MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM"

Átírás

1 MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent István Egetem Ybl Miklós Mőszki Fıiskoli Kr Mtemtik Tnszék

2 I. NAP I. Logiki kifejezések mtemtikábn. Jelentésük, hsználtuk esetleg jelölésük: Létezik, minden, nem létezik, nem minden, vn oln, h kkor, kkor és csk kkor, és, vg (kizáró, nem kizáró) Aiómák, definíciók, tételek. II. Hlmzelméleti lpfoglmk, jelölések. Hlmzok egenlısége. Részhlmz, üreshlmz. Mőveletek hlmzokkl (Egesítés, metszet, különbség, komplementer.) Jvsolt feldtok:... Legen z I lphlmz két vlódi részhlmz A és B. Melik igz következı állítások közül:. α, β, γ. d. A B / b. A B / e. I B I c. B I B f. A B /... Legen I két különbözı nem üres részhlmz oln, hog A B I. Melik igz következı állítások közül:. A B A e. A / B / b. A B B f. A B A c. A B A g. A B B d. A / B A h. B ( A B)... Végezzük el eg A tetszıleges hlmzzl és / üres hlmzzl következı mőveleteket:. A / c. A\O/ b. A / d. O/ \A 7. Htározz meg A\B és B\A hlmzt, h {, b, c d} A B {, b, c, d, } A B {, c} A, 75. Mi lehet B hlmz, h A {, b, c, d} ; A B A és A B B?

3 76. Milen kpcsolt vn z lábbi esetekben z A és B hlmz között?., A \B / és A B b., A\B / és A B c., A\B / és B\A /. Eg osztál létszám. Az osztálbn nelvet tnulnk, ngolt, oroszt és frnciát, és minden diák leglább eg nelvet tnul. Angolul -en tnulnk, oroszul 5-en, frnciául pedig 5-en. Pontosn két nelvet összesen ht diák tnul. Hánn tnulják mindhárom nelvet? Felmérı teszt perc. A A III. Vlós számok: R Pozitív egészek természetes számok egész számok rcionális számok irrcionális számok. Mőveletek, mőveleti tuljdonságok: ; -; : Vlós számok tizedestört lkj. Ábrázolás számegenesen. Intervllum: (;b), [ ; b], [ ; b), ( ; b] Jvsolt feldtok: : d., : c.,. Állpíts meg, melik állítás igz, és melik hmis! (hmisnem igz). Minden egész szám rcionális szám. b. Minden rcionális szám egész szám. c. Véges sok törtszám vn. d. Végtelen sok törtszám vn. e. Nem minden rcionális szám egész szám.. Állpíts meg melik állítás igz, melik hmis!. Vn legngobb törtszám. b. Nincs legkisebb rcionális szám. c. Véges sok törtszám vn és között. d. Végtelen sok oln törtszám vn, melnek nevezıje 7. e. Végtelen sok rcionális szám vn.

4 . Melik állítás igz, melik hmis?. Minden vlós szám felírhtó q p lkbn, hol p és q egész számok és q. b. H eg tizedestört nem véges tizedestört, kkor irrcionális szám. c. Minden véges tizedestört rcionális szám. d. Nincs oln irrcionális szám, mel véges tizedestört. e. és között véges sok vlós szám vn.. Állpíts meg, melik állítás igz és melik hmis!. Vlós számok összedás kommuttív mővelet. b. A vlós számok kivonás kommuttív mővelet. c. Szorzt osztás disztributív mővelet. d. Különbség osztás disztributív mővelet. e. Az osztás kommuttív mővelet. f. A szorzás sszocitív mővelet. g. Az osztás sszocitív mővelet.. Melik állítás igz és melik hmis!. Két rcionális szám összege rcionális szám. b. Két rcionális szám szorzt nem mindig rcionális szám. c. Vn oln két rcionális szám, meleknek hándos irrcionális szám. d. Két irrcionális szám összege mindig irrcionális. e. Két irrcionális szám hándos lehet rcionális szám. f. Két irrcionális szám hándos lehet irrcionális szám. g. Eg rcionális és eg irrcionális szám összege mindig irrcionális szám. h. Két irrcionális szám különbsége mindig irrcionális szám. i. Két irrcionális szám szorzt nem mindig irrcionális szám. IV. Htván, gök logritmus. Htvánozás pozitív egész kitevıre zonosságok. Jvsolt feldtok: 7. Melik szám ngobb? 8 vg 9 7

5 8. Melik szám ngobb? vg 8. Melik szám ngobb? 5 vg 8 5. Melik szám ngobb? vg. Számíts ki következı tört értékét! Számíts ki következı tört értékét! Számíts ki következı tört értékét! Gökvonás zonosságok (Kiemelten négzetgökvonás def.) Jvsolt feldtok: 87. Melik szám ngobb? vg Állíts ngság szerinti sorrendbe következı számokt! ; ; 5

6 9. Végezze el következı mőveleteket! Végezze el következı mőveleteket! Jvsolt feldtok: 5. Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! ; 7 ; b; 8 7 ; c; Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! ; 75 7 b; Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! 8. Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! 6

7 5. Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! ; b; Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! ( 7 5 ) ( ) 5. Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! ( ) ( ) 57. Számíts ki következı kifejezések pontos értékét! ( 5) Htvánozás rcionális kitevıre: ; -n ; n n ; Jvsolt feldtok: b b. c. 7

8 b c. 9, másképpen 8 ( 8) A logritmus foglm zonossági. Jvsolt feldtok: log. log 5, mert b. log 5 5, mert 5 5 log c., mert d. log, mert e. log 9, mert 9 6. Htározz meg zokt számokt, meleknek lpú logritmus ; ;; ; ; ; ; 5 ; 7. Milen lpszám esetén lesz -nek logritmus sorbn: ;; ; ; ; 8. Htározz meg következı logritmusok értékét:. log 6 b. log 5 c. 5 log d. log Hozz egszerőbb lkr következı kifejezést, és htározz meg helettesítési értékét, h 9. log 5 5, > 8

9 7. Hozz egszerőbb lkr következı kifejezést, és htározz meg helettesítési értékét, h b log b, b> 8. Számíts ki következı kifejezések értékét! lg 5. b. lg 7 9. Htározz meg következı kifejezések értékét! 7 log59 7 log 7 ( ). Számíts ki következı kifejezések értékét! log 5 log lg Htározz meg következı kifejezések értékét! 7 log Tudjuk, hog log 6 5p. Fejezze ki p segítségével log Fejezze ki k segítségével log 6 5-et, h tudjuk, hog log 6 8k! 5. Fejezze ki b segítségével log -et, h tudjuk, hog log b! 65. Számíts ki következı kifejezés pontos értékét! lg5lglg-lg-lg9 66. Számíts ki következı kifejezés pontos értékét! log 5 5log 5 5-log Htározz meg következı kifejezés pontos értékét! -et! lg lg lg5 lg 9

10 69. Számíts ki következı kifejezés pontos értékét! lg 5 lg lg5 lg 5 lg 7. Számíts ki következı kifejezés pontos értékét! log 5 log log log 6 log 7. Számíts ki következı kifejezés pontos értékét! log5 75 log5 5 log5 8 log5 I. Algebri lpfoglmk. II. NAP Algebri kifejezések egtgú többtgú, nem lgebri kifejezések, fokszám, rcionális egész, rcionális tört, irrcionális kifejezések. Mőveletek lgebri kifejezésekkel: Összevonás szorzás osztás zárójel felbontás szorzás eg tggl szorzás több tggl. Nevezetes szorztok: (b) ; (-b) ; (b)(-b); (b) ; (-b) ; (b)( -bb ); (-b)( bb ) Jvsolt feldtok:. Végezze el következı mőveleteket! (-5)(5)-() 6(5). Végezze el következı mőveleteket! ()(-) -() l5

11 Mőveletek lgebri törtekkel: Jvsolt feldtok: 5. Htározz meg zokt z értékeket, melekre nincsenek értelmezve z lábbi törtek!. 5 b. 6 c. 8 d. c. ( ) 6. Htározz meg, milen értékeinél lesz z lábbi törtek értéke!. b. 6 c. 5 d. ( 8) e. ( ) ( ) 5 f. ( ) ( ).. Hozz egszerőbb lkr z lábbi kifejezéseket! 5b 5 b 5 b b 5 b b. itt ; b kell, hog teljesüljön! 9 8b 9b 9 ( b b ) b. b ( b ) ( b)( b) ( b)( b) ( b) ( b) itt b ; b. kell, hog teljesüljön, más szóvl b... Végezze el kijelölt mőveleteket!. b. b c d b c, hol bc c b bc c b b c bc bc bc bc hol, b c. c. 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) hol

12 d. ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ), hol... Végezze el kijelölt mőveleteket és hol lehet egszerősítsen!., hol b. ( ) ( ), hol, és..5. Végezze el kijelölt mőveleteket és hol lehet egszerősítsen!., : 9 c c c c c c c hol, c,, b. ( )( ) ( )( ) ( )( ), : hol,, és,. Egszerősítse következı törtet! ( ) ( ) ( ) ( ) ; 7 b b b b b,, b. Végezze el számlálóbn kijelölt mőveleteket, mjd egszerősítse következı törtet! ( )( ) ( ) 8 ;, Htározz meg kifejezés helettesítési értékét, h. 5. Végezze el számlálóbn kijelölt mőveletet, mjd egszerősítse következı törtet! ( ) ( )( ) 5 ;,

13 8. Végezze el következı mőveleteket! ( 9 ) ( 5 ) : 6 ( ) 5 ( 5 ) ;,, 9. Végezze el következı mőveleteket! 6 ( 7 b ) 9 b : ( b ) ( b ) ;, b, 56. Végezze el következı mőveleteket! 9 ; 6. Végezze el következı mőveleteket! 9 5 : ;,, 66. Végezze el következı mőveleteket! c : c 5 c 5 5 ; c, Végezze el következı mőveleteket! b b : ; b, b, b b 5 7. Végezze el következı mőveleteket! ;, 8. Egszerősítse következı törtet!, ;

14 8. Végezze el következı mőveleteket! b b b b ;, b, b, b : 88. Végezze el következı mőveleteket! b b b b b b : b b b ; b b b ( 5) ; II. Függvéntni lpfoglmk Függvén foglm, értelmezési trtomán, értékkészlet, megdási módok, ábrázolás (grfikonnl történı megdás) Elemi lpfüggvének: Lineáris függvén fordított rán másodfokú hrmdfokú Abszolútérték egészrész törtrész Dirichlet fv. elıjel fv. Négzetgök függvén (inverz függvén foglm) eponenciális logritmus Jvsolt feldtok: 5... Ábrázoljuk koordinátrendszerben z lábbi függvéneket!. b. c. 5 d. e Ábrázoljuk eg koordinátrendszerben értéktáblázt lpján!. b. c. d.

15 5... Ábrázoljuk eg koordinátrendszerben!. b. c Htározz meg vlós számok hlmzánk zt legbıvebb részhlmzát, melen z. 5 5 ; b. 5 5 ; c. sgn( 5) kifejezés értelmezhetı! Ábrázolj z ezen hlmzon értelmezett. 5 5 ; b. 5 5 ; c. sgn( 5) függvéneket [,] intervllumon! Állpíts meg függvének értékkészletét! Milen kpcsoltot tlál függvének között? 586. Htározz meg vlós számok hlmzánk zt legbıvebb részhlmzát, melen z. - ; b. ( ) ; c. ( ) kifejezés értelmezhetı! Ábrázolj z ezen hlmzon értelmezett. ; b. ( ) ; c. ( ) függvéneket [,] intervllumon! Állpíts meg függvének értékkészletét! Milen kpcsoltot tlál függvének között? 587. Htározz meg vlós számok hlmzánk zt legbıvebb részhlmzát, melen z. - b. ( ) ; c. ( ) kifejezés értelmezhetı! 5

16 Ábrázolj z ezen hlmzon értelmezett. ; b. ( ) ; c. ( ) függvéneket [,] intervllumon! Állpíts meg függvének értékkészletét! Milen kpcsoltot tlál függvének között? 588. Htározz meg vlós számok hlmzánk zt legbıvebb részhlmzát, melen z. ; b. kifejezés értelmezhetı! Ábrázolj z ezen hlmzon értelmezett. ; b. függvéneket [,] intervllumon! Állpíts meg függvének értékkészletét! Milen kpcsoltot tlál függvének között? 589. Htározz meg vlós számok hlmzánk zt legbıvebb részhlmzát, melen z. log ; b. log ; c. log kifejezés értelmezhetı! Ábrázolj z ezen hlmzon értelmezett. log ; b. log ; c. log függvéneket [,8] intervllumon! Állpíts meg függvének értékkészletét! 59. Htározz meg vlós számok hlmzánk zt legbıvebb részhlmzát, melen z. b. ; c. kifejezés értelmezhetı! Tekintse z ezen hlmzon értelmezett. ; b. ; c. függvéneket! Milen kpcsoltot tlál közöttük? Állpíts meg z. b. c. függvén értékkészletét! 6

17 59. Htározz meg vlós számok hlmzánk zt legbıvebb részhlmzát, melen z. b. ( ) Ábrázolj z ezen hlmzon értelmezett ( ). ; b. függvéneket [,] kifejezés értelmezhetı! intervllumon! Állpíts meg függvének értékkészletét! Milen kpcsoltot tlál függvének között? 596. Htározz meg vlós számok hlmzánk zt legbıvebb részhlmzát, melen z ( ) kifejezés értelmezhetı! Ábrázolj z ezen hlmzon értelmezett ( ) függvént [,5] intervllumon! Állpíts meg függvén értékkészletét! 598. Mel vlós számokr értelmezhetı z. lg b. lg kifejezés? 599. Mel vlós és mel egész számokr értelmezhetı z. lg ( ) lg( ) ; b. lg( ) 6. Mel vlós számokr értelmezhetı z kifejezés?. lg ; b. lg( ) kifejezés? 6. Mel vlós számokr értelmezhetı z. lg ; b. lg ( ) kifejezés? 7

18 6. Mel ) vlós, b) rcionális, c) egész számokr értelmezhetı következı kifejezés? lg Függvének tuljdonsági: Páros, pártln, periódikus, monotonitás, szélsıérték Jvsolt feldtok:.. Igz-e, hog minden szigorún monoton függvén kölcsönösen egértelmő hozzárendelés? b. Igz-e, hog minden kölcsönösen egértelmő hozzárendelés szigorún monoton függvént htároz meg?. Vn-e oln mindenütt értelmezett, pozitív értékő függvén, mel:. páros b. pártln?. Foltss függvén grfikonját -tól blr, hog z eg mindenütt értelmezett páros függvén legen!. Vn-e oln függvén, mel páros is és pártln is egszerre? 5. Lehet-e eg mindenütt értelmezett, szigorún monoton függvén. páros b. pártln? 8

19 59. Válssz ki z lábbi függvének közül periódikus függvéneket!. f(); b. f()sign; c. f() [ ] ; d. f() [ ] e. f(); f. f() h rcionális szám, h irrcionális szám. ; 6. Válssz ki z lábbi függvének közül periódikus függvéneket!. f ( ) ; h, h b. f() d. f ( ) ; h >, h e. f() [ ] ; ; c. f() ; 8. Vizsgálj meg z f() és z f() függvént. Döntse el, hog z lábbi kijelentések közül melik igz, melik hmis!. közös z értelmezési trtománuk, b. közös z értékkészletük, c. z egik páros függvén, d. z egik szigorún monoton növı függvén. 7. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. f() lg b. f()lg( ) Függvéntrnszformációk lineáris f() D f [, b] R f [ d ] c,. f()k. k f ( ) k>. f(). f(k) 5. f(k) k> 6. f(-) 9

20 Jvsolt feldtok: 8. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. f() ; b. f() ; 5. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. f()-[ ] ; b. f() 5. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. f() 9 ; b. f() 5. Ábrázolj és vizsgálj következı függvént! b. f() 5. Ábrázolj és vizsgálj következı függvént! ; f ( ) h, h > 7. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. f() ; b. f() 6; c. f() 75. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. f() ; b. f() ; c. f() 76. Ábrázolj és vizsgálj következı függvént! b. f() 8

21 77. Ábrázolj és vizsgálj következı függvént! f ( ) Ábrázolj és vizsgálj következı függvént! f ( ) 8. Htározz meg z f ( ) függvén minimumát és mimumát! 8. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. f ( ) b. f ( ) c. f ( ) d. f ( ) 8. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. f ( ) b. f ( ) c. f ( ) d. f ( ) 8. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. ( ) ( ) f f b. ( ) c. f ( ) 9. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. f ( ) b. f ( ) c. f ( ) d. f ( ) 5. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. f ( ) lg b. f ( ) lg c. f ( ) d. f ( ) lg ( ) lg

22 6. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket! lg lg. f ( ) lg b. ( ) lg f c. f ( ) d. ( ) lg d. ( ) f f 8. Ábrázolj és vizsgálj következı függvéneket!. ( ) lg ( ) f c. f ( ) lg ( ) d. f ( ) lg f b. ( ) ( 6) lg ( ) e. f ( ) lg lg III. NAP I. Egenletek egenlıtlenségek egenletrendszerek Jvsolt feldtok: 6. Oldj meg következı egenletet! 66.b. Oldj meg következı egenletet! Oldj meg következı egenletet! Oldj meg következı egenletet!

23 7. Oldj meg következı egenleteket! ; b. ( ) ( ) 7. Oldj meg következı prméteres egenletet! 7. Oldj meg következı prméteres egenletet! 78. Oldj meg következı egenletrendszereket!. 5 c. 8 b. -5 d Oldj meg következı egenletrendszert! -z; -z; z5 8. Oldj meg következı prméteres egenletrendszert! ; z 87. Htározz meg p és q értékét úg, hog z -z pz zq egenletrendszernek. pontosn eg megoldás legen, b. ne legen megoldás, c. végtelen sok megoldás legen!

24 5. Hozzátrtozik-e z [ 5,] intervllum következı egenlıtlenség megoldáshlmzához? < 5. Hozzátrtozik-e z [ 6,8] intervllum következı egenlıtlenség megoldáshlmzához? > 5. Oldj meg következı egenlıtlenségeket! <. ; b. 55. Adj meg következı egenlıtlenségek megoldáshlmzát! 5 > ; b. > ; c. > 87. Oldj meg következı egenletet! ( ) ( )( ) ( ) 89. Oldj meg következı egenleteket! 7 9. ; b. 8 ; d Oldj meg következı egenletet! 6 9. Oldj meg következı egenletet! 6 ( ) 5

25 9. Oldj meg következı egenletet! ( ) 9. Oldj meg következı egenletet! 9. Htározz meg z prméter értékét, úg, hog z másodfokú egenlet két göke egenlı legen! 97. Htározz meg p prméter értékét úg, hog z 5p p egenlet gökeinek négzetösszege legen! 7. Oldj meg következı egenlıtlenségeket!. -86>; b. --6<; c Adj meg következı egenlıtlenségek megoldáshlmzát! 8 6. ; b. ; c. > 6 5 > >. Az [,] intervllum hozzátrtozik-e következı egenlıtlenség 5 6 < megoldáshlmzához?. Adj meg következı egenlıtlenségek megoldáshlmzát! 6 <. 7 ; b. 7. Oldj meg következı egenletrendszert!. b. 5. Oldj meg következı egenletrendszert! 5 6 5

26 7. Oldj meg z ; z prméteres egenletrendszert! Htározz meg z prméter értékét úg, hog z egenletrendszernek. ne legen megoldás, b. végtelen sok megoldás legen! 88. Oldj meg következı egenleteket természetes számok hlmzán!. 6 ; b. ; c. d. 7 e Oldj meg következı egenleteket megdott intervllumokon!. 6 6 [,5] b. 7 [,] c. 5 [,9] intervllumon, intervllumon, 5 intervllumon, d. 5 5 [,5] intervllumon, 8 e. 6 6 [,5] intervllumon, 99. Oldj meg következı egenlıtlenséget! 6 >. Oldj meg következı egenlıtlenséget! >. Oldj meg következı egenlıtlenséget! < 6

27 . Az változó mel értékeire teljesül következı egenlıtlenség? ( ) < 9. Oldj meg következı egenletrendszereket!. ; b. 5; c. ; ; ; 8;. Milen értékre igzk következı egenlıségek?. 5 ; b. 8 9 ; c. d. 8 9 ; 5. Oldj meg következı egenleteket! ; b Oldj meg következı egenletet! ( ) ( ) 8. Oldj meg következı egenleteket! 6 X X, 5 X 9. Oldj meg következı egenletet! 9 X X X X 69. Oldj meg következı egenleteket!. ( ) ; b. ( ) 7

28 . Oldj meg következı egenlıtlenségeket! 8 5. b. ; c. < ; d. > e. 7 9 ; f. (, ) 5. Oldj meg következı egenletrendszert! Oldj meg következı egenleteket! lg lg 8. lg ; b. lg d. lgπ lg ; e. 5. Oldj meg következı egenleteket!. lg 9 5 ; b. d. lg ; e. 5 lg 5 lg 55. Oldj meg következı egenleteket! 6 ; c. lg( 5) lg( 5) ; ; c. lg( ) ;. lg lg ; b. lg lg lg ; hol p, q, r, dott prméterek. lg 56. Oldj meg következı egenleteket! lg lg p q. lg9 ; b. lg ; c. lg( ) lg( ) c. 57. Oldj meg következı egenleteket! r ;. [ lg( )] ; b. lg ( ) ; c. lg lg d. lg ( lg ) ; 8

29 58. Oldj meg következı egenleteket!. ( lg ) lg ; b. lg lg( ) lg 59. Oldj meg következı egenleteket!. lg( 8) lg( ) ; b. lg ( ) lg ( ) c. lg lg lg 6. Oldj meg következı egenletet! lg lg ( ) 5 5 ; 6. Oldj meg következı egenleteket! lg. lg ; b. lg lg ; c. ( lg ) 6. Oldj meg következı egenleteket!. lg( 5 ) lg lg[ 5( 5 ) ] ; b. lg ( 9 7) lg ( ) ; c. ( lg 9)( ) 69. Oldj meg következı egenlıtlenségeket!. lg ( ) lg( 7 ) < ; b. lg( ) lg( 8 ) > lg ; c. lg ( ) lg( ) < lg( ) ; d. [ lg ( ) ] lg( ) 7. Oldj meg következı egenlıtlenségeket! > lg lg < lg. < ; b. lg ( 6 ) >, c. 9

30 76. Oldj meg következı egenletrendszert! lg 56 7 lg 5 II. Vektorok (sík, tér) Alpfoglmk jelölések (hossz, állás, iránítás) Vektorok egenlısége. Ellentett vektor, nullvektor, egségvektor. Mőveletek vektorokkl ; - Vektorok szorzás sklárrl. Vektorok felbontás. Ajánlott feldtok:.5.. A.5.. ábrán szbálos htszöget dtunk meg. Bontsuk fel vlmenni megjelölt vektort.. z -vl és d -vel, b. b -vl és d -vel párhuzmos összetevıkre! Megoldás:. A b párhuzmos d -vel és fele oln hosszú. Ig b d. Mivel bcd, ezért cd--b f d ; g d. d ; e d ; b. Az ábr lpján nilván csk z f bonthtó fel b és d vektorokkl párhuzmos összetevıkre, ez többféleképpen is.

31 .5.. Legenek és b közös kezdıpontból kiinduló vektorok, hjlásszögük (ezen zt szöget értjük, melet közös kezdıpontból kiinduló, vektorokt trtlmzó félegenesek bezárnk) legen hegesszög, vg tompszög. Szerkesszünk oln vektort, melnek egenese felezi két vektor hjlásszögét. Megoldás: Vegünk fel oln és vektorokt, melek z és b vektorok közös kezdıpontjából indulnk, állásuk és iránuk zonos illetve b vektor állásávl és iránávl, továbbá legen. (Pl.: z és b egségvektorok ilenek.) E két vektor összegének egenese felezi z és b vektorok hjlásszögét, ugnis eg rombusz átlój felezi rombusz szögét..5.. Az ABC háromszög BC oldlánk felezıpontj legen D. Szerkesszük meg zt D, pontot, melre AD AD és állítsuk elı D A és D B vektorokt z AB és AC vektorok segítségével..5.. Bizonítsuk be, hog h eg pontból z AB szksz végpontjihoz és b vektorok vezetnek, kkor z AB szksz : ránbn osztó P pontb b 5 vektor vezet. Megoldás: Az ábráról leolvshtó: AP:PB: vektorokkl: p : b p : Ig: b p p Mivel b-p és p- vektorok párhuzmosk. (b-p)(p-) ebbıl: b-pp- tehát b p. 5 (Foglmk: lineáris kombináció, vektorok függısége, függetlensége.) Síkbeli vektorok elıállítás i; j lprendszerben. Térbeli vektorok elıállítás i; j; k; lprendszerben. Mőveletek koordinátákkl dott vektorokkl.

32 Jvsolt feldtok:.8.. Adjuk meg P (;) pontból P (; -) pontb muttó vektort komponenseivel síkbeli derékszögő koordinát-rendszerben! Megoldás: A P pont helvektor A P pont helvektor A P r i r j i j P vektor két vektor különbsége, íg: P P r r j.8.. Állpítsuk meg z AB szksz felezıpontjánk koordinátáit, h A(; -; ); B(; ; )! Megoldás: Legen A i j k és B b i j k. Az F vektor z F pont helvektor, íg F koordinátái zonosk z F vektor koordinátáivl. F vektor z b vektor ½ -szerese.: F F. ( b) i j k. A felezıpont koordinátái: ; ;.8.. Adott z ABC háromszög három csúcspontj A(5;-5), B(-;), C(,-). Htározzuk meg z A csúcsból induló szögfelezı hosszát! Megoldás: Felhsználjuk zt tételt, hog háromszög belsı szögfelezıje szemközti oldlt szöget közrefogó oldlk ránábn osztj. A szöget közrefogó AC és AB vektorok elıállíthtók z A,B,C pontok helvektori segítségével, ezek: r A 5i 5 j ; r B i j ; r C i j íg, AC r r i j és AB r r 6 i j C A B A 8 Ezek bszolútértékei z oldlk hossz: AB c AC b 5

33 A szögfelezınek BC oldlll vló metszéspontj D, BC oldlt 5:: ránbn osztj. A.5..-ben megoldott feldttl vló nlógi lpján (ott P pont z AB szkszt : ránbn osztó pont volt) z OD vektor elıállíthtó z r és r helvektorok segítségével: r OD b r c c ( i j) ( i j) i Mivel OD vektor D pont helvektor, íg: D, z AD szögfelezı hossz : Az OA r A 5i 5 j AD AD, z AD OD OA., ezért AD 5 i 5 j. Tehát szögfelezı hossz: AD. j ; 8. Az origóból z A, B,, C pontokhoz muttó vektorok rendre (; -); b(7;); c(7;8). Mutss meg, hog A,B és C eg egenesen vnnk!. Eg szbálos htszög C csúcsából szomszédos két csúcsb z, illetve b, vektor mutt. Fejezze ki ezek segítségével többi htszögcsúcsb muttó vektort!. A középpontú körben vegünk fel két egmásr merıleges húrt, ezek végpontji A, B, illetve C, D, metszéspontjuk M. Bizoníts be, hog A B C D M! Két vektor skláris szorzt (sík, tér). Skláris szorzt kiszámítás koordinátákkl dott vektorok esetén. Jvsolt feldtok:.9.. Htározzuk meg z i j k hjlásszögét. és b i j k vektorok

34 Megoldás: A szöget b cos ϕ képlet lpján számoljuk. b Mivel b ( ) ( ) ezért cos 9 ; ; b o ϕ ; ebbıl szög: ϕ 6,6... Adjunk meg két oln vektort, melnek összege z egik vektorrl egenlı hosszú!... Egségvektor-e z ( i j k) egségvektorát! vektor? H nem, számíts ki..5. Két közös kezdıpontból kiinduló, nem párhuzmos vektorok bszolútértékei egenlıek. Mit mondhtunk összegükrıl és különbségükrıl?..6. Lineárisn függetlenek-e z i j és b i j vektorok?... Eg kock A csúcsából kiinduló élvektorok legenek, b, c. Htározzuk meg z A-ból lpközéppontokb vezetı vektorokt.... Eg prlelogrmm oldlir kifelé négzeteket írunk. Igzoljuk vektorokkl, hog ezek középpontji eg négzet csúcsi.... Bizonítsuk be, hog h eg pontból z AB szksz végpontjihoz és b vektorok vezetnek, kkor z AB szkszt AP : PB λ : µ ránbn osztó P pontbn vektor vezet. Htározzuk meg p pont koordinátáit, h b b i b j i j ; µ λb µ λ... Az O pontból két félegenes indul ki. Az egiken levı A, illetve A pontb O-ból z, illetve λ vektor vezet, másikon levı B illetve B pontbn viszont b illetve µ b vektor. Htározzuk meg z A B és B A egenesek metszéspontjáb muttó v vektort. ( λ, µ, z A és A ill. B és B pontok különbözık.)

35 ..5. Eg tégllp két szomszédos csúcs z origó és z A(;) pont. Htározzuk meg 7 egségni oldlú tégllp másik két csúcspontjánk koordinátáit!..6. Bonts fel v 8i 8 j vektort z i j és b i 8 j vektorokkl párhuzmos összetevıkre, számítsuk ki z összetevı vektorok koordinátáit!..7. Az ABCDEF szbálos htszög oldlink hossz. Számítsuk ki következı szorztok értékét: AB DE ; AB FC ; AC AE ; AC CE..8. Bizonítsuk be, h eg pontból kiinduló ; b; c; vektorok végpontji eg egenesbe esnek és z ; b vektorok nem párhuzmosk, kkor c vektor elıállíthtó. c α βb lkbn, hol α β...9. Bontsuk fel z ij-k vektort bi-j-k vektorrl párhuzmos és rá merıleges összetevıkre.... Eg háromszög csúcsi: P (; -; ), P (; ; ), P (; -; 5), Számítsuk ki P csúcsponthoz trtozó mgsságánk hosszát!. Trigonometri Szögfüggvének értelmezése tetszıleges szög esetén. Nevezetes szögek szögfüggvénértékei (, 9, 8, 7, 6, 5,, 6 ). Alpzonosságok: cos α sin α ( 9 ) ( ) ( ) ( α ) cos( 6 α ) cos α cos 8 α cos α cos 8 α cos α cos 5

36 Jvsolt feldtok:... Htározzuk meg következı szögek szögfüggvéneit:. 5 π ; b. ; c. -5 Megoldás:. sin5 sin(6 )sin sin(8 - )sin,68 cos5 cos -cos -,766 tg5 tg -tg -,89 ctg5 ctg -ctg -,9 b. π 6π 5π 5π 5π π sin sin sin sin π sin π 5π π cos cos cos π 9π π π π tg tg tg tg sin 5 sin 5 ; c. sin( 5 ) cos ( 5 ) cos 5 cos 5 tg ( 5 ) tg 5 tg 5 ctg( 5 ) ctg 5 ctg 5... Htározzuk meg zokt szögeket, melek kielégítik z lábbi egenlıségeket:. sin α ; b. cos α ; c. tgα ; d. ctg α Megoldás:. sin α ; 6 -nál kisebb két oln szög vn, melnek sinus, ezek: és 5. 6

37 Ig z egenlıséget kielégítı összes megoldás: k 6 ; 5 k 6 ; k Ζ b. cos ;cosα ± ± 6 α bıl ; h cos α 6 ; kkor z elızı példához hsonlón: 5 k ; 5 k ; vg π -vel kifejezve: π 7π kπ ; kπ ; H cos α ; kkor 5 k 6 ; 5 k 6 ; vg π -vel kifejezve: π 5π kπ ; kπ ; hol k Ζ d. tgα Mivel tg 6 ; ezért 6 segítségével számoljuk zokt szögeket, meleknek tngense. A (9, 8 )-b esı szögek tngense negtív és tngens szögfüggvén π szerint periódikus, π íg α kπ. e. ctg α egenlıséget nem elégíti ki egetlen szög sem, mivel eg vlós szám negedik htván nem lehet negtív. Trigonometrikus összefüggések háromszögben. Sinus tétel, cosinus tétel. Összefüggések területszámításhoz: bsinγ t sin β sinγ sinα Jvsolt feldtok:.5. Az A és B tereppontok távolság közvetlenül nem mérhetı meg, ezért kitőztük P és Q pontokt, melek A-vl eg egenesbe esnek. Megmértünk két szöget: 7

38 APB< ; AQB< 9. Mekkor z A és B tereppontok távolság, h d 5 m; d m? AP AQ 6 Megoldás: A PQB háromszögbıl PBQ< és PQ6m, lklmzzuk sin9 6 sin erre háromszögre sinustételt: honnn: 6sin 7 5, 8m sin A keresett távolság (AB) cosinustétellel számolhtó ki. 5 5,8-5 5,8cos 65,5; íg 65,m.5.. Eg háromszög területe 7,5 cm, két oldlánk rán :, áltluk bezárt szög 5. Számítsuk ki háromszög oldlit és köré írhtó kör sugrát Megoldás: Az oldlkt jelöljük rendre:,,, sugrt R-rel. Alklmzzuk területszámítási képletet: bsinγ sin5 t 7,5 ; innen, sin5 sin mitt 675 5, tehát két oldl: cm; b5cm. A hrmdik oldl cosinus tétellel számolhtó: 5-5 cos ; 7,55m A köré írhtó kör sugránk kiszámításához, hog z AB húrhoz trtozó kerületi szög 5, középponti szög ennek kétszerese, tehát. A kör sugr z AOB háromszögbıl számolhtó, ennek mgsságát megrjzolv derékszögő háromszögbıl:.5.. Eg háromszög szögei α, β, γ. sinγ Bizoníts be, hog h cosα, kkor háromszög sin β egenlıszárú. Megoldás: A bloldlr cosinus tétellel z oldlknk eg kifejezését írhtjuk: b c bc cosα, innen b c cosα. bc 8

39 A jobboldlr sinustétel segítségével b c hándost írhtunk, íg b c bc c b vlóbn egenlıszárú., ebbıl pedig b dódik, íg háromszög.6.. Adott eg háromszög két oldl: 7 cm és cm, z áltluk bezárt szög 6. Mekkor másik két szög és hrmdik oldl? Megoldás: Az ábr jelölései lpján felírjuk megdott két oldlr sinustételt: ( α ) sin sinα A számlálóbn lklmzzuk sin( α β ) sinα cos β cosα sin β ddiciós tételt: A sin sin cosα cos sinα 7 sinα 7 α mitt számlálót tgonként oszthtjuk és -os szög szögfüggvéneit beírjuk: honnn: ctgα ; 7 ctgα ; 8, 95 α 8,5 7 α ; és A hrmdik oldlt meghtározhtjuk sinustétellel és cosinustétellel is. Számoljunk cosinustétellel: 7-7 cos 6 9, innen: 9, Számítsuk ki z lábbi kifejezés pontos értékét (közelítı értékek nem hsználhtók): 8sin ( cos5 ) ( sin 75 ) Megoldás: Vegük észre, hog cos 5 sin75 és zt, hog íg nevezıben nevezetes szorzt lesz, továbbá sin fenti kifejezést következı lkbn írhtjuk: ( sin 75 ) sin 6 ; ezért 9

40 Kiszámítjuk összegezési tétel segítségével sin 75 -ot, ugnis: sin75 sin(5 ) sin 5 cos cos 5 sin sin Ezt behelettesítjük kifejezésbe: 8 8 A ( ) tört nevezıjét göktelenítettük: ( ) ( ) 8 Addíciós tételek fontosbb zonosságok függvéntábl Jvsolt feldtok:.6.. Bizonítsuk be, hog 8 cos cos cos8 sin Megoldás: Mivel sin cos sin ezért célszerő z egenlıség mindkét oldlát sin kl beszorozni: sin cos cos cos8 sin ugnúg, mint z elıbb: tehát: sin8 cos8 sin cos cos8 sin sin cos sin 8 ; sin sin 6 sin Ez pedig definíció szerint igz.

41 .6.. Számíts ki cos értékét, h eleget tesz következı feltételeknek: tg 5tg ; és π < <. Megoldás: Az egenlet másodfokú tg-re! tg 5 ± ; innen: tg és tg. Mivel venni. π < < ; ezért csk tg értéket kell figelembe Mivel coscos -sin -sin, ezért elegendı sin értékét kiszámítni: tg sin sin cos sin zz sin. 5 cos sin. 5 5 Ebbıl: sin -sin Ig:.7.. Eg háromszögnek legngobb oldlávl szemközti szöge kétszer kkor, mint legkisebb oldlll szemközti szöge. A háromszög oldlink mérıszámi egmás után következı egész számok. Htározzuk meg z oldlkt és szögeket!.7.. Eg kör 6 -os középponti szögét osszuk fel két részre úg, hog rész-szögekhez trtozó húrok rán 5: legen!.7.. Számíts ki tg α értékét, közelítı értékek hsznált nélkül, h 5 tg α!.7.. Eg háromszög egik szöge -os, egik oldl egenlı másik kettı számtni közepével. Hogn ránlnk egmáshoz z oldlk?

42 Szögfüggvének ábrázolásuk tuljdonságik. Jvsolt feldtok: Ábrázolj, jellemezze: sin sin ; sin; cos tg ; tg 59. A vlós számok hlmzánk mel legbıvebb részhlmzán értelmezhetı lg sin sin kifejezés? 5. A vlós számok hlmzánk mel legbıvebb részhlmzán értelmezhetı sin lg sin kifejezés? 5. A vlós számok hlmzánk mel legbıvebb részhlmzán értelmezhetı cos sin kifejezés? 5. A vlós számok hlmzánk mel legbıvebb részhlmzán értelmezhetı ctg cos cos kifejezés? 58. A vlós számok hlmzánk mel legbıvebb részhlmzán értelmezhetı sin cos kifejezés? Adj meg kifejezés értékkészletét is!

43 Trigonometrikus egenletek, egenletrendszerek, egenlıtlenségek. Jvsolt feldtok:... Oldjuk meg: sinsincos Megoldás: Az egenlet bl oldlán lklmzzuk sin cos ; továbbá sinsin cos zonosságokt. Ekkor bloldlon teljes négzetet kpunk: sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos ( ) Alklmzzuk ( sin cos ) új ismeretlen bevezetését, íg: zz - (-) egenletnek megoldási: ; ; íg egrészt cossin; másrészt sincos. Az elsı egenletbıl: tg- π kπ ; k Ζ A második egenlet mindkét oldlát négzetre emeljük: sin sin cos cos Mivel sin cos ; és sin cos sin íg: sin; tehát vgis: kπ ; k Ζ π k k Ζ. Az eredeti egenletbe vló behelettesítéssel meggızıdhetünk, hog mindkét érték kielégíti z egenletet.... Oldj meg vlós számok hlmzán következı egenletet: ctg sin ctg cos

44 Megoldás: Felhsználv cos sin ctg és kétszeres szögekre vontkozó trigonometrikus zonosságokt, z egenlet: cos sin cos sin cos sin ( cos sin ) ; h kπ, k Ζ, lkúr hozhtó. Ezután sin - szel szorzunk és rendezzük z egenletet úg, hog -r redukáljuk: cos sin cos cos Összevonjuk és cos -et kiemeljük: cos ( sin cos ) sin cos Mivel -sin cos ; ezért szorzt második ténezıje -vl egenlı. Az egenleten megdott feltétel mellett csk ekvivlens átlkításokt végezhetünk, ezért z egenletnek z k π ( k Ζ) kivételével minden vlós szám megoldás.... Oldjuk meg következı trigonometrikus egenletrendszert: π ; tgtg Megoldás: Az egenletrendszer értelmezettségére következı feltételeket kell π π kikötni: kπ kπ k Ζ Vegük z elsı egenlet mindkét oldlánk tngensét, ugnis, h két szög egenlı, kkor tngensük is egenlı, íg: π tg ( ) tg A bloldlt z rr vontkozó ddíciós tétel szerint kifejtjük: tg tg tg tg A bloldli tört számlálój z eredeti egenletrendszer második tg tg egenlete szerint ; ezért: honnn: tg tg

45 Eg szorzt kkor és csk kkor zérus, h vlmelik ténezıje ; zz egrészt: tg; zz kπ k Ζ π íg z elsı egenletbıl: k ; másrészt: tg ; zz íg: π kπ π kπ Ζ k Mivel átlkításink ekvivlensek voltk, ezért z értékpárok vlóbn megoldási z egenletrendszernek.... Mel vlós p értékekre vn sinpsin egenletnek oln megoldás, melre <<π? Megoldás: Fejezzük ki sin-et sin segítségével! sin( ) sin cos cos sin sin cos ( cos sin ) sin ( sin ) ( sin ) sin, sin sin beszorzás, összevonás után: Ennek lpján z egenlet: sin sin sin sin sin p sin -r redukálunk és kiemelünk: sin ( p sin ) Ebbıl, vg vg sin p sin A <<π feltétel mitt <sin ; ezért feldtbn szereplı egenletnek kkor és csk kkor vn feltételnek megfelelı p megoldás, h < ebbıl pedig: p <..5. Oldjuk meg vlós számok hlmzán sin cos < egenlıtlenséget! Megoldás: Osszuk el z egenlıtlenség mindkét oldlát -vel, íg: Mivel sin cos π sin és < π cos, 5

46 π π ezért sin cos cos sin < Felhsználjuk z ddíciós tételt: sin < π, π < sin < π ezt másképp írv, Tehát -re csk zok szögek nem nem jöhetnek szób, meleknek sinus -; vg. π π π Ig tehát kπ, zz kπ hol k Ζ egébként R nilván. 6

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál. 5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e)

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e) . Egenletek I. Feldtok. Oldj meg z lábbi egenleteket egenletrendszereket vlós számok hlmzán. ) b) ( ) ( ) 8 Klmár László Mtemtik Versen döntője 99. 8. osztál c) ( ) ( ) ( ) ( ) OKTV II. ktegóri. forduló

Részletesebben

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit. modul: Erőrendserek lecke: Erőrendserek egenértékűsége és egensúl lecke célj: tnng felhsnálój megsmerje erőrendserek egenértékűségének és egensúlánk feltételet Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ. A feladatsor jellemzői

VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ. A feladatsor jellemzői VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Szögfüggvények derékszögű háromszögben, szinusztétel, koszinusztétel, Pitagorasz-tétel. Előzmények Pitagorasz-tétel, derékszögű háromszög trigonometriája,

Részletesebben

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK Prof.Dr. Zobory István Budpest 04 Trtlomegyzék. Bevezetés... 3. A vsúti árművek teherviselő részeiről... 3. Alvázs (nem önhordó) kocsik... 3.. Kéttengelyes kocsik... 4..

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

1. Lineáris leképezések

1. Lineáris leképezések Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

A vezeték legmélyebb pontjának meghatározása

A vezeték legmélyebb pontjának meghatározása A ezeték legméle pontjánk megtározás Elődó: Htiois Alen E 58. Vándorgűlés Szeged,. szeptemer 5. Vízszintes és ferde felfüggesztés - ezeték legméle pontj m / > < B Trtlom. Lángöre és prol függének A C m

Részletesebben

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése Sűrűségérés. Szilárd test sűrűségének érése A sűrűség,, definíciój hoogén test esetén: test töege osztv test V térfogtávl: V A sűrűség SI értékegysége kg/, hsználtos ég kg/d, kg/l és g/c Ne hoogén testnél

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Darupályatartók. Dr. Németh György főiskolai docens. A daruteher. Keréknyomás (K) Fékezőerő (F)

Darupályatartók. Dr. Németh György főiskolai docens. A daruteher. Keréknyomás (K) Fékezőerő (F) Dr. émeth Görg főiskoli docens Drupáltrtók s f c 6vg e f sz c/ >,5 e s ~,.. A druteher Q 4 4 eréknomás () Fékezőerő (F) F Oldlerő () Biztonsági ténező dru fjtájától (híddru/függődru) és névleges teherírástól

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris

Részletesebben

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL MŰSZAKI ISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGA ADA, 06jnuár 0/06-ös iskolév, júniusi vizsgidőszk A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL Munkterület: GÉPÉSZET, ELEKTROTECHNIKA, ÉPITÉSZET Tntárg: MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert) GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................

Részletesebben

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011 Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens http://jgypk.u jgypk.u-szeged.hu/tnszek/szmtech szmtech/oktts/mtemtik-.pdf Glmbos GáborG JGYPK - Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái:

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I.

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I. NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM aipari Mérnöki Kar Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet Dr Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I Sopron 9 javított kiadás TARTALOMJEGYZÉK I Bevezetés a mőszaki mechanika

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger. feladat Állítsunk merőlegeseket egy húrnégyszög csúcsaiból a csúcsokon át nem menő átlókra. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjai

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2016. jnuár 16. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2012. jnuár 26. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Méréssel kapcsolt 3. számpélda

Méréssel kapcsolt 3. számpélda Méréssel kapcsolt 3. számpélda Eredmények: m l m 1 m 3 m 2 l l ( 2 m1 m2 m l = 2 l2 ) l 2 m l 3 = m + m2 m1 Méréssel kapcsolt 4. számpélda Állítsuk össze az ábrán látható elrendezést. Használjuk a súlysorozat

Részletesebben

A Szolgáltatás minőségével kapcsolatos viták

A Szolgáltatás minőségével kapcsolatos viták I. A Szolgálttó neve, címe DITEL 2000 Kereskedelmi és Szolgálttó Korlátolt Felelősségű Társság 1051. Budpest, Nádor u 26. Adószám:11905648-2- 41cégjegyzékszám: 01-09-682492 Ügyfélszolgált: Cím: 1163 Budpest,

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16).

Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16). FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS Definíció Definíció Az f ( ) függvény pontban értelmezett deriváltja a f ( + ) f ( ) lim határértékkel egyenlő amennyiben az létezik ( lásd Fig 6) df A deriváltat

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

A pillangótétel és más mesék (az elemi geometria néhány szép tétele és feladata) Bíró Bálint, Eger

A pillangótétel és más mesék (az elemi geometria néhány szép tétele és feladata) Bíró Bálint, Eger Kistérségi tehetséggondozás A pillangótétel és más mesék (az elemi geometria néhány szép tétele és feladata) Bíró Bálint, Eger 1. Bevezetés Az alábbiakban szereplő tételeket és feladatokat két téma köré

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória 1. ktegóri 1.1.1. Adtok: ) Cseh László átlgsebessége b) Chd le Clos átlgsebessége Ezzel z átlgsebességgel Cseh László ideje ( ) ltt megtett távolság Így -re volt céltól. Jn Switkowski átlgsebessége Ezzel

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

13. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár) Rácsos tartók

13. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár) Rácsos tartók SZÉHYI ISTVÁ YTM LKLMZOTT MHIK TSZÉK. MHIK-STTIK YKORLT (kidolgozt: Triesz Péter, eg. ts.; Trni ábor, mérnöktnár).. Péld Rácsos trtók dott: z ábrán láthtó rácsos trtó méretei és terhelése. = k, = k. eldt:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK we-lap : www.hild.gyor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STTIK 47. RÁCSOS TRTÓK rácsos tartók két végükön csuklókkal összekötött merev testekől állnak. z így

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben