2. Gauss elimináció. 2.1 Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval a következő egyenletrendszert:

Átírás

1 . Guss elimináció.1 Oldjuk meg Guss-Jordn eliminációvl következő egyenletrendszert: x - x + x + x5 = -5 x1-7x + 8x - 5x = 9 x1-9x + 1x - 9x = 15. A t prméter mely értékeire nincs z egyenletrendszernek megoldás illetve 1 vgy végtelen megoldás? H vn megoldás, djuk meg zokt! x1 + tx = - -x1 + 8x = 8 x1 + tx = -x1 + 8x = 8 x1 +x -x = 9 x1 + x +x = 1 -x1 -x + x = -1 -x1 +x +x = t. Három testvér, Ann, Blázs és Cili számolóst játsznk úgy, hogy összedogtják és kivonogtják z éveik számát. Először Ann és Blázs életkoránk összegéből vonják ki Ciliét, és 11-et kpnk. Ann és Cili koránk összegéből Blázsét kivonv 1-et, végül Blázs és Cili koránk összegéből Annáét kivonv 5 jön ki. Hány évesek gyerekek?. Oldjuk meg Guss-féle elimináció módszerével következő lineáris egyenletrendszereket. -x + y + z = x + y + z = x - y + z = 10 x + y + z = 11 x - y - z = -7 x + y - z =

2 e) x + y + z = 11 x - y - z = -7 x + y - z = x + 9y + z - 5u - v = 9 y + u = 5 -x - z + u + v = x + 5y + z + u - 9v = 8 8y - u = 8 x - y + z = x + y - 5z = 0 x - y + z =.5 Adjuk meg t vlós prméter függvényében z lábbi lineáris egyenletrendszer megoldásit! x + y - z = t x - 8y + 9z = 10 x - y + z =. Htározzuk meg z és b prméterek függvényében z lábbi egyenletrendszer megoldásink számát. x1 + x + x = x1 + x + 7x = 9 x1 + x + x = b.7 Tekintsünk z egész együtthtós lineáris egyenletrendszert (z egyenletekben változók együtthtói és jobb oldlon álló számok is egészek). Melyek igzk z lábbi állítások közül? H vn megoldás rcionális számok körében, kkor vn z egész számok körében is. H vn megoldás vlós számok körében, kkor vn rcionális számok körében is..8 Döntsük el, hogy C vlós prméter milyen értékeire vn megoldás z lábbi egyenletrendszereknek! H vn megoldás, djuk is meg z összeset! x+ y + z = - x+11y+ 11z = 1

3 x+10y+ C z = -0 x+ 9y +(C + 10)z= -x1 -x + x - x = 1 5x1 + 15x - x + x = x1 + x + C * x = x1 + 1x + x + (C + 1) * x = 11.9 Oldj meg z lábbi egyenletrendszert, Guss-eliminációvl: x + y + z = 7x + y + 5z = 5x + y + z =.10 Adott z lábbi mátrixos lk: ) Írj fel z egyenleteket mátrixos lkból. b.) Guss-elimináció segítségével htározz meg z egyenletrendszer megoldását..11 Írj fel z egyenletrendszert mátrixos lkbn és oldj meg Guss-eliminációvl! x + y + z + v = 1 x + y + z v = - x + y + z + v = 1 x + y + z v = -.1 Írj fel z lábbi egyenletrendszert mátrixos lkbn, és oldj meg Guss-eliminációvl! x + y + z + 5v = 11 x + y + z + v = 8 x + y z + v = x y z + z =

4 .1 Adottk z ,,,, és b vektorok Írj föl z 1 x1 x x x b vektoregyenlet áltl meghtározott lineáris egyenletrendszert, mjd oldj meg Guss-eliminációvl!.1 Adott z lábbi mátrixos lk: c.) Írj fel z egyenletrendszert mátrixos lkból. d.) Guss elimináció segítségével htározz meg z egyenletrendszer megoldását..15 Oldd meg z lábbi egyenletrendszereket, hsználj Guss eliminációt. H z egyeneseket koordinát rendszerben ábrázolnád, kkor mi lenne z egymáshoz viszonyított helyzetük? H metszik egymást, kkor hol? x+y=5 x-5y= x-7y=10.5x-17.5y= x+y=5 x+y=10 5x+0y=-15 x+y= e) f) x-8y=5 x-y=1 x+5y=7 x=1

5 g) h) x+y=1 x+9y=19.5 x+y=5 x+y=-1.1 Oldd meg z lábbi egyenletrendszereket, hsználj Guss eliminációt. H síkokt koordinát rendszerben ábrázolnád, kkor mi lenne z egymáshoz viszonyított helyzetük? H metszik egymást, kkor hol? x+y+5z= x+ y+ z= x+8y+10z=1 x+y+z=5 z= 1x+y+z=5 x+y+z=18 15x+0y+15z=90 x+5y+z= x+y+z=7 x+y+z=8 x+y+z=.17 Adottk z 1,,, és b vektorok. Írj föl z 1x 1 + x + x + x = b vektoregyenlet áltl meghtározott lineáris egyenletrendszert, mjd oldj meg Guss-eliminációvl!.18 Oldj meg z lábbi egyenletrendszereket Guss-Jordn elimináció segítségével! -x+ y+ z= x+ y+ z= x- y+ z= 10 x1+ x+ x= 0 x1+ x+ x= 0

6 5x1+ x+ x= 0 x1- x+ x- x= 7 x1- x+ x- x= 19 x1+ x- x+ x= -9 -x1+ x+ x+ x= - x1+ x+ x- x= x1- x+ x+ x= 8 x1+ x+ x- x= 1 e) x1- x+ x- x+ x5= x1- x+ 5x- x- x5= x1+ x+ x- x- x5= 8 f) x + y + z + v = 1 x + y + z v = - x + y + z + v = 1 x + y + z v = - g) x + y + z + 5v = 11 x + y + z + v = 8 x + y z + v = x y z + z = h) i) j)

7 k) l) m)