823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra A prímek összege: = 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825."

Átírás

1 Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 ( - ) ( + ) 87 0 z 88 ) + J + N ) K O - J + N K O + K O L P L P z $ J N K - O K 8 ) $ - ) O + 7 K O - 7 K + L O P c) ( )( ) A helese kitöltött keresztrejtvé ( függ elsô két számjege felcserélhetô): 8 ár A számjegek összege: 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár A számjegekkel felírhtó leggo htjegû szám: ) 0 7 ) c) d) ) 0-8 r s ) c k

2 8 Htvá gök logritmus 8 ) ) ( + )( + ) - + ( - ) + ( - ) - c) ) 0 > 00 ) 0 > c) egelôk d) < $ 7 $ 88 ) H < kkor z elsô szám h > kkor második szám go eseté két szám egelô ) Az elsô szám go 89 ) hmis ) hmis c) igz d) igz 80 ) igz ) igz 8 A htváozás zoossági ljá tört ile lkr hozhtó: ( -7 )- $ ( 9 - ) ( - ) Ie edig tudv hog - mide -re oszthtó - -vel már következik z állítás 8 A htváozás zoossági ljá tört íg lkíthtó: 7$ 9 + $ 8 8 $ + $ 7$ K + $ 8 $ M + $ 7 ( + 8) + $ 8 8 $ + ( + ) 7$ K + 7$ 8 + $ 8 8 $ + $ M + $ k 8 Legeek háromszög oldli: < < r Elég eláti hog ics ol k r ozitív egész számhárms melre + > k r teljesüle H ugis ez igz lee kkor k - r - r + > teljesüle mi feltételek mitt ilvá lehetetle A égzetgök foglm és zoossági 8 ) 70 0 ) - + c) d) 9

3 A égzetgök foglm és zoossági 9 8 ) c z ) c + r ( + ) 8 ) $ $ - $ # - # - vg $ ) $ - $ mide vlós szám mide vlós szám mide vlós szám c) - # vg $ 7 - # # 0 87 ) < - vg $ < - vg $ - # < vg $ $ $ ) > - de! # - vg > 0 < vg $ < vg $ 88 $ vg < # < vg # < 8 # < 8 89 ) A+ B :& $ 0 A- B :* # < ) A+ B :{ - # # 0} A- B :{ - 0< # } 80 A+ B :{ # -- # # # } A- B :{ -< < - } 8 ) 0 s 8 ) d z z 7 ( + ) ) $ ( - ) ) hmis ) hmis (egelôk) 8 ) igz ) hmis c) hmis (egelôk) d) igz e) igz 9 8 ) ) c) 8 d) $ $ e) 7 f) - g) h) 8 87 ) ) c) 7- d) 8- e) f)

4 0 Htvá gök logritmus 88 ) ) 8 - c) - ( - ) d) - ( - ) e) 7 $ 0 0 f) - l + l - g) + -^- h h) i) ) ) ) ) 00 9 c) rt ^ + h 8 ( - ) - ( + ) ) 9 s t ) ( - ) + c) d) l - l e) f) ics értelme ) + ( + + ) 8- ( ) ( + ) ) ( - ) c) ( - ) ) + l - l 7+ 7l + l ) - + l + - l + - l

5 A égzetgök foglm és zoossági 87 ) + l - + l + l + l_ + i ) - l + l l + - -l c) + l + l - + l 88 ) + - l l ) + l - l + l c) _ -i -l + l+ + l 89 ) 870 ) 87 ) 7 ) c) ) c) d) - + ) ) - l + l ) 7 + l7 - l 8 c) 0 - l0 + l 99 d) + l - l -8 e) - l 7 + l f) + 0 l - 0 l - 7 l + 7 l g) 8 h) + l - l 87 ) - l + l ) c) +

6 Htvá gök logritmus 87 ) 8 ) c) 87 ) ) c) ( - ) + ( - ) ( + ) + + d) - 87 ) ) l c) d) + l e) + l + l l + l + - ( + ) l - + l - f) c+ - m - g) l + l _ - i l 0 -l + + e + - o + l

7 A égzetgök foglm és zoossági 877 ) e o l tehát kifejezés étéke: 0 ) kifejezés egtív c) kifejezés értéke: d) kifejezés egtív e) kifejezés értéke: ) kifejezés értéke: )A helese kitöltött keresztrejtvé: 879 ár A kéezhetô hétjegû számok szám: 880 ) ! 0! $! ) l + l- $ ) Emeljük égzetre és hszáljuk fel hog - l+ l A kifejezés értéke: ) A zárójele szerelô kifejezés - - A végeredmé: - c) - + d) A zárójele szerelô kifejezés Íg z eredmé: - - e) A kifejezés második tgj: A végeredmé: + l f) A kifejezés elsô tgj: - + A végeredmé: g) Az elsô zárójele szerelô kifejezés: + l A végeredmé: 88 ) Midkét oldlt égzetre emelve dódik z egelôség ) Midkét oldlt égzetre emelve dódik z egelôség

8 Htvá gök logritmus 88 A l oldl midkét törtjéek evezôjét gökteleítve zárójeleket felotv és összevov izoítdó egelôség: - l + + l Ie égzetre emelés utá dódik z egelôség 88 A elsô égzetgökök ltt teljes égzetek szereelek: l 88 Szorozzuk meg midkét oldlt ^c+ h^c+ h közös evezôvel Ie átredezés kiemelés égzetre emelés mjd összevoás utá c _ c - - i 0 lkr jutuk miôl már következik izoítdó állítás 887 Megmuttjuk hog h > kkor < Ugis égzetre emelés utá + - < zz - < Eze ötlet ljá feldt ) ) része már köe igzolhtó 888 Az elôzô feldt ljá ez is köe igzolhtó 889 Emeljük égzetre midkét oldlt mjd összevoás utá hszáljuk fel hog d c A $ 0 egelôtleségek kell teljesülie Árázoljuk számláló és evezôe szerelô másodfokú kifejezéseket eg koordiát-redszere A evezô zérushelei: és 00 számláló zérushelei: és H # 00 kkor z értelmezési trtomá 890 egetle rímet sem trtlmz H > 00 kkor z értelmezési trtomá: 00 < # Mivel 00 utái elsô rímszám 0 ezért megdott kifejezés értelmezési trtomá kkor em fog egetle rímet sem trtlmzi h < 0 89 Most - + ( + ) - $ 0 és > 0 egelôtleségekek kell teljesüliük A számláló zérushelei: és A evezô zérushelei: 0 és 00 Az értelmezési trtomák midekée eleme ezért < kell hog lege

9 Az -edik gök foglm és zoossági 89 A - + ( + ) - $ 0 és - + > 0 egelôtleségekek kell teljesüliük A evezô zérushelei: és 7 számláló zérushelei és (lásd ár) 89 Az értelmezési trtomá: # < vg 7 < # Az értelmezési trtomá kkor lesz otos d rímszám h 7 # < 9 zz # < 8 89 A feltételek szerit: zz + ( - ) Eek z - másodfokú egeletek csk kkor lehet egész megoldás h diszkrimiás égzetszám: ( -) -( - ) K ho - 9 R Ez csk -re teljesül ho edig # 00 Azt vizsgáljuk hog z elsô két tg összege mile eseté lesz go hrmdik tgál: > Négzetre emelés utá következôre jutuk: 00 - > zz < 00 Ezek szerit h < 00 kkor kifejezés értéke ozitív h 00 kkor kifejezés értéke 0 h 00 < # 00 kkor kifejezés értéke egtív Az -edik gök foglm és zoossági 89 ) - - ) c) - - d) ics értelme ics értelme ics értelme -

10 Htvá gök logritmus 89 c 897 ) $ $ $ $ $ ) $ $ $ $ 898 ) $ k $ $ + k$ k k ) $ c d $ cd $ k ) c d 90 ) ) z m 7 0 c _ + i ) 8 ` + + j 8`m + m j 8`- + j c) ) 0 ) c) ) ) k k + k k k+ m m c) d) J N 90 ) K z O r L P ) - m- 90 ) 7 7 ) 0 90 ) ) m k c z r

11 Az -edik gök foglm és zoossági Az + _ + i` - + j és - _ - i` + + j zoosságok ljá ) 7 ) 909 Az elôzô feldt zoossági ljá ) + ) - 90 ) ) z c) 8 9 ) 9 8 ) 9 0 J N J c) K O N J K 7 O N J K 9 O N K O L P L P L P L P 9 ) 9 9 J N ) 9 K O 8 L P c) m ) igz ) igz c) hmis d) igz e) igz 9 ) hmis ) hmis c) igz d) igz e) hmis f) igz g) igz 9 ) 8 $ 0 $ ) 9$ 7 $ $ 7 $ J N 97 ) K O J N J K O N 7 K O L P L P L P J N ) K O L P c) 7 0 d) m 0 e) J N K O L P m 7 0 7

12 8 Htvá gök logritmus 7 98 ) 0 0 m ) 7 0 J N 7 c) K O 0 7 L P m 99 ) l ) l 90 ) l ) $ c) d) $ - $ + $ - e) + d m - m m + l 9 A szögletes zárójel elsô tgj: 7 7 m m m- Eek felhszálásávl kifejezés: m 9 Vigük át l oldl utolsó tgját jo oldlr mjd emeljük köre mikét oldlt: - $ 7 + $ 9-7l 9 Lege kifejezés értéke k Tegük úg mit z elôzô feldt esetée: 7 - $ + 9$ k - l A mûveletek elvégzése és megfelelô átlkítások utá kjuk hog csk k lehet Ezek utá izoítsuk e z elôzô feldthoz hsoló hog 7 - $ + 9$ + 9 Az egelet íg lkíthtó: k k + k $ zz Ie k - -k - 0 ( -)( k - ) Ie edig k vg fordítv k k

13 Törtkitevôjû htváok 9 9 Az elôzô feldthoz hsoló átlkítást végezve zt kjuk: _ -i_ - i Ie vg fordítv 9 A kifejezés íg lkíthtó: - l + l $ A megfelelô mûveletek elvégzése utá kjuk hog kifejezés értéke: Törtkitevôjû htváok 97 ) 0 ) 8 7 c) ) 0 ) 9 c) c 8 d) 90 $ m 0 $ 9 $ 8 9 ) igz ) hmis c) hmis d) hmis e) igz 9 ) igz ) igz c) igz d) hmis 9 ) igz ) hmis 9 7 r m k 9 ) r s 7 9 ) 8 c) c 9 m m 0 7 0

14 0 Htvá gök logritmus 9 c 8 97 ) ) m - 98 ) ) - m - 99 ) - ) c - c 90 ) $ 8 ) + c 9 ) `m + j _ m- i ) c) rs A logritmus foglm és zoossági 9 ) 0 ) c) d) e) ) ) ) igz ) igz c) hmis d) igz e) igz f) hmis g) igz h) igz i) hmis j) igz k) igz l) igz m) hmis ) igz o) hmis ) igz ) hmis ) 00 ) c) 7 0 d) 7

15 A logritmus foglm és zoossági 97 ) ) ) > 7 8 > > - > ) > > > > 99 ) > -! >! >!- 0 > 7! 0 ) - < < < < > c) > > < vg > 7 < - vg > 7 90 ) < >!- < - >!- < 0 > 9!-! 0 ) < - > < > < < < - > c) < - 7 < < 7 < - 7 0< < < < 0 üres hlmz d) < # 9 < # $ 9 ) < < 9 8! < # # <! ) < -- < < > < -- < < < < > 9! 9! 9 Jelöljük R-rel z dott kifejezések értékkészletét! ) R # 0 R # R # 8 ) R # R # - R # 9 ) 0< R # R $ R $ ) R # 0 R # 0 R > 0 R # - 9 A helese kitöltött keresztrejtvét 9 ár muttj 9 A helese kitöltött keresztrejtvét 9 ár muttj 9 9

16 Htvá gök logritmus 9 ) lg lg + lg + lg c lg lg + lg + lg lg lg 0 + lg m+ lg lg lg + lg ( r+ s) lg lg ( + ) + lg ( - ) ) lg lg + lg + lg c lg lg + lg + lg + lg r lg lg ( m+ ) -lg ( m- ) lg lg + lg + lg c-lg - lg T 97 ) lg lg + lg -lg - lg lg lg + lg r+ lg r -lg lg lg m+ lg - lg r lg lg + lg + lg + lg + lg -lg r- lg s ) lg lg + lg -lg - lg lg lg + lg - lg - lg ( + ) lg lg m+ lg - lg ( m+ ) -lg ( m- ) lg lg m + lg - ( lg m + lg ) R V S W c) lg lg + lg - lg S W TR X V S W lg lg + lg -lg -lg S W JT X N lg lg m- lg K O L P J J NN lg K lg s+ lg s+ lg r- lg s+ lg r K _ i O K O L L PP 98 ) m r ) $ $ J N r K O L P 99 ) c r 90 ) ) c) d) 9 ) ) c) 9 ) ) c) 9 ) - ) c) d)

17 A logritmus foglm és zoossági ) ) $ $ lg 7 lg + lg lg lg + lg E két egelôség öszszege: lg + lg + lg lg + ho lg + 99 lg 8 lg + lg lg 7 lg + lg A lg - és lg - - e kétismeretlees elsôfokú egeletredszer megoldás: lg - lg - Tehát lg lg + lg 970 lg ( 0!) lg + lg + lg + lg + lg + lg 7 + lg 8 + lg 9 + lg 0 + m+ k+ k 97 log 0 ( log + log ) + 97 A feltételôl log - log zz log Írjuk át kiszámítdó meiséget lr log log - log - - log - 97 A feltételekôl log log log c + log + log + log c + + log c + Ie + log c tehát log - + ( + ) ( + ) + c

18 Htvá gök logritmus 97 Elôször zt izoítjuk hog < log+ log Osszuk el midkét oldlt -vel: < log + log Mivel < < íg jo oldlo eg -tôl külöözô ozitív számk és recirokák összege szereel melrôl tudjuk hog go -él Az egelôtleség másik oldlák izoításához vezessük e log ismeretlet + < zz < Ez utói egelôtleség megoldás: < < Mivel < log < ezért z eredeti egelôtleség igz 97 ) Térjük át l oldlo lú logritmusr! ) Térjük át jo oldlo lú logritmusr! c) Vegük midkét oldl lú logritmusát és lklmzzuk logritmus megfelelô zoosságát! d) Térjük át l oldl midhárom téezôjée ugol lr (l lr)! 97 ) Az egelôség jo oldl íg lkíthtó: logc logc + logc logc log c + log + logc logc logc log c ) Térjük át z egelôség l oldlá lr: log log + log log + log c) Térjük át z egelôség l oldlá lr! d) Az egelôség l oldl íg lkíthtó: 0 log + log + log + log log( $ $ $ ) log 0 $ log 977 Írjuk át midkét oldl mide tgját lr: log log ( c- ) + log ( c+ ) log ( c - ) ho c - ez edig Pitgorsz tétele szerit vló igz 978 Az egelôség íg lkíthtó: log m log + log log ho m ez edig jól ismert mgsságtétel 979 Térjük át mide tg és téezôe lr! A l oldl: log $ log log $ log

19 Neheze feldtok témkörôl A jo oldl: - log log - log log log - log log $ log log - log log $ log A l oldlt és jo oldlt összevetve ezt kjuk: log ho log 980 Mivel ( + )( - ) íg vló log - ( - ) log ( + ) log log $ log $ log $ log log 98 A l oldl midkét tgj - (lásd elôzô feldt) 98 Térjük át lr: - _ log! i log! log + log + log + f + log f +!! ( logi ) log log log log i i i Neheze feldtok témkörôl 98 Elôször kiszámítjuk A-t és B-t J N J 9 - N ( ) A K O - K O K O K O L P L P - J N B - log K 8 O L P A C meiségek csk kkor v értelme h > 0 ho - 0 < < Mivel ( + ) + ezért C log8 ( ) # log8 Ezek szerit csk A lehet mérti közé: A B$ C $ log8 ( ) zz ho -!

20 Htvá gök logritmus 98 H log log log ( + ) k kkor k k k k és + k k J N J N k k k k vgis + zz K + O K O L P L P k J N De K tg O íg ezt kjuk: L P tg + zz tg + tg tg - 0 Ie szó jöhetô tg - ho 98 > 0 A $ 0 egelôtleség megoldás: # vg $ 9 Ezek szerit ) log # vg log $ 9 ) log # vg log $ 9 Az ) esete # vg 9 $ A ) esete - # log # vg log # - vg log $ zz # # vg 0 < # vg $ 8 8 Árázoljuk eg számegeese z A és B hlmzok elemeit: 98 A B - A hlmz elemei: < # vg 8 # <

21 Neheze feldtok témkörôl 7 98 Mivel log z 9 + log + 9log z ezért z egelôtleség l oldl íg írhtó: log + log z+ logz > 8 log log z log z De 9 J log N log + $ + log K log O L P Itt jo oldlo eg ozitív számk és recirokák összege szereel mi leglá Ezek szerit 9 J log N log + $ + $ log K log O L P vgis log + log z+ logz $ 8 log log z log z Egelôség kkor teljesüle h log log z logz lee ho z 0 vg z lee tehát z eredeti egelôtleség vló igz 987 A kitûzött egelôtleség l oldl: ( log + log ) + tehát ( log + log ) + > ( log + log ) log + log + log + log log + log + log + log Már csk zt kell elátuk hog log + log! zz log > > + - Y 0 log Mivel másodfokú egelet diszkrimiás -0 íg z egelôtleség és ezzel z eredeti egelôtleség is teljesül 988 Lege c Azt kell elátuk hog + + c > + c+ c + + c --c- c> 0 ( - ) + ( - c) + ( - c) > 0 Ez edig ilvávló

22 8 Htvá gök logritmus 989 A feldt megoldásák godoltmeete zoos 97 feldt megoldásávl 990 A C meiségél térjük át közös (l -es) lr: log C log $ $ log log A másik két meiségre: A log log 9> log 8 < B log log9 < log9 7 Tehát sorred: A> B> C 99 H! kkor (áttérve mide tg lr): log k log k log k log k log + log + log + log Modellezve ezt z egelôséget: ho Ie log 0 íg vló 99 Az lái feltételekek kell teljesüliük: ) - > 0 ) > 0 c) log ( - - ) + log( - ) + $ 0 ) esete > ) esete másodfokú kifejezés zérushelei: és - tehát - < < c) esete $ 0 egelôtleséget kell megolduk E másodfokú kifejezés zérushelei: és - tehát - # log( - ) # ho # # 8 Midhárom feltételt figeleme véve z értelmezési trtomá: - < # - vg # < 99 Az lái feltételekek kell teljesüliük: - 8$ + $ 0-8 $ + $ > 0 Az egelôtleségek megoldásit árázoltuk z lái számegeese: 99 Az eredeti kifejezés értelmezési trtomá: - < #

23 Neheze feldtok témkörôl 9 99 Az > 0! $ 0 log > log feltételekek kell teljesüliük Az eredeti kifejezés értelmezési trtomá: # < 99 A megdott kifejezés íg írhtó: log ( -) - log log log log 99 Mivel 8 - ezért - loglog log log log - log 997 A tégll koordiátái árhuzmosk tegelekkel megdott egees edig áthld z átlók metszésotjá A tégll T területe: 8 T ( lg 8 -lg )( lg - lg 8 ) lg $ lg $ lg 8 Az átlók O metszésotj: lg + lg 8 lg O lg lg 8 + lg 7 O lg E koordiáták kielégítik z + egeletet tehát 7 lg lg + ho lg Tehát tégll T területe: J N 8 T lg $ K O 9 L P H 0 kkor H 0 kkor log log Az egees és tegelek lkott háromszög T területe: -

24 0 Htvá gök logritmus T log $ log $ - zz log ho 9 vg 9 H 9 kkor z egees egelete: - 9 Eek tegelekkel lkotott metszésotji: H kkor Ekkor metszésotok: - 9 Tehát két egevágó háromszögrôl v szó Ezek átfogój: J 9 N J 9 N 9 + K O K O L P L P Tehát háromszög K kerülete: K + + $ ( + ) 999 A V térfogt: V log $ log $ log log Az A felszí: A $ ( log log + log log + log log ) A $ [ + log ( log + log )] $ [ + V( log + log )] A J N $ + log + log V K V O L P De log + log $ íg jo oldlo zárójele levô meiség go mit zz A > V és ée ezt kellett elátuk

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

Matematika összefoglaló

Matematika összefoglaló Mtemtik összefoglló A középiskoli tg vázltos áttekitése, gkorló feldtok Összeállított: Deák Ottó mestertár Áltláos- és Felsőgeodézi Tszék Mtemtik kozultáció z I. évfolmk A emuttó vázlt Bemuttkozás, kozultáció

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus) A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

Szoldatics József, Dunakeszi

Szoldatics József, Dunakeszi Kstérség tehetséggodozás Rekurzív soroztok Szoldtcs József, Dukesz Npjkb egyre több verseye jelek meg rekurzív sorozt. Ezek megoldásához d ötleteket ez z elődás, A feldtok csoportosítv vk megoldás módszerek

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e)

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e) . Egenletek I. Feldtok. Oldj meg z lábbi egenleteket egenletrendszereket vlós számok hlmzán. ) b) ( ) ( ) 8 Klmár László Mtemtik Versen döntője 99. 8. osztál c) ( ) ( ) ( ) ( ) OKTV II. ktegóri. forduló

Részletesebben

n -adik hatványa ahol n q és c n Ekkor szeretnénk, ha a < a < a is teljesülne. (Így majd az exponenciális függvény monoton marad.

n -adik hatványa ahol n q és c n Ekkor szeretnénk, ha a < a < a is teljesülne. (Így majd az exponenciális függvény monoton marad. Mgr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 6. tétel: A ritmus, z epoeciális és ritmusfüggvé és tuljdosági A htváozás iterjesztése: ) Törtitevıjő htváo Eg pozitív vlós szám htváá -di göe. Azz: -di htvá hol

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

Árki Tamás Konfárné Nagy Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János. sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK. Mozaik Kiadó Szeged, 2009

Árki Tamás Konfárné Nagy Klára Kovács István Trembeczki Csaba Urbán János. sokszínû FELADATGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK. Mozaik Kiadó Szeged, 2009 Árki Tmás Konfárné Ng Klár Kovács István Trembeczki sb Urbán János sokszínû FELDTGYÛJTEMÉNY MEGOLDÁSOK 0 Mozik Kidó Szeged, 009 TRTLOMJEGYZÉK TRTLOMJEGYZÉK Megoldások 0. évfolm 0.. Gondolkodási módszerek

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol

Részletesebben

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

ALGEBRA. 1. Hatványozás

ALGEBRA. 1. Hatványozás ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

ÉT: x R ÉK: y R ZH: x = 0 SZÉ: - SZMN páratlan fv. n a

ÉT: x R ÉK: y R ZH: x = 0 SZÉ: - SZMN páratlan fv. n a A htváyozás iverz műveletei. (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté De.: :... Oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. : htváyl : kitevő : htváyérték A htváyozás zoossági egész

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET MATEMATIKA FELADATSOR 9. évolym Elézést tegezésért! I. HALMAZOK Számegyeesek, itervllumok. Töltsd ki táláztot! Mide sor egy-egy itervllum hároméle megdás szerepelje!. Add meg következő itervllumokt! A

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL MŰSZAKI ISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGA ADA, 06jnuár 0/06-ös iskolév, júniusi vizsgidőszk A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL Munkterület: GÉPÉSZET, ELEKTROTECHNIKA, ÉPITÉSZET Tntárg: MATEMATIKA

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k

SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k A sorozt megdás. ) ; ; ; b) ; ; ; c) 0; -; -; -8 d) ; ; 8; 89 e) ; ; 8; 0 f) ; ; 0; 90 g) ; ; 0 ; 0 90 h) em létezik, hisze eseté kifejezés ics értelmezve. A további elemek: ; 8 ; 0 899 i) 0; ; 999 ; j)

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

n természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti

n természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti osztály Igzolju, hogy 3 < ármely természetes szám eseté Kovács Bél, Sztmárémeti Az összeg egy tetszőleges tgj: Ezt ővítjü és lítju úgy, hogy felothssu ét tört összegére ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) )( (

Részletesebben

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet!

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet! HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MAEMAIKAVERSENY MEZŐKÖVESD Sóeli feldto és megoldáso ostál ) Oldju meg vlós sámhármso hlmán öveteő egenletet! ( pont) A egenlet l oldlát átlíthtju öveteőéppen: A l oldl egi tgj sem

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat október 10. Monopólium

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat október 10. Monopólium űszki folymtok közgzdsági elemzése Elődásvázlt 3 októer onoólium A tökéletesen versenyző válllt számár ici ár dottság, így teljes evétele termékmennyiség esetén TR () = ínálti monoólium: egyetlen termelő

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL

FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL SZAKDOLGOZAT Készítette: Kovács Blázs Mtet BSc, tár szrá Tévezető: dr Wtsche Gergel, djutus ELTE TTK, Mtettítás és Módszert Közot Eötvös Lorád Tudoáegete Terészettudoá

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Győry Ákos: A Titu-lemma. A Titu-lemma. Győry Ákos Földes Ferenc Gimnázium, Miskolc

Győry Ákos: A Titu-lemma. A Titu-lemma. Győry Ákos Földes Ferenc Gimnázium, Miskolc A Titu-lemm Győry Ákos Földes Feren Gimnázium, Miskol Az lái feldtsort jórészt z 5. Rátz László Vándorgyűlésen elhngzott nygól állítottm össze, néhány feldttl kiegészítettem, néhol pedig új izonyításokkl

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

24. tétel Kombinatorika. Gráfok.

24. tétel Kombinatorika. Gráfok. Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 4. tétel Komitori. Gráfo. Komitori: A mtemti zo elméleti területe, mely egy véges hlmz elemeie csoportosításávl, iválsztásávl vgy sorrederásávl fogllozi. Permutáció

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit. modul: Erőrendserek lecke: Erőrendserek egenértékűsége és egensúl lecke célj: tnng felhsnálój megsmerje erőrendserek egenértékűségének és egensúlánk feltételet Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően

Részletesebben

é ö é Ö é ü é é ö ö ö ü é é ö ú ö é é é Ő ö é ü é ö é é ü é é ü é é é ű é ö é é é é é é é ö ö í é ü é ö ü ö ö é í é é é ö ü é é é é ü ö é é é é é é é é é é é é é é é ö é Í ö í ö é Í í ö é Í é í é é é é

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometri A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon

Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon Pdáni Ktolikus Gkorlóiskol, Veszprém Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek mtemtikáól 9. évfolmon Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek mtemtikáól 9. évfolmon Cél: pontos, kitrtó

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 04 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

I. HALMAZOK, KOMBINATORIKA

I. HALMAZOK, KOMBINATORIKA I HLMZOK, KOMINTORIK VEGYES KOMINTORIKI FELDTOK dott 9 külsõre egyform érme z érmék közül z egyik hmis, tömege könnye töinél Rendelkezésünkre áll egy kétkrú mérleg, mellyel összehsonlításokt tudunk végezni

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2011. jnuár 21. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0 www.esymths.hu mtek ilágos oll Mosózi Arás LINEÁISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOOK esymths.hu DEFINÍCIÓ: A... ektorok lieáris összefüggők, h... úgy is teljesül, hogy oly i Nézzük ezekre péákt!

Részletesebben

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK

EMELT SZINTÛ FELADATSOROK EMELT SZINTÛ FELADATSOROK. Feldtsor / A megoldások. A bl oldlon álló tört értelmezési trtomán : ³ 0, ¹ 0, zz 0, 0,. Bõvítjük törtet z + összeggel: = 0, íg hándosuk

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivlók Formi előírások:

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK. III.1. A függvény fogalma és néhány tulajdonsága

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK. III.1. A függvény fogalma és néhány tulajdonsága Függvée és tuljdosági 67 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK III A üggvé oglm és éhá tuljdoság III A üggvé értelmezése A üggvé oglmávl z előző évee már tláloztu Eddigi ismereteitere támszodv válsszáto i z7 lái megeleltetése

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál. 5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2015. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 05 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva

Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva Mtemtik A évfolym modul Soroztok Készítette: Lövey Év Mtemtik A évfolym modul: SOROZATOK Tári útmuttó A modul célj Időkeret Ajálott korosztály Modulkpcsolódási potok A soroztok foglmák elmélyítése Gykorlti

Részletesebben

Alkalmazzuk az egyváltozós esetben a legkisebb négyzetek módszerét. Legyen a mérések száma n, y (n 0). n 2

Alkalmazzuk az egyváltozós esetben a legkisebb négyzetek módszerét. Legyen a mérések száma n, y (n 0). n 2 . elődás 5 Alklmzzuk z egváltozós esetbe legksebb égzetek módszerét. Lege mérések szám ( ). F ( ( ) )! ( ( ) )!?? A két krtérum ekvvles egmássl hsze h z F üggvéek z prmétervektor hele mmum v kkor hele

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja Bolai János Matematikai Társulat Rátz László Vándorgűlés 06. Baja Záródolgozat dr. Nag Piroska Mária, Dunakeszi Dunakeszi, 06.07.. A Vándorgűlésen Erdős Gábor az általános iskolai szekcióban tartott szemináriumot

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK Sokszínű matematika /. oldal. feladat a) = Mivel mindegik hatván alapja hatván, ezért átírjuk a -et és a -ot: = ( ) Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot! ( ) = A bal oldalon az azonos alapú hatvánok

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m Hegyesszögek szögfüggvényei Feldt: Kovás slád hétvégén kirándulni ment. Az útjuk során egy 0 -os emelkedőhöz értek. Milyen hosszú z emelkedő, h mgsság 45 méter? Megoldás: Rjzoljuk le keletkezett háromszöget!

Részletesebben

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy.

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy. Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Elemi lgebr. A.. Mcedói, 00, 9. év. I. ord. Htározzuk meg y y értékét, h, y pozitív vlós számok és y = 6y. A.. Horvátország, 00, regioális versey, 0. év.

Részletesebben