= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

Átírás

1 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em írhtó le z értékek és vlószíűségek felsorolásávl, mit diszkrét esete, mivel z értékek hlmz em megszámlálhtó végtele. A vlószíűségeket lehetséges értéktrtomáyokhoz tudjuk megdi sűrűségfüggvéyel vgy z eloszlásfüggvéyel. Sűrűségfüggvéy: oly függvéy, melyek függvéygöre ltti területe (itegrálj) ármely trtomáyo egyelő változók hhoz trtomáyhoz trtozó vlószíűségével: ( < < ) = f( ) d A vlószíűség tuljdoságiól következik, hogy egy sűrűségfüggvéy sehol sem egtív: f(), teljes trtomáyo (--től +-ig) z itegrálj : ( ) f d=. éld: Az [,] itervllumo folytoos egyeletes eloszlású változó sűrűségfüggvéye f ( ) =, h, egyékét. < d= d= ( < ) = f( ) ( ). (h ) Az eloszlásfüggvéy -eli értéke (, ) végtele itervllumhoz trtozó vlószíűség F() = ( < ) Eől következik, hogy ármely, érték-párr ( < ) = F( ) F( ) éld: Az [,] itervllumo folytoos egyeletes eloszlású változó eloszlásfüggvéye F ( ) = ( ) ( ) h < h < h Az eloszlásfüggvéy tuljdosági ( vlószíűség tuljdoságiól következek): mooto övő htárértéke -e, -e folytoos vlószíűségi változór folytoos

2 ,45,4,35,3,5,,5,, ,45,4,35,3,5,,5,, Az eloszlásfüggvéy és sűrűségfüggvéy kpcsolt Eloszlásfüggvéye mide vlószíűségi változók v, sűrűségfüggvéye em (de melyekről tuli foguk, zokk v). H v sűrűségfüggvéy, kkor itegrálfüggvéye z eloszlásfüggvéy: F ( ) = f ( t) dt H z eloszlásfüggvéy deriválhtó, kkor deriváltj sűrűségfüggvéy: f() = F () Várhtó érték Helyzeti muttók folytoos változókr Ahol diszkrét esete összegezi kellett, ott folytoos esete itegráli kell: Módusz E ( ) f( ) = d Az z érték, melyre változó sűrűségfüggvéyéek lokális mimum v. Folytoos változókr sem midig egyértelmű, z eloszlás itt is lehet imodális vgy multimodális. Mediá és kvtilisek A mediá z z érték, melyre (<) = (>) = /, p-kvtilis pedig oly érték, melyre (<) = p, (>) = -p.,45,45 Szóráségyzet Szóródási muttók folytoos változókr A várhtó értékhez hsoló z összegzés helyett itegráluk:,4,4,35,3,5,,5,,35,3,5,,5, vr ( ) = ( E( ) ) f( ) d= f( ) d E( ),5, Kvrtilisek Alsó kvrtilis, Q, vgy LQ (lower qurtile) vgy LH (lower hige): ¼-kvtilis Felső kvrtilis, Q 3, vgy UQ (upper qurtile) vgy UH (upper hige): ¾-kvtilis Szórás Iterkvrtilis terjedelem S ( ) = vr( ) Iterkvrtilis terjedelem, (iterqurtile rge) IQR=Q 3 -Q

3 A ormális eloszlás A legfotos, gykorlt leggykr hszált folytoos eloszlás ormális eloszlás vgy Guss-eloszlás. Kétprmétes cslád. A sűrűségfüggvéy képlete: f ( ) = ( µ ) e σ, πσ hol µ és σ z eloszlás prméterei, ~ N( µ,σ ). Jegyezzük meg, hogy µ épp várhtó érték, σ pedig vrici (tehát σ szórás). A csládtgokt zoosíthtjuk µ és σ helyett µ-vel és σ-vl is, csk kokrét számok eseté egyértelmű legye, hogy pl. σ = vgy σ = közül melyikre godoluk. A sűrűségfüggvéy göréje z úgyevezett hrggöre vgy Guss-göre. szimmetrikus (közepe µ = várhtó érték = módusz = mediá) e gyságrede közeledik -hoz midkét oldlo -hoz közeledés seessége σ -tól függ (zz szórástól) Külööző µ és σ prméter-értékekhez trtozó hrggörék: µ =- µ = µ = σ=5 σ= - µ A cslád µ =, σ = prméterű tgj stdrd ormális eloszlás. Eloszlástáláztot csk ehhez készítettek, töi mid egyszerűe visszvezethető stdrd ormálisr. Ez stdrdizálás. Ugyis h ormális eloszlású vlószíűségi változó µ és σ prméterekkel, kkor Y = + is ormális eloszlású µ = µ + és σ = σ prméterekkel. H ormális eloszlású vlószíűségi változó µ és σ prméterekkel, kkor µ Z = stdrd ormális eloszlású. Vissztrszformálás: = σ Z+ µ. σ Közpoti htáreloszlás tétel: Miért fotos ormális eloszlás? Legye H = , hol,,..., oly vlószíűségi változók, melyek egymástól függetleek és zoos eloszlásúk. Ekkor H közelítőleg ormális eloszlású (h, kkor H eloszlás trt ormális eloszláshoz eél potos em modjuk ki). éldák: Emerek mgsság gyo sok geetiki és köryezeti változó összege, ezért közelítőleg ormális eloszlású. Sok kockát douk egyszerre. A doott számok összege közelítőleg ormális eloszlású.

4 Normális eloszlású változók összege és számti közepe. Normális eloszlású változók összege is ormális eloszlású, és mid várhtó értékek, mid vriciák összedódk, pl. két változó eseté + Y µ +Y = µ +µ Y és σ = σ + σ. Normális eloszlású változók számti közepe is ormális eloszlású, várhtó értéke és vriciáj pedig µ i σ µ = és σ = 3. H változók eloszlás zoos (zz közös µ és σ), kkor számti közép várhtó értéke és vriciáj µ σ σ σ µ = = µ és σ = =, ho σ = i Y éld: Csörgőkígyók hossz közelítőleg ormális eloszlást követ.4 m átlggl és. m szórássl. Meyi vlószíűsége, hogy 5 tlálomr válsztott példáy hosszák átlg gyo.5 méterél? Megoldás: tehát ormális eloszlású, µ =µ =.4 σ σ. = = =. 4 5 Továik szokásos módo: µ σ. 5 µ σ (. 5) > = > = ( Z >. 5) =. 6,45,4,35,3,5,,5,, Meyit tuduk egy változóról, h csk z átlgát és szórását ismerjük? Mekkor vlószíűség trtozik z E ( ) ± S( ), zz z átlg ± szórás trtomáyhoz? ( E( ) S( ) S( + Mekkor vlószíűség trtozik z E( ) ± S( ), zz z átlg ± szórás trtomáyhoz? és így tová... E ( ) H változó ormális eloszlású tetszőleges ( E( ) S( ) + S( k. /3 em tudi ( E( ) S( ) + S( k. 95% 3 4 ( E( ) 3 S( ) + 3S( szite iztos 8 9 M M ( E( ) ks( ) ks( + empirikus szály (empiricl rule) k Cseisevegyelőtleség

5 Epoeciális eloszlás Folytoos eloszlás (-cslád, egy prméterrel, mit λ-vl jelölük), legtöször időtrtmok modellezésére hszálják: két eseméy / meghiásodás / st. között eltelt idő, h z eseméyeket z öregedés em efolyásolj éld: Villykörte, h em kpcsolgtják, st. (mikor meghiásodások em öregedéssel, kopássl, elhszálódássl kpcsoltosk) Eloszlásfüggvéye: F( ) = ( < ) e λ h > = egyékét.5.5 λ =.5: λ = Sűrűségfüggvéye: f( ) = F' ( ) e λ λ h > = egyékét.5 λ =.5: -5 5 λ = Várhtó értéke és szórás (itegrálássl kijö): E ( ) =, vr ( ) = λ λ