FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL"

Átírás

1 FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL SZAKDOLGOZAT Készítette: Kovács Blázs Mtet BSc, tár szrá Tévezető: dr Wtsche Gergel, djutus ELTE TTK, Mtettítás és Módszert Közot Eötvös Lorád Tudoáegete Terészettudoá Kr Budest, 0

2 Trtlojegzé Bevezetés 3 A leghosszbb hoogé sorozt hosszá eloszlásfüggvée 6 R eloszlásfüggvée szbálos ézére esete 7 R eloszlásfüggvée e szbálos ézére esete 0 A leghosszbb hoogé fejsorozt hosszá várhtó értée 3 A várhtó érté özelítése 3 Illusztrácó 5 3 Dobálju drb érét, íg z összes ére fejet e utt 8 3 Y eloszlásfüggvée 8 3 A = Y = függvé 0 33 Y várhtó értée 4 Ktetés: Erdős ál és Ré Alfréd eredée 3 4 Erdős és Ré votozó tétele 3 4 A tétel bzoításához szüséges fogl és állításo 4 Irodlojegzé 6

3 Bevezetés [Rosecrtz ézérét öcct gsb, z láhulló érét elj, jd ézfejére helez Guldeste özelről fgel] ROSENRANTZ: Fej Fej Fej Fej [Tzeolcszor dobj fel ézérét, és vle dobás eredée fej] GUILDENSTEIN [A tzelecedszer feldobott érét rötébe elj Meggőződ rról, hog ézére szbálos, jd vsszhjítj Rosecrtz] ROSENRANTZ [Elj vsszdobott érét, jd ézfejére helez] Fej [Rosecrtz százál s több fejet dob özvetleül egás utá Guldeste egróbálj eggráz jeleséget] GUILDENSTEIN: zo elv leűgöző érvére jutás, hog de eges ére de feldobásáál d fejre, d z írásr egelő z esél Eé e oozht egleetést, h de esetbe íg tesz Részlet Rosecrtz és Guldeste hlott c fből - o - A Vlószíűségszáítás gorlt cíű urzus első óráj szotlul, á ál érdeesebbe ezdődött Wtsche Gergel tár úr urzus ottój övetező éréssel fordult hllgtósághoz: Jegezzete le ét írlr eg-eg 00 hosszú, F és Í jeleből álló soroztot Az első soroztot tlálor észítséte el ljá, t eg ézfeldobás-soroztról godolto; íg ásod eg vlós ézfeldobás-sorozt ljá észüljö Mutá ezt egtettéte, bárelőtö dedhtj z áltl lejegzett ét soroztot, é edg jó eséllel eg fogo tud od, hog özülü el rerezetálj vlós ézfeldobáso eetelet Megdöbbeésere Wtsche tár úr de eges hllgtó eseté ásoderce ltt eg tudt ülöböztet vlós ézfeldobás-sorozt egfelelő eredéészletet 3

4 tlálor elészítettől; és zt s egosztott hllgtósággl, hog egülöböztetés ulcs: Elodás szert leghosszbb hoogé sorozt zz z egást övető feje vg íráso sorozt özül leghosszbb sorozt hossz léegese rövdebb zo eredéészletebe, eleet sját elézelésü ljá állítu elő Az érdeessége sor e ért véget z előbb ísérlettel: Wtsche tár úr ezutá fet dézett flrészletet vetítette le hllgtóság száár Az ezódot gától értetődő szetczussl szelélte; de ívácsságo rr srllt, hog s száolj vlószíűségét, hog egást övető száz ézfeldobás eetele dszor fej lege A száológée ásoderce ltt egdt válszt, érdéses vlószíűség: 3 7, A vlószíűségszáítás tárgöre rát rooszeveből dódó urzus elvégzése utá s eg, vlószíűségelélet ülöböző dszclíát tárgló szrodlt olvst; és ésőbb ez vezetett rr z elhtározásr, hog hjd gorltvezetőet, Wtsche Gergel tár urt érje fel szdolgozt tévezetőe Ezúto szereté egöszö Wtsche tár úr brlás téjvsltot, uá szszerű és lelseretes ráítását, és felerülő érdése egválszolásáb újtott los segítséget Szdolgozto célj ézfeldobás-soroztob előforduló hoogé sorozto eges fgelere éltó tuljdoság elezése volt, elhez éhá tetus eze robléörrel csoltb fejtett érteezését vette lul Fő törevése volt továbbá, hog forrásűve szeléletese tárglt jeleségehez, állításhoz öálló ostruálj forlzált tet leírásot, bzoításot A dolgozt első fejezetée tárg z hosszú ézfeldobás-soroztb előforduló leghosszbb hoogé fejsorozt hosszá eloszlásfüggvée d szbálos, d e szbálos ézére eseté Az eloszlásfüggvé tuljdoság elezése ellett tére rr s, hog tárglt ttrbútuo hog hozhtó csoltb leghosszbb fejeből vg írásoból álló hoogé sorozt áltláos esetével A ásod fejezetbe özelítő eredét foglzo eg z hosszú ézfeldobássoroztb előforduló leghosszbb hoogé fejsorozt hosszá várhtó értééről, 4

5 Mcrosoft Offce Ecel -be elészített llusztrácól s szeléltetve özelítés helességét Az elövetező fejezetbe eg összetett jeleség elezését végze el z előbb beuttott fejezete szeotj szert, végül z utolsó fejezetbe rövd betetést újto Erdős ál és Ré Alfréd hoogé soroztol csoltb egfoglzott eredéebe 5

6 A leghosszbb hoogé sorozt hosszá eloszlásfüggvée Tetsü eg drb ézfeldobásból álló dobássoroztot; és tegü fel, hog ézére szbálos, zz vlószíűsége, hog eg ézfeldobás eetele fej vg írás: Jelölje R dobássoroztb előforduló leghosszbb hoogé fejsorozt hosszát = 3 eseté öe felírhtó z összes lehetséges dobássorozt, és rövd száolás útjá eghtó R 3 lehetséges értéehez trtozó vlószíűsége: FFF, FFÍ, FÍF, FÍÍ, ÍFF, ÍFÍ, ÍÍF, ÍÍÍ R 3 értée orét esete R 3 = 0 ÍÍÍ /8 FÍF, FÍÍ, ÍFÍ, ÍÍF 4/8 FFÍ, ÍFF /8 3 FFF /8 Il ódo otos száíthtju R 3 várhtó értéét: 4 E R Ksebb -e éldául = 5 eseté R várhtó értée öe eghtó ugeze ódszerrel Megjegzedő zob; hog él gobb értée, ál több dőt vesz gébe z összes lehetséges dobássorozt lejegzése; 00 drb dobássorozt felírás edg ég egfelelő száítógérogrl s eglehetőse ehéz A roblé tovább boolód, h ézére e szbálos zz, h vlószíűsége, hog 6

7 eg ézfeldobás eetele fej:, íg, hog írás: :=, hol ; hsze eor z eges dobássorozto eltérő vlószíűséggel fordul elő Láthtju, hog eg áltláos ódszerre v szüség, ee egostruálásához edg elsőét R eloszlását ell részletese egvzsgálu Lege F z R vlószíűség változó eloszlásfüggvée, zz: F := R R eloszlásfüggvée szbálos ézére esete Tetsü eg drb ézfeldobásból álló dobássoroztot; és tegü fel, hog ézére szbálos Jelölje A zo hosszú dobássorozto száát, elebe leghosszbb hoogé fejsorozt hossz legfeljebb Megállíthtó, hog A F ; hsze lehetséges hosszúságú dobássorozto szá F leté eghtározásához z A sorozt értéere v szüségü, ezért z elövetezőbe erre soroztr ostruálu reurzív forulát Állítás: A A j0 j,, h h ; Bzoítás: Először belátju, hog = 3 eseté gz z állítás; jd öveteztetése ljá egfoglzzu z áltláosítást = 3 eseté övetező teljesüle: H 3, or: A 3 = ; hsze trváls, hog bárel legfeljebb 3 hosszú soroztr teljesül, hog bee előforduló leghosszbb hoogé fejsorozt hossz legfeljebb 3 7

8 H > 3; or de ol sorozt, el legfeljebb 3 hosszú hoogé fejsoroztot trtlz, Í, FÍ, FFÍ, vg FFFÍ ezdetű; és ol lácb folttód, elbe leghosszbb hoogé fejsorozt hossz legfeljebb 3 Il ódo övetező reurzó dód: A 3 A 3 A 3 A 3 3 A4 3 A j 3, h 3 3 j0 Az előbbebe bzoítást ert, hog = 3 eseté gz z állítás Hsoló godolteetet övetve öe gzolhtó, hog z állítás bárel -re teljesül: H, or A = ; hsze trváls, hog bárel legfeljebb hosszú soroztr teljesül, hog bee előforduló leghosszbb hoogé fejsorozt hossz legfeljebb H > ; or de ol sorozt, el legfeljebb hosszú hoogé fejsoroztot trtlz, Í, FÍ, FFÍ, vg FFF FÍ ezdetű utóbb ezdőelesoroztb drb F övet egást, és ol lácb folttód, elbe leghosszbb hoogé fejsorozt hossz legfeljebb Il ódo övetező reurzó dód: A A A A 3 A j0 A j, h Észrevehetjü, hog A Fbocc-sorozt eltoltj: A 0 = 0 = ; A = = ; j j 0 0 j0 A = A A A A A A 3; j0 A = A j A j A 0 A A A j0 j0 8

9 Joggl egülhet fel érdés: Mebe változ z eloszlás bb z esetbe; h leghosszbb hoogé fejeből vg írásoból álló sorozt hosszát vzsgálju? Jelölje R * z hosszú dobássoroztb előforduló leghosszbb hoogé sorozt hosszát, és B zo hosszú dobássorozto száát, elebe leghosszbb hoogé sorozt hossz legfeljebb Lege F * z R * vlószíűség változó eloszlásfüggvée, zz: F * := R * Trváls, hog F ostruálu B ; zz ebbe z esetbe B soroztr ell reurzót Állítás: A B, 0, h h ; 0 Bzoítás: Jegezzü le z eges ézfeldobáso eetelet Íg eg hosszú, F és Í jeleből álló sorozthoz jutu, ele -ed eleét jelölje w Jegezzü le eg ás soroztot övetezőé: Két szoszédos jel lá írju eg K jelet, h zo ülöbözőe zz w w + ; lletve A jelet, h ét jel zoos zz w = w + Az íg ott K és A jeleből álló soroztr övetező gz: hosszú, eg hosszú hoogé F vg Í jeleből álló sorozt egfelel eg hosszú A-sorozt lásd z lább éldát: Í K F K Í A Í A Í K F K Í A Í K F A F Il ódo: F R F R Korább egállítás ljá övetező gz: A R ; és F B 9

10 0 Mdezeből övetez, hog eseté: A A B A B R eloszlásfüggvée e szbálos ézére esete Tetsü eg drb ézfeldobásból álló dobássoroztot; és tegü fel, hog ézére e szbálos, zz vlószíűsége, hog eg ézfeldobás eetele fej:, íg, hog írás: :=, hol Jelölje zo hosszú dobássorozto száát, elebe otos drb fej fordul elő, és elere R Állítás: F 0 Bzoítás: Esetszétválsztást llzu szert, hog zo ézfeldobássoroztob, elere R, otos há drb fej fordul elő Feje szá #orét esete R

11 Nlvávló, hog:, 0 R R R R és vel z eges eseée záró: R R R R F leté eghtározásához sorozt értéere v szüségü, ezért z elövetezőbe erre soroztr ostruálu reurzív forulát Állítás: h, h 0, ; h, 0 ; j j j Bzoítás: Először belátju, hog = 3 eseté gz z állítás; jd öveteztetése ljá egfoglzzu z áltláosítást = 3 eseté övetező teljesüle: H 3, or 3 ; hsze trváls, hog bárel legfeljebb 3 fejet trtlzó soroztr teljesül, hog bee előforduló leghosszbb hoogé fejsorozt hossz legfeljebb 3 A otos drb fejet trtlzó, hosszú dobássorozto szá edg H 3 < =, or 0 3

12 H 3 < <, or de ol sorozt, el otos drb fejet és legfeljebb hosszú hoogé fejsoroztot trtlz, Í, FÍ, FFÍ, vg FFFÍ ezdetű, és ol lácb folttód, el z előző esete sorredje szert otos,,, vg 3 drb fejet trtlz; vlt bee előforduló leghosszbb hoogé fejsorozt hossz legfeljebb Il ódo övetező reurzó dód: j0 j j 3, h 3 Az előbbebe bzoítást ert, hog = 3 eseté gz z állítás Hsoló godolteetet övetve öe gzolhtó, hog z állítás bárel -re teljesül: H, or ; hsze trváls, hog bárel legfeljebb fejet trtlzó soroztr teljesül, hog bee előforduló leghosszbb hoogé fejsorozt hossz legfeljebb A otos drb fejet trtlzó, hosszú dobássorozto szá edg H < =, or 0 H < <, or de ol sorozt, el otos drb fejet és legfeljebb hosszú hoogé fejsoroztot trtlz, Í, FÍ, FFÍ, vg FFF FÍ ezdetű utóbb ezdőele-soroztb drb F övet egást, és ol lácb folttód, el z előző esete sorredje szert otos,,, vg drb fejet trtlz; vlt bee előforduló leghosszbb hoogé fejsorozt hossz legfeljebb Il ódo övetező reurzó dód: j0 j j, h

13 A leghosszbb hoogé fejsorozt hosszá várhtó értée A várhtó érté özelítése Tetsü eg drb ézfeldobásból álló dobássoroztot; és tegü fel, hog vlószíűsége, hog eg ézfeldobás eetele fej:, íg, hog írás: := A továbbb egegedjü ull hosszúságú hoogé fejsorozto eglétét s Szeléltetésé tethetjü z lább 7 hosszúságú dobássoroztot, elbe ^ szbóluo jelöl ull hosszú hoogé fejsoroztot: ^ I ^ I ^ I F F I ^ I Láthtó, hog h drb írás otos h drb hoogé fejsoroztot válszt el Állítás: E R log Heursztus érvelés: Jelöljé K 0 ; K ; K övetező eseéeet: K 0 := írást dobo; K := eg fejet és eg írást dobo le sorredbe; K := ét fejet és eg írást dobo le sorredbe; K j := j drb fejet és eg írást dobo le sorredbe Jelölje j K j eseé gorságát Evdes, hog 0 boáls eloszlású, íg egállíthtó, hog z hosszú ézfeldobás-soroztb várhtó drb írás fordul elő Ebből orább egállításu szert dód, hog dobássorozt várhtó drb hoogé fejsoroztot fog trtlz 3

14 Szté öű lát, hog várhtó hoogé fejsorozto -edrészébe zz drbb fog leglább eg fej előfordul; vlt, hog várhtó eze sorozto szté -edrésze zz drb trtlz leglább ét fejet stb Eélfogv: E E E E ; 0 ; ; j j Il ódo egállíthtju, hog z hosszú ézfeldobás-soroztb várhtó drb hoogé fejsorozt fordul elő; eze özül edg várhtó j drb j lesz leglább j hosszú Az eddge ljá szeléletese láthtó; hog eseté dobássoroztb várhtó előfordul leglább eg j hosszú vg ár j hosszbb hoogé fejsorozt; lletve, hog eseté j hosszú E fejsorozto szá várhtó eleésző Eélfogv z R relácó ER -re törtéő egoldásávl jó becslést htu R várhtó értéére: E R E R E R log A fet özelítésből szbálos ézére esetére övetezőt erjü: log : / log log log log E R 4

15 Illusztrácó A leghosszbb hoogé fejsorozt hosszá várhtó értéére ott özelítő eredé ljá z lább öveteztetést foglzhtju eg: Hjtsu végre eg ás ísérletet, ele sorá z érét e -szer, he -szer dobju fel Eor egfelelő logrtuszoosság llzásávl övetezőt htju: E R log log log log E R ; zz h dobássorozt hosszát étszeresére öveljü, or özelítőleg eggel ő leghosszbb hoogé fejsorozt várhtó hossz A jeleség ábrázolásár váló llusztrácó dhtó Mcrosoft Offce Ecel segítségével: A egfelelő függvéeet hszálv több száz hosszúságú fej-írás soroztot geerálhtu, egereshetjü beü előforduló leghosszbb hoogé fejsorozto hosszt; és egvzsgálhtju, hog el hossz le gr fordul elő Az ábrá láthtó grfo övetező Ecel -be odellezett ísérletsoroztb egfgelt jeleségeet szeléltet: Eg ísérlet sorá eg szbálos ézérét 00-szor feldobtu, dobáso eredéet lejegeztü, jd ezt újbb 99 llol egsételtü; íg 00 drb 00 hosszú fej-írás sorozthoz jutottu Megvzsgáltu, hog z eges dobássoroztob eor volt leghosszbb hoogé fejsorozt hossz z ötveed, százd, lletve étszázd ézfeldobásg; ezt övetőe edg egszáoltu, hog eze hossz özül há egezett eg z,,, 0 értéeel 0-ál gobb érté ísérlete sorá e fordult elő Az első 50 ézfeldobás vzsgált A legtöbb esetbe 4 volt leghosszbb hoogé fejsorozt hossz z ötveed ézfeldobásg A tsztlt átlgr votozó rogr éhá futás cellújrszáolttás utá övetező eredéeet szolgálttt: 4,9; 5; 5,; 5,3 5

16 Az első 00 ézfeldobás vzsgált A legtöbb esetbe 5 volt leghosszbb hoogé fejsorozt hossz százd ézfeldobásg vegü észre, hog ez z érté é eggel gobb z előzőél A tsztlt átlgr votozó rogr éhá futás utá övetező eredéeet szolgálttt: 5,8; 5,9; 6; 6, Az első 00 ézfeldobás vzsgált A legtöbb esetbe 6 volt leghosszbb hoogé fejsorozt hossz étszázd ézfeldobásg vegü észre, hog ez z érté é eggel gobb z előzőél A tsztlt átlgr votozó rogr éhá futás utá övetező eredéeet szolgálttt: 6,7; 6,9; 7; 7, Ábr 6

17 Megállíthtju, hog fet tsztlto híve llusztráljá fetebe felvázolt jeleséget, és z előző lfejezet végé ott özelítő eredéel s összeegeztethető: E R log 50 4,64; 50 E R log 00 5,64; 00 E R log 00 6,64 00 Ne egleő, hog rogr ellőe soszor törtéő futttás utá eleésző száb ug, de ol eredé s erhető, el e türöz fet jeleséget A ábrá láthtó grfo éldául eg ol ísérletsoroztból szárz, elbe z első 50 és z első 00 ézfeldobás eseté s 5 volt leghosszbb hoogé fejsorozto hosszból álló sorozt ódusz Ábr 7

18 3 Dobálju drb érét, íg z összes ére fejet e utt Tetsü övetező ísérletet: Dobju fel egszerre drb e feltétleül szbálos ézérét; jd zot, ele fejet utt, tegü félre Dobju fel z íg egrdó ézéréet újr egszerre; jd zot, ele fejet utt, tegü félre 3 Foltssu z eljárást dddg, íg de ére félretette özé e erül; zz ddg, íg z összes ére fejet e utt Jele fejezetbe övetező érdésre eressü válszt: Há le egszerre törtéő feldobásr v átlgos szüségü ísérlet befejezéséhez? Jelölje z Y vlószíűség változó ísérlet befejezéséhez szüséges dobáso száát Iseretes, hog E Y Y ; íg célu = Y = függvé eghtározás Ehhez szüségü lesz z Y vlószíűség változó G := Y eloszlásfüggvéére 3 Y eloszlásfüggvée Tetsü eg drb száozott,,, sorszáol ellátott ézérét hszáló ísérletet; és tegü fel, hog vlószíűsége, hog eg ézfeldobás eetele fej:, íg, hog írás: := Jelölje z vlószíűség változó zo dobásszáot, el hhoz szüséges, hog z sorszáú ézérével először fejet dobju A scl-eloszlás sert tuljdoság ljá lvávló, hog: ; 8

19 9 Szté evdes, hog otos egszerre törtéő feldobás szüséges ísérlet befejezéséhez, e z eges ézéré eseté z első fejdobás beövetezéséhez szüséges dobásszáo özül leggobb Il ódo:,,, Y 3Állítás: G Bzoítás: Az előbb egállítás ljá gz, hog:,,, Y G Mvel z eges =,,, eseée függetlee: ; hol z,,, vlószíűség változó scl-eloszlású zoos réterrel Eélfogv: G Továbbá egállíthtó, hog: 0 ; íg G eloszlásfüggvé övetezőée írhtó fel: Y G

20 3 A = Y = függvé 3 Állítás: 0 Bzoítás: Vegü észre, hog: Y Y Y Il ódo 3 állítás szert öe forlzálhtó: Y Y Y A véges ért sor összegére votozó összefüggés seretébe foruláb szerelő ét összegre övetezőé dhtu zárt életeet: ; A fete és boáls tétel ljá:

21 33 Y várhtó értée 33 Le: Bzoítás: 3 3 Vezessü be z := jelölést Íg: A véges ért sor összegére votozó összefüggés és derválás szbálo seretébe: 0 3 Il ódo: 33 Állítás: Y E Bzoítás: Korább egállításu szert Y E Íg 3 állítás ljá: Y E

22 A egfelelő átredezése utá övetezőt erjü: Y E Ahhoz, hog 33 leát llz tudju; ott fejezést szorozzu eg, és osszu s el -vl: Y E

23 4 Ktetés: Erdős ál és Ré Alfréd eredée 4 Erdős és Ré votozó tétele Erdős ál és Ré Alfréd eeledő eredéeet foglzt eg hsoló játéo leghosszbb hoogé eréssoroztvl csoltb Kezdet vzsgálódás széles uttás területet tott: ublácó oá száos, ezzel téávl fogllozó c és tulá jelet eg Az eredée ljául szolgáló tétel 4 otb olvshtó; bzoításához szüséges serete zob túlutt Mtet BSc ézés seretgá setruá, íg ee tárglásától eltete A tétel odását övetőe zo foglt és állításot vázolo fel, ele szté e d része tár szrá tgá, de seretü elegedhetetle bzoítás egostruálásához Legee dott z,,, függetle, zoos eloszlású vlószíűség változó, hol: 0 Láthtó, hog eg vlószíűség változó egfeleltethető z hosszú dobássorozt eg orét ézfeldobásá Rerezetálj fejdobás beövetezését z érté felvétele Legee S és IN,K övetezőée defálv: S 0 0; S I N, K 0 N K; N K S K S ; 3

24 Vegü észre, hog gz övetező: K I N, K K dobássoroztb v K hosszúságú hoogé fejsorozt Jelölje Z N N =,, zo K értée özül leggobbt, elere teljesül, hog IN, K = K Megállíthtó, hog Z N értée egegez z hosszú ézfeldobássoroztb előforduló leghosszbb hoogé fejsorozt hosszávl 4 Tétel Erdős, Ré: Legee dott, ostso, elere gz, hog: 0 < < < Jelölje Ω z összes eseé hlzát Eor de e 0 vlószíűségű ωω-hoz tlálhtó ol N 0 = N 0 ω,, véges szá, hog de N N 0 eseté teljesül övetező: N Z N log log N 4 A tétel bzoításához szüséges fogl és állításo 4 Defícó: Az M s s száot, zz z vlószíűség változó s-ed htváá várhtó értéét z vlószíűség változó s-ed oetuá evezzü 43 Defícó: A t s M s 0 s! t s függvét z vlószíűség változó oetugeeráló függvéée evezzü 4

25 44 Defícó: A h log száot z vlószíűség változó {,,, } vlószíűségeloszlásához trtozó etróá evezzü 45 A Strlg-forul:! ~ e A fet életbe ~ szbólu sztotus egelőséget jelöl 46 A Borel-tell le: Legee dott z A, A,, A, eseée H, or vlószíűsége, hog z A, A,, A, A eseée özül egdejűleg legfeljebb véges so övetez be H z A, A,, A, eseée teljese függetlee, és, or vlószíűsége, hog özülü egdejűleg végtele so beövetez A 5

26 Irodlojegzé ERDŐS, RÉNYI A O ew lw of lrge ubers, Jourl d'alse Mthétue, Vol 3, 970, 03 ERDŐS, RÉVÉSZ O the legth of the logest hed-ru, ollou Mthetc Socetts Jáos Bol, No 6, 977, 9 8 GORDON, L; SHILLING, M F; WATERMAN, M S A etree vlue theor for log hed rus, robblt Theor d Relted Felds, Vol 7, 986, 79 8 KINNEY, J Tossg cos utl ll re heds, Mthetcs Mgze, Vol 5, No 3, 978, RÉNYI A Vlószíűségszáítás, Tövdó, Budest, 966, 30 3, SHILLING, M F The logest ru of heds, The ollege Mthetcs Jourl, Vol, No 3, 990, SHANNON, E; WEAWER, W A ouácó tet elélete, Országos Műsz Iforácós Közot és Kövtár, Budest, 986 6

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée DR BENKŐJÁNO gátudoáy Egyete Gödöllő Mg Gépt Itézet gyoozgáú gépzeezete tevezéée foto lépée z egyelete, ezgéete üzeet bztoító

Részletesebben

Á ö é ő á ó ó É é í ő ó á á ő á ő é é á é é á á áé ú á á á í á é é ü ö é é ü ú á é á ó í Á í é ű ö é é á á ö ö á í é í ő ö é é é á é é é á á é ö é é ü é ö ö é ó í á á á é ö é é é í á á ő ö é ő é é é é

Részletesebben

á í á Ö Á Á É ő á ő á ü á ö ú á á á ö ű á í í á í á úí Í ő á ő á ő í á Í ő á ő ú í á í ü ő á ö Á í á á á Íí á á á á í ü ü í á á í á ö ö í á ü í Í ú ö íí á í á í á á á á á á á í á í á á á á í á ö á á Í

Részletesebben

Ó é ü ú á á á á Í ő é á é ú á á á é é ü á é á á ľ á óľ ľ Ó ő ł ĺ á ü é éľ ü é ú á á á á ľ á á á ű é á é Ę ú á á ö á á ö á é é ó ó á á á é é á é á á ö á é á é á á á í á áĺ Íá á á ľ ő ó á é ő é é é á ő á

Részletesebben

ó ű ü ó Á ó ú ú ú ó ó ó ü É É ű ü Ö ú ű ó ü ó í ű Ö ű ú Ü ű Ö ó í ű ó ó Ő í ű ó ü Á ú ú ó ű ó ü ű ó ó ó ó ű ű ó ó í ű ó ü ó Á ú ú ű ó ü Á ó ó í ó í ü ü ú ó í ú Á ó ó Ü ü ó Ö ü ó ü Ö ú í Á ü ű í í ü ú ó

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

É Í Á Á Ó Á Á Á Ö Ö ó ó ó őí ő ö ő öí í Í ó ó úí ü ö í ü í í ó ü á í Í á í á ű ö á á á á á á í á á ő á ö ó ó á ö ő á ó á á ö á Í á í á á á á á á á á á á á á í í á ő ö ó á á í á ő á ö ő á á á ő ő í ű á

Részletesebben

É Ő É é ö í é í é í í Ú é é é í í ő ö ö é É Ó É Á í é ő é í í í Í Í í í É É É í é é í Í é Íő é í é í é í í Í ú é é ű í í é í í Í ö ö ő é ö ö é é í Á ő é é é í é Í ö é é é é é é ö Í ö é é é í í é ö í í

Részletesebben

ü Ü ö ö ö ö ő ö ö ő ö ö ü Á ö ő ű Ü ö ö Ü ö Á Ü Ü ö ü ü Ü ü ö ő ő ö Ü Ü ű ő ü ő ő ő ő ö Ü ü ö ő ő ö ü Ü ö ő ü ű Ü ö ö ő ú ö ő ő ő ő ő ú ö ű ű ő ö ő ű ű Ü ö ö ő ö Ü ő ő ű ő ö ő ö ő ü ö ű ő ö ő ü ö ü ű ű

Részletesebben

É É ú í ö É É í ú É Á Á Á ö í ö í ú í Ö ö ö í í Á ö ö ö í í ö í É í ö ö í í í ö í í í í ö í í ö ö í ö ö í ö í ű í ö ú ű í í ö Ö ö ö í ö ö í ö ö í í í ö É ö ö ú ö ö ö í ö ű í ú ö ú Í É ú ö ö ö É ö ö í Íí

Részletesebben

É Á Á ű ű É ű ű Á ű Ó Ő Á Á Á Ő Á ű Á Í É Ö ű ű É Ö Ö Á Á Ö Á ű É Ö É Á Ö Á É É Á ű Ö É Í Á Á ű Á ű ű É Á Á Á ű ű É Ü Ő Á Á Á ű Á ű Á ű Ö ű ű Á Á Ö Ö Á ű Ö ű ű Í ű Á Á ű Á É Í Á Á Ó ű ű Á ű Á Á Á Á É Á

Részletesebben

ű É Í É Ö ű ü Ö É Ö Í É Ö Ö

ű É Í É Ö ű ü Ö É Ö Í É Ö Ö ú Ú Í Ú Ú ű É Í É Ö ű ü Ö É Ö Í É Ö Ö ü É Í ü Á É Ö Ő ú Ö ű Ő Ő Ő Í Ö ü Í Á Ö Ö Í ű Ő Í É É ü ü Í ü Í Í ű Í Ö É Ö ü É ű ű Ö ü Í Í ü Ö Í ű Ö É Ö ű Ö ü Ő Ő Á Í Í Í Ö Í É É Í ű ü ü ű É ü ű Ö Ö Ö ü Ö Í ü ű

Részletesebben

É ü É É ü Á Á Á ö É ú ő í á é ő á á á é é ü é é é é é ú é é ő ü ü é é í á é é é ő ő á é ü é é ü á é ú úá íő ű á ő é ü á á é é é é í üé á ő é é é ü Í é ő á í á é ú á á á é á ö ü Á á ő é é ü á é á á ö í

Részletesebben

Ü Á Á ü É ü ü Í ú Í ú É ű ü ű ü ö ö Í ü ö ü ü ö Í ü ö ö ö ú Í ü ö ö ü ű ö ú ö ö ö ú ú ö ű ö ű ü ü Í ü ú ü ú ö ú ú ú ú Ő É É Ü É Á ü ü Í ü ü ö ö ú ö Á Á Ő ü ü ú ú Ö ü ö ö ö ö ú Í ö ú ö Í ö ö Í ú Í Í ü ú

Részletesebben

ú í ö ü í íí ő ö ö ö ü ö ö ö ú ű ű Í Í í ő í ű í ő ü Í ő íú í ö ö ö ő í í í Í Í í í ö ö í í ö ö ö ő Í Í ÍÍ ö ö ő ö ö í ő ő ö í ö ö ú í ő ö ő í ö ő ö ö ö í ö ú Í ő í ű ö ő ú ö ő ö í í ő ö ö ő ö ö ú ö ű

Részletesebben

Ö ö ö í ö í ű ö ő ú ü í ú ő ő ő ú ő ú ő í ő í Á Ö ő ő í ö ö Ö í É Á Á ú Ú í í í í í ű ö í í í ő ö ü ü ö í í ú í í ö ő ü ú ő ö ö ő ú ú ö ű ú í ő Á ú ú ő ú ű ü í ú ü ü ü ö ő í ő Ö ú ö ö ö ő ü ü ö őí ö ö

Részletesebben

í ö ö ü ü í ü ö ü ö í ú ú Ö ö ö ü ü ö ö ű í ö ö ü ű ö í ű ö ö ü Á ö í ö í í í í ö ö ű ű í í í í í í ö í Ú í ü ü ö ű ö ö í ú ö ö ö ö ö ö Á í ö ú í ü í ú í ú Á í ú í ú ú Á ü ü í í í ö í í Á ú í ö ö í í ú

Részletesebben

Á Á Á ö Á ű Á Á ű ő ö ö í É ő í ő ő í ő ö ö ö ü ö ő É Ö ő í ü ü ö ö ő ö ő ő í ő ö ú ü ö ő Á ő ö ö í ö ö ö ö ú ő ú ú ő Í ü ő ő ű ő í ö ú ú ő ő ö ü ő É ö ő ö ö ő ü ö ú ő í ű ö ű ü ö ő í ö ő ő ő ö ő í í ö

Részletesebben

Á É ü Ö Á ö ö ö ö ü ö ö ö ü ö ű ö Í Ü ü ö ö ö Ü ö ö ö ö ü ö ö ú ö ö Í ű ö ű ü ö ú ü ü ű ö ö ö Ü ú ú ö ö ö ö ü ü ö ü ö ö ö ö ö ö ö ö ö ű Á ü ü ü ö ü ö ö ü ü Í ö ü ü É ű ű ö ö ö ö ö ö Á ö ö ö ü ö ö ö ö ü

Részletesebben

É Á í Ú É í ö í ő ú ö Í ö ü Ö ö ü ö Ö ö Á É őí ö ú ő í ő í ú ö í ő ő ö ú Ú ű ő ő Ú ü ö ú ü ö ö ü í Í ú ő í ü ü ő ö ö Ú ú Í Ú ü Ú ö ő ú ö ű ü í Ö Ö ö í ö ő ö ú ő Ú ú Ö í Ú ü í Á í É ő ö ő ö Á ű Ü í ü í

Részletesebben

Á É ú Ö ü ö É ü ő Á í ő ú ű ő ü ű ö ö ö Ö Ö ü í ü ű ö ő ö Ö ü ö í ü ő ő ő ö í ő ö ű í ü í ú í í í í í ő ő ö ő í ü ű í í ő í ő í ő ű í ű Ő í ú ű ü ö ö ő ő ő ü ö ö ő Ú ű ő í ü ő ö í ö ü ö ö ö ü ö ü ő í í

Részletesebben

ú ű ú ú ü í Ü í Ü ü ö ö ű í ö ű ü ö ö ö ö ö ú ú ü í í ű í ú ű ú ű ú ü ú ö ö ö ö ú ú í ű í ú ö ú ú ú ú ü ü ö ü ü ö ö ö ö ú í ü ö ü ú ö ü ü í ü í ö ü ü í ö í í ö í ú ü ö í í ú ü ö ü Á ü ú ü ö Á ö ö ü ö ü

Részletesebben

ö ü ö ú ú ö Í Ú ü Í ö ö ü É ú ü ü ű ö ö ö ö ö ö ö ö ű ú ü ö ú ü ü ü ű ö ö ö ö ö ö ö ü ö Í Í ű ű ú ö ü ö ö ö ű ö ú ö ö ü ü ú Í ö ü ű ö Í ü Í ü ö ö Í ö ö ö ö ü ü ű ö Í ö ö Ö ú Í ú Í ö ö ö ö ö ö ú ú Á ö ö

Részletesebben

Ü É Á í í Á ü ű í ú í ű ü ü Ö í Ü É Í í ü ü ü ü í ú ü í ü ű í í ü ü í í ü Í ú ú ú ű ü É ü í ü í Í í í ű ú í ú Á í í Ü É í í ú ú ű í í í ü í ú Ö ü ü ü ú ű ü í í í ü ü ü ű ü ü ű í ű Ö í í í ü ú Ü É í ú ú

Részletesebben

ᔗ勗 tér ᔗ厗k n ü 2011. c u 04- n k h ó ᔗ厗k n ü Község 2011. c u 04- n megt rtott közmegh llg tásáról Ü h : Község Műᔗ勗elᔗ勗ᔗ勗ésᔗ勗 házáᔗ勗 ᔗ勗 ᔗ勗 tér n nn k: ᔗ勗oᔗ勗ák ᔗ勗ál olgármester eᔗ勗th ᔗ勗stᔗ勗áᔗ勗 l olgármester

Részletesebben

ő ő ę ü ę í ü Í ź ő ő ö ü ę ę í ő ő ö ő í ę ü ö ö ü É ü ŕ ü ű Í ő ź ű ť ú ő ő ő ö ü ö ö í ő ő Í ź í ę ő ź ź ź í í ő ő ő ý ę ö ö ü ü ő ú ź ú ę í ő ę í í ő ę ü ü ö ź ź ü ő ü í ő í ü ü ő ü ę ü ö ć ő ő ö ű

Részletesebben

Í É ő ű Á ő ő ú ű ő ő ű ú ü ő ú ű ő ú ú ü ő ú ü ú ü ü ü ő ő őü Í ú ű ő É ű Í ű ű ű ü ő ő ű ő ű ű Á Á ú ú ú ú ú Í ő Í ő ü ú ü Ü ő Á ő ő ő Á ő ő ő ű Ü ú ü Á ő ű É ü ú ő ú ü Ö Í É Ü É Ü ú Ü ő ő Ő Á ű ü ő

Részletesebben

ő ű ü ü ű í í ú ő Í ő ö ő ő ő í ö ő ő ő í ő ő ö ö ő ő í ő ö Í ő í ü ú ő ő ű ö ő ő ü É í ú ő ö ü ő ü ü ú ü ő í í ő ü í É í ú ő í ú í ő í í ú í ő ö Ú ő ú ő í Á Ú ő Ú Ú ú ú ü ő ő ü Ú í ú ő ő Á í í ű ő Ú ö

Részletesebben

é é é ú Ü é é ü é é ú é ü é é ü é é é Á é é é é ú é é é ü é ú é é é ű í é é é é é é ü é í é ü é é é é é é é ú é é í ü é é ú í í é é é é ü í ü é é é é é é é í é é é é é ü é é é é é é í é é í ü é ú ü é é

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

ű Ö ű ú ű ü ú Á ű Á ű Á ú ű ü ú ú Í ü Á ú Ö ú ú ú ű ú ü ú Ö ú ű ű É ü ű ü ű ű É ü ű Ö ú É ú ú ú Á Á Á Á Á Á ú Ö Á Á Á Á ú ú Á Í Ü Á Á ú ú ú ú Á Á Á ű ü ü ü Ö ű ú Á Á Á É ú Á Á ű ú Ö ű ú ű Ö ű ű Ö ű ű Ö

Részletesebben

Ö í í ű í ü í ú í ü í ü í ü í ű í íí ü ü ű í í ú ü í ü ü ü ü ü ü ü í ü í ű ü í ü í ü ü ü í ü ű ü ü ű Í ü í ü ü í í ű ű ű í ü ű ű ü ü ü Í ü ú ú ü ű ü í É ü í í ü ü í í ü í Ú í í ü ü í ű í í í ü ű Á Ú í

Részletesebben

Á ú Ö Ú Á Á ú ú ú ú ü ü ú É ő ú ű ú ü Á É Á Í Á ú ú ú ű ú Ö ú ü ú ú ü ú ú ü ú ü ü ú ü ü ú ú ú ü ű ü ü ü ü ú ü ú ő ő ú ü ű ü ő ú ő ú ü ú ü ő ű ő ő ő ő ő ü ú ú ü ő ü ü ú ő ü ü ü ü ő ü Á ú ő ú ú ú ő Á ú ü

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

ö Ü ö ö ú ü ó Í í ó ö ő ö Ú ű í ó ö ó ö ö ő Ü ö í ó ö ő ő Ú ö ö ú ö ó ó ő ö ö ú Ó ö ú ü Ó ö ú Ü ő í Ó ö ö Ú ö ú ö í ó ő ö Í ű ö Ü ö Ü Ü ö ő Ó Ó ö ú ü ó ó ú ű í ó Í ö Ú ü í ó í ö ú Ü ó í Ö Ő Ö Ú Ű Í Á Ó

Részletesebben

Ó É Í ű ö ö ű í ö ö ö ö ö ö ö í ö ú ö í í ö í í í í ű ö í ö í ú Á Í Ó Á í ö ö ö ö ö ú Ú ö í í í ö ű ö ú ö Ú É É ö ú ö ö ú í í ú ú í ú ú í É ö É ö ú ú ú ö ú ö ú í É ö ö ö ö ö ö ú ö ö ú ú Á í ú ö Í ö í ö

Részletesebben

ő á ü ó á á é ő ü ę é Í Ő á á á é é á á á é é á É ő á á á é é ü á ü é é á á á á á á ö ö Í á á ö ú é á ó ö ü á ő ő ű á á á é Ü é é í ó á ó á ó á á ö é á á ú ÍÍ é ü é é á á á é é ť á ő é ő í á á ó á é ú

Részletesebben

Á É Á Á É ű ű Í É ű Í É Í ű Ü Í Ü Ü Í Í Í Í Í ű ű ű Í ű Í ű ű É ű Í Í É Í ű ű ű É ű ű Í ű ű ű Í ű ű Í Í É ű Á ű ű ű ű ű ű Í ű ű Í Í Í Í Í Í Í É Í Í Í Í ű ű Í ű Á ű ű É Í É Í Í Í É É ű Í Í ű ű ű ű Í ű

Részletesebben

Ő Á Ő É ö ö ö ö ú Á ö Ö ú ö Ö ö ö ű ú ú ö ö ö ö í í í ú ö í ö ű í í í í í í í ö í Í Í Á ö í Í ö í í Í ö É Ü ö Á í í ö ö ö í ö í ö ö í ö ű í í í í í í í Í ö í ö ö í Í Í ú í Í ú ö ú í í ú Í ö ö ú ö ö Í ö

Részletesebben

ö ö ő ü Á ő ü ö Í ü ö ö Á Á ü Í ü ü őí ö ü ö ö ö ü Í ü ö ö ö ü ü ö Á Á ö ő Í ü ő ü ö ü ü ő Í ö ö ő ü ü ő Í Í ő ö ő ő ö ő ü ü ü ő ö ü ü ü ü ü ő ő ö ő ü ü ü ü Í ő ö ö Í Í ü Í Í Í ü ö ö ö ü ő ő ö ő ő Í ő

Részletesebben

Á Á Á Ó ő ő ő í ő ö í ő ő ó í ó í ö ú ű í ó í ö ö őí ö ö ó í ő Á Á ö ö ű ö ö ö ö ö í ö ő ő ö ö í ő ö Ö Ú É Á őí í ö ö ö ö ö ő ö ő ő Ó ú ö ö ó Á ö ö ö í ö í ö í ű ö ö ű ö É ö ú ö í ö ú ű ö ű ö ö ő ű Ö ő

Részletesebben

ő áľ ü ő á ź é ő ü é ę á á á é é ü á ő ő đá á é Ü é Ü á Ĺ ź á á é é á ü é é á ĺáľ Á ľé ĺ é é íľá á é áľ ű é ö é á á á ó á á áľ á ő ő ű á á ő é í ĺ á á é ć é á é ü é é ĺíľ á á é é ü á ő é ő á ľ á é ź á

Részletesebben

ú ű Í Í Ó ú ú ú ú Í ú ú ú ú ú ú Í ú ú ú ú ú ű Í ű ú ú ú Í ú ú ú É Ó Á Á Á É Á Á Á ú ű Á Á Á É ú É Á ű Á ű Á Á Á Á Á ú ú Á ú É Á É ű ű ú ű ú ű Í ű ú ú ú É Í É Í ú ú ű ú Í ú Í ű ű ú ű Í ú ú ú ú ű ú ú ú ű

Részletesebben

Í ö Í ú Ú ö É Ú É Í Ó Ó ö ö ö Ö ú ú ú É Í É Í Ó Ú ö ö Ú É Í Ö ú ö ú ú Ö ú ű Í Ó ú Í ú Í Á É Í Ó Ö ö ú Ú Ö ö Ú É Í Ó É Í ú ű Í Í öé ö Í Í ú ú ű ö Í ú ű ö ú É ű ú ú Á ú Ö ú ú ö ö ú ű ú ö ö ö ö ú ű ú ö ú

Részletesebben

ö í ő ő ő ö ö ö ö ö ő ő í ű ő ő ő ő ő í ű ő ő ő ű í ű ó ő ő ó ú ő ő ó ó í ó ö ö ö ő ő ő ő ú ú ó ö ö ő ő ű ö ö ú ó ó ó ö ú ő ó ö ő ő ö ő í ö ö í ő ö ő ö ő ö ú ő í ő ő ö ú ű ő ő ő ő í ö ö í í ú í ö ó ő ö

Részletesebben

é é É É Á Ó é ű ú ü ü é ü é ő é é é ü ő é ő É é é é í í Í é é ö é ú ö é Ö ő í é í é ú ú ü é é é ö ö é ő éí é é é ő é é ő é é í é é ő í ő é Á ö é í ö é ő é é ő é é é ő ö é ő ö é í í Í É é í é é é é é ö

Részletesebben

Á ö ö Á É ü É ö í ü í ü é é é é é é í é é é ö é í í ü ö ü é é é é é ü í ü é ü ü é é é é é í é é ö é ú é é ú é é é í ö é ű ü é ö é é ü é é í ü í ü é é é é é ö é é é ö ö ö é ü ü é í é ü é í é é ú ú ö é Ö

Részletesebben

ő ö Ö ő í í ő ó ő í ó ő ő Ö Ö ő ö í í ö ö í ő ő í í í í ő Ü í ö ö í ű ó ö Í í ö ó í Ü Ü É í ő ö í ő Ö Ö ő í í í Á ő ő í ő ő ö ö ö ö ó ö Ö í í ó ő Ü í ó ó ő ó ő ó ó í ó ö ó Ó í í í Ö í ő ö ö ö ó í ő ő í

Részletesebben

Á Í Á É ö É í É í í ú Í ö Í Á ü ú í ő ú ú í É É Á Á ú ő ö ü Í ő ü ü ö í ő Í ő ű í ő ő ü ö ö ő í Í ö ő öíö ő ő í í ú ú ü í ü Í í ö ő Í ő ő ő ő ű ö ű ö Í ö ö ő ú ü ö ű Í ő ő Í ü ő ő ö ö ő Á ő ő ü ö ö ő ő

Részletesebben

Ó Á É Á É Ő Ü É í í ü ü ö ö ö ö í ü ü ü ö ö ö ö ü í Í í ö ű É ö í ö ö Í í ö ú Í ö í öíö ö í Í ö Í Í ú ü í í ö Ö ú ö É Í Íí ö ü É í ö Í í í Í ö É Í Íí Á ü ö Öú í Í í ü ü ü í Ú ú í Íí É í ö ö ö ü ö öí ö

Részletesebben

ő Á Ö ÉÓ Á É Ü É Í í ü ü ő ő ö Í ö ö ő í ő ö í ő í ü ö í ő ű í ö Ö ú ú Í ö í öíö ö Ö Í í ő í ü ü ö ö ö í Í ú Í í ö í í ü ö í ő É Í Í í ö í í Í í Í ÍÍ í ő Í í ő ú í ő ö ö ő É í ő Í ú ő Íő Í Í Í ÍÍ í Ö í

Részletesebben

í ú ő ü Í ö í í ú ú ü í í ő ú ö í Ú Í ö ú Á É Í Á É É í Á Á ö É ú É Ü Á Á ö É Á Á Á É É Á Í í ő ö Á Á Á Í ö É Í í Í í ő í ő í í Á Á É Á ő ő ő ő í í Í Í ő ö Ö É Á É ő Ú ö ö ö ő ő É Á É É Á Í Á ő É Á ő ő

Részletesebben

Á Á ö í ú í í í í ö ö ü ú ú Á ü ö ü ö ü ö ü ü ö í í ú ú ú ú í ú ü í ü Í ö ö Á ö ü ú Í í ű ü í ö ö ü í ö í í ú í í

Á Á ö í ú í í í í ö ö ü ú ú Á ü ö ü ö ü ö ü ü ö í í ú ú ú ú í ú ü í ü Í ö ö Á ö ü ú Í í ű ü í ö ö ü í ö í í ú í í Ü ü Ö ü ú ö ö Ö ú Í ü Á í ö ö ö Ö ü ü í ü ö ű ö í ú í í í ö í í ű Á Á ö í ú í í í í ö ö ü ú ú Á ü ö ü ö ü ö ü ü ö í í ú ú ú ú í ú ü í ü Í ö ö Á ö ü ú Í í ű ü í ö ö ü í ö í í ú í í í í ö ú í ö ö í í ü ü

Részletesebben

ü ó ę ü ó í ó ľ ľ ĺ ľ Í ľ ĺ ü ľ ĺ ź ó íľ ó ľ ľ ó ü í ü ö ü ę ľ ĺ ľ ľ ó ö ľ ú í ę ó í ó ľ ľ ö Í ü ę ľ ĺ í ó ľ ĺ í ó ľ í ę ü ľ ö ú ó Ĺĺ í ĺ í ó ľ ľľ ĺö ľ ĺ ú ľ ľ ó í ó ü ö ť ĺ í ó í ę ę ľ í ę ú ó í ü ó í

Részletesebben

Í É É É ú ú ö ü Á ö Ó ú ö Ö ú ú ö ö É ü ű Í ű ú Á ö ö ö ö ü ö É ö ö ö Á ö ö ö ü Á Á É ö ö Í Í ű ú ú Í ü ö ű ü ö Í Í ö ü ö ö ö Ú ú Ö ö ü ö ú ú ű ö ü É ü Í ö ú ö ö ü ö ö ö ö ö ü ű ü ö É Á ü ú ú ö ö ö ü ü

Részletesebben

í Í Ő í Ü ó ó Ó ó Ó Ó Ó ó Ó Á Ó Ü í í ó í Ó Ü í Ó Ó í ó ó ő ő í Ó í Í í Ő í ó í Ó ö ó ó Ö ó ó Á Á ó Á ó É ő í í ő í Í í í í í ó ó ó í Ó Á ö Ö í í É Ő Á ó Á Á É Í É ó í ő í ő Ó ó ó í ó ő ó ó í ó ő Ó ő í

Részletesebben

ü ö É í ü ö ö í Í ü ö ü ú í ű ö É ú í í í í ü ö Ú ü ö ö ö Í ú í Á ö ö í Í í í í ö í í í í í í ü ü ú ö ö Í ö Á ö Á Í í Á í ö í ö í ü ö Í ö ö ü í í í Íü ö í Í í í í ö ü ú í í í í í ö í ü í ö Ü öí ű ü í í

Részletesebben

Á ö É ö Á É ú ö í ü é é ö é ö é é é é é í é ú ö ö é é é í ü é é é ö é í é é é ú ö ö ö ö é é íú ö Ó é é ö é é í é ö é ú ö é í é é í í í í í é é ö í í ö é í ú é ö é é é é í é é Ö ö é ú é é é é í é ö í é

Részletesebben

Ö é Í Í ü ü é é ö é ö é ÖÍ é éé ű ú é Í ö ű ö é é é é é Í é é é Í Í ö é ö é é é ü ö é Ó Ö é ü é ü ü é é Ü é Í é é é ü ö é é ü é é ü é ö éé é é Í ú é é é Í é Í Í é é ü Í ö é ö é é é ü é ü Í é ü Á é é éé

Részletesebben

í í Í ö ű í í ő í Í Á Í É í É í Ő ö É Ú í É Í Á É É ö ö Á Ö É Ú Ö ö ö í í í í í Ö É É É Í ű Í í í Í í í í í Á Á É Ö Ö É Á É É É É Á É É Á É É í Í ö í í í Á Ö É Ú Á Ú Ö É Ö Á Ú É Á Á ö í í Á í Á Ö Ó É Ű

Részletesebben

ü ö í ő ü ü ü ő ő ő ű ő ö ü ő ü ü ö ű ő ö ő ő ő ő ü í ö ü ő ő ő ö í ú ő ü ő ü ő ö í ő ö ő ű ő ü ú ő ü ü ő ő ö ő ü ő ú ü ü ő ő ö í ö ü ő ő ö í ö ö ö ő ö ő ő ü ö ő í ő ő ő ő ö ö ő ő ő ö ö ő í ő ű ü ö ö ő

Részletesebben

Í ö ö É Í ö ú ú Í ö Ö ú ö ú ú Ú ö ú Ö ú ú ú ú ú Ó ö ö ú ú ú Á ú Á ú ö Ú ö Ó ú Ú ö ö ö ú ö ö Á Í ö ö ú ö Í ö ö ö ö É ö ű ö Í ö ö ű ö É Á ö ö ö ö ú Í ö ö ú ö ö ú É Á Í ú ö ö ö ö Í Í ú Í Í Í É Í ű Í Í Í Í

Részletesebben

ű ö ö ö ű ö ö ö ű ö Á Á Á Á É ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö Á ö Á Á ű Í ű Ü ö ú ü ü ö ú ú ü Ú ö ö ú ö ü ü Ü ú ö ö ö ű ö ö ű ö ü ü ű ö Í ű ö Ő Á Í ö ö ú ú ü ö ü ö Ó ö ú Í ü ö ű ö ü ö ű ú Í ö ü ú ö ö ú Á Ü

Részletesebben

ű Ó ü ü Ó ű ü Ö ű ű ü ü É ü ü ű Ö Í Ő Í ü Ö ű Í ű Ú Ú É É É Ú ü ü É É Á ü ü ű ű É ü Ú ü Í ü ű ü ü ü ü ü ü É Í ü Ó Ő Á ű ü ü Í ü ü ü ü Í É ü Á Í É Í ű Í Í ü ü Ö ü ü ü ü Á ü Í ü ü ü ü ü ü ü ü Í ü ü ü ü

Részletesebben

ű ú ü ü ü ü ü ü ű ü ü É É É É ü ü Ú ű ú Í Á ú Ö Ö Ö Á Í Á ú ú ú ú Á Ö ű ú ú ú ü ű ú ű ű ü ú ű ú ú ü ú ú ű ú ú ü ü ü ú Ü Í Ö ü Ö Ú ü ú Ö ú ü ü Ö Á ú ű ú ü ú ű Ü ú ú ú ú ú ú ü ú Ü ű Ű ú ú ú ű ú ú ü ü ü ú

Részletesebben

í íű ú ü Á Ö É Ú É É Ö í í í í ü ű ű Ó ü ü ö ö Á ö ö ű í í í ű ö ö ö ö í ö ű ü ö í ö í ö ü ö Á ö ú Á ú ú í í í í í ü í ű ü ö ö ú ü ö í ö ö ü í ü í í ö ü ü Ú íí í ü í í í í ü íí í í ú ö í í ü í ú ú í í

Részletesebben

É É É ú ú í ü ú Ó ú í Á Ö É Ő É í í í ú Á Í í ü ö ú ö ö í ö ü Áö í ö ö í ö í í ü í É Ü Ú É ú Í É É É Í í Á É í í í ü ü Í Ó í í í ú ÍÁ Í í í í í É í ö í ö Ü í Í í íí Í Í Á ú É É Á í É É í í í í Í É ö Í

Részletesebben

ö É ú Á Á Á Á Á É ü É É Á É ö Ő Ó Á Ő Ó Ó Í Ó Á ö Á Á Á Á Á É ÁÉ Á Á Á É É Ú É Á Á Á É É Á Á Á Ö Ö É É É É É É ú Á É É Ó Á Ó Í Ó Á Á Á ú Á ö É É É É É ő Á Ú Í É Á ö Á É Í É Ő Ó Ó Á É Í Á É É ö É Á Ő Ó

Részletesebben

Á Á Á Ú ű í í ÁÁ É í Í í Ö Ö É Ü Ó Ó í ű Á É í í É É É É É É É É Ő É É É É Ó í É Á ú ú ú ú ü ű í ü ű É ü í í ú í ú Á Í Á Á Á Í ű í Á Á Á í Á Á Ö Á í ü ű í í ü í í Ö ü í Á Á Á ü ű í í í í Í űí í Á Á Á ű

Részletesebben

ő ű í ő ú ő ü ő ő ő ü ü ü ü ü í Ü í í Ü Ü ő ő ő ő í ő ő ő ő íí í ú í ü ű í ő ő í Ö í Í Ü É í í ő Í Á ő ő ő Ő ő ú ú Ö Ö ú í ő ő ő ő ű í ő ú í ü í ű í É í í Ü ű í ő Ú ű í É í í Ü ű í ő ő ű í ő ú ü ÍÍ í ő

Részletesebben

ö ü ő ö ű É ö ö ü ü ö ö ő ő ö ö ü ő ő ö ö ö ö ü ö úő ö ö ő ű ú ő ü ő ő É öü ú Í ú ü ő ő ú ű ő ú ü ú ú ú ő ö ö ő ö ü ü Ú ö ő ü ö ő ö ü ű ü ö ü ö ő ű ö ő ü ő ű ú ü ő ő ő ú ú ü ö ö ő ő ű ő Ü ö ö ö ö ű ú ö

Részletesebben

Í É Á Á É É Á Ó É ú ü ö ű ű ö ű ö Í É É É Á Ő É ú ö ü ú Í Á ü ö ö ö ű ö ú ú ü ö ö ö ü ú ú Ü ö ű ú ö ö ű ü ú ö ö ű ü ö ű ü ö ű ü ö ö ű ö ö ű ö ű ö ö ű ö ű ö ű ö ű ö Á Ú ü ü ú ű ö ö ö ö ö Á ú ú Ü Á É ö ü

Részletesebben

Ú É Ú í ö ö ö ü ű ú ű ű í ű ü ö ö ő ű ú í ö ö Ü ö ű Ü ú í ő ö ö ű ü ö ő ú ö ü ö ö Ü ö ö ű ű ő ű ü í ú ű í ő í ő ő í í ő ö ö ő ő ő ö ö í ű ő ö ő í ő Ü í ű ő ő ő ő ő ő ü ű ű ő ü ö ö ő í ű ü í ű í ű í ő í

Részletesebben

í í í ö í ő ö ö ő ö ö í ű ő ö í í Ö í í í ő í í ö í í í ú Ö Á í í í í í Ö í í ö í í ő í í ö ű ö í ö í í ö í í í í ö ü í Ö É É ö í Ö ő Ö í í ő ü ő Ö ő Ö ő ö Á Á Á Á É É É Á Ö ő Ö ú ö í ú ű ú í Ö ü ú Ö ő

Részletesebben

Á Á Ö Á Ó Ü ü Á Ó Á Á Á ú É É É É É É Á Á Ó Á Ó Ó Á Ö Ó Á Ó Á Á Ó Á Ú Ö Ö Á Ö Á Á Á É Á Á Á Á Á Á Á Á É Ó É Á Ó É Ó Á Ó É Ó É Á Ó Ö Ö Á Ó ö ö ú Ö Á É Ó Ú Á Á Ú Ó Ó Ó Á Á Á Á Ú Á É Á Á ö Á Í Á Á É Í

Részletesebben

ö é ü é ü ö ü é é é ü ü é í ü é é é é é ö ö ö é ü ö ö é ü í é ü ü é ü é ö é é ü ö ü ú ö é é ö ö é ű ö é é ü é ö é Ö é ü é é ü ö ö é Ö é ü ú ü é é ű ö é é ü ü é é ü ü é é é ü é ű ö é é ö ö ü é é ü ö é Ö

Részletesebben

ű Ó ú ú ú ú ú Ö Ö ú Á Ú ű ú ú Ú É ú ú Ö Ö Ű ú ú ú ű ú É ű ú É ú ú ú ű ű ű ú ű ú ű ú ű ű ú ű ű ú ú Á ú É ű ú ú ű ú Ü ű ú ú ű ű ú ú ú ú Ö Ö Ú ú ú ú ú ú ú ú ű É ú ú ú ű ú ú ű ú ú ú É Í ú ű ú ú ú ú ű ű É ú

Részletesebben

ő ü í ő ü ő ú ő í ő ő ú í í ő ö í ú í ü í ü ö ö ü ö ü ü ü ö ö í ő ő í ö ő ü ü ő ü ö í ü ú ö ő ö ő ő ü ü í ö ö ö ö ú ú í ö ü ö Í ü ő ö ü ü ü ő ő ú ő ő ú ü í ő ü ő ü ü ü ö É ú ö ö ö ö ű ú ő ő ö É Á Í ü ő

Részletesebben

í ú í í Í ű í í ű ö Í í ő ú ű ö ö í ű ö ö ű ö í ö ű ö ű ö ö ö ö ő ö ő ő ű ö ő ö ő ő ő Á ű ö ű ö ö í í ő ö ű ö ő ü ő ű ö ű ö őí ő ő ü ö ő ű ö ő ö ö ü ő ü í ú ű í ú ű í ő í Á ú ű ű ö í í í ő ú ű ö ü Ó í

Részletesebben

Ú Á Á Á Á É Ő É ő ú Ö ő ü ő ő ő ö ö ő ő ö ö ö ó ö ő ö Í ü ó őö ü ö ę ö ö ő ó ő ő ö ő đ ť Í ö ű ö ő ö ő ő ö ü ť Í ź ó ö őö ť ö ę ö ö ö ő ö ö ó ó ő đ ń óö ö ü ö ó ö ď ó ő ű ú ö ö ú ú ű ö ú ę ú ő ö źą ő ú

Részletesebben

Í Í Ö Ó ü Ö É ü Ü Í Ú Ü Ü Ö Ü Ü ú Ü ú ú Ü Ü Ú Ú ű ű ú Í ú ü É ü ü ü ü ü ü ú Ü ü Ü Ü Ü Ü ú ü Ü Ü Ü Í ü Ü Ü Ü ú Ü Ü Ü Ü Ü Ü ű ű ü ü Í ü ű ü ü ú Ü Ü ű Ü Ü ú ü Í ű ű ü Ü ű ü É Ü Ü ü ú Ü ú ű ü ú ú Ü ú Ü Ú

Részletesebben

Á Ö É Ó Á É Ó Ü É ü ö Í ö ö Í ü ö ö ú ü ú Í ö ö ú Í ű ö ú ü ö ö Ö ü ö ö ö ú ö ú ö ö ö ö ö ü ú ü ö ö ö Í ö Í ö ú Í Í ö ö ú ö ú ü ö ö Í ü Í Í ü ö ü É ú Ú Í É Í ö Ö ü ö ü Í ü ú É Í ö ü ö ö ö ö ü ú Í ö Í Ö

Részletesebben

í á í ö ö ö é ú é ö é ö ü é ö é é é á é á ü á ó á é Íí ő ő é ü é á á á ó ó ú ö é áíű ő ő é ö ó é í é é é á á é í á á ó é á ó é ü á é é Í í é ü ő ő é á é ü ú ó á é ű ő é ő ő ö ű ő ő á á á á í é é é á á

Részletesebben

É Á Á Á Á ü É Á É É ö ü ő ü ö ö ö ú ő í ü ü í í Á í ö ő ő ö í ő ű ö ő ö ö í ű ú ő ú ü ö ö ü ö ö ü ő í ő ő ő ö í ő í ü ű Ö Ö ú Ó í í ü ö ö ú Ó ö Ő ú ö ú ö ő ő ö ö ú ü ö ö ú ö ő ő Ó ú ú ú ő ú Ö ő ö ö ü ű

Részletesebben

Ú Á É í ő í ó ó ó í ö í ö ö ö í ö ö ö ö ö Ú ö ó ö ö ö í ö í ő ö í í ő ö ú ö ó ö í Á í ó ő ú í ő ő ú í í ó ő í ó ó í í ő ó ó ó ő ó ó ő ü í ü ó ü ő ó ő ó ü í ó í ő É ö ö ö ő ü ő óí ö ű ö ü ó ö ö ő í ó í

Részletesebben

ű í í ü ü ü ü ü ü ü í í ü ü í í ű í ú ű í í í Á í ü É í í Ö Ö É ú ú ú í Á Ö ű í ú ú í í í í í ü ű í ü í Ö ú ű í ű í É í í ü ű í í ű í ú ű í í í í í ü í í Ö í ú í Í ú í ű í í ú ú í í ü ü ü í ú í É ÍÖ Ü

Részletesebben

Á Í Ü Ü Á ü Ü Á Á Í Ü Íú Í Ü Ű Í ü ü Í ű ú ú ü ü ü ú ú ű Á É Á Í ú ü ú ü ü Í Í ú Í ú Á É Ő Á ű ű ú ű Í ű ü ű ú ű ú ú Í ü ü ú É ű ü Í Í ú ú Í Ü Ő Á É Á ú ű ú ü Ú Í ü Í ú Í Í ú ú ű ú Í ú ű ű ü ü ü ú ü ü

Részletesebben

á á Á Á É É ÉÉ ú í Á Á É ö É Á Á á á é á é á Ű é á á é ő á á á é ú ő ő é á ó é é á í á ó á é ő é á á á é ó í á á ü é é á é á á é á á ó é é ö é Ü Ö Ö á á é é í é ú á ö é ö é é á á é á á é é ő á ő ő á é

Részletesebben

í ő ö ő ő ő ő ű í ö í ő ő ő ő ő Ö Í Í ő í ő ö ő ő ő Í ö ő ő ő ő Ú Í Ü í ő ő Í í Í í Ü Í Ü ö ő Ú í í Í ú Ö í í í ő Ü í ú ő ö ű í ő ü ő ő í í í í ü í ő í Í Ő ű Ü Í ő Ú ő ü Í ő Í í ö ú Ő ő í í ő í ű ü ű ő

Részletesebben

ö Ö ü ő í Ü ö Á Ü Ü ő ő ő ő ü ű í ő ű Ó í ú ü í í ő í í ű ő ú í ö ő Ü ö ö í ú ö ő í ő í í ő Ü ú ő í ő í ü ő ü ő ö ö ö ő ő ú ü ü ő ü ü í ú í ő ő ü ő í ü ö ö ű ü ű ü ő í ü ú ő ö ü ü ő ő ő ö ő í í ő ő ú ő

Részletesebben

ö ü ü ü ü ö ö ú Ü É Á É ö ö ü ú ö ű ú ü ö ű ö ú Á ú ö ű Á Í ö ü ö ö ű ö ú ú ö ö

ö ü ü ü ü ö ö ú Ü É Á É ö ö ü ú ö ű ú ü ö ű ö ú Á ú ö ű Á Í ö ü ö ö ű ö ú ú ö ö ö ü ú ö Á ü ö ö ö ö ö É ű ű ö ö ö ö ü ö Ó É Á Á Í Á Á ü ö ű ü ü ű ü ö ü ü ü ü ö ö ú Ü É Á É ö ö ü ú ö ű ú ü ö ű ö ú Á ú ö ű Á Í ö ü ö ö ű ö ú ú ö ö ö Á ű ű Á ö ö Á ö ü ü ü ü ü ö ü ö ö ö ö ö ü Í É Ü É Á

Részletesebben

ö Ü Á Á Á Á Á Á É ö ü Á Á Á ö Á Í É Á Á ö ü ő ú ő ü ö ü ő ö ü ö ü í Á í ö ö ü í Ö ú ö ö ü ő Ö Ü Ö í í ö ö ö í í ú ö ő ü ü É ő É ő Á Á Á É É ü ű ö ő ű ú ú Á Á Á É É ü í ü ö í í í í ü ö ö ő Ö Ö í ü ö í í

Részletesebben

ű ű ű É Ü ű ű ű Ö Ü Ö ű Ö Ú Ö ű ű ű Á ű ű Á É ű Ú ű Ó ű É Ó É ű ű É ű ű ű Á ű ű ű ű Ö Ö É Ú Í ű Ó ű Ö ű Ö Ö Ö Ö Ö ű ű ű ű ű Ö É É Á Á É Ö Ö É Ú Á ű Ö ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű Ő ű Á ű

Részletesebben

Á ü ü Á ú ő Á ő ő ő ö ö ö ő ü ü ő ü ő ő ő ű ű ö ő ő ő ü ő ő ő ő Á ő ő Í ú ú ú ú Ö Á É Á Í ú ű Ö ú ú ú ő ü ő ő ü ő ü ü ő ü ő ü É É ű ü ő ő ő ő ü ő ü Í É É Á Ó É ú Ö Ó ú Ö ü ú Í ő ő ő ö ő ü ú ő ö ő ő ü ű

Részletesebben

Á Ö Ö Ö Á Í Ó ö Ö ü ö Ö ü ö Ö ü ö ü ö Ö ü ö üé ö Ö ü Ö ü ö ö ö ö í ö ö ö Ö Ü í Ó ö Ö ü ö Ö ü ö Ö ü ö Ö ü Ó ö Ö ü í Ö ü ö Ö ü ö Ö ü ű í ö ö ö Ó ö ö ö ö ű ö ö ü ö í ö ű ö ö ü ű ö ö ö ö Ó ü ö ö ü ö ö ö ű

Részletesebben

Á Á Ó É ö á ű ö á á á á Í Í á ú á ú ö ö á ú á á á öí á á á á á ö á á á á á á á á á á ö á á á á ö á á Í á á á á Í áí á á á á ö á á á á á áí á á á á á ü á á ü á Í ú á á á á á á ú á ü ö É á á ü á á á ö á

Részletesebben