Els gyakorlat. vagy más jelöléssel
|
|
- Zita Vassné
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Els gykorlt Egyszer egyenletek, EHL PDE A gykorlt elején megismerkedünk prciális dierenciálegyenletek (mostntól: PDE-k) lpfoglmivl. A félév során sokt fog szerepelni z ún. multiindex jelöl, melynek lényege, hogy nem írjuk ki egy dott, sokváltozós függvény összes változój szerinti deriváltt, hnem különböz derivált számot (zz egyszeres, kétszeres, stb.) egyetlen vektorbn összesítjük, zz multiindexnek nevezzük z α = (α 1, α,... α n ) vektort, h f : R n R, kkor α f = α 1 1 α... αn f Legyen Ω R n trtomány, vgyis összefügg, nyílt hlmz. Jelölje N vlmely dott m nemnegtív egz szám esetén zon α = (α 1,..., α n ) multiindexek számát, melyekre α m (hol α = n i=1 α i). Tekintsünk egy (m + N változós) F : Ω G R függvényt, melynek simsági tuljdonságit konkrét problémák során fogjuk megmondni. Keressünk ekkor olyn u C m (Ω) függvényt, melyre vgy más jelölsel n F (x, u(x), 1 u(x), u(x),... n u(x),... m n u(x)) = 0, (1) F (id, 1 u, u,... n u,... m n u) = 0. () Ekkor (1)-t prciális dierenciálegyenletnek, z u C m (Ω) függvényt pedig z (1) feldt klsszikus megoldásánk nevezzük. Ekkor m szám z egyenlet rendje. Fontos már most megjegyezni, hogy k bbiekben lesznek olyn esetek, mikor nem követeljük meg ezt simságot megoldásfüggvényr l, ezek lesznek z áltlános, vgy gyenge megoldások. Fontosbb egyenlet típusok: Kvázilineáris egyenlet: α =m ( α ( id, u, 1 u,... n m 1 u )) α u = f ( id, u, 1 u,... n m 1 u ) hol α, f : Ω R nm R ( α m) dott függvények. Azz bl oldlon legmgsbb rend deriváltk lineáris kombinációj áll, z együtthtófüggvénynek legmgsbb rend deriválttól nem függnek. F rzében lineáris egyenlet: α =m α α u = f ( id, u, 1 u,... m 1 n u ) hol α : Ω R( α = m), f : Ω R nm R dott függvények. Ekkor z együtthtó csk változótól függ, jobb oldl viszont függhet (legmgsbbtól kisebb rend ) deriválttól. Lineáris PDE: α m α α u = f hol α, f : Ω R( α = m) dott függvények. Ekkor már jobb oldl se függ deriváltktól, zz minden együtthtó csk változótól függ. H f = 0, kkor z egyenlet homogén, egyébként inhomogén. Állndó együtthtós PDE: α m hol α konstns f : Ω R dott függvény. Az egyenletekben el forduló mellékfeltételek : α α u = f Peremfeltétel: A trtomány peremén el írt feltétel megoldás értékére, vgy dott rendig deriváltk értékére (esetleg ezek lineáris kombinációjár). Kezdeti feltétel: H feldt id t l függ, kkor kezdeti (vgy tetsz leges más) id pontbn el írt feltételt nevezzük kezdeti feltételnek, z ezzel ellátott feldtot nevezzük Cuchy-feldtnk. (Ugynz, mint közdiben.) 1
2 Vegyes feldt: H mind perem, mind kezdeti feltétel dv vn. Fontos foglom feldt korrekt kit ze (mint közdiben): egy feldt korrekt kit z, h teljesíti z lábbi feltételeket: A feldtnk létezik megoldás keresett függvényosztálybn (egzisztenci). A megoldás egyértelm z dott függvényosztálybn (unicitás). A megoldás folytonosn függ z dtoktól, zz jobb oldl "kis változás" megoldást is csk "kissé" változttj meg. I. "Reggeli ébreszt " 1. Mutssunk olyn F ( 1 u, u) = 0 lkú PDE-t, hol F C(R ), z egyenletnek semmilyen Ω R trtományon se létezik megoldás! Megoldás: Bármilyen F függvény jó, minek nincs zérushelye, például F ( 1 u, u) = ( 1 u) + ( u) + 1. Mutssunk olyn F ( 11 u, 1 u, u) = 0 lkú PDE-t, hol F C(R 3 ), ennek végtelen sok gyöke vn, még sincs z egyenletnek semmilyen Ω R 3 trtományon megoldás! Megoldás: Az trükk, hogy ne lehessen függvény zérushelyében második koordinátán álló függvény hrmdikon szerepl függvény deriváltj. Így például z lábbi függvény megfelel : F ( 11 u, 1 u, u) = (sin( 11 u)) + ( 1 u e x ) + (u + e x ) II. Elemi úton megoldhtó egyenletek: u : R R lkú klsszikus megoldást keresünk. 1. Adjuk meg z lábbi PDE-k megoldását minél áltlánosbb lkbn, hol f : R R dott függvény. () 1 u = 0 Megoldás: u = f(y) + g(x), ezek függvények egyszeresen dierenciálhtók. (b) 1 u + x u = 0 Megoldás: Az egyenlet átlkítv: 1 u + x u = 0 Bevezetve u = v jelölt kpjuk 1 v + xv = 0 egyenletet, mit kár három módon is meg lehet oldni. Els módszer: Ez egy szétválszthtó egyenlet, így nnk megoldóképletét felhsználv ln(v) = x + f 1 (y) v = e x f (y) u = e x F (y) + g(x) Második módszer: Beszorozv z egyenlet mindkét oldlát e x -el: 1 (e x v) = 0, mib l fenti v-t kpjuk. Hrmdik megoldás: Nem is kell v-t meghtározni, hiszen u kérd, hnem fentibe beleírv v képletét: 1 (e x u) = 0, 1 (e x u) = 0 honnn z () feldt lpján e x u = f(x) + g(y). (c) 1 u = u Megoldás: Els megoldás: Vegyük zre, hogy feldt megfoglmzhtó z lábbi módon: ( 1 u, u) v = 0 hol v = (1, 1) vektor, tehát ez zt jelenti, hogy z u v-szerinti irány menti deriváltj null, zz megoldás konstns z x + y = const vonlk mentén, így u(x, y) = ψ(x + y). Második megoldás: Alklmzzuk z lábbi trnszformációt: ξ = x + y, η = x y, deniáljunk egy új függvényt: u(x, y) = v(ξ, η). Ekkor: ( x u, y u) = u (x, y) = v (ξ, η) ξ x η x ξ y η y ( 1 1 = ( ξ v, η v) 1 1 )
3 Tehát ezek lpján { x u = ξ v + η v y u = ξ v η v Az egyenleteket egymásból kivonv dódik, hogy 0 = x u y u = η v, zz megoldás x + y mentén konstns, tehát u(x, y) = ψ(x + y) hol ψ dihtó. (d) ( 1 u) + ( u) = 0 Megoldás: Ekkor 1 u = 0 u = 0, így megoldás konstns. (e) 1 u = f Megoldás: u(x, y) = F (x, y) + g(y), hol F z x f(x, y) függvény primitív függvénye. (f) 1 u = f Megoldás: Ekkor u(x, y) = F (x, y) + g(y), zz u(x, y) = F (x, y) + G(y) + f(x). (g) 1 u 1 u = f Megoldás: Átlkítv z egyenletet: zz 1 ( u u) = f u u = F (x, y) + g(y) Ezt megoldhtjuk olyn módon, hogy beszorozzuk mindkét oldlt e y -l: e y u e y u = e y (F (x, y) + g(y)) (e y u) = e y (F (x, y) + g(y)) e y u = e y (F (x, y) + g(y))dy + h(x) u = e y e y F (x, y)dy + g(y) + e y h(x) hol g(y) = e y e y g(y)dy. Megjegyz: Speciális lkú f esetén feldt megoldhtó klsszikus közdi-es módszerekkel, de áltlános esetben prtikuláris megoldás kerese nehéz. (h) 11 u u = 0 Megoldás: Els lépben tegyük fel, hogy = 1. Ekkor z egyenlet 11 u u = 0 lkúr egyszer södik. Alklmzzuk (c) feldtbn bevezetett v(ξ, η) = u(x, y) függvényt, hol ξ = x + y η = x y. Ugynitt kiszámoltuk, hogy Ezek lpján x u = ξ v + η v y u = ξ v η v x ( x u) = ξξ v + ηξ v + ξη v + ηη v yy u = ξξ v ξη v ηξ v + ηη v Ezeket kivonv egymásból kpjuk, hogy 4 ξη = 0, () lpján ekkor megoldás u = F (x y) + g(x + y). Most tegyük fel, hogy 1. Legyen most w(x, y) = u(x, y). Ekkor w(x, y) = u(x, y) 11 w(x, y) = 11 u(x, y) zz 11 w(x, ( y) w(x, y) = 0. Ezt viszont z el bb oldottuk meg, tehát u(x, y) = w x, y ) ( = F x y ) ( + g x y ).. Oldjuk meg z lábbi PDE-kre vontkozó feldtokt! () 1 u = x + y, u(x, x) = x, 1 u(x, x) = 0 Megoldás: Felhsználjuk, hogy z 1. f)-ben ezt már megoldottuk, zz u(x, y) = F (x, y) + G(y) + f(x) hol F (x, y) = fdxdy = x x + ydxdy = + xydy = x y + xy 3
4 tehát most u(x, y) = 1 (xy + yx ) + G(y) + f(x). A mrdék két függvényt kezdeti feltételekb l fogjuk meghtározni. Az els feltétel lpján u(x, x) = 1 (x3 + x 3 ) + G(x) + f(x) = x második szerint pedig 1 u(x, x) = 1 x + x + f (x) = 0 mib l f(x) = x3, így z els feltétel mitt G(x) = x3 + x. Tehát megoldás így u(x, y) = 1 (xy + yx ) + y y3 x3. (b) 11 u = u, u(0, y) = 1, 1 u(0, y) = 1 Megoldás: Az 1. (h) mitt u(x, y) = F (x y) + g(x + y). Az els feltétel szerint második szerint u(0, y) = F ( y) + g(y) = 1 1 u(0, y) = F ( y) + g (y) = 1 Az els t deriválv kpjuk, hogy F ( y) + g (y) = 0, így g (y) = F ( y). Ezt beírv másodikb kpjuk, hogy g (y) = 1, így g(y) = 1 y + c, mib l F (y) = y c. Tehát így megoldás: u(x, y) = 1 + x y c + x + y + c = x + 1 (c) 1 u = 0, u(0, y) = sin y, u(x,0) = cos x 1 Megoldás: Az 1. () mitt u(x, y) = F (y) + g(x). Az els feltétel mitt második pedig u(0, y) = F (y) + g(0) = sin y u(x,0) = F (0) + g(x) = cos x 1 Tehát ezekb l h g(0) = c 1, kkor F (y) = sin y c 1 h F (0) = c, kkor g(x) = cos x 1 c. Ezek lpján viszont F (0) = c 1 = c g(0) = 1 1 c = c 1, tehát u(x, y) = sin y c 1 + cos x 1 + c 1 = sin y + cos x 1 3. Keressük megoldást megdott speciális lkbn! () 11 u u = 0, u(x, x) = X(x)Y (y) Megoldás: Mivel u(x, y) = X(x)Y (y), így Ezeket egyenl vé téve: 1 1u = X (x)y (y) u = X(x)Y (y) X (x)y (y) = X(x)Y (y) X (x) X(x) = Y (y) Y (y) Mivel mindkét oldlon egy-egy egyváltozós függvény vn különböz változóvl, így z egyenl ség csk kkor teljesülhet, h z értékük vlmilyen konstns függvény - legyen ez most α. Tehát így megoldndó egyenletek: X (x) αx(x) = 0 Y (y) αy (y) = 0 A második megoldás Y (y) = c 0 e αy, z els é pedig α el jelét l függ: c 1 sin( αx) + c cos( αx) h α < 0 X(x) = c 1 e αx + c e αx h α > 0 c 1 x + c h α = 0 Így megoldás α el jelét l függ en megfelel X(x) Y (y) szorzt. 4
5 (b) 11 u + u = 0, u(x, y) = X(x)Y (y) Megoldás: Ugynúgy megy, mint z () rzben nnyi különbséggel, hogy most z Y (y) függvény értéke is háromféle lehet. Sjnos csk eddig tudtunk eljutni z els héten, z els feldtsor második felével folyttjuk jöv héten! Pontosbbn z utolsó feldt szorglmi volt: 7. * Oldjuk meg C (R, R) függvények körében 1 u u = 0 egyenletet! Megoldás: A feldt bedhtó. 5
Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév
Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],
RészletesebbenÓravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok
Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.
RészletesebbenOPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL
OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL HAJDER LEVENTE 1. Bevezetés A Lgrnge-féle multiplikátoros eljárást Joseph Louis Lgrnge (1736-1813) olsz csillgász-mtemtikus (eredeti nevén Giuseppe
RészletesebbenJuhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai
Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,
RészletesebbenImproprius integrálás
Improprius integrálás 7. feruár.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény folytonos z, intervllumon, vlmint létezik f()d htárérték
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 15.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy
Részletesebben2. Gauss elimináció. 2.1 Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval a következő egyenletrendszert:
. Guss elimináció.1 Oldjuk meg Guss-Jordn eliminációvl következő egyenletrendszert: x - x + x + x5 = -5 x1-7x + 8x - 5x = 9 x1-9x + 1x - 9x = 15. A t prméter mely értékeire nincs z egyenletrendszernek
Részletesebben0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha
Vegyük észre, hogy egy mérhet f függvény pontosn kkor integrálhtó, h f dµ =. lim N Ez indokolj következ deníciót. { f α >N}. Deníció. Egy X, A, µ téren értelmezett mérhet függvényekb l álló vlmely f α
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek
Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben
RészletesebbenTöbbváltozós analízis gyakorlat
Többváltozós nlízis gykorlt Áltlános iskoli mtemtiktnár szk 07/08. őszi félév Ajánlott irodlom (sok gykorló feldt, megoldásokkl: Thoms-féle klkulus 3., Typote, 007. (Jól hsználhtók z -. kötetek is Fekete
Részletesebben4. Hatványozás, gyökvonás
I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)
Részletesebben5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?
. Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik
RészletesebbenImproprius integrálás
Improprius integrálás. feruár 9.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény integrálhtó z, intervllum ármely, részin- tervllumán,
RészletesebbenMatematika A1a - Analízis elméleti kérdései
Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z
RészletesebbenII. A számtani és mértani közép közötti összefüggés
4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!
RészletesebbenKIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ
KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ BSC MATEMATIKATANÁR SZAKIRÁNY 28/29. TAVASZI FÉLÉV Az lábbikbn z el dáson vonlinterálról ill. primitív füvényr l elhnzottk közül zok olvshtók, mik Lczkovich-T. Sós: Anlízis
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
Részletesebben2014/2015-ös tanév II. féléves tematika
Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik
RészletesebbenDifferenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke
Differenciálszámítás Lokális növekedés (illetve csökkenés): H z f() függvény deriváltj z 0 helyen pozitív: f () > 0 (illetve negtív: f () < 0), kkor z f() függvény z 0 helyen növekvően (illetve csökkenően)
Részletesebben2010/2011 es tanév II. féléves tematika
2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási
Részletesebbena b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a
44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy
Részletesebbenf (ξ i ) (x i x i 1 )
Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <
RészletesebbenVektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)
Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér
Részletesebben1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2
A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:
RészletesebbenMátrixok és determinánsok
Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA I.
GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z
Részletesebben7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei
7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,
RészletesebbenHatározzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (
9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R
Részletesebben11. évfolyam feladatsorának megoldásai
évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor
RészletesebbenNéhány szó a mátrixokról
VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop
RészletesebbenMATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM
MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent
RészletesebbenParciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris
RészletesebbenGazdasági matematika I. tanmenet
Gzdsági mtemtik I. tnmenet Mádi-Ngy Gergely A hivtkozásokbn z lábbi két tnkönyvre utlunk: Cs: Csernyák László (szerk.): Anlízis, Nemzeti Tnkönyvkidó 200. D: Denkinger Géz: Anlízis gykorltok, Nemzeti Tnkönyvkidó
RészletesebbenHázi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése
Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q
RészletesebbenMATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok
MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK Számegyenesek, intervllumok. Töltsd ki tábláztot! Minden sorbn egy-egy intervllum háromféle megdás szerepeljen!. Add meg fenti módon háromféleképpen következő intervllumokt!
RészletesebbenHeves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)
Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei
RészletesebbenBSc Analízis II. előadásjegyzet 2009/2010. tavaszi félév
BSc Anlízis II. elődásjegyzet 2009/200. tvszi félév Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 20. jnuár 7. ii Trtlomjegyzék Előszó v. Differenciálhtóság.. A derivált foglm és
RészletesebbenMinta feladatsor I. rész
Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
Részletesebben5.1. A határozatlan integrál fogalma
9 5. Egyváltozós vlós függvények integrálszámítás 5.. A htároztln integrál foglm Az eddigiekben megismertük differenciálás műveletét, melynek lpfeldt: dott f függvényhez megkeresni z f derivált függvényt.
Részletesebben(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,
RészletesebbenSegédanyag az A3 tárgy gyakorlatához
Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Sáfár Orsolya Szeparábilis dierenciálegyenletek A megoldásról általában: A szeparábilis dierenciálegyenlet álatlános alakja: y (x) = f(x)g(y). Ebben az esetben g(y)-al
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása
Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0
RészletesebbenVektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.
Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,
RészletesebbenMatematika 4 gyakorlat Földtudomány és Környezettan BSc II/2
Mtemtik 4 gykorlt Földtudomány és Környezettn BSc II/2 1. gykorlt Integrálszámítás R n -ben: vonlintegrál, primitív függvény, Newton Leibniz-szbály. Legyen Ω R n egy trtomány, f : Ω R n folytonos függvény
Részletesebben6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenGyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés
Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R
Részletesebben2. NUMERIKUS INTEGRÁLÁS
numerikus nlízis ii. 39 B - SPLINEOK DERIVÁLTJÁRA ÉRVÉNYES : B mi x =m Bm,i x B m,ix. t i+m t i t i+m+ t i+. NUMERIKUS INTEGRÁLÁS Htározott integrálok numerikus kiszámítás mtemtik egyik legrégebbi problémáj.
RészletesebbenDifferenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11
RészletesebbenAnalízis II. harmadik, javított kiadás
Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet
RészletesebbenNumerikus módszerek 2.
Numerikus módszerek 2. 12. elődás: Numerikus integrálás I. Krebsz Ann ELTE IK 2015. május 5. Trtlomjegyzék 1 Numerikus integrálás 2 Newton Cotes típusú kvdrtúr formulák 3 Hibformulák 4 Összetett formulák
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenHázi feladatok megoldása. Automaták analízise, szintézise és minimalizálása. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása
Automták nlízise, szintézise és minimlizálás Formális nyelvek, 11. gykorlt Célj: Az utomták nlízisének és szintézisének gykorlás, utomt minimlizáió Foglmk: Anlízis és szintézis, nyelvi egyenlet és egyenletrendszer
RészletesebbenTérbeli pont helyzetének és elmozdulásának meghatározásáról - I.
Térbeli pont helyzetének és elmozdulásánk meghtározásáról - I Egy korábbi dolgoztunkbn melynek címe: Hely és elmozdulás - meghtározás távolságméréssel már volt szó címbeli témáról Ott térbeli mozgást végző
RészletesebbenSűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése
Sűrűségérés. Szilárd test sűrűségének érése A sűrűség,, definíciój hoogén test esetén: test töege osztv test V térfogtávl: V A sűrűség SI értékegysége kg/, hsználtos ég kg/d, kg/l és g/c Ne hoogén testnél
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
RészletesebbenN-ed rendű polinomiális illesztés
ed rendű polinomiális illesztés 1 oldl Tegük fel, hog dottk vlmilen fiziki menniség függvénében mért értékek, zz mérési értékpárok, hlmz ( db mérési pont) A mérés mindig trtlmz vlmekkor bizontlnságot mért
RészletesebbenHatározott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál
Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett
Részletesebben9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
. Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
RészletesebbenAz előadás anyagának törzsrésze
Az elődás nygánk törzsrésze 2. félév 1. Az egyváltozós differenciálszámítás lklmzási 1. Szélsőértékek. Foglmk. Def. Egy R pont környezete olyn J nyílt intervllum, melyre J. Def. Egy f : R R függvénynek
Részletesebbenf függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)
Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt
RészletesebbenEgy látószög - feladat
Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! Egy látószög - feldt 1. ábr Az A pont körül kering C pont, egy r sugrú körön. A rögzített A és B pontok egymástól távolság vnnk. Az = CAB szöget folymtosn mérjük. Keressük
Részletesebben19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer
19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
Részletesebben4. előadás: A vetületek általános elmélete
4. elődás: A vetületek áltlános elmélete A vetítés mtemtiki elve Két mtemtikilg meghtározott felület prméteres egyenletei legyenek következők: x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), I. z = f 3 (u, v). ξ = g 1
Részletesebben1. Házi feladatsor Varga Bonbien, VABPACT.ELTE
. Házi feldtsor Vrg Bonbien, VBPCT.LT. Feldt: feldt szerint z ellipszis istengelye ngytengelye b. Prméterezzü z ellipszist z lábbi módon: x = b cos t zz: y = sin t r(t) = b cos t sin t z ismert éplet szerint
RészletesebbenKovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137
ELEKTROTECHNIKA-ELEKTRONIKA Kovács Judit A LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK GAUSS-FÉLE ELIMINÁCIÓVAL TÖRTÉNŐ MEGOLDÁSÁNAK SZEREPE A VILLAMOSMÉRNÖK SZAKOS HALLGATÓK MATEMATIKA OKTATÁSÁBAN ON THE ROLE OF GAUSSIAN
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
RészletesebbenLajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1
Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így
RészletesebbenBevezetés a funkcionálanalízisbe
Bevezetés funkcionálnlízisbe Krátson János elődási lpján írt: Kurics Tmás Trtlomjegyzék Előszó 3 1. Normált terek 5 1.1. Normált terek és tuljdonságik............................ 5 1.2. Metrikus és normált
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
Részletesebben2. sillabusz a Többváltozós függvények kurzushoz
Az implicitfüggvény-tétel 2. sillabusz a Többváltozós függvények kurzushoz Mi az hogy sillabusz? Ez egy olyan iromány ami segédanyagnak készült. Vázlatos pontatlan (szándékoltan) hiányos. Segíti a tanulást
RészletesebbenMegint a szíjhajtásról
Megint szíjhjtásról Ezzel témávl már egy korábbi dolgoztunkbn is foglkoztunk ennek címe: Richrd - II. Most egy kicsit más lkú bár ugynrr vontkozó képleteket állítunk elő részben szkirodlom segítségével.
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenGyakorló feladatsor 11. osztály
Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy
RészletesebbenA Szolgáltatás minőségével kapcsolatos viták
I. A Szolgálttó neve, címe DITEL 2000 Kereskedelmi és Szolgálttó Korlátolt Felelősségű Társság 1051. Budpest, Nádor u 26. Adószám:11905648-2- 41cégjegyzékszám: 01-09-682492 Ügyfélszolgált: Cím: 1163 Budpest,
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenA VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY
A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus II. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológii Kr Klkulus II. Gselmnn Eszter Debrecen, 22 Azoknk, kik nem ismerik mtemtikát, nehézséget okoz keresztüljutni szépség vlódi érzéséhez, legmélyebb szépséghez,
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenVégeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
RészletesebbenDifferenciálgeometria feladatok
Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenVI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
RészletesebbenFeladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
RészletesebbenLineáris programozás
Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek
Részletesebben