823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra A prímek összege: = 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825."

Átírás

1 Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 ( - ) ( + ) 87 0 z 88 ) + J + N ) K O - J + N K O + K O L P L P z $ J N K - O K 8 ) $ - ) O + 7 K O - 7 K + L O P c) ( )( ) A helese kitöltött keresztrejtvé ( függ elsô két számjege felcserélhetô): 8 ár A számjegek összege: 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár A számjegekkel felírhtó leggo htjegû szám: ) 0 7 ) c) d) ) 0-8 r s ) c k

2 8 Htvá gök logritmus 8 ) ) ( + )( + ) - + ( - ) + ( - ) - c) ) 0 > 00 ) 0 > c) egelôk d) < $ 7 $ 88 ) H < kkor z elsô szám h > kkor második szám go eseté két szám egelô ) Az elsô szám go 89 ) hmis ) hmis c) igz d) igz 80 ) igz ) igz 8 A htváozás zoossági ljá tört ile lkr hozhtó: ( -7 )- $ ( 9 - ) ( - ) Ie edig tudv hog - mide -re oszthtó - -vel már következik z állítás 8 A htváozás zoossági ljá tört íg lkíthtó: 7$ 9 + $ 8 8 $ + $ 7$ K + $ 8 $ M + $ 7 ( + 8) + $ 8 8 $ + ( + ) 7$ K + 7$ 8 + $ 8 8 $ + $ M + $ k 8 Legeek háromszög oldli: < < r Elég eláti hog ics ol k r ozitív egész számhárms melre + > k r teljesüle H ugis ez igz lee kkor k - r - r + > teljesüle mi feltételek mitt ilvá lehetetle A égzetgök foglm és zoossági 8 ) 70 0 ) - + c) d) 9

3 A égzetgök foglm és zoossági 9 8 ) c z ) c + r ( + ) 8 ) $ $ - $ # - # - vg $ ) $ - $ mide vlós szám mide vlós szám mide vlós szám c) - # vg $ 7 - # # 0 87 ) < - vg $ < - vg $ - # < vg $ $ $ ) > - de! # - vg > 0 < vg $ < vg $ 88 $ vg < # < vg # < 8 # < 8 89 ) A+ B :& $ 0 A- B :* # < ) A+ B :{ - # # 0} A- B :{ - 0< # } 80 A+ B :{ # -- # # # } A- B :{ -< < - } 8 ) 0 s 8 ) d z z 7 ( + ) ) $ ( - ) ) hmis ) hmis (egelôk) 8 ) igz ) hmis c) hmis (egelôk) d) igz e) igz 9 8 ) ) c) 8 d) $ $ e) 7 f) - g) h) 8 87 ) ) c) 7- d) 8- e) f)

4 0 Htvá gök logritmus 88 ) ) 8 - c) - ( - ) d) - ( - ) e) 7 $ 0 0 f) - l + l - g) + -^- h h) i) ) ) ) ) 00 9 c) rt ^ + h 8 ( - ) - ( + ) ) 9 s t ) ( - ) + c) d) l - l e) f) ics értelme ) + ( + + ) 8- ( ) ( + ) ) ( - ) c) ( - ) ) + l - l 7+ 7l + l ) - + l + - l + - l

5 A égzetgök foglm és zoossági 87 ) + l - + l + l + l_ + i ) - l + l l + - -l c) + l + l - + l 88 ) + - l l ) + l - l + l c) _ -i -l + l+ + l 89 ) 870 ) 87 ) 7 ) c) ) c) d) - + ) ) - l + l ) 7 + l7 - l 8 c) 0 - l0 + l 99 d) + l - l -8 e) - l 7 + l f) + 0 l - 0 l - 7 l + 7 l g) 8 h) + l - l 87 ) - l + l ) c) +

6 Htvá gök logritmus 87 ) 8 ) c) 87 ) ) c) ( - ) + ( - ) ( + ) + + d) - 87 ) ) l c) d) + l e) + l + l l + l + - ( + ) l - + l - f) c+ - m - g) l + l _ - i l 0 -l + + e + - o + l

7 A égzetgök foglm és zoossági 877 ) e o l tehát kifejezés étéke: 0 ) kifejezés egtív c) kifejezés értéke: d) kifejezés egtív e) kifejezés értéke: ) kifejezés értéke: )A helese kitöltött keresztrejtvé: 879 ár A kéezhetô hétjegû számok szám: 880 ) ! 0! $! ) l + l- $ ) Emeljük égzetre és hszáljuk fel hog - l+ l A kifejezés értéke: ) A zárójele szerelô kifejezés - - A végeredmé: - c) - + d) A zárójele szerelô kifejezés Íg z eredmé: - - e) A kifejezés második tgj: A végeredmé: + l f) A kifejezés elsô tgj: - + A végeredmé: g) Az elsô zárójele szerelô kifejezés: + l A végeredmé: 88 ) Midkét oldlt égzetre emelve dódik z egelôség ) Midkét oldlt égzetre emelve dódik z egelôség

8 Htvá gök logritmus 88 A l oldl midkét törtjéek evezôjét gökteleítve zárójeleket felotv és összevov izoítdó egelôség: - l + + l Ie égzetre emelés utá dódik z egelôség 88 A elsô égzetgökök ltt teljes égzetek szereelek: l 88 Szorozzuk meg midkét oldlt ^c+ h^c+ h közös evezôvel Ie átredezés kiemelés égzetre emelés mjd összevoás utá c _ c - - i 0 lkr jutuk miôl már következik izoítdó állítás 887 Megmuttjuk hog h > kkor < Ugis égzetre emelés utá + - < zz - < Eze ötlet ljá feldt ) ) része már köe igzolhtó 888 Az elôzô feldt ljá ez is köe igzolhtó 889 Emeljük égzetre midkét oldlt mjd összevoás utá hszáljuk fel hog d c A $ 0 egelôtleségek kell teljesülie Árázoljuk számláló és evezôe szerelô másodfokú kifejezéseket eg koordiát-redszere A evezô zérushelei: és 00 számláló zérushelei: és H # 00 kkor z értelmezési trtomá 890 egetle rímet sem trtlmz H > 00 kkor z értelmezési trtomá: 00 < # Mivel 00 utái elsô rímszám 0 ezért megdott kifejezés értelmezési trtomá kkor em fog egetle rímet sem trtlmzi h < 0 89 Most - + ( + ) - $ 0 és > 0 egelôtleségekek kell teljesüliük A számláló zérushelei: és A evezô zérushelei: 0 és 00 Az értelmezési trtomák midekée eleme ezért < kell hog lege

9 Az -edik gök foglm és zoossági 89 A - + ( + ) - $ 0 és - + > 0 egelôtleségekek kell teljesüliük A evezô zérushelei: és 7 számláló zérushelei és (lásd ár) 89 Az értelmezési trtomá: # < vg 7 < # Az értelmezési trtomá kkor lesz otos d rímszám h 7 # < 9 zz # < 8 89 A feltételek szerit: zz + ( - ) Eek z - másodfokú egeletek csk kkor lehet egész megoldás h diszkrimiás égzetszám: ( -) -( - ) K ho - 9 R Ez csk -re teljesül ho edig # 00 Azt vizsgáljuk hog z elsô két tg összege mile eseté lesz go hrmdik tgál: > Négzetre emelés utá következôre jutuk: 00 - > zz < 00 Ezek szerit h < 00 kkor kifejezés értéke ozitív h 00 kkor kifejezés értéke 0 h 00 < # 00 kkor kifejezés értéke egtív Az -edik gök foglm és zoossági 89 ) - - ) c) - - d) ics értelme ics értelme ics értelme -

10 Htvá gök logritmus 89 c 897 ) $ $ $ $ $ ) $ $ $ $ 898 ) $ k $ $ + k$ k k ) $ c d $ cd $ k ) c d 90 ) ) z m 7 0 c _ + i ) 8 ` + + j 8`m + m j 8`- + j c) ) 0 ) c) ) ) k k + k k k+ m m c) d) J N 90 ) K z O r L P ) - m- 90 ) 7 7 ) 0 90 ) ) m k c z r

11 Az -edik gök foglm és zoossági Az + _ + i` - + j és - _ - i` + + j zoosságok ljá ) 7 ) 909 Az elôzô feldt zoossági ljá ) + ) - 90 ) ) z c) 8 9 ) 9 8 ) 9 0 J N J c) K O N J K 7 O N J K 9 O N K O L P L P L P L P 9 ) 9 9 J N ) 9 K O 8 L P c) m ) igz ) igz c) hmis d) igz e) igz 9 ) hmis ) hmis c) igz d) igz e) hmis f) igz g) igz 9 ) 8 $ 0 $ ) 9$ 7 $ $ 7 $ J N 97 ) K O J N J K O N 7 K O L P L P L P J N ) K O L P c) 7 0 d) m 0 e) J N K O L P m 7 0 7

12 8 Htvá gök logritmus 7 98 ) 0 0 m ) 7 0 J N 7 c) K O 0 7 L P m 99 ) l ) l 90 ) l ) $ c) d) $ - $ + $ - e) + d m - m m + l 9 A szögletes zárójel elsô tgj: 7 7 m m m- Eek felhszálásávl kifejezés: m 9 Vigük át l oldl utolsó tgját jo oldlr mjd emeljük köre mikét oldlt: - $ 7 + $ 9-7l 9 Lege kifejezés értéke k Tegük úg mit z elôzô feldt esetée: 7 - $ + 9$ k - l A mûveletek elvégzése és megfelelô átlkítások utá kjuk hog csk k lehet Ezek utá izoítsuk e z elôzô feldthoz hsoló hog 7 - $ + 9$ + 9 Az egelet íg lkíthtó: k k + k $ zz Ie k - -k - 0 ( -)( k - ) Ie edig k vg fordítv k k

13 Törtkitevôjû htváok 9 9 Az elôzô feldthoz hsoló átlkítást végezve zt kjuk: _ -i_ - i Ie vg fordítv 9 A kifejezés íg lkíthtó: - l + l $ A megfelelô mûveletek elvégzése utá kjuk hog kifejezés értéke: Törtkitevôjû htváok 97 ) 0 ) 8 7 c) ) 0 ) 9 c) c 8 d) 90 $ m 0 $ 9 $ 8 9 ) igz ) hmis c) hmis d) hmis e) igz 9 ) igz ) igz c) igz d) hmis 9 ) igz ) hmis 9 7 r m k 9 ) r s 7 9 ) 8 c) c 9 m m 0 7 0

14 0 Htvá gök logritmus 9 c 8 97 ) ) m - 98 ) ) - m - 99 ) - ) c - c 90 ) $ 8 ) + c 9 ) `m + j _ m- i ) c) rs A logritmus foglm és zoossági 9 ) 0 ) c) d) e) ) ) ) igz ) igz c) hmis d) igz e) igz f) hmis g) igz h) igz i) hmis j) igz k) igz l) igz m) hmis ) igz o) hmis ) igz ) hmis ) 00 ) c) 7 0 d) 7

15 A logritmus foglm és zoossági 97 ) ) ) > 7 8 > > - > ) > > > > 99 ) > -! >! >!- 0 > 7! 0 ) - < < < < > c) > > < vg > 7 < - vg > 7 90 ) < >!- < - >!- < 0 > 9!-! 0 ) < - > < > < < < - > c) < - 7 < < 7 < - 7 0< < < < 0 üres hlmz d) < # 9 < # $ 9 ) < < 9 8! < # # <! ) < -- < < > < -- < < < < > 9! 9! 9 Jelöljük R-rel z dott kifejezések értékkészletét! ) R # 0 R # R # 8 ) R # R # - R # 9 ) 0< R # R $ R $ ) R # 0 R # 0 R > 0 R # - 9 A helese kitöltött keresztrejtvét 9 ár muttj 9 A helese kitöltött keresztrejtvét 9 ár muttj 9 9

16 Htvá gök logritmus 9 ) lg lg + lg + lg c lg lg + lg + lg lg lg 0 + lg m+ lg lg lg + lg ( r+ s) lg lg ( + ) + lg ( - ) ) lg lg + lg + lg c lg lg + lg + lg + lg r lg lg ( m+ ) -lg ( m- ) lg lg + lg + lg c-lg - lg T 97 ) lg lg + lg -lg - lg lg lg + lg r+ lg r -lg lg lg m+ lg - lg r lg lg + lg + lg + lg + lg -lg r- lg s ) lg lg + lg -lg - lg lg lg + lg - lg - lg ( + ) lg lg m+ lg - lg ( m+ ) -lg ( m- ) lg lg m + lg - ( lg m + lg ) R V S W c) lg lg + lg - lg S W TR X V S W lg lg + lg -lg -lg S W JT X N lg lg m- lg K O L P J J NN lg K lg s+ lg s+ lg r- lg s+ lg r K _ i O K O L L PP 98 ) m r ) $ $ J N r K O L P 99 ) c r 90 ) ) c) d) 9 ) ) c) 9 ) ) c) 9 ) - ) c) d)

17 A logritmus foglm és zoossági ) ) $ $ lg 7 lg + lg lg lg + lg E két egelôség öszszege: lg + lg + lg lg + ho lg + 99 lg 8 lg + lg lg 7 lg + lg A lg - és lg - - e kétismeretlees elsôfokú egeletredszer megoldás: lg - lg - Tehát lg lg + lg 970 lg ( 0!) lg + lg + lg + lg + lg + lg 7 + lg 8 + lg 9 + lg 0 + m+ k+ k 97 log 0 ( log + log ) + 97 A feltételôl log - log zz log Írjuk át kiszámítdó meiséget lr log log - log - - log - 97 A feltételekôl log log log c + log + log + log c + + log c + Ie + log c tehát log - + ( + ) ( + ) + c

18 Htvá gök logritmus 97 Elôször zt izoítjuk hog < log+ log Osszuk el midkét oldlt -vel: < log + log Mivel < < íg jo oldlo eg -tôl külöözô ozitív számk és recirokák összege szereel melrôl tudjuk hog go -él Az egelôtleség másik oldlák izoításához vezessük e log ismeretlet + < zz < Ez utói egelôtleség megoldás: < < Mivel < log < ezért z eredeti egelôtleség igz 97 ) Térjük át l oldlo lú logritmusr! ) Térjük át jo oldlo lú logritmusr! c) Vegük midkét oldl lú logritmusát és lklmzzuk logritmus megfelelô zoosságát! d) Térjük át l oldl midhárom téezôjée ugol lr (l lr)! 97 ) Az egelôség jo oldl íg lkíthtó: logc logc + logc logc log c + log + logc logc logc log c ) Térjük át z egelôség l oldlá lr: log log + log log + log c) Térjük át z egelôség l oldlá lr! d) Az egelôség l oldl íg lkíthtó: 0 log + log + log + log log( $ $ $ ) log 0 $ log 977 Írjuk át midkét oldl mide tgját lr: log log ( c- ) + log ( c+ ) log ( c - ) ho c - ez edig Pitgorsz tétele szerit vló igz 978 Az egelôség íg lkíthtó: log m log + log log ho m ez edig jól ismert mgsságtétel 979 Térjük át mide tg és téezôe lr! A l oldl: log $ log log $ log

19 Neheze feldtok témkörôl A jo oldl: - log log - log log log - log log $ log log - log log $ log A l oldlt és jo oldlt összevetve ezt kjuk: log ho log 980 Mivel ( + )( - ) íg vló log - ( - ) log ( + ) log log $ log $ log $ log log 98 A l oldl midkét tgj - (lásd elôzô feldt) 98 Térjük át lr: - _ log! i log! log + log + log + f + log f +!! ( logi ) log log log log i i i Neheze feldtok témkörôl 98 Elôször kiszámítjuk A-t és B-t J N J 9 - N ( ) A K O - K O K O K O L P L P - J N B - log K 8 O L P A C meiségek csk kkor v értelme h > 0 ho - 0 < < Mivel ( + ) + ezért C log8 ( ) # log8 Ezek szerit csk A lehet mérti közé: A B$ C $ log8 ( ) zz ho -!

20 Htvá gök logritmus 98 H log log log ( + ) k kkor k k k k és + k k J N J N k k k k vgis + zz K + O K O L P L P k J N De K tg O íg ezt kjuk: L P tg + zz tg + tg tg - 0 Ie szó jöhetô tg - ho 98 > 0 A $ 0 egelôtleség megoldás: # vg $ 9 Ezek szerit ) log # vg log $ 9 ) log # vg log $ 9 Az ) esete # vg 9 $ A ) esete - # log # vg log # - vg log $ zz # # vg 0 < # vg $ 8 8 Árázoljuk eg számegeese z A és B hlmzok elemeit: 98 A B - A hlmz elemei: < # vg 8 # <

21 Neheze feldtok témkörôl 7 98 Mivel log z 9 + log + 9log z ezért z egelôtleség l oldl íg írhtó: log + log z+ logz > 8 log log z log z De 9 J log N log + $ + log K log O L P Itt jo oldlo eg ozitív számk és recirokák összege szereel mi leglá Ezek szerit 9 J log N log + $ + $ log K log O L P vgis log + log z+ logz $ 8 log log z log z Egelôség kkor teljesüle h log log z logz lee ho z 0 vg z lee tehát z eredeti egelôtleség vló igz 987 A kitûzött egelôtleség l oldl: ( log + log ) + tehát ( log + log ) + > ( log + log ) log + log + log + log log + log + log + log Már csk zt kell elátuk hog log + log! zz log > > + - Y 0 log Mivel másodfokú egelet diszkrimiás -0 íg z egelôtleség és ezzel z eredeti egelôtleség is teljesül 988 Lege c Azt kell elátuk hog + + c > + c+ c + + c --c- c> 0 ( - ) + ( - c) + ( - c) > 0 Ez edig ilvávló

22 8 Htvá gök logritmus 989 A feldt megoldásák godoltmeete zoos 97 feldt megoldásávl 990 A C meiségél térjük át közös (l -es) lr: log C log $ $ log log A másik két meiségre: A log log 9> log 8 < B log log9 < log9 7 Tehát sorred: A> B> C 99 H! kkor (áttérve mide tg lr): log k log k log k log k log + log + log + log Modellezve ezt z egelôséget: ho Ie log 0 íg vló 99 Az lái feltételekek kell teljesüliük: ) - > 0 ) > 0 c) log ( - - ) + log( - ) + $ 0 ) esete > ) esete másodfokú kifejezés zérushelei: és - tehát - < < c) esete $ 0 egelôtleséget kell megolduk E másodfokú kifejezés zérushelei: és - tehát - # log( - ) # ho # # 8 Midhárom feltételt figeleme véve z értelmezési trtomá: - < # - vg # < 99 Az lái feltételekek kell teljesüliük: - 8$ + $ 0-8 $ + $ > 0 Az egelôtleségek megoldásit árázoltuk z lái számegeese: 99 Az eredeti kifejezés értelmezési trtomá: - < #

23 Neheze feldtok témkörôl 9 99 Az > 0! $ 0 log > log feltételekek kell teljesüliük Az eredeti kifejezés értelmezési trtomá: # < 99 A megdott kifejezés íg írhtó: log ( -) - log log log log 99 Mivel 8 - ezért - loglog log log log - log 997 A tégll koordiátái árhuzmosk tegelekkel megdott egees edig áthld z átlók metszésotjá A tégll T területe: 8 T ( lg 8 -lg )( lg - lg 8 ) lg $ lg $ lg 8 Az átlók O metszésotj: lg + lg 8 lg O lg lg 8 + lg 7 O lg E koordiáták kielégítik z + egeletet tehát 7 lg lg + ho lg Tehát tégll T területe: J N 8 T lg $ K O 9 L P H 0 kkor H 0 kkor log log Az egees és tegelek lkott háromszög T területe: -

24 0 Htvá gök logritmus T log $ log $ - zz log ho 9 vg 9 H 9 kkor z egees egelete: - 9 Eek tegelekkel lkotott metszésotji: H kkor Ekkor metszésotok: - 9 Tehát két egevágó háromszögrôl v szó Ezek átfogój: J 9 N J 9 N 9 + K O K O L P L P Tehát háromszög K kerülete: K + + $ ( + ) 999 A V térfogt: V log $ log $ log log Az A felszí: A $ ( log log + log log + log log ) A $ [ + log ( log + log )] $ [ + V( log + log )] A J N $ + log + log V K V O L P De log + log $ íg jo oldlo zárójele levô meiség go mit zz A > V és ée ezt kellett elátuk

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

Matematika összefoglaló

Matematika összefoglaló Mtemtik összefoglló A középiskoli tg vázltos áttekitése, gkorló feldtok Összeállított: Deák Ottó mestertár Áltláos- és Felsőgeodézi Tszék Mtemtik kozultáció z I. évfolmk A emuttó vázlt Bemuttkozás, kozultáció

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Árki Tamás Konfárné Nagy Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János. sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK. Mozaik Kiadó Szeged, 2009

Árki Tamás Konfárné Nagy Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János. sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK. Mozaik Kiadó Szeged, 2009 Árki Tmás Konfárné Ng Klár Kovács István Trembeczki sb Urbán János sokszínû FELDTGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK 0 Mozik Kidó Szeged, 009 TRTLOMJEGYZÉK TRTLOMJEGYZÉK Megoldások 0. évfolm 0.. Gondolkodási módszerek

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy

Részletesebben

24. tétel Kombinatorika. Gráfok.

24. tétel Kombinatorika. Gráfok. Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 4. tétel Komitori. Gráfo. Komitori: A mtemti zo elméleti területe, mely egy véges hlmz elemeie csoportosításávl, iválsztásávl vgy sorrederásávl fogllozi. Permutáció

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

é ö é Ö é ü é é ö ö ö ü é é ö ú ö é é é Ő ö é ü é ö é é ü é é ü é é é ű é ö é é é é é é é ö ö í é ü é ö ü ö ö é í é é é ö ü é é é é ü ö é é é é é é é é é é é é é é é ö é Í ö í ö é Í í ö é Í é í é é é é

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2011. jnuár 21. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 04 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK EMELT SZINTÛ FELADATSOROK. Feldtsor / A megoldások. A bl oldlon álló tört értelmezési trtomán : ³ 0, ¹ 0, zz 0, 0,. Bõvítjük törtet z + összeggel: = 0, íg hándosuk

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

2. modul Csak permanensen!

2. modul Csak permanensen! MATEMATIKA C. évfolym. modul Csk permnensen! Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok A htványzonosságok

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP

MATEMATIKA FELADATLAP MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt :00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 05 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt3 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 20. jnuár 28. 1:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek MATEMATIKA A 10. évfolym 14. modul Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidr Gábor Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek A modul

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERFORRÁS MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május. Mtemtik emelt szint

Részletesebben

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m Hegyesszögek szögfüggvényei Feldt: Kovás slád hétvégén kirándulni ment. Az útjuk során egy 0 -os emelkedőhöz értek. Milyen hosszú z emelkedő, h mgsság 45 méter? Megoldás: Rjzoljuk le keletkezett háromszöget!

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik

Részletesebben

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV Mtemtik Második kötet 10 KÍSÉRLETI TNKÖNYV tnkönyv megfelel z 51/0 (XII. ) EMMI rendelet: sz. melléklet: Kerettnterv gimnáziumok 9 évfolym számár.04 Mtemtik 6. sz. melléklet: Kerettnterv szkközépiskolák

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2011. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2011. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk szóeli vizsg leírás: z emelt szintû szóeli vizsg z Okttási Hivtl áltl kidott tételsor

Részletesebben

Függvények, 7 8. évfolyam

Függvények, 7 8. évfolyam Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 01. június 8. TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii

Részletesebben

ő ü ő ľ ü Ü Ü ľ ź ő ľ ľ ő ő ü ľ ő ö ü ľ ő ő ü ú ź ö ö ö Ĺ ő ö ľő ő ú ű ö ö ľ ü Ę ú ő ü ö ľ ź ő ľ ů ö ľ ź ő ľ ő ö ö ľ ľő ľ Í ő ľ ő ľü ľ ő ľ ľ ź ľ ö ü ú ű ź ő ľ ľ ľ ľ ú ú ľ Á ľ Í ő ö ü ő ź ź Í ö ľ ő ľ ő

Részletesebben

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK Sokszínű matematika /. oldal. feladat a) = Mivel mindegik hatván alapja hatván, ezért átírjuk a -et és a -ot: = ( ) Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot! ( ) = A bal oldalon az azonos alapú hatvánok

Részletesebben

TANÍTÁSA A MATEMATIKA MÓDSZERTANI FOLYÓIRAT. Egy alapozó tárgyhoz kapcsolódó felmérés eredményei (Dékány Éva Székely László Veres Antal)

TANÍTÁSA A MATEMATIKA MÓDSZERTANI FOLYÓIRAT. Egy alapozó tárgyhoz kapcsolódó felmérés eredményei (Dékány Éva Székely László Veres Antal) A MATEMATIKA TANÍTÁSA MÓDSZERTANI FOLYÓIRAT Egy lozó tárgyhoz kcsolódó felmérés eredméyei (Dékáy Év Székely László Veres Atl) Az meriki elök Deeg- Pckel-féle htlmi idexérôl (Csete Ljos) Írjuk dott rlelogrmmáb

Részletesebben

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai Dr Gerőcs László Számdó László MTEMTIK 0 tnkönyv feldti és feldtok megoldási megoldások olvsásához crobt Reder progrm szükséges, mely ingyenesen letölthető z internetről (például: dobelhu weboldlról) feldtokt

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 2009. jnuár 23. MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2009. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû mtemtik. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Logik, bizonítási módszerek. Logiki feldtok, kijelentések. Feltéve, hog középsõ kérdésre válszolt: középsõ

Részletesebben

É Ü ö Ü ú Ú ű Ó Ó ű ö Ó Ó ú ű Ü Ö Ó Ó ö Ó Ő ű Ó Ó ú Ü Ü Ó Ó Ó Ü Ó Í Í ö ö ö ö ö ú ú ö ű ú ö ö ö ú ö ú ű ö ö ű ö ö ö ű ö ö ö ú ö ö ú ö ö ö ö ö ú ö ö ö ö ú ö ú ö ö ö ö ö ö ú ö ö ö ö Í ö Ö ö ú ö ö ö ö Ó Í

Részletesebben

Í Ő É Ó É é Ö Á Á Á Ó é Ó é ö é Ö ű ö é ö ű ö é ö é é é é é é é é é é é é é é é é é é ü é é é Í é é é é ü é ö ü é ü é é ö ö é ú é é ü é é ü é é ü é ü é é é ú é Ó é é ú é ü é é ö é ö é Á Á Á Ó é Ó Í é ö

Részletesebben

ö í Ö Ó ü í ü ö Ö ö ü ü ö ö ö ö Ö ü ö ö Ö ü Ű Ö ö ü ú ű ö ö í ö ö í ü ö ö í í ö Á É ö Ö í ö Ö ü ö Ö ö ö ö ö ö ü í ü ö í ü ö ö ö Ö ü ö í ü í ö ö ö Ö ü ö Ö í í ö Ö ü ö Ö í ü ö Á É ö Ö í ü ö í ö ű ö ö ű ö

Részletesebben

ő ő ű í ó ú í ó í ó Á Á Á É ű ő ó ó ő ó ő Á É ó Á É ú Á É É Á ó Á Á Á Á Á É É ó Á É í É É í É ú ú ú ó ó Ö ú É ú ó ő ú ó í É É É É Ö Ö É Á É É É Ő Ó É ő ó ó í ő ú ő ő ű í ó ú Ő Ö ú É ú ú ő ő É É ő ő ő ő

Részletesebben

ü ő ő ü ő ő ö ö ő ö í ü ő í ö ö í ő ö ő ű ú ő í ü ő ö ő Í ö ö ő ö ö ő ő ö ő í Í í ü ö ő í ü ü ú ü ö ö ő ü ő ö ő í ü ő í ö ö ő ő ő í í ő í ő ő Á Ó Í í í ő ű ú ő í í ő ő Í ő í ő í í Í í ő í ő í ő ő íí ő

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

ú ü ö ĺ í ö ĺ í ĺ ĺ Ż ü É í ü Ż ö í ö í đ ĺ ę ęí ü í ó í í í ö Í ű Ż Ż ú ĺ í ü ö É Ż ö ó Ą ú Ż í Á Á ö ú í í ö ó í í Ĺ í í í í í í ę í ü Í ó ó ó ö ó í ó í ó í ĺ ö ü ö ó ó ó ť ö ö í í ö ó í í Ö ö ö ü ú

Részletesebben

Sokszínû matematika 10. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 10. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû mtemtik 0. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Összeállított: FRÖHLICH LAJOS gimnáziumi tnár A Gondolkodási módszerek és Vlószínûségszámítás c. fejezeteket szkmilg ellenõrizte: DR. HAJNAL PÉTER egyetemi

Részletesebben

ő ü ó ľ ő ľ Ü Ő ľ ü ü ľ ľ ľ ő ź ő Ĺ ę ö ö ľ ľ ő ó ľ ľ ö Ĺ źýź ü ź ő ö ö ü ő ő ó ö ü źů ü ő ö ö ö ü ů ö ö ö Ĺ ő ü ö ö ü ů ź ó ý ű ö ę ő Ö ź ű ü ü ő ý ę ő ü ó ę ó ó ö ü ö ó ę ę Ü ö ü ź ü ń ľ ö ő ű ö ü ó

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

Név:... osztály:... Matematika záróvizsga 2010.

Név:... osztály:... Matematika záróvizsga 2010. Mtmtik záróvizsg 00. Név:... osztály:.... Az lái rjzon gy thrutó rktrénk vázltos rjz láthtó. Az árán olvshtó számtok, rkoásr ténylgsn flhsználhtó térfogtr vontkoznk. Mkkor thrutó hsznos rktrénk térfogt?

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

[A MINŐSÍTETT MÉRŐESZKÖZÖK KEZELÉSÉNEK TÁRGYÁBAN KÉSZÍTETT FELMÉRÉS ÖSSZEGZÉSE]

[A MINŐSÍTETT MÉRŐESZKÖZÖK KEZELÉSÉNEK TÁRGYÁBAN KÉSZÍTETT FELMÉRÉS ÖSSZEGZÉSE] 2011. Egészségügyi Szkképző és Továbbképző Itézet [A MINŐSÍTETT MÉRŐESZKÖZÖK KEZELÉSÉNEK TÁRGYÁBAN KÉSZÍTETT FELMÉRÉS ÖSSZEGZÉSE] Részletek z értékelésből A miősített mérőeszközök kezelése részletek z

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 2007. jnuár 26. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2007. jnuár 26. 15:00 ór M 1 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 7. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02

Részletesebben

ú ľ ú ŻŻ ő ó ľó í ó ł ó ĺ ľó ĺ ü ĺ ĺĺ ĺ ő ĺ ü ĺ ľ ő ü Í ó ľ Í ĺ őí ó ó ľ í ó í ő ó í ö í íľ í í ľü ó öľ í ľ ö ľü ó í ľ ő őľ ü ö ö Ó í Ż ľ ó í ő ü ő Ĺ ľ ó ö ę ę ó í ĺ ö í ö ü ó ź ľ ú ő ĺ ó ü ĺ í í ü í í

Részletesebben

Öĺ ú Ö ö ú ö ö Í ö ö ń ĺ ú đ ö ú ö ö ę ö ö ö Í ö Í ö ö ö ę ĺ ű ĺż ĺ ĺ ú ö ú Ĺ ö ę Ĺ ö źł ĺ ú Ö ł Í ö ö ú ö ö ö ö Í Í ĺ ú ö ĺ ú ł ö ú ö ĺ ń ö ź ö ö ń ł Í ą Á ú Š ĺ ö ö ź ú ĺ ú Ö ö ĺ ĺ ń ĺ ö ĺ ę ł ł ĺ ł

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 3. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 03

Részletesebben

Dr Polgár Mihályné Érdekes matematikai feladatok matek.fazekas.hu

Dr Polgár Mihályné Érdekes matematikai feladatok matek.fazekas.hu / KÜLÖNBÖZİ SZÁMHALMAZOK ) Kkukktojást keresünk! ) b) 60 0 0 8 6 8 0 c) d) π 8 0,000. 0,666. 0 0.) (nincs értelmezve 0-vl vló osztás) kidobjuk! 0 A megmrdt számhlmzbn 8 irrcionális szám: : dobjuk ki! nem

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Anlízis A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1 Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

ő ľ ü ó ő ü ý ő ľ ő ź ü ú ü ó ó ľ ú őľ ó ó ľ í ő ľ ő ó ő í ü ľ ö ü źů ü ý ľ ľ ľ ó ľ ý ű ő ý ő ü ý ű ź Í őľ ó ó ő ő ö ö ó ő đ ő ź ľ ý í ő ľ ę ü ę ľ í í ę ę ő ľü í ľ ö ę ö ľ ú đ đ ó ü ó ő ľó ľ ę ő ó í Ĺ

Részletesebben

ú ú Ż ę ęĺ ą ł ő ú Ö ő ü ü ö ó ö ź ő ö ő ó ó ö Á ó ó í ö í ö ó ó ő í ö ü ö ö ü ö ö ú ő Ĺ ö ó í ö ú í ü ö ü ö ó ó ő Ą ö ő í ó ó ü ó ő Ź ö í Í ő í í ö ű ö őł ü í ö ö ő ó ő ő ó ö ö ö ö ő ü ö í í ű ó ó í í

Részletesebben

Az azonosságok tanításáról I.

Az azonosságok tanításáról I. Oktssuk vgy buktssuk Mjoros Mári 006. okt. Az zoosságok tításáról I. Dr. Mjoros Mári Az zoosságok tításáról I. Aki egpróbált ár idege yelvet tuli, tpsztlhtt, hogy yelv iseretéek és helyes hszálták tetiki

Részletesebben

Í Á Ó É é ü ö ö é Ö é ü é ő ő é ő ő é é ő ö ó é ó é é é ő í ő ő ö ö é é í ő ú é ő é ü ö ö é ó é é í é é ő é é ü í ő í é í é ő é ü ö é ő é é í é é í é é ó ő ő é ö é ő é ő í í é ő ő ó ö É ó É Á É Í É ü ú

Részletesebben

Perspektíva (Kidolgozott feladatok)

Perspektíva (Kidolgozott feladatok) Perspektí (idolgozott feldtok) 1. feldt z 1.. ábrán egy épület két etületét (megfelelõ kicsinyítésben) és etítõ rendszert dtk meg. Szerkesszünk perspektí képet! megoldás során z átmetszõ módszert sználjk

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8. Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Néhány egyszerű tétel kontytetőre

Néhány egyszerű tétel kontytetőre Néhány egyszerű tétel kontytetőre ekintsük z ábr szerinti szimmeikus kontytetőt! ábr Az ABC Δ területe: ABC' m,v; ( ) z ABC Δ területe: ABC m ; ( ) z ABC* Δ területe: ABC* m ( 3 ) Az ábr szerint: m,v cos

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji AOK - Rezides képzés Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi műveletek (operációk) tudomáyos kuttási

Részletesebben

:.::-r:,: DlMENZI0l szoc!0toolnl ránsnnat0m A HELYI,:.:l:. * [:inln.itri lú.6lrl ri:rnl:iilki t*kill[mnt.ml Kilírirlrln K!.,,o,.r*,u, é é é ő é é é ő é ő ő ú í í é é é ő é í é ű é é ő ő é ü é é é í é ő

Részletesebben

Ü Éü É ü í í Í ö Ü Ú ú Ó í ő í Ö ű ö Ó ú Ű ü í Ó ö Ó Ü Ó Ó í í ú í Ü Ü ő Ú Ó Ó í ú É ÉÉ É Á Ü Ü Ü Ú ő í Ő Ó Ü ő ö ü ő ü ö ú ő ő ő ü ö ő ű ö ő ü ő ő ü ú ü ő ü ü Í ü Í Á Ö Í É Ú ö Í Á Ö í É ö í ő ő í ö ü

Részletesebben

ú Ú Ö É ú ü í í ü í í í í ü Ú í ű í ú ü ü í í ü ü í ü ü ú Í í ű í ü ü Ü í í ü í ú ű ú ú í í ü ú í ü É ü Ö í í ü ú ű í í ü í ű í í Í Ö í í ü Ö ú É Í í í í ü ű ü ű ü ü ü ü í í í í ú í ü í ú É ü ü ü ü í ü

Részletesebben

ó ó ú ú ó ó ó ü ó ü Á Á ü É ó ü ü ü ú ü ó ó ü ó ü ó ó ú ú ú ü Ü ú ú ó ó ü ó ü ü Ü ü ú ó Ü ü ű ű ü ó ü ű ü ó ú ó ú ú ú ó ú ü ü ű ó ú ó ó ü ó ó ó ó ú ó ü ó ó ü ü ó ü ü Ü ü ó ü ü ü ó Ü ó ű ü ó ü ü ü ú ó ü

Részletesebben

Á ű ő ö Í é é ő Ö Ö é ő Ö ő ö é é Ö ü é ó Ő é é ó é ó é é é é Ö ó ó ő é Ü é ó ö ó ö é é Ő ú é é é é ő Ú é ó Ő ö Ő é é é é ű ö é Ö é é ó ű ö é ő é é é é é é é é é Ö é Ö ü é é é é ö ü é ó é ó ó é ü ó é é

Részletesebben

Ü Ö Á Á Á Á Á É ű Ü Ú ű ű Á É ű Ú Ü ű Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Á Ü Ü Ü Ö Ö Ú Ö Ü Ö ű ű ű ű ű Á ű Ú ű ű ű ű ű É Á Ö Ö Ö ű ű ű Á ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ü Ü Ü Ü ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű ű ű ű Ü Ö Ü Ó Ö ű ű ű

Részletesebben

Ö Ó ú É ű É Ö Ö Ö Ü Ó Ú É ú É Ü Ú ú Ü ű ú Ü Ö Ö ú ű Ú ű ű ú Ö Ö Ö Ö É ú ú Ő Ö ú Ü Ó ú Ú Ü Ö ű ű ű Ö ű ú Ó ű Ö Ü ű ú ú ú ú É ú Ö ú ú Ü ú Ó ú ú ú ú ú ú ű ű ú ű ú ú ű Ö ú ú ú ű Ö ú ű ú ű Ü Ö Ü ű Ü Ö ú ú Ü

Részletesebben

ű Ő ű Ü Ü Ü ű ű Ú ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű Ú Ü Ő ű Ö ű Ü ű Ö ű Ú ű ű Ű É É ű ű ű ű ű ű ű Ü ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű É Ű É Ü Ü Ú É É ű ű ű Ü ű É É Ű É ű ű ű ű ű ű ű Ö Ó ű ű ű ű ű ű Ö É Ó É É É Ü

Részletesebben

Á Á Ó É ö ó ó ó ő ő ó ö ő ő ű ó ú ö ó ó ő ó ü ó ó ő ó ó ő ó ü ó ő ő ő ó ő ő ö ó ó ó ö ö ü ö Á Á Ó ü ó ö ó ő ó ő ő Á É Á Ó ű ü ö ó ő ó ú ÉÉ ó ú ő ö ó ó ó ó ó ö ö ő ü ó ö ö ü ó ű ö ó ó ó ó ú ó ü ó ó ö ó

Részletesebben

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE

BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Mezei István, Frgó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék ii Trtlomjegyzék 1. Előszó 1 2. Hlmzok, relációk, függvények 3

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok Soozato 5 I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK I.. Soozato A legtöbb embe szóicsébe szeepel a soozat szó. Ez azt jeleti, hog edelezi valamile soozatfogalommal. Megéti, ha a miet sújtó

Részletesebben

TANÍTÁSA A MATEMATIKA MÓDSZERTANI FOLYÓIRAT. Néhány feladat a diofantikus egyenletek körébôl (Dr. Urbán János)

TANÍTÁSA A MATEMATIKA MÓDSZERTANI FOLYÓIRAT. Néhány feladat a diofantikus egyenletek körébôl (Dr. Urbán János) A MATEMATIKA TANÍTÁSA MÓDSZERTANI FOLYÓIRAT Néhány feldt diofntikus egyenletek köréôl (Dr. Urán János) Néhány összegzési feldt (Dr. Molnár István) Mi fér ele tnnyg projektív geometriáól? (Molnár Zoltán)

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2010. jnuár 22. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

ő ľ ľü ľ ľ ü Ü Ü ľ ő ľ Ő ń ľü ľ íľ ő ő źů ő í í ü ö ü ľ ź ő ö ü ő ľő ő ö ü źů ź ź í ö ľ ź ő ľ ü ö ö ź ő đí ź ľ ő ö ű í í ö ü ö í í ú ü í ź ő ő í ú í ő Ó ő ü ú í í ú í ú ő ú ľ ő ü ő ü ű ő ő í ü ö ő í ą

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár : ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg. Minden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 18. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben