ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK"

Átírás

1 ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı): + = + 2) sszocitív ( csoportosíthtó): (+)+c = +(+c) 3) 0 - semleges elem z összedásr ézve: 0+ = +0 = ) Kivoás: = c - kiseítedı, - kivodó, c - külöség A feldtok yivl kise (kevese). c) Szorzás: = c és - szorzótéyezık, c - szorzt A feldtok yiszor gyo (tö). A szorzás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı) : = 2) sszocitív ( csoportosíthtó) : ( ) c = ( c) = c 3) 0 semleges elem z összedásr ézve:1 = 1= 4) szorzás disztriutív z összedásr ézve : (+c) = + c vgy (+) c = c+ c Közös téyezı: + c = (+c) vgy c+ c = (+) c d) Osztás: : = c - osztdó - osztó c - háydos A feldtok yiszor kise (kevese). A mrdékos osztás tétele: = c + r, r < (r mrdék) e) Htváyozás: =, (-szer) - lp, - htváykitevı Értelmezés: Egy természetes számot htváyozi zt jeleti, mit megszorozi ömgávl, z lpot yiszor véve, háyszor htváykitevı muttj. Sjátos esetek: 0 = 1 Mőveletek htváyokkl: m = m+ 1 = m : = m - 1 = 1 ( m ) = m 0 = 0 ( ) = 1

2 Négyzetszámok és köszámok: Egy természetes szám felírás 10 htváyik segítségével: cdefgh = c d e f g 10 + h 2. EGYENLETEK ) + = ) + = c) - = d) - = = - = - = + = - e) = f) = g) : = h) : = = : = : = : = 3. A TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA : = c c töszöröse. c osztój oszthtó -vel / osztj - t Oszthtóság 10 - zel: Egy természetes szám oszthtó 10 - zel, h utolsó számjegye 0. Oszthtóság 10 -el:egy természetes szám oszthtó 10 -el, h utolsó számjegye 0. Oszthtóság 2 - vel : Egy természetes szám oszthtó 2 - vel, h utolsó számjegye páros. Oszthtóság 5 - tel : Egy természetes szám oszthtó 5- tel, h utolsó számjegye 0 vgy 5. Oszthtóság 3 - ml (9- cel): Egy természetes szám oszthtó 3 - ml (9- cel), h számjegyeiek összege oszthtó 3- ml (9- cel). Leggyo közös osztó (l.k.o.) kiszámítás: - számokt törzstéyezıkre otjuk, - közös téyezıket legkise htváyo összeszorozzuk. Legkise közös töszörös (lk.k.t.) kiszámítás: - számokt törzstéyezıkre otjuk, 2 - mide téyezıt egyszer véve leg- gyo htváyo összeszorzuk.

3 4. HALMAZOK Jelölések : - eleme - efogllv - em eleme - ics efogllv - efogllj, -efogllv vgy egyelı - efogllj vgy egyelı - em fogllj e -ics efogllv és em egyelı -em fogllj e és em egyelı vgy \ - míusz Relációk: ) Hozzátrtozás A ; A A ) Befogllás A C Mőveletek hlmzokkl B D C A B A D A A A B A B B A B A B 3

4 ) Egyesítés: A U B ) Metszet: AI B c) Külöség: - z A hlmz zo elemeiek hlmz, A B - két hlmz összes elemeiek hlmz. - két hlmz közös elemeiek hlmz. melyek em trtozk B hlmzhoz. d) Descrtes szorzt: H A = { ; }, B = { ; y ; z }, A B = { (;), (,y), (;z), (,), (;y), (,z) }, B A = { (;), (y,), (z;), (,), (y;), (z,) }. Az A és B hlmzok Descrtes szorzták evezzük z összes elempárok hlmzát, hol z elsı elem z A hlmzól, második elem B hlmzól v. II. EGÉSZ SZÁMOK 1. AZ EGÉSZ SZÁMOK HALMAZA. SZÁMHALMAZOK. SZÁMTENGELY. ELLENTÉTES SZÁMOK.. MODULUSZ. RENDEZÉS. ) Értelmezés : Egész számk evezzük 0-tól külöözı természetes számot, melyek + vgy - elıjele v. ) Jelölések : - természetes számok hlmz - z egész számok hlmz * - 0-tól külöözı természetes számok hlmz * - 0-tól külöözı egész számok hlmz - egtív egész számok hlmz + - pozitív egész számok hlmz > - gyo < - kise - gyo vgy egyelı - kise vgy egyelı 4 * { } = 0, = rcioális számok hlmz * = hol, - vlós számok hlmz = ( \ ) hol \ z irrcioális számok hlmz.

5 c)számtegely: számtegely kezdıpotj. A yíl övekedési iráyt jelöli.: A 0-tól külöözı egész szám elletéteséek (elletettjéek) evezzük zt z egész számot, melyet úgy kpuk, hogy meg- változttjuk szám elıjelét. A számtegelye z elletett számokk megfelelı potok kezdıpottól egyelı távolságr helyezkedek el. z, h z > 0 e) Modulusz (szolút érték): z = 0, h z = 0 z, h z < 0 Mértilg z z számk megfelelı potk számtegely kezdıpotjától vló távolságát jeleti. Más szóvl egy egész szám modulusz (szolút értéke) z illetı szám elıjel élkül. 2. DERÉKSZÖGŐ KOORDINÁTA RENDSZER Két egymásr merıleges számtegely koordiát redszert lkot. O - szcissz tegely - z A pot szcisszáj Oy - ordiát tegely y - z A pot ordiátáj O - kezdıpot ( origo ) és y z A pot koordiátái y II. egyed 7 I. egyed ( + ; ) 6 ( + ; + ) A ( ;y ) III. egyed -5 IV. egyed ( + ; ) -6 ( ; ) -7 5

6 3. MŐVELETEK EGÉSZ SZÁMOKKAL ) Összevoás: - Azoos elıjelő számokt úgy vouk össze, hogy z szolút értékeket összedjuk, z összeg elıjele pedig közös elıjel lesz. - Külöözı elıjelő számokt úgy vouk össze, hogy z szolút értéke gyo számól kivojuk z szolút értéke kise számot, z összeg elıjele pedig z szolút értéke gyo számé lesz. - A zárójel elıtti míusz megváltozttj zárójele levı elıjeleket. ) Szorzás és osztás: - Elıjel szály: ( + ) ( + ) = + ( + ) ( ) = ( ) ( + ) = ( ) ( ) = + Más szóvl zoos elıjelő számok szorzt (háydos) pozitív, külöözı elıjelő számok szorzt (háydos) egtív. Megállpítjuk szorzt ( háydos ) elıjelét feti elıjel szály szerit, z szolút értékeket pedig összeszorozzuk (elosztjuk). c) Egész szám természetes kitevıjő htváy: - Pozitív szám ármilye htváy pozitív. - Negtív szám páros kitevıjő htváy pozitív, pártl kitevıjő htváy egtív. Megállpítjuk htváy elıjelét, z szolút értékeket pedig htváyr emeljük. III. RACIONÁLIS SZÁMOK - tört áltláos lkj 1. KÖZÖNSÉGES TÖRTEK - számláló - evezı A törtek osztályozás : ) vlódi tört < 1 < ) egységtört = 1 = 6 c) áltört > 1 > 2. EKVIVALENS ( EGYENÉRTÉKŐ ) TÖRTEK

7 c = d = c d 3.TÖRTEK EGYSZERŐSÍTÉSE Egy törtet egyszerősítei zt jeleti, hogy elosztjuk tört számlálóját is és evezıjét is ugy- zzl 0-tól és 1-tıl külöözı természetes számml. 4. TÖRTEK BİVÍTÉSE Egy törtet ıvítei zt jeleti, hogy megszorozzuk tört számlálóját is és evezıjét is ugyzzl 0-tól és 1-tıl külöözı természetes számml. 5. TÖRTEK KÖZÖS NEVEZİRE HOZÁSA Tö tört közös evezıje evezık legkise közös töszöröse. ) kiszámítsuk evezık lk.k.t.-ét, ez lesz közös evezı; ) redre végigosztjuk közös evezıt régi evezıkkel; c) kpott háydosokkl ıvítjük törteket. 6. TÖRTEK ÖSSZEVONÁSA Csk közös evezıjő törteket vohtuk össze következıképpe: evezı változtl mrd és számlálókt összevojuk. H törtek külöözı elıjelőek összevoás elıtt közös evezıre hozzuk ıket. 7. TÖRTEK SZORZÁSA Tö törtet úgy szorzuk össze, hogy számlálókt össze szorozzuk egymás közt és evezıket is egymás közt Szorzás elıtt, h lehet egyszerősítük.. 8.TÖRTEK OSZTÁSA Két törtet úgy osztuk el egymássl, hogy z elsı törtet megszorozzuk második tört iverzével. 9. TÖRTEK HATVÁNYA = Negtív kitevıjő htváy zt jeleti, hogy z illetı tört iverzét emeljük z illetı htváyr: - = = 7

8 Rcioális számk evezzük z Kifejezési formák : - közöséges tört 10. RACIONÁLIS SZÁM törttel egyeértékő törtek hlmzát. - vegyes szám - 2 rész : egész rész tört rész. - tizedes tört : - véges - végtele, szkszos : - tiszt szkszos - vegyes szkszos 11. AZ EGÉSZ KIEMELÉSE A TÖRTBİL A számlálót elosztjuk evezıvel, háydos lesz z egész rész, mrdék z új számláló, evezı változtl mrd. 12. AZ EGÉSZ BEVEZETÉSE A TÖRTBE Az egészet megszorozzuk evezıvel, szorzthoz hozzádjuk számlálót, ez lesz z új számláló, evezı változtl mrd. 13. KÖZÖNSÉGES TÖRTEK ÁTALAKÍTÁSA TIZEDES TÖRTTÉ A számlálót elosztjuk evezıvel. A háydos lehet véges tizedes tört, tiszt szkszos tizedes tört vgy vegyes szkszos tizedes tört. 14. TIZEDES SZÁM (VÉGES TIZEDES TÖRT) ÁTALAKÍTÁSA KÖZÖNSÉGES TÖRTTÉ A számláló írjuk számot tizedes vesszı élkül, evezıe z 1-es utá yi 0-át íruk, háy számjegy v tizedes része. Végül, h lehet egyszerősítük. 15. TISZTA SZAKASZOS TIZEDES TÖRT ÁTALAKÍTÁSA KÖZÖNSÉGES TÖRTTÉ Az egészet tört elé írjuk, számláló írjuk szkszt, evezıe yi 9-est íruk, háy számjegy v szksz. Végül, h lehet egyszerősítük és evezetjük z egészet törte. 16. VEGYES SZAKASZOS TIZEDES TÖRT ÁTALAKÍTÁSA KÖZÖNSÉGES TÖRTTÉ Az egészet tört elé írjuk, számláló tizedes részıl kivojuk szksz elıtti részt, evezıe yi 9-est íruk, háy számjegy v szksz és yi 0 - át, háy számjegy v szksz elıtt Elvégezzük számláló kivoást, h lehet egyszerősítük és evezetjük z egészet törte TIZEDES SZÁMOK ÖSSZEVONÁSA

9 A számokt egymás lá írv vojuk össze, vigyázv rr, hogy z egész rész z egész rész lá, tizedes rész tizedes rész lá és tizedes vesszı tizedes vesszı lá kerüljö. 18. TIZEDES SZÁMOK SZORZÁSA ) Tizedes számot úgy szorzuk 10 htváyivl, hogy tizedes vesszıt yi szám-jeggyel visszük lról jor, meyi 10 htváykitevıje. )Tizedes számot tizedes számml úgy szorzuk, hogy számokt összeszorozzuk tizedes vesszı élkül, szorzt pedig tizedes veszıt yi számjegy elé tesszük, joról lr számolv, háy számjegy v szorzótéyezık tizedes részée összese. 19. TIZEDES SZÁMOK OSZTÁSA ) Tizedes számot úgy osztuk 10 htváyivl, hogy tizedes vesszıt yi számjegy- gyel visszük joról lr, meyi 10 htváy-kitevıje. ) Tizedes számot természetes számml úgy osztuk, hogy mielıtt mrdék lehozzuk tizedes vesszı utái elsı számjegyet, háydos végére kitesszük tizedes vesszıt. c) Tizedes számot tizedes számml em lehet oszti, csk tizedes számot természetes számml. H z osztó tizedes szám, úgy z osztdó, mit z osztó tizedes vesszıt yi számjeggyel visszük lról jor, háy számjegy v z osztó tizedes részée. IV. ARÁNYOK, ARÁNYPÁROK, SZÁZALÉKOK, ARÁNYOS MENNYISÉGEK ARÁNYOK ) Aráy: Két és ( 0) szám ráy z : háydos és -vel jelöljük. ) Vlószíőség: Egy eseméy megvlósulásák vlószíősége z eseméy meg- vlósulásák kedvezı esetek szám és kísérlete lehetséges esetek számák ráy. kedvezı esetek szám P (A) = lehetséges esetek szám c) Ötvözet fiomság: Ötvözet fiomságák evezzük z ötvözete levı emesfém és z ötvözet tömegéek ráyát. T = m M 9 d) Oldt kocetrációj (töméysége): Egy oldt kocetrációják evezzük feloldott yg és z oldt tömegéek ráyát. Kocetráció = feloldott yg tömege oldt tömege

10 d) Egy rjz (térkép) léptéke: Egy rjz (térkép) léptékéek evezzük rjzo mért távolság és terepe (vlóság) mért távolság ráyát. távolság rjzo L = távolság vlóság Százlékos ráyk evezzük p SZÁZALÉKOK (p ; p 0 ) lkú ráyt. Jelölése : p% Egy szám p% -át úgy számítsuk ki, hogy számot megszorozzuk.p = = 100 H egy ismeretle szám p% -, vgyis H z szám %-, kkor 100 = p 100 p 100 kkor 100 = p - zl, vgyis 3. ARÁNYPÁROK )Értelmezés: Két ráy egyelıségét ráypárk evezzük. Jelölés c = Az ráypár elemei: és d - kültgok d és c - eltgok ) Az ráypár lptuljdoság: Bármely ráypár kültgok szorzt egyelı eltgok szorztávl. d = c c) Az ráypár ismeretle tgják kiszámítás: c c = = d d c d = = d c d c c = = = = d 10 d) Szármzttott ráypárok: c - Azoos tgú szármzttott ráypárok: = d felcseréljük eltgokt felcseréljük kültgokt c d d c 818

11 felcseréljük eltgokt is és kültgokt is ( megfordítjuk z ráyokt ). d c = vgy = d c -Megváltozttott tgú szármzttott ráypárok: - Egy ráypár összedv (kivov) számlálókt és evezıket, z eredeti ráyokkl egyelı ráyt kpuk. + c - c = + d - d - Egy ráypár hozzádv (kivov) számlálókt evezıkhöz (evezıkıl) új ráypárt kpuk (vgy fordítv, h evezıket djuk hozzá vgy vojuk ki számlálókól). + c + d c d c c =. d d + c + d - c - d + c c - c c + d d - d d + c + d c + d + - c - d c - d - c cm d dm cm c dm m dm + c c - c c + d d - d d + c + d c d cm dm + cm + dm Más komiációk + c - c + d - d - c - d + c + d c d + c + d - c + c - d + d c - d - c + d + c m dm - c - d + c c c + c + d d d + d + c + d + cm cm c d + dm dm + m c + dm m c dm =. m c dm + m c + dm 11 ) Értelmezés: 1 = = ARÁNYSOR =.. = egy ráysor.

12 ) Az ráysor lptuljdoság: Egy ráysor mide ráy egyelı számlálók összegéek és evezık összegéek z ráyávl, vgyis 2 = = = = más vriások: k k 1 1 k1 = k 2 2 k11 k = k 1 2 k = k = 3 3 k k k =.. = k = k = k 1 = k 2 = k + k + k k k + k + k k k + k + k k k + k + k k ARÁNYOS MENNYISÉGEK ) Egyeese ráyos meyiségek: Két és y meyiség egyeese ráyos, h úgy függek egymástól, hogy mikor z egyik izoyos számszor ı ( csökke ), másik ugyyiszor ı (csökke), vgyis y = k, (k 0). Az A = { 1, 2, 3 } és B = { 1, 2, 3 } hlmzok elemei között egyees ráyosság áll fe, h elemeikıl egyelı ráysort lkothtuk, vgyis = = =... = ) Fordított ráyos meyiségek: Két és y meyiség fordított ráyos, h úgy függek egymástól, hogy mikor z egyik izoyos számszor ı ( csökke ), másik ugyyiszor csökke (ı), vgyis y = k (k 0). Az A = { 1, 2, 3 } és B = { 1, 2, 3 } hlmzok elemei között fordított ráyosság áll fe, h elemeiıl egyelı szorztsort lkothtuk, vgyis 1 1 = 2 2 = 3 3 = = 12 c) Egyszerő hármsszály: - egyeese ráyos meyiségekkel e e vgy c c 818

13 = c c = c = c = -fordított ráyos meyiségekkel f f vgy c c c = = c c = = c ) Számti közép: 1 2 m, 7. KÖZÉPÉRTÉKEK = ( 1, 2,... ) ) Mérti közép: mg =,, + c) Súlyozott számti közép: m + m m = m S, m 1 + m m ( 1, 2, ), (m 1, m 2,.m + ) hol z m 1, m 2,.m z 1, 2, számok elıfordulási gykoriság (súlyok). d) Hrmoikus közép: m h két szám eseté 1 2 m h 2 =, (, ) +, ( 1, 2 ) 13 V. VALÓS SZÁMOK

14 1. VALÓS SZÁM Vlós számok hlmzák jelölése Vlós szám lehet rcioális szám Є, vgy irrcioális szám Є \ 2. INTERVALLUMOK + ( [ ) ] c 0 1 d ) yílt itervllum: (;) ( ;) és ( ;) ) zárt itervllum: [c;d] c [ c;d] és d [ c;d] c) félig zárt (yílt) itervllum: (;d] ( ;d] és d ( ;d] [c;) c [ c;) és [ c;) 3. EGYENLİTLENSÉGEK ) + < 0 < < ; ) + > 0 > > c) + 0 d) + 0 ; ; ; EGYENLİTLENSÉG RENDSZEREK 818

15 + < 0 ) c + d < 0 < ; d ; ; d d c < ; c c ) c) d) + > 0 c + d > c + d c + d 0 > ; d ; ; d d c > ; c c ; d ; ; d d c ; c c ; d ; ; d d c ; c c 5. EGYENLETEK ) + = ) + = c) - = d) - = = - = - = + = - e) = f) = g) : = h) : = = = = = 6. TELJES NÉGYZET GYÖKE, GYÖK NÉGYZETE 2 = ( ) 2 = A égyzet és gyökjel kölcsööse semlegesíti egymást. Téyezı kiemelése gyökjel lól : 2 = 15

16 7. MŐVELETEK GYÖKMENNYISÉGEKKEL + + c = ( + + c) + + c y + d y = ( + ) + ( c + d) y y = y y = y ( y + c z ) = y + c z vgy ( ) ( + y ) ( c z + d u ) = c z + d u + c yz + d yu vgy ( + y ) ( c z + d u ) = c z + c yz + d u + d yu ( + y ) : c z = : c : z + : c y : z + y c z = c z + c yz 7. MŐVELETEK BETŐKKEL JELÖLT VALÓS SZÁMOKKAL ) Mőveletek : ++c = (++c) +y+cz+m+y+pz = (+m)+(+)y+(c+p)z y = ()y (y+cz) = y+c (+y) (cz+du) = cz+du+cyz+dyu (+y)cz = cz+ycz (+y) (cz+du) = cz+cyz+du+dyu ) Rövidített számolási képletek: A (B+C) = AB+AC vgy (A+B) C = AC+BC (A+B) (C+D) = AC+AD+BC+BD vgy (A+B) (C+D) = AC+BC+AD+BD (A+B) (A-B) = A 2 B 2 vgy (A-B) (A+B) = A 2 B 2 (A+B) 2 = A 2 +2AB+ B 2 (A B) 2 = A 2 2AB+ B 2 (A+B+C) 2 = A 2 +B 2 +C 2 + 2AB+ 2AC+ 2BC (A+B) 3 = A 3 +3A 2 B+3AB 2 + B 3 (A B) 3 = A 3 3A 2 B+3AB 2 B 3 (A+B) (A 2 AB+ B 2 ) = A 3 + B 3 (A B) (A 2 +AB+ B 2 ) = A 3 B 3 c) Közös téyezı: AB+AC = A (B+C) vgy AB+AC = (B+C)A AC+BC = (A+B)C vgy AC+BC = C (A+B)

17 d) Felotási képletek: A 2 B 2 = (A+B) (A-B) vgy A 2 B 2 = (A-B) (A+B) A 2 +2AB+ B 2 = (A+B) 2 és A 2 2AB+ B 2 = (A B) 2 A 2 +B 2 +C 2 + 2AB+ 2AC+ 2BC = (A+B+C) 2 A 3 +3A 2 B+3AB 2 + B 3 = (A+B) 3 A 3 3A 2 B+3AB 2 B 3 = (A B) 3 A 3 + B 3 = (A+B) (A 2 AB+ B 2 ) A 3 B 3 = (A B) (A 2 +AB+ B 2 ) e) A evezı gyökteleítése: + c y = A = B + C ( ) c y 2 2 c y ( ) A B C B C 2 2 y = = y y ( ) + c y = 2 2 c y c y A = B C ( ) A B + C B C 2 2 VI. RACIONÁLIS TÖRTEK ( ) ( ) P F( ) Q( ) 0 Q 1.ÉRTELMEZÉS Értelmezési trtomáy: ЄR \ {z zo értékei melyekre Q() = 0} A tört értelmezett z zo értékeire melyekre Q() 0. A tört értelmetle z zo értékeire melyekre Q() = 0. ( ) ( ) P F( ) = Q 1. A TÖRT SZÁMÉRTÉKE 2. TÖRTEK EGYSZERŐSÍTÉSE ÉS BİVÍTÉSE Ugyzok szályok, mit rcioális számokál. 2. MŐVELETEK RACIONÁLIS TÖRTEKKEL Ugyzok szályok, mit rcioális számokál. 17

18 VII. FÜGGVÉNYEK 1.ÉRTELMEZÉS Adott z A és B hlmz, melyek elemei ЄA és yєb. H vlmilye összefüggés segítségével z A hlmz mide eleméek megfeleltetük egyetle y elemet B hlmzól, kkor egy f függvéyt képeztük z A hlmzo, melyek elemei B hlmz vk. f : A B A - értelmezési trtomáy B - érték trtomáy (értékkészlet) f - függvéy 3. LINEÁRIS FÜGGVÉNY ) Értelmezés: f :, f () = +,,, egy lieáris függvéy. f függvéy értelmezve vlós számok hlmzá, melyek értékei vlós számok, hol f () = +, és vlós számok. ) Értéktálázt: k 1 k 2 0 k 3 k 4 + f() f (k 1 ) f (k 2 ) f (k 3 ) f (k 4 ) c) A függvéy grfikusképéek koordiát redszer tegelyeivel vló metszés- potji: h f () = 0 =, h = 0 f (0) = A függvéy grfikus képe z O tegelyt (0 ; ) pot, d) A függvéy grfikus képe: z Oy tegelyt (, 0) pot metszi. h > 0 y h < 0 y függvéy övekvı függvéy csökkeı 818

19 VIII. MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 1. ÁLTALÁNOS ALAK c = 0, 0,,,c,. 2 = 4c 2. DISZKRIMINÁNS 3. MEGOLDÁSI KÉPLET = 1,2 2 - ± - 4c 2 h < 0 M = h = 0 M = { 1 = 2} { } h > 0 M = ; ( 1 2 ) TÉNYEZİKRE BONTÁSI KÉPLET c = ( 1 ) ( 2 ), hol 1 és 2 z egyelet gyökei. 19

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

ÉT: x R ÉK: y R ZH: x = 0 SZÉ: - SZMN páratlan fv. n a

ÉT: x R ÉK: y R ZH: x = 0 SZÉ: - SZMN páratlan fv. n a A htváyozás iverz műveletei. (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté De.: :... Oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. : htváyl : kitevő : htváyérték A htváyozás zoossági egész

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0 www.esymths.hu mtek ilágos oll Mosózi Arás LINEÁISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOOK esymths.hu DEFINÍCIÓ: A... ektorok lieáris összefüggők, h... úgy is teljesül, hogy oly i Nézzük ezekre péákt!

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus) A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:

Részletesebben

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez 1. Számtani műveletek 1. Összeadás 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadáskor a tagok felcserélhetőek, az összeg nem változik. a+b = b+a Összeadáskor a tagok tetszőlegesen csoportosíthatóak

Részletesebben

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1 III. Évfolym. szám - 008. úius Gyrmti József Zríyi iklós Nemzetvédelmi Egyetem gyrmti.ozsef@zme.hu SRT, TÖBBSZEPONTÚ DÖNTÉSI PROBÉ EGY EGYSZERŰ EGODÁS bsztrkt cikk egy többszempotú dötési módszert mutt

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2012. jnuár 26. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Tantárgytömbösítés a matematika tantárgyban 5. évfolyamon

Tantárgytömbösítés a matematika tantárgyban 5. évfolyamon TÁMOP-3.1.4-08/2-2008-0123 Kompetencia alapú oktatás a Bonyhádi Oktatási Nevelési Intézményben Tantárgytömbösítés a matematika tantárgyban 5. évfolyamon Készítette: Bölcsföldi Árpádné A BONI Arany János

Részletesebben

Algebrai és transzcendens számok

Algebrai és transzcendens számok MATEMATIKA Szakköri füzet Algebrai és transzcenens számok Készítette: Klement Anrás 00 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok Bevezetés A szakköri füzetben áttekintjük a számhalmazokat és új szempont

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

x + 3 sorozat első hat tagját, ha

x + 3 sorozat első hat tagját, ha Soroztok, soroztok megdás rekurzív módo.. Az ( ) soroztot rekurzív módo dtuk meg 7 -, sorozt első két tgj ( < ) egybe gyökei következő egyeletek: sorozt első öt tgját. y.adott ( ). Írd fel ( ) x 0 x. Htározd

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

VB NÉGYZÖG KEREZTETZET TERVEZÉE HAJLÍTÁRA Vseton keresztmetszet tervezése történet: kötött tervezéssel: keresztmetszet nygi és méretei ottk, megtervezenő mértékó nyomtékoz szükséges célmennyiség, sz tervezéssel:

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

2. témakör: Számhalmazok

2. témakör: Számhalmazok 2. témakör: Számhalmazok Olvassa el figyelmesen az elméleti áttekintést, és értelmezze megoldási lépéseket, a definíciókat, tételeket. Próbálja meg a minta feladatokat megoldani! Feldolgozáshoz szükségesidö:

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

ALGEBRA. 1. Hatványozás

ALGEBRA. 1. Hatványozás ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:

Részletesebben

Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030

Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030 Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030 2. téma Feltételes valószínőség, függetlenség Példák feltételes valószínőségekre. Feltételes valószínőség definíciója.

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

3-4.elıadás: Optimális választás; A fogyasztó kereslete

3-4.elıadás: Optimális választás; A fogyasztó kereslete (C) htt://kgt.e.hu/ / 3-4.elıdás: Otiális válsztás; A fogysztó kereslete A fogysztó válsztási roléáj A fogysztó száár elérhetı (egfizethetı) jószágkosrk közül neki legjot válsztj A fogysztó költségvetési

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam

Kőszegi Irén MATEMATIKA. 9. évfolyam -- Kőszegi Irén MATEMATIKA 9. évfolyam (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2015 1 2 Tartalom 1. HALMAZOK... 5 2. SZÁMHALMAZOK... 8 3. HATVÁNYOK... 12 4. OSZTHATÓSÁG... 14 5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK... 17 6. FÜGGVÉNYEK...

Részletesebben

1. példa. 2. példa. értelemszerően. F 2.32. ábra

1. példa. 2. példa. értelemszerően. F 2.32. ábra . péld Htározzu meg z.. árán láthtó tégllp lú eresztmetszet és y tengelyre számított másodrendő nyomtéit! d dy (.) épler szerint y dy y d y 0 0 értelemszerően y. péld Steiner-tétel (.. éplet) llmzásávl

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011 Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens http://jgypk.u jgypk.u-szeged.hu/tnszek/szmtech szmtech/oktts/mtemtik-.pdf Glmbos GáborG JGYPK - Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái:

Részletesebben

1. A MÁSODIK OSZTÁLYBAN TANULTAK ISMÉTLÉSE

1. A MÁSODIK OSZTÁLYBAN TANULTAK ISMÉTLÉSE 1. A MÁSODIK OSZTÁLYBAN TANULTAK ISMÉTLÉSE 1. Írd le számokkal! Hat, tizenhat,,hatvan, hatvanhat, ötven, száz, tizenhét, húsz nyolcvankettı, nyolcvanöt. 2. Tedd ki a vagy = jelet! 38 40 2 42 50+4

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. Számfogalmak kialakítása:

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 2. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2016. jnuár 16. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 8. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 03

Részletesebben

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése VB-EC01 progrm rövid szkmi ismertetése A VB-EC01 progrmcsomg hrdver- és szoftverigénye: o Windows XP vgy újbb Windows operációs rendszer o Min. Gb memóri és 100 Mb üres lemezterület o Leglább 104*768-s

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás LP LP 2 Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek egységár és z, hogy z egyes termékek egy egységéek előállításához

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

Varga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010.

Varga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010. Varga Tamás Matematikaverseny 8. osztályos feladatok megoldásai iskolai forduló 2010. 1. feladat tengeren léket kapott egy hajó, de ezt csak egy óra múlva vették észre. Ekkorra már 3 m 3 víz befolyt a

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

Irány a nyár... ...felkészült már? Audi Service. Audi Eredeti MMI 3 High navigációs szoftver. 83 990 Ft. www.audiszervizek.hu. 2014-as Európa térkép.

Irány a nyár... ...felkészült már? Audi Service. Audi Eredeti MMI 3 High navigációs szoftver. 83 990 Ft. www.audiszervizek.hu. 2014-as Európa térkép. Irány nyár......felkészült már? www.udiszervizek.hu Audi Eredeti MMI 3 High nvigációs szoftver 2014-s Európ térkép. 83 990 Ft Audi Service Utzásr készen Vonzó válszték meggyőző mínőség. Válsszon

Részletesebben

INFORMATIKA MATEMATIKAI ALAPJAI

INFORMATIKA MATEMATIKAI ALAPJAI INFORMATIKA MATEMATIKAI ALAPJAI Készítette: Kiss Szilvia ZKISZ informatikai szakcsoport Az információ 1. Az információ fogalma Az érzékszerveinken keresztül megszerzett új ismereteket információnak nevezzük.

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória 1. ktegóri 1.1.1. Adtok: ) Cseh László átlgsebessége b) Chd le Clos átlgsebessége Ezzel z átlgsebességgel Cseh László ideje ( ) ltt megtett távolság Így -re volt céltól. Jn Switkowski átlgsebessége Ezzel

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT Matematika RÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK RÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT dottak a 0; ; ; ; ; ; 5; 7; 7; 8 számjegyek. a Hány darab tízjegyű, 5-tel osztható szám készíthető az adott számjegyekből

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben