Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr."

Átírás

1 Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

2 Trtlomjegyzék. Bevezetés.. Soroztok... Számti sorozt.. Tégllp lefedése domiókkl. 9.. Feljutás z -fokú lépcsőre.. Rekurzív sorozt explicit képlete Fibocci-sorozt.... Az első égyzetszám összege...7. Az első köbszám összege... Egyeletek, egyeletredszerek.... Négyzetgyökös egyelet.. Hrmdfokú két ismeretlees egyeletredszerek 5. Egyelőtleség. 9.. Négyzetgyökös egyelőtleség Geometrii feldt Háromszögbe írhtó mximális területű égyzet... Oszthtósági feldtok... KÖMAL B os OKTV feldt ktulizálás Összegzés 7 8. Irodlomjegyzék.. 8

3 Bevezetés Szkdolgoztom legfotosbb célj z, hogy összegyűjtsek oly verseyfeldtokt, melyek középiskolások godolkodását fejlesztik, jvítják problémmegoldó képességüket. Emellett z is célom, hogy megmutssm, hogy mtemtik milye szép. Kevés oly feldt v, melyre csk egyféle megoldás létezik, legtöbbször számtl, egymástól léyegese külöböző megoldás v egy feldtk. Ezekek megoldásokk felfedezése gyo hszos, hisze fejlesztik problémmegoldó képességet, mi em csk mtemtik tudomáyá belül, hem z élet bármilye területé hszos. Vegyük például zt gyo egyszerű esetet mi velem is gykr előfordul, hogy elmegyek vásároli, és regeteg própézem v. Mivel z prót zsebembe trtom, és em péztárcáb, ezért kéyelmetle éh leüli, így vásárláskor z z egyik fő szempotom, hogy miél több própéztől szbduljk meg. Ekkor ksszáál tuljdoképpe egy dioftoszi problémát kell megoldi, hogy tudok miél több própéztől megváli, h ismerem pézek meyiségét és értékét. Természetese em csk vásárlásál hszosíthtó mtemtiki tudás. Az emberek gy százlék hjlmos zt hii, hogy mtemtikus csk számol. Ez természetese em igz. A számolás számológépek, számítógépek feldt. A mtemtikus és mtemtik tudomáy problémák modellezésével fogllkozik. Ez egy bsztrkt tudomáy, z ember lkott, mert szüksége volt rá. A régi kor emberéek fotos feldt volt, hogy meg tudj számoli, háy hszoállt v. Először z ujjit hszált, mide egyes álltot egy-egy ujják feleltetett meg, ie is szármzik vlószíűleg -es számredszerük. Ám h több, mit álltot krt számo trti, kkor szüksége volt természetes számok bevezetésére. Később műveleteket végzett ezekkel számokkl, h z egyik állt egy utódot hozott létre, meglévő számhoz hozzádott egyet, h elpusztult egy jószág, kivot egyet z összegből. Később szüksége lett szorzás műveletére is, h zt krt megszámoli, hogy egy oszlop széles és 5 sor hosszú istállób háy lovt tud betei. Visszfelé godolkozv megszületett z osztás művelete is, mjd hsoló többi művelet. Ez zt bizoyítj, hogy z emberekek szükségük volt mtemtikár. Jövőbeli tárkét éppe z z egyik célom, hogy diákokkl megszerettessem mtemtikát. Tisztáb vgyok vele, hogy em mideki rjog verseyfeldtokért, és em lehet midekitől elvári, hogy ehéz feldtokt oldjo meg. Ezért szkdolgoztomb feldtok megoldását részletese írtm le, tettem bele egésze köyű

4 és ehezebb feldtokt is. Néháy feldtál többféle teljese külöböző megoldást is megdtm, vlmit feldtok áltl ispirálv lkottm éháy új feldtot is. Egyik legkedveltebb témköröm soroztok, így z ilye típusú feldtokból tlálhtó legtöbb, de emellett összegyűjtöttem egyeleteket, egyelőtleségeket, geometrii feldtokt, oszthtósággl kpcsoltos feldtokt, vlmit oly feldtokt, melyek megoldásához z lgebr és z lízis eszközeit hszáltm fel. Mivel középiskolásokt szereték elsősorb títi, ezért feldtokhoz felhszált ismeretek em lépik túl középiskol szitjét. Középiskoláskét gykr jártm mtemtikverseyekre, hol többé-kevésbé jó eredméyeket sikerült elérem. Emlékszem rr, mikor országos verseyeke zártm előkelő helye, meyire felemelő érzés volt. Ezt z érzést szeretém megismerteti zokkl, kikek eddig em volt lehetőségük vgy kedvük verseyzésre, esetleg em szeretik mtemtikát. Szkdolgoztomb először soroztokról írok részletese, hol v KÖMAL-os feldt, de szerepelek z elemi mtemtik evű kurzuso tárgylt problémák is. A legtöbb feldtot áltláosítottm, próbáltm ehezebb példákt kostruáli, több megoldást megdi. Igyekeztem miél szemléletesebb módszerekkel dolgozi, hogy középiskolások érdeklődését is felkeltsem. Ezt követőe z egyeletekkel és egyeletredszerekkel fogllkoztm, mtemtikórá tlá ezzel tlálkozk leggykrbb középiskolás diákok, így fotosk trtom, hogy z egyeleteket gy mgbiztossággl kezeljék, eljutv helyes megoldásig. Ezutá egy egyelőtleséggel is fogllkoztm egy példá keresztül, melyek megoldásához szükség v számti-mérti közepek közti összefüggésről tult ismeretekre is, mit hogy igz ez következő témkörre is, mi geometri. A dolgoztom végé gyűjtöttem éháy oszthtósági problémát. A feldtok megoldás előtt írtm éháy godoltot rról, hogy hogy jöhetük rá megoldásr, és milye eszközökre v szükségük.

5 Soroztok A soroztok regeteg helye előfordulk mtemtikáb. Vk véges és végtele soroztok is. V, hogy vlháydik elemét szereték meghtározi egy soroztk, de előfordul z is, hogy egy sorozt elemeiek összegéről szereték megmodi, hogy meyi. Egy soroztot megdhtuk hozzáredelési szbállyl explicit és implicit, rekurzív és direkt módo, vgy felsorolássl, de előfordulht z is, hogy soroztot oly logik szerit djuk meg, mely folytthtó, ám em dhtó meg képlettel. Ilye például z sorozt, melybe pi szám tizedes jegyeit soroljuk fel. Az első feldt egy számti soroztról szól, ám egy kis ehézséget okoz z, hogy tuljdoképpe ez két számti sorozt egymásutáj. KÖMAL C.. Egy számsorozt iduló elemei,,, stb. páros számok. Egy bizoyos elemtől kezdve sorozt d = differeciájú számti sorozttl folyttódik. Melyik ez z elem, h sorozt első 5 eleméek összege 985? A megoldásr úgy juthtuk legköyebbe, h felhszáljuk számti soroztokról ismert összefüggéseket. A legfotosbb feldt, hogy meghtározzuk z első sorozt utolsó elemét, hisze ietől kezdve két számti soroztr bothtjuk soroztot. Másik megoldási lehetőség fvágós próbálkozós módszer. H egy logik szerit hlduk próbálkozás sorá, hmr eredméyre juthtuk. Megoldás: Legyeek -es differeciájú sorozt elemei: i, hol i ulláál gyobb és 5-él kisebb egész szám, k eek soroztk z utolsó eleme. A -s differeciájú sorozt elemeit jelöljük b j -vel, hol j ulláál gyobb egész szám, b l eek soroztk z utolsó eleme. S k -

6 vl jelölöm z első sorozt összegét, S l -lel második sorozt összegét. Tudjuk, hogy =, d =, d =, = k + l = 5, vlmit zt is, hogy S k + S l = 985. Számti soroztokr tudjuk, hogy következő összefüggések igzk: S ) d Ezekből következik: S ) d) Tudjuk, hogy: k k ) d Azz: k k ) k Az első sorozt összege képlet lpjá: S k k k ) d) Behelyettesítve következő értékeket kpjuk: S k k k )) k k k k Ekkor következő elem -s differeciájú sorozt első eleme lesz, egybe kérdéses elem is, zz: k k d Tehát: k k A második sorozt összegképlete következő: S l l k l ) d) Behelyettesítve kifejezéseket kpjuk: S l l k ) l )) kl l l l Mivel tudjuk, hogy S = S k + S l = 985, k + l = 5, így egyeletből álló egyeletredszert felírv megoldhtjuk: 5

7 kl l l S Sk Sl k k k l 5 l 5 k l Az első egyeletbe l helyére behelyettesítve 5-k-t kpjuk: S k5 k) 5 k) 5 k) 5 k) k k Felbotv zárójeleket kpjuk: 985 k 985 k k k k 75 k k k k k 75 k Az egyelet midkét oldlát szorozzuk meg -vel: 597 k k k Nullár redezve kpjuk: k k 8 k 75 A másodfokú egyelet megoldóképletével kpjuk: 5 k k, k = 8 k = Mivel k értéke -ál gyobb és 5-él kisebb kell, hogy legye, ezért csk k = lesz megoldás. Ez zt jeleti, hogy z első sorozt utolsó eleme. elem. A keresett elem., ezt következő összefüggés lpjá kphtjuk meg: k k d k ) d d ) 5 Tehát keresett tg 5. Ebbe feldtb láthtó, hogy egy egyszerűek tűő, két egymást követő számti soroztból álló soroztot viszoylg boyolult tuduk felíri. Vlószíűleg ebbe z esetbe hmrbb megkpák megoldást, h egyszerűe elkezdjük próbálgti megoldásokt szerit, hogy sorozt háydik elemétől változik differeci. Érdemes úgy próbálkozi, hogy h végeredméy, mit kpuk, kisebb kérdéses összegél, kkor

8 feltételezzük, hogy sorozt lcsoybb sorszámú eleme lesz megoldás h z összeg gyobb vártál, kkor gyobb sorszámú elemmel próbálkozuk. Ez megoldás kkor lklmzhtó, h középiskolás diák, ki feldtot meg szereté oldi, még em tult soroztokról, de ügyese ki tudj számoli például párosítássl) z összegeket. Ezeket próbálkozásokt felírv:. prób: Legye k = 5, hisze ez sorozt közepét éppe megelőző elem, ekkor két egyelő részre osztjuk számokt. Ebbe z esetbe kpjuk: = 5 = 5 S k = 5 = b =5 5 = b 5 = 5 S l = 5 S = 875, ez z összeg kisebb, mit 985, ezért próbáljuk ki egy kisebb számot.. prób: Legye k =, ez középe v és 5 között. Ekkor: = = S k = 8 = b = 9 5 = b 7 = 7 S l = 7 S = 5, ez gyobb, mit 985, ezért k értéke és 5 között lesz.. prób: Legye k = 9, hisze ez z átlg -k és 5-ek: = 9 = 8 S k = 8 = b = 5 = b = S l = S =, ez ismét gyobb kérdéses összegél, így k értékét öveli kell.. prób: Legye k =, ekkor: = = S k = 5 = b = 7 5 = b 8 = 8 S l = 5 S = 95, ez z érték kisebb, mit 985, ezért válsszuk k értékét -él kisebbek, de 9-él gyobbk, tehát már csk és mrdt. 5. prób: Legye k =, ekkor = = S k = 7

9 = b = 5 5 = b 9 = 9 S l = 5 S = 985, tehát megtláltuk helyes eredméyt. Egy másik ötlet z, h feltesszük, hogy soroztuk egy 5 elemű, -es differeciájú sorozt, eek z összege 55 lee, mi 5-tel kisebb 985-él. Tudjuk, hogy sorozt vlháydik elemétől kezdve -s differeciájú sorozt lesz. Ettől tgtól kezdve sorozt övekméyéek övekedése,,,, stb. háromszögszámok) lesz, vgyis zt kell megtláluk, hogy háydik háromszögszám külöbség. Tudjuk, hogy z -edik háromszögszám következő összefüggéssel dhtó meg: Tehát következő egyeletet kell megolduk: 5 ) 5 87 A másodfokú egyelet megoldóképletével kpjuk:, Mivel pozitív, ezért csk z = 9 megoldás. Ez zt jeleti, hogy 9 elemű -s differeciájú sorozt, ebből következőe elemű -es differeciájú sorozt, melyek utolsó eleme, tehát. elemtől 5) kezdődőe sorozt -s differeciájú. Ehhez megoldáshoz szükség volt háromszögszámok ismeretére. A következő feldt is egy soroztr vezető feldt: 8

10 Háyféleképpe fedhető le egy -es tégllp hézg és átfedés élkül -es tégllpokkl domiókkl)? Ezt feldtot érdemes először kis -ekre vizsgáli. Ezek lpjá kpuk egy soroztot, miek vgy sikerül megduk képletét, vgy em. Utóbbi esetbe célrvezető z godolt, hogy mi lee kkor, h már csk z utolsó -es tégllpot szereték lefedi. Nem árt ismeri Fibocci- soroztot ehhez feldthoz. H pedig eddig em ismertük, feldt megoldás lpjá mjd megismerkedük vele. Megoldás: lefedés külöböző, h létezik leglább egy oly domió, melyek z elhelyezése más. A domiókt egymástól em külöböztetjük meg. Először vizsgáljuk meg z egyszerűbb eseteket! Nézzük meg, mi helyzet =,,,, 5-re. Világos, hogy egy domió helyzete vgy függőleges, vgy vízszites lehet, vlmit h elhelyeztük már egy domiót vízszitese, kkor k z oszlopáb egy másik domiót is vízszitese kell, hogy lerkjuk. = eseté triviális, hogy féle módo fedhető le tégllp. = eseté le lehet fedi két függőleges iráyb elhelyezett álló) domióvl, vgy két vízszites iráyb elhelyezett fekvő) domióvl. Ez összese lehetőség. = eseté lehet álló, vgy fekvő és álló, de z utóbbi külöböző elredezésbe lehetséges, így ez féleképpe fedhető le. = eseté lehet álló, vgy fekvő, vgy fekvő és álló, z utóbbi külöböző módo lehetséges, így ebbe z esetbe megoldásuk 5 lesz. 9

11 = 5 eseté lehet 5 álló, vgy fekvő és álló, ebből féle lefedés lehetséges, fekvő és álló, ebből külöböző lefedés létezik, más em lehet, ez összese 8 féle lefedés. A feldt hátrlévő részébe hívjuk blokkk egymás ltt fekvő domióból álló lkztot. Az egyszerűbb esetekbe lefedések számi következőképpe lkultk: 5 8 Ismerős lehet ez sorozt, hisze észrevehető, hogy. elemétől mide eleme úgy kphtó meg, hogy z előző két elemét összegezzük. Ez léyegébe Fibocci-sorozt. Az első két elem és, további elemeket z előző kettő összegekét kpjuk. Tehát próbáljuk meg bebizoyíti, hogy egy -es tégllp hézg és átfedés élkül -es domiókkl z - edik Fibocci-szám féleképpe fedhető le. Tegyük fel, hogy -es tégllpot )-ig fedtük le, kkor mrdék -es helyre csk egy álló helyzetbe lévő domiót rkhtuk, tehát ez lehetőség. Ez midig megtehető, hisze vgy álló, vgy fekvő domiót helyeztük el, h fekvő domiót rkuk le, kkor kell k oszlopáb is egy másik fekvő domió, így kpuk egy blokkot, hisze más esetbe sérüle hézgmetes feltétel. H -es tégllpot már lefedtük )-ig, kkor hátrlévő -es helyre vgy álló domiót, vgy egy blokkot helyezhetük el. H álló domiót rkák, kkor z első domió elhelyezése utá oly esetet kpák, mit z előzőbe már megszámoltuk. Ezért csk zzl kell fogllkozuk, hogy h -es helyre egy blokkot teszük, ekkor diszjukt esetekkel fogllkozuk. Ez midösszese csk lehetőség. Ezért tehát z utolsó helyre yi módo helyezhető el domió, háyféleképpe lefedtük )-es tégllpot, plusz háyféleképpe lefedtük )-es tégllpot. Tehát -es tégllp midig z )-es tégllp lefedése plusz z )-es tégllp lefedése lesz, mely pot Fibocci-soroztot dj második elemétől). Ehhez hsoló következő feldt:

12 Háyféleképpe fedhető le egy -es tégllp hézg és átfedés élkül -s tégllpokkl domiókkl)? A megoldási ötlet gyo hsoló z előző feldtéhoz, érdemes itt is először kis -ekre megézi, milye soroztot kpuk. H em tláluk rá képletre, érdemesebb zt vizsgáli, mikor már lefedtük z egész tégllpot, kivéve z utolsó -s részt. A rekurzív soroztok ismerete eél feldtál fotos. Megoldás: Nézzük meg kis -ek eseté! Nyilvávló, hogy egy -es tégllp egyféleképpe fedhető le -s domióvl. = eseté csk két álló domiót helyezhetük el, így ez is csk egyféle lefedés. = eseté viszot láthtó, hogy lehet álló vgy fekvő domió is, mellyel lefedjük, tehát ebbe z esetbe lefedések szám:. = -re lefedhető álló domióvl, vgy fekvő blokk) és egy állóvl, ezt kétféleképpe tehetjük meg, összese ez tehát külöböző megoldást d. = 5 eseté lehet 5 álló domiók, vgy fekvő és álló, ezt féleképpe tehetjük meg, tehát ez -féle lefedés. = -r lehet álló domiók, vgy egy blokk és álló lehetőség), vgy blokk lehetőség), összese ez lehetőség.

13 A soroztuk első éháy eleme: 9 9 Észrevehető, hogy sorozt -edik elemét úgy kpjuk meg, h összedjuk z előtte álló és háromml előtte álló elemet. Bizoyítsuk be ezt sejtést! Tegyük fel, hogy ) elemet már lefedtük - féleképpe. Ekkor z utolsó domiót már csk álló helyzetbe rkhtjuk le, tehát ez - féle lehetőség. H ) elemet lefedtük - féleképpe, kkor már csk két álló domiót tuduk elhelyezi, de mikor z első domiót lerkjuk, megkpjuk zt z esetet, mikor ) tégllpot fedtük le, de ezt már összeszámoltuk z előző esetél. Tehát ) tégllp lefedése em dott újbb lefedési lehetőséget. H ) tégllpot lefedtük - féleképpe, kkor mrdék -s tégllpot vgy álló domióvl, vgy egy blokkl fedhetjük le. H álló domiót válszták, ismét átmeék z előző lefedési lehetőségekbe, miket már összeszámoltuk. Így csk z lehetőségük mrdt, hogy egy blokkl fedjük le megmrdt -s tégllpot. Ezt egyféleképpe tehetjük meg. Így z összes esetet kiszámoltuk, hisze h )-et fedék le - féleképpe, kkor utá h álló domiót teszük, átmegyük )-s lefedésbe, h blokkot teszük, kkor zt már összeszámoltuk )-es lefedésél. A lefedések szám tehát: = - + -, h >. Ezzel igzoltuk sejtésüket. Ugycsk soroztokhoz vezet következő feldt is. Láti fogjuk, hogy bár problém külöböző, megoldási módszer mégis gyo hsoló z előző feldtokéhoz.

14 Háyféleképpe juthtuk fel egy -fokú lépcső, h egy lépésbe egy vgy két fokot juthtuk feljebb? Érdemes először kis -ekre vizsgálódi. H megoldást megsejtjük, kkor utá próbáljuk meg zt bebizoyíti. Célr vezet, h zt vizsgáljuk meg, hogy z -edik fokr már vlhogy feljutottuk, és o háyféle módo léphetük tetejére. A rekurzív soroztok ismerete szükséges lehet feldt megoldásához. Megoldás: Vizsgáljuk meg itt is z egyszerűbb eseteket =,,,, 5) = -re yilvá feljutás lehetséges. = -re vgy két egyes, vgy egy kettes lehet, ez lehetőség. = -r lehet egyes, vgy egy kettes és egy egyes, ez féleképpe lehet, tehát ez összese -féle lehetőség. = -re lehet egyes, vgy két kettes, vgy egy kettes és két egyes, ez féleképpe lehet, összese ez 5 féle feljutást eredméyez. = 5-re lehet 5 egyes, vgy kettes és egyes féle lehetőség), vgy kettes és egyes féle lehetőség), összese ez tehát 8 féle feljutás. eset lehetséges: z utolsó lépésük vgy egy egyes lesz, vgy egy kettes. Hsoló itt is tegyük fel, hogy eljutottuk z -edik lépcsőfokhoz. Ekkor z utolsó lépésük már csk egy egyes lehet, hisze már csk lépcső v hátr. H z -edik lépcsőfokig jutottuk el, kkor z utolsó lépésük lehet egy kettes, vgy két egyes, de ebbe beleszámolák zt, mikor z -edik lépcsőfokig jutottuk el. Tehát h z utolsóelőtti lépcsőfokról és z zelőtti lépcsőfokról vló feljutást összeszámoljuk, mjd ezeket összegezzük, megkpjuk z összes lehetséges feljutást z -fokú lépcső. Hbár em tudjuk, hogy háyféleképpe jutottuk fel z -edik illetve z -edik lépcsőfokr, de tudjuk, hogy z -edikre

15 kettő összege féleképpe juthtuk fel, tehát z -edik lépcsőfokr vló feljutások szám z + )-edik Fibocci-szám lesz. A következő feldtokt ezek mitájár tláltm ki: Háyféleképpe juthtuk fel egy -fokú lépcső, h egy lépésbe egy vgy három fokot juthtuk feljebb? Megoldás: A godoltmeet teljese zoos z előző feldtévl. Itt zt z esetet ézzük, mikor vlhogy már feljutottuk z -edik fokr. Ekkor csk egy egyest léphetük, tehát egyféleképpe juthtuk fel. H z -edik fokig jutottuk fel, kkor két egyest kell lépük, de ezt megtettük z -edik fokról is, hisze ugyod jutuk. H z -dik foko álluk, kkor léphetük egyest, vgy egy -st. A egyessel már egy előbb összeszámolt megoldást kpuk, így csk z z új megoldás, h egy hármst lépük. Az - edik fokról em juthtuk fel másképp, csk úgy, h éritjük z előbb már összeszámoltkt, és ez igz mide lsóbb lépcsőfokr. A megoldások szám, h -el jelöljük z -edik fokr vló feljutást: = - + -, h >. Háyféleképpe juthtuk fel egy -fokú lépcső, h egy lépésbe mximum három fokot juthtuk feljebb? Ez feldt közelebb áll vlósághoz, hisze h egy ember tud fokot és fokot is lépi lépcső, kkor vlószíűleg tud fokot is lépi. Mi változik vjo feldt megoldásáb? Világos, hogy godoltmeet itt sem fog változi. Megoldás:

16 Az utolsó lépésük lehetett egyes, kettes, és hárms. Tegyük fel, hogy z -edik lépcsőfokr feljutottuk, ezt - féleképpe tehettük meg, ie már csk egyet léphetük, tehát ez - -féle megoldás. H z -edik lépcsőfokig jutottuk - féleképpe, kkor ie léphetük két egyest, de ezt már összeszámoltuk z előbb, vgy léphetük egy kettest, ez új lehetőség. H z -dik foko vgyuk, ide - féleképpe juthtuk fel. Ie léphetük egyest, ezt már összeszámoltuk z előbb, léphetük egy kettest mjd egy egyest, de kkor z -edik fokr jutuk, mit már szité számoltuk. Léphetük egy egyest és utá egy kettest, de ekkor z -edik fokr jutuk fel, mit z előbb már összeszámoltuk. Az egyetle új lehetőség tehát z, h egy hármst lépük. Az -edik fokr felérvé em tuduk új lehetőséget kpi, hisze o vgy z,, -edik fokr lépük, mivel -et em léphetük. Az összes lehetőségük tehát: = , h >. A sorozt első éháy eleme: 7 A feldt tovább áltláosíthtó, h megegedük egy kármilye gy lépést. Háyféleképpe juthtuk fel egy -fokú lépcső, h bármekkor lépést tehetük feljutásuk sorá? Ebbe z esetbe z előző feldtok mitájár várhtó, hogy következő összefüggést fogjuk kpi: = Ezzel z god, hogy meg kell htározi z összes lépcsőfokr vló feljutások számát, így em jutuk előrébb. Ebbe z esetbe e rekurzív oldjuk meg feldtot, hem próbáljuk meg lehetőségeket összeszámoli lépések szám szerit. A kombitoriki kiválsztás foglmát hszáljuk ehhez megoldáshoz. 5

17 Megoldás: = -re yilvá csk egy egyessel juthtuk fel, tehát z sorozt első eleme. = -re két egyes vgy egy kettessel juthtuk fel, tehát. elem. = -r fel lehet juti egyessel, egy kettessel és egy egyessel féleképpe, és egy hármssl, ezért dódik. = eseté fel lehet juti egyessel, hármssl és egy egyessel féleképpe, kettessel egyféleképpe, kettessel és egyessel féleképpe, vlmit léphetük -est is. Ez esetbe megoldás 8 lesz. A lépések szám szerit vizsgáljuk meg lehetőségeket. lépésből midig egyféleképpe juthtuk fel. lépésből úgy juthtuk fel, hogy z -edik lépcsőfok kivételével bármelyik fokr léphetük elsőek, mjd utá z -edikre lépük. Ezt féle módo tehetjük meg. lépésből z lépcsőfokból kettőt kell kiválszti, hová lépük, ezért lépésből vló feljutások szám: H lépésből kruk feljuti, fokot kell kiválszti, ezért dódik: Láthtó, hogy következő összeget krjuk meghtározi: k k Tudjuk, hogy ez Pscl-háromszög -edik soráb lévő számok összege, mely egyelő - -el. Tehát z fokú lépcsőre vló feljutások szám bb z esetbe, h -től -ig kármekkorát léphetük, - lesz.

18 Láthttuk, hogy kombitoriki problémák vezethetek rekurzív és explicit módo megdott soroztokhoz is. A következő feldtb egy rekurzív sorozt explicit képletét htározzuk meg. Adjuk meg z u =, u =, u + = u + u - rekurzív módo megdott sorozt explicit képletét! Először érdemes sorozt első pár elemét felíri, és keresi közöttük összefüggést. Próbáljuk meg soroztot két mérti sorozt lieáris kombiációjkét meghtározi! A kezdő értéket elfelejtve csk rekurziót kielégítő szép megoldást keressük. Legye z = q, hisze ekkor h z első három tgr teljesül rekurzió, kkor mide elemre teljesül: q = c q + c q, ekkor q = c q - + c q -. Fotos ismeri ehhez feldthoz mérti soroztok tuljdoságit, másodfokú egyeleteket, egyeletredszereket. Megoldás: Először htározzuk meg sorozt első éháy elemét: u =, u =, u = 5, u =, u =, u 5 =, u = 85, u 7 = 7 Láthtó, hogy soroztb csk pártl számok szerepelek, ez igz lesz mide tgr, hisze z első két tg pártl, és mide további tgot úgy kpuk, hogy z egyik pártl szám kétszereséhez hozzáduk egy pártl számot. Az is észrevehető, hogy soroztok elemei körülbelül kétszeresei megelőző elemek ±). Ezt következő módo írhtjuk fel: u + = u + ). Ez továbbr is rekurzív módo megdott sorozt, hisze z + -edik elem meghtározásához szükség v z -edik elem kiszámításár is. Az u + = u + u - módo megdott sorozt egy másodredű homogé lieáris rekurzió. 7

19 Másodredű, mert elemre v szükségük következő tg kiszámításához. Homogé, hisze icse bee kosts tg, lieáris, mert z + -edik elemet z előző elemek egy lieáris függvéye htározz meg. Egy másodredű homogé lieáris rekurzióvl defiiált sorozt explicit képletét meg tudjuk htározi egy eljárás segítségével. A homogeitásból és lieritásból következik, hogy h egy sorozt kielégíti rekurziót, kkor kielégíti k számszoros is, vlmit h két sorozt teljesítette rekurziót, kkor zokk összege is teljesíti. Ebből következik, hogy két megfelelő sorozt bármely lieáris kombiációj is megfelelő. Tehát z dott rekurziót kielégítő soroztok kétdimeziós vektorteret lkotk vlós számok teste fölött. Mivel ezt soroztot z első két eleme htározz meg, ezért h tlálok két oly soroztot, melyek egymásk em számszorosi, kkor zok első két elemével előállíthtjuk z összes lehetséges számpárt, így lehetséges soroztok első két elemét is, vgyis bázist keresük kérdéses vektortérbe. Tehát ezzel z eljárássl z összes megfelelő sorozt előállíthtó két sorozt lieáris kombiációjából. A két soroztot mérti soroztkét keressük, hisze h z első éháy elemre teljesül rekurzió, kkor teljesüli fog z összes elemre is. Ez zt jeleti, hogy u = αq, h sorozt első eleme α, két szomszédos elem háydos u + /u ) = q. Erre soroztr rekurzió következő képletet dj: αq + = αq + αq -. H α, q, kkor z egyelet midkét oldlát α-vl elosztv kpjuk: q + = q + q - Szorozzuk be midkét oldlt q-vl! q + = q + + q Most osszuk le q -el. Ez megtehető, mert q = csk kkor, h q =, de ettől z esettől most eltekitük. q = q + A másodfokú egyelet megoldóképletével megoldv következő q értékeket kpjuk: q, ) 8

20 q = q = Tehát két speciális mérti sorozt, mely kielégíti rekurziót, következő: u = és u = ) Az dott másodredű homogé lieáris rekurziót kielégítő soroztok áltláos képlete következő: u = α + α ) A feldtb u = és u = szerepel. Tehát = -r és = -re kpjuk: = α + α = α α Összedv két egyeletet kpjuk: = α, zz Tehát sorozt explicit képlete következő: u ) Közös evezőre hozv törteket: u ) Átlkítv: u ) Nézzük erre éháy példát, hogy elleőrizzük képlet helyességét! ) ) ) u 5 u u Láthtó, hogy felírt összefüggés helyesek bizoyult z első éháy szám eseté. Azért hszos ez feldtmegoldási módszer, mert z explicit képletre ehéz lett vol rájöi pusztá bból, hogy sorozt elemei közti kpcsoltot vizsgáljuk. Például előre em köye sejthető, hogy -ml kell oszti. Az explicit képlet meghtározás zért fotos, mert h 9

21 sorozt. elemét kell meghtározi, kkor z explicit képlettel egy egysoros számítás lesz, rekurzió eseté viszot meg kellee htározi sorozt első elemét, mely időigéyes. Hsoló lehet kiszámoli híres Fibocci-sorozt explicit képletét is. Néháy szó Fibocci- soroztról: A soroztot már 5-be megemlíti két idii mtemtikus, Gopl és Hemcsdr, kik szszkrit költészet elméleti kérdéseit vizsgálv ütköztek egy összegre botási problémáb háyféleképpe lehet rövid és hosszú szótgokkl kitöltei egy dott időtrtmot, h egy hosszú szótg két rövidek felel meg?). Nyugto tőlük függetleül tlált meg -be Fibocci, ki Liber Abci Köyv z bkuszról) című művébe egy képzeletbeli yúlcslád övekedését dt fel gykorlófeldtkét: háy pár yúl lesz hóp múlv, h feltételezzük, hogy: z első hópb csk egyetle újszülött yúl-pár v; z újszülött yúl-párok két hóp ltt válk termékeyé; mide termékey yúl-pár mide hópb egy újbb párt szül; és yulk örökké élek? A yúlpárok szám így z egyes hópokb,,,, 5, 8,,,, 55, 89,, és ez még csk egy év volt. A sorozt tgjik rekurzív képzési szbály gyo egyszerű, de z úgyevezett explicit képlet is ismert. Ez em mérti sorozt, háydos tehát em álldó, zob hogy egyre gyobb tgokt veszük, szomszédos tgok háydos kovergál z ókor ót ismert,8-hoz, evezetes ryszámhoz, mely z rymetszést kifejező szám. Egy szksz kkor v z rymetszések megfelelőe kettéosztv, h hosszbbik drbj úgy ráylik rövidebbhez, mit z egész hosszbbhoz. Ez z érték potos: 5

22 Számos természeti képződméybe felismerhetőek z rymetszés, illetve Fiboccisorozt elemei: puhtestű-házkb ryspirál), prforgób, sőt z emberi testbe is. A prforgó táyérjáb ülő mgok spirálok meté helyezkedek el. Az órmuttó járás szeriti spirálok szám em zoos z elletétes spirálok számávl, hem két szomszédos Fibocci számk felelek meg. A Fibocci-sorozt elemeiek explicit képlete: F A következő feldtb többféle módszerrel htározom meg z első égyzetszám összegét. Érdemes figyeli, hogy milye sok iráyb el lehet iduli feldt megoldás sorá. Htározzuk meg z első égyzetszám összegét! )? Először írjuk fel z első éháy égyzetszám összegét, és próbáljuk meg megsejtei képletet, mjd lássuk be, hogy képlet helyes.

23 . megoldás: Az első éháy égyzetszám: Az első éháy égyzetszám összege: Az első éháy égyzetszám összegéek -szoros: Észrevehető, hogy ezek számok második tgtól kezdve oszthtók redre -ml, 5-tel, 7-tel, + -gyel. Írjuk fel ezeket számokt három szám szorztkét! Láthtó, hogy szorztok következő képletet dják: + ) + ). Mivel égyzetszámok összegéek -szorosár igz ez z összefüggés, ezért z első égyzetszám összege: ) ) Erről képletről most be kée láti, hogy igz. Állítás: Az első égyzetszám összege: ) ) Bizoyítás teljes idukcióvl: = -re, = -re 5, = -r, tehát z első éháy -re ez teljesül. H = m-re teljesül, kkor z idukciós feltevésük következő: m m )m ) Lássuk be, hogyh teljesül m-re, kkor teljesül m + -re is! m m )m ) m ) Hozzuk közös evezőre: m m )

24 m m )m ) m ) Emeljük ki m + )-et: m )[ mm ) m )] Eek lpjá zt kpjuk, hogy: m )m 7m ) m m m Botsuk m és m összegére 7m-et! m )m m m ) m ) m m ) m ) m ) Alkítsuk szorzttá második zárójelbe lévő kifejezést! m )m m ) m ) m + -t kiemelve kpjuk: m ) m ) m ) m m m ) m ) Ez potos z = m + -re votkozó állítás, tehát z idukciós feltevésük teljesül, képlet helyes. A következő megoldás geometriilg közelíti meg problémát. Néh geometrii megoldások sokkl szemléletesebbé teszik feldtot, így köyebb rájöi helyes összefüggésre.. megoldás: Rjzoljuk le égyzeteket következőképpe:

25 Ebbe gy tégllpb keresett összeg kétszer is szerepel szíes részekkét, továbbá közbezárt fehér égyzetek is potos ugyzt z összeget dják. Az ábr ljá középe 5 drb egységégyzet v, két -es égyzet között egy -s tégllp v, -s égyzetek között drb 5 egységyi széles oszlop. A -es égyzetek között db, egység lpú, 7 egység szélességű égyzet láthtó. A tetejé pedig 9 egységégyzetből áll sor. Ie kiszámolhtó kimrdt fehér égyzetek szám következő csoportosítássl: = 5 = = = = = 9 + = = = = Tudjuk, hogy z első pártl szám összege z -edik égyzetszámml egyelő. Ezt beláthtjuk számti sorozt összegképletéek segítségével. A számti soroztuk következő: z első elem z =, differeci d =. Az első elem összege: S ) d ) A képlet megtlálásához már csupá gy tégllp területét kell megkeresi. Eek egyik oldl ), ez z első pozitív szám összege, másik oldl + ), tehát területe ezek szorzt lesz: T = ) + )

26 5 Az első szám összegét htározzuk meg hsoló, mit z első pártl szám összegét. Itt = és d =. ) ) S Tehát kpjuk, hogy: ) ) Így tégllp területe következő lesz: ) ) T Ez z összeg háromszoros fehér égyzetek területéek. ) ) ) A keresett képlet tehát: ) ) Most lássuk egy lgebri megoldást is z első égyzetszám összegére. Itt biomiális tétel segítségével csoportosítjuk ügyese tgokt, mjd zokt összegezve megjeleik z első égyzetszám összege.. megoldás: Írjuk fel biomiális tétel segítségével egymás lá z első + köbszámot, mjd lkítsuk át őket következőképpe: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Összedv z egyelőségeket kpjuk:

27 ) ) ) ) Láthtó, hogy megjeleek külöböző soroztösszegek ebbe felírásb. Megjeleik z első köbszám összege, z első égyzetszám összege, z első szám összege, illetve + drb egyes összege. Az egyelet jobb és bloldlá egyrát megjeleik z első köbszám összege, így zt z egyelet midkét oldlából kivov kpjuk: ) ) ) ) A z első szám összege, ez kiszámíthtó számti sorozt összegképletével. Ezt írjuk be feti egyeletbe: ) ) ) ) Kifejezve z első égyzetszám összegét: ) Felbotv zárójelet, következőt kpjuk: ) Hozzuk közös evezőre! ) Vojuk össze számlálób lévő tgokt: -et kiemelve kpjuk: ) Alkítsuk szorzttá számlálób szereplő zárójelbe lévő téyezőt gyöktéyezős lk segítségével!, 8 9, Tehát: ) ) ) Tehát z első égyzetszám összege:

28 7 ) ) A következő megoldásb egy ügyes átlkítássl, mjd Pscl-háromszög segítségével htározzuk meg kérdéses összeget.. megoldás: Alkítsuk át -et következő módo: ) A feldt: meghtározi z első égyzetszám összegét, tehát: k k k k k k Mivel k = eseté megjeleik z ltt kifejezés, melyet megállpodás szerit -k tekitük. Nézzük meg, mit is jelet ez Pscl-háromszögbe! Tudjuk, hogy ferdé ézve. oszlopot z ltt összefüggést kpjuk. Láthtó, hogy z egymás utái számok összege következő sor és következő oszlop eleme lesz lásd ábr). Ebből következik, hogy: k k És: Az összefüggéseket felhszálv, zt kpjuk hogy: ) ) ) ) ) ) k k ) ) ) ) k k

29 Láthtó, hogy második megoldás szemléletes. H egy problémát le tuduk rjzoli, gykr köyebb rájöi helyes összefüggésre. Itt zob kellettek hozzá más ismeretek is, pl. z első pártl szám összege, z első szám összege. A hrmdik megoldásukb fel kellett hszáli soroztokról tult ismereteiket, biomiális tételt, mjd lgebri átlkításokkl juthttuk el megoldásig. Ezzel szembe. megoldásb Pscl-háromszögbe tett észrevétel jeletőse lerövidíti feldt megoldását, de ismeri kell kombitoriki összefüggéseket. 5. megoldás Ebbe megoldásb felhszáljuk zt, hogy képlet, mit keresük, egy hrmdfokú poliomml kifejezhető. Tudjuk, hogy ez poliom kis x-ek eseté milye értékeket vesz fel: 5 A hrmdfokú poliomot jelöljük következőképpe, hol, b, c, d vlós számok. b c d A következő egyeletek dódk: b c d 8 b c d 5 7 9b c d b c d Írjuk fel z együtthtók mátrixát, mjd oldjuk meg z egyeletredszert Guss-elimiáció segítségével! Az első sort vojuk ki második, hrmdik és egyedik sorból. 8

30 A. sorból kivov második sor kétszeresét, vlmit. sorból kivov második sor háromszorosát, következőt kpjuk: A egyedik sorból most vojuk ki hrmdik sor háromszorosát: 5 7 A egyedik sor lpjá kpjuk, hogy =, miből = / dódik. A hrmdik sor lpjá: + b = 5, zz + b = 5, tehát b = ½. A második sorb helyettesítve kpjuk: 7 + b + c =, és b értékét behelyettesítve + c =, tehát c = /. Az első sor lpjá + b + c + d =, ebből kpjuk, hogy d =. Tehát hrmdfokú poliom, mit keresük, következő: Szorzttá lkítv kpjuk, hogy: ) ) ) Láthtó, hogy képlet egyezik z előző módszerek segítségével megkpottl. A következő feldtuk em lesz más, mit z előző feldt mitájár meghtározi z első köbszám összegét.

31 Htározzuk meg z első köbszám összegét! Először itt is biomiális tétel segítségével írjuk fel z összegeket, hsoló, mit z első égyzetszám összegéek meghtározásáál.. megoldás: Felhszálv z előző feldtb kiszámolt első égyzetszám összegét, hsoló eljárássl htározzuk meg itt is! Írjuk fel z első + szám egyedik htváyát következőképpe: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Adjuk össze z egyelőségeket! ) ) ) ) ) Az első szám egyedik htváyák összege megjelet jobb és bl oldlo is, ezért vojuk ki zt z egyelet midkét oldlából, z ismert soroztok összegéek képletét pedig helyettesítsük be! ) ) ) ) ) Fejezzük ki z egyeletből z első köbszám összegét! Ehhez először botsuk fel külső zárójeleket. ) ) ) ) ) Emeljük ki + )-et!

32 ) ) )[ ) ] + )-et kiemelve kpjuk: ) ) ) ) ) Átredezve z egyeletet: ) ) + ) -et kiemelve: ) [ ) ) )] Botsuk fel belső zárójeleket! ) ) Összevoás utá kpjuk: ) Azz: ) Láthtó, hogy zt z összefüggést kptuk, miszerit z első szám összegéek égyzete megegyezik z első köbszám összegével. Próbáljuk meg ezt problémát is szemlélteti!. megoldás

33 Az ábrá láthtó, hogy fehér egységégyzetek összterülete z egész lkzt egyedét teszik ki, vlmit z is látszik, hogy ez éppe z első z ábrá: első 5) köbszám összegét dj megoldásul. A feldt kiszámoli égyzet területét, mjd végeredméyt eloszti -gyel. Tudjuk, hogy z lsó sorb db fehér égyzet v, mellette pedig db egységégyzet oldlhosszúságú zöld égyzet. Ebből következik, hogy égyzet oldlák hossz +, tehát területe: T ) Így fehér égyzetek területe eek egyede lesz, tehát z első köbszám összege: ) ) ) Az első módszerrel rekurzív módo meghtározhtó z első szám mgsbb htváyák összege, hisze h k-dik htváyokt keressük, és kiszámoltuk már k -edik htváyok összegét, kkor csupá fel kell íri biomiális tétel segítségével z első + szám k + -edik htváyát, mjd z oszlopokt hsoló eljárássl összegezve és redezve megkpjuk helyes végeredméyt. A második módszer áltláosítás ehezebb, hisze egy modellt kell lkoti mtemtiki problémához. Ez modell mide külöböző kitevő eseté más és más lesz.

34 Egyeletek, egyeletredszerek Egyeletekkel gykr tlálkozk középiskolások. Fotos, hogy z egyeleteket gy mgbiztossággl kezeljék, és eljussk helyes megoldásr. A szöveges feldtokt leggykrbb egyeletekkel vgy egyeletredszerekkel oldjuk meg, ezért külööse hszos, hogy egy problémát meg tudjuk foglmzi mtemtik yelvé. Az első feldtb egy égyzetgyökös egyeletet olduk meg. Fotos ismeri égyzetgyökös kifejezés kikötését és zoosságit. KÖMAL C. 8. Oldjuk meg z lábbi egyeletet vlós számok hlmzá. x x) x Először észrevehetjük, hogy x több helye is előfordul z egyeletbe. Tudjuk, hogy egy égyzetszám gyöke egyelő szám bszolútértékével. H ezt em vesszük észre, és zol égyzetre emeljük midkét oldlt, kkor egy másodfokúál mgsbb fokú egyeletet kpuk, mi ugy megoldhtó, de jóvl ehezebbe, mit következő módszerrel. Megoldás: Először kikötést írjuk fel, hisze tudjuk, hogy egtív vlós számk ics vlós égyzetgyöke. x x) x x x x x ) Ez bármely x értékre teljesül. Beírv evezetes zoosságot z egyeletbe kpjuk: x ) x x x

35 Az bszolút érték mitt két eset lehetséges. Az egyik lehetőség: x, tehát: x Ebbe z esetbe következő egyeletet kell megolduk: x x Átredezve kpjuk, hogy: x x Itt fotos újr kikötést teük, hisze z egyelet jobb oldl emegtív, ezért z egyelet bl oldl is emegtív kell, hogy legye. x x Mivel x, ezért elletmodást kptuk, tehát em létezik ilye x érték. Nézzük meg másik esetet! x < x < A megolddó egyelet következő: x x Átredezve kpjuk, hogy: x x Az egyelet jobb oldl emegtív, ezért bl oldlk is emegtívk kell leie. x x Emeljük z egyelet midkét oldlát égyzetre! x x x Nullár redezve z egyeletet kpjuk: x 5x Emeljük ki x-et! x x 5) Egy szorzt kkor ull, h vlmelyik téyezője ull. Tehát vgy x =, vgy x + 5 =, miből x = 5 dódik. A kikötés mitt x = em lesz helyes megoldás, így z egyetle megoldás z egyeletek x = 5 lesz.

36 Nézzük példát egy oly egyeletredszerre, mely em lieáris. OKTV 8/9. forduló II. ktegóri. feldt Htározzuk meg z lábbi egyeletredszer vlós megoldásit! x y x x y xy y Érdemes észrevei zt, hogy z első és második egyelet bl oldlá szereplő kifejezések összege egy evezetes zoosságot dk. Megoldás: H két egyeletet összedjuk, kkor következő összefüggést kpjuk: x x y xy Azz: x y) x y y x y A köbre emelések vlós számok hlmzá három fixpotj mikor fx) = x) v: -,,. Azt kpjuk tehát, hogy x + y értéke lehet -,, vgy. I. H x + y =, kkor y = x. Ezt behelyettesítve z első egyeletbe, zt kpjuk, hogy: x x y x x II. H x + y =, kkor y = x. Helyettesítsük be z első egyeletbe: x x) x Felbotv zárójelet, következő dódik: x x x Redezve: x x x x A másodfokú egyelet megoldóképletével kpjuk x további értékeit: 5

37 x, x y x y III. H x + y =, kkor y = x. Ezt beírv z első egyeletbe következőt kpjuk: x x x Redezve: x x x x A megoldóképletbe helyettesítve: x,5 x y x5 y 5 Tehát z egyeletredszer megoldási következő x ; y) számpárok: ; ) ; ) / ; /) / ; /) ; ) Eek mitájár tláltm ki következő feldtot: Htározzuk meg következő egyeletredszer vlós megoldásit! 9x x y y xy 8x y 9 5xy x y Ez egy kicsit trükkösebb feldt, hisze első ráézésre em biztos, hogy látszik, milye módszerrel iduljuk el. Érdemes z első egyeletet mgáb vizsgáli, átlkítjuk úgy, hogy vegyes szorzt eltűjö.

38 Megoldás: Az első észrevételük z, hogy z első egyeletet átlkíthtjuk következő módo: x y) 8 x y 9 Alkítsuk ezt tovább úgy, hogy kiemelük -ot 8x + y tgokból: x y) x y) 9 Legye x y =. Ekkor: 9 Azz: ) Tehát zt kpjuk, hogy =, így: x y Fejezzük ki x-et! x y Ezt behelyettesítve. egyeletbe kpjuk: y y y y 5 y y A zárójelet felbotv és szorzásokt elvégezve kpjuk: y 8 y 8 y 9 y 5 y y y Szorozzuk meg z egyelet midkét oldlát 9-cel! y 8 y 8 7 y y Összevov tgokt kpjuk: y 5 y 5 5 y 8 y Ezt megoldv másodfokú egyelet megoldóképletével, zt kpjuk, hogy: y, y y 8 5 y = eseté: x 5 7

39 y = 8 eseté: 8) x 8

40 Egyelőtleség A feldtok egy részébe előfordul, hogy em egyeletet, hem egyelőtleséget kell megolduk. Ilye típusú feldtok hszosk lehetek, mikor lsó vgy felső korlátot keresük, vgy egy kifejezés mximumát, miimumát krjuk meghtározi. A következő feldtb égy ismeretle között feálló összefüggést kell beláti. OKTV 8/9 I. Ktegóri. feldt: Legyeek z, b, c, d számok pozitív vlós számok. Igzolj, hogy: b cd d) b c) Az egyelőtleségekél is gyo fotos kikötéseket szem előtt trti, ám mivel itt mide ismeretle pozitív, ezért em kell külöböző eseteket vizsgáli. A feldt megoldásához felhszáljuk számti-mérti közepek közti összefüggést. Megoldás: A feldt szerit, b, c, d pozitív vlós számok, ezért kifejezések midkét oldlo értelmezve vk vlós számok körébe. Mivel z egyelőtleség jobb és bloldl is pozitív, ezért égyzetre emelhetjük z egyelőtleséget, hisze z fx) = x függvéy szigorú mooto pozitív vlós számok hlmzá. b bcd cd d) b c) Botsuk fel zárójeleket jobb oldlo! b bcd cd b c bd cd Az egyelőtleség midkét oldlából b-t és cd-t kivov kpjuk következőt: bcd c bd Kettővel elosztv: c bd bcd 9

41 Ez z összefüggés éppe z c és bd számpárokr dott számti-mérti közepek közötti összefüggés.

42 Geometri A geometri vlószíűleg legősibb ág mtemtikák. Ngy szerepe v z építészetbe, művészetbe. Érdekes, hogy geometri milye szoros kpcsoltb áll mtemtik többi ágávl. Például szerkeszthetőségi problémákt, mit például,,kör égyszögesítése", szbályos -szög szerkesztése stb. lgebri eszközökkel oldották meg. A következő feldtb egy oly példát muttok, mely geometrii problém ugy, de megoldásához felhszálhtó számti-mérti közepek közti egyelőtleség. KÖMAL B. 85. Legfeljebb mekkor részét fedheti le egy háromszögek egy oly égyzet, melyek mide csúcs háromszög vlmelyik oldlá v? Először érdemes egy szép ábrát rjzoli, szemléltethetjük kérdést, és leolvshtók z dtok. Szükséges hsoló háromszögeket keresi, mjd zok oldlk ráyiból rájöi háromszög és égyzet közti összefüggésre. Végül érdemes számti-mérti közepek közti összefüggést hszáli becsléshez. Megoldás: Mivel égyzetek csúcs v és háromszögek oldl, ezért égyzet egyik oldl háromszög egyik oldlá kell, hogy elhelyezkedje. Legye háromszög következő:

43 Tudjuk, hogy z ABC háromszög hsoló VZC háromszöghöz, mivel VZ oldl párhuzmos AB-vel, tehát szögei egyelők. Így felírhtjuk következő ráyt: VZC háromszög mgsság m) úgy ráylik VZ = oldlhoz, mit z ABC háromszög mgsság + m) z AB oldlhoz. Legye z AX szksz hossz e, z YB szksz hossz f. Azz: f e m m Átredezéssel kpjuk, hogy: ) ) m f e m Fejezzük ki e + f-et! m m f e ) A jobb oldlt átlkítv: m m m f e m f e Észrevehetjük, hogy h egymás mellé toljuk z AXV és YBZ háromszögeket z XV és YZ oldlik meté, kkor egy oly háromszöget kpuk, mely szité hsoló z ABC háromszöghöz, mgsság, lpj pedig /m. A égyzet áltl levágott háromszög területét kiszámíthtjuk következő módo: m T VZC m T T YBZ AXV Tehát levágott háromszögek összterülete következő lesz: m m T k háromszöge A számti-mérti közepek közti összefüggéssel ezt lulról becsülhetjük következőképpe: m m m m Az egyelőtleség jobb oldlát kiszámítv zt kpjuk, hogy:

44 m m Azt kptuk tehát, hogy levágott háromszögek területe leglább égyzet területével kell, hogy megegyezze. Egyelőség bb z esetbe teljesül, h: m m m m m Tehát egyelőség bb z esetbe áll fe, h VZC háromszög mgsság megegyezik hozzá trtozó lppl, mi egybe égyzet oldl is. Ebbe z esetbe levágott háromszögek területösszege éppe egyelő lesz égyzet területével, tehát égyzet áltl mximális lefedhető terület éppe z ABC háromszög területéek felét teszi ki. Ebbe feldtb jól láthtó, hogy geometrii problémák megoldásához hszosk lehetek z lgebr, illetve z lízis eszközei. A mximális területszámítások eseté gyo gykori számti-mérti közepek közti összefüggés felhszálás megoldás sorá. Egyébkét feldtot megoldhtjuk úgy is, hogy égyzet oldlát háromszög mgsságávl és lpjávl kifejezve függvéykét írjuk fel égyzet területét, mjd eek függvéyek mximumát vgy miimumát keressük például deriválássl. Végül két területet egymássl elosztv megkpjuk keresett területráyt.

45 Oszthtósági feldtok Oszthtósági feldtokkl is már régót fogllkozik z emberiség. Sokszor fotos meghtározuk zt, hogy két szám háydos egész szám -e, vgy keletkezik mrdék. A következő feldt égyzetszámok összegéről szól, egyébkét mit láti fogjuk soroztok témköréhez is kpcsolódht egy oszthtósági feldt. KÖMAL B. 7. Bizoyítsuk be, hogy hét egymást követő egész szám égyzetéek z összege em lehet égyzetszám. Először érdemes számokt ügyese felíri egy prméterrel, mjd z összegről beláti, hogy miért em lehet égyzetszám. A megoldásb felhszáljuk égyzetgyök irrciolitásák egyik bizoyításák godoltát. Megoldás: Jelöljük középső számot k-vl. Ekkor hét egymást követő égyzetszám összege következő lesz: k ) k ) k ) k k ) k ) k ) 7k 8 Kiemelve 7-et kpjuk: 7k 8 7 k ) A égyzetszámok 7-tel osztv következő mrdékokt dják: 7k ) m = 7k ) m = 7k ) m = 7k) m = 7k + ) m =

46 7k + ) m = 7k + ) m = Ezért egy égyzetszám + következő mrdékokt dhtj:,, 5, Ebből z következik, hogy k + em lesz oszthtó semmilye k-r sem 7-tel. Mivel 7k + ) oszthtó 7-tel, de k + em oszthtó 7-tel, így 7k + ) kifejezés em lesz oszthtó 9-cel. Egy égyzetszámb viszot mide prímhtváy páros kitevő szerepel, ebbe 7 z első v, mi pártl, így 7 egymást követő égyzetszám összege sohsem lehet égyzetszám. A következő feldtot egy régebbi OKTV-s feldt lpjá ktulizáltm. 99-os OKTV feldt lpjá: A -t felbotottuk éháy pozitív egész szám összegére. Milye mrdékot d -tl osztv számok köbeiek összege? Érdemes vizsgáli z lkú számokt, mjd ezek összegét vizsgálv felírjuk z összefüggést. Bármely egész számr z oszthtó -tl, mert = ) = ) + ) ) lkr hozhtó. Ilye formáb jól látszik, hogy z egyelőség jobb oldl oszthtó -ml, mert egymást követő egész szám közül potos egy -ml osztv mrdékot d, vlmit v köztük leglább páros szám, így -vel vló osztási mrdék is. Mivel, ) =, így szorztuk, is osztój vizsgált szorztk. Eszerit tehát egy egész szám és k köbe ugyzt mrdékot dj -tl osztv. Vizsgáljuk meg -t fet végiggodolt zoosság lklmzásávl: Tegyük fel, hogy = módo áll elő számok összegekét. Ekkor felírhtó következő egyelőség: ) ) ) ) ) ) 5

47 Tudjuk, hogy számok összege feltevés lpjá, tehát: ) ) ) ) ) Az ) zoosság lpjá megállpíthtó, hogy ) egyelőség bl oldlák mide tgj oszthtó -tl, tehát z összegük is. Ebből következik, hogy jobb oldl is mrdékot d - tl osztv. Ez csk úgy lehetséges, h jobb oldlo álló külöbség midkét tgj ugyzt mrdékot dj, zz kogrues -el modulo. A -tl osztv mrdékot d, tehát tetszőleges számok eseté, h számok összege, köbösszegük is mrdékot d.

48 Összegzés Láthttuk, hogy egy-egy feldtot háy külöböző módszerrel oldhtuk meg, és zt is észrevehettük, hogy meyire szoros kpcsolt v mtemtik külöböző ági között. Fotosk trtom, hogy középiskolások e csk egy megoldást lássk egy dott problémár, hem átfogó képet kpjk mtemtik szerkezetéről. Így sokkl érhetőbbé válht számukr egy témkör, és jobb elhiszik, hogy mtemtik tudomáy meyire egymásr épül. H hiáyzik jó, biztoságos, erős lp, em lehet rr plotát építei. A mtemtik épületé belüli jártsság éppe ezért gyo fotos, így leedő tárkét z lesz célom, hogy mtemtikát érthetőe, diákok számár is élvezetese mgyrázzm, hgyjm, hogy diákjim kedvükre kldozzk, egy-egy problémához több példát és ellepéldát is keresseek. 7

49 Irodlomjegyzék: pdf 8

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

x + 3 sorozat első hat tagját, ha

x + 3 sorozat első hat tagját, ha Soroztok, soroztok megdás rekurzív módo.. Az ( ) soroztot rekurzív módo dtuk meg 7 -, sorozt első két tgj ( < ) egybe gyökei következő egyeletek: sorozt első öt tgját. y.adott ( ). Írd fel ( ) x 0 x. Htározd

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi

Részletesebben

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1 III. Évfolym. szám - 008. úius Gyrmti József Zríyi iklós Nemzetvédelmi Egyetem gyrmti.ozsef@zme.hu SRT, TÖBBSZEPONTÚ DÖNTÉSI PROBÉ EGY EGYSZERŰ EGODÁS bsztrkt cikk egy többszempotú dötési módszert mutt

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0 www.esymths.hu mtek ilágos oll Mosózi Arás LINEÁISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOOK esymths.hu DEFINÍCIÓ: A... ektorok lieáris összefüggők, h... úgy is teljesül, hogy oly i Nézzük ezekre péákt!

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

Szoldatics József, Dunakeszi

Szoldatics József, Dunakeszi Kstérség tehetséggodozás Rekurzív soroztok Szoldtcs József, Dukesz Npjkb egyre több verseye jelek meg rekurzív sorozt. Ezek megoldásához d ötleteket ez z elődás, A feldtok csoportosítv vk megoldás módszerek

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011 Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens http://jgypk.u jgypk.u-szeged.hu/tnszek/szmtech szmtech/oktts/mtemtik-.pdf Glmbos GáborG JGYPK - Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái:

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2012. jnuár 26. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz Szemléletes lieáis lgeb - összefoglló I. méöhllgtó Segédyg z NGB_SZ_, N_SZ5 és N_SZ tágyhoz összeállított: D. Szöéyi Milós főis. doces 8. Ttlom:. Lieáis té. Tájéozódás lieáis tébe Lieáis ombiáció Lieáis

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

tud vinni, tehát nem kényszeríthetjük építsen magának, hogy a mozsárkályhát Abból indulnék ki, hogy nem elvétett gondolat-e a fűtőmű

tud vinni, tehát nem kényszeríthetjük építsen magának, hogy a mozsárkályhát Abból indulnék ki, hogy nem elvétett gondolat-e a fűtőmű lterntívát nem rr, kéményt bete brikettre. 85 tud vinni, tehát nem kényszeríthetjük építsen mgánk, mozsárkályhát T ó t h bból indulnék ki, nem elvétett gondolte fűtőmű megvlósítás, mert kb. 1 milliárd

Részletesebben

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése VB-EC01 progrm rövid szkmi ismertetése A VB-EC01 progrmcsomg hrdver- és szoftverigénye: o Windows XP vgy újbb Windows operációs rendszer o Min. Gb memóri és 100 Mb üres lemezterület o Leglább 104*768-s

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK we-lap : www.hild.gyor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STTIK 47. RÁCSOS TRTÓK rácsos tartók két végükön csuklókkal összekötött merev testekől állnak. z így

Részletesebben

MAGYAR NYELVI FELADATLAP

MAGYAR NYELVI FELADATLAP MAGYAR NYELVI FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 10:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Ügyelj küllkr! A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg. A megoldásr

Részletesebben

- 27 - (11,05 Miskolczi Ferenc megérkezett, a létszám: 21 fő)

- 27 - (11,05 Miskolczi Ferenc megérkezett, a létszám: 21 fő) 27 A ház hét minden npján progrmokkl telített. Kb. 900 fitl fordul meg hetente z állndó progrmokon. A próbák, z összejövetelek hosszú évek ót ugynzon helyen, ugynzon időpontbn vnnk. A megszokottság egyegy

Részletesebben

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése Sűrűségérés. Szilárd test sűrűségének érése A sűrűség,, definíciój hoogén test esetén: test töege osztv test V térfogtávl: V A sűrűség SI értékegysége kg/, hsználtos ég kg/d, kg/l és g/c Ne hoogén testnél

Részletesebben

A Szolgáltatás minőségével kapcsolatos viták

A Szolgáltatás minőségével kapcsolatos viták I. A Szolgálttó neve, címe DITEL 2000 Kereskedelmi és Szolgálttó Korlátolt Felelősségű Társság 1051. Budpest, Nádor u 26. Adószám:11905648-2- 41cégjegyzékszám: 01-09-682492 Ügyfélszolgált: Cím: 1163 Budpest,

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

Tartalom I. 1. Kohászat. 2. Egyedi Protanium acél. 3. Első osztályú korrózióvédelem. 4. Örökös garancia

Tartalom I. 1. Kohászat. 2. Egyedi Protanium acél. 3. Első osztályú korrózióvédelem. 4. Örökös garancia A profik válsztás pic egyetlen profi minőségű htszögkulcs Trtlom I. 1. Kohászt II. 2. Egyedi Protnium cél 3. Első osztályú korrózióvédelem 10 23 A szbványoknk vló 100%os megfelelés 26 Nincsenek rossz törések,

Részletesebben

MAGICAR 441 E TÍPUSÚ AUTÓRIASZTÓ-RENDSZER

MAGICAR 441 E TÍPUSÚ AUTÓRIASZTÓ-RENDSZER MAGICAR 441 E TÍPUSÚ AUTÓRIASZTÓ-RENDSZER 1. TULAJDONSÁGOK, FŐ FUNKCIÓK 1. A risztóberendezéshez 2 db ugrókódos (progrmozhtó) távirányító trtozik. 2. Fontos funkciój z utomtikus inditásgátlás, mely egy

Részletesebben

Az alakváltozással vezérelt kisciklusú fáradás törvényszerûségei Lehofer Kornél

Az alakváltozással vezérelt kisciklusú fáradás törvényszerûségei Lehofer Kornél Kisciklusú fársztás VIZSGÁLAI MÓDSZEREK Az lkváltozássl vezérelt kisciklusú fárdás törvéyszerûségei Lehofer Korél Abstrct Lws of the low cycle ftigue cotrolled by stri. hese lws re preseted kept i view

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ Társdlmi Megújulás Opertív Progrm keretében Munkhelyi képzések támogtás mikro- és kisválllkozások számár címmel meghirdetett pályázti felhívásához Kódszám: TÁMOP-2.1.3/07/1 v 1.2 A projektek

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus) A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:

Részletesebben

2000. évi XXV. törvény a kémiai biztonságról1

2000. évi XXV. törvény a kémiai biztonságról1 j)10 R (1)4 2000. évi XXV. törvény kémii biztonságról1 z Országgyűlés figyelembe véve z ember legmgsbb szintű testi és lelki egészségéhez, vlmint z egészséges környezethez fűződő lpvető lkotmányos jogit

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

Egyházashollós Önkormányzata Képviselőtestületének 9/ 2004. (IX.17) ÖR számú rendelete a helyi hulladékgazdálkodási tervről

Egyházashollós Önkormányzata Képviselőtestületének 9/ 2004. (IX.17) ÖR számú rendelete a helyi hulladékgazdálkodási tervről Egyházshollós Önkormányzt Képviselőtestületének 9/ 24. (IX.7) ÖR számú rendelete helyi hulldékgzdálkodási tervről Egyházshollós Önkormányztánk Képviselőtestülete z önkormányzti törvény (99. évi LXV. tv.)

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

Raiyuzeinek. szabbő bányászati iparág különleges sajátosságának következtében viszonylag hoszsuti. tanulajbányászati.

Raiyuzeinek. szabbő bányászati iparág különleges sajátosságának következtében viszonylag hoszsuti. tanulajbányászati. ldelg KÜLÖNLEGES, FŐLEG CENTRALIZACIÓS ÉS IPARI LÉTESÍTMÉNYEK TELEPÍTÉSI HELYENEK MÜSZAKIGAZDASÁGI ANALITIKUS VIZSGÁLATA És REKONSTRUKCIÖS BÁNYÁSZATI Kivot FORRAI SÁNDOR* okl báymémökek Tudomáyos Miősítő

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról. rész Bevezetés Az idő múlik, kívánlmk és lehetőségek változnk. Tegnp még logrléccel számoltunk, m már elektronikus számoló - és számítógéppel. Sok teendőnk

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Mtemtik. évfolym TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kidvány KHF/86-/008. engedélyszámon 008..7. időponttól tnkönyvi engedélyt kpott Eductio Kht. Kompetencifejlesztő okttási progrm

Részletesebben

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK Prof.Dr. Zobory István Budpest 04 Trtlomegyzék. Bevezetés... 3. A vsúti árművek teherviselő részeiről... 3. Alvázs (nem önhordó) kocsik... 3.. Kéttengelyes kocsik... 4..

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

E5CN Alkalmazási segédlet

E5CN Alkalmazási segédlet PNSPO! E5N Alklmzási segédlet 2 TARTALOMJEGYZÉK Bekötések...4 Beállítások...6 Egyszerű ON-OFF szbályozás beállítás...6 Egyszerű ON-OFF szbályozás beállítás (risztási funkcióvl)...6 PID szbályozás beállítás...7

Részletesebben

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál. 5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó

Részletesebben

ALGEBRA. 1. Hatványozás

ALGEBRA. 1. Hatványozás ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

ELŐKÉSZÜLETEK HÍMZÉS FÜGGELÉK. Számítógép-vezérelte hímzőgép. Használati utasítás

ELŐKÉSZÜLETEK HÍMZÉS FÜGGELÉK. Számítógép-vezérelte hímzőgép. Használati utasítás ELŐKÉSZÜLETEK HÍMZÉS FÜGGELÉK Számítógép-vezérelte hímzőgép Hsználti utsítás FONTOS BIZTONSÁGI ELŐÍRÁSOK A gép hsznált előtt, kérjük, olvss el iztonsági előírásokt. VESZÉLY - Ármütés elkerülése érdekéen:

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória 1. ktegóri 1.1.1. Adtok: ) Cseh László átlgsebessége b) Chd le Clos átlgsebessége Ezzel z átlgsebességgel Cseh László ideje ( ) ltt megtett távolság Így -re volt céltól. Jn Switkowski átlgsebessége Ezzel

Részletesebben

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée DR BENKŐJÁNO gátudoáy Egyete Gödöllő Mg Gépt Itézet gyoozgáú gépzeezete tevezéée foto lépée z egyelete, ezgéete üzeet bztoító

Részletesebben

Együtt Egymásért. 6. Szám. Kirándulás Erdélybe. www.hkse-kup.atw.hu Kiadja a Háromhatár Kulturális és Sport Egyesület Kup

Együtt Egymásért. 6. Szám. Kirándulás Erdélybe. www.hkse-kup.atw.hu Kiadja a Háromhatár Kulturális és Sport Egyesület Kup Együtt Egymásért 2011. 6. Szám www.hkse-kup.tw.hu Kidj Háromhtár Kulturális és Sport Egyesület Kup Kirándulás Erdélybe kupi Háromhtár Kulturális és Sport Egyesület Ifjúsági tgozt második lklomml vett részt

Részletesebben

Folyamatba épített előzetes utólagos vezetői ellenőrzés. Tartalom. I. A szabálytalanságok kezelésének eljárásrendje

Folyamatba épített előzetes utólagos vezetői ellenőrzés. Tartalom. I. A szabálytalanságok kezelésének eljárásrendje Melléklet Folymtb épített előzetes utólgos vezetői ellenőrzés Trtlom I. A szbálytlnságok kezelésének eljárásrendje II. Az ellenőrzési nyomvonl III. Folymtábrák IV. A tervezéssel, végrehjtássl, beszámolássl

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

A vasbeton vázszerkezet, mint a villámvédelmi rendszer része

A vasbeton vázszerkezet, mint a villámvédelmi rendszer része Vsbeton pillér vázs épületek villámvédelme I. Írt: Krupp Attil Az épületek jelentős rze vsbeton pillérvázs épület formájábn létesül, melyeknél vázszerkezetet rzben vgy egzben villámvédelmi célr is fel

Részletesebben

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Telefon: 345-6 Internet: www.ksh.hu Adtgyűjtések Letölthető kérdőívek, útmuttók Az dtszolgálttás 265/28. (XI. 6.) Korm. rendelet lpján kötelező. Nyilvántrtási szám: 223/9

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

finanszírozza más városnak, tehát ezt máshonnan finanszírozni nem lehet.

finanszírozza más városnak, tehát ezt máshonnan finanszírozni nem lehet. 19 finnszírozz más városnk, tehát ezt máshonnn finnszírozni lehet. Amennyiben z mortizációs költség szükségessé váló krbntrtási munkár elég, s melynek forrás csk ez, bbn z esetben z önkormányzt fizeti

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben