(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---"

Átírás

1 A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris lgebr: Komple számok Műveletek lgebri és trigoometrikus lkb Poliomok, gyöktéyezős lk, poiomok mrdékos osztás Műveletek síkbeli, térbeli és -dimeziós vektorokkl 3 Hjlásszög, vetületvektor, terület, térfogt számolás vektorműveletek segítségével 4 Néháy térgörbe és felület leírás vektorokkl 5 Determiások Műveletek mátriokkl, iverz mátri, sj'tvektorok 6 Lieáris egyeletredszerek megoldás Crmer- szbállyl, elimiációvl Számsoroztok, egyváltozós vlós függvéyek (f : R R): 7 Számsoroztok kovergeciáj Néháy evezetes htárérték 8 Foglmk egyváltozós vlós függvéy jellemzésére: ért t ért k, szimmetriák, mootoitás szélsőérték, koveitás ifleiós pot, korlátosság, szimptóták, folytoosság szkdási helyek Iverz függvéy 9 Htváy, epoeciális, logritmus és hiperbolikusz függvéyek 0 Trigoometrikus és rkusz függvéyek Differeciálszámítás (egyv vlós fgv): A differeciálháydos értelmezése, derivált foglm Alpfüggvéyek deriváltj Deriválási szbályok Sebesség, gyorsulás Síkgörbe éritője Tylor-poliom 3 Függvéyvizsgált: mootoitás-lokális szélsőérték, koveitás-ifleiós pot Ttárgyi követelméyek: A félév elismeréséek feltételei: Aláírás: két félévközi zárthelyi leglább elégséges szitű teljesítése 3 Sikeres vizsg Ajálott jegyzetek: () SZARKA ZOLTÁN RAISZ PÉTERNÉ: Mtemtik I, II, Miskolci Egyetemi Kidó, 998 () KÁLOVICS FERENC: Mtemtiki lízis mérökhllgtókk, Miskolci Egyetemi Kidó, 997 Az () ltti két jegyzetet midekiek, () ltti jegyzetet csk jó középiskoli háttérrel redelkező hllgtókk jáljuk

2 hét Komple számok Műveletek lgebri és trigoometrikus lkb Ismétlés: N, Z, Q, R, Műveletek lgebri lkb: Számolási szbály: mit többtgú kifejezésekkel, csk i i = i = Ábrázolás, elevezések: Re z, Im z, z, z Műveletek trigoometrikus lkb: Ábr, + bi = r(cosϕ+ isiϕ) Szorzás, osztás, htváyozás, gyökvoás trigoometrikus lkb (z első képlet levezetése) Feldtok Végezzük el lgebri lkb következő műveleteket: ( 3+ 5i)( i ), ( + 3i 3i) ( + i) +, + i + i 3 3 i +, ( + i), i Adj meg következő kifejezések értékeit lgebri lkb: Re( + 3i) Im( + i) +, i 3 i+ 4 3 Számítsuk ki következő értékeket lgebri vgy (és) trigoometrikus lkb : 6 3 ( i), ( + i)(cos π/ 3+ i si π/ 3), + i, 8i 4 Oldj meg következő egyeleteket C-be: z z + = 0, + = 0 5 3

3 hét Műveletek vektorokkl Elevezések: Síkbeli-térbeli vektorok, szbd vektor,, 0 egységvektor, ullvektor, hjlásszög Műveletek geom-i értelmezése térbeli vektorokr: Összedás: ábr, tuljdoságok: komm, sszoc, ivert Kivoás: b + b, ábr bc iv Szorzás számml: ábr, tuljdoságok: αβ ( ) = ( α β), α +β = ( α+ β), Skláris szorzt: ábr, tuljdoságok: komm, disztrib Vektoriális szorzt: ábr, tuljdoságok: b = (b ), disztrib Vegyesszorzt: bc ( b)c, tuljdoságok: = bc = cb, bc = bc Műveletek koordiátákkl dott térbeli vektorokkl: Ábr, OA = = i + j+ 3k = (,,3) ; =, 0 = + b = (,, 3) + (b, b, b3) = (i + j+ 3k) + (bi + b j+ b3k) = ( + b)i + = ( +,) b = λ = b = b = bc = Műveletek -dimeziós vektorokkl: Az első 4 művelet értelmezése Feldtok Legyeek, b, c egy térbeli háromszög csúcspotjihoz muttó helyvektorok Adj meg súlypothoz muttó helyvektort eze vektorok segítségével! Legye v = (3,, 3) Ábrázolj v t és v t! Számíts ki v t és 0 v 0 t! 3 Legye = i + j, b = (,,3), c = 3i + j+ k Számíts ki következőket: + b, b c, 5b,, b, c b, b, b, c, bc, bc, cb 4 Legye = (,,, 3), b = (,, 3, ) Számíts ki b ( + b) értékét! 3

4 3 hét Vektorok lklmzási I Erők eredője: Ábr, F = F + F Muk kiszámítás: Ábr, W = F s Ábr, W = F s Hjlásszög: b Ábrák, cos γ = b Vetületvektor: v = b 0 b Ábrák, ( ) 0, merőlegesség Prlelogrmm, háromszög területe: Ábrák, T pr = b, Thsz = b, párhuzmosság Prlelepipedo térfogt: Ábr, Vpl = A t m = b m = b c cos γ= bc, hol γ hegyesszög V bc Három vektor egy síkb pl = Feldtok Legye = i j k, b = j, c = (,0,) Mutss meg következő 3 tuljdoságot: c, z b és c vektorok párhuzmosk, továbbá z, b, (4,, 4) vektorok egy síkb vk! Legye = i j+ k, b = (,,) Számíts ki két vektor áltl meghtározott prlelogrmm területét és -k b -re eső merőleges vetületvektorát! 3 Legye = (3,0,3), b = i + 6 j+ k Számíts ki két vektor hjlásszögét és b -ek z -r eső merőleges vetületvektorát! 4 Legye = 3i + j+ k, b = (,3,), c = j k Számíts ki: és c hjlásszögét, z és b áltl meghtározott háromszög területét, z, b és c áltl meghtározott prlelepipedo térfogtát! 4

5 4 hét Vektorok lklmzási II Egyees egyelete: Ábr, r(t) = r0 + tv, prméteres egyeletredszer Csvrvol egyelete: Ábr, pl: r (t) = ( cos t, si t, t), t [ 0, π) Vivii-görbe egyelete: Ábr, pl: r (t) = ( + cos t, si t, t cos t ) = + cos t, si t, si, t [ 0, π) Sík egyelete: Ábr, r( α, β) = r0 +αu + βv, prméteres egyeletredszer Ábr, (r r0 ) = 0, A + By + Cz = D Hegerfelület egyelete: Ábr, r( α, β) = rvg ( α ) + β, hol Feldtok Adj meg P (,,0), P (,,3) potoko átmeő egyees és Q (,0,0), Q(0,3,0), Q3(0,0,4) potoko átmeő sík döféspotját! Adj meg P (,, ) és P (3,,) potoko átmeő egyees egyeletét! Adj meg z egyees döféspotjit koordiátsíkokkl, dj meg z egyees origótól mért távolságát! 3 Adj meg (0, 3, 0) középpotú, egység sugrú, z (, z) síkkl párhuzmos körvol potjihoz muttó helyvektort! Milye prméterértékél kpj meg (, 3, 0), (0, 3, ) ill (0, 3, -) potokt? 4 Adj meg (0, 3, 0) középpotú, egység sugrú, z (, z) síkkl párhuzmos körvol és z (0,,0) = vektor (lkotók iráyvektor) áltl meghtározott végtele hegerfelület potjihoz muttó helyvektort! Milye prméterértékekél kpj meg (, 7, 0), (0, 9, ) ill (0,, ) potokt? 5

6 5 hét Determiások Defiíció: A vlós vgy komple számokból (kifejezésekből) (defiíció első sor szeriti kifejtéssel) Tuljdoságok: () A defiíciób szereplő kifejtést z első sor helyett végezhetjük másik sor vgy oszlop szerit is, h figyelembe vesszük z előjelszbályt () H két sort felcserélük, kkor determiás értéke (-)-szeresre változik (3) A determiás értéke em változik, h vlmely sor (oszlop) számszorosát hozzádjuk egy másik sorhoz (oszlophoz) Elimiáció: A () és (3) tuljdoság felhszálásávl elérjük, hogy főátló ltt csup 0 legye Ekkor determiás értékét főátlób szereplő elemek szorzt dj meg Mátriok Defiíció: A vlós számokból (kifejezésekből) felépített Összedás:, tul: komm, sszoc, ivert; Kivoás:, tul: --- Szorzás számml:, tul: ( αβ )A =αβ ( A), λ(a + B) =λa + λb ; Szorzás:, tul: sszoc, disztrib Iverz mátri: + D D A =, det A 0, A = det A D ± D + D D ± D D D és D ij z ij hez Feldtok Számíts ki z lábbi determiások értékét defiíció lpjá (kifejtéssel) és elimiációvl is: i i i , i i i, hol i C, i i i A =, B =, C = ( A + B) A =? A =, B 0 5, C = A B =? 4 3 = Számítsuk ki z eredméyt! 3 4 A = =, B 3 mátriok iverzét, mjd elleőrizzük z 3 5 6

7 6 hét Lieáris egyeletredszerek Elevezések, megoldhtóság: = b = b ; k + k + + k = b k + y = 5 y = H b = b = = b k = 0, kkor Pl: + y = 5 + y = 6 + y = 5 + y = 0 Crmer-szbály: H k = és D = 0, kkor egyértelmű megoldás és : D = ; D D = D ; Elimiáció (Guss): k k b b k bk Megegedett átlkítások:, Cél: Feldtok Oldj meg z + y 3z = 4 y + z = y 5z = li e rsz-t Crmer-szbállyl és elimiációvl is! Oldj meg z + y 3u + 3v = 4 y + u v = 0 + 5y 9u + 6v = y 5u + v = li e rsz-t elimiációvl! 7

8 + y + z = 3 A t prméter ( t R ) mely értékeire em oldhtó meg z + 3y + 6z = 3 + y + t z = t Milye t-re lesz egyértelmű megoldás, milye t-re kpuk végtele sok megoldást? egyeletredszer? 8

9 7 hét Számsorozt htárértéke Számsorozt foglm, megdás: Számsoroztról kkor beszélük, h Pl: , N ;,,,,, (ábr), eplicit megdás; Pl: b = 0, b =, b = b + b, N, 3; 0,,, 3, 5,,, (ábr), implicit m Htárérték: Az számot z { } számsorozt htárértékéek Koverges, diverges számsorozt Nevezetes htárértékek: lim = 0, q < eseté lim q = 0, c > 0 eseté lim c =, lim =, lim + létezik, irrc szám, ezutá e vel jelöljük Műveletek számsoroztokkl, tétel: { } és { b } dott számsoroztok ugyoly ideezéssel A két sorozt összegé, külöbségé, H { } és { } b koverges számsoroztok, kkor lim (c ) = c lim ; lim ( ± b ) = lim ± lim b ; lim ( b ) = lim lim b ; lim lim =, felt h ev 0; lim k = k lim b lim b Feldtok Vizsgálj meg következő számsoroztokt kovergeci szempotjából: 4 + =, N ; ( ), N Htározz meg következő értékeket z ismert evezetes htárértékek felhszálásávl: lim, lim, lim, lim, lim k k + k 3 Milye htároztl lkok fordulk elő z lábbi htárértékek kiszámoláskor: lim, lim, lim 4 +, lim ? 9

10 8 hét Foglmk egyváltozós vlós függvéyek jellemzésére H oly függvéy (egyértelmű hozzáredelés) dott, mely vlós számokhoz vlós számokt redel, kkor egyváltozós vlós függvéyről beszélük Jele: f : R R, f () = Értelmezési trtomáy, értékkészlet: Pl: f : R R, f () = + ; Ve-digrmm, ábrázolás, Domf = [, ), R f = [0, ) Szimmetri: Pl: f : R R, f () = ; f : R R, f () = si, (Páros, pártl, periodikus függvéyek) Mootoitás, szélsőérték: Pl: f : R R, f () = 4 Koveitás, ifleiós pot: Pl: f : R R, 3 f () = Korlátosság: Pl: f : R R, f () = 4 ; f : R R, f () = si, if f () =?, sup f () =? Aszimptót: Pl: f : R R, f () = / Htárérték, folytoosság, szkdási helyek: Pl: f () = +, = ; f () =, = ; f () = sg, = 0; f () =, = 0 lim f () = lim f () = f () +, lim f () = lim f () f () +, lim f () lim f () +, esetek Iverz függvéy: Pl: f : R R, f () = + 4 R R Feldtok Vázolj z lábbi egyváltozós vlós függvéyeket és jellemezze őket tult foglmk (ért t ért k, szimmetriák, mootoitás szélsőérték, koveitás ifleiós pot, korlátosság, szimptóták, folytoosság szkdási helyek) segítségével: g : f : R R, f () = 4, R R, g() = 4 Vázolj z lábbi egyváltozós vlós függvéyeket és jellemezze őket z = helye folytoosság, szkdási tuljdoság szerit: f () =, 4 f () =, f () = + sg ( ), f () = 3 V-e iverze z f : R R, f () = 4 ; g : R R, g() = / 9, 0 függvéyekek? H ige, kkor dj meg, mjd ábrázolj z eredeti és iverz függvéyt is 0

11 9 hét Nevezetes függvéytípusok, I Htváyfüggvéyek: k f : R R, f () =, hol k 0 A k=,, /, - esetekhez trtozó függvéyek ábráj Azoosságok: k k k k k u u (u + v) = u + uv + v, u v = (u v)(u + v), (uv) = u v, =, v k v Epoeciális függvéyek: f : R R, f () =, hol R, > 0, Az =, e, 0 esetekhez trtozó ábrák u u v u+ v u v u v u v Azoosságok: =, =, ( ) =, v Logritmusfüggvéyek: f : R R, f () = log, hol R, > 0, Az =, e, 0 esetekhez trtozó ábrák Azoosságok: u k log b u log (uv) = log u + log v, log = log u log v, log u = k log u, log u =, v log b Hiperbolikus függvéyek: f : R f : R e R, f () = e R, f () = e Azoosságok: ch u sh u =, e e + e = sh ; = th ; sh(u ± v) = shu chv± chu shv, e + e ábr f : R R, f () = = ch ; e + e ábr f : R R, f () = = cth ; e e ch(u ± v) = chu chv ± shu shu, ábr ábr sh =, ch = Feldtok Számíts ki z lábbi értékeket defiíciók lpjá: 4 8 3, 8 3, ( ), log 64, lg 00, l, log 4 8 log9 3, e Némelyik értéket elleőrizze zsebszámológép segítségével! sh(l ), ch(l 3) Vázolj z f : R R, f () = ch, g : R R, g() = sg(l ) függvéyeket és jellemezze őket tult foglmk (7 féle) segítségével! l 3 Igzolj z lg =, ch + sh = ch összefüggéseket defiíciók lpjá! l0

12 0 hét Nevezetes függvéytípusok, II Trigoometrikus függvéyek: Szögek mérése, szögfüggvéy defiíciók, evezetes szögfüggvéyértékek f : R R, f () = si ; ábr f : R R, f () = cos ; ábr f : R R, f () = tg ; ábr f : R R, f () = ctg ; ábr Azoosságok: si u + cos u =, si(u ± v) = si u cos v ± cos u si v, cos(u ± v) =, Arkusz-függvéyek: π π f :, [, ], f () = si ; g : π π = Ábrák, f : 0, π,, f () = cos [, ],, g() = rcsi, hol si(rcsi ) [ ] [ ] ; [, ] [ 0, π], g() = rccos, hol cos(rccos ) g : = Ábrák, π π f :, (, ), f () = tg ; π π g : (, ),, g() = rctg, hol tg(rctg ) = Ábrák, f : 0, π (, ), f () = ctg ( ) ;, ) ( 0, π), g() = rcctg, hol ctg(rcctg ) g : ( = Ábrák, Azoosságok: rccos u si u =, cos u = π π u = rcsi u, rcctg u = rctg u, rcsi u = rctg, u cos(rcsi u) = u, Feldtok Számíts ki z lábbi értékeket defiíciók lpjá: 3π π 3π π si, cos, tg, ctg, rcsi( ), rccos( 05), rctg, π rccos cos 6 (Némelyik értéket elleőrizze zsebszámológép segítségével!) rcctg( ), rcsi si 5 6 Vázolj z f : R R, f () = cos( + π/ ), f : R R, f () =π rctg függvéyeket és jellemezze őket tult foglmk (7 féle) segítségével! 3 Igzolj si + cos = és rcsi = rctg, h < < zoosságokt! (Utóbbiál elég igzoli, hogy két oldl tgese megegyezik)

13 hét Egyváltozós vlós függvéy differeciálháydos, deriváltj Defiíció: Adott z f : R R, f () = függvéy és z = hely A f () f () lim értéket Jele: f (), df () d Azt függvéyt, mely Jele: f (részletesebbe : f : R R, f () = ), df d Az f függvéy deriváltját második deriváltk (jele f ), f derivátját hrmdik deriváltk (jele f ) Pl: f () =, = 5; f () = ( ) =?, f () = ( ) =? Alpfüggvéyek deriváltji ( képletek dom f domf hlmzo érvéyesek): (c) = 0; k ( ) = k =,,, / eseté : ( ) = =, e, 0 eseté : ( log ) = =, e, 0 eseté : Hiperbolikus fgv: Trigoometrikus fgv: Arkusz fgv : Deriválási szbályok: f () cf () =, f () ± g() =, f ()g() =, =, g() (Feltéve, hogy deriváltk létezek kérdéses itervllumoko) Pl: ' 5 ( ) ( ) ( ) ( f (g())) = f (g()) g () Feldtok f () = 3 + l, f () =?, f () =? f () =?, f (5) =? f () = si +, f () =?, f (0) =? f () =?, f (0) =? e 3 Deriválási feldtok: si5 3 (4) ((5 + ) ) ; ( l( ) ) ; ( ) ; ; ( lg3 rcsi ) ; ( ch4) ; 4 + e 6 6 cos rctg 6 6 (6) d d ( sh sh ) ; 6 6 ; ; ( 6 + ) ; ( ch( )); ( A si( ω t +α) ) l 6 π+ 4 d dt 3

14 hét A differeciálháydos lklmzási, I Sebesség, gyorsulás: s = s(t), t 0 dottk s s(t) s(t 0 ) v(t 0 ) = lim = lim = s(t 0 ), t t0 t t t0 t t 0 (t 0 ) = = s(t 0 ) Pl: s = gt ; s(t) = g t = gt = v; s(t) = g = Éritő meredeksége, egyelete: Kövessük egy ábrá, f () f (), f () f () f () f (), lim jeletését: Tylor - poliom: f : R R, f () =, = : f () c 0 + c ( ) + + c ( ) f () f () f () f () + ( ) + ( )!! f () f () f () = f () + ( ) + ( )!! ; f + + f + + () () ( )! () () ( )! = T (); (+ ) f ( ξ) + ( ) ( + )! + = T () + R (), Feldtok y Ábrázolj z + =, y 0 egyeletű görbét és dj meg z 9 4 éritőegyees egyeletét! = helyhez trtozó y Ábrázolj z + = egyeletű görbét és keresse meg zokt potokt, hol z éritőegyees 9 4 párhuzmos szögfelező egyeessel! 3 Tylor - poliom, hibkorlát: f () = si, = 0, π π T5 () =?, hibbecslés, re Tylor - poliom, hibkorlát: f () = cos, = 0, π π T4 () =?, hibbecslés, re 4 4 4

15 3 hét A differeciálháydos lklmzási, II Mootoitás szélsőérték: Ábráról ill f () = f () + f ( ξ)( ) -ból: f () > 0 z (u, v) be f szig mo ő (u, v) be ; f () < 0 Ábráról ill z f () (u, v) be f szig mo csökk (u, v) be (Feltesszük, hogy ) = f () + f ()( ) + f ( ξ)( ) -ből: f () = 0, f () > 0 f ek "" b lok mi v; f () = 0, f () < 0 f ek "" b lok m v (Feltesszük, hogy ) Koveitás ifleiós pot: Ábráról ill f () = f () + f ()( ) + f ( ξ)( ) -ből: f () > 0 z (u, v) be f kove (u,v) be; f () < 0 z (u, v) be f kokáv (u, v) be Ábráról ill f () (Feltesszük, hogy ) 3 = f () + f ()( ) + f ()( ) + f ( ξ)( ) -ből: 6 f () = 0, f () 0 f ek "" b ifl potj v (Feltesszük, hogy ) Feldtok 4 Keresse lokális szélsőértékeket és ifleiós potokt z f : R R, f () = függvéy eseté ( deriváltk felhszálásávl)! Keresse lokális szélsőértékeket és ifleiós potokt z f : R R, f () = e függvéy eseté ( deriváltk felhszálásávl)! 3 3 Ábrázolj z f : R R, f () = 3 függvéyt éháy tuljdoság (zérushelyek, szélsőértékhelyek, ifleiós potok, viselkedés ± -be) felhszálásávl! 4 Ábrázolj z f : R + potok, viselkedés ± -be) felhszálásávl! R, f () = függvéyt éháy tuljdoság (szélsőértékhelyek, ifleiós R, f () = függvéyt éháy tuljdoság (szkdási helyek, szélsőérték- 5 Ábrázolj z f : R + helyek, ifleiós potok, szimptóták) felhszálásávl! 5

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

x + 3 sorozat első hat tagját, ha

x + 3 sorozat első hat tagját, ha Soroztok, soroztok megdás rekurzív módo.. Az ( ) soroztot rekurzív módo dtuk meg 7 -, sorozt első két tgj ( < ) egybe gyökei következő egyeletek: sorozt első öt tgját. y.adott ( ). Írd fel ( ) x 0 x. Htározd

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1 Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK we-lap : www.hild.gyor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STTIK 47. RÁCSOS TRTÓK rácsos tartók két végükön csuklókkal összekötött merev testekől állnak. z így

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

2. Interpolációs görbetervezés

2. Interpolációs görbetervezés 2. Interpolációs görbetervezés Gondoljunk arra, hogy egy grafikus tervező húz egy vonalat (szabadformájú görbét), ezt a vonalat nekünk számítógép által feldolgozhatóvá kell tennünk. Ennek egyik módja,

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1 III. Évfolym. szám - 008. úius Gyrmti József Zríyi iklós Nemzetvédelmi Egyetem gyrmti.ozsef@zme.hu SRT, TÖBBSZEPONTÚ DÖNTÉSI PROBÉ EGY EGYSZERŰ EGODÁS bsztrkt cikk egy többszempotú dötési módszert mutt

Részletesebben

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16).

Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16). FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS Definíció Definíció Az f ( ) függvény pontban értelmezett deriváltja a f ( + ) f ( ) lim határértékkel egyenlő amennyiben az létezik ( lásd Fig 6) df A deriváltat

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

Anyagmozgatás és gépei. 3. témakör. Egyetemi szintű gépészmérnöki szak. MISKOLCI EGYETEM Anyagmozgatási és Logisztikai Tanszék.

Anyagmozgatás és gépei. 3. témakör. Egyetemi szintű gépészmérnöki szak. MISKOLCI EGYETEM Anyagmozgatási és Logisztikai Tanszék. Anyagmozgatás és gépei tantárgy 3. témakör Egyetemi szintű gépészmérnöki szak 3-4. II. félé MISKOLCI EGYETEM Anyagmozgatási és Logisztikai Tanszék - 1 - Graitációs szállítás Jellemzője: hajtóerő nélküli,

Részletesebben

Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0

Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0 Analízis A differenciálszámítás középértéktételei: 1) Rolle-tétel: Ha f folytonos a korlátos és zárt [a;b] intervallumon, f diffható [a;b]-n és f(a) = f(b), akkor van egy a < c < b belső pont, ahol f'(c)

Részletesebben

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert) GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus) A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit. modul: Erőrendserek lecke: Erőrendserek egenértékűsége és egensúl lecke célj: tnng felhsnálój megsmerje erőrendserek egenértékűségének és egensúlánk feltételet Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

Darupályatartók. Dr. Németh György főiskolai docens. A daruteher. Keréknyomás (K) Fékezőerő (F)

Darupályatartók. Dr. Németh György főiskolai docens. A daruteher. Keréknyomás (K) Fékezőerő (F) Dr. émeth Görg főiskoli docens Drupáltrtók s f c 6vg e f sz c/ >,5 e s ~,.. A druteher Q 4 4 eréknomás () Fékezőerő (F) F Oldlerő () Biztonsági ténező dru fjtájától (híddru/függődru) és névleges teherírástól

Részletesebben

Fizikai alapismeretek

Fizikai alapismeretek Fizikai alapismeretek jegyzet Írták: Farkas Henrik és Wittmann Marian BME Vegyészmérnöki Kar J6-947 (1990) Műegyetemi Kiadó 60947 (1993) A jegyzet BME nívódíjat kapott 1994-ben. Az internetes változatot

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort.

Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort. VEKTOROK VEKTOROK FOGALMA Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon, hogy az egyik pont a kezdőpont, a másik pont a végpont, akkor irányított szakaszt kapunk. Egy irányított szakasz

Részletesebben

ÉT: x R ÉK: y R ZH: x = 0 SZÉ: - SZMN páratlan fv. n a

ÉT: x R ÉK: y R ZH: x = 0 SZÉ: - SZMN páratlan fv. n a A htváyozás iverz műveletei. (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté De.: :... Oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. : htváyl : kitevő : htváyérték A htváyozás zoossági egész

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

10. évfolyam, ötödikepochafüzet

10. évfolyam, ötödikepochafüzet 10. évfolyam, ötödikepochafüzet (Hasonlóság, trigonometria) Tulajdonos: ÖTÖDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Geometriai transzformációk... 3 I.1. A geometriai transzformációk ismétlése... 3 I.2. A vektorok ismétlése...

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Hálózati transzformátorok méretezése

Hálózati transzformátorok méretezése KÁLMÁN Telefogyár ISTVÁN Hálózati traszformátorok méretezése ETO 62.34.2.00.2 dolgozat célja olya számítási eljárás megadása, amelyek segítségével gyorsa és a gyakorlat igéyeit kielégítő potossággal lehet

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött

Részletesebben

-vel, ahol i a sor- és j az oszlopindex. Pl. harmadrendő determinánsnál: + +

-vel, ahol i a sor- és j az oszlopindex. Pl. harmadrendő determinánsnál: + + LINEÁRIS ALGEBRA Mit evezük másodredő determiásk? Másodredő determiásk evezzük égy elem, két sor és két oszlop redezett táláztát, melyhez z lái módo redelük értéket: = d c c d Mit evezük egy determiás,

Részletesebben

DIFFERENCIAEGYENLETEK

DIFFERENCIAEGYENLETEK DIFFERENCIAEGYENLETEK A gazdaság változómennyiségeit (jövedelem, fogyasztás, beruházás,...) általában bizonyos időszakonként (naponta, hetente, havonta, évente) figyeljük meg. Ha ezeket a megfigyeléseket

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

Vektorok (folytatás)

Vektorok (folytatás) Vektorok (folyttás) Vektor szorzás számml (sklárrl) Vektor szorzás számml b 1 c 2b c 2 ( 1 ) 2 Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl

Részletesebben

(2) A R. 3. (2) bekezdése helyébe a következő rendelkezés lép: (2) A képviselő-testület az önkormányzat összes kiadását 1.1369.

(2) A R. 3. (2) bekezdése helyébe a következő rendelkezés lép: (2) A képviselő-testület az önkormányzat összes kiadását 1.1369. Enying Város Önkormányzata Képviselő-testületének 20/2010. (X. 05.) önkormányzati rendelete az Enying Város Önkormányzatának 2100. évi költségvetéséről szóló 7/2010. (II. 26.) önkormányzati rendelete módosításáról

Részletesebben

Ismerkedés az Abel-csoportokkal

Ismerkedés az Abel-csoportokkal Ismerkedés az Abel-csoportokkal - Szakdolgozat - Készítette: Takács Mária (Matematika BSc, Tanári szakirány) Témavezető: Kiss Emil (Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet) Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben