Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok
|
|
- Dezső Bakos
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor és skis kkor teljesülhet, h négyszög húrnégyszög. Ptolemios Kludios (Kr.u 00-69) Fő műve: lmgeszt Geoentrikus világnézet kitrt Kopernikuszig. Ngyon pontosn kiszámolt szályos 70 oldlú sokszög egy oldlánk hosszát. 7 π,46! 0 Dr. Lévárdi László Sin Márton : Mtemtik történeti feldtok Tihnyi Miklós: Ptolemios tétele húrötszögen / KöML 94. már. 5 / Mihlovis Sándor: Ptolemios tételéhez kpsolódó megjegyzések Sklrszkij-senov-Jglom: Válogtott feldtok és tételek / Reimn István: Nemzetközi Mtemtiki Diákolimpiák Eri Weisstein Mtemtiki eniklopédiáján z ide vontkozó tételek: Feldtok P.0. izonyítsuk e Ptolemios-tételt. P.. izonyítsuk e, hogy h M z szályos háromszög köré írt körének (rövideik) íven lévő pontj, kkor MM+M. P.. Mutssuk meg, hogy h P pont z D négyzet köré írhtó kör rövideik D ívén fekszik, kkor P(P+P)P(P+PD). P.. dott z D prlelogrmm és egy z ponton átmenő olyn kör, mely z oldlt P-en, z átlót Q-n, z D oldlt pedig R pontn metszi. Mutssuk meg, hogy ekkor P + R D Q. P.4. z egyenlőszárú háromszögen. háromszög köré írt körének -t nem trtlmzó ívén vegyük fel P pontot. izonyítsuk e, hogy h D -ől Pre osátott merőleges tlppontj, kkor P+PPD. P.5. Jelölje O z háromszöge írt kör középpontját. z háromszög köré írt kört z, ill. súsól induló szögfelező rendre z F,F, F pontn metszi. O O O izonyítndó, hogy + + OF OF OF P.6. Jelölje R ill. r háromszög köré, ill. háromszöge írt kör sugrát, d,d,d pedig körülírt kör középpontjánk háromszög oldlitól vett távolságit. Mutssuk meg, hogy h háromszög hegyesszögű, kkor d + d + d R+ r. Hogyn módosul z összefüggés, h háromszög nem hegyesszögű?
2 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok P.7. izonyítsuk e, hogy minden hegyesszögű háromszögen M+M+M(R+r), hol M háromszög mgsságpontj, r eírt, R pedig körülírt kör sugr. P.8. z háromszög súsól induló szögfelezője háromszög köré írhtó kört -en metszi. izonyítsuk e, hogy h háromszög oldl felezi z szkszt, kkor +. P.9. Egy szályos kilenszög átlói növekvő sorrenden e,e,e. izonyítsuk e, e e hogy ekkor + + e e e e P.0. z DE szályos ötszög köré írhtó kör rövideik E ívének egy pontj legyen P. izonyítsuk e, hogy ekkor P+P+PEP+PD. P.. Legyen,,..., n egy pártln oldlszámú szályos sokszög, M pedig sokszög köré írhtó kör n ívének egy pontj. izonyítsuk e, hogy z M pontot pártln sorszámú súsokkl összekötő szkszok együttes hossz egyenlő páros sorszámú súsokkl összekötő szkszok együttes hosszávl. P.. Megdhtó-e síkon 004 pont úgy, hogy ármely három ne legyen egy egyenesen, és ármely kettő távolság rionális szám legyen.
3 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok sey-tétel / John sey (80-89) ír mtemtikus/: H k, k, k, k D körök elülről érintik k kört olyn,,,d pontokn, melyek egy konvex négyszöget htároznk meg, kkor két-két kör közös külső érintőszkszi között fennáll z lái összefüggés ( d( k i,k j) jelölje k i j körök közös külső érintő szkszánk hosszát): d k,k d k,k + d k,k d k,k d k,k d k,k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D D Megengedjük null sugrú köröket is. H mindegyik kör nullkör, kkor húrnégyszögekre ismert Ptolemios tételt kpjuk. Feldtok.0. izonyítsuk e sey-tételt... Tekintsük z egyenlőszárú háromszöget és köré írhtó kört (). Legyen k egy olyn kör, mely érinti köré írt kört (-t nem trtlmzó íven) és t. Jelölje t -ől k -hez húzott érintőszksz hosszát. Mutssuk meg, hogy t nem függ k válsztásától... Két különöző sugrú kör elülről érinti egymást. ngyo sugrú köre szályos háromszöget írunk. háromszög súsiól érintőket húzunk kise sugrú körhöz. Mutssuk meg, hogy leghossz érintőszksz egyenlő másik kettő összegével... dott egy k kör, nnk egy tetszőleges húrj, s rá merőleges D átmérő. Tekintsünk egy olyn k kört, mely érinti z húrt és k-t -t trtlmzó íven, vlmint egy k kört, mely D pontn érinti elülről k-t. Mutssuk meg, hogy k körök közös külső érintő szkszánk hossz független k kör válsztásától dott k kör esetén..4. dott egy k kör és nnk átmérője. Tekintsük első pontn z -re merőleges húrt. Messe ez k kört z M ill. N pontokn. Htározzuk meg z ill. átmérőjű körök közös külső érintőinek hosszát!.5. dott egy k kör, vlmint három - k-t elülről érintő - zonos sugrú kör, melyek páronként kívülről érintik egymást. Mutssuk meg, hogy k kör egy tetszőleges M pontjáól k, k, k körökhöz húzott érintőszkszok egyike másik kettő összegével egyenlő..6. dott z (R) átmérőjű k kör, vlmint z -t és k-t (elülről) érintő k kör. z -n lévő érintési pontot jelölje M. Htározzuk meg k kör sugrát, h Mm..7. dott z háromszög köré írhtó körével együtt. Tekintsük zt k kört, mely elülről érinti k-t, vlmint z és oldlkt, ill. pontokn. Fejezzük ki szksz hosszát háromszög oldlink segítségével. Htározzuk meg k kör sugrát is háromszög dtivl.
4 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok.8. dott z átmérőjű k kör. z átmérő hrmdoló pontjit jelölje M és N. Legyenek k k-t elülről érintő körök, melyek érintik -t z M illetve N pontn, s két kör közös első érintője. Htározzuk meg k körök közös külső érintő szkszánk hosszát k kör R sugránk függvényéen..9. dott z egyenlőszárú háromszög () köré írt körével(k) együtt. Jelölje k, k, k zokt köröket, melyek k-t elülről érintik ( hrmdik súsot nem trtlmzó íven), vlmint érintenek egy-egy oldlt felezőpontján. Mutssuk meg, hogy k, k, k körök páronként vett közös külső érintő szkszánk hossz megegyezik..0. dott síkn z ", melynek körülírt körét kívülről érinti k kör. k kör érinti egyúttl z és félegyeneseket is, mégpedig P és Q pontokn. Mutssuk meg, hogy PQ szksz felezőpontj egyeesik z " oldlához hozzáírt körének középpontjávl. / Kürshák József Emlékverseny 004/.feldt / 4
5 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok D P. megoldások P.0. Ptolemios-tétel H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor és skis kkor teljesülhet, h négyszög húrnégyszög. izonyítás: lklmzzuk D" -re zt körüli forgtv nyújtást, mely átviszi "-e (rány :). Ekkor e. Vegyük észre, e D δ e hogy ekkor z " D", hiszen $ D$ és f d β δ e ;, így hsonlóság rány: k, így D e e f. z háromszögre háromszög-egyenlőtlenség: d f +, melyől dódik z + d e f egyenlőtlenség. Egyenlőség kkor és sk kkor áll fenn, h β +δ 80, zz négyszög húrnégyszög. P.. izonyítsuk e, hogy h M z szályos háromszög köré írt körének (rövideik) íven lévő pontj, kkor MM+M. izonyítás: Írjuk fel Ptolemios-tételt z M-re: M + M M / : M + M M P P.. Mutssuk meg, hogy h P pont z D négyzet köré írhtó kör rövideik D ívén fekszik, kkor P(P+P)P(P+PD). izonyítás: Ptolemios-tétel PD-re: PD + P P / : Ptolemios-tétel P-re: P P + P / : Szorozzuk össze két egyenletet: P(P+PD)P(P+P) P.. z egyenlőszárú háromszögen. háromszög köré írt körének -t nem trtlmzó ívén vegyük fel P pontot. izonyítsuk e, hogy h D -ől Pre osátott merőleges tlppontj, kkor P+PPD. M d ' izonyítás: Ptolemios-tétel z PQR-re: Q PR P RQ + R PQ PQ QR PQ QR Másrészt: PQR" ". PQ PR PQ PR Írjuk e ezeket fenti egyenlősége: R D Q P 5
6 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Q PQ P PQ + R PQ / PQ Q P + R. Felhsználv, hogy D: P + R D Q P.4. z egyenlőszárú háromszögen. háromszög köré írt körének -t nem trtlmzó ívén vegyük fel P pontot. izonyítsuk e, hogy h D -ől P-re osátott merőleges tlppontj, kkor P+PPD. izonyítás: Ptolemios-tétel P-re: P + P P PD PD Másrészt: PD" F", ezt ehelyettesítve: P P P+PPD. P F D P.5. Jelölje O z háromszöge írt kör középpontját. z háromszög köré írt kört z, ill. súsól induló szögfelező rendre z F,F, F pontn metszi. izonyítndó, hogy O O O + + OF OF OF.izonyítás: s EO" FF ". Másrészt nem triviális, de F F O F O + + OF F F (*), így átlkítv:. nlóg O OF módon: s- E O + OF O + OF Így z állítás ekvivlens következővel:? ? % % %.izonyítás: Ptolemios-tétel: ( ) O + + OF Így z állítás: O + OF OF ( + ) (felhsználtuk (*) ot) 6
7 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok + + +? + +? ? % % % P.6. Jelölje R ill. r háromszög köré, ill. háromszöge írt kör sugrát, d,d,d pedig körülírt kör középpontjánk háromszög oldlitól vett távolságit. Mutssuk meg, hogy h háromszög hegyesszögű, kkor d + d + d R+ r. Hogyn módosul z összefüggés, h háromszög nem hegyesszögű? izonyítás: Ptolemios-tétel FF K -r: K FF F d + F d. Tudv, hogy K R; FF ; F ; F z előző egyenlet: R d + d / R d + d. nlóg: R d + d R d + d. Írjuk fel T t kétféleképp : d + d + d r( + + ) Σ : d + d + d + + R+ r + + /: + + ( )( ) ( )( ) ( ) d + d + d R+ r d K d d Megjegyzés: Könnyen eláthtó (osinus tételek és háromszögterület összefüggésekkel): r os α+ osβ + os γ + / R R R os α+ R osβ + R os γ R + r Rosα : előjeles távolság. d + d + d R+ r d előjele ttól függ, hogy húr elválsztj súsot és köré írt kör középpontját, vgy nem. i Ennek lklmzásár egy szép feldt: Legyen n ontnk. Igzoljuk, hogy háromszögeke eírt körök sugrink összege nem függ felontástól.,,..., tetszőleges húrsokszög, melyet egymást nem metsző átlói (n-) d háromszögre P.7. izonyítsuk e, hogy minden hegyesszögű háromszögen M+M+M(R+r), hol M háromszög mgsságpontj, r eírt, R pedig körülírt kör sugr. 7
8 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok.izonyítás: Ugynúgy, mint z előző feldtn..izonyítás: z előző feldt eredményére lklmzzunk egy S középpontú (-)-szeres középpontos hsonlóságot. P.8. z háromszög súsól induló szögfelezője háromszög köré írhtó kört -en metszi. izonyítsuk e, hogy h háromszög oldl felezi z szkszt, kkor P + P + PE P + PD. izonyítás: Ptolemios-tétel -re: y + y x y( + ) x y( + ) y x + L" L" + x y + y + x L y x + y P.9. Egy szályos kilenszög átlói növekvő sorrenden e,e,e. izonyítsuk e, e e hogy ekkor + + e e e e izonyítás: e? e + + / e e e e e e e? + + e(e e) e(e e) Írjunk fel két Ptolemios-tételt: 4 5:e+ e ee Vegyük hánydosukt: :e+ e ee e+ e e e + e e e(e+ e) e(e + e) 4 e e 5 9 e e e P.0. z DE szályos ötszög köré írhtó kör rövideik E ívének egy pontj legyen P. izonyítsuk e, hogy ekkor P+P+PEP+PD. izonyítás: Írjunk fel Ptolemios-tételeket: P P : P + P P PD : P D P PD + PDE : P + PE PD E PDE : D PE P + PD E D PE : P E + PE P E E 8
9 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok : E D E D: P+ P P D P + PD P+ PE PD PE P + PD E P + PE P E Σ :( + )(P + P+ PE) ( + )(P + PD) P + P + PE P + PD P.. Legyen,,..., n egy pártln oldlszámú szályos sokszög, M pedig sokszög köré írhtó kör n ívének egy pontj. izonyítsuk e, hogy z M pontot pártln sorszámú súsokkl összekötő szkszok együttes hossz egyenlő páros sorszámú súsokkl összekötő szkszok együttes hosszávl. izonyítás: Legyen M d,m d,..., Mn dn. z oldlk hosszát jelölje, legrövide átló hosszát pedig jelölje. lklmzzuk Ptolemios tételét z M, M 4,...,Mn n,mnhúrnégyszögekre (joról írjuk páros számml jelölt szkszokt, lról pártlnnl jelölteket): (d+ d ) d d (d d 4) M + n (d + d 5) d 4... dn + d d n 4 d+ dn d Σ : ( + )(d+ d d n) ( + )(d + d d n ) d + d d d + d d n 4 n n- i i j P.. Megdhtó-e síkon 004 pont úgy, hogy ármely három ne legyen egy egyenesen, és ármely kettő távolság rionális szám legyen. i j j izonyítás: Vegyük reltív prím Pitgorszi számhármsokt(ezekől végtelen sok vn) és osszuk el -vel. Ekkor ;, '. Minden ilyen számhárms meghtároz egy i derékszögű háromszöget z átmérőjű kören. Ekkor ármely i j távolság is rionális szám, hiszen Ptolemios-tétel szerint j i i j+ i j. Mivel, j i i j ' i j ' 9
10 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok.megjegyzés: síkon mindig megdhtó n számú pont úgy, hogy közülük egyik három se legyen egy egyenesen, de közülük ármely kettő távolság egész szám legyen..megjegyzés: síkn nem dhtó meg végtelen sok pont úgy, hogy ne legyenek egy egyenesen, de ármely kettő távolság egész legyen. 0
11 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok. megoldások.0. sey-tétel: H k,k,k,k D körök elülről érintik k kört olyn,,,d pontokn, melyek egy konvex négyszöget htároznk meg, kkor két-két kör közös külső érintőszkszi között fennáll z lái összefüggés ( d( k i,k j) jelölje k i j körök közös külső érintő szkszánk hosszát) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) d k,k d k,k d k,k d k,k d k,k d k,k D D D r O R-r d( k ; k ) γ O R-r r-r O izonyítás: ( ) ( ) ( )( ) OO R r + R r R r R r osγ R R + R RRosγ osγ R ( ) ( ) + ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) R d k ;k R r R r R r R r r r... R r R r d k ;k R r R r R ( ) ( )( ) Hsonlón töi párr is felírhtjuk ezt z összefüggést: ( ) ( )( ) d k ;k R r R r R d( k ;k ) ( R r )( R r ) R D d( k ;k ) ( R r)( R r ) D R D d( k ;k ) ( R r)( R r ) D R d( k ;k ) ( R r )( R r ) R D ( ) ( )( ) D d k ;k R r R r R R D d k ;k d k ;k R r R r R r R r D 4 R D d k ;k d k ;k R r R r R D 4 R D d k ;k d k ;k R r R r R r R r D 4 R ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( r )( R r ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) d k,k d k,k d k,k d k,k d k,k d k,k D D D R Kiegészítés tétel érvényen mrd kkor is, h z,,,d pontokn kívülről érintő köröket rjzolunk k körhöz, s ezek külső érintőit nézzük. Ekkor d( k ;k ) ( R + r )( R + r ). R
12 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok.. Tekintsük z egyenlőszárú háromszöget és köré írhtó kört (). Legyen k egy olyn kör, mely érinti köré írt kört (-t nem trtlmzó íven) és t. Jelölje t -ől k -hez húzott érintőszksz hosszát. Mutssuk meg, hogy t nem függ k válsztásától. Írjuk fel sey-tételét z, k,, körökre: M + M t ( ) M + M t / : ( 0) t t K M k D.. Két különöző sugrú kör elülről érinti egymást. ngyo sugrú köre szályos háromszöget írunk. háromszög súsiól érintőket húzunk kise sugrú körhöz. Mutssuk meg, hogy leghossz érintőszksz egyenlő másik kettő összegével. izonyítás: sey-tétel D-re: d(;k) d(;k) + d(;k) d(;k) d(;k) + d(;k).. dott egy k kör, nnk egy tetszőleges húrj, s rá merőleges D átmérő. Tekintsünk egy olyn k kört, mely érinti z húrt és k-t -t trtlmzó íven, vlmint egy k kört, mely D pontn érinti elülről k-t. Mutssuk meg, hogy k körök közös külső érintő szkszánk hossz független k kör válsztásától dott k kör esetén. sey-tétel,k,,k körökre: M d(;k ) + M d(;k ) d(k ;k ). szimmetri mitt: d(;k ) d(;k ) : d(; k ) ( M + M) d(k ; k ) ()*)+ d(;k ) d(k ;k ) d ( k ; k ) k M D k
13 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok.4. dott egy k kör és nnk átmérője. Tekintsük első pontn z -re merőleges húrt. Messe ez k kört z M ill. N pontokn. Htározzuk meg z ill. átmérőjű körök közös külső érintőinek hosszát!. megoldás: sey-tétel k, M, k, N körökre: d(k ;k ) MN % N M + M % N M d(k ;k ) % MN M M d(k ;k ) M M.. megoldás: szelőtétel segítségével kifejezhető körök sugrávl is közös külső érintőszksz hossz: % % % N M R r M M d(k ;k ) Rr k N M k.5. dott egy k kör, vlmint három - k-t elülről érintő - zonos sugrú kör, melyek páronként kívülről érintik egymást. Mutssuk meg, hogy k kör egy tetszőleges M pontjáól k, k, k körökhöz húzott érintőszkszok egyike másik kettő összegével egyenlő. sey-tétel k,k,k, M körökre: e d(k ;k ) + e d(k ;k ) e d(k ;k ). Felhsználv, hogy d(k ;k ) d(k ;k ) d(k ;k ) kpjuk, hogy e+ e e k M k k.6. dott z (R) átmérőjű k kör, vlmint z -t és k-t (elülről) érintő k kör. z -n lévő érintési pontot jelölje M. Htározzuk meg k kör sugrát, h Mm. Legyen k k tükörképe -re. Ekkor sey-tétel z,k,k, körökre: M % d(;k ) + M % d(;k ) r ()*)+ ()*)+ m R m m R m m(r m) r R k k' M
14 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok.7. dott z háromszög köré írhtó körével együtt. Tekintsük zt k kört, mely elülről érinti k-t, vlmint z és oldlkt, ill. pontokn. Fejezzük ki szksz hosszát háromszög oldlink segítségével. Htározzuk meg k kör sugrát is háromszög dtivl. sey-tétel z,,,k körökre: + e % ( ) + ( ) ( + + ) + + s r k β/ k Htározzuk meg k kör sugrát is háromszög dtivl: β β r tg tg s sin β t t Másrészt t β β sinβ sin os β t sin r t Így r Mivel r β β β β sin os os s os s r r Végül r os β + os β.8. dott z átmérőjű k kör. z átmérő hrmdoló pontjit jelölje M és N. Legyenek k k-t elülről érintő körök, melyek érintik -t z M illetve N pontn, s két kör közös első érintője. Htározzuk meg k körök közös külső érintő szkszánk hosszát k kör R sugránk függvényéen. sey-tétel z,k,,k körökre: M % N % + N % M % R % d(k ; k ) R R 4R 4R R 0 9 R 0 d(k ;k ) R R 9 M k k N 4
15 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok.9. dott z egyenlőszárú háromszög () köré írt körével(k) együtt. Jelölje k, k, k zokt köröket, melyek k-t elülről érintik ( hrmdik súsot nem trtlmzó íven), vlmint érintenek egy-egy oldlt felezőpontján. Mutssuk meg, hogy k, k, k körök páronként vett közös külső érintő szkszánk hossz megegyezik. Jelölje : szimmetriáól d(k ;k ) d(k ;k ) sey-tétel z k,k, k, körökre: d(k ;k ) + d(k ;k ) d(;k ) d(k ;k ) ()*)+ ()*)+ d(k ;k ) (.feldt) d(k ;k ) d(k ;k ) k k k 0. feldt: (Kürshák József Emélkverseny 004/.feldt) dott síkn z ", melynek körülírt körét kívülről érinti k kör. k kör érinti egyúttl z és félegyeneseket is, mégpedig P és Q pontokn. Mutssuk meg, hogy PQ szksz felezőpontj egyeesik z " oldlához hozzáírt körének középpontjávl. lklmzzuk sey-tételét z,, és hozzáírt körre: P P + Q P (P ) + (P ) P( + ) P + s S s s OE" SP" S P Írjuk e fent P O O kpott eredményt: s- s S () I s O O α/ Másrészt: O α α α γ β β ; O O O O" O " O O O O O ( II) (I) és (II)-ől dódik, hogy: S O S O α/ Q O R S E P O 5
MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym AMt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen
RészletesebbenII. A számtani és mértani közép közötti összefüggés
4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
RészletesebbenVégeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása
Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú
RészletesebbenA VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY
A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
RészletesebbenA vezeték legmélyebb pontjának meghatározása
A ezeték legméle pontjánk megtározás Elődó: Htiois Alen E 58. Vándorgűlés Szeged,. szeptemer 5. Vízszintes és ferde felfüggesztés - ezeték legméle pontj m / > < B Trtlom. Lángöre és prol függének A C m
Részletesebben1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2
A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:
RészletesebbenMATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM
MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent
RészletesebbenVB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése
VB-EC01 progrm rövid szkmi ismertetése A VB-EC01 progrmcsomg hrdver- és szoftverigénye: o Windows XP vgy újbb Windows operációs rendszer o Min. Gb memóri és 100 Mb üres lemezterület o Leglább 104*768-s
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek
Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7
RészletesebbenJuhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai
Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,
RészletesebbenDEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK
we-lap : www.hild.gyor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STTIK 47. RÁCSOS TRTÓK rácsos tartók két végükön csuklókkal összekötött merev testekől állnak. z így
RészletesebbenV. Koordinátageometria
oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón
RészletesebbenNevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét
Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók
RészletesebbenIX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN
4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z
RészletesebbenPÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám
8. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 03
RészletesebbenPÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám
2. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02
RészletesebbenSűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése
Sűrűségérés. Szilárd test sűrűségének érése A sűrűség,, definíciój hoogén test esetén: test töege osztv test V térfogtávl: V A sűrűség SI értékegysége kg/, hsználtos ég kg/d, kg/l és g/c Ne hoogén testnél
RészletesebbenKonfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012
Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ
RészletesebbenXX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
XX. Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny onyhá, 011. március 11 15. 11. osztály 1. felt: Igzoljuk, hogy ármely n 1 természetes szám esetén. Megolás: Az összeg tgji k k 1+ k = = 1+ + n +... < 1+ 1+ n 3 1+ k
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
2008. jnuár 31. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2008. jnuár 31. 15:00 ór M 2 fltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zsszámológépt nm hsználhtsz. A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto
RészletesebbenTERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA
9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára
6. évfolym AMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2012. jnuár 26. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden
Részletesebben(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---
A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris
RészletesebbenÓravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok
Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
RészletesebbenVI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek
Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló
RészletesebbenBevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton
011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása
Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0
RészletesebbenKészségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén
Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő
RészletesebbenORSZÁGOS KÉSZSÉG- ÉS KÉPESSÉGMÉRÉS 2008 18323 VÁLTOZAT
4. C Í M K E É V F O L Y A M ORSZÁGOS KÉSZSÉG- ÉS KÉPESSÉGMÉRÉS 2008 18323 VÁLTOZAT Csk kkor nyisd ki tesztfüzetet, mikor ezt kérik! H vlmit nem tudsz megoldni, nem j, folytsd következő feldttl! Okttási
RészletesebbenHatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória
1. ktegóri 1.1.1. Adtok: ) Cseh László átlgsebessége b) Chd le Clos átlgsebessége Ezzel z átlgsebességgel Cseh László ideje ( ) ltt megtett távolság Így -re volt céltól. Jn Switkowski átlgsebessége Ezzel
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA I.
GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti
RészletesebbenII. Fejezet Értelmező rendelkezések
SZEGHALOM VÁROS ÖNORMÁNYZATA ÉPVISELŐ-TESTÜLETÉNE 7/202. (VI. 26.) önkormányzti renelete közterületek elnevezéséről, házszámozásról és ezek megjelölésének mójáról Szeghlom Város épviselő-testülete z Alptörvény
RészletesebbenMátrixok és determinánsok
Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.
RészletesebbenF.I.1. Vektorok és vektorműveletek
FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg
Részletesebbena b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a
44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy
RészletesebbenHeves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)
Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei
RészletesebbenBEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA
Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló
RészletesebbenIV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok
Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.
Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.
RészletesebbenGeometriai alapfogalmak
Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.
Részletesebben26. HÁLÓZATI TÁPEGYSÉGEK. Célkitűzés: A hálózati egyenirányító és stabilizáló alapkapcsolások és jellemzőinek megismerése, illetőleg mérése.
26. HÁLÓZATI TÁPEGYSÉGEK Célkiűzés: A hálózi egyenirányíó és silizáló lpkpcsolások és jellemzőinek megismerése, illeőleg mérése. I. Elmélei áekinés Az elekronikus készülékek működeéséhez legöször egyenfeszülségre
RészletesebbenGyakorló feladatsor 11. osztály
Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy
Részletesebben4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!
Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük
RészletesebbenGyőry Ákos: A Titu-lemma. A Titu-lemma. Győry Ákos Földes Ferenc Gimnázium, Miskolc
A Titu-lemm Győry Ákos Földes Feren Gimnázium, Miskol Az lái feldtsort jórészt z 5. Rátz László Vándorgyűlésen elhngzott nygól állítottm össze, néhány feldttl kiegészítettem, néhol pedig új izonyításokkl
RészletesebbenFeladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,
RészletesebbenFAIPARI ALAPISMERETEK
Faipari alapismeretek középszint 1221 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. október 13. FAIPARI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos
RészletesebbenMatematikai feladatlap Test z matematiky
Keresztnév: Vezetéknév: Mtemtiki feldtlp Test z mtemtiky eloslovenské testovnie žikov 9. roèník ZŠ T9-01 Kedves tnulók, mtemtiki feldtlpot kptátok kézhez. teszt 0 feldtot trtlmz. Minden helyes válszt 1
RészletesebbenElemi matematika szakkör
lemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 26. 1.1. eladat. z konvex négyszögben {} = és { } = (lásd a mellékelt ábrát). izonyítsd be, hogy a következő három kijelentés egyenértékű: 1. z négyszögbe
RészletesebbenBudapesti Műszaki Főiskola Kandó Kálmán Villamosmérnöki Főiskolai Kar Automatika Intézet. Félévi követelmények és útmutató VILLAMOS GÉPEK.
Budpeti Műzki Főikol Kndó Kálmán Villmomérnöki Főikoli Kr Automtik ntézet Félévi követelmények é útmuttó VLLAMOS GÉPEK tárgyból Villmomérnök zk, Villmoenergetik zkirány, Távokttái tgozt 5. félév Özeállított:
RészletesebbenJegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)
Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit
RészletesebbenA torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész
A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról. rész Bevezetés Az idő múlik, kívánlmk és lehetőségek változnk. Tegnp még logrléccel számoltunk, m már elektronikus számoló - és számítógéppel. Sok teendőnk
Részletesebben1. példa. 2. példa. értelemszerően. F 2.32. ábra
. péld Htározzu meg z.. árán láthtó tégllp lú eresztmetszet és y tengelyre számított másodrendő nyomtéit! d dy (.) épler szerint y dy y d y 0 0 értelemszerően y. péld Steiner-tétel (.. éplet) llmzásávl
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.
Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,
RészletesebbenVB NÉGYZÖG KEREZTETZET TERVEZÉE HAJLÍTÁRA Vseton keresztmetszet tervezése történet: kötött tervezéssel: keresztmetszet nygi és méretei ottk, megtervezenő mértékó nyomtékoz szükséges célmennyiség, sz tervezéssel:
Részletesebben- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez
1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak
RészletesebbenKIDOLGOZÁSA - INFORMATIKAI MATEMATIKA SZAK -
ANALITIKUS MÉRTANBÓL KITŰZÖTT ÁLLAMVIZSGA TÉTELEK KIDOLGOZÁSA - INFORMATIKAI MATEMATIKA SZAK - Trtlomjegyzék 1. Anlitikus mértn síkbn 1.1. Síkbeli egyenesek egyenletei Descrtes-féle koordinát rendszerhez
Részletesebben( ) Schultz János EGYENLŐTLENSÉGEK A HÁROMSZÖG GEOMETRIÁJÁBAN
Shultz János EGYENLŐLENSÉGEK A HÁOMSZÖG GEOMEIÁJÁBAN Igzoljuk hogy egy szályos háromszög első pontját súsokkl összekötő három szkszól mindig szerkeszthető háromszög Egy tégllp elsejéen vegyünk fel egy
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2016. jnuár 16. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden
RészletesebbenVI.8. PITI FELFEDEZÉSEK. A feladatsor jellemzői
VI.8. PITI FELFEDEZÉSEK Tárgy, tém A feldtsor jellemzői Szksz hosszúságánk meghtározás, Pitgorsz tétele. Előzmények Cél Háromszög, tégllp, négyzet kerülete és területe, négyzetgyök foglm. Szksz hosszánk
Részletesebben5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai
A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton
RészletesebbenElső sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =
2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög
RészletesebbenFejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek
Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges
RészletesebbenHatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek
Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x
RészletesebbenDifferenciálgeometria feladatok
Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R
RészletesebbenLineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)
Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............
RészletesebbenVektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.
Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,
RészletesebbenVIESMANN. VITODENS Égéstermék elvezetések kondenzációs falikazánokhoz 3,8 105,0 kw. Tervezési segédlet. Vitodens égéstermék-elvezető rendszerek
VIESMANN VITODENS Égéstermék elvezetések kondenzáiós flikzánokhoz 3,8 105,0 kw Tervezési segédlet Vitodens égéstermék-elvezető rendszerek 5/011 Trtlomjegyzék Trtlomjegyzék 1. Égéstermék-elvezető rendszerek
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek
RészletesebbenKözépiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L
RészletesebbenA VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI, ÉS GYAKORLATI ALKALMAZÁSA I. BEVEZETÉS, MOTIVÁCIÓ, PROBLÉMAFELVETÉS
Szolnoki Tuományos Közlemények XV. Szolnok, 011. Prof. Dr. Szolcsi Róert 1 A VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI, ÉS GYAKORLATI ALKALMAZÁSA I. BEVEZETÉS, MOTIVÁCIÓ, PROBLÉMAFELVETÉS A szerző célj emuttni
Részletesebben1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b
XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés
RészletesebbenHATÁROZAT. zajkibocsátási határértékeket állapítok meg
Alsó-Tisz-vidéki Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyel ség Ikttószám: 80664-1-2/2011. Tárgy: Zjkibocsátási htárérték megállpítás kérelemre Ügyintéz : Csomor László Hiv. szám: Zjkibocsátási
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára
6. évfolym Mt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2015. jnuár 22. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen
RészletesebbenKezelési útmutató ECO és ECO Plus
Kezelési útmuttó ECO és ECO Plus Kidás: 2012.12.15. Eredeti kezelési útmuttó Gép Clssic Plus Gép szám Clssic Plus Gép típus Clssic Plus Verzió Berendezés jellege Álltfj Ügyfél neve & Co. KG Ügyfél címe
RészletesebbenOKOSTELE. 0 Ft. szükséges. KÉPE. 0 Ft. 80 cm. 0 Ft. kezdőrész
7 : 7 Ú f f f 7 ) ( : 7 f f ö ö f fö f f f ( : 7 7 ) f - 8 - - - 8 ) ( í f - - f -f f f ) ( : f - - f f f f í f f f ö f ö f - ú ö f - - f f: f ö ) f ( f ö f í - - f : ö ö - f f ú f ) 7 ( : ) 7 ( : Í Í
Részletesebbenű ú ü ü ü ü ü ü Á ü ú ü Á Á Á É Ö Ö Ö Á É É ü Á ú ű ú Í Á Í Á ű ü ű ü Ö ű ű É ú ű ú Á Á ű ü ú ű ú ü ú ú Ó ü ű ü ü Í ü Í Í Í Ó ú ú ú ú ú ú ü ú Í Ó ű ú ű Á Á ü ü ú É Í Ü ű ü ü Á ü ú Í É ú Ó Ö ú Ó Ó Ó Í ú
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára
6. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2011. jnuár 21. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden
RészletesebbenSzéchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 3 4.GYAKORLAT
3 4.GYAKORLAT III. feszültségi állpot képlékeny feszültségi állpot A vsetonszerkezeteket teerírási tárállpotn III. feszültségi állpot feltételezésével méretezzük. A vsetonszerkezetek keresztmetszeti méretezési
Részletesebben11. évfolyam feladatsorának megoldásai
évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor
RészletesebbenMátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv
Mátrx-vektor feldtok Összeállított dr. Slánk József egyetem djunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálnt Gusztáv 1. feldt Adottk z n elemű, b vektorok. Képezn kell c vektort, hol c = b / Σ( ), ( = 0,1,,
RészletesebbenPRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ
PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok
RészletesebbenFIGYELEM! Ez a kérdőív az adatszolgáltatás teljesítésére nem alkalmas, csak tájékoztatóul szolgál!
FIGYELEM! Ez kérdőív z dtszolgálttás teljesítésére nem lklms, csk tájékozttóul szolgál! KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Az dtszolgálttás sttisztikáról szóló 1993. évi XLVI. törvény (Stt.) 8. (2) ekezdése
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti
Részletesebben1012/I. 1012/II. 1013.
Húrnégyszögek, érintônégyszögek 7 0/ 0/ 0 008 Külsô pontól körhöz húzott érintôszkszok egyenlôk & A sokszög egy-egy csúcsáól induló érintôszkszok egyenlôk és két szomszédos oldl drji & Minden egyes érintôszkszól
RészletesebbenA vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai
A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi
RészletesebbenARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK
ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):
RészletesebbenDarupályatartók. Dr. Németh György főiskolai docens. A daruteher. Keréknyomás (K) Fékezőerő (F)
Dr. émeth Görg főiskoli docens Drupáltrtók s f c 6vg e f sz c/ >,5 e s ~,.. A druteher Q 4 4 eréknomás () Fékezőerő (F) F Oldlerő () Biztonsági ténező dru fjtájától (híddru/függődru) és névleges teherírástól
RészletesebbenVersenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.
Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy
Részletesebben2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika
2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A
Részletesebben5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?
5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,
RészletesebbenElsőfokú egyenletek...
1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1
RészletesebbenKomplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!
Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!
Részletesebben10. évfolyam, negyedik epochafüzet
10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...
RészletesebbenFAIPARI ALAPISMERETEK
Faipari alapismeretek középszint 1311 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 20. FAIPARI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók
Részletesebben