Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Átírás

1 Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0

2 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ tnár PINTÉR KLÁR fõiskoli djunktus íráló: KOTHENZ JÁNOSNÉ áltlános iskoli tnár Felelõs szerkesztõ: TÓTH KTLIN Kirendelt szkértõk: DR. MRUS NDRÁS KTON ISTVÁN TRINÉ SZENTES MÁRI KTLIN ZRUY TTIL KERETTNTERV: MOZIK Kerettntervrendszer 7/00 (V. 0.) OM Kerettnterv 7/00 (V. 0.). sz. melléklet Minden jog fenntrtv, eleértve sokszorosítás, mû õvített, illetve rövidített változt kidásánk jogát is. kidó íráseli hozzájárulás nélkül sem teljes mû, sem nnk része semmiféle formán nem sokszorosíthtó. ISN Megoldáskötet: ISN ENGEDÉLYSZÁM: KHF/677-9/00 MOZIK KIDÓ, 009

3 Útmuttó munkfüzet hsználtához munkfüzet témkörei tnkönyvnek megfelelõ sorrenden követik egymást. z egymásr épülõ feldtok jó gykorlási lehetõséget iztosítnk, így segítik tnnyg megértését és elmélyítését. gondolkodttó feldtokt *-gl jelöltük, ezek megoldásához jó ötletekre vn szükség. ISMÉTLÉS Htványozás. Töltsük ki totót! Tippeljük meg, hogy megdott szám z, vgy oszlopn álló számml egyenlõ! Számok X Tipp és 0 htványok összege és 0 htványok szorzt szorzt ( ) htvány ( ) htvány (µ) (µ) (µ) (µ) µµµ (µ) 9. (µ) µ µ 0. (µ) 009 µ009 µ (µ) 0 µ 0 9 X X X X. Írjuk fel szorztokt prímtényezõk segítségével p n lkn (p prím)! ) 8 =... = + = = =... ) = = =... ( ) 6 = 8 6 = c) 6 =... 6 ( ) = 6 = 0 7 =... ( ) 7 = 0 7 = 7 9 = (7... ) 7 = = 7 9. Írjuk fel hánydosokt htvány lkn! Soronként húzzuk lá z eltérõ eredményeket! ) 8 =... = =... 7 =... ) =... 7 = =... ( ) 6 = 8 6 = c) 7 =... 7 ( ) = 7 = 7 = (... ) 7 = 0 7 = 0 =... =. Írjuk fel htványok htványit n lkn (esetleg töféleképpen is)! ) ( ) =... 8 = = ( ) =... 6 =( ) 6 = ( ) =... 6 =( ) = = ) (0 6 ) = = 0 = 00 6 (0 ) 6 = = = 0 8 =... = 9 = ( ) =

4 LGER. Pótoljuk hiányzó részeket, h virág közepéen szemközti szirmokn álló számok szorzt áll! 0 százezer = 0 = 6 = 79 = = 0 = 8 = ( ) = 6 9 = ( ) = = ( ) = = 6 = ( ) = 8 6 = = = 6. Pótoljuk hiányzó lpot vgy kitevõt! ) 6 = = 0 = 6 ) 7 = = = 7 *c) 8 7 = 0 0 = 00 9 = 8 *d) = 00 9 = 9 6 = ( ) ( ) = 8 9 = = (0 ) = 00 8 = = ( ) = = (0 ) = = 9 = ( ) = 6 ( ) ( ) = 0 0 = 0 = = ( ) = 7. Töltsük ki ûvös négyzetet úgy, hogy számok szorzt minden sorn, oszlopn és átlón zonos legyen! ) ) *c) 8 6 = 8 6 = = = 0 0 = 0 µ = = = 8 = = 0 0 = = 0 µ = = = 9 00 = 0 µ = 0 = 0 9 = 9 = 0 µ 0 0 = 0 8. Írjuk fel normállkn megdott számok tízes számrendszereli lkját! 6 0 = , 0 = , 0 6 = ,67 0 =... 6,7, = ,007 0 = Írjuk fel számokt normállkn! ) =..., =..., 0,67 =..., ,7 =... 0,67 0 =,67 0 ) 0 6,7 0 = 0..., =, =... = 0 6 =... = 0 ( 7 =... ) = 6 = 0 = = 6 0 = 8 0 =,8 0

5 . LGER lgeri kifejezések (Emlékeztetõ). Írjuk tálázt z lgeri kifejezések együtthtóját! lgeri kifejezés,y µ0, y c c 0, µ Együtthtó, µ0, 6 = 8 µ 0,. Kössük össze z elsõ sorn álló számokt zokkl második sorn álló lgeri kifejezésekkel, melyek együtthtój egyenlõ z dott számml! Krikázzuk e kkukktojást! 8 µ0,7 6 µ0, µ0 c 6c µ 0, y µ0, y µ. Krikázzuk e zonos módon z egynemû lgeri kifejezéseket! ) µ µ 6 µ µ ) µ µ µ 6 µ, 0. z egytgú lgeri kifejezésekhez írjunk E, tötgúkhoz T etût csészée! tányérr írjuk helyettesítési értéket, h =! E E T E E T T E T E ) Két természetes szám összege 6. Töltsük ki tálázt hiányzó részeit! z egyik szám 6 7 n másik szám 0 ) Két szám különsége 6. Töltsük ki táláztot! 9 6 µ n Kiseítendõ 8 9,6 6 + Kivonndó µ µ6 8,6 6 6 n = n ¹ 0 c) H két természetes szám szorzt 6 és z egyik tényezõje n, kkor másik tényezõje:... n d) Két pozitív egész szám hánydos 6. 6 = H z osztndó, kkor z osztó... 6 H z osztó, kkor z osztndó... 6

6 LGER 6. Töltsük ki ûvös négyzeteket! Elõször djuk meg ûvös négyzetek kulcsát, mely minden sorn, oszlopn, átlón eírt lgeri kifejezések ) összege; ) szorzt! + µ + µ + µ9 µ + µ µ µ µ µ + + µ µ µ 8 7. Töltsük ki totót! Tippeljünk rr, hogy megdott lgeri kifejezés z,, vgy oszlopn álló kifejezéssel egyenlõ, vgy igzzá teszi z állítást! lgeri kifejezés X Tipp. y y + y + y y y. y y 6 6y y + y + y. y és z y különsége y y. y és különsége y 0 y µ. y és y lgeri kifejezések összege y 6y 6y 6. y és y lgeri kifejezések szorzt y 6y 6y 7. y és y lgeri kifejezések különsége y 0 8. y + y lgeri kifejezés helyettesítési értéke, h y = y + y lgeri kifejezés helyettesítési értéke, h y = kifejezéssel egynemû. y és y lgeri kifejezések szorzt y 6y 6y 9. és lgeri kifejezések szorzt 6 6. mivel meg kell szorozni -t, hogy 6 -t kpjunk + () 6 9 X X X X X X 8. Összevonássl írjuk fel egyszerû lkn! Számoljuk ki z egyszerû lkól helyettesítési értéket, h = µ! ) + µ + µ + µ + µ µ 8 = (µ) + 6 = µ + 6 = ) + µ + µ + µ + µ µ 8 = (µ) + (µ) + 6 = µ + 6 = 8 c) + µ µ + + µ + µ µ =... µ µ(µ) + (µ) + (µ) + = 8 + µ + = 6

7 Hogyn oldunk meg egyenleteket, egyenlõtlenségeket? (Emlékeztetõ). z lái összefüggésekõl fejezzük ki z egyes mennyiségeket! ) T= h ¹ 0, ¹ 0 = T = T = T = T Kµ K ) K = + = = µ K µ c) n = + (n µ ) d h d ¹ 0, = n µ (n µ ) d d = ( n µ ) (n µ ) n = ( n µ ) d + n ¹ d = n n = n +. z dott összefüggésõl fejezzük ki z egyes etûket! n µ d ) = = µc c = µ ) c = + = µ c c= ( µ) c) = + (h c 0) = µ c= c c µ h µ ¹ 0, ¹ *d) (h 0; 0; c 0) + = c = c ( µ c) h µ c ¹ 0 c = ( +) h + ¹ 0 c) µ = + / c d) = µ d) = c c c c( µ) = µ c + c = = c = c µ µ c = c = c + + µ c c = = c = c µ c +. Oldjuk meg z egyenletet z dott utsítások lpján! + ( + 7) = = + ( + 7) 0( + ) + = Egyszerûsítsünk! Hozzunk közös nevezõre! Szorozzunk meg minden tgot közös nevezõvel! + ( + 7) = 0( + ) + + = = = + 0 µ6 = =... µ µ 7 µ 0 ontsuk fel zárójelet! Végezzük el z összevonásokt! lklmzzuk mérlegelv lépéseit! Ellenõrizzünk! Helyettesítsük e kpott számot z egyenlet mindkét oldlá! l oldl: µ ( µ + 7) + = µ + = 0 jo oldl: µ + = 0 Hsonlítsuk össze kpott helyettesítési értékeket! l oldl... = jo oldl djuk meg z egyenlet gyökét, h z lphlmz ) természetes számok hlmz: ) negtív számok hlmz: c) rcionális számok hlmz:... nincs gyöke... µ... µ 7

8 LGER. Oldjuk meg z egyenletet, h z lphlmz rcionális számok hlmz ( = Q)! 7( µ ) + µ( µ8) = µ µ ( + ) Ellenõrzés: l oldl: µ 7 + µ8 + = µ µ µ9 µ = µ µ / µ 7( µ 8) + 8 µ ( 8 µ 8) = 7(µ) + µ = µ = µ + 8 / + 6 = 8 / 8 jo oldl: 8 = µ µ (8 + ) = µ µ = µ µ = µ l oldl =... jo oldl. Oldjuk meg z egyenlõtlenséget, h z lphlmz rcionális számok hlmz! Írjuk e hiányzó utsításokt! µ + ( µ ) µ + µ... ontsuk fel zárójelet!... Szorozzunk (közös) nevezõvel (-ml)! 9 µ 6 + ³ 6 µ 0 µ 6 ³ 6 µ µ 6 ³ µ ³ µ6 µ Vonjuk össze z egynemû kifejezéseket!... z láikn lklmzzuk mérlegelvet! µ 6 Egyszerûsítsünk! µ Árázoljuk számegyenesen z egyenlõtlenség gyökeit! Színezzük számegyenesnek zt részét, melyen megoldások tlálhtók! µ µ 0 Írjuk e számokt hlmzár megfelelõ részée! ( = lphlmz; M = megoldáshlmz) µ; µ; µ; 0; ; µ ; µ ; µ ; µ ; µ,6 µ µ µ M µ 0 µ µ,6 µ µ 8

9 6. Oldjuk meg z egyenlõtlenséget! megoldáshlmzt árázoljuk számegyenesen! µ + 7µ µ µ < µ / legngyo szám, melyre nem teljesül z 6 egyenlõtlenség: m =... µ ( µ ) µ ( + ) µ < µ (7 µ ) µ 8 µ 9 µ µ < µ + µ7 µ < 0 + /+7 megoldáshlmz árázolás számegyenesen: µ < 0 + /µ0 µ < / µ < µ µ 0 z egyenlõtlenség... µ-nél ngyo számokr teljesül. 7. mtektnár ezzel kezdte z egyik órát: z utsítás szerinti mûvelet eredménye számpéldávl: lgeri kifejezéssel: Mindenki gondoljon egy természetes számr! djunk hozzá -et! Vegyük z összeg négyszeresét! ( + ) szorztot vonjuk ki 6-ól! Krikázzuk e z eredményt!... 6 µ = µ µ ( + ) Írjuk le z elõ gondolt számnál -gyel ngyo számot! Vegyük kétszeresét! ( + ) szorztól vonjuk ki gondolt számnál -gyel ngyo szám htszorosát!... µ 66 = µ... ( + ) µ 6( + ) különséghez djunk 6-ot! Krikázzuk e ezt z eredményt is!... µ + 6 = µ8... ( + ) µ 6( + ) + 6 Mit tpsztlunk?... két ekrikázott szám (kifejezés) egyenlõ. tpsztltunk indoklásához írjunk egyenletet! ) 6 µ ( + ) = ( + ) µ 6( + ) + 6 vgy ) 6 µ ( + ) = ( + ) µ 6( + ) µ µ = + µ 6 µ µ ( + ) = µ( + ) + 6 / + ( + ) µ + = µ + /µ 6 = 6 µ = µ / (µ) = ármely természetes számr fennáll z egyenlõség. z ilyen egyenletet... zonosságnk nevezzük. 9

10 LGER Tötgú lgeri kifejezések szorzás. ) Írjuk rá tégllpok oldlir hiányzó dtokt, tégllpok elsejée pedig területeket! ) ) ) y + c d y... y(y µ ) = = y µ y... (y... µ ) =... = y µ 6 y 6 y y µ ) djuk meg vstgon kiemelt tégllpok területét szorzt és összeg lkn is! c d... c d... c + d z áráról leolvsott terület szorzt lkn összeg lkn ( + ) ( + ) (y + ) (y µ ) ( +) (c + d) y µ y + y µ 6 c + d + c + d c) z egyes árákról leolvsott területek szorzt lkján végezzük el tgonkénti szorzást, mjd z összevonást! )... ( + ) ( + ) = = )... (y + ) (y µ ) = y + y µ y µ 6 = y + y µ 6 )... ( +) (c + d) = c + d + c + d. Írjunk z üres tégllpok lgeri kifejezéseket úgy, hogy z lsó tégllpok fölöttük levõ két tégllpn levõ lgeri kifejezés szorzt kerüljön! ) ) µ µ + + µ ( µ) µ 8 (µ + ) ( + ) + ( µ) µ µ + ( µ8)(µ +) szorzt lkn ( + )( µ ) µ µ összeg lkn µ + µ 6 µ6 + 8 µ összevonás után µ µ 6 0

11 . Írjuk e hiányzó lgeri kifejezéseket szorzt és összeg lkn! ( + ) = ( +) (+ ) = 6 + (6 + )( + ) = = = = ( + )( + ) = = = = + +. Tégllpokt négy kise tégllpr vágtunk szét. Ezen részekõl rkjuk össze, zz rjzoljuk meg z eredeti tégllpot! Írjuk e részeke területüket! djuk meg z eredeti tégllpok területét összeg és szorzt lkn is! ) ) y 9y y y y 0 + y 9 + y y + y y y 0 y y + ) ) T összeg lkn T szorzt lkn = ( + ) ( + ) y + y + y + 0 = y + 9y + 0 (y + ) (y + ). Kössük össze z egyenlõ lgeri kifejezéseket! Húzzuk át zt, melyiknek nincs párj! ) ) ( + 6)( + ) + + ( + )( + ) ( + 6)( + 0) ( + )( + 8) ( + )( + ) + + ( + 6)( + ) ( + )( + ) + + ( + )( + )

12 LGER Összeg és különség négyzete (Kiegészítõ nyg). Egy négyzetet négy kise részre vágtunk szét. Rjzoljuk meg z eredeti négyzetet! Írjuk e részeke területüket! djuk meg z eredeti négyzet területét összeg és szorzt lkn is! + + T = = + + =... ( + ) ( + ) = ( + ). Írjuk e hiányzó lgeri kifejezéseket szorzt és összeg lkn is! ( + y) = (+ y) ( + y) = + y ( + y) = ( + y + y ) = = + y + y (+ y). Sándornk méterrel hossz, enedeknek méterrel rövide oldlhosszúságú négyzet lkú kertje vn, mint Józsefnek. Sándor kertjének területe 800 m -rel ngyo enedek kertjénél. Hány méter hosszúságú József kertjének oldl? Hány hektár területû József kertje? Készítsünk rjzot! Sándor József enedek. Írjuk fel színezett területeket töféleképpen! ) *) T =... ( + ) T =... ( + ) T = T =... + T S = ( + ) = = = µ / µ µ 0 = 00 = µ / + Ellenõrzés: 98 = = 800 / 800 = 00 József kertjének oldl méter, kert területe... h. + T S = ( + ) + µ T = ( µ ) T S = ( + ) T J = + + > µ m -rel + T = ( µ ) = = µ +

13 Összeg és különség szorzt (Kiegészítõ nyg). Írjuk négyzet átdroláshoz kipontozott helyre megfelelõ kifejezéseket! µ... ( µ)... µ... ( µ) (... µ) µ... µ... µ. Kössük össze szürke mezõen álló lgeri kifejezéssel vele egyenlõ lgeri kifejezéseket! (... µ ( µ) + ( µ) ( µ) ) ( ) µ... µ + µ µ ( + )( µ) 6 + µ µ = 6 µ ( + )( µ) + µ µ ( µ) µ + µ ( µ)( + ) + µ µ = µ ( µ) 6 µ 8 + ( +) () µ + µ = µ. Töltsük ki táláztot szorzt és összeg lkn is! ) ) + µ ( + )( + ) = ( + )( µ ) = + = + + = µ + µ µ µ (µ + )( µ) = (µ + )(µ µ) = µ + = (µ + ) = = (µ + )(µ µ ) = = µ + = µ µ ( µ )( + ) = = µ ( µ )( µ ) = = µ + µ ( µ)( µ) = (µ)(µ µ) = = µ + µ = µ +. Kössük össze z egyenlõ lgeri kifejezéseket! Húzzuk át kkukktojásokt! µ µ 6 µ 8 µ 9 µ 9 µ 6 µ ( + )( µ ) ( + 7)( µ 7) (7 µ )(7 + ) ( + )( µ ) ( + )( µ ) ( µ 9)( + 9) ( + 6)(6 µ ). Számoljunk péld lpján: 7 = (0 µ )(0 + ) = 0 µ = 00 µ 9 = 9! 69 7 =... (70 µ )(70 + ) = 900 µ = =... (0 + )(0 µ ) = 600 µ 9 = 9 6 =... (60 µ )(60 + ) = 600 µ = 7 7 =... (0 + 7)(0 µ 7) = 00 µ 9 = 96 0 =... (00 µ )(00 + ) = 0000 µ 6 = =... (000 + )(000 µ ) = µ = =

14 LGER Kiemelés, szorzttá lkítás. Húzzuk lá zonos színekkel zokt etûket, melyek tö szón is szerepelnek! színekkel kiemelt etûket írjuk e ugynzzl színnel tálázt, és zt is, hogy hány szón szerepelnek! ) {Petõfi, rny, Krinthy} ) Még nyílnk völgyen kerti virágok c) Feketén ólingt z eperf lomj d) Nem mondhtom el senkinek, Elmondom hát mindenkinek. ) ) c) d) közös etûk t i r n y g y n v l e k r i f e t n l m n e o d h k l t i hány szón szerepel. Végezzünk összevonást, mjd kiemelést! ) K = =... + =... ( + ) ) = =... + =... ( + ) c) r r rp rp... rp r.. p... r r r = T lp + T plást =... r p + rp =... rp (r +)

15 . ) z összefüggés nnk Q hõmennyiségnek kiszámítását muttj, mely dott m tömegû jég vízgõzzé lkításához szükséges (c jég, c víz, c vízgõz fjhõje, L o jég olvdáshõje, L f víz forráshõje). 00 hô mérséklet ( ) Lf m c m DT c m DT Mit tudunk kiemelni? Végezzük el kiemelést! 0 Lo m c m DT E (J) Q = c m DT + L o m + c m DT + L f m + c m DT =... = m (c... DT + L o + c DT + L f + c DT ) ) Egy repülõgépmodell v = km/h seességgel repül. Elõször t = 0 percig, mjd t = / órán át, végül t = 0 percen keresztül gykorltozott vele készítõje. Hány kilométert tett meg ezltt modell, h mindig zonos volt seessége? km km s = v t s = h = km s t = 0 perc = h h 6 = h = 8 km h 6 s = v t t = h km s = h = 6 km s = v t h t = 0 perc = h s = s modell útj képlettel:... + s + s = v t + v t + v t = v (t + t + t ) modell... 8 km kilométert repült. 8 h s = h = km. lehetséges kiemelések elvégzésével írjuk fel z összegeket szorzt lkn! ) 9 µ6 =... ( µ) ) 7 µ =... 7 ( µ ) c) + =... ( + ) d) + =... ( +) e) c µ c + c =... c ( µ + c) f) c µ c + 6c =... c ( µ + c) g) d µ d =... d (d µ ) h) d µ d =... d ( µ d) i) e + e + e =... e (e + e + ) j) e + e + 6e =... e ( + e + e ) *. tgok megfelelõ csoportosításávl írjuk fel szorzt lkn z összegeket! ) ( = + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) = ( + )( + )... ) =... ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) = ( + )( + ) c) + 7 µ µ =... ( + 7) µ ( + ) = ( + 7) µ ( + 7) = ( + 7)( µ ) d) =... ( + ) + (6 + 8) = ( + ) + 6( + ) = ( + )( + 6) 6. Szorzttá lkítás után egyszerûsítsük z lgeri kifejezéseket, h 0; µ! + 9 (+) + ) = ) = + + = c) = d) = + + = ( ) + + = ( + ) = ( + ) (+) = + 7. ndi nem tnult meg szorzttá lkítást, ezért egyest kpott. Miután felkészült és pótolt hiányosságit, pukájánk z lái módon izonyított, hogy zt z egyest kettesnek is tekinthetik: Tegyük fel, hogy = / = / µ µ = µ / szorzttá lkítás ( µ)( +) = ( µ) / ( µ) h =, kkor µ = 0. + = / h = = =. Hol követte el ndi hiát?.... sorn. Hi:... ndi nullávl osztott.

16 SZÖVEGES FELDTOK. SZÖVEGES FELDTOK Egyenletek lklmzás feldtmegoldásn (Emlékeztetõ). Pótoljuk hiányzó számokt! Plcsi összes pénze két zseéen vn. ) H jo zseemõl ftkát áttennék l zseeme, kkor mindkét zseemen ugynnnyi pénzem lenne szólt Plcsi Krcsihoz. kkor jo zseeden... 8 ftkávl vn tö, mint l zseeden válszolt Krcsi. 8 Jo zse l zse ) Összesen 00 ftkám vn. H jo zseemõl ftkát áttennék l zseeme, kkor mindkét zseemen ugynnnyi pénzem lenne szólt Plcsi Krcsihoz. pénz áttétele után... 0 ftk lenne Plcsi mindkét zseéen. kkor jo zseeden..., 7 ln... 6 ftk vn válszolt Krcsi. ) ftk jo > mennyivel? l ) ftk jo = l mikor? 00 ftk c) Összesen 00 ftkám vn, jo zseemen -gyel tö, mint l zseemen szólt Plcsi Krcsihoz. kkor jo zseedõl... ftkát kell áttenni l, hogy mindkét zseeden ugynnnyi pénzed legyen válszolt Krcsi. Eredetileg Plcsi jo zseéen..., 6 ln... 8 ftk vn. c)? ftk jo > l -gyel 00 ftk. ) Hány kilogrmm egy tégl, h tömege kg és még egy fél tégl? Rjzoljunk! kg Egy tégl... 6 kg. f kg ) Hány kilogrmm egy tégl, h fél kilogrmm és még egy fél tégl tömege, kg? Rjzoljunk! Egy tégl... kg.. H Plcsink kétszer nnyi ftkáj vn, mint Krcsink, és Krcsink kettõvel kevese ftkáj vn, mint Plcsink, kkor hány ftkájuk vn külön-külön? Egészítsük ki rjzot! P K ftk 0, kg f kg Plcsink... ftkáj, Krcsink... ftkáj vn., kg. Julcsi éves, évvel idõse, mint Pnni. Hány évesek lesznek, mikor Julcsi hétszer, ötször, négyszer, háromszor, kétszer nnyi idõs lesz, mint Pnni? Foglljuk tálázt z életkorukt! Julcsi életkor Pnni életkor Hányszoros Julcsi életkor Pnniénk? -szoros 7-szeres -szörös -szeres -szoros -szeres 6

17 . nn gondolt egy számot, mjd hozzádott -et, z eredményt megsúgt élánk. él ezt számot megszorozt -vel, szorztot leírt egy ppírr, és oddt ilinek. ili ppíron levõ számól kivont -t, és különséget megmondt Dnink. Dni ilitõl hllott számot elosztott -gyel, így -öt kpott. Egészítsük ki mondtot! nn él ili Dni 0, µ µ, 0 µ + ili Dnink... 0 számot mondt. él ppírr...-t írt. nn...-re 0, gondolt. 6. Jncsi és Mrci versenyutó-kártyákkl játsznk. H Jncsi nál levõ kártyákól megduplázná Mrcinál levõ kártyák számát, mjd ezután Mrci nál levõkõl megduplázná Jncsinál levõkét, kkor mindegyiküknél ugynnnyi kárty lenne. Hány kárty vn kezdeten Jncsinál és Mrcinál, h összesen 8 kártyávl játsznk? Gondolkozzunk visszfelé! Ellenõrzés: Végül egyenlõ Mrci dupláz Jncsi dupláz J M 0 8 Végül Jncsi 8 Közen 6 8 Mrci Eredetileg Jncsinál... 0, Mrcinál... 8 kárty vn kezdeten. 7. Három vándor etért egy fogdó, hol vcsorát és szállást kértek. fogdós közölte, hogy csk egy szoát tud dni, vcsorár pedig csk gomócot tud nekik készíteni. három vándor felment szoá, de fárdtságtól rögtön elludtk. fogdós felvitt nekik egy tál gomócot, és csenden letette z sztlr. Feléredt z egyik vándor, megette táln lévõ gomócok hrmdát, mjd elludt. Feléredt másik vándor, õ is megette táln lévõ gomócok hrmdát, mjd elludt. Feléredt hrmdik vándor, õ is megette táln lévõ gomócok hrmdát, mjd elludt. Reggel hogyn osztozznk megmrdt nyolc gomócon, hogy mindegyiküknek ugynnnyit kelljen fizetnie? Ell.:. vándor 9 rész = rész = rész gomóc. vándor 6 rész = rész = rész gomóc + gomóc. vándor 8 rész = 9 z elsõként feléredõ vándornk... nem jár, másodiknk... gomóc, hrmdiknk... gomóc jár még reggel. 8. Ngyi lmás plcsintávl várt három unokáját. Elsõnek enõ érkezett meg, és megette plcsinták negyedét. Másodikként Ernõ jött, ki megette megmrdt plcsinták hrmdát és még két plcsintát. Utoljár Jenõ érkezett, õ megette megmrdt plcsinták felét és még hármt; így z összes plcsint elfogyott. Hány plcsintát sütött Ngyi, és hányt ettek gyerekek külön-külön? Egészítsük ki rjzot! enõ:. = Ernõ:. (6 + ) = + = 6 Jenõ:. + = 6 visszfelé gondolkozv Jenõ... 6 plcsintát evett. H Ernõ nem evett voln meg még két plcsintát, kkor... 8 plcsintát hgyott voln Jenõnek, mi z Ernõ áltl tlált plcsinták... része. Ernõ... 6 plcsintát, enõ... plcsintát evett meg, Ngyi összesen... 6 plcsintát sütött. 7 rész gomóc + gomóc 8 gomóc 7

18 SZÖVEGES FELDTOK Hány éves kpitány?. Peti és édespj között korkülönség 6 év. Hány éves korán lesz Peti felennyi idõs, mint z édespj? Legyen kkor Peti éves. +6 = / Peti: Peti: 6 éves = + 6 / µ p: + 6 p: 7 éves. = 6 Válsz:... Peti 6 éves korán felennyi idõs, mint 7 éves édespj.. ) Márt évvel fitl átyjánál, és 6 évvel idõse húgánál. Hármn együtt 7 évesek. Mennyi most három gyerek átlgéletkor? Mennyi lesz három gyerek átlgéletkor két év múlv? Átlgéletkoruk: 7 most = 9 év múlv =. Most Márt év múlv 7 év átyj év Húg 6 három gyerek átlgéletkor most... 9 év, két év múlv... év lesz. ) Ver évvel fitl nõvérénél, és évvel idõse z öccsénél. Együtt 9 évesek. Hány évesek gyerekek? Ver Nõvére Öccse Összesen Életkor: + µ 9 Ell.: = µ = 9 µ = 9 / + = = Ver..., nõvére..., 6 z öccse... 9 éves.. Tmás kiszámolt, hogy két testvérének z átlgéletkor 6 év. Tmás pukáj kiszámolt, hogy gyermekeinek átlgéletkor 8 év. Hány éves Tmás? Hány évesek lehetnek testvérei, h mindkettõjük életkor prímszám? Tmás testvéreinek átlgéletkor: 6 év életkoruk összege: év három testvér átlgéletkor: 8 év életkoruk összege: év Tmás életkor: év µ év = év. testvérek életkor: Válsz:... Tmás éves, testvérei és 7 évesek.. Edit most háromszor nnyi idõs, mint testvére. Öt év múlv már csk kétszer nnyi idõs lesz, mint testvére. Hány évesek most? Edit életkor Edit testvérének életkor Ell.: Edit 0 testvére 0 Most év múlv < + -szer ( + ) = = + / µ 0 = + / µ = Válsz:... Edit most éves, testvére pedig éves. 8

19 . Feri 6 éves. Háromszor nnyi idõs, mint Teri volt kkor, mikor Feri nnyi idõs volt, mint Teri most. Hány éves most Teri? most éve Feri Teri 6 6 µ 6 µ 6 µ 6 > 6 µ = 6 µ / µ 6 µ = µ / (µ) = Ellenõrzés: most Feri 6 Teri kkor Teri életkor most... év. 6. Kt két éve háromszor nnyi idõs volt, mint testvére volt kkor. Három év múlv már csk kétszer nnyi idõs lesz, mint testvére lesz kkor. Hány évvel idõse Kt testvérénél? Töltsük ki táláztot! éve most év múlv Kt testvérének életkor + + Kt életkor > + + = ( + ) + = + 0 / µ + = 0 / µ = Ellenõrzés: éve Testvér Kt most év múlv Kt most... 7 éves, testvére... 7 éves, Kt... 0 évvel idõse testvérénél. *7. s így gondolkodott: mikor ölcsõdée kezdtem járni, p tizenháromszor nnyi idõs volt, mint én. mikor óvodás lettem, p már csk kilencszer nnyi idõs volt, mint én. mikor iskolá kezdtem járni, p már csk ötször nnyi, 7 éve mikor gimis lettem már csk háromszor nnyi idõs volt, mint én. mikor év múlv diplomát kpok, p pontosn kétszer nnyi idõs lesz, mint én. Lehet, hogy egyszer egyidõsek leszünk? Hány éves most s? Ellenõrzés: s p 7 éve most + > + év múlv = + / µ = + / µ = s p µ s s ölcsõde Óvod Iskol Gimn. Most Diplom s és pukáj életkoránk... különsége nem változht, (z)... hánydos változik.... z állndó korkülönség mitt soh nem lehetnek egyidõsek. Válsz:... s most 9 éves. 9

20 SZÖVEGES FELDTOK Gondoltm egy számr.... Soroljuk fel zokt kétjegyû számokt, melyekre igz, hogy z egyik jegye ) néggyel ngyo, mint másik:... ; ; 6; 6; 7; 7; 0; 8; 8; 9; 9 ) négyszer kkor, mint másik:... ; ; 8; 8. Egy kétjegyû szám jegyeinek különsége. H tízesek számát -tel növeljük, z egyesek számát -tel csökkentjük, mjd z eredeti és változttott kétjegyû számokt összedjuk, legngyo kétjegyû prímszámot kpjuk. Mi volt z eredeti kétjegyû szám? Vn-e felesleges dt? tízesek egyesek szám eredeti változttott ( + ) = + + ( + ) µ 0( + ) + ( µ ) = µ = + 9 ( + ) + ( + 9) = 97 + = 97 / µ = / = eredeti: 6 változttott: 7 Ellenõrzés más megoldássl: kétjegyû szám: y változttott: y + 0 µ y + (y + 0 µ ) = 97 y + = 97 / µ y = / y = 6 kise kétjegyû szám:... 6, ngyo kétjegyû szám: Felesleges dt lehet :... két számjegy különsége. Egy kétjegyû szám egyik jegye -ml ngyo, mint másik. H ehhez kétjegyû számhoz hozzádjuk jegyeinek felcserélésével kpott számot, -et kpunk. Mely kétjegyû számokt dtuk össze? ) Írjuk le z összes olyn kétjegyû számot, melyen z egyik jegy -ml ngyo, mint másik! ; ; ; ; 0; 6; 6; 7; 7; 8; 8; 69; ) Húzzuk lá zokt kétjegyû számokt, melyeknek z elsõ jegye ngyo -ml! c) felírt számok közül válsszuk ki zokt, melyekre igz feldt állítás! = Második megoldás: d) tálázt kitöltése után írjunk fel egyenletet, mjd oldjuk meg! tízesek egyesek szám eredeti felcserélt = + + 0( + ) + = = + 0 ( + ) + ( + 0) = + = / µ = 88 / = szám: 7 Felcserélés után: 7 Összegük: Válsz:... 7-et és 7-et dtuk össze. 0

21 . Egy kétjegyû szám jegyeinek összege. H két számjegyet felcseréljük, z eredeti szám kétszeresénél 7-tel ngyo számot kpunk. Mi z eredeti kétjegyû szám? eredeti tízesek egyesek szám µ 0 + µ = 9 + felcserélt µ 0( µ ) + = 0 µ 0 + = 0 µ 9 (9 + ) < 0 µ 9 7-tel = 0 µ 9 / = 0 / µ 9 7 = 8 / 7 = Ellenõrzés: z eredeti szám: 8. felcserélt: 8. 8 < 8 76 < 8 7-tel Válsz:... z eredeti kétjegyû szám 8.. Géz következõ házi feldtot kpt: Egy kétjegyû szám jegyeinek rány :. H számjegyeket felcseréljük, z eredeti szám felénél -gyel ngyo számot kpunk. Mi z eredeti kétjegyû szám? Így oldott meg: tízesek egyesek szám eredeti felcserélt < -gyel ngyo, mint. + = /, = 0, / 0,,0» Mivel számjegyet jelent, feldt nem megoldhtó. házi feldt ellenõrzésénél meglepõdve hllott, hogy feldtnk vn megoldás. feldt folyttás: tízesek egyesek szám eredeti 0 + = felcserélt 0 + = < ngyo -gyel, mint. 6 + = / µ 6 = 7 / 7 = Ellenõrzés: z eredeti szám: 96. felcserélt: < 69 8 < 69 -gyel Válsz:... z eredeti kétjegyû szám 96.

22 SZÖVEGES FELDTOK Fogócsk mtemtikus szemmel. Pli, Vli és Lli testvérek, z óvodától, km-re, z iskolától 00 méterre lknk. Pli z óvodá reggel háromnegyed 7-kor indul, és 7 ór 0-kor érkezik. Vli z iskolá negyed 8-kor indul, és háromnegyed 8 elõtt 6 perccel érkezik. Lli iciklivel 7 ór -kor indul, és húgánál perccel elõ érkezik z iskolá. Hány órán át trt gyerekeknek z út? Mekkor z egyes gyerekek átlgseessége? Töltsük ki táláztot! Pli Vli Lli indul érkezik idõ (h) út (km) átlgseesség (km/h) 6 h 7 h 7 h 7 h 0 7 h 9 7 h 7 = 60 = 60 = 60, =, =, = 8 = = = 6, = = = =. erciék utcáján fák egyenlõ távolságr vnnk egymástól. z elsõ fától indulv erci és Mrci versenyt futnk: erci 6 másodperc ltt ér el htodik fáig, Mrci 7 másodperc ltt hetedik fáig. Ki nyeri versenyt, h nyolcdik fánál vn cél? Rjzoljunk! egy köz hossz: erci él Mrci él versenyt Mrci... nyeri. 6 6 sec ltt 6 sec ltt 7 sec ltt 7 sec ltt 6 km. ) Egy szlámivl megrkott kmiont indítnk Szegedrõl udpestre 60 átlgseességgel. Késõ h km észreveszik, hogy szállítólevél Szegeden mrdt, ezért kmion indulás után 0 perccel egy 90 h egyenletes seességgel hldó személygépkocsivl szállítmány után küldik. Mennyi idõ múlv és Szegedtõl milyen távolságr éri utol személygépkocsi kmiont? seesség idõ út 60 = 90 + Ell.: km (km/h) (h) (km) s k = 60 + h kmion h = 90 / µ 60 + s 0 = 0 / 0 k = 60 km km személygépkocsi s = sz = 90 h h s személygépkocsi kmiont Szegedtõl km sz = 60 km távolságr, 0 90 = 60 személygépkocsi indulás után... 0 perc múlv éri utol. km ) udpestrõl 8 egyenletes seességgel elindul egy teherutó Ngyknizsár, ugynkkor Ngyknizsáról 7 egyenletes seességgel elindul egy személyutó udpestre. Mennyi idõ múlv és h km h udpesttõl milyen távolságr tlálkoznk, h Ngyknizs udpesttõl 6 km távolságr vn? 8,8 = 86, (km) 7,8 = 9,6 (km) 8 Tlálkoznk > 6 Egy köz megtételéhez Mrcink kell kevese idõ, így õ ér elõ cél. udpest 6 km Ngyknizs seesség (km/h) idõ (h) út (km) teherutó = 6 0 = 6 6 = 0 =,8 személyutó 7 7,8 h = h 8 perc. Ell.: 86, + 9,6 = 6. Válsz: 08 perc múlv és udpesttõl 86, km-re tlálkoznk....

23 . Délelõtt 9 ór 0-kor km hosszúságú gylogtúrár indultunk. z eédet fél -re rendeltük meg. z út elsõ kilométere meredek emelkedõ volt, melyen csk z egész útr tervezett átlgseesség felével tudtunk hldni, és z emelkedõ végére felérve fárdtság mitt még egy 0 perces pihenõt is trtottunk. Milyen átlgseességgel kell hátrlévõ úton hldnunk, hogy z eédre pontosn megérkezzünk? Rjzoljuk meg mozgás grfikonját! tervezett átlgseesség: km v átlg = h = km h út (km) 0 O 9 ór 0 perc 0 ór 0 perc ór 0 perc ór 0 perc km hátrlevõ úton 6 átlgseességgel kell hldnunk. Válsz:... h km km. tlétikedzésen 00 m hosszú kör lkú pályán Mri 8, Feri egyenletes seességgel futott. h h ) H pály ugynzon pontjáról zonos irány indultk, hány perc ltt körözte le elõször Feri Mrit? Hány kört tettek meg ezltt? v (km/h) t (h) s (km) idő (ór) km km-t ór ltt seességgel tettünk meg, h 0 km-t ór ltt 0 h=0 6 = km átlgseességgel kell megtennünk. h Mri m = 0, km Feri = 8 + 0, / µ 8 Mri útj: 8 0, =,8 (km) = 0, Feri útj: 0, =, (km) = 0, Mri: = =, kör 00 0, h = 6 perc 00 Feri: = =, kör 00 Feri Mrit 6 perc... perc ltt körözte le elõször. Ezltt Feri... és fél kört, Mri... és fél kört futott. ) H pály ugynzon pontjáról ellentétes irány indultk, hány perc múlv tlálkoznk? Feri Mri T Tlálkoznk 8 + = 0, 0 = 0, = 0,0 0,0 h = 0,6 perc s M = 8 km 0, 0h= 0, 8 km =80 m h s F = km 0, 0h= 0, km =0 m h Válsz: 0,6 perc, zz 6 másodperc múlv tlálkoznk m

24 SZÖVEGES FELDTOK km *6. Délelõtt háromnegyed -kor 8 seességgel elindul egy teherutó Szegedrõl udpestre. Egy személygépkocsi 7 átlgseességgel ór 9 perckor indul után. Hány órkor és Szegedtõl milyen km h h távolságr éri utol teherutót személygépkocsi? h h 9 Szeged 8 km ór 9 perc µ ór perc = h itt érik utol = perc = ór = 0, ór teherutót 7 km 60 h km v (...) h t (...) h s (...) km teherutó 8 + 0, 8( + 0,) személygépkocsi 7 7 8( + 0,) = , = 7 / µ 8 9, = / 0,8 = 0,8 ór = 8 perc 0,8 ór + 0, ór =, ór = 7 perc ór perc + 7 perc = ór 7 perc = ór 7 perc ór 9 perc + 8 perc = ór 7 perc Ellenõrzés: km s t = 8, h = 7,6 km h km s sz = 7 0,8 h = 7,6 km h s t = s sz Válsz:... személygépkocsi ór 7 perckor, Szegedtõl 7,6 km-re éri utol teherutót. km *7. Reggel 8 ór perckor 8 seességgel elindul egy teherutó Kistelekrõl udpestre. Háromnegyed kilenckor egy személygépkocsi udpestrõl Kistelekre indul 0 átlgseességgel. Hány órkor és Kiste- h m s lektõl milyen távolságr tlálkoznk, h udpest és Kistelek között km távolság? teherutó szgk. 6 km Kistelek Tlálkoznk udpest 8 h km m h h s h = 0 min v (km/h) t (h) s (km) h + h = h = h = h 6 6 m 0 7 s = km h 8 ór perc µ 8 ór perc = 0 perc = h = = 0 + = / µ 0 = 00 / 0 = 6 km Ell.: s t = 8 h = 7 km h km s sz = 7 h = 60 km h 6 km 8 ór perc + ór 0 perc = 9 ór perc 8 ór perc + 0 perc = 9 ór perc Válsz:... 9 ór perckor, Kistelektõl 7 km-re tlálkoznk.

25 Méregkeverés µ egyenletekkel. Egy kereskedõ két legkedvelte gumicukoról keveréket állított össze, és zt kimérve árulj. Mennyiért djon 00 grmm cukrot, h keveréken 8 kg mcis és kg törpés cukor vn, és mcis cukoról kg 00 Ft-, törpésõl kg 800 Ft- került? ( kereskedõ se drágán, se olcsón nem szeretné dni keveréket, mint z eredeti ár.) Ell.: tömeg (kg) egységár (Ft/kg) vételár (Ft) mcis = = 0 törpés = 600 keverék = keverék kilogrmmját forintért árulj, 00 g keverék ár forint.. tengerek sótrtlm között ngy különségek lehetnek. Néhánynk z átlgos sótrtlmát tálázt foglltuk. Töltsük ki tálázt hiányzó részeit! (Hsználhtunk zseszámológépet!) Átlgos sótrtlom 0 tonn vízõl hány kilogrmm sót lehet lepárolni? Hány kilogrmm vízõl lehet kg sót kinyerni? lti-tenger % Kszpi-tenger,% drii-tenger,% Vörös-tenger,% Holt-tenger % 0 t 0,0 = 0, t = 00 kg kg 0,0 = 00 kg 0 t 0,0 = 0, t = 0 kg kg 0,0 = 8 kg 0 t 0,0 = 0,7 t = 700 kg kg 0,0» 8,7 kg 0 t 0,0 = 0,8 t = 80 kg 0 t 0, = 6, t = 600 kg kg 0,0»,9 kg kg 0, =, kg *. frissen szedett vrgánygom víztrtlm 90%, szárított vrgány víztrtlm zonn csk 0%. ) Hány dekgrmm szárított vrgányát készíthetünk kg frissen szedett gomáól? friss: víztrtlom: kg 0,9 =, kg rosttrtlom: kg 0, = 0, kg Ez 90%- szárított vrgányánk. szárított: 0, kg 0,9 = 0, kg 0, kg =, dkg Válsz:...», dkg szárított vrgányát készíthetünk kg frissõl. ) Hány kilogrmm frissen szedett gomáól készíthetünk kg szárított vrgányát? szárított: víztrtlom: kg 0, = 0, kg rosttrtlom: kg 0,9 = 0,9 kg Ez 0%- frissnek. friss gom: 0,9 kg 0 = 9 kg Válsz: 9 kg frissen szedett gomáól lesz kg szárított vrgány..... Fejes slátához svnyító öntetet készítünk. Hány deciliter 0%-os ecetet higítsunk fel fél liter vízzel, hogy %-os slátöntetet kpjunk? víz ecet öntet Ell.:, dl 0%-os ecet... dl 0%-os + dl 0%-os =... + dl %-os 0, dl tömény ecet. z oldott nyg: 6, dl %-os ecet 0, dl tömény ecet , +... ( + ) 0,0 =... 0, = 0, + 0,0 / µ 0,0 0,08 = 0, / 0,08 Válsz:, dl 0%-os ecetet kell felhsználni slátöntethez. =,...

26 SZÖVEGES FELDTOK. Mennyi 6%-os sóoldtot kell 00 grmm 0%-os sóoldthoz önteni, hogy %-os sóoldtot kpjunk? g 6%-os + 00 g 0%-os = (00 + ) g %-os z oldott nyg: 0,6 g 00 0, g (00 + ) 0, g z összefüggés egyenlettel felírv: Ellenõrzés: oldott nyg 0, , = (00 + ) 0, 0,6 + 0 = + 0, / µ 0 0,6 = + 0, / µ 0, 0,0 = / 0,0 = g 6%-os 00 0,6 g = 7 g. 00 g 0%-os 00 0, g = 0 g Keverék 00 g %-os 00 0, g = 0 g 0 g Válsz: g 6%-os sóoldtot kell hozzáönteni. 6. Milyen töménységû cukoroldtot kpunk, h 0 dkg 0%-os és 0 dkg 0%-os cukoroldtot összekeverünk? 0 dkg 0%-os + 0 dkg 0%-os = 0 dkg % z oldott nyg: 0 dkg 0, = dkg 0 dkg 0, = 9 dkg 0 dkg = dkg = = / 6 = Ellenõrzés: 0 dkg 0, 0 dkg 0, 0 dkg 0,6 + = dkg 9 dkg dkg Válsz:... 6%-os cukoroldtot kpunk z összekeveréssel. 7. Egy lortóriumn egy kísérlet elvégzéséhez %-os sósvr vn szükség. Hány grmm 0%-os és hány grmm 0%-os sósvt kell összekeverni, hogy 0 grmm oldtot kpjunk? g 0%-os + (0 µ ) g 0% = 0 g %-os 0, + (0 µ ) 0, = 0 0, 0, + 6 µ 0, = 6, 6 µ 0, = 6, / µ 6 µ0, = µ9,6 / (µ0,) = 8 z oldott nyg: 8 g 0%-os 7 g 0%-os 0 g % + =,8 g,6 g 6, g Válsz:... 8 g 0%-os és 7 g 0%-os sósv kell kísérlethez. 6

27 Együttes munkvégzés. Egy üres kerti medencét z elsõ cspon keresztül 0 perc, második cspon keresztül 60 perc ltt lehet teleengedni vízzel, míg teli medence lefolyón két ór ltt ürül ki. elsõ csp második csp lefolyó z egészet egyedül ennyi idõ ltt tölti fel vgy üríti ki 0 perc 60 perc 0 perc Egy idõegység ltt ennyied részt tölt fel vgy ürít ki 0 rész 60 rész 0 rész kérdéses idõ ltt ennyied részt tölt fel vgy ürít ki 0 rész 60 rész 0 rész ) H mindkét cspot egyidõen nyitjuk meg, és lefolyó zárv vn, kkor két csp együtt hány perc ltt tölti meg z üres medencét? Ell.:. csp rész = 0,6 rész + = / ,6 + 0, = + = 0. csp rész = 0, rész = 0 60 = z üres medencét együtt perc ltt töltik meg. ) H lefolyó zárv vn, és második cspot 0 perccel késõ nyitjuk meg, mint z elsõt, kkor hány perc ltt telik meg z üres medence? 8 µ0 Ell.:. csp rész = 0,7 rész + = / µ 0 = 0 8 0,7 + 0, =. csp rész = 0, rész = 0 60 = 8 z üres medence 8 perc ltt telik meg. c) Hány perc ltt tudjuk leengedni hrmdáig teli medence vizét, h cspok zárv vnnk? z egész 0 perc ltt folyik le. z rész 0 perc = 0 perc ltt folyik le. d) Megtelhet-e z üres medence, h lefolyót elfelejtjük elzárni, és mindkét cspot egyidõen nyitjuk meg? 0 H igen, kkor mennyi idõ ltt? Ell.:. csp rész = 0,7 rész 0 + µ = / csp rész = 0, rész 0,7 + 0, µ 0, = + µ = 0 60 = 0 0 z üres medence 0 lefolyó rész = 0, rész = 0 0 perc ltt telhet meg. e) z üres medence feltöltéséhez megnyitjuk z elsõ cspot, mjd 0 perccel késõ vesszük észre, hogy lefolyót nem zártuk el, ekkor elzárjuk lefolyót, és megnyitjuk második cspot is. Innentõl számítv hány perc ltt lesz tele medence? Ell.:. csp rész = rész µ + = / µ 0 + = 0. csp rész = rész µ + = µ + = = = = 80 lefolyó rész = rész 6 perc kell feltöltéshez. csp 60 0 = 6 megnyitás után.. Mókus pp télire gyûjtött mogyorókészletet egyedül 7 np, Mókus mm egyedül 00 np, míg kis Mókus lázs egyedül 0 np ltt enné meg. Kitrt-e 0 npig mókuscslád készlete, h csk ezt ehetik? egyedül np ltt izonyos idõ ltt Mókus pp 7 np 7 rész 7 rész Mókus mm 00 np 00 rész 00 rész Mókus lázs 0 np 0 rész 0 rész = / 00 Ell.: np ltt: Mókus pp 7 = rész = Mókus mm 9 = 00 = Mókus lázs = = 9 rész = 0 = rész 9 mókuscsládnk készlet npig elég, így kitrt 0 npig. Válsz:... 7

28 SZÖVEGES FELDTOK Szögek, oldlk, átlók: geometrii számítások. Egy szöget jelöljünk -vl, mellékszögét pedig -vel! Számítsuk ki szöget, mellékszögét, vgy írjuk fel z rányukt! Töltsük ki táláztot! , , = 80 Pl.: 0 0 = = 7 = 7 80, =, = = 7 = = 8 7. Szögei szerint milyen fjt lehet z háromszög, melyen elsõ szögek rány következõ? Számítsuk ki külsõ szögek rányát! ) g = ) g = : : c) g = : : 7 rányos rész: rányos rész: = 80 0 = 6 = = 80 0 = = = 80 = 80 = = 80 = 80 = g = 80 = 90 g = 90 0 = = = = = 0 = 0 = = 60 = 0 = = = + + g + = 6 90 g = = 7 g = 0 g =7 = 0 g = 7... derék szögû háromszög... hegyes szögû háromszög... tomp szögû háromszög g = g = g = Mekkor nnk tégllpnk területe, melynek kerülete méter, és szomszédos oldli közül z egyik cm-rel ngyo, mint másik? Készítsünk vázltrjzot! vgy = 7, cm K = ( + ) =, cm 00 = [ + ( + ) ] 00 = + ( + ) T = 7,, 00 = ( + ) 00 = T = 68,7 (cm ) 00 = = µ 0 = 70 = K = m = 00 cm 7, = = 7, = = + T =? Ell: 7, cm +, cm = cm + 6 cm = 00 cm = m Válsz:... tégllp területe 68,7 cm.. Egy településen két-két párhuzmos utc egy prlelogrmm lprjzú háztömöt zár közre. háztöm kerülete 0 méter, és szomszédos oldli közül z egyik méterrel ngyo, mint másik. hossz utcrészek távolság 6 méter. Hány hektár területet fogll el háztöm? Milyen távolságr vnnk egymástól rövide utcrészek? m m K = 0 m = = + m = 6 m T =? m =? K = + 0 = + ( + ) 0 = = 6 = = 6 cm = 00 cm T = m = m T = m T = 00 6 T = 000 (m ) =, (h) 000 = 6 m 00 = m Válsz: háztöm, h területet fogll el, rövide utcrészek 00 m-re vnnk egymástól.... 8

29 . z egyik utcán húrtrpéz keresztmetszetû árkot ásnk. Milyen mély lesz z árok, h keresztmetszete fél négyzetméter, z lj 6 dm, teteje pedig 0 cm széles? Hány teherutó földet kell elszállítni, h z utc 60 méter hosszú, és egy teherutór 8 köméter föld fér? z árok keresztmetszetének vázlt: 0 cm m T = 0, m 6 dm utchossz: 60 m utór: 8 m Hány forduló? = 6 dm = 0,6 m c = 0 cm =, m m =? T = 0, m M = 60 m V =? +c T = m 0,6 +, 0, = m 0, = m V = T M V = 0, 60 V = 80 (m ) 8 m teherutó 80 m 0 teherutó z árok fél méter mély lesz. 0 teherutó földet kell elszállítni. Válsz: Mekkor nnk tégltest lkú tömör építõelemnek térfogt, melynek felszíne 08 dm, hosszúság 0,6 méter, szélessége 00 mm? Készítsünk rjzot! V =? 0,6 m = 0,6 m = 6 dm = 00 mm = dm c =? = 08 dm V =? c = dm 00 mm = ( + c + c) = + c + c = + c( + ) 08 = 6 + c( + 6) 08 = 6 + c 8 / µ6 7 = c 8 / 8 = c V = c V = 6 V = (7 dm ) Válsz:... z építõelem térfogt 7 dm. 7. Egy szályos sokszögnek hétszer nnyi átlój vn, mint hány oldl. Mekkor sokszög elsõ szögeinek összege? oldlk szám: n > összes átló szám: 7 n elsõ szögek összege:? elsõ szögek összege: (n µ ) 80 = (7 µ ) 80 = 80 = 700 összes átló: n ( nµ ) = 7 n / n (n µ ) = n / n n µ = / + n = 7 sokszög tizenhét oldlú. Válsz: szályos tizenhét oldlú sokszög elsõ szögeinek összege

30 . HLMZOK Hlmzok HLMZOK. számológép kijelzõjén számokt 7 csíkkl (szegmenssel) jelzik. Tekintsük megfelelõ számjegyek jelzésekor világító csíkokt egy-egy hlmznk, és árázoljuk õket z lái árákkl! ) Színezéssel árázoljuk zokt hlmzokt, melyeknek z részhlmz! ) Árázoljunk néhány olyn hlmzpárt, melyek közül z egyik hlmz másiknk részhlmz! pl.: Õ Õ Õ Õ 0 8; 0; ; ; 7; 8; 9 8 8; 9 8; 9 6; 8; ; ; 8; c) Árázoljuk következõ mûveletek eredményét! «=» =» = 8 9 d) Árázoljuk hiányzó hlmzokt úgy, hogy z egyenlõség helyes legyen! «=» =» = ; 9 ; 9 0; ; ; 6; 8; 9 e) Pótoljuk hiányzó mûveleti jelet ( Ç és z È közül) úgy, hogy z egyenlõség helyes legyen! À» = À «= À» =. z árákon természetes számok három részhlmzát árázoltuk, és minden hlmzrésze eírtunk egyegy elemet. Írjuk e megfelelõ helyre z lái címkék etûjelét: Háromjegyû számok 00-nál nem kise számok -ml oszthtó számok D -ml nem oszthtó számok E -gyel oszthtó számok F -gyel nem oszthtó számok Mindegyik hlmzrésze írjunk továi elemeket! N 9 D N 78 ( is lehet) E 86 F 96 0

31 . 8. osztályn mindenki tnul ngolul vgy frnciául. ngolul -en, frnciául -en tnulnk. ) Árázoljuk z ngolul tnulók hlmzát és frnciául tnulók hlmzát, írjuk e minden hlmzrésze z elemek számát, és djuk meg z osztálylétszámot, h mindkét nyelvet -n tnulják mindkét nyelvet -en tnulják µ = µ = + + = = 6 + µ = 7 F + µ = 6 F osztálylétszám: osztálylétszám: z osztály létszám lehetõ legkise z osztály létszám lehetõ legngyo F µ = + = + µ = + = 9 osztálylétszám:... F osztálylétszám: 9... ) Hányn tnulják mindkét nyelvet, h z osztálylétszám 0?... 9 µ 0 = 9. 9 tnuló tnulj mindkét nyelvet. *. z és hlmzokról zt tudjuk, hogy z elemszám 6 ( = 6); elemszám ( = ). Írjunk I etût megfelelõ oszlop, h z állítás minden ilyen, hlmzr igz, és H -t, h hmis! Indokoljunk! 0 = 0 -nk leglá olyn eleme vn, mely -nek nem eleme Igz/Hmis I H H I Indoklás H vn közös elem, kkor két hlmz egyesítésének elemszám kise 0-nél, h nincs közös elem, kkor 0. két hlmznk lehet közös eleme. hlmznk lehet olyn eleme, mely nem eleme -nk. Mivel elemszám = 6; elemszám =, ezért -nk legfelje olyn eleme lehet, mely eleme -nek is.. Írjunk tálázt megfelelõ mezõjée -t, h z oszlop trtozó minden négyszög rendelkezik z dott tuljdonsággl. ) Vn párhuzmos oldlpárj. ) Két párhuzmos oldlpárj vn. c) Minden oldl egyenlõ. d) Vn két egyenlõ oldl. e) Minden szöge egyenlõ. f) Vn két egyenlõ szöge. g) Átlói egyenlõk. h) Átlói felezik egymást. i) Átlói merõlegesek egymásr. j) Tengelyesen szimmetrikus. k) Középpontosn szimmetrikus. Négyzet Romusz Tégllp Prlelogrmm Deltoid Húrtrpéz

32 HLMZOK 6. z lái igz állításokól kirepültek felsorolt szvk. Írjuk õket helyükre! (Nem kell minden pontozott helyre írni vlmit.) romusz, minden, minden, vn olyn, melyik, vn olyn, melyik, négyzet ) Vn olyn... prlelogrmm, melyik... tengelyesen szimmetrikus. )... Vn olyn romusz,... melyik nem négyzet. c) Minden... tégllp µ... trpéz. d) Minden... négyzet µ... deltoid. e) Minden romusz... deltoid. f) Minden négyzet... tégllp. 7. Írjuk z állítások mellé zoknk kereteknek etûjelét, melyeken lévõ síkidomokr igz z állítás! ) Minden síkidom tengelyesen szimmetrikus.... ) Vn olyn síkidom, melyik nem konve. ;... c) Vn olyn síkidom, melyik középpontosn szimmetrikus.... ; d) Nincs olyn síkidom, melyik nem sokszög. ;... e) Nem minden síkidom sokszög Rjzoljunk síkidomokt kerete úgy, hogy 7. feldt állítási közül ) csk z e) legyen igz; ) leglá igz legyen; ) mind hmis legyen. Pl.: Pl.: ), ), c), d) igz Ilyet nem lehet, mert d) és e) állítás kizárják egymást. (Nem lehet mindkettõ egyszerre hmis vgy egyszerre igz.)

33 eszéljünk helyesen mtemtik nyelvén!. z árán pontok egy társság tgjit jelentik. Két pont kkor vn összekötve, h nekik megfelelõ emerek ismerik egymást (z ismeretség kölcsönös). ) Írjuk nevek mellé, ki hány emert ismer társságól! Ágnes Írjuk z lái állítások mellé, hogy igz ( I ) vgy hmis ( H ) z árán láthtó társságr! Gáor Nór Mindenki mindenkit ismer. À H Mindenki leglá két emert ismer. À I Vn olyn, ki mindenkit ismer. À I Tior Flór Vn olyn, ki senkit sem ismer. À H ) Készítsünk árát egy öttgú társságról úgy, hogy kerete írt állítás igz legyen! (H ez nem lehetséges, zt indokoljuk meg!) kereteke egy-egy példát rjzoltunk. Mindenki mindenkit ismer. Leglá két emer vn, ki legfelje három emert ismer. Vn olyn, ki senkit sem ismer. 0 Vn olyn, ki mindenkit ismer, de vn két emer, ki nem ismeri egymást. Vn, ki emert ismer, és nincs olyn, kit senki sem ismer. Legfelje két emer vn, ki leglá három emert ismer. c) Írjuk z állítások mellé zoknk kereteknek etûjelét, melyeken árázolt társságr z állítás igz! D E Nincs olyn emer, ki mindenkit ismer. ; D; E... Nincs olyn emer, kit senki sem ismer. ; ; D; E... Nem igz, hogy senki sem ismer mindenkit. ;... Nem igz, hogy vn olyn, ki mindenkit ismer. ; D; E... Nem igz, hogy mindenki mindenkit ismer. ; ; ; D; E...

34 HLMZOK. Zsófi z osztálykiránduláson tö fényképet készített z osztály tnulóiról. Ezekre képekre vontkoznk z lái állítások. Kössünk össze minden ) oszlopeli állítást ) oszlopeli tgdásávl! ) ) Vn olyn kép, melyiken mindenki rjt vn. Minden képen vn vlki. Minden képen mindenki rjt vn. Minden kép olyn, hogy vn, ki nincs rjt. Vn olyn kép, melyiken senki sincs. Vn olyn kép, melyiken vn, ki nincs rjt.. Írjuk e hiányzó mondtokt úgy, hogy mindegyik állítás ltt ott legyen tgdás! Mindegyikhez írjunk I -t, h igz, és H -t, h hmis! ) Állítás: Minden -vel oszthtó szám oszthtó -gyel. À H Nem minden -vel oszthtó szám oszthtó -gyel. VGY Tgdás: Vn olyn -vel oszthtó szám, mely nem oszthtó -gyel.... À I ) Állítás: Vn olyn tégltest, melyik nem kock. À I Tgdás: Nincs olyn tégltest, melyik nem kock. VGY Minden tégltest kock.... À H c) Állítás: Nem minden természetes szám nemnegtív. VGY Vn olyn természetes szám, melyik negtív.... À H Tgdás: Minden természetes szám nemnegtív. À I d) Állítás: Nincs olyn egyenlet, melyiknek nincs megoldás. VGY Minden egyenletnek vn megoldás.... À H Tgdás: Vn olyn egyenlet, melyiknek nincs megoldás. À I. Egy teniszszkértõ következõket állítj: H egy férfi teniszezõ 0 éves kor elõtt leglá négy tornát nyer egy éven, kkor világelsõ lesz. Négy teniszezõrõl következõket tudjuk: ROGER: Nem nyert 0 éves kor elõtt leglá négy tornát egy éven, mégis világelsõ lett. RFEL: 0 éves kor elõtt leglá négy tornát nyert egy éven, és világelsõ lett. NDY: 0 éves kor elõtt leglá négy tornát nyert egy éven, de nem lett világelsõ. GEORGE: Nem nyert 0 éves kor elõtt leglá négy tornát egy éven, és nem lett világelsõ. Írjuk fel zoknk nevét, kikre igz szkértõ állítás! Roger, Rfel, George.... z lái H..., kkor... típusú állításokn húzzuk lá kékkel feltételt, pirossl következményt, mjd írjuk le z állítás megfordítását! Mindegyikhez írjunk I -t, h igz, és H -t, h hmis! ) Állítás: H egy szám oszthtó 6-tl és -gyel, kkor szám oszthtó -gyel. À H Megfordítás:... H egy szám oszthtó -gyel, kkor oszthtó 6-tl és -gyel. À I ) Állítás: H egy négyszög átlói felezik egymást, kkor négyszög középpontosn szimmetrikus. À I Megfordítás: H egy négyszög középpontosn szimmetrikus, kkor átlói felezik egymást À I c) Állítás: H két páros számot dunk össze, kkor z összeg páros. À I Megfordítás: H egy kéttgú összeg páros, kkor két páros számot dtunk össze.... À H d) Állítás: H két szám összege pozitív, kkor szorztuk is pozitív. À H Megfordítás: H két szám szorzt pozitív, kkor z összegük is pozitív.... À H

35 Hányféle útvonl lehet? z összegzési módszer. Rjzoljuk le skktálán z összes különözõ, lépésõl álló útvonlt, mely z mezõrõl mezõre vezet! Egy lépés egy mezõrõl egy vele oldlszomszédos mezõre vló lépést jelent. Két útvonl különözõ, h vn eltérõ lépés ennük. Minden árá egy útvonlt rjzoljunk! X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 6 X X X 0 különözõ útvonlk szám:... 0 Ennek lpján meghtározhtó z útvonlk szám. Hányféleképpen juthtunk -ól -e, h csk nyilknk megfelelõen hldhtunk? Minden keresztezõdése írjuk e, hogy hányféleképpen juthtunk od z -ól! ) különözõ útvonlk szám:... ) különözõ útvonlk szám: Hányféleképpen lehet kiolvsni ZONGOR, GORDONK, TU, GITÁR szvkt z áráról, h mindig vlmilyen irány szomszédos etûre léphetünk, de egy etûre legfelje egyszer? Rjzoljuk e nyilkt, és mindegyik etûhöz írjuk od, hogy hányféleképpen lehet hozzá eljutni z elõzõ etûtõl! ) ) Z O N G O különözõ G O R D O különözõ kiolvsások kiolvsások O N G O R szám: O R D O N szám: N G O 6 R 0... R D O 6 N 0 K... D O N 0 K 0 c) d) T U U különözõ kiolvsások szám: = G I T Á R I T Á R T Á R 6 Á R R = 6 különözõ kiolvsások szám:... 6

36 HLMZOK. Játsszunk! koordinát-rendszer O pontjáól indulunk, és h egy érmével fejet dounk, kkor z y tengellyel, h írást, kkor z tengellyel párhuzmosn lépünk egyet pozitív irányn. ) Végezzünk 6 doásól álló doássoroztokt! tálázt jegyezzük fel doásokt, mjd nnk pontnk koordinátáit, hová 6 lépéssel jutottunk! y (F) tálázt z összes lehetséges kimenetelre mutt egy-egy példát. O (I) Sorozt doás. doás. doás. doás. doás 6. doás végpont koordinátái I I F I I F F F I I I I I I I F I F F I I F F I F I I F F I F F I I F I F F F I I I F F F F F F F I I I F F I I F F F I (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) (0; 6) (; ) (6; 0) ) Jelöljük meg koordinát-rendszeren z összes olyn pontot, hová 6 doás után juthtunk! c) Írjuk tálázt pontokt koordinátáikkl, és zt, hogy melyik pont hányféle doássorozttl lehet eljutni! Két doássorozt különözõ, h vn olyn sorszám, melynek megfelelõ doás két soroztn különözõ. Végpontok (0; 6) (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) (6; 0) Doássoroztok szám d) Melyik pont juthtunk legngyo vlószínûséggel?... (; ) e) Melyik pont juthtunk legkise vlószínûséggel?... (0; 6) és (6; 0). z ár egy kis prk sétútjit muttj. Hányféleképpen sétálhtunk szökõkúttól szoorig, h minden útszkszon legfelje egyszer mehetünk végig, de lehet olyn keresztezõdés, melyen töször is áthldunk? Rjzoljuk meg z összes lehetõséget! (Két sét útvonl különözõ, h vn eltérõ szkszuk.) d e c f g Szökôkút h Szoor h f g f e c f d c f d e g c d g e g d f h d e c e f h különözõ sétútvonlk szám:... 6

37 Hányféleképpen válszthtunk?. Rjzoljuk le z összes olyn trpézt, melynek mind négy csúcs z árán levõ pontok közül vló! Két trpéz különözõ, h z egyiknek vn olyn csúcs, melyik másiknk nem csúcs. ( pontok négyzetrácsot lkotnk.) lehetséges különözõ trpézok szám összesen: z árán négyzeteke és háromszögeke számjegyeket írtunk. Hány olyn különözõ kétjegyû szám írhtó fel, melynek elsõ számjegye háromszögen, második számjegye négyzeten áll? Folytssuk gráfot, mjd írjuk e megfelelõ számokt pontsorokr! megfelelõ kétjegyû számok szám: =... 0 z elsõ számjegye négyzeten, második számjegye háromszögen áll? Írjuk e pontsorokr megfelelõ számokt! =... 0 z egyik számjegye négyzeten, másik háromszögen áll? = 0. nni és Pnni cukrászdán ünneplik mtekól kpott ötösüket. Egy-egy szelet süteményt válsztnk csokitort, doostort, túrótort, jpántort és gyümölcstort közül. Mindegyik tortáól tö szelet is vn, így egyform mellett is dönthetnek. Hányféleképpen válszthtnk két süteményt, h két válsztás kkor különözõ, h leglá egyikük másfjt tortát válszt? Egészítsük ki mondtokt! nni...-féle tort közül válsztht. Pnni...-féle tort közül válsztht. két sütemény válsztási lehetõségeinek szám: =.... Rjzoljuk meg z összes olyn egyenest, melyet z árán láthtó pontok meghtároznk! Hány egyenest rjzoltunk? ) ) c) P Egyenesek szám:... Egyenesek szám:... 6 Egyenesek szám: Dezsõ születésnpi uliján mindenki pontosn egyszer koccintott mindenkivel. Töltsük ki tálázt hiányzó mezõit! Résztvevõk szám Dezsõvel együtt Koccintások szám n ( nµ ) n+ n µ n n µ n 8µ µ µ 0 80 n+ = = = = = 7

38 HLMZOK osztályos fizikszkkörre öten járnk rendszeresen: otond, Judit, Péter, Zoltán és Kt. ) Hányféleképpen végezhetnek háziverseny elsõ két helyén? (Holtverseny nem volt.) Folytssuk gráfot, mjd pótoljuk megfelelõ számokt és mûveleti jelet!. helyezett: J P Z K. helyezett: J P Z K P Z K J Z K J P K J P Z. helyezett...-féle lehetett, ezután. helyezett...-féle lehetett = féleképpen végezhettek z elsô két helyen. ) Hányféleképpen végezhetnek háziverseny elsõ három helyén? (Holtverseny nem volt.) Pótoljuk megfelelõ számokt és mûveleti jeleket!. helyezett...-féle lehetett, ezután. helyezett...-féle lehetett, ezután. helyezett...-féle lehetett = féleképpen végezhettek z elsô három helyen. c) Hányféleképpen válszthtnk kétfõs csptot fizikszkkörösök közül városi fizikversenyre? Soroljuk fel z összes lehetõséget! 0 spttgok otond, Judit otond, Péter otond, Zoltán otond, Kt Judit, Péter Judit, Zoltán Judit, Kt Péter, Zoltán Péter, Kt Zoltán, Kt Kimrdók Péter, Zoltán, Kt Judit, Zoltán, Kt Judit, Péter, Kt Judit, Péter, Zoltán otond, Zoltán, Kt otond, Péter, Kt otond, Péter, Zoltán otond, Judit, Kt otond, Judit, Zoltán otond, Judit, Péter lehetséges fõs csptok szám: = 0 d) Melyik ngyo, lehetséges fõs csptok szám, vgy lehetséges fõs csptok szám? Miért?... Egyenlõ, mert h két fõt kiválsztunk egy cspt, kkor kimrdók fõs csptnk tekinthetõk, zz két... csptszám egyenlõ.... 8