Valószínűségszámítás összefoglaló

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Valószínűségszámítás összefoglaló"

Átírás

1 Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...! ombácó Ismétlés élül ülöböző elemből sorred (! ( (...( (!! ülöböző elem válsztás hol em számít C! b Ismétléses ülöböző elemből elem válsztás (egy elemet többször s válszthtu hol em számít sorred ( és lehet gyobb s - él (! ( (... C! (!! Vrácó Ismétlés élül ülöböző elemből ülöböző elem válsztás tetettel válsztott eleme sorredére (! V ( (...( (! b Ismétléses ülöböző elemből elem válsztás (egyet többször s válszthtu tetettel válsztott eleme sorredére ( és lehet gyobb s -él V

2 xómá:! Bomáls-tétel: ( b b b b b b 0... olomáls-tétel: (...!!...!!... hol felbotás elég cs esetre elvégez szert felbotást - mde szert ombácóár meg ell éz. bomáls együtthtó tuldoság b c v v 0 0 d ( ( > h h v v v Bomáls együtthtó Cuchy-féle tuldoság v v m m m m m v hol Z m Strlg-formul: e π!

3 II. Feezet Eseméylgebr Teles eseméyredszer B B 0 U B I H eseméytér mely számú elem eseméyt trtlmz: Lehetséges eseméye szám: s 0 v 0 v Összetett eseméye szám: s' 3 0 Művelete eseméyeel B eseméy mg utá vo B eseméyt B és B B B és B C C b eseméy elletette B B or és cs or h és B s ugyhhoz z eseméytérhez trtoz I 0 és 0 I c B B B B ommuttív ( ( B C (( B C sszoctív d B ( B és B eseméy s beövetez B B ommuttív ( BC ( BC sszoctív e B eseméy beövetez de B em b B ( és B eseméye özül leglább z egy beövetez Borel-féle hlmzlgebr (σ -lgebr 3 tuldoság: Bármely elemée omlemeterét s trtlmzz beleértve I 0 s. Bármely és B elemée z uóát s trtlmzz. 3 Eleme bármely végtele soroztá egyesítését s trtlmzz (összegét és szorztát áltláos: I U z és feltétel meghtározz z áltláos hlmzlgebr foglmát. 3

4 Összefüggése B 0 és B zárá egymást b Mde oly eseméy mely em lehetetle és em elem eseméy egyértelműe felírhtó meghtározott elem eseméye összegeét. c bztos eseméy egyelő z elem eseméye összegével: I d szorzás z összedásr ézve dsztrbutív és fordítv: ( B C B C ( BC ( B( C e szorzás és z összedás demotes művelet: f g I I I h I 0 De Morg-zoosságo B B áltláos l: B B ( B ( B U I Tetszőleges és B eseméyere gz z összeddór botás: ( B ( B h ( B ( B 0 l H B ( teles eseméyredszer és tetszőleges eseméy or: B B B ( ( ( I U és ( ( 0 B B ( ( 4

5 III. Feezet Vlószíűség olmogorov-féle xómá: I. 0 ( II. ( I de ( > I h 0 ( ( III. ( ( ( ( vlószíűség lsszus élete ( hol edvező esete szám z összes eset szám. Geometr vlószíűség élet m ( M hol M ísérlettel csoltb szób övő teles geometr lzt mértée m z eseméye megfelelő részlzt mértée. Tétele ( ( ( 0 b 0 de ( 0 0 > 0 c ( ( ( h teles eseméyredszert lot d ( B ( (B e H B or B B ( ( ( ( B ( f ( B ( ( B ( B g ocré-tétel S S S S S S S ( ( ( ( ( 3 ( S ( ( ( ( ( ( ( 3 ( ( ( < < < M M M hol 5

6 h Jord-tétel vlószíűsége hogy eseméyből övetez be: S S S ( S hol S S S M ( ( ( ( ( ( < ( 3 ( < < ( ( M S tetszőleges eseméye és 0 eseté S 0 M és I lm ( ( és U lm ( ( Mtvétel Vssztevés élül mtvétel Függetleül ttól hogy egyszerre vgy egyeét emeltü z elemeet. s N s ( ( N b Vssztevéses mtvétel s N s ( ( ( N hol: N terméhlmz elemee szám s seletes termée szám mt elemszám mtáb lévő seletes eleme szám s seletráy N z z eseméy mor z elemű mtáb számú seletes v Feltételes vlószíűség. eseméy beövetezésée vlószíűsége feltéve hogy B eseméy beövetezett 6. eseméy B -re votozttott feltételes vlószíűsége: ( ( B B hol ( B 0 ( B 3. feltételes vlószíűségere votozó olmogorov-xómá:

7 0 ( B b ( ( B B ( B c ( B ( B ( B (( B ( B mvel h B B I B I hol egymást ároét záró eseméye 4. feltételes vlószíűségere gz mde áltláos vlószíűségszámítás tétel. ( B ( B l.: B B B B ( ( ( ( 5. Vlószíűsége szorzás szbály: B B ( ( ( I Teles vlószíűség tétele ( ( ( ( 3 ( ( B ( B ( B ( B ( B ( B ( B ( B hol Byes-tétel ( B B B B teles eseméyredszert lot és ( B 0 (. ( B ( B ( B ( B ( B B B hol teles eseméyredszert lot ( B 0 ( ( 0 tetszőleges eseméy Eseméye függetlesége. ét eseméy függetle h ( B ( ( B b ( B ( c ( B ( B. bztos eseméy és lehetetle eseméy mde más eseméytől függetle. 3. H és B eseméye függetlee egymástól or függetlee és B b és B c és B 7

8 eseméye s. 4. z eseméye ároét függetlee h mde -re feáll: ( ( ( ( 5. z eseméye telese függetlee h özülü bárhogy ( válsztv számú eseméyeet ezere feáll: ( ( ( ( 6. teles függetleséghez szüséges övetelméye szám: 7. H eseméye (telese függetlee or függetlee zo z eseméye s melyeet ezeből úgy yerü hogy özülü éháyt (ár mdet omlemeterüel cserélü. 8. H eseméye (telese függetlee or vlószíűsége hogy özülü leglább z egy beövetez: ( ( ( ( vlószíűséggel öveteze be: 9. H fet eseméye ugyzzl ( ( ( 0. H eseméye (telese függetlee or vlószíűsége hogy özülü otos számú övetez be: ( (. Függetle ísérlet: ( ( ( ( 3. Beroull-tétel számú függetle ísérlet eseté h mde ísérletél z érdeel hogy ( vlószíűségű eseméy megvlósul-e vgy sem or vlószíűsége hogy eseméy otos -szor övetez be: ( ( 8

9 IV. Feezet Bevezetés vlószíűség változó elméletébe Eloszlásfüggvéy. F ( x ( ξ < x ( < x < hol x tetszőleges vlós szám. Tuldoság: Mooto övevő zz x < x F( x < F( x b Blról folytoos zz tetszőleges helye F( lm F(x c F( lm F( x 0 és F( lm F( x x x x 0 3. Mde fet ellemzőel bíró függvéy tethető egy vlószíűség változó eloszlásfüggvéyée 4. Dszrét vlószíűség változó eloszlásfüggvéye lécsős függvéy. ( 4. H F x ξ vlószíűség változó eloszlás függvéye és < b or ( ξ < b F( b F( 5. H z F( x eloszlásfüggvéy z ξ 6. H ξ folytoos vlószíűség változó or ξ b < ξ b < ξ < b ξ < b x helye folytoos or ( 0 ( ( ( ( Sűrűségfüggvéy. f ( x F' ( x. Tuldoság: f ( x 0 mdeütt hol értelmezve v. b F( x c f ( x x f ( t dx dt d ( < b f ( ξ x dx b 3. Mde oly emegtív f ( x vlós függvéy mely ( tervllumo tegrálhtó és eleget tesz f ( vlószíűség változó sűrűségfüggvéyée tethető. x dx egyelősége egy Várhtó érté. Dszrét vlószíűség változó várhtó értée: ξ lehetséges értée x x és z ehhez trtozó vlószíűsége redre és or ξ várhtó értée: ( M ξ x 9

10 h ez végtele sor bszolút overges zz x. Folytoos vlószíűség változó várhtó értée: ξ sűrűségfüggvéye f x or ξ várhtó értée: ( ( xf ( x M ξ dx h ez z tegrál bszolút overges zz f ( x overges x dx overges 3. H z bszolút overgecár tett rtérumo em telesüle or ξ -e cs várhtó értée 4. H ξ tetszőleges vlószíűség változó or η ξ bξ c várhtó értée: feltéve hogy ( ( η ξ bξ c M ( ξ bm ( ξ c M M η létez. Szórás. D( ξ M ( ξ M ( ξ h ξ -e és ( ξ M ( ξ. Szóráségyzet: D ( ξ M ( ξ M ( ξ ( ( ξ M ( ξ ( M ( ξ M ( ξ M ( ξ D 3. H η ξ b hol és b tetszőleges vlós számo or: ( η D( ξ b D( ξ D -e v várhtó értée 4. H ξ lehetséges értée és eze mdegyét egyelő vlószíűséggel vesz fel or: M ( ξ D ( ξ Várhtó eltérés d( ξ M ( ξ M ( ξ h M ( ξ létez b d( ξ D( ξ c H ξ b η or d ( ξ b d( ξ 0

11 V. Feezet Nevezetes vlószíűségeloszláso Dszrét vlószíűség változó eloszlás rtersztus eloszlás: Lehetséges értée: 0 és Vlószíűségeloszlás: (ξ (ξ 0 Várhtó értée: M ( ξ Szóráségyzete: D ( ξ q ( b Hergeometr eloszlás:. Lehetséges értée: 0 3 s N s. Vlószíűségeloszlás: (ξ ( N N N( vgy (ξ N hol: N vzsgált dolgo drbszám s bzoyos tuldosággl bíró eleme szám mt elemszám mtáb lévő bzoyos tuldosággl bíró eleme szám 3. Várhtó értée: M ( ξ 4. Szóráségyzete: ( c Bomáls eloszlás:. Lehetséges értée: 0 3. Vlószíűségeloszlás: 3. Várhtó értée: M ( ξ 4. Szóráségyzete: D ( ξ q d Geometr eloszlás. Vlószíűségeloszlás: ξ x q N D ξ q hol q és N (ξ ( ( hol q ( ( (. Várhtó értée: M ( ξ 3. Szórás: D( ξ e osso-eloszlás q q s N

12 . Lehetséges értée: emegtív egésze λ λ. Vlószíűségeloszlás: ( ξ e ( és λ >! 3. Várhtó értée: M ( ξ λ 4. Szóráségyzete: ( ξ λ f Dszrét egyeletes eloszlás D. Vlószíűségeloszlás: ( ξ x (. Várhtó értée: M ( ξ 3. Szóráségyzete: ( D ξ x x x Folytoos vlószíűség változó eloszlás Egyeletes eloszlás 0 h x x. Eloszlásfüggvéye: F( x h < x b b h b < x h < x < b. Sűrűségfüggvéye: f ( x b 0 ülöbe x x b b 3. Várhtó értée: M ( ξ b 4. Szórás: D( ξ 3 b Normáls eloszlás. Eloszlásfüggvéye: F( x. Sűrűségfüggvéye: f ( x x m F x Φ σ 3. ( x ( tm σ σ π e ( xm σ dt e σ π m tetszőleges vlós szám 4. Várhtó értée: M ( ξ m 5. Szórás: D ( ξ σ f x m x ϕ σ σ 6. ( ( ( < x < hol σ > 0 és

13 x m 7. F ( x Φ σ c Stdrd ormáls eloszlás x t x e. Eloszlásfüggvéye: Φ( π. Sűrűségfüggvéye: ( x e ( < x < t ϕ hol σ és m 0 π 3. Φ( x Φ(x 4. ϕ( x ϕ(x 5. ( x < ξ x Φ( x Φ( x Φ( x ( Φ( x Φ( x 6. ( M ( x < ξ M ( x Φ( d Exoecáls eloszlás λx e h x 0. Eloszlásfüggvéye: F( x 0 h x < 0 λx λe h x > 0. Sűrűségfüggvéye: f ( x hol λ oztív vlós szám 0 h x < 0 3. Várhtó értée: M ( ξ λ 4. Szórás: D ( ξ λ 3

14 VI. Feezet étdmezós vlószíűség (vetorváltozó étdmezós dszrét vlószíűség vetoro vlószíűségeloszlás ( ξ x η y ( ξ η y y x x M M M ermeloszláso H ( ξ x η y ( ( ξ η - ξ -hez trtozó eremeloszlás: ( ξ x ( ξ x η y ( η ξ - η -hez trtozó eremeloszlás: q η y ξ x η y ξ η y y x x ( ( ξ eremeloszlás M M M O M η eremeloszlás Vlószíűség vetorváltozó eloszlásfüggvéye. ( ξ η vlószíűség vetor eloszlásfüggvéye: F ( x y ( ξ < x η < y ( < x < < y <. H ( ξ η dszrét és ( x y -vl ee lehetséges megvlósulást elölü ( ; or ( ξη eloszlásfüggvéye: 4 F ( x y ( y < yx < x ξ x η y

15 3. étdmezós ( ξ η eloszlásfüggvéyée főbb tuldoság: z F ( x y eloszlásfüggvéy 0 -hoz trt h bármely változó (ár md ettő -be trt. F F F ( x lm F( x y y ( y lm F( x y x ( lm ( x y ( 0 0 F ( x y 0 b z F ( x y eloszlásfüggvéy mdét változóáb leglább blról folytoos. c z F ( x y eloszlásfüggvéy htárértée h mdét változó -be trt. F ( lm ( x y ( F ( x y ( ( ( ( ( ( 4. H F x y ( ξ η eloszlásfüggvéye or: ξ < b η < b F b F b F b F b Vlószíűség vetorváltozó sűrűségfüggvéye. H F ( x y ( ξ η eloszlásfüggvéye és létez oly f ( x y függvéy mely z egész [ x y sío tegrálhtó és mellyel mde x -re és y -r ] x ( x y f ( u v y F dvdu feáll or ( ξ η folytoos és sűrűségfüggvéye: F' ' xy ( x y F'' yx ( x y f ( x y. étdmezós ( ξ η sűrűségfüggvéyée főbb tuldoság: z f ( x y sűrűségfüggvéy sehol sem egtív zz z értelmezés trtomáyá mde otá f ( x y > 0. b z f ( x y sűrűségfüggvéyre ézve mdg telesül hogy: f b 3. ( ξ < b η < b b ( x y f dxdy ( x y dxdy erem-eloszlásfüggvéy és erem-sűrűségfüggvéy. H ( ξ η vlószíűség vetor eloszlásfüggvéye F ( x y ξ eloszlásfüggvéye F ( x z η eloszlásfüggvéye F ( y or: F x F x lm F x y ( ( ( y F ( y F( y lm F( x y x F ( x és F ( y ( η Eor ξ erem-eloszlásfüggvéye függetleül ttól hogy ξ és η dszrét vgy folytoos vlószíűség változó. 5

16 . H ( ξ η vlószíűség vetor sűrűségfüggvéye ( x y sűrűségfüggvéye f ( x z η sűrűségfüggvéye ( y f f ( x f ( x y ( y f ( x y dy dx f ( f ( ( f f ξ or: Eor x és y ξ η erem-sűrűségfüggvéye h ξ és η folytoos vlószíűség változó. Vlószíűség változó függetlesége. ξ és η vlószíűség változó (egymástól függetlee h mde x és y értére feáll hogy: ( ξ < x η < y ( ξ < x ( η < y. F( x y F ( x F (y 3. H ξ és η vlószíűség változó (egymástól függetlee or bárhogy s válsztu z ( b és ( c d tervllumot z ξ < b és c η < d eseméye szorztá vlószíűsége egyelő eze eseméye vlószíűségée szorztávl: ( ξ < b c η < d ( ξ < b ( c η < d 4. Szüséges és elégséges feltétel függetleséghez: Dszrét eset ξ és η függetleségée szüséges és elégséges feltétele hogy ξ x η y ξ x η y q ( ( ( hol x és y véggfut ξ és η összes lehetséges értéé. b Folytoos eset ξ és η függetleségée szüséges és elégséges feltétele hogy f ( x y f( x f ( y egyelőség mde x -re és y -r telesülö. Vlószíűség változó függvéyee eloszlás H ξ és ξ függetlee és bomáls eloszlású és lletőleg és rmétereel or ξ ξ s bomáls eloszlású melye rmétere: és. b H ξ és ξ függetlee és osso-eloszlású λ és λ rmétereel or ξ ξ s osso-eloszlású melye rmétere λ λ. c H ξ és ξ függetlee és geometr eloszlású és lletőleg és rmétereel or ξ ξ s bomáls eloszlású melye rmétere: és. étdmezós vlószíűség változó várhtó értée és szórás. H ( ξ ξ dszrét vlószíűség vetor és y r ( x x tetszőleges függvéy or z η r ( ξ ξ várhtó értée: 6

17 ( ( ( x M ( ( ( ( ξ x ξ x ( ( ( η r x x x számáro ( z ξ ξ lehetséges értéet elet.. H ( ξ ξ folytoos vlószíűség vetor melye sűrűségfüggvéye f ( x x továbbá y r( x x folytoos dfferecálhtó függvéy or z η r ( ξ ξ várhtó értée: dxdx ( r( x x f ( x x M η 3. M ( ξ η M ( ξ M ( η 4. M ( ξ b M ( ξ b 5. M ( ξ bη M ( ξ bm ( η 6. D ( ξ b D ( ξ D( ξ b D( ξ 7. H ξ és η vlószíűség változó függetlee or M ( ξη M ( ξ M ( η hol függetleség em szüséges de elégséges feltétele élet telesülésée. 8. H ξ ξ ξ vlószíűség változó függetlee or D ξ ξ ξ D ξ D ξ D ξ D ( ( ( ( ( ξ ξ ξ D ( ξ D ( ξ D ( ξ sztochsztus csolt mérése. ovrc ξ és η ovrcá: cov ( ξ η M (( ξ M ( ξ ( η M ( η b cov ( ξ η cov( η ξ c H ξ és η vlószíűség változó ovrcá létez or így s számíthtó: cov ξ η M ξη M ξ M η ( ( ( ( d cov ( ξ η D( ξ D( η e H 0 és η ξ b or cov ( ξ η D( ξ D( η f cov ( ξ η b cov( ξ η g cov( ξ bη bcov( ξ η. orrelácós együtthtó ξ és η vlószíűség változó orrelácós együtthtó: cov ( ( ξ η M ( ξη M ( ξ M ( η corr ξ η D( ξ D( η D( ξ D( η b ξ és η vlószíűség változó orrelácós együtthtó mdg és özé es: corr ( ξ η z corr ( ξη or és cs or egyelő -gyel vgy -gyel h ξ és η özött leárs csolt áll fe zz h létez oly 0 és b 7

18 szám hogy z η ξ b egyelőség vlószíűséggel telesül. Ez esetbe corr ( ξ η h > 0 és corr ( ξ η h < 0. c H ξ és η függetlee or: corr ( ξ η 0 d H corr ( ξ η 0 or ξ és η orreláltlo de em feltétleül függetlee. e H ξ és η orreláltlo or: M ( ξη M ( ξ M ( η f H ξ és η orreláltlo or: D ( ξ η D ( ξ D (η g corr( ξ bη b corr( ξ η h H ξ és η orreláltlo és együttes eloszlásu ormáls eloszlás or ξ és η függetlee s. 8

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+

I. BEVEZETİ. i= 1 i= Z : Ai F és Ai Ai+ i Z : Bi F és Bi Bi+ I ALAPFOGALMAK I BEVEZETİ Jelölése: K: véletle ísérlet, ω : elem eseméy, { : } Ω= ω : eseméytér, F Ω : eseméyalgebra, A F : eseméy, Ω F : bztos eseméy Mővelete eseméyeel: összegzés: A+B (halmazuó), szorzás:

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Tómács Tibor. Matematikai statisztika

Tómács Tibor. Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34

Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34 Valószín½uségszámítás és matematikai statisztika Mihálykóné Orbán Éva Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34 Valószín½uségi változók számérték½u jellemz½oi 1 várható érték 2 szórásnégyzet/szórás

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz

Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Építőkari Matematika A3 1. Ha E(X = 1 és D 2 (X = 5, határozzuk meg (a E[(2 + X 2 ], (b D 2 (4 + 3X értékét. 2. Legyenek X 1, X 2,... független azonos eloszlású

Részletesebben

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

Feladatok megoldással

Feladatok megoldással Fladatok mgoldással. sztmbr 6.. Halmazrdszrk. Igazoljuk! A \ B A r (A r B) (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) Mgoldás. A r (A r B) A \ A \ B A \ A [ B A \ A [ (A \ B) A \ B (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) (A

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Jegyzet ELE, Iformata Kar Hegedős: Numerus Aalízs ARALOM Gép szám, hbá 3 Normá, egyelıtlesége 9 3 A umerus leárs algebra egyszerő traszformácó 6 4 Mátro LU-felbotása, Gauss-Jorda

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL

FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL SZAKDOLGOZAT Készítette: Kovács Blázs Mtet BSc, tár szrá Tévezető: dr Wtsche Gergel, djutus ELTE TTK, Mtettítás és Módszert Közot Eötvös Lorád Tudoáegete Terészettudoá

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

KOD: B377137. 0, egyébként

KOD: B377137. 0, egyébként KOD: 777. Egy csomagológép kilogrammos zacskókat tölt. A zacskóba töltött cukor mnnyiség normális loszlású valószínûségi változó kg várható értékkl és.8 kg szórással. A zacskó súlyra nézv lsõ osztályú,

Részletesebben

STATISZTIKA 1. KÉPLETGYŰJTEMÉNY. alapfogalmak egy ismérv szerinti elemzés két ismérv szerinti elemzés standardizálás indexszámítás

STATISZTIKA 1. KÉPLETGYŰJTEMÉNY. alapfogalmak egy ismérv szerinti elemzés két ismérv szerinti elemzés standardizálás indexszámítás STTSZTK. KÉPLETGYŰJTEMÉY alaogalma eg smér szer elemzés é smér szer elemzés sadardzálás dexszámíás . LPOGLMK..smére íusa TEÜLET, DŐEL, MŐSÉG, MEYSÉG. MŐSÉG omáls (éleges) soaság eleme alamle uladoságo

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée DR BENKŐJÁNO gátudoáy Egyete Gödöllő Mg Gépt Itézet gyoozgáú gépzeezete tevezéée foto lépée z egyelete, ezgéete üzeet bztoító

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját.

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv Mátrx-vektor feldtok Összeállított dr. Slánk József egyetem djunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálnt Gusztáv 1. feldt Adottk z n elemű, b vektorok. Képezn kell c vektort, hol c = b / Σ( ), ( = 0,1,,

Részletesebben

Fourier-transzformáció

Fourier-transzformáció EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Simon Péter Fourier-transzformáció Ez a tanulmány az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával készült (a támogatás száma:

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

(2) A R. 3. (2) bekezdése helyébe a következő rendelkezés lép: (2) A képviselő-testület az önkormányzat összes kiadását 1.1369.

(2) A R. 3. (2) bekezdése helyébe a következő rendelkezés lép: (2) A képviselő-testület az önkormányzat összes kiadását 1.1369. Enying Város Önkormányzata Képviselő-testületének 20/2010. (X. 05.) önkormányzati rendelete az Enying Város Önkormányzatának 2100. évi költségvetéséről szóló 7/2010. (II. 26.) önkormányzati rendelete módosításáról

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. Számfogalmak kialakítása:

Részletesebben

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai

Részletesebben

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar 2.3.2.2.1.2 Keresztirányú stabilitás nagy dőlésszögeknél A keresztirányú stabilitás számszerűsítésénél, amint korábban láttuk, korlátozott a metacentrikus magasságra való támaszkodás lehetősége. Csak olyankor

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE

UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE Babeş Bolyai Tudomáyegyetem Matematia Iformatia ar Iformatia sza UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE Uleyomatépe feldolgozása, osztályozás euroális hálóal, azoosítási célú összehasolítás Vezetőtaár: Dr. Soós Aa

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

1. (Sugár Szarvas fgy., 186. o. S13. feladat) Egy antikvárium könyvaukcióján árverésre került. = x = 6, y = 12. s y y = 1.8s x.

1. (Sugár Szarvas fgy., 186. o. S13. feladat) Egy antikvárium könyvaukcióján árverésre került. = x = 6, y = 12. s y y = 1.8s x. . Sugár Szarvas fgy., 86. o. S3. feladat Egy antikvárium könyvaukcióján árverésre került 9 könyv licitálási adatai alapján vizsgáljuk a könyvek kikiáltási és ún. leütési ára ezerft közötti sztochasztikus

Részletesebben

n természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti

n természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti osztály Igzolju, hogy 3 < ármely természetes szám eseté Kovács Bél, Sztmárémeti Az összeg egy tetszőleges tgj: Ezt ővítjü és lítju úgy, hogy felothssu ét tört összegére ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) )( (

Részletesebben

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat

specific (assignable) cause: azonosítható, tettenérhető (veszélyes) hiba megváltozott a folyamat ELLENŐRZŐ KÁRTYÁK méréses mősítéses commo cause: véletle gadozás secfc (assgable) cause: azoosítható, tetteérhető (veszélyes) hba megváltozott a folyamat Mősítéses elleőrző kártyák 41 Mősítéses elleőrző

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

Nevezetes függvények

Nevezetes függvények Nevezetes függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal. PhD értekezés

Miskolci Egyetem. Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal. PhD értekezés Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Részbenrendezés maximális kompatibilis kiterjesztéseir l ütemezéselméleti vonatkozásokkal PhD értekezés Készítette: Lengyelné Szilágyi Szilvia Hatvany

Részletesebben

Ftéstechnika I. Példatár

Ftéstechnika I. Példatár éecha I. Példaár 8 BME Épülegépéze azé éecha I. példaár aralojegyzé. Ha özeoglaló... 3.. Hvezeé...3.. Háadá....3. Hugárzá...6.. Háoáá....5. Szgeel axál hleadáához arozó ül áér....6. Bordázo vezeé.... Sugárzá...5.

Részletesebben

1. példa. 2. példa. értelemszerően. F 2.32. ábra

1. példa. 2. példa. értelemszerően. F 2.32. ábra . péld Htározzu meg z.. árán láthtó tégllp lú eresztmetszet és y tengelyre számított másodrendő nyomtéit! d dy (.) épler szerint y dy y d y 0 0 értelemszerően y. péld Steiner-tétel (.. éplet) llmzásávl

Részletesebben

Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában

Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Simon Péter Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában egyetemi jegyzet A jegyzet az ELTE IK 2010. évi Jegyzettámogatási pályázat támogatásával készült

Részletesebben

Az analízis néhány alkalmazása

Az analízis néhány alkalmazása Az analízis néhány alkalmazása SZAKDOLGOZAT Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Szerz : Fodor Péter Szak: Matematika Bsc Szakirány: Matematikai elemz Témavezet : Sikolya Eszter, adjunktus

Részletesebben

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi

Részletesebben

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A:= { a csoport tanulói b) B:= { Magyarország városai ma c) C:=

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

ó ó ú ú ó ó ó ü ó ü Á Á ü É ó ü ü ü ú ü ó ó ü ó ü ó ó ú ú ú ü Ü ú ú ó ó ü ó ü ü Ü ü ú ó Ü ü ű ű ü ó ü ű ü ó ú ó ú ú ú ó ú ü ü ű ó ú ó ó ü ó ó ó ó ú ó ü ó ó ü ü ó ü ü Ü ü ó ü ü ü ó Ü ó ű ü ó ü ü ü ú ó ü

Részletesebben

Á ű ő ö Í é é ő Ö Ö é ő Ö ő ö é é Ö ü é ó Ő é é ó é ó é é é é Ö ó ó ő é Ü é ó ö ó ö é é Ő ú é é é é ő Ú é ó Ő ö Ő é é é é ű ö é Ö é é ó ű ö é ő é é é é é é é é é Ö é Ö ü é é é é ö ü é ó é ó ó é ü ó é é

Részletesebben

:.::-r:,: DlMENZI0l szoc!0toolnl ránsnnat0m A HELYI,:.:l:. * [:inln.itri lú.6lrl ri:rnl:iilki t*kill[mnt.ml Kilírirlrln K!.,,o,.r*,u, é é é ő é é é ő é ő ő ú í í é é é ő é í é ű é é ő ő é ü é é é í é ő

Részletesebben

Ü Ö Á Á Á Á Á É ű Ü Ú ű ű Á É ű Ú Ü ű Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Á Ü Ü Ü Ö Ö Ú Ö Ü Ö ű ű ű ű ű Á ű Ú ű ű ű ű ű É Á Ö Ö Ö ű ű ű Á ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ü Ü Ü Ü ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű ű ű ű Ü Ö Ü Ó Ö ű ű ű

Részletesebben

Ö Ó ú É ű É Ö Ö Ö Ü Ó Ú É ú É Ü Ú ú Ü ű ú Ü Ö Ö ú ű Ú ű ű ú Ö Ö Ö Ö É ú ú Ő Ö ú Ü Ó ú Ú Ü Ö ű ű ű Ö ű ú Ó ű Ö Ü ű ú ú ú ú É ú Ö ú ú Ü ú Ó ú ú ú ú ú ú ű ű ú ű ú ú ű Ö ú ú ú ű Ö ú ű ú ű Ü Ö Ü ű Ü Ö ú ú Ü

Részletesebben

ű Ő ű Ü Ü Ü ű ű Ú ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű Ú Ü Ő ű Ö ű Ü ű Ö ű Ú ű ű Ű É É ű ű ű ű ű ű ű Ü ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű É Ű É Ü Ü Ú É É ű ű ű Ü ű É É Ű É ű ű ű ű ű ű ű Ö Ó ű ű ű ű ű ű Ö É Ó É É É Ü

Részletesebben

Á Á Ó É ö ó ó ó ő ő ó ö ő ő ű ó ú ö ó ó ő ó ü ó ó ő ó ó ő ó ü ó ő ő ő ó ő ő ö ó ó ó ö ö ü ö Á Á Ó ü ó ö ó ő ó ő ő Á É Á Ó ű ü ö ó ő ó ú ÉÉ ó ú ő ö ó ó ó ó ó ö ö ő ü ó ö ö ü ó ű ö ó ó ó ó ú ó ü ó ó ö ó

Részletesebben

É É É ü É ó ó É ű ó ÉÉ ó É ó É É ó É ü ó ó Ó ű ó ó ó ó ü É ü ű ó É É É É ü ü ó ó ó ü É ó É ó É ó ó ó ü ü ü ü ó ü ü ü ü ó ű ű É Í Ó Ü Ö ó ó ó Ó ó ü ü ü ű ó ü ü ű ü ü ó ü ű ü ó ü ó ó ó ó ó ó ó ü ó ó ó ű

Részletesebben

Statisztikai alapismeretek (folytatás)

Statisztikai alapismeretek (folytatás) Statisztikai alapismeretek (folytatás) 3. elıadás (5-6. lecke) Az alapsokaság fıbb jellemzıi () 5. lecke Folytonos változó megoszlásának jellemzése A sokasági átlag és szórás Átlag és szórás tulajdonságai

Részletesebben

Ú Ú. k -1 H = T U = dl tech 2 R'

Ú Ú. k -1 H = T U = dl tech 2 R' [] Hő: é > u > dás > á, hoy ész ª d sb hőésé: Rø jésó..fo:6, Fhh H:jé fo:3, Ruu és Csusjé..fo: yíőd > o > hő < szsé > u és hő yééű: 4,8 íz: C ~48 od:. zí és xzí áojző, fudás y.dudsd, dsz áoy. R. zbás:.

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

(4) Adja meg a kontinuum definícióját! Olyan szilárd test, amelynek tömegeloszlása és mechanikai viselkedése folytonos függvényekkel leírható.

(4) Adja meg a kontinuum definícióját! Olyan szilárd test, amelynek tömegeloszlása és mechanikai viselkedése folytonos függvényekkel leírható. SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MECHANIKA - REZGÉSTAN ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK Eméet édése és váaszo eyetem aapépzésben (BS épzésben) észtvevő ménöhaató számáa () Adja me az anya pont defníóját! defníó:

Részletesebben

Az aperturaantennák és méréstechnikájuk

Az aperturaantennák és méréstechnikájuk Az aperturaantennák és méréstechnikájuk (tanulmány) Szerzők: Nagy Lajos Lénárt Ferenc Bajusz Sándor Pető Tamás Az aperturaantennák és méréstechnikájuk A vezetékmentes hírközlés, távközlés és távmérés egyik

Részletesebben

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03.

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségiráyítási redszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségtartó szabályozás Elleőrző kártyák miősítéses jellemzőkre Két esete: A termékre voatkozó adat: - valamely jellemző alapjá megfelelő em megfelelő:

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

ADDITÍV KONVOLÚCIÓS ÖSSZEGEK SPEKTRÁLIS FELBONTÁSA

ADDITÍV KONVOLÚCIÓS ÖSSZEGEK SPEKTRÁLIS FELBONTÁSA ADDITÍV KONVOLÚCIÓS ÖSSZEGEK SPEKTRÁLIS FELBONTÁSA HARCOS GERGELY Ha a(n) eg számelméleti függvén, akkor természetes feladat a a(m)a(n)w(m, n) m±nh alakú additív konvolúciós összegek vizsgálata. Ha W :

Részletesebben

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! 5. gyakorlat Lineáris leképezések Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! f : IR IR, f(x) 5x Mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez? x, x IR, f(x +

Részletesebben

Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar. 2011. május 31.

Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar. 2011. május 31. Név, felvételi azonoító, Neptun-kód: VI pont(90) : Cak felvételi vizga: cak záróvizga: közö vizga: Közö alapképzée záróvizga meterképzé felvételi vizga Villamomérnöki zak BME Villamomérnöki é Informatikai

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. *************** JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

Jobbra és balraforgatás

Jobbra és balraforgatás Def A P F pont (mgsság-)egyensúly: AVL f Egy(P) = h(jo(p)) h(bl(p)) Def Az F inf AVL-f, h ( P F)( Egy(P) ) tétel H F AVL-f, kkor h(f).44 lg(n + ), hol n z F f pontjink számát jelöli. Biz Legyen N m z m

Részletesebben

Vektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet).

Vektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet). Vektortér A vektortér (lineáris tér, lineáris vektortér) két, már tanult algebrai struktúrát kapcsol össze. Def.: Legyen V nemüres halmaz, amelyben egy összeadásnak nevezett művelet van definiálva, és

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK MECHANIKAI TULAJDONSÁGAI

FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK MECHANIKAI TULAJDONSÁGAI FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK MECHANIKAI TULAJDONSÁGAI A gázok és gzök egyharmad hangsebesség alatti áramlása nem mutat eltérést a folyadékok áramlásánál. Emiatt nem mindig szükséges a kétféle halmazállaot megkülönböztetése.

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE

FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE 1. Egy alkalmassági vizsgálat adatai szerint a vizsgált személyeken 0,05 valószínűséggel mozgásszervi és 0,03 valószínűséggel érzékszervi

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Fogaskerékpár számítása

Fogaskerékpár számítása Fogskerékpár száítás Összeállított: Néet Géz egyete junktus Néetné Nánor Zénáb egyete tnársegé Tervezzen ele ogztú ogskerékpárt P teljesítény, z n jtó oll orultszá és z knetk áttétel seretében, lssító

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

Villamos kapcsolókészülékek BMEVIVEA336

Villamos kapcsolókészülékek BMEVIVEA336 Villamos kapcsolókészülékek BMEVIVEA336 Szigetelések feladatai, igénybevételei A villamos szigetelés feladata: Az üzemszerűen vagy időszakosan különböző potenciálon lévő vezető részek (fém alkatrészek

Részletesebben