4. előadás: A vetületek általános elmélete

Átírás

1 4. elődás: A vetületek áltlános elmélete A vetítés mtemtiki elve Két mtemtikilg meghtározott felület prméteres egyenletei legyenek következők: x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), I. z = f 3 (u, v). ξ = g 1 (U, V), (4.1) η = g 2 (U, V), II. ζ = g 3 (U. V). H két felület prméteres egyenletei között fennáll z U = F 1 (u, v) és V = F 2 (u, v) (4.2) függvénykpcsolt, kkor két felület között olyn kpcsolt áll fenn, mely szert z egyik felület minden pontjánk vn megfelelője másik felületen. H ugynis (3.2) egyenleteket ehelyettesítjük (3.1) ltti II. jelzésű egyenletrendszere, kkor ξ = G 1 (u, v), η = G 2 (u, v), II. (4.3) ζ = G 3 (u, v). prméteres egyenletekhez jutunk. A (4.3) egyenletek szerint z u és v prméterek összetrtozó értékei mindkét felületen egy-egy pontot htároznk meg. H z egyik prmétert állndónk tekintjük, másikt pedig folymtosn változttjuk, kkor mindkét felületen egymásnk megfelelő görét kpunk. H pl. göm prméteres egyenleteien λ -t állndónk vesszük, és csk ϕ -t változttjuk, kkor meridiánt, h pedig ϕ -t vesszük állndónk, és λ -t változttjuk, kkor prlelkört jelölünk ki. H z egyik felületet lpfelületnek, másikt képfelületnek tekintjük, kkor prméterek között felállított mtemtiki összefüggések vetület törvényszerűségét meghtározó vetületi egyenletek. A prméterek között végtelen sok mtemtiki összefüggés állíthtó fel, ezek mindegyike zonn nem lklms térképi árázolás céljáól végzett vetítésre. A vetületi egyenletekkel ( prméterek közötti összefüggésekkel) szemen z árázolás céljától függően következő követelményeket támsztjuk: 1. z lpfelület és képfelület minden egyes pontjánk egy és cskis egy pont feleljen meg másik felületen (egyértelműség követelménye); 4-1

2 Órvázlt Vetülettn elődásihoz 2. vetületi egyenletek folytonos és differenciálhtó függvények legyenek, és ezen kívül differenciálhánydosik is folytonos függvények legyenek (mtemtiki kezelhetőség követelménye); 3. vetületi torzulások izonyos megdott értéket ne lépjenek túl. A vetítés ugynis mindig torzulásokkl jár, hiszen egy göre felület nem préselhető egy másik göre felülete vgy sík gyűrődés vgy szkdás nélkül.) A torzulásokr megdott htár különösen geodézii célokr szolgáló vetületeken erősen korlátozott. Vetületi torzulások A vetületek csoportosítás torzulások szerint Amint z előzőken láttuk vetítés mindig torzulásokt eredményez. A torzulások érintik szögeket (irányokt), hosszkt és területeket. Ezek szerint vetületeket torzulások szempontjáól három csoport soroljuk: 1. z áltlános torzulású vetületek csoportjá, hol szögek, hosszk és területek is torzulnk; 2. szögtrtó (szöghű, konform) vetületek csoportjá, hol h képfelületen z lpfelületi vonlk vlódi képét állítjuk elő, szögek változtlnok mrdnk. (A vonlk vlódi képét áltlán úgy kpnánk meg, h z lpfelületi vonlkt pontonként, vgyis pontsor minden egyes pontját külön-külön vetítenénk. A későieken látni fogjuk, hogy minden vetületen vnnk olyn vonlrendszerek, melyek vlódi képét, pontonkénti vetítés nélkül is elő tudjuk állítni.); 3. területtrtó (területhű, ekvivlens) vetületek csoportjá, melyen területek változtlnok mrdnk, h képfelületen z lpfelületi vonlk vlódi képét állítjuk elő. Megjegyzés: Hossztrtó vetület nem létezik, mert zon szögek és területek is változtlnok mrdnánk, tehát vetítésről sem eszélhetnénk. Vlmely elem (szög, hossz, terület) változtlnság töi elem erőse torzulását eredményezi. Torzulási modulusok A vetületi torzulásokt modulusokkl jellemezzük: 1. hossztorzulás jellemzője lineármodulus (l); 2. z irány- (szög-) torzulásé z iránymodulus (i); 3. területtorzulásé területi modulus (τ ). A lineármodulus z lpfelület vlmely pontjánál levő elemi hosszúságú vonldr ds hosszánk és képfelületi megfelelője dt hosszánk viszony: dt l =. ds (A számlálón képfelületi hossz áll.) A hossztorzulás áltlán pontonként és irányonként is változik, ezért lineármodulus áltlán helytől és z iránytól is függ. H vlmely irány z lpfelületen egy kezdőiránnyl ω, képfelületen levő megfelelője kezdőirány megfelelőjével ω szöget zár e, kkor z iránymodulust z tn ω' i =, tn ω 4-2

3 hánydos fejezi ki. (Itt is képfelületi érték áll számlálón!) H kezdőiránynk zt z irányt válsztjuk, melyen vizsgált ponton lineármodulus legngyo (első vetületi főirány), kkor z iránymodulus egy-egy pontn állndó, de pontonként áltlán változó. Az (ω - ω ) értéket -sl jelöljük és első irányredukciónk nevezzük. Szögtrtó vetítésnél, mivel szögek nem változnk (ω = ω ), z iránymodulus minden pontn z egységgel egyenlő. Ugynekkor = 0. A területi modulus z elemi ngyságú lpfelületi df terület és képfelületi dt megfelelőjének dt τ = df hánydos. (A képfelületi mennyiség itt is számlálón áll!) Ez csk kkor lehet igz, h z lpfelületi elemi ngyságú idom és nnk képfelületi megfelelője hsonlók, vgyis z oldlk rányosn torzulnk. Eől következik, hogy szögtrtó vetületen lineármodulus értéke egy-egy pontn állndó, tehát csupán helynek függvénye, de z iránynk nem. Területtrtó vetületen területi modulus minden pontn eggyel egyenlő, mert df = dt. A vetületi torzulások áltlános elmélete Tissot-féle torzulási ellipszis N. A. Tissot ( ) frnci mtemtikus szerint z lpfelület elemi ngyságú körének képe képfelületen áltlán elemi ngyságú ellipszis lesz és kör középpontjánk képe z ellipszis középpontj. Ezek szerint minden vetület helyettesíthető végtelen sok, elemi ngyságú felületelem derékszögű (ortogonális) vetületével úgy, hogy mindegyik ilyen derékszögű vetületnek más méretrány. Vlmely véges idom vetületi képe tehát felületelemekől mozikszerűen rkhtó össze. H z lpfelületi elemi ngyságú kör sugrát egységnyinek tekintjük (r = 1), kkor képfelületi ellipszis rádiuszvektori dják lineármodulusok értékét megfelelő irányokn. A felvett elemi ngyságú kör képét Tissot-féle torzulási ellipszisnek vgy Tissot-féle indiktrixnk nevezzük. Eől lehet leolvsni vetületi torzulások törvényeit. Az első vetületi főiránynk megfelelő l mx dj z ellipszis fél ngytengelyét, másik vetületi főiránynk megfelelő l min pedig z ellipszis fél kistengelyét: = l mx, = l min. (A vetületi főirányokt z árán I és II-vel, illetve I és II -vel jelöltük.) Első vetületi főiránynk zt z lpfelületi irányt nevezzük, melyen lineármodulus értéke legngyo. A második vetületi főirányn lineármodulus legkise értéket éri el. Bármely pontn vn tehát két főirány ( vetületi főirányok), melyek z lpfelületen és megfelelőik képfelületen is merőlegesek egymásr, és szögtrtó vetületek kivételével ez z iránypár z egyetlen, mely mind két felületen merőleges egymásr. Az lpfelület különöző helyein felvett zonos méretű elemi ngyságú körök képe áltlán más és más lkú és méretű ellipszis lesz, és más és más lesz z ellipszis 4-3

4 Órvázlt Vetülettn elődásihoz tengelyeinek elhelyezkedése meridián képéhez viszonyítv. A torzulási ellipszis, illetve nnk hely szerinti változás tehát vetület jellemzőjének tekinthető. Torzulási viszonyok meghtározás torzulási ellipszis lpján Irány-, hossz- és területtorzulás Hossz levezetés után, h kezdőiránynk torzulási ellipszis ngytengelyét (z első vetületi főirányt) válsztjuk, kkor z iránymodulus: tnω' i = = tnω = konstns. Vlmely szögérték két irányérték különségéől dódik, ennek megfelelően szögredukció is két irányredukció különségeként számíthtó. H z Sz szög két szár I 1 és I 2 irány, vgyis Sz = I 2 I 1, kkor z első szögredukció: sz = 2-1, zz szög szárit lkotó irányok első irányredukcióink különsége. Az lpfelületi elemi ngyságú kör képe torzulási ellipszis. A területi modulust tehát z ellipszis és z lpfelületi kör területének hánydos dj: τ = dt df π = =. π A területi modulus tehát torzulási ellipszis féltengelyeinek szorztávl egyenlő. Torzulások meghtározás torzulási ellipszis féltengelyeiől A vetületi torzulások tárgyláskor z eddigieken feltételeztük, hogy vetület áltlános torzulású. Szögtrtó és területtrtó vetületeken z eddigiekkel szemen egyszerűsítések lehetségesek. Szögtrtó vetületen z iránymodulus tnω i = = tnω = 1, tehát =, vgyis torzulási ellipszis körré fjul. Így vetületi főirányok helyzete htároztlnná válik (el is veszítik jelentőségüket) és lineármodulus minden irányn zonos értékű lesz. Szögtrtó vetületen z első irányredukció, vlmint z első szögredukció mindig zérus = ω -ω = 0, lineármodulus minden irányn sz = 2-1 = 0, Θ = 0, 4-4

5 l = (Θ -vl fokhálózt vetületi torzulását meridián és prlelkör metszési szögének 90otól vló eltérését jelöltük.) A területi modulus pedig τ = 2. Területtrtó vetületen τ = = 1, vgyis 1 =, 1 =. H tehát vlmely vetületről zt állpítjuk meg, hogy két vetületi főirányn lineármodulusok egymásnk reciproki, kkor vetület területtrtó. Kimondhtjuk tehát, h vlmely vetületen két vetületi főirányhoz trtozó lineármodulus nem egyenlő egymássl, de egymásnk nem is reciproki, kkor vetület áltlános torzulású. 4-5