Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok"

Átírás

1 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor és skis kkor teljesülhet, h négyszög húrnégyszög. Ptolemios Kludios (Kr.u 00-69) Fő műve: lmgeszt Geoentrikus világnézet kitrt Kopernikuszig. Ngyon pontosn kiszámolt szályos 70 oldlú sokszög egy oldlánk hosszát. 7 π,46! 0 Dr. Lévárdi László Sin Márton : Mtemtik történeti feldtok Tihnyi Miklós: Ptolemios tétele húrötszögen / KöML 94. már. 5 / Mihlovis Sándor: Ptolemios tételéhez kpsolódó megjegyzések Sklrszkij-senov-Jglom: Válogtott feldtok és tételek / Reimn István: Nemzetközi Mtemtiki Diákolimpiák Eri Weisstein Mtemtiki eniklopédiáján z ide vontkozó tételek: Feldtok P.0. izonyítsuk e Ptolemios-tételt. P.. izonyítsuk e, hogy h M z szályos háromszög köré írt körének (rövideik) íven lévő pontj, kkor MM+M. P.. Mutssuk meg, hogy h P pont z D négyzet köré írhtó kör rövideik D ívén fekszik, kkor P(P+P)P(P+PD). P.. dott z D prlelogrmm és egy z ponton átmenő olyn kör, mely z oldlt P-en, z átlót Q-n, z D oldlt pedig R pontn metszi. Mutssuk meg, hogy ekkor P + R D Q. P.4. z egyenlőszárú háromszögen. háromszög köré írt körének -t nem trtlmzó ívén vegyük fel P pontot. izonyítsuk e, hogy h D -ől Pre osátott merőleges tlppontj, kkor P+PPD. P.5. Jelölje O z háromszöge írt kör középpontját. z háromszög köré írt kört z, ill. súsól induló szögfelező rendre z F,F, F pontn metszi. O O O izonyítndó, hogy + + OF OF OF P.6. Jelölje R ill. r háromszög köré, ill. háromszöge írt kör sugrát, d,d,d pedig körülírt kör középpontjánk háromszög oldlitól vett távolságit. Mutssuk meg, hogy h háromszög hegyesszögű, kkor d + d + d R+ r. Hogyn módosul z összefüggés, h háromszög nem hegyesszögű?

2 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok P.7. izonyítsuk e, hogy minden hegyesszögű háromszögen M+M+M(R+r), hol M háromszög mgsságpontj, r eírt, R pedig körülírt kör sugr. P.8. z háromszög súsól induló szögfelezője háromszög köré írhtó kört -en metszi. izonyítsuk e, hogy h háromszög oldl felezi z szkszt, kkor +. P.9. Egy szályos kilenszög átlói növekvő sorrenden e,e,e. izonyítsuk e, e e hogy ekkor + + e e e e P.0. z DE szályos ötszög köré írhtó kör rövideik E ívének egy pontj legyen P. izonyítsuk e, hogy ekkor P+P+PEP+PD. P.. Legyen,,..., n egy pártln oldlszámú szályos sokszög, M pedig sokszög köré írhtó kör n ívének egy pontj. izonyítsuk e, hogy z M pontot pártln sorszámú súsokkl összekötő szkszok együttes hossz egyenlő páros sorszámú súsokkl összekötő szkszok együttes hosszávl. P.. Megdhtó-e síkon 004 pont úgy, hogy ármely három ne legyen egy egyenesen, és ármely kettő távolság rionális szám legyen.

3 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok sey-tétel / John sey (80-89) ír mtemtikus/: H k, k, k, k D körök elülről érintik k kört olyn,,,d pontokn, melyek egy konvex négyszöget htároznk meg, kkor két-két kör közös külső érintőszkszi között fennáll z lái összefüggés ( d( k i,k j) jelölje k i j körök közös külső érintő szkszánk hosszát): d k,k d k,k + d k,k d k,k d k,k d k,k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D D Megengedjük null sugrú köröket is. H mindegyik kör nullkör, kkor húrnégyszögekre ismert Ptolemios tételt kpjuk. Feldtok.0. izonyítsuk e sey-tételt... Tekintsük z egyenlőszárú háromszöget és köré írhtó kört (). Legyen k egy olyn kör, mely érinti köré írt kört (-t nem trtlmzó íven) és t. Jelölje t -ől k -hez húzott érintőszksz hosszát. Mutssuk meg, hogy t nem függ k válsztásától... Két különöző sugrú kör elülről érinti egymást. ngyo sugrú köre szályos háromszöget írunk. háromszög súsiól érintőket húzunk kise sugrú körhöz. Mutssuk meg, hogy leghossz érintőszksz egyenlő másik kettő összegével... dott egy k kör, nnk egy tetszőleges húrj, s rá merőleges D átmérő. Tekintsünk egy olyn k kört, mely érinti z húrt és k-t -t trtlmzó íven, vlmint egy k kört, mely D pontn érinti elülről k-t. Mutssuk meg, hogy k körök közös külső érintő szkszánk hossz független k kör válsztásától dott k kör esetén..4. dott egy k kör és nnk átmérője. Tekintsük első pontn z -re merőleges húrt. Messe ez k kört z M ill. N pontokn. Htározzuk meg z ill. átmérőjű körök közös külső érintőinek hosszát!.5. dott egy k kör, vlmint három - k-t elülről érintő - zonos sugrú kör, melyek páronként kívülről érintik egymást. Mutssuk meg, hogy k kör egy tetszőleges M pontjáól k, k, k körökhöz húzott érintőszkszok egyike másik kettő összegével egyenlő..6. dott z (R) átmérőjű k kör, vlmint z -t és k-t (elülről) érintő k kör. z -n lévő érintési pontot jelölje M. Htározzuk meg k kör sugrát, h Mm..7. dott z háromszög köré írhtó körével együtt. Tekintsük zt k kört, mely elülről érinti k-t, vlmint z és oldlkt, ill. pontokn. Fejezzük ki szksz hosszát háromszög oldlink segítségével. Htározzuk meg k kör sugrát is háromszög dtivl.

4 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok.8. dott z átmérőjű k kör. z átmérő hrmdoló pontjit jelölje M és N. Legyenek k k-t elülről érintő körök, melyek érintik -t z M illetve N pontn, s két kör közös első érintője. Htározzuk meg k körök közös külső érintő szkszánk hosszát k kör R sugránk függvényéen..9. dott z egyenlőszárú háromszög () köré írt körével(k) együtt. Jelölje k, k, k zokt köröket, melyek k-t elülről érintik ( hrmdik súsot nem trtlmzó íven), vlmint érintenek egy-egy oldlt felezőpontján. Mutssuk meg, hogy k, k, k körök páronként vett közös külső érintő szkszánk hossz megegyezik..0. dott síkn z ", melynek körülírt körét kívülről érinti k kör. k kör érinti egyúttl z és félegyeneseket is, mégpedig P és Q pontokn. Mutssuk meg, hogy PQ szksz felezőpontj egyeesik z " oldlához hozzáírt körének középpontjávl. / Kürshák József Emlékverseny 004/.feldt / 4

5 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok D P. megoldások P.0. Ptolemios-tétel H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor és skis kkor teljesülhet, h négyszög húrnégyszög. izonyítás: lklmzzuk D" -re zt körüli forgtv nyújtást, mely átviszi "-e (rány :). Ekkor e. Vegyük észre, e D δ e hogy ekkor z " D", hiszen $ D$ és f d β δ e ;, így hsonlóság rány: k, így D e e f. z háromszögre háromszög-egyenlőtlenség: d f +, melyől dódik z + d e f egyenlőtlenség. Egyenlőség kkor és sk kkor áll fenn, h β +δ 80, zz négyszög húrnégyszög. P.. izonyítsuk e, hogy h M z szályos háromszög köré írt körének (rövideik) íven lévő pontj, kkor MM+M. izonyítás: Írjuk fel Ptolemios-tételt z M-re: M + M M / : M + M M P P.. Mutssuk meg, hogy h P pont z D négyzet köré írhtó kör rövideik D ívén fekszik, kkor P(P+P)P(P+PD). izonyítás: Ptolemios-tétel PD-re: PD + P P / : Ptolemios-tétel P-re: P P + P / : Szorozzuk össze két egyenletet: P(P+PD)P(P+P) P.. z egyenlőszárú háromszögen. háromszög köré írt körének -t nem trtlmzó ívén vegyük fel P pontot. izonyítsuk e, hogy h D -ől Pre osátott merőleges tlppontj, kkor P+PPD. M d ' izonyítás: Ptolemios-tétel z PQR-re: Q PR P RQ + R PQ PQ QR PQ QR Másrészt: PQR" ". PQ PR PQ PR Írjuk e ezeket fenti egyenlősége: R D Q P 5

6 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Q PQ P PQ + R PQ / PQ Q P + R. Felhsználv, hogy D: P + R D Q P.4. z egyenlőszárú háromszögen. háromszög köré írt körének -t nem trtlmzó ívén vegyük fel P pontot. izonyítsuk e, hogy h D -ől P-re osátott merőleges tlppontj, kkor P+PPD. izonyítás: Ptolemios-tétel P-re: P + P P PD PD Másrészt: PD" F", ezt ehelyettesítve: P P P+PPD. P F D P.5. Jelölje O z háromszöge írt kör középpontját. z háromszög köré írt kört z, ill. súsól induló szögfelező rendre z F,F, F pontn metszi. izonyítndó, hogy O O O + + OF OF OF.izonyítás: s EO" FF ". Másrészt nem triviális, de F F O F O + + OF F F (*), így átlkítv:. nlóg O OF módon: s- E O + OF O + OF Így z állítás ekvivlens következővel:? ? % % %.izonyítás: Ptolemios-tétel: ( ) O + + OF Így z állítás: O + OF OF ( + ) (felhsználtuk (*) ot) 6

7 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok + + +? + +? ? % % % P.6. Jelölje R ill. r háromszög köré, ill. háromszöge írt kör sugrát, d,d,d pedig körülírt kör középpontjánk háromszög oldlitól vett távolságit. Mutssuk meg, hogy h háromszög hegyesszögű, kkor d + d + d R+ r. Hogyn módosul z összefüggés, h háromszög nem hegyesszögű? izonyítás: Ptolemios-tétel FF K -r: K FF F d + F d. Tudv, hogy K R; FF ; F ; F z előző egyenlet: R d + d / R d + d. nlóg: R d + d R d + d. Írjuk fel T t kétféleképp : d + d + d r( + + ) Σ : d + d + d + + R+ r + + /: + + ( )( ) ( )( ) ( ) d + d + d R+ r d K d d Megjegyzés: Könnyen eláthtó (osinus tételek és háromszögterület összefüggésekkel): r os α+ osβ + os γ + / R R R os α+ R osβ + R os γ R + r Rosα : előjeles távolság. d + d + d R+ r d előjele ttól függ, hogy húr elválsztj súsot és köré írt kör középpontját, vgy nem. i Ennek lklmzásár egy szép feldt: Legyen n ontnk. Igzoljuk, hogy háromszögeke eírt körök sugrink összege nem függ felontástól.,,..., tetszőleges húrsokszög, melyet egymást nem metsző átlói (n-) d háromszögre P.7. izonyítsuk e, hogy minden hegyesszögű háromszögen M+M+M(R+r), hol M háromszög mgsságpontj, r eírt, R pedig körülírt kör sugr. 7

8 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok.izonyítás: Ugynúgy, mint z előző feldtn..izonyítás: z előző feldt eredményére lklmzzunk egy S középpontú (-)-szeres középpontos hsonlóságot. P.8. z háromszög súsól induló szögfelezője háromszög köré írhtó kört -en metszi. izonyítsuk e, hogy h háromszög oldl felezi z szkszt, kkor P + P + PE P + PD. izonyítás: Ptolemios-tétel -re: y + y x y( + ) x y( + ) y x + L" L" + x y + y + x L y x + y P.9. Egy szályos kilenszög átlói növekvő sorrenden e,e,e. izonyítsuk e, e e hogy ekkor + + e e e e izonyítás: e? e + + / e e e e e e e? + + e(e e) e(e e) Írjunk fel két Ptolemios-tételt: 4 5:e+ e ee Vegyük hánydosukt: :e+ e ee e+ e e e + e e e(e+ e) e(e + e) 4 e e 5 9 e e e P.0. z DE szályos ötszög köré írhtó kör rövideik E ívének egy pontj legyen P. izonyítsuk e, hogy ekkor P+P+PEP+PD. izonyítás: Írjunk fel Ptolemios-tételeket: P P : P + P P PD : P D P PD + PDE : P + PE PD E PDE : D PE P + PD E D PE : P E + PE P E E 8

9 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok : E D E D: P+ P P D P + PD P+ PE PD PE P + PD E P + PE P E Σ :( + )(P + P+ PE) ( + )(P + PD) P + P + PE P + PD P.. Legyen,,..., n egy pártln oldlszámú szályos sokszög, M pedig sokszög köré írhtó kör n ívének egy pontj. izonyítsuk e, hogy z M pontot pártln sorszámú súsokkl összekötő szkszok együttes hossz egyenlő páros sorszámú súsokkl összekötő szkszok együttes hosszávl. izonyítás: Legyen M d,m d,..., Mn dn. z oldlk hosszát jelölje, legrövide átló hosszát pedig jelölje. lklmzzuk Ptolemios tételét z M, M 4,...,Mn n,mnhúrnégyszögekre (joról írjuk páros számml jelölt szkszokt, lról pártlnnl jelölteket): (d+ d ) d d (d d 4) M + n (d + d 5) d 4... dn + d d n 4 d+ dn d Σ : ( + )(d+ d d n) ( + )(d + d d n ) d + d d d + d d n 4 n n- i i j P.. Megdhtó-e síkon 004 pont úgy, hogy ármely három ne legyen egy egyenesen, és ármely kettő távolság rionális szám legyen. i j j izonyítás: Vegyük reltív prím Pitgorszi számhármsokt(ezekől végtelen sok vn) és osszuk el -vel. Ekkor ;, '. Minden ilyen számhárms meghtároz egy i derékszögű háromszöget z átmérőjű kören. Ekkor ármely i j távolság is rionális szám, hiszen Ptolemios-tétel szerint j i i j+ i j. Mivel, j i i j ' i j ' 9

10 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok.megjegyzés: síkon mindig megdhtó n számú pont úgy, hogy közülük egyik három se legyen egy egyenesen, de közülük ármely kettő távolság egész szám legyen..megjegyzés: síkn nem dhtó meg végtelen sok pont úgy, hogy ne legyenek egy egyenesen, de ármely kettő távolság egész legyen. 0

11 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok. megoldások.0. sey-tétel: H k,k,k,k D körök elülről érintik k kört olyn,,,d pontokn, melyek egy konvex négyszöget htároznk meg, kkor két-két kör közös külső érintőszkszi között fennáll z lái összefüggés ( d( k i,k j) jelölje k i j körök közös külső érintő szkszánk hosszát) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) d k,k d k,k d k,k d k,k d k,k d k,k D D D r O R-r d( k ; k ) γ O R-r r-r O izonyítás: ( ) ( ) ( )( ) OO R r + R r R r R r osγ R R + R RRosγ osγ R ( ) ( ) + ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) R d k ;k R r R r R r R r r r... R r R r d k ;k R r R r R ( ) ( )( ) Hsonlón töi párr is felírhtjuk ezt z összefüggést: ( ) ( )( ) d k ;k R r R r R d( k ;k ) ( R r )( R r ) R D d( k ;k ) ( R r)( R r ) D R D d( k ;k ) ( R r)( R r ) D R d( k ;k ) ( R r )( R r ) R D ( ) ( )( ) D d k ;k R r R r R R D d k ;k d k ;k R r R r R r R r D 4 R D d k ;k d k ;k R r R r R D 4 R D d k ;k d k ;k R r R r R r R r D 4 R ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( r )( R r ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) d k,k d k,k d k,k d k,k d k,k d k,k D D D R Kiegészítés tétel érvényen mrd kkor is, h z,,,d pontokn kívülről érintő köröket rjzolunk k körhöz, s ezek külső érintőit nézzük. Ekkor d( k ;k ) ( R + r )( R + r ). R

12 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok.. Tekintsük z egyenlőszárú háromszöget és köré írhtó kört (). Legyen k egy olyn kör, mely érinti köré írt kört (-t nem trtlmzó íven) és t. Jelölje t -ől k -hez húzott érintőszksz hosszát. Mutssuk meg, hogy t nem függ k válsztásától. Írjuk fel sey-tételét z, k,, körökre: M + M t ( ) M + M t / : ( 0) t t K M k D.. Két különöző sugrú kör elülről érinti egymást. ngyo sugrú köre szályos háromszöget írunk. háromszög súsiól érintőket húzunk kise sugrú körhöz. Mutssuk meg, hogy leghossz érintőszksz egyenlő másik kettő összegével. izonyítás: sey-tétel D-re: d(;k) d(;k) + d(;k) d(;k) d(;k) + d(;k).. dott egy k kör, nnk egy tetszőleges húrj, s rá merőleges D átmérő. Tekintsünk egy olyn k kört, mely érinti z húrt és k-t -t trtlmzó íven, vlmint egy k kört, mely D pontn érinti elülről k-t. Mutssuk meg, hogy k körök közös külső érintő szkszánk hossz független k kör válsztásától dott k kör esetén. sey-tétel,k,,k körökre: M d(;k ) + M d(;k ) d(k ;k ). szimmetri mitt: d(;k ) d(;k ) : d(; k ) ( M + M) d(k ; k ) ()*)+ d(;k ) d(k ;k ) d ( k ; k ) k M D k

13 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok.4. dott egy k kör és nnk átmérője. Tekintsük első pontn z -re merőleges húrt. Messe ez k kört z M ill. N pontokn. Htározzuk meg z ill. átmérőjű körök közös külső érintőinek hosszát!. megoldás: sey-tétel k, M, k, N körökre: d(k ;k ) MN % N M + M % N M d(k ;k ) % MN M M d(k ;k ) M M.. megoldás: szelőtétel segítségével kifejezhető körök sugrávl is közös külső érintőszksz hossz: % % % N M R r M M d(k ;k ) Rr k N M k.5. dott egy k kör, vlmint három - k-t elülről érintő - zonos sugrú kör, melyek páronként kívülről érintik egymást. Mutssuk meg, hogy k kör egy tetszőleges M pontjáól k, k, k körökhöz húzott érintőszkszok egyike másik kettő összegével egyenlő. sey-tétel k,k,k, M körökre: e d(k ;k ) + e d(k ;k ) e d(k ;k ). Felhsználv, hogy d(k ;k ) d(k ;k ) d(k ;k ) kpjuk, hogy e+ e e k M k k.6. dott z (R) átmérőjű k kör, vlmint z -t és k-t (elülről) érintő k kör. z -n lévő érintési pontot jelölje M. Htározzuk meg k kör sugrát, h Mm. Legyen k k tükörképe -re. Ekkor sey-tétel z,k,k, körökre: M % d(;k ) + M % d(;k ) r ()*)+ ()*)+ m R m m R m m(r m) r R k k' M

14 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok.7. dott z háromszög köré írhtó körével együtt. Tekintsük zt k kört, mely elülről érinti k-t, vlmint z és oldlkt, ill. pontokn. Fejezzük ki szksz hosszát háromszög oldlink segítségével. Htározzuk meg k kör sugrát is háromszög dtivl. sey-tétel z,,,k körökre: + e % ( ) + ( ) ( + + ) + + s r k β/ k Htározzuk meg k kör sugrát is háromszög dtivl: β β r tg tg s sin β t t Másrészt t β β sinβ sin os β t sin r t Így r Mivel r β β β β sin os os s os s r r Végül r os β + os β.8. dott z átmérőjű k kör. z átmérő hrmdoló pontjit jelölje M és N. Legyenek k k-t elülről érintő körök, melyek érintik -t z M illetve N pontn, s két kör közös első érintője. Htározzuk meg k körök közös külső érintő szkszánk hosszát k kör R sugránk függvényéen. sey-tétel z,k,,k körökre: M % N % + N % M % R % d(k ; k ) R R 4R 4R R 0 9 R 0 d(k ;k ) R R 9 M k k N 4

15 Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok.9. dott z egyenlőszárú háromszög () köré írt körével(k) együtt. Jelölje k, k, k zokt köröket, melyek k-t elülről érintik ( hrmdik súsot nem trtlmzó íven), vlmint érintenek egy-egy oldlt felezőpontján. Mutssuk meg, hogy k, k, k körök páronként vett közös külső érintő szkszánk hossz megegyezik. Jelölje : szimmetriáól d(k ;k ) d(k ;k ) sey-tétel z k,k, k, körökre: d(k ;k ) + d(k ;k ) d(;k ) d(k ;k ) ()*)+ ()*)+ d(k ;k ) (.feldt) d(k ;k ) d(k ;k ) k k k 0. feldt: (Kürshák József Emélkverseny 004/.feldt) dott síkn z ", melynek körülírt körét kívülről érinti k kör. k kör érinti egyúttl z és félegyeneseket is, mégpedig P és Q pontokn. Mutssuk meg, hogy PQ szksz felezőpontj egyeesik z " oldlához hozzáírt körének középpontjávl. lklmzzuk sey-tételét z,, és hozzáírt körre: P P + Q P (P ) + (P ) P( + ) P + s S s s OE" SP" S P Írjuk e fent P O O kpott eredményt: s- s S () I s O O α/ Másrészt: O α α α γ β β ; O O O O" O " O O O O O ( II) (I) és (II)-ől dódik, hogy: S O S O α/ Q O R S E P O 5

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

A vezeték legmélyebb pontjának meghatározása

A vezeték legmélyebb pontjának meghatározása A ezeték legméle pontjánk megtározás Elődó: Htiois Alen E 58. Vándorgűlés Szeged,. szeptemer 5. Vízszintes és ferde felfüggesztés - ezeték legméle pontj m / > < B Trtlom. Lángöre és prol függének A C m

Részletesebben

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése VB-EC01 progrm rövid szkmi ismertetése A VB-EC01 progrmcsomg hrdver- és szoftverigénye: o Windows XP vgy újbb Windows operációs rendszer o Min. Gb memóri és 100 Mb üres lemezterület o Leglább 104*768-s

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK we-lap : www.hild.gyor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STTIK 47. RÁCSOS TRTÓK rácsos tartók két végükön csuklókkal összekötött merev testekől állnak. z így

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 8. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 03

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 2. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02

Részletesebben

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny onyhá, 011. március 11 15. 11. osztály 1. felt: Igzoljuk, hogy ármely n 1 természetes szám esetén. Megolás: Az összeg tgji k k 1+ k = = 1+ + n +... < 1+ 1+ n 3 1+ k

Részletesebben

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése Sűrűségérés. Szilárd test sűrűségének érése A sűrűség,, definíciój hoogén test esetén: test töege osztv test V térfogtávl: V A sűrűség SI értékegysége kg/, hsználtos ég kg/d, kg/l és g/c Ne hoogén testnél

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2008. jnuár 31. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2008. jnuár 31. 15:00 ór M 2 fltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zsszámológépt nm hsználhtsz. A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2012. jnuár 26. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton 011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória 1. ktegóri 1.1.1. Adtok: ) Cseh László átlgsebessége b) Chd le Clos átlgsebessége Ezzel z átlgsebességgel Cseh László ideje ( ) ltt megtett távolság Így -re volt céltól. Jn Switkowski átlgsebessége Ezzel

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

ORSZÁGOS KÉSZSÉG- ÉS KÉPESSÉGMÉRÉS 2008 18323 VÁLTOZAT

ORSZÁGOS KÉSZSÉG- ÉS KÉPESSÉGMÉRÉS 2008 18323 VÁLTOZAT 4. C Í M K E É V F O L Y A M ORSZÁGOS KÉSZSÉG- ÉS KÉPESSÉGMÉRÉS 2008 18323 VÁLTOZAT Csk kkor nyisd ki tesztfüzetet, mikor ezt kérik! H vlmit nem tudsz megoldni, nem j, folytsd következő feldttl! Okttási

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA

BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló

Részletesebben

II. Fejezet Értelmező rendelkezések

II. Fejezet Értelmező rendelkezések SZEGHALOM VÁROS ÖNORMÁNYZATA ÉPVISELŐ-TESTÜLETÉNE 7/202. (VI. 26.) önkormányzti renelete közterületek elnevezéséről, házszámozásról és ezek megjelölésének mójáról Szeghlom Város épviselő-testülete z Alptörvény

Részletesebben

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I. Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.

Részletesebben

Geometriai alapfogalmak

Geometriai alapfogalmak Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

26. HÁLÓZATI TÁPEGYSÉGEK. Célkitűzés: A hálózati egyenirányító és stabilizáló alapkapcsolások és jellemzőinek megismerése, illetőleg mérése.

26. HÁLÓZATI TÁPEGYSÉGEK. Célkitűzés: A hálózati egyenirányító és stabilizáló alapkapcsolások és jellemzőinek megismerése, illetőleg mérése. 26. HÁLÓZATI TÁPEGYSÉGEK Célkiűzés: A hálózi egyenirányíó és silizáló lpkpcsolások és jellemzőinek megismerése, illeőleg mérése. I. Elmélei áekinés Az elekronikus készülékek működeéséhez legöször egyenfeszülségre

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

Győry Ákos: A Titu-lemma. A Titu-lemma. Győry Ákos Földes Ferenc Gimnázium, Miskolc

Győry Ákos: A Titu-lemma. A Titu-lemma. Győry Ákos Földes Ferenc Gimnázium, Miskolc A Titu-lemm Győry Ákos Földes Feren Gimnázium, Miskol Az lái feldtsort jórészt z 5. Rátz László Vándorgyűlésen elhngzott nygól állítottm össze, néhány feldttl kiegészítettem, néhol pedig új izonyításokkl

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör lemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 26. 1.1. eladat. z konvex négyszögben {} = és { } = (lásd a mellékelt ábrát). izonyítsd be, hogy a következő három kijelentés egyenértékű: 1. z négyszögbe

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

FAIPARI ALAPISMERETEK

FAIPARI ALAPISMERETEK Faipari alapismeretek középszint 1221 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. október 13. FAIPARI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos

Részletesebben

Budapesti Műszaki Főiskola Kandó Kálmán Villamosmérnöki Főiskolai Kar Automatika Intézet. Félévi követelmények és útmutató VILLAMOS GÉPEK.

Budapesti Műszaki Főiskola Kandó Kálmán Villamosmérnöki Főiskolai Kar Automatika Intézet. Félévi követelmények és útmutató VILLAMOS GÉPEK. Budpeti Műzki Főikol Kndó Kálmán Villmomérnöki Főikoli Kr Automtik ntézet Félévi követelmények é útmuttó VLLAMOS GÉPEK tárgyból Villmomérnök zk, Villmoenergetik zkirány, Távokttái tgozt 5. félév Özeállított:

Részletesebben

Matematikai feladatlap Test z matematiky

Matematikai feladatlap Test z matematiky Keresztnév: Vezetéknév: Mtemtiki feldtlp Test z mtemtiky eloslovenské testovnie žikov 9. roèník ZŠ T9-01 Kedves tnulók, mtemtiki feldtlpot kptátok kézhez. teszt 0 feldtot trtlmz. Minden helyes válszt 1

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

1. példa. 2. példa. értelemszerően. F 2.32. ábra

1. példa. 2. példa. értelemszerően. F 2.32. ábra . péld Htározzu meg z.. árán láthtó tégllp lú eresztmetszet és y tengelyre számított másodrendő nyomtéit! d dy (.) épler szerint y dy y d y 0 0 értelemszerően y. péld Steiner-tétel (.. éplet) llmzásávl

Részletesebben

( ) Schultz János EGYENLŐTLENSÉGEK A HÁROMSZÖG GEOMETRIÁJÁBAN

( ) Schultz János EGYENLŐTLENSÉGEK A HÁROMSZÖG GEOMETRIÁJÁBAN Shultz János EGYENLŐLENSÉGEK A HÁOMSZÖG GEOMEIÁJÁBAN Igzoljuk hogy egy szályos háromszög első pontját súsokkl összekötő három szkszól mindig szerkeszthető háromszög Egy tégllp elsejéen vegyünk fel egy

Részletesebben

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról. rész Bevezetés Az idő múlik, kívánlmk és lehetőségek változnk. Tegnp még logrléccel számoltunk, m már elektronikus számoló - és számítógéppel. Sok teendőnk

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria V. Geometria V. DEFINÍCIÓ: (Középponti szög) Ha egy szög csúcsa egy adott kör középpontja, akkor a kör középponti szögének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Kerületi szög) Ha egy szög csúcsa egy adott körvonal pontja,

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

VB NÉGYZÖG KEREZTETZET TERVEZÉE HAJLÍTÁRA Vseton keresztmetszet tervezése történet: kötött tervezéssel: keresztmetszet nygi és méretei ottk, megtervezenő mértékó nyomtékoz szükséges célmennyiség, sz tervezéssel:

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2016. jnuár 16. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek

Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

Differenciálgeometria feladatok

Differenciálgeometria feladatok Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek

Részletesebben

HATÁROZAT. zajkibocsátási határértékeket állapítok meg

HATÁROZAT. zajkibocsátási határértékeket állapítok meg Alsó-Tisz-vidéki Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyel ség Ikttószám: 80664-1-2/2011. Tárgy: Zjkibocsátási htárérték megállpítás kérelemre Ügyintéz : Csomor László Hiv. szám: Zjkibocsátási

Részletesebben

OKOSTELE. 0 Ft. szükséges. KÉPE. 0 Ft. 80 cm. 0 Ft. kezdőrész

OKOSTELE. 0 Ft. szükséges. KÉPE. 0 Ft. 80 cm. 0 Ft. kezdőrész 7 : 7 Ú f f f 7 ) ( : 7 f f ö ö f fö f f f ( : 7 7 ) f - 8 - - - 8 ) ( í f - - f -f f f ) ( : f - - f f f f í f f f ö f ö f - ú ö f - - f f: f ö ) f ( f ö f í - - f : ö ö - f f ú f ) 7 ( : ) 7 ( : Í Í

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2015. jnuár 22. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

ű ú ü ü ü ü ü ü Á ü ú ü Á Á Á É Ö Ö Ö Á É É ü Á ú ű ú Í Á Í Á ű ü ű ü Ö ű ű É ú ű ú Á Á ű ü ú ű ú ü ú ú Ó ü ű ü ü Í ü Í Í Í Ó ú ú ú ú ú ú ü ú Í Ó ű ú ű Á Á ü ü ú É Í Ü ű ü ü Á ü ú Í É ú Ó Ö ú Ó Ó Ó Í ú

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2011. jnuár 21. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 3 4.GYAKORLAT

Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 3 4.GYAKORLAT 3 4.GYAKORLAT III. feszültségi állpot képlékeny feszültségi állpot A vsetonszerkezeteket teerírási tárállpotn III. feszültségi állpot feltételezésével méretezzük. A vsetonszerkezetek keresztmetszeti méretezési

Részletesebben

10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet 10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos: NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei...

Részletesebben

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv Mátrx-vektor feldtok Összeállított dr. Slánk József egyetem djunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálnt Gusztáv 1. feldt Adottk z n elemű, b vektorok. Képezn kell c vektort, hol c = b / Σ( ), ( = 0,1,,

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

A VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI, ÉS GYAKORLATI ALKALMAZÁSA I. BEVEZETÉS, MOTIVÁCIÓ, PROBLÉMAFELVETÉS

A VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI, ÉS GYAKORLATI ALKALMAZÁSA I. BEVEZETÉS, MOTIVÁCIÓ, PROBLÉMAFELVETÉS Szolnoki Tuományos Közlemények XV. Szolnok, 011. Prof. Dr. Szolcsi Róert 1 A VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI, ÉS GYAKORLATI ALKALMAZÁSA I. BEVEZETÉS, MOTIVÁCIÓ, PROBLÉMAFELVETÉS A szerző célj emuttni

Részletesebben

VIESMANN. VITODENS Égéstermék elvezetések kondenzációs falikazánokhoz 3,8 105,0 kw. Tervezési segédlet. Vitodens égéstermék-elvezető rendszerek

VIESMANN. VITODENS Égéstermék elvezetések kondenzációs falikazánokhoz 3,8 105,0 kw. Tervezési segédlet. Vitodens égéstermék-elvezető rendszerek VIESMANN VITODENS Égéstermék elvezetések kondenzáiós flikzánokhoz 3,8 105,0 kw Tervezési segédlet Vitodens égéstermék-elvezető rendszerek 5/011 Trtlomjegyzék Trtlomjegyzék 1. Égéstermék-elvezető rendszerek

Részletesebben

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK Prof.Dr. Zobory István Budpest 04 Trtlomegyzék. Bevezetés... 3. A vsúti árművek teherviselő részeiről... 3. Alvázs (nem önhordó) kocsik... 3.. Kéttengelyes kocsik... 4..

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

Kezelési útmutató ECO és ECO Plus

Kezelési útmutató ECO és ECO Plus Kezelési útmuttó ECO és ECO Plus Kidás: 2012.12.15. Eredeti kezelési útmuttó Gép Clssic Plus Gép szám Clssic Plus Gép típus Clssic Plus Verzió Berendezés jellege Álltfj Ügyfél neve & Co. KG Ügyfél címe

Részletesebben

1012/I. 1012/II. 1013.

1012/I. 1012/II. 1013. Húrnégyszögek, érintônégyszögek 7 0/ 0/ 0 008 Külsô pontól körhöz húzott érintôszkszok egyenlôk & A sokszög egy-egy csúcsáól induló érintôszkszok egyenlôk és két szomszédos oldl drji & Minden egyes érintôszkszól

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

FIGYELEM! Ez a kérdőív az adatszolgáltatás teljesítésére nem alkalmas, csak tájékoztatóul szolgál!

FIGYELEM! Ez a kérdőív az adatszolgáltatás teljesítésére nem alkalmas, csak tájékoztatóul szolgál! FIGYELEM! Ez kérdőív z dtszolgálttás teljesítésére nem lklms, csk tájékozttóul szolgál! KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Az dtszolgálttás sttisztikáról szóló 1993. évi XLVI. törvény (Stt.) 8. (2) ekezdése

Részletesebben

FAIPARI ALAPISMERETEK

FAIPARI ALAPISMERETEK Faipari alapismeretek középszint 1311 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 20. FAIPARI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók

Részletesebben

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi

Részletesebben

Darupályatartók. Dr. Németh György főiskolai docens. A daruteher. Keréknyomás (K) Fékezőerő (F)

Darupályatartók. Dr. Németh György főiskolai docens. A daruteher. Keréknyomás (K) Fékezőerő (F) Dr. émeth Görg főiskoli docens Drupáltrtók s f c 6vg e f sz c/ >,5 e s ~,.. A druteher Q 4 4 eréknomás () Fékezőerő (F) F Oldlerő () Biztonsági ténező dru fjtájától (híddru/függődru) és névleges teherírástól

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

A vasbeton vázszerkezet, mint a villámvédelmi rendszer része

A vasbeton vázszerkezet, mint a villámvédelmi rendszer része Vsbeton pillér vázs épületek villámvédelme I. Írt: Krupp Attil Az épületek jelentős rze vsbeton pillérvázs épület formájábn létesül, melyeknél vázszerkezetet rzben vgy egzben villámvédelmi célr is fel

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál. 5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Telefon: 345-6 Internet: www.ksh.hu Adtgyűjtések Letölthető kérdőívek, útmuttók Az dtszolgálttás 265/28. (XI. 6.) Korm. rendelet lpján kötelező. Nyilvántrtási szám: 223/9

Részletesebben

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ Társdlmi Megújulás Opertív Progrm keretében Munkhelyi képzések támogtás mikro- és kisválllkozások számár címmel meghirdetett pályázti felhívásához Kódszám: TÁMOP-2.1.3/07/1 v 1.2 A projektek

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben