F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "F.I.1. Vektorok és vektorműveletek"

Átírás

1 FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) irán és mértékegség jelleme ) Vektor megdás: e O α e e Egségvektorok: e e A egségvektorok hoss egségni: e e Eg tetsőleges vektor megdás egségvektorokkl: e + e H ismert vektor hoss és tengellel beárt söge kkor előő össefüggésből: cosα e + sin αe (cosαe + sin αe ) e A vektor hossát ithgors-tétel segítségével sámíthtjuk ki: + Können beláthtó is hog e vektor egségvektor: e cos α + sin α A vektorok köötti műveletek vektorok támdáspontho vg htásvonlho kötöttségétől függetlenül érvénesek b) Vektorok össedás: Legen dott két vektor: e + e b b e + b e A két vektor össegének kisámítás: + b ( e + e) + ( be + be) ( + b) e + ( + b) e c c c A két vektor össegének megserkestése: b c c b Háromsög sbál rlelogrmm sbál

2 c) Vektorok kivonás: Legen dott két vektor: e + e b b e + b e A két vektor különbségének kisámítás: b ( e + e) ( be + be) ( b) e + ( b) e d d d Két vektor különbségének megserkestése: b b d b d + ( b) d b d d) Vektorok skláris sorás ( eredmén skláris menniség): A skláris sorás értelmeése: b b cosα A skláris sorás kisámítás: b b + b + b A b jelölés kiejtése (kiolvsás): á sklárisn sorov bével Egségvektorok skláris sort: e e e e e e e e 0 e e 0 e e 0 A eredmén áltlánosítás: és b 0 b A b jelölés kiejtése (kiolvsás): á merőleges bére e) Vektorok vektoriális sort ( eredmén vektor): A vektoriális sorás értelmeése: A eredménvektor ngság: b b sinα prlelogrmm mgsság b b α b sinα A eredménvektor iránát ún jobbké sbálll kpjuk meg: h jobb kéel vektort b vektorb forgtjuk kkor jobb ké hüvelkujj dj meg eredménvektor iránát A eredménvektor merőleges sorásbn sereplő mindkét vektorr

3 A vektoriális sorás kisámítás: e e e b det e( b b) e( b b) + e( b b) b b b A determináns kifejtési sbál ( determináns előjeles skláris menniség): - első sor serint: 3 det 3 ( 33 33) ( 33 33) + 3( 3 3 ) vg első oslop serint: 3 det 3 ( 33 33) ( 33 33) + 3( 3 3) Egségvektorok e e 0 e e 0 e e 0 vektoriális sort: e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e Sbál: - H két egségvektort ábrán láthtó nílll megegeő sorrendben sorunk össe vektoriálisn kkor poitív előjellel kpjuk hrmdik egségvektort - H két egségvektort ábrán láthtó nílll ellentétes sorrendben sorunk össe vektoriálisn kkor negtív előjellel kpjuk hrmdik egségvektort A eredmén áltlánosítás: b 0 b f) Vektorok kétseres vektoriális sort ( eredmén vektor): ( b) c vg ( b c ) Kisámítás kétféle úton lehetséges: - két vektoriális sorásnk kijelölt sorrendben történő elvégésével - kifejtési sbálll: ( b) c b( c ) ( b c ) illetve ( b c ) b ( c ) c ( b ) 3

4 FH 45 rfh r FH e ( 3 e + 6 e ) ( 5 e + 3 e ) m 45 r H (8e + 6 e ) + ( 5 e + 3 e ) ( 5e + 8e + 9 e ) m b) A H-ból B pontb muttó r HB helvektor meghtároás 3 3 rhb r BF e 45 ( 3e + 6 e ) m r HB (45e 9 e )m 45 I feldt: Vektorok össege különbsége egmássl beárt söge F F α F Adott: F (40e + 50 e) N F ( 0e + 4 e ) N F F 0 F F FI Gkorló feldtok vektorműveletekre FI feldt: Helvektorok felírás össegése bsolút értékének meghtároás e Adott: eg hsáb vlmint H pont hele: H AB 8m BE 3m D G AD 6m FH 05BF F C Feldt: ) A H pont H helvektoránk meghtároás A O E b) A H pontból B pontb muttó r HB helvektor meghtároás B Kidolgoás: ) A H pont r H helvektoránk meghtároás: r H r OF + r FH r OF r F (8e + 6 e ) m rbf e ( 3 e + 6 e ) m rbf ( 3e + 6 e ) m rbf 45 rbf BF + BF m r m Feldt: ) A két erő F0 F + F össegvektoránk meghtároás b) A két erő F* F F különbségvektoránk meghtároás c) A két erővektor áltl beárt α sög meghtároás 4

5 Kidolgoás: ) A két erő F0 F + F össegvektoránk meghtároás: F0 F+ F (40e + 50 e) + ( 0e + 4 e) (0e + 54 e) N b) A két erő F* F F különbségvektoránk meghtároás: F* F F (40e + 50 e) ( 0e + 4 e) (60e 46 e) N c) A két erővektor áltl beárt α sög meghtároás: F F F F F F cosα cosα F F F F 40( 0) N F F + F N 600 F F + F N cosα α rccos( ) 7 34 FI3 feldt: Vektor koordinátái és össetevői Adott: Feldt: (0e + 5 e ) m ) A vektor és iránú skláris koordinátáink meghtároás b) A vektor és iránú össetevőinek meghtároás Kidolgoás: ) A vektor koordináttengel iránú koordinátáink meghtároás (skláris menniségek): A skláris sorás értelmeéséből: e e cosα cosα e e cos β cos β A skláris koordináták kisámítás: β α e (0e + 5 e) e 0e e + 5e e 0 m e (0e + 5 e ) e 0e e + 5e e 5 m b) A vektor koordináttengel iránú össetevői (vektor menniségek): e (0 e ) m e (5 e ) m FI4 feldt: Vektor koordinátái és össetevői Adott: Feldt: b (6e + 6 e) m ) A b vektor iránú b és iránr merőleges b skláris (e + 4 e koordinátáink meghtároás ) m b) A b vektor iránú b és iránr merőleges b össetevőinek meghtároás Kidolgoás: ) Adott iránú koordináták meghtároás: 5

6 b α b b A b vektor iránú koordinátáj ( iránr eső vetülete): b b b cosα b b cosα b b m m 96 b 759 m 65 A b vektor iránr merőleges koordinátáj ( iránr merőleges vetülete): b b b sinα b b sinα b e e e b 4 0 e(7 4) (48 e) m b 48m 65 m b 48 b 379 m 65 b) Adott iránú össetevők meghtároás: A b vektor iránú össetevője: e (e + 4 e) (0 9486e e) 65 b b e 7 59(0 9486e e ) (7e + 4 e ) m A b vektor iránr merőleges össetevője: b b ( b) b b sinα b sinα b b sinα b e 3 ( b) (48 e) (e + 4 e) ( 9e e) m 9e + 576e b ( e + 36 e)m 60 Ellenőrés: b b + b (7 e + 4 e ) + ( e e ) (6e + 6 e )m FI5 feldt: Vektorok skláris sort Adott: F (40e + 8e 6 e) kn F ( e + e + 3 e) kn F ( F e ) Kidolgoás: 3 3 Kérdés: Mekkor legen 3 merőleges legen F -re? F h t krjuk hog ( F+ F3) 6

7 H b kkor b 0 b cos α 0 o 90 Eért teljesülnie kell ( F+ F3) F 0 össefüggésnek ( F+ F3) F 40 e + (8 + F3) e 6 e ( e + e + 3 e) (8 + F3 ) F F F 3 6 kn 3 FI6 feldt: Vektor koordinátái és össetevői Adott: (3 e + e) N b (4e + e) N b koordinátáink meghtároás b) A vektor b iránú és b össetevőinek meghtároás Megoldás: Feldt: ) A vektor b iránú és b iránr merőleges skláris ) A vektor b iránú és b iránr merőleges skláris koordinátái: 35 N 35 N b) A vektor b iránú és b iránr merőleges össetevői: ( e + e ) N ( e e ) N FI3 Mátrilgebri össefoglló iránr merőleges ) Mátri értelmeése jelölése: Mátri: Skláris menniségeknek sámoknk megdott sbál serint táblátb rendeett hlm 3 Mátri jelölése: A 3 A mátriokt kétser láhúott betűvel mátriok elemeit (koordinátáit) lsó indees betűvel jelöljük l A és 3 stb A 3 mátrielem A mátri első sorábn és hrmdik oslopábn vn Mátri mérete: éldául fenti (3)-s méretű A mátrink két sor és három oslop vn A 3 mátri elem jelölés kiejtése (kiolvsás): á eg három Oslopmátri: T sormátri: [ 3] 3 7

8 A oslopmátrink eg oslop sormátrink eg sor vn A sormátriot mindig ugnnnk oslopmátrink trnsponáltjánk tekintjük A sormátriot mátri betűjelének felső indeébe írt T betű jelöli b) Mátriműveletek: A műveleteket ( ) -es ( )-es és ()-es mátriokr muttjuk be - Mátri trnsponáltj (tükröés főátlór): A mátri főátlóját onos indeű elemek lkotják T A A ( ) ( ) A trnsponálási művelet jele: T ( mátri felső indeében) A trnsponálás oslopmátriból sormátriot sormátriból pedig oslopmátriot ho létre T A A jelölés kiejtése (kiolvsás): á trnsponált - Mátriok össedás kivonás: Csk onos méretű mátriok dhtók össe vonhtók ki egmásból A± B C b b ( ± b) ( ± b) c c ± b b ( ± b) ( ± b) c c ( ) ( ) ( ) ( ) - Mátri sorás (sor-oslop kombináció): Csk oln mátriok sorohtók össe melek teljesítik t feltételt hog első soróténeő oslopink sám megegeik második soróténeő sorink sámávl AB C b b ( b + b) ( b+ b ) b b ( b+ b) ( b+ b) ( ) ( ) ( ) Ab c b ( b + b ) c b ( b + b ) c ( ) ( ) ( ) ( ) T T B d b b ( ) ( ) ( ) ( ) ( b+ b) ( b+ b) d d b b 8

9 c) Különleges mátriok: 0 - Egségmátri: E 0 Tuljdonság: E A AE A A egségmátri főátlójábn -es koordinátákt főátlóján kívül 0 elemeket trtlm A egségmátrisl történő sorás nem váltottj meg megsorott mátriot - Simmetrikus mátri: T A A A mátri elemei megegenek főátlór vett tükörképükkel éldául A 9 simmetrikus mátri T - Ferdesimmetrikus mátri: A A A mátri bármelik eleme megegeik főátlór vett tükörképének mínus egseresével Ebből követkeik hog főátlóbn csk érus elemek lehetnek 0 3 éldául A 3 0 ferdesimmetrikus mátri F4 Vektorok skláris veges és didikus sort Eges vektor sorások mátriok sortként is elvégehetők ) Vektorok skláris sort: A skláris sorás értelmeése: b b cosα (α vektorok köött beárt sög α π ) A skláris sorás kisámítás mátrisorássl: b b b b + b + b b A első soró téneő koordinátáit sormátrib második soró téneő koordinátáit oslopmátrib rendeük és sorást mátrisorás sbáli serint (sor-oslop kombináció) végeük el A sorás eredméne eg skláris menniség b) Vektorok veges sort: A veges sort értelmeése és jelölése: ( bc ) ( b c ) ( b c ) A veges sort kisámítás: - Elősőr elvégeük vektoriálois sorást mjd eredménvektort megsorouk sklárisn veges sortbn sereplő hrmdik vektorrl - Kisámítás determinánssl: ( bc) det b b b ( bc cb) ( bc cb) + ( bc cb) c c c 9

10 c) Vektorok didikus sort: Legen dott b és c tetsőleges vektor Két vektor didikus sortánk jelölése: b elneveése: diád A b jelölés kiejtése (kiolvsás): á diád bé Két vektor didikus sortát sorás tuljdonságink megdásávl értelmeük: - didikus sorás és skláris sorás ssocitív (csoportosíthtó sorások elvégésének sorrendje felcserélhető): ( b) c ( b c) - diád skláris sorás sempontjából nem kommuttív (nem mindeg hog eg diádot jobbról vg blról sorunk meg sklárisn eg vektorrl mert más eredmént kpunk): c ( b) ( b) c H sorás fenti össefüggéseket kielégíti kkor sorás didikus Két vektor didikus sortánk kisámítás jobbsodrású deréksögű koordinátrendserben: b b b b b b b b b b b b b A első soró téneő koordinátáit oslopmátrib második soró téneő koordinátáit sormátrib rendeük és sorást mátri sorás sbáli serint (sor-oslop kombináció) végeük el A sorás eredméne eg kilenc skláris menniséget trtlmó mátri Egségvektorok didikus sort: [ e e] 0 [ 0 0 ] e e [ 0 0 ] [ e e ] 0 [ 0 0 ] e e [ ] [ e e ] 0 [ 0 0 ] e e [ ] e e [ 0 0] 0 0 [ e e ] [ ] 0

11 e e 0 [ 0 0 ] A sklár sámml történő sorás mindig didikus vg más sóhsnálttl áltlános sorás F5 Mátri sjátértékei és sjátvektori ) A sjátérték feldt kitűése: Léteik-e oln n oslopmátri mellel A négetes mátriot megsorov n oslopmátri vlhánsorosát kpjuk: An λ n hol λ skláris menniség? H léteik ilen n oslopmátri kkor et A négetes mátri jobb oldli sjátvektoránk λ skláris menniséget pedig A mátri sjátértékének neveük b) A sjátérték feldt megoldás: A sjátérték feldt megoldását eg ()-es mátrion muttjuk be A előő egenletet résletesen kiírv és bl oldlr rendeve: n n n n 0 λ n n λ n n 0 és sorásokt elvégeve n n ismeretlenre homogén lineáris lgebri egenletrendsert kpunk: ( λ) n + n 0 n + ( λ) n 0 A egenletrendser nem triviális (nullától különböő) megoldásánk feltétele hog rendser mátriából képeett determinánsnk el kell tűnnie: ( λ) 0 ( λ) A determinánst kifejtve kpjuk krkteristikus egenletet: λ ( + ) λ + ( ) 0 A krkteristikus egenlet megoldási mátri sjátértékei: ( + ) ± ( + ) 4( ) ( + ) ± ( ) + 4 λ A homogén lineáris lgebri egenletrendsernek csk λ λ és λ λ esetén vn nemtriviális megoldás A mátri sjátértékeit silárdságtnbn csökkenő regéstnbn növekvő sorrendben sokás sorsámoni

12 H eges λ i (i) sjátértékeket behelettesítjük homogén lineáris lgebri egenletrendserbe kkor egenletrendser megoldhtó n n ismeretlenre: ( λi) ni + ni 0 ni + ( λi ) ni 0 n n i i hol i A λ i (i) sjátértékek behelettesítése esetén onbn egenletrendser egenletei egmástól nem lineárisn függetlenek eért egik egenletet el kell hgni és másik egenletből csk n / n vg n / n (i) hándos htárohtó meg A n T i n i i i i n i és n i értékét kkor kpjuk meg ( előjelet lesámítv) egértelműen h n n sjátvektoroktól megköveteljük hog egségvektorok legenek: i i i i + n i FI6 Tenorok előállítás ) Tenor értelmeése és tuljdonsági: Tenor: Homogén lineáris vektor-vektor függvén áltl megvlósított leképeés (hoárendelés) w f( v ) T v i i v hoárendelés w O v O w A T tenor tetsőleges v vektorho w képvektort rendeli hoá A vektor-vektor függvén oln függvénkpcsolt melnek v értelmeési trtomán és w értékkéslete is vektor menniség A tenor tuljdonság: - f ( λv) λ f( v) hol λ tetsőleges skláris menniség (skláris egütthtó) - f ( v + v) f( v) + f( v) A fenti tuljdonságokból követkeően fennáll lábbi össefüggés: w f( λ v + λ v ) λ f( v ) + λ f( v ) λ w + λ w w w hol λ és λ tetsőleges skláris egütthtók Követkemén: A tenor érus vektorho érus vektort rendel hoá: 0 f (0) A tenor koordinát-rendsertől független fiiki (geometrii mechniki) menniség b) Tenor előállítás jobbsodrtú deréksögű descrtesi koordinát-rendserben: - Tenor megdás: - tenor koordinátáivl (mátiávl) és - koordinát-rendserrel történik

13 - Tenor koordinátáink jelölése mátrib rendeve: T T T T T T3 T T T T T T T3 T T T T 3 T3 T 33 - Tenor előállítás deréksögű descrtesi KR-ben: Tétel: - Térbeli esetben minden tenor egértelműen megdhtó három egmásr merőleges egségvektor és eek képvektori (három értékpár) ismeretében - Síkbeli esetben minden tenor egértelműen megdhtó két egmásr merőleges egségvektor és eek képvektori (két értékpár) ismeretében Tétel: - Térbeli esetben minden tenor előállíthtó három diád össegeként - Síkbeli esetben minden tenor előállíthtó két diád össegeként Legen ismert három értékpár: e f( e ) e + e + e e b f( e) b be + be + be e c f( e ) c ce + ce + ce A tenor didikus előállítás: T ( e + be + c e ) A tenor mátri: b c T b c b c A tenor mátriát didikus előállításbn kijelölt didikus sorások és össedások elvégésével kpjuk A tenor mátriánk oslopi b c képvektorok koordinátáit trtlmák A mátri első sorábn képvektorok koordinátái második sorbn képvektorok koordinátái hrmdik sorbn képvektorok koordinátái állnk FI7 Gkorló feldtok vektorokr mátriokr tenorokr FI7 feldt: Mátri műveletek Adott: 4 4 A 7 3 B 6 3 Feldt: T T ) A A és B trnsponált mátriok meghtároás b) A A+ B össegmátri és A B különbségmátri meghtároás c) A AB sortmátri meghtároás d) A B A sortmátri meghtároás Kidolgoás: 3

14 ) A T A T A és T B trnsponált mátriok meghtároás: T B b) A A+ B össegmátri és A B különbségmátri meghtároás: A+ B A B c) A AB sortmátri meghtároás: 4 4 ( ) + ( 4)( 6) 4 + ( 4)3 AB ( ) + 3( 6) d) A B A sortmátri meghtároás: ( ) ( ) ( 4) BA ( 6) ( 6) ( 4) Mátrisorásnál soróténeők sorrendje nem cserélhető fel! FI7 feldt: Skláris didikus és mátri sorás gkorlás Adott: (4 e + 6 e e ) m Feldt: b ( 3 e + e e ) m ) A b és b sortok meghtároás c ( e 6e b) A ( b) c és c ( b) ) sort meghtároás m Kidolgoás: ) A b és b sortok meghtároás: 3 b [ 4 6 ] 4( 3) ( )( ) 5m b ( 4e + 6e e) ( 3e + e e) ( e 8e + 3e) e + ( 4 e + 6e e) e + + ( 4e 6e + e) e m A sögletes árójelben lévő diádok első soró téneőinek koordinátái tenor mátriánk oslopibn jelennek meg: b 6 [ 3 ] m 3 4

15 b) A ( b) c és c ( b) sort meghtároás: - A értelmeés lpján: ( b) c ( b c) ( 4e 6e e ) + ( 3e + e e) ( e 5e) ( 4e + 6e e ) [ + 5] ( e + 8e 3e ) m 3 - Mátrisorássl: ( b) [ c] m A kétféleképp előállított eredmén termésetesen megegeik - A értelmeés lpján: c ( b) ( c ) b ( e 5e) ( 4e 6e e) + ( 3e + e e) [ + 5] ( 3 e + e e ) (e 7e + 7 e ) - Mátrisorássl: 4 4 [ c] ( b) [ 0 5 ] [(36 5) ( + 5) ( 5) ] [ 7 7] m A kétféleképp előállított eredmén termésetesen megegeik FI73 feldt: Vektor dott iránr merőleges össetevőjének meghtároás Adott: b (0e + 40e 30 e) m e (08e + 06 e ) Feldt: ) A b vektor e egségvektorrl párhumos b össetevőjének meghtároás b) A b vektor e egségvektorr merőleges b össetevőjének meghtároás kétseres vektoriális sorássl c) A b vektor e egségvektorr merőleges b össetevőjének meghtároás kifejtési sbálll Kidolgoás: ) A b párhumos össetevő meghtároás: O b b b e 5

16 0 b ( e b) e [ ] 40 e (3 8) e 4 e 30 b 4e 4(08e + 06 e) ( e + 84 e) m b) A b merőleges össetevő meghtároás kétseres vektoriális sorássl: b ( e b) e e e e ( e b) e( 4 4) e( ) + e( 6) 48e + e 6e e e e ( e b) e 48 6 e(7 + 8) e( 88) + e( 384) b ( e b) e (0 e + 88e 38 4 e) m c) A b össetevő meghtároás kifejtési sbálll: b ( e b) e b( e e) e( b e) b b b b b (0e + 40e 30 e) ( e e) (0e + 88e 38 4 e) m FI74 feldt: Vektorok veges sort prlelepipedon térfogt T b Adott: A bc három nem komplnáris (nem eg síkb eső) vektor: c (5e + 3 e + e) m b (e 4 3 ) m m b + e + e V c (3e + e + 6 e) m β Feldt: A bc vektorok áltl m α T T kifesített lkt (prlelepipedon) térfogtánk meghtároás Kidolgoás: A bc vektorok áltl kifesített lkt (prlelepipedon) V térfogtát három vektor veges sort dj meg: c c c V c ( b) b b b 4 3 ( ) ( ) ( ) V c b c b cos β b c cos β T m Bionítás: ( ) ( ) 6

17 T b b sin α m T T hol T b vektorok áltl kifesített prlelogrmm területe FI75 feldt: Tenor előállítás Adott: r (4e + e ) m O r A r A Feldt: ) Annk T tenor mátriánk előállítás mel sík helvektoriból helvektoroknk koordinát-rendser O kedőpontjár tükröött vektorit állítj elő b) Meghtároni t r A vektort mel r vektor origór vett tükörképe Kidolgoás: ) A tenor előállítás: Síkbeli esetben tenort két értékpárj htáro meg: e e e b e A két értékpárból tenor: T ( e + b e ) 0 A tenor mátri: T 0 b) A origór tükröött r A képvektor meghtároás: ra T r 0 0 r ( 4e e ) m A FI76 feldt: Tenor előállítás Adott: r (4e + 3 e ) m O r r A A Feldt: ) Annk T tenor mátriánk előállítás mel sík helvektoriból helvektoroknk koordinát-rendser tengelére tükröött vektorit állítj elő b) Meghtároni t r A vektort mel r vektor tengelre vett tükörképe 7

18 Kidolgoás: ) A tenor előállítás: Síkbeli esetben tenort két értékpárj htáro meg: e e e b e A két értékpárból tenor: T ( e + b e ) 0 A tenor mátri: T 0 b) A tengelre tükröött r A képvektor meghtároás: ra T r r (4e 3 e ) m A FI77 feldt: Tenor előállítás o Adott: ϕ 30 r (4 e + e ) m A Feldt: r ) Annk T tenor mátriánk előállítás mel A sík helvektoriból helvektorok tengel körül ϕ söggel elforgtott vektorit állítj elő ϕ r b) Meghtároni t r A vektort melet r vektor ϕ söggel történő elforgtásávl kpunk Kidolgoás: ) A tenor előállítás: b e ϕ ϕ e Síkbeli esetben tenort két értékpárj htáro meg: e (cosϕ e + sin ϕ e ) e b ( sinϕe + cos ϕe ) A két értékpárból tenor: T ( e + b e ) A diádok kisámítás: 0 cosϕ 0 0 sinϕ 0 [ e ] [ 0] b 0 b 0 sinϕ b e [ 0 ] b 0 b 0 cosϕ cosϕ sinϕ A tenor mátri: T sinϕ cosϕ

19 b) A elforgtott r A vektor meghtároás: cosϕ sinϕ ra T r sinϕ cosϕ r (964e e ) m A FI78 feldt: Tenor előállítás Adott: o ϕ 45 r (5e + e ) m r A ϕ r A u Feldt: ) Annk T tenor mátriánk előállítás mel sík helvektoriho helvektorok tengel körül ϕ söggel történő elforgtáskor helvektorok végpontjink elmodulás vektorit rendeli hoá b) Meghtároni r vektor végpontjánk u elmodulás vektorát ϕ söggel történő elforgtásnál Kidolgoás: ) A T tenor előállítás: b e ϕ ϕ e A tenor mátri: (cosϕ ) sinϕ T sin ϕ (cosϕ ) b) A u elmodulásvektor meghtároás: u T r u ( 879e e ) m FI79 feldt: Tenor előállítás Adott: Síkbeli esetben tenort két értékpárj htáro meg: e ( cos ϕ) e + sinϕ e e b sin ϕ e ( cos ϕ) e A két értékpárból tenor: T ( e + b e ) n ( e + e ) r (5e + e + 0 e ) m 9

20 Feldt: r r A A n ) Annk T tenor mátriánk előállítás mel tér minden helvektoráho helvektoroknk n normálisú S síkb eső vetületvektorát rendeli hoá b) Meghtároni r vektornk dott n normálisú S síkb eső r A vetületvektorát S A vetületvektort úg kpjuk hog r vektor végpontját merőlegesen vetítjük S síkr Kidolgoás: ) A T tenor előállítás: A tetsőleges v vektor S síkb eső w vetületvektor: w n ( v n) v( n n) n( n v) v n( n v) Térbeli esetben tenort három értékpárj htáro meg: e e n( n e) e 0 e n b e n( n e) e e e e + e + e e n c e n( n e) e e e e + + e + e A három értékpárból tenor: T ( e + be + c e ) 0 0 A tenor mátri: T b) A r vektornk dott n normálisú síkb eső r A vetületvektoránk meghtároás: ra T r m r A (5e + 6e + 6 e ) m

21 FI70 feldt: Tenor előállítás Adott: r (3 e + 4e + 6 e ) m r Feldt: ) Annk T tenor mátriánk előállítás mel tér O minden helvektoráho helvektoroknk síkr r D vett tükörkép-vektorát rendeli hoá A b) Meghtároni r vektornk síkr vett r A tükörképvektorát A A tükörkép-vektort követkeőképpen kpjuk: A r vektor végpontját merőlegesen vetítjük síkr A D pont vetítő egenes döféspontj síkon Megoldás: 0 0 ) A hoárendelést megvlósító tenor mátri: T b) A r A tükörkép-vektor: r A (3e + 4e 6 e ) m FI7 feldt: Tenor előállítás Adott: r (4e + 4e + 8 e ) m r O r A D A Feldt: ) Annk T tenor mátriánk előállítás mel tér minden helvektoráho helvektoroknk síkb eső vetületvektorát rendeli hoá b) Meghtároni r vektornk síkb eső r A vetületvektorát Megoldás: A vetületvektort úg kpjuk hog r vektor végpontját merőlegesen vetítjük síkr A D pont vetítő egenes döféspontj síkon A vetületvektor D pontb muttó vektor ) A hoárendelést megvlósító tenor mátri: 0 0 T b) A r A vetületvektor: r A (4e + 4 e ) m FI7 feldt: Tenor (mátri) sjátértékeinek és sjátvektorink előállítás Adott: A tenor Descrtes-féle deréksögű koordinátrendserbeli mátriávl: 3 A 3

22 Feldt: A tenor λ λ sjátértékei és hoájuk trtoó n n sjátvektorok meghtároás és semléltetése Kidolgoás: A feldtbn sereplő mátri simmetrikus eért két vlós sjátértéket és két egmásr merőleges sjátvektort várunk A krkteristikus egenlet felírás: An λ n λ En ( A λ E) n 0 E eg homogén lineáris egenletrendser n vektor n n koordinátáir melnek csk kkor vn triviálistól (vgis érustól) különböő megoldás h egenletrendser egütthtóiból képett mátri determináns nullávl egenlő: det A λ E 0 A fenti mátri elemeit behelettesítve és determinánst kifejtve: 3 λ 3 det λ λ λ A kijelölt műveleteket elvégeve kpjuk krkteristikus egenletet: 4λ 4 0 λ A krkteristikus egenlet két megoldás vgis keresett sjátértékek: λ A sjátvektorok meghtároás: - A λ -he trtoó n sjátvektor meghtároás: A λ -et visshelettesítjük lineáris lgebri egenlet-rendserbe: 3 3 n n 0 3 n 3 3 n 0 n + 3n 0 A mátrisorást elvégeve kétismeretlenes egenletrendsert kpunk: 3n 3n 0 A két egenlet onbn nem független egmástól ( elsőt 3 -ml sorov éppen másodikt kpjuk) íg e egenletrendser csk sjátvektor koordinátáink ránát vgis sjátvektor iránát htáro meg Eért még felírunk eg független egenletet: egségni bsolút értékű sjátvektort htárouk meg: n n + n 3n + n n Láthtó hog eel pótlólgos feltétellel sjátvektor már csk eg előjel erejéig htárotln

23 3 H n + értéket válstjuk kkor n e + e - A λ -he trtoó n sjátvektor meghtároás: n n 0 3 n 3 n 0 + A mátrisorást elvégeve két ismeretlenes egenletrendsert kpunk: 3 n n 3n + n 0 A egenletek ebben esetben sem függetlenek egmástól (itt soró 3 ) 3 A már lklmott normálást ismét elvégeve kpjuk: n e e A megoldás semléltetése: A ábrán láthtó két sjátvektor merőleges egmásr miről sükséges skláris sorás elvégésével is n 3 3 meggőődhetünk: n n 0 n Áltlábn is ig hog eg simmetrikus tenor különböő sjátértékeihe trtoó sjátvektorok mindig merőlegesek egmásr Ennek bionításáho sjátvektorokt definiáló egenletet sorouk be blról eg másik sjátvektorrl: nan n λn Kihsnálv tenor simmetriáját t kpjuk hog: A n n λn n λn n Átrendeve: ( λ λ) n n 0 miből követkeik két sjátvektor merőlegessége hisen mindkettő ngság különböik nullától két sjátérték pedig feltétel serint különböő FI8 Differenciálegenletek Differenciálegenlet: Fontosbb típusok: Köönséges differenciálegenlet: oln mtemtiki egenlet mel eg vg több váltoós ismeretlen függvén és deriváltji köötti kpcsoltot írj le köönséges differenciálegenletek prciális differenciálegenletek (stochstikus differenciálegenletek késleltetett differenciálegenletek) oln mtemtiki egenlet mel eg független váltoójú függvén és deriváltji köötti össefüggést dj meg d l m F hol t ( ) (Newton II törvéne) dt 3

24 rciális differenciálegenlet: oln mtemtiki egenlet mel ismeretlen többváltoós függvén és prciális deriváltji köötti kpcsoltot írj le l ( ) u 0; és megoldás u( ) f ( ) A Euler típusú köönséges differenciálegenlet A váltoó egütthtójú n -edrendű lineáris differenciálegenletek köül visonlg egserűen megoldhtó Euler típusú melnél egütthtók követkeő htvánfüggvének: A i i 0 n; és állndó ( ) ( ) i i i Íg Euler típusú differenciálegenlet áltlános lkj: ( ) ( ) n ( n) n ( n ) n n + n e R ) A homogén differenciálegenletet megoldás: r A lprendserhe feltételeéssel jutunk ( ) r p ( ) ( ) ( ) p ( r p) Ugnis r r r p révén t kpjuk hog r r e g r n ( ) n( ) 0 hol g ( r) r( r ) r ( n ) + + r + 0 n n Euler-féle differenciálegenlet ún krkteristikus polinomj A 0 eset kiárásávl gn ( r ) 0 egenlet ( ún krkteristikus egenlet) lpján kpunk lprendsert lább résleteendő módon H krkteristikus egenletnek egseres gökei vnnk jelölje eeket r r r n n kkor függvének lkotják differenciálegenlet lprendserét H onbn többsörös gökök is vnnk kkor lprendsert követkeő előírás serint kpunk: Legen pl r rk sk -soros gök kkor r rk göknek lprendserben rk rk rk követkeő függvének fognk megfelelni: ( ) sk ln ln Termésetesen mind egseres mind többsörös göknél előfordulht hog eek köött komple sámok is vnnk Ekkor is lehet onbn mindig vlós lprendsert tlálni A fenti eljárásnál Wronski-féle determináns segítségével lehet megmuttni hog megdott függvének vlóbn lprendsert lkotnk b) A inhomogén differenciálegenlet áltlános megoldás: A korábbn már résleteett módon nerhető 4

25 c) éldák homogén Euler típusú differenciálegenlet megoldásár: péld: Adott: r Megoldás: Itt feltételeéssel t kpjuk hog krkteristikus polinom: g ( r) r 4r 5 0 A g ( r ) 0 krkteristikus egenlet gökei: r 5 r 5 Íg lprendsert függvének lkotnk és dott homogén 5 differenciálegenlet áltlános megoldás: C + C A C C egütthtók peremfeltételekből htárohtók meg péld: Adott: r Megoldás: Itt feltételeéssel t kpjuk hog krkteristikus polinom: g ( r) r 4r+ 4 0 A ( ) 0 g r krkteristikus egenlet gökei: r r Íg lprendsert ln függvének lkotnk és dott homogén differenciálegenlet áltlános megoldás: C + C ln A C C egütthtók peremfeltételekből htárohtók meg 5

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit. modul: Erőrendserek lecke: Erőrendserek egenértékűsége és egensúl lecke célj: tnng felhsnálój megsmerje erőrendserek egenértékűségének és egensúlánk feltételet Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál. 5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó

Részletesebben

Szilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR

Szilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Miskolci Egetem GÉÉMÉRNÖKI É INORMTIKI KR ilárságtan (Oktatási segélet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc leveleős hallgatói résére) Késítette: Nánori riges, irbik ánor Miskolc, 2008. Een kéirat a Gépésmérnöki

Részletesebben

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN ÉRETEZÉS ELLENŐRZÉS STATIUS TERHELÉS ESETÉN A méreteés ellenőrés célkitűése: Annak elérése hog a serkeet rendeltetésserű hasnálat esetén előírt ideig és előírt bitonsággal elviselje a adott terhelést anélkül

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

ÖSZVÉRSZERKEZETEK. Tartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés a BME Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszéken. Dr.

ÖSZVÉRSZERKEZETEK. Tartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés a BME Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszéken. Dr. Dr. Kovás Nuik ÖSZVÉRSZERKEZETEK BE Silárdságtni és Trtóserkeeti Tnséken Dr. Kovás Nuik egyetemi doens BE, Hidk és Serkeetek Tnsék BE Silárdságtni és Trtóserkeeti Tnsék 01. Trtlom Dr. Kovás Nuik 1. Beveetés...

Részletesebben

Többváltozós függvények Riemann integrálja

Többváltozós függvények Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Az integrál konstrukciója tetszőleges változószám esetén Deiníció: n dimenziós

Részletesebben

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet!

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet! HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MAEMAIKAVERSENY MEZŐKÖVESD Sóeli feldto és megoldáso ostál ) Oldju meg vlós sámhármso hlmán öveteő egenletet! ( pont) A egenlet l oldlát átlíthtju öveteőéppen: A l oldl egi tgj sem

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

1. Lineáris leképezések

1. Lineáris leképezések Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:

Részletesebben

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

MECHANIKA I. - STATIKA. BSc-s hallgatók számára

MECHANIKA I. - STATIKA. BSc-s hallgatók számára ECHNK. - STTK BSc-s hllgtók sámár ECHNK. - STTK Tnkönv és jeget BSc-s hllgtók résére - - Dr. Glmbos rges echnk. Sttk tnkönv és jeget BSc-s hllgtók résére Írt és serkestette: Dr. Glmbos rges és Sándor

Részletesebben

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

13. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár) Rácsos tartók

13. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár) Rácsos tartók SZÉHYI ISTVÁ YTM LKLMZOTT MHIK TSZÉK. MHIK-STTIK YKORLT (kidolgozt: Triesz Péter, eg. ts.; Trni ábor, mérnöktnár).. Péld Rácsos trtók dott: z ábrán láthtó rácsos trtó méretei és terhelése. = k, = k. eldt:

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK we-lap : www.hild.gyor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STTIK 47. RÁCSOS TRTÓK rácsos tartók két végükön csuklókkal összekötött merev testekől állnak. z így

Részletesebben

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom: Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

Mechanika II. Szilárdságtan

Mechanika II. Szilárdságtan echanika II. Szilárdságtan Zalka Károl / q / B Budapest, 05 Zalka Károl, 05, e-kiadás Szabad ezt a kiadvánt sokszorosítani, terjeszteni és elektronikus vag bármel formában tárolni. Tilos viszont a kiadvánt

Részletesebben

Elektromágneses hullámok

Elektromágneses hullámok KÁLMÁN P.-TÓT.: ullámok/4 5 5..5. (kibőíe óraála) lekromágneses hullámok elekromágneses elenségek árgalásánál láuk, hog áloó mágneses erőér elekromos erőere (elekromágneses inukció), áloó elekromos erőér

Részletesebben

Együttdolgozó acél-beton lemezek

Együttdolgozó acél-beton lemezek Egüttdolgozó cél-eton lemezek számítógées tevezése D. Köllő Gáo 1, Oán Zsolt, Godj Teodo 3, Muesn Olmu 4 1 Kolozsvá Műszk Egetem, PFT. Kolozsvá, 3 ALMAA Kft. Kolozsvá, 4 DUME Kft. Kolozsvá 1. Bevezetés

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL Koák Imre Seidl Görg FEJEZETEK SZILÁRDSÁGTNBÓL KÉZIRT 008 0 Tartalomjegék. fejeet. tenorsámítás elemei.. Beveető megjegések.. Függvének.3. másodrendű tenor fogalmának geometriai beveetése 5.4. Speciális

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK Prof.Dr. Zobory István Budpest 04 Trtlomegyzék. Bevezetés... 3. A vsúti árművek teherviselő részeiről... 3. Alvázs (nem önhordó) kocsik... 3.. Kéttengelyes kocsik... 4..

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2012. jnuár 26. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e)

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e) . Egenletek I. Feldtok. Oldj meg z lábbi egenleteket egenletrendszereket vlós számok hlmzán. ) b) ( ) ( ) 8 Klmár László Mtemtik Versen döntője 99. 8. osztál c) ( ) ( ) ( ) ( ) OKTV II. ktegóri. forduló

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN 12. hét gyakorlati anyaga (kidolgozta : dr. Nagy Zoltán egy.adjunktus, Bojtár Gergely egy.tanársegéd)

MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN 12. hét gyakorlati anyaga (kidolgozta : dr. Nagy Zoltán egy.adjunktus, Bojtár Gergely egy.tanársegéd) ZÉHENY TVÁN EGYETE LKLZOTT EHNK TNZÉK EHNK-ZLÁRÁGTN 1. hét gakorlati anaga (kidolgota : dr. Nag Zoltán eg.adjunktus, ojtár Gergel eg.tanársegéd) 1.1 feladat : Primatikus rudak össetett igénbevételei (

Részletesebben

Vektorok (folytatás)

Vektorok (folytatás) Vektorok (folyttás) Vektor szorzás számml (sklárrl) Vektor szorzás számml b 1 c 2b c 2 ( 1 ) 2 Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Dr. Égert János Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT RUGALMASSÁGTAN

Dr. Égert János Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT RUGALMASSÁGTAN Dr Égert János Dr Nag Zoltán ALALMAZOTT UGALMASSÁGTAN Dr Égert János Dr Nag Zoltán ALALMAZOTT UGALMASSÁGTAN UNIVESITAS-GYŐ Nonprofit ft Gőr 9 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM GYŐ Írta: Dr Égert János Dr Nag Zoltán

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája

5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája TARTALOM 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE... 7 5.. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája... 7 5.. Koordináta transzformációk... 5... Forgatás... 5... R-P-Y szögek... 5... Homogén transzformációk...

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

( x) XI. fejezet. Határozott integrál, terület és térfogat számítás. Elméleti áttekintés. A határozott integrál definícióját ld. a jegyzetben.

( x) XI. fejezet. Határozott integrál, terület és térfogat számítás. Elméleti áttekintés. A határozott integrál definícióját ld. a jegyzetben. Htározott integrál, terület és térogt számítás XI. ejezet Htározott integrál, terület és térogt számítás Elméleti áttekintés A htározott integrál deinícióját ld. jegzeten. Newton-Leiniz tétel: ( ) d [

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

Matematikai összefoglaló

Matematikai összefoglaló Mtemt össefoglló Vetoro Ngon so oln mennség vn, mel nem ellemehető egetlen sámml. A len mennségre legegserű és mnden áltl ól smert péld, vlmel pontn helete téren. Amor táéoódun és eg pont heletét meg ru

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 2. FIZ2 modul. Fizika feladatgyűjtemény

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 2. FIZ2 modul. Fizika feladatgyűjtemény Nyugt-mgyrországi Egyetem Geoinformtiki Kr Csordásné Mrton Melind Fiziki példtár 2 FIZ2 modul Fizik feldtgyűjtemény SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény

Részletesebben

1. El szó. Kecskemét, 2005. február 23. K házi-kis Ambrus

1. El szó. Kecskemét, 2005. február 23. K házi-kis Ambrus . Elsó olgoat témájául solgáló utatásoat egrést még a buaesti Silártestfiiai Kutatóintéet munatársaént etem maj eg utatással fejlestéssel foglaloó magáncég (& Ultrafast asers Kft.) olgoójaént jelenleg

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

10. OPTIMÁLÁSI LEHETŐSÉGEK A MŰVELET-ELEMEK TERVEZÉSEKOR

10. OPTIMÁLÁSI LEHETŐSÉGEK A MŰVELET-ELEMEK TERVEZÉSEKOR 10. OPIMÁLÁSI LEHEŐSÉGEK A MŰVELE-ELEMEK ERVEZÉSEKOR A technológiai terezés ezen szintén a fő feladatok a köetkezők: a forgácsolási paraméterek meghatározása, a szerszám mozgásciklusok (üresárati, munkautak)

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

Példatár megoldások. æ + ö ç è. ö ç è. ö ç è. æ ø. = ø

Példatár megoldások. æ + ö ç è. ö ç è. ö ç è. æ ø. = ø Műsaki matematika I. Lineáris algebra pldatár s feladattár Ksítette a Centroset SakkpsServesi Nonprofit Kft. Pldatár megoldások. feladat megoldása Mivel s B típusa megegeik, a sseadás elvgehető s Z is

Részletesebben

Prizmás impulzuskompresszorok hômérsékleti stabilitásának modellezése

Prizmás impulzuskompresszorok hômérsékleti stabilitásának modellezése Prizmás impulzuskompresszorok hômérsékleti stabilitásának modellezése Tudományos diákköri dolgozat Írta: DOMBI PÉTER Témavezetô: DR. OSVAY KÁROLY JATE Optikai és Kvantumelektronikai Tanszék Szeged 1998.

Részletesebben

9. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.

9. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár. LKLZOTT EHNIK TNSZÉK 9 EHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgot: dr Ng Zoltán eg djunktus; ojtár Gergel eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) 9 Fjlgos núlás htároás núlásmérő béleggel érőeskö: 6 -os núlásmérő béleg

Részletesebben

Közgazdaságtan - 3. elıadás

Közgazdaságtan - 3. elıadás Közgazdaságtan - 3. elıadás A FOGYASZTÓI DÖNTÉS TÉNYEZİI 1 A FOGYASZTÓI DÖNTÉS ELEMEI Példa: Eg személ naponta 2000 Ft jövedelmet költhet el pogácsára és szendvicsre. Melikbıl mennit tud venni? 1 db pogácsa

Részletesebben

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL MŰSZAKI ISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGA ADA, 06jnuár 0/06-ös iskolév, júniusi vizsgidőszk A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL Munkterület: GÉPÉSZET, ELEKTROTECHNIKA, ÉPITÉSZET Tntárg: MATEMATIKA

Részletesebben

F a 1 u s s v Sándor: A Jogi és Ügyrendi Bizottság 6 igen szavazattal a rendelet-tervezet elfogadását javasolja.

F a 1 u s s v Sándor: A Jogi és Ügyrendi Bizottság 6 igen szavazattal a rendelet-tervezet elfogadását javasolja. - 11- F 1 u s s v Sándor: A Jogi és Ügyrendi Bizottság 6 igen szvttl rendelet-tervezet elfogdását jvsolj. T ó t h István: Várplot Pétfürdői Városrész Önkormányzt 7 igen szvttl, 1 nem szvttl rendelet-módosítás

Részletesebben

A műszaki rezgéstan alapjai

A műszaki rezgéstan alapjai A műszaki rezgéstan alapjai Dr. Csernák Gábor - Dr. Stépán Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanikai Tanszék 2012 Előszó Ez a jegyzet elsősorban gépészmérnök hallgatóknak

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok

Részletesebben

STATIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2003/2004 tavaszi félév)

STATIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2003/2004 tavaszi félév) STATIKA A minimum test kérdései a gépésmérnöki sak hallgatói résére (2003/2004 tavasi félév) Statika Pontsám 1. A modell definíciója (2) 2. A silárd test értelmeése (1) 3. A merev test fogalma (1) 4. A

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

Máté: Számítógépes grafika alapjai

Máté: Számítógépes grafika alapjai Máé: Sámíógée grfik lji _beve 3D kooriná-renerek blkee bl-oráú jobbkee jobb-oráú 3D rnformációk - homogén koorináák () megá homogén koorináákkl: () (w) ( w ) h vn oln α hog α α α é w α w H w : (/w /w /w

Részletesebben

Budapesti Műszaki Főiskola Kandó Kálmán Villamosmérnöki Főiskolai Kar Automatika Intézet. Félévi követelmények és útmutató VILLAMOS GÉPEK.

Budapesti Műszaki Főiskola Kandó Kálmán Villamosmérnöki Főiskolai Kar Automatika Intézet. Félévi követelmények és útmutató VILLAMOS GÉPEK. Budpeti Műzki Főikol Kndó Kálmán Villmomérnöki Főikoli Kr Automtik ntézet Félévi követelmények é útmuttó VLLAMOS GÉPEK tárgyból Villmomérnök zk, Villmoenergetik zkirány, Távokttái tgozt 5. félév Özeállított:

Részletesebben

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3.

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3. Analízis I. jegzet László István 2008. november 3. Tartalomjegzék 1. Halmazok 5 1.1. Halmaz fogalma............................ 5 1.2. Halmaz megadása........................... 6 1.2.1. Eplicit megadás.......................

Részletesebben

1. példa. 2. példa. értelemszerően. F 2.32. ábra

1. példa. 2. példa. értelemszerően. F 2.32. ábra . péld Htározzu meg z.. árán láthtó tégllp lú eresztmetszet és y tengelyre számított másodrendő nyomtéit! d dy (.) épler szerint y dy y d y 0 0 értelemszerően y. péld Steiner-tétel (.. éplet) llmzásávl

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KIALAKÍTÁSA 3 REPÜLŐKÉPESSÉG

MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KIALAKÍTÁSA 3 REPÜLŐKÉPESSÉG Dr. Óvári Gula 1 - Dr. Urbán István 2 MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KILKÍTÁS 3 cikk(soroatban)ben a merev sárnú repülőgépek veérsík rendserinek terveését és építését követheti nomon lépésről

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

ADDITÍV KONVOLÚCIÓS ÖSSZEGEK SPEKTRÁLIS FELBONTÁSA

ADDITÍV KONVOLÚCIÓS ÖSSZEGEK SPEKTRÁLIS FELBONTÁSA ADDITÍV KONVOLÚCIÓS ÖSSZEGEK SPEKTRÁLIS FELBONTÁSA HARCOS GERGELY Ha a(n) eg számelméleti függvén, akkor természetes feladat a a(m)a(n)w(m, n) m±nh alakú additív konvolúciós összegek vizsgálata. Ha W :

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 2. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

1. ALKALMAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK

1. ALKALMAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK Gkorlt 08 echnik II. Szilárdságtn 0 08 Segédlet KÜLPONTOS HÚZÁS-NYOÁS Trtlom. ALKALAZOTT ÖSSZEFÜGGÉSEK.... GYAKORLATOK PÉLDÁI.... TOVÁBBI FELADATOK..... Külpontos húzás-nomás..... Hjlítás és húzás... 9

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek

Részletesebben

1. Algebra x. x + értéke? x

1. Algebra x. x + értéke? x Alger I Feldtok Bonts fel két 0-nél ngo sám sortár követkeő sámokt: ) ) ) d) e) f) g) h) i) j) k) Alkíts lson foksámú polinomok sortává lái polinomokt: ) i) ) j) 7 ) k) d) l) 0 6 e) m) 0 6 f) n) g) o)

Részletesebben

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika

2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika 2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

3D Grafika+képszintézis

3D Grafika+képszintézis D Grafikaképsintéis P . Computer Integrated Manufacturing (Beveetés ea. CAD ADATOK CAQ CAPP CAP CAM CAE Computer Aided Design Computer Aided Manufacturing Computer Aided Engineering Computer Aided Processing

Részletesebben

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése VB-EC01 progrm rövid szkmi ismertetése A VB-EC01 progrmcsomg hrdver- és szoftverigénye: o Windows XP vgy újbb Windows operációs rendszer o Min. Gb memóri és 100 Mb üres lemezterület o Leglább 104*768-s

Részletesebben

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

Skolem forma. Skolem tétel Tetszőleges A formulához megszerkeszthető egy x x K 1 2

Skolem forma. Skolem tétel Tetszőleges A formulához megszerkeszthető egy x x K 1 2 eolúció Skolem orm Deiníció A K 2 n A lkú ormulát univerális Skolem-ormánk neveük A kvntormentes ormul Skolem-orm mgj vg mátri. H Skolemorm mgj konjunktív normálorm kkor ormulát univerális Skolemnormálormánk

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben