5.1. A határozatlan integrál fogalma

Átírás

1 9 5. Egyváltozós vlós függvények integrálszámítás 5.. A htároztln integrál foglm Az eddigiekben megismertük differenciálás műveletét, melynek lpfeldt: dott f függvényhez megkeresni z f derivált függvényt. Természetesnek tűnik fordított problém tnulmányozás is: keressük zt z F függvényt, melynek ismert z F derivált függvénye. 5.. Péld. H tudjuk, hogy F () érvényes, kkor F () keresett függvény, zz melyre ( ) teljesül, hogy. Viszont F nem z egyetlen ilyen függvény. Például, z y y F () + és F () függvények ugynúgy teljesítik kívánt tuljdonságot, vgyis ( + ) és ( ). A következő ábrán néhány olyn függvény grfikonj láthtó, melyeknek f() deriváltfüggvénye. Figyeljük meg z dott függvénygörbék kölcsönös helyzetét. y y 5.. Definíció. H z F függvény differenciálhtó z [, b] intervllumon és minden [, b] esetén F () f(), kkor z F függvényt z f függvény primitív függvényének nevezzük z [, b] intervllumon. A fenti példából láthtó, hogy dott intervllum felett z f függvény primitív függvénye, h létezik, nem egyértelműen meghtározott. A következő állítás válszt d rr kérdésre, hogy egy függvénynek hány primitív függvénye lehet és hogy dott függvény primitív függvényeinek grfikonji milyen kölcsönös helyzetben vnnk egymássl.

2 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA 5.. Tétel. H z F és F függvények z f függvény primitív függvényei z [, b] intervllumon, kkor vn olyn C vlós állndó, hogy minden [, b] esetén F () F () C. Bizonyítás. Mivel z F és F függvények z f függvény primitív függvényei z [, b] intervllumon, ezért évényes, hogy F () f() és F () f() minden [, b] esetén. Kivonv második egyenlőséget z elsőből dódik, hogy F () F () f() f(), zz, hogy (F () F ()) minden [, b] esetén. Ebből z következik, hogy F () F () C minden [, b] esetén, mi zt jelenti, hogy dott f függvény primitív függvényei legfeljebb egy állndóbn különböznek egymástól. 5.. Péld. Az f() sin függvény minden primitív függvénye F () cos + C lkbn írhtó fel, hol C tetszőleges konstns. Az ábrán C, C, C, C és C eset láthtó. y y cos y cos y cos y cos y cos Π Π Π Π A fentiekben említett tuljdonságok geometrii jelentése következő:. H síkbeli koordinátrendszerben felrjzoljuk z f függvény egy primitív függvényének grfikonját z [, b] intervllumon, kkor sík minden olyn görbéje, mely ebből görbéből y-tengely menti párhuzmos eltolássl átvihető, szintén z f függvény egy primitív függvényének grfikonját képezi z [, b] intervllumon.. Az f függvény összes primitív függvényének grfikonji z [, b] intervllumon fent leírt módon állíthtók elő. 5.. Definíció. Legyen f olyn függvény, melynek vn primitív függvénye z [, b] intervllumon. Az f függvény [, b] intervllumhoz trtozó primitív függvényeinek hlmzát z f függvény htároztln integráljánk nevezzük és f() szimbólumml jelöljük.

3 5.. A htároztln integrál lptuljdonsági H F z f függvény egy primitív függvénye z [, b] intervllumon, kkor z [, b] felett f() {F () + C C R}. Az egyszerűség kedvéért, ezt úgy szokás írni mint f() F () + C, de figyelembe kell venni, hogy ilyen jelölési mód esetén ugynolyn szimbólumot hsználunk hlmz és hlmz egy eleme esetén is. Az szimbólum z integrál jele, f() z integrálndó függvény vgy integrndus, z f() kifejezés pedig z integrál ltti kifejezés. Figyelembe véve, hogy F z f függvény primitív függvénye z [, b] intervllumon, mi zt jelenti, hogy minden [, b] esetén F () f(), láthtjuk, hogy z f() integrál ltti kifejezés z F függvény differenciálját jelenti, és érvényes, hogy f() df () F () + C. (5.) Mivel dódik, hogy d(f () + C) df () F () f(), d f() f(). (5.) A (5.) és (5.) egyenlőségek zt muttják, hogy differenciálás művelete ( differenciál keresése) és z integrálás művelete ( htároztln integrál keresése) egymás inverzei, egy tetszőleges konstns pontosságáig. 5.. A htároztln integrál lptuljdonsági 5.. Tétel. H z f és g függvényeknek vn primitív függvénye z [, b] intervllumon, kkor z f + g függvénynek is vn primitív függvénye z [, b] intervllumon, mégpedig (f() + g()) f() + g(). Bizonyítás. Legyen F z f, G pedig g függvény primitív függvénye z [, b] intervllumon. Ekkor F () f(), G () g(), miből dódik, hogy (F () + G()) F () + G () f() + g(). Ezt zt jelenti, hogy F () + G() z f() + g() függvény primitív függvénye. Ezért (f() + g()) F () + G() + C, hol C tetszőleges vlós állndó. Másfelől f() F () + C, g() G() + C,

4 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA hol C és C tetszőleges vlós állndók, vgyis f() + g() F () + G() + C + C. Mivel C, C és C tetszőleges vlós állndók, z {F () + G() + C C R} és {F () + G() + C + C C, C R} függvényhlmzok egyenlőek. Az állítást ezzel beláttuk. 5.. Tétel. H z f függvénynek vn primitív függvénye z [, b] intervllumon és α R, kkor z αf függvénynek is vn primitív függvénye z dott intervllumon, mégpedig (αf()) α f(). Bizonyítás. Legyen F z f függvény primitív függvénye z [, b] intervllumon. Ekkor minden [, b] esetén teljesül, hogy F () f(), vgyis (αf ()) αf () αf(). Ezért (αf()) αf () + C, hol C tetszőleges vlós állndó. Másfelől f() F () + C, hol C tetszőleges vlós állndó, zz α f() α(f () + C ) αf () + αc. Az {αf () + C C R} és {αf () + αc C R} függvényhlmzok egyenlőek. Az állítást ezzel beláttuk. 5.. Következmény. H z f és g függvényeknek vn primitív függvényük z [, b] intervllumon, α és β pedig nullától különböző vlós számok, kkor z αf +βg függvénynek is vn primitív függvénye [, b] intervllumon, mégpedig (αf() + βg()) α f() + β g().

5 5.. A htároztln integrál lptuljdonsági Alpintegrálok táblázt. + C. n n+ n + + C, n R \ { }. ln + C,. e e + C C, >, ln sin cos + C cos sin + C sh ch + C ch sh + C tg + C, cos sin ctg + C, th + C ch cth + C, sh π + kπ, k Z kπ, k Z rcsin + C, < rctg + C + + ln C rsh + C { ( rch + C ln + ) + C, > ; ln + + C, <. rth + C ln ln C, < ; + C, >.

6 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA A htároztln integrálok megoldás során minden esetben feltételezzük, hogy z integrálás folymtábn megjelenő függvények értelmezési trtományán keressük primitív függvényt. FELADATOK. Htározzuk meg következő integrálok megoldását.. 5 Megoldás.. Megoldás... 5 Megoldás C 6 + C. ln + C. 5 + C + C. 5. Megoldás C C. Megoldás C C C. 6. Megoldás C C C.

7 5.. A htároztln integrál lptuljdonsági 5 7. ( sin cos ) Megoldás. ( sin cos ) sin cos ( cos ) sin + C cos sin + C. 8. (e + + ) Megoldás. (e + + ) e + 9 e ln + 9 ln + C e + ln + ln + C Megoldás. + ( + ) + ln + C 6 + ln + + C.. ( ) ( + ) Megoldás. ( ) ( ) ( + ) + ( ) C C Megoldás. 5 ( 5 ( ) ) 5 ( ) 5 ( 5 ) ln 5 + C (ln ln 5) 5 + C.

8 6 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA. + Megoldás. + ( ( + ) ) rctg + C ( + ) Megoldás. + ( + ( + ) ) + ( + ) tg Megoldás. ( + ) rctg + C rctg + C. sin tg cos cos cos cos tg + C. sin cos Megoldás. sin sin cos + cos sin cos 6. + cos + cos Megoldás. + cos + cos 7. cos cos sin Megoldás. cos cos + cos + sin tg ctg + C. + cos sin + cos + cos sin + cos cos tg + + C (tg + ) + C. cos cos sin sin (cos + sin )(cos sin ) cos sin cos sin (cos + sin ) cos + sin sin cos + C.

9 5.. A htároztln integrál lptuljdonsági 7 8. ( e ) Megoldás. ( e ) ( e ) (e) 9. sh (e) ln e + C e + C. + ln Megoldás. e e sh e (e ). + + Megoldás cos Megoldás. e (e ) ln e + C e + e + C ch + C. ( + + ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( ) + + rctg + C. 8 cos 8 sin sin + cos ( sin cos ) sin + cos ( sin cos cos + ) sin tg ctg + C.. ( sin + cos ) Megoldás. ( sin + cos ) ( sin + sin cos + ) cos ( + sin ) cos + C.

10 8 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA sin. cos cos Megoldás. sin sin cos cos + cos sin cos sin cos ( cos ) cos sin sin ctg tg + C. cos. 5. Megoldás. e +5 8 ( ) 8 ( 8) ln 8 + C ln ln 8 + C. 6. Megoldás. e +5 e 5 (e ) e5 (e ) ln e + C e+5 + C. Megoldás. rcsin + C. 7. (9 + 9 ) Megoldás. (9 ) rsh + C ln C. 8. Megoldás. ( ) rcsin + C rcsin + + C.

11 5.. Integrálási módszerek ( + ) Megoldás ( + ) rctg + C 5 rctg + C.. + Megoldás. ( + + ) ( ) ( + ) ( ( + ) + ) + rctg + C Integrálási módszerek 5... Helyettesítési módszer Helyettesítési módszernek nevezzük zt z integrálási módszert, melyet z összetett függvény differenciálásából vezetünk le. 5.. Tétel. H z f függvénynek vn F primitív függvénye z [, b] intervllumon és φ : [α, β] [, b] folytonosn differenciálhtó függvény z [α, β] intervllumon, zz φ(t), t [α, β], kkor z f(φ(t))φ (t) függvénynek vn F (φ(t)) primitív függvénye z [α, β] intervllumon, ezért [α, β]-n f(φ(t))φ (t)dt F (φ(t)) + C. Bizonyítás. Az F (φ(t)) összetett függvény differenciálhtó és igz, hogy (F (φ(t))) F (φ(t))φ (t). Mivel F z f függvény primitív függvénye z [, b] intervllumon, ezért t [α, β] esetén φ(t) [, b], zz F (φ(t)) f(φ(t)) z [α, β] intervllumon, honnn z állítás következik.

12 5 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA FELADATOK. Oldjuk meg helyettesítéssel következő htároztln integrálokt.. ( + b) n, n R \ { }, R \ {}, b R... Megoldás. Bevezetve z + b t, dt, dt helyettesítést dódik, hogy ( + b) n t n dt t n+ ( + b)n+ + C + C. n + (n + ) + Megoldás. Alklmzv + t, dt, dt helyettesítést kpjuk, hogy + dt t ln t + C ln + + C. + 9 Megoldás. Kiemelve 9-et nevezőből és rendezve z integrndust jön, hogy ( 9. 9 ) + Vezessük be most z t, dt helyettesítést. Ekkor + 9 dt 9 t + rctg t + C rctg + C. Megoldás. Kiemelve -t nevezőből és rendezve z integrndust következik: ( ) ( ). Vezessük be most z t, dt helyettesítést. Ekkor dt rcsin t + C rcsin t + C. 5. e +5 Megoldás. Bevezetve + 5 t, dt, dt helyettesítést dódik: e +5 e t dt et + C e+5 + C.

13 5.. Integrálási módszerek sin(5 + ) Megoldás. Bevezetve 5 + t, 5 dt, dt helyettesítést kpjuk: 5 5 sin(5 + ) 5 sin tdt cos t + C cos(5 + ) + C. 5 cos ( ) π Megoldás. Bevezetve π t, dt helyettesítést z integrál megoldás: cos ( dt ) ( π cos t tg t + C tg π ) + C. p+q, R +, p R \ {}, q R Megoldás. Vezessük be p + q t, p dt, dt helyettesítést. Ekkor p p+q t dt p p t ln + C p+q p ln + C Megoldás. Egészítsük ki teljes négyzetté nevezőben levő másodfokú kifejezést. Ekkor ( + + ) + ( + ) +. Kiemelve -et nevezőből kpjuk, hogy Bevezetve + ( + ). + t, dt, dt helyettesítést dódik, hogy dt t + rctg t + C rctg + + C. Megoldás. Bevezetve t, dt, dt helyettesítést dódik, hogy dt t dt t t + C t + C ( ) + C.

14 EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA Megoldás. Bevezetve + t, dt helyettesítést következik: dt + t ln t + C ln( + ) + C.. + Megoldás. Bevezetve + t, dt, dt helyettesítést dódik: + tdt t dt t + C 9 t + C 9 t t + C 9 ( + ) + + C.. Megoldás. Alklmzzuk z t, ( ) dt helyettesítést. Ekkor dt t ln t + C ln + C.. 9t + t + 5 t + t + 5t + dt Megoldás. Emeljünk ki -t számlálóból z integrál elé. Ekkor 9t + t + 5 t + t + 5t + dt t + t + 5 t + t + 5t + dt. Bevezetve t + t + 5t + z, (t + t + 5)dt dz helyettesítést következik, hogy 9t + t + 5 dz t + t + 5t + dt z ln z + C ln t + t + 5t + + C. 5. ln Megoldás. Bevezetve ln t, dt helyettesítést dódik, hogy dt ln t ln t + C ln ln + C.

15 5.. Integrálási módszerek 5 6. e Megoldás. Bevezetve t, dt, dt helyettesítést jön, hogy e e t dt et + C e + C + C. e sin cos Megoldás. Bevezetve cos t, sin dt, sin dt helyettesítést dódik: sin cos dt t ln t + C ln cos + C. tg Megoldás. Alklmzzuk tg α sin α trigonometrii zonosságot. Ekkor cos α sin tg cos. Bevezetve cos t, sin dt, sin dt helyettesítést dódik, hogy tg dt t ln t + C ln cos + C. sin 9. π + sin Megoldás. Bevezetve π + sin t, sin cos dt, sin dt. helyettesítést következik, hogy sin dt π + sin t ln t + C ln(π + sin ) + C. sin ( sin ) Megoldás. Alklmzzuk sin α trigonometrii zonosságot és rendezzük z integrndust. Ekkor sin ( sin ) cos α sin ( cos ) sin cos.

16 5 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA Bevezetve cos t, sin dt helyettesítést dódik, hogy sin dt ( sin ) ln t + C ln cos + C ln + cos + C. t. sin cos sin + cos Megoldás. Bővítsük z integrndust sin + cos -el, mjd rendezzük. Ekkor sin cos sin cos sin + cos sin + cos sin + cos sin + cos sin cos (sin + cos ) (cos sin ) sin + sin cos + cos cos + sin. Alklmzv + sin t, cos dt, cos dt helyettesítést dódik, hogy sin cos sin + cos sin cos. sin + cos Megoldás. Bevezetve. dt t ln t + C ln + sin + C. sin + cos t, sin cos dt, sin cos dt helyettesítést z integrál megoldás: sin cos sin + cos ln t + C ln ( sin + cos ) + C. sin Megoldás. Alklmzzuk először nevezőben sin α sin α cos α zonosságot. Ekkor Bevezetve z sin sin cos. t, dt helyettesítést dódik, hogy sin dt sin t cos t dt sin t cos t. Egyszerűsítsük most z integrndust cos t-vel. Ekkor sin dt cos t sin t cos t cos t dt cos t sin t cos t dt cos t tg t. dt Bevezetve most tg t z, dz helyettesítés kpjuk, hogy cos t dz tg sin z ln z + C ln tg t + C ln + C.

17 5.. Integrálási módszerek 55. ( ) rcsin Megoldás. Bevezetve rcsin t, ( ) rcsin rcsin dt helyettesítést dódik, hogy dt t t+c rcsin +C. 5. Megoldás. Alkítsuk át először z integrndust: + ( + ) ( ). Bevezetve z t, dt helyettesítést dódik, hogy dt rcsin t + C rcsin( ) + C. t 6. sin sin Megoldás. Felhsználv sin α sin α cos α trigonometrii zonosságot és bevezetve t sin, dt cos helyettesítést következik, hogy sin sin sin 5 cos t 5 dt t6 6 + C sin6 + C. 7. ln tg sin Megoldás. Bevezetve z ln tg t, dt, tg cos sin dt helyettesítést z integrál következőképpen oldhtó meg: ln tg sin tdt t + C t (ln tg ) + C + C. 8. ln ln Megoldás. Bevezetve z ln t, dt helyettesítést dódik: ln ln t tdt t dt t5 + C 5 5 t t + C 5 ln ln + C.

18 56 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA 9. + Megoldás. Alkítsuk át z integrndust: + + ( ). Bevezetve második integrálbn z t, dt, dt helyettesítést következik: + rcsin + t+c rcsin + t+c rcsin + +C.. Megoldás. Bevezetve z t rcsin, sin t, cos tdt helyettesítést kpjuk, hogy cos sin t cos tdt t cos tdt + cos t cos tdt dt dt + cos tdt. Alklmzzuk második integrálbn most t z, dt dz helyettesítést. Ekkor t + cos zdz t + sin z + C t + sin t + C. Mivel sin t sin t cos t sin t sin t, megoldás visszhelyettesítés után t + sin t sin t + C (rcsin + ) + C Prciális integrálás módszere A prciális integrálás módszere két függvény szorztánk differenciálási szbályából vezethető le Tétel. H u és v folytonosn differenciálhtó függvények z [, b] intervllumon, kkor z [, b] intervllumon érvényes, hogy u()dv() u()v() v()du().

19 5.. Integrálási módszerek 57 Bizonyítás. Az [, b] intervllumon értelmezett u és v függvények szorztánk deriváltját z (u()v()) u ()v() + u()v () formul dj, szorzt differenciálját pedig d(u()v()) v()du() + u()dv(). H z u és v függvények folytonosn differenciálhtók, kkor igz, hogy u()v() + C v()du() + u()dv(). Ebből, figyelembe véve, hogy htároztln integrál két tetszőleges konstnst is trtlmz, C konstnst kihgyhtjuk, s z [, b] intervllumr igz lesz, hogy u()dv() u()v() v()du(), honnn z állítás következik. Ily módon z u()v () függvény primitív függvényének megtlálás visszvezetődik egy részleges integrálásr és v()u () függvény primitív függvényének meghtározásár. A fenti tétel lpján végzett integrálási módszert nevezzük prciális integrálásnk. Az egyszerűség kedvéért prciális integrálás lklmzásánál formulából szokás kihgyni z rgumentumot. A formul ekkor: udv uv vdu. FELADATOK Htározzuk meg prciális integrálás módszerével z lábbi htároztln integrálok megoldását.. e Megoldás. Alklmzzuk prciális integrálás módszerét. H u, dv e, kkor du, v e e.. Behelyettesítve prciális integrálás képletébe és elvégezve z integrálást dódik: e e e e e + C e ( ) + C. sin Megoldás. Alklmzzuk prciális integrálás módszerét. H u, dv sin, kkor du, v sin cos. Behelyettesítve prciális integrálás képletébe és elvégezve z integrálást kpjuk, hogy sin cos ( cos ) cos + cos cos +sin +C.

20 ( + ) cos Megoldás. H EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA u +, dv cos, kkor du, v sin, hol v kiszámításánál t, dt, dt helyettesítést és z lábbi számítást lklmzzuk: v cos cos tdt sin t + C sin + C. Behelyettesítve prciális integrálás képletébe és elvégezve z integrálást következik, hogy (+) cos + + sin sin sin sin.. Alklmzv kpott integrálbn t, dt, dt helyettesítést dódik: ( + ) cos + sin sin tdt sh + sin + ( cos t) + C sin + cos + C. Megoldás. Alklmzzuk prciális integrálás módszerét. H u, dv sh, kkor du, v sh ch. Behelyettesítve prciális integrálás képletébe és elvégezve z integrálást jön, hogy sh ch ch ch ch ch sh + C. 5. sin Megoldás. Alklmzzuk sin α sin H most második integrálbn cos α cos trigonometrii zonosságot. Ekkor cos. u, dv cos, kkor du, v sin,

21 5.. Integrálási módszerek kkor behelyettesítve prciális integrálás képletébe és elvégezve z integrálást dódik: sin ( sin ) sin ln sin cos + C sin cos + C. 8 Megoldás. Alklmzzuk prciális integrálás módszerét. H u ln, dv, kkor du, v. 7. Behelyettesítve prciális integrálás képletébe és elvégezve z integrálást következik, hogy ln ln ln ln + C (ln ) + C. rctg 8. Megoldás. Alklmzzuk prciális integrálás módszerét. H u rctg, dv, kkor du +, v. Behelyettesítve prciális integrálás képletébe és elvégezve z integrálást kpjuk, hogy rctg rctg +. Bevezetve kpott integrálbn z + t, dt, dt helyettesítést kpjuk megoldást: rctg rctg dt t rctg ln t +C rctg ln(+ )+C. rcsin Megoldás. Alklmzzuk prciális integrálás módszerét. H u rcsin, dv, kkor du 9, v. Behelyettesítve prciális integrálás képletébe és elvégezve z integrálást következik, hogy rcsin rcsin. 9

22 6 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA Bevezetve kpott integrálbn z 9 t, 9 t, 8 tdt, tdt helyettesítést dódik, hogy 9 rcsin rcsin + tdt rcsin + dt + C 9 t 9. ln rcsin + t + C rcsin C... Megoldás. Alklmzzuk z integrálás során prciális integrálás módszerét. H u ln, dv, kkor du, v. Helyettesítsünk be prciális integrálás képletébe és végezzük el z integrálást. Ekkor ln ln ln ln + C. ln Megoldás. Alklmzzuk z integrálás során prciális integrálás módszerét. H u ln, dv, kkor du, v. Behelyettesítve prciális integrálás képletébe és elvégezve z integrálást kpjuk, hogy ln ln ln ln 6 + C. ln ( + ) Megoldás. Alklmzzuk z integrálás során prciális integrálás módszerét. H u ln ( + ), dv, kkor du, v. + Behelyettesítve prciális integrálás képletébe és elvégezve z integrálást következik, hogy ln ( + ) ln ( + ) + ln ( + ) + ln ( + ) + ln ( + ) ln ( + ) + + ( + ) + ln ( + ) + rctg + C.

23 5.. Integrálási módszerek 6. rctg Megoldás. Alklmzzuk prciális integrálás módszerét. H. u rctg, dv, kkor du +, v. Behelyettesítve prciális integrálás képletébe és elvégezve z integrálást jön, hogy rctg rctg + rctg + + rctg ( ) + rctg + rctg + C. rcsin Megoldás. Alklmzzuk prciális integrálás módszerét. H u rcsin, dv, kkor du, v. Behelyettesítve prciális integrálás képletébe és elvégezve z integrálást dódik, hogy rcsin rcsin rcsin + rcsin + ( ). A helyettesítési módszerrel megoldott feldtsor. feldt lpján rcsin +, ezért következik, hogy rcsin rcsin + rcsin + rcsin + C. sin cos rcsin rcsin + + C. sin α Megoldás. Alklmzv sin α cos α trigonometrii zonosságot kpjuk, hogy sin cos sin. H u, dv sin, kkor du, v cos,

24 6 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA kkor behelyettesítve prciális integrálás képletébe és elvégezve z integrálást dódik: sin cos ( ( cos ) ) cos 5. cos + sin + C. 8 cos sin Megoldás. Alklmzzuk prciális integrálás módszerét. H u, dv cos sin, kkor du, v sin, hol v kiszámítás sin t, cos dt helyettesítés bevezetésével történt: cos dt v dv sin t t + C sin. Behelyettesítve prciális integrálás képletébe és elvégezve z integrálást kpjuk megoldást: cos sin sin + sin. Felhsználv helyettesítési módszerrel megoldott feldtsor. feldtánk eredményét, miszerint tg sin ln + C, kpjuk, hogy cos sin tg sin + ln + C. ln 6. Megoldás. Alklmzzuk z integrálás során prciális integrálás módszerét. H u ln, dv, kkor du, v. 7. Behelyettesítve prciális integrálás képletébe és elvégezve z integrálást következik, hogy ln ln ln ln ln + C (ln ) + C. Megoldás. Alklmzzuk z integrálás során prciális integrálás módszerét. H u ln, dv, kkor du ln, v.

25 5.. Integrálási módszerek 6 Behelyettesítve prciális integrálás képletébe és elvégezve z integrálást dódik: ln ln ln ln ln. Felhsználv prciális integrálás módszerévell megoldott feldtsor 9. feldtánk eredményét, miszerint ln ln + C, 8. kpjuk, hogy e cos ln ln ln + + C. Megoldás. Alklmzzuk prciális integrálás módszerét. H u cos, dv e, kkor du sin, v e. Behelyettesítve prciális integrálás képletébe következik, hogy I e cos e cos + e sin. Alklmzzuk most újr kpott integrálbn prciális integrálás módszerét. H u sin, dv e, kkor du cos, v e. Behelyettesítve prciális integrálás képletébe most zt kpjuk, hogy I e cos + e sin e cos e cos + e sin I, zz ugynzt z integrált kptuk, melyből kiindultunk. Ekkor I e cos + e sin, 9. honnn sin( + ) I e (cos + sin ) + C. Megoldás. Alklmzzuk prciális integrálás módszerét. H u, dv sin( + ), kkor du ln, v cos( + ). Behelyettesítve prciális integrálás képletébe dódik, hogy I sin( + ) cos( + ) + ln cos( + ).

26 6 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA Alklmzzuk most újr kpott integrálbn prciális integrálás módszerét. H u, dv cos( + ), kkor du ln, v sin( + ). Behelyettesítve prciális integrálás képletébe most zt kpjuk, hogy I cos(+)+ ln ( ) ln sin( + ) sin( + ) cos( + ) + ln sin( + ) ln I, 9 9 zz ugynzt z integrált kptuk, melyből kiindultunk. Ekkor ( + ) ln I 9 cos( + ) + ln sin( + ), 9 honnn I. ln ( + ) rctg ( + ) ln ( + ) 9 ( ln 9 + ln sin( + ) ) 9 cos( + ) + C 9 + ln ( ln sin( + ) cos( + )) + C. Megoldás. Rendezzük z integrndust z lábbi módon: ln ( + ) rctg I ( + ) ln ( + ) ( ln ( + ) ) rctg ( + ) ln ( + ). Alklmzzuk z integrálás során prciális integrálás módszerét. H kkor u ln ( + ) rctg, dv du ln ( + ), hol v kiszámítás ln ( + ) t, v dv + ( + ) ln ( + ) ( + ) ln ( + ), v ln ( + ), dt helyettesítéssel történt: dt t t + C ln ( + ) + C. Behelyettesítve prciális integrálás képletébe és elvégezve z integrálást dódik, hogy ( I ln ( + ) ) ( ) rctg ln ( + ) ( ) ( ln ( + ) ln ( + ) ) + rctg ln ( + ) + rctg ln ( + ) + + C rctg ln ( + ) + C.

27 5.. Rcionális és rcionlizálhtó integrálok Rcionális és rcionlizálhtó integrálok 5... Rcionális függvények integrálás 5.. Definíció. Rcionális törtfüggvénynek vgy röviden rcionális törtnek nevezzük két polinom, például P () és Q(), f() P () hánydosát, hol Q() osztópolinom nem Q() nullpolinom. Rcionális törtfüggvényekkel ugynolyn szbályok szerint végzünk műveleteket, mint rcionális számokkl. A rcionális törtek egyenlőségét ugynúgy értelmezzük, mint törtek egyenlőségét z elemi ritmetikábn. A továbbikbn csk vlós együtthtós rcionális törtekkel fogunk fogllkozni. 5.. Definíció. Rövidíthetetlennek nevezünk egy rcionális törtet, h számlálój reltív prím nevezőjéhez Tétel. Minden rcionális tört egyenlő egy rövidíthetetlen törttel, mely számláló és nevező nulldfokú közös tényezőitől eltekintve, egyértelműen meghtározott. Bizonyítás. Bármely rcionális törtet egyszerűsíthetjük számlálójánk és nevezőjének legngyobb közös osztójávl, miáltl egy z eredetivel egyenlő rövidíthetetlen törtet kpunk. H továbbá P () φ() és rövidíthetetlen törtek egyenlők egymássl, zz Q() ψ() P ()ψ() Q()φ(), kkor P () és Q() reltív prím voltából következik, hogy φ() oszthtó P () polinomml, φ() és ψ() reltív prím voltából pedig következik, hogy P () oszthtó φ()-szel. Eszerint P () Cφ(), kkor viszont Q() Cψ() is következik Definíció. Nevezzünk egy rcionális törtet szbályosnk vgy vlódink, h számlálójánk fokszám lcsonybb, mint nevezőjéé. H megegyezés szerint szbályos törtek közé számítjuk nullpolinomot is, kkor érvényes következő állítás: 5.7. Tétel. Minden rcionális tört egyértelműen előállíthtó egy polinom és egy szbályos tört összegeként. Bizonyítás. H dott P () Q() rcionális tört, s h számlálót nevezővel osztv z P () Q()S() + R() egyenlőséget nyerjük, hol R() fokszám kisebb, mint Q()-é, kkor könnyű belátni, hogy H továbbá fennáll z P () Q() S() + R() Q(). P () Q() S() + φ() ψ()

28 66 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA egyenlőség, hol φ() fokszám kisebb ψ() fokszámánál, kkor két egyenlet kivonásávl kpjuk, hogy S() + R() Q() S() φ() ψ(), honnn ebből pedig S() S() φ() ψ() R() Q(), S() S() φ()q() ψ()r(). ψ()q() Minthogy most bl oldlon polinom áll, jobb oldlon pedig szbályos tört, miről könnyű meggyőződni, zért szükségképpen S() S() és φ() ψ() R() Q(). A szbályos rcionális törteket további vizsgáltnk vethetjük lá. Először is emlékeztetünk rr, hogy z irreducibilis vlós polinomok lkú lineáris polinomok lehetnek, hol vlós szám, illetve p + q lkú másodfokú polinomok, hol p, q R és p q <. Az irreducibilis vlós másodfokú polinomoknk nincsenek vlós gyökei Definíció. A P () szbályos rcionális törtet elemi törtnek nevezzük, h nevezője, Q() Q() vlmely irreducibilis p() polinom htvány, Q() p k () (k ), számláló P () pedig lcsonybb fokú, mint p(). 5.. Péld. Néhány elemi tört:, ( + ), π +, Érvényes következő állítás, mit bizonyítás nélkül fogunk megdni: 5 + +, ( + ) Tétel. Minden szbályos rcionális tört egyértelműen felbonthtó elemi törtek összegére. FELADATOK Oldjuk meg következő rcionális integrálokt.. Megoldás. Az integrndus rcionális törtfüggvény, bontsuk tehát elemi törtek összegére. Mivel ( ), ezért A + B

29 5.. Rcionális és rcionlizálhtó integrálok 67 lkbn keressük z elemi törtek öszegét. Szorozzuk be mindkét oldlt bloldli nevezővel. Ekkor A( ) + B. esetén fenti egyenlőségből A dódik, esetén pedig B, melyből megoldások A és B, z integrndus pedig felírhtó mint. + +, z integrálási feldt pedig következő módon oldhtó meg: ( + ) + ln + ln + C ln + C. Megoldás. Mivel z integrndus rcionális törtfüggvény és nevezője felírhtó ( + )( ) lkbn, ezért A + + B lkbn keressük z elemi törtek öszegét. Szorozzuk be mindkét oldlt bloldli nevezővel és rendezzük kifejezést. Ekkor A( ) + B( + ), illetve (A + B) A + B. A megfelelő együtthtók kiegyenlítésével kpjuk z A + B, A + B két egyenletből álló kétismeretlenes egyenletrendszert, melynek megoldás A, B. Ekkor z integrálási feldt megoldás: ( + + ) + + ln + + ln + ln C ln C( + )( ) Megoldás. Mivel z integrndus rcionális törtfüggvény és nevezője felírhtó + ( )( + ) lkbn, ezért 7 + A + B + + C ( + )

30 68 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA lkbn keressük z elemi törtek öszegét. Szorozzuk be mindkét oldlt bloldli nevezővel és rendezzük kifejezést. Ekkor 7 A( + ) + B( )( + ) + C( ). esetén fenti egyenlőségből 9 9A, illetve A dódik, esetén 9 C, illetve C, behelyettesítésével pedig 7 B, illetve B. Ekkor z integrálási feldt megoldás: I ( ) ( + ) + ( + ). Az t, dt, illetve + z, dz helyettesítések bevezetésével, mjd z integrálás elvégzésével kpjuk, hogy. I dt dz t + z ln t + C ln z + + C Megoldás. Mivel z integrndus rcionális törtfüggvény és nevezője felírhtó ( )( + 5) lkbn, ezért + ( )( + 5) A + B + C + 5 lkbn keressük z elemi törtek öszegét. Szorozzuk be mindkét oldlt bloldli nevezővel és rendezzük kifejezést. Ekkor + A( + 5) + (B + C)( ). esetén fenti egyenlőségből A, illetve A dódik, esetén 5 C, illetve C, behelyettesítésével pedig B, illetve B megoldás. Ekkor z integrálási feldt megoldás: I ( ) Emeljünk ki 5-öt második integrál nevezőjéből, mjd vezessük be z t, dt és s, 5ds helyettesítéseket. Ekkor 5 dt I t + 5 5ds s + 5 ln t + 5 rctg s + C ln rctg 5 + C.

31 5.. Rcionális és rcionlizálhtó integrálok Megoldás. Mivel z integrndus rcionális törtfüggvény és nevezője felírhtó ( )( + ) lkbn, ezért ( )( + ) A + B + C + lkbn keressük z elemi törtek öszegét. Szorozzuk be mindkét oldlt bloldli nevezővel és rendezzük kifejezést. Ekkor A( )( + ) + B( + ) + C( ) esetén fenti egyenlőségből A, illetve A dódik, esetén B, illetve B, behelyettesítésével pedig C, illetve C megoldás. Ekkor z integrálási feldt megoldás: ( I + + ) + + ln ln ln + + ln C ln C ( + + )( + ) Megoldás. Mivel z integrndus rcionális törtfüggvény, nevezője pedig irreducibilis másodfokú polinomok szorzt, ezért + ( + + )( + ) A + B C + D + lkbn keressük z elemi törtek öszegét. Szorozzuk be mindkét oldlt bloldli nevezővel és rendezzük kifejezést. Ekkor + (A + B)( + ) + (C + D)( + + ). esetén fenti egyenlőségből B +D dódik, érték behelyettesítésével (A+B)+(C +D), behelyettesítésével 6 ( A+B) +( C +D), behelyettesítésével pedig z 8 (A + B) + (C + D) 7 egyenletet kpjuk. A kpott négy egyenletből álló négyismeretlenes egyenletrendszer B + D, A + B + C + D, A + B C + D 6, 6A + B + C + 7D 8. Az első egyenletből D B, s ezt behelyettesítve többi egyenletbe dódik következő három lineáris egyenletből álló háromismeretlenes egyenletrendszer A B + C 8, A B C, A B + 7C 6,

32 7 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA 7. melynek megoldás A, B és C, vlmint D. Ekkor z integrálási feldt megoldás: ( + I ( + + )( + ) ) Az első integrál megoldásához átírjuk nevezőt ( ) [ ( + + ) ] + formáb és bevezetjük + s, ds, ds helyettesítést, másik integrálbn pedig z + t, ( ) dt helyettesítést vezetjük be. Ekkor I dt ( ) + t ds ln t s rctg s ln t + C rctg ln ( + ) + C Megoldás. Alkítsuk át nevezőt szorzttá: Így z integrál megoldásához ( + + ) ( + + )( + ). + ( + )( + + ) A + B + + C + D + + lkbn keressük z elemi törtek öszegét. Szorozzuk be mindkét oldlt bloldli nevezővel és rendezzük kifejezést. Ekkor + (A + B)( + + ) + (C + D)( + ). esetén fenti egyenlőségből B + D dódik, z érték behelyettesítésével (A + B) + (C + D), z érték behelyettesítésével ( A + B) + ( C + D), z érték behelyettesítésével pedig z 9 (A + B) 7 + (C + D) 5 egyenletet kpjuk. A kpott négy egyenletből álló négyismeretlenes egyenletrendszer B + D, A + B + C + D, A + B C + D, A + 7B + C + 5D 9.

33 5.. Rcionális és rcionlizálhtó integrálok 7 8. Az első egyenletből D B, s ezt behelyettesítve többi egyenletbe dódik következő három lineáris egyenletből álló háromismeretlenes egyenletrendszer A + B + C, A B C, 7A + B + 5C 7, melynek megoldás A, B és C, vlmint D. Ekkor z integrálási feldt megoldás: ( ) + I Az első integrálbn bevezetjük z + t, dt, dt helyettesítést, második integrál megoldásához pedig átírjuk nevezőt + + ( + ) + formáb és bevezetjük + s, I dt t ds, [ ( + ) + ( ) + ln t + ] ds helyettesítést. Ekkor ds s + ln( + ) rctg s + C ln( + ) + rctg + C Megoldás. Először bontsuk elemi törtek összegére P () vlós szbályos rcionális Q() törtet, hol P () és Q() Könnyen ellenőrizhető, hogy Q() ( + )( ) ( + ), s emellett z +,, + polinomok mindegyike irreducibilis. A keresett felbontás szükségképpen P () Q() A + + B ( ) + C + D + E + lkú, honnn z A, B, C, D és E prméterek értékét kell meghtározni. Szorozv fenti egyenlőség mindkét oldlát Q() polinomml, következik P () A( ) ( + ) + B( + )( + ) + C( + )( )( + ) + + D( + )( ) + E( + )( )

34 7 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA egyenlőség. Kiegyenlítve kpott egyenlőség jobb és bl oldlán szereplő polinomok megfelelő együtthtóit, öt egyenletből álló, egyértelműen megoldhtó lineáris egyenletrendszert kpunk, A, B, C, D, E ismeretlenekkel. Az ismeretlenek meghtározásár zonbn más módszer is válszthtó. H kpott egyenlőségben z behelyettesítést elvégezzük, 5A 5 egyenlőséget kpjuk, honnn A dódik. helyettesítéssel kpjuk, hogy 6B 6, zz B. Ezután helyettesítsünk z egyenlőségbe -t, mjd -et. Figyelembe véve A és B ismert értékeit, kpjuk C + E C D + E 8 egyenletrendszert. Innen D. Végül helyettesítsünk -t fenti egyenlőségbe, mjd már kiszámolt értékek felhsználásávl együtt nyerjük C + E 5 egyenletet, mi fenti egyenletrendszerrel együtt vezet C és E értékekhez. Így tehát A fenti levezetés lpján + P () Q() + + ( ) + +. I ( ( ) + ( ) ) + +. Az s + és t helyettesítés bevezetésével, hol ds és dt, vlmint w + helyettesítés bevezetésével, hol dw, dódik I s ds + t dt t dt + w dw + ln s t ln t + ln w rctg + C. Visszhelyettesítés után kpjuk, hogy I ln + ln + ln( + ) rctg + C. 9. ( )( + ) Megoldás. Az integrndus egy nem szbályos rcionális törtfüggvény, mi zt jelenti, hogy fel kell írni egy polinom és egy szbályos rcionális tört összegeként. A számlálót nevezővel elosztv, rendezés után kpjuk, hogy ( )( + ) ( )( + ),

35 5.. Rcionális és rcionlizálhtó integrálok 7 és így I ( ( )( + ) ) ( )( + ) ( )( + ). A rcionális törtfüggvény integrálásához rcionális törtfüggvényt fel kell bontni elemi törtek összegére. Konkrét esetben: Ebből következik, hogy ( )( + ) I ( 6 +. ). + Az s és t + helyettesítés bevezetésével, hol ds és dt, dódik, hogy I + + s ds 6 t dt + + ln s 6 Visszhelyettesítés után kpjuk következő eredményt: I + + ln ln t + C. ln + + C ln + C. ( + ) Megoldás. Az integrndus egy nem szbályos rcionális törtfüggvény, mi zt jelenti, hogy fel kell írni egy polinom és egy szbályos rcionális tört összegeként. A számlálót nevezővel elosztv, rendezés után kpjuk, hogy s így I ( + ) ( , ) ( )( + ).

36 7 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA A rcionális törtfüggvény integrálásához rcionális törtfüggvényt fel kell bontni elemi törtek összegére. Konkrét esetben: Ebből következik, hogy ( )( + ) + ( + ). I ( + ). Az s és t + helyettesítés bevezetésével, hol ds és dt, dódik, hogy I ds dt ++ s + (t) ++ln s +C ++ln t + +C Irrcionális függvények integrálás Az irrcionális integrálok megoldáskor rr törekszünk, hogy megfelelő helyettesítések bevezetésével z dott integrált rcionális törtfüggvény integrálásár vezessük vissz. Irrcionális integrálok esetén típusok és helyettesítések igen sokfélék lehetnek. Közülük csk két legegyszerűbbet muttjuk meg. A következőkben z R rcionális törtkifejezést jelöl. ( ) ) R, p + b + b c + d, p pk + b,..., integrál esetén helyettesítés c + d c + d + b c + d tn, hol n LKT (p, p,..., p k ). H c és d, kkor ez z integráltipus legegyszerűbb lkot veszi fel. Mi csk ilyen integrálokkl fogllkozunk. FELADATOK Htározzuk meg következő irrcionális integrálok megoldását.. + Megoldás. Az integrál megoldásához vezessük be + t, t, t dt, t dt helyettesítést, z dott integrál pedig így lkul: t + t t dt (t )t dt (t 6 t )dt ( ) t 7 7 t + C ( t t 7 ) + C ( ( + ) + ) + C 7 ( + ) ( ) C ( + )(8 9) + + C.

37 5.. Rcionális és rcionlizálhtó integrálok Megoldás. Vegyük észre, hogy z integrndus irrcionális függvény, hol minden gyök ltti mennyiség ugynz z, és megegyezik z ) típusú integrálll, b, c, d esetén. Mivel gyökkitevők és, ezért n LKT (, ) 6, így helyettesítés t 6, 6t 5 dt. Ekkor I + 6t 5 dt t6 + t 6 6 t 5 dt t + t 6 vlóbn rcionális integrál. Mivel ( t t + t t + ) 8 8 t +, t dt + t, ezért keresett integrál ( t I 6 t + 8 ) 8 dt t + t dt tdt+ dt dt t + t t + t ln t + + C. Mivel t 6 volt helyettesítés, honnn t 6, ezért I ( 6 ) ( 6 ) + 6 ln C ln C. Megoldás. Mivel és így I + +, ebből z következik, hogy n LKT (, ), vgyis z t, t dt helyettesítést kell bevezetni. Ekkor I t t dt t t + ( t t ) dt t + tdt t t + dt t (t + )(t t + ) dt. A második integrál rcionális tört, mely felbonthtó elemi törtek összegére, zz t (t + )(t t + ) t + + t + t t +,

38 76 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA ezért továbbikbn I t + dt t + t + ln t + Vezessük most be t z, dt I t + ln t dz dt (t t + ) + dt ( ). t + helyettesítést. Ekkor dz z + t + Visszhelyettesítve z eredeti változór dódik, hogy t, ezért 8 ln t + rctg z + C I + ln rctg + C. Megoldás. Mivel n LKT (, ), vgyis z 5 t, t dt, t dt helyettesítést kell bevezetni. Ekkor I 5 5 t dt t t t dt t t t dt t (t ) + (t )(t + ) dt dt + t t (t + )dt + dt t dt t t + t + ln t + C. Mivel most t 5, ezért vissztérve z eredeti változór kpjuk, hogy I ln 5 + C Megoldás. Vezessük be z + t, t +, tdt helyettesítést. Ekkor + + t + t ( I + t tdt + t t dt t + + ) dt t ( ) t + t + ln t + C t + t + ln t + C. Vissztérve z eredeti változór, I ln + + C.

39 5.. Rcionális és rcionlizálhtó integrálok 77 ( b) R, ) p + q + r (p, q, r R) típusú irrcionális integrálokt vgy trigonometrikus vgy hiperbolikus helyettesítéssel oldhtunk meg ttól függően, hogy z p +q+r másodfokú trinom négyzetek összegeként vgy négyzetek különbségeként írhtó fel. H R \ {}, kkor R (, ) esetén helyettesítés sin t vgy cos t, R (, ) + esetén helyettesítés sh t, R (, ) esetén helyettesítés ch t. A megdott helyettesítéseket és sin t cos t, cos t + cos t, sh t ch t, ch t ch t + zonosságokt lklmzv kpott integrálok lpintegrálokr vezethetők vissz. FELADATOK Oldjuk meg következő irrcionális integrálokt.. ( ). Megoldás. A fentiek lpján vezessük be z sin t, cos tdt helyettesítést. Ekkor I ( ) cos tdt (sin t ) sin t cos tdt ( cos t) cos t dt tg t + C. cos t Mivel t rcsin és tg t ezért vissztérve z eredeti változór dódik, hogy ( + ) + + sin t sin t, I tg(rcsin ) + C + C. Megoldás. A gyök ltti másodfokú kifejezés most négyzetek összegeként írhtó fel + + ( + ) + lkbn, ezért lklmzzuk z + sh t, ch tdt helyettesítést. Ekkor I ( + ) + + ( + ) ( + ) + ch tdt sh t sh t +

40 78 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA ch tdt sh t ch t dt sh sh t cth t + C t + + C. sh t Mivel t rsh ( + ), ezért vissztérve z eredeti változór zt kpjuk, hogy. ( + ) I + C + C. + + Megoldás. Mivel + ( + ) ezért I ( ) ( ), ( ). Vezessük be sin t, + sin t, cos tdt helyettesítést. Ekkor I + sin t sin cos tdt t ( + sin t) cos tdt 8 8 cos tdt + 8 cos t sin tdt. Az első integrálbn lklmzzuk cos + cos t t trigonometrikus zonosságot, másikbn pedig bevezetjük cos t z, sin tdt dz, sin tdt dz helyettesítést. Ekkor I + cos t dt z dz ( + cos t)dt z dt + 6 cos tdt cos t 8 6 t + sin t 6 cos t + C 6 t + sin t cos t 6 (cos t) + C. Térjünk most vissz z eredeti változór. Mivel most sin t, honnn t rcsin( ) és cos t sin t ( ), ezért I 6 rcsin( ) + 8 ( ) 8( ) + C 6 rcsin( ) C.

41 5.. Rcionális és rcionlizálhtó integrálok Trigonometrikus függvények integrálás A trigonometrikus függvények rcionális kifejezéseinek integrálás mindig megoldhtó elemi úton. Néhány egyszerűbb típus trigonometrikus átlkításokkl visszvezethető olyn integrálr, melyet helyettesítéssel megoldhtunk, míg más, összetettebb lkok tg t helyettesítéssel vezethetők vissz rcionális törtfüggvény integráljár. ) Az egyszerűbb speciális típusok közé trtoznk n és k nemnegtív egészek esetén z sin n+ cos k (sin ) n sin cos k ( cos ) n cos k sin, illetve cos n+ sin k (cos ) n cos sin k ( sin ) n sin k cos integrálok, melyeket rendre cos t, illetve sin t helyettesítéssel vezethetünk vissz polinomfüggvény integrálásár, vlmint z sin n cos k típusú integrálok, melyek sin cos sin, sin cos és cos + cos trigonometrii zonosságok ismételt lklmzásávl oldhtunk meg. FELADATOK Oldjuk meg következő trigonometrikus integrálokt.. sin 5 Megoldás. Alkítsuk át z integrndust z előzőekben bemuttott módon. Ekkor (sin I sin 5 ) ( sin cos ) sin. Vezessük be cos t, sin dt helyettesítést. Ekkor ( I ) t ( ( dt) t + t ) dt t + t + 5 t5 + C. Vissztérve z eredeti változór kpjuk, hogy I cos + cos + 5 cos5 + C.

42 8 5.. cos sin EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA Megoldás. Végezzük el z integrndus megfelelő átlkításit. Ekkor ( I cos sin sin ) sin cos. Vezessük be sin t, cos dt helyettesítést. Az integrál most így módosul: ( I ) t (t t dt t 6) dt t5 5 t7 7 + C. Vissztérve z eredeti változór kpjuk, hogy. cos sin I sin5 5 sin7 7 + C. b) Az Megoldás. Végezzük el először trigonometrikus átlkításokt. Ekkor I cos sin sin cos sin sin cos cos sin cos. 8 8 Az első integrált bontsuk tovább két integrál összegére, másodikbn pedig vezessük be sin t, cos dt, cos dt helyettesítést. Ekkor I cos t dt sin 6 6 t + C Ebben z esetben 6 6 R(sin, cos ) lkú integrálok tg sin sin cos cos sin 8 sin + C. t helyettesítéssel rcionlizálhtók. dt rctg t, rctg t, + t, sin cos ( ) sin + cos cos tg ( ) t cos + tg + t, cos ( ) sin sin + cos cos tg ( ) t + tg + t. cos

43 5.. Rcionális és rcionlizálhtó integrálok 8 FELADATOK Oldjuk meg következő trigonometrikus integrálokt.. + sin + cos Megoldás. Alklmzzuk megdott helyettesítéseket. Ekkor. + sin + cos cos + sin + Megoldás. Alklmzzuk tg dt +t + t + t +t +t t helyettesítést. Ekkor dt + t ln +t +C ln + tg +C. cos + sin + dt +t t + t + +t +t dt +t t +t++t +t dt ( (t + ) + rctg (t + ) + C rctg tg ) + + C. dt (t + t + ) 5... Eponenciális és hiperbolikus függvények integrálás Az R (e ) eponenciális függvény integrálját, hol z integrndus z e függvény rcionális kifejezése, z e t, ln t, dt t helyettesítéssel tudjuk visszvezetni rcionális törtfüggvény integráljár. Minthogy sh e e, ch e + e, th e e e + e és cth e + e e e, így érthető, hogy hiperbolikus függvények rcionális kifejezéseinek integrálji ugynezzel helyettesítéssel rcionlizálhtók. FELADATOK Htározzuk meg következő eponenciális integrálok megoldását. e. + e Megoldás. Vezessük be z e t, dt helyettesítést. Ekkor t e + e t + t dt t dt + t ln + t + C ln ( + e ) + C.

44 8 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA... e + e Megoldás. Vezessük be z e t, dt helyettesítést. Az integrál megoldás t most e t + e + t dt t tdt + t tdt + t e e e + ln + t + C ln ( + e ) + C. Megoldás. Vezessük be z e t, dt helyettesítést. Ekkor t e e t e + t t + dt t t t t + dt + t + dt e ( ) dt t rctg t + C e rctg e + C. t + Megoldás. Alklmzzuk z e t, dt t helyettesítést. Ekkor z I e t dt t t dt. t integrált kpjuk, melyben t z, dt zdz helyettesítést bevezetve dódik, hogy z z ( I z + zdz + ) dz (z rctg z)+c z + z + ( t rctg t ) + C ( e rctg e ) + C. 5. ch + sh e + Megoldás. Helyettesítsük be z integrndusb ch és sh függvények eponenciális lkját. Ekkor következő integrált kpjuk: ch + sh I e + e + e e e e + e + e + e + e. Az eponenciális függvényekkel kpcsoltos integrálok első feldt lpján megoldás I ln ( + e ) + C.

45 5.5. A htározott integrál foglm és tuljdonsági A htározott integrál foglm és tuljdonsági Arkhimédész módszere síkidomok területének meghtározásár A gykorlti életben sokszor vn szükségünk különböző síkidomok ngyságánk meghtározásár. Egy mérőszámot kell hozzárendelni síkidomhoz, mit területének nevezünk. Sokszögek esetében nincsenek ngyobb problémák, sőt kör esetében is megoldhtó hozzárendelés. Most néhány további speciális síkidomhoz fogunk területet rendelni, s feltesszük, hogy tekintett síkidomoknk vn területe. Tekintsük zt síkidomot, melyet z tengely [, ] intervllum, z egyenes megfelelő szksz és z f() függvény grfikonjánk megfelelő íve htárol. Ezt síkidomot prbolikus háromszögnek is szokás nevezni, s területének kiszámításár Arkhimédész prbol-kvdrtúráját lklmzzuk. A módszer lényege z, hogy keresett területet tégllpok területeinek összegével közelítjük. Írjunk prbolikus háromszögbe és köré sokszöget következő módon: osszuk [, ] intervllumot n egyenlő részre (n N). A [, ], n [ n, ], n [ i n, i ], n [ ] n n, részintervllumokr állítsunk beírt és körülírt tégllpokt úgy, hogy beírt tégllp mgsság részintervllumok kezdőpontjink függvényértéke, zz rendre, ( ),, n ( ) i,, n ( ) n, n körülírt tégllpok mgsság részintervllumok végpontjink függvényértéke, zz rendre ( ) ( ) ( ) i,,,,, n n n legyen. A beírt tégllpok területe: s n n + ( ) n n + ( ) n n + + ( i n ) n + + ( n n ) n n [ (i ) + + (n ) ] A körülírt tégllpok területe: (n )n(n ) 6n. S n ( ) n n + ( ) n n + ( ) ( ) i n n + + ( n ) n n + + n n n [ i + + n ] (n + )n(n + ) 6n.

46 8 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA Az sejtésünk, hogy h egyetlen olyn szám vn, mely minden s n -nél ngyobb és minden S n -nél kisebb, kkor prbolikus háromszögnek vn területe, és ez T terület zzl számml egyenlő. Ezért felírhtjuk, hogy s n T S n, behelyettesítve képleteket pedig kpjuk, hogy y y (n )n(n ) 6n T (n + )n(n + ) 6n. A fenti egyenlőtlenségek htárértékekre is érvényesek, h n, zz igzk n n n i n i n n n egyenlőtlenségek is. Ekkor (n )n(n ) lim n 6n T lim n (n + )n(n + ) 6n T, honnn T A htározott integrál foglm Legyen f egy korlátos pozitív függvény z [, b] intervllumon, mi zt jelenti, hogy grfikonj z -tengely felett helyezkedik el. Ekkor zt síkbeli lkztot, melyet z -tengelyen z [, b] intervllum, z és b egyenesek, vlmint z f függvény [, b] intervllumhoz trtozó grfikonj htárol, z [, b] intervllumhoz trtozó G görbevonlú trpéznk nevezzük. A G görbevonlú trpézterület meghtározásánk problémáj és z Arkhimédészi módszer ötlete vezetett htározott integrál definíciójához. y b y f Osszuk fel z [, b] intervllumot n számú [, ], [, ], [, ],..., [ n, n ], részintervllumr úgy, hogy z osztópontokr < < < <... < n < n b

47 5.5. A htározott integrál foglm és tuljdonsági 85 legyen érvényes. Az [, b] intervllum F felosztás z F {,,..., n } ponthlmzt jelenti. Jelölje most z első, második, és így tovább, n n n pedig z n-edik részintervllum hosszúságát. A d(f) m {,,..., n } számot z F felosztás diméterének nevezzük, s legngyobb részintervllum-hosszúságot jelöli Definíció. Legyen f z [, b] zárt intervllum felett definiált korlátos függvény és F z [, b] intervllum egy felosztás. Ekkor z s n m + m + + m n n n m i i i összeget, hol m i jelenti z f függvény lsó htárát z [ i, i ] részintervllumon, z f függvény F felosztáshoz trtozó lsó közelítő összegének nevezzük. Az S n M + M + + M n n n M i i i összeget, hol M i jelenti z f függvény felső htárát z [ i, i ] részintervllumon, z f függvény F felosztáshoz trtozó felső közelítő összegének nevezzük Definíció. Legyen f z [, b] zárt intervllum felett definiált korlátos függvény, F z [, b] intervllum egy felosztás és ξ (ξ, ξ,..., ξ n ), ξ i [ i, i ], i,,..., n, részintervllumok tetszőleges pontjink egy kiválsztás. Ekkor T (f, F, ξ) n f(ξ i ) i, összeget z f függvény F felosztáshoz trtozó Riemnn-féle integrálösszegének nevezzük Tétel. Legyen f z [, b] zárt intervllum felett definiált korlátos függvény, F z [, b] intervllum egy felosztás és ξ (ξ, ξ,..., ξ n ), ξ i [ i, i ], i,,..., n, részintervllumok tetszőleges pontjink egy kiválsztás. Ekkor i s n T (f, F, ξ) S n érvényes minden n N esetén, h s n és S n z f függvény lsó és felső közelítő összegeinek sorozti. Bizonyítás. esetén Az lsó és felső htár definíciójából dódik, hogy minden ξ pontválsztás m i f(ξ i ) M i, i,,..., n. Beszorozv fenti értékeket megfelelő részintervllumok hosszúságávl kpjuk, hogy m i i f(ξ i ) i M i i, i,,..., n.

48 86 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA Adjuk össze fenti értékeket -től n-ig. Ekkor n m i i i n f(ξ i ) i i n M i i, i illetve mit igzolni krtunk. s n T (f, F, ξ) S n, 5.9. Definíció. Legyen f : [, b] R korlátos függvény. H z [, b] intervllum minden F felosztásár és bármely olyn ξ (ξ, ξ,..., ξ n ) pont n-esre, melyekre ξ i [ i, i ], i,,..., n, létezik z I : lim d(f) n f(ξ i ) i i egyértelmű htárérték, kkor z f függvényre zt mondjuk, hogy integrálhtó z [, b] intervllumon, z I szám z f függvény htározott integrálj z [, b] intervllumon, jelölése pedig lim d(f) n f(ξ i ) i i b f(). Az, illetve b számok, < b, htározott integrál lsó, illetve felső htári, z f függvény htározott integrál integrndus. Ebben z esetben z I htárérték zt jelenti, hogy minden ε > számr létezik olyn δ >, hogy minden tetszőleges F felosztásr d(f) < δ és ξ (ξ, ξ,..., ξ n ) pont n-esek bármely válsztás esetén igz, hogy n I f(ξ i ) i < ε. i Történeti okokból, és zért mert más integrálfoglom is létezik, fenti definíció értelmében integrálhtó függvényeket szokás Riemnn szerint integrálhtó függvényeknek nevezni. (Bernhrd Riemnn német mtemtikus ) 5.. Tétel. H z f függvény integrálhtó z [, b] intervllumon, kkor f korlátos [, b] intervllumon. 5.. Tétel. Az [, b] intervllumon értelmezett f függvény kkor és cskis kkor integrálhtó, h z [, b] intervllum bármely F felosztásához megfelelő lsó és felső közelítő összegek s n és S n sorozti közös htárértékhez trtnk, zz lim s n lim S n. d(f) d(f) 5.. Tétel. H z f függvény folytonos z [, b] intervllumon, kkor f integrálhtó z [, b] intervllumon. 5.. Tétel. H z f függvény korlátos és monoton z [, b] intervllumon, kkor f integrálhtó z [, b] intervllumon.

49 5.5. A htározott integrál foglm és tuljdonsági A htározott integrál tuljdonsági 5.. Definíció. Legyen f integrálhtó függvény z [, b] intervllumon.. H > b, kkor. H b, kkor b f() f(). b f(). Beláthtó, hogy minden f z [, b] intervllumon folytonos függvény integrálhtó is z [, b]-n. Ugynúgy minden olyn korlátos f : [, b] R függvény is integrálhtó, mely folytonos z [, b] intervllumon, kivéve véges sok pontjábn. 5.. Tétel. H f konstns függvény, zz f() k, [, b], kkor b f() k(b ) Tétel. H f integrálhtó függvény z [, b] intervllumon és k egy vlós szám, kkor kf függvény is integrálhtó z [, b] intervllumon és Bizonyítás. esetén Mivel ezért b b kf() k b f(). Minden F felosztás és részintervllumokon válsztott bármely ξ pontok T (kf, F, ξ) kf() n kf(ξ i ) i k i lim d(f) lim T (f, F, ξ) d(f) T (kf, F, ξ) k n f(ξ i ) i kt (f, F, ξ). i b lim d(f) f(), T (f, F, ξ) k b f() Tétel. H f és g integrálhtó függvények z [, b] intervllumon, kkor z összegük is integrálhtó z [, b] intervllumon és Bizonyítás. esetén Mivel b (f() + g()) b f() + b g(). Minden F felosztás és részintervllumokon válsztott bármely ξ pontok T (f + g, F, ξ) n f(ξ i ) i + i n (f(ξ i ) + g(ξ i )) i i n g(ξ i ) i T (f, F, ξ) + T (g, F, ξ). i lim (T (f, F, ξ) + T (g, F, ξ)) d(f) b f() + b g(),

50 88 5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA ezért b (f() + g()) lim (T (f, F, ξ) + T (g, F, ξ)) d(f) lim T (f + g, F, ξ) d(f) b f() + b g(). 5.. Következmény. H f és g integrálhtó függvények z [, b] intervllumon, k és k pedig vlós számok, kkor k f + k g függvény is integrálhtó z [, b] intervllumon és b b b (k f() + k g()) k f() + k g() Tétel. H f és g integrálhtó függvények z [, b] intervllumon és f() g() minden [, b] esetén, kkor b f() b g(). Bizonyítás. esetén Ekkor Minden F felosztás és részintervllumokon válsztott bármely ξ pontok b T (f, F, ξ) f() n f(ξ i ) i i n f(ξ i ) i T (g, F, ξ). i lim T (f, F, ξ) lim T (g, F, ξ) d(f) d(f) b g(). A következő állítások z 5.7. Tétel következményei. 5.. Következmény. H f és g integrálhtó függvények z [, b] intervllumon, f() és g() minden [, b] esetén, kkor b f() és b g() Tétel. Legyen f integrálhtó függvény z [, b] intervllumon és legyen minden [, b] esetén m f() M. Ekkor m(b ) b f() M(b ) Tétel (Az integrálszámítás középértéktétele). Legyen f z [, b] intervllum felett folytonos függvény. Ekkor vn olyn c (, b) szám, hogy f(c) b b f().

51 5.5. A htározott integrál foglm és tuljdonsági 89 Bizonyítás. Mivel z f függvény folytonos, ezért zárt [, b] intervllumon felveszi M mimumát és m minimumát. Így z f függvény teljesíti z 5.8. Tétel feltételeit, honnn b > figyelembe vételével, m b b b f() M, ebből pedig z dódik, hogy f() [m, M] intervllum egy közbenső értéke, b melyet z f függvény folytonosság mitt felvesz. Ezért vn olyn c (, b) szám, hogy s ezzel z állítás bizonyított. f(c) b b f(), A következő tételekben htározott integrálok fontos tuljdonságit foglmztuk meg. 5.. Tétel. H f integrálhtó függvény z [, b] intervllumon, kkor b b f() f(). 5.. Tétel. H f integrálhtó függvény z [, b] intervllumon és h c (, b), kkor igz, hogy b f() c c f() + b f() Newton-Leibniz formul 5.. Tétel. H f z [, b] intervllumon folytonos függvény és Φ() f(t)dt, kkor Φ függvény z f függvény egy primitív függvénye z [, b] intervllumon. Bizonyítás. A Φ függvény növekményének és z változó növekményének hánydos Φ( + ) Φ() ( + ) f(t)dt f(t)dt. A 5.. Tétel lpján igz, hogy Φ( + ) Φ() + f(t)dt. Az f függvény folytonos, h t [, + ], ezért érvényes z integrálszámítás középértéktétele (5.9. Tétel), hol, b +. Ekkor Φ( + ) Φ() f(c), c [, + ].