A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY"

Átírás

1 A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88

2 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym. Sün Blázs és testvérei erdei sétár indultk bogyó-, flevél-, kvics-, illetve termésgyűjteményeiket gzdgítni. Mindegyiküknek vn leglább egy gyűjteménye. Azok, kik bogyókt vgy terméseket gyűjtenek, zok fleveleket is gyűjtenek. Azok, kik kvicsokt gyűjtenek, zok terméseket is gyűjtenek. Azok, kik fleveleket és kvicsokt gyűjtenek, zok bogyókt is gyűjtenek. Melyik fjt gyűjteményből vn legtöbb és melyikből legkevesebb Sün Blázséknál?. Képzeld, tegnp csupán 5, 50, 500 és 5000 dinárosok felhsználásávl fizettem ki dinárt. mondj Gzdg Géz. És hány drbot hsználtál fel? kérdezi Okos Berci. A négyféle címletű pénzből együttesen 500 drbot. válszolj Géz. Ez lehetetlen! mondj nyombn Berci. Kinek volt igz és miért?. Az,, 4, 5 és egy tetszés szerint válsztott számjeggyel írd fel zt legngyobb ötjegyű számot, melyik -vel oszthtó! 4. H z ABCD tégllp és z AQB, vlmint APD szbályos háromszögek megegyező körüljárásúk, igzold, hogy PQ szksz egybevágó tégllp átlójávl! A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 89

3 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 0. évfolym. Képzeld, tegnp csupán 5, 50, 500 és 5000 dinárosok felhsználásávl fizettem ki dinárt. mondj Gzdg Géz. És hány drbot hsználtál fel? kérdezi Okos Berci. A négyféle címletű pénzből együttesen 500 drbot. válszolj Géz. Ez lehetetlen! mondj nyombn Berci. Kinek volt igz és miért?. Htározd meg mindzokt z n Z számokt, melyekre z n n ( n ) 0 egyenletnek egész megoldási vnnk ( Z ).. Egy táblár felírták z összes pozitív egész számot -gyel kezdve és 008-cl bezárólg. A felírt számjegyek hány százlék z 5-ös számjegy? 4. Az AC szksz z ABCD prlelogrmm hosszbbik átlój. Húzd CE AB és CF AD szkszokt, vgyis C csúcsból nem szomszédos oldlkr húzott merőlegeseket, F AD és E AB. Bizonyítsd be, hogy ekkor AB AE AD AF AC. A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 90

4 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december.. évfolym. Egy kis erdei tvt egy forrás táplál friss vízzel. Egyszer megjelent egy 8 tgú elefántcsord és egy np ltt kiitt tó vizét. Később, mikor újr megtelt tó, egy 7 tgú csord 5 np ltt itt ki vizet. Egy elefánt hány np ltt inná ki tó vizét?. Igzold, hogy z log egyenlet megoldásink szorzt természetes szám, mjd htározd meg ennek szorztnk z utolsó két számjegyét!. Oldd meg vlós számok hlmzán z 4 4 ( ) ( ) 6 egyenletet! 4. Számítsd ki háromoldlú gúl térfogtát, h lpj derékszögű háromszög 8 cm és 5 cm befogókkl, oldlélei pedig 60-os szögben hjlnk z lplp síkjához! A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 9

5 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december.. évfolym. Egy nemzetközi lbdrugó tornán minden cspt minden cspttl pontosn egyszer játszott. Győzelemért, döntetlenért, vereségért 0 pont járt. A bjnokság végén csptok pontszámink összege 5 pont volt. Az utolsó helyezett pontot gyűjtött, z utolsó előtti egyszer sem kpott ki. Hány pontot gyűjtött második helyen végzett cspt?. Igzold, hogy z log egyenlet megoldásink szorzt természetes szám, mjd htározd meg ennek szorztnk z utolsó két számjegyét!. Oldd meg, intervllumon következő trigonometrikus egyenletet: cos cos 5 8cos 4 cos. 4. Egy henger lkú edényt, melynek lpátmérője 4 dm és mélysége dm, teletöltöttük vízzel. Mennyi víz mrd benne, h z lp síkjához viszonyítv 0 -os szögben megdöntjük? A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 9

6 A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY FELADATAINAK MEGOLDÁSAI 9. évfolym. Sün Blázs és testvérei erdei sétár indultk bogyó-, flevél-, kvics-, illetve termésgyűjteményeiket gzdgítni. Mindegyiküknek vn leglább egy gyűjteménye. Azok, kik bogyókt vgy terméseket gyűjtenek, zok fleveleket is gyűjtenek. Azok, kik kvicsokt gyűjtenek, zok terméseket is gyűjtenek. Azok, kik fleveleket és kvicsokt gyűjtenek, zok bogyókt is gyűjtenek. Melyik fjt gyűjteményből vn legtöbb és melyikből legkevesebb Sün Blázséknál? Megoldás. Legyen S bogyókt gyűjtők, S fleveleket gyűjtők, S kvicsokt gyűjtők, S 4 pedig terméseket gyűjtők hlmz. Ekkor érvényesek z lábbi relációk: () S S4 S, () S S4, () S S S. ()-ből és ()-ből következik, hogy S S, vlmint S S S S, miből S S S következik, miszerint legtöbben fleveleket gyűjtenek. 4 S Mivel S S S S4, ebből dódik, hogy legkevesebben kvicsokt gyűjtenek.. Képzeld, tegnp csupán 5, 50, 500 és 5000 dinárosok felhsználásávl fizettem ki dinárt. mondj Gzdg Géz. És hány drbot hsználtál fel? kérdezi Okos Berci. A négyféle címletű pénzből együttesen 500 drbot. válszolj Géz. Ez lehetetlen! mondj nyombn Berci. Kinek volt igz és miért? Megoldás. Jelölje z ötezresek, b z ötszázsok, c z ötvenesek és d z ötösök számát, kkor ezekkel egyrészt b 50c 5d , másrészt b c d 500. H z első egyenletet 5-tel elosztjuk és ebből kivonjuk másodikt, kkor b 9c egyenletet kpjuk. Ennek z egyenletnek bl oldlán csup 9-cel oszthtó tg vn, tehát összegük is 9-nek többszöröse. A jobb oldlon álló zonbn nem oszthtó 9-cel. Gzdg Géz áltl közöltek ellentmondásr vezetnek ezért Bercinek vn igz. 9

7 . Az,, 4, 5 és egy tetszés szerint válsztott számjeggyel írd fel zt legngyobb ötjegyű számot, melyik -vel oszthtó! Megoldás. Egy szám -vel pontosn kkor oszthtó, h oszthtó -ml is és 4-gyel is. Ötjegyű számunk -ml kkor és csk kkor oszthtó, h számjegyeinek összege is -nk többszöröse. Mivel z ismert négy számjegy összege, ezért z ötödik jegy, z 5 vgy 8 lehet csk. A néggyel vló oszthtóság szükséges és elégséges feltétele z, hogy z ötjegyű szám utolsó két jegyéből álló kétjegyű legyen 4-nek többszöröse. Ebből persze z is dódik, hogy z utolsó jegy páros kell, hogy legyen. H z ötödik jegy z 5 lenne, kkor 4, 4, 54 vlmelyike lenne ötjegyű számunk utolsó két jegyéből álló kétjegyű szám, ám ezek egyike sem oszthtó 4-gyel, így ez z eset nem lehetséges. H hiányzó ötödik jegy, úgy z,,, 4, 5 jegyekből építhető többszörösei között z 54 legngyobb. H hiányzó ötödik jegy 8, úgy z,, 4, 5 és 8 számjegyekből építhető többszörösei között z 584 legngyobb. A lehetséges esetekből z első, z 54 legngyobb. Ez tehát megoldás. 4. H z ABCD tégllp és z AQB, vlmint APD szbályos háromszögek megegyező körüljárásúk, igzold, hogy PQ szksz egybevágó tégllp átlójávl! Megoldás. Az ABD és APQ háromszögek egybevágók SzOSz tétel lpján, mert AD AP, AB AQ és DAB PAQ 90, tehát hrmdik oldluk is egyenlő, zz DB PQ. 94

8 0. évfolym. Képzeld, tegnp csupán 5, 50, 500 és 5000 dinárosok felhsználásávl fizettem ki dinárt. mondj Gzdg Géz. És hány drbot hsználtál fel? kérdezi Okos Berci. A négyféle címletű pénzből együttesen 500 drbot. válszolj Géz. Ez lehetetlen! mondj nyombn Berci. Kinek volt igz és miért? Megoldás. Jelölje z ötezresek, b z ötszázsok, c z ötvenesek és d z ötösök számát, kkor ezekkel egyrészt b 50c 5d , másrészt b c d 500. H z első egyenletet 5-tel elosztjuk és ebből kivonjuk másodikt, kkor b 9c egyenletet kpjuk. Ennek z egyenletnek bl oldlán csup 9-cel oszthtó tg vn, tehát összegük is 9-nek többszöröse. A jobb oldlon álló zonbn nem oszthtó 9-cel. Gzdg Géz áltl közöltek ellentmondásr vezetnek ezért Bercinek vn igz.. Htározd meg mindzokt z n Z számokt, melyekre z n n ( n ) 0 egyenletnek egész megoldási vnnk ( Z ). Megoldás. Legyen p z dott egyenlet egész megoldás ( p Z ). Ekkor p np np n, zz ( p n)( p n). Egész p és n esetén ez csk úgy lehetséges, hogy vgy. (i) Legyen p n p n. Ebből n p és p ( p ), miből p p 0 következik, mely egyenletnek nincs egész megoldás. (ii) Legyen most p n p n. Ebből n p és p ( p ), miből p p ( p )( p ) 0 következik, honnn p és p z egyenlet egész megoldási. Az eredeti egyenletnek tehát kkor lesznek egész megoldási, h n 0 vgy n, n 0,. zz, h 95

9 . Egy táblár felírták z összes pozitív egész számot -gyel kezdve és 008-cl bezárólg. A felírt számjegyek hány százlék z 5-ös számjegy? Megoldás. Az egyjegyű számok leírásánál db 5-ös számjegy tlálhtó. A kétjegyű számok leírásánál 9 db 5-ös számjegy tlálhtó, z első helyen 0 és második helyen 9 db. A háromjegyű számok leírásánál összesen 80 db 5-ös számjegyet hsználunk fel, z első helyen 00, második helyen 90 90, hrmdik, z egyesek helyén pedig szintén db 5-ös számjegyet. Az -gyel kezdődő négyjegyű számok leírásánál db 5-ös számjegyet írtunk le, míg 000-től 008-ig még db 5-ös számjegyet hsználunk fel, tehát négyjegyű számokt felírv 000-től 008-ig összesen 0 db 5-ös számjegyet hsználunk fel. Ezek szerint -től 008-ig z egész számokt felírv összesen db 5-ös számjegyet írtunk fel. Az összes leírt számjegyek szám: z egyjegyűeknél 9, kétjegyűeknél 90 80, háromjegyűeknél , négyjegyűeknél , tehát összesen 695 számjegyet írtunk fel táblár A keresett százlék: 695: :, honnn 8,68% Az AC szksz z ABCD prlelogrmm hosszbbik átlój. Húzd CE AB és CF AD szkszokt, vgyis C csúcsból nem szomszédos oldlkr húzott merőlegeseket, F AD és E AB. Bizonyítsd be, hogy ekkor AB AE AD AF AC. Megoldás. Legyen G pont B csúcs merőleges vetülete z AC átlór, ekkor érvényes, hogy AEC AGB, vlmint AFC CGB. Ebből következik, hogy AC BA és AC BC. AE AG AF CG Innen AB AE AC AG és BC AF AC CG. Adjuk össze két egyenletet. Ekkor AB AE BC AF AC AG AC CG Adódik, ebből pedig AB AE AD AF AC AG GC AC. 96

10 . évfolym. Egy kis erdei tvt egy forrás táplál friss vízzel. Egyszer megjelent egy 8 tgú elefántcsord és egy np ltt kiitt tó vizét. Később, mikor újr megtelt tó, egy 7 tgú csord 5 np ltt itt ki vizet. Egy elefánt hány np ltt inná ki tó vizét? Megoldás. Legyen teli tó víztrtlm S l, z egy npi növekmény forrásokból n l. Mivel 8 elefánt np ltt issz ki tó vizét, ez zt jelenti, hogy kiissz már meglevő S litert és z egy np ltt még hozzá befolyó n litert. Azz 8 elefánt egy np ltt S n liter vizet iszik meg. Ekkor, feltételezve, hogy minden elefánt egyenlő S n mennyiséget iszik meg, egy np ltt egy elefánt liter vizet iszik meg. 8 A másik feltételből 7 elefánt 5 np ltt S 5n litert iszik meg, ezért egy elefánt egy S 5n S 5n S n S 5n np ltt litert. Ebből dódik, hogy, honnn S 65n. Tehát 8 elefánt egy np folymán 65n n 66n liter vizet iszik meg, miből viszont z is következik, hogy egy elefánt egy np ltt pontosn n litert iszik meg. Ez gykorltilg zt jelenti, hogy n litert fogyszt el teli tó vizéből és plussz zt z n litert, mi np folymán befolyik tób. Mivel teli tó trtlm 65 n liter, ezért pontosn 65-ik np végére ürül ki teljesen tó, h csk egy elefánt iszik belőle.. Igzold, hogy z log egyenlet megoldásink szorzt természetes szám, mjd htározd meg ennek szorztnk z utolsó két számjegyét! Megoldás. Az egyenlet mindkét oldlánk logritmálás után kpjuk log 007 log 007 log log 007 egyenletet. Vezessük be z log helyettesítést. 007 Most z egyenlet ekvivlens z másodfokú egyenlettel. A Viete szbály lpján kpott másodfokú egyenlet és megoldásink összege: 007. Ekkor z eredeti egyenlet megoldási 007 és 007, szorztuk pedig , tehát természetes szám. Hátr vn még kpott szorzt utolsó két számjegyének meghtározás, zz szorzt 00-zl vló osztáskor keletkezett mrdék mghtározás. Mivel 7 7, 7 49, 7 4, , ,..., beláthtó, hogy z utolsó két számjegy ciklikusn ismétlődik: 07, 49, 4, 0, hol ciklus hosszúság 4. Mivel , dódik, hogy 007 szám utolsó két számjegye 4. 97

11 . Oldd meg vlós számok hlmzán z 4 4 ( ) ( ) 6 egyenletet! Megoldás. Legyen y, ekkor y és y, z egyenletünk pedig következőképen lkul: y y y y y y y y y y y y 6 4 y 6y 7 0, honnn y vgy y 7, melyek közül csk z y egyenletnek vnnk vlós megoldási, és ezek z y illetve z y. H tudjuk, hogy y, kkor és, vgyis megoldáshlmz, M. 4. Számítsd ki háromoldlú gúl térfogtát, h lpj derékszögű háromszög 8 cm és 5 cm befogókkl, oldlélei pedig 60-os szögben hjlnk z lplp síkjához! Megoldás. Legyen O pont z ABCD háromoldlú gúl D csúcsánk z ABC lpháromszögre vetített merőleges vetülete. Ekkor z OAD, OBD és OCD egybevágók, mert derékszögűek és 60-os hegyesszögük szemben fekszik közös OD mgssággl. Tehát OA OB OC, vgyis z O pont z ABC háromszög körülírt körének középpontj, zz ebben z esetben z átfogó felezőpontj. Ezért 7 kiszámíthtjuk z lp átfogóját, c 8 5 7cm, vgyis r. A test mgsság DO vlójábn DAB egyenlő oldlú háromszög mgsság, honnn 7 H DO. A gúl térfogt t ABC H V 70 cm. 98

12 . évfolym. Egy nemzetközi lbdrugó tornán minden cspt minden cspttl pontosn egyszer játszott. Győzelemért, döntetlenért, vereségért 0 pont járt. A bjnokság végén csptok pontszámink összege 5 pont volt. Az utolsó helyezett pontot gyűjtött, z utolsó előtti egyszer sem kpott ki. Hány pontot gyűjtött második helyen végzett cspt? Megoldás. H egy mérkőzés eldől, kkor, h döntetlen lesz, kkor pontot osztnk el csptok között. Tehát nnál kevesebb csptok pontjink összege, minél több döntetlen. Először állpítsuk meg csptok számát. h csk cspt lenne, kkor mérkőzésen mimum 9 lehetne pontszámösszeg, h pedig 5 cspt lenne, kkor 0 meccsen minimum 0 pont kerülne kiosztásr. Így csptok szám 4. H 4 cspt vn, és nincs döntetlen, pontszámok összege 6 meccsen 8 pont. Itt csptok 5 pontot gyűjtöttek, és mivel minden döntetlen -gyel csökkenti pontszámösszeget, ezen tornán mérkőzés végződött döntetlenre. Az utolsó előtti, zz hrmdik helyezett cspt egy meccset sem vesztett. H nyert voln leglább egy meccset, kkor leglább 5 pontj lenne. De kkor z előtte végzett két csptnk is leglább 5-5 pontj lenne, ekkor zonbn csptok összpontszám már leglább 6 lenne. Ezek szerint hrmdik helyezett cspt minden meccse döntetlenre végződött. Az első két cspt tehát megverte z utolsót és döntetlent játszott hrmdikkl. Mivel több döntetlen nem volt, z első helyezett legyőzte másodikt, vgyis második helyen végzett cspt 4 pontot gyűjtött.. Igzold, hogy z log egyenlet megoldásink szorzt természetes szám, mjd htározd meg ennek szorztnk z utolsó két számjegyét! Megoldás. Az egyenlet mindkét oldlánk logritmálás után kpjuk egyenletet. Vezessük be z log log 007 log log log 007 helyettesítést. Most z egyenlet ekvivlens z másodfokú egyenlettel. A Viete szbály lpján kpott másodfokú egyenlet és megoldásink összege: 007. Ekkor z eredeti egyenlet megoldási 007 és 007, szorztuk pedig , tehát természetes szám. Hátr vn még kpott szorzt utolsó két számjegyének meghtározás, zz szorzt 00-zl vló osztáskor keletkezett mrdék mghtározás. Mivel 7 7, 7 49, 7 4, , ,..., beláthtó, hogy z utolsó két számjegy ciklikusn ismétlődik: 07, 49, 4, 0, hol ciklus hosszúság 4. Mivel , dódik, hogy 007 szám utolsó két számjegye 4. 99

13 . Oldjuk meg, intervllumon következő trigonometrikus egyenletet: cos cos 5 8cos 4 cos. Megoldás. H tudjuk, hogy cos cos5 cos 4 cos, kkor z dott egyenlet következőképpen lkíthtó: cos cos 5 8cos 4 cos cos cos 5 cos cos cos cos 5 cos5 cos cos cos 5 cos 5 cos 5 cos cos 5 cos cos 0 cos 5 cos cos 5 cos cos5 cos cos5 cos 0 cos5 0 cos 0 cos5 cos 0 k H cos5 0, kkor 5 k, vgyis 8 k 6. Innen z dott 0 5 intervllumb eső megoldások 6 és 6. k H cos 0, kkor k, zz 0 k 60. Innen z dott 6 intervllumb eső megoldás 50. H cos cos5 0, kkor cos 4 cos 0, honnn cos 4 0 vgy cos 0. H cos 0, kkor k, mely esetben egy megoldás sem esik z dott intervllumb. k H cos 4 0, kkor 4 k, honnn,5 k Innen z dott intervllumb eső megoldások,5 és 57,5. Összefogllv keresett megoldások:, 5 ; 6 ; 50 ; 57,5 ; Egy henger lkú edényt, melynek lpátmérője 4 dm és mélysége dm, teletöltöttük vízzel. Mennyi víz mrd benne, h z lp síkjához viszonyítv 0 -os szögben megdöntjük? Megoldás. A megdöntés után víz egy része kifolyt, mjd vízszintes helyzetet vesz fel újból. A kiömlött víz térfogt fele nnk henger térfogtánk, melyet z ábrán látunk. Az edény térfogt r dm, H dm V= dm, kifolyt vízé r dm, H 4 dm 8 V dm, tehát mrdék V 8 V dm, 9 liter. 00

14 A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY DÍJAZOTTJAI 9. évfolym. Piri Annmári, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, I. díj. Ripcó Ákos, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zent, II. díj. Kőrösi Blázs, Műszki Középiskol, Ad, II. díj 4. Gyrmti Dénes, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, III. díj 5. Horvát Tmás, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zent, III. díj 6. Körmöczi Andor, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, III. díj 7. Ngygyörgy Kristóf, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret 8. Simonyi Máté, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret 9. Milinszki Hjnlk, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret 0. Pusin Igor, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret. Kiss Csb, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret. Brusznyi Borisz, Svetozr Mrković Gimnázium, Újvidék, dicséret. Hjnl Andor, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret 0. évfolym. Kovcsics Tmás, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, I. díj. Bálind Árpád, Műszki Középiskol, Ad, II. díj. Berec Alendr, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, III. díj 4. Vrbski Iván, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret. évfolym. Ágó Krisztin, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, I. díj. Kecsenovity Egon, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, II. díj. Kovcsics Tóbiás, Műszki Középiskol, Óbecse, III. díj 4. Blss Tmás, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret 5. Tóth Szbolcs, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret. évfolym. Knls Vidor, Mtemtiki Gimnázium, Belgrád, I. díj. Tkács Emese, Svetozr Mrković Gimnázium, Szbdk, II. díj. Rók Gáspár, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, III. díj 4. Bodócsi Endre, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret 5. Ksz Ákos, Svetozr Mrković Gimnázium, Újvidék, dicséret 6. Frks Gbriell, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret 7. Gimpel Ákos, Svetozr Mrković Gimnázium, Újvidék, dicséret 0

15 A VII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: dr. Kincses János Elődás címe: Érdekes mtemtiki problémák Verseny előtti megbeszélés (Pp Zoltán, Pp Horváth Erik, Péics Hjnlk, Miklós Gyöngyi, Csikós Pjor Gizell, Meoželj Sonj, Zolni Irén, Ripcó Sipos Elvir, Rozsnyik Andre, Szűcs Emese, Boros István). 0

16 VII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 009. november évfolym. A VI. Fekete Mihály Emlékverseny első fordulój után továbbjutott versenyzők 5 része. A második fordulón résztvevők 7 része került döntőbe. H z első forduló után jutott voln tovább versenyzők 7 része, és második fordulón résztvevők 5 része került voln döntőbe, kkor három fordulón összesen -vel több dolgoztot kellett voln jvítni. Hányn indultk VI. Fekete Mihály Emlékverseny első fordulóján?. Melyek zok kétjegyű természetes számok, melyekre igz, hogy mg szám 7-tel ngyobb, mint számjegyeinek szorzt?. Egy különböző számjegyekből álló htjegyű szám számjegyei (vlmilyen sorrendben),,, 4, 5, 6. Az első két számjegyből álló kétjegyű szám oszthtó -vel, z első három számjegyből álló háromjegyű szám oszthtó -ml és így tovább, mg szám oszthtó 6-tl. Melyik ez szám? 4. Jelölje egy háromszög csúcsit A, B és C. Legyen z AC oldl felezőpontj E, BC oldl B -hez közeli hrmdoló pontj D. Az AD és BE egyenesek metszéspontját jelölje F. Mekkor BDF háromszög és z FDCE négyszög területének rány? A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 0

17 VII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 009. november évfolym. Precíz Peti felírt számokt -től 0000-ig. Először láhúzt pirossl zokt számokt, melyek oszthtók 4-gyel, mjd láhúzt zölddel zokt, melyek oszthtók 5-tel, végül láhúzt kékkel z összes 6-tl oszthtót. Hány szám lett így láhúzv pontosn két színnel?. Melyek zok kétjegyű természetes számok, melyekre igz, hogy mg szám 7-tel ngyobb, mint számjegyeinek szorzt?. Egy számsorozt vlmely tgját jobbminimálisnk nevezzük, h tőle jobbr nem tlálhtó nál kisebb szám. Például (; ; 4; 6; ; 7; 8; 5) soroztbn jobbminimális számok z és ( jobbszélső 5-öst nem tekintjük nnk). Ezek lpján z említett soroztbn második és z ötödik helyen áll jobbminimális szám. Hány olyn sorrendje (permutációj) vn z,,, 8 számoknk, melyekben második és z ötödik helyen (és esetleg másutt is) jobbminimális számok állnk? 4. Legyenek, b és pontjánk rendre z, b és c oldlktól mért távolsági. Jelölje c z ABC hegyesszögű háromszög tetszőleges P belső megfelelő oldlkhoz trtozó mgsságokt. Igzold, hogy b c. m m m b c m, m b és mc A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 04

18 VII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 009. november évfolym. A gödényházi sörivó versenyen hármn kerültek döntőbe: tűzoltóprncsnok, kántor és hrngozó. A kijelölt idő ltt tűzoltóprncsnok és kántor együtt kétszer nnyi sört ivott meg, mint hrngozó. A tűzoltóprncsnok és hrngozó együttes teljesítménye viszont háromszor nnyi, mint kántoré. Ki nyerte versenyt?. Egy kétjegyű szám számjegyei közé írtunk egy számjegyet. Az így kpott háromjegyű szám és z eredeti kétjegyű szám számtni közepe egyenlő z eredeti kétjegyű szám számjegyeinek felcserélésével kpott kétjegyű számml. Mi volt z eredeti szám?. Az AB és CD egy O középpontú körnek két, egymásr merőleges átmérője. Az OD szkszt felező E ponton hld z AF húr, z AB és CF szkszok metszéspontj G pont. Igzold, hogy z OB OG és CF DF. 4. Legyenek,,,, 009 pozitív vlós számok. Bizonyítsd be következőket: ) Minden pozitív vlós számr igz, hogy ( ). 4 b) Egyidőben nem teljesülhet következő egyenlőtlenségek mindegyike: ( ), ( ),..., 008 ( 009 ), 009( ) A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 05

19 VII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 009. november 8.. évfolym. A gödényházi sörivó versenyen hármn kerültek döntőbe: tűzoltóprncsnok, kántor és hrngozó. A kijelölt idő ltt tűzoltóprncsnok és kántor együtt kétszer nnyi sört ivott meg, mint hrngozó. A tűzoltóprncsnok és hrngozó együttes teljesítménye viszont háromszor nnyi, mint kántoré. Ki nyerte versenyt?. Felírtuk egy táblár -től 009-ig számokt, mjd vlmelyik két szomszédost letöröltük, és helyettük felírtuk különbségüket ( ngyobból kivonv kisebbet). Ezt z eljárást ddig ismételgettük, míg végül csk egy szám mrdt táblán. ) Mutssuk meg, hogy utolsó számként nem jöhet ki z 000. b) Adjunk egy eljárást, mely utolsó számként z 00-et eredményezi!. Adott z ABCD érintőnégyszög, melynek z lpon fekvő szögei és. Igzold, hogy AB ctg ctg. CD 4. Bizonyítsd be, hogy z n n 0 n n egyenlet gyökei vlósk és irrcionális számok minden n természetes számr! A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 06

20 VII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 009. november 8.. évfolym. Egy bnk páncélszekrényén több különböző zár vn. Kulcsikt úgy osztották szét bnk négy pénztáros között, hogy páncélszekrény kinyitásához leglább hármuknk jelen kell lenni, de mind négynek nem, hogy náluk levő kulcsokkl ki lehessen nyitni z összes zárt. (Egy zárhoz többüknél is lehet kulcs, és egy embernél többféle kulcs is lehet.) Legkevesebb hány zár vn páncélszekrényen?. Htározd meg 4 4 sin cos sin cos sin sin egyenlet vlós megoldásit!. Az y prbol P és, B,6 pontok áltl meghtározott szksz derékszögben látszik. Mekkor z APBP négyszög területe? P pontjából z A és 4. Htározd meg zt pozitív számot, melyre z f függvény lehető legkisebb értékét veszi fel! Htározd is meg ezt legkisebb értéket! A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 07

21 A VII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY FELADATAINAK MEGOLDÁSAI 8. évfolym. A VI. Fekete Mihály Emlékverseny első fordulój után továbbjutott versenyzők 5 része. A második fordulón résztvevők 7 része került döntőbe. H z első forduló után jutott voln tovább versenyzők 7 része, és második fordulón résztvevők 5 része került voln döntőbe, kkor három fordulón összesen -vel több dolgoztot kellett voln jvítni. Hányn indultk VI. Fekete Mihály Emlékverseny első fordulóján? Megoldás. Foglljuk tábláztb feltételeket! Mivel (még) nem ismerjük versenyen indulók számát, jelöljük ezt -szel. A versenyzők szám A versenyzők szám vlóságbn mi lett voln esetén. fordulóbn. fordulóbn 5 7 A döntőben A dolgoztok szám A mi lett voln esetén dolgozttl több lenne, tehát. Az egyenlet mindkét oldlából -öt levonv dódik. Szorozzuk meg ennek z egyenletnek mindkét oldlát 5-tel, és 5 7 szorzás során lehetséges egyszerűsítéseket végrehjtv nyerjük, hogy Most 7 kerül levonásr, mjd -ml egyszerűsíthetünk, s dódik: 5, zz Ezt z eredményt természetesen feldtszöveggel egybevetve ellenőriznünk kell! A 40 induló ötöde 8, ennek 7 -e 8 és ez dolgoztot jelent. A 40-nek -e 40, ennek ötöde 8, és 7 dolgoztok szám vlóbn -vel több z előbbi dolgoztszámnál. A versenyen tehát 40 induló volt z első fordulóbn. 08

22 . Melyek zok kétjegyű természetes számok, melyekre igz, hogy mg szám 7-tel ngyobb, mint számjegyeinek szorzt? I.Megoldás. H kétjegyű szám tizeseinek számát, egyeseinek számát pedig y jelöli, kkor feltételek szerint kétjegyű számnkr 0 y y 7, hol és 0 y 9. Tegyük fenti egyenletbe helyére rendre pozitív egyjegyűeket: 0 y y 7, 0 y y 7, 0 y y 7, 40 y 4y 7, 50 y 5y 7, 60 y 6y 7, 70 y 7y 7, 80 y 8y 7, 90 y 9y 7. A fenti egyenletek közül z elsőnek nincs megoldás, másodikt követő ötnek és z utolsónk egész megoldás nincs. A másodikt z y, míg z utolsó előttit z y 9 elégíti ki, tehát két olyn kétjegyű szám lehet, mely feltételeket kielégíti, és 89. Mivel 7 és , és 89 vlóbn megoldások. II. Megoldás: Előbbi jelölésünket megtrtv 0 y y 7 egyenletet lkítjuk át következőképpen: 0 y 0 y 0 7. Tettük ezt zért, hogy jobb oldl első négy tgját szorzttá lkíthssuk, mint 0 ( )( y 0) 7, miből ( )( y 0) 7. Most már láthtó, hogy z és y 9 egészek mitt bl oldl mindkét tényezője egész szám, mégpedig z első tényező pozitív, második negtív. Ilyen egészek szorzt csk úgy lehet 7, h és y 0 7 vgy 7 és y 0. Az első lehetőség z, y, második z 8, y 9 megoldásokt dj.. Egy különböző számjegyekből álló htjegyű szám számjegyei (vlmilyen sorrendben),,, 4, 5, 6. Az első két számjegyből álló kétjegyű szám oszthtó -vel, z első három számjegyből álló háromjegyű szám oszthtó -ml és így tovább, mg szám oszthtó 6-tl. Melyik ez szám? Megoldás. A htjegyű szám második, negyedik és htodik jegye -vel, 4-gyel és 6- tl vló oszthtóság mitt páros kell legyen, és z ötödik jegy z 5-tel oszthtóság mitt csk 5 lehet. Az első és hrmdik jegy tehát cskis z és lehet vlmely sorrendben. A háromml oszthtóság mitt második jegy csk lehet, hiszen 4 illetve z 6 egyike sem többszöröse -nk. Így h számunk első három jegye sorrendben z, úgy 4-gyel oszthtóság mitt negyedik jegy csk 6 lehet, mivel 4 nem oszthtó 4-gyel, ekkor tehát htjegyű szám 654. H pedig számunk első három jegye rendre, úgy negyedik jegy ismét csk 6, hiszen 4 nem nem többszöröse 4-nek, számunk tehát most 654. Mindkét esetben 6-tl oszthtóságot szám párosság és jegyei összegének ( =) -ml vló oszthtóság biztosítj. 09

23 4. Jelölje egy háromszög csúcsit A, B és C. Legyen z AC oldl felezőpontj E, BC oldl B -hez közeli hrmdoló pontj D. Az AD és BE egyenesek metszéspontját jelölje F. Mekkor BDF háromszög és z FDCE négyszög területének rány? I.Megoldás. Húzzunk z E ponton át egy, z AD -vel párhuzmos egyenest. Messe ez BC -t G -ben (ábr). Mivel z ACD -ben E felezőpont és EG AD, ezért EG e háromszög egyik középvonl és ennélfogv G felezi DC -t, G tehát BC -nek C -hez közelebbi hrmdolópontj. Most tekintsük BEG -et. Ebben D BG -nek felezőpontj és FD EG, tehát FD középvonl háromszögnek, zz F felezi BE -t. A CDE területe BEC területének -, hiszen CD CB és ezekhez z oldlkhoz trtozó mgsságik zonosk. Így területének -. Mivel F felezi BE -t, ezért BDE területe pedig BEC BDF területe és z EFD területe egyenlő, éspedig BEC területének -ávl. A CDFE négyszög területére tehát 6 5 BEC területének - jut, és így keresett területrány : 5. 6 II.Megoldás: Fektessünk z E ponton át egy, z CB -vel párhuzmos egyenest. Messe ez z AD -t H pontbn. Az EH középvonl z ACD -nek, hiszen E felezőpont és EH CD. Ennélfogv EH DC. Ám D hrmdolópontj BC - nek, vgyis BD DC, tehát EH BD, miből következik, hogy z EHBD négyszög prlelogrmm, mert vn két párhuzmos és egyenlő oldl. A prlelogrmmát átlói ( BE és DH szkszok) négy egyenlő területű háromszögre drbolják, tehát vgyis, T BDF T 6 T T, ám BDE területe BCE területének -, BDF DEF BCE 5 és ezért T CDFE T 6 BCE. A keresett rány tehát : 5. III.Megoldás: Húzzunk B, C és z E pontokon át AD -vel párhuzmos egyenest. Az E -re fektetett ilyen egyenes DC szkszt felezi, mert z ACD -ben ez z egyenes középvonl. Húzzunk most C, D és z utóbb nyert G ( DC felezőpontj, zz BC másik hrmdolópontj) pontokon át BE -vel párhuzmost. Így z összehsonlításr váró két sokszöget egy prlelogrmm-rácsb helyeztük, melynek rácsszemei egybevágók, tehát egyenlő területűek is. A 9 egybevágó lpból BEC lpnyit tölt ki, hiszen BHC területe 4. 5 lpnyi, CEH területe pedig. 5 lpnyi. A BFD területe 0. 5 lpnyi, tehát keresett rány 0.5 :.5, mi éppen z : 5 ránnyl egyenlő. 0

24 9. évfolym. Precíz Peti felírt számokt -től 0000-ig. Először láhúzt pirossl zokt számokt, melyek oszthtók 4-gyel, mjd láhúzt zölddel zokt, melyek oszthtók 5-tel, végül láhúzt kékkel z összes 6-tl oszthtót. Hány szám lett így láhúzv pontosn két színnel? Megoldás. Piros és zöld színnel összesen 500 szám vn láhúzv, ugynis ennyiszer vn meg 0000-ben 4 és 5 legkisebb közös többszöröse. Zölddel és 8 szám vn láhúzv, pirossl és kékkel pedig. Mindegyik összegben szerepelnek zok számok is, melyek háromszor lettel láhúzv. Ezek szám 66. A keresett számosságot következő számolás dj: Melyek zok kétjegyű természetes számok, melyekre igz, hogy mg szám 7-tel ngyobb, mint számjegyeinek szorzt? I.Megoldás. H kétjegyű szám tizeseinek számát, egyeseinek számát pedig y jelöli, kkor feltételek szerint kétjegyű számnkr 0 y y 7, hol és 0 y 9. Tegyük fenti egyenletbe helyére rendre pozitív egyjegyűeket: 0 y y 7, 0 y y 7, 0 y y 7, 40 y 4y 7, 50 y 5y 7, 60 y 6y 7, 70 y 7y 7, 80 y 8y 7, 90 y 9y 7. A fenti egyenletek közül z elsőnek nincs megoldás, másodikt követő ötnek és z utolsónk egész megoldás nincs. A másodikt z y, míg z utolsó előttit z y 9 elégíti ki, tehát két olyn kétjegyű szám lehet, mely feltételeket kielégíti, és 89. Mivel 7 és , és 89 vlóbn megoldások. II. Megoldás: Előbbi jelölésünket megtrtv 0 y y 7 egyenletet lkítjuk át következőképpen: 0 y 0 y 0 7. Tettük ezt zért, hogy jobb oldl első négy tgját szorzttá lkíthssuk, mint 0 ( )( y 0) 7, miből ( )( y 0) 7. Most már láthtó, hogy z és y 9 egészek mitt bl oldl mindkét tényezője egész szám, mégpedig z első tényező pozitív, második negtív. Ilyen egészek szorzt csk úgy lehet 7, h és y 0 7 vgy 7 és y 0. Az első lehetőség z, y, második z 8, y 9 megoldásokt dj.

25 . Egy számsorozt vlmely tgját jobbminimálisnk nevezzük, h tőle jobbr nem tlálhtó nál kisebb szám. Például (; ; 4; 6; ; 7; 8; 5) soroztbn jobbminimális számok z és ( jobbszélső 5-öst nem tekintjük nnk). Ezek lpján z említett soroztbn második és z ötödik helyen áll jobbminimális szám. Hány olyn sorrendje (permutációj) vn z,,, 8 számoknk, melyekben második és z ötödik helyen (és esetleg másutt is) jobbminimális számok állnk? Megoldás. Állítsuk össze keresett permutációt blról jobbr hldv. Az első helyen 8 szám közül bármelyik állht. A második szám egyértelműen meghtározott, hiszen csk kkor lehet jobbminimális, h megmrdt számok közül legkisebbet válsztjuk. A hrmdik és negyedik szám megmrdtk közül bármelyik lehet. Az ötödik szám ismét kizárólg még fel nem hsznált 4 szám közül legkisebb lehet. A megmrdt számot beírhtjuk tetszőleges sorrendben. Ez összesen = 440 lehetséges sorrendet d. 4. Legyenek, b és pontjánk rendre z, b és c oldlktól mért távolsági. Jelölje c z ABC hegyesszögű háromszög tetszőleges P belső megfelelő oldlkhoz trtozó mgsságokt. Igzold, hogy b c. m m m b c m, m b és mc Megoldás. Mivel Ter( BCP) Ter( CAP) Ter( ABP) Ter( ABC), így elosztv mindkét oldlt Ter( ABC) -vel dódik: Ter( BCP) Ter( CAP) Ter( ABP). Ter( ABC) Ter( ABC) Ter( ABC) Behelyettesítve sorbn megfelelő háromszögek területeit kpjuk, hogy b b c c. m b mb c mc Elvégezve z egyszerűsítéseket megkpjuk keresett egyenlőséget, zz hogy b c. m m m b c

26 0. évfolym. A gödényházi sörivó versenyen hármn kerültek döntőbe: tűzoltóprncsnok, kántor és hrngozó. A kijelölt idő ltt tűzoltóprncsnok és kántor együtt kétszer nnyi sört ivott meg, mint hrngozó. A tűzoltóprncsnok és hrngozó együttes teljesítménye viszont háromszor nnyi, mint kántoré. Ki nyerte versenyt? I.Megoldás. Jelöljük tűzoltóprncsnok, kántor és hrngozó áltl elfogysztott sörmennyiséget rendre t -vel, k -vl és h -vl. Ekkor t k h és t h k. A két egyenletet kivonv dódik, hogy k h h k, zz 4k h, honnn beláthtó, hogy h k. Megállpíthtjuk tehát, hogy kántor nem nyerhetett, ezért most már elegendő tűzoltóprncsnok és hrngozó teljesítményét összehsonlítni. Ehhez fenti egyenletrendszert úgy lkítjuk, hogy k essen ki belőle (-ml szorozzuk z elsőt és hozzádjuk másodikhoz), zz 4t k h 6h k, honnn 4t 5h, vgyis t h. Tehát tűzoltóprncsnok nyert. II.Megoldás. A tűzoltóprncsnok olyn vödröt készíttetett, melynek térfogt pontosn z ő áltl elfogysztott sör mennyiségével egyezett meg. Így z ő teljesítménye vödör volt. Jelöljük továbbr is kántor és hrngozó áltl elfogysztott sörmennyiséget rendre k -vl és h -vl. Ekkor verseny jegyzőkönyve lpján tpsztltkt már felírhtjuk kétismeretlenes egyenletrendszerrel: k h és h k. Az első egyenletből k h, ezt második egyenletbe helyettesítve h (h ) dódik. Ebből 4 4 h és k h Mivel k és h kisebb -nél, ezért tűzoltóprncsnok nyert. III.Megoldás. A tűzoltóprncsnok és kántor együtt kétszer nnyi sört ivott meg, mint hrngozó. Eszerint hrngozó teljesítménye átlgos. Vgy vn nál jobb és gyengébb, vgy mindhárom egyform. A tűzoltóprncsnok és hrngozó együttes teljesítménye háromszor nnyi, mint kántoré. Eszerint viszont, h kántor helyére hrngozó kerül kétfős csptb, kkor kétfős cspt teljesítménye jvul kimrdt egy főhöz képest, tehát hrngozó teljesítménye ngyobb kántorénál. A fentiekből beláthtó, hogy sorrend: tűzoltóprncsnok, kántor,hrngozó.

27 . Egy kétjegyű szám számjegyei közé írtunk egy számjegyet. Az így kpott háromjegyű szám és z eredeti kétjegyű szám számtni közepe egyenlő z eredeti kétjegyű szám számjegyeinek felcserélésével kpott kétjegyű számml. Mi volt z eredeti szám? Megoldás. Legyen z b kétjegyű szám, k pedig számjegyei közé írt hrmdik b kb számjegy. A feltételek lpján b, vgyis háromjegyű szám kisebb 00- nál (másképpen számtni közép is háromjegyű). Tehát z és kkor 0 b 00 0k b 0b, mely lpján 08 0k 8b, zz 5k 9( b 6), tehát 9 osztój z 5k -nk, így k 0 vgy k 9. H k 0, kkor z eredeti szám 6. H k 9, kkor b, b pedig nem lehetséges.. Az AB és CD egy O középpontú körnek két, egymásr merőleges átmérője. Az OD szkszt felező E ponton hld z AF húr, z AB és CF szkszok metszéspontj G pont. Igzold, hogy z OB OG és CF DF. Megoldás. Jelölje r kör sugrát. Az AOE AFB, mert két megfelelő szögük egyenlő. Ugynkkor BFC CFA AFD (zonos hosszúságú ívekhez trtozó AG AF kerületi szögek), ezért GF szögfelező z AFB -ben, tehát, GB BF miből OG r r r OB, zz OB OG. Mivel DE r és CE r, ezért mivel EF szögfelező CFD -ben, így DF DE, zz CF CE CF DF. 4. Legyenek,,,, 009 pozitív vlós számok. Bizonyítsd be következőket: ) Minden pozitív vlós számr igz, hogy ( ). 4 b) Egyidőben nem teljesülhet következő egyenlőtlenségek mindegyike: ( ), ( ),..., 008 ( 009 ), 009( ) Megoldás. ) ( ), ebből, honnn 4 4, zz ( ) b) Tegyük fel, hogy léteznek z állításbn szereplő olyn,,,, 009 pozitív vlós számok, melyekre egyidőben teljesülnek fenti egyenlőtlenségek. Ekkor összeszorozv z egyenlőtlenségeket zt kpjuk, hogy ( ) ( ) 009 ( 009 ) Mivel ( ) minden pozitív vlós szám esetén, így 4 ( ) ( ) 009 ( 009 ) dódik, mi ellentmondást eredményez, tehát b) állítás igz. 4

28 . évfolym. A gödényházi sörivó versenyen hármn kerültek döntőbe: tűzoltóprncsnok, kántor és hrngozó. A kijelölt idő ltt tűzoltóprncsnok és kántor együtt kétszer nnyi sört ivott meg, mint hrngozó. A tűzoltóprncsnok és hrngozó együttes teljesítménye viszont háromszor nnyi, mint kántoré. Ki nyerte versenyt? I.Megoldás. Jelöljük tűzoltóprncsnok, kántor és hrngozó áltl elfogysztott sörmennyiséget rendre t -vel, k -vl és h -vl. Ekkor t k h és t h k. A két egyenletet kivonv dódik, hogy k h h k, zz 4k h, honnn beláthtó, hogy h k. Megállpíthtjuk tehát, hogy kántor nem nyerhetett, ezért most már elegendő tűzoltóprncsnok és hrngozó teljesítményét összehsonlítni. Ehhez fenti egyenletrendszert úgy lkítjuk, hogy k essen ki belőle (-ml szorozzuk z elsőt és hozzádjuk másodikhoz), zz 4t k h 6h k, honnn 4t 5h, vgyis t h. Tehát tűzoltóprncsnok nyert. II.Megoldás. A tűzoltóprncsnok olyn vödröt készíttetett, melynek térfogt pontosn z ő áltl elfogysztott sör mennyiségével egyezett meg. Így z ő teljesítménye vödör volt. Jelöljük továbbr is kántor és hrngozó áltl elfogysztott sörmennyiséget rendre k -vl és h -vl. Ekkor verseny jegyzőkönyve lpján tpsztltkt már felírhtjuk kétismeretlenes egyenletrendszerrel: k h és h k. Az első egyenletből k h, ezt második egyenletbe helyettesítve h (h ) dódik. Ebből 4 4 h és k h Mivel k és h kisebb -nél, ezért tűzoltóprncsnok nyert. III.Megoldás. A tűzoltóprncsnok és kántor együtt kétszer nnyi sört ivott meg, mint hrngozó. Eszerint hrngozó teljesítménye átlgos. Vgy vn nál jobb és gyengébb, vgy mindhárom egyform. A tűzoltóprncsnok és hrngozó együttes teljesítménye háromszor nnyi, mint kántoré. Eszerint viszont, h kántor helyére hrngozó kerül kétfős csptb, kkor kétfős cspt teljesítménye jvul kimrdt egy főhöz képest, tehát hrngozó teljesítménye ngyobb kántorénál. A fentiekből beláthtó, hogy sorrend: tűzoltóprncsnok, kántor,hrngozó. 5

29 . Felírtuk egy táblár -től 009-ig számokt, mjd vlmelyik két szomszédost letöröltük, és helyettük felírtuk különbségüket ( ngyobból kivonv kisebbet). Ezt z eljárást ddig ismételgettük, míg végül csk egy szám mrdt táblán. ) Mutssuk meg, hogy utolsó számként nem jöhet ki z 000. b) Adjunk egy eljárást, mely utolsó számként z 00-et eredményezi! Megoldás: ) H számsoroztból kihúzok két számot és helyükbe írom különbségüket ( ngyobból kivonv kisebbet), kkor és b szám esetén ( b ) számsorozt tgjink z összege b ( b ) szerint változik, vgyis kisebb szám kétszeresével csökken. Ezek szerint z összeg pritás nem változik. A természetes számokt összegezve 009-ig pártln számot kpunk, mert négy szomszédos szám (két pártln és két páros szám) összege mindig páros. 008-ig számok felbonthtók ilyen szomszédos számok lkott számnégyesekre, tehát összegük is páros. Ehhez hozzádv 009-et pártln számot kpunk. A fentiek lpján 000-et nem kphtunk végeredményként, mivel páros szám, kiindulásul vett számsorozt tgjink összege pedig pártln. b) Az előző rész fejtegetése lpján nem lehetetlen, hogy tláljunk egy ilyen eljárást. Figyeljük ismét szomszédos számokból képzett számnégyeseket. A zárójelbe tett számokt cseréljük ki különbségükre:,,, (, ), (, ), (, ) 0 vgyis szomszédos számokból álló számnégyesek nullár cserélhetők. Könnyen beláthtó, hogy tetszőleges számú 0 soroztos cserékkel egyetlen 0-r cserélhető. Ezek lpján:,,, 4, 5, 6, 7,8,, 997,998,999,000, 00, 00,00,004,005,, 006, 007, 008, 009 (,,, 4),, (997, 998, 999,000), 00, (00,00,004,005),, (006, 007, 008, 009) 0,, 0, 00, 0,, 0 0, 00, 0 00, 0 (00, 0) 00 Más megfelelő eljárás is létezik.. Legyen z ABCD trpéz érintőnégyszög, melynek z lpon fekvő szögei és. Igzold, hogy AB ctg ctg. CD Megoldás. Legyen S z ABCD trpéz beírt körének középpontj, és jelölje beírt kör érintési pontjit z AB és CD oldlkkl rendre M és M. Ekkor 6

30 AM MS ctg és BM MS ctg, MS r beírt kör sugr, ezért AB AM MB MS (ctg ctg ) r ctg ctg. Mivel SDM és SCM, ezért DM MS tg és CM MS tg, ebből következik, hogy CD CM DM MS tg tg r tg tg, vgyis AB CD ctg ctg ctg ctg. tg tg 4. Bizonyítsd be, hogy z n n 0 n n egyenlet gyökei vlósk és irrcionális számok minden n természetes számr! Megoldás. A egyenlet gyökei vlósk, h determináns D 0 és h D nem teljes négyzetszám, kkor zok irrcionálisk. Igzoljuk, hogy nincs olyn k egész szám, 4 n n n n n n melyre teljesül: D 4 k n n, zz k. n 4 Elégséges tehát igzolni, hogy n n n n nem négyzetszám. 4 4 Mivel ( n n) n n n és ( n n ) n n n n, vizsgált összeg két négyzetszám között vn, így z nem négyzetszám. 7

31 . évfolym. Egy bnk páncélszekrényén több különböző zár vn. Kulcsikt úgy osztották szét bnk négy pénztáros között, hogy páncélszekrény kinyitásához leglább hármuknk jelen kell lenni, de mind négynek nem, hogy náluk levő kulcsokkl ki lehessen nyitni z összes zárt. (Egy zárhoz többüknél is lehet kulcs, és egy embernél többféle kulcs is lehet.) Legkevesebb hány zár vn páncélszekrényen? Megoldás. Megmuttjuk, hogy leglább 6 zár vn páncélszekrényen. Mivel két pénztáros jelenléte kevés nyitáshoz, ezért bármelyik két pénztáros együttes kulcskészletéből leglább egy zár kulcs hiányzik. Bármelyik pénztáros párosnk más-más kulcs hiányzik szekrény kinyitásához, mivel h voln két páros, kikkel ugynnnk kulcsnk hiány mitt nem lehet páncélszekrényt kinyitni, kkor párosokból vló három pénztáros nem tudná kinyitni, holott feltétel szerint ennyi pénztáros erre mindig képes. A négy pénztárosból htféleképpen válszthtó ki kettő, tehát fentiek mitt leglább ennyi zár vn. H pénztárosokt A, B, C és D jelöli, zárkt, illetve hozzájuk trtozó kulcsokt z,,, 4, 5 és 6, kkor z lábbi táblázt muttj, hogy 6 zárr teljesülhet vlmennyi feltétel ( + jelenti pénztárosnál levő kulcsot): A B C D Htározd meg 4 4 sin cos sin cos sin sin egyenlet vlós megoldásit! Megoldás. Szorozzuk meg z egyenletet sin -el, ekkor sin 0, 5 7 honnn sin, vgyis k és k. Ekkor z egyenlet így 4 4 lkul: 4 4 sin cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 0 sin cos sin cos sin cos 0 sin cos 0 sin cos sin cos 0 sin cos 0 sin 0 cos 0 8

32 k sin cos 4 7 k k 4 k 4 7 Mivel k értéket kizártuk, így z dott trigonometrikus egyenlet 4 megoldás z, M k k, k 4 hlmz.. Az y prbol P és, B,6 pontok áltl meghtározott szksz derékszögben látszik. Mekkor z APBP négyszög területe? P pontjából z A és Megoldás. Mivel P és P pontokból z AB szksz derékszögben látszik, ezért P és P illeszkedik z AB szksz Thálesz-körére, melynek középpontj C,4 pont, sugr, z egyenlete tehát y 4 4. Mivel P és P illeszkedik prbolár is, így y -tőt kör egyenletébe helyettesítve 4 4. Ennek z egyenletnek megoldási,,. z A, B pontokt dják, másik kettőből y 5. AB PP Így z AP BP négyszög deltoid, területe t 4. 9

33 0 4. Htározd meg zt pozitív számot, melyre z f függvény lehető legkisebb értékét veszi fel! Htározd is meg ezt legkisebb értéket! Megoldás. Vezessük be z t helyettesítést. Ekkor t t 6 6 t t ezért t t t t t t t t t t t f mivel t, ezért 6 f, tehát f legkisebb értéke 6, h.

34 A VII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY DÍJAZOTTJAI 8. évfolym. Bíró Dominik, Kizúr István Áltlános Iskol, Szbdk, I. díj. Horti Krisztin, Stevn Sremc Áltlános Iskol Emlékiskol, Zent, I. díj. Pós Vivien, Kis Ferenc Áltlános Iskol, Orom, III. díj 4. Ptki Zsók, Stevn Sremc Áltlános Iskol November, Zent, dicséret 5. Vörös Friderik, Stevn Sremc Áltlános Iskol November, Zent, dicséret 9. évfolym. Ngy Henriett, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zent, III. díj. Gyorgyevics Elvir, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, III. díj. Kiskároly Tíme, Dositej Obrdović Gimnázium, Topoly, III. díj 4. Pletikoszity Johnn, Svetozr Mrković Gimnázium, Szbdk, dicséret 5. Somogyi Hunor, Műszki Iskol, Szbdk, dicséret 0. évfolym. Piri Annmári, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, I. díj. Ripcó Ákos, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zent, II. díj. Körmöczi Andor, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zent, II. díj 4. Pusin Igor, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, III. díj 5. Gyrmti Dénes, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, III. díj 6. Kőrösi Blázs, Műszki Középiskol, Ad, III. díj. évfolym. Kovcsics Tmás, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zent, I. díj. Bálind Árpád, Műszki Középiskol, Ad, I. díj. Frks Lur, Svetozr Mrković Gimnázium, Újvidék, II. díj 4. Vrbski Iván, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zent, III. díj. évfolym. Kecsenovics Egon, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, I. díj. Blss Tmás, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zent, I. díj. Tóth Szbolcs, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zent, I. díj 4. Ágó Krisztin, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zent, II. díj 5, Kovcsics Tóbiás, Műszki Középiskol, Óbecse, III. díj 6. Berec Alendr, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret 7. Guzsvány Szndr, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret Díjzottk

35 A VIII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: dr. Klukovits Ljos Elődás címe: Egy művészetből született tudomány, projektív geometri Készülődés versenyre.

36 VIII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 00. december évfolym. A nyáron egy kis flubn volt z osztály kirándulni. Az egyetlen bolt árukészlete minden reggel ugynz volt. Mi voltunk z első vásárlók és kiflik felét, zsemlék negyedét, tej egy ötödét elvittük, és ezért 800 dinárt fizettünk. Másnp z előző npivl zonos árukészletből kifliknek és zsemléknek is hrmdát, tejnek negyedét vittük el és most 500 dinárt fizettünk. Hrmdnp megint másként rendeltek z osztálytársk, és most kiflik htodát, zsemlék öt tizenketted részét, tejnek három tized részét vittük el. Mennyit fizettünk hrmdik npon?. Egy dobozbn piros, 5 kék, 0 fehér és vlhány zöld spk vn. Ezek csk színükben különböznek. A dobozból csukott szemmel tlálomr vehetünk ki spkákt. Adott z lábbi három igz állítás: () H kiveszünk 6 spkát, biztosn vn köztük fehér. () Leglább 59 spkát kell kivennünk hhoz, hogy biztosn legyen köztük zöld. () Legfeljebb 5 spkát vehetünk ki úgy, hogy ne legyen köztük piros. El lehet-e dönteni fenti állításokból, hogy pontosn hány zöld spk vn dobozbn? Indokold!. Add meg z y 80 egyenlet pozitív egész megoldásit! 4. Az ABC háromszögben 90. Tükrözzük háromszöget C csúcsból induló mgsságvonlr. Így kpjuk z A BC háromszöget. Bizonyítsd be, hogy BCA háromszög derékszögű! A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát!

37 VIII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 00. december évfolym. Egy mtemtik teszt megírásábn egy középiskol 00 tnulój vett részt, és z átlgpontszámuk 00 pont volt. Az lsóévesek szám 50%-kl több, mint felsőéveseké, felsőévesek átlg pedig 50%-kl több, mint z lsóéveseké. Mennyi felsőévesek átlgpontszám?. Melyik z legngyobb természetes szám, mely kisebb számjegyei négyzetösszegénél?. Az ABC egyenlőszárú háromszögben ( AC BC ) B csúcsnál lévő belső szög szögfelezője szemközti oldlt egy P pontbn metszi. Bizonyítsd be, hogy BP AP. 4. Egy dobozbn piros, 5 kék, 0 fehér és vlhány zöld spk vn. Ezek csk színükben különböznek. A dobozból csukott szemmel tlálomr vehetünk ki spkákt. A következő négy állításból pontosn három igz. () H kiveszünk 6 spkát, biztosn vn köztük fehér. () Leglább 59 spkát kell kivennünk hhoz, hogy biztosn legyen köztük zöld. () H kiveszünk 46 spkát, lehet, hogy nincs köztük sem piros, sem kék. (4) Legfeljebb 5 spkát vehetünk ki úgy, hogy ne legyen köztük piros. Hány zöld spk vn dobozbn? A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 4

38 VIII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 00. december évfolym. H és b vlós számok és b [, ], kkor igzold, hogy ( b ) 4( b)( b ).. Egy szöcske ugrál kör kerületén z órmuttó járásávl megegyező irányb. Az első ugrásnk egy -os középponti szög felel meg, második ugrásnk egy -os középponti szög felel meg, és áltlábn k -dik ugrásánk egy k -os középponti szög felel meg. Hánydik ugrásávl kerül először olyn pontr, hol már járt?. Az ABC háromszög oldlin dottk z M BC, N AC és P AB pontok úgy, hogy AM, BN és CP egyenesek egy pontbn Q -bn metszik egymást. Htározd meg háromszög A és B szögeinek mértékét, h BAM 0, ABN 0, BCP 0 és ACP Egy dobozbn piros, 5 kék, 0 fehér és vlhány zöld spk vn. Ezek csk színükben különböznek. A dobozból csukott szemmel tlálomr vehetünk ki spkákt. A következő négy állításból pontosn három igz. () H kiveszünk 6 spkát, biztosn vn köztük fehér. () Leglább 59 spkát kell kivennünk hhoz, hogy biztosn legyen köztük zöld. () H kiveszünk 46 spkát, lehet, hogy nincs köztük sem piros, sem kék. (4) Legfeljebb 5 spkát vehetünk ki úgy, hogy ne legyen köztük piros. Hány zöld spk vn dobozbn? A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 5

39 VIII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 00. december 4.. évfolym. Egy szöcske ugrál kör kerületén z órmuttó járásávl megegyező irányb. Az első ugrásnk egy -os középponti szög felel meg, második ugrásnk egy -os középponti szög felel meg, és áltlábn k -dik ugrásánk egy k -os középponti szög felel meg. Hánydik ugrásávl kerül először olyn pontr, hol már járt?. Igzold, hogy nem léteznek olyn m és n pozitív egész számok, melyekre m 4n és n 4m is négyzetszám!. Bizonyítsd be, hogy: cos cos cos 7 sin cos cos cos 4 cos8 sin6 4. Melyik ngyobb, log000 vgy log0 0? A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 6

40 VIII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 00. december 4.. évfolym. Oldd meg z dott egyenletrendszert: 6 6 y 65, 4 4 y y.. Melyik ngyobb, log000 vgy log0 0?. AB átmérőjű félkörbe beírtunk egy ABCD konve négyszöget ( C és D egy félkörön vnnk). Legyen P CD oldl egy tetszőleges pontj, vlmint Q P merőleges vetülete z AB -re. Igzold, hogy: QA QB PC PD PQ. 4. Az,,, pozitív számok számtni (ritmetiki) soroztot lkotnk. Igzold, hogy:. n n n n n A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 7

41 A VIII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY FELADATAINAK MEGOLDÁSAI 8. évfolym. A nyáron egy kis flubn volt z osztály kirándulni. Az egyetlen bolt árukészlete minden reggel ugynz volt. Mi voltunk z első vásárlók és kiflik felét, zsemlék negyedét, tej egy ötödét elvittük, és ezért 800 dinárt fizettünk. Másnp z előző npivl zonos árukészletből kifliknek és zsemléknek is hrmdát, tejnek negyedét vittük el és most 500 dinárt fizettünk. Hrmdnp megint másként rendeltek z osztálytársk, és most kiflik htodát, zsemlék öt tizenketted részét, tejnek három tized részét vittük el. Mennyit fizettünk hrmdik npon? (A megoldásbn jelöljük kiflik, zsemlék és tej teljes npi árukészletének árát k, z és t betűkkel.) Megoldás. H kiflik, zsemlék és tej teljes npi árukészletének árát k, z és t betűkkel jelöljük, kkor k z t k z t 900 és k z t Arr vgyunk kíváncsik, hogy mennyi értéke. 6 0 Az első két feltételből nem tudjuk meghtározni k, z és t értékét. Mégis milyen összefüggés lehet három törtkifejezés között? Némi próbálgtás után rájöhetünk, hogy h z első egyenletből kivonjuk z második egyenletet, kkor megkpjuk keresett értéket. Vlóbn, k k k z z z t t t,, Eszerint hrmdik npon = 40 dinárt fizettünk.. Egy dobozbn piros, 5 kék, 0 fehér és vlhány zöld spk vn. Ezek csk színükben különböznek. A dobozból csukott szemmel tlálomr vehetünk ki spkákt. Adott z lábbi három igz állítás: () H kiveszünk 6 spkát, biztosn vn köztük fehér. () Leglább 59 spkát kell kivennünk hhoz, hogy biztosn legyen köztük zöld. () Legfeljebb 5 spkát vehetünk ki úgy, hogy ne legyen köztük piros. El lehet-e dönteni fenti állításokból, hogy pontosn hány zöld spk vn dobozbn? Indokold! Megoldás. Vizsgáljuk meg sorbn, melyik állításból milyen következtetést vonhtunk le zöld spkák számáról. () Legfeljebb 6 nem fehér spk vn, így zöldből nél nem lehet több. (Az állításból nem következik, hogy pontosn 4 zöld vn, hiszen lehet, hogy már 60 kihúzott spk között is vn zöld.) () Összesen nem zöld spkánk vn, így ez z állítás mindig igz. () A nem piros spkák szám 5, zz zöld spk vn dobozbn. 8

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról. rész Bevezetés Az idő múlik, kívánlmk és lehetőségek változnk. Tegnp még logrléccel számoltunk, m már elektronikus számoló - és számítógéppel. Sok teendőnk

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2012. jnuár 26. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

Matematikai feladatlap Test z matematiky

Matematikai feladatlap Test z matematiky Keresztnév: Vezetéknév: Mtemtiki feldtlp Test z mtemtiky eloslovenské testovnie žikov 9. roèník ZŠ T9-01 Kedves tnulók, mtemtiki feldtlpot kptátok kézhez. teszt 0 feldtot trtlmz. Minden helyes válszt 1

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória 1. ktegóri 1.1.1. Adtok: ) Cseh László átlgsebessége b) Chd le Clos átlgsebessége Ezzel z átlgsebességgel Cseh László ideje ( ) ltt megtett távolság Így -re volt céltól. Jn Switkowski átlgsebessége Ezzel

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

F a 1 u s s v Sándor: A Jogi és Ügyrendi Bizottság 6 igen szavazattal a rendelet-tervezet elfogadását javasolja.

F a 1 u s s v Sándor: A Jogi és Ügyrendi Bizottság 6 igen szavazattal a rendelet-tervezet elfogadását javasolja. - 11- F 1 u s s v Sándor: A Jogi és Ügyrendi Bizottság 6 igen szvttl rendelet-tervezet elfogdását jvsolj. T ó t h István: Várplot Pétfürdői Városrész Önkormányzt 7 igen szvttl, 1 nem szvttl rendelet-módosítás

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2006/2007-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2006/2007-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Alapkezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2006/2007-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2016. jnuár 16. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése Sűrűségérés. Szilárd test sűrűségének érése A sűrűség,, definíciój hoogén test esetén: test töege osztv test V térfogtávl: V A sűrűség SI értékegysége kg/, hsználtos ég kg/d, kg/l és g/c Ne hoogén testnél

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

finanszírozza más városnak, tehát ezt máshonnan finanszírozni nem lehet.

finanszírozza más városnak, tehát ezt máshonnan finanszírozni nem lehet. 19 finnszírozz más városnk, tehát ezt máshonnn finnszírozni lehet. Amennyiben z mortizációs költség szükségessé váló krbntrtási munkár elég, s melynek forrás csk ez, bbn z esetben z önkormányzt fizeti

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ Társdlmi Megújulás Opertív Progrm keretében Munkhelyi képzések támogtás mikro- és kisválllkozások számár címmel meghirdetett pályázti felhívásához Kódszám: TÁMOP-2.1.3/07/1 v 1.2 A projektek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2007/2008-as tanév 2. forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2007/2008-as tanév 2. forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév. forduló haladók I. kategória Megoldások

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 2. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/0-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató.

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK Prof.Dr. Zobory István Budpest 04 Trtlomegyzék. Bevezetés... 3. A vsúti árművek teherviselő részeiről... 3. Alvázs (nem önhordó) kocsik... 3.. Kéttengelyes kocsik... 4..

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

BIOKOMPATIBILIS ANYAGOK.

BIOKOMPATIBILIS ANYAGOK. 1 BIOKOMPATIBILIS ANYAGOK. 1Bevezetés. Biokomptbilis nygok különböző funkcionális testrészek pótlásár ill. plsztiki célokt szolgáló lkos, meghtározott méretű, nygok ill. eszközök, melyek trtósn vgy meghtározott

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

- 27 - (11,05 Miskolczi Ferenc megérkezett, a létszám: 21 fő)

- 27 - (11,05 Miskolczi Ferenc megérkezett, a létszám: 21 fő) 27 A ház hét minden npján progrmokkl telített. Kb. 900 fitl fordul meg hetente z állndó progrmokon. A próbák, z összejövetelek hosszú évek ót ugynzon helyen, ugynzon időpontbn vnnk. A megszokottság egyegy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

MAGICAR 441 E TÍPUSÚ AUTÓRIASZTÓ-RENDSZER

MAGICAR 441 E TÍPUSÚ AUTÓRIASZTÓ-RENDSZER MAGICAR 441 E TÍPUSÚ AUTÓRIASZTÓ-RENDSZER 1. TULAJDONSÁGOK, FŐ FUNKCIÓK 1. A risztóberendezéshez 2 db ugrókódos (progrmozhtó) távirányító trtozik. 2. Fontos funkciój z utomtikus inditásgátlás, mely egy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I. 1) x x MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. EMELT SZINT I. a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! (5 pont) b) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! lg x

Részletesebben

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK we-lap : www.hild.gyor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STTIK 47. RÁCSOS TRTÓK rácsos tartók két végükön csuklókkal összekötött merev testekől állnak. z így

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Országos döntő, 1. nap - 015. május 9. ÖTÖDIK OSZTÁLY - ok 1. Egy háromjegyű szám középső számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk. A két szám összege

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 2. FIZ2 modul. Fizika feladatgyűjtemény

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 2. FIZ2 modul. Fizika feladatgyűjtemény Nyugt-mgyrországi Egyetem Geoinformtiki Kr Csordásné Mrton Melind Fiziki példtár 2 FIZ2 modul Fizik feldtgyűjtemény SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2015. jnuár 22. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

tud vinni, tehát nem kényszeríthetjük építsen magának, hogy a mozsárkályhát Abból indulnék ki, hogy nem elvétett gondolat-e a fűtőmű

tud vinni, tehát nem kényszeríthetjük építsen magának, hogy a mozsárkályhát Abból indulnék ki, hogy nem elvétett gondolat-e a fűtőmű lterntívát nem rr, kéményt bete brikettre. 85 tud vinni, tehát nem kényszeríthetjük építsen mgánk, mozsárkályhát T ó t h bból indulnék ki, nem elvétett gondolte fűtőmű megvlósítás, mert kb. 1 milliárd

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 8. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 03

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése VB-EC01 progrm rövid szkmi ismertetése A VB-EC01 progrmcsomg hrdver- és szoftverigénye: o Windows XP vgy újbb Windows operációs rendszer o Min. Gb memóri és 100 Mb üres lemezterület o Leglább 104*768-s

Részletesebben

Tartalom I. 1. Kohászat. 2. Egyedi Protanium acél. 3. Első osztályú korrózióvédelem. 4. Örökös garancia

Tartalom I. 1. Kohászat. 2. Egyedi Protanium acél. 3. Első osztályú korrózióvédelem. 4. Örökös garancia A profik válsztás pic egyetlen profi minőségű htszögkulcs Trtlom I. 1. Kohászt II. 2. Egyedi Protnium cél 3. Első osztályú korrózióvédelem 10 23 A szbványoknk vló 100%os megfelelés 26 Nincsenek rossz törések,

Részletesebben

MARADÉKANOMÁLIA-SZÁMÍTÁS

MARADÉKANOMÁLIA-SZÁMÍTÁS MARADÉKANOMÁLIASZÁMÍTÁS **'* Kivont STEINER FERENC" okl középiskoli tnárnk Nehézipri Műszki Egyetem Bánymérnöki Krához benyújtott és elfogdott doktori értekezéséből Az értekezés bírálói: Dr csókás János

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv Mátrx-vektor feldtok Összeállított dr. Slánk József egyetem djunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálnt Gusztáv 1. feldt Adottk z n elemű, b vektorok. Képezn kell c vektort, hol c = b / Σ( ), ( = 0,1,,

Részletesebben

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot

1992. évi verseny, 2. nap. legkisebb d szám, amelyre igaz, hogy bárhogyan veszünk fel öt pontot 1991. évi verseny, 1. nap 1. Bizonyítsd be, hogy 1 101 + 1 102 + 1 103 +... + 1 200 < 1 2. 2. Egy bálon 42-en vettek részt. Az első lány elmondta, hogy 7 fiúval táncolt, a második lány 8-cal, a harmadik

Részletesebben

Bevezetés. Egészséges táplálkozás. Az egészségi állapotunkat számos tényező befolyásolja,

Bevezetés. Egészséges táplálkozás. Az egészségi állapotunkat számos tényező befolyásolja, Bevezet Az egzségi állpotunkt számos tényező befolyásolj, ezek között Egzséges z egyik legfontosbb életvitelünkkel z betegségeket életmódunk. előzhetünk meg, életminőségünk lehet jobb. Az egzségben töltött

Részletesebben

Egyházashollós Önkormányzata Képviselőtestületének 9/ 2004. (IX.17) ÖR számú rendelete a helyi hulladékgazdálkodási tervről

Egyházashollós Önkormányzata Képviselőtestületének 9/ 2004. (IX.17) ÖR számú rendelete a helyi hulladékgazdálkodási tervről Egyházshollós Önkormányzt Képviselőtestületének 9/ 24. (IX.7) ÖR számú rendelete helyi hulldékgzdálkodási tervről Egyházshollós Önkormányztánk Képviselőtestülete z önkormányzti törvény (99. évi LXV. tv.)

Részletesebben

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám,

I. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám, Dobos Sándor, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: 005. november 1. feladat A 70-nek 80%-a mely számnak a 70%-a? I. rész. feladat Egy szabályos

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Mtemtik. évfolym TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kidvány KHF/86-/008. engedélyszámon 008..7. időponttól tnkönyvi engedélyt kpott Eductio Kht. Kompetencifejlesztő okttási progrm

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton 011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet

Részletesebben

FÁCÁNKERT HELYI ÉRTÉKVÉDELMI KATASZTER

FÁCÁNKERT HELYI ÉRTÉKVÉDELMI KATASZTER FÁCÁNKERT HEYI ÉRTÉKVÉDEMI KATASZTER PÉCSÉPTERV STÚDIÓ VÁROSRENDEZÉS ÉPÍTÉSZET BESŐ ÉPÍTÉSZET SZAKTANÁCSADÁS TERVEZÉS EBONYOÍTÁS F Á C Á N K E R T TEEPÜÉSRENDEZÉSI TERVE HEYI ÉRTÉKVÉDEMI KATASZTER Készítette

Részletesebben

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik 1991. évi verseny, 1. nap 1. Számold össze, hány pozitív osztója van 16 200-nak! 2. Bontsd fel a 60-at két szám összegére úgy, hogy az egyik szám hetede egyenlő legyen a másik szám nyolcadával! 3. Van

Részletesebben

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ

Próba érettségi feladatsor 2008. április 11. I. RÉSZ Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 2008 április 11 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti keretbe írja!

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2012. jnuár 26. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Együtt Egymásért. 6. Szám. Kirándulás Erdélybe. www.hkse-kup.atw.hu Kiadja a Háromhatár Kulturális és Sport Egyesület Kup

Együtt Egymásért. 6. Szám. Kirándulás Erdélybe. www.hkse-kup.atw.hu Kiadja a Háromhatár Kulturális és Sport Egyesület Kup Együtt Egymásért 2011. 6. Szám www.hkse-kup.tw.hu Kidj Háromhtár Kulturális és Sport Egyesület Kup Kirándulás Erdélybe kupi Háromhtár Kulturális és Sport Egyesület Ifjúsági tgozt második lklomml vett részt

Részletesebben

Lakások elektromágneses sugárzásának mértéke és ezek csökkentési lehetőségei

Lakások elektromágneses sugárzásának mértéke és ezek csökkentési lehetőségei Lkások elektro ánk mértéke ezek csökkenti lehetőségei Írt: Vizi Gergely Norbert, Dr. Szász ndrás múlt százdbn tudósok rájöttek, vezetékek elektro hullámokt bocsátnk ki, miket távkommunikációr lehet hsználni,

Részletesebben

2000. évi XXV. törvény a kémiai biztonságról1

2000. évi XXV. törvény a kémiai biztonságról1 j)10 R (1)4 2000. évi XXV. törvény kémii biztonságról1 z Országgyűlés figyelembe véve z ember legmgsbb szintű testi és lelki egészségéhez, vlmint z egészséges környezethez fűződő lpvető lkotmányos jogit

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2008. jnuár 31. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2008. jnuár 31. 15:00 ór M 2 fltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zsszámológépt nm hsználhtsz. A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto

Részletesebben