Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011"

Átírás

1 Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens jgypk.u-szeged.hu/tnszek/szmtech szmtech/oktts/mtemtik-.pdf Glmbos GáborG JGYPK - Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái: t Hlmzok: Alpfoglmk, mőveletek m hlmzokkl, számhlm mhlm- zok,, végtelen v hlmzok. Reláci ciók: Alpfoglmk, reláci ciók k tuljdonsági (reflexív, szim- metrikus,, trnzitív, ekvivlenci reláci ció,, trichotómi, rendezés, jól-j rendezés). Függvények: Alpfoglmk, függvf ggvények ábrázolás, mőveletek m függvényekkel, speciális függvf ggvények (pl. rekurzív v függvf ggvények). Mtemtiki logik: Alpfoglmk, logiki mőveletek, m logiki függvények, következtetk vetkeztetések és s szbályik. Lineáris lgebr lpji: Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok, m determinánsok, nsok, lineáris egyenletrendszerek numerikus megoldási. Kombintórik rik: Alpfoglmk, permutáci ció és s tuljdonsági, kombináci ciók, binomiális együttht tthtók, vriáci ciók. Gráfelm felmélet: let: Alpfoglmk, gráfok ábrázolás, klsszikus gráfbej fbejárások, párosp rosítások, sok, mgyr módszer, m fgráfok. fok. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

2 A Mtemtik II. fıbb témái: Vlószínőségszámítás Intervllum, távolság, környezet Vlós függvények Számsoroztok és sorok Függvények htárértéke, folytonosság Differenciálszámítás Differenciálhtó függvények vizsgált Integrálszámítás Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés Az elıdás Bánhegyesiné Topor Gizell, Bánhegyesi Zoltán: Mtemtik, nem mtemtik szkosoknk.okj informtik sorozt. Mőszki Kidó, Budpest,. ISBN (Megrendelhetı: Csernyák László: Anlízis, Mtemtik közgzdászoknk sorozt. Nemzeti Tnkönyvkidó, Budpest, 5, ISBN lpján lett összeállítv. (Keress rá Google-n: Csernyák László ) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

3 A hlmzhoz trtozó egyedeket hlmz elemeinek nevezzük. Melyek z elemek legfontosbb tuljdonsági? Egyértelm rtelmően en eldönthet nthetı,, hogy z elem hozzátrtozik trtozik-e e hlmzhoz. A hlmz minden eleme többi t elemtıl l megkülönb nböztethetı. Egy hlmzbn egy elem csk egyszer fordul elı. Egy hlmz nem lehet önmgánk nk z eleme. Georg Cntor (845-98) lpozt meg hlmzelmélet foglmát. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5 A közös k s tuljdonságok lpján n csoportb fogllhtó tárgykt, fogl- mkt hlmzoknk nevezzük. Pl. bélyeggyb lyeggyőjtemény, embercsoportok, számok, függvf ggvények. Azt, hogy egy h dolog eleme H hlmznk h H jelöléssel írjuk le. H h nem eleme H hlmznk, kkor h H jelölést lklmz- zuk. Pl. H N-nel jelölj ljük k természetes számok hlmzát, kkor 5 N és - N. Bármely hlmzt egyértelm rtelmően en meghtározz rozzák k z elemei: h H egy hlmz, kkor bármely b x dologr vgy x H vgy x H áll fenn. Két t hlmzt kkor tekintünk nk zonosnk,, h elemei ugynzok, zz H és K hlmz kkor egyenlı,, h h H esetén h K is teljesül, l, és h h H kkor h K is igz. Jelölése: H K. K Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

4 Egy hlmzt megdhtunk elemeinek felsorolásávl vgy egy olyn tuljdonsággl, mely hlmz elemeit egyértelm rtelmően en meghtározz. Pl. A -ml oszthtó természetes számok hlmz így írhtó le: H {,, 6, 9, }} vgy H {x{ x N és x oszthtó -ml}. Hlmzok ábrázolás: Venn-digrm Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7 Azt hlmzt, melynek egyetlen eleme sincs, üres hlmznk nevezzük, és -vl vgy { }-vl} jelölj ljük. Pl. Tekintsük k következk vetkezı hlmzt: A {zon vlós x számok, melyekre sin x + cos x igz} Mivel sin x és s cos x mindig csk - és s + közék esı értékeket vehet fel, ezért z egyenlet csk kkor lehet igz, h sin x és s cos x egyszerre teljesül. l. π A sin x megoldás: x + kπ, hol k Z. A cos x megoldás: x kπ, hol k Z. Ezért nincs olyn x vlós s szám, mely egyenletünknek nknek megoldás lenne. Ezért A. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8

5 Változtssuk meg z A hlmz definíci cióját: B {zon vlós s számok hlmz,, melyekre sin x + cos x igz} Vn különbsk nbség g két k t definíci ció között? Az A hlmz üres hlmz, B hlmz nem üres hlmz, mert egyet- len elemet trtlmz, ti. z A üres hlmzt. Könnyő belátni, hogy csk egy üres hlmz vn. (Hsználni kell két t hlmz zonosságár vontkozó definíci ciót.) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9 Induljunk ki z utók k hlmzából. l. Keressünk olyn tuljdonságokt, melyek lpján n tovább bonthtjuk z utók hlmzát! Mondjunk további hlmzokt, és s bontsuk ezeket részekre! r Venn digrmml: Autók Személyut lyutók Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

6 Egy K hlmzt H hlmz részhlmzánk nevezünk, nk, h K hl- mz minden eleme egyben H-nk is eleme. Jelölése: K H. A definíci cióból l következik, k hogy minden hlmz része r sját t mgánk, hiszen minden x H -ból következik, hogy x H,, tehát t H H trtlmzás s mindig igz. Az üres hlmz minden hlmznk részhlmz. r Egy K hlmzt H hlmz vlódi részhlmzánk nevezünk, nk, h K részhlmz H-nk és H-nk vn leglább egy eleme, mely nem eleme K-nk. Jelölése: K H. Tétel: K H kkor és s csk kkor igz, h K H, de H K. Tétel: H K H és H K, kkor H K. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés Tekintsünk nk egy A hlmzt, mely részhlmz r H-nk. Azt hlmzt, mely H vlmennyi A-hoz nem trtozó elemét t trtlmzz, z A hlmz H-r vontkozttott komplementer (kiegész szítı) ) hlmzánk nevezzük. Jelölése: A {x{ x H és x A } H A A Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

7 Néhány egyszerő megállp llpítás: Egy hlmz önmgár vontkozttott komplementere z üres hlmz. Az üres hlmz komplementere mg hlmz. Egy hlmz bármely b másik m hlmzr vontkozttott komple- menterének nek komplementere mg hlmz. H két k t hlmznk ugynrr hlmzr vontkozttott komple- mentere egyenlı,, kkor két k t hlmz is egyenlı egymássl. (Ez megfordítv is igz.) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés Mőveletek hlmzokkl Az A és B hlmzoknk z A B szimbólumml jelölt lt Descrtes-féle szorztán z összes olyn rendezett (,b(,b) ) párokbp rokból álló hlmzt értjük, melyekre A és b B. Jelölése: A B { (,b(,b) ) A és b B }. H A B, kkor z A A helyett z A jelölést is hsználjuk. Pl. Legyen A {,, } és B {e,{ f} f A B e (, e) (, e) (, e) f (, f ) (, f ) (, f ) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

8 A táblt blázt felfoghtó egy speciális szorzótábl blánk. A szorzthlmz elemeinek számát t két k t hlmz elemeinek szorzt dj. Tétel: A Descrtes-szorz szorzás s mővelete m nem kommuttív. (Nem felcserélhet lhetı). A szorzthlmz kettınél l több t hlmz szorztár r is értelmezett, ekkor rendezett hármsok, h négyesek, n stb. lesznek szorzthlmz elemei. A szorzthlmz lehetıvé teszi mtemtiki lkztok konstrukcióját is: Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5 N N Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

9 A mőveletekrm veletekrıl áltlábn Egy H hlmzon értelmezett (belsı,, kétvk tváltozós) mővelet nem más, m mint H H szorzthlmz leképez pezése önmgáb H hlmzb, zz minden (x,y( x,y) H H rendezett párhoz p H egy elemét t rendeljük hozzá.. Mtemtik jelöléssel: φ: : (x,y( x,y) H H z f(x,y) H Három lpvetı mőveleti tuljdonságot fogunk definiálni: Asszocitivitás s (csoportosítht thtóság) Kommuttivitás s (felcserélhet lhetıség) Disztributivitás s (széttgolht ttgolhtóság) g) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7 Asszocitivitás Egy H hlmzon értelmezett mőveletet kkor mondunk sszocitív- nk,, h bármely b x, y, z H elemre fennáll, hogy (x y) z x (y z) ) x y z. H egy mővelet m sszocitív, kkor zárójelet z bárhov b lehet rkni, de z elemek sorrendje lényeges. l Asszocitív v mővelet m vlós s számok hlmzán értelmezett összedás és s szorzás. s. Nem sszocitív v mővelet m htványoz nyozás, hiszen ( ) ( ) A bl oldl eredménye 8 64, jobb oldlé 9 5. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8

10 Kommuttivitás Egy H hlmzon értelmezett mőveletet kkor mondunk kommuttívnk vnk,, h bármely b x, y H elemre fennáll, hogy x y y x. H egy mővelet m kommuttív, kkor mővelet m eredménye független f mőveletben résztvevr sztvevı elemek sorrendjétıl Kommuttív v mővelet m vlós s számok hlmzán értelmezett összedás és s szorzás, s, vgy z egybevágósági gi trnszformáci ciók egymás s utáni végrehjtv grehjtás. Nem kommuttív v mővelet m kivonás, hiszen 5 5. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9 Disztributivitás Legyen dott H hlmzon értelmezett két k t mővelet m és.. A mőveletet blról l disztributív mőveletre nézve, n h bármely b x, y z H elemre fennáll, x (y z) ) (x( y) (x z) ). Legyen dott H hlmzon értelmezett két k t mővelet m és.. A mőveletet jobbról l disztributív mőveletre nézve, n h bármely b x, y z H elemre fennáll, (x y) z (x( z) (x y) ). H egy mővelet m blról l is és s jobbról l is disztributív v egy másik m mőveletre nézve, n kkor egyszerően en disztributivitásr sról beszélünk. A vlós s számok körében k definiált szorzás s mővelete m disztributív v z ugynitt definiált összedás s mőveletm veletére nézve. n Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

11 Zártság A H hlmznk egy K részhlmzát t mőveletre nézve n zártnk mondunk, bármely b x, y K elemekre igz, hogy x y K. Pl. pozitív v pártln p számok hlmz z összedásr sr nézve n nem zárt, de szorzásr sr nézve n zárt. z Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés Hlmzok uniój Az A és B hlmzok unióján (egyesítésén) zt hlmzt értjük, mely zokt és s csk zokt z elemeket trtlmzz, melyek A és B közül l leglább z egyiknek elemei. Jelölése: A B. Az A és B hlmzokt z unió tgjink nevezzük. A B A hlmzok egyesítés s három h vgy több t tgr is definiálht lhtó: : Az A, A,,, A n, hlmzok unióján (egyesítésén) zt hlmzt értjük, mely zokt és s csk zokt z elemeket trtlmzz, melyek A i (i,,,,, n) ) hlmzok közül k l leglább z egyiknek elemei. Jelölése: A A A n. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

12 Az unióképz pzés s mőveletm veletének legfontosbb tuljdonsági: Az unióképz pzés s mővelete m kommuttív. Az unióképz pzés s mővelete m sszocitív. Az unióképz pzés s mővelete m idempotens: A A A. A A. A B B kkor és s csk kkor, h A B. A B kkor és s csk kkor, h A és B. Legyen A egy hlmz, és s legyen A B. H A' z A hlmz B-re vontkozttott komplementer hlmz, kkor A A' B. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés Hlmzok metszete Az A és B hlmzok metszetén (közös s részr szén) zt hlmzt értjük, mely zokt és s csk zokt z elemeket trtlmzz, melyek mind z A mind B hlmznk elemei. Jelölése: A B. Az A és B hlmzokt z metszet tgjink nevezzük. Pl. Legyen K { osztói}, és L { osztói}. Ekkor K {,,, 4, 6, } és H {,, 4, 5,, }. Így A B {,, 4}. A metszethlmz éppen és s közös k s osztóink hlmz. A hlmzok metszete három h vgy több t tgr is definiálht lhtó: : Az A, A,,, A n, hlmzok metszetén zt hlmzt értjük, mely zokt és csk zokt z elemeket trtlmzz, melyek A i (i,,,, n) n hlmzok mindegyikének nek eleme. Jelölése: A A A n. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

13 Az metszetképz pzés s mőveletm veletének legfontosbb tuljdonsági: Az metszetképz pzés s mővelete m kommuttív. Az metszetképz pzés s mővelete m sszocitív. Az metszetképz pzés s mővelete m idempotens: A A A. A. A B A kkor és s csk kkor, h A B. Legyen A egy hlmz, és s legyen A B. H A' z A hlmz B-re vontkozttott komplementer hlmz, kkor A A'. Az unió metszetképz pzésre nézve n disztributív. A metszet z unióképz pzése nézve n disztributív. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5 Szemléltess ltessük, hogy unió metszetképésre sre nézve n disztributív! A (B C ) (A( B) (A C) A (B C ) (A B) (A C) A B A B C C Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

14 Hlmzok különbsk nbsége Az A és B hlmzok különbségén z A hlmznk zt részr szét értjük, melyek nem trtoznk B hlmzhoz. Jelölése: A \ B. A különbsk nbségképzés s mőveletm veletének legfontosbb tuljdonsági: Az A \ B különbséghlmz mindig részhlmz r A-nk. Amennyiben egy A hlmzból l kivonjuk nnk egy B részhlm- zát, kkor B hlmznk A-r vontkozó komplementerét t kpjuk: A \ B B'. A B \ A különbséghlmzt z A \ B szimmetrikus párjp rjánk nevezzük. A B \ A és s z A \ B hlmzoknk nincs közös k s eleme (diszjunktk). A \ A és \ A és A \ A. A különbsk nbségképzés s mővelete m nem kommuttív. A különbsk nbségképzés s mővelete m nem sszocitív. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7 Szimmetrikus differenci Az A és B hlmzok szimmetrikus differenciáján z hlmzt értjük, A B {A \ B} {B \ A} A B A B A definíci cióból l következk vetkezı tuljdonságok következnek: k A A A B B A A A A. ( A B ) C A ( B C ) ( mővelet m sszocitív). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8

15 Venn digrmm segíts tségével ábrázoljuk ( A B ) C hlmzmőveletet! A B C Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9 Számhlmzok Természetes számok A természetes számok hlmzát t Peno xiómákkl (889) írhtjuk le. Giuseppe Peno (858 9). Kurt Gödel: : Minden xiómrendszerben léteznek l olyn állítások, melyek nem eldönthet nthetık, zz melyeknek bizonyítás és s cáfolt c z dott rendszeren belül l nem végezhetv gezhetı el. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

16 A Peno xiómák:. A természetes szám, zz N.. Bármely n természetes számnk létezik l egy és s csk egy z n számt mtól l különbk nbözı n' rákövetkezıje, melyik szintén természe sze- tes szám.. Nincs olyn természetes szám, melynek rákövetkezr vetkezıje. 4. Különbözı természetes számoknk különbk nbözı rákövetkezr vetkezıje. 5. H egy K hlmz z N részhlmz, tovább bbá K rendelkezik z - es xióm szerinti tuljdonsággl, és s minden K-beli elem rákövetkezıje e is K hlmzbn vn, kkor K N. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Peno xiómák (formlizáltn): ltn):. N.. H n N, kkor n' N.. H n', kkor n N. 4. H m, n N, és m n,, kkor n' m'. 5. H egy K hlmzr igz, hogy (i) K N, (ii) K,, (iii( iii) ) h n K,, kkor n' K, kkor K N. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

17 Az 5-ös 5 s xiómát t szokás s teljes indukció xiómájánk nevezni. Legyen α(n) ) minden n N-re értelmezett állítás, és s tegyük k fel, hogy teljesül l következk vetkezı két t feltétel: tel: z α() állítás s igz, h vlmely n N esetén α(n) ) igz, kkor α(n+ n+) is igz, Ekkor α(n) ) minden n N esetén n igz. A teljes indukció xiómájánk változtv ltozt: Legyen k N, és α(n) ) minden k n N-re értelmezett állítás, és tegyük k fel, hogy teljesül l következk vetkezı két t feltétel: tel: z α(k) állítás s igz, h vlmely n N esetén α(n) ) igz, kkor α(n+ n+) is igz, Ekkor α(n) ) minden k n N esetén n igz. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés Nézzünk egy teljes indukciós s bizonyítást: Bizonyítsuk be, hogy z elsı n természetes szám összege n ( n + ) S ( n ). Biz.. A tétel t tel állítás n -re igz, hiszen S().. Tegyük k fel, hogy z állítást vlmely n -re már m r beláttuk. Ekkor n( n + ) S ( n + ) S ( n) + ( n + ) + ( n + ) ( n + )( n + ) Ezért tétel t tel állítás igz.. n( n + ) + ( n + ) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

18 N-ben két t mővelet m definiálht lhtó: : z összedás, s, és s szorzás. s. mindkét mőveletre bebizonyítht thtó,, hogy sszocitív és s kommuttív, és belátht thtó,, hogy z összedás s szorzásr sr nézve n disztributív v mővelet. m Esetleg beszélni z egységelemr gelemrıl és s zérus z elemrıl. l. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5 Egész számok Próbáljuk meg kiterjeszteni természetes számok hlmzát, és s z zon értelmezett összedás és s szorzás s mőveletm veletét. t. A hlmz kiterjesztésénél l trtsuk be következk vetkezı elveket: Az új hlmznk természetes számok hlmz legyen részhlmr szhlm- z. Az új j hlmz elemein legyen elvégezhet gezhetı kivonás mővelete. Az összedás és s szorzás s mőveletm veletét úgy kell értelmezni z új hl- mzon,, hogy h mőveleteket m N-beli elemekre lklmzzuk, kkor ugynzt z eredményt kell kpnunk, mint korábbn. Érvényesüljön permnenci elve, zz mőveletekre minél l többt zonosság g mrdjon érvényben. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

19 Az n természetes szám m ellentettjének nek nevezzük, és n-nel nel jelölj ljük k z n + x egyenlet megoldását. Tehát n-et z n +( n) ) ( n)( ) + n összefüggés értelmezi. A pozitív v természetes számok ellentettjei természetes számokkl együtt lkotják k z egész számok hlmzát.. Az egész számok hlmzánk jele: Z. A permnenci elvének megfelelıen en z összedás s z egész számok hlmzán n következk vetkezıképpen értelmezhetı: Tetszıleges n, m N-re, ( n)) +( m) ) (n + m). n m, n + ( m) ( m) + n, ( n m), h n > m h n m h n < m. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7 Rcionális számok Legyen p, q N és q. Keressük qx p egyenlet megoldását t z egész számok hlmzán. H megoldás s nem egész, kkor p-nek q- vl vló osztását t jelölj ljük p/q-vl, és s ezt egy új j számnk tekintjük. k. A p/q lkú számokt, hol q, rcionális (tört)sz rt)számoknk nevezzük, hol p törtszt rtszám száml mlálój és q törtszt rtszám nevezıje je.. A rcionális számok jelölése: Q. Az egész számok olyn törtszt rtszámok, melyeknek nevezıje. A rcionális számok hlmzán n rcionális mőveletek m összedás, s, kivonás, szorzás, s, osztás elvégezhet gezhetık. (Ez zt jelenti, hogy e mőveletek eredménye nem vezet ki rcionális számok hlmzából.) l.) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8

20 p Amennyiben zt krjuk, hogy lkú számok ugynúgy visel- kedjenek, mint z egész számok tovább bbá z eddigi mőveletek m tuljdonsági (sszocitivitás, s, kommuttivitás, disztributivitás) s) érvényben mrdjnk, z összedást st és s szorzást st következıképpen kell definiálni: c d bc + + b d bd b c d c bd Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9 Bizonyítsuk be, hogy, végtelen szkszos tizedes tört t egy rcionális szám m tizedes tört t lkj!, L L Keressünk áltlános megoldást egy végtelen v szkszos tizedes tört t rcionális törtszt rtszámmá lkításár! Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

21 A rcionális pontok számegyenesen ábrázolhtók. Belátht thtó,, hogy számegyenesen bármely b két k t rcionális pont között k vn egy két k számt mtól l eltérı újbb rcionális pont. A rcionális pontok számegyenesen egyenletesen sőrőn s helyezked- nek el. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4 Vlós s számok Vnnk olyn számok, melyek nem írhtók k fel két k t egész szám hánydosként. nt. Ilyen pl.. Bizonyítsuk be, hogy Biz. nem írhtó fel p Tfh. z állítás s nem igz. Ekkor, hol (p,q( p,q) ). q Emeljük k mindkét t oldlt négyzetre: n p q lkbn, hol p,q Z. Ebbıl l dódik, dik, hogy q p, mi lehetetlen, hiszen p és q reltív prímek. p q. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

22 Azokt számokt, melyek nem írhtók k fel két k t egész szám hánydosként, nt, irrcionális számoknk nevezzük. Jele: Q. Az irrcionális számok zok számok, melyek végtelen v nem szkszos tizedes tört t formájábn felírht rhtók. A rcionális pontok bár b r mindenütt sőrőn s n helyezkednek el szám- egyenesen, mégsem m töltik t zt teljesen ki. A lukkbn helyezkednek z irrcionális számok. A rcionális és s z irrcionális pontok teljesen kitöltik számegye megye- nest. A számegyenes pontjink megfeleltethetı számok hlmzát t vlós számok lkotják. k. Jele: R. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4 Tétel: Az irrcionális számok hlmz rcionális számok komplementer hlmz vlós s számok hlmzár vontkozón. n. Q* R Q. Természetes számok Egész számok Rcionális számok Vlós s számok Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 44

23 Algebri és s trnszcendens számok Láttuk zt, hogy számhlmzok között k vlós s számok hlmz legtágbb gbb hlmz, mely két k t diszjunkt hlmzr rcionális és s z irrcionális bonthtó. Létezik vlós s számok hlmzánk másfm sféle felbontás részhlm- zokr? Kis kitérı következik Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 45 Polinomokról áltlábn A polinom (többtg bbtgú lgebri kifejezés) egy olyn kifejezés, melyben csk számok és s változv ltozók k egész kitevıjő htványink szorzti illetve ilyenek összegei szerepelnek. PéldP ldául: p(x,y,z,u) ) 5x5 4 y 6 - xz +y 5 u 7 q(x) ) x + 6x + 9 A polinombn számokkl szorzott htványszorztokt monomnk (egytgoknk) nevezzük. Pl. p-nél l z 5x5 4 y 6, xz és s z y 5 u 7 tgok). A monomokbn lévıl számszorz mszorzókt polinom együttht tthtóink hívjuk. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 46

24 Egynemőnek nek különböznek. Mőveletek polinomokkl Az egyes monomokbn változv ltozók k kitevıinek inek összege dj meg z dott monom fokát.. A polinom fokánk benne lévıl monomok fokánk mximumát t tekintjük. k. A fokú monomokt konstns polinomoknk nevezzük. nevezünk nk két k t monomot, h csk együttht tthtóbn Polinomokt úgy dunk össze,, hogy z egynemő egytgok együttht tthtóit összedjuk: p + ( x, y) 5 x y + xy 6 y q + 6 ( x, y, z) x y 7xy 8yz 6 ( p + q)( x, y, z) 7 x y 5xy + 6 y + 8 yz Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 47 A polinomok szorzáskor skor minden tgot minden tggl beszorzunk és s keletkezı szorztokbn z zonos változv ltozók k htványit z zonos lpú htványok szorzásánk szbály lyávl számítjuk ki. Pl.: p ( x, y) x + xy q ( x, z) x 7z ( p q)( x, y, z) x x + x ( 7 z ) + xy x + xy ( 7 z ) 5 4 x 7 x z + x y 7 xyz Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 48

25 Speciális polinomok A polinomok legegyszerőbb megjelenési formái i z egyváltoz ltozós polinomok. Például z 8x 7x + 6 egy hrmdfokú,, egyváltoz ltozós s polinom. Az x fokszám szerint csökken kkenı sorrendbe írv, z elsı monom fok, másodikm sodiké, hrmdiké. A hrmdfokú tg együttht tthtój 8, másodfokm sodfokúé -7, konstns tg 6. Egy polinomot homogén n fokszámúnk nevezünk, nk, h benne minden monom fok egyenlı.. Pl. binomiális tétel: t tel: ( + b) b b + 66 b + 4b4 + b 4 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 49 Egy számot lgebri számnk nevezünk, nk, h létezik l olyn rcionális együttht tthtós s polinom, melynek gyöke. H z számhoz ilyen polinom nem tlálht lhtó,, kkor trnszcendens szám. H z számhoz tlálht lhtó egy n-ed fokú polinom, melynek ı gyöke, de egyetlen lcsonybb fokú polinomnk már r nem gyöke, kkor egy n-ed fokú lgebri szám. Tétel: z elsıfok fokú lgebri számok rcionális számok. Tétel: Elsınél l mgsbb fokú lgebri szám m nem lehet rcionális szám. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5

26 Az irrcionális lgebri számok megközel zelíthetık k rcionális számok soroztávl. A esetében ez sorozt: ,,,, Liouville: : A L + +L L n q q q q végtelen sor htárért rtéke minden q > esetén n trnszcendens szám. A π és s z e is trnszcendens szám. (Errıl l többet t gykorlton) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5 Számhlmzok számoss mosság Végtelen hlmzok Természetes számb mból l vgy négyzeteikbn gyzeteikbıl l vn több? t Az A és s B hlmzról l kkor mondjuk, hogy egyenlı számoss mosságúk, h vn olyn kölcsk lcsönösen sen egyértelm rtelmő megfeleltetés s z elemeik között, mely A minden eleméhez B egy meghtározott elemét rendeli hozzá, és s mely B minden elemét t hozzárendeli A vlmely eleméhez. 4 9 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés n n

27 Azt z eredményt kptuk, hogy természetes számok és s négyzeteik n ugynnnyin vnnk, zz N és s négyzetszn gyzetszámok hlmz zonos számoss mosságú. Az eredmény meglepı,hiszen zt kptuk, hogy rész ugynnnyi, mint z egész! Végtelen hlmzok esetében nincs értelme több,, kevesebb vgy z ugynnyi kifejezéseknek. Végtelennek nevezzük k zt hlmzt, melynek vn önmgávl egyenlı számoss mosságú vlódi részhlmz. r Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5 Megszáml mlálhtón n végtelen v hlmzok Megszáml mlálhtón n végtelenv vgy megszáml mlálhtó hlmzoknk nevezzük k zokt hlmzokt, melyeknek ugynnnyi elemük k vn, mint mennyi természetes szám. H A megszáml mlálhtó hlmz, kkor elemei kölcsk lcsönösen sen megfelel- tethetık k természetes számok hlmzánk elemeivel. Könnyő belátni, hogy természetes számok helyett tekinthetjük k pozitív v természetes számok hlmzát. Miért? A pozitív v természetes számoknk vló egyértelm rtelmő megfeleltetés s zt jelenti, hogy hlmz elemei sorbrendezhetık. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 54

28 H z elemek sorbrendezhetık,, kkor z A hlmz felírht rhtó végte- len sorozt formájábn:,,, 4,, n, Ennek z következmk vetkezménye, hogy h egy hlmz elemei sorbrendezhetık,, kkor hlmz elemeinek számoss mosság megegye- zik természetes számok számoss mosságávl. Egyszerő példák: A pozitív v páros p számok és s prímsz mszámok mok hlmz megszáml mlálhtó. Tétel: Egy megszáml mlálhtó hlmz bármely b végtelen v részhlmz r szintén n megszáml mlálhtó. Bizonyítás s egyszerő. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 55 Tétel: Megszáml mlálhtó és s véges v hlmz egyesítésével nyert hlmz is megszáml mlálhtó. Biz. H A {{,,, 4,, n, }} z dott megszáml mlálhtó hlmz és b, b, b,, b k véges v hlmz elemei, kkor z új j hlmz elrendezése: b, b, b,, b k,,,, 4,, n, és s hozzárendel rendelés eltolássl ismét t megoldhtó. Az összes egész számok hlmz is megszáml mlálhtó.. Ngyság szerint z elemek nem lkotnk soroztot, de sorb rendezés s más m módon elérhet rhetı: Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 56

29 Következmény: N és Z zonos számoss mosságúk: : N Z. Áltlánosítás-: két k t megszáml mlálhtó hlmz egyesítésével kpott hlmz is megszáml mlálhtó. Áltlánosítás-: megszáml mlálhtón n végtelen v sok megszáml mlálhtó hlmz egyesítésével kpott hlmz is megszáml mlálhtó. A rcionális számok hlmz megszáml mlálhtó. Figyelem: ez zt jelenti, hogy ugynnnyi rcionális szám m vn, mint hány pozitív v egész szám! Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 57 Az elıbbi állítás s bizonyításához elısz ször r belátjuk, hogy pozitív rcionális számok hlmz megszáml mlálhtó: Alkossuk meg következk vetkezı elrendezést: / / / 4/ / / / 4/ / / / 4/ /4 /4 /4 4/4 Járjuk be táblt bláztot átlósn! Hgyjuk ki táblt bláztból l z egyszerősíthet thetı törteket blr tolv sort! A mrdék k táblt bláztbn minden pozitív v rcionális szám m egyszer szerepel. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 58

30 Ugynezt rendezést elvégezhetj gezhetjük k negtív v rcionális számokr is, és s lklmzzuk két k t megszáml mlálhtó hlmz egyesítésére kimondott tételt! telt! H fenti kiinduló tábláztbn p/q lkú törtek helyére (p,q( p,q) ) lkú rendezett párokt p írunk, kkor zt kpjuk, hogy pozitív v egész számokb mokból l képezhetk pezhetı rendezett párok p hlmz is megszáml mlálhtó. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 59 Kontinuum számoss mosságú hlmzok Vizsgáljuk meg vlós s számok hlmzát, és s bevezetıként tegyük fel, hogy ezek számok is megszáml mlálhtón n végtelen v hlmzt lkotnk. Ekkor (,) intervllumb esı vlós s számok hlmz mint vlós számok hlmzánk végtelen v részhlmz r megszáml mlálhtó. Ezért ebbe z intervllumb esı elemek soroztb rendezhetık. Legyen sorozt tgjink tizedestört kifejtése következk vetkezı:,...,, 4... hol nk z n-edik vlós s szám k-dik tizedes jegyét t jelöli. li Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

31 Most állítsuk elı b számot következk vetkezıképpen:, bb bb4... b -et úgy válsztjuk, v hogy b. Ezért b. b -et úgy válsztjuk, v hogy b. Ezért b. b -et úgy válsztjuk, v hogy b. Ezért b. és így tovább bb Olyn számot konstruáltunk tehát, t, mely nincs megszáml mlálhtónn végtelen sok szám m között. k Mivel ilyen konstrukcióból l végtelen v sok készíthetı,, ezért (,) intervllum vlós s számink hlmz nem megszáml mlálhtón n végtelen. v Egy olyn hlmzhoz jutottunk, melyben z elemek szám többt bb, mint megszáml mlálhtón n végtelen v számoss mosságú hlmzok elemszám m. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6 Ez csk kkor lehet, h z irrcionális számok hlmz sem meg- száml mlálhtó. A végtelennek v ezt másik m fokoztát Cntor nyomán konti- nuumszámoss mosságnk nevezzük. A vlós s számok hlmz tehát t nem megszáml mlálhtó. Cntor: LétezikL tezik-e e olyn számoss mosság, mely végtelen v számoss mosságnál ngyobb, de kontinuumszámoss mosságnál l kisebb? P. Cohen (96): A kérdk rdés s hlmzelmélet let xiómáib iból l nem cáfolhtó meg, de bizonyítni sem lehet. Létezik-e e kontinuumszámoss mosságnál l ngyobb számoss mosság? Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

32 Egy A hlmz összes részhlmzink r hlmzát t z A htványhl nyhl- mzánk nevezzük. Jele: P(A). Bizonyítht thtó,, hogy minden A hlmzr A < P(A). Következmény: Minden számoss mosságnál l vn ngyobb számoss mosság. A tételnek t telnek olyn következmk vetkezményei vnnk, melyek ntinómi miához vezetnek. Az ntinómi olyn állítás, melynek z igzság is és s tétel t tel tgdás is bizonyítht thtó Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6 Reláci ciók, függvf ggvények A mindennpi életben kpcsoltok vesznek körül k l bennünket: nket: Szülı gyermek Adós hitelezı Eldó vevı stb A mtemtik többek között k tnulmányozz nyozz hlmzok ill. zok elemei közötti k kpcsoltokt. Ezeket reláci cióknk nevezzük. Jelölése: R b (( reláci cióbn vn b-vel). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 64

33 Pl. Legyen H {,,, 4, 5}. Az R b jelentse: kisebb b-nél. Elısz ször ábrázoljuk reláci ciót t egy ábrávl, melyben pontok jelölik lik számokt, és s nyilk reláci ciót: H reláci cióbn vn b-vel, kkor -ból l irány nyított nyíl l (él)( mutt b-be: be: 5 4 Mely számokt jelölik lik z egyes pontok? Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 65 Pl. Legyen H {,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }. Az R b jelentse: osztój b-nek. Az ábránkon z elızıhöz z hsonlón n h reláci cióbn vn b-vel, kkor -ból l irány nyított nyíl l (él)( mutt b-be. be. Vegyük k figyelembe, hogy bármely N + -r:.. (Ezt egy hurok éllel jelölj ljük.) Mely számokt jelölik lik z egyes pontok? Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 66

34 Binér r (kételem telemő) ) reláci ció Az A és B hlmzok közötti k binér R reláci ció z (,( b) (( A, b B) rendezett párok p egy részhlmz. r A részhlmznk r zon (,( b) párok p lesznek z elemei, melyekre R b teljesül. l. Áltlánosn foglmzv: reláci ció két t vgy több t hlmz Descrtesféle szorztánk egy részhlmz. r Pl. Legyen A {,, 6} és B {,, 4, 5}. Htározzuk meg z + b < 7 reláci ció elemeit, hol A, b B. 4 5 (, ) (, ) (, 4) (, 5) (, ) (, ) (, 4) (, 5) 6 (6, ) (6, ) (6, 4) (6, 5) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 67 Egy reláci ciót t meghtározhtunk Az lphlmz és s vlmely tuljdonság g megdásávl A reláci cióhoz trtozó rendezett párok p felsorolásávl Gráffl Táblázttl A mtemtik gykrn csk egy hlmz elemei közötti k reláci ciókkl fogllkozik. Ilyenkor z A A szorzthlmz részhlmzit r kell megdni. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 68

35 Binér r reláci ciók k tuljdonsági H R H hlmzon értelmezett reláci ció, és s z R hlmz minden elemére teljesül, l, kkor z R reláci ció reflexív. Példák k reflexív v reláci ciókr: A pozitív v természetes számok hlmzán: osztój b-nek. A sík s k vlmennyi egyenesének nek hlmzán: párhuzmos b-vel. A vlós s számok hlmzán: egyenlı b-vel. Hogyn néz n z ki reláci ció,, h zt táblt bláztosn vgy gráffl djuk meg? Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 69 h h h h h h 4 h 5 h h 4 h 5 h h h 5 h h 4 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7

36 Egy H hlmzon értelmezett R binér r reláci ciót t kkor mondunk szimmetrikusnk,, h bármely b,b H-r R b és b R egyránt fennáll. Példák k szimmetrikus reláci ciókr: A pozitív v természetes számok hlmzán: egyenlı b-vel. A sík s k vlmennyi háromszh romszögének hlmzán: hsonló b-hez. A sík s k vlmennyi egyenesének nek hlmzán: merıleges b-re. A vlós s számok hlmzán: nem egyenlı b-vel. Hogyn néz n z ki reláci ció,, h zt táblt bláztosn vgy gráffl djuk meg? Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7 h h h h h h 4 h 5 h h 4 h 5 h h h 5 h h 4 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7

37 Antiszimmetrikusnk nevezünk nk egy reláci ciót, h bármely b,b H-r z R b és s b R reláci ciók k közül k l legfeljebb z egyik áll fent. H z R reláci ció jelenlétét t kizárjuk, kkor szigorú értelemben ntiszimmetrikus reláci ció,, ellenkezı esetben tágbb értelemben ntiszimmetrikus. Példák k szigorún ntiszimmetrikus reláci ciókr: A pozitív v természetes számok hlmzán: kisebb b-nél. A vlódi részhlmz r B-nek. A természetes számok hlmzán: rákövetkezıje b-nek. A szigorún ntiszimmetrikus trtlmz hurkot. reláci ció gráfreprezent freprezentációj nem Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7 Egy H hlmzon értelmezett R binér r reláci ciót t kkor mondunk trnzitívnk vnk,, h bármely b,b,c H-r R b és b R c-bıl l következik, k hogy R c. Példák k trnzitív v reláci ciókr: A pozitív v természetes számok hlmzán: kisebb b-nél. A pozitív v természetes számok hlmzán: osztój b-nek. A sík s k vlmennyi háromszh romszögének hlmzán: hsonló b-hez. A sík s k vlmennyi egyenesének nek hlmzán: párhuzmos b-vel. Az A részhlmz B-nek (A( B). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 74

38 Ekvivlencireláci ciók A reflexív, szimmetrikus és s trnzitív v reláci ciót ekvivlencireláci ciónk nevezzük. Jelölése: ~ b. Pl. Legyen H egy cég c összes dolgozóink hlmz. Az R b jelentse zt, hogy ugynzon z emeleten dolgozik, mint b. Világos, hogy ez reláci ció reflexív, mert R. szimmetrikus, mert h R b, kkor b R. trnzitív, hiszen R b és b R c, kkor R c. További példp ldák: A pozitív v természetes számok hlmzán: egyenlı b-vel. A sík s k vlmennyi egyenesének nek hlmzán: párhuzmos b-vel. A részhlmz B-nek (A( B). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 75 Egy nevezetes ekvivlenci reláci ció kongruenci reláci ció: : Legyen,b Z és m N. b (mod m) Olvsv: kongruens b-vel modulo m.. Jelentése: és b m-mel mel osztv ugynzt mrdékot dj. Azok számok, melyek kongruensek egymássl (modulo m), zok egy mrdékoszt kosztályb trtoznk. Tétel: A mrdékoszt kosztályok z egész számok hlmzánk diszjunkt részhlmzit lkotják, k, h m-et rögzr gzítjük. Bizonyítsuk be (esetleg gykorlton), hogy kongruenci ekvi- vlencireláci ció. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 76

39 Ekvivlenciosztályok lyok Tétel: Legyen,b T, és b.. H T()-nk és T(b)-nek vn nem üres metszete, kkor két k ekvivlenciosztály ly megegyezik Tegyük k fel, hogy T() és T(b) ekvivlenciosztályoknk lyoknk vn közös k eleme. Legyen ez x. Mivel x T() és x T(b), ezért x ~ és x ~ b egyidejőleg. Így trnzitivitás s mitt ~ b., ezért T(b), mi mitt T() T(b). Hsonlón n megmutthtó,, hogy T(b) T(). Így T() ) T(b). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 77 Következmény: Két K t különbk nbözı ekvivlnciosztály ly metszete z üres hlmz. Egy ekvivlenciosztályt lyt bármely eleme meghtározz. Legyen R T hlmzon értelmezett ekvivlencireláci ció, és s legyen T.. Az ekvivlenciosztály lyánk nevezzük T-nek z -vl ekvi- vlens elemeinek hlmzát, zz z -vl reláci cióbn lévıl elemek hlmzát. Jelölése: T(). (T()( T ). H T z lphlmz, kkor T* * jelöli li T hlmzhoz trtozó ekviv- lenciosztályok lyok hlmzát. Péld. Legyen T z egész számok hlmz. Az egész számokt írjuk tört t lkb, és s T hlmzon értelmezzük k következk vetkezı reláci ciót: ω Rω', hol ω / b és ω' ' / b' b és b' b ' b, b, b'. 6 Ezért példp ldául R. 5 Lássuk be, hogy z így definiált reláci ció reflexív, szimmetrikus és trnzitív. (Azz ekvivlencireláci ció.) Htározzuk meg z ekvivlenciosztályok lyok számát! Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 78

40 Vnnk más m s reláci ciók k is, melyek tuljdonsági mitt kitüntetett figyelmet érdemelnek. A H hlmzt rendezettnek mondjuk, h elemein értelmezve vn egy b reláci ció,, mely rendelkezik z lábbi tuljdonságokkl: hmis (irreflexivitás) h b igz, kkor b hmis (sszimetri) h b igz, és b c igz, kkor c igz (trnzitivitás) h b, kkor z b és s b közül l leglább z egyik igz (trichotómi). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 79 A természetes számok hlmz, rcionális számok hlmz és s vlós s számok hlmz rendezett < ( > ) reláci ciór nézve. n Egy rendezett hlmzt jólrendezettnek mondunk, h bármely b nem üres részhlmzr szhlmzánk vn kezdı eleme, zz olyn eleme, melyet z dott rendezés s szerint z dott részhlmz r egyetlen eleme sem elız z meg. Példák A természetes számok ngyság g szerint rendezett hlmz jólrende- zett. A rcionális és s vlós s számok hlmz nem jólrendezett j hlmz. Bizonyítsuk be, hogy rcionális számok hlmz nem jólrendezett! j Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8

41 Függvények H vlmely A hlmz elemeihez dott utsítás s szerint egy B hlmz elemeit rendeljük k hozzá úgy, hogy A minden elemének megfeleltünk leglább egy B-beli elemet, kkor zt mondjuk, hogy z A hlmzt leképezz pezzük B hlmzr vgy hlmzb. H B hlmz összes elemét t megfeleltjük A elemeinek, kkor B hlmzr képezünk. H B hlmz egy részhlmzr szhlmzát t feleltjük k meg A elemeinek, kkor B hlmzb képezünk. Az A-t tárgyhlmznk,, elemeit tárgyelemeknek nevezzük. Az B-t képhlmznk,, elemeit képelemeknek nevezzük. A leképez pezést hozzárendel rendelési elıírás és s tárgyhlmz t egyértelm rtelmően en meghtározz. Jelölése: φ: A B, vgy φ(), h A. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8 H minden A-r (;( φ()) A B, kkor φ reláci ciót leképez pezés- nek nevezzük. A φ és δ leképez pezéseket kkor tekintjük egyenlınek nek,, h bármely b A esetén φ() ) δ(). A leképez pezéseket tárgyelemekhez t rendelt képelemek k szám, ill. képelemekhez rendelt tárgyelemek t szám szerint osztályozhtjuk: H minden egyes képelemnek k csk egy tárgyeleme t vn, kkor leképez pezés egy-egy egyértelmő vgy kölcsönösen sen egyértelm rtelmő. A B Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8

42 H vlmely képelemnek k több t tárgyeleme t vn, kkor leképez pezés több-egyértelmő. A B Pl. háromszh romszögek terület letük Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8 H több t képelemnek k egy tárgyeleme t vn, kkor leképez pezés egytöbbértelmő. A B Pl. ny gyerekei Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 84

43 H több t képelemnek k több t tárgyeleme t is lehet, kkor leképez pezés több-többértelmő. A B Pl. tuljdonosok cégek Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 85 A függvf ggvény mint leképez pezés Legyen dott két k t hlmz, A és B. Függvénynek nevezünk nk minden olyn binér r (kételem telemő) ) reláci ciót, mely z A hlmz minden elemének B hlmz egyetlen elemét t felelteti meg. Következmény: Minden függvf ggvény reláci ció,, de nem minden reláci ció függvény: függvf ggvény egy A hlmznk egyértelm rtelmő leképez pezése egy B hlmzr. Az A hlmzt függvf ggvény értelmezési trtomány nyánk,, B hlmzt függvény értékkészletének nevezzük. A függvf ggvénykpcsolt jelölése: y f(x). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 86

44 A fentiek értelmében egy függvf ggvény kkor vn pontosn meghtározv, h megdjuk Az értelmezési trtományt (z A hlmzt) z értékkészletet ( B hlmzt) A hozzárendel rendelést, zz zt leképez pezést, mely minden x A elemet társt rsít t egy y B elemmel. H B minden eleme képe k z A hlmz egy elemének, kkor z f függvényt szürjekt rjektívnek nevezzük. H z A hlmz két k t különbk nbözı elemének mindig különbk nbözık k B- beli képei, k kkor leképez pezés injektív. H egy függvf ggvény egyszerre szürjekt rjektív és s injektív v (zz kölcsönösen sen egyértelm rtelmő), kkor bijektív. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 87 A függvf ggvények ábrázolás, megdás A függvf ggvények, mint speciális binér r reláci ciók k megdását t négy n módon m végezhetjük: utsítás táblázt Descrtes digrm Venn digrm Függvények ábrázolás utsítássl ssl Például: f: R R, f(x) ) x. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 88

45 Függvények megdás táblt blázttl b b b b 4 b hol i A és b i B, i,,,5.,5. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 89 Függvények megdás Descrtes digrmml Vegyük észre, hogy digrm elkész szítését t egy y (x-)( függvény- kpcsolt lpján n végeztv geztük k el. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9

46 Függvények megdás Venn digrmml A B A két k t hlmzt zárt z síkidombn s elhelyezett pontok ábrázolják. Minden pontot nyíl l köt k össze képével. k A kiinduló hlmz minden pontj egyetlen nyíl l kiindulópontj. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9 Az összetett függvf ggvény Legyen dott három h hlmz, A, B, C, C és s legyen f z A egy leképez pezése B-be, és g B leképez pezése C-be. Feleltesse meg f z A minden elemének B egy és s cskis egy y elemét, és s feleltesse meg g B ezen y elemének C egy és s cskis egy z elemét. Így z A minden x elemének megfelel C egy és s cskis egy z eleme. Az így definiált hozzárendel rendelés s leképezte z A hlmzt C hlmzb: z g(f(x)). g Ez z új j leképez pezés s z f és g függvénybıl álló összetett leképez pezés, két t leképez pezés s szorzt. Jelölése: g f. Az f és g leképez pezések g f szorztán z f és g leképez pezések egymás utáni végrehjtv grehjtását értjük k ebben sorrendben. (Az f függvény értékkészletét t trtlmzni kell g függvény értelmezési trtomány nyá- nk!) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9

47 Tétel: : Két K t leképez pezés összetétele tele nem kommuttív. Péld: Legyen f : R R, f(x) ) x, g : R R, g(x) ) cos x. Ekkor g f cos (x( ) és f g cos x. Ábrázoljuk két k t függvf ggvényt! Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9 Inverz függvf ggvény Az f: A B létesítsen tsen z A és B elemei között k kölcsk lcsönösen sen egyértelm rtelmő hozzárendel rendelést. Ekkor B minden eleme egyetlen A-beli elemnek képe, k zz minden y B-hez trtozik egyetlen x A úgy, hogy y f(x). Így B-n értelmezett g függvényt kptunk: g: B B A. H y B,, kkor g(y) ) z z egyértelm rtelmően en meghtározott x A, melyre f(x) ) y. Ezt függvf ggvényt z f függvény inverz függvf ggvényéneknek nevezzük. Jelölése: f -. H f - z f függvény inverze, kkor f értelmezési trtomány z f - függvény értékkészlete, és f értékkészlete z f - értelmezési trtomá- ny. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 94

48 H z (x,( f(x)) z f grfikonjánk nk egy pontj, kkor z (f(x),( x) ) z f - függvény grfikonjánk nk egy pontj, zz két k t függvf ggvény grfikonji egymásnk tükörkt rképei, hol tükrt krözés s tengelye z y x egyenes. f : R R, f(x) ) x, f - (x)) log x, f(x) ) x f - (x)) log x Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 95 Rekurzív v soroztok Oldjuk meg következk vetkezı feldtot: : Hány H nyúl l szármzik egyetlen pár p nyúlt ltól, l, h tudjuk, hogy minden pár p r hvont új j párnk p d életet, és z újszülött nyulk két k t hónpos h koruktól l lesznek szülıképesek? hónp nyúlp lpár Fiboncci sorozt: n n- + n- n n n 5 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 96

49 A Fiboncci-sorozt néhány ny tuljdonság: A sorozt n.. eleme -gyel ngyobb, mint z elsı n- elem összege. n kkor oszthtó -vel, h h n k lkú. 4 oszój n -nek,, h n 6k lkú. Nyitott problém: A Fiboncci-sorozt soroztbn véges v sok, vgy végtelen v sok prímsz mszám m vn-e? Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 97 Az ítélet mint függvf ggvény Az táncolt b-vel reláci ció egy lphlmzon értelmezett tuljdonság. H z (,b(,b) ) párr p tuljdonság g fennáll zz z állítás s igz kkor pár p r reláci cióhoz trtozik. Az így elıáll llított függvf ggvény értelmezési trtomány z összes lehetséges párok p hlmz, z A B hlmz. A szorzthlmz minden eleméhez egy igz vgy egy hmis érték trtozik. Ezért kpott függvf ggvény minden elempárhoz egy logiki értéket rendel. Az így kpott függvf ggvényt kijelentésf sfüggvénynek (predikátumf tumfügg- vénynek) nevezzük. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 98

50 A mtemtiki logik lpji A logik gondolkodás s tárgyt rgyát t képezk pezı konkrét t problémákt któl, trtlmi informáci cióktól l elvontkoztt, és s gondolkodási folymt elemeinek, megállp llpításink közös, k következtetk vetkeztetés szempontjából l lényeges l trtlmát t hsználj fel. Ez közös k s trtlom, vgy közös k s jellemzı z állítások igzságért rtéke, mi ltt klsszikus kétértk rtékő logikábn zt tényt érjük, hogy egy állítás s igz vgy nem igz (hmis). A logikánk zt z ágát, mely fenti módon m közelk zelíti gondolkodás s kérdk rdéseit klsszikus kétértékő logikánk nevezzük.(ez zt jelenti, hogy klsszikus kétértk rtékő logik számár z állítások két k t lehetséges igzságért rtéke z lp. Ez z igzságért rték k bizonytlnságot nem trtlmz, két k t igzságért rték kizárj egymást. st.) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 99 Egy megállp llpítást logik szempontjából l kkor tekintünk nk állításnk, h eldönthet nthetı ról, hogy igz vgy hmis. Többértékő logikák k létezl tezése: fuzzy logik. A mtemtiki logikát t elsısorbn sorbn mtemtiki kuttásokbn lklmzzák, k, de mindennpi élet és s kuttások minden olyn terület letén n hsználht lhtó,, hol z igzságért rték mint bsztrkció elfogdhtó. Így számítástudom studomány és s mesterséges intelligenci is lklmzz mtemtiki logikát. A mtemtiki logik kiemelkedı lkji: Gottfried Wilhelm Leibnitz (646 76) George Boole (85 864) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

51 Állításon vgy kijelentésen olyn kijelentı mondtot értünk, mely egyértelm rtelmően en igz vgy hmis. Egy állítás s egyidejőleg nem lehet igz is és s hmis is (ellentmondástlns stlnság g elve). Egy állítás s nem lehet sem nem igz sem nem hmis (kizárt hrmdik elve). Vnnk olyn kijelentések, melyekkel logik nem fogllkozik: x < 5, mert dott x nélkül l z állításnk nincs meghtározott igzságértéke. z út t holnp csúsz szós s lesz,, mert z dott pillntbn nem dönthetı el z állítás. z zért,, mert típusú állítások. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés Mőveletek állításokkl, logiki értékekkel Logiki mőveletenm olyn eljárást értünk, mely egy vgy több t kijelentésb sbıl l (ezek mővelet m tgji) olyn kijelentést képez k (ez mővelet eredménye), melynek igz vgy hmis voltát t tgok igz, ill. hmis volt egyértelm rtelmően en meghtározz. A mőveleteket egy-,, két-, k, háromh rom-, n-változósnk nevezzük szerint, hogy egy-,, két-, k, háromh rom-, n kijelentésb sbıl l képeznek k új kijelentést. Az állítások körében k is elegendı logiki értékek közötti k mőveleteket tisztázni. zni. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

52 Negáci ció Egy p kijelentés negáci cióján n (tgdásán) nem igz, hogy p kijelentést (vgy ennek egy nyelvtnilg átfoglmzott lkját) értjük. A A számítógép p nem síkidoms kidom. Ez egy egyváltoz ltozós ítélet, mely egy állítás s (ti. A A számítógép síkidom ) ) tgdásából áll. (Nem vizsgáljuk z eredeti állítás igzságtrtlm gtrtlmát.) t.) A negáci ció mőveletének igzságt gtábláj: p p i h h i Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés Konjunkció Két t kijelentés, p és q konjunkcióján (összekpcsolásán) p és q kijelentést (vgy ennek egy nyelvtnilg átfoglmzott lkját) értjük. A A osztój -nek és s 4 osztój 6-nk. nk. Ez z állítás s igz, mert z elıtgj és s z utótgj tgj is igz. A konjunkció kkor és s csk kkor igz, h mindkét t tgj igz. Jelölése: p q. A konjunkció mőveletének igzságt gtábláj: p q p q i i i i h h h i h h h h Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

53 Diszjunkció Két t kijelentés, p és q diszjunkcióján (szétv tválsztásán) p vgy q kijelentést (vgy ennek egy nyelvtnilg átfoglmzott lkját) értjük. (Megengedı értelmő összekpcsolás.) s.) Tejet vgy kkót t reggelizünk. nk. Ez z állítás s kkor igz, h leglább z egyik tgj igz. Jelölése: p q. A diszjunkció mőveletének igzságt gtábláj: p q p q i i i i h i h i i h h h Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5 Az ítéletklkulusbn logiki értékeket, logiki változv ltozókt és s rjtuk végzett v mőveleteket m leíró jelsoroztokt z ítéletklkulus formuláink nevezzük. Két formulát t zonosnk nevezünk nk,, h két k t formul benne szereplı változók k minden lehetséges értékére re ugynzt logiki értéket állítj elı. Péld: A (B C ) A A bizonyítás s bból áll, hogy kimuttjuk z A ( A B ) állítás s kkor és s csk kkor igz, mikor z A állítás. Elegendı zt bebizonyítni, hogy z állítások változv ltozók k logiki értékeire megegyeznek. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

54 Tehát t zt kell igzolnunk, hogy p, q tetszıleges állítások esetén n fönnáll-e e p p (p q ) egyenlıség. g. Készítsük k el z igzságt gtábláztot: p q r p q p r i i i i i h h i h i h h h h h h Mivel táblt bláztunk elsı és s utolsó oszlop megegyezik, ezért z állításunk igz. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7 Tétel: Bármely logiki mővelet m kifejezhetı negáci ció és s konjunkció mőveletével. vel. Nem bizonyítjuk, de megmuttjuk z elıáll llításokt: p q ( p q ) p q p q p q ( p q ) i i h h i i i h h i i i h i i h i i h h i i h h Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8

55 Logiki vgy : kommuttív: p q q p A logiki mőveletek m tuljdonsági sszocitív: (p( q) r p (q r) disztributív: p (q r) (p( q) (p r) idempotens: p p p Logiki és : kommuttív: p q q p sszocitív: (p( q) r p (q r) disztributív: p (q r) (p( q) (p r) idempotens: p p p Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9 További logiki mőveletekm A p kkor q lkú kifejezéseket implikáci ciónk nevezzük. (Itt p z elıtg és q z utótg.) tg.) H részvr szvények ár csökken, kkor nem dom el ıket. ket. (Amennyiben részvr szvények ár nem csökken, kkor igznk tekintjük k z állítást kár r eldtm részvr szvényeket, kár r nem, mert erre vontkozón n nem mondtunk elıre.) Jelölése: p q. Az implikáci ció mőveletének igzságt gtábláj: p q p q i i i i h h h i i h h i Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

56 Tétel: Az implikáci ció nem kommuttív és s nem sszocitív v mővelet. m Az implikáci ció kifejezése diszjunkcióvl és s negáci cióvl: p p q p q i h i i i h h h h i i i h i h i p q p q i i i i h h h i i h h i Ezért: p q p q. Amennyiben figyelembe vesszük k z implikáci ció kifejezhetıségét t negáci cióvl és s konjunkcióvl, zt kpjuk, hogy: p q (p q). Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A h p kkor q, és s h q kkor p p ekvivlenciánk nk nevezzük. lkú kifejezéseket Egy négyszn gyszög g kkor és s csk kkor húrnh rnégyszög, g, h szemközti zti szögeinek összege 8. (Figyeljük k meg, hogy itt két k állítást tettünk egyszerre.) Jelölése: p q. A definíci ció szerint p q (p q) ( q p) Az ekvivlenci mőveletm veletének igzságt gtábláj: p q p q p q (p q) ( q p) p q ( p q) ( q p) p q (p q) ( p q) i i i i h h h i h h h i Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

57 A nem igz, hogy h p kkor q, és s h q kkor p p lkú kifejezéseket ntivlenciánk nk nevezzük. A mővelet m kizáró vgy ismert (XOR). Az ntivlenci kkor és csk kkor igz, h két k állítás s logiki értéke különbk nbözı. Jelölése: p q. A mővelet m z igzságt gtábláztból l kizárj zokt z eseteket, melyekben mindkét állítás s igz, tehát t formálisn z ekvivlenci tgdását t jelenti. p q (p q ) Az ntivlenci mőveletm veletének igzságt gtábláj: p q p q p q q p p q (p q ) p q (p q) ( p q) p q ( p q) (p q) i i h i h i h i i h h h Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A sem p sem q lkú összetett kifejezéseket sem-sem (Webb-féle) mőveletnek nevezzük. A mővelet m diszjunkció tgdás (NOR). Jelölése: p q. Érvényes következk vetkezı zonosság: p q (p q ) A Webb-féle mővelet m igzságt gtábláj: p q p q p q q p i i h i h h h i h h h i Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 4

58 A nem p vgy nem q lkú kifejezéseket Sheffer-féle mőveletnek m nevezzük. Vgy iszik z ember vgy vezet. A mővelet m konjunkció tgdás (NAND). Ebben z esetben két k t kijelentés s közül k l legfeljebb z egyik igz. Jelölése: p q. Érvényes következk vetkezı két t zonosság: p q (p q ) p q p q Az Sheffer-féle mővelet m igzságt gtábláj: p q p q i i h i h i h i i h h i Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 5 A logiki függvf ggvény foglm Az eddigiekben kétvk tváltozós s mőveleteket m vizsgáltunk, melyek tekinthetık k kétvk tváltozós s függvf ggvényeknek is. Ebben z esetben z értelmezési trtomány z {i,{ h} hlmz és s z értékkészlet is z {i,{ h} hlmzból l vló. Legyen i és n. Az ilyen típust pusú függvényeket igzságf gfüggvénynek vgy Boolefüggvénynek nevezzük. A kétvk tváltozós s Boole-függv ggvények mintájár definiálht lhtó z n- változós s Boole-függv ggvény is: ekkor mind z értelmezési trtomány, mind z értékkészlet egy olyn szám n-es, melynek elemei {, } hlmzból l szármznk. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 6

59 Hány drb n-változós s Boole-függv ggvény vn? n Az értéktábláztnk n oszlop vn, és s minden helyre vgy -t t vgy -et írunk. Ezért összesen n sorunk lesz. Minden sorbn kétfk tféle módon m válszthtjuk v meg függvényértéket, ti. vgy -t t vgy -t. Így Boole függvf ggvények szám:. n n n ,84 9 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 7 p q f f q q mindig f f p q diszjunkció f f p q q p q implikáci ció f 4 f 4 q q f 5 f 5 q p p q p implikáci ció f 6 f 6 p p f 7 f 7 p q (p q) (q p) ekvivllenci f 8 f 8 p q konjunkció f 9 f 9 q q soh f f p q (p q) sem-sem f f (p q) p q implikáci ció tgd f f q negáci ció f f (q p) q p implikáci ció tgd f 4 f 4 p negáci ció f 5 f 5 p q ntivlenci f Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 8 6 f 6 p q (p q ) Sheffer mőveletm tgdás tgdás

60 Normálform lformák és s függvf ggvényrendszerek A kétvk tváltozós s függvf ggvényeknél l láttuk, l hogy mindegyik felírht rhtó negáci ció,, konjunkció vlmint diszjunkció mőveleteinek segíts tségével. Megmutthtó ez érvényes z n-változós s Boole-függv ggvényekre is oly módon, hogy felírht rhtó egy olyn formul, mely z dott n változóból épül l fel, és s mőveletkm veletként,, és s logiki mőveleteket hsználjuk. Az így felírt formul értéke pontosn kkor lesz igz, mikor z átlkítndó függvény értéke is igz. A fenti állítást nem bizonyítjuk, hnem egy példp ldát t muttunk konstrukciór. r. Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés 9 x x x g(x,x,x ) g(x,x,x ) (x x x ) ( x x x ) ( x x x ) Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2008-2009. A Matematika I. fıbb f Halmazok: Alapfogalmak, mőveletek m

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2008-2009. A Matematika I. fıbb f Halmazok: Alapfogalmak, mőveletek m Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens Glmbos GáborG JGYPK 8-9 9 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái: t Hlmzok: Alpfoglmk, mőveletek m hlmzokkl, számhlm mhlm- zok,, végtelen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ Társdlmi Megújulás Opertív Progrm keretében Munkhelyi képzések támogtás mikro- és kisválllkozások számár címmel meghirdetett pályázti felhívásához Kódszám: TÁMOP-2.1.3/07/1 v 1.2 A projektek

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról. rész Bevezetés Az idő múlik, kívánlmk és lehetőségek változnk. Tegnp még logrléccel számoltunk, m már elektronikus számoló - és számítógéppel. Sok teendőnk

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. Galambos GáborG JGYPK 2011

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. Galambos GáborG JGYPK 2011 Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens http://jgypk.u jgypk.u-szeged.hu/tnszek/szmtech/oktts oktts/mtemtik-.pdf Glmbos GáborG JGYPK 0-0 Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái:

Részletesebben

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése Sűrűségérés. Szilárd test sűrűségének érése A sűrűség,, definíciój hoogén test esetén: test töege osztv test V térfogtávl: V A sűrűség SI értékegysége kg/, hsználtos ég kg/d, kg/l és g/c Ne hoogén testnél

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben

FIGYELEM! Ez a kérdőív az adatszolgáltatás teljesítésére nem alkalmas, csak tájékoztatóul szolgál!

FIGYELEM! Ez a kérdőív az adatszolgáltatás teljesítésére nem alkalmas, csak tájékoztatóul szolgál! FIGYELEM! Ez kérdőív z dtszolgálttás teljesítésére nem lklms, csk tájékozttóul szolgál! KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Az dtszolgálttás sttisztikáról szóló 1993. évi XLVI. törvény (Stt.) 8. (2) ekezdése

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

AVIZUL COORDONATORULUI ȘTIINȚIFIC

AVIZUL COORDONATORULUI ȘTIINȚIFIC AVIZUL COORDONATORULUI ȘTIINȚIFIC Subsemntul dr. András Szilárd, conferențir l Fcultte de Mtemtică și Informtică Universității Bbeș-Bolyi, vizez lucrre Aplicre metodelor vedice în predre mtemticii l clsele

Részletesebben

A Szolgáltatás minőségével kapcsolatos viták

A Szolgáltatás minőségével kapcsolatos viták I. A Szolgálttó neve, címe DITEL 2000 Kereskedelmi és Szolgálttó Korlátolt Felelősségű Társság 1051. Budpest, Nádor u 26. Adószám:11905648-2- 41cégjegyzékszám: 01-09-682492 Ügyfélszolgált: Cím: 1163 Budpest,

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

2000. évi XXV. törvény a kémiai biztonságról1

2000. évi XXV. törvény a kémiai biztonságról1 j)10 R (1)4 2000. évi XXV. törvény kémii biztonságról1 z Országgyűlés figyelembe véve z ember legmgsbb szintű testi és lelki egészségéhez, vlmint z egészséges környezethez fűződő lpvető lkotmányos jogit

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

Algebrai és transzcendens számok

Algebrai és transzcendens számok MATEMATIKA Szakköri füzet Algebrai és transzcenens számok Készítette: Klement Anrás 00 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok Bevezetés A szakköri füzetben áttekintjük a számhalmazokat és új szempont

Részletesebben

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK we-lap : www.hild.gyor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STTIK 47. RÁCSOS TRTÓK rácsos tartók két végükön csuklókkal összekötött merev testekől állnak. z így

Részletesebben

E5CN Alkalmazási segédlet

E5CN Alkalmazási segédlet PNSPO! E5N Alklmzási segédlet 2 TARTALOMJEGYZÉK Bekötések...4 Beállítások...6 Egyszerű ON-OFF szbályozás beállítás...6 Egyszerű ON-OFF szbályozás beállítás (risztási funkcióvl)...6 PID szbályozás beállítás...7

Részletesebben

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1

Halmazelmélet. 2. fejezet 2-1 2. fejezet Halmazelmélet D 2.1 Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenl nek, ha elemeik ugyanazok. A halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele:. D 2.2 Az A halmazt a B halmaz

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

Tantárgytömbösítés a matematika tantárgyban 5. évfolyamon

Tantárgytömbösítés a matematika tantárgyban 5. évfolyamon TÁMOP-3.1.4-08/2-2008-0123 Kompetencia alapú oktatás a Bonyhádi Oktatási Nevelési Intézményben Tantárgytömbösítés a matematika tantárgyban 5. évfolyamon Készítette: Bölcsföldi Árpádné A BONI Arany János

Részletesebben

MAGICAR 441 E TÍPUSÚ AUTÓRIASZTÓ-RENDSZER

MAGICAR 441 E TÍPUSÚ AUTÓRIASZTÓ-RENDSZER MAGICAR 441 E TÍPUSÚ AUTÓRIASZTÓ-RENDSZER 1. TULAJDONSÁGOK, FŐ FUNKCIÓK 1. A risztóberendezéshez 2 db ugrókódos (progrmozhtó) távirányító trtozik. 2. Fontos funkciój z utomtikus inditásgátlás, mely egy

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2012. jnuár 26. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Algebrai struktúrák, mátrixok

Algebrai struktúrák, mátrixok A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós

Részletesebben

Farkas Gábor: Diszkrét matematika II. (elıadás diák) Lektorálta: Láng Csabáné

Farkas Gábor: Diszkrét matematika II. (elıadás diák) Lektorálta: Láng Csabáné Farkas Gábor: Diszkrét matematika II. (elıadás diák) Lektorálta: Láng Csabáné Felhasznált irodalom: Járai Antal & al: Láng Csabáné: Láng Csabáné: Gonda János: Láng Csabáné: Bevezetés a matematikába ELTE

Részletesebben

Kerületi Közoktatási Esélyegyenlőségi Program Felülvizsgálata Budapest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzata 2011.

Kerületi Közoktatási Esélyegyenlőségi Program Felülvizsgálata Budapest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzata 2011. Kerületi Közokttási Esélyegyenlőségi Progrm Felülvizsgált Budpest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzt 2011. A felülvizsgált 2010-ben z OKM esélyegyenlőségi szkértője áltl ellenjegyzett és z önkormányzt

Részletesebben

Matematikai feladatlap Test z matematiky

Matematikai feladatlap Test z matematiky Keresztnév: Vezetéknév: Mtemtiki feldtlp Test z mtemtiky eloslovenské testovnie žikov 9. roèník ZŠ T9-01 Kedves tnulók, mtemtiki feldtlpot kptátok kézhez. teszt 0 feldtot trtlmz. Minden helyes válszt 1

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

Egyházashollós Önkormányzata Képviselőtestületének 9/ 2004. (IX.17) ÖR számú rendelete a helyi hulladékgazdálkodási tervről

Egyházashollós Önkormányzata Képviselőtestületének 9/ 2004. (IX.17) ÖR számú rendelete a helyi hulladékgazdálkodási tervről Egyházshollós Önkormányzt Képviselőtestületének 9/ 24. (IX.7) ÖR számú rendelete helyi hulldékgzdálkodási tervről Egyházshollós Önkormányztánk Képviselőtestülete z önkormányzti törvény (99. évi LXV. tv.)

Részletesebben

1. példa. 2. példa. értelemszerően. F 2.32. ábra

1. példa. 2. példa. értelemszerően. F 2.32. ábra . péld Htározzu meg z.. árán láthtó tégllp lú eresztmetszet és y tengelyre számított másodrendő nyomtéit! d dy (.) épler szerint y dy y d y 0 0 értelemszerően y. péld Steiner-tétel (.. éplet) llmzásávl

Részletesebben

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK Prof.Dr. Zobory István Budpest 04 Trtlomegyzék. Bevezetés... 3. A vsúti árművek teherviselő részeiről... 3. Alvázs (nem önhordó) kocsik... 3.. Kéttengelyes kocsik... 4..

Részletesebben

Gáspár Csaba. Analízis

Gáspár Csaba. Analízis Gáspár Csaba Analízis Készült a HEFOP 3.3.-P.-004-09-00/.0 pályázat támogatásával Szerzők: Lektor: Gáspár Csaba Szili László, egyetemi docens c Gáspár Csaba, 006. Tartalomjegyzék. Bevezetés 5. Alapvető

Részletesebben

3-4.elıadás: Optimális választás; A fogyasztó kereslete

3-4.elıadás: Optimális választás; A fogyasztó kereslete (C) htt://kgt.e.hu/ / 3-4.elıdás: Otiális válsztás; A fogysztó kereslete A fogysztó válsztási roléáj A fogysztó száár elérhetı (egfizethetı) jószágkosrk közül neki legjot válsztj A fogysztó költségvetési

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2015. jnuár 22. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Budapesti Műszaki Főiskola Kandó Kálmán Villamosmérnöki Főiskolai Kar Automatika Intézet. Félévi követelmények és útmutató VILLAMOS GÉPEK.

Budapesti Műszaki Főiskola Kandó Kálmán Villamosmérnöki Főiskolai Kar Automatika Intézet. Félévi követelmények és útmutató VILLAMOS GÉPEK. Budpeti Műzki Főikol Kndó Kálmán Villmomérnöki Főikoli Kr Automtik ntézet Félévi követelmények é útmuttó VLLAMOS GÉPEK tárgyból Villmomérnök zk, Villmoenergetik zkirány, Távokttái tgozt 5. félév Özeállított:

Részletesebben

6. Tárkezelés. Operációs rendszerek. Bevezetés. 6.1. A program címeinek kötése. A címleképzés. A címek kötésének lehetőségei

6. Tárkezelés. Operációs rendszerek. Bevezetés. 6.1. A program címeinek kötése. A címleképzés. A címek kötésének lehetőségei 6. Tárkezelés Oerációs rendszerek 6. Tárkezelés Simon Gyul Bevezetés A rogrm címeinek kötése Társzervezési elvek Egy- és többrtíciós rendszerek Szegmens- és lszervezés Felhsznált irodlom: Kóczy-Kondorosi

Részletesebben

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése VB-EC01 progrm rövid szkmi ismertetése A VB-EC01 progrmcsomg hrdver- és szoftverigénye: o Windows XP vgy újbb Windows operációs rendszer o Min. Gb memóri és 100 Mb üres lemezterület o Leglább 104*768-s

Részletesebben

Absztrakt vektorterek

Absztrakt vektorterek Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Telefon: 345-6 Internet: www.ksh.hu Adtgyűjtések Letölthető kérdőívek, útmuttók Az dtszolgálttás 265/28. (XI. 6.) Korm. rendelet lpján kötelező. Nyilvántrtási szám: 223/9

Részletesebben

Tartalom I. 1. Kohászat. 2. Egyedi Protanium acél. 3. Első osztályú korrózióvédelem. 4. Örökös garancia

Tartalom I. 1. Kohászat. 2. Egyedi Protanium acél. 3. Első osztályú korrózióvédelem. 4. Örökös garancia A profik válsztás pic egyetlen profi minőségű htszögkulcs Trtlom I. 1. Kohászt II. 2. Egyedi Protnium cél 3. Első osztályú korrózióvédelem 10 23 A szbványoknk vló 100%os megfelelés 26 Nincsenek rossz törések,

Részletesebben

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

A vasbeton vázszerkezet, mint a villámvédelmi rendszer része

A vasbeton vázszerkezet, mint a villámvédelmi rendszer része Vsbeton pillér vázs épületek villámvédelme I. Írt: Krupp Attil Az épületek jelentős rze vsbeton pillérvázs épület formájábn létesül, melyeknél vázszerkezetet rzben vgy egzben villámvédelmi célr is fel

Részletesebben

A VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI, ÉS GYAKORLATI ALKALMAZÁSA I. BEVEZETÉS, MOTIVÁCIÓ, PROBLÉMAFELVETÉS

A VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI, ÉS GYAKORLATI ALKALMAZÁSA I. BEVEZETÉS, MOTIVÁCIÓ, PROBLÉMAFELVETÉS Szolnoki Tuományos Közlemények XV. Szolnok, 011. Prof. Dr. Szolcsi Róert 1 A VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ALAPÖSSZEFÜGGÉSEI, ÉS GYAKORLATI ALKALMAZÁSA I. BEVEZETÉS, MOTIVÁCIÓ, PROBLÉMAFELVETÉS A szerző célj emuttni

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 2. FIZ2 modul. Fizika feladatgyűjtemény

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 2. FIZ2 modul. Fizika feladatgyűjtemény Nyugt-mgyrországi Egyetem Geoinformtiki Kr Csordásné Mrton Melind Fiziki példtár 2 FIZ2 modul Fizik feldtgyűjtemény SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény

Részletesebben

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória 1. ktegóri 1.1.1. Adtok: ) Cseh László átlgsebessége b) Chd le Clos átlgsebessége Ezzel z átlgsebességgel Cseh László ideje ( ) ltt megtett távolság Így -re volt céltól. Jn Switkowski átlgsebessége Ezzel

Részletesebben

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá

Részletesebben

KÉRDŐÍV A SZOCIÁLIS SZOLGÁLTATÁSOKRÓL ÉS GYERMEKELLÁTÁSOKRÓL 2010

KÉRDŐÍV A SZOCIÁLIS SZOLGÁLTATÁSOKRÓL ÉS GYERMEKELLÁTÁSOKRÓL 2010 KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Telefon: 345-6 Internet: www.ksh.hu Adtszolgálttóinknk Nyomttványok Az dtszolgálttás sttisztikáról szóló 1993. évi XLVI. törvény (Stt.) 8. (2) bekezdése lpján kötelező. Nyilvántrtási

Részletesebben

Jobbra és balraforgatás

Jobbra és balraforgatás Def A P F pont (mgsság-)egyensúly: AVL f Egy(P) = h(jo(p)) h(bl(p)) Def Az F inf AVL-f, h ( P F)( Egy(P) ) tétel H F AVL-f, kkor h(f).44 lg(n + ), hol n z F f pontjink számát jelöli. Biz Legyen N m z m

Részletesebben

- 27 - (11,05 Miskolczi Ferenc megérkezett, a létszám: 21 fő)

- 27 - (11,05 Miskolczi Ferenc megérkezett, a létszám: 21 fő) 27 A ház hét minden npján progrmokkl telített. Kb. 900 fitl fordul meg hetente z állndó progrmokon. A próbák, z összejövetelek hosszú évek ót ugynzon helyen, ugynzon időpontbn vnnk. A megszokottság egyegy

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv Mátrx-vektor feldtok Összeállított dr. Slánk József egyetem djunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálnt Gusztáv 1. feldt Adottk z n elemű, b vektorok. Képezn kell c vektort, hol c = b / Σ( ), ( = 0,1,,

Részletesebben

A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2006

A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2006 A matematika alapjai 1 A MATEMATIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2006 Köszönöm Koós Gabriella végzős hallgatónak, hogy felhívta a figyelmemet az anyag előző változatában szereplő néhány

Részletesebben

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 2. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02

Részletesebben

BIOKOMPATIBILIS ANYAGOK.

BIOKOMPATIBILIS ANYAGOK. 1 BIOKOMPATIBILIS ANYAGOK. 1Bevezetés. Biokomptbilis nygok különböző funkcionális testrészek pótlásár ill. plsztiki célokt szolgáló lkos, meghtározott méretű, nygok ill. eszközök, melyek trtósn vgy meghtározott

Részletesebben

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van) Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 8. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 03

Részletesebben

ORSZÁGOS KÉSZSÉG- ÉS KÉPESSÉGMÉRÉS 2008 18323 VÁLTOZAT

ORSZÁGOS KÉSZSÉG- ÉS KÉPESSÉGMÉRÉS 2008 18323 VÁLTOZAT 4. C Í M K E É V F O L Y A M ORSZÁGOS KÉSZSÉG- ÉS KÉPESSÉGMÉRÉS 2008 18323 VÁLTOZAT Csk kkor nyisd ki tesztfüzetet, mikor ezt kérik! H vlmit nem tudsz megoldni, nem j, folytsd következő feldttl! Okttási

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 2008. jnuár 31. MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2008. jnuár 31. 15:00 ór M 2 fltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zsszámológépt nm hsználhtsz. A fltokt ttszés szrinti sorrnn olhto

Részletesebben

MARADÉKANOMÁLIA-SZÁMÍTÁS

MARADÉKANOMÁLIA-SZÁMÍTÁS MARADÉKANOMÁLIASZÁMÍTÁS **'* Kivont STEINER FERENC" okl középiskoli tnárnk Nehézipri Műszki Egyetem Bánymérnöki Krához benyújtott és elfogdott doktori értekezéséből Az értekezés bírálói: Dr csókás János

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

1144 PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK

1144 PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK ESETFELVETÉS- MUNKAHELYZET A következő fejezetekben zokkl z lpvető mtemtiki lpokkl ismerkedhet meg, melyek tudás elengedhetetlen z lpvető progrmozási ismeretek

Részletesebben

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert) GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

Együtt Egymásért. 6. Szám. Kirándulás Erdélybe. www.hkse-kup.atw.hu Kiadja a Háromhatár Kulturális és Sport Egyesület Kup

Együtt Egymásért. 6. Szám. Kirándulás Erdélybe. www.hkse-kup.atw.hu Kiadja a Háromhatár Kulturális és Sport Egyesület Kup Együtt Egymásért 2011. 6. Szám www.hkse-kup.tw.hu Kidj Háromhtár Kulturális és Sport Egyesület Kup Kirándulás Erdélybe kupi Háromhtár Kulturális és Sport Egyesület Ifjúsági tgozt második lklomml vett részt

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben