1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése"

Átírás

1 SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy példkét mgukt természetes számok említhetjük:,, 3, 4, Egy másik péld ugyezekek számokk égyzete:, 4, 9, 6, Midkét példáb három pot zt jelzi tgok felsorolás utá, hogy így folytthtó kármeddig. H felsorolás kármeddig folytthtó, kkor zt modjuk, hogy sorozt végtele, ellekező esetbe végesek modjuk. Azt téyt, hogy sorozt egy redezett felsorolás, potosbb leírhtjuk, h sorozt tgjit z,, 3,,, sorszámokhoz redeljük. Ebbe z értelembe, redre sorozt.,., 3.,,., tgjáról beszélhetük, zz mide természetes számhoz egyértelműe hozzáredeljük sorozt. tgját. Ezt z áltláos. tgot, és mgát soroztot rövide ( ) N jelöli. Például z előbbi,, 3, 4, sorozt áltláos tgj z =, míg z, 4, 9, 6, sorozt eseté =. Tekitsük most zt soroztot, melyek modjuk = z áltláos tgj. A sorozt első tgjit is felírhtjuk:, 3, 5, 7, Gykr szükség v z dott eljárás megfordításár: H dott sorozt éháy kezdő tgj, lehet, hogy észrevehetük egy szbályszerűséget, mitát, mi lehetővé teszi, hogy kitláljuk sorozt áltláos tgját. H potosbb foglmzuk, kkor kezdő tgok számától függetleül, em elég csupá felíri z áltláos tg képletét. Ez zért v, mert megdott tgok esetleg több képletbe is beilleszthetők. A gykorltb eek elleére z áltláos tgot gykr hétközpi logikávl, józ prszti ésszel tláljuk ki. Például, h sorozt tgji redre:, 4, 6, 8, 0, Akkor észszerűek tűik, hogy = áltláos tgot írjuk fel. Megjegyzéskét megdhtuk egy másik képletet z re, mi ugyezt z öt első tgot dá: = + 000( )( )( 3)( 4)( 5) de mégis sokkl észszerűbb = képlet hszált. Az godolkodási út melyek sorá egy szbályszerűség megfigyelésével egy képletet tláluk ki, z iduktív godoltmeet. Nem z céluk, hogy egy ismert téyből, szbályból következtetést foglmzuk meg (ez deduktív godoltmeet), hem megfigyelések lpjá mitegy megsejtjük, megjósoljuk z eredméyt.. Feldt. Az lábbi soroztokt kezdő tgok felsorolásávl dtuk meg. Próbálj meg kitláli szbályszerűséget, és írj fel sorozt következő három tgját ) 7, 3, 9, 5,,, b) 3,,, 3, 5, _, _, c) 6, 7, 9, 0,, _, _,

2 Meg kell jegyezük, hogy em mide sorozt rejt ilye szbályszerűséget. Például következő sorozt 3,, 4,, 5, 9,, 6, 5, 3, 5, 8, 9, tgji em trtlmzk semmilye szbályszerűséget, de egyesek felismerhetik kör kerületéek és átmérőjéek z ráyát kifejező evezetes π = 3, szám számjegyeit, mit sorozt tgjit.. Fejezet Hldváyok A hldváyok oly szbályszerűséget trtlmzó soroztok, melyeket már z ókorb is ismertek, tulmáyoztk. A következő fejezetekbe legismertebb hldváyokt, számti, mérti és hrmoikus hldváyokt tulmáyozzuk. Ezek meghtározását következő sorokb djuk meg Meghtározás szerit egy számti hldváy bármely tgját úgy kphtjuk meg, hogy sorredbe előtte lévőhöz ugyzt z álldót djuk hozzá. H eek z álldók z értéke r, kkor z ( ) N számti hldváyb: = + r, 3 = + r, 4 = 3 + r, 5 = 4 + r, Megjegyzedő, hogy r = - = 3 - = 4-3 = 5-4 =, zz z álldó külöbség bármely tg és z őt megelőző tgk külöbsége.. Feldt. A következő számti hldváyokb keresse meg hldváy álldó külöbségét, mjd segítségével írj fel hldváyok hiáyzó tgjit: 3 ),,,,, _, _, _ b) 0, 4,, 8, 4, _, _, _ c),,,,, _, _, _ Meghtározás szerit egy mérti hldváy bármely tgját úgy kphtjuk meg, hogy sorredbe előtte lévőt ugyzzl z álldóvl megszorozzuk. H eek z álldók z értéke r, kkor z ( ) N mérti hldváyb = r, 3 = r, 4 = 3 r, 5 = 4 r, Megjegyzedő, hogy h mide ullától külöböző, kkor r = = = = = zz z álldó háydos bármely tg és z őt megelőző tgk háydos. 3. Feldt. Keresse meg következő mérti hldváyok álldó háydosát, mjd írj fel hiáyzó tgokt: ) 8, 4,,,, _, _ b), 3, 9, 7, 8, _, _ c) 4, 4 3, 4 4 4, 9 7,, _, _ 8 d) 0, 5, 4 5, 6 5, 64 5, _, _

3 Meghtározás szerit egy ( ) N,ullától külöböző tgokt trtlmzó, soroztot hrmoikus hldváyk evezük, h z, sorozt tgjik iverzeiből álló N sorozt, egy számti hldváy. Például:,,,,, egy hrmoikus hldváy, mivel z iverzek,, 3, 4, 5, sorozt számti hldváy. 4. Feldt. Írj fel következő hrmoikus hldváyok két hiáyzó tgját: ) 3, 3, 3 3, 4 3, 5 3, _, _ b),,,,, _, _ c), 4, 7, 0, 3, _, _ d) 3, 7 3, 3 3, 9 3, _, _ 5. Feldt. Tulmáyozz következő soroztokt. Először írj fel hiáyzó tgokt, mjd dötse el, hogy szbályszerűség számti, mérti, vgy hrmoikus hldváyt vgy felsoroltk egyikét sem jeleti. Ahol lehetséges, írj fel z dott sorozt következő két tgját. ), 3, 4, 5, 6,. b), 4, 8, 6,.. c) x, 5x, 5x,. 0 d),,, 3, 3 3 Elkövetkezett z pillt, mikor hldváyok törtéetéről is érdemes éháy szót ejteük. A számti és mérti hldváyok mitegy égyezer éves mtemtiki feldtokb gyökerezek. Például z egyiptomi Rhid Ppirusz (kb.850 i.e.) zt kérdést teszi fel, hogy mikét lehet szétoszti 300 szelet keyeret 5 ember közt következő feltételekkel: hrmdik ugyyi szelettel kp többet másodikál, mit meyivel második többet kpott z elsőél, és így tovább mideki sorb potos yivl kp többet z őt sorb megelőzőél, mit meyivel z többet kpott, mit sorb előtte lévő. Továbbá z utolsó három együtt hétszer yit kpott, mit z első kettő. Számíts ki keyérszeletek számát, mit z emberek külö- külö kptk. A válsz számti hldváyokhoz vezet. Ugybb ppiruszb egy másik feldt mérti hldváyoko lpszik. Az feldt, hogy htározzuk meg házk, mcskák, egerek és búzszemek számát, h tudjuk, hogy hét házb midegyikébe hét mcsk v, mide mcsk hét egeret fogott, és mide egér hét szem búzát evett meg. A számti és mérti hldváyok egy lpos leírás megtlálhtó z ókori görög mtemtikusok mukáib. A kérdést z ókori Pithgorászi iskol képviselői kezdték tulmáyozi, kik ismerték számti sorozt összegéek számítását. Hsoló Euklidész z Elemekbe megdt mérti hldváy összegképletét. Midezt sok görög mtemtikus hszált, és fejlesztette, lklmzt mtemtik külöböző területei. 3

4 3. Fejezet. Középértékek Meghtározás. Az és b számok számti közepe: + b m =. H és b zoos előjelű számok (zz b 0), kkor számok mérti közepe: m g = b és h és b ullától külöbözőek, kkor számok hrmoikus közepe: m h =. + b Például elleőrizhető, hogy kock csúcsik (v) szám z élek (e) és z oldllpok (f) számák hrmoikus közepe: v =, zz = +, + v e f e f és számokkl = Az előbbi három középértéket, és további hetet, már Pithgoreusok (z ókori Pithgorászi iskol képviselői) is ismerték, de máskét (zzl egyeértékű módo) htározták meg zokt. Az eredeti meghtározások következők: Meghtározás (Nicomchus, Itroductio to Arithmetic lpjá) Az (m ) számti közép, geometric (m g ) mérti közép, és z (m h ) hrmoikus közép redre eleget tesz következőkek: m m g m = ; = és h =. m b m b m m b b g 6. Feldt. Igzolj, hogy három középértékre megdott defiíciók ekvivlesek. m Bizoyítás. H =, Pithgoreusok meghtározás szerit, kkor m = m b, m b és így + b = m. Ez utóbbi yilvá z m számti közép meghtározásávl egyeértékű. Az állítás fordítottj bizoyítás lépeseiek fordított sorredjébe következik. m g H most z = egyelőségből iduluk ki, kkor ( m g ) m g = ( m g b), így m b m m g = b, és tehát g m g = g g b. A fordított iráyb is egyszerűe következik. m Végül, h h = h h, tehát b = m h + bm h. Ez utóbbi m h b b m m egyelőséget b-vel h h = +, mi zt jeleti, hogy m b h =. A lépéseket fordított + b sorredbe követve, bizoyítás teljes egészébe befejezhető., kkor ( m ) b = ( m b) h 4

5 Érdekességkét megjegyezhető, hogy számti, mérti és hrmoikus közép foglmkk mérti értelmezései is jól ismertek. Ezek egy részét trtlmzzák következő feldtok. 7. Feldt. Jelölje z ABCD trpézb z AB és CD párhuzmos oldlkt, AB = és CD = b. H E és F redre z AD és CD középpotjit jelöli, (és így EF párhuzmos AB és AB + CD + b CD-vel) és EF = x, igzolj, hogy x = EF = = (lásd. ábr). 8. Feldt. Tekitsük egy csok gúlát. Igzolj, hogy z lpoktól egyelő távolságr lévő metszet M területéek égyzetgyöke számti közepe T és t lplpterületek égyzetgyökéek (. ábr z egyszerű T + t szemléltetés kedvéért háromszög lpú csokgúlát trtlmz): M =. 9. Feldt. Bármely derékszögű háromszögbe z átfogór merőleges mgsság mérti közepe z átfogó áltl meghtározott két szkszk (3. ábr). A c m b B x D y C 0. Feldt. Bármely derékszögű háromszög kármelyik befogój mérti közepe, z átfogók és z átfogór eső vetületéek (3. ábr).. Feldt. Jelölje c vlmely, z ABCD trpéz és b hosszúságú lpjivl párhuzmos szksz hosszát. H ez c hosszúságú szksz trpézt két egyelő T, T (T = T ) + b részre botj, kkor igzolj, hogy c = (4. ábr). 5

6 A M D h h b T c T. Feldt. H ABC háromszög A szögéek belső és külső szögfelezője szembefekvő BC oldlt redre D és E potokb metszi, kkor igzolj, hogy ez égy pot egy ú. hrmoikus potégyes (5. ábr), zz teljesül következő összefüggés: = +. BC BD BE C N B 3. Feldt. Az ABCD trpézb. melyek párhuzmos lpji AB és CD, tekitsük zt z lpokkl párhuzmos EF szkszt (legye E z AD és F BC potj), mely trtlmzz z AC és BD átlók H metszéspotját. Igzolj, hogy EF z AB és CD lpok hrmoikus közepe: = +. EF AB CD 4. Fejezet. Hldváyok további tuljdosági Köye bizoyíthtó meghtározás lpjá, hogy számti hldváy bármely három egymást követő,, + tgjár teljesül következő összefüggés: + = + Fordítv, h egy ( ) N sorozt bármely > eseté teljesíti feti összefüggést, kkor ( ) N egy számti hldváy. Néh feldtok megoldáskor szimmetri okokból hldváy három, egymást követő,, + tgját érdemes z r,, + r lkb íri. Hsoló, számti hldváyok szokásos jelölései = és = + r, ekkor yilvá 6

7 3 = + r, 4 = + 3r, 5 = + 4r és áltláb = + ( ) r. Ebből köye beláthtó, hogy: + = + - = = =... (*) 4. Feldt. Igzolj számti hldváy bármely három "egyelő közű" k,, +k tgjár következő összefüggést: k + + k = 5. Feldt. Igzolj, hogy számti hldváy első tgják S összege következőképpe számíthtó ki: ( + ) ( + ( ) r) S = = = ( ) (másképpe S = + r ). (Ötlet: Írj fel z S = összeg lá ugyzt fordított sorredbe 3 = S = ( + ) + ( + ) + ( 3 + ) ( + S + Ezeket összedv: ) és erre most lklmzz (*) összefüggést. 6. Feldt. Igzolj, hogy ( ) = ( ) = Köye beláthtó meghtározás lpjá, hogy mérti hldváy bármely három egymást követő,, + tgjár teljesül következő összefüggés: = + Fordítv, h egy ( ) N sorozt bármely > eseté teljesíti feti összefüggést, kkor ( ) N egy mérti hldváy. A feldtok megoldáskor szimmetri okokból hldváy három, egymást követő,, + tgját érdemes z /r,, r lkb íri. A mérti 3 4 hldváyok szokásos jelölései = és = r, így 3 = r, 4 = r, 5 = r, áltláos = r. 7. Feldt. Igzolj mérti hldváy bármely három "egyelő közű" k,, +k tgjár következő összefüggést: = k + k 8. Feldt. Igzolj, hogy mérti hldváy első tgják S összege következőképpe számíthtó ki: (Ötlet: z dott összeg z rs = r + r r S S ( r = r = + r + r r =.. A kettő külöbsége megoldás kulcs.) ) lkb írhtó, ezt r-el szorozv: 7

8 9. Feldt. Igzolj, hogy mérti hldváy első tgják P szorztár igz: P = 3... = r ( ) Köye beláthtó meghtározás lpjá, hogy hrmoikus hldváy bármely három egymást követő, emull,, + tgjár teljesül következő összefüggés: = + Fordítv, h egy ( ) N emull sorozt bármely > eseté teljesíti feti összefüggést, kkor ( ) N egy hrmoikus hldváy. Megjegyezzük, hogy feti bekezdésbe yilvá fotos feltei, hogy sorozt tgji ullától külöbözőek. Ugykkor éh még további feltételeket is meg kell di. Vegyük következő példát: Tegyük fel, hogy z = 6, = 8, 3 = tgok egy hrmoikus hldváy (lásd 3. Fejezet.) első három tgj, és számítsuk ki következő tgjit. Az 4 értéke = + lpjá számítv, z = =. Tovább számítv, z értékéhez felhszáljuk = + összefüggést, és zt kpjuk, hogy = = 0, mi lehetetle. Lássuk, mit teheték z elletmodásk kiküszöbölésére? Jelölje és + r hrmoikus sorozt első és második tgját. Az előbb is felhszált összefüggés lpjá = + köye levezethető, hogy. ( + r) ( + r) ( + r) ( + r) ( + r) = =, = + r =, + r 3 =, 4 =, 5 = r 3r 4r és áltláos ( + r) =. + ( )r Tehát, z elletmodás kiküszöböléséhez, k szükséges feltétele, hogy evező ullától külöböző legye, potos z, hogy z e legye z r pozitív többszöröse (ellekező esetbe z + ( )r evező értéke 0 rr z -re melyre = ( )r). Vissztérve most z előző példához, zt kpjuk, hogy h egy hrmoikus hldváy első három tgj 6, 8, kkor = 6, r = így z pozitív többszöröse z r-ek, tehát ez okozá z elletmodást. H például ugyezt három tgot, de, 8, 6 sorredbe vesszük egy sorozt első három tgják, kkor viszot =, r = - 4 tehát em pozitív többszöröse z r-ek. Ez zt is jeleti, hogy z dott számok ebbe sorredbe már lehetek egy hrmoikus hldváy tgji, és hldváy további tgjit is ki lehet számíti Feldt. Igzolj hrmoikus hldváy bármely három "egyelő közű", emull k,, +k tgjár következő összefüggést: = + k. Feldt. Igzolj, hogy hrmoikus hldváy első tgják reciprokár igz következő összefüggés: ( + ( 3 ) r) R = = 3 + =. ( + r) + k 8

9 . Feldt. Keresse meg k feltételét, hogy egy derékszögű háromszög oldli egy számti hldváy tgji legyeek. Megoldás. Jelölje derékszögű háromszög oldlit redre b - r, b, és b + r. Pithgorász tétele lpjá ( b + r) = b + (b r), miből b = 4r következik. Tehát háromszög oldli redre 3r, 4r, 5r. (ezt 3r, 4r, 5r lkú ú. Pithgorász-i számhármst már z ókorb is ismerték, sőt már Mezopotámi-i gygtábláko is felfedezhetők).. Feldt. Feltéve, hogy egy háromszög oldli egy számti hldváyt képezek, igzolj, hogy ez háromszög kkor, és cskis kkor lehet derékszögű, h z oldlk álldó külöbsége ( hldváy kosts) éppe háromszög beírt köréek sugr. Megoldás. H háromszög derékszögű, kkor z oldli z előző péld lpjá 3x, 4x, 5x lkb írhtók, és beírt kör sugr, háromszög területéek, és félkerületéek ráykét írhtó fel : 3x 4x A zz r = = = x. Tehát r = x = 4x 3x = 5x 4x, így feltétel p 3x + 4x + 5x szükségessége.. Fordított iráyb, h feltesszük, hogy háromszög oldli oly számti hldváyt képezek, miek álldó külöbsége egyelő beírt kör r sugrávl, kkor z oldlk = b 3b r, b, és c = b + r, és háromszög területe A = pr, hol félkerület p =. Hero A = p p p b p c tehát képletét lklmzhtjuk és így ( )( )( ) 3br 3b b b b = r + r, b 4r más szvkkl 3r =, tehát b = 6r, és így b = 4r. Következik, hogy = 3r, b = 4 4r d c = 5r, éppe egy derékszögű háromszög oldli. 3. Feldt. Tegyük fel, hogy egy háromszög oldlik égyzetei egy számti hldváyt képezek. Igzolj, hogy ekkor háromszög súlyvolik (egy csúcsot szemközti oldl középpotjávl összekötő szksz) égyzetei is egy számti hldváy tgji. Igz-e fordított állítás? (b + c ) (Ötlet: Az A pothoz trtozó m súlyvol hosszák égyzete m =.) 4 4. Feldt. Vegyük következő soroztokt:, 5, 9, 3, 7,, 5, 9, 33, 37 4, 5, 6, 37, 48, 59, Keresse meg két számti hldváy közös tgjit, és igzolj, hogy zok is számti hldváyt képezek. Áltláosíts feldtot! 5. Feldt. Tekitsük egy sorozt,, 3,,, tgjit. Igzolj, hogy ez sorozt kkor, és cskis kkor számti hldvéy, h: =, bármely eseté Megoldás. H,, 3,,, egy számti hldváy tgji, kkor 9

10 = + r, 3 = + r,, = + r, és így: =, = r,, = 3 r 3 r Ezeket összedv, zt kpjuk, hogy = r r 3 r = r = r = r = r + ( ) ( ) r r =., = Most, h z dott összefüggés mide -re igz, kkor = 3 eseté is igz, miből z + = összefüggést kpjuk, vgyis + 3 = vgy 3 =. 3 3 Legye most r = 3 =, így = + r, 3 = + r. Tegyük fel most, hogy bármely k < eseté k = k + r (és így k = + (k )r ). Be fogjuk bizoyíti, hogy ugyz teljesül k = eseté is, zz: = Az dott feltételt tgr lklmzv, bloldlo zt kpjuk, hogy + = ( ) + = ( ) vgy ( ) = ( ) és tehát, mi még úgy is felírhtó, hogy ( ) = ( ) + +. Felhszálv z = + ( ) r -et zt kpjuk, hogy: ( ) = ( ) + + ( )r, és tehát = + r. Következik, hogy z utolsó tg ugyk számti soroztk tgj, mit z első tg. Más szvkkl z,, 3 hldváy folytthtó z 4, z 5 stb. tgokkl. 6. Feldt. Két fitl állásiterjúr jeletkezik. Midkette következő kérdést kpják godolkodó képességeik elleőrzésére: H mukálttó elégedett mukájávl, kkor z lklmzott mg dötheti el, hogy mikét emeljék z 000 eurót kitevő kezdő fizetését: vgy ) mide égy hét eltelte utá 5 euró fizetéssel többet kp, vgy b) mide két hét eltelte utá 5 euró fizetésemelést kp. H Te kellee válszolj helyettük, melyik lehetőséget válsztád? Mgyrázd meg válszodt! 7. Feldt. Tekitsük egy oly egyelőszárú trpézt, mely kör köré írhtó. Legye, b és r redre trpéz lpji, és beírt kör sugr. Igzolj, hogy r = b, vgyis, b, r egy mérti hldváyt képez (6. ábr). 0

11 D C r A B 8. Feldt. Keresse meg k feltételét, hogy egy derékszögű háromszög oldli mérti hldváyt képezzeek. Megoldás. H derékszögű háromszög oldli egy mérti hldváy egymás utái tgji, kkor hosszúságuk jelölésére lklms z, r, és r. Pithgorász tétele lpjá ( ) ( ) 4 5 = r + r, tehát = r + r, így r ± + 5 =, és r = feltételekek megfelelő egyetle vlós megoldás. Arr következtetésre jutottuk, hogy derékszögű háromszög oldli, + 5 és + 5, hol pozitív. 9. Feldt. H következő feltételek egyidejűleg teljesülek:, b, c számti hldváyt képezek, b, c, d mérti hldváyt képezek, c, d, e hrmoikus hldváyt képezek, kkor, c, és e mérti hldváyt képezek. 30. Feldt. A Mtek Csokigyár új csokoládétermékét épszerűsíti, melyek mide tábláj egy szelvéyt trtlmz. Két ilye szelvéy beválthtó egy újbb tábl csokoládér (melybe szité v egy újbb szelvéy). Mit érhet vlójáb egy ilye tábl csokoládé? (Ötlet: A számítások szerit tábl csokoládét jelet, mely végső soro összegeződik, és ez z, egyre több tgot számláló sorozt "összege" végül ). 5. Fejezet. Rekkureci képlettel megdott soroztok A soroztok foglm gykr megjeleik (számsoroztok és lklmzásuk midepi élet része, pl. pi hőmérséklet, évi termés, stb), és gykr előfordul, hogy sorozt tgjit z őket megelőző egy vgy több tg értékét felhszáló szbályszerűséggel djuk meg (például épesség övekedése, vgy egy bkbetét övekedése pilltyi értékkel ráyos). Az ilye szbályokt rekurreci relációkk evezzük. A rekurreci relációkkl megdhtó soroztokr fotos példák z előzőekbe tulmáyozott számti, mérti és hrmoikus hldváyok. Vlób következő szbályok kötik össze hldváy egy tgját z őt megelőzővel: számti hldváy eseté: + = + r, hol és r dott, mérti hldváy eseté: + = r, hol és r dott, és hrmoikus hldváy eseté: = + r, hol és r dott. +

12 A két első rekurreci relációt lieáris rekurreci relációkk evezzük, mivel bee szereplő tgok első htváyát trtlmzzák ( hrmdik esetébe z -ek - htváy szerepel. Az első kettőt elsőredű lieáris rekurreciák evezzük, mivel + z őt közvetleül megelőző tgr épül. Rekurreci képletek közt tlá z leghíresebb mi Fibocci Liber Abci című köyvébe jelet meg. Ez zt jeleti, hogy + = +. Megjegyzedő, hogy most midkét első tgot, z és -t egyrát ismeri kell, hhoz, hogy z egész sorozt felírhtó legye. A Fibocci rekurreci képlet szité lieáris, de már másodredű. Fibocci Liber Abci c. mukájáb következő feldtot foglmzz meg: Egy ember vett egy pár kisyult (yállt és pállt), egy hóp ltt ivrérettek lettek és második hóp utá szporodi kezdtek következők szerit: mide hópb egy pár kisyúl született, ugyoly összetételbe, mit z eredeti vételkor, és mide új pár ugyzt szporultlácot követte: egy hóp ltt ivrérettek lettek és második hóp utá szporodi kezdtek. Meyi yulk szám redre következő hópokb? Elleőrizhető, hogy: Első hópb: Második hópb: Hrmdik hópb: Negyedik hópb: 3 Ötödik hópb: 5 Köye beláthtó, hogy h z. hópb yulk, kkor teljesül következő összefüggés + = + +, és z első két tg = és =. Ez z ú. Fibocci sorozt,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, Feldt. Írj fel z előbb ismertetett Fibocci sorozt három hiáyzó tgját:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55,, _, Mit modhtuk Fibocci sorozt áltláos tgjáról? Ebbe z esetbe em oly egyszerű válsz mit z előző kérdésekbe. Ak érdekébe, hogy többet megismerj z ilye és ehhez hsoló soroztokról, szükséged lesz többet tuli soroztok és htárértékeik tuljdoságiról, mit II. szite közölt Soroztok c. fejezetbe tlálhtsz meg. Végül álljo eek fejezetek végé egy boyolultbb feldt. x x x 3. Feldt. Keresse meg z x és y értékét, h z, és biomiális y y y együtthtók számti hldváyt képezek, ugykkor z, és vriációk egy mérti hldváy egymást követő tgji (itt Megoldás. A közölt képleteket felhszálv helyettesítése utá: y A x! = k, k!( k)!! = k, k!( k)! A k y A + y x A + x+ A k! = ). ( k)!! = megfelelő ( k)! és x x y x = + y y y y+ y y+ ( A ) = A A x x x+ A következő redszert kell megoldi:

13 (x )! (x )! x! = + y!(x y )! (y )!(x y)! y!(x y)! x! x! (x + )! (x y )! =, (x y)! (x y)! hol x y 0 és y 0, ugykkor x, y egészek. (x )! H most z elsőt kifejezéssel, és másodikt (y )!(x y )! egyszerűsítjük, kkor z egyeletredszer következő: x = + y x y y(x y) x + =, (x y) máskét: (x y) = y + x (x y) = x +. x! ( x y )! Tehát x = 3y, 4y 3y = 0, és kikötésekek csupá z x = 3, y = felel meg. kifejezéssel 3

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

ALGEBRA. 1. Hatványozás

ALGEBRA. 1. Hatványozás ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k

SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k A sorozt megdás. ) ; ; ; b) ; ; ; c) 0; -; -; -8 d) ; ; 8; 89 e) ; ; 8; 0 f) ; ; 0; 90 g) ; ; 0 ; 0 90 h) em létezik, hisze eseté kifejezés ics értelmezve. A további elemek: ; 8 ; 0 899 i) 0; ; 999 ; j)

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

Szoldatics József, Dunakeszi

Szoldatics József, Dunakeszi Kstérség tehetséggodozás Rekurzív soroztok Szoldtcs József, Dukesz Npjkb egyre több verseye jelek meg rekurzív sorozt. Ezek megoldásához d ötleteket ez z elődás, A feldtok csoportosítv vk megoldás módszerek

Részletesebben

Háromszög n egyenlő területű szakaszra osztása, számítással és szerkesztéssel. Bevezetés

Háromszög n egyenlő területű szakaszra osztása, számítással és szerkesztéssel. Bevezetés Háromszög egyelő területű szkszr osztás, számítássl és szerkesztéssel Bevezetés Az építészet szkrodlomb elég gykr előfordul címbel feldt, főleg kötőelemek kosztáskor. Ezek lehetek szegek, csvrok, betétek,

Részletesebben

Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva

Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva Mtemtik A évfolym modul Soroztok Készítette: Lövey Év Mtemtik A évfolym modul: SOROZATOK Tári útmuttó A modul célj Időkeret Ajálott korosztály Modulkpcsolódási potok A soroztok foglmák elmélyítése Gykorlti

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy.

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy. Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Elemi lgebr. A.. Mcedói, 00, 9. év. I. ord. Htározzuk meg y y értékét, h, y pozitív vlós számok és y = 6y. A.. Horvátország, 00, regioális versey, 0. év.

Részletesebben

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 0. tétel zámsorozto orozt: Oly függvéy, melye értelmezési trtomáy pozitív egész számo hlmz. zámsorozt éphlmz vlós számo hlmz. f : N R f () jelöli sorozt -ei tgját.

Részletesebben

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET MATEMATIKA FELADATSOR 9. évolym Elézést tegezésért! I. HALMAZOK Számegyeesek, itervllumok. Töltsd ki táláztot! Mide sor egy-egy itervllum hároméle megdás szerepelje!. Add meg következő itervllumokt! A

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről,

Részletesebben

Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji AOK - Rezides képzés Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi műveletek (operációk) tudomáyos kuttási

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus) A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:

Részletesebben

24. tétel Kombinatorika. Gráfok.

24. tétel Kombinatorika. Gráfok. Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 4. tétel Komitori. Gráfo. Komitori: A mtemti zo elméleti területe, mely egy véges hlmz elemeie csoportosításávl, iválsztásávl vgy sorrederásávl fogllozi. Permutáció

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

Néhány egyszerű tétel kontytetőre

Néhány egyszerű tétel kontytetőre Néhány egyszerű tétel kontytetőre ekintsük z ábr szerinti szimmeikus kontytetőt! ábr Az ABC Δ területe: ABC' m,v; ( ) z ABC Δ területe: ABC m ; ( ) z ABC* Δ területe: ABC* m ( 3 ) Az ábr szerint: m,v cos

Részletesebben

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK Sorozto, számti és mérti hldváyo 5 I FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK 7 Gyorlto és feldto ( oldl) Vjo milye törvéyszerűség lpjá épeztü z lábbi soroztot? Az áltld tlált szbályszerűség

Részletesebben

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0 www.esymths.hu mtek ilágos oll Mosózi Arás LINEÁISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOOK esymths.hu DEFINÍCIÓ: A... ektorok lieáris összefüggők, h... úgy is teljesül, hogy oly i Nézzük ezekre péákt!

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

2. Egy csökkenő mértani sorozat második tagja 192, negyedik tagja 48. Számítsd ki az első 5 tag összegét! (10 pont)

2. Egy csökkenő mértani sorozat második tagja 192, negyedik tagja 48. Számítsd ki az első 5 tag összegét! (10 pont) Mtemtik A. évfolym I. egyedév témzáró A csoport. Egy utci futóversey eredméyhirdetésé összese 60 csokoládét osztk ki z első 0 helyezett között, úgy, hogy kiosztott csokoládék szám helyezettről-helyezettre

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

n természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti

n természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti osztály Igzolju, hogy 3 < ármely természetes szám eseté Kovács Bél, Sztmárémeti Az összeg egy tetszőleges tgj: Ezt ővítjü és lítju úgy, hogy felothssu ét tört összegére ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) )( (

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP

MATEMATIKA FELADATLAP MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt :00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton 011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2011. jnuár 21. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2008. jnuár 26. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2008. jnuár 26. 11:00 ór M 1 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 2007. jnuár 26. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2007. jnuár 26. 15:00 ór M 1 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometri A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

x + 3 sorozat első hat tagját, ha

x + 3 sorozat első hat tagját, ha Soroztok, soroztok megdás rekurzív módo.. Az ( ) soroztot rekurzív módo dtuk meg 7 -, sorozt első két tgj ( < ) egybe gyökei következő egyeletek: sorozt első öt tgját. y.adott ( ). Írd fel ( ) x 0 x. Htározd

Részletesebben

Hullámtan és optika. Az előadás teljesítésének feltételei

Hullámtan és optika. Az előadás teljesítésének feltételei Rezgések és hullámok; hgt Rezgést Hullámt Hgt Optik Geometrii optik Hullámoptik Hullámt és optik jálott irodlom Budó Á.: Kísérleti fizik I, III. (Tköyvkidó, 99) Deméy-Erostyák-Szbó-Trócsáyi: Fizik I, III.

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

Matematika összefoglaló

Matematika összefoglaló Mtemtik összefoglló A középiskoli tg vázltos áttekitése, gkorló feldtok Összeállított: Deák Ottó mestertár Áltláos- és Felsőgeodézi Tszék Mtemtik kozultáció z I. évfolmk A emuttó vázlt Bemuttkozás, kozultáció

Részletesebben

Mátrixok. Bevezetés és példák 1/12. Mátrix aritmetikai bevezetés

Mátrixok. Bevezetés és példák 1/12. Mátrix aritmetikai bevezetés Mátrixok. Bevezetés és példák / Mátrix ritmetiki bevezetés Trtlom. Bevezetés Mátrixelemek és jelölések 3. Mátrixok fjtái: 4. Elemi műveletek mátrixokkl 4. Egyelőség 4. Trszpoálás 4.3 Szorzás 4.3. Szorzás

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

A logaritmus fogalma és azonosságai. Az exponenciális és a logaritmusfüggvény.

A logaritmus fogalma és azonosságai. Az exponenciális és a logaritmusfüggvény. A logritmus foglm és zoossági Az epoeciális és logritmusfüggvéy A logritmus értelmezése A htváyozás em kommuttív művelet, így más-más fordított (iverz) műveletre v szükség, h z htváyozás lpját () vgy kitevőjét

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Az azonosságok tanításáról I.

Az azonosságok tanításáról I. Oktssuk vgy buktssuk Mjoros Mári 006. okt. Az zoosságok tításáról I. Dr. Mjoros Mári Az zoosságok tításáról I. Aki egpróbált ár idege yelvet tuli, tpsztlhtt, hogy yelv iseretéek és helyes hszálták tetiki

Részletesebben