A VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI, ÉS GYAKORLATI ALKALMAZÁSA I. BEVEZETÉS, MOTIVÁCIÓ, PROBLÉMAFELVETÉS

Átírás

1 Szolnoki Tuományos Közlemények XV. Szolnok, 011. Prof. Dr. Szolcsi Róert 1 A VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI, ÉS GYAKORLATI ALKALMAZÁSA I. BEVEZETÉS, MOTIVÁCIÓ, PROBLÉMAFELVETÉS A szerző célj emuttni klsszikus vriációszámítás lpvető célját, feltát, mtemtik pprátusát, és lpösszefüggéseit. A vriációszámítás Bernoulli -felt megolásár lkult ki, mely lpját képezte, és képezi min mi npig. A felt, mit Johnn Bernoulli foglmzott meg, z ún. rchisztochron (legrövie iő). A felt megolás során kifejlesztett mtemtiki pprátus szélsőérték-számításos feltok egész körének megolását tette lehetővé. Az extremális-feltok megolás során olyn új prolémák is felmerültek, mint vezérlés tervezése legrövie átmeneti iő elérésére, legrövie út megtételére, vgy pélául legkise energifelhsználássl műköő szályozások tervezésére. THEORETICAL BACKGROUNDS OF CALCULUS OF VARIATIONS, AND ITS PRACTICAL APPLICATIONS The im of this pper is to summrize sic mthemticl fountions for the flight pth erivtion of the UAV flight. The clssicl mthemticl prolem of the rchistocron well-known n formulte firstly y Johnn Bernoulli. Solution of this prolem inspire mny scientists eling with prolems of clculus of vritions. Besies the rchistocron prolem, mny other tsks were put to e solve mong those very importnt in vition the minimum energy prolem, or the shortest rnge clculus prolem. II. SZAKIRODALMI ÁTTEKINTÉS A vriációszámítás mtemtiki elméleti összefüggéseit, és vriációszámítási pélákt [, 4, 5, 6, 7] könyvek muttják e. A vriációszámítás és z optimális szályozási renszerek elméletével, és gykorltávl [3, 8, 9] könyvek fogllkoznk. Szegei és Békési pilót nélküli repülőgépek hosszirányú mozgásszályozójánk tervezésére z LQR optimális tervezési mószert lklmzt. Rinovics emuttj vriációszámítás mtemtiki elméleti összefüggéseit, és nnk lklmzását cirkálórkéták extremális pálytervezésére [1]. 1 Zrínyi Miklós Nemzetvéelmi Egyetem, Htuományi Kr, Ktoni Üzemeltető és Logisztiki Intézet, Ktoni Repülő és Légvéelmi Tnszék, okleveles mérnök ezrees, egyetemi tnár Bupest, Pf. 15., 5008 Szolnok, Pf. 1. Emil: szolcsi.roert@zmne.hu A cikket lektorált: Prof. Dr. Mkky Imre ZMNE, egyetemi tnár, CSc. Johnn BERNOULLI ( ), svájci mtemtikus.

2 III. A VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI 3.1. A rchisztochron legrövie iő felt A vriációszámítás mtemtik, különféle függvényeken értelmezett funkcionálok extremális értékeinek meghtározásávl fogllkozó fejezete. A funkcionálok szélsőértékei lehetnek mximumok, vgy minimumok. A lineáris funkcionál függvények megott csoportjár értelmezett: funkcionál z egyes lehetséges függvényekhez egy számértéket renel. Ilyen funkcionál lehet pélául független változó(oorinát) [, ] trtományán értelmezett J ) ( x( t t, hol x (t) folytonos függvény [4, 5, 6, 7]. A vriációszámítás lpvetően fizik, mechnik, és más tuományok feltink megolásár lkult, e XX. száz tuományos-techniki kihívási, mtemtik htárterületeinek kilkulás, és fejlőése, vlmint számítástuomány számos új területen tették szükségessé vriációszámítás lklmzását. A XX. száz másoik feléen vriációszámítás új, nem klsszikus formáj, z optimális renszerek elmélete lkul ki, mely lehetővé tette vriációszámítás lklmzását z élet számos területén [3, 9, 10]. Johnn Bernoulli 1696-n foglmzt meg z lái feltot: Föl homogén grvitációs mezejéen (y: helyi függőleges irány) különféle mgsságokon elhelyezkeő P o és P 1 pontok között felvehető összes göre közül htározzuk meg zt görét, mi mentén zérus kezeti seességgel inuló, és súrlóásmentesen lecsúszó m tömegű test minimális iő ltt érkezik P o kezőpontól P 1 végpont. A felt megolásához vegyük górcső lá z 1. árát. 1. ár. A rchisztochron (legrövie iő) felt. Legyen keresett függvény y y( lkú. Az energimegmrás törvénye értelméen: A csúszás seessége z lái egyenlet lpján is számíthtó: v m g y m. (3.1) y hol:. s 1 v, (3.) t t

3 y=*(1-sin(tu)) A (3.) egyenletől z iő ifferenciálj következő lesz [1, 5]: 1 1 t 1. (3.3) v gy A keresett görén történő mozgás iejét (3.3) egyenlet integrálásávl kpjuk meg: T T 0 0 t 1 T extremum. (3.4) gy A kitűzött felt megfoglmzhtó z lái móon is: keressük zt z y( függvényt, mely z y ( 0) 0, és z y ( x 1 ) y 1 peremfeltételek mellett iztosítj, hogy mozgás során teljesül, hogy T min. Mtemtikáól jól ismert e felt megolás [1, 4, 5, 6, 7]: y ( 1sin( )), x ( cos( )). (3.5) A (3.5) egyenlet lpján zt kptuk, hogy z m tömegpont egy ciklois mentén (3.5) ér le legrövie iő ltt P o felső pontól P 1 lsó pont (. ár). 1 Ciklois-göre x=*(tu-cos(tu)). ár. A ciklois-göre. Az ún. legrövie iő felt (rchisztochron) egy speciális esete következő áltlános vriációszámítási feltnk: sík két pontján (A és B pontok) átmenő, lehetséges y( függvények közül, melyek mguk is, és z y '( függvény is folytonosk z x trtományon, keressük zt függvényt, melyre z J ( F( ) (3.6) integrál (funkcionál) extremális, más szóvl, minimális, vgy mximális értéket vesz fel. Az y( függvényt, melyre (3.6) funkcionál szélsőértéket vesz fel, extremálnk is szokás nevezni. A (3.6) integrál kiterjesztése áltlános esetre következő lesz: hol: y y ' i i, i 1,,3,, n. J ( y 1(, y(,, yn(, y1'(, y'(, yn'(, (3.7) 3

4 A (3.7) egyenlettel megott mtemtiki felt megolás során új foglmkt kellett evezetni, mint pélául vriáció foglmát, mit széles kören hsználunk gerjesztett inmikus renszerek viselkeésének vizsgált (pl. stilitásvizsgált), vlmint cél tlálás pontosságánk vizsgált során. Áltlános eseten, z y ( függvények, melyek közül szeretnénk kiválsztni zt, mely iztosítj vlmely előre megott funkcionál extremumát, nem tetszőleges függvények, hnem megolnó felt jellegéől ereő, új követelményeknek kell eleget tegyenek. Ilyen követelmények lehet pélául z, hogy z y ( függvény folytonos, z y '( erivált függvény folytonos, keresett y ( függvény nem lép ki egy előre megott területű síkiomól. Megállpíthtjuk tehát, hogy minen egyes felt megoláskor meg kell htározni zon megengeett függvények osztályát, melyen keressük z extremálist. Az y ( ( x ) függvényt C n osztályú függvények csoportjá soroljuk, h z [, ] zárt intervllumon úgy z y ( függvén mint nnk n-eik eriváltj is, egyiejűleg folytonos. 3.. Alpfoglmk, efiníciók, tételek, segétételek 1. Az x intervllumon C n függvényosztály trtozó y ( és y 1( x ) függvények közötti n-erenű távolság z lái kifejezések közül mximális: Az F x y(, ( y1( y(, y1'( (, y1''( '(, y1 ( y (. (3.8), lkú integrál-funkcionálok lpvető fontossággl írnk z elsőrenű távolságok, és C 1 osztályú függvények.. Az y y( függvény x intervllumon vett n-erenű -környezete: z y y 1( x ) függvények összessége, melyeknek z y y( függvényektől számított n-erenű távolság kise, mint. 3. A függvények ott csoportját jelölje. Az J ( ) funkcionál szolút extrémum J( o ):. J( ) J( o ) esetén szolút minimumról eszélünk;. J( ) J( o ) esetén szolút mximumról eszélünk. 4. A függvények ott csoportját jelölje. Az J ( ) integrál J( o ) extremális, mely esetén 0-renű o függvénytől megengeett függvények távolságon elül esnek:. J( ) J( o ) esetén erős mximumról;. J( ) J( o ) esetén erős minimumról eszélünk [4, 5]. 5. Függvény vriációj állnó független változó esetén z y y( függvény ( növekménye (3. ár): n y( ( y( y(. (3.9) Itt megjegyezzük, hogy vriációt nem sz összetéveszteni függvény növekményével. A függvény (függő változó) értékének megváltozás renszerint független változó megváltozásár vezethető vissz. A vriáció peig függvény értékének megváltozás állnó független változó esetén [1, 3, 4, 5, 6, 7]. n 4

5 3. ár. A vriáció szármzttás. 6. Az J F( ) integrál (funkcionál) vriációj [1, 5]: F( ) F( ) J y( ( y Fy ( F '( Az integrál-funkcionál J kis perturációj kifejezhető z lái móon is:. (3.10) J J( y) J( y) J r( y), (3.11) hol r( y) : z y ( és z y ( függvények közötti elsőrenű távolság (3. ár). A vriáció egy másik efiníciój is meghtó: z J ( y ) funkcionál szerinti eriváltj 0 teljesülése mellett. Vezessük e ( ) J ( y ) (3.1) Funkcionált, és végezzük el ifferenciálást. Az lái egyenletet kpjuk: ' ( ) 0 F y ' y, ' F F 0. (3.13) A (3.10) vriáció számítását vriációszámításnk is szokás nevezni [1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] Egyszerű funkcionálok extremum létezésének szükséges feltételei Az egyszerű funkcionálok extremum létezésének szükséges feltételeit z lái tételek, és segétételek segítségével igzoljuk: Tétel A 1 C függvényosztályú y ( függvény z kezeti és végfeltételek mellett, y( ) y o, 1 y( ) y (3.14) J ( F( ) (3.15) 5

6 integrál(funkcionál) kkor, és csk is kkor vesz fel extremális (mximum, minimum) értéket, h z J ( Fy ( ) ( F ( ) '( (3.16) vriáció tetszőleges ( C1, és ( ) ( ) 0 esetére zérushoz trt. Könnyen eláthtó, hogy y( ( osztályú függvények J funkcionálj z prméter függvénye, mely 0 esetén minimális értéket vesz fel. Következésképpen, A tételt ezzel izonyítottuk A Lgrnge-lemm (segététel) F ( ) ( F ( ) '( 0 ' (0) y (3.17) A Lgrnge 3 -lemm vriációszámítás lptétele. H folytonos ( függvény ugynolyn tuljonságokkl ír, mint ( C1 függvényosztál hol ( ) ( ) 0, és ( x ) esetén teljesül ( ( 0 (3.18) egyenlőség, kkor ( x ) 0. A izonyítást z [1, 3, 4, 5, 7] irolmkn tláljuk Az első vriáció Feltételezzük, hogy z F F y ' erivált függvény folytonos. Een z eseten y y F 0 J F y F y ', (3.19) mely egyenletől z első vriáció z lái összefüggés lpján számíthtó: y Fy Fy y J ( y) F y ' ' 0. (3.0) A rögzített végpontú ( x, x ) y ( függvényre y 0. Ezért (3.0) egyenlet z lái lkn írhtó fel [1, 3, 4, 5, 7]: Az Euler-Lgrnge ifferenciálegyenlet J ( y) Fy F y 0. (3.1) A (3.0) lkú integrál-funkcionál lpján könnyen eláthtó, hogy minen mximálnó, vgy minimálnó y ( függvény eleget tesz z lái egyenletnek [1,,, 4, 5, 6, 7, 8]: 3 Joseph Louis LAGRANGE (Giuseppe Luigi Lgrngi, ), frnci mtemtikus. 6

7 F F Fy F 0. (3.) y A (3.) egyenletet Euler 4 -Lgrnge (ifferenciál)egyenletnek is nevezzük. Áltlános eseten, h F F( ), kkor (3.) egyenlet másorenű ifferenciálegyenlet. A továikn feltételezzük, hogy y( vriáció egyollú, vgyis y( 0, vgy y( 0. A (3.1) vriáció extremum (mximum, minimum) értékeire most igzk z lái összefüggések: J( y) 0 (mximum J), (3.3) J( y) 0 (minimum J). (3.4) A (3.) egyenlet, felhsználv (3.3), és (3.4) kifejezések következő lkn írhtók fel: F F Fy F 0 (mximum J), (3.5) y F F Fy F 0 (minimum J). (3.6) y Tétel Az x szkszon, tetszőleges y (, és y '( függvényekre z F F( ) függvény másoik prciális eriváltji is legyenek folytonos függvények. H y( C1 függvény iztosítj z J F( ) (3.7) integrál-funkcionál gyengén extremális értékét, kkor z y ( kielégíti z lái Euler- Lgrnge egyenletet, F y F 0, (3.8) míg z y ''( másoik erivált függvény létezik, és x -re, mely esetén teljesül, hogy F 0, erivált függvény folytonos. Terjesszük ki vizsgáltinkt z J ( F( z,, z') (3.9) lkú kétváltozós integrálkritériumokr is. Rögzített htárú (rögzített végpontú) y (, és z ( függvények esetén (3.1) funkcionál vriációj következő lesz: J( y) Fy F y Fz Fz' z. (3.30) 4 Leonhr EULER ( ), svájci mtemtikus és fizikus. 7

8 A y, és z vriációk függetlensége mitt (3.30) egyenletől két Euler-Lgrnge ifferenciálegyenlet írhtó fel: F F Fy F 0, (3.31) y F F Fz Fz' 0. (3.3) z z' A (3.30) funkcionál extremum létezésének feltételei z láik: F F Fy F 0 (mximum J), (3.34) y F F Fz Fz' 0 (minimum J). (3.35) z z' A (3.30) funkcionál extremum létezésének feltétele nem csk (3.34), és (3.35) egyenlőtlenségekkel htó meg, hnem egyiejűleg, rögzített végpontú függvények másoik vriációjár teljesülnie kell Legenre 5 -feltételnek, míg sz (nem rögzített) végű függvények esetén teljesülnie kell trnzverzlitási feltételeknek [1, 4, 5] A másoik vriáció foglm Az J (y) funkcionál másoik vriációj következő egyenlettel htó meg: A Legenre-féle szükséges feltétel J ( y) Fyy y Fy y F. (3.36) H z y( C1 iztosítj z J (y) funkcionál minimumát, kkor tetszőleges ( C1 ( ( ) ( ) 0 ) függvényosztályr másoik vriáció nem negtív, vgyis [1, 4, 5, 7]: J( y) 0. (3.37) H y( C1 függvényosztály kielégíti z J (y) funkcionál mximumát, kkor J( y) 0. (3.38) Összegezve tehát, (3.15) integrál-funkcionál extremum létezésének szükséges feltételeit z y( C1 függvényosztályr z láik szerint fogllhtjuk össze [1, 4, 5, 7, 8]: 1. Az y( C1 függvény kielégíti (3.) Euler-Lgrnge ifferenciálegyenletet;. z y( C1 függvény kielégíti Legenre-féle feltéteket is A trnzverzlitási feltételek Vizsgáljuk z J (y) funkcionál első vriációját: y Fy Fy y J ( y) F y ' ' 0, (3.39) 5 Arien-Mrie LEGENDRE ( ), frnci mtemtikus. 8

9 és feltételezzük, hogy z y( C1 függvény végpontji nem rögzítettek, zok értéke változht (4. ár). A 4. árán egy mozgó (s végpontú renszer y( C1 függvénye láthtó. 1. y() : vriáció x esetén;. y() : vriáció x esetén; 3. y() : vriáció x esetén; 4. y() : vriáció x esetén; 5. y( : vriáció. 4. ár. A sz végpontú vriációszámítási felt A 4. ár lpján igzk z lái összefüggések [1, 5]: vlmint teljesülnek z lái egyenletek: y ( ) ( y( ) ), (3.40) y ( ) ( y( ) ), (3.41) J F, (3.4) J F. (3.43) A nem rögzített végpontú y( C1 függvény funkcionálj első vriációj ((3.39) egyenlet) (3.40)-(3.43) kifejezések figyeleme vételével most következő lkn is felírhtó: x x F F x F y J ( y) Fy F y. (3.44) x x Feltételezzük, hogy vizsgált y( C1 függvény végpontji z lái egyenletekkel megott göréken helyezkehetnek el, értelemszerűen: y (, y (. (3.45) A (3.45) egyenletek figyeleme vételével (3.44) első vriáció következő lesz: x F ' F F ' y ' x F J ( y) Fy F y. (3.46) x x 9

10 Rögzítsük először z y (, és y ( görék tetszőleges pontjit. Egyértelmű, hogy z y( C1 függvény ki kell elégítse F y F 0, (3.47) Euler-Lgrnge egyenletet. Más szóvl, változó végpontú y( C1 függvény funkcionálj kkor extremális, h x F ' F F ' y ' x F 0 J ( y). (3.48) x Feltételezzük, hogy, és vriációk egymástól függetlenek. Htározzuk meg trnzverzlitási feltételt, mely lehetővé teszi zon szvégű y ( függvény meghtározását, mely kielégíti z Euler-Lgrnge egyenletet, és melynek sz végpontji z y (, és y ( görék mentén mozognk: F ' F 0 x F ' y ' F 0 x A kpott eremény izonyítását következő tétel fogllj össze Tétel H y ( függvény áltl meghtározott függvény iztosítj, hogy z x. (3.49) J ( ) F( ) (3.50) funkcionál extremális értéket vesz fel z y (, és y ( görék egy tetszőleges pontját összekötő C 1 megengeett függvényosztályon, kkor függvény extremális, és végpontokon teljesül trnzverzlitási feltétel [1, 3, 4, 5, 7] A Weierstrss-Ermn-feltételek Vizsgáljuk J ( ) F( ) (3.51) funkcionált z y( ) y0, és z y( ) y1 peremfeltételek mellett. Feltételezzük, hogy C 1 megengeett függvényosztályon (3.51) funkcionál nem vesz fel extremális értéket. Een z eseten (3.51) funkcionál extremális értéket vehet fel C 0 megengeett függvényosztályon, más szóvl, z extemum szkszonként folytonosn ifferenciálhtó. A töréspont koorinátáj M ( x 0, y 0). Feltételezzük, hogy töréspont koorinátái vriációj létezik, felhsználv (3.44) egyenletet, és szintén feltételezzük, hogy z M pont z első extremális végpontj, és másoik extremális kezőpontj, (3.44) vriáció z lái egyenlettel htó meg [1, 5]: 10

11 x x0 0 x x0 0 J ( y) ( F F ) x F x y x 0 0 x x0 0 xx0 0. (3.5) Fy F y Fy F y x x 0 0 Az extremális x, és x htárit (peremértékeket) rögzítettnek tekintjük. A függvény x x 0 0 pontokn felvett értéke ltt zt htásértéket értjük, mihez trt függvén mikor x x 0, 0. Feltételezzük, hogy, és vriációk egymástól függetlenek, z lái tételt foglmzhtjuk meg [1, 3, 4, 5, 7] Tétel H két pontot, A -t és B -t, összekötő összes lehetséges szkszonként folytonosn ifferenciálhtó göre közöl z y y( egyenlettel megott szkszonként folytonosn ifferenciálhtó iztosítj z J funkcionál extremumát, kkor véges számú extremális húról áll, és minen M x 0, y ) töréspontn teljesül z lái feltétek: ( 0 F F F F F xx 0 0 xx0 0 F xx0 0 A (3.53) egyenletek Weierstrss 6 -Ermn-feltételek [1, 3, 4, 5, 6, 7] Feltételes extremum. Izoperimetrikus feltok xx0 0. (3.53) A műszki gykorltn gykrn tlálkozunk zzl z esettel, mikor z ott funkcionál extremumát iztosító megengeett függvényekre különféle mellékfeltételeket htározunk meg. E feltok csoportját feltételes szélsőérték számítási feltoknk nevezzük. A vázolt feltokt Lgrnge-multiplikátor mószer segítségével oljuk meg. Legyen vizsgált funkcionál J F( z,, z' ) (3.54) lkú. Keressük téreli görék C 1 megengeett függvényosztályán ( z,, z') 0 (3.55) ifferenciálegyenletnek eleget tevő zon függvényeket, melyek iztosítják, hogy (3.54) funkcionálnk extremum (mximum, minimum) vn. E felt megolásához vezessük e, és izonyítsuk z lái tételt Tétel H 0 göre eleget tesz (3.55) egyenletnek, és iztosítj z J funkcionál extremumát, és h ezen görén kár, vgy z' erivált nem zérus értékű, kkor létezik olyn ( függvén mely eleget tesz z lái egyenletrenszernek [1, 3, 4, 5, 7, 8]: 6 Krl Theoor Wilhelm WEIERSTRASS ( ): német mtemtikus. 11

12 hol: H y H z H H z' H y H z H 0, (3.56) H 0 z' H F (. (3.57) A (3.55) és (3.56) egyenletek megolásként megkpjuk keresett y (, z (, és ( függvényeket. Az egyenletek megolás során keresett állnók meghtározásához elegenő négy kezeti peremfeltételt megni kező-, és végpontokn. Áltlános eseten, mikor (3.55) egyenlet nlógiájár ott ( z,, z') 0, j 1,,, k (3.58) egyenletrenszer, (3.57) egyenlet z lái lkn htó meg: j k H F j1 hol ( függvény Lgrnge-multiplikátor. j j ( j, (3.59) A felt megolás során renelkezésre álló független egyenletek ((3.56), (3.58), (3.59)) szám megegyezik keresett ismeretlen függvények (z y (, z (, és ( ) számávl. Vizsgáljuk zt speciális esetet, mikor (3.55) egyenletet z lái kifejezéssel helyettesítjük: K G( z,, z' ), (3.60) hol K konstns. E felt nlógiáj síkeli feltok megoláskor következőképpen is megfoglmzhtó: ott z F ( ), és G ( ). Az y y( C1 megengeett függvényosztályon keressük zon függvényeket, melyek iztosítják, hogy z integrál megott K értéket vesz fel, míg G( ), (3.61) J F( ), (3.6) funkcionál extremumml (mximum, minimum) ír megott függvényeken. E feltkörhöz trtozik pélául következő felt is: z összes lehetséges, ott hosszúságú zárt göre közül keressük zt, mely áltl htárolt terület mximális. Ezt feltot izoperimetrikus feltnk is nevezik [1, 3, 4, 5, 7]. A fent megfoglmzott felt megolását következő tételen igzoljuk. H z y y( C1 függvény z Tétel 1

13 G( ) K; y( ) y0 ; y( ) y1, (3.63) feltételek teljesülése esetén iztosítj J F( ), (3.64) funkcionál extremumát, és z y y( C1 függvény nem extremális (3.63) funkcionálnk, kkor létezik olyn konstns, mely esetén megengeett függvényosztályhoz trtozó y y( C függvény iztosítj z 1 L H ( ) (3.65) funkcionál extremumát (mximum, minimum), hol: H F G. (3.66) A H függvényt z lái lineáris lkn is felírhtjuk: H 1F G, (3.67) hol 1, - konstnsok. Feltételezzük, hogy 1 0 és 0. A fent kitűzött felt megolásként kpott, és megengeett függvények osztályához trtozó, z J funkcionál extremumát K const. esetén iztosító megolások, és K funkcionál extremumát J const. esetén iztosító y y( C1 megolások megegyeznek. IV. ELFAJULT FELADATOK Tekintsük z lái típusú lineáris ifferenciálegyenletet: z y ( ( 0, (4.1) hol ( és ( függvények, és z x, z koorináták szerinti első eriváltjik folytonosk, úgymint z z változók szerinti másoik eriváltk is folytonosk, vgy (4.), vgy (4.3) kezeti-, és peremfeltételek teljesülése mellett [1, 3, 4, 5]: x x x x x x esetén z z esetén y y esetén y y esetén y esetén z esetén z (4.) y z. (4.3) z A (4.1) egyenlet megolás (4.), és (4.3) peremfeltételek mellett z függvényt j implicit lkn, mint z y y( függvény funkcionálját, vgy megolásként kereshetjük z y függvényt, mint z z( függvény funkcionálját. 13

14 Feltételezzük, hogy ( és ( függvények z egyik, pélául z prmétertől nem függenek explicit móon. Een z eseten, z funkcionált (4.1) egyenletől z lái móon htározhtjuk meg: Feltételezzük, hogy y z z ( y) ( y), (4.4) y z 0; ; F( ) ( ). (4.5) A (4.4) egyenlet megolás (4.5) egyenlet, és (4.)-(4.3) peremfeltételek teljesülése mellett 3. fejezeten emuttott vriációszámítási feltr vezethető vissz. A megfoglmzott felt sjátosság, hogy z funkcionál lineárisn függ z y ' erivált függvénytől. A funkcionál lineritás mitt z Euler-Lgrnge egyenlet z lái lkr reukálóik (fjul) [1, 3, 4, 5]: ( x, y) 0. (4.6) A (4.6) egyenlet megolás során megolásként meghtározott extremálisok csláj egy lehetséges (h ilyen függvény létezik) extremálisr csökken, mely kielégíti (4.6) egyenletet, (4.)-(4.3) peremfeltételek teljesülése mellett. Hsonló tuljonságokkl ír z funkcionál is, vlmint áltlános eseten ( és ( funkcionálok is. Ily móon, úgy z, mint z y funkcionálok extremálisánk számítási felt elfjultnk monhtó. V. EREDMÉNYEK, KÖVETKEZTETÉSEK A szerző összefogllt vriációszámítás lpösszefüggéseit, tételeit, és segétételeit. A cikken szerző rámuttott zokr lehetséges lklmzásokr is (pl. minimális iő prolém, minimális energifelhsználássl műköő szályozások, legngyo távolság st.), melyek jól hsználhtók pilót nélküli repülőgépek repülési pályáink meghtározáskor. A minimális energifelhsználású renszerek lklmzás együtt jár lehetséges normál repülési üzemmóokon z UAV lklmzások minőségének lényeges jvításár. Veszélyes repülési helyzeteken z optimális repülési pály (pl. utorotációs kényszerleszállás st.) jvíthtj repülésiztonságot, e kár légijármű túlélését is iztosíthtj. OPUS CITATUM [1] РАБИНОВИЧ, Б. И. Вариационные режимы полета крылатых летателъных аппратов, Машиностроение, Москва, [] KÁRMÁN, T., BIOT, M. A. Mtemtiki mószerek műszki feltok megolásár,. kiás, Műszki Könyvkió, Bupest, [3] CSÁKI, F. Korszerű szályozáselmélet. Nemlineáris, optimális, és ptív renszerek. Akémii Kió, Bupest, [4] KÓSA, A. Vriációszámítás,. jvított kiás, Tnkönyvkió, Bupest, [5] KORN, G. A., KORN, T. M Mtemtiki kézikönyv műszkiknk, Műszki Könyvkió, Bupest, [6] BRONSTEIN, I. N., SZEMENGYAJEV, K. A. Mtemtiki zsekönyv mérnökök és mérnökhllgtók számár, 5. kiás, Műszki Könyvkió, Bupest, 198. [7] БРОНШТЕЙН, И. Н., СЕМЕНДЯЕВ, К. А. Спрвочник по математике, Москва, Наука,

15 [8] КРАСОВСКИЙ, А. А. (Под. pед.) Спрвочник по теории автоматического управления, Москва, Наука, [9] BROGAN, W. L. Moern Control Theor Prentice-Hll Interntionl, Inc., Englewoo Cliffs, New Jerse [10] SZEGEDI, P., BÉKÉSI, B. Preliminry Design of Controller of Longituinl Motion of the Unmnne Aeril Vehicle Using LQR Design Metho, Proceeings of the 10 th Interntionl Conference Trnsport Mens 006, ISSN 18-96x, pp(34-37), Kuns, Lithuni, 19-0 Octoer