ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK
|
|
- Ádám Papp
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı): + = + 2) sszocitív ( csoportosíthtó): (+)+c = +(+c) 3) 0 - semleges elem z összedásr ézve: 0+ = +0 = ) Kivoás: = c - kiseítedı, - kivodó, c - külöség A feldtok yivl kise (kevese). c) Szorzás: = c és - szorzótéyezık, c - szorzt A feldtok yiszor gyo (tö). A szorzás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı) : = 2) sszocitív ( csoportosíthtó) : ( ) c = ( c) = c 3) 0 semleges elem z összedásr ézve:1 = 1= 4) szorzás disztriutív z összedásr ézve : (+c) = + c vgy (+) c = c+ c Közös téyezı: + c = (+c) vgy c+ c = (+) c d) Osztás: : = c - osztdó - osztó c - háydos A feldtok yiszor kise (kevese). A mrdékos osztás tétele: = c + r, r < (r mrdék) e) Htváyozás: =, (-szer) - lp, - htváykitevı Értelmezés: Egy természetes számot htváyozi zt jeleti, mit megszorozi ömgávl, z lpot yiszor véve, háyszor htváykitevı muttj. Sjátos esetek: 0 = 1 Mőveletek htváyokkl: m = m+ 1 = m : = m - 1 = 1 ( m ) = m 0 = 0 ( ) = 1
2 Négyzetszámok és köszámok: Egy természetes szám felírás 10 htváyik segítségével: cdefgh = c d e f g 10 + h 2. EGYENLETEK ) + = ) + = c) - = d) - = = - = - = + = - e) = f) = g) : = h) : = = : = : = : = 3. A TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA : = c c töszöröse. c osztój oszthtó -vel / osztj - t Oszthtóság 10 - zel: Egy természetes szám oszthtó 10 - zel, h utolsó számjegye 0. Oszthtóság 10 -el:egy természetes szám oszthtó 10 -el, h utolsó számjegye 0. Oszthtóság 2 - vel : Egy természetes szám oszthtó 2 - vel, h utolsó számjegye páros. Oszthtóság 5 - tel : Egy természetes szám oszthtó 5- tel, h utolsó számjegye 0 vgy 5. Oszthtóság 3 - ml (9- cel): Egy természetes szám oszthtó 3 - ml (9- cel), h számjegyeiek összege oszthtó 3- ml (9- cel). Leggyo közös osztó (l.k.o.) kiszámítás: - számokt törzstéyezıkre otjuk, - közös téyezıket legkise htváyo összeszorozzuk. Legkise közös töszörös (lk.k.t.) kiszámítás: - számokt törzstéyezıkre otjuk, 2 - mide téyezıt egyszer véve leg- gyo htváyo összeszorzuk.
3 4. HALMAZOK Jelölések : - eleme - efogllv - em eleme - ics efogllv - efogllj, -efogllv vgy egyelı - efogllj vgy egyelı - em fogllj e -ics efogllv és em egyelı -em fogllj e és em egyelı vgy \ - míusz Relációk: ) Hozzátrtozás A ; A A ) Befogllás A C Mőveletek hlmzokkl B D C A B A D A A A B A B B A B A B 3
4 ) Egyesítés: A U B ) Metszet: AI B c) Külöség: - z A hlmz zo elemeiek hlmz, A B - két hlmz összes elemeiek hlmz. - két hlmz közös elemeiek hlmz. melyek em trtozk B hlmzhoz. d) Descrtes szorzt: H A = { ; }, B = { ; y ; z }, A B = { (;), (,y), (;z), (,), (;y), (,z) }, B A = { (;), (y,), (z;), (,), (y;), (z,) }. Az A és B hlmzok Descrtes szorzták evezzük z összes elempárok hlmzát, hol z elsı elem z A hlmzól, második elem B hlmzól v. II. EGÉSZ SZÁMOK 1. AZ EGÉSZ SZÁMOK HALMAZA. SZÁMHALMAZOK. SZÁMTENGELY. ELLENTÉTES SZÁMOK.. MODULUSZ. RENDEZÉS. ) Értelmezés : Egész számk evezzük 0-tól külöözı természetes számot, melyek + vgy - elıjele v. ) Jelölések : - természetes számok hlmz - z egész számok hlmz * - 0-tól külöözı természetes számok hlmz * - 0-tól külöözı egész számok hlmz - egtív egész számok hlmz + - pozitív egész számok hlmz > - gyo < - kise - gyo vgy egyelı - kise vgy egyelı 4 * { } = 0, = rcioális számok hlmz * = hol, - vlós számok hlmz = ( \ ) hol \ z irrcioális számok hlmz.
5 c)számtegely: számtegely kezdıpotj. A yíl övekedési iráyt jelöli.: A 0-tól külöözı egész szám elletéteséek (elletettjéek) evezzük zt z egész számot, melyet úgy kpuk, hogy meg- változttjuk szám elıjelét. A számtegelye z elletett számokk megfelelı potok kezdıpottól egyelı távolságr helyezkedek el. z, h z > 0 e) Modulusz (szolút érték): z = 0, h z = 0 z, h z < 0 Mértilg z z számk megfelelı potk számtegely kezdıpotjától vló távolságát jeleti. Más szóvl egy egész szám modulusz (szolút értéke) z illetı szám elıjel élkül. 2. DERÉKSZÖGŐ KOORDINÁTA RENDSZER Két egymásr merıleges számtegely koordiát redszert lkot. O - szcissz tegely - z A pot szcisszáj Oy - ordiát tegely y - z A pot ordiátáj O - kezdıpot ( origo ) és y z A pot koordiátái y II. egyed 7 I. egyed ( + ; ) 6 ( + ; + ) A ( ;y ) III. egyed -5 IV. egyed ( + ; ) -6 ( ; ) -7 5
6 3. MŐVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL ) Összevoás: - Azoos elıjelő számokt úgy vouk össze, hogy z szolút értékeket összedjuk, z összeg elıjele pedig közös elıjel lesz. - Külöözı elıjelő számokt úgy vouk össze, hogy z szolút értéke gyo számól kivojuk z szolút értéke kise számot, z összeg elıjele pedig z szolút értéke gyo számé lesz. - A zárójel elıtti míusz megváltozttj zárójele levı elıjeleket. ) Szorzás és osztás: - Elıjel szály: ( + ) ( + ) = + ( + ) ( ) = ( ) ( + ) = ( ) ( ) = + Más szóvl zoos elıjelő számok szorzt (háydos) pozitív, külöözı elıjelő számok szorzt (háydos) egtív. Megállpítjuk szorzt ( háydos ) elıjelét feti elıjel szály szerit, z szolút értékeket pedig összeszorozzuk (elosztjuk). c) Egész szám természetes kitevıjő htváy: - Pozitív szám ármilye htváy pozitív. - Negtív szám páros kitevıjő htváy pozitív, pártl kitevıjő htváy egtív. Megállpítjuk htváy elıjelét, z szolút értékeket pedig htváyr emeljük. III. RACIONÁLIS SZÁMOK - tört áltláos lkj 1. KÖZÖNSÉGES TÖRTEK - számláló - evezı A törtek osztályozás : ) vlódi tört < 1 < ) egységtört = 1 = 6 c) áltört > 1 > 2. EKVIVALENS ( EGYENÉRTÉKŐ ) TÖRTEK
7 c = d = c d 3.TÖRTEK EGYSZERŐSÍTÉSE Egy törtet egyszerősítei zt jeleti, hogy elosztjuk tört számlálóját is és evezıjét is ugy- zzl 0-tól és 1-tıl külöözı természetes számml. 4. TÖRTEK BİVÍTÉSE Egy törtet ıvítei zt jeleti, hogy megszorozzuk tört számlálóját is és evezıjét is ugyzzl 0-tól és 1-tıl külöözı természetes számml. 5. TÖRTEK KÖZÖS NEVEZİRE HOZÁSA Tö tört közös evezıje evezık legkise közös töszöröse. ) kiszámítsuk evezık lk.k.t.-ét, ez lesz közös evezı; ) redre végigosztjuk közös evezıt régi evezıkkel; c) kpott háydosokkl ıvítjük törteket. 6. TÖRTEK ÖSSZEVONÁSA Csk közös evezıjő törteket vohtuk össze következıképpe: evezı változtl mrd és számlálókt összevojuk. H törtek külöözı elıjelőek összevoás elıtt közös evezıre hozzuk ıket. 7. TÖRTEK SZORZÁSA Tö törtet úgy szorzuk össze, hogy számlálókt össze szorozzuk egymás közt és evezıket is egymás közt Szorzás elıtt, h lehet egyszerősítük.. 8.TÖRTEK OSZTÁSA Két törtet úgy osztuk el egymássl, hogy z elsı törtet megszorozzuk második tört iverzével. 9. TÖRTEK HATVÁNYA = Negtív kitevıjő htváy zt jeleti, hogy z illetı tört iverzét emeljük z illetı htváyr: - = = 7
8 Rcioális számk evezzük z Kifejezési formák : - közöséges tört 10. RACIONÁLIS SZÁM törttel egyeértékő törtek hlmzát. - vegyes szám - 2 rész : egész rész tört rész. - tizedes tört : - véges - végtele, szkszos : - tiszt szkszos - vegyes szkszos 11. AZ EGÉSZ KIEMELÉSE A TÖRTBİL A számlálót elosztjuk evezıvel, háydos lesz z egész rész, mrdék z új számláló, evezı változtl mrd. 12. AZ EGÉSZ BEVEZETÉSE A TÖRTBE Az egészet megszorozzuk evezıvel, szorzthoz hozzádjuk számlálót, ez lesz z új számláló, evezı változtl mrd. 13. KÖZÖNSÉGES TÖRTEK ÁTALAKÍTÁSA TIZEDES TÖRTTÉ A számlálót elosztjuk evezıvel. A háydos lehet véges tizedes tört, tiszt szkszos tizedes tört vgy vegyes szkszos tizedes tört. 14. TIZEDES SZÁM (VÉGES TIZEDES TÖRT) ÁTALAKÍTÁSA KÖZÖNSÉGES TÖRTTÉ A számláló írjuk számot tizedes vesszı élkül, evezıe z 1-es utá yi 0-át íruk, háy számjegy v tizedes része. Végül, h lehet egyszerősítük. 15. TISZTA SZAKASZOS TIZEDES TÖRT ÁTALAKÍTÁSA KÖZÖNSÉGES TÖRTTÉ Az egészet tört elé írjuk, számláló írjuk szkszt, evezıe yi 9-est íruk, háy számjegy v szksz. Végül, h lehet egyszerősítük és evezetjük z egészet törte. 16. VEGYES SZAKASZOS TIZEDES TÖRT ÁTALAKÍTÁSA KÖZÖNSÉGES TÖRTTÉ Az egészet tört elé írjuk, számláló tizedes részıl kivojuk szksz elıtti részt, evezıe yi 9-est íruk, háy számjegy v szksz és yi 0 - át, háy számjegy v szksz elıtt Elvégezzük számláló kivoást, h lehet egyszerősítük és evezetjük z egészet törte TIZEDES SZÁMOK ÖSSZEVONÁSA
9 A számokt egymás lá írv vojuk össze, vigyázv rr, hogy z egész rész z egész rész lá, tizedes rész tizedes rész lá és tizedes vesszı tizedes vesszı lá kerüljö. 18. TIZEDES SZÁMOK SZORZÁSA ) Tizedes számot úgy szorzuk 10 htváyivl, hogy tizedes vesszıt yi szám-jeggyel visszük lról jor, meyi 10 htváykitevıje. )Tizedes számot tizedes számml úgy szorzuk, hogy számokt összeszorozzuk tizedes vesszı élkül, szorzt pedig tizedes veszıt yi számjegy elé tesszük, joról lr számolv, háy számjegy v szorzótéyezık tizedes részée összese. 19. TIZEDES SZÁMOK OSZTÁSA ) Tizedes számot úgy osztuk 10 htváyivl, hogy tizedes vesszıt yi számjegy- gyel visszük joról lr, meyi 10 htváy-kitevıje. ) Tizedes számot természetes számml úgy osztuk, hogy mielıtt mrdék lehozzuk tizedes vesszı utái elsı számjegyet, háydos végére kitesszük tizedes vesszıt. c) Tizedes számot tizedes számml em lehet oszti, csk tizedes számot természetes számml. H z osztó tizedes szám, úgy z osztdó, mit z osztó tizedes vesszıt yi számjeggyel visszük lról jor, háy számjegy v z osztó tizedes részée. IV. ARÁNYOK, ARÁNYPÁROK, SZÁZALÉKOK, ARÁNYOS MENNYISÉGEK ARÁNYOK ) Aráy: Két és ( 0) szám ráy z : háydos és -vel jelöljük. ) Vlószíőség: Egy eseméy megvlósulásák vlószíősége z eseméy meg- vlósulásák kedvezı esetek szám és kísérlete lehetséges esetek számák ráy. kedvezı esetek szám P (A) = lehetséges esetek szám c) Ötvözet fiomság: Ötvözet fiomságák evezzük z ötvözete levı emesfém és z ötvözet tömegéek ráyát. T = m M 9 d) Oldt kocetrációj (töméysége): Egy oldt kocetrációják evezzük feloldott yg és z oldt tömegéek ráyát. Kocetráció = feloldott yg tömege oldt tömege
10 d) Egy rjz (térkép) léptéke: Egy rjz (térkép) léptékéek evezzük rjzo mért távolság és terepe (vlóság) mért távolság ráyát. távolság rjzo L = távolság vlóság Százlékos ráyk evezzük p SZÁZALÉKOK (p ; p 0 ) lkú ráyt. Jelölése : p% Egy szám p% -át úgy számítsuk ki, hogy számot megszorozzuk.p = = 100 H egy ismeretle szám p% -, vgyis H z szám %-, kkor 100 = p 100 p 100 kkor 100 = p - zl, vgyis 3. ARÁNYPÁROK )Értelmezés: Két ráy egyelıségét ráypárk evezzük. Jelölés c = Az ráypár elemei: és d - kültgok d és c - eltgok ) Az ráypár lptuljdoság: Bármely ráypár kültgok szorzt egyelı eltgok szorztávl. d = c c) Az ráypár ismeretle tgják kiszámítás: c c = = d d c d = = d c d c c = = = = d 10 d) Szármzttott ráypárok: c - Azoos tgú szármzttott ráypárok: = d felcseréljük eltgokt felcseréljük kültgokt c d d c 818
11 felcseréljük eltgokt is és kültgokt is ( megfordítjuk z ráyokt ). d c = vgy = d c -Megváltozttott tgú szármzttott ráypárok: - Egy ráypár összedv (kivov) számlálókt és evezıket, z eredeti ráyokkl egyelı ráyt kpuk. + c - c = + d - d - Egy ráypár hozzádv (kivov) számlálókt evezıkhöz (evezıkıl) új ráypárt kpuk (vgy fordítv, h evezıket djuk hozzá vgy vojuk ki számlálókól). + c + d c d c c =. d d + c + d - c - d + c c - c c + d d - d d + c + d c + d + - c - d c - d - c cm d dm cm c dm m dm + c c - c c + d d - d d + c + d c d cm dm + cm + dm Más komiációk + c - c + d - d - c - d + c + d c d + c + d - c + c - d + d c - d - c + d + c m dm - c - d + c c c + c + d d d + d + c + d + cm cm c d + dm dm + m c + dm m c dm =. m c dm + m c + dm 11 ) Értelmezés: 1 = = ARÁNYSOR =.. = egy ráysor.
12 ) Az ráysor lptuljdoság: Egy ráysor mide ráy egyelı számlálók összegéek és evezık összegéek z ráyávl, vgyis 2 = = = = más vriások: k k 1 1 k1 = k 2 2 k11 k = k 1 2 k = k = 3 3 k k k =.. = k = k = k 1 = k 2 = k + k + k k k + k + k k k + k + k k k + k + k k ARÁNYOS MENNYISÉGEK ) Egyeese ráyos meyiségek: Két és y meyiség egyeese ráyos, h úgy függek egymástól, hogy mikor z egyik izoyos számszor ı ( csökke ), másik ugyyiszor ı (csökke), vgyis y = k, (k 0). Az A = { 1, 2, 3 } és B = { 1, 2, 3 } hlmzok elemei között egyees ráyosság áll fe, h elemeikıl egyelı ráysort lkothtuk, vgyis = = =... = ) Fordított ráyos meyiségek: Két és y meyiség fordított ráyos, h úgy függek egymástól, hogy mikor z egyik izoyos számszor ı ( csökke ), másik ugyyiszor csökke (ı), vgyis y = k (k 0). Az A = { 1, 2, 3 } és B = { 1, 2, 3 } hlmzok elemei között fordított ráyosság áll fe, h elemeiıl egyelı szorztsort lkothtuk, vgyis 1 1 = 2 2 = 3 3 = = 12 c) Egyszerő hármsszály: - egyeese ráyos meyiségekkel e e vgy c c 818
13 = c c = c = c = -fordított ráyos meyiségekkel f f vgy c c c = = c c = = c ) Számti közép: 1 2 m, 7. KÖZÉPÉRTÉKEK = ( 1, 2,... ) ) Mérti közép: mg =,, + c) Súlyozott számti közép: m + m m = m S, m 1 + m m ( 1, 2, ), (m 1, m 2,.m + ) hol z m 1, m 2,.m z 1, 2, számok elıfordulási gykoriság (súlyok). d) Hrmoikus közép: m h két szám eseté 1 2 m h 2 =, (, ) +, ( 1, 2 ) 13 V. VALÓS SZÁMOK
14 1. VALÓS SZÁM Vlós számok hlmzák jelölése Vlós szám lehet rcioális szám Є, vgy irrcioális szám Є \ 2. INTERVALLUMOK + ( [ ) ] c 0 1 d ) yílt itervllum: (;) ( ;) és ( ;) ) zárt itervllum: [c;d] c [ c;d] és d [ c;d] c) félig zárt (yílt) itervllum: (;d] ( ;d] és d ( ;d] [c;) c [ c;) és [ c;) 3. EGYENLİTLENSÉGEK ) + < 0 < < ; ) + > 0 > > c) + 0 d) + 0 ; ; ; EGYENLİTLENSÉG RENDSZEREK 818
15 + < 0 ) c + d < 0 < ; d ; ; d d c < ; c c ) c) d) + > 0 c + d > c + d c + d 0 > ; d ; ; d d c > ; c c ; d ; ; d d c ; c c ; d ; ; d d c ; c c 5. EGYENLETEK ) + = ) + = c) - = d) - = = - = - = + = - e) = f) = g) : = h) : = = = = = 6. TELJES NÉGYZET GYÖKE, GYÖK NÉGYZETE 2 = ( ) 2 = A égyzet és gyökjel kölcsööse semlegesíti egymást. Téyezı kiemelése gyökjel lól : 2 = 15
16 7. MŐVELETEK GYÖKMENNYISÉGEKKEL + + c = ( + + c) + + c y + d y = ( + ) + ( c + d) y y = y y = y ( y + c z ) = y + c z vgy ( ) ( + y ) ( c z + d u ) = c z + d u + c yz + d yu vgy ( + y ) ( c z + d u ) = c z + c yz + d u + d yu ( + y ) : c z = : c : z + : c y : z + y c z = c z + c yz 7. MŐVELETEK BETŐKKEL JELÖLT VALÓS SZÁMOKKAL ) Mőveletek : ++c = (++c) +y+cz+m+y+pz = (+m)+(+)y+(c+p)z y = ()y (y+cz) = y+c (+y) (cz+du) = cz+du+cyz+dyu (+y)cz = cz+ycz (+y) (cz+du) = cz+cyz+du+dyu ) Rövidített számolási képletek: A (B+C) = AB+AC vgy (A+B) C = AC+BC (A+B) (C+D) = AC+AD+BC+BD vgy (A+B) (C+D) = AC+BC+AD+BD (A+B) (A-B) = A 2 B 2 vgy (A-B) (A+B) = A 2 B 2 (A+B) 2 = A 2 +2AB+ B 2 (A B) 2 = A 2 2AB+ B 2 (A+B+C) 2 = A 2 +B 2 +C 2 + 2AB+ 2AC+ 2BC (A+B) 3 = A 3 +3A 2 B+3AB 2 + B 3 (A B) 3 = A 3 3A 2 B+3AB 2 B 3 (A+B) (A 2 AB+ B 2 ) = A 3 + B 3 (A B) (A 2 +AB+ B 2 ) = A 3 B 3 c) Közös téyezı: AB+AC = A (B+C) vgy AB+AC = (B+C)A AC+BC = (A+B)C vgy AC+BC = C (A+B)
17 d) Felotási képletek: A 2 B 2 = (A+B) (A-B) vgy A 2 B 2 = (A-B) (A+B) A 2 +2AB+ B 2 = (A+B) 2 és A 2 2AB+ B 2 = (A B) 2 A 2 +B 2 +C 2 + 2AB+ 2AC+ 2BC = (A+B+C) 2 A 3 +3A 2 B+3AB 2 + B 3 = (A+B) 3 A 3 3A 2 B+3AB 2 B 3 = (A B) 3 A 3 + B 3 = (A+B) (A 2 AB+ B 2 ) A 3 B 3 = (A B) (A 2 +AB+ B 2 ) e) A evezı gyökteleítése: + c y = A = B + C ( ) c y 2 2 c y ( ) A B C B C 2 2 y = = y y ( ) + c y = 2 2 c y c y A = B C ( ) A B + C B C 2 2 VI. RACIONÁLIS TÖRTEK ( ) ( ) P F( ) Q( ) 0 Q 1.ÉRTELMEZÉS Értelmezési trtomáy: ЄR \ {z zo értékei melyekre Q() = 0} A tört értelmezett z zo értékeire melyekre Q() 0. A tört értelmetle z zo értékeire melyekre Q() = 0. ( ) ( ) P F( ) = Q 1. A TÖRT SZÁMÉRTÉKE 2. TÖRTEK EGYSZERŐSÍTÉSE ÉS BİVÍTÉSE Ugyzok szályok, mit rcioális számokál. 2. MŐVELETEK RACIONÁLIS TÖRTEKKEL Ugyzok szályok, mit rcioális számokál. 17
18 VII. FÜGGVÉNYEK 1.ÉRTELMEZÉS Adott z A és B hlmz, melyek elemei ЄA és yєb. H vlmilye összefüggés segítségével z A hlmz mide eleméek megfeleltetük egyetle y elemet B hlmzól, kkor egy f függvéyt képeztük z A hlmzo, melyek elemei B hlmz vk. f : A B A - értelmezési trtomáy B - érték trtomáy (értékkészlet) f - függvéy 3. LINEÁRIS FÜGGVÉNY ) Értelmezés: f :, f () = +,,, egy lieáris függvéy. f függvéy értelmezve vlós számok hlmzá, melyek értékei vlós számok, hol f () = +, és vlós számok. ) Értéktálázt: k 1 k 2 0 k 3 k 4 + f() f (k 1 ) f (k 2 ) f (k 3 ) f (k 4 ) c) A függvéy grfikusképéek koordiát redszer tegelyeivel vló metszés- potji: h f () = 0 =, h = 0 f (0) = A függvéy grfikus képe z O tegelyt (0 ; ) pot, d) A függvéy grfikus képe: z Oy tegelyt (, 0) pot metszi. h > 0 y h < 0 y függvéy övekvı függvéy csökkeı 818
19 VIII. MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 1. ÁLTALÁNOS ALAK c = 0, 0,,,c,. 2 = 4c 2. DISZKRIMINÁNS 3. MEGOLDÁSI KÉPLET = 1,2 2 - ± - 4c 2 h < 0 M = h = 0 M = { 1 = 2} { } h > 0 M = ; ( 1 2 ) TÉNYEZİKRE BONTÁSI KÉPLET c = ( 1 ) ( 2 ), hol 1 és 2 z egyelet gyökei. 19
Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén
Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő
RészletesebbenNevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét
Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók
RészletesebbenII. Lineáris egyenletrendszerek megoldása
Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek
Részletesebben19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer
19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.
Részletesebben1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b
XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés
RészletesebbenMátrixok és determinánsok
Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek
Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7
RészletesebbenPélda: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0
Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,
RészletesebbenJuhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai
Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
RészletesebbenÉT: x R ÉK: y R ZH: x = 0 SZÉ: - SZMN páratlan fv. n a
A htváyozás iverz műveletei. (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté De.: :... Oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. : htváyl : kitevő : htváyérték A htváyozás zoossági egész
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
RészletesebbenLINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0
www.esymths.hu mtek ilágos oll Mosózi Arás LINEÁISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOOK esymths.hu DEFINÍCIÓ: A... ektorok lieáris összefüggők, h... úgy is teljesül, hogy oly i Nézzük ezekre péákt!
RészletesebbenVersenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.
Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
RészletesebbenA hatványozás első inverz művelete, az n-edik gyökvonás.
Ismétlés: Htváozás egész kitevő eseté A htváozás iverz műveletei. (Htvá, gök, logritmus) De.: :... Ol téezős szorzt, melek mide téezője. : htvál : kitevő : htváérték A htváozás zoossági egész kitevő eseté:
RészletesebbenA hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)
A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:
RészletesebbenA vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai
A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi
Részletesebben- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez
1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak
RészletesebbenII. A számtani és mértani közép közötti összefüggés
4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
RészletesebbenIII. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK
Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar
RészletesebbenKonfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012
Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ
RészletesebbenLineáris programozás
Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek
RészletesebbenPÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László
PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés
RészletesebbenAlgebrai és transzcendens számok
MATEMATIKA Szakköri füzet Algebrai és transzcenens számok Készítette: Klement Anrás 00 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok Bevezetés A szakköri füzetben áttekintjük a számhalmazokat és új szempont
RészletesebbenA VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY
A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.
RészletesebbenMATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM
MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent
RészletesebbenDebreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára
6. évfolym AMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2012. jnuár 26. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden
RészletesebbenV. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL
86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )
RészletesebbenTantárgytömbösítés a matematika tantárgyban 5. évfolyamon
TÁMOP-3.1.4-08/2-2008-0123 Kompetencia alapú oktatás a Bonyhádi Oktatási Nevelési Intézményben Tantárgytömbösítés a matematika tantárgyban 5. évfolyamon Készítette: Bölcsföldi Árpádné A BONI Arany János
RészletesebbenSMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1
III. Évfolym. szám - 008. úius Gyrmti József Zríyi iklós Nemzetvédelmi Egyetem gyrmti.ozsef@zme.hu SRT, TÖBBSZEPONTÚ DÖNTÉSI PROBÉ EGY EGYSZERŰ EGODÁS bsztrkt cikk egy többszempotú dötési módszert mutt
Részletesebben1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2
A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
RészletesebbenA Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...
A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer
Részletesebbenképzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal
5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve
Részletesebbenx + 3 sorozat első hat tagját, ha
Soroztok, soroztok megdás rekurzív módo.. Az ( ) soroztot rekurzív módo dtuk meg 7 -, sorozt első két tgj ( < ) egybe gyökei következő egyeletek: sorozt első öt tgját. y.adott ( ). Írd fel ( ) x 0 x. Htározd
Részletesebben1. Az absztrakt adattípus
. Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,
RészletesebbenHatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek
Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x
RészletesebbenPtolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok
Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym AMt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen
RészletesebbenVB NÉGYZÖG KEREZTETZET TERVEZÉE HAJLÍTÁRA Vseton keresztmetszet tervezése történet: kötött tervezéssel: keresztmetszet nygi és méretei ottk, megtervezenő mértékó nyomtékoz szükséges célmennyiség, sz tervezéssel:
RészletesebbenTERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA
9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos
RészletesebbenVektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.
Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,
RészletesebbenVI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek
Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló
RészletesebbenPPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1
PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik = DETERMINÁNSOK = 13 = + + 13 13 Bércesé Novák Áges 1 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik DETERMINÁNSOK Defiíció: z sorb és m oszlopb elredezett x m (vlós vgy képzetes)
Részletesebben1. példa. 2. példa. értelemszerően. F 2.32. ábra
. péld Htározzu meg z.. árán láthtó tégllp lú eresztmetszet és y tengelyre számított másodrendő nyomtéit! d dy (.) épler szerint y dy y d y 0 0 értelemszerően y. péld Steiner-tétel (.. éplet) llmzásávl
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenKőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam
-- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...
Részletesebben5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?
5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra
RészletesebbenOlimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009
Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly
Részletesebben2. témakör: Számhalmazok
2. témakör: Számhalmazok Olvassa el figyelmesen az elméleti áttekintést, és értelmezze megoldási lépéseket, a definíciókat, tételeket. Próbálja meg a minta feladatokat megoldani! Feldolgozáshoz szükségesidö:
RészletesebbenTartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13
Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8
RészletesebbenKosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési
RészletesebbenValószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030
Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030 2. téma Feltételes valószínőség, függetlenség Példák feltételes valószínőségekre. Feltételes valószínőség definíciója.
RészletesebbenALGEBRA. 1. Hatványozás
ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:
RészletesebbenTARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...
TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT
Részletesebben3-4.elıadás: Optimális választás; A fogyasztó kereslete
(C) htt://kgt.e.hu/ / 3-4.elıdás: Otiális válsztás; A fogysztó kereslete A fogysztó válsztási roléáj A fogysztó száár elérhetı (egfizethetı) jószágkosrk közül neki legjot válsztj A fogysztó költségvetési
RészletesebbenAdd meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?
Részletesebben5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.
Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok
RészletesebbenA valós számok halmaza
A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós
Részletesebben823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.
Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (
RészletesebbenMatematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011
Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens http://jgypk.u jgypk.u-szeged.hu/tnszek/szmtech szmtech/oktts/mtemtik-.pdf Glmbos GáborG JGYPK - Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái:
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 15.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy
RészletesebbenSzámelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa
Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz
Részletesebben1. A MÁSODIK OSZTÁLYBAN TANULTAK ISMÉTLÉSE
1. A MÁSODIK OSZTÁLYBAN TANULTAK ISMÉTLÉSE 1. Írd le számokkal! Hat, tizenhat,,hatvan, hatvanhat, ötven, száz, tizenhét, húsz nyolcvankettı, nyolcvanöt. 2. Tedd ki a vagy = jelet! 38 40 2 42 50+4
Részletesebben7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei
7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,
Részletesebben(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---
A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris
RészletesebbenMérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető
11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i
Részletesebben0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN
06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott
Részletesebben13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai
Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk
RészletesebbenPÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám
2. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. Számfogalmak kialakítása:
RészletesebbenPÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám
8. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 03
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!
Részletesebben2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.
Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is
RészletesebbenRudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2016. jnuár 16. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden
RészletesebbenVB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése
VB-EC01 progrm rövid szkmi ismertetése A VB-EC01 progrmcsomg hrdver- és szoftverigénye: o Windows XP vgy újbb Windows operációs rendszer o Min. Gb memóri és 100 Mb üres lemezterület o Leglább 104*768-s
RészletesebbenElsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek
Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint
RészletesebbenVarga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010.
Varga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010. 1. feladat tengeren léket kapott egy hajó, de ezt csak egy óra múlva vették észre. Ekkorra már 3 m 3 víz befolyt a
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA I.
GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z
Részletesebben2. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET
Szkközépiskol 9. osztály Felkészülési jvslt jvítóvizsgár Véges, végtele, üres hlmz oglm Két hlmz egyelősége Részhlmz, vlódi részhlmz oglm Uiverzum, komplemeterhlmz Hlmzműveletek (uió, metszet, külöbség)
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz
RészletesebbenKözépszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész
Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.
RészletesebbenLineáris programozás
LP LP 2 Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek egységár és z, hogy z egyes termékek egy egységéek előállításához
RészletesebbenKardos Montágh verseny Feladatok
Krdos Motágh versey Feldtok Az ABC háromszög hozzáírt köreiek középpotji O, P, Q, beírt köréek középpotj K Melyik állítás igz z lábbik közül? K z OPQ háromszög A) súlypotj B) mgsságpotj C) szögfelezőiek
RészletesebbenMátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv
Mátrx-vektor feldtok Összeállított dr. Slánk József egyetem djunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálnt Gusztáv 1. feldt Adottk z n elemű, b vektorok. Képezn kell c vektort, hol c = b / Σ( ), ( = 0,1,,
RészletesebbenA + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )
Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor
Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
Részletesebben10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET
.. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.
RészletesebbenVégeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása
Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú
RészletesebbenA PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:
A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,
RészletesebbenIrány a nyár... ...felkészült már? Audi Service. Audi Eredeti MMI 3 High navigációs szoftver. 83 990 Ft. www.audiszervizek.hu. 2014-as Európa térkép.
Irány nyár......felkészült már? www.udiszervizek.hu Audi Eredeti MMI 3 High nvigációs szoftver 2014-s Európ térkép. 83 990 Ft Audi Service Utzásr készen Vonzó válszték meggyőző mínőség. Válsszon
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................
RészletesebbenINFORMATIKA MATEMATIKAI ALAPJAI
INFORMATIKA MATEMATIKAI ALAPJAI Készítette: Kiss Szilvia ZKISZ informatikai szakcsoport Az információ 1. Az információ fogalma Az érzékszerveinken keresztül megszerzett új ismereteket információnak nevezzük.
Részletesebben9. tétel: Elsı- és másodfokú egyenlıtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei, és ezek felhasználása szélsıérték-feladatok megoldásában
9. tétel: Elsı- és másodfoú egyelıtlesége, pozitív számo evezetes özepei, és eze felhaszálása szélsıérté-feladato megoldásáa Egyelıtleség: Két relációsjellel összeapcsolt ifejezés vagy függvéy. Az egyelıtleséget
Részletesebben