérti közepe. A két középérték potos kkor egyelő, h két szám egyelő.

8 GEOMETRIA SÍKGEOMETRIA Szög: Egy potból kiiduló két félegyees áltl htárolt síkrészt szögtrtomáyk vgy szögek evezzük. Szögfjták: ullszög, egyeesszög, derékszög, tompszög, egyeesszög, homorúszög, teljes szög, forgásszög. (Defiíciójukt lásd tköyvekbe vgy szkszerű holpoko.) Nevezetes szögfjták: Párhuzmos szárú szögek: Egyállású szögek: oly szögek, melyek szári párokét párhuzmosk és egyiráyúk. Az egyállású szögek egyelőek. Társszögek (kiegészítő szögek): oly szögek, melyek szári párokét párhuzmosk, és egyik száruk egyiráyú, másik száruk elletétes iráyú. Összegük 80. Mellékszögek: társszögek speciális esete, mikor két szög egyiráyú szögszár egybeesik. Váltószögek: oly szögek, melyek szári párokét párhuzmosk és elletétes iráyúk. A váltószögek egyelőek. Csúcsszögek: váltószögek speciális esete, mikor két szög csúcs egybeesik, szárik pedig egymás meghosszbbítási. Merőleges szárú szögek: oly szögek, melyekek szári párokét merőlegesek. A merőleges szárú szögek vgy egyelőek, vgy 80 -r egészítik ki egymást. TÉRELEMEK TÁVOLSÁGA Két pot távolság: potokt összekötő egyees szksz hossz. Egy pot és egyees távolság: potból z egyeesre állított merőleges szksz hossz. Két egymást metsző egyees, ill. két egybeeső egyees távolság 0. Két párhuzmos egyees távolság: z egyik egyees egy potjából másik egyeesre állított merőleges szksz hossz. Egy pot és egy sík távolság: potból síkr állított merőleges szksz hossz. Két párhuzmos sík távolság: z egyik sík egy potjából másik síkr állított merőleges szksz hossz. TÉRELEMEK HAJLÁSSZÖGE Két metsző egyees hjlásszöge: z áltluk bezárt szögek közül derékszögél emgyobb szög. Két kitérő egyees hjlásszöge: egy tetszőleges poto átmeő, velük párhuzmos egyeesek hjlásszöge. Egyees és egy áltl metszett sík hjlásszöge: z egyees és síkr eső merőleges vetületéek hjlásszöge. Egyees és vele párhuzmos (vgy rá illeszkedő) sík hjlásszöge 0. Két, egymást metsző sík hjlásszöge: A két sík metszésvolák egy tetszőleges potjáb két sík midegyiké merőlegest állítuk metszésvolr. Az így kpott két egyees hjlásszöge két sík hjlásszöge. Két párhuzmos (vgy egybeeső) sík hjlásszöge 0.

9 NEVEZETES PONTHALMAZOK Kör: egy dott pottól egyelő távolságr levő potok hlmz síko. Gömb: egy dott pottól egyelő távolságr levő potok hlmz térbe. Szkszfelező merőleges: egy szksz két végpotjától egyelő távolságr levő potok hlmz síko. Szögfelező: egy szög száritól egyelő távolságr levő potok hlmz szögfelező síkjáb. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Tegelyes tükrözés Középpotos tükrözés Párhuzmos eltolás Pot körüli forgtás Egy lkzt tegelyese szimmetrikus, h létezik oly egyees, melyre z lkztot tükrözve z lkzt képe ömg. Egy lkzt középpotos szimmetrikus, h létezik oly pot, melyre z lkztot tükrözve z lkzt képe ömg. Egy lkzt forgásszimmetrikus, h létezik oly pot, mely körül 360 egész számú többszöröseitől külöböző szöggel vló elforgtássl keletkező képe ömg. HASONLÓSÁG Hsoló síkidomok területe, hsoló testek felszíe, térfogt Hsoló síkidomok területéek ráy hsolóság ráyák égyzete. Hsoló testek felszíéek ráy hsolóság ráyák égyzete. Hsoló testek térfogták ráy hsolóság ráyák köbe. Háromszögek csoportosítás oldlk szerit: HÁROMSZÖGEK Áltláos háromszög: oly háromszög, melyek mide oldl külöböző. Egyelő szárú háromszög: oly háromszög, melyek v két egyelő oldl. A két egyelő oldlt szárkk, hrmdik oldlt lpk evezzük. A szárk áltl bezárt szöget szárszögek evezzük. Egyelő oldlú (más éve szbályos) háromszög: oly háromszög, melyek midhárom oldl egyelő. Háromszögek csoportosítás szögek szerit: Hegyesszögű háromszög: oly háromszög, melyek leggyobb szöge hegyesszög. Derékszögű háromszög: oly háromszög, melyek leggyobb szöge derékszög. A derékszög szárit lkotó oldlkt befogókk, derékszöggel szemközti oldlt átfogók evezzük. Tompszögű háromszög: oly háromszög, melyek leggyobb szöge tompszög. Háromszög-egyelőtleség: bármely háromszögbe bármely két oldl összege gyobb, mit hrmdik oldl.

10 Bármely háromszögbe igz: A belső szögek összege 80. A külső szögek összege 360. Egy belső és egy mellette levő külső szög összege 80. Egy külső szög egyelő két em mellette levő belső szög összegével. Egyelő szárú háromszögek tuljdosági: Az lpo fekvő szögek egyelők. Az lphoz trtozó mgsság felezi z lpot és szárk szögét. Egyelő oldlú háromszögek tuljdosági: Mide szöge egyelő. Mide mgsság egyelő. A mgsságvolk, súlyvolk, oldlfelező merőlegesek, szögfelezők egybeesek. HÁROMSZÖGEK NEVEZETES VONALAI Háromszög mgsságák egy csúcsból szemközti oldlr bocsátott merőleges szksz hosszát evezzük. A háromszög mgsságvoli egy potb metszik egymást, ez pot háromszög mgsságpotj. Háromszög oldlfelező merőlegeséek háromszög két csúcsától egyelő távolságr levő potok hlmzát evezzük háromszög síkjáb. A háromszög oldlfelező merőlegesei egy potb metszik egymást, ez pot háromszög köré írhtó kör középpotj. Háromszög szögfelezőjéek háromszög két oldlától egyelő távolságr levő potok hlmzát evezzük. A háromszög szögfelezői egy potb metszik egymást, ez pot beírhtó kör középpotj. Háromszög súlyvolák egy csúcsból szemközti oldl felezőpotjáb húzott szkszt evezzük. A háromszög súlyvoli egy potb metszik egymást, ez pot háromszög súlypotj. A súlypot : ráyb osztj súlyvolkt. Háromszög középvolák z oldlfelező potokt összekötő szkszokt evezzük. A háromszög középvoli párhuzmosk em felezett oldlkkl, és fele oly hosszúk. DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGEK TÉTELEI Pitgorsz-tétel: Derékszögű háromszögbe befogók égyzetéek összege egyelő z átfogó égyzetével. Mgsságtétel: Derékszögű háromszögbe z átfogóhoz trtozó mgsság égyzete z átfogó két szeletéek szorztávl egyelő. Befogótétel: Derékszögű háromszög befogóják égyzete egyelő z átfogók és befogó átfogór eső merőleges vetületéek szorztávl.

11 NÉGYSZÖGEK A égyszögek belső szögeiek összege és külső szögeiek összege is 360. év ábr Speciális égyszögfjták defiíció: oly égyszög, oldlk szögek átlók terület melyek trpéz v párhuzmos oldlpárj (ezek eve: lpok, másik két oldl: szár) lpok párhuzmosk szárko társszögek + c m húrtrpéz (szimmetrikus trpéz, körbe írhtó trpéz) v párhuzmos oldlpárj és szimmetrikus z lp felezőmerőlegesére lpok párhuzmosk, szári egyelőek lpoko egyelők, szárko társszögek egyelőek + c m prlelogrmm két párhuzmos oldlpárj v szemközti oldlk egyelőek szemköztiek egyelők, szomszédosk társszögek felezik egymást m bmb bsiα deltoid két-két szomszédos oldl egyelő két-két szomszédos oldl egyelő egyik szemközti szögpár egyelő merőlegesek, szimmetriátló felezi másikt ef rombusz mide oldl egyelő szemközti oldlk egyelőek, párhuzmosk szemköztiek egyelők, szomszédosk társszögek merőlegese felezik egymást ef m siα tégllp mide szöge egyelő szemközti oldlk egyelőek, párhuzmosk egyelőek egyelőek, felezik egymást b égyzet oldli és szögei egyelőek egyelők, szemköztiek párhuzmosk egyelőek egyelők, merőlegese felezik egymást

12 SOKSZÖGEK Egy oldlú kovex sokszög átlóik szám (-3)/ belső szögeiek összege (-)80 külső szögeiek összege 360 Szbályos sokszög: oly sokszög, melyek oldli és szögei is egyelőek. KÖR Kör (körvol): Egy dott pottól egyelő távolságr levő potok hlmz síko. Az dott pot kör középpotj, z álldó távolság kör sugr. Nyílt/zárt körlp: A kör középpotjától sugráál kisebb/emgyobb távolságr levő potok hlmz síkb. A kör részei Húr: A körvol két potját összekötő szkszt kör húrják evezzük. Átmérő: A kör középpotjá átmeő húrját átmérőek evezzük. Szelő: A körvol két potjá átmeő egyeest szelőek evezzük. Éritő: Azt z egyeest, melyek potos egy közös potj v körrel, kör éritőjéek evezzük. Az éritő és kör közös potját éritési potk evezzük. Az éritési potb húzott sugár merőleges z éritőre. Körcikk: A kör két sugr és egy köríve áltl htárolt részét körcikkek evezzük. Körszelet: A kör egy húrj és egy köríve áltl htárolt részét körszeletek evezzük. Körgyűrű: Két zoos középpotú körvol áltl htárolt síkidom. Szögek mérése fokb, rdiáb: Mide szög foko kívül rdiáb is mérhető, mely z dott szöghöz trtozó egységyi sugrú körív hossz. A 80 -os szög rdiáb π. Ezzel ráyos kifejezhető bármely szög gyság fokb is, és rdiáb is. Középpoti szög: oly szög, melyek csúcs egy kör középpotj, szári kör sugri. Kerületi szög: oly szög, melyek csúcs egy körvol egy potj, szári kör húrji. Egy kör vlmely középpoti szöge midig kétszer kkor, mit z ugyzo ívhez trtozó kerületi szög. Thlész-tétel: H egy kör átmérőjéek két végpotját összekötjük körvol bármely más potjávl, derékszögű háromszöget kpuk. Thlész-tétel megfordítás: Derékszögű háromszög köré írhtó köréek középpotj z átfogó felezőpotjáb v.

13 TRIGONOMETRIA HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEK DEFINÍCIÓJA DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGBEN Sziusz: Derékszögű háromszög egy hegyesszögéek sziusz egyelő szöggel szemközti befogók és z átfogók háydosávl. Kosziusz: Derékszögű háromszög egy hegyesszögéek kosziusz egyelő szög melletti befogók és z átfogók háydosávl. Tges: Derékszögű háromszög egy hegyesszögéek tgese egyelő szöggel szemközti befogók és szög melletti befogók háydosávl. Kotges: Derékszögű háromszög egy hegyesszögéek kotgese egyelő szög melletti befogók és szöggel szemközti befogók háydosávl. A Pitgorsz-tétel trigoomterikus lkj: si α + cos α = Pótszögekre votkozó zoosságok: o ( 90 ) o ( 90 ) o ( 90 ) o ( 90 ) si α = cos α cos α = si α tg α = ctg α ctg α = tg α Tges és kotges: siα tg α = = cosα ctgα cosα ctg α = = siα tgα SZÖGFÜGGVÉNYEKRE VONATKOZÓ AZONOSSÁGOK Nevezetes szögek szögfüggvéyei si cos tg ctg

14 Egy síkidom kerülete z síkidomot htároló vol hossz. Egy sokszög kerülete sokszög oldlik összege. KERÜLET, TERÜLET Háromszög területe: bármely oldl és hozzá trtozó mgsság szorzták fele bármely két oldl és közbezárt szög sziusz szorzták fele Hero-képlet Nevezetes égyszögek területe (lásd Négyszögek c. potb levő tábláztot) Szbályos sokszögek területe: pl. köré írhtó kör sugrák ismeretébe, sugár áltl lkotott háromszögekre botv. Kör kerülete: K=rπ. (r kör sugr, π Ludolph-féle szám) Kör területe: T=r π. (r kör sugr, π Ludolph-féle szám) Körcikk területe: kör területéek yid része, háyd része körcikk középpoti szöge 360 -k. Körszelet területe: körcikk területéből középpoti háromszög területe.

15 VEKTOROK Az iráyított szkszokt vektorokk evezzük. Három fő tuljdoság v, mivel megdhtuk egy dott vektort: bszolút érték, állás, iráy. Egy vektor bszolút értéké vektor hosszát értjük. Azt vektort, melyek kezdőpotj egybeesik végpotjávl, zérusvektork vgy ullvektork evezzük, jele 0. A zérusvektor bszolútértéke ull, állás, iráy tetszőleges. Két vektor szögé z iráyukt jellemző félegyeesekkel mit szögszárkkl meghtározott kisebbik szöget értjük. Egyállású vektorokk evezzük zokt vektorokt, melyekhez tlálhtó egy oly egyees, mely midegyikőjükkel párhuzmos. Egysíkú vektorokk evezzük zokt, melyekhez tlálhtuk oly síkot, mely midegyikkel párhuzmos. Két vektor csk kkor egyelő, h bszolútértékük egyelő, egyállásúk és zoos iráyúk. Két vektor egymás elletettje, h bszolútértékük egyelő, egyállásúk és elletétes iráyúk. MŰVELETEK VEKTOROKKAL Vektorok összege Két vektor összedásáál egy potból kiidulv felmérjük z egyik vektort, mjd eek végpotjáb másik vektort. A két vektor összege z vektor, mely z első kezdőpotjából másik végpotjáb mutt. Több vektor összedás eseté először két vektort összegzük, mjd z összeghez hozzáduk egy újbb vektort. A vektorok összedás kommuttív és sszocitív művelet. +b b Vektorok külöbsége Két vektor külöbsége z zzl vektorrl egyelő, melyek kezdőpotj kivodó vektor végpotj, végpotj kisebbítedő vektor végpotj. Gykr hszáljuk még prlelogrmm-módszert. A két vektort közös kezdőpotb felvesszük, mjd eltoljuk z egyiket másik végpotjáb. Ezt műveletet midkét vektorrl végrehjtjuk. Az így kpott prlelogrmmáról egyszerre olvshtjuk le két vektor összegét és külöbségeit is. Vektor szorzás számml Amikor vektorok és számok együtt szerepelek, kkor számot sklár meyiségek, rövide sklárk evezzük. Adott egy vektor és egy λ (λ ε R). A λ vektor bszolútértéke λ, egyállású -vl és iráy, h = 0, kkor λ = 0, H 0, kkor: h 0 < λ, kkor z iráy, h λ < 0, kkor z iráyávl elletétes, h λ = 0, kkor λ = 0. H λ <, kkor z kicsiyítéséről beszélük, h λ >, kkor pedig gyításáról. Két vektor skláris (belső) szorzt A fizikáb értelmezett mukát z erő és z út szorzt htározz meg, tehát két vektormeyiségből egy sklárt kpuk. Két vektorból eze módo képzett sklár vektorlgebráb és geometriáb is hszálhtók bizoyul. b -b

16 Defiíció: A és b vektor skláris szorztá zt szorztot értjük, melybe két vektor bszolút értékét megszorozzuk hjlásszögük cosiusávl. b = b cos(,b) H z egyik téyező zérusvektor, kkor hjlásszög em egyértelmű, de ez em zvró, mivel z bszolút értéke ull, így skláris szorzt is ull. Tétel: Két em zérusvektor skláris szorzt kkor és csk kkor ull, h két vektor merőleges egymásr. Az skláris szorzás, melyikbe zérusvektor szerepel biztos ull. KOORDINÁTA GEOMETRIA A helyvektor defiíciójából kiidulv rögzítsük egy vektor kezdőpotját koordiátredszer origójáb, végpotj pedig legye koordiátsík egy tetszőleges P potj. Ekkor z OP helyvektor koordiátáj megegyezik végpot koordiátájávl. MŰVELETEK A HELYVEKTOROKKAL Helyvektorok összegéek koordiátái z egyes helyvektorok megfelelő koordiátáik z összege dj meg: x ; y ) ; b x ; y + b(x + x ; y y ( ) ) ( + Helyvektorok külöbségéek koordiáti: x ; y ) ; b( x ; y ) b(x x ; y y ) ( Vektor szorzás számml: Egy vektor sklárszorosák koordiátái z eredeti vektor koordiátáik sklárrl törtéő szorztávl egyelő. Vektorok skláris szorzt: ( x; y) ; b( x ; y ) b = x x + y y Egy vektor hosszák kiszámolás: v(x; y) vektor hossz v = x + y Tetszőleges AB szksz hosszák megdás: (x ; y ) B(x ; y ) (x ; y ) (x ; y ) AB = b AB(x A b ( x x ) + ( y ) x; y y) AB = AB = y Az A(x ; y) és B(x ; y) végpotú szksz F felezőpotják koordiátái: x + x y + y ; F. Az A(x ; y) és B(x ; y) végpotú szksz H, A-hoz közelebbi hrmdolópotják koordiátái: x + x y + y ; 3 3 H.

17 Az A(x ; y), B(x ; y), C(x3 ; y3) csúcspotú háromszög súlypotják koordiátái: x + x + x3 y + y + y ; S. AZ EGYENES HELYZETÉT JELLEMZŐ ADATOK Iráyvektor: Az egyeessel párhuzmos vektor, mely em ullvektor. Jele: v ( v ; ) Normálvektor: Az egyeesre merőleges vektor, mely em ullvektor. Jele: ( A;B) Egy egyees iráyvektori és ormálvektori midig merőlegesek egymásr. Iráyszög: Az iráyvektor x tegely pozitív iráyávl bezárt szöge. Jele: α v Iráytges: Az egyees iráyszögéek tgese, h létezik. Jele: m = tgα cosα 0 y Vlmely egyees iráyszöge zoos z iráyvektorák és z x tegelyek hjlásszögével. H z iráyszöget 90 < α < 90 itervllumr korlátozzuk, kkor z iráyszög tgesét megdj z iráyvektor két koordiátáják háydos. α O α v v x v m = tgα = v y v v Egy egyeesek végtele sok iráyvektor v, ezek egymástól külöböző sklárszoros vektorok. α Egy egyeesek végtele sok ormálvektor v, ezek egymástól külöböző sklárszoros vektorok. v 3 3 x Úgy lehet megdi egy tetszőleges vektorr merőleges vektort, hogy z eredeti vektor koordiátáit felcseréljük és z egyiket megszorozzuk (-)-gyel. Ezzel módszerrel lehet iráyvektor segítségével z egyees ormálvektorit, illetve ormálvektor segítségével z iráyvektorit megdi.

18 Két egyees párhuzmos, h ormálvektorik párhuzmosk; iráyvektorik párhuzmosk; iráyszögük egyelő; iráytéyezőjük egyelő (h v). Két egyees merőleges, h ormálvektorik merőlegesek ormálvektorik skláris szorzt 0; iráyvektorik merőlegesek iráyvektorik skláris szorzt 0; koordiáttegelyekkel em párhuzmos egyeesek iráytéyezőiek szorzt. Egyeest meghtározhtuk, h ismerjük z egyees egy potját és Egy másik potját Iráyvektorát Normálvektorát Iráyszögét / iráytgesét Meredekségét P( x; y) (A;B) P0 (x0; y0) Az egyees ormálvektoros egyelete: Ax + By = Ax 0 + By 0 Két egyees metszéspotját úgy htározzuk meg, hogy megoldjuk két egyees egyeletéből álló egyeletredszert. A KÖR A körvol és körlp között foglmi külöbség v, de gykr midkettőt körek evezzük. Ebbe témáb kör ltt körvolt értük. A kör zo potok hlmz síkb, melyek sík egy dott O potjától, kör középpotjától, egyelő távolságr vk. Ez távolság kör sugr, jele: r. Az O (u;v) középpotú, r sugrú kör egyelete (x u) + (y v) = r.

19 STATISZTIKA Sttisztiki sokság, mit A sttisztik tömegjeleségekbe érvéyesülő tpsztlti törvéyeket tár fel sokság részhlmzi (mitáko) elvégzett mérésekre lpozv. Sttisztiki sokságk evezzük z objektumok, eseméyek zo összességét, melyre sttisztiki vizsgált votkozik. A sttisztiki sokság tgjit egyedekek, sokságot lkotó egyedek számát pedig sttisztiki sokság méretéek evezzük. Az egyedek vizsgált tuljdoságit ismérvekek, z ismérv egy kokrét előfordulását pedig dtk evezzük. Sttisztiki miták evezzük sttisztiki sokság zo vlódi részhlmzát, melyről dtokkl redelkezük. A sttisztiki mitávl szembe lpkövetelméy, hogy reprezettív legye, zz hűe tükrözze zt sokságot, melyből vló, és lehető legtöbb iformációt yújts vizsgált ismérvvel kpcsoltos ismeretle eloszlásról. Gykoriság, gykorisági eloszlás, osztályokb sorolás Egy dt (bszolút) gykoriságá zt számot értjük, háyszor z dt mitáb előfordul. A gykorisági táblázt lehetséges dtokt és zok gykoriságit trtlmzz. Egy dt reltív gykoriságá gykoriságák és mit elemszámák háydosát értjük. A reltív gykoriság százlékb kifejezett értékét százlékos gykoriságk evezzük. Adtok ábrázolás, redszerezése A mit dtik jól megválsztott elredezésével, ábrázolásávl megköyíthetjük vizsgálti szempotokk megfelelő következtetések meghoztlát. Táblázt: Az dtok áttekithetőbbé, köyebbe feldolgozhtóvá válk, h tábláztb redezzük őket. A grfikook áltláb sokkl szemléletesebbek tábláztokál, sűrítik z iformációt, átláthtóbbá teszik z dthlmzt. A hsolóságok és külöbségek köye észrevehetővé válhtk. Fotosbb grfikotípusok Görbe, voldigrm: Derékszögű koordiát-redszerbe görbékkel vgy összefüggő törött volll szemléltetjük z dtok változását, egymáshoz vló viszoyát. Oszlopdigrm: Az ábrázoldó meyiséggel ráyos mgsságú tégllpok (oszlopok) lkotják. Az oszlopok szélessége egyelő, de szbdo megválszthtó. Akkor hszáljuk, h z dtok változását, egymáshoz vló viszoyát krjuk szemlélteti. Kördigrm: Áltláb reltív gykoriságok ábrázolásár hszáljuk. Egy körbe z ábrázoldó dtok reltív gykoriságivl ráyos középpoti szögű körcikkek lkotják. A teljes kör jeleti 00%-ot. A kördigrmo z egyes dtok gykoriságát is fel lehet tüteti. Tortdigrm: A kördigrm térbeli megfelelője. A térbeli elforgtás mitt torzítj középpoti szögeket, mi megehezíti z összehsolításokt. Középértékek A mitáb leggykrbb előforduló dtot mit móduszák evezzük. H több ilye v, kkor zok móduszok hlmzát lkotják. A mit gyság szerit redezett dti közül középsőt mediák evezzük. Pártl számú dt mediájá középső dtot értjük. Páros számú dt mediáj két középső dt számti közepe. A sttisztiki mit x,x,x3,...x dtik számti közepe: x + x + x x

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

ALGEBRA. 1. Hatványozás

ALGEBRA. 1. Hatványozás ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:

Részletesebben

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus) A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET MATEMATIKA FELADATSOR 9. évolym Elézést tegezésért! I. HALMAZOK Számegyeesek, itervllumok. Töltsd ki táláztot! Mide sor egy-egy itervllum hároméle megdás szerepelje!. Add meg következő itervllumokt! A

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat 1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k

SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k A sorozt megdás. ) ; ; ; b) ; ; ; c) 0; -; -; -8 d) ; ; 8; 89 e) ; ; 8; 0 f) ; ; 0; 90 g) ; ; 0 ; 0 90 h) em létezik, hisze eseté kifejezés ics értelmezve. A további elemek: ; 8 ; 0 899 i) 0; ; 999 ; j)

Részletesebben

Vektorok (folytatás)

Vektorok (folytatás) Vektorok (folyttás) Vektor szorzás számml (sklárrl) Vektor szorzás számml b 1 c 2b c 2 ( 1 ) 2 Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton 011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet

Részletesebben

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy.

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy. Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Elemi lgebr. A.. Mcedói, 00, 9. év. I. ord. Htározzuk meg y y értékét, h, y pozitív vlós számok és y = 6y. A.. Horvátország, 00, regioális versey, 0. év.

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Matematikából a tanulónak írásbeli és szóbeli osztályozó vizsgán kell részt vennie. Az írásbeli vizsga időtartama 60 perc, a szóbelié 20 perc.

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

Toldi Miklós Élelmiszeripari Szakképző Iskola és Kollégium Érettségi témakörök május-június

Toldi Miklós Élelmiszeripari Szakképző Iskola és Kollégium Érettségi témakörök május-június Tantárgy: Matematika Osztály: 12.d Szaktanár: Róka Sándor Györgyné Témakörök: 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok 1.1 Halmazok 1.2 Matematikai logika 1.3 Kombinatorika 1.4

Részletesebben

Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból. 9. évfolyam

Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból. 9. évfolyam Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból Minden évfolyamra vonatkozóan általános irányelv, hogy a matematikai ismeretek alkalmazásán (feladatok, problémák megoldása) van a hangsúly,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometri A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

BEVEZETÉS. Térelemek kölcsönös helyzete. Pont-egyenes: Egy pont vagy illeszkedik egy egyenesre, vagy nem eleme az egyenesnek, azaz nem illeszkedő.

BEVEZETÉS. Térelemek kölcsönös helyzete. Pont-egyenes: Egy pont vagy illeszkedik egy egyenesre, vagy nem eleme az egyenesnek, azaz nem illeszkedő. BEVEZETÉS Alpfoglmk: pont, egyenes, sík, illeszkedik. P, Q e, f S, R ε Térelemek kölcsönös helyzete Pont-egyenes: Egy pont vgy illeszkedik egy egyenesre, vgy nem eleme z egyenesnek, zz nem illeszkedő.

Részletesebben

Síkgeometria. Ponthalmazok

Síkgeometria.  Ponthalmazok Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok. Algebra és számelmélet

Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok. Algebra és számelmélet Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok halmaz halmaz megadása, jelölésmód üres halmaz véges halmaz végtelen halmaz halmazok egyenlısége részhalmaz, valódi részhalmaz halmazok uniója

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

MATEMATIKA. Szakközépiskola

MATEMATIKA. Szakközépiskola MATEMATIKA Szakközépiskola Az osztályozóvizsga írásbeli feladatlap. Az osztályozó vizsgán az osztályzás a munkaközösség által elfogadott egységes követelményrendszer alapján történik. A tanuló az osztályozó

Részletesebben

Matematika házivizsga 11. évfolyam alapos csoportok részletes követelmények

Matematika házivizsga 11. évfolyam alapos csoportok részletes követelmények Matematika házivizsga alapos csoportok részletes követelmények A vizsga időpontja: 017. április 10. 8:00-11:00 (5. órával folytatódik a tanítás) típusa: írásbeli időtartama:180 perc (I. rész 45 perc +II.

Részletesebben

Matematika házivizsga 11. évfolyam emelt szintű csoport részletes követelmények

Matematika házivizsga 11. évfolyam emelt szintű csoport részletes követelmények Matematika házivizsga emelt szintű csoport részletes követelmények A vizsga időpontja: 017. április 10. 8:00-1:00 (más tanítási óra a vizsga után nincs) típusa: írásbeli időtartama:40 perc (I. rész 45

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny onyhá, 011. március 11 15. 11. osztály 1. felt: Igzoljuk, hogy ármely n 1 természetes szám esetén. Megolás: Az összeg tgji k k 1+ k = = 1+ + n +... < 1+ 1+ n 3 1+ k

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél.

Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél. Matematika A vizsga leírása: írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. A matematika írásbeli vizsga egy 45 perces feladatlap írásbeli megoldásából áll. Az írásbeli feladatlap tartalmi jellemzői az alábbiak:

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra

9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra 9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra Fejlesztési cél/ kompetencia lehetőségei: Gondolkodási képességek: rendszerezés, kombinativitás, deduktív következtetés, valószínűségi Tudásszerző képességek:

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Matematika. a fogalma. Négyzetgyökvonás azonosságainak használata. A logaritmus fogalma, logaritmus azonosságai. Áttérés más alapú logaritmusra.

Matematika. a fogalma. Négyzetgyökvonás azonosságainak használata. A logaritmus fogalma, logaritmus azonosságai. Áttérés más alapú logaritmusra. Matematika Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok 1. Halmazok A halmazok megadásának különböző módjai, a halmaz elemének fogalma. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz,

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 04 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

9. évfolyam Hány darab ötjegyű kettes számrendszerbeli szám van?

9. évfolyam Hány darab ötjegyű kettes számrendszerbeli szám van? 9. évfolym 00. Ktink vn egy supsz áj. A ához már kpott kétféle klpot, három különöző lúzt, vlmint három különöző szoknyát. Hányféleképpen öltöztetheti fel előlük áját Kti, h egy szoknyát, egy lúzt és egy

Részletesebben