Háromszög n egyenlő területű szakaszra osztása, számítással és szerkesztéssel. Bevezetés

Átírás

1 Háromszög egyelő területű szkszr osztás, számítássl és szerkesztéssel Bevezetés Az építészet szkrodlomb elég gykr előfordul címbel feldt, főleg kötőelemek kosztáskor. Ezek lehetek szegek, csvrok, betétek, lletve betocélok. Azzl z érdekes helyzettel szembesültük, hogy m s hszáltos szkköyvek jó része szükséges számítások, lletve szerkesztés gzolás helyett szkrodlomr utl, hol ztá megt csk továbbküldk z érdeklődőt egy másk szkrodlm yghoz, és így tovább. Kívácsk lettük, hogy számukr hozzáférhető szkrodlomb hol tláljuk meg z ősforrást. Nos, megv! Erre lpozv közöljük z lábbkt. A számítás képletek és gzolásuk Ehhez tektsük z 1. ábrát ld. [ 1 ]! A feldt: 1. ábr 1. Osszuk fel drb egyelő területű részre z és b befogókkl bíró derékszögű háromszöget!. Állpítsuk meg z - edk szksz szélességét!

2 A megoldás: 1. Az és b befogókkl bíró derékszögű háromszög területe: 1 A b. ( 1 ) H z A területű háromszöget drb egyelő területrészre osztjuk, kkor 0 - tól - g terjedő háromszög területe h ugykkor szkszok 1 - től - g trtk : A A. ( ) Másrészt z 1. ábr jelölésevel : 1 A x y. ( 3 ) Most ( 1 ), ( ), ( 3 ) szert: 1 1 x y b, zz: x y b. ( 4 ) Mjd hsoló háromszögekkel: y b, e: x b y x. ( 5 ) Ezutá ( 4 ) és ( 5 ) - tel: b x x b, e: x, mjd poztív égyzetgyököt vov: x. Továbbá ( 5 ) és ( 6 ) - tl: b b y x b, tehát: y b. ( 7 ) ( 6 )

3 3. Az - edk szksz szélessége: s x x, ( 8 ) 1 mjd ( 6 ) és ( 8 ) - cl: 1 1 s, tehát: 1 s. ( 9 ) Megjegyzés: Még gzoldó, hogy felosztás utá részterületek vlób egyelő gyok, függetleül ttól, hogy melyk részterületről v szó. Ez például z lább. A A A ; ( 10 ), 1 1 most ( 3 ) és ( 10 ) - zel: 1 1 A, 1 x y x 1 y 1; ( 11 ) mjd ( 6 ), ( 7 ) és ( 11 ) - gyel: b A, 1 b b b 1, ( 1 ) tehát ( 1 ) és ( 1 ) - vel: A A, 1, ( 13 ) - től függetleül. A szerkesztés és gzolás Először közöljük szerkesztés módját, mjd fet képletek smeretébe kmuttjuk, hogy szerkesztés s számítássl kpott eredméyekre vezet. Már most megjegyezzük, hogy számítássl kpott számszerű eredméy redszert potosbb, mt szerkesztéssel kpott, ezért gykorlt feldtok megoldás sorá célszerű képletekkel dolgoz, szerkesztést pedg elleőrzésre, lletve szemléltetésre hszál.

4 4 Most tektsük. ábrát!. ábr Itt = 4 eseté muttjuk be szerkesztés meetét. A lépések z lábbk. 1.) Felhordjuk z szkszt, mjd felosztjuk egyelő részre, z smert szerkesztéssel. Ekkor előállk z 1*, *, 3*, 4* osztáspotok..) Az szksz lá rjzoluk egy R = / sugrú kört, mjd z előző osztáspotokból húzott vetítő egyeesekkel kmetsszük körből z M 1, M, M 3 potokt. 3.) Az OM 1 = r 1, OM = r, OM 3 = r 3 sugrkkl köríveket rjzoluk, melyekkel elmetsszük kör átmérőjét. Ekkor kpjuk z 1.,., 3. osztáspotokt.

5 5 4.) Az utóbb osztáspotokból párhuzmosokt húzuk b - vel, így előállk részterületeket htároló y 1, y, y 3 szkszok. A. ábrá z A 3, részterületet srffozássl s kemeltük. A szerkesztés gzolásához tektsük 3. ábrát! 3. ábr A szerkesztés szert: x r, ( 14 ), ( 15 ) vlmt R. ( 16 ) Most Ptgorász tételével ~ gy háromszögből: r ; ( 17 ) ~ ks háromszögből: R R R R R R, tehát: R. ( 18 )

6 6 Ezutá ( 17 ) és ( 18 ) - cl: r R. ( 19 ) Most ( 15 ), ( 16 ), ( 19 ) - cel: r R, e: r. ( 0 ) Mjd ( 14 ) és ( 0 ) szert: x. ( 1 ) Megállpíthtjuk, hogy ( 6 ) és ( 1 ) egyezése mtt szerkesztés elvleg egyeértékű számítássl. Öálló megolddó feldt Az ábráko rjzolt A területű háromszög legye kéttámszú trtó egyeletese megoszló terhelésére rjzolt fél yíróerő - ábrájávl ráyos csúszttóerő - ábr. A kéttámszú trtót két egymásr helyezett, csvrokkl összeerősített fgered lkotj. A két gered egymáso vló elcsúszását keméyf betétekkel kdályozzuk meg. Az 1. és. ábrá srffozássl jelöltük z egyk részterületet, melyek gyságávl ráyos betétre htó csúszttóerő gyság. Htározz meg, hogy hov helyezzük keméyf betétek közepét:.) srffozott részterület bl szélére; b.) srffozott részterület súlypotjáb; c.) srffozott részterület jobb szélére! Irodlom: [ 1 ] Szerk.: Plotás László: A f mt építőyg; bee: Tobás László: Fszerkezetek mgsépítésbe A Budpest Építőmesterek Iprtestülete, Budpest, Sződlget, 009. ovember 8. Összeállított: Glgócz Gyul méröktár